UNIVERSITATEA BUCURETI FACULTATEA DE MATEMATIC I INFORMATIC L LU UC CR RA AR RE EM ME ET TO OD DI IC CO O- - T TI II IN N I IF FI IC C P PE EN NR RU UO OB B I IN NE ER RE EA A G GR RA AD DU UL LU UI ID DI ID DA AC CT TI IC CI I COORDONATOR TIINTIFIC: Prof. Univ. Dr. DRAGO TEFAN CANDIDAT: VICTORIA DUU COLEGIUL TEHNIC TRAIAN BUCURETI, sect. 2 I IN NE EL LE ED DE EP PO OL LI IN NO OA AM ME E P PR RO OP PR RI IE ET T I IA AR RI IT TM ME ET TI IC CE E C CU UP PR RI IN NS S CAPITOLUL 1INELE I CORPURI3 1.1. INEL. SUBINEL. IDEAL3 1.2. DIVIZIBILITATEA N DOMENII DE INTEGRITATE10 1.3. CORP. SUBCORP17 1.4. INELE DE POLINOAME22 1.5. FUNCIA POLINOMIAL. RDCINILE UNUI POLINOM31 CAPITOLUL 2PROPRIETI ARITMETICE ALE INELULUI DE POLINOAMENTR-O SINGUR NEDETERMINAT I AVND COEFICIENI NTR-UN CORP COMUTATIV36 2.1. INELE EUCLIDIENE I INELE PRINCIPALE36 2.2. TEOREMA MPRIRII CU REST..39 2.3. CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN40 2.4. POLINOAME IREDUCTIBILE N INELE DE POLINOAME CU COEFICIENI NTR-UN CORP46 CAPITOLUL 3 PROPRIETI ARITMETICE ALE INELULUI DE POLINOAME NTR-O SINGUR NEDETERMINAT I AVND COEFICIENI NTR-UN INEL FACTORIAL..50 3.1. INELE FACTORIALE50 3.2. FACTORIALITATEA INELELOR DE POLINOAME..53 3.3. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE PENTRU POLINOAME57 CAPITOLUL 4CONSIDERAII METODICE, APLICAII61 4.1. ASPECTE METODICE PRIVIND ARITMETICA POLINOMELOR N COAL61 4.2. RDCINILE POLINOAMELOR CU COEFICIENI REALI,RAIONALl, NTREGI 69 4.3. PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTIC73 4.4. PROBLEME REZOLVATE81 BIBLIOGRAFIE94 Lucrarea de fata prezinta cateva proprietati ale inelelor de polinoame si o prezentare a unor modalitati didactice de aplicare a acestora la nivel preuniversitar, cu precadere ultima clasa de liceu.Dinpunctdevederestiintificlucrareaestructuratapemaimulte capitole, respectiv notiuni si proprietati generale ale ineleor si corpurilor, apoi proprietatiaritmeticealeineluluidepolinoameintr-osinguranedeterminata avand coeficienti intr-un corp comutativ, proprietati aritmetice ale inelului de polinoameintr-osinguranedeterminataavandcoeficientiintr-uninel factorial, iar ultimul capitol consideratii metodice si aplicatii. Matematica,incalitateaeimilenaradereginaatututrorstiintelor, ramane o atractie permanenta si o provocare atat pentru profesori cat si pentru elevi. CAPITOLUL I INELE I CORPURI 1.1. INEL. SUBINEL. IDEAL. Definiia 1.1.1. Fie A o mulime nevid i dou legi definite pe A, una notat aditiv i numit adunare, iar alta notat multiplicativ, numit nmulire:+ : AAA : AAA. Tripletul( ) , , A+ se numete inel dac: G) (A, +) este grup abelian, numit grupul aditiv subiacent inelului: A) ,,+ este asociativ: (x + y) + z = x + (y + z),x, y, zA C) ,,+ este comutativ: x + y = y + x,x, y A N) exist element neutru, numit element nul, n raport cu adunarea: 0A astfel nct x + 0 = 0 + x = x,xA S) orice element din A e simetrizabil n raport cu adunarea (are un opus): xA,-xA astfel nct x + (- x) = - x + x = 0; - x = opusul lui x S) (A, ) este semigrup: nmulirea este asociativ n A: (x y) z = x (y z),x, y, zA D) nmulirea este distributiv la stnga i la dreapta fa de adunare: x, y, zA avem: x (y + z) = (x y) + (x z) (x + y) z = (x z) + (y + z). Dac operaia de nmulire admite element neutru, spunem c inelul este cu element unitate saucesteinelunitar.Elementulneutrulanmuliresenoteazcu1isenumete elementul unitate al inelului A. Aadar A este unitar dac: 1A, astfel nct x 1 = 1 x,xA. Dacnmulireaestecomutativ,adicx y=y x, x,y,zA,atunciineluleste comutativ. Exemple:1) Mulimile ,,, cu operaiile obinuite de adunare i nmulire formeaz inele comutative i unitare. 2) Dac n este un numr ntreg, atunci mulimea n ={nk / kZ}este inel comutativ neunitar fa de adunarea i nmulirea obinuit a numerelor ntregi. 3)MulimeaC([0,1],)={f:[0,1] /fcontinu}cuadunareainmulirea funciilor,f+gifg,definitenmoduzual,(f+g)(x)=f(x)+g(x)i(fg)(x)=f(x)g(x), este un inel comutativ i unitar.4) Fie G un grup abelian i End(G) = {f: GG / f morfism de grupuri}. Mulimea End(G) mpreun cu adunarea i compunerea morfismelor, f + g i fg, definite prin(f+g)(x)=f(x)+g(x)i(fg)(x)=f(g(x))esteuninelunitar,numitinelul endomorfismelor grupului abelian G. Elementul unitate este morfismul identic al lui G. 5)(Rn,, )undeRn={0,1,2,3,...,n-1},iaroperaiiledeadunareinmulire modulo n se definesc astfel: a b def= (a + b)mod n, a b = (a b)mod n este inel comutativ unitarnumitinelulresturilormodulon.Elementeleneutresunt0respectiv1,iar elementul opus al lui a este n-a. 6)Mulimea n

{ }0,1,..., 1 = n aclaselorderesturimodulonmpreuncuadunareai nmulireaclaselor, x y x y + = i x y x y = ,formeazuninelcomutativ i unitar numit inelul claselor de resturi modulo n. Elementele neutre sunt0 respectiv1, iar elementul opus al lui a este

n-a.7)Mulimea [i]={a+bi/a,b,i2=-1}mpreuncuadunareainmulirea numerelor complexe formeaz un inel comutativ unitar numit inelul ntregilor lui Gauss. 8)( d ( ,+, )unde d ( ={a+b d /a,b ,d=liberdeptrate}(Senumete numrliberdeptrate,unnumrntregdcarenuarecadivizorptratuloricruinumr prim) este inel comutativ unitar unde 0 = 0 + 0 d , 1= 1 + 0 d , iar opusul elementului a + b deste -a - b d . Inelul ntregilor lui Gauss se obine din d ( , pentru d = - 1. 9)Mulimeamatricelorptratice nM ( )mpreuncuadunareainmulireamatricelor esteinelunitarnecomutativ.Elementeleneutresuntmatriceanul0nimatriceaunitate In, iar matricea opus matricei A este A. Definiia 1.1.2. Un inel care conine cel puin dou elemente se numete inel nenul. Definiia 1.1.3. DacAesteuninelunitar,atuncielementeleluiAsimetrizabilenraportcuoperaia multiplicativ se numesc elemente inversabile sau uniti ale inelului A. Inversul sau simetricul lui a se noteaz cu a1 . Mulimea elementelor simetrizabile din A fa de nmulire se noteaz cu U(A): U(A) = {aA / a inversabil n A}. Observaia 1.1.4. U(A)areostructurdegrupfadeoperaiadenmuliredinA.Acestgrupsenumete grupulmultiplicativalelementelorinversabilealeineluluiA.Elementulneutrual grupului este 1. Exemple: 1) U( ) ={1, -1}; U( ) =; U( ) =; U( ) =. 2) U(C ([0, 1],) ) ={f : [0, 1] [0, 1] / f continu i bijectiv}. 3) U(End(G)) = {f: GG / f izomorfism de grupuri}.=not Aut(G). 4) U( [i]) ={1, -1, i, -1}. 5) U(nM ( )) ={ ( )/nA A M } inversabil . Propoziia 1.1.5. Unelement x din n esteinversabildacinumaidacxesteprimcun.nparticular, dac n este prim, orice element nenul din neste inversabil. Demonstraie: Spresupunemc x esteinversabiln.Atunciexist y n,astfelnct x y =1, adic n| (xy 1), de unde xy 1 = nk, k . Rezult xy + n(- k) = 1 de unde (x, n) = 1. Reciproc, dac (x, n) = 1, exist h i k astfel nct xh + nk = 1.Trecnd la clase, avem1=

+ xh nk = + xh nk= + xh nk = 0 +xh k=

xhi deci exist hastfel nct

xh =

xh =1. Prin urmare xeste element inversabil n n . Observaia 1.1.6. U(n ) = { }/( , ) 1 = na a n . Exemple: 1) U(8 ) = { }1, 3, 5, 7 2) U(12 ) = { }1, 5, 7,11. Definiia 1.1.7. Fie A un inel i aA. Spunem c elementul a este divizor al lui zero la stnga (respectiv la dreapta) dac exist bA, b 0 astfel nct ab = 0 (respectiv ba = 0). Un element a care este n acela timp divizor al lui zero la stnga i la dreapta se numete simplu, divizor al lui zero. Observaia 1.1.8. Dac A este inel comutativ, noiunile de divizoral lui zero la stnga i la dreapta coincid cu cea de divizor al lui zero. Observaia 1.1.9. Un inel A nu are divizori ai lui zero dac pentru orice x, yA astfel nct xy = 0, rezult c x = 0 sau y = 0. Definiia 1.1.10. Un inel unitar nenul fr divizori ai lui zero la stnga i la dreapta nenuli se numete inel integru. Dac, n plus, inelul este i comutativ, va fi numit domeniu de integritate. Propoziia 1.1.11. ntr-un inel unitar, dac un element e inversabil, atunci nu e divizor al lui zero. Demonstraie: Fie x un element inversabil dintr-un inel A. Atunci exist x 1 A astfel nctx x 1 = x 1 x = 1. Fie xy = 0 i prin nmulire cu x 1 rezult x 1 xy = x 1 0, apoi 1 y = 0, iar n final y = 0. Aadar x nu e divizor al lui zero. Exemple i contraexemple: 1) ( , +, ); ( , +, ); ( , +, ); ( [i], +, ) sunt domenii de integritate. 2)C([0,1], )={f:[0,1] /fcontinu}cuadunareainmulireafunciiloresteinel comutativ unitar cu divizori ai lui zero.Funciilef,g:[0,1] ,f(x)= ]10, 0,21 1, ,12 2xx x(( | \ ,g(x) =]1 1, 0,2 210, ,12x xx( ( | \ sunt divizori ai lui zero. 3) n = { }0,1, 2,..., 1 n ,n2mpreun cuadunareainmulirea claselor,estedomeniu de integritate daca i numai dac n este prim.Spre exemplu 6are divizorii lui zero2 i3:2 3= 6 = 0. 4) ( ), , d (+ i inelul ntregilor lui Gauss sunt domenii de integritate. 5)( ) ( ), ,n+ Mare divizori ai lui zero. Spre exemplu 1 0 0 00 0 1 0| | | | ||\ \ = 0 00 0| | |\ . Teorema 1.1.12. : Reguli de calcul ntr-un inel ntr-un inel A avem urmtoarele reguli de calcul: 1) x 0 = 0 x = 0,xA 2) x (- y) = (- x)y, (- x) (- y) = xyx, yA, (regula semnelor) 3) x(y z) = xy xz, (y z ) x = yx zx,x, y, zA (distributivitatea nmulirii fa de scdere) Demonstraie: 1) x 0 = x(0 + 0) = x 0 + x 00 = x 0. Analog 0 x = 0. 2) 0 = 0 y = ((- x) + x) y = (- x) y + xy(- x) y = - xy. Analog obinem: x(- y) = - xy. (- x) (- y) = - (x (- y)) = - (- xy) = xy. 3) x(y z) = x(y + (- z)) = xy + x(- z) = xy xz. Analog (y z) x = yz zx. Teorema 1.1.13. ntr-un inel cu cel puin dou elemente 1 0. Demonstraie: Presupunem prin absurd c A este un inel n care 1= 0. Atunci avem x = 1 x = 0 x= 0, xAA ={} 0 , ceea ce contrazice faptul c A are cel puin dou elemente. Definiia 1.1.14. Fie A, A/dou inele. O aplicaie : AA/ se numete morfism de inele dac: (x + y) = (x) + (y) i (xy) = (x) (y),x, yA. Dac, n plus, morfismul satisface condiia f(1) = 1 se numete morfism unitar de inele. Observaia 1.1.15. Dac :AA/estemorfismdeineleatunci estemorfismalgrupuriloraditiveale celor dou inele i (0) = 0 i (-x) = - (x),xA. Definiia 1.1.16. FieA,A/douinele.Unmorfism :AA/senumeteizomorfismdeineledac funciaeste bijectiv. Exemple: 1) Funcia : AA/, (x) = 0 este morfism de inele numit morfismul nul. Dac A, A/ sunt inele unitare nenule, atunci morfismul nu e unitar. 2) Funcia : AA, (x) = x este izomorfism de inele. 3) Funcia i: , i (x) = x este morfism injectiv de inele. 4) Funcia p: n , p(x) = xeste un morfism surjectiv de inele. Definiia 1.1.17. IneleleAiA/senumescizomorfedac exist :AA/astfelnct estemorfism de inele bijectiv. Dac A iA/sunt izomorfe se noteaz A ~ A/ sau (A, +, ) ~ (A/,+, ). Exemple: 1) Orice inel e izomorf cu el nsui prin funcia identic : AA, (x) = x. 2) Inelul ntregilor lui Gauss este izomorf cu inelul/ , , ,a ba bb a| | | | + | `| |\ ) \ prin izomorfismul f(a + bi) = a bb a| | |\ . Definiia 1.1.18. Fie A un inel. O submulime nevid S a lui A se numete subinel al lui A, dac S mpreun cu operaiile induse de cele de pe A formeaz la rndul su un inel. 1S. Exemple: 1) sunt subinele unele n altele cu adunarea i nmulirea numerelor. 2)Subineleleluicoincidcusubgrupurilegrupuluiaditiv,adicsuntdetipuln,cu n . 3) D([0, 1], ) ={f: [0, 1] / f derivabil}e subinel n C([0, 1], ) ={f: [0, 1] / f continu}. Propoziia 1.1.19. FieAunineliSAosubmulimenevidasa.AtunciSestesubinelalluiAdaci numai dac: i)x, yS rezult x - y S i ii)x, yS rezult xy S. Demonstraie: Se tie c S este subgrup n A dac i numai dac pentrux, y S rezult x - y S. S este parte stabil fa de nmulire dac i numai dac xy S,x, yS. DeoareceSAinmulireaeasociativnA,atuncinmulireaeasociativnSidin acelai motivnmulirea e distributiv fa de adunare din A. Prin urmare propoziia e demonstrat. Definiia 1.1.20. O submulime nevid I a unui inel A se numete ideal la stnga, respectiv la dreapta, al inelului A dac: 1) x y I,x, yI 2) axI, respectiv xaI,aI i x I. Dacunidealestenacelaitimpidealilastngailadreaptaatuncisenumeteideal bilateral. Observaia 1.1.21. Dac un inel este comutativ, idealul la stnga coincide cu idealul la dreapta i devine ideal bilateral care se numete simplu ideal al inelului A.Observaia 1.1.22. Orice ideal al unui inel este un subinel. Reciproc nu este adevrat. Spre exemplueste un subinel al lui, dar nu este ideal:2 i 2 / 3 dar 2 2 / 3 = 4 / 3 . Exemple: 1) Idealele luicoincid cu subgrupurile grupului su aditiv, deci sunt de tipul n, cu n . 2) Dac A este un inel, atunci A i {0} sunt ideale ale sale. Definiia 1.1.23. Dac A este un inel comutativ unitar i aA, atunci mulimea Aa ={xa / xA}care este egal cu aA ={ax / xA}este ideal al lui A.Acest ideal care se mai noteaz i cu (a) se numete idealul principal generat de a. Exemple: Orice ideal al inelelor i n este principal. 1.2. DIVIZIBILITATEA N DOMENII DE INTEGRITATE Teoriadivizibilitiintr-undomeniudeintegritateconstituieogeneralizarenaturala teoriei divizibilitii din inelul al numerelor ntregi.Definiii 1.2.1. Fie A un domeniu de integritate. Pe A se definete relaia ,, | astfel: dac a, bA, atunci a| b cA, astfel nct b = a c. Aceast relaie se numete relaia de divizibilitate n A.a| b se citete ,, a divide pe b sau ,, b este multiplu de a sau nc ,,a este divizor al lui b. Dac a nu este divizor al lui b scriem a|/b. Propoziia 1.2.2.Fie A un domeniu de integritate. Relaia de divizibilitate are urmtoarele proprieti: 1) a| bbAaA. 2) reflexivitatea: a| a,aA 3) a| b i b| a dac i numai dacuU(A) astfel nct b = au. 4) tranzitivitatea: dac a| b i b| c, atunci a| c. 5) Dac a| bi, i = 1, ..., n, atunci a| c1b1+...+ cnbn,c1, ..., cn A. Demonstraie: 1)Daca| b,atunci existcAastfelnctb=a c.FiexaA,deunderezultcexist kA astfel nct x = bk. Atunci x = (ac)k = a(ck). Evident c ckA, aadar xaA., iar n final bAaA. Reciproc, avem bAaA i deoarece bbA, rezult c baA, decicA, astfel nct b = ac, de unde a| b. 2) a = 1 a de unde rezult a| a. 3) Presupunem c a| b i b| a . nseamn c exist u, v A astfel nct b = ua i a = vb. Dac a = 0, obinem b = 0 i putem lua u = 1, care aparine mulimii U(A).Dac b = 0, obinem a = 0 i n mod similar putem lua v = 1. Dac a, b 0, atunci din relaiile de mai sus obinem a = vb = v(ua) = (vu)a i cum a 0, rezult uv = 1, adic uU(A). Reciproc, dac b = ua, unde uU(A), atunci a| b. Cum a = u1 b, atunci avem i b| a. 4) Deoarece a| b, exist kA astfel nct b = ka i deoarece b| c, exist hA astfel nctc = hb. Atunci c = h(ka) = (hk)a, de unde a| c. 5)Deoarecea| bi,i=1,...,n,existkiAastfelnctbi=kia,i=1,...,n.Atunci c1b1+...+ cnbn= c1k1a+...+ cnkna = (c1k1+...+ cnkn)a, de unde a| c1b1+...+ cnbn. Observaii 1.2.3:Relaia de divizibilitate nu e simetric: n 2| 4, dar 4|/2. Relaia de divizibilitate nu e antisimetric: n 2| -2, -2| 2, dar -22. Definiii 1.2.4. Fie A un domeniu de integritate. Relaia ,, ~ definit astfel: a ~ ba| b i b| a se numete relaiadeasocierendivizibilitate,iardaca ~ bsespunecaibsuntasociaten divizibilitate. Propoziia 1.2.5. FieAundomeniudeintegritateia,bA.Atuncia ~ bdacinumaidacuU(A) astfel nct b = au. Demonstraie: Propoziia rezult din Definiia 1.2.4 i punctul 3) din Propoziia 1.2.2. Exemplu:n avem m~ n, dac i numai dac m = n. Observaia 1.2.6. Pentru orice aA, elementele inversabile i elementele asociate cu a sunt divizorii lui a. Un divizor al lui a diferit de acetia se numete divizor propriu. Definiia 1.2.7. Fie A un domeniu de integritate. Un element pA se numete prim dac: 1) p 0 i pU(A). 2) p| ab p| a sau p| b. Observaia 1.2.8 Dac p este prim, atunci orice element asociat cu p este prim. Observaia 1.2.9. Dac p este prim i divide produsul a1a2...an, ai A, i = 1 ... n, atunci p divide cel puin unul din factorii a1a2...an. Definiia 1.2.10. Un element q din domeniul de integritate A se numete ireductibil dac: 1) q 0 i qU(A) 2) Dac q = ab a sau b este inversabil. n caz contrar q se numete reductibil. Observaia 1.2.11. Un element asociat cu un element ireductibil este ireductibil. Observaia 1.2.12. DacpAesteunelementnenulineinversabilatuncisuntechivalenteurmtoarele afirmaii: 1) p este ireductibil; 2) din p = ab, rezult c unul din elementele a, b este inversabil, iar cellalt este asociat cu p. Observaia 1.2.13 Un element qA nenul i neinversabil este ireductibil dac nu are divizori proprii. Teorema 1.2.14. Orice element prim este ireductibil. Demonstraie: Fie un element p este prim astfel nct p = ab. Atunci a| p, b| p. Dar, de asemenea, p| ab i dinfaptulcpesteprimrezultp| asaup| b.Dacp| a,deoarecea| prezultcpeste asociatcua.DeciexistunelementinversabiluAastfelncta=pu.Atuncip=ab= (pu)b = p(ub), de unde ub = 1, adic b este inversabil. Analog se arat c dac p| b atunci a este inversabil. Aadar p este ireductibil. Observaia 1.2.15. Reciproca propoziiei este falsa, adic ntr-un domeniu de integritate noiunile de element prim i element ireductibil sunt n general distincte. Exemplu: Considerm mulimea 5 i ( ={a + bi 5 /a, b } care este un subinel al corpului. Considerm funcia : 5 i ( , (a + ib 5 ) = a2+ 5b2. Este uor de vzut c dac z, z 5 i ( , atunci / /( ) ( ) ( ) zz z z = . De aici rezult imediat c zU( )5 ( i (z) = 1.Aadar, z = a + bi 5 ( )5 i ( a2+ 5b2= 1a =1 i b = 0. Deci U( )5 ( i = {- 1, 1}. S artm c 3 este ireductibil. Fie 3 = z1z2, unde z1 = a1 + ib15i z2= a2 25 ib + . Din (3) = 1 2(z z ) = 1 2( ) ( ) z z obinem c 9 = (a21 + 5b21)(a22 + 5b22) i deci a21 + 5b21 = 1, 3sau9.Egalitateaa21+5b21=1implica1= 1ib1=0,adicz1esteinversabil. Egalitatea a21+ 5b21 = 3 este imposibil, iar egalitatea a21+ 5b21 = 9 implic 2( ) z =1, adic z2 este inversabil. Deci 3 este ireductibil n 5 i ( . La fel se arat c 2, 1 + i 5i 1 - i 5sunt ireductibile n 5 i ( . Dac 3 ar fi prim, atunci cum 3( )( )| 1 5 1 5 i i + obinem c 3| 1 5 i +sau 3| 1 5 i , de unde 1 5 +i = 3(a +ib 5 ) sau 1 - i 5= 3(a - ib 5 ) cu a, b. Deci 3a = 1, ceea ce e o contradicie. Prin urmare 3 nu e prim n 5 i ( i concluzia care se poate trage este c n general ntr-un domeniu de integritate nu orice element ireductibil este prim. Definiia 1.2.16. Fie a, bA, unde A este un domeniu de integritate. Un element dA se numete cel mai maredivizorcomun(prescurtatc.m.m.d.c.)alelementeloraibdacareurmtoarele proprieti: 1) d| a i d| b, adic d este divizor comun al elementelor a i b; 2) Dac d/| a i d/| b, atunci d/| d. Atunci se noteaz d = (a, b). Observaia 1.2.17. Definiia se poate generaliza: Fiex1,...,xn AidA.Vomspunecdestecelmaimaredivizorcomun (c.m.m.d.c.) al elementelor x1, ... , xn dac verific condiiile: 1) d| xi,i = 1, ..., n, adic d este divizor comun al elementelor x1, ... , xn; 2) dac d/|ix ,i = 1, ..., n, atunci d/| dadic d se divide prin orice alt divizor comun al elementelor xi, i = 1, ..., n. Atunci vom nota d = (x1, ... , xn). Observaia 1.2.18. Dac d este cel mai mare divizor comun al elementelorx1, ... , xn, atunci un element d0A este un cel mai mare divizor comun al acelorai elemente dac i numai dac d i d0 sunt asociate.Decicelmaimaredivizorcomun,dacexist,estedeterminatnumaipnlao asociere. Definiie 1.2.19. Dou elemente a i b din A se numesc prime ntre ele dac (a, b) = 1. Observaia 1.2.20. Dac (x1, ... , xn) = 1 atunci se spune c elementele x1, ... , xn sunt relativ prime. Propoziia 1.2.21. FieAundomeniudeintegritatecuproprietateacpentruoricedouelementeexistun c.m.m.d.c. Atunci urmtoarele afirmaii sunt adevrate: 1) (a, b) = a a| b. 2) (a, 0) = a,aA. 3) Dac (a, b) = d, unde a 0 i b 0, i scriem a = da/ i b = db/, atunci (a/, b/) = 1. 4) (ac, bc) = c(a, b). 5) (a, (b, c)) = ((a, b), c). 6) Dac a, b, cA astfel nct a| bc, iar (a, b) = 1, atunci a| c. Demonstraie: 1) (a, b) = a implic a| b. Reciproc,daca| b,cuma| a,rezultcaestenumitorcomun.Dacd/| aid/| b,atunci d/| a. Aadar (a, b) = a. 2) a| 0, a| a i dac d/| a i d/| 0, atunci d/| a. 3)Fied/=(a/,b/).Cumd/| a/id/| b/,atuncievidentd/d| aid/d| bideci,din definiie, d/d| d. Cum d 0, atunci d/| 1, adic d/~ 1 ceea ce arat c (a/, b/) = 1. 4) Fie d = (a, b) i d/ = (ac, bc). Putem presupune c d 0 i c 0. Cum d = (a, b),atunci a = da/ i b = db/ cu(a/, b/) = 1 i deci ac = (dc)a/ i bc = (dc)b/ ceea ce implic dc| d/, adic d/ = (dc)d/ /. Deoareced/ = (ac, bc) obinem c ac = d/ibc = d/ , de unde rezult c ac = dcd/ /i bc = dcd/ /sau dca/ = dcd/ /i dcb/ = dcd/ / . Cum dc 0, atunci a/ = d/ / i b/ = d/ /ceea ce implic d/ /| a/ i d/ /| b/. Cum (a/, b/) = 1, atunci d/ /| 1 adic d/ / este inversabil i deci d/~ dc, ceea ce trebuia demonstrat. 5) Rezult din Definiia 1.2.16 i Observaia 1.2.17. 6) Din (a, b) = 1 rezult (ac, bc) = c i cum a|ac, iar a| bc se obine a| c. Definiie 1.2.22. Fie a, bA, unde A e un domeniu de integritate. Un element mA se numete cel mai mic multiplucomun,pescurtc.m.m.m.c.,alelementeloraibdacareurmtoarele proprieti: 1) a| m i b| m, adic m este un multiplu comun al elementelor a i b; 2) Dac a| m/ i b| m/, atunci m| m/. Atunci se noteaz d = [a, b]. Observaia 1.2.23. Definiia se poate generaliza: Fiex1,...,xn AimA.VomspunecmAestecelmaimicmultiplucomun (c.m.m.m.c.) al elementelor x1, ..., xn dac verific condiiile: 1) x |im, i = 1 ... n, adic m este multiplu comun al elementelor x1, ..., xn; 2)dacx |im/,i=1...n,m/A,atuncim| m/,adicoricealtmultiplucomunal elementelor x1, ..., xn este un multiplu al lui m). Atunci vom nota m = [x1, ..., xn]. Observaia 1.2.24. Dacmestecelmaimicmultiplucomunalelementelorx1,...,xn,atunciunaltelement m0A este un cel mai mic multiplu comun al acelorai elemente dac i numai dac m i m0 sunt asociate. Deci cel mai mic multiplu comun, dac exist, este unic determinat pn la o asociere. Observaii 1.2.25. a) dac a| b[a, b] = b. b) [a, [b, c]] = [a, b], c]. Teorema 1.2.26. Dac n domeniul de integritate A orice dou elemente au un c.m.m.d.c. atunci exist i un c.m.m.m.c. al oricror dou elemente ab = (a, b)[a, b],a, b A. Demonstraie: Fie d = (a, b) i a = a/d, b = b/d. Avem: d a/ b/= a b/ = b a/, adic m = d a/ b/ este un multiplu comun al elementelor a i b. Dac m/A este un alt multiplu comun al elementelor a i b adic m/ = au = bv, atunci m/=dauim/=dbv.Decima=mvimb=mu,adicmesteundivizorcomunal elementelor m/x/1 i m/x/2, prin urmare, m divide i pe (m/a/, m/b/). Dar(m/a/, m/b/) = m/( a/, b/) = m/, adic m|m/. Rezult m = [a, b]. Din m = d a/ b/, rezultmd = da/db/, apoi md = ab, de unde ab = (a, b)[a, b]. Teorema 1.2.27. DacpentruoriceperechedeelementedindomeniuldeintegritateAexistc.m.m.m.c. atunci n A orice element ireductibil este prim. Demonstraie: Fie pA un element ireductibil i a, b A astfel nctp| ab i p nu divide pe a. Atunci(a, p) = 1 i (ab, p) = p. Deci (b, p) = (b(a, p), p) = ((ba, bp), p) = (ab, (bp, p)) = (ba, p) = p, de unde, conform Propoziiei 1.2.21., rezult c p| b. Prin urmare, p este prim. 1.3. CORP. SUBCORP Definiii 1.3.1. Un inel K unitar, cu 1 0, se numete corp dac orice element nenul din K este inversabil fa de nmulire. Deci K este un corp dac: 1) K este inel unitar 2) oricare xK, x 0, exist x1 K astfel ncr xx1 = x1 x = 1. n plus, dac nmulirea este comutativ, corpul este comutativ. Observaia 1.3.2.InelulunitarKesteuncorpdacmulimeaK*=K\{0}aelementelornenuledinK formeaz fa de nmulire un grup. Exemple: 1) ( , +, ), ( , +, ); ( , +, ) sunt corpuri comutative. 2) Corpul de numere ntregi ptratice ( ( d , +, )) ( d ).=def{a + b d/ a, b, d liber de ptrate} Se verific uor c:( d ) este parte stabil a lui n raport cu adunarea i nmulirea i c ( ( d ), +, ) este inel comutativ. Artm c orice element din( d ), nenul, este inversabil. Fiez( d ), z = a + b d , z 0. Cutm z/ = x + y dastfel nct z z/ = z/ z = 1. z z/=(a+b d )(x+y d )=(ax+byd)+(ay+bx) d =1deunde 10ax bydbx ay+ = + =i obinem a/(a2- db2) = a i b/(a2- db2) = - b. Dac, prin absurd, a2- db2 = 0, cu b 0 , atunci ab =d , adicd, ceea ce este fals. Dac a2- db2 = 0 i b = 0 atunci i a = 0, de unde z = 0, ceea ce e, de asemenea, fals. Aadar a2 - db2 0, de unde a 0 sau b 0.Rezultz/= 2 2a(a -db )+ 2 2-b(a -db )d ,careaparinemulimii( d ),deoarecea,b, d i implicit i 2 2a(a -db ), 2 2-b(a -db ). 3) Corpul claselor de resturi modulo p ( , ,p+ ), unde p este numr prim. Se tie c p { }0,1, 2,..., 1 = peste inel comutativ. ConformPropoziiei1.1.5. a esteinversabildacinumaidac(a,n)=1.Cumpeste numr prim, rezult c (a, p) = 1,a, 1 a < p, aadar toate elementele anenule sunt inversabile. 4)Fieprodusulcartezian ={(a,b)/a,b }.Peaceastmulimesedefinesc operaiile algebrice:adunare: (a, b) + (a/, b/) = a + a/, b + b/), oricare ar fi (a, b), (a/, b/) i nmul-ire: (a, b) (a/, b/) = (aa/ - bb/, ab/ + a/b). Atunci mpreuncuceledouoperaiiformeazuncorpcomutativ.Se demonstreazcuuurinc mpreuncuadunareaestegrupabelian,iar mpreuncunmulireasatisfaceurmtoarelecondiii:nmulireaesteasociativ,are element neutru (1, 0), distributiv fa de adunare. De asemenea, orice element nenul este inversabil: fie (a, b) (0, 0) un element din , de unde rezult a2+ b2 0. Dac (x, y) este astfel nct (a, b)(x, y) = (1, 0), atunci (ax by, ay + bx) = (1, 0).De aici se obine ax by = 1 i ay + bx = 0, de unde x = 2 2aa b + i y = 2 2ba b+. Rezult (x, y) = (2 2aa b +,2 2ba b+). Prinurmare, mpreuncuoperaiiledeadunareinmuliredefinitemainainte formeaz un corp. Propoziia 1.3.3. ntr-un corp nu exist divizori ai lui zero. Demonstraie: Presupunem prin absurd c n corpul K exist x 0 i y 0 cu xy = 0. Obinemy = 1 y = (x1 x) y = x1 (xy) = x1 0 = 0, de unde y = 0, ceea ce e o contradicie. Observaia 1.3.4. Un corp comutativ K este domeniu de integritate. Definiia 1.3.5. FieKuncorpiFsubmulimenevidaluiK.FestesubcorpalluiKdacoperaiile algebrice de pe K induc pe F operaii algebrice fa de care F este corp. Dac F este un subcorp al lui K, atunci K se numete extindere a lui F. Propoziia 1.3.6. Fie K un corp i FK o submulime nevid a sa. Atunci F este un subcorp al lui K dac i numai dac: 1) x y F, x, y F i 2) xy1 F, x, yF, y 0. Demonstraie: Se tie c F mpreun cu adunarea este subgrup n K dac i numai dac pentrux, yF rezultx-yF.Deasemenea,F\{0}mpreuncunmulireestesubgrupnKdaci numaidacpentrux,yF,y 0,rezultxy1 F.DeoareceFKinmulireae distributiv fa de adunare n K, atunci nmulirea e distributiv fa de adunare n F. Prin urmare propoziia e demonstrat. Definiia 1.3.7. Fie K i K/ dou corpuri. Atunci un morfism de corpuri de la K la K/ este o aplicaie : KK/, astfel nct: 1) (x + y = (x) + (y), 2) (x y) = (x) (y),x, yK, 3) (1) = 1. Observaii 1.3.8. Deci : KK/ este un morfism de corpuri dac este un morfism unitar de inele. Cumeste, n particular, un morfism al grupului multiplicativ K* n K/*, rezult (x1 ) = ( (x)) 1 , pentru orice x 0. Propoziia 1.3.9. Orice morfism de corpuri este injectiv. Demonstraie: Fie :KK/,unmorfismdelacorpulKlacorpulK/ix,yKastfelnct (x)= (y). Atunci (x y) = 0. Dac x y 0, exist zK, astfel nct (x y) z = 1, de unde 1 = (1) = ((x y)z) = (x y) (z) = 0 ceea ce reprezint contradicie. Aadar x y = 0, adic x = y i morfismul de corpuri este injectiv. Exemple: 1) Definim funcia : , (a) = (a, 0). Se demonstreaz cu uurin ceste morfism de corpuri, deci injectiv. Pe baza acestuia rezultcesteizomorfcusubcorpul/{ = (a,0)/a }alcorpului.Astfel putemidentifica corpulalnumerelorreale cusubcorpulalnumerelorcomplexe(a, 0). Pe baza acestui izomorfism n loc de elementul (a, 0) din vom scrie a. Vom nota cu i numrul complex (0, 1). Avem i2 = (0, 1)(0, 1) = (- 1, 0) = -1, deci i este o rdcin a ecuaiei x2 + 1 = 0. Fie acum z = (a, b) un element din. Atunci z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. Deci orice numr complexz = (a, b) se scrie n mod unic sub forma z = a + bi, numit forma algebric a numrului complex z. 2 ) Corpul de fracii al unui domeniu de integritate FieKuncorpcomutativ.Oricesubinelalsuesteundomeniudeintegritate.Problema careopunemesteinversaacesteiaianume.FiinddatundomeniudeintegritateA,s gsim un corp K astfel nct A s fie subinel al lui K. FiedeciAundomeniudeintegritateiA*mulimeaelementelornenulealeluiA. Considerm produsul de mulimi AA*= {(a, b) / aA i b A*}. Pe A A* se introduce o relaie binar R definit astfel: (a, b)R(c, d) ad = bc. R este o relaie de echivalen: 1. (a, b)R(a, b), deoarece ab = ba; 2. Dac (a, b)R(c, d) atunci ad = bc i deci cb = da, adic (c, d)R(a, b). 3. Dac (a, b)R(c, d) i (c, d)R(e, f), atunci ad = bc, cf = de. Prin urmare adf = bcf = bde i cum d 0, iar A este un domeniu de integritate, af = bc, adic (a, b)R(e, f). Deci R este o relaie de echivalen. Clasa de echivalen a perechii (a, b) se numete fracie i se noteaz prin ab. Atunci ab = cd dac i numai dac ad = bc. Fie K = (AA*) / R mulimea factor a lui AA* n raport cu relaia de echivalen R. Peaceast mulime se introduc dou operaii algebrice (adunarea i nmulirea) n raport cu K devine un corp: 1. Fieab, cd dou fracii. Cum b 0, d 0, atunci bd 0 i deci are sens fracia ad bcbd+. Dac ab = //ab i cd = //cd atunci ad bcbd+ = / / / // /a d bcbd+. ntr-adevr, avem ab/ = ba/ i cd/ = dc/. Deci ab/dd/ = ba/dd/ i cd/bb/ = dc/bb/, de unde ab/dd/ + cd/bb/ = ba/dd/ + dc/bb/ sau nc (ad + bc)b/d/ = (a/d/ + b/c/)bd, ceea ce trebuia demonstrat. Atunci definim adunarea prin ab+cd=ad bcbd+, operaie care este bine definit, adic nu depinde de alegerea reprezentanilor. 2. nmulirea o definim prin abcd=acbd, care se verific uor c este bine definit. Punem0 =01 i 1 = 11. K mpreun cu adunarea i nmulirea definit mai sus este inel unitar. Fie ab 0dinK,atuncia 0.Deciaresensfracia badinKi abba=abba=11=1.Prin urmare orice element ab 0 din K are un invers i anume (ab)1 = ba. Deci K este un corp comutativ. Fie aplicaia j: A K definit prin j(a) = 1a. Avem: j(a + b) = 1a b + = 1a+1b= j(a) + j(b) i j(a b) = 1ab= 1a1b= j (a) j(b).Deci j este un morfism. Dacj(a)=j(b),adic 1a=1b,atuncia 1=1 b,adica=b.Prinurmarejestemorfism injectiv.AcestmorfisminjectivpermiteidentificarealuiAcuunsubinelalluiK,mai precis a = 1a. Atunci, dac abK, putem scrie ab=1a 1b =1a11b| | |\ . Corpul K se numete corpul fraciilor sau corpul de fracii al lui A. Observaia 1.3.10. PentruA=,inelulntregilor,prinprocedeuldescris,seobinecorpulalfraciilor raionale. 1.4. INELE DE POLINOAME Construciaineluluidepolinoamentr-onedeterminatpesteuninel comutativ i unitar Fie A un inel comutativ i unitar.Fie A( ) ={f = (a0, a1, ... , an, ...) / ai A, i 0, f este ir cu un numr finit de termeni ai nenuli}.Deciunir aicruitermenisunt elementedinAaparineluiA( ) dacinumai dac exist un numr natural m, astfel nct ai = 0 pentru orice i > m. irurile f = (a0, a1, ... , an, ...) i g = (b0, b1, ... , bn, ...) sunt egale dac i numai dacai = bi, pentru orice i. PemulimeaA( ) definimdouoperaiialgebricenraportcucareA( ) devineinel comutativ i unitar: 1) adunarea: dac f, g A( ) , f = (a0, a1, a2, ...) i g = (b0, b1, b2, ...) se definete: f +g = (a0 + b0, a1 + b1, a2+ b2, ...) Avem c f + g A( ) . ntr-adevr, fie numerele naturale m i n astfel nct ai = 0,pentru i m i bi= 0 pentru j m. Atunci ak+ bk = 0 pentru orice k max (m, n). Folosind proprietile adunrii n A, se arat c n A( ) : adunarea este asociativ: fie f = (a0, a1, a2, ...), g = (b0, b1, b2, ...), h = (c0, c1, c2, ...) (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, ...) + (c0, c1, c2, ...) = (a0 + b0 + c0, a1 + b1 + c1 + ...) f + (g + h) = (a0, a1, ...) + (b0+ c0, b1+ c1, b2+ c2, ...) = (a0 + b0 + c0, a1 + b1 + c1 + ...). Deci (f + g) + h = f + (g + h),f, g, hA( ) adunarea este comutativ, adic oricare ar fi f, g A( ) , avem f + g = g + f. ntr-adevr, dacf,gA,f+g=(a0+b0,a1+b1,...)ig+f=(b0+a0,b1+a1,...).Cum adunarea n A este comutativ avem ai+ bi= bi+ ai, pentru orice i 0. Deci f + g = g + f. elementul nul este (0, 0, 0, ...), pe care l notm simplu cu 0: Adunarea fiind comutativ, avem c f + 0 = 0 + f. Deoarece f + 0 = (a0, a1, a2, ...) + (0, 0, 0, ...) = (a0 + 0, a1+ 0, ... ) = f, rezultf + 0 = 0 + f = f,f A( ) . orice ir are un opus: dac f este ir din A( ) atunci f, definit prin f = (- a0, - a1, - a2, ...), este ir opus al lui f. ntr-adevr, f + (-f) = (a0, a1, a2, ...) + (-a0, -a1, -a2, ... ) == (a0 + (-a0), a1+ (-a1), ...) = (0, 0, 0, ... ) = 0. Adunarea fiind comutativ, rezult(- f) + f= f + (-f), oricare ar fi f A( ) . Aadar f + (-f) = -f + f = 0,f A( ) . n final A( ) mpreun cu adunarea formeaz un grup abelian. 2)nmulireapeA( ) sedefineteastfel:Dacf=(a0,a1,a2,...),g=(b0,b1,b2,...) aparinluiA( ) ,atuncif g==(c0,c1,c2,...),undeck=a0bk+a1b1 k+...+ akb0+ == i ji j ka b , pentru orice k = 0, 1, 2, ... . S artm c f g A( ) . ntr-adevr, dac ai= 0 pentru orice i > m i bj= 0 pentru oricej>n,atuncick=0,pentruoricek>m+n.Deoarecea0,a1,a2,...,am,b0,b1,b2,..., bn A, rezult c ck A, pentru orice k = 0, 1, ..., m + n. Atunci fgA( ) Folosind proprietile adunrii i nmulirii n A, se arat c n A( ) : nmulirea este asociativ: Fie f, g, hA( ) , unde f = (a0, a1, a2, ... ), g = (b0, b1, b2, ... ),h = (c0, c1, c2, ... ). Dacfg=(d0,d1,d2,...),atuncidk i ji j ka b+ == ifie(fg)h=(l0,l1,l2,...)unde l1m k lkd c+=. Atunci lm = 11i jk i j ka b c+ + =| | |\ = i j lk l mi j ka b c+=+ == i j li j l ma b c+ +=. Dac gh = (d/0, d/1, d/2, ...), unde d/j lj l kb c+== , iar f(gh) = (/ / /0 1 2, , l l l , ... ) unde l/ /m i ki k ma d+ == , avem l/ /m i ki k ma d+ == =i j li k m j l ka b c+ = +=| | |\ = i j li k mj l ka b c+ =+= = i j li j l ma b c+ +=. Deci lm = l/m pentru orice m, adic (fg)h = f(gh). nmulirea este comutativ:Fie f, gA( ) , unde f = (a0, a1, a2, ... ), g = (b0, b1, b2, ... ). Dacfg=(d0,d1,d2,...),atuncidk i ji j ka b+ == ,iardacgf=(e0,e1,e2,...),atunci e+== k j ij i kb a . Aadar fg = gf. elementulneutrueste(1,0,...),pecarelnotmsimplucu1ilnumimelement unitate. Din comutativitatea nmulirii rezult f 1 = 1 f.Dac f = (a0, a1, a2, ... ), 1 = (1, 0, 0, ... ) i f 1 = (d0, d1, d2, ... ), atunci d0= a0 1,d1= a0 0 + a1 1 = a1, d2= a0 0 + a1 0 + a2 1 = a2, ... . Aadar (d0, d1, d2, ... ) = (a0, a1, a2, ... ), iar n final f 1 = 1 f = 1. Rezult c A( ) mpreun cu nmulirea formeaz monoid comutativ. Mai mult, nmulirea este distributiv fa de adunare. ntr-adevr, dac f = (a0, a1, a2, ... ), g = (b0, b1, b2, ... ), h = (c0, c1, c2, ... ) i f(g + h) ==(d0,d1,d2,...)atuncid( )k i j ji j ka b c+ == +,iardacfg+fh=(d/0,d/1,d/2,...)atunci d/k i j i ji j k i j ka b a c+ = + == + . Cum operaia de nmulire pe A este distrubutiv fa de adunare, rezult c f(g + h) = fg + fh. Analog are loc relaia (f + g)h = fh + gh. nconcluzie am demonstrat c A( ) mpreun cu adunareai nmulirea formeaz un inel comutativ i unitar. Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficieni n A. Observaia 1.4.1. f + (- g) not= f g i se numete diferena dintre f i g. Definiii 1.4.2. Dac f = (a0, a1, ... ) este un polinom nenul atunci n = max{ } / 0ii ase numete gradul polinomului f. Gradul unui polinom f se noteaz prin grad(f), iar coeficientul an, unden = grad(f) se numete coeficientul dominant al polinomului f. Se consider c gradul polinomului nul este - , adoptnd conveniile uzuale i anume: - < n; - + n = -; - + (-) = -, pentru orice numr natural n. Dac n = grad (f), atunci a0, a1, ... , an se numesc coeficienii polinomului f. Observaia 1.4.3. Fie funcia u: A A( ) , definit prin u(a) = ( a0, 0, ... ). Artm c u este morfism injectiv de inele. ntr-adevr, dac a, b A, atunci:u(a + b) = (a + b, 0, ... ) = (a, 0, 0, ... ) + (b, 0, 0, ... ) = u(a) + u(b) iu(a b) = (ab, 0, 0, ... ) = (a, 0, 0, ... ) (b, 0, 0, ... ) = u(a) u(b) nplus,dacu(a)=u(b),atunci(a,0,0,...)=b,0,0,...),decia=b.Aadarueste morfism injectiv de inele. Morfismul u d un izomorfism al lui A pe subinelul A/ ={(a, 0, 0, ...) / a A}al lui A, ceeacepermitesseidentificeelementuladinAcuimagineasaprinu,adiccu polinomul (a, 0, 0, ... ) din A. Astfel A se poate considera ca subinel al lui A( ) . Notaia 1.4.4. Notm prin X polinomul (0, 1, 0, ... ) care se numete nedeterminata X. Atunci X2= (0, 0, 1, 0, ... ) i, mai general, pentru orice numr natural i, Xi = (0, 0, 0, ... 0, 1, 0, ... ) unde n faa lui 1 sunt i zerouri. Fie f un polinom de grad n ai crui coeficieni sunt a0, a1, ..., an, adic f = (a0, a1, a2, ..., an, 0, 0, ... ). Folosind adunarea i nmulirea pe A se obine: f = (a0, a1, a2, ..., an, 0, 0, ... ) = (a2, 0, 0, ... ) + (0, a1, 0, ... ) + (0, 0, a2, 0, ... ) + ... + (0, 0, ..., 0, an, 0, ... ) = (a0, 0, 0, ... ) + (a1, 0, 0, ... ) (0, 1, 0, ... ) + (a2, 0, ... ) (0, 0, 1, 0, ... ) +... + (an, 0, 0, ... ) (0, 0, ..., 0, 1, 0, ... ), ceilali fiind nuli, de aceea nu-i mai scriem. Atunci, folosind notaia cu nedeterminata X, polinomul se scrie f = a0+ a1X + a2X2 + ... +anXn,caresenumeteformaalgebricapolinomului.Unpolinomdegradulnn nedeterminata X se poate scrie condensat f = 0niiia X=, an 0. Observaia 1.4.5. Inelul A( ) se numete inelul polinoamelor n nedeterminata X, cu coeficieni n inelul AisenoteazprinA[X].InelulA[X]semainumeteiinelulpolinoamelorntr-o nedeterminat. n particular avem:[X],[X], [X],[X]. Propoziia 1.4.6. Fie A un inel i f, g dou polinoame din A[X]. Atunci: 1) grad (f + g) max(grad(f), grad(g)), 2) grad (f g) grad (f) + grad(g). Mai mult, dac f i g sunt nenule i cel puin unul dintre coeficienii dominani ai lui f i g nu este divizor al lui zero, atunci avem egalitate. Demonstraie: Daccelpuinunuldinpolinoamelefigestenulatunci1)i2)rezultdinconveniile uzuale: - < n; - + n = - ; - + (- ) = - ,n . Fief=0 =miiia X , a m0ig=1njjjb X=,b n0doupolinoamenenuleDacmn, atunci coeficientul dominant al sumei f + g este am, deci grad(f + g) = m, i deoarece max(m, n) = n, rezult grad (f + g) max(grad(f), grad(g)). Acelai lucru rezult n cazul n > m. Apoi, dac fg = h, atunci h se scrie 0+=m nkkkc X , unde + == k i ji j kc a b , k = 0, 1, ..., m + n. Se observ c grad(fg) m + n, de unde rezult c grad (f g) grad (f) + grad(g). Fie f =0miiia X=, am0, g =1njjjb X=, b n0, astfel nct am sau bn s nu fie divizor al lui zero.Atuncicoeficientuldominantalprodusuluifgesteambn,careestenenul.Decin acest caz grad(f g) = grad(f) + grad(g). Corolarul 1.4.7. Dac A este domeniu de integritate i f, g polinoame din A[X] atunci grad(fg) = grad(f) + grad(g). Observaia 1.4.8. Dac A este un domeniu de integritate inegalitatea (2) din Propoziia 1.4.6. poate fi strict. Exemplu: Fie polinoamele f = 1 + 2X i g = 2X2 din inelul Z4[X]. Atunci fg = (1 + 2x)( 2x2) = 2x2 i deci grad(fg) = 2< 3 = grad(f) + grad(g). Propoziia 1.4.9. Fie A un inel comutativ i unitar i inelul polinoamelor A[X]. Atunci au loc afirmaiile: 1) un element a A este inversabil n A dac i numai dac este inversabil n A[X]. 2) dac A este un domeniu de integritate, atunci A[X] este un domeniu de integritate iU [A] =U(A[X]). Demonstraie: 1) Dac este inversabil n A, exist bA astfel nct ab = 1. Considernd aceast relaie n A[X], a i b fiind polinoame de grad zero, spunem c a este inversabil n A[X]. Reciproc, dac a este inversabil n A[X], atunci exist fA[X] astfel nct af = 1. Dacf=a0+a1X+...+anXn,an 0,avem:a(a0+a1X+...+anXn)=aa0+aa1X+ aa2X2+...+ aanXn = 1, de unde aa0 = 1, deci a este inversabil n A. 2)DacAesteundomeniudeintegritate,dinCorolarul1.4.7.rezultcA[X]este domeniu de integritate. Din punctul precedent rezult c U[A] U(A[X]). Pentru a demonstra incluziunea contrar, fie f = a0 + a1X + a2X2+...+ amXm, am 0, un polinom inversabil din A[X]. Deci exist g = b0 + b1X + b2X2+...+ bmXm, b n 0 astfel nct fg = 1. Avem grad(fg) = grad(1), de unde grad(f) + grad(g) = 0, adic m + n = 0 i n final m = n = 0. Astfel rezult c f = a0A, g = b0A i cum 1 = fg = a0b0, obinem cf = a0U(A). Observaia 1.4.10. Dac A nu este un domeniu de integritate putem avea U(A) U(A[X]). Exemplu: ntr-adevr,polinomulneconstant 1 2 + Z4[X]esteinversabildeoarece ( 1 2 )(1 2 ) 1 + + = ,aadar 1 2 + U( 4),dar 1 2 + 4ideasemenea 1 2 + U( 4). Propoziia 1.4.11. Fie K un corp comutativ. Atunci U(K[X]) = K*. Demonstraie: ConformObservaiei1.3.4.Kestedomeniudeintegritateiatuncidinpunctul2)al Propoziiei 1.4.9. U (K) =U(K[X]). Dar U(K) = K* i atunci U(K[X]) = K*. Construcia inelulului de polinoame de mai multe nedeterminate FieAinel.AtunciA[X1,X2,...,Xn]inelulpolinoamelornnedeterminateX1,X2,..., Xn, cu coeficieni n inelul A se definete inductiv, astfel: A[X1] este inelul polinoamelor n nedeterminata X1 cu coeficieni n inelul A, A[X1, X2] = A[X1][ X2]. Fie f A[X1, X2] , de unde f = f0 + f1X2 + ... + fkX2k,fi A[X1], i = 1, ... , k unde f0 = a00 + a01X1 + ... + a0nX1, f1 = a10 + a11X1 + a12X21 + ... + a1nX1n, ............................................... fk= a0 k+ a1 kX1 + a2 k X21 + ... + akn X1n.Atunci:f(X1, X2) = (a00 + a01X1 + ... + a02X21 + ... + a0n X1n) + (a10 + a11X1 + a12X21+ ...+ + a1nX1n)X2 + (a20 + a21 X1 + a22 X21 + ... + a2n X1n)X22 + ... + (a0 k+ a1 k X1 + a2 k X21 + ... + akn X1n) X2k. Polinoamele n dou variabile au forma f ( ),1 2 1 2, 0,k nj iiji jX X a X X== . A[X1,X2,...,Xn]=A[X1,X2,...,X1 n][Xn].DacfesteunpolinomdinA[X1, X2,... , Xn] atunci f = f0 + f1Xn + ... + fkXkn i se citete f polinom n nedeterminata Xn cu coeficieni n A[X1, X2, ... , X1 n] Dinaproapenaproape,fsepoatescriecaosumfinitdeformaf=1 21 21 21 2, ,...,... 1 2, ,..., 0...nnnnk k ki i ii i i ni i ia X X X=ncarea1 2...ni i i Aisenumesccoeficieniipolinomuluif,iar k1, k2, k3, ... , kn, sunt numere naturale. S artm c o astfel de scriere este unic. ntr-adevr, dac f = 0, din definiie rezult c f poate fi scris sub forma f =0nkii nif X=, unde fisunt polinoame din A[X1, X2, ... , X1 n] Se observm, de asemenea, c orice coeficient a1 2...ni i i apare drept coeficient al unuia dintre polinoamelefi.Atunci fiecare fiestenulideciprininducie,rezultctoicoeficienii 1 2...ni i iasunt nuli. Deci rezult unicitatea scrierii lui f sub forma iniial. Observaia 1.4.12. Un polinom de forma aX11kX22k... Xnkn, cu a 0, se numete monom. Dac un polinom din A[X1,X2,...,Xn]sescrief=1 21 21 21 2, ,...,... 1 2, ,..., 0...nnnnk k ki i ii i i ni i ia X X X=,casumdemonoame,atunci aceste monoame se numesc termenii polinomului. Definiia 1.4.13. FiinddatineluldepolinoameA[X1,X2,...,Xn]cucoeficienintr-uninelAifun polinomdinacestinel,gradulluirelativlanedeterminataXi,i=1...nestecelmai mare exponent la care figureaz Xi, i = 1 ... n n expresia lui f. GradulunuimonomaX11kX22k...Xnkn,cua 0estesumak1+k2+...+kn, adicsuma exponenilor nedeterminatelor. Atunci se scrie grad(aX11kX22k... Xnkn) = k1+ k2+ ... + kn. Deoarece orice polinom f este o sum finit de monoame, gradul lui f se definete: grad(f) = - , f = 0,maximul gradelor termenilor si, f 0 . Observaii 1.4.14. 1)DacgradulunuipolinomrelativlaonedeterminataXi,i=1...neste0,atunci nseamn c nedeterminata Xi nu intervine n expresia lui f. 2)Dactoitermenii(monoamele)unuipolinomauacelaigrad,atuncifsenumete polinom omogen sau form. 3) n scrierea unui polinom f pot s apar termeni diferii care s aib acelai grad.Observaia 1.4.15 Dac f i g sunt dou forme, atunci sau fg va fi polinomul nul sau o form nenul igrad(fg) = grad(f) + grad(g). Observaia 1.4.16. Polinomul f 0, de grad n, se poate scrie n mod unic sub forma f = f0 + f1 + ... + fn, unde fiecare fi este nul sau dac nu, este o form de grad i i fn 0. Polinoamele fi0 in, se numesc componentele omogene ale polinomului f. Propoziia 1.4.17. Dac A este un inel i f, g A [X1, X2, ... , Xn], atunci: 1) grad (f + g) max(grad(f), grad(g)), 2) grad(fg) grad(f) + grad(g). 3)dac, nplus, A este un domeniu de integritate, atunci A[X1, X2, ... , Xn] este un do-meniudeintegritatei,oricarearfidoupolinoamef,gavem:grad(fg)=grad(f)+ grad(g). Demonstraie: 1) Din Observaia 1.4.16. rezult c polinoamele f i g se pot scrie astfel: f = f0 + f1 + ... + fn, unde fiecare fi este nul sau dac nu, este o form de grad i i fn 0, i de asemenea g = g0 + g1 + ... + gm, unde gj este nul sau este o form de grad j i gm 0. Atunci f + g va fi se asemenea o sum de forme sau polinoame nule i folosind Observaia 1.4.5. rezultgrad(f + g) max(grad(f), grad(g)). 2) Se demonstreaz analog c grad(fg) grad(f) + grad(g). 3)SdemonstrmprininduciedupncA[X1,X2,...,Xn]esteundomeniude integritate. ntr-adevr, pentru n = 1 s-a demonstrat n Propoziia 1.4.9. tim c A [X1, X2, ... , Xn] =A [X1, X2, ... , X1 n][Xn].Fie f i g polinoame nenule de grad p i respectiv q, pe care le scriem: f = f0 + f1 + ... + fp,g = g0 + g1 + ... + gq, fp 0, gq 0, unde fi, gi sunt nule sau forme de grad i, respectiv j. Apoifg= 0p qkkh+=,hk i ii jf g+=.DeoareceA[X1,X2,...,Xn]esteundomeniude integritate, avem hp q += fp gq 0 i atunci rezult c grad(fg) = grad(f) + grad(g). Observaia 1.4.18. Dac A este un domeniu de integritate, printr-un raionament inductiv se obine un rezultat similar celui din Propoziia 1.4.9. i anume: U(A[X1, X2, ... , Xn]) = U(A). 1.5.FUNCIAPOLINOMIAL.RDCINILEUNUI POLINOM. Definiia 1.5.1. FieAinelcomutativcuelementunitate,1 0ifA[X],f=a0+a1X+a2X2+...+ anXn.Dacx0A.Atuncielementulf(x0)=a0+a1x+a2x20+...+anx0nsenumete valoarea polinomului f n x0. Definiia 1.5.2. FieAinelcomutativcuelementunitate,1 0ifA[X],f=a0+a1X+a2X2+...+ anXnunpolinom.Funcia

f :AA,

f (x)=f(x),xAsenumetefuncie polinomial asociat polinomului f. Propoziia 1.5.3. Fie f, g A[X]. Atunci f = g

f =

g , adic polinoamele egale au funciile polinomiale egale. Demonstraie: Fie f = a0 + a1X + a2X2+ ... + anXn, g = b0 + b1X + b2X2+ ... + bnXn. Din f = g rezult ak= bk,k = 0, ..., n. Deoarece

f , g: AA i

f (x) = f(x),

g (x) = g(x) rezult f = g. Observaia 1.5.4. Reciproca nu este n general adevrat. Exemplu: Fie f, g3[X], f = X3, g = X. Avem f g, dar

f = g . ntr-adevr

f ,

g :3 3 i (0) f = (0) g =0,

(1) f= (1) g =1, (2) f = (2) 2 = g . Observaia 1.5.5. Dacf=aA,atuncifunciapolinomialasociatesteconstantDinacestmotiv elementele inelului A, considerate ca polinoame, se vor numi polinoame constante. Definiia 1.5.6. Fie f A[X], cu A inel comutativ i aA. Dacf(a) = 0 spunem c a este o rdcina polinomului f n inelul A. Rdcina unui polinom se mai numete i zero al polinomului. Propoziia 1.5.7.Fie A, B dou inele comutative i unitare, astfel nct A este subinel al lui B. Dacf = a0 + a1X + ... + anXn este un polinom oarecare din A[X] iy este un element din B. Atunciaplicaiaf f(y),f(y)==a0+a1y+...+anynesteunmorfismdeineledela A[X] la B. Demonstraie: DeoareceAesubinelnB,fA[X]iyB,rezultcf(y),deciaplicaiadinenunul propoziiei este bine definit. S notm cu : A[X]B aplicaia (f) = f(y). Trebuie s demonstrm c (f + g) = (f) + (g) i (fg) = (f) (g),adic (f + g)(y) = f(y) + g(y) i (f g)(y) = f(y)g(y), pentru orice dou polinoame f, g din A[X]. Dac f = a0 + a1X + ... + amXm i g = b0 + b1X + ... + bnXn relaiile devin: ( )ii ia b y + = i ii ia y b y + i ( )( )k i ik i ic y a y b y = , unde ck= i ii j ka b+ =.Dinacesterelaiirezultc (f+g)= (f)+ (g)i (fg)= (f) (g),deci este morfism. 1.5.8. Teorema lui Bzout Fie A un domeniu de integritate i f un polinom din A[X]. Atunci x0A este o rdcin a lui f dac i numai dac X x0 divide f. Demonstraie: Fie fA[X], f = a1 + a2X + ... + anXn, an 0, f(x0) = 0. Atunci f(X) = f(X) 0 = f(X) f(x0) = a1 + a2X + ... + anXn - (a0 + a1x0 + ... + anx0n) = a1(X x0) + ... + an(Xn - x0n). Deoarece X x0 divide Xk x0k pentru 1 k n, rezult c X x0 divide f. Reciproc, dac X x0 divide f, atunci exist hA[X] astfel nct f = (X x0)h. Deci f(x0) = (x0 x0)h(x0) = 0, adic x0 este o rdcin a lui f. Definiia 1.5.9. Un element x0 dintr-un domeniu de integritate A este rdcin multipl de ordin k sau rdcin de ordin de multiplicitate k a polinomului f din A[X] dac (X x0)k| fi(X x0)1 k +|/f. Propoziia 1.5.10. Fie A un domeniu de integritate, iar f i g polinoame din A[X]. Dac x0A este rdcin multipl de ordinul i a lui f i rdcin multipl de ordinul j a lui g, atunci x0 este rdcin multipl de ordinul i + j a produsului fg. Demonstraie: Avem f = (X x) f1 cu f1(x) 0 i g = (X x)jg1 cu g1(x) 0. Atunci f g = (X x)i j +f1g1 i cum A este un domeniu de integritate, f1(x)g1(x) 0. Deci x este rdcin de ordin de multiplicitate i + j a lui fg. Propoziia 1.5.11. Fie A un domeniu de integritate i f un polinom nenul din A[X]. Dac elementele x1, x2, ..., xk din A sunt rdcini distincte ale lui f, de ordinul de multiplicitate i1, i2,... , respectiv ik atunci f se scrie sub forma f = (X - x1)1i(X - x2)2i... (X - xk)kig, unde g A[X]. Demonstraie: Aplicm inducie dup k. Pentru k = 1, propoziia rezult din definiia 1.5.11. Presupunemcpropoziiaesteadevratpentruk1ivomartaceaesteadevrat pentru k. Exist g1A[X] astfel nct f = (X - x1)1i(X - x2)2i... (X - x1 k)1 ik g1. Atunci f(xk)=(xk-x1)1i(xk-x2)2i...(xk-x1 k)1 kig1(xk)=0icumxk xipentru orice 1 l k 1, rezult g1(xk) = 0. Notnd h = (X - x1)1i(X - x2)2i ... (X - x1 k)1 ki, avem f = hg1, unde h(xk) 0 i deoarece xk este rdcin a lui f de ordin de multiplicitate ik este clar c xk este rdcin a lui g1 de acelai ordin de multiplicitate. ntr-adevr, g1 = (X - xk)g2 i f = (X - xk) kif1, unde f1(xk) 0. Atunci (X - xk)ikf1 = (X-xk)g2h,deunde(X-xk) 1 ik f1=g2hiaplicndnxkrezult0=g2(xk)h(xk). Cum h(xk) 0 , atunci g2(xk) = 0, adic g2 = (X - xk)g3. Avem deci, g1 = (X - xk)2g3 i continund procedeul de attea ori ct este ordinul de multiplicitate al rdcinii xk a lui f seobineg1=(X-xk)ikgidecif=(X-x1)1 i(X-x2)2 i...(X-x1 k)1 ik (X-xk)ikg, unde gA[X]. Corolarul 1.5.12. Dac A este un domeniu de integritate i f un polinom din A[X] cu grad f = n >0, atunci f are cel mult n rdcini. Corolarul 1.5.13. FiefA[X]cugrad(f)niA=domeniudeintegritate.Dacfarecelpuinn+1 rdcini distincte n A, atunci f este polinom nul. Corolarul 1.5.14. Fie f, g A[X], cu grad f n, grad g n i A domeniu de integritate cu mai mult de n elemente.Atunci

f = g f=g,adic,nacestecondiii,doufunciipolinomialesunt egale dac ele sunt asociate unor polinoame egale. Demonstraie: Fie h = f g. Din

f =

g f(x) = g (x),x A, rezult f(x) = g(x),x A, adicf(x)-g(x)=0,xA,iarnfinalh(x)=0,xA.Dargrad(h) max(grad(f), grad(g)) n,iarAaremaimultdenelemente,adicpolinomulharecelpuinn+1 rdcini distincte n A. Din propoziia anterioar rezult h = 0, adic f = g. Observaia 1.5.15. Dac A nu este un domeniu de integritate, afirmaia din Corolarul 1.5.14. nu este neaprat adevrat. Exemplu: Fie inelul A = , care nu este domeniu de integritate, deoarece, de exemplu, (0, 1)(1, 0)= = (0, 0), deci A are divizori ai lui zero. Fie polinomul f = (1, 0)X din A[X] al crui grad este 1. Orice element (0, n) din A este rdcin a lui f deoarece f(0, n) = (1, 0)(0, n) = (0, 0) i deci f are o infinitate de rdcini. Observaia 1.5.16. Atuncicndnumrmrdcinileunuipolinominuspecificmcsuntdistincte, considerm fiecare rdcin de attea ori ct este ordinul su de multiplicitate. Propoziia 1.5.17. Relaiile lui Vite (relaiile dintre rdcinile i coeficienii unui polinom). Fie A un domeniu de integritate i f = a0 + a1X + ... + anXn, an 0 un polinom nenul din A[X]. Dac x1, x2, ... , xn sunt n rdcini ale lui f n A, atunci: f = an(X - x1)(X - x2) ... (X - xn) i - a1 n = an(x1 + x2 + ... + xn) a2 n= an( x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + ... + x1 nxn) .................................................................................... (- 1)kak= an(x1x2 ... xk + x1x2 ... x1 kx1 k+ + ... + x1 n k +x2 n k + ... xn) .................................................................................... (- 1)na0 = an( x1x2 ... xn). Demonstraie: ConformPropoziiei1.5.13.putemscrief=(X-x1)(X-x2)...(X-xn)gcu gA[X]. Identificnd coeficienii lui Xn din ambii membri, avem g = an.Deci, f = an(X - x1)(X - x2) ... (X - xn) = anXn - an( x1 + x2 + ... + xn)X1 n ++an(x1x2+x1x3+...+x1xn+...+x1 nXn)X2 n+...+(-1)nanx1x2...xn,de unde, prin identificareacoeficienilor n cele dou scrieri ale lui f se obin relaiile cerute. CAPITOLUL II PROPRIETI ARITMETICE ALE INELULUI DE POLINOAME NTR-O SINGUR NEDETERMINAT I AVND COEFICIENI NTR-UN CORP COMUTATIV 2.1. INELE EUCLIDIENE I INELE PRINCIPALE Definiia 2.1.1. UndomeniudeintegritateAmpreuncuofuncie :A\{} 0 senumeteinel euclidian, dac are urmtoarele proprieti: i) Oricare ar fi elementele nenule a, bAastfel nct a| b , rezult (a) (b); ii) Pentru oricare a, bA, b 0, exist q, rA astfel nct a = bq + r, unde r = 0 sau (r) l ,(polinoamecucoeficienintreginnnedeterminate,n1), K[X][X1,X2,,Xn], n2, unde K este unul din corpuriie Q, R, C, Zp cu p-prim.Acesteineledepolinoamesuntmaisracenproprietiaritmetice.Ele suntinele euclidiene,decipentruelenuexistteoremampririicurest,nici algoritmulluiEuclid, avnd n schimb proprieti aritmetice care le fac s posede proprietatea c elementele lor nenuleineinversabileauodescompunerenfactoriprimicutotcederivdinaceast proprietate. Deci nu sunt inele euclidiene, dar n schimb sunt inele factoriale(cu descom-punerea n factori primi). Acest lucru se subnelege din manualele colare, dar nu se arat i nici mcar nu se menioneaz.Justificareaacestuifaptovomdancontinuare.Dealtfel,estedificilde argumentat la nivelul colii, totui ar fi bine dac s-ar meniona. Aadar, mulimile pe care se studiaz aritmetica n coal se mpart n domenii de integritate euclidiene (domenii de integritate pe care se pot da teoreme de mprire cu rest) idomenii de integritate cu descompunere unic n factori primi (factoriale), care nu sunt euclidiene. n gimnaziu, cnd vorbim de mulimea numerelor ntregi, se folosete conceptul de numr prim, iar la polinoame cu coeficieni ntr-un corp se folosete, cu aceeai accepiune, conceptul de polinom ireductibil. ngeneral,ndomeniiledeintegritatentlnitenprezentalucrare,existdefiniii diferite pentru elemente prime i elemente ireductibile. Totui, pentru domeniile de integri-tate ntlnite n coal, noiunile de element prim i element ireductibil coincid, astfel nct nuincomodeazneconcordanadintredefiniiiledatengimnaziuicelecaresedaun general acestor elemente. PentruprimadatncoallaaritmeticanumerelorntreginclasaaX-aila polinoamecucoeficienicomplecisearatechivalenacelordouconceptedeelement primielementireductibil.Practic,se arat faptulc,orice elementireductibil esteprim, ceea ce ne facilitaz unicitatea descompunerii n factori primi pentru numere ntregi, dar i pentrupolinoame.Dincauzcngimnaziunusedemonstrazoastfeldeechivalen, ceeaceestedificilpentruelevi,nusepuneproblemaunicitiidescompuneriinfactori primi nici la numere, nici la polinoame, deoarece n demonstraie se folosete definiia mai tare, aceea de element prim, iar n gimnaziu cea mai slab, aceea de element ireductibil, n gimnaziu existena descompunerii se justifica prin exemple, iar cea a unicitii descompu-nerii nu se pune. Din cele artate, rezult o gam larg de probleme de aritmetic care se ntlnesc n coal de-a lungul tuturor claselor. Pentru inelul Z[X] al polinoamelor cu coeficieni ntregi caipentruoriceineldepolinoamenmaimultdedounedeterminatecucoeficieni numerici (adic Z, Q, R, C) ct i pentru orice inel de polinoame cu coeficieni ntr-un corp (deex.Zp,p-prim)nmaimultenedeterminate,studiularitmeticiincepecuelemente prime(carecoincidcuceleireductibile),descompunereanfactoriireductibilicticu algoritmul iui Euclid. ngimnaziu,proprietilearitmeticepentruineleleconsideratemaisus,nuse demonstreaz, ele avnd anumit grad de dificultate i necesitnd un bagaj de cunotine de careeleviidegimnaziunudispun.Demonstrareariguroasicomplexalor,seface pentru prima dat n clasa a X-a, la Algebr, cnd se remarc un paralelism complet intre aritmeticamulimiiZanumerelorntregiiaritmeticapolinoamelorcucoeficieni compleci C[X]. DeoarecenuexistniciodeosebirentrestudiularitmeticiipeZipeC[X]ar trebuisseacordeoatenielafeldemarearitmeticiipeZcaiceleipentrupolinoame observndu-se paralelismul sus menionat. nclasaaXII-acndsetrateazproprietilearitmeticealeineluluiK[X]al polinoamelorcuKcorpcomutativ,seevideniazc,defapt,dinpunctdevedere aritmetic, acesta nu difer prin nimic de inelul Z al numerelor ntregi. nfine,vomsublinia,ncodatparalelismulexistentntreteoremampririicu rest pentru numere i pentru polinoame cu coeficieni compleci. Teorema 4.1.1. Teorema mpririi cu rest pentru numere ntregi. Fie a, bZ, b 0. Atunci exist dou numere ntregi q i r, astfel nct: a = bq + r i 0 < r < |b|n plus, q i r sunt unice. Demonstraie: Dac exist qZ, astfel nct a = bq, atunci punem r = 0. Presupunem c a bq, oricare ar fi qZ. Considerm mulimea: A = {ne Z / exist kZ, n = |a-kb|}. Se vede c A . Cum N este bineordonat,existnAuncelmaimicelement,fieacestar.DeciexistqZ,astfel nct r = |a-bq|. Evident r 1. S artm c r = |b|. Prin reducere la absurd, presupunem c r > |b|. Dac a-bq > 0, atunci r = a-bq > |b|. Notm sgn(b) +l, dac b > Q- l, dac b < Q Avem |b| = b sgn(b) i deci a-bqb sgn(b) sau a-b(q+sgb(b))0.Rezult c r = a-b(q+sgn(b)) A, dar cum r' < r aceasta contrazice alegerea lui r.Dac a - bq 0, atunci r = bq - a|b|, deci avem b(q-sgn(b)) - a 0.Rezult c r = a + b(q - sgn(b)) A. Cum r'< r, aceasta contrazice alegerea lui r.Deci r grad(g) dar din egalitatile: grad(r) < grad(g) si grad(r) < grad(g) este clar ca grad (r - r') < grad(g) si deci este o contradictie.Prin urmare q - q = 0 si deci q = q', de unde r = r. Trebuie remarcat dm acest paralelism, ca enunturile (1) si (2) sunt aproape identice si demonstratiile asemanatoare, ele bazndu-se pe proprietatea fundamentala a multimii de a fi bine ordonata. Celedouarelatii(1)si(2)suntaproapeidentice.Estesuficientsaschimbam cuvintelenumarntregcuceldepolinomsidinrelatia(1)observamrelatia(2)cuo mica deosebire. Conditia 0 < r < |b| din relatia (1) se schimba n conditia grad(r) < grad(g). nacesteteoremeseobservacarestulsictulsuntunicdeterminate.Pedealta parte,celedouateoremenunumaicaseamanaprinenunt,darsidemonstratiilelorsunt aproape identice. Dupacumspuneam,demonstratiileacestorteoremesebazeazapeproprietatea fundamentalaamultimiianumerelornaturaledeafibineordonata.Sareamintim aceasta proprietate: Mulimea anumerelornaturaleestebineordonata,nsensulcaoriceparte nevida A a lui are un prim element (adica exista un numar natural din A, astfel nct a < x, oricare ar fi x A). Asa cum am precizat mai nainte, n gimnaziu ,proprietatile aritmetice pentru inele consideratemaisus,ngeneralnusedemonstreaza.Seenuntaregulilesiproprietatilesunt ntelese si retinute prin numeroase exemple. Astfel, n gimnaziu, pentru calculul c.m.m.d.c. se foloseste algoritmul lui Euclid. De exemplu: f = X4 - 2X3+ 4X2 - 4X +i g= 2X3 - 3X2 + 2X-6. Dupa calcule se ajunge la ultimul rest nenul r =5X2+10 care este c.m.m.d.c. Imediat dupa aceasta se face observatia ca putem spunem ca X + 2 este c.m.m.d.c. al polinoamelor f si g ceea ce ar spune ca exista doua c.m.m.d.c. Pentru a evita confuziile este bine sa se explice urmatoarea teorema si chiar sa se verifice pe cteva cazuri particulare, teorema care este demonstrata n clasa a X-a. Teorema 4.1.3. Fie f, g doua polinoame si avem urmatorul rezultat c.m.m.d.c. al polinoamelor f si g. Daca a sia 0,atunciadestec.m.m.d.c.alpolinoamelorfsig.Invers,dacadeste c.m.m.d.c al lui f si g, exist a si a 0 astfel nct d= ad. Chiar daca nu se face demonstratia, trebuie retinute urmatoarele observatii: a) c.m.m.d.c. este unic, abstractie facndu-se de un factor constant nenul; b) teorema ne ajuta ca n calculele ce le facempentru obtinerea c.m.m.d.c. a doua polinoame cu coeficenti ntregi prin algoritmul lui Euclid s evitam coeficientii fractionari. Mai precis, daca la una din mpartiri primul termen al vreunui dempartit nu este divizibil cuprimultermenalmpartitorului,sepotnmultitoticoeficientiidempartituluicuun numaralesconvenabil.Deasemenea,dacatoticoeficientiidempartituluisaumpar-titorului sunt divizibili cu aceiasi numar, i putem mprti cu acelasi numar. Efectundunnumarmaredeexercitiincaresevatineseamadeastfeldeobser-vatii,sevoralegepedeplinanumiteproprietatiaritmeticedininele.Asacumreiese,se remarcaunparalelismcompietsiilc.m.m.d.c.nmuitimeaanumerelorntregisin multimea C[X] a polinoamelor cu coeficienti complecsi. Pentruexemplificare,vomcalculaprinalgoritmulluiEuclid,c.m.m.d.c.al numerelor 6888 si 28350 n: 28350 = 6888 4 + 7986888 = 798 8 + 504 798 = 504 1 + 294 504 = 2941 + 210 294 = 210 1 + 84 210 = 84 2 + 42 84 = 42 2 + 0 Deci c.m.m.d.c. al numerelor 6888 si 28350 este 42, adica ultimul rest diferit de 0. Printr-un exempiu din Q[X], vom observa ca nu este nici o deosebire ntre calculul c.m.m.d.c n Q[X] si din calculul c.m.m.d.c. n. Vom calcula c.m.m.d.c. al polinoamelor f = X4 + 3X3 + X2 - 2 si g = X3 + 2X2 + 2X+ 1. Folosind algoritmul lui Euclid, obtinem: X4 + 3X3 + X2 - 2 = (X3 + 2X3 + 2X + 1)(X + 1) + (X2 + X + 1) X3 + 2X3 + 2X + 1 = (X2 + X + 1)(X + 1) + 0 Deci c.m.m.d.c. este X2 + X+ 1. Sa observam, de asemenea, ca n teoremele care ne asigura existenta c.m.m.m.c. si ne dau n acelasi timp unprocedeude calcul att n, ct si n K[X], nu sunt deosebiri. Pentru a sustine afirmatia, amintim teoremele, fara demonstratii.C.M.M.M.C. Teorema.Fie a si b dou numere ntregi nenule. Dac d este c.m.m.d.c. al lui a si b atunci =abmd este c.m.m.m.c. al lor. Exemple: Vom calcula c.m.m.m.c. al numerelor 75 i 425. Mai nti vom calcula (75,425) prin algoritmul lui Euciici. 425 = 75 5 + 50 75 = 50 1 + 25 50 = 25 2 + 0.Deci (75, 425) = 25 75 42575 425 [75, 425] = = = 3 425 1275 (75, 425) 25 =C.M.M.M.C Fief,gdouapolinoamedintrecarecelputinunulestenenul.Dacdesteun c.m.m.d.c. al lui f si g, atunci polinomul =f gmd este c.m.m.m.c. al lui f si g. Exemplu:Vom calcula c.m.m.d.c. al polinoamelorf = X3 + 4X2 - 4X + 5 i g = X2 + 4X - 5. X3 + 4X2 - 4X + 5 = (X2 + 4X - 5)X + (X + 5) X2 + 4X - 5 = (X + 5)(X - 1) + 0 C.m.m.d.c. = X + 5 3 2 2 3 23 2 4 2(X+ 4X- 4X + 5)(X+ 4X - 5)(X+ 4X- 4X + 5)(X + 5)(X - 1) [f,g] = = = X + 5 X + 5= (X - 1)(X+ 4X- 4X + 5) = X 3X - 8X 9X 5 + + 4.2.RADACINILEPOLINOAMELORCUCOEFICIENTI REALI, RATIONALl, NTREGI I. Polinoame cu coeficienti reali Teorema 4.2.1. (TEOREMA RESTULUI) Fie K un corp comutativ, f K[X] i a K. Restul mpartirii polinomului f prin X-a este f(a) = r. Demonstratie: Se aplica teorema de mpartire cu rest, deci (3)q, rK[X] astfel nct f = (X-a)-q+r, grad(r) < grad (X-a) = l = > grad(r) = 0 sau adica rK. f(a) = (a - a) q(a) + r(a) => f(a) = r Teorema 4.2.2. Teorema factorului sau teorema lui Bzout.Fie K un corp comutativ fK[X] i aK X - a divide f dac si numai daca f(a) = 0 Demonstratie: (X - a) | f r = 0 unde r este restul mpartirii lui f prin X - a r = 0 f(a) = 0. Deci (X-a) | f f(a) = 0. Teorema restului nu face referiri la ctul mpartirii polinomuiui f prin X - a. Un procedeu de aplicare a acestui ct este SCHEMA LUI HORNER. Teorema 4.2.3.Fie f R[X], grad(f) 2Daca z = a + bi, b0 este radacina a lui f, atunci: 1)z - a - bi este radacina a lui f 2)zsizau acelasi ordin de multiplicitate. Demonstraie: 1)Din f R[X] avem f(z) =f( z ). Cum f(z) = 0 f(z) = 0 f(z)= 0 adic f(a + bi) = 0f(a - bi) = 0 2) S lum z = a+bi rdcin multipl de ordinul m(X - z)mf( )g C[X], astfel nct f = (X - z)m - g i g(z) 0 f(z) = 0, b 0 f( z ) = 0 din (1) Obtinemf( z ) = ( z - z)m - g( z ) = 0 g( z ) = 0 ( )g1, C[X], astfel nct g = (X - z ) g1 adica f = (X - z)m - (X - z ) g1 = (X - z) - (X -z ) (X-z)m-1 g1, deoarece: z +z = a + bi + a - bi = 2a si z z = (a + bi ) ( a - bi) = a2 + b2 Lund f1 = (X-z)m-1 g1 avem: f = (X2 - 2aX + a2 + b2) f1 si f1 0 Deoarece f R[X] si X2 - 2aX + a2 + b2 R[X] Daca m > 1 aplicam polinomului f1 acelasi procedeu ca lui f si obtinem: f1 = (X2-2aX + a2 + b2) - (X - z)m-2 g2 unde g2C[X] adica:fi = (X2-2aX+a2 + b2) f2 unde f2= (X - z)m-2 g2, f2 R[X] i g2(z) 0. Deci f = (X2-2aX + a2 + b2) f2, f2 R[X] Daca m > 2 continum procedeul pentru f2 s.a.m.d. Dup m pasi obtinem h R[X] astfel nct f = (X2-2aX + a2 + b2)m h = (X - z)m (X - z ) m h = s(X-z) m | f.Cum h(z) 0 h( z ) 0, h R[X] (X - z ) h deci (X - z)m+1 f. Decizesteradacinamultipladeordinulmpentruf,adiczsiz suntradacinicu acelasi ordin de multiplicare. Corolar 4.2.4. Radacinile complexe ale unui polinom cu coeficienti reali sunt n numar par. Corolar 4.2.5. Orice polinom cu coeficienti reali are cel putin o radacina reala. Teorema 4.2.6. Orice polinom f R[X], grad f 1 se poate scrie ca un produs de polinoame de gradul 1 sau de gradul 2 cu coeficienti reali, cele de gradul 2 avnd radacini complexe sub forma:f = anXn + an-1Xn-l + ,+ a1X l + a0 = an (X- x1)kl (X-x2)k2 (X-xp)kp (X 2 + b1X + cl)r1 (X2 + bsX + cs)rs unde x1, x2, ,xp R si b12- 4c1 < 0,, bs2 - 4cs < 0 Demonstratie: Daca grad(f) = n, f R[X] C[X], f are n radacini si f = an(X - x1) - (X - x2) (X-xn); x1, x2, xn nefiind obligatoriu distincte. Fie x1, x2,,xp radacinile reale ale lui f, cu ordinul de multiplicare K1, K2, Kp (X-xi)k1-(X-x2) k2(X-xp) kp | f. Celelalteradacinifiindcomplexe,elesuntdouactedouaconjugate,cuacelasi ordindemultipliciate.Deexemplu,dacaxp+1esteradacinacomplexadeordinulr,atunci xp+1 este radacina complexade ordinul n si (X- xp+1)r1- (X-xp+1)r1= (X2 +biX + ci)r1 este un factor n descompunerea lui f, unde b1, c1 si bi2 - 4ci < 0. Enunt. Analog procedm cu celelalte perechi de radacini complexe si obtinem descompu-nerea din enunt. II. Polinoame cu coeficienti rationali Fie f Q[X] m grad(f) 2. Dac u = a + b d(a, b , b0, d > 0, d liber de ptrate) este radacina a lui f atunci: 1)u= a + b d este radacina a lui f; 2) u siu au acelasi ordin uc multiplicitate. Demonstratie: 1) deoarece din f Q[X] si f(a + b d = 0 adica f(u) = 0 f( u ) = 0 2) Fie u = a + b d radacina multipla de ordin m (X - u)m | f( )g C[X] astfel nct f=(X-u) m g si g(u) 0 Cum f(u) = 0 f(u) = 0 si obtinem f(u) = (u- u)m g(u)= 0 adica (-2 b d )m g(a- b d ) = 0 Cum b 0, d > 0 g(a - b d ) = 0 adica g = (x-u) g1 si f = (X - u)m (X - u) g1 = (X - u) (X - u) (X - u)m-1 g1= (X2- 2aX+ a2- b2d) f1, unde f1- (X - u)m-1 g1 Deoarece f Q[X] si X2 - 2aX + a2- b2d Q[X]f, Q[X]. Daca m > 1, aplicam polinomului f1 acelasi procedeu ca lui f si obtinem: f1 = (X2 - 2aX + a2- b2d) (X - u) m-2 g2 unde g2 (u) 0 adica f1 = (X2- 2aX+ a2- b2d) f2 Deoarece f1Q[X] si X2 - 2aX + a2- b2d Q[X]f2 Q[X]. Dac m > 2 continuam procedeul pentru f2s.a.m.d. dupa m pasi obtinem hQ[X] astfel nct f = (X2-2aX+ a2- b2d)m h = (X-u)m (X-u) m | f. Cum h(u)0 h( u )0, h Q[X] (X -u ) h, deci (X -u )m+l fu= a - b d este radacina multipla pentru f, deacelasiordincuu=a+b d ,adicausiu suntradacinicuacelasiordinde multiplicitate. Observatie: Teorema 4.2.7. se aplica numai polinoamelor cu coeficienti rationali care au radaci-ni irationale patratice, adica numere reale de forma: a b d , cu a, b , b 0, d > 0. Corolar 4.2.8. Radacinileirationalepatraticealeunuipolinomcucoeficientirationalisuntn numar par. III. Polinoame cu coeficienti ntregi Teorema 4.2.9. Fie f Z[X],f = anXn +an-1Xn-1 + + a1X1 + a0, grad f = n, n 1. Dac x = p/q, p, q *, (p,q) = 1 este o radacina rationala a lui f atunci: 1) p | a0 2) p | an Demonstraie: f(p/q) = 0 an (p/q) n + a n-1 (p/q) n-1 + + a1p/q + a0 = 0anpn + a n-1 p n-1 q + a1pn qn-1+ q n= 0 a0qn= p (-anpn-1 - an-1p n-2 q a1qn-1) p | a0qn Din (p,q) = 1 (p, q n) = 1. Deci p | a0 Analog, avem anpn = q (-an-1p n-1 a1pq n-2 a0q n-1) q | anqn

Dar (q, pn) = 1, deci q | an Corolar 4.2.10. DacfZ[X],f - anXn + an-1Xn-1 + + a1X + a0, f(p) = 0, p p| a0 ntr-adevar, p = p/1, (p,1) - 1 se aplica teorema. Corolar 4.2.11. FiefZ[X],f=anXn+an-1Xn-1++a1X+a0 i an=1.Dac f admiteradacini rationale, atunci acestea sunt numere ntregi. ntr-adevar, daca f(p/q) = 0, (p,q) = 1, p, q *. Din q | an q 1 q = 1, deci p/q . PROPOZITIA 4.2.1. Fie f Z[X], f = anXn + an-1Xn-1 + + a1X + a0 si an 0. Daca exista a astfel nct f(a) si f(a+1) sunt numere impare atunci f nu are radacini ntregi.Demonstratie: Presupunem prin absurd ca f admite radacina ntreaga x = k(X - k) | f (X - k) g, g Z[X]. Obtinem f(a) = (a-k) g(a) si f(a+1) = (a+1-k) g(a+1). Cum f, g Z[X] , a, k f(a), g(a), f(a + 1), g(a + 1), a - k, a + 1- k sunt numere ntregi (a - k) | f(a) si (a -k + 1) | f(a + 1). Obtinemdouanumerentregiconsecutivea-k,a-k+1,divizoridenumere impare,adicaelesuntnumereimpare.CONTRADICTIE!Presupunereacafareradacini ntregi este falsa! 4.3. PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICA 4.3.1. Proiect de tehnologie didactica Data: Clasa: a XII-a Disciplina: Matematica - Algebra Tema:Relatiintreradacinilesicoeficientiiunuipolinom(FormuleleluiViette) Tipul lectiei: predare - nvatare Scopullectiei:formareasiconsolidareadeprinderilordecalculcorectsirapid privind operatiile cu polinoame. Obiectivegenerale:-sacunoascateoremaluiBezut,teoremafundamentalaa algebrei si consecinta acesteia, descompunerea polinomului n factori liniari. Obiective operationale: la sfrsitul activitatii elevul trebuie:- sa cunoasca relatiile ntre radacinile si coeficientii unui polinom si sa le aplice corect; - sa stie ca determinarea radacinilor unui polinomfolosind relatiile lui Vite se realizeaza cnd se cunoaste o relatie suplimentara ntre radacini; - sa stie sa determine o ecuatie cnd i secunoscradacinile,saurelaaiilentreradacini;-sacunoascametodeavantajoasede scrierea relatiilor lui Vite n cazul ecuatiei algebrice de gradul IV si n cazul radacinilor aflate n progresie aritmetica sau geometrica n cazul ecuatiilor de gradul III sau IV. Metodesiprocedeefolosite:explicatia,exercitiul,problematizarea,conversatia, algoritmizarea, descomopunerea dirijat. Mijloacedenvatamnt:ManualuldealgebradeclasaaXII-a,Culegerede probleme de algebra C. Nastasescu, C. Nita.Evaluare:- continua prin analiza raspunsurilor si corectitudinea rezolvarii sarcinilor de lucru; - finala, prin rezolvarea exercitiului de evaluare. Desfasurarea activitatii: 1234 Nr. crt. Etapele lectieiActivitatea profesoruluiActivitatea elevului 1.Moment organizare Se repeta relatiile lui Vite pentru ecuatia de gradul II si pregtesc cele necesare desfsurarii activitatii 2.Reactualizarea Care este forma ecuatiei de gradul II cnd se Elevii raspund: cunotintelor cunosc S si P si cum se descopmun daca stim rdcinile. Amintim ca:- un polinom de gradul n, din C[X] are exact n radacini complexe (nu neaparat distincte); - formulele de calcul prescurtat ax2 + bx + c = 0 S = x1+ x2 = -ba P = x1x2 = ca R : x2 - bx + P = 0 ax2+bx+c=x(x-x1)(x-x2) 3.Comunicarea temei si a obiectivelor Anunta tema noii lectiisi obiectivele urmarite Ascultasisinoteaza titlul pe caiete 4.Crearea situatiilorde nvatare Se enunta teorema.Teorema: Fie f = a0+ a1x + a2x2 + + anxn, grad f = n (n0),f C[X]. Daca1, 2, n, sunt rdcinile lui f atunci: Reciproc, daca numerele1, 2, n satisfac relatiile (V) atunci1, 2, nsunt radacinile lui f. Observatie: Sk are Cnk termeni, k = 1 n. Demonstratie: Folosind formula de descompunere n factori liniari f =an(x-1) (x-2) (x-xn), efectund calcul f = an Xn - an (1+2 +n)Xn-1 +. an (12 -13 + +n-1 n) Xn-1

Identificnd coeficienii din aceste scrieri cu cei din f = an Xn+ an-1 Xn-1+ an-2 Xn-2+ + a1X+ a0 Obinem relaiile (V). Reciproc, daca folosim1, 2, n satisfac relaiile (V), cosiderm polinomul g= (x -1) (x -2) (x -n) = xn- (1+2 + +n) xn-1 +(12 -13 +(-1)n12n Folosind (V) g =xn + 1 2 1 2 | | | |+ ||\ \ n n n nn na ax xa a+ Noteaza teorema +01 1. Din g = | |= |\ n n naf fa a arezulta ca 1, 2, n sunt radacinile f. Observatie: Relatiile lui Vite pentru polinomul f sunt relatii ntre radacinile si coeficientii ecuatiei algebrice atasateanxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 = 0 Exemplificare pentru ecuaii de gradul III si IV: ax3 + bx2+ cx + d = 0 ax4 + bx3+ cx2+ dx + e = 0 Notnd S = x1 + x2 siS = x3 + x4, P = x1x2 siP = x3x4 Relatiile lui Vite se scriu: Aplicaii: 1)S se rezolve ecuaiax4 + 2x3 + 2x2 + 10x + 25 = 0,stiind ca suma adoua radacini este egala cu suma celorlalte radacini. Se recomanda scriererea (*) unde S=S. 2) Sa se rezolve ecuatia4x3 - 12x2 + 11x - 3 = 0, stiind ca radacinile sunt n progresie aritmetica. Se pot alege variantele2x2 = x1+x3 sau x1 = n - r, x2 = n,x3 = n + r.Pentru cea de a doua alegereS1=(n-r) + n + (n+r) = 3n. 3) Sa se rezolve ecuatia x4+ 2x3+ mx2+ x-3 = 0, stiind ca radacinile sunt n progresie aritmtica. Apoi sa se afle parametrul real m. Se recomanda alegerea x1= n-3r, x2 = n - r, x3 = n + r, x4 = n+3r, de unde S1 = 4n si Eleviisunnumiis rezolve la tabl. Sn=(n2-9r2)(n2-r2); 4) Sa se rezolve ecuatia x3- 5x2 + ax + 8 = 0 stiind ca radacinile sunt n progresie geometrica si sa se o afle radacina. Se pot alege variantele x22 = x1x3 sau x1 = n/r, x2 = n, x3 = nr. Pentru cea de a doua alegere 33= =nS n n r nr Observatie: Daca ecuatia algebrica de gradul IV are radacinile n progresie geometrica, este avantajoasa alegerea: x1 = n/r3 , x2 = n/r, x3 = nr, x4 = nr3 de unde S4=n4. Determinarea ecuatiilor algebrice cnd i se cunosc radacinile, deci se cunosc S1, S2, , Sn. Ecuatia se poate scrie (X-x1) (X-x2) (X-xn) = 0 sau Xn-S1Xn-1+ S2Xn-2+ + (-l)Sn=0. ntr-adevar, ecuatia algebrica avnd forma generala anXn + an-1Xn-1 + + a1X + a0 = 0, an 0. Rezultaca

1 2 1 2 | | | |+ + ++ ||\ \ n n n n nn na aX X Xa a

0 10| |+ = |\ n na aXa a

sau Xn - S1Xn-1+ S2X n-2+ +(-1) n-1Sn-1 + (-1) nSn = 0 5. Fixarea noilor cunostinte FieecuatiaX3+3X2-5X+1=0avndradaci-nile x1, x2, x3. Sa se determine ecuatia de gradul III care are radacinile y1 = x2+ x3, y2 = x1+x3, y3= x1=x2. S1= y1+ y2+y3 =(x2+x3)+(x1+x3)+ (x1+x2)= 2(x1+x2+x3) = - 6 S2= y1y2+y1y1 + y1 y3 == =(x1+x2+x3)2+ (x1x2+x1x3+ x2x3)= 29 5 4| | | | + = = ||\ \ b ca a S1= y1 y2y3 == (x2+x3) 1 31 2| | + |+\ x xx x= =x1s2+x2s2+x3s3+x1x2x3= s1s2-s3 = -16 Ecuatia cautata este: y3+ 6y2+ 4y -16 = 0 6. Evaluarea rezultatelor Saserezolveecuatia2x3-9x2+mX+75=0, stiind ca ntre radacin exista relatia x1 = 2x2 Elevii rezolva independent pe caiete, ecuatia. 7. ncheierea lectiei Notez,facobservatiisiaprecieriasupra desfasurarii lectiei. 4.3.2. Proiect de tehnologie didactica Data: Clasa: a Xll-a Disciplina: Matematica - Algebra Terna: Polinoame cu coeficieni intr-un inel comutativ Tipul lectiei: consolidare Scopulleciei:Consolidareadeprinderilordecalculcorectsirapidninelede polinoame Z[X], Zn[X], Q[X], R[X], C[X], ZP[X], p = prim. Obiectivegenerale:Consolidareadeprinderilordeaverificaprincalcul proprietile polinoamelor. Obiective operationale:La sfrsitul activitii elevul trebuie: -sacunoascateoremampartiriicurestpentrupolinoamecuceoficientintr-uncorp comutativ K; -sacunoascasiaplicecorectteoremarestului,teoremafactorului(Bezout),schemalui Horner; -sa-sinsuseascanotiuneadepolinomireductibilsidescompunereanfactoriireductibili peste un corp comutativ K; - sa-si consolideze metode de descompunere n factori ireductibili a unui polinom peste Q, R, C, Zp.Metode si procedee folosite: - conversatia, exercitiul, problematizarea algoritmizarea, descompunerea dirijata.Mijloace de nvatamnt: - Manualul de algebra de clasa a XII-a; - Culegerea de probleme de algebra - C. Nstsescu, C. Nita; - Culegere probleme bacalaureat; - Culegeri de probleme de admitere n nvatamntul superior.Evaluare: - continua prin analiza raspunsurilor si corectitudinea rezolvarii sarcinilor de lucru. Desfasurarea activitatii: 1234 Nr. crt. Etapele lecieiActivitatea profesoruluiActivitatea elevului 1.Moment organizare si pregtesc cele necesare desfasurarii activitatii 2.Comunicarea temei si a obiectivelor Anunta tema noii lectiisi obiectivele urmarite Asculta si si noteaza titlul pe caiete 3.Crearea situatiilorde nvatare Se propune la nceput un set de exercitii, urmnd ca elementele teoretice sa fie verificate pe parcursul rezolvarii lor: 1. si 2. fixeaza notiunea de grad a unui polinom, discutia dupa parametrul real n, rezolvarea si discutia unui sistem de ecuatii liniare si omogene si puterea de generalizare. 3, 4, 5. consolideaza teorema mpartirii cu rest, metoda coeficientilor nedeterminati; schema lui Horner si Elevii rezolva succesiv la tabla exercitiile propuse. 1.Sa se determine n raport cu parametrul n, gradul polinomului: f= (n2 + 3n + 2)X4 + (m3 + 2m2 - m - 2)X3 + (m2 + 4m + 3)X2 + (m2 - 1)X + 1. 2.FieKuncorpcomutativif1,f2,f3 K[X],gradfi=I,i=1,,3.Aratatica egalitatea1 f1 +2 f2 +3f3 =0, K. Este posibil numai n cazul1 =2 =3= 0. Generalizare. 3. Sa se determine ctul si restul mpartirii polinomuluifprinpolinomulg,undef, gZ5[X] cu g = X2 - X + 3. 4. Sa se determine ctul si restul mpartirii poli-ireductibilitatea poli-noamelor ntr-un inel Zp[x], pr prim. Ex.6subliniazfaptulca descompunereaunuipoli-nomnfactoriireductibili depindedecorpul coeficienilor sai. Ex.7fixeazcunostintele referitoare la radacinile com-plexealeunuipolinomcu coeficientireali,relatiilelui Vite,metodacoeficientilor nedeterminati. Ex.8areroluldeagasi radacinileuneiecuatii algebrice, independente de un parametru. Ex.9reliefeazafaptulca radacinadublaaunui polinomestesiradacina dubla a unui polinom, este si radacinaaderivatei,ctsi teoremareferitoarela radacinilerationalede polinoamelecucoeficienti complecsi. Ex.10consolideazaporprie-tateaconformcareia radacinilecomplexe ale unui polinomcucoeficientireali suntconjugate,cuacelasi ordindemultiplicitatesipe faptulcapolinoamele ireductibilenR[X]suntde nomuluif = 2x2 - 3X3 - 5X2 - 7 X + 9 prin g = X - l, aplicnd schema lui Horner. 5.Fiepolinoarnele:X5+lZ3[X];X4- 1Z37[X]. Sa se decida daca polinoarnele date sunt sau nu ireductibile,iarncazafirmativsase descompuna n factori primi. 6. Fie f Q[X], f = X3- 2 a) aratati ca f este ireductibil peste; b)descomp.nfactoriireductibilifpeste si . 7. Fie polinomul f = X4+aX3+ bx + c a) Sa se arate ca nu exista valori ale lui a, b, c, astfel ca f sa se divida la X3- X b) n cazul cnd f (0) = f(l), sa se determine a, b,c,a..polinomulfsaibaradacina1 2 ( l+i 3 ). 8.FieecuatiaX4+mX3+3X+1=0,unde m.Sasearatecaoricarearfim, aceasta ecuaie are o radacina n intervalul [-1,1]. 9.Sasedeterminemsi saserezolveecuatia 2X3+mX2+4X+4=0,stiindcaareo radacina dubla. 10.FiefR[X]cuproprietateacaf(X) 0, pentru orice . Atunci exista doua poli-noame f1, f2R[X] astfel nct f = f12+ f22. gradulIsauIIcuradacini complexe. 4. ncheierea lectiei Notez,facobservatiisiapre-cieri pentru modul cum aplica cunostintteleteoreticen rezolvareaproblemelordarsi pentrurapiditateasi corectitudineacalcului algebric. 4.4. PROBLEME REZOLVATE 1. a) Sa se determine restul mpartirii unui polinom P(X) de grad > 2 la polinomul p(x) = (X-a)(X-b) b) Folosind rezultalele de la a) sa se determine restul mpartirii polinomuiuiP(x) = X11 - 2X9 + X8-3X7+ X6 + 5X3 +2X2 - X + 1 prin p(X) = X2-1. Solutii: a) Folosind identitatea fundamentala de mpartire a doua polinoame P(X)= p(x).Q(X) + R(X) (1), unde R(X) este restul mpartirii, evident grad (R(X)) 1,P(X) fiind de gradul al II-lea. Avem deci: P(X) = (X-a) (X-b). Q(X) + mX + n (1), si luand n (l')X = a si X = b m = (P(a) - P(b)) / (a-b), n = (a . P(b) - b . P(a) / (a-b) (2); ab b) n cazul P(X) = X2- 1 = (X- 1 )(X+ 1) avem a = 1, b = -l. nlocuind aceste valori n (2) si tinnd seama ca P(l) = 5 i P(-1) = 5,m = 0 si n = 5 deci R(x) = 5. Nota:nmodasemanatorcu(1)putemdeterminarestulmpartiriiunuipolinomP(x)la (px) = (X-a)(X-b)(X-c). Avem: P(x) = (X-a)(X-b)(X-c)Q (X) + R (X), unde R(X) = mX2 + nX + p(3) si lund (3) X = a, X = b, X = c, obtinem un sistem de ecuatii din care care rezul-tam,n,prestulfiindR(X)=A[(X-b)(X-c)]/[(a-b)(a-c)]+B[(X-c)(X-a)]/[(b-c)(b-a)]+ C[(X-a)(X-b)] / [(c-a)(c-b)] si notam P(a) - A, P(b) = B, P(c) - C. 2. Sa se determine coeficientii reaii a, b, astfel nct polinomul P(X) = aX4 + bX2 + 1 sa se divida prin p(X) = X2 - 1 Solutii: METODA I p | PP(1) = 0 si P(-1) = 0 a + b + 1 = 0 b = -1-a, a . METODA II Se formeaza polinomul ajutator P1(X2) = a(X2) 2+ b(X2) + 1 si se pune conditia P1 (l) = 0. METODA III Se poate folosi metoda coeficientilor nedeterminati punnd aX4+ bX2 + c = (X2 - 1)(aX2 + mX -1) (1) Dezvoltam n (1) si identificam rezult m = 0 si b = -1 - a. Exista deci o infini-tate de polinoame P(X) = ax4 - (1 + a)X2 + 1 (2) care se divid la p(x) = X2 - 1 (de observat ca membrulaldoileadin(2)sescriesub forma (aX2-1)(X2-1)ceea ceconfirmaafirmatia anterioara). Evidentcaprinoricemetodamentionataseajungelaaceleasirezultate,ramne ca, de la caz la caz, rezolvitorul sa-si aleaga metoda presupusa cea mai adecvata. 3. Se da polinomul: P(X) = (b-c)X5 +(a+c)X4 - X3 - 5aX2 - 2(a+b)X + a + b, cu a, b , b c Se cere sa se determine coeficientii a, b, c astfel ca P(X) sa se divida prin p(x) = X5 - 5 Solutii: Dintretoatemetodeleindicatenexercitiulprecedent,folosimpeaceeacu polinomul ajutator. AvemP1(X3)=(b-c)X3X2+(a+c)X3X4-X3-5aX2-2(a+b)X+a+bsi punnd conditia n (1) ca p 1(5) = 0, rezulta soluia a = 3, b =2, c = -l. 4. Sa se determine parametrii reali a, b, c din polinomul P(X) - aX4 +bX3 + cX2 + X + 1, astfel nct acesta s se divid prin p(X) = X3 - 1. Solutii: METODA I SeformeazapolinomulajutatorP1(X)=aX3+bX3+cX2+X+1.PentrucaP1safie divizibil prin p(X) = X3 - 1, este necesar sa avem P1 (X) = 0aX + b + cX + X + 1 = Q a = -1, c = 0, b = -1. METODA II Din condiiile P(l) = 0, p() = 0, undeeste radacina cubic a unitatii. 5. Sa se arate ca polinomul P(X)=2X29+X13-X12+X11+X8++X6+3X2 +2,sedivideprinp(X)=X4 +X3 +X. Polinomul se mai scrie: P(X) = 2X24(X5-1) + 2X19(X5-1) + 2X14(X5-1) + 2X3(X5-1) + X13- X12+ Xn+ 2X9+ X8+ X6+ 3X2+ 2 = M2(X5-1) + X8(X5- 1) - X7(X5- 1) + X8(X5 - 1) + 2X4(X5-1) + 2X8 - X7 + 2X6 + 2X4+ 3X2 + 2 = M(X5-1) + 2X3(X5- 1) - X2(X5-l)+ 2X(X5- 1) + 2X4+ 2X3 + 2X2 + 2X + 2 = M(X5 - 1) + 2(X4 + X3 + X2 + X + 1) = M(X4 + X3 + X2 + X + 1) X5-1 = (X-1 )( X4 + X3 + X2 + X + 1) 6. Sa se demonstreze ca polinomul P(X) = xnan-1+n-1+ xnan-2+n-2 + + Xnan+1 + l, este divizibil cu polinomul Q[X] = Xn-1 + Xn-2 + + X + 1, unde n, an-1, an-2, , a1 sunt numere naturale. Solutii: Deoarece P(X) | Q(X) [P(X) - Q(X)] | Q(X).Va trebui sa aratam ca [P(X) - Q(X)] | Q(X). ntr-adevar, P(X) - Q(X) = Xn-1 (X nan-1- 1) + X n-2 (X nan-2- 1) + + X 1(X na1 - 1) sau P(X) - Q(X) = X n-1 [(X n) an-1 -1) + X n-2 [(X n) an-2 - 1] + + X[(X n) a1 - l) nsa, (X n) an-1 - 1= (X n-1)H n-1(X) = Q(X)(X-l)H n-1(X) X na1 - 1 = H 1(X) = Q(X)(X - 1)H1 (X) Deci, P(X) - Q(X) = Xn-lQ(X)(X-l)H n-1(X) + Xn-2Q(X)(X-l)H n-2(X) ++ XQ(X)(X-1)H1(X) sau P(X) - Q(X) = Q(X)[Xn-l(X - 1)H n-1 (X) + X n-2(X - l)H n-2(X) + +X(X-1)H1(X)], adica[P(X) - Q(X)] P(X) - Q(X). 7. Sa se arate ca polinomul: f(X) - ( Xp-l+ aXp-2 + + ap-lX(p+1)n+1 + a este divizibil cu poli-nomulg(X)=Xp+aXp-l+ap-lX+ap,undeaestenumarntreg,iarpsinsuntnumere naturale. Solutii: Polinomul f(X) se mai poate scrie: f(X) = (Xp+ aXp-1 + + ap-1X)X(p+1)n + apX(p+1)n - apX(p+1)n + a(p+1)n + p sau f(X) - (Xp + aXp-1 + + ap-1 X + a p)X(p+1)n -a p[X(p+1)n - ap+1] deci f(X) = (X(p+1)n g(X) - ap(Xp+1- a p+1)[(Xp+1 + Xp+1)n-2(ap+1) + + (ap+1) n-1] deci f(X) = (X(p+1)n g(X)-ap (X-a)g(X)[(X p+1) n-1+ (X p+1) n-2(a p+1) + +(a p+1) n-1] Avem f(X) = g(X).{X(p+1)n - ap(X-a)(Xp+1)n-1 ++(ap+1)n-1, deci f(X) este divizibil cu g(X). 8.a)Dacaa1,a2,,ansunttermeniiuneiprogresiiaritmetice,sasearateca polinomul: P(X)=Xn /a1a2+ Xn-1/a2a3+ ... + X2/an-1an - (n-1)/a1n, este divizibil prin (X-l). b) sa se afle ctul mpartirii lui P(X) prin X - 1. Solutii: Avem P(I) = l/a1a2 + l/a2a3 + + l/an-1an - (n-1)/a1an, deci trebuie sa aratam ca: l/a1a2+l/a2a3+ +l/an-1an - (n-l)/a1an = 0. FieS=l/a1a2 +l/a2a3 ++1/an-1an.nmultimcurambiimembri,obtinem(rfiindratia progresiei) rS = r/a1a2 + r/a2a3 + + r/a n-1an. Tinnd seama ca a2-aj1 = a3-a2 = = an-a n-1 = r, obtinem rS = l/a 1- l/a 2+l/a2- l/a3 + +l/an-1- l/an, reducnd termenii asemenea avem rS = l/a1-l/ansau rS = (an- a1)/a1an, deci rS = [(n-1)r]/ a1an. Rezulta c 1/a1a2 + 1/a2a3 + + 1/an-1an = (n-1)/ a1an (1) Adica P(l) = 0, deci P(X) este divizibil cu (X-l) b) Polinomul se mai poate scrie: P(X) = Xn -l/a1a2 + Xn-1- i/a2a3+ X2 - 1/an-1an+ (1/a1a2+l/a2a3 + + l/an-1an-(n-1)/ a1an sau P(X) = Xn - 1/a1a2 + Xn-1- 1/a2a3 + X2- 1/an-1an Ctul mpririi se va scrie: P(X)/(X-1) = l/a1a2 (X n-1 + + 1) + l/a2a3 (Xn-2 + + 1) + +l/an-1an)(X+1). Sau P(X)/(X-1) = l/a1a2X n-1 + (1/a1a2 + l/a2a3)X n-2 + (1/a1a2 + 1/ a2a3 + 1/ a3a4)X n-3 ++(1/a1a2 + 1/ a2a3 + + 1/ an-1an). Tinnd seama de identitatea (1), obtinem: P(X)/(X-1) = 1/a1a2X-1+ 2/a2a3 Xn-2 + 3/a1a4Xn-3 + + (n-1)/a1anX + (n-1)/a1an 9. Fie p un polinom cu coeficienti ntregi a) Sa se arate ca daca p(0) = p(l) = 1, atunci p(X) = X(X - l)p1(X) + l; b) Fie X0 un ntreg arbitrar si Xn+1 = p(Xn). Sa se arate ca pentru n > 1, numarul Xn este prim X0 X1 ,, Xn-1. Solutii: a) Din conditiile date, rezulta ca polinomul p(X) - 1 este divizibil cu X, ct si cu X- 1 ai deci cu X(X-1), adica avem egalitatea: p(X) - 1 = X(X - 1)p(X), unde p(X) este ctul, iar X2- X mpartitorul. b)X n+1 = p(X n)= Xn(X n-1)p1 (X) + 1 si succesiv X1 = p(X0) = X0(X0-1)p1 (X0) + l, X2 = p(X1) = X1 (X1- 1)p1(X1) + 1 Xn = p(Xn-1) = Xn-1(Xn-1 - 1)p1(Xn-1) + 1 c) Trecnd numarul 1din membrul drept n membrul stng, facem nmultirile membru cu membru si simplificndobtinem Xn =X0X1X2Xn-1(X0-1)pn(X0)p1(X1)p1(Xn-1) + 1 SeconstatacaoricedivizorcomunalluiXncuX0saucuX1saucuXn-1,trebuiesa divida pe 1, deci divizorul comun nu poate fi dect 1, deci Xn este prim cu X0X1X2Xn-1 si totodata cu produsul lor. 10. Se considera polinomul P(X) = X5 + aX4 + 2X3 + bX2 + bx +1, cu a, b,. Se cere sa se determine coeficientii a, b, astfel nct P(X) sa se divida cu p(X) = X2 + 1.Solutii:METODA I Se poate efectua mpartirea n mod obitnuit punnd conditia ca restul acestuia sa fie un polinom identic nul, rezultnd coeficientii a, b. METODA II Se pune conditia ca P(i) = 0, adic i + a - 2i - b+bi+1= 0 sau a - b + 1= 0 si i(-1 + b) = 0 aici rezulta b = 1 si a = 0. METODA III Se poate folosi metoda identificarii. PunemX5+aX4+2X3+bX2+bX+1=(X2+l)(X3+mX+nX+1)(2)i dezvoltndmembrul al doilea din (2), dupa identificarea coeficientilor, obtinem a = m = 0, b= n = 1. Aceasta metoda prezinta avantajul ca s-a obtinut n afara de coeficientii a, b si ctul mpartirii celor doua polinoame. De la caz la caz, rezolvitorul poate alege una din metodele mentionate, n functie de forma dempartitului, timpul de lucru disponibil, abilitatea de calcul. 11. Sa se determine coeficientii a, bdin polinomul f(X) = aX4 + bX2 +1, astfel nct acesta sa se divida prin g(X) = X2 + 1. SepuneconditiacaP(i)=0irezulta-b+1=0,ceeacensemnacaexistao infinitate de polinoame de forma f(X) = aX + (a + 1)X + 1 care se divid la X + 1.ntr-adevar, f se poate scrie sub forma f(X) = (aX2 + 1)( X2 + 1), unde a poate lua orice valoare reala nenula. 12. Sa se arate ca polinoarnele f\(X) = X5 + X + 1 si f2(X) = X14 + X7 + 1 se divid la h(X) = X2 X + 1. Solutii: Daca este radacina a lui h, avem ca = 1,2 + + 1 = 0 f1() =5 + + 1 =2+ + 1 = 0 X - | f1h | f1 f2() =14 +7 + 1 =2+ + 1 = 0 X - | f2h | f2 13. Fie A un inel euclidian si a, b A doua elemente prime ntre ele. Daca m si n sunt numere naturale, atunci c.m.m.m.c. al elementelor an - bn i am - bm este ad - bd , unde d - (m, n). Solutie: Daca d | m si d | n atunci exist m1 si n1 numere naturale, astfel nct m = dm1 si n =dn1 Atunci: am - bm = adm - bdm1 = (ad)m1 - (bd)m1 - (ad - bd)[ (ad)m1-1 + (ad) m1-2bd + + (bd) m1-1] si deci ad- bd | am - bm. La fel se arata ca ad- bd | an - bn Notm cu D c.m.m.d.c. al elementelor am - bm si an - bn Rezulta ca a - b | D. Sa aratam ca D | ad- bd.Scriem algoritmul lui Euclid pentru numerele m si nm = nq1 + r1, cu 0 r1 neasociate. Consideram elementele qi = (p1, p2, , pn)i + 1 . Avem qi qj oricare ar fi i j. ncazcontrar,rezultacapisuntelementeinversabile.Dinipotezrezultacanumai un numar finit dintre qi sunt elemente inversabile. Asadar, exista r > O, astfel nct qr este neinversabil si deci 1 2 nr1 2 nq=p p ... p , unde cel putin uni este strict pozitiv. Egalitatea (p1, p2, , pn)i + 1 = 1 2 n1 2 np p ... p , ne da pr | 1, adica pr este ireversibil, contradictie. 16.Sa se arate ca inelele Z, Z[i] au o infinitate de elemente prime neasociate. Solutie: Avem c U(Z) = {-1, 1}, U(Z[i]) = (-1, 1 -i, i), adica grupul elemntelor inversabile alefiecaruiinelestefinit.Seaplicaproblemaprecedenta,tinndcontcaineleleZsiZ[i] sunt factoriale. 17.FieKuncorpcomutativ.SasearatecainelulK[X]areoinfinitatede polinoame ireductibile neasociate. Solutie: DacacorpulKesteinfinit,atunci{X-a},QKesteomultimeinfinitade polinoameireductibileneasociate.DacacorpulKestefinit,atuncigrupulelementelor inversabile ale lui K[X] este U(K[X]) = K/{0} este finit.Cum K[X] este factorial se aplica problema anteprecedenta. 18. Sa se arate n inelul Q[X, Y] polinomul X2 + Y2 este ireductibil. Solutie: EsteclarcX2 +Y2estenenulsineinversabil.Dacaarfireductibils-ardescom-pune astfel: X2 + Y2 = (a0 + a1X + a2Y)(b0 + b1X + B2Y) = (a0b0 + a0b1)X + (a0b2 + a2b0) + (a1b2 + a2b2)XY + a1b2X2 + a2b2Y2. Deaiciobtinem,a0b0-0,a1b1=1,a2b2=1,a1b0+a0b1=0,deundea0 =b0 =0. Apoi din a1b2(a1b2 + a2b1) = 0, se obtine a12 + a22 = 0, contradictie. 19.Sasearatecapolinomuif=7X5+5X2+19cucoeficientintregieste ireductibil n Z[X], Solutie: ntr-adevar.Pentrup=2avem:f=X5+X2+ _1 Z2[X]sigrad(f)=grad(_f ). Demonstram ca f este ireductibil n Z2 [XJ, Deoarece _f (_0)= _1 _0 i _f (_1) =_1 _0, rezulta ca f nu are divizori de gradul nti. Fie acum X5 + X2 + 1= (aX2 + bX + c)( X3+X2 + X + ), unde ,, , , a, b, c Z2. Identificnd coeficientii polinoamelor din cei doi membri, avem: a= _1,a+ b= 0, a + b+ c = 0, a + b + c= _1, b + c = 0, c = l Deaiciobtinem:a= =c= = _1sidecib+=0, +b=1,b +=0,b+ =0 Atunci: ( + b) + (b +) = _1, adica ( +) + b( + ) = _1 sau ( +)(_1+ b ) = _1. Dar + = ( +) + (b +) =_0+_0=_0,_0 (_1+ b)= T adica_0 - _1, contradictie.n concluzie, polinomul X5 + X2 + 1este ireductibil n X2[X], de unde rezult ca polinomul f = 7X5 + 5X2 + 19 este ireductibil n Z[X]. 20. Fie p un numar prim de forma p = 4k, iar a, b, astfel nct p | a, p | b-1 sip2nudividepe asaup2nudividepeb-1.AtuncipolinomulF(X)=f=X4+aX2 +b este ireductibil n Z[X]. Solutie: ntr-adevar, avem F= (X + l)p + pq unde 2 p 1 2 p 2 2 1 2 p 1p p p1) ( 1) ( 1) g-cX + d + l/pC - C (X C X C X + + + ++ + , cu c = a/p, d=(b-1)/p. Atunci f = X2 + 1 este ireductibil n Zp[X], iar g nu se divide prin f, deoarece cX + d0 nu se divide prin f = X2 + 1 n Z[X]. 21. Fie f - X1993 + X2 + 1 . Sa se arate ca X2 + X4 1 | f Se cere ctul mpartirii: g | f( ) , g( ) = 0 f( ) = 0 Fie g = X2+ X + 1, X2+ X + 1= 0 X1,2 = (-1i 3 )/2, = (-1 + i 3 )/2, -(-1- i 3 )/2 = 82 fR[X], g | ff( ) = 0 f( )= 1993 2 1993 2 21 1 1 0 + + = + + + = + + = , 21 0 + + = , 3 3k1 = pentru determinarea ctului folosim schema lui Horner = (-1- i 3 )/2 1993X1992X1991X1990X1989X1988X5X4X3X2X X0X 100000 ...000010 12 12 21 - -2 0 =2 1-101-10 ...01-110 f = g . q, unde q = X1991+ X1990 + X1988 + X1987 + X5 - X4+ X2 - X + I 22. Fie polinomul P(X) = 2X5 - 5X2 + X R[X] a) S se determine X a.. P(X) sa aiba radacina dubla nenul b) Pentru X = 3, sa se arate ca P(t) 0 , ( ) t [0, +) c) Sa se demonstreze ca: 23 5a 3 b 5 ab( ) a, b [0,+ ) + . Lund t = 33020, abobtinem 2t5 - 5t2 + 30, relatie adevarata din b) Pentru b = O relatia ceruta devine 2 a0 relatie adevarata ( ) a[0, +) 23.Saseaflema..x3 -x2-2ix+2i+m=0saaibacelputinoradacina reala. Pentru m determinat s se rezolve ecuatia.