edc2

Capitolul 2

Existenta si unicitatea solutieiproblemei Cauchy

an univ. 2001/2002

Vom prezenta pe scurt principalele momente din evolutia studiului problemei cu valoriinitiale numita si problema Cauchy. Aceasta consta in determinarea unei solutii x = x(t) aunei ecuatii diferentiale, care pentru o valoare data t0 ia o valoare precizata x0.

Numeroase ecuatii diferentiale nu pot fi rezolvate explicit. De aceea s-au cautat conditiisuficiente cat mai generale asupra datelor unei probleme cu valori initiale pentru ca aceastasa admita cel putin o solutie. Primul care a stabilit un rezultat notabil in acest sens afost Augustin Cauchy (1789-1857) care, in 1820, a utilizat metoda liniilor poligonale pentrua demonstra existenta locala (nu si unicitatea) pentru problema cu valori initiale al caruimembru drept este o functie de clasa C1. Metoda, imbunatatita de Lipschitz (1832-1903) afost impusa in cadrul cel mai general de catre Giuseppe Peano (1858-1932) in 1890.

Un alt pas important in ceea ce priveste problema aproximarii solutiilor unei ecuatiidiferentiale a fost facut in 1890 de catre Emile Picard (1856-1941) cand a introdusmetodaaproximatiilor succesive, devenind curand foarte cunoscuta.

Dupa cum am vazut, principala preocupare a matematicienilor secolelor XVII-XVIII,referitoare la ecuatiile diferentiale, a fost de a pune in evidenta unele metode eficiente, fie dedeterminare explicita a solutiilor, fie de aproximare a lor. Din pacate s-a constatat ca acesteobiective sunt rareori realizabile. In conferinta tinuta in cadrul Congresului Internationalal Matematicienilor din 1908 Henri Poincare a afirmat: In trecut o ecuatie era consideratarezolvata numai daca se exprima solutia cu ajutorul unui numar finit de functii cunoscute;dar aceasta este greu de realizat intr-un caz dintr-o suta. Ceea ce putem face intotdeauna,sau mai degraba ceea ce putem intotdeauna incerca sa facem, este de a rezolva sa spunemproblema calitativa, adica sa incercam sa gasim forma curbei ce reprezinta functia necunos-cuta.

23

24 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY

2.1 Existenta si unicitatea solutiei problemei Cauchy

Fie multimea D R2 dreptunghiul (multime compacta) de formaD = {(t, x) | |t t0| a, |x x0| b}

si fie functia f : D R.Problema Cauchy atasata unei ecuatii diferentiale de ordin intai consta in gasirea

unei functii de clasa C1, x = x(t), definita pe un interval I [t0 a, t0 + a] satisfacandx(t) = f(t, x(t)), t I, t0 I si x(t0) = x0. Vom nota o astfel de problema prin{

x = f(t, x)x(t0) = x0.

(2.1)

Definitia 2.1 O functie x : I R cu proprietatile de mai sus se numeste solutie pentruproblema (2.1).

Distingem mai multe tipuri de solutii pentru (2.1). Astfel, daca I = [t0 , t0 + ] ,solutia x se numeste solutie globala, in caz contrar locala. Daca I = [t0, ) sau I = [t0, ] ,atunci x se numeste solutie la dreapta. Analog, daca I = [, t0) sau I = [, t0] , atuncix se numeste solutie la stanga, in timp ce daca inf I 0 depinzand, n general, de punctul (t0, x0).

In acest caz vom spune ca f este local lipschitziana in raport cu variabila x. Dacainegalitatea (2.2) este satisfacuta cu aceeasi constanta pentru orice pereche de puncte (t, x)si (t, x) din D, vom spune ca f satisface pe D conditia Lipschitz globala in raport cuvariabila x.

Observatia 2.1 Dacafx

exista si este local marginita in D, conditia Lipschitz amintitaeste satisfacuta.

Teorema 2.1 (Teorema de existenta si unicitate a solutiei problemei Cauchyecuatiei diferentiale de ordin ntai)

Daca f = f(t, x) este continua in D si local lipschitziana in raport cu variabila x,atunci pentru orice punct (t0, x0) D exista o solutie unica x = x(t) a ecuatiei (2.1),definita intr-o vecinatate suficient de mica a lui t0, |t t0| h unde h = min

{a,

bM

},

unde M = sup(t,x)D1

|f(t, x)| si indeplinind conditia x(t0) = x0.

2.1. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY 25

Demonstratie.In ipoteza ca exista o solutie a problemei Cauchy (2.1), y = y(t), vom avea

y(t) = f(t, y(t)),t J si y(t0) = x0. Deoarece y si f sunt functii continue avem:

y(t) = x0 +

tt0

f (s, y(s)) ds. (2.3)

Orice solutie a lui (2.1) este si solutie a lui (2.1) si reciproc.Pentru a demonstra teorema vom arata ca ecuatia (2.1) admite solutie continua pe

intervalul |t t0| h unde h = min{a,

bM

}. Deoarece f este continua pe un interval

compact rezulta ca exista M = sup(t,x)D1

|f(t, x)| (teorema lui Weierstass). Conditia x(t0) =x0 este echivalenta cu faptul geometric: graficul solutiei trece prin punctulde coordonate(t0, x0).

Pentru determinarea solutiei y = y(t) vom folosi metoda aproximatiilor succesive.Metoda consta in a construi un sir de functii continue, (yn(t))nN care sa convearga uniformpe multimea |t t0| h catre o functie continua y(t), solutie a ecuatiei (2.1).

Definim sirul aproximatiilor succesive prin relatia de rcurenta

yn(t) = x0 +

tt0

f (s, yn1(s)) ds, (2.4)

Demonstram ca acest sir are urmatoarele proprietati:- verifica conditia initiala yn(t0) = x0, (integrala din (2.4) este nula);- toti termenii sirului sunt functii continue pe intervalul [x0 h, x0 + h] deoarece f este

continua si toate intergralele care intervin sun functii continue;- pentru t [t0 h, t0 + h] yn(t) [x0 b, x0 + b] , n N. Demonstram prin

inductie.

Avem: |f(t, x)| M,(t, x) D deci |y1(t) x0| =tt0

f(s, y0)ds

M |t t0| Mh b deoarece h = min

{a,

bM

}.

Presupunem ca yn1(t) satisface conditia yn1(t) [x0 b, x0 + b] ; de aici rezulta ca|f(t, yn1(t))| M, (t, x) D. Putem scrie marginirea |yn(t) x0| =

tt0

f(s, yn1(s))ds

M |t t0| Mh b deoarece h = min

{a,

bM

}, adica toate aproximatiile succesive

apartin intervalului [x0 b, x0 + b] .- sirul (yn(t))nN converge uniform pe multimea |t t0| h catre o functie continua

y(t) cand n.


Convergenta acestui sir este echivalenta cu convergenta seriei de functii

y0 + (y1(t) y0) + (y2(t) y1(t)) + . . .+ (yn(t) yn1(t)) + . . . (2.5)deoarece sirul sumelor partiale ale seriei (2.5) este sirul (yn(t))nN.

Pentru a arata ca seria (2.5) converge uniform pe intervalul considerat este suficient saaratam ca este majorata de o serie numerica cu tremeni pozitivi convergenta. Aratam capentru t [t0 h, t0 + h] ,

|yn(t) yn1(t)| MLn1 |t t0|n

n!, n = 1, 2, . . . (2.6)

Demonstram inegalitatea (2.6) prin inductie. Avem:

|y1(t) x0| tt0

f(s, x0)ds

M |t t0| .Presupunem inegalitatea adevarata pentru n 1,|yn1(t) yn2(t)| MLn2 |t t0|

n1

(n 1)!si aratam ca este adevarata pentru n; avem, folosind conditia lui Lipschitz,

|yn(t) yn1(t)| tt0

[f(s, yn1(s)) f(s, yn2(s))] ds L

tt0

[yn1(s) yn2(s)] ds

Ltt0

MLn2 |s t0|n1

(n 1)! ds

sau

|yn(t) yn1(t)| MLn1tt0

|s t0|n1(n 1)! ds

MLn1 |t t0|nn! .Deoarece |t t0| h avem|yn(t) yn1(t)| ML

(Lh)n

n!, t [t0 h, t0 + h] .

Deoarece serian=1

ML(Lh)n

n!este convergenta (folosim criteriul raportului), rezulta ca se-

ria y0+n=1

(yn(t) yn1(t)) este absolut si uniform convergenta pentru t [t0 h, t0 + h] .Rezulta ca limita sirului de aproximatii este o functie continua. Fie x(t) = lim

n yn(t).

Trecand la limita in relatia (2.4) obtinem ca x veifica ().Demonstram ca x este solutia cautata. Din (2.1) se observa ca x(t0) = x0 (integrala va fi

nula) si deoarece functia definita cu ajutorul integralei din (2.1) este continua si derivabila,rezulta ca x C1 ([t0 h, t0 + h] ,R) iar prin derivarea relatiei (2.1) .


x(t) = ddt

x0 + tt0

f (s, x(s)) ds

= f(t, x(t))si ecuatia diferentiala (2.1) este verificata.

Unicitatea solutiei. Presupunem ca problema ar mai admite o solutie (t) care satisface

aceeasi conditie initiala si deci (t) = x0 +

tt0

f (s, (s)) ds. Atunci

|yn(t) (t)| tt0

[f(s, yn1(s)) f(s, (s))] ds L

tt0

[yn1(s) (s)] ds

Ltt0

MLn2 |s t0|n1

(n 1)! ds MLn1 |t t0|nn! ML (Lh)nn! ,t [t0 h, t0 + h]

de unde deducem ca limn yn(t) = (t) = x(t)

Observatia 2.2 . Caracterul local al teoremei precedente este evident, deoarece ea negaranteaza existenta solutiei numai pe un interval suficient de mic, cu centrul in t0. Defapt, solutia gasita poate fi prelungita, obtinandu-se o solutie a ecuatiei (2.1), definita peun interval ce include pe [t0 h, t0 + h]. intr-adevar, considerand punctul (t0h, x(t0h))din D si aplicand din nou teorema, vom construi o alta solutie a ecuatiei (2.1), definita peun interval de forma [t0 h 1, t0 h+ 1], cu conditia 1 > 0 suficient de mic. Aceastasolutie va coincide cu cea gasita anterior, pe intervalul comun de definitie. La fel, plecandde la punctul (t0+h, x(t0+h)) D, gasim o solutie a ecuatiei (2.1), definita pe un intervalde forma [t0+h2, t0+h+2], cu 2 > 0 suficient de mic. Aceasta noua solutie va coincidecu cea definita pe [t0 h, t0+ h], in intervalul comun de definitie. Concluzia este ca solutiaa carei grafic trece prin (t0, x0) este definita cel putin pe intervalul [t0 h 1, t0+ h+ 2].Rationamentul se poate continua pana ce se obtine o solutie a carei grafic nu mai poatefi prelungit, fie din cauza ca se ajunge la frontiera domeniului D, fie din cauza ca graficulrespectiv are asimptota verticala. O astfel de solutie se numeste solutie saturata a ecuatiei(2.1). Graficele a doua solutii saturate distincte nu au nici un punct comun, caci in cazcontrar in acel punct s-ar contrazice rezultatul local de unicitate.

Observatia 2.3 Daca se renunta la conditia Lipschitz, admitand numai ca f este continuain D, teorema lui Peano afirma ca prin orice punct (t0, x0) D trece cel putin un grafic alunei solutii a ecuatiei (2.1). Cu alte cuvinte, acum avem garantata numai existenta localaa solutiei pentru care x(t0) = x0, nu si unicitatea ei. De asemenea, nu putem garanta ca dedata aceasta sirul aproximatiilor succesive este uniform convergent la solutia respectiva; indemonstratia Teoremei 2.1 se folosea in mod esential faptul ca f este local lipschitziana inraport cu x.

Exemplul 2.1 Consideram problema Cauchy,

28 CAPITOLUL 2. EXISTENTA SI UNICITATEA SOLUTIEI PROBLEMEI CAUCHY{x(t) = x2/3(t)y(x0) = 0

cu membrul al doilea functie continua f(t, x) = x2/3. Observam ca x(t) 0 este solutie aproblemei puse, dar si x(t) = (1/27)(t t0)3 este tot o solutie a problemei. In acest caz,prin punctul (t0, 0) trec graficele a doua solutii distincte ale ecuatiei date; aceasta se explicaprin aceea ca functia f(t, x) = x2/3 nu este lipschitziana in raport cu variabila x, in nici ovecinatate a punctului (t0, 0).

Notiunea de sistem diferential este o generalizare a notiunii de ecuatie diferentiala si,de obicei, ntr-un sistem diferential, numarul ecuatiilor este egal cu numarul functiilornecunoscute.

Definitia 2.3 Forma normala a unui sistem diferential de ordin ntai cu n functiinecunoscute y1, y2, . . . , yn este:

y1(t) = g1 (t, y1(t), . . . , yn(t))y2(t) = g2 (t, y1(t), . . . , yn(t)) yn(t) = gn (t, y1(t), . . . , yn(t))

(2.7)

unde functiile gi = gi (t, y1, . . . , yn) , i = 1, n sunt definite si continue pe D = IU Rn+1,I R cu valori reale.

Daca g :D Rn+1 Rn si notam y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) ,g (t,y) = (g1 (t, y1, . . . , yn) , . . . , g1 (t, y1, . . . , yn)) obtinem scrierea vectoriala a sistemuluidiferential de ordin ntai cu n functii necunoscute (2.7) (care poate fi privita ca o ecuatiediferentiala vectoriala de ordin ntai) de forma:

y(t) = g (t,y(t)) . (2.8)

Definitia 2.4 O solutie a sistemului de ecuatii diferentiale de ordin ntai (2.8) este onupla de functii (y1, . . . , yn) : I Rn de clasa C1 pe intervalul cu interior nevid I, caresatisface (t, y1(t), . . . , yn(t)) Dom(g) si verifica (2.8) pentru orice t I.Definitia 2.5 Solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale de ordin ntai (2.7)este o familie de functii {y(, c) : I R; c = (c1, . . . , cn) Rn} definita implicit de n relatiide forma

G(t,y, c) = 0 (2.9)

n care G :Dom(G) R2n+1 Rn este o functie de clasa C1 an raport cu primele n + 1variabile, cu proprietatea ca prin eliminarea celor n constante c1, . . . , cn din sistemul

ddtG(t,y(t), c) = 0

si nlocuirea lor n (2.9) se obtine tocmai (2.8).


Problema Cauchy pentru sistemul diferential (2.8) consta n determinarea unei solutiiy(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) care verifica conditiile yi(t0) = yi0 R, i = 1, n, t0 I. Numerelet0, yi0, i = 1, n, se numesc conditii initiale.

Definitia 2.6 O solutie a sistemului diferential (2.8) care satisface conditiile initiale date,se numeste solutie particulara.

Definitia 2.7 Functia g :D Rn+1 Rn satisface conditia Lipschitz locala n raportcu variabila vectoriala y = (y1, . . . , yn) , daca pentru orice punct (t0,y0) D, unde y0 =(y10, . . . , yn0) , exista o vecinatate V(t0,y0) D, astfel ncat oricare ar fi (t,y) si (t,y) dinV(t0,y0), are loc inegalitatea

g(t,y) g(t,y) L y y (2.10)constanta L > 0 depinzand, n general, de punctul (t0,y0).

Teorema 2.2 (Teorema de existenta si unicitate a solutiei problemei Cauchypentru sisteme diferentiale de ordin ntai)

Daca functia vectoriala g = (g1, . . . , gn) este continua n D si local lipschitziana nraport cu variabila vectoriala y = (y1, . . . , yn), atunci pentru orice punct (t0,y0) D existao solutie unica y(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) a sistemului (2.8), definita ntr-o vecinatate suficientde mica a lui t0 si ndeplinind conditiile yi(t0) = yi0 R, i = 1, n.

Reamintim forma normala a ecuatiei diferentiale ordinare de ordin n, ecuatia

x(n) = f(t, x, x, . . . , x(n1)), (2.11)unde f definita pe o submultime D = I U Rn+1 cu valori n R,

Problema Cauchy pentru ecuatia diferentiala de ordin n :Sa se determine functia x Cn(I,R), I un interval nevid deschis n R astfel ncat{

x(n) = f(t, x, x, . . . , x(n1))x(t0) = x00, x(t0) = x10, . . . , x(n1)(t0) = xn0

, (2.12)

unde f : D R, t0 I, xi0 R,i = 0, n.Prin intermediul transformarilor{

(y1, y2, . . . , yn) =(x, x, . . . , x(n1)

)g (t,y1, . . . , yn) = (y2, . . . , yn, f(t, y1, y2, . . . , yn))

, (2.13)

ecuatia (2.11) poate fi rescrisa echivalent ca un sistem de n ecuatii diferentiale de ordinntai cu n functii necunoscute:

y1 = y2y2 = y3...yn1 = ynyn = f(t, y1, y2, . . . , yn)

. (2.14)


In acest fel studiul ecuatiei (2.11) se reduce la studiul sistemului (2.14).

Teorema 2.3 (Teorema de existenta si unicitate a solutiei problemei Cauchypentru ecuatia diferentiala de ordin n)

Daca functia f este continua n D si local lipschitziana n raport cu variabila vectorialay = (y1, . . . , yn), atunci pentru orice punct (t0,y0) D exista o solutie unica x(t) a ecuatei(2.11), definita ntr-o vecinatate suficient de mica a lui t0 si ndeplinind conditiile x(t0) =x00, x(t0) = x10, . . . , x(n1)(t0) = xn0, t0 I, xi0 R,i = 0, n.

2.2 Metoda aproximatiilor succesive

In multe situatii este foarte important sa cunoastem nu numai ca o problema Cauchy aresolutie unica pe un anumit interval, dar si cum putem gasi aceasta solutie. Din pacateclasa functiilor f pentru care putem obtine o reprezentare explicita a solutiei este foarterestransa.

Daca f = f(t, x) este continua in D si local lipschitziana in raport cu variabila x,consideram aproximatiilor succesive, cu x0(t) = x0, xn(t) = x0 +

tt0

f (s, xn1(s)) ds, n =

1, 2, . . . . Fie D = {(t,y) | t0 a t t0 + a, y y0 b}. Putem obtine, dacain plus |f(t, x)| M,(t, x) D, urmatoarea formula de evaluare a erorii: xn x M

Lnhn+1

(n+ 1)!,n N, |t t0| h. Pentru a demonstra aceasta formula observam ca

|x(t) x0| =tt0

f (s, x(s)) ds

M |t t0| x x0 M |t t0| .Utilizand aceasta inegalitate obtinem:

x1 x = supt[t0h,t0+h]

tt0

(f (s, x0) f (s, x(s))) ds

supt[t0h,t0+h]

tt0

|(f (s, x0) f (s, x(s)))| ds tt0

L supt[t0h,t0+h]

|x0 x(s)| ds

Ltt0

x x0 ds ML |t t0|2

2!.

Aceasta inegalitate sugereaza ca, pentru orice k N si |t t0| h, ar trebui sa avem:

xk x MLk |t t0|k+1(k + 1)!

. (2.15)

Pentru k = 0 si k = 1 aceasta inegalitate este evident satisfacuta. Presupunem ca (2.15)are loc pentru un k N si |t t0| h. Atunci

edc2

Documents