capitolul1 filtre optime tcsm

Prof. dr. ing Cristian Negrescu

FILTRE OPTIME PENTRU ESTIMAREA LINIARA

A FORMEI SEMNALELOR STAIONARE

1.1 ESTIMAREA LINIAR A FORMEI UNUI SEMNAL

Se pune urmtoarea problem: fiind dat o pereche de semnale discrete reale

sau complexe, aici notate cu d k i respectiv x k , s-ar putea exprima fiecare eantion al primului printr-o combinaie liniar a unui numr finit de eantioane succesive imediat anterioare din cel de-al doilea semnal? Altfel spus, poate fi

considerat

1

*

0

MNot

k

k

d n y n w x n k

, (1.1)

n care k k kw a jb sunt constante ce urmeaz a fi determinate1, drept un

bun estimat pentru y n . Aceast problem este cunoscut in literatur sub numele de estimare liniar a formei semnalului (waveform estimation). Pentru un ordin

M fixat, rezolvarea problemei const n determinarea constantelor kw . Spunem

c estimarea s-a realizat optim dac aceste constante au fast ales astfel nct s

minimizeze un criteriu de cost convenabil ales. n cele ce urmeaz vom conveni ca d s fie numit semnal de referin (sau semnal dorit) iar x s poarte numele de semnal de intrare. ntr-o abordare sistemic (vezi Fig. 1.1.) semnalul d

1 Conjugarea constantelor

kw n relaia de mai sus este introdus din comoditi matematice

ulterioare

e intrare x este aplicat unui sistem discret liniar, cu parametrii constani, de ordin finit (FIR) descris prin funcia pondere (rspunsul la impuls)

1

*

0

M

k

k

h n w n k

. (1.2)

Ieirea sa

1

*

0

*M

k

k

y n x h n w x n k d n

, (1.3)

reprezint estimatul semnalului de referin.

1

1-2 Filtre optime pentru estimarea liniar a formei semnalelor staionare


1z x k

*

0w*

1w*

2w*

2Mw *

1Mw

d k

y k e k

Filtru discret

1z 1z

Fig. 1.1. Structura de baz pentru estimarea liniar a formei

Evaluarea calitii estimrii se face de regul prin intermediul semnalului eroare definit ca

Def

e n d n y n d n d n . (1.4)

Totui, inspectarea direct a semnalului de eroare nu este ntotdeauna suficient pentru a spune ct de bun este respectiva estimare. Ceea ce putem ns

declara cu certitudine, este c atunci cnd, pentru n , 0e n , obinem

d n d n i vom spune c estimarea este perfect. Dificultile apar cnd, din diverse motive, eroarea nu este identic nul (i de cele mai multe ori aceasta este

situaia din practic). n consecin, pe baza semnalului de eroare e n se va construi aa numita funcie de cost, iar criteriul de optimizare va consta n minimizarea ei.

Notat cu J , funcia de cost este real (altfel nici nu s-ar putea minimiza) i este

dependent (prin y n ) de cei M parametrii ( 0 1 1, ,... Mw w w ) ai estimatorului n acest moment, putem reformula exact, problema estimrii liniare: s se

determine coeficienii optimi 0

kw astfel nct funcia de cost s devin minim

0 1 1

0 0 0

0 1 1 0 1 1 min, ...min , ... , ...

M

Not

M Mw w w

J w w w J w w w J

. (1.5)

Soluia optim pentru estimarea liniar a formei este prezentat n Fig. 1.2.

1z x k

0*

0w0*

1w0*

2w0*

2Mw 0*

1Mw

0d k

0y k 0e k

Filtru discret

1z 1z

Fig. 1.2. Filtrul optim pentru estimarea liniar a formei

Tehnici de compresie a semnalelor multimedia 1-3


Alegerea funciei de cost reale

: M MJ (1.6) este hotrtoare n asigurarea succesului estimatorului construit pe baza ei. Funcia de cost trebuie s aib sens, adic s aib o semnificaie fizic pentru utilizator permindu-i acestuia s stabileasc o relaie monoton ntre valorile funciei de cost i calitatea estimrii. Numai n acest caz el va percepe cea mi bun estimare atunci cnd funcia de cost i va atinge minimul. Un al doilea criteriu care se va dovedi important n alegerea funciei de cost se refer la complexitate. n acest sens este de preferat utilizarea unei funcii de cost care s permit determinarea facil a setului

coeficienilor 0kw optimi.

Alegerea unei funciei de cost bune este o problem delicat i impune ncadrarea semnalului de intrare i de referin ntr-o anumit clas. Lund n considerare particularitile precum i experimentele realizate, se pare c n prelucrarea semnalelor audibile funciile de cost cu caracter energetic s-au dovedit a fi extrem de utile, permind stabilirea unui bun echilibru ntre obinerea unui estimator

de calitate i complexitatea (matematic) a calculului coeficienilor 0w . n ceea ce

privete ncadrarea semnalelor de intrare ntr-o anumit clas (specificarea unor proprieti ale acestora), ea este dependent efectiv de contextul n care este utilizat estimarea liniar precum i de modul n care sunt privite (modelate) semnalele. n cele ce urmeaz ne vom ocupa n exclusivitate de rezolvarea a dou cazuri particulare de estimare liniar a formei: filtrarea optimal MS i filtrarea optimal LS.

1.2 FILTRAREA OPTIMAL MS. FILTRE WIENER

n cazul problemelor de filtrare optimal MS semnalul de intrare i semnalul de referin sunt privite ca realizri ale unor procese aleatore staionare, de medie nul i care vor avea anumite proprieti statistice. Mai exact vom considera c exist un numr suficient de mare de utilizatori care vor ncerca s estimeze fiecare n parte cte

un semnal de referin d folosind pentru aceasta eantioanele cte unui semnal de intrare x . Sarcina proiectantului va fi s furnizeze un filtru de estimare suficient de bun pentru a putea fi folosit de toi utilizatorii. Precizm faptul c toi utilizatorii vor

folosi acelai filtru, indiferent de perechea de semnale d , x cu care opereaz. Pentru a nelege mai bine problema pus s presupunem c dorim s realizm un astfel de filtru de estimare liniar a formei care, inclus ntr-un sisteme de comunicaie telefonic, va opera cu semnale vocale (s facem abstracie n acest moment de faptul c semnalul vocal nu este staionar). Filtrul este construit de productor i ulterior distribuit pe pia. Atragem aici atenia c n momentul n care filtrul a fost proiectat, respectivul proiectant nu are la dispoziie exact semnalele cu care va opera respectivul sistem. Astfel el nu are de unde s tie cine va cumpra respectivul produs i nici ce va avea de gnd s vorbeasc. Dispozitiv pe care l va proiecta trebuie s fie suficient de bun pentru a putea fi folosit de orice cumprtor (fiecare utilizator al sistemului va folosi propriile semnale, necunoscute de proiectant). n aceste condiii cum ar putea el s proiecteze filtrul optim?



Ideea de baz ar fi ca el s achiziioneze un numr suficient de mare de mostre de semnal vocal, iar proiectarea s o fac nu pentru un anumit semnal n parte ci

pentru o ntreag clas de semnale. n acest mod semnalele de referin d i cele de intrare x pentru fiecare utilizator n parte vor fi privite de proiectant ca realizri ale dou procese aleatoare staionare i cu anumite caracteristici statistice. Deoarece filtrul FIR optim va fi unic (acelai pentru toi utilizatorii,), devine evident faptul c funcia de cost va trebui s fie construit folosind o medie statistic a semnalelor eroare de la

toate perechile x , d pe care proiectantul le are la dispoziie.

1.2.1 Organizarea semnalelor sub forma unui spaiu Hilbert

Din punct de vedere formal, un mare beneficiu se va obine prin organizarea mulimii proceselor aleatoare staionare, de medie nul ca spaiu unitar Hilbert. n

acest context fie dou astfel de procese x n i y n . Este uor de verificat c funcionala biliniar hermitic (liniar pentru primul argument i antiliniar pentru cele de al doilea), definit prin

*,Def

x y E x n y n , (1.7)

n care E reprezint operatorul de mediere statistic, satisface proprietile unui produs scalar peste un spaiu complex. n consecin, ptratul normei unui semnal devine

22 ,Def

x x x E x n (1.8)

i are semnificaie fizic de putere (statistic). S remarcm posibilitatea interpretrii funciei de corelaie (statistice) ntre dou semnale, cu ajutorul produsului scalar, ca

*, , ,Def

k kr k E x n k y n x y x y x y , (1.9)

n care Not Not

k kx n x n k T x n . (1.10)

n acest context problema filtrrii optimale MS este de fapt o problem de

estimare liniar a formei (vezi Fig. 1.1.) n care se vor considera semnalele x i d drept realizri ale unor procese aleatoare staionare iar drept funcie de cost se va alege media (statistic) ptratic (mean square MS) a erorii

2MS MSJ n E e n J ct (1.11) S remarcm c funcia de cost MSJ are natur energetic (puterea statistic a

semnalului de eroare). n plus, datorit staionaritii semnalelor, funcia de cost

2 2 ,Def

MSJ E e n e n e e . (1.12)

este independent de momentul de timp ales. Astfel realizm c asigurarea (proiectarea) optimalitii MS la un moment dat este suficient pentru asigurarea optimalitii MS la orice moment de timp

Filtrul optim MS este cunoscut i sub numele de filtru Wiener. Vom considera rezolvat problema proiectrii unui filtru Wiener atunci cnd vom avea la



ndemn o metod de determinare a coeficienilor optimi 0w din structura prezentat

n Fig. 1.2.

1.2.2 Principul de ortogonalitate n contextul filtrelor optime MS

n procesul de determinare a coeficienilor optimi este necesar minimizarea

funciei de cost MSJ (1.12). Fiind astfel necesar rezolvarea unei probleme de calcul

al unui extrem, este evident importana determinrii gradientului funciei de cost MSJ

n funcie de coeficienii pondere k k kw a jb . Componentele gradientul cutat sunt

MS MSk MSk k

J JJ j

a b

, 0, 1k M . (1.13)

Lund n considerare definiia funciei de cost precum i forma explicit a erorii, dup un calcul simplu rezult pentru fiecare component a gradientului expresia

2 ,k MS kJ x e 0, 1k M . (1.14)

Remarcm c n situaia n care filtrul utilizeaz setul de coeficieni 0

kw , secvena

particular de eroare rezultat este notat cu 0e (vezi Fig. 1.2.), iar condiia de minim

pentru funcia de cost se traduce n anularea gradientului n acest punct2, sau echivalent, la anularea tuturor componentelor sale. Explicitnd se obine setul de relaii

0, 0kx e 0, 1k M , (1.15)

care reprezint formularea matematic a principiului de ortogonalitate, unde

1

0 0 0*

0

MDef

k

k

e n d n y n d n w x n k

. (1.16)

reprezint semnalul eroare pentru filtrul optim MS (vezi Fig. 1.2.).

Fie ,x

n MF subspaiul liniar complex determinat de irul variabilelor aleatoare

0, 1k M

x n k

. Principiul de ortogonalitate, unul din rezultatele de baz din

teoria filtrrii optimale n sensul mediei ptratice a erorii poate fi formulat prin:

Condiia necesar i suficient ca funcia de cost MSJ s-i ating

minimul pentru mulimea 0*kw este ca semnalul de eroare corespunztor 0e n , pentru orice moment de timp n , s fie ortogonal pe subspaiul liniar

,

x

n MF determinat de toate eantioanele intrrii pe baza crora se realizeaz

estimarea curent.

2 n mod riguros, n punctual de minim trebuie satisfcute dou condiii. Una dintre ele, caracteriznd proprietatea de extrem impune anularea gradientului. Cea de a doua, specific tipul i eventual unicitatea extremului. Pentru condiia de minim este necesar ca Hesiana s fie o matrice pozitiv semidefinit (minim) sau pozitiv definit (minim unic). Deoarece pentru filtrele optime n sens MS (filtre Wiener), aa cum se da demonstra ulterior funcia de cost este o form ptratic, cea de a doua condiie este automat satisfcut



Acest principiu este reprezentat sugestiv n Fig. 1.3. unde datorit limitrilor

de reprezentare grafic subspaiul ,x

n MF are o ilustrare planar.

F n, x N

d n 0e n

2x n

1x n x n

0 y n d n

Fig. 1.3. Principiul de ortogonalitate

O consecin a principiului de ortogonalitate ce-i va dovedi ulterior importana deosebit se poate obine imediat. tiind c estimatul semnalului de referin n cazul filtrului optim este

0 0Not

d n y n , (1.17)

se poate calcula

0 0 0* 0 0* 0*

0 0

, , 0N N

k k k k

k k

y e w x e w x e

(1.18)

de unde rezult:

Pentru un filtru optim MS semnalele de ieire 0y n (estimatul

semnalului dorit) i de eroare 0e n sunt ortogonale (vezi Fig. 1.3.).

1.2.3. Eroare medie ptratic minim. Eroarea medie ptratic minim normat

Este evident c se dorete o eroarea medie ptratic (funcia de cost) ct mai mic, ceea ce ar avea ca efect o estimare mai bun a semnalului de referin. ntruct

2

0

minJ e n . (1.19)

folosind (1.16) i (1.18) el poate fi exprimat prin

22 0 2 2

min d dJ d n y n (1.20)

unde 2

d i 2

d reprezint puterea semnalului de referin i respectiv puterea

semnalului la ieirea filtrului optim.3 Acest rezultat nu reprezint altceva dect teorema lui Pitagora n spaiul unitar

al semnalelor. (vezi Fig. 1.3.) i subliniaz faptul c estimatul d n reprezint

3 n determinarea relaiei anterioare s-a inut cont de faptul c semnalele sunt cu medie nul.



proiecia semnalului de referin d n pe subspaiul liniar ,x

n MF generat de cele M

eantioane ale semnalului de intrare. O msur a calitii estimrii se poate obine prin normarea erorii medii

ptratice minime. Se definete astfel eroarea medie ptratic normat prin

2

min

2 21 0, 1

Defd

d d

J

. (1.21)

Se observ ca depinde numai de statistica de ordin 2 a semnalului de referin i a celui estimat (la ieirea filtrului). Valori mici pentru (ctre 0) semnific o adaptare foarte bun a filtrului (estimarea semnalului dorit se face aproape perfect), iar pe de alt parte, valori mari ale lui indic o slab adaptare a filtrului la semnal.

1.2.4 Proiectarea filtrului optim MS. Sistemul de ecuaii Wiener Hopf

Condiia de filtru optim MS este echivalent cu respectarea principiului de ortogonalitate. Exist posibilitatea de a se reformula condiia de optim n termeni ai unor funcii de corelaie ai semnalului de intrare i de referin. Pentru acesta pornind de la (1.15), prin explicitarea semnalului de eroare se obine

1

0 0*

0

, 0 ,M

k k i i

i

x e x d w x

(1.22)

sau, echivalent 1

0

0

, ,M

i k i k

i

w x x x d

(1.23)

Dar ,Not

k ix x r i k r i k xx (1.24)

reprezint funcia de autocorelaie pentru semnalul de intrare, de argument i k , iar

,Not

kx d r k p k xd (1.25)

reprezint funcia de intercorelaie a semnalului de intrare cu cel de referin4. Prin folosirea notaiilor (1.24) i (1.25) n (1.23) se obine sistemul de ecuaii Wiener - Hopf:

1

0

0

M

i

i

w r i k p k

, pentru 0, 1k M (1.26)

Aadar sistemul de ecuaii Wiener - Hopf stabilete legtura ntre coeficienii filtrului optim i dou funcii de corelaie, mai precis, autocorelaia semnalului de intrare respectiv intercorelaia ntre semnalul de intrare i cel de referin.

Datorit modului compact de scriere se va dovedi benefic utilizarea unui formalism matriceal i a notaiilor urmtoare: Vectorul semnalului de intrare

. . 1Def

T

n x n x n M X ; (1.27)

4 Ultimele dou relaii folosesc implicit staionaritatea mediului



Vectorul pondere al filtrului

0 1. .Def

T

Mw w W ; (1.28)

Matricea de autocorelaie a semnalului de intrare

, 0, 1

Def NotH

i j i j ME n n r

R X X , (1.29)

unde *,Def Not

i j i jr x x E x n i x n j r j i . (1.30)

ntr-o scriere explicit R devine

0 1 .. 2 1

1 0 .. 3 2

. . .. . .

. . .. . .

2 3 .. 0 1

1 2 .. 1 0

r r r M r M

r r r M r M

r M r M r r

r M r M r r

R (1.31)

Matricea de intercorelaie ntre semnalul de intrare i cel de referin

*

0 1. .

0 . . 1

Not Not

M

T

E n d n p p

p p M

TP X

, (1.32)

n care *,ip i x d E x n i d n . (1.33)

Utiliznd acest formalism, semnalul de la ieirea filtrului discret din Fig. 1.1. poate fi scris ca

1

* *

0

MH T

k

k

y n w x n k n n

W X X W , 0n . (1.34)

Notm cu 0*kw , 0, 1k M irul coeficienilor funciei pondere pentru filtrul Wiener. Ei asigur minimizarea funciei de cost (1.12). Utiliznd acest set de coeficieni se obine:

Ieirea filtrului optim (ieirea filtrului Wiener)

1

0 0* 0 0*

0

MH T

k

k

y n w x n k n

W X X W , (1.35)

n care0W 0 00 1. . Mw w

T

este vectorul pondere optim. (1.36)

Cu ajutorul notaiilor de mai sus este posibil rescrierea compact a setului de ecuaii (1.26), obinndu-se pentru sistemul de ecuaii Wiener-Hopf forma matricial

0 R W P . (1.37)



Matricea R are o serie de proprieti remarcabile, dintre care remarcm faptul c n marea majoritate a cazurilor este nesingular, permind astfel determinarea soluiei optime

0 1 W R P . (1.38)

n concluzie rezolvarea problemei optime MS necesit cunoaterea statisticii

semnalelor de intrare i de referin, mai precis, a matricilor R i P . Construcia matricilor R i P necesit numai primele M eantioane ale funciei de autocorelaie pentru semnalul de intrare i respectiv ale funciei de intercorelaie ntre semnalul de intrare i de referin.

1.2.5 Comentarii privind utilitatea soluiei Wiener

Revenind acum la exemplul de la nceputul paragrafului 1.2, tim exact ce trebuie s fac proiectantul estimatorului optimal. Dup ce va achiziiona un numr

respectabil de mostre posibile pentru semnalele d i x , alegndu-i n prealabil ordinul M al filtrului, el va calcula M valori ale funciei de autocorelaie pentru

semnalul de intrare ( 0 , 1 ,... 1r r r M cu ajutorul crora va construi matricea R de autocorelaie. Va calcula i M valori ale funciei de intercorelaie ntre

semnalul de intrare i cel de referin ( 0 , 1 , ..., 1p p p M cu ajutorul cruia va forma matricea de intercorelaie P . Inversnd matricea de autocorelaie i

efectund nmulirea (1.38) el va obine coeficienii 0W pentru filtrului optim pe care

l caut. S observm c acest filtru nu este optimizat pentru o realizare anume a

proceselor x i d , ci va fi valabil pentru toate seturile de semnale care au aceleai funcii de autocorelaie i respectiv de intercorelaie cu cele implicate n faza de proiectare.

Ce ne asigur proiectantul filtrului Wiener?

El susine c dac se folosete setul de coeficieni 0W , la un moment dat (i

datorit staionaritii se poate generaliza pentru orice moment de timp) puterea semnalului de eroare, obinut prin medierea statistic a eantioanelor curente de

eroare pentru toi utilizatorii (aceasta este semnificaia funciei de cost MSJ ) este cea

mai mic posibil, fr a putea ns preciza exact care sunt valorile semnalului eroare pentru fiecare utilizator n parte.

Este acceptabil o astfel de situaie? Se pare c da. Mai nti s ne amintim c operarea se face n medii staionare

(semnalele nu-i schimb caracteristicile), altfel ntregul eafodaj pe care l-am construit nu are nici un sens deoarece, odat cu schimbarea caracteristicilor semnalului, ar trebui reproiectat i filtrul de estimare. Dac semnalele au funcii de autocorelaie care tind la zero (cnd argumentul autocorelaiei tinde ctre infinit) atunci este de ateptat s fie valabil ergodicitatea. Conform acesteia, mediile statistice (la orice moment de timp) sunt egale cu media temporal i ca urmare atunci cnd puterea statistic a semnalului eroare este mic, eventual zero (Wiener ne

asigur c dac se folosesc coeficienii 0W atunci se obine minimul) i puterea

calculat prin mediere temporal pentru fiecare semnal eroare n parte (aceea



msurabil cu un watmetru) s aib aceeai valoare mic, eventual zero. Vedem astfel c ergodicitatea este cea care ne permite s proiectm sisteme folosind medii statistice i s le utilizm efectund medii temporale.

1.2.6 Funcia de cost. Suprafaa de cost. Forma canonic a suprafeei de cost

Ar fi interesant de fcut unele comentarii relativ la ct de bun este filtrul Wiener pe care l proiectm. ntruct calitatea estimrii liniare a formei semnalului o

msurm prin intermediul funciei de cost MSJ (puterea semnalului de eroare), n mod

cert ne-ar place s tim, nc din faza de proiectare, care va fi valoare minim minJ a

acesteia. n acest mod putem avea o idee relativ la ct de bine ne-ar putea rezolva problema filtrul optim Wiener chiar nainte ca respectivul filtru s fie efectiv utilizat de beneficiar.

Un alt aspect se refer la faptul c, de cele mai multe ori, determinarea soluiei optime direct din ecuaia matricial (1.38) nu este convenabil n special din dou

motive. Primul este volumul mare de calcul necesar inversrii matricei R . Cel de-al doilea motiv se refer la situaia n care matricea R este singular, caz n care inversarea ei este imposibil. Aici este chiar interesant deoarece singularitatea matricei

R ne spune c soluie optim exist, dar nu este unic. Exist mai multe soluii bune

(pentru care funcia de cost MSJ este minim) dar ele nu pot fi obinute aplicnd

(1.38)!. Pentru a depi aceste dou probleme este necesar s se dezvolte alte metode, chiar i aproximative, de determinarea a optimului. Un al treilea motiv se refer la faptul c n implementrile numerice reprezentarea se face cu precizie finit i astfel

chiar dac determinarea soluiei optime Wiener (0W ) se face cu precizie suficient de

ridicat, limitrile impuse de eficiena comunicaiei sau de complexitatea sistemului

conduc la utilizarea unor valori cuantizate pentru coeficienii 0 0 0

0 1 1, , ... , Mw w w .

n consecin, utilizarea unor valori aproximative pentru coeficienii filtrului optim pare greu de evitat i astfel este de ateptat ca, n realitate, operarea s nu se fac

n punctul optim 0W . Efectul imediat va fi o cretere a funciei de cost (creterea

costului estimrii). Se ridic atunci urmtoarele ntrebri legitime: Ct de mare este creterea funciei de cost ntr-o vecintate a punctului de optim. Este acceptabil aceast cretere? Mai mult, ne-ar place s tim, nc din faza de proiectare, care va fi

valoare minim a funciei de cost ( minJ ). n acest mod putem avea o idee relativ la ct

de bine ne-ar putea rezolv problema filtrul optim Wiener Un rspuns la aceste ntrebri l-am avea dac am ti cum arat funcie de cost,

cel puin n jurul punctului de optim. Dac n aceast vecintate vom constata creteri rapide, atunci mici abateri de la valorile optime ale coeficienilor filtrului se vor traduce prin creteri accentuate n funcia de cost, sau echivalent, prin creteri semnificative ale puterii semnalului de eroare. O astfel de funcie de cost nu este suficient de bun. Putem nelege acum c alegerea funciei de cost este un proces delicat, care implic aspecte multiple.



Pentru a pune n eviden aceste fenomene se va determina funcia de cost

pentru un set oarecare W de coeficieni. Folosind (1.34), (1.12) putem explicita funcia de cost prin

2 ,

, , , , .

MSJ E e n d y d y

d d y y d y y d

(1.39)

Dar 2, dd d , (1.40)

, ,y y H H HW X X W W R W , (1.41)

i

, , 2 Re ,

2 Re , 2 Re .

d y y d y d

d

H HW X W P (1.42)

In acest caz (1.39) devine

2 2 2 ReH HMS dJ E e n W R W W P . (1.43) n punctul optim (

0W ) calculul funciei de cost conduce la

02 0 2 1

min

H H

MS d dJ J

W WP W P R P . (1.44)

Remarcm nc odat c minJ este funcie numai de statisticile semnalului de intrare i

de referin. Relaia anterioar este cea care ne permite s determinm performana filtrului optim nainte ca acesta s realizeze propriu-zis filtrarea. Astfel, proiectantul poate monitoriza prin (1.44) calitatea estimatorului i dac este nemulumit, poate modifica parametrii de proiectare (n cazul de fa singura posibilitate pe care o are la

dispoziie ar fi creterea ordinului M pentru filtru).

Explicitnd 2

d din (1.44) i introducnd rezultatul n (1.43) se obine relaia

important

0 0minH

MSJ J W W R W W . (1.45)

Notm cu

0

Def

V W W , (1.46)

diferena ntre vectorul coeficienilor i soluia optim Wiener. Atunci (1.45) capt o form mai simpl, devenind

min

H

MSJ J V R V . (1.47)

Suprafaa pe care o descrie minMSJ J ca funcie de ponderile W ale

filtrului, ntr-un spaiu cu 2 1M dimensiuni reale, se numete suprafa de cost. Este evident c proprietile suprafeei de cost sunt strns legate de matricea de

autocorelaie. ntruct R este o matrice hermitic suprafaa de cost este o form

ptratic real. Mai mult, deoarece R este n marea majoritate a cazurilor o matrice

pozitiv definit i forma ptratic H V R V va fi pozitiv definit ceea ce va

determina ca suprafaa de cost s aib un minim unic i distinct care este atins numai

cnd V 0 , sau echivalent, cnd 0W W .



n acest mod orice abatere de la soluia optim Wiener este imediat penalizat

printr-o cretere a funciei de cost. Acum se explic de ce 0MSJ W W s-a notat cu

minJ . Problema determinrii optimului se reduce astfel la gsirea coordonatelor

punctului de minim al suprafeei de cost. Este remarcabil de observat c forma i plasarea suprafeei de cost sunt determinate numai de semnalul de intrare nu i de semnalul de referin. Contribuia acestuia din urm se reflect numai n termenul

minJ .

1.3 FILTRAREA OPTIMAL LS

Filtrarea optimal LS (Least Squares) este tot un caz particular al estimrii liniare a formei unui semnal i reprezint o alternativ de succes pentru filtrele Wiener.

Spre deosebire de acestea din urm a cror teorie are ca element central conceptul de mediere statistic, filtrele LS se dezvolt n jurul ideii de mediere n domeniul timp, fr a implica astfel cunotine despre statistica semnalelor aplicate la intrare.

Fie de data aceasta spaiul semnalelor discrete de medie nul i suport

considerat mrginit ( 0, 1n L ) organizat tot ca spaiu Hilbert dar a crui metric

este bazat acum pe produsul scalar definit ca

2

1

*, ,nDef Not

LS

k n

x y x n y n x y

, (1.48)

unde valorile 1n i 2n sunt constante i alese astfel nct s defineasc, pe de o parte,

domeniul temporal pentru care se face optimizarea, iar pe de alt parte, s permit accesarea tuturor eantioanelor semnalelor necesare calculului produsului scalar. n acest spaiu, norma unui semnal are semnificaie fizic de energie i se calculeaz prin

2

1

22 2,

nDef Not

LSLSn n

x x x x n x

(1.49)

Problema filtrrii optimale LS este tot o problem de estimare liniar a

formei (vezi figura Fig. 1.1.) n care se vor considera semnalele x i d pe domeniul

temporal de interes ( 0, 1n L ) iar drept funcie de cost se va alege energia erorii

(suma ptratelor eantioanelor erorii)

2

1

2 2

,n

LS LSLSn n

J e n e n e e

. (1.50)

Minimizarea acestei energii conduce la obinerea sumei celor mai mici ptrate ale eantioanelor erorii ceea ce justific denumirea de filtrare optimal LS (least squares LS). i de aceast dat, ne vom considera satisfcui n ceea ce privete rezolvarea problemei atunci cnd vom gsi o metod de determinare a coeficienilor

optimi 0w (vezi Fig. 1.2.) care s asigure minimizarea funciei de cost (1.50), adic



0 1 1

0 0 0

0 1 1 0 1 1 min, ...min , ... , ...

M

Not

LS M LS M LSw w w

J w w w J w w w J

(1.51)

S remarcm c minimizarea energiei erorii este echivalent cu minimizarea

puterii semnalului de eroare deoarece intervalul de mediere 1 2,n n este constant. ntr-

adevr

2

1

2

2 1 2 1

1 1n

e LS

n n

P e n Jn n n n

, (1.52)

iar minimizarea funciei de cost LSJ va conduce la obinerea unei valori minime

pentru eP .

ntruct formulat astfel, din punct de vedere formal problema optimizrii LS este identic cu problema Wiener, astfel ne ateptm ca i de aceast dat s fie valabil principiul de ortogonalitate

0, 0k LSx e 0, 1k M , (1.53)

i de aici

0 0, 0LSy e (1.54)

ceea ce ne va conduce la un sistem de ecuaii similar cu sistemul de ecuaii Wiener Hopf

0

LS LS R W P . (1.55)

unde

, 0, 1

,Def Not

H

LS LS i j i j MLSn n r

R X X , (1.56)

n care 2

1

*

, , ,nDef Not

LS i j i j LS

n n

r x x x n i x n j r i j

. (1.57)

Matricea LSR poart numele de matrice de autocorelaie (temporal) a

semnalului de intrare (remarcm din (1.57) legtura ntre elementele matricei LSR i

funcia de autocorelaie temporal) i ntr-o scriere explicit devine

0,0 1,0 .. 2,0 1,0

0,1 1,1 .. 2,1 1,1

. . .. . .

. . .. . .

0, 2 1, 2 .. 2, 2 1, 2

0, 1 1, 1 .. 2, 1 1, 1

LS

r r r M r M

r r r M r M

r M r M r M M r M M

r M r M r M M r M M

R (1.58)

n ceea ce privete matricea de intercorelaie LSP ea se calculeaz prin

2

1

* 0,0 . . 1,0n Not T

LS

n n

n d n p p M

P X , (1.59)



n care 2

1

*,0 ,n

i LS

n n

p i x d x n i d n

. (1.60)

n cazul n care matricea LSR este nesingular se poate obine soluia optim

LS

0 1

LS LS

W R P . (1.61)

capitolul1 filtre optime tcsm

Documents