Ecuatii de gradul I. Modulul numerelor reale. Desigur ca rezolvarea ecuatiilor de gradul I este acoperita de programa claselorV-VIII.Nuestelipsitinsadeinteressaconsideramuneleexemple carepresupunconsiderareamaimultorcazuri,infunctiedevalorileunor parametri. Ex. 1. Sa se rezolve si sa se discute ecuatiile: a) 24 6 4 9 mx m x + +b) 21 3 22 1 4 1m xx x+ ++ Solutie. a) Dupa separarea necunoscutei si factorizare, ecuatia se scrie: ( ) ( )( ) ( )24 9 4 6 2 3 2 3 22 3 m x m m m x m + Incazurileincarecoeficientulluixestenenul,adicapentru 3\2m t' ' R , rezulta solutia unica ( )( )( )22 3 22 3 2 3 2 3mxm m m + +. Sa consideram acum situatiile in care coeficientul lui x se anuleaza: i) 32m .Ecuatiadevine0=0,adicaidentitate.Oricexrealesteo solutie a ecuatiei. ii) 32m . Ecuatia devine 0=-12, propozitie falsa. In acest caz, ecuatia nu are solutie (multimea solutiilor sale este vida). Celetreicazuridistincteprezentatemaisuspotfisintetizatein urmatorul tabel: 3\2m t' ' R22 3xm+ solutie unica 32m x R32m x b) Primul aspect care trebuie avut in vedere atunci cand in ecuatie apar numitori este includerea unor conditii ca acestia sa nu se anuleze. In exemplul de fata, aceste conditii sunt 22 1 0, 4 1 0 x x + si ele conduc la 1\2x t' ' R . Dupaamplificareaprimeifractiicu2 1 x sieliminareanumitorilor,ecuatia devine( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 2 1 2 3 1 2 4 m x x m x x m mx m + + + + + + Daca{ \ 0 mR ,rezulta 42mxm+ .Nusunteminsasiguricaaceasta solutie a ecuatiei( ) verifica si ecuatia initiala. Trebuie sa ne asiguram ca nu se anuleaza numitorii din ecuatia initiala. Procedam prin negarea conditiei si rezolvam pe rand ecuatiile: 4 12 8 2 8 02 2mm m mm+ + 4 12 8 2 4 8 22 2mm m m mm+ + Amdeterminatdecivaloarea2 m ,pentrucaresolutiaecuatiei( ) nu verifica ecuatia initiala.Mairamanedeanalizatcazul0 m .Ecuatia( ) devine0=4sieste imposibila. Sintetizand, rezulta tabelul: { \ 2, 0 m R42mxm+solutie unica { 2, 0 mx Ex. 2. Sa se rezolve si sa se discute inecuatia1,1x mmmx R . (G.M.B, 1974) Observatie.Sareamintiminaintedetoatesemnulfunctieidegradulintai ( ) : , , , , 0 f f x ax b a b a + R R R . xba , 0 ax ba + > 0 + + + + + + + +, 0 ax ba + < + + + + + + + +0 Solutie. Existenta numitorului impune 1 0 mx . Pentru0 m , aceasta revine la 1\ xm ' ' R ;pentru0 m ,conditiaeste1 0 siseverificapentruoricex real. Se trece 1 in membrul stang, aducand la acelasi numitor: ( )( )( )1 1 11 0 0 01 1 1m x x m x m mxmx mx mx+ +

Distingem trei cazuri: a)daca1 1 0 m m > + > , inecuatia revine la 101xmx b)daca1 1 0 m m < + < , avem 101xmx c)pentru1 m , rezulta0 0 , adevarata oricare ar fi{ \ 1 x RCazul0 m il vom considera separat. Sa tratam pe rand cazurile a) si b) (mai putin situatia in care0 m ). Se observa ca numaratorul se anuleaza in1 x , iar numitorul in 1xm . Se impune deci ordonarea acestor puncte pe dreapta reala.Amputearezolvainecuatia 11m> (cuajutorulunuitabel),darintuitiv este mai simplu sa observam ca: i)daca 10 0 1 mm< < < ; ii)daca( )10,1 1 mm > ; iii)daca 11 1 mm> < ; iv)daca 11 1 mm . Tinand cont de aceste observatii, rezulta urmatoarele cazuri: a1)( ) 1, 0 m . Avem de rezolvat inecuatia 101xmx, iar 10 1m < < . Se alcatuieste tabelul: x1m1 1 x 0+ + + + + + +1 mx 0 + + + + + + + + + + +11xmx + + + +| 0+ + + + + + + Rezulta solutia[ )1, 1, xm| ` . ,. a2)( ) 0,1 m . Avem de rezolvat aceeasi inecuatie 101xmx, dar 11m > . Sealcatuiesteuntabelsimilarceluidemaisus,rezultandsolutia 11, xm `

, (atentie la semnul numitorului). a3)1 m . Inecuatia revine la 10 1 01xxx . a4)( ) 1, m .Inacestcaz, 10 1m< < .Alcatuinduntabelcamaisus, rezulta 1,1 xm| ]

]. ].In cazul b), avem de rezolvat inecuatia 101xmx, iar 10 1m < < . Se alcatuieste un tabel, obtinand solutia 1,1 xm| ]

]. ].In fine, a ramas de stabilit ce se intampla cand0 m . Inecuatia initiala devine[ ) 1 1, x x . Pentruatreceinrevistatoatecazurile(sisuntcevalanumar!), alcatuim tabelul: mSolutia inecuatiei ( ) , 1 m 1,1 xm| ]

]. ] 1 m { \ 1 x R( ) 1, 0 m[ )1, 1, xm| ` . , 0 m [ ) 1, x ( ) 0,1 m 11, xm `

, 1 m x ( ) 1, m 1,1 xm| ]

]. ] Nu consideram ca un astfel de exercitiu trebuie sa faca parte din setul desubiectedebacalaureat.Rezolvarealuipunefoartebineinevidenta abilitatea de a distinge intre mai multe posibilitati; de aceea, il consideram util in pregatirea candidatilor. Ex. 3. Sa se rezolve: a)ecuatia2 2 1 x x x + ; b)sistemul 55 5 9x yx y + ' + Solutie. a) Notam cu( ) u xcantitatea din interiorul modulului mare. Ecuatia se scrie( ) ( ) 1 1 u x u x t .Seobservainsaca( ) u x estesumaadoua module, deci( ) ( ) 0 1 u x u x . Ecuatia devine deci: 2 2 1 x x x + . Se expliciteaza modulul interior si rezulta: 2 , daca022 3 3 3, daca0x x x x x xx xx x x x x x '+