Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic

Elemente de Electronică Analogică

28. Filtre active cu AO. Circuite neliniare cu AO

Filtre active cu AO

Filtrele sunt dispozitive electronice care permit rejectarea (atenuarea) selectiva a semnalelor in functie de parametrul frecvenţă.

Din punctul de vedere al implementarii deosebim:

filtre realizate cu componente pasive (R,L,C) filtre realizate cu componente pasive si active (TBJ, TEC, AO) filtre digitale.

Fata de filtrele pasive, filtrele active ptrzinta o serie de avantaje:

gabarit si greutate redusa(valori uzuale ale componentelor pasive sunt mici chiar si la valori mici ale frecventei)

posibilitatea realizarii unor functii de transfer cu polii situati oriunde in semiplanul stang al planului complex

posibilitatea acoperirii domeniului de frecventa cu componente passive R,C

amplificarea semnalului in banda de trecere Filtrele digitale sunt mult mai flexibile, putand fi realizate prin software, pot realiza filtrari mai comlexe dar nu pot acoperii toata gama de frecventa dorita in anumite aplicatii (impediment datorat in special frecventei de lucru a microsistemelor)

Clasificarea filtrelor cu circuite integrate dupa modul de implmentare:

filtre cu AOI (Au )

filtre cu AO (Au<20dB) filtre cu CIN(convertor de impedanta negativa) filtre cu giratoare filtre cu multiplicatoare de tensiune filtre cu bucla PLL (bucla de reglare automata cu calare de faza)

Din punctul de vedere al atenuarii unor benzi de frecventa filtrele pot fi clasificate in :

filtre trece jos (FTJ) filtre trece banda (FTB) filtre trece sus (FTS) filtre trece tot (FTT) - filtre care modifica doar faza filtre rejector de banda(FRB)

Filtrele cu AO cu un singur pol sunt in general neeconomice. Principalele exemplele care vor fi date sunt filtre cu doi poli complecsi conjugati, filtrele de ordin superior fiind obtinute prin conectarea in cascada a celor de ordin inferior.

Functii de transfer specifice filtrelor

Orice functie de transfer de ordinul N, avand poli complex conjugati poate fi descompusa sub forma:

kk

kkkM

k bsbsasasa

sHsH01

201

22

10 )(

imparNparN

bsbasa

sH

1

)( 0010

0010

0

Rezulta evident ca pentru implementarea unei functii de transfer a unui filtru de ordinul N este suficient sa se poata implementa o functie de transfer de forma

bipatrata

21

212

012

012

2)(pspszszsa

bsbsasasa

sH B

unde z1,z2 sunt zerourile complex conjugate ( *21 zz ) ale functiei de transfer, iar

p1,p2 reprezinta polii complex conjugati ( *21 pp ) ai functiei de transfer.

Circuitul care realizeaza o astfel de functie de transfer se mai numeste si biquad.

Dupa transformari elementare functia de transfer poate fi pusa sub forma :

22

22

)(

pp

p

zZ

z

B

sQ

s

sQ

sKsH

unde )(Re)(Im

)(Re)(Im

12

12

12

12

pp

zz

p

z

sunt pulsatiile zeroului respectiv polului

iar

)Re(2

)Re(2

1

1

pQ

zQ

pp

zz

sunt factorii de calitate ai zeroului respectiv polului

In literatura de specialitate se mai utilizeaza si notatiile: )(

)(1

pZpZ Q

Factorul de proportionalitate K=a2 se mai noteaza cu H0

Pulsatiile zeroului si polului functiei de transfer sunt apoximativ egale cu pulsatiile de minim si respectiv maxim ale modulului functiei de transfer. Factorii de calitate determina selectivitatea filtrului. Un QZ mare determina o rejectie mare in banda de atenuare, respectiv un Qp mare determina o amplificare mare in banda de trecere a

modulului functiei de transfer.

Se poate observa ca, in regim stationar:

KjH

KjHp

Z

)(

)( 2

2

0

Tipuri de functii de transfer pentru filtre :

Pentru fiecare tip de filtru va fi prezentat un exemplu de raspuns

FTJ de ordinul unu

0

00)(

sHsH

20

2

00)(

HjH

0

arctg

num=[1] ;

den=[1 2] ;

d1=-2;

d2=3;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

FTJ de ordinul doi

20

02

200)(

sQ

s

HsH

202220

200

20

02

200

)()()(

Q

H

Qj

HjH

)(arctg 22

0

0

Q

Valoarea pulsatiei pentru care se atinge un maxim al modulului functiei de transfer se obtine din rezolvarea ecuatiei :

0)(

djHd ceea ce conduce la solutia : 020 2

11 Q

(Sa tinut cont ca Q are o valoare relativ mare)

num=[1] ;

den=[1 2 3] ;

d1=-2;

d2=3;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

FTS de ordinul unu

0

0)(

s

sHsH

20

2

0)(

HjH

0arctg

num=[1 0] ;

den=[1 2] ;

d1=-2;

d2=3;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

FTS de ordinul doi

20

02

20)(

sQ

s

sHsH

202220

20

20

02

20

)()()(

Q

H

Qj

HjH

)(arctg 22

0

0

Q

num=[1 0 0] ;

den=[1 2 3] ;

d1=-2;

d2=3;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

FRB de ordinul doi

20

02

20

2

0)(

sQ

s

sHsH

202220

22200

)()(

)()(

Q

HjH

Se observa ca

0

0

cand 0)(

sau 0 cand )(

jH

HjH

Se poate determina banda de trecere a filtrului (la o scadere cu 3dB a caracteristicii)

QBT 0

Filtrul rejector de banda poate fi considerat ca fiind realizat din sumarea a doua filter, FTJ si FTS (explicabil si saltul de faza al filtrului FRB)

num=[1 0 3] ;

den=[1 2 3] ;

d1=-2;

d2=3;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

FTB de ordinul doi

20

02

00

)(

sQ

s

QsH

sH

202220

00

)()()(

Q

QH

jH

num=[1 0] ;

den=[1 2 3] ;

d1=-2;

d2=2;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

FTT de ordinul unu (amplificatoar de curent alternativ)

0

00)(

ssHsH

0

0220

000

arctg2

)(

HjjHjH

num=[1 -2] ;

den=[1 2] ;

d1=-2;

d2=3;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

FTT de ordinul doi – cu functia de transfer sub forma biquad

20

02

202

0)(

sQ

s

Qss

HsH

num=[1 -2 3] ;

den=[1 2 3] ;

d1=-2;

d2=3;

w=logspace(d1, d2, 1000) ;

bode(num, den, w);

grid

Exemple de filtre de ordinul unu

FTJ:

CRRR

CRs

CRRR

CsRRR

Rsc

R

scR

Rsc

RsH

20

1

20

2

21

2

2

1

2

12

2

1

2

1 ; H

; 1

1

11

1

11//)(

RCRR

RCs

RCRR

RCsRRsH

1 ; 1H

1

1)1(

11)1()(

01

20

1

2

1

2

FTS:

CRRR

CRs

sRR

sCRsCR

sCR

RsH

10

1

20

1

1

2

1

2

1

2

1 ; H

111)(

RCRR

RCs

sRR

sH 1 ; 1H ;1

)1()( 0

1

20

1

2

FTT:

RCRR

RCs

RCs

RR

RCsRRRRRCsR

RR

RCsRRsH

1 ; H

1

)1(

)1()1(

11)(

01

20

1

2

1

2122

1

2

1

2

Implementarea filtrelor active de ordinul doi cu AOI

Schema cea mai utilizata este prezentată in figura 7.1(schema cu reacţie multiplă)

Figura 7.1

Notând cu: Eechiv-generatorul echivalent in pct A

Zechiv-impedanţa generatorului echivalent in pct A

se scrie legea Kirchoff I la borna neinversoare a amplificatorului:

echiv

i

i

echiv

Z

Zu

Zu

E1

4

0

421

1111ZZZZ echiv

05

0

3

Z

uZZ

E

echiv

echiv

4343215

31

55343

31

34

5

1

5

0

3054

0

1

)()(

111

1

)()(

)(

)(

YYYYYYYYY

sH

zzzzzz

zz

zzzzz

zzz

sususH

zzuzzzu

zzu

echivechivechiv

echiv

i

echivechivechivi

Observatie: Demonstratia decurge mai simplu daca se calculeaza cu admitante, formula finala fiind aceeasi.

421

401

421

YYYYuYu

E

YYYY

iechiv

echiv

50

3

11Yu

YY

E

echiv

echiv

Alegând convenabil admitanţele Y1-Y5 se pot obţine următoarele tipuri de filtre:

FTJ :

432

4315

31

11111

11

)(

RRsC

RRRsC

RRsH

FTS:

432

43125

312

)(11)(

CCsCCCsRR

CCssH

FTB:

a)

432

43215

31

)(111

1

)(CCsCCs

RRR

sCRsH

b)

431

4325

31

1111

1

)(

RRsC

RRRsC

RsC

sH

FRB: Implementarea poate fi facuta utilizant un FTB si un AO in configuratie de sumator

20

02

0''

'

'02

02

'

20

02

00''

20

02'

2

'''1'''10

11

)1()()()(

))()(()(

)()()(

sQ

s

HRR

QRsR

sRR

sQ

s

sQ

HRRs

Qs

RR

sH

RR

RRsHsu

RRu

RRusu

susHsu

ii

i

Pentru ca schema sa fie un filtru rejector de bandă (FRB) trebuiesc indeplinite urmatoarele condiţii:

'

''

0''0

'

1RRH

RHR

Amplificarea noului filtru H0’va fi R/R’

FTT: Pentru ca schema prezentata anterior sa fie un filtru rejector de bandă (FTT) trebuie indeplinita urmatoarea condiţie:

'

''

0''0

' 211RRH

RHR

Implementarea filtrelor cu AO cu câştig scăzut

Aceste filtre utilizează AO caracterizate prin urmatorii parametrii:

(Zint→∞, Zies→0 A<20dB)

Această caracterizare corespunde unui generator de tensiune ideal şi de aceea aceste filtre se mai intalnesc, in literatura de specialitate, sub numele de filtre cu

generator de tensiune comandat. Una dintre cele mai utilizate structuri este descrisă in figura urmatoare:

Pentru deducerea funcţiei de transfer se observa ca amplificarea amplificatorului neinversor este data de relatia:

Au=k=1+ '

''

RR in pct. A

Deducerea formulei finale este mai uşoară dacă se utilizează admitanţele:

432143

2013

4

3

40

21

21

201

))(()(

1

1YYYYYY

YuYukY

YY

YY

kEU

YYYYY

YuYuE

i

echiv

echiv

echiv

iechiv

de unde:

H(s)=32432143

310

))(()()(

YkYYYYYYYYkY

susu

i

Cu această structură se pot obţine următoarele tipuri de filtre:

FTJ:

4231

200

4231

214121430

423134234321

2

4231

313

2

3

4

3

2

1

442

2

31

23

43

43

21

31

1 si

unde

1111

1

)(

1)()()(

111)(

CCRRkH

CCRRCkRCRCRCR

Q

CCRRRCk

CRCRCRss

CCRRk

sH

RRRkC

RC

RC

RCsCCs

RRk

sH

sCRksC

RsC

RsC

R

RRk

sH

Observatie: Pentru urmatoarele exemple se vor pune in evidenta parametrii filtrelor

FTS:

ksCRR

sCR

sCR

sC

kCCssH

324

34

32

1

312

11)1)(1()(

FTB:

a)

322

43

432

1

13

111

1

)(CCks

RsC

RsCsC

R

RksC

sH

b)

32344

321

21

1111

1

)(

RRk

RsCsC

RRsC

RksC

sH

Aplicaţii neliniare de AO

Comparatoare cu AO

Figura 10.1

Pentru βA741 şi ±Vcc=±15V avem Uo max≈13.06V datorită saturării tranzistoarelor din etajul final.

Caracteristica de transfer va avea următoarea formă:

Figura 10.2

unde tensiunea de prag se calculează după relaţia: o

max

Ao

pUU .

Circuitul are o caracteristică de comparator de tensiune între cele două intrări.

Scheme de utilizare

Figura 10.3

Comparator cu histerezis

Se obţine prin introducerea unei reacţii pozitive.

Figura 10.4

Dacă ).high""la de H"(" cu nota vom si 0 max OHooii UUuuu Dacă iu creşte atunci comutarea caracteristicii se va obţine la tensiunea de prag:

OHrefp URR

RERR

RU21

1

21

21

Ieşirea devine apoi ).low""la de L"(" cunoteaza se si max OLoo UUu Dacă la intrare tensiunea descreşte atunci comutarea se va face la :

OLrefp URR

RERR

RU21

1

21

22

.

Cum 21 pp UU se notează pLppHp UUUU 21 , , iar caracteristica va arăta ca în figură:

Figura 10.5

Se pot defini astfel două mărimi:

max 21

1

21

1 2 oOHOHpLpH URR

RUURR

RUUH

refOHOLrefpHpLH ERR

RUURR

RERR

RUUV21

2

21

1

21

2

021

21

În faza de proiectare cele două mărimi se cunosc de obicei; se alege R2 (din considerente de Ip al AO şi rezultă Eref şi R1.

Structura neinversoare de comparator cu histerezis

Figura 10.6

21

1

21

2max si 0

RRRU

RRRUEUUuuu OHpLrefOHooii

21

1

21

2max si 0

RRRU

RRRUEUUuuu OLpHrefOLooii

Figura 10.7

2

21

2

1max

2

1

2

21

2

1

2

21 2

RRREV

RRUH

RRU

RRREU

RRU

RRREU

refH

o

OLrefpH

OHrefpL

Aplicaţie: Realizarea unui oscilator de impulsuri dreptunghiulare implement cu un comparator cu histerezis realizat cu AO

Figura 10.8

În cele două stări ale ieşirii comparatorului cu histerezis ( max oU ) se incearcă încărcarea/descărcarea unui circuit de integrare.

Figura 10.9

Timpii de încărcare/descărcare se calculează din ecuaţia diferenţială:

dtdUCUU c

Co max

care are soluţia generală :

t

CCCC eUUUtU

0 .

Rezultă că , pentru încărcare, funcţia generală este:

RCt

opLoC eUUUtU

max max .

it rezultă din ecuaţia: pHiC UtU adică max

max

ln o pLi

o pH

U Ut RC

U U

.

Analog pentru descărcare:

RCt

opHoC eUUUtU

max max .

dt rezultă din ecuaţia: pLdC UtU adică pLo

pHod UU

UURCt

max

max ln .

Observaţii:

Pentru o mai bună stabilitate a frecvenţei faţă de tensiunea de alimentare (implicit fată de max oU ) se poate utiliza o schemă în care OHU şi OLU pot fi limitate cu diode Zener.

Figura 10.10

DZDOH UUU OHOL UU

Timpii de incarcare si descarcare pot fi controlati separat daca in locul rezistentei R se introduce un grup de doua rezistente cuplate in paralel fiecare rezistenta avand inseriata o dioda. Sensul diodei dicteaza daca rezistenta corespunzatoare participa la incarcarea sau descarcarea capacitatii C.

Scheme de limitare cu AO

Realizarea unei scheme cu o diodă plasată într-o buclă de reacţie negativă a unui AO ca în figură reduce tensiunea de deschidere a diodei.

Figura 10.11

Figura 10.12

Cea mai simplă schemă de limitare a unei tensiuni utilizând această proprietate este prezentata in figura urmatoare

Figura 10.13

Figura 10.14

Când 0iu D în conducţie avem reacţie negativă 00 ouVUU .

Când 0iu D blocată io uRR

Ru21

2

.

O altă schemă la care intrarea se face pe borna neinversoare este următoarea:

Figura 10.15

Figura 10.16

Când 0iu D în conducţie io uu .

Când 0iu D blocată avem reacţie negativă 0 ou .

Schemă generală de limitare

Figura 10.17

Datorita reacţiei negative punctul A este un punct virtual de masă. Avem astfel:

I)

0

blocare conduce

0 2

3

1

3

2

1

12 u

ERRu

RRu

DD

Ru

RE refiiref

II)

0

blocare conduce

0 2

4

1

4

1

2

12 u

ERRu

RRu

DD

Ru

RE refiiref

Rezultă caracteristicile:

Figura 10.18

Schema pentru obtinerea unui redresor de precizie implementat cu AO

Figura 10.19

Observaţie: AOI1 este un caz particular al schemei de limitare ( refE =0). AOI2 realizează scăderea celor două caracteristici.

Vom avea deci:

I)

blocare conduce

001

201 D

Duui şi schema devine:

Figura 10.20

io uRRu

1

21

014

251

4

5 ioo uRRRRu

RRu

II)

blocare conduce

002

101 D

Duui şi schema devine:

Figura 10.21

io uRRu

1

31

0142

5

1

3

i

io RRRu

RRu

Caracteristica va avea alura din figură:

Figura 10.22

Caz particular: funcţia modul (cele doua pante se doresc sa fie egale cu +/- 1)

5 2

2 4 2 1 44 1

3 13 5

2 4 51 2 4

1

2 1 1i

R RR R R R R

R RR R

R Ru R R RR R R

O soluţie a acestui sistem este: RRRRRRRRR 31542 2

În aceste condiţii circuitul realizează funcţia modul (pantele sunt +1 respectiv -1)

O altă schemă pentru realizarea modulului este prezentată în continuare:

Figura 10.23

iio

i

iiioi

uuRRu

Du

uuRRu

RRuDu

1

3

1

3

1

3

masa la pozitiva borna cuinversor tipde este AOI1 conduce 0

1blocare 0

Figura 10.24

O schemă care permite obţinerea valorii negative a modulului este următoarea:

Figura 10.25

I)

blocare conduce

02

1

DD

ui şi schema devine:

Figura 10.26

01

5 iio uuRRu

II)

blocare conduce

01

2

DD

ui şi schema devine:

Figura 10.27

iio uuRRu

1

31

Dacă se scrie Kirchhoff I în punctul A

00

2

054

1

1

iooiiooi uu

Ru

Ru

Ru

Ru

Ru

Ru

Observaţie: Dacă cele două diode sunt plasate invers în schemă , aceasta realizează chiar funcţia modul

Anexă

Avem ecuaţia diferenţială cu condiţia initială y(0) dată:

QPydtdy

Soluţia generală este formată din două quadraturi:

PQeconstedtQeconstety PtPtPdtPdt 1constanti Qpt P,

)(

Dar PQyconst

PQconsty )0()0(

PtePQy

PQty

)0()(

Punând soluţia sub forma:

PQy

Peyyytyt

1

0

.

Altfel:

)(

1)(

)()(

PssAPsBA

PsB

sA

PssQsy

sQsPyssy

Prin identificare se va obţine PQBA

nule initiale conditii0)(

0

1)(11)(

PQconst

tyt

constePQty

PsPQ

sPQsy Pt

Observaţie: Se poate utiliza şi formula lui Heaviside.