www.referat.ro

ELEMENTE DE LOGIC MATEMATICLogica matematic este teoria tiinific a raionamentelor matematice, sub aspectul reconstruirii formale a acestora i a explicrii structurii lor.

Diviziunile tiinei logicii matematice sunt calculul propoziiilor i calculul predicatelor.

O construcie lingvistic se numete enun dac folosete descrierea sau comunicarea faptelor. De asemenea, enutul reprezint ansamblul de semne crora li s-a dat un sens.

Un enun se numeste adevrat, dac afirmaia exprimat de el corespunde unui fapt (Aristotel), iar un enut care nu este adevrat se numete fals.

Se spune c un enun respect principiul terului exclus dac el este adevrat sau fals; de asemenea, un enun respect principiul non-contradiciei dac nu este simultan adevrat sau fals.

Propoziia logic reprezint un enun despre care se tie c este sau adevarat sau fals,ns nu i una si alta simultan. Astfel, propoziia logic respect ambele principii: principiul terului exclus i principiul non-contradiciei.

Logica presupune ca o propoziie exprim relaii obiective ntre obiectele sau fenomenele naturii, gndirii i societtii. Prin urmare, logica se intereseaz de propoziiile cu sens, adic de acele propoziii n care se afirm (sau se neag) ca anumite obiecte ale realitii sunt (sau nu sunt) ntr-un anumit fel, au (sau nu au) anumite relaii ntre ele.

De aici se ajunge inevitabil la mprirea propoziiilor studiate n logica matematic n propoziii adevarate i propoziii false.

O propoziie p este adevarat dac n ea se exprim ca anumite obiecte se comport ntr-un anumit fel, iar obiectele respective se comport ntr-adevr aa.

O propoziie p este fals daca n p se exprim c anumite obiecte sau fenomene se comport ntr-un anumit fel, iar obiectele nu se comport de fapt, astfel.

O propoziie este sau adevarat sau fals, neputnd fi adevarat i fals n acelai timp.

Exista in matematica, in alte stiinte si in viata curenta, enunturi despre care nu putem afirma cu certitudine ca sunt fie adevarate, fie false. Exista alte enunturi despre care nu putem afirma nici ca sunt adevarate, nici ca sunt false, decizia asupra adevarului sau falsitatii lor fiind conditionata de anumite date de referinta. Aceasta delimitare ne indreptateste sa definim una dintre aceste categorii, pentru a o distinge de cealalta.

NOTATII:

Propozitiile se noteaza cu litere mici ( p, q, r, s, t... sau p1, p2...) urmate, eventual, de enunt, care este scris intre ghilimele, atunci cand se doreste ca acesta sa fie precizat.

De exemplu:

1) p: 1 + 1 = 2

2) q: 7 2

3) r: In orice triunghi lungimea unei laturi este mai mica decat suma lungimilor celorlalte doua.

Toate aceste enunturi sunt propozitii deoarece despre fiecare se poate spune daca este adevarata sau falsa. De exemplul 1) si 3) sunt propozitii adevarate, iar 2) este propozitie falsa.

O clasa extrem de larga de propozitii adevarate o constituie teoremele din matematica.

Din definitie, clasa tuturor propozitiilor se descompune in doua clase disjuncte, numite valori de adevar. Astfel, daca o propozitie este adevarata, spunem ca ea are valoarea de adevar adevarul si se noteaza, in acest caz, prin semnul 1 sau A. Cand propozitia este falsa, spunem ca ea are valoarea de adevar falsul si se noteaza prin semnul 0 sau F. In ambele cazuri, 0 si 1 sunt simboluri fara inteles numeric.

p q r

A / 1F / 0A / 1

De cele mai multe ori, valorile de adevar sunt inregistrate intr-un asa-zis tabel de adevar. De exemplu, pentru propozitiile p, q, r considerate mai sus avem tabelul de adevar:

De asemenea, valoarea de adevar a unei propozitii se noteaza v(p). Tabelul precedent exprima faptul ca:

1 daca propozitia este adevarata

v(p) =

0 daca propozitia este falsa

In matematica se intalnesc si enunturi a caror valoare de adevar este necunoscuta. Acestea se numesc conjecturi.

De exemplu: enuntul Orice numar par mai mare sau egal cu 6 este suma a doua numere prime impare este conjectura lui Goldbach, care dateaza din 1742. Pana in prezent, nu s-a reusit nici demonstrarea si nici infirmarea sa.

Definitiile si toate conceptele matematice se bazeaza pe teoria multimilor. Mai mult, metodele rationamentului matematic sunt o combinatie de argumente ale logicii matematice si teoriei multimilor.

O multime este rezultatul cuprinderii intr-un singur tot a unor obiecte determinate ale perceperii sau gandirii noastre. Aceste obiecte se numesc elemente ale multimii (Cantor).

Multimile se noteaza cu litere mari, iar elementele lor cu litere mici. Daca obiectul a este un element al multimii M, se scrie a M (se citeste a apartine M sau M contine pe a). Se scrie a M daca a nu este un element al lui M.

Numai propozitiile singure nu sunt suficiente pentru formularea tuturor situatiilor ce apar in matematica. O versiune formalizata a limbajului matematic trebuie sa fie considerabil mai bogata. Trasaturile caracteristice limbajului matematic constau in folosirea frecventa a variabilelor si a simbolurilor speciale, precum si in posibilitatea legarii variabilelor cu ajutorul cuantificatorilor logicii predicatelor: cuantificatorul esential ( ) si cuantificatorul universal ( ).

De exemplu: logica propozitiilor nu este capabila sa cuprinda urmatorul enunt privind numerele rationale:

( ) x ( ) y ( ) z (x < y => x < z < y) ceea ce, in cuvinte, inseamna: intre oricare doua numere rationale distincte se gaseste un numar rational diferit de acestea. De aceea, structurile mai fine ale enunturilor matematice apeleaza la logica predicatelor.

Predicatul (sau propozitia cu variabile) este un enunt p ( x1, x2, ... xn) ce depinde de variabilele x1, x2, ... xn (n N* ), care are proprietatea ca pentru orice valori date variabilelor din multimile A1, A2, ... An el devine o propozitie logica.

Deci un predicat este bine precizat de enuntul sau si de multimile in care variabilele iau valori (aceste multimi formeaza ceea ce se numeste domeniul de definitie al predicatului). Predicatele sunt unare, binare, ternare, ... dupa cum depind, respectiv de una, doua, trei, ... variabile.

De exemplu: p(x): x + 2 = 4 , x Z; predicatul p(x) este adevarat pentru x = 2, dar este fals pentru x = 1.

Ecuatiile, inecuatiile, identitatile sunt predicate. Teoremele matematice sunt bazate pe predicate.

Propozitiile se pot compune cu ajutorul asa-numitilor conectori logici: non, si, sau dand propozitii din ce in ce mai complexe.

Negatia propozitiilor:

Propozitia notata p (se citeste non p), care este adevrata cand p este falsa si falsa cand p este adevarata, se numeste negatia propozitiei p.

Valoarea de adevar a propozitiei p este data in tabelul urmator:

p p

1 0

0 1

Conjunctia propozitiilor:

Propozitia notata p ( q (se citeste p si q), care este aevarata daca si numai daca propozitiile p si q sunt simultan adevarate, se numeste conjunctia propozitiilor p si q.

Valoarea de adevar a propozitiei p ( q este data in tabelul de adevar urmator:

pqp ( q

111

100

010

000

Disjunctia propozitiilor:

Propozitia notata p V q (se citeste p sau q), care este adevarata daca si numai daca este adevarata cel putin una dintre propozitiile p, q se numeste disjunctia propozitiilor p si q.

Valoarea de adevar a propozitiei p V q este data in tabelul de adevar urmator:

pq p V q

111

101

011

000

Implicatia propozitiilor:

Propozitia ( p) V q, care se noteaza p ( q si se citeste p implica q, se numeste implicatia propozitiilor p, q (in aceasta ordine).

In implicatia p ( q, propozitia p se numeste ipoteza implicatiei (antecedentul), iar propozitia q se numeste concluzia implicatiei (consecventul).

Valoarea de adevar a propozitiei compuse ( p) V q este data in tabelul de adevar urmator:

p q P P V q

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

Observatie: Propozitia de mai sus este falsa atunci si numai atunci cand p este adevarata si q falsa, in celelalte cazuri fiind adevarata.

Echivalenta propozitiilor:

Propozitia (p ( q) ( (q ( p), care se noteaza p ( q si se citeste p daca si numai daca q, se numeste echivalenta propozitiilor p si q.

Valoarea de adevar a propozitiei (p ( q) ( (q ( p) este data in tabelul de adevar urmator:

p qp ( qq ( pp ( q

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 1

Definitiile precedente pot fi sintetizate in urmatorul tabel de valori de adevar: p q pp ( qp V qp(qq(pp(q

1 1 0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0

0 0 1 0 0 1 1 1

Din tabelul de adevar de mai sus, se constata ca pentru a stabili daca o implicatie este adevarata (adica, pentru a demonstra o implicatie), trebuie verificat doar ca: daca ipoteza este adevarata, rezulta ca si concluzia este adevarata. De asemenea, din acelasi table, rezulta ca daca ipoteza este falsa, indiferent cum este concluzia (falsa sau adevarata), implicatia este adevarata. Tot din table se constata ca echivalenta p ( q este adevarata daca si numai daca ambele propozitii sunt simultan adevarate sau false.

Similar calcului algebric, se poate dezvolta un calcul propozitional.

Cu ajutorul unor propozitii (p, q, r..) date, aplicand de un numar finit de ori conectori logici se pot obtine propozitii complexe numite propozitii compuse.

Calculul propozitiilor studiaza propozitiile compuse din punctual de vedere al adevarului sau al falsului lor, in raport cu valorile de adevar ale propozitiilor simple care le compun.

Pentru a dezvolta calculul propozitiilor se porneste de la o colectie de simboluri fundamentale de tipul:

1) variabile pentru propozitii: p, q, rp1, p2...;

2) conectorii logici: , (, V, (, (;

3) simbolurile tehnice: (,) ;

si, similar expresiilor algebrice, se definesc diferite expresii numite formule ale calcului propozitional, pe care il notam cu ,

Fie = (p,q,r) o formula in scrierea careia intra variabilele q,r; ori de cate ori inlocuim literele p,q,r cu diverse propozitii, obtinem o noua propozitie (falsa sau adevarata) care se va numi valoarea formulei pentru propozitiile p,q,rdate.

O formula (p,q,r) care are valoarea o propozitie adevarata indiferent care sunt valorile de adevar ale propozitiilor p, q, r... se numeste tautologie.

Doua formule si in scrierea carora intra aceleasi variabile p,q,r... se numesc echivalente si scriem = daca si numai daca pentru orice inlocuire a literelor p,q,r... cu diverse propozitii, valorile celor doua formule sunt propozitii care au aceeasi valoare de adevar (mai corect, valorile celor doua formule sunt propozitii care apartin aceleiasi valori de adevar). Astfel, = corespunde semnului = din calcului algebric.

Notiunea de predicate are o importanta deosebia in matematica. Fara a exagera, aproape orice teorema din matematica este un enunt ce contine unul sau mai multe predicate.

Se numeste predicat (sau propozitie cu variabile) un enunt p(x1, x2, ... xn) depinzand de varabilele x1, x2, ... xn (n N*), care are proporietatea ca pentru orice valori date variabilelor x1, x2, ..., respectiv xn din multimile A1, A2, .....respectiv An el devinde o propozitie logica.

Deci, un predicat este bine precizat de enuntul sau si de multimile in care variabilele iau valori (aceste multimi formeaza ceea ce se numeste domeniul de definite al predicatului).

Predicatele sunt unare, binare, ternare,... dupa cum depind respectiv de una, doua, trei..., variabile.

De exemplu: in enuntul x + 2 < 3 se vede ca daca inlocuim x cu 2, obtinem o propozitie falsa, 2+ 2 0

a) 1

b) 0

c) 0

d) 1

e) 1

f) 1

5) Sa se determine valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii:

a) x2 5x + 6 = 0, unde x desemneaza un numar intreg

b) 2x2 x 3 = 0, unde x desemneaza un numar intreg pozitiv

c) ( 2x 6 < 0 ), unde x desemneaza un numar intreg pozitiv

a) 1

b) 0

c) 1BIBLIOGRAFIE: Lavrov, L. L. Maksimova, Probleme de teoria multimilor i logic matematic, Seria Culegeri de probleme de matematic i fizic, Editura tehnic, Bucureti 1974; C. Lupu, Aritmetica pentru nvtori,Editura Alma Mater,Bacu,2014; Gr. C. Moisil, Elemente de logic matematic i teoria mulimilor, M Matematic Enciclopedia de buzunar, Editura tiinific, Bucureti, 1969; P. S. Novikov, Elemente de logic matematic, Editura tiinific, Bucureti, 1966.

www.referat.ro