Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Etapa 6, Problema 2 Fie un punct P pe latura BC a triunghiului neisoscel ABC, astfel încât ABP şi ACP au acelaşi perimetru. Fie M mijlocul laturii BC şi I centrul cercului înscris în ABC . Demonstraţi că IM AP .

Soluţie. Din egalitatea perimetrelor deducem că AB BP AC CP şi atunci ,BP p b

AC p c . Din teorema bisectoarei, avem că acBD

b c

şi ab

CDb c

. Dar DM BM

2

a b cBD

b c

, iar

2b c

MP MC CP

, prin urmare

(1)MD aMP b c

.

Aplicând teorema bisectoarei în ADB , obţinem că ID DBIA AB

, aşadar

(2)ID aIA b c

.

Din (1) şi (2) rezultă că MD IDMP IA

, care conduce la IM AP conform reciprocei teoremei lui

Thales.