G. M.

F 1H T E N H O L

CURS DE CALCULDIFERENIAL

I

INTEGRALVOL. Il

(Traducere din limba rus)

EDITURAB U C U R E

TEHNIC

T 1-1964

Lucrarea "Curs de calcul diferenia} i integral" voi. II face parte din seria de trei volume a cursului de analiz clasic a prof. G. M. Fihtcnhol, dintre care primul volum, tradus, a aprut n anul 1963. Volumul II cuprinde: calculul primitivelor, integrala definit, aplicaiile calcului integral n geometr.ie, mecanic i fizic, serii cu termeni constani, iruri i serii de funcii, integrale improprii etc. Prezentarea materialului se remarc prin rigurozitate i claritate, ct i prin numeroase exemplificri, aplicaii i exerciii. Lucrarea se adreseaz profesorilor din nvmntul mediu, inginerilor, studen-ilor de la institutele politehnice, pedagogice, precum i studenilor de la facult.ile de matematic-mecanic i de fizic.

TALA

DE MATERII281. Integrarea expresiilor de forSubstimaR (x, tuiile lui Euler . . . . . . . . . . 282. Tratarea geometric a substitu.iilor lui Eulcr........ 283. Excmpfe . . . . .. .. .. . . . . . . . 284. Alte metode de calcul. . . . . . 285. Exemple P

+

0

0 ).

y

y-r(x) 'c

este egal cu ordona ta Y = f(x). . . Cu alte cuvint e aria eariabil P(x) este ? funcie _primitie a f~n c~:' = f(x) date. Acea;t funcie primitiv se distmg e ~mtre toateD ce ea e y t nfa tul c devine egal cu zero crnd x =a. e aceea, ~~~~ 1;ep~:~a1;: ~rlfuncfie primitiv F(x) oareca re a funcie i f(x) i dac,

A adar a"unge m la urmtoarea teorem remarcabil (numit de o~icei teorem~ .Ne~to~ Leibni tz?: derirat a ariei Pariabile P(x) n raport cu absctsa x

l!.x-tO x

= f(x).

.

1

oFig. 1

X

Fig. 2

confor m teorem ei de la 263 P(x) = F(x) C, atunci consta nta c se determin uor fcnd n aceast relaie x = a, O = F(a) C, adic C = - F(a).

+

+

264. Integra la i proble ma determinrii arrer. Este foarte important interpr etarea funciei primit ive ca arie a unei figuri curbili nii. ntruc t noiunea de funcie primitiv este legat istoric ete n mod foarte strns de prob,lema determinrii ariei, ne vom ocupa de aceast proble m chiar aici (servin du-ne de noiunea intuitiv de arie a unei figuri plane i rezerv ndu-n e dreptu l de a pune riguros aceast problem n cap. X). S presup unem c se d, n interva lul [a, b] funcia continu y = f(x), care ia numai valori pozitiv e (neneg ative). S examinm figura ABCD (fig. 2) mrginit de curba y f(x), de cele dou ordona te x =a i x = b i de segme ntul de pe axa Ox; o astfel de figur o vom numi trapez curbiliniu. Dorind s determinm mrimea P a ariei acestei figuri, vom studia modul cum se comport aria figurii variab ile AMND cuprins ntre ordona ta iniial x = a i ordona ta corespunztoare unei valori x arbitra r aleas n interva lul [a, b]. Cnd x variaz, aria va lua diferit e valori, n mod cores~ punztor, fiecrui x coresp unde o valoar e bine determinat pentru arie, astfel c aria trapez ului curbili niu AMND este o funcie anumit de x definit pe interva lul [a, b], pe care o vom nota cu P(x). _ Ne propun em mai nti s gsim deriva ta acestei funcii. In acest scop) s dm lui x o cretere oareca re Ll..x (s zicem, pozitiv); atunci aria P(x) va cpta o cretere Ll..P. S notm cu mx i Mx, respec tiv, margin ea inferio ar i margin ea supe~ rioar a funciei f(x) n interva lul [x, x ~x] [85] i s comparm aria

F(x) - F(a). obine aria P a ntregu lui trapez ABCD , 1n particu 1ar, Pentru a Se trebuie ca x = b, p = F(b) - F(a).=

n sfrit,

P(x)

De exemp lu, s gsim aria P(x) a figurii limita te de pdarab~ la Yf.g x): d segme ntu 1 e axa x ( 1 a3 , de ordona ta corespunztoare a b scrser x ~I e. . d valoar ea .. "'t arabol a intersecteaz axa Ox In orrgine a coor ona telor . . . ..... i~~~~~~ lui x este aici~ 0. Este uor deci s se verific e c o funcie ,prrmrt rva a funciei f(x) = ax este F(x) = a;'. Aceast funcie devine egal cu O

!

cnd x = O, aa c

P(x) = F(x) = - = - [32, 4]. A . . d in vedere legtura care exist ntre calculu l int~gralelor i g~~i~IIn r turii lor, a deveni t un lucru o I~ rea arn or rguri']or P Iane ' adic a cuadra . 11 nuit s se numeasc cuadratur nsur calculu l Integra e ar. a fost publicat {dc~i sub alt form} nc 1) n realitat e, aceast propoZl tle de Is. Barrow , elev al lui Newton .

ax 3 3

xy 3

+

16

FUNCIA PRIMITIVA (INTEGRALA NEDEFINITA)

INTEGRALA NEDEFINIT I EXEMP!L..E SIMPLE DE CALC~L A ACESTEI INTEGRALE

17

Pentru a se extinde cele artate mai nainte la cazul functiilor care iau i valori negative, este suficient s se fac convenia de a se' considera ca negative ariile prilor figurii situate sub axa Ox. _ Aadar, oricare ar fi funcia f(x) continu n intervalul [a, b], ne putem imagina totdeauna funcia primitiv a ei sub form de arie var.iabil a unei figuri mrginite de curba funciei respective. Bineneles, ns, c _nu se poate considera aceast ilustraie geo:qJ.etric drept y demonstraie a existenei funciei primitive, deoarece notiunca de arie nc n-a fost fundamentat. n 'capitolul [305] vom putea da o demonstraie riguroas i totodat pur analitic a faptului c fiecare func,tie f(x) continu ntr-un interval dat are o funcie primitiv. Admitem ns de pe acum aceast afirmatie ca fiind adevrat. n capitolul de fa vom vorbi numai despre funciile primitive ale funciilor continue. Dac se _ ___:~~~~~~ x P x d o funcie i dac ea are puncte de discontinuitate, O o vom considera numai n intervalele n care este Fig. 3 continu. De aceea, admind afirn1aia formulat mai nainte, nu vom 1nai specifica de fiecare dat existena intcgralelor, cci toate integralele considerate de noi exist. 265. Integralele mai principale. Fiecare formul de calcul diferenia! care stabilete c funcia primitiv a unei funcii oarecare f(x) este F(x) duce imediat la formula corespum;toare de calcul integral

n ce privete formula 4, tre~uie s~ iat:~1n o oba~rvaie:. Ea est.c aplicabil n orice interval care nu conine pe z;tJto. In adevar, daca acest rnter~al este situat Ia dreapta lui zero, aa c :1 > U, rt!zult direct, din formula de derivare

cunoscut (In x)'

= ...!_'

'

c

~cu

clx= InX

X+

C.

Dac ns-intervalul este situat Ia stnga lui zero, x

1

+ C.

(h>1),

(!; 3)

+ 5)

dx ..:8) {a) (sin mxdx = _!___cos m.1:

I

(i

l.ormulcle 3, 2), avem

S {6x''

:ce 3x

+ 5}

dx =

S6x'dx- f3xdx + f5dx3

~.{b)

J

(m.

Jn

*

O)

(1, Il; S}

~6-Jx2 U.t: -:-:-3Jxd.t-1- a 1 xn-l11

2 +' 5Jdx = 2x -~x 2

+ 5X + C.general

~

' 1 cos mxd.r = - s1n

111.1:

-t- G,

.,

(ITI; 9}

"'(qi; 7}:o;=o

2) Se poate integra cu

:1urin i

un polinom sub forma

J (a

1 0 :t '

+ a J a:n'31

+ ... -1- an_ 1x -1- n) d.t: = a0 Ja,ndx + dx + ... + an-t Jxd.t: + an ~ dx =(Il, 1; 3, 2)

~}

(u)

arrsin ~ -1- Ca

{a> O).

(III; 6)

f (2x' + 'l)' dx =S (Sx + 12x' ,+ 6x' +6

8

7

x?

:. ._ .+ ,. .5

12'

1} dx "'C . ' ' x& + 2x 3 + x

{lll; 5}

.

+ C.

{'exemplul 2)

20

FUNCIA PRIMITIV

(INTEGRAILA NEDEFINIT)

INTEGRALA NEDEFINlT I EXEMP:LE SIMPLE DE CALCUL A ACESTEI INTEGRALE

21

Exemple pentru toale regulile:

10) )

(eX - 1) (e'"

,x

+ 1)

n particulard

O).

n

bc -

ad

1

c

ecuo

cx

+d+d 1 + C.

Numit.onll se descompulle n factori reali n modul urmitLOI': A (.T- a) (a:- f..), in care

De aci rczultt't c:l integrala este

egal

a - xC

+

bc - adC"

In

"1cx

~

____cc:....c--'-:Ai'---:-

-B+VB'

AC

~~.

-B-]iB'

A

AC

(II, I, III; 2, 4}

12) r _2._v:.__-_:3_x-'+--'-1 dx

=

(

J

+1

J(

2.v-5

+ - J dx x+1

6

=

5.v

+ G 1 + 11 + C.

In

JDar n acest caz, conform exemplului (11..); pu11ml a= -(', b = -et:, ohine"m

+C'.

Integrarea unei fract:ii cu numitor complicaL devine adqseo. mai uoart't dactl se: descompune ntr-o sum de frnct:ii cu numitori mai simpli. ne exemplu,

1x2-

a 2 = (x -

1 a) (x

+ a)

=

2a l~ -

1[1

J)x +a ;

dp,, ele Ldx

u'vtn-1)- S u"v(n- 1Jdx,= u"vrn- 2 ) - S u"'v(n- 2 >dx,

Sudv

= uv -Svdu.

(3)prin pri. Ea transform expresiei vdu = vu'dx.

Aceast formul exprim regula integrrii, -integrarea exp1esiei udv = uv'dx n integrarea

S presupunem, de pild, c se cere s se gseasc integrala

S x cos x dx.

. ..... ................. .......... . Su[n)v'dx = utnJv - Su(n+IJvdx.nmulind aceste egaliti pc rnd cu +1 sau cu -1 l adunndu-le -tcr1nen cu termen, dup reducerea integralelor identice din membrul al -doilea i membrul nti, vom ajunge la formula

"Punem

u = x, dv = cos x dx, astfel mulei (3),

c

du= dx, v =sin x

1),

i

conform for-

J x cosx dx = Sxd sin xAadar,

= x sm x -Ssinxdx=xsin x + cosx+C.

(4)

Suvtn+1Jdx =

uv(n)

-u'vtn-1}

+ u"v(n-2)- ... +(5)

integrarea prin pri a permis s se nlocuiasc funcia x cos x .de sub integral prin funcia mai simpl sin'x. n acelai timp, _pentru a-l .obine pe v, a trebuit s integrm expresia cos x dx, de unde i drinuinirea .de integrare prin pri. -punem expresia de sub integral n doi factori: lt i dv = v'dx, dintre care -primul se difereniaz, iar al doilea se integreaz cnd se trece la integrala .din 1nembrul al doilea. Trebuie s se caute ca integrarea diferenialei dv s nu prezinte dificult~i i ca nlocuirea lui u cu du i a lui dv cu vs atrag .dup sine, n ansamblu, o form 1nai simpl a expresiei de sub integral. Astfel, ~n exemplul analizat ar fi evident dezavantajos s se ia, s zicem, xd x n loc de dv i cos x n loc de u.1 ) ntruct pentru scopul urm1it este suficient s reprezentm pe cos xdx int1-uu ..singur mod sub forma dv, nu este necesar si'l scriem expresia cea mai general a lui v. .care conine o constant arbitrari'l. Aceast observaie trebuie avut n vedere n celo .ce urmeaz.

+ ( -i)"uln>v + (-1)"+1 S ui+l) v dx.

Aplicind formula (3) la calculul integralei propuse, trebuie

s

descom

.dintre factorii funciei de sub integral este ~n po.linom ntreg. Dac u reprezint un polinom de gradul n, atunci u(n+l) este identic egal cu zero, iar ~entru integrala din. membrul nti se obine expresia d_efinitiv, fr ter-

Este deosebit de avantajos s se fac uz de aceast formul cnd unul

menul integral din dreapta.271. Exemple. 1)Difercniind

J a;3 ln x dx.~i

In .-v se ajunge la o simplificareu = In x, dv = :J;3dx, astfelc

de aceeadxX

pune~

du = - , v = - x4.'J:

1

:i

~

. x 3 In x cLv'

= -14

x4 ln

.'V -

-

. 4

1) x 3 dx

= -14

x 4 In x - -

16

1 x4

+ C.

322) [a) SIn x d.;,

FUNCIA PRIMITIV (INTEGRAILA NEDEFINITA)

INTEGRALA NEDEFINITA

I

EXEMPILE SIMPLE DE CALCUL A ACESTEI INTEGRALE

33

(b) ~ arctg x tlx,

(c)

Sarcsin

x dx.

n mod asemimtoc se stabilete i formulap l'P(x)co.;;b.t:d.r=sinb.-v -----+ [ b .) . !J3

Lund n toate cazuJilc dx = U.v, ohlincm

P' ,; ...] +cosbx [P'.

1"' ---- j - ... ] 1;2 1;4.

+C.

(a)(h)

S lrl

x dx = x In .V-

Sx

dIn x = x In x -

Sdx =

x(ln x -1)

+ C;[v. 269, o) (a));

5)

S .1: 3 ln 2 .1: cLr.

Avem1 ) x 4 d ln 2 x = - 1 x 4 lu 2 x -4 ,,

S aJctg .1: 9-x

= x ntctgx -

j

x d arclg x = x ar~tg :v -...!__.

- ( --"- d.v = x arcLg .v x2 1

J +

ln(x 2

2

+ 1) + C.1:

i am ajuns la integtala dat de exemplul 1). u sfr~it,

(c)

S arcsin x

dx = x rucsin2

.1.: -

Sx

d arcsin x

arcsin x

)

x3

1(1 ln 2 x d.t: = 1 - x4 ln 2 x - - x4ln x 4 -2 1~:=

- 1 x4 )

'lG

+C

x arcsin x

+ V1 ___: x +-C

[v. 269, (2]].

a)s

2._ x4l.t:

(ln2

.1: -

2._ In2

x

x2sinxdx.Astfel,SUCCCSY,

+ :!._) + C. s

Avem

se

calculeaz

integrala

S x2 el(

-

cos x) = -x2 cos x -

S ( -cos

x) dx 2 = -x2 cos xj

+ .2 J x cos x

~lx.

S :vk lnm :v J.x,n cme k este un numr real oarecare _(le =f= -1), iar m. = 1, 2, 3, .-.. Dac:'t aplicm acestei integrale formula de integrare prin pri,_ punnd u = lnm x, ob!.inem formula recurent ( xk ln?'lt x d.>t: = - - " - xk+ 1 1um x - ~ k+'l k+'l

Asadar, am adus integrala cuLat la cea cunoscut [270 (4.)] obinem

nlocuind valo:nea ci,

S x2 sin x

d.1: =

-;J; 2

co.s x

+2

(x sin x

+ cos x) + C.

J

S x 11

lnm-i x d:v

.

Intc'rarca prin pru;i a trebuit sit se apli~c aici _n total.dc do~ _or~. Tot ~a, prin aplicarea repetat a acestei reguh, se calculeaza I mLegralele

SP(x) c.ax dx, S P(x) sin bx dx, S P(_.-v) cos b~ dx,unde p (.t:) este u-n poiinom n.treg n raport cu x.

cu ajutorul creia calculul integralei considerate se l'educc la calCularea uuci integrale de acelai.Aip, dar cu un exponent al lui In x ma.i mic cu o unitate. De ~ltfei, substituia t =In X aduce integrala considcral la forma G{l+l) l dl, deja studia1 n exemplele (3) i (!.~:).

sen

6) Un exempl.u interesant reprczintii inLegralclc

q) Dac:-1 se face uz de formula gcneralizal a integrrii prin pri, se pot ob~ine imediat expresiile generale ale integralelor de aceast form.Punnd v(n+i) = c0 x, vom aveav{n)

S eax co~ bx dx,Dac integrii.m prin pr.i,' Uv

Seax sin bx dx.ob{.Hcm

_ --;1 eax ~ax dx, v -

= -"~ , v{n-1) a

nx

=

v

(n- 2 ) -

-

-~ etc

ax aa

".

'

~~

eax cos bx dx = -. a

1

8 X

cos bx

+ _!:_ ( eax sin bx dx,a )

De

acec~l,

consid-erind pc P {-:t) ca

polin~mp [ a

de grUdul n, conform formulei (5) vom obtine

S

P' P(x) caxdx= eax - - 2

a

+a

pn3

eax sin b.'"IJ dx = .2-__ eax sin bx -

...J+C:V

a

_!:_ ( eax cos bx d.>t:.

a)

in mod analog, daci:'t luiun v(n+i) = sin bx, atunci cos bx

n modul acesta, fiecare dintte aceste integrale a fost expriml prin nltii intcgraLtt). Dacft, ins, substituim n prima formul expresia intcgralei din formula a doua, ajungem la o ecuaie in raport cu prima integral, din care se determin

sin bx

ba: (n- 2 ) =cos - - - etc.

bx dx

bDe aci rezult formula

b'

b'1)

~b-=s~i~n_l~'"'----'-f--''-'_:c_:o_:_s~b-"x e ax ,1 C. az b2

+

Dac

S P{:r)

sin b.t: d.t:

P' P'' . sin br ' b[ 2l.J4

----+ ]

-cosb.-v

[p P' ] ---+ +C.bb3

c dorim ca n a doua formul s avem aceleai funcii ca in ptima, at adugm n membrul al doilea nc o constunti"t oarcchrc. Evident c ca ar ri de constantele C i C' n expresiile finale.

caz

prin integrale se neleg funqii determinate (v. obs. de la 266), atunci in trcbui, sii nbsol'bitrt

34

FUNCIA PRIMITIVA (INTEGR.AILA NEDEFINIT)

INTEGRAREA EXPRESIILOR

RAIONALE

35

In mod analog gsim i a doua integral

2. Integral-ea CxpresiiiOr

raio~ale_-

d e lll t egra :re p1in 1)ri vom deduce 7) Ca ultim exemplu de aplicar_c a met? d Cl formula de recurcnr1 pentru calculul mtegrale1

~

. a sin b:i- b cos bx, ax+ C' eax sm bx dx = e a2+ b2

Jn~~ clx (n~1,2,3, ... ). ) {x' + a2 )ni vom aplica formula {3), punindV= X.

Obinem

Ultima integralfl se poate transfolma n m'odul urmtor:

( " ) (x2- (

+ a2Jn+l-

x2

d

- ( (x2 + a2) - a2 dx = x - ) (x2 + a2)n+l ) (x2

dx

a2 \

- )(xz+ a2)n

+ a2)n+l-

dx

. = Jn -

a2

Jn+l

272. Generaliti asupra integrrii sub form finit. Am prezentat mai nainte n1etodele elementare de calcul ale integralelor nedefinite. Aceste metode nu traseaz precis calea pe care trebuie s se mearg. pentru a se calcula o integral dat. In acest paragraf i n cele urmtoare ne vom ocupa mai amnunit de ctev:a clase importante de fUncii i vom stabili o ordine perfect determinat a calculelor n legtur cu integralele lor. Acum vom preciza ce anume ne va interesa la integrarea funciilor din clasele menionate i pe baza crui principiu se va face nsi scoaterea lor n eviden. La 51 s-a caracterizat varietatea funciilor la care se aplic n primul rnd analiza; este vorba 'de aa-numitele funcii elementare i de furiCiilc care se exprim prin cele elemeritare cu ajutorul unui nwnr finit de operaii aritn!etice i de superpoziii {fr trecere la limit). In capitolul al treilea am artat c toate funciile de acest gen snt difereniahile i c derivatele lor fac parte din aceeai Yarietate. Altfel stau lucrurile cu integralele lor: de foarte multe ori se ntmpl ca integrala unei funcii care face parte din clasa menionat s nu aparin acestei clase, adic s nu se exprime prin funcii elementare cu ajutorul unui numr finit de operaii specificate anterior. Printre aceste integrale care nu se pot exprima n form finit se numr, de pild

Substituind aceast expresie n egalitatea precedent, ajungem la relaia

S e-x2 dx,s;n x d )X

I.S sin x 2 dx,

S cos x 2 dx,

Jn =(x2de unde

+ a2)n

X

+ 2n Jn

2na2 Jn+l

x,

)

cos.x - -dx,

xJ

(6) 1 J la calculul Formula obinut reduce ca 1cu 1~ 1 u;tegra e1 nH indice mai mic cu o unitate. Cunoscmd mtegrala

I

Alte exemple de acest gen se vor da n cele ce urm.J.

urmeaz

[280, 289, 290

,,,tC

0 0

ralei Jn cu

1 X J 1 = -arctga a va 1or1 '] , cu 3Jlhoru 1 aceste formule ' dacft n = 1, gsim. (267, 9} (h}; lu{un una dm 1 X 1 X J ~+-arctg-, 2 2 a2 x2 a2 2 a3 a

Este ir~portant de sUbliniat c toate aceste integrale exist 1 ) .realmente, dar reprezint nite funcii complet noi i nu se pot reduce la funciile pe care le-am numit elementare2). Se cunosc relativ puine clase generale de funcii a cror integrare poate fi efectuat sub form finit; tocmai de ac

q

'

Q(x) :..... (x2

,',[;:

+px + q)m Q (x),12

.

n care lt, ... , m, ... snt numere naturale. Observm c d_ac_ gradul polinomulu i Q este h:, Suma tUturor exponenilor k, adunat cu dublul sumei tuturor exponenilOr- m, va da exact n

n care polinomulregulat dat

Q 1 nu se-

mparte cu trinomu 1 x ,,,=

+

px

-+:. q:

Atunci, fracia

P(x)Q(x)

Pix!(.1:2

(4)dou propoziii ajuttoare:

+ p.'l: + q)m Q1(:I:)

..,--c--:-

Pentru demonstrare~' teoremei, vom stabili n prea la~ il urmtoarele

poate fi reprezentaU/. sub forma unei sume de frac fii regulate_:Jc.:l.::"_'.c+c_.c_"\_'_ : (.1:2 + px + q)m

1. S considerm un factor oarecare de gradul intii x-a, care intr 1, aa c n descompune rea numitorulu i cu exponentul k

..

+ (x2 +.'

[!.'V+

p 1(;1:) 11 )m-1 f!Jl:r)

. '

>

Q(x) = (x- a)k Q1 (x),n care polinmnul Q1 nu se ma1 mparte la x-a. Atunci, fracia regulatdat

dintre care prima va fi si1npl, iar a doua va conine la llumitor din nou trinomul menionat, dar la o putere mai micfl. Pentru demonstraie este suficient s_ se -alcag~ numcre).c .111 i J\T ~ polinomul P 1 (x) ll aa fel nct s existe identitatea

P(x) -

(Nlx

+ N) Q (x)1

=

(x 2

+ p.~ + q) P +

1 (x).

~P~(x~) = .,----~'_clx--')cc-_ 1" ~ a)~.Q, {xl Q(x)

poate fi reprezentat sub form de sum de fracii regulateA .n)h

+

P(x)

'),

{x

~

{x - a)k-1 Q1 (x)

+ a. cd; + ~Dup

Vorn detennina pe M si N n asa felnct de data aeeasta membrul nti 2 q. S presupunem px s se mpart cu trinomul 'de gradu'l al doilea. x ~ i c resturile diviziunii lui P i Q1 cu acest trinorn snt, respectiv, c. 1) l va corespunde o grup de k fracii simple .

lat1). Dac se elimin acum numitorul Qdin ambii membri, ajungem la egalitatea a dou polinoame de gradul (n-1) identice n raport c.u. x. Coeficienii la diferite grade ale polinomului din membrul al doilea vor fi nite polinoame omogene de gradul nti n r.port cu n 'coeficieni notai cu litere; eO'a_lndu.;i cu coeficientii nu1nerici corespunZiltori ai polinOmului P, vom obtine n sfirsit, un sisem de n ecuatii de gradul inti, din ca,re .se vor deterIni~la ~oeficie;._ii literali. Av'nd n 'vedere c posibilitatea de;scompunerii n fracii simple era dinainte stabilit,: sistemul menionat riu poate fi . . _.:.-" , . ... , niciodat co.ntrac}ictoriu. cev~ in~i 'i~Ult- llil:tHif. Sis'te'l'nul de ecu'atii mentionat arc o' solutie, oricar~ ar 'fi Se~ia' de ~ermeni. llberi (de Coeficie~ti ai 'p~linOmului P)', cfcterminantullor va treb~i s fie dife'rit de Zero._ Cu ate cuvinte, sisteffiul va 'fi t'otdeauna determinat. ACe3.st~ ob~erva~e. simpl 4qvedete n. acelai t~IDp i unicitatea descompunerii fraciei regUla~e n frUcie si1npl,- S l~Inl.ll'i;n cele artate printr-un exemplu.Fiefracia

literali 'la"nuinrtorii .din me~brul al 'doilea. Nu'lllit~~Ul comun. .fii t'uturor fraciilor silnple va- fi, evident, Q; admlncu-le, vom: obine o ,;fraC'i'e regii-

~ "-a

_:cA"_,_ + -_ + ... +

Ak(x- a)k

(x- a) 2

.

daHi

(5)

ei este

Aplic~ un raionament similar pe rnd i la fiecare din factorii de gradul nti rmai, pn ce numitorul se va epuiza sau pn ce n descompunerea sa nu vor rmne dect factori de gradul al doilea. n mod '3nalog, fol~sind iJi'opoziia 2, vom pune n coresponden cu q o singur fracie simpl de forma px factorul de gradul al do1lea x 2

2x2 (x -

+ 2.1:: + 13 Conform teoremei generale, (. - 2) (.' + 1) Dx +E Bx + C A + 2x + 13 = . + -+ (x +1)' x'+1 x-2 2) (x 2 + 1) 22x22 2

Je~compulterea

Determinrun coeficicn.ii A, B, C, D, E pornind de la identitatea

+

+

2.10' + 2x + 13 =A(."'+ 1) 2 + (Bx + C) (x'

+ 1) (."- 2)

+ (Dx + E)(x- 2).

A1Xx2dac el intr

+N + px + q'fracii

Egalncl cocficicri.ii de Ia :iccleai puteri ale lui x din ambii membri, \om ajungn la un sistem de einci ecuatii x4 A+ B =O,x3 x2 xl

la puterea nti, sau un grup de m1

simple

-2B +

c

=o,

1111 xxwdac

.Nlmx + Nm + N + 1Vf x + N . + px . + q (x2 + px + q~2 ++ (x.2 + px + q)'n .22

(6)de unde

2A + -2B +A -

B - 2C+ D = 2,

xo

C- 2D +E = 2, 2C - 2E = 13, D = -3, E = -4.3x + 4 (x' + 1) 2

acest factor intr cu un exponent m > 1. Acelai lucru se. poate face i cu ceilali factori de gradul al doilea, dac . mai exist; cu aceasta teorema este 'demonstrat. 275. Determinarea coeficicnilor. Integrarea fraciilor regulate. Aadar, cunoscnd descompunerea (3), cunoatem implicit numitorii fraciilor simplen care se descompune o fracie~ dat. "Ne vom ocupa acum de deter1~inarea

A= 1,

B = -1,

C = ....:.2,

n cele din urm

2."' + 2x + 13 = _1_ _ ~ _ x2 + 1 x - 2 (x - 2) (x' + 1) 21)

Suma fraciilor raionale regulate- este ntotdeauna tot o fracie regulat.

42

FUNCTIA PRIMITIV (INTEGRAILA NEDEFINIT)

INTEGRAREA EXPRESIILO R

Rji.IONALE

,

43

'Rezultatu l pe care' l'am stabilit imediat mai Inainte are'o aplicaie direct la integrarea frdciilor raionale. J?u'p cum a:m vzut n 273; fraciile simple se integre~z~ub_ forni finit. Ac_um 'putein spune acelai lucru despre orice fracie raio'nal~. 'Dac se examine-az -funciile _prin rare se exprim integrala umii'' pO'linOm ntreg i' a ftaciildr regulate, se poate ' formul~ urmtorul ,rezultat: .h~eg1ala oric1ei fraci_i raionale se exprfmli sub form finitlf. yn ajutorul . unei {U,TJ,9 tot ra,tona~~'- (x[ UJ?.rti. [ogaritJn sau, al un~ arctangen_te.De 'pild,, rCvcninU la, 'exemplul cons'idcrrit ifnedia t mrii n'a i1itc:. ~i Te amintind t:.--!IC ;, fomndelc de la 273, avem.t: + 2 _2...cx:_'_-_ci-___c::2x::__+:_:1c:3_ d.1:= ) -dx ) --: - d.-v-- ) 2 2: il; ; ' . .. ' '1 .. ' '

raionali scoi succesiv n evi~eii snt .fracii regulate~ Strngnd u-i pe toi

la un loc, obtinem un rezultat 1'-de . forma' R(x) dx = ' ( ' Jl!fx + 'N

.

'

J (x2 + px + q)m

(x2

+ px +

+ A(q)m-t.

dx ' . ':

(

J x2 + p.1: + q

8)

J

(x 1

2) (x'.

+ 1)x

" -

2

x

+1

-

,

3x ) (x 2

+ !.~: + 1)

.

.2

clx = -

1

3 2

2

+

ft:t:

. (x - 2j 2 1 4 n1'etg x . +-In 2 1 1+ , , x 2 '1

.

+ C.

1 n care R(x) 'este un polinom ntreg de grad mai mic dect al numitoru lui ), . ..,.. . Iar A o .constant. S presupune m c avem o fracie regulat ,-pe care-_ o vom presupune . simple reductibil i s zicem c numitoru l Q al ei este descompu s n fracii [v. (3)]. Atunci integrala acestei fracii se va prezenta sub form de sum de integrale ale unor fracii de forma (5) sau (6). Dac k (sau m) este mai mare dect unitatea, integralel e tuturor fraciilor din grupa (5)[sau (6)], afar de prima, se transform cu ajutorul formulei (7) [sau (8)]. Unind toate aceste rezultate ntr-unul singur, ajungen1 n cele din urm la o formul de forma

d

276. Sc~aterea n eviden~ a prii ra_ionale a un,ei integrale. Exist O metod,~ luiJY! V. Ost1'ogradsl, c1i ajutorul cre.i_a Se simplific Hmsidera bil gsirea iiltegrrile'i unei fracii raionale, regulate .. ;Aceas't metod permite s se scOat n e:viden pe cale ,algebric partea iaional a unei integtale. Am vzut [273] c termenii 'raionali pe care~i cpnine iritegrula se obin cind se integ~eaz fracii simple de forma II i IV. In primul caz, integralase poate scne astfel( _...;A:.::__

Partea raional a integralei ~ s-a obinut prin adunarea prilor raiol ~ .. nale scoase n evidea mai naitte; prin urmare, n primu rnd ea este o fracie regulat, iar numitoru l Q1 al ei se descompu ne astfel

J Q(x)

( P(x)

dx

=

P 1 (x) Q1 (x)

+ ( P,(.1)) Q,(.t)

dx.

(9)

J (xJ (x(

dx

a)k

= - __:"1__1

(7)

.

Vom stabili acum ce form are partea raional a integralei2

.' .. ' . . ' . Q, . s-a obinut prin adunarea fqrciilor de forma I i III, a~ ,~ i ea este regulat, deci q) ... px Q2 (x) =(x-a ) ... (.~2

Q 1(x) = (x -a)H ... (x' + px + q)m-1 ... n ceea ce privete, ns, fracia !.J.. care a rmas sub semnul integra lei, ea

+

+

!vlx

+ N dxlm>i. + px + q)~

q-P'ft

0).=m

Recurgem la substituia xDac

+~=+

t,, pe care o .cunoatem deja i folosim

Evident [v. (3)], Q = QlQ,. Formula (9) se numete formula lui Ostrogradski. Difereniind, ea poate fi prezentat n forma echivalent

egalitile (1), (2) i formula de recuren (6) de la 271 pentru n

-1.

!?_ =Q

[p']' + Q,Q,

P,.

(10)

revenim la variabila x, obineridX lV !11.1.: ) (x' + px + q)m1

+

-

1V' .M'x __ c_ --'--'-"-'-_ (x' + px + q)m-1

+ J -(:-,,-::-,-+c-p-.1-'-+-q)c:":-,_-:-,rt.

(

d:r

n cat'e 111', N i oc snt coeficieni constan'i oarecare. Cu ajutorul aceleiai formule, nlocuind pe m cu m-1., gsim pentru ultima integral (dac m>2)N" 11i"x (x' + px + q)m-'

+

+ 13 J

(

da: (x' + p.v + q)Tn-2 '

i aa mai departe, pn ce reducem la unitate exponent ul trinomulu i x' px q de sub integrala din membrul al doilea. Toi termenii

dac se cu~oate Ain vzut c polinoam ele Q1 i Q 2 se gsesc cu uurin te i fr a determina ns, fi, descompu nerea (3) a polinomu lui Q. Ele pot .toi conine Q' derivata ntruct adevr, n nere. descompu se face aceast factorii simpli n care Se descompu ne Q, i anume cu exponeni mai mici cu mare divizor comun al lui Q i Q', aa c poate o unitate, Q 1 este cel mai polino:im e, prin metoda mpririi succeacestor ajutorul fi determina t cu determin prin mprirea lui Q la Q 1. se sive. Dac Q1 este cunoscut, Q 2 formula din P i P ilor numrtor 2 1 S, ne ocupm acl).m de de:termina rea (10). n acest scop ne vom folosi tot de metoda coeficienilor nedeterminai. 2 , a~ Voni nota cu n,n1 ,n 2 , respectiv, gradele polinoam elor Q, Qv Q fr putea vor nu P Pv P, elor 2 n 2 = n; atunci, gradele polinomn inct n 1

+

+

+

1) Vezi nota de la p. 41.

44

FUNCIA

PRIMITIVA (INTEGRA!LA_ NEDEFINITA)

INTEGRAREA EXPRESIILOR

RAIONALE

45

mai mari de n_---:-1, p-1 :r+:-:,1, n 2 ----: 1. Substitujpl n locul.l~i f!1 . i P 2 .polinoamele de gradul n1 -1 i n 2 -1 cu poefici_eni)iterali; .surnq_.;cestor coeficieni va fi n 1 n 2 , a_dic n. Efcctum n relaia (10) di~yren~erea

+.

EgalnU cocficicnii puterilor identice ale lui x din ambii m_embri, vom obine un sistc!ll tlc ecuaii din care se determin necunoscutele a, b, ... , f;v5

d = O (ulterior nu vom mai lua n calcul pe d),

P;Q,- P,Q;+ P, = !:._. Q],. : . Q, . Q

x'

a+ e -2b

=

4,

.. .--

+e+f =

Vom arta acum c prima fra_9ie se poate aduce totdeaU'lla la 'nuJnitorul Q pstrnd :numrtorul nt:_eg. In adevr,P;Q, - P;Q; ~

a - b - 3c

2a- 2c b- cAadar,

+e +f + f = 8.

.+ e + f

',

= 16,

a= -1, b = 1, c =

-!1-,

= 12, d = O, e = 3, f = 3.

_ !:_~_Q2 -'-. Pti-1 Q

integrala

cutat

este

Qldacse

~~ poate .prezenta sub form de polinom Intreg. In adevr, dac (x-a)", pentru li:;;,.1, face parte din Q1 , atunci (x- a)k-l va face parte din Q~, iar x-a_ .Ja face parte din Q2 ; aceeai concluzie se poate trage i despre un factor de forma {x 2 px q)m pentru m 1. Prin urmare, numrtorul H se va, ntpi'i.ri exact Ia nuri1itor i de aici nainte se poate nelege prin H un polinom ntreg (de gradul n -1). 2 , Eliminnd nu1ilitorul coinun Q, ajuhgem )a identitatea a doU. _polinoame (de gradul n -1) P~Q 2 - P,H P 2Q1 = P.cu

noteaz

Ii ctul QQ~Q 21

Dar.

a~est

ct

( 4x' + 4x' + 16x' + 12x + 8 dx = _ ----:-"'::.'-::-="'-+.c,_':c'--:- + ) (x + 11' (x' + 11' x' + x2 + x + 1

+ 3

x 2 -x+4 -d.x -=+ 3 arctgx + C. ) x2+1 . xs+x2+x+1

>

+

+

s se fac din nou descompunerea n fracii simple. De altfel, acest proces se poate combma

n acest exemplu, calculul ultime.i integrale a fost uor de fcut. n alte cazuri este nece~ar

cu cel precedent.

277. Exemple. Vom da alte cteva exemple de integrare a funciilor raionale.

+

11simple

De aici, ca i- mai nainte, pentru determinarea celor n coeficieni literali introdui, von1 obine, un sistem de n ecuaii liniare. ntruct s-a stabilit posibilitatea descompurierii relaiei (10), ~ricb.re ar fi P, sistemul menionat trebuie s fie compatibil pentru orici termeni liberi. De aici decurge de la sine c determinantul su este diferit de zero i, deci, sistemul trebuie s fie deterininat, iar descompunerea relaiei (10):1 n cazul numitorilor Q 2 indicai -este posibil numa ntr~un singur mod ). 1 i QExemplu. Sft presupunem inLcgraleic

)

x 2 (1

~ x'l'1 (1

Descompunerea n fracii simple se face n -acest caz prin urmfttoarclc transforml'i

+ '1- 'x2 (1 + x' )21

1

x2 (1 + x'l'(1

x'(1

+ x'l

(1

+ x'l'1(1

+ x'l- x 2 x'(1 + x'l1X

(1 + x'l'3

+ x'l'

se cere sft se

scoat

n

eviden

partea

raional

a

Rspuns:----.-----

1

c:":...'_+c_:.4:::.x_"_..ce.,.c1:.:6:.:x:...'_..c.:_, __:c1:o2:ox_+.c,_8:_ d.'t:. -4 ) (x + 11' (x' + 11 2Avem

x

2

1

+ x2

2

arctg x

+ C.

21Avc1n

'"x2 l.~;x-11 --'--'-c:'--,--."--:,--- ----:c- d X. ) (2x- 11 (2x + 31 (2x- 51

+

Q1 = Q, = (x + 11 (x 2 + 11 = x" + x2 + x + 1,l.tx"

+ 4x + 16x2 + 12.1: -f (x 3 x + x +. 1) 232

8 ~

l x +x+ +x+1 +a;-r 2b.'t:

c

]

+

3

2

dx2 ea: 1_ x 3 +.1: 2 +.1:+1

+

+

4x

2

+ 4-x -11A1 x-2

-x~+-x--

1

o

1

1I

2

2

8

de unde

(2x- 11 (2x + 31 (2x- 51 4x 4 + 4.O. Atunci se pune

Vax 2

+ bx + c =

t

-\'ax.l)

de unde

Ridicnd aceast egalitate la ptrat, vom gsi (prin anularea termenilor ax 2 n ambii membri) bx c = t2 - 2 tx, aa c

+c

vaX

Il-oCu ajutorul acestei formule avem posibilitatea succesiv, s reducem calculul lui H .....y. fie las micorm

X

valoarea lui [J. cu 2

j,.

2 Vat

,,_ -

+b

,

V ax + b. + _ va ,, + bt + c v;;2C-

2 Va

_

t+ b

,

.

dx = 2Toat

Vli ,, +12 va

btt

dx _ II 1 = -In \ x 1 - x2 , .

V

11 - Vf=X' 1+C x=-

+ c Va + b)'

dt.

dac

fL este impar, fie IaH-2=

.x2 V1-x 2

~

dx

:....V1_-_x' +C x

ingeniozitatea substitUiei lui Eule~ const n faptul c pentru determinarea lui x se obine o ecuaie de gradul nti, aa c x, i n acelai timp radicalul Vax 2 bx c, se exprim raional prin t.

+ +

dac [J.

2)J

este par. Dac integra lei 1) =

Dac se substituie expresiile de mai n~ainte n (4), problema se reduce la integrarea unei funcii raionale de t. In rezultat, revenind la x,. va 2 trebui s se pun t = bx

Vax +Vax 2

+ c + Vax.>xt

n+l

) (x 2

+ a 2 )n+I = 2 '"'

dx

1 ~

(a2

+ z)

-(n+l).

z

"'"2

1

'dz = J-(n+1),-

Substitttia Il este aplicabil dac cl

O. n acest caz se poate pune

2

(n=1,2,B, ... )

+ bx + c =

+ \'c.+ Vax

2

)

1)

n mod similar se poate studia ~i integrala

1) S-ar pu lea _pune

i

Vax' + bx + c2Jsau Vax 2

= ,

+ bx + O, ,ns, este

a pentru

valorile variabilei x. Cazul a< O nu

ax +bx+c= a (x-"A) (x-11-).S

punen1

Vax 2

+ bx + c =

t(x-"A).Dac

y

=

Vax 2

+ bx + cy~ =

sau y 2

=

ax 2

+ bx + c.aa

Ridicnd la ptrat i simplificn d cu .~ -A, obtinem si aici o ecuatie de ' ' ' gradul nti a (x -11-) = t 2 (x- "A), aa cX

se ia pe

aceast curb

un punct arbitrar (x 0 , y 0 )

nct(5)

ax5

+ b.'C + o,0

=

-a~:2

+ :Al'

,,

V .b x + o= a(:A ax2 + .:(t2a) 2-

~) t ,

t -a

t2 - a

dx = 2a(~ - l-)t dtetc.

:Secnnta y - y 0 = t (x - x 0 ) care trece prin el va mai intersecta curba nc :intr-un singur punct (x,y). Coordonate le acestuia se vor gsi printr-un calcul :Simplu. Eliminnd pe y ntre ecuaiile curbei i a secantei, vom obine

[y 0.de unde,innd

+ t(x- x+t 2 (x-

0 )]

2

= ax2

+ bx + c,-

seama de

relaia

(5), avem

. qbserraia II. fn_ ipotezele_a doptate, radicalul Va(x- "A) (x -11-) (conSiderind, pentru precizare, s zicem, x >A) se poate pune sub forma

2y 0 t(x - x 0 )sau,dup

x 0 ) 2 = a(x2x0 ,0)

x!)

+ b(x-

x0 )

(x -"A) lfa:_~,aa c,

simplificare a cu x -

2y0 tAadar, abscisa

+ t (x- x2

= a(x

+ x + b.0)

n cazul considerat

x i n acelai timp i Ordonata y a celui de-al doilea punct de intersecie se exprim prin funcii raionale de coeficientul unghiular, variabil t. Totodat este evident c, fcnd s varieze t n mod convenabil, punctul (.~, y) descrie ntreaga curb.

58Acum este clar

FUNCIA PRIMITIV

(INTEGRArLA NEDEFINITA)

INTEGRAREA UNOR EXPRESII CARE

CONIN

RADICALI

c relaia

V ax 2definete substituia

+ bx + c +

.Yo = t( x -

x0 )

Dac, ins cx O. Integrala se transform n a doua dintre integrale le fundamentale(pentru

care raionalizeaz expresia de sub integral n cazul (4) ~ S presupunem c trinomul ax 2 bx c are rdcinile reale 1... i 1-L;. aceasta nseamn c curba intersecteaz axa Ox n punctele (A, O) i {!J-, O);, lund, de exemplu, pe primul dintre ele drept punct (x0 , y 0 ), ajungem la substituia III a lui Euler v-ax'''+c-;b~x-+~c = t( X - A)'

! ~] =

a

2

),

i(

+

.1 Vax' + ~i

dx

~

1

VI 1

arcsin(V!l.)+C~i

(aO, curba intersecteaz axa Oy n punctele (0, VC); lund peunul dintre ele drept punct (x0 , y 0 ), obinem substituia II a lui Euler

2)

SVax + [32

dx se calculeaz prin integrare prin pr1i

V ax'+

bx

+ c ve-= tx.

SVax' + ~ dx = x V""' + ~ - S. O (n acest caz, curba va fi o hiperbol), vom COllSdera asmptoteJe 'curbei y = X , voffi intersecta curba CU drC'ptele y = t + x paralele cu asimptotele (ele vor trece prin punctul de /a; infinit). Fiecare dintre aceste drepte intersecteaz curba ntr-un al doil~a "punct {x, y), ale crui coordonate vor fi funcii raionale ele t. De aier

)Vax'+~

(

ax'

dx~xVax'+~ -

J J

[ (ax'+~l-~d."=Vax'+~

'

Va

+ va

x V ax2 + ~- (V ax'+~ dx+ ~ [V dx 2

J

ax +~

,

nti

i mprind

n membrul al doilea am obinut din nou integrala intreaga egalitate la 2, gsim

cutatr(,

trecnd-o n membruf

rezult substitu.ia

V ax' + bx + c =( dx

t

Va x,

1 Vax'+~+~ ~ V c~ . . ) Vox'+~clx~-x 2 2 ax'+~

(8)

283. Exemple. Considerm iar dou integrale fundamentale [269, 9) ~i 12); 268Ji

J V x' a'~J v=ai'-,~x~'1)

ln

1x

+ Vx' a' 1 + C,+ C,

Pentru a se obine rezultatul final, rmne numai ca n locul ultimei integrale sti-_ se nlocuiasc expresia din (6) Sau (7), dup cum a> O sau a O i a O, integrala se va transforma cu(pentru :=

t> O)

dx

a2)

usurin n prima dintre integralclC'

,

(a)

)xVax'+~

r

dx

J V .. +~~'.dup

r

dt

ve; )Vx'+~suplimentarobinem

1

(

=V~

lnl x+ v-x,-+"~ 1 + c.

Calculul mai departe se face cu ajutorul formulelor (6) sau (7) lui ~: Apoi(b) (

cum este semnul.

Se mai poate nmuli argumentul logaritmului cu a, ceea ce face s apar termenul 1 a In cx i, prin urmare, arc influen, numai asupra lui C. n cele din urmU

.\x V ax'+~2

dx

= -_!_V"-+ ~t' + c = .l V .. + ~t' ~( t dt

_,_V_:a:::_x'_+-'--"~~X

+ (J

V

~i

n mod analog

(6)

GO/1)

fUNCIA

PRIMITIVA (INTEGR/I!LA

NEDEFINIT)

INTEGRAR EA UNOR EXPRESII CARE

CONIN

RADICALI

61i vom aplica

Prin transformri identice ale expresiei de sub integral, se ajunge, de exemplu, . In urm;\tonrc le integrale deja calculate

ne este

cunoscut

substituiile

din consideraiile elementa re, lui Eulcr.

totui

2 -

ca

exerciiu

(b)A vcm

\V ax'+ ~ dx, .'C

(c) c. _ _:":..-''-- da.

(a) Dac ne servim mai nti de substituia III,

Va

x

2

= t(a-x), atunci

\ (ax' + ~)3,2

,, - 1 x=a- --[2

fta.l dt

2at'

+1

dx =

(t'

+ 1)'

,, + l2 arctg

(a)sau,fcnd

x dx )

2

i

Vax'+

~

\

dx

=x2

uz de formula (8),

2

l_d_t

'+~ .!..xVax ' 2a~\poi

' V a2[v. 1)].

-

.\2 + 11/a+x

2 arclg l

+ C=

Va+x +

C. --a-x .

ntruct exist identitate a2 actg

lbl (.

.\

dx Vax'x+ ~ d.x = (. ~";::"'::;;+~~i;dx = "(" xdx + ~ ( .\xVx' +(i .\Vax'+~ .\xVx.x'+~calculeaz

;acest rezultatdifer

- - - = arcSttl a a-xform

.

- +2

X

rt"

(-a< x radu! lntli, lnd coeficienii lor, ajungem la un sistem de n Q(a;) i cont;mta 1.1 ). ului din care se determin cei n coeficiel)i ai polinom Observaie. Formula (9) scoate ln eviden partea algebric din integrala

+

dint~e care pr_ima se rezolv prin substitJlia t = ax . lul mtegrale 1

+ ba; + c.

Pentru calcu-

Aceast scoatere general

) yY

P(x)

dX.

n

eviden

ar putea fi[ R(x) d

fcut I

ntr-o

integral

de forma

eea mai simpl este aa-numita substituie a lui AbeJI)'

~

dx

(a.'

+ bx + c)-,-.

2m+l

-

~

dx

y-.b .

2m+1

) VY

x,

t=(Vl') '..c.

y~=2 VY

n care R este simbolu l unei funcii raionale arbitrare . II. Integral a

ax+2 . V ax' + bx + c

~ (x-:~"VYtipul examina t imediat mai nainte. x - a =..!..la se reduce prin substitu tie t n adevr, avem2 dx = - - , ax

,,

dt

+ b)t +a ' _(a~'+ + bx + c....,.... . c)t' + J2aa . .. b~. + t'.![ th-ldt c)t 2

aa c (conside rind, pentru' precizar e, x >"' i t >O)[ dx ) (.- a)k V ax'+ bx

Ridicind la ptrat i lnmulind cu 4Y, obinem egalitate a b, 4abx 4t 2 Y = (Y') 2 = 4a 2x 2 pe care o vom scdea din egalitate a c ba; Y = ax nmulit cu 4a. Ca rezultat iie obine 4(a - t 2 )Y = 4ac b" , de unde 1 ym _ ( .'fac - 1J2

+

+

+

+

)m

:' , t..,

(a -

t2)m

(10)

+

c

= - ) Viaa' +ba+

+ (2aa + b)t +a

Difereniind acum egalitate a

c = O, adic dac a este o rdcin a trinomu lui Y, lu~ boc Dac aoc 2 t la 278~ crrile se simplific i mai mult: obinem o integral de tipul examina cazul special mod ln m examin s , integral III. (a) .Trecind la ultima 2 prin: numai q px x l trinomu de difer c bx ax l ln care trinomu ' factorul. a. Atunci integrala cutat are forma

+

+

tgsim

+_1>_ VY =ax ' 2 ' '2

+

+

+

+

VY dt + t dx =.aa c

adx,

~Ea se poate reprezen ta cu

Mx+N'2m+1

dx

dt

dx.

V"YDin relaiile (11) i (10)sum

=a- t'

(11)

(ax'

+ bx + c)-2subform

uurin

de

a

dou

integrale~1,

---:d;-x-:-;-

'M~2a

2a'J'+b

2m+1

dx

~ + (N _ Mb} 2a(ax'

y-,2m+ 1

2m+1

= (

4ac _ b2

4 . )m (a -

t)m-1 dt

dx

ln

sflrit

(ax'1)

+ bx +

2c)-

+ bx + c)-2-

valori Din cele demonstr ate rezult c acest sistem va fi compatib il pentru orice O, iar de ale termenilo r liberi, dar n acest caz determin antul su trebuie s fie diferit timp i 1,1nicisistemul este totdeaulla dctcrrriin at. Prin aceasta se. stabilete n acelai

Aadar, toat problem a se reduce Ia calcular ea integrale i unui polinom .1)

~

---:cd_x =

y

2m+1 2

4 -}m~ (a(4ac- b2

t 2 )"'-ldt.

(12)

,tatea

relaiei

(9) (v. pp. 45

i

50).

N. H. Abel.

INTEGRAREA UNOR EXPRESII CARE

CONIN

RADICALI

60

68~

FUNCIA PRIMITIV (U4TEGRA!LA NEDEFINITA)

n particular, de exemplu, pentru m .:.._ t, avemdx (ax'.+ bx

2

2ax2

+ fi)

.

S2

-

4ac -b2

Vax .+ :bx + C

+b

entrti mai mult simetiie a notaiilor, punem (b) n cazul general, p7 dar acum putem din .pa~~ntez n11: es~e iden~ic cu t~i q. Ne. propunem s transformm v~rmbda x In. aa fel px nomul x nct termenii de g~adul nti s~ dispar. simultan d1n ambel~ tnnoame.

+

+

P~es~pune c trin~mulp =j= p'.

ax + bx

+.c =a (x2

+ p'x + q'),

Aici. semnul inegalitii eSte de doU ori combinat Cu .~emnul ~galitii., dar egahtatea nu poate avea loc n ambele cazuri n acelai: timp: dac q=j=q', eviden:t,;nu exist.egalitate .n primul caz, iar dac q = q' desigur nu exist n al doilea caz. Aadar, am demonstrat inegalitate~ (14') si n ' . " acelai timp i inegalitatea (14). Dup ce am efectuat substituia, transformm inte."grala CUtat, punnd-o . sub forma~

(t'

+ l.)"l Vat 2 + ~ '

P[t)dt

Fie mai nti

Atunc1 putem aJunge la rezultat cu aJutorul sub.~t+ V

In care P(t) este un polinom de gradul 2m-1 (i P.>O). Recurgnd din nou (pentru m >1) la descompunerea fraciei regulate(1 2

stituici omog~afice

X = t

+-1 '2q]t2

(13)

P[t) A)m

+t

alegnd n mod convenabil coeficienii !-' i v. Avemx2

n

fracii

simple, ajungem Ia o

sum

de integrale de forma (k = 1, 2, ... , m). .

+ px + q =condiiile

.

(~'

+ p~ + q)t' + [2~v + p(~ + v) + (t + 1)'

+ (v + pv + q).

i

0

expresie analog pentru al doilea trinom. Coef~c~enii cutai s_e determin

din sau

n cazul excepional,.. cnd p

l

At+B (t'+l.)h Va~+~

d

21-'v + p(!-' + v) + 2q =O, 2!-'v + p'(!-' + v) + 2q' =O !-'+V=- 2-.-'., !'V=p- p'. q - .n'.q'--~pCCq,_' rP_:'

se f:lce i mai simplu, i anume, prin substituia x

= p', anul~rea termenilor de gradul nti = t - ; i ajungem

direct la o integral de forma indicat imediat'mai nainte. Integrala obinut se descompune, n mod natural, n dou~( a (t'ai M

p- p'

Aadar, !-' i v snt rdcinile ecuaiei de gradul al doilea

J

+ l.)m Va (4q......:. p 2 ) (4q' -

n adevr, In baza relaiei (11}, avemdtdua -u.!!;.

q are rdcini ima~in~re} Se d 4q- p'>O (cci trinomul x2 . px si de aceea egalitatea (t4'). est.e evident satisfcut, dac In ace la~ t1mp 4q' -p''O i 4 yqq' > pp' i avem succesiv')[2(q+q') -pp'J' > [4Vqq'- pp']' = . (4q- p'l (4q': p''l +4(p Vq' -p' fq)' :;p(4q-p2 ) (4q'-p' 2 ). 'J 1ntruclt~ q' -9' q 2

+

+

Vao.

(6)

Am demonstrat deja aceast inegalitate n ipoteza c unul dintre trinoamele con~iderate are rdcini imaginare. i aceasta a a;vut un rol esenial n raionamentele de pn aici. S. presupu11em acum c. ambele trinoame. (5) au rdcini reale, i anume, s zicem, primul are rd~inile .rt i ~' iar al doilea, rdcinile y i 8. Substituind

Primul nu-i modific~ valo.area ~dac Se -nlocuiete t: Cu _:_t i, p~in hr~a~e,: se la o funcie. de t: R 1 (t) al doilea , 1 'ns- se f ace " 1reduce d' ~ " . ratwnala 'h. ' a, d aca_ In ocutrea In 1cata, II se }mb semnul _i d~ aceea are, fo~ma: R 2 (t2)_ti). Integrala

considerat se repre~int sub forma(

de

sum

de

i~tegrale

.

J VA(1 + mt')

R,(t') dt .. (1 m't2 )

+

+()

R,(t') t dtVA(1

+ mt')

(1

+ m't') substituia

p =-(a

+ ~),

q =a~,

p' -(y

+ 8), q' =

y8,(6')

Cea. de-a doua I'ntegrala- , 'I ns~, - se re d uce_ Ime d 1at, prtn a Integrala elementar 11 (2 ) )'A(1I

u :...._ t2,

se poate transcrie relaia (6) sub forma

R 2 (u) (lu

(a -y) (a :-8) (~ -y) (~ -8) >0,

+ mu)'

['1

+ m'u)rmne

iar pentru a se realiza aceast inegalitate, este suficient s se caute ca r.dci 1 nile trinoamelor s nu se amestece (de exemplu, s avem a>~>y>8) ).

se calculeaz sub numai integrala

form finit.. Asadar

a fi

studiat

mai departe

'

Aadar, alegnd In mod potrivit pe cate, vom obine

[1.

i v, cu ajutorul substituiei indi=tJ.-V (t 1) 2

() VA(1

' R 1 (t') h' >O);_ Pentru _ca radicalul sau t >---; Punern- . s aib valori reale ' este necesa'r ca C.< h ' It ~(:

1) A = +1, m = -h, m.' . ~h'

2

5) A = -1, m = - h2 , m' = - h' 2 (h p 1 . 1 . ' . numai rntre - st - . unem variah ' h'2

>

h'

>

0). Variabila t poate

z' 1 tt =Atunci

.. 1 unde O < z ~ h'Avem

h

h't =

2 '~unde_ 111-H~ ~/'-' Z

O< z

s?hmba semnul: g(.x).:;;,;. O.' . . (g(x) _";: 0)'. Atunci J.

-0 i este suficient s se ~plice acestei funcii formula (3) pentru ca, dup cteva transformri uoare, s se obin relaia (4). Teorema demonstrat aici poart numele de a doua teorem a mediei [304, 10]. Urmtoarea observaie simpl permite s i se dea o form ceva mai general. Dac se modific valorile funciei f(x) n punctele a i b, lund in locul lor nite numere oarecare A i B, cu condiia ca

l

.

- ' . ' .... , n-,-1-

'

_.,

,!J.'.

A ?>- f(a A

:::

o''' . I':f(x;) [G(x;+l) :-'' G(7';)], i=O

+ O) < f(a + O)

ii

B .:( f(b - O) (dac f descrete), B ?>- f(b -O)(dac

f

crete),

sau, n sfrit, deschiznd pur.art_e~a'J~i-grupJndi!Inenii n alt modn-1

nu numai c valoarea. i?tegralei 1 nu se modific, dar se i menine caracte~ rul monoton al func101 f(x), aa c, dup modelul (4), se poate afirma c

a.

=

L, G(x,)

i=1

[f( X;c1)

-

., :;

f( x,) J + G(b) f( "nl) .. : t' ,,

(5)

CALCULUL

I

TRANSFORMAREA INTEGRALE'l.OR DEFINITE

i14

INTEGRALA DEFINITA

115

Presupunem acum

c

tJ.

"4= !)

1; atunci-! r~r = (W+1- a~+IJ a

ln

particular

): f(x) g(x) dx = f(a

+O)): g(x) dx + f(b - O)): g(x) dx.

(5 '))a

On

= a~H

(q -

q[J.+l - 1

q - 1 qtJ.+l - 1

Aici, ca i mai nainte, nseamn un numr oarecare din intervalul [a, b], dar, n general, el depinde de alegerea numerelor A i B.

c J, 77] , folosind limita deja cunoscutit [exemplul (5) , 1

obinem

(b x[J. dx = Iim crn = {btJ.+l n-ta:l ,

a.!l+l) Iim q q-tl qtJ.+l _ 1

1

3. Calculul i transformarea integralelor definite307. Calculul cu ajutorul sumelor integrale. Vom da o serie de exemple de calcul ale unor integrale definite, direct ca limit a sumelor integrale, n concordanrl cu definiia ei. Cunoscnd de la nceput c integrala unei funcii continue exist, putem alege pentru cacululei, mprirea intervalului i punctele n aa fel ca. s ne fie mai uor.!)

n cazul [J. = -

1, ns, vom aveaan = n(qn - 1) = n

(V! -1)lnb-lna..

:i

pe baza altui rezultat cunoscut [loc. ci. {b)],.

dx = )b--:aX

Iim crn .= Iim nn-tco n-)-a:l

[nf1 ~ _ 1 )=a

(b

)a xk dx[a I b

.

snt numere rei le at>bitrare, iar Tt este numr natural). dx(a

}lai nti

calculm integrala~: xk

4= O). mprim intervalul

[0, a] n n

pri

3)

(b )a sin

X

dx. Dup ce am impriL intervalul [a, b] n n pri egale, punemw

.

egale i calculm n fiecare interval par.ial func.ia xk pentru captul din dreapta al intervalului, dac a> O, sau pentru cel din stnga, dac a< O. Atunci suma integral este nk 2k ~ ( i )' a _ '+ 1 1k an= L...J -a --a'~

b - a ., ca 1cu lam _--nl t-t.inlc, dac

funcia

sm x pentru capetele din dreapta ale intcrYalelor par-

a)

= ~ ['

Jo

in (1 - 2r' cos t

+ r')

dt

= i.

2)0

['. c + i. 2)1r

Creteriircntiindinnd

lui u de la O la~, evident, i corespun de

descrcterea

dintre inte~ Prin ~ubstituia t = 21t' - u (~n care u variaz de la n la O) ultima obine se c aa prima, la reduce se obmute gralelc

lui v de la.!!.._ la O. Dife-

4

2

21(r) = 1(r'),

~7t O, avnd n vedere continuitatea

un 3>0 n

fel nct, pentru '

316. Alt mod de a deduce formula schimhl,ii de variabil. Vom da acum alt mod de a deduce formula (9) n ipoteze schimbate. n primul rnd (i acest lucru este cel mai impor.tant) nu vom presupu?~ funcia f(x) continu, ci numai integrabil. ~ sch1mb, vom_ pune funcie! cp(t) condiia suplimentar ca, atunci cnd t vanaz.~e la et. la [3, ea s treaca de la valoarea a = '!'(o:) la valoarea b = '!'(~) varnnd I_llonoton. ._ Pentru precizare, vom presupune c a(x) n intervalul metric" a lor.

Expresia din membrul al doilea se numete "media aritmetic" a valorilor [a, b], iar expresia din membrul nti se numete "media geo- 2)S

scriem ac_um "analogclc integrale alei

inegalitilor

Mi11koescki [133, (5)

(7)]:L;ai bi

(.-ri) 6.xi ,iar n (14)

k

1

1

bi = tV(xi) ~Xi ,

1?1 k

se cere s se calculeze integrala

(' definit J/{x) dx,

i

trapezelor.

S

presupunem oare-

n care f(x) este o

funcie. dat

.

.Vom avea

.

bi = o/(xi) tlx; .

i

care, continu n intervalul [a, b]. n 3 am, avut numeroase exemple de calcul al-unor asemenea integrale, fie cu ajutorul funciei pri_mitive, dac ea se exprim sub form finit, fie - eVitnd- funcia primitiv - prin diferite proc-edee, n mare parte artificiale. Trebuie s relevm, ns, c toate acestea 'epuizeaz numai o clas destul de restrns de integrale i dincolo de limitele acestei clase se recurge de o_bicei la diferite metode de calcul aproximativ. n paragraful de fa vom prezenta cele mai simple dintre aceste metode n care formulele aproximative ale integralelor se ntocmesc pe baza unui numr oarecare de valori ale funciei de sub integral, calculate pentru o serie de valori {de obicei echidistante) ale variabilei independente.1R Calcul diferentia! si intee:ral. "fol. Il

146

INTEGRALA DEFINITA

CALCULUL APROXIMATIV AL- INTEGRALELOR

147

Primele formule care se ncadreaz aici se obin n modul cel mai simplU pe considerente geometrice. Interpretind integrala

deli~it ): f(x)

Ca exemplu, vom lua, integrala cunOscut

dx ca arie a unei figuri oare-

care mrginit de curba y .= f{x) [294], ne propunCm s determinm aceast arie. n primul rnd, fcnd uz de raionamentul care ne-a condus geometric la noiunea de integral definit, putem mpri toat figura (fig. G) n fii, s zicem, cu aceeai lime Ll.xi = b - a_) i ap~i, putbm nlocui fic~are fie cu un dreptunghi lund ca . ~ . . n lui~ tn modul acesta .ajyngem la formula 1nlime a acestuia~ ordonat ,oarec~rc

4 "=

0,785398 ...

i-i vom ap!ica ambel~ formule aproximative, lund n = 10 si calculnd cu patru zecimaleCu ajutorul formulei_ dreptunghiurilOr obinemx1/2 XS/2 .x6/2

'

"

a

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55

/(~n->J], /(~,) (' f{x) dx"' b -.a [/(~ 0 ) n ]a n care xi ~ ~ ~ Xi+t (i =O, 1, ... , n - 1). Aici aria .cutat a figurii curbilinii s-a inlocuit cu aria unei figuri n trepte oarecare, constind din dreptunghiuri (sau, integrala definit s-a iD.locuit cu o sum integral). Aceast formul aproximativ se numete chiar formula J' dreptunf!1urilor.

+

+ +

Y112 Ys12 Ys12Y7f2119/2

0,9975 0,9780 0,9412 0,8909 0,8316 7,8562 10 O, 78562

x'1/2x9/2 x11/2 =

o!x~ o1 1

~r: ' ' , ''' '' '' ''''1

, ' ' '' '' 1' ''1 1

f'!(x)dx =

b

~a [t(a) +

4/

(a~

b)

+

f(b)]

+

P = ..!_/"(~*) 2 .

(b (x -a) (x - b)dx )a3

= -

_

(b

-a)'/"(~*)12

(a. abscisa x, avem8

'x

t < O, n membrul al doilea al formulei precedente trebuie numai s se semnul minus. 6) Spirala lui A1himcde: r = a6. Conform formulei {5b), socotind arcul de la polul O pn la un punct oarecare M {corespunztor unghiului O), obinemDacpun

OM= a(' Vt + 8' dO),

=

!':._[o Yt2

+ 0' +a

In (e

+ Yt + O')].

Este interesant c, substituind aci 6 -caform

=...!:...,

ajungem la o expresie asemntoare

=

OM =

~ (:cp ),

Vx2 + p 2 dx =ln (x

cu expresia lungimii arcului de parabol [v. (2)]. 7) Spirala logaritmic: r = acmO (fig. 10). ntruct r = mr,

rezult c ri

''/X

~ ~ ~" Vx' P1X

r L2

+ p' + L'

+

-cu Coordonatele (r0 , 00 )

pentru arcul M 0 M dintre dou puncte m (r, O) vom avea, conform aceleiai formule (5b) =

.!._ r(; i c

+ Vx' +~3

p')JI:=ln x

2

1 (r- r 0 ). (" r dO == V1 +-, +_!" m~ )o0 0 mDac

p

se arc n. vedere tg oo =

c

pcnLru

l!'ig. 9

x' .!'_. V 2p

+ p' + p2

+

spirala tutui

logaritmic-

3) Astroida: x =a co~ 3 t, Y .= ~ s~n 1 Folosindu-ne de valor1le lm xt l Yt calculate [224, .11, avem

!

obinut

m se poate scrie astfel

~. re~ul

r = M 0M = - - - .

,. ....:-rocos00

Vx? +~

v?

=

a(t sin t cos t

(da cu.

o !lul ui [t0 , .T] i siste mulu i S aplicm acum Ierna lui Bore ll [88] inter val se acoper cu un numr gul :E = {cr) de vecinti care- I acoper. ntre va desco mpun e ntr-u n numr se curba nct aa , finit de astfe l de vecinti print r-o ecuaie explicit (5) finit de pri, fieca re dintr e ele expri mnd use im la cele demo nstra te mai refer (de un tip sau altul ). Rmne numa i s ne de una sau mai multe curbe nit mrgi este (P) nain te. Aadar, ac o figur netede, ea are arie. n cazul n care curba are un numr ACeast concl uzie; rmne valabil i n acest e punc te cu ajuto rul vecievide n nd finit de punc te singu Iare; sco avea de-a face cu curbe neted e. nlllilor cu arie oriC t de mic, vom ocup a acum de calcu lul 338. Expr imare a ariei pdntr -o integral. Ne vom r. arii1or figur ilor plane cu ajuto rul integ ralclo n prim ul rnd vom exam ina, pentru. prima oar ntr-o expun ere riguroas, proJ blem a pe care a1n mai ntln it-o a deter miABC D nrii ariei trape zului curbi liniu (lig. 18). Aceast figur este mrginit l~ parte a de sus de curba DC avnd ecuaia

art' n acest scOp vom desco inpun e inter valul [a, b] ca de obice i, n p 11, . te punc de serie o b i a lntro ducn d ntre

m a funciei cea maxr ~ sr ma -a rcsp-e ctiv , v a 1oare M. mini Not.nd z, ~ . cu m.t si . 1'1) O, 1 , . . . , n - , a catu1 m Slnne le (Darb oux) f( x ) m mter valul [xc x+ ] (i t' ! 1. .

a = Xo

11

+a~>

+ ai >+al'> + ... + al'>+2

Teoremele [364,3 i 4] asupra nmulirii termenilor unei sern convergente cu un numr constant i asupra adunrii sau scderii termen cu termen u dou serii convergente se pot transpune cu uurin la seriile duble. Tot aa, pentru ca scria dubl s fie convergent, este necesar s tind la zero termenul general

+

Iim alk) =Oi-toc h4-oc

+ af'> + af'> + af:'> + 00. + a\''> + 00. + .................... = 2:::: alk).00

[364,5]. Acest lucru se poate vedea imediat din formula (10)a~

i,lt=l

_ (hl -

_ A\"> t--1 , - A\">

A(h-1) ~

+ A(h-1J,_1

.

Mrginindu-ne suma finit

la primele mcoloane(n) Am _

i

la primele n rnduri, sr1. considerr\m(h)

Este natural sft se compare seria dubl (10) cu seriile iterate (3) 1 (4) studiate mai nainte. ntruct

i=m, k=n "''

L...J

ai

,

i, k=1.

suma parial a seriei duble.date. S mrim numerele m. i n simultan,. dar independent unul de altul, fcndule s tind la infinit. Limita (finit. sau infinit). .A= Iim A~>numitm-too n-too

trecnd mc1 la limit, pentru un n fix, cnd m pc rnduri snt convergente), vci1n obine

-7

oo, (n ipoteza c seriile

Iim A~>=m-toc

2:::: AO. O, s fie coneerTe ore Il! a 5. Pentru ca seria (10), dac a!> mrginite. fie s pariale sale sumele gentli, este necesar i suficient ca

>

1 Aici m i n au rolul de variabi.lc independente, i~r suma parial A~) arc ro) lul de functie de aceste variabile.

310

SERII CU TERMENI

CONSTANI

SERII ITERATE

I

DUBLE

311

c ea este suficient. Fie A~l ~ L. S Iun1 marginea superioar a Inultirnii (n) . d e SUlllC A m

Demonstraie. Necesitatea acestei afirmaii este clar. S demonstr1n

i

pe baza acestei 1natrice,

s formm~

seria

dubl

i,h=1

'B

1a~" 1 1.

(10*)

si s artm c ea va fi suma seriei considerate. ' S lum un e; >O arbitrar. Conform definiiei 1nargmn superwarc, se poate gsi o sum parial A~;> n aa fel nct

n mod asemntor cu 377 asupra seriilor simple, vom avea I aiCI Teorema 6. Dac seria (10*) formaM din Palorile absolute ale termenilol' seriei (10), date, este convergent, seria dat este i ea convergent. Demonstraie. S scriem a~h) sub forma

A(n,) >A-s. m,Dac se 1a m

afc> =n careaflJ j

p~h)

_

q~lt),

>

m0 i n

>

n 0 , cu att 1nai mult

+2

a}h)

J

a.}h)

J _

a~h)

>A-< A (n) m 'deoarece, evident, A~;> crete, cnd ambii indici n i m. cresc. ntruct nici o sum parial nu depete pe A, se poate sene cIA~i-AI

2

ntruct p~"l ~n->~

a~n>

seria (10) este convergent. Pe baza acestei teoreme se poate stabili leorema comparrii sciiilor duble pozitive asemntoare c~ teore:na 1 de ~Ia ~66; . " S considerm acum ci serie dubla formata dintr-o Inatnce In care nu toate elementele, snt pozitive. Evident, ca i la s._riile simple_, 1~utem s _nu lum n consideratie cazurile n care toate elementele matriCei smt negative sau cnd exist n~:ffiai un numr finit de elemente pozitive sau negative~ deoarece toate aceste cazuri se redUc direct la cazul studiat imediat _ma: nainte. :De aceea, presupunem c n matricea (1) cons_i~erat~ ~, deci; I n seria (10) exist o mulime infinit de elemente at_t poz1~LIVC Cit~~ negatn'e. n afar de matricea (1)", s formm nc'! matnce, d1n valonle absolute

adic

= .E (Pi,.> _~

q~hl),

l,h=l

care are suma

A= p -Q.Dac n acelai timp cu seria (10) este co>wergent i seria (10*), seria. (10} se numete absolut convergent. Dac, ns, seria (10) este convergent, dar seria (10*) este divergent, seria (10) se numete neabsolut cqnvergent 1 >. Vom demonstra acum teorema legturii dintre seria. dubl (10) i scria simpl (6), format din aceiai termeni. Ea este asemntoare cu teoremele 1 i 2. . . Teorema 7. Fie seria dubl (10) i seria simpl (6), formate cu aceiiUji termeni. Atunci convergena absolutl~ a uneia dintre ele atrage dup sine: convergena tot absolut a celeilalte i egalitatea sumelor lor. , Demonstraie. S presupunem mai nti c seria (10) converge n mod_ absolut, adic seria (10*) este convergent; notm suma acesteia din urm cu A*. Lund un numr natural r oarecare, formm suma parial a seriei (6*):

ale elementelor~-------------------->

11) a, 12 ) a,

1

a2

(1)

1

(2) 1 1 1 a2

a,(2)a~ ' 11

......................... .1

U, = Ca1)

.

1

u,

1

+ 1 u2l + ... + 1 u, 1 .stabilete

a\">

1 1

a~" 1

1 ... 1

1 ...

i

la

demonstraia

teoremei 2, se

cu

uurin

inegalitatea

. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .

U,

{m -1)!

,{;, (" + n). (" + n + 1){pentru o;

... ("

+ n + p)

= ---------

1

p

i"

+ 1)

...

+ p)

(11)

=

~1 (m + n) (m + n +- 1)mJ.

(m -

1)!~!:__ _ __

{2m

+ n)

(m -1)! m(m+1J 2m

[n {11) am pus a = p

Suma definitiv a termenilor coloaneio

m este

egal

cu

O, p = k) este uor de nsumat termenii

ti=l

a~h) =

(k -1)! =

_!_.k2

3 . _ _ _--'.i':::"_-__c1:.cl_:.!_ _ _ = 3. _((_".-'_-_1)!_]_' 2m! m{m + 1) ... (2m -1) 2mrela.ic interesant

/r. /r!

Egalnd, conform teoremei 3, sumele ambelor serii iterate, vom ajunge la

urmtoarea

De aici

rezult

suma scriei iterate(12)

[(m - 1) !] 2 ~ ~ 1 ~-:;=3~ ~ 2 m! m=l k=i k.~

o

(13}

Avnd n vedere simetria expresiei lui a~k) n raport cu i i k, a doua scrie itcrat este identic cu prima i cgalarca sumelor lor nu di't nimic nou. S modificm acum matricea astfel: pstrnd neschimbai n ilndul m prim m-J ter~eni, s punem ~ locul te~me~ului m suma 1'm a tutmor termCnilor din rnd~ m, mcepmd el! al m-Ica, 1ar pe ceilali termeni s-i neglijii.m. La noua matrtce,----------------------------~

ntruc scria din membrul al doilea converge foarte repede, ca uureaz calculul aproxim!J-tiv al sumei scriei, importante, care se gsete n membrul nti. Ceva mai mult, vom vedea mai departe [440, 7)] c relaia dedus mai nainte permite s se exprime-

suma primei serii "sub form finit": c este egal cu ::..._(acest rezultat aparine luiG

'

Euler). 5.

S

ne ocupibn de scria lui Lumbcrtq> (x) =

L; a,,---,h=i

>

xh

1 - xh .

miirginindu-nc Ia ipoteza c 1 x 1 < 1. Am vzut [385,5]Jc, n aceast ipotczil, seria lui Lambcrt este convergenL pcntl'll aceleai valori ale lui x ca i s~riu de puteri.~

f(x) =&,ah xh.

a,

(m)

a(m)

3

aCm+t) a(m+1) a (m+1) , , 3 2 1

a 1 i ~ > 1, aa c i seria dubl este convergent n aceste ipoteze. Di~potriv, dac 1 (sau (3 1), seria dubl este sigur divergent, atunci snt divergente toate seriile pe rnduri {sau pe coloane] (compar corolarul de Ia 394), 10) S studiem convcrgen:a seriei

De aici,

rezult

cu

uurin, c

1

a'o

(sau.

an'x 2 ) este convergent,,cci seriaconvergent

Bh=ho

~

x'4h'

este-

numai k factori In paranteze, iarsin2

[teorema 5, 401]. De aceea, produsul rest

0,1

= (1 - - - sin2 (k

2n + 1

"

+ c1) 2n

" +

J+

( 1

sin' 2n :1) stn n2 n+t

.

.

'V,

=

"

h=k+l

n(1 vom

(x'4h2

Jntrim

trebuie s tind la 1 cnd k-+oo [401,2}. Evident, noi doar . dintr~ ingalitile (28), dac scriem

pe cea de-a douru

i cuprinde pe toi ceilali. Fie k deocamdat fix; este uor de gsit limita lui Uin) dnd n:-+ ~.!ntruct ~ceast -expresie const c;lintr-un anumit numr finit de factori. DeoareceIim (2ri n -+ao1"1m

1Trecnd (pentrU .k fix) lalimit

1 'Vk' >vini> k~oo, obine

cnd n

+ 1)

sin--"- = x, 2n 1

1De acirezult c

> v, ?"v,:..Iim Uk =sin x,k-tco.remarcabil

sin2 - " - -

2n+1

21t -" n-+oc Slll --

x2 =-h' 2 "

limVh = 1,

aa c

(h = 1, 2, :. k),

k-ti:Qi

ajungem, n definitiv, la dezvoltarea

2n+1:avemstabilit

x' ) ... , --;----; n"

(29)

Avnd n vedere

relaia

(27),

exist i

limita

pentru prima oar de Euler. Se nelege c ea este va,lahil i pentru Valorile x = O, 7t, 2r., ... exclusemai nainte, ~ci atunci ambii membri ai acestei egaliti snt nuli. Este uor de vzut. 1 c diferiii factori corespund t'ocmai diferitelor rdcini ale lui sin x ).Dac

. ..tn) V k = ] Iffi Vk , n-too

aa CUI_I:lSln X= .. k"

U V k"

n dezvoltarea

obinut

punem x

= -, "2

gsim

Ne vom ocupa de evaluarea limitei Vk. Se tie c pentru O o, avcmr(~)'=v;.

i

. o.'

352

SERII CU TERMENI CONSTANI

rs

CALCULE APROXIMATIVE CU AJUTORUL SERIILOR. TRANSFORM,AREA SERIILOR

353:

care dau, respectiv, dezvoltarea numerelor

"' 4

i

In 2. Pentru ca

se calculeze cu aju-

ung h' d e 1 , es t e c 1ar ca Avnd n vedere aprop1'erea acestu1' n umar IU 1 41X este apropia 'It de ~; punnd f3 = 41X - ~. vom avea

torul lor aceste numere, s zicem, cu precizie de 1/10 5 , ar fi necesar s se adUne Cincizeci de mii de termeni tn primul caz i o sut de mii n al doilea; acest lucru; firete-,. nu es:teposibU dect cu ajutorul mainilor de calculat. Mai departe vom calcula, fr dificultate prea mare,. numerele menionate, chiar cu precizie mai mare, dar servindu-ne de serii mai potrivite cu acest scop. 410. Calculul numrului n:. Ne vom folosi de cunoscuta serie a arctangentci [404- (15) Jarctg x =

"

4120 -1

tg ~ = ::._11'-'9-;;-;;;; 1 + 120 119

1 -,aa ca 239

f3

= arct.g-

1 239

+ x--+--7 5 3a tunet arctg x = -

.

a::s

.xo

x7

De aici

rezult

Dac

se ia

X=_----:::::1

va

1

.

.

"' 6

rr.=i obinem

seria :

_!__~. _!_+~ 16~- 4~ = 16{~-~. _!_+~. 35 3 5 5 5' 7 5' 9

5'

1'

-+5 3

1

1 3'

1 7

-.11 5 11

1

1

+ ' } -

1 1 4 {1 239-3 239'

+ . }

care este

indicat

pentru calcul.adunrii

A vnd in vedere formula

pentru

ar"ctangent

Aceasta E:ste formula lui J. Machin. S~. calculm_ cu ajutorul ei numrul 1t cu 7 zecimale. n acest scop snt suficicni ' t~:menu formulei care de fapt snt scrii. ntruct ambele serii snt de tip Leibniz corec' nle la desczut i scztor pentru neglijarea termenilor nescrii vor fi')

arctg .xi alegnd ca

. + arctg

y = arctg - - - . 1.. - .xy

"'+ '1

o< l i , < - - < 13. 5" 10'

16

1

i

4 . O< li,P a 1,.x''i

gsim

1- 1)Ppermuttnd ordinea In particular,/>Pa 0A~adar,

.

1

S demonstrm c Rp(x) tinde la O nlocuind diferena p, anume ilP a1r,,

cnd p-+oo. cu dezvoltarea (4) a eip . .

1 + k) 1 + k +

p. 1)

1 + 1< + Pi '.

de sumare, vom

obine

= I-1)P

1=

00

11 + x)P fi;[,1p

)"' (-1)k+Pxk+P L; (-1)tcpak+p -i =i-O.00

1 + 1) 1 + p)p!

p!

conform formulei (7)" avem

~-''--11 x)P ,_ 0

+

B Cb xi 2: (-1)k+P-i ak+P-i xh+P-i,..., 0

&.Dac

~

I-1Jk z+k =

~

~

12P+1

1 + 1) 1 + p)

Dac

se introduce

notaia~

restului seriei

iniiale

(3), punnd

se pune aci z = 1, se va

obine

transformare a seriei cunoscute a lui In 2

rn{x) =

L:; (-1)k+n alt+n xk+nk=O

(n =O, 1, 2, ... ),

In 2 =

m=1

L; --. L; I-1Jm-1-= n=i n.2n m

00.1001

360

SERII CU TERMENI

CONSTANI

CALCULE APROXIMATIVE CU AJUTORUL SERIILOR. TRANSFORMAREA SERIILOR

361

Este clar c este mult mai avantajos s se foloseasc a doua serie pentru calculul aproximativ al lui In 2; pentru a se obine o precizie de 0,01, in prima serie ar fi necesari 99 termeni, pe cnd ntr-a doua ar fi suficient s se ia 5 termeni. 1 {z diferit d'e O,- 2,- 4, .. ). Scriind pe ah sub forma: ak = 2) Fie ah= - -2k ' 'A ]Ul pentru exprimarea 1 - , ne putem serv1 1. - e formu ] a anterioara up a 0 d = -

lat

cteva exemple

1 Seria f , (:.... 1)h , selt=O . 2

transform

n scria

+

este regulat. 421. Interdependena metodelor lui Poissou-Abel i Cesaro. Vom Incepe cu o observaie simpl:. dac_ nsumm seria (A) prin metoda mediilor a.ritme~ tice, reducndu-o la "sumaH A", este necesar ca

an= o(n).

376

SERII CU TERMENI

CONSTANI

INSUMAREA SERIILOR DIVERGENTE

377

d' n a devar, 10 1Xn-l -) A

. I

+- an n 1n

~

A rezu 1ta

c

sau .,. 1 . (1

(ndar atuncii

+ 1) ~n- n~n-t =n

An -> O ' n

_:_x)' L;(n+ 1) :Xn.o

~

A i scznd . din ea,. o.bine s; precedent identitatea membru membru cuflmulind ambii membri ai acestei ide:ntitti cu

an = An _ n n

n .- .1 , An- 1 n-1 n

__,.

Q,

A -f(x) = {1 -x) 2

n=O

L;

(n

+ 1) (Aoo

-1Xn) x".

ceea ce era de demonstrat. Problema pus n titlu este epuizat de urmtoarea teorem, care. aparine lui Frobenius: Dac nsumm seria (A) prin metoda mediilor aritmetice, reducnd-o la

Descompune1n suma din membrul al doilea n 'dou sUmeN,l

(1-x2 ) .alegndnumrul

"suma" A, o putem nsuma n acelai timp prin metoda lui Poisson-Abel i anume, o reducem la aceeai sum. Aadar, s presupunem c "'n-> A. Avnd n vedere observaia fcut la nceput, convergena seriei de puteri~

L; + (1-x0)L;, NO

N n

aa

fel nct, pentru n

>

N,

s

avem

IA -rinl - .QpresupuS 1m

Dac se ia un Am oarecare {perttrli n

se poate

< tn .:s;;;; n + k); fdnd uz obine urmtoarea evaluare inferioar+am)> An- ~c,n

de inegalitatea.

+ 2a 2 _+_ ... + nan =.O,n

/,

(9)de unde, nsumnddup

atunci n acelai timp i An-.-+A. De altfel, aici ea decurge direct din icndtitatea uor de verificat

m,

gsim

S> kAn --C.nDe aici, comparnd curelaia

"'

{10), ajungem la urmitoarca inegalitate

care n cazul de fa indic :necesitatea condiiei _(9). G. H. Hardy a stabilit c di:n 'Ctn -+A se poa'te 'trage concluzia c An -+A nu numaii dac an =o (:) (acest lucru este cuprins n cele ce preced), ci i n ipoteza mai larg c.

An< "n+IL

n+1 (an+k+ --k

k an}+ -C.It

(11)

lmaml

, 'stabilim c sl~-care este valabil n acelai interval (-1, 1); ea se obine prin diferen"ierea de lr arii a progresiei

avem ]anixn = B ~=O n

1,

.

'

1 1 1 A = - - - = - ; (c) Ma 0 =1, . 4 4 2 .(d)

1 1 1 1 A = - - - + - - ... =-; 3 .8 4 2

=-*o. .3

Scriind nc 0 serie 'de astfel de eg~liti i nlocuind pe}~ cu k -:, 1, le 1)k sub forma de suma uor dup aceea s se scrie, invers, (n

1 6 12 7 1 A=---+---=--. 8 8 . 16 4 2426.Ciasa general de metode liniare regulate de insumare. Vom da n ncheiere o schem general pentru alctuirea clasei de metode Iiniarc regulate de nsumare, cuprinznd n particuJ.ar metodele menionate m_ai inainte. S presupunem c ntr-un domeniu oarecare el) de variaie a parametrului x, se d irul de funcii~ 0 (x), ~ 1 (x), ~' (x), ... , ~n(x), ...

(n + 1) = ~i"lc~+'< + ~~rc~+~- 1 + ... +.~hrc;+,cu

coeficicnii constan.i ~Dar atunci

1

f, (- 1)n (n + 1)" = ~i"l I:k + ~~ri:h.:_1 + ... + ~~l 31n=OA

1

()

!)snt sumablle prin metoda"lui ''I ~. (' _ 1 2. . d , d Cesarp C ' ~ ! ntruc1t toate seru c L..t t 1 (aici avem n vedere proprietile metodelor lm ~sa~? e or ~~~ de ordinul k succesive), dat fii'nd liniaritatea acestei metode, lucru care este valabtl l pen:ru ~er_ta

+

S mai Pr~~u}mll~m c do:rllcniul el) are ca punct de acumUlare numrul cu, finit sau nu.Pe baza seriei numerice (A) date se formeaz o serie constind din funciile~

p.ropuC!iculu l propriu-zis al "sumei generalizate" nu este ,pos_ibil s-1 efect~~-~. ~~C'i)n t d' i i~i . . cele ce urmeaz I449] ." S mai considerm cteva exemple Simple de aphcare direct a me o e or HOlder, Borel si Euler. ,1 ,. : 7) S se nsumeze prin metoda lui HOIClcr seriile(a) 1 i

A 0 ~ 0 (x) + A 1 h(x) + ... + An~n(x) + ... = L;An~n(x)n~o

(22)

2

(b) 1 -

+33 +6 -

+ ... 10 +4

an). Dac aceaSt serie, cel puin pentnt valori ale lui x a1 (n 'care An= a 0 destul de apropiate de cu, este convergenta i dac suma ei, cnd x-cu, tinde la limia A, ' ~ ' ai:esl riufftr "se ia ca "si.un generitlizat'' a seriei date. Obinem. astfel. o metod. de nsumare. n legtur cu alegerea irul!J,i (IP) "i a punctului limit cu. Liniaritatea acestei metode este clar prin nsi construcia ei. . S presupunem acum c funciile lfln(x) satisfac urmtoarele condiii: , a) pentru un n constant oarecare Iim 'Pn(x) =e. O;X-)-(1)

+

+ ... +

Rspuns:

(a) Luarea repetat de dou ori a mediei d

4 1'

1

O arbitrar.luat, se va

gsi

un

numr

n' n aa fe) 1nct pentru(23)

Condiia de regularitate se transform pentru acest caz n moditl a) pentru un n constant oarecare

m-+

Iim t 111n =O;nari

Avnd n vedere faptul c An este mrginit i convergena absolut a seriei l:;

Ll'), va fi convergent i seria BAn n (x).n=O

L;ltnmi. de aceeai variabil x, definite ntr-un domeni u de variaii t:zj finit. limit o are sir acest (;(), din x fiecare pentru c nem S mai presupu ea asemen de nt r~prezi ea x, lui ntruct limita este determinat de valoare a 011): ul o funcie de x (n domeni (2) f(x) = Iim fn(x),

ul(x) u"(x).Yo_:.;:r

==

f1(x),

u2(x)

=

f,(x) - f1(x), ... ,

fn(x) -fn-l(x ),

iile

funcpe care o vom numi funcie limit pentru irul (1) [sau pentru

fn(x)].

1 fi un intcrval 1 dar deocamdat pstrm cea mai ) De cele mai multe ori 1 acesta va . oarecare . mare generali tate 1 nelegnd prin el) o mulime numeric infirtit'

avea de:-a face cu, serii funcionale, . d(loarece. _aceast -form de -. cerceta re a funciei limit este de obicei mai uoar ~n practic noastre ilor cercetr l obiectu n cazul de fa trebuie s sublinie m. c tile prqpr.ie i ci ,: (q) seriei. ale en converg nu vor fi numai problem ele de tii continui a, probiem cita poate se u,. exeinpl Ca sumei. funcionale ale

394

IRURI I

SERII DE

FUNCII

CONVERGEN A

UNIFORMA

395

sumei seriei, n ipotez.a c toi termenii si snt funcii continue, adic aceeai problem care a fost menionat anterior.. Dup cum se ve~e, proprietile funCionale ale funciei limit (sau ;- ce~a ce est." acelaI lucr~ -al~ sumei seriei) f(x) depind n esen de msui modul m care fn(x) tmde catre f(x) pentru diferite valori ale lui x. n ,cel~ ce urmeaz ne vom ocupa de studiul posibilitiilor tipice- _care ' Intervin: rt aceast privin. . 428 . Convergen~. unifor~ i neuniform. S presupune'm c pentru toi x dm ai se verifiC egahtatea (2). Chiar prin definiia limitei, aceasta nseamn urmtoarele.: este suficient s se ia o valoare fiX a lui x 'n tJJ (~u scopul d~ a avea ~n ir. . numeric ~efillit) pentr~ ca~ pentru orice e >O, sa se gaseasca un numar N In asa fel 1nct, pentru toti n > N s fie satiSf' ' ' cut inegalitatea

Pe de alt parte, ns, orict de mare s-ar lua n, se va gsi totdeauna pentru funcia fn (x) n intervalul [0,1] un punct, i anume punctul x =.!..,n

n care valoarea ei

s fie egal cu_!, adic2

= fn(.!..) n

Aadar, ..!. 2

prin

mrirea

lui n nu se poate face n nici un fel fn(x)

lui x de la O Ia -1 n

acelai

timp. Cu alte

< ~ pe~ru 1 t :---::_d:::~'-----: 2 2 1 - a (' . o: 2 -"--)o V2 _-{~os q;. cos 6) 1 2o:: cos rp

INTEGRALE CARE DEPIND DE UN PARAMETRU

TEORIA

ELEMENTAR

621

iar seria este uniform convcrgnt n raport cu q;. (cci este majorat de progresia geome.rtric ~ lo::

5) S se demonstreze c metoda lui Lobaccvski, cu ajutoml creia s-a dedus n exemplele (1t,) i (15) de la 497 !ormulclc

o

+

este aplicabil n cazul n care funcia nindu-sc celelalte

~

~2 1(x) dx, sin oo 1(x) - dx = -x0X

"

r.

0

f {x)

condiii),

n intervalulob.in,

[O, ; J.

este integrabil n sensul impropriu {mcni

~o

oo

- - - dx = 1(x) sin2xx2

~2

o

1(.) - 2 d) d'(x) dx.

f ' f (x, y) ~ acg y , X

xy

pentr~

0.< x.-~1,_0

(~, y) = ):-, f(x, y) dx.

Daclf. aceast integral, cnd 1J --7 O, tin.de la limita l(y) n mod uniform n raport cu y, pentru valorile lui y din domeniul OJ, Se spune c integrala (5) este uniform convergent n raport cu y n domeniul menionat. Aceasta nseamn c, pentru orice e: >O, exist un numr a>0, indc.:... pendent de y, n aa fel nct, pentru o~ice IJ.0 in'dependent de y, n a~1:1 fel nct, pentru o O. ToLu~i, pentru intervalul men\.ionat de variaie a lui y, conv~rgena ei nu . va fi uniform, pentru x = O. n adevr, inegalitatea

" y -~ tlx = arctg,) ox2+y'!. Ydacti e:

b [514]. n sfrit, se pot aplica la ca~ul considerat I criteriile suficienei dela 515. Lsm aceasta pe seama co,

cnd p - O.

sinz (w ]A-.1

dz

1

Ca!l'C

e:

>

O este un

numr

arbitrar ales dinainte, atunci )A ioo sin z oo sin ct. x --dz ---dx=X . Ao: Z

~: xP-1 (1(7)Ci. ~ Ci.o

- x)q-1 dx

va fi, ca A.ctre

n valoare absolut, mai mic dect e pentru toi

>

O, cu

condiia

n raport cu p, pentru p :):- p 0 > O (pentru .1: = O) i n raport cu q, pent1u q ~ q0 >O (pentru x = 1). 9) S;1 se demonstreze c convergenta integralei1 sinx d

>

A limita

doua parte

Ao

Cu aceasta am demonstrat prima parte arezult

afirmaiei.const, tinde\

--X

din faptul

c

expresia {7), pentr-q orice A

.o

xY

~ocnd o:- O. 5} S se demonstreze

oo

1t' sinz --dz=-,

z

2

Yo < 2, i neuniform, pen-.: (pentru x = O) este uniform n raport cu y, pentru y tru y < 2. 1 Majoranta - - este pentru cazul y ~ y 0 < 2. Apoi lum n mod arbitrar un '1} >O.xYo-1

A,

descrete

cnd

654S

INTEGRALE CARE DEPIND DE UN PARAMETRU

UTILIZAREA

CONVERGENE!

UNIFORME A INTEGRALELOR

655

se demonstreze c atunci.o

Conform formulei (9), atunci

~~ e-"g(x)dx = s.

(9)

11 ~ e-XSl.VdX=2-I" -~-0

1

..

"

1 1 5 -a+

" ... ) = 2 - 4 =

"

"

ll:

Rezultatul se obine imediat, dac se integreaz termen

cU

termen

(b) Alt funcie interesant, funcia Bessel cu indice zero J 0 (x), are dezvoltarea [441, 4), 5)] z2v oo J,(x) - 1 ~ -1)' [v!)' 2'''

+

(

cci): e-x. xn dx = n! [489,4)]. Ne vom ocupa acum de fundamentareaacestui lucru. Ca i imediat mai nainte, integrarea termen cu termen ntr-un interval finit, este admisibil

care se scrie

dup

tipul g(x),

dac

se pune2v!! '

( - 1)' (2v-1)!!

(10)Integrnd prin pri, este uor de artat c-1 \'1 e-x xn dxn!.oaa c

Atunci, n baza lui (9),~o-1)!! = 1_. 1 ~ e-x. J,(x) dx = f> -1)' (2v2v V2 !!v=O

A>A 0 , s avemform

limit f~ (x, y 0 ) n mod uniform In raport cu x. Pentru a avea dreptul s aplicn1 teorema 1, ar urma s ne' mai convingem i de convergena uni-

>a

dxeste uniform

convergent(~ e-hx ]o

n raport cu

paramctrul/r~O

observaia

de

la sfritul lui 515) i, prin urmare - cel puin n cazul continuitii lui f(x) - reprc zint:1 o funcie continu de parametrul k, pentru k ~ O. n particular, avem

1)~' f~(x, y) dxl

c finit, vom avea

~~ dy~: f(x,y)Rmne s demonstrm C C-)oo, este admisibil trecerea

dx

=

~:dx~~ f(x,

y) dy.

fa, y) = f(x, y). Propoziiile enun.ate pot fi formulate i pentru cazul intervalelor finite; n acest caz, se nlocuiete doar punctul singular x = oo cu punctul singular finit x = b, precum i (dac este. nevoie) punctul y :- oo cu punctul y = d. 522. Aplicaie la calculul citorva integrale. S aplicm teoria expus

lf(x,

1

mai inainte la calculul ctorva integrale importante.

n integrala din membrul al doilea, cnd: la limit sub semnul integralci, cci atunci

1". Integralele lui Euler

va exista

~

c

~ dy. ~~ f(.~, y) dxa

=

C-)-o::~

. ~c dy )~ f(x, y) dx hmc a

. = Clnn... c

~-~ dx ~cc~

_".o:>

-c

f(.~,

y) dy

~

O)

l cutm

Yaloa-

[492, 2]. Punnd aici x = ut, n care u este un numr pozitiv. o:_n~care, v~m ob.incJ = u ~~ c-u~t~ dt.

664

INTEGRALE CARE DEPIND DE UN PARAMETRU

UTILIZAREA

CONVERGENEI

UNIFORME A 1NTEGRALELOR

665

S nmulim acum ambii membri grn1 n raport cu u, de la O la oo

ai acestei

egaliti

cu

e-u~ I s

iute-

Punnd n prima dintre ele1

J.

~~

e-u!

du

= J2 )~ e-uz u du~~ e-u!l~ dt.-vom obine

fa,

Este uor de vzut c permutarea integralelor conduce, n cazul de foarte repede la rezultat. n adevr, dup permutare, obinemJ2

y =~~cos ~X dx ~~ e-t(cc'+x )dt.1

= 00 dt )00 )o o

e-(1-1-P)ua U

1 ) - dt du = - - =" - ' 2o1+f2. 4

00

:S permutm

aici, Conform teoremei 5,

integrrile

n raport cu x

I

cu t

y =.iDar integralainterioar

J~ e-.% 2 fdt~~ e-tx' cos ~Xcunoscut~x

dx.

de unde (ntruct, evident, J >O)J =

00 \ ~O

e-''dx

=

,h:.2

ne este

[519,6)(a)J

Pentru justificarea permutrii efectuate a intcgralelor, vom ncerca s recurgem la corolarul teoremei 5 de la 521. Dar, pc cnd integrala

~o~'I,

00 e-tx= cos

dx

= -1

2

vt

~

e _E_ 4t

deci,

~o

00

8 -(1-1-P) u

u du

1 1 =-. --. 2 1 + t2

y

~00 lr:;t = 2 o

~~

e --o't- :_ 4tgsim

dt ---= = Vt

,~, o

v- )00 e -o,- -=- dz.p=1t'

4N

este o funcie continu de t pentru toi t ::):-O, integrala~ca ,oe-(1-1-t') u2u

Avnd n vedere 497,8),

n, definitiv,2a

dt = e-u' J

" o y =-e-cc.,,

este continu numai pentru u> O, iar pentru u =O devine egal cu O, suferind n acest punct o discontinuitate. De aceea nu se poate aplica corolarul direct la dreptunghiul [O,oo; O,oo]. l vom aplica, deci, la drept unghiul [u0 ,oo; O, oo], n care u 0 >0, servindu-ne de faptul c integrala

A doua integral a lui Laplace se >raport cu parametrul (3d.1j z=--d~

obine

din prima prin difereniere n

=-e-:.:[3,

7t'

2

Juo

(oo

e-(1+t')uJudu

=_!_, __ 1_,e-(1+P)uo2 1

+t

2

este o fnncic continu de t pentru toi t:;:=:..O. n modul acesta se justific egalitatea

Aplicarea rcgulii lui Leibniz este justificat de faptul c integrala este ;uniform convcrgent n raport cu (3, pentru (3:.>(30 >0 [517, 16)]. 5'. Integralclc lui Fresnel

~~sinPunnd x 2 = t, obinem

x 2 d:v,

)~ c.os

x 2 dx.

ce, n membrul din 'dreapta, se poate face sub semnul integralci, pe baza corolarului de la 518. 4'. Integra lele lui La place

Hmne ca, micsornd pe u 0 , s trecem aici la limit cind u0 -?0, ceeaS

~o

~

SUl

.

o 1 ~ sin t xdx = -=- dt, 2 o Vt00

00 o 1 ) 00 cos t dt. ) o cos xdx = 2 o t

v-

scriem prima dintre aceste integrale sub form transformat. nlocuind (sub semnul integralci) expresia 1/l'tcu integralaJ:_ = .!_ (oo ;,-tu' dtt

z = (ooo x-sin ~x dx

J

(e 0).

rx2+x2

VT

VIT" Jo

666

INTEGRALE CARE DEPIND DE .JN PARAMETRU

UTILIZAREA

CONVERGENE!

UNIFORME A INTEGRAtELOR

G67~ri, gsim

egal cu ea, aducem integrala cutat la forma

(a) RezolPare. Conform regulii lui Leibniz,

dup diferenierea

de n

oo sin t. 2 )~ sin t --dt = ) 0 VT o

vrr-

.

dt (eo e-lu' du.

Jo

)o

(o:> e-ax!.

,x2n

dx = (2n-1)!! 2n+1 an

1/~a

justificat.

Permutarea integralelor n cazul de fa ar conduce imediat la rezul- tatul definitiv

ntruct integralele obinute n modul acesta snt toate uniform conver!!cntc n raport cu a, pentru a ~ a 0 > O (Uc exemplu, integrala scris este majo~at de00

Jo Vt

C"sin t dt =

Vre Jo

2__

("oo du (oo e-Ltt'l sint dt

integrala (

Jo

Jo

e-aox~ x 2 n dx),

.

aplicarea rcgulci lui Leibniz este~[2n-1)!!

(b) Rspun., ( ~ _ _d:.:x:__ ) (a x2)n+1

0

1

+

2

2n!!

ntruct fundamentarea direct a acestei permutri necesit transformri i evaluri migloase, prefer In I aici [v. 2?] s recurgem la "{actorul deconvergen" e-ht

{c). Rspuns:

fl xa-lJg nx dx = Jo(a) J =

( -1)n

a1t+l

~.

(le> 0).

2) Prin

difereniere

n raport cu parametrul, s se calculeze intcgralclc (IX,~. l~ > O):

Avem

'oo0

1 - cosX

lXX

e-hx dx,

_.0 .

2 )~ .,---::-c--ccc: dn = - 2 )~ du J~ e- O). (r )' 0), (a, b > 0).~

~~ =-)~~-x~.2x-sin2bxdx.Integrnd prin pri, vom obille apoi dJ db

(b} J 2 =

~oo

arctg rx dx o x (1 x')

+

=-

2b

(oo e-x' cos 2bx dx = .10

2bJ.

{c) J = ( 3 )o

00

arctgax arctg bx dx x2

(a)

Indicaie.

J 1 este

continu

Aadar, pentru determinarea lui J, s-a obinut o ecuaie diferenial cu vnriabile separabilc [358]. Integrnd, von: gsi

n raport cu a, pentru a

O;

. In (1 +a' 1 x') :maJoranta este b' + ai'-Deriva ta, pentru

J = ce-b.

,

pentru

O< a O,

b ~ O)v

~ (x)[519,6) (c)J. Il) S se calculeze integrala (a, b

=

~: '' dtvindu-ne de regula lui Leibniz'b

== (o:> c-a.\:~ sin bx2 dx.

Jo

>

Rezolmre. Vom gsi derivatele acestor integrale n raport de parametrul b, scrO) dv db =

Rezolvare. Integrala cutat dife~ numai prin factorul1Jlf de integrala

~o

~

e

-ax--

x dx.

Jo x--c-

(~ "

ax'

cos b.-c x.

o

d

J =in care c 2 = ab (s).lhstituia y =~\.vcmc~

re

-y-f. dy,

Prin integrare prin pri, de aici se ob.inc cu uurinrt du 1 b dv dv 1 b du db 2a a db db 2a a db

-=--V---~ = _

-=-u+-dvdb

- rezolvnd aceste ecuaii n raport cu derivatele -

l'liX).

bu

+ av+

d.T d. y = - 2 c ~~ e-y'---; Y=-2 de o y2 o

)=

c e-o'-;;; Hdz= - 2J

db

2(a'+b')

an - bv 2(a'+ b')

(20)

(substituia

y = : ) . De

aici

rezult

Aadar, pentru determinarea funciilor necunosenlc lt i V de b, am obinut un sistem de ecuaii difereniale. Introducnd funcia complex tv = u iv de variabil re0).obinem

n virtutea ceuaici difcrent:ialc,. de unde

cu b separat,

_oJ_ =Oa

Jo

(oo e-at cos btr~

ab =

oJ

-

)o c-at sm bt dt = -

.

dt = - -,-~a~ a2 b2'

.

+b

Plliind b =O,

w-V~ = c:::::: const.