ecuatii diferentiale si cu derivate partiale. vol. 2 ecuatii cu derivate

Cuprins

0.1 Prefata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

1 Sisteme de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai 11.1 Sisteme de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai neliniare sub forma normala . . . . . . . 1

1.1.1 Legatura cu ecuatiile diferentiale de ordinul n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Integrale prime. Solutie generala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Sisteme diferentiale sub forma simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare si omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Matrice fundamentala a unui sistem omogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Determinantul lui Wronski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Solutia generala a sistemului omogen de ecuatii diferentiale liniare . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Sisteme neomogene de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai 252.1 Ecuatii liniare cu derivate partiale de ordinul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Definitii. Suprafete integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Sistem caracteristic. Curbe caracteristice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Solutia generala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.4 Problema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai, cuasiliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Solutia generala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Problema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Elemente de teoria campurilor 413.1 Campuri scalare. Curbe si suprafete de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Derivata dupa o directie si gradientul unui camp scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Campuri vectoriale. Linii si suprafete de camp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Integrale cu vectori si campuri scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1 Integrale curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.2 Integrale de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.3 Integrale triple (de volum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.4 Formula integrala Gauss–Ostrogradski. Consecinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.5 Camp potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Divergenta unui camp vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6 Rotorul unui camp vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.7 Reguli de calcul cu operatorul lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8 Formule integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea 714.1 Ecuatiile fizicii matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Tipuri de ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Reducerea la forma canonica a ecuatiilor de tip hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4 Reducerea la forma canonica a ecuatiilor de tip parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

iii

4.5 Reducerea la forma canonica a ecuatiilor de tip eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Ecuatii cu derivate partiale de tip hiperbolic 855.1 Ecuatia coardei vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Metoda lui d’Alembert de integrare a ecuatiei omogene a coardei vibrante infinite . . . . . . . . . 865.3 Metoda alternativa de deducere a formulei lui d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4 Unicitatea solutiei problemei Cauchy pentru coarda vibranta infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 905.5 Metoda separarii variabilelor de integrare a ecuatiei omogene a coardei vibrante finite . . . . . . 905.6 Integrarea ecuatiei neomogene a coardei vibrante finite cu conditii la limita omogene . . . . . . . 945.7 Integrarea ecuatiei neomogene a coardei vibrante finite cu conditii la limita neomogene . . . . . . 965.8 Principiul lui Duhamel pentru determinarea unei solutii particulare a ecuatiei neomogene a

coardei vibrante finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.9 Ecuatia de echilibru a unei membrane elastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.10 Ecuatia de miscare a unei membranei elastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.11 Oscilatiile libere ale unei membrane elastice circulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Probleme de tip difuzie (Ecuatii de tip parabolic) 1076.1 Ecuatia diferentiala a propagarii caldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1.1 Conditie initiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.1.2 Conditii pe frontiera sau conditii la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Alte ecuatii de tip difuzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.1 Caldura superficiala pierduta, proportionala cu diferenta de temperatura . . . . . . . . . 1106.2.2 Ecuatia difuzie–convectie a poluarii apelor subterane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Proprietati ale solutiilor problemelor de propagare a caldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.4 Propagarea caldurii ıntr–o bara de lungime finita cu conditii la limita si initiale neomogene, ın

absenta surselor interne de caldura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.5 Propagarea temperaturii ıntr–o bara izolata termic, cu conditie initiala nenula si ın absenta

surselor de caldura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.6 Propagarea caldurii ıntr–o bara finita, cu date la limita si initiale nule, ın prezenta surselor interne

de caldura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.7 Propagarea caldurii ıntr–o bara finita, cu conditii la limita si initiale neomogene, ın prezenta unei

surse interne de caldura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.8 Principiul lui Duhamel pentru determinarea unei solutii particulare a ecuatiei neomogene a

propagarii temperaturii ıntr–o bara de lungime finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.9 Problema Cauchy pentru ecuatia propagarii caldurii ıntr–o dimensiune spatiala . . . . . . . . . . 1236.10 Problema Cauchy a ecuatiei propagarii caldurii ın n dimensiuni spatiale. Solutie fundamentala . 1286.11 Propagarea caldurii ıntr–o bara omogena de lungime finita, a carei suprafata laterala este izolata

termic si ale carei extremitati schimba caldura cu exteriorul prin convectie . . . . . . . . . . . . . 131

7 Ecuatii de tip eliptic 1337.1 Ecuatia lui Laplace si ecuatia lui Poisson. Solutie fundamentala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2 Proprietatile fundamentale ale functiilor armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.3 Formule de reprezentare integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.3.1 Formule de reprezentare integrala ale functiilor de clasa C1 si C2 . . . . . . . . . . . . . . 1387.3.2 Formula de reprezentare integrala a unei functii armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.4 Formule de medie ale unei functii armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.5 Principiu de extrem pentru functii armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.6 Problema Dirichlet si problema Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.7 Functia lui Greeen a problemei Dirichlet pentru ecuatia lui Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.8 Potentialul de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.9 Potentialii de simplu strat si dublu strat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.10 Problema Dirichlet interioara pentru cerc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8 Probleme si exercitii propuse 1598.1 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.2 Exercitii propuse cu indicatii si raspunsuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.3 Probleme cu conditii initiale si la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Index de notiuni 167

Bibliografie 173

0.1 Prefata

Cartea de fata a fost elaborata ın cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, ”Formarea cadrelor didacticeuniversitare si a studentilor ın domeniul utilizarii unor instrumente moderne de predare–ınvatare–evaluarepentru disciplinele matematice, ın vederea crearii de competente performante si practice pentru piata muncii”.

Finantat din Fondul Social European si implementat de catre Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretuluisi Sportului, ın colaborare cu The Red Point, Oameni si Companii, Universitatea din Bucuresti, UniversitateaTehnica de Constructii din Bucuresti, Universitatea ”Politehnica” din Bucuresti, Universitatea din Pitesti,Universitatea Tehnica ”Gheorghe Asachi” din Iasi, Universitatea de Vest din Timisoara, Universitatea ”Dunareade Jos” din Galati, Universitatea Tehnica din Cluj–Napoca, Universitatea ”1 Decembrie 1918” din Alba–Iulia,proiectul contribuie ın mod direct la realizarea obiectivului general al Programului Operational Sectorial deDezvoltare a Resurselor Umane – POSDRU si se ınscrie ın domeniul major de interventie 1.2 Calitate ınınvatamantul superior.

Proiectul are ca obiectiv adaptarea programelor de studii ale disciplinelor matematice la cerintele pieteimuncii si crearea de mecanisme si instrumente de extindere a oportunitatilor de ınvatare. Evaluarea nevoiloreducationale obiective ale cadrelor didactice si studentilor legate de utilizarea matematicii ın ınvatamantulsuperior, masterate si doctorate precum si analizarea eficacitatii si relevantei curriculelor actuale la nivel deperformanta si eficienta, ın vederea dezvoltarii de cunostinte si competente pentru studentii care ınvata disciplinematematice ın universitasi, reprezinta obiective specifice de interes ın cadrul proiectului.

Dezvoltarea si armonizarea curriculelor universitare ale disciplinelor matematice, conform exigentelor depe piata muncii, elaborarea si implementarea unui program de formare a cadrelor didactice si a studentilorinteresati din universitatile partenere, bazat pe dezvoltarea si armonizarea de curriculum, crearea unei baze deresurse inovative, moderne si functionale pentru predarea–ınvatarea–evaluarea ın disciplinele matematice pentruınvatamantul universitar sunt obiectivele specifice care au ca raspuns materialul de fata.

Formarea de competente cheie de matematica si informatica presupune crearea de abilitati de care fiecareindivid are nevoie pentru dezvoltarea personala, incluziune sociala si insertie pe piata muncii. Se poate constataınsa ca programele disciplinelor de matematica nu au ıntotdeauna ın vedere identificarea si sprijinirea elevilorsi studentilor potential talentati la matematica. Totusi, studiul matematicii a evoluat ın exigente pana aajunge sa accepte provocarea de a folosi noile tehnologii ın procesul de predare–ınvatare–evaluare pentru a facematematica mai atractiva. In acest context, analiza flexibilitatii curriculei, ınsotita de analiza metodelor siinstrumentelor folosite pentru identificarea si motivarea studentilor talentati la matematica ar putea raspundedeopotriva cerintelor de masa, cat si celor de elita.

Viziunea pe termen lung a acestui proiect preconizeaza determinarea unor schimbari ın abordarea fenomenu-lui matematic pe mai multe planuri: informarea unui numar cat mai mare de membri ai societatii ın legatura curolul si locul matematicii ın educatia de baza ın instructie si ın descoperirile stiintifice menite sa ımbunatateascacalitatea vietii, inclusiv popularizarea unor mari descoperiri tehnice, si nu numai, ın care matematica cea maiavansata a jucat un rol hotarator. De asemenea, se urmareste evidentierea unor noi motivatii solide pentruınvatarea si studiul matematicii la nivelele de baza si la nivel de performanta; stimularea creativitatii si for-marea la viitorii cercetatori matematicieni a unei atitudini deschise fata de ınsusirea aspectelor specifice din altestiinte, ın scopul participarii cu succes ın echipe mixte de cercetare sau a abordarii unei cercetari inter si multidisciplinare; identificarea unor forme de pregatire adecvata pentru viitorii studenti ai disciplinelor matematice,ın scopul utilizarii la nivel de performanta a aparatului matematic ın construirea unei cariere profesionale.

Lucrarea reflecta eforturile autorilor ın cadrul acestui proiect si experienta lor ın predarea matematicii ıngeneral si a ecuatiilor cu derivate partiale ın special la facultatile de inginerie cu profil tehnic din UniversitateaTehnica ”Gheorghe Asachi” din Iasi si respectiv Universitatea din Pitesti.

Lucrarea ımbina ın mod armonios prezentarile teoretice cu exemple semnificative, facilitand studentilor,cadrelor didactice, matematicienilor, inginerilor, cercetatorilor etc. cunoasterea, aprofundarea si utilizarea aces-tui foarte important domeniu al matematicilor, reprezentat de ecuatiile cu derivate partiale.

Autorii s–au straduit sa realizeze un material de studiu unitar ın domeniul ecuatiilor cu derivate partiale sispera ca aceasta lucrare elaborata ın cadrul proiectului mai sus mentionat va contribui la o mai buna ıntelegeresi asimilare a cunostintelor de matematica si la aplicarea lor ın practica.

Autorii

Capitolul 1

Sisteme de ecuatii diferentiale ordinarede ordinul ıntai

1.1 Sisteme de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai neliniaresub forma normala

Forma generala a unui sistem de n ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai sub forma normalaeste

y′1 = f1(x, y1, y2, . . . , yn),

y′2 = f2(x, y1, y2, . . . , yn),

· · ·

y′n = fn(x, y1, y2, . . . , yn).

(1.1)

Pentru un astfel de sistem se utilizeaza si denumirea de sistem diferential .Necunoscutele sistemului (1.1) sunt functiile reale y1, y2, . . . , yn care depind de variabila reala x si sunt

definite pe un intervalul real ınchis I. Functiile date fi, i = 1, 2, . . . , n, sunt continue ımpreuna cu derivatelelor partiale de ordinul ıntai ın domeniul ınchis I × D, unde D ⊂ Rn. Functiile necunoscute ale unui sistemdiferential sunt numite deseori variabile dependente, iar x se numeste variabila independenta.

Daca se introduc functiile vectoriale

y = (y1, y2, . . . , yn), f = (f1, f2, . . . , fn), y′ = (y′1, y′2, . . . , y

′n),

atunci sistemul diferential (1.1) se scrie ın forma vectoriala

y′ = f(x,y).

1.1.1 Legatura cu ecuatiile diferentiale de ordinul n

Teorema 1.1.1. Un sistem de forma (1.1) este echivalent cu o ecuatie diferentiala ordinara de ordinul n subforma normala.

Demonstratie. Fie data o ecuatie diferentiala ordinara de ordinul n sub forma normala

y(n) = f(x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)). (1.2)

1

2 Ion Craciun Gheorghe Barbu

Daca introducem functiile necunoscute

y1 = y, y2 = y′, · · · , yn = y(n−1) (1.3)

si tinem cont de ecuatia (1.2) obtinem sistemul de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai sub forma normala

y′1 = y2,

y′2 = y3,

· · · ,

y′n−1 = yn,

y′n = f(x, y1, y2, . . . , yn).

(1.4)

Din modul cum a fost obtinut sistemul (1.4) se vede ca daca y este o solutie a ecuatiei (1.2), atunciy1, y2, . . . , yn este o solutie a sistemului (1.4) si reciproc, daca y1, y2, . . . , yn este o solutie a sistemului (1.4), iarfunctiile y1, y2, . . . , yn sunt cele din (1.3), atunci y1 = y este o solutie a ecuatiei (1.2).

Reciproc, sa aratam cum studiul unui sistem de ecuatii diferentiale de forma (1.1) se reduce la studiul uneiecuatii diferentiale de forma (1.2). Pentru simplificarea calculelor vom considera cazul n = 3. Fie deci sistemuldiferential

y′1 = f1(x, y1, y2, y3),

y′2 = f2(x, y1, y2, y3),

y′3 = f3(x, y1, y2, y3).

(1.5)

Derivand prima ecuatie din (1.5) ın raport cu x, obtinem

y′′1 =∂f1

∂x+∂f1

∂y1· y′1 +

∂f1

∂y2· y′2 +

∂f1

∂y3· y′3. (1.6)

Inlocuind ın (1.6) pe y′1, y′2, y′3 cu expresiile lor (1.5), gasim

y′′1 = F2(x, y1, y2, y3), (1.7)

undeF2(x, y1, y2, y3) =

∂f1

∂x+∂f1

∂y1· f1 +

∂f1

∂y2· f2 +

∂f1

∂y3· f3.

Daca derivam acum ecuatia (1.7) ın raport cu x si tinem cont de (1.5), obtinem

y′′′1 = F3(x, y1, y2, y3), (1.8)

unde F3(x, y1, y2, y3) =∂F2

∂x+∂F2

∂y1· f1 +

∂F2

∂y2· f2 +

∂F2

∂y3· f3.

Din prima ecuatie a sistemului (1.5) si din ecuatia (1.7) se pot afla, ın general, y2 si y3 functie de x, y1, y′1

si y′′1 , care ınlocuite ın (1.8), conduce la ecuatia diferentiala de ordinul trei sub forma normala

y′′′1 = F (x, y1, y′1, y′′1 ),

ceea ce trebuia de demonstrat. q.e.d.

Exercitiul 1.1.1. Sa se afle solutia generala a sistemuluiy′ = z,

z′ = −y.

Capitolul 1 — Sisteme de ecuatii diferentiale de ordin 1 3

Solutie. Daca derivam prima ecuatie, obtinem y′′ = z′. Folosind a doua ecuatie, gasim y′′ + y = 0. Aceastaecuatie este o ecuatie diferentiala liniara de ordinul al doilea cu coeficienti constanti omogena, care are ecuatiacaracteristica r2 + 1 = 0 cu radacinile r1,2 = ±i.

Ca atare, un sistem fundamental de solutii pentru ecuatia diferentiala y′′ + y = 0 este format din solutiiley1 = cosx si y2 = sinx.

Solutia generala a ecuatiei diferentiale y′′+y = 0 este o combinatie liniara de cele doua solutii fundamentale

y = C1 cosx+ C2 sinx.

Din prima ecuatie a sistemului gasim si expresia lui z,

z = −C1 sinx+ C2 cosx

si astfel am obtinut solutia generala a sistemului dat.

Exercitiul 1.1.2. Sa se reduca sistemul

dx

dt= y,

dy

dt= z,

dz

dt= x

(1.9)

la o ecuatie de ordin superior si sa se gaseasca apoi solutia sa generala.

Solutie. Procedand ca ın reciproca Teoremei 1.1.1 se ajunge la ecuatia diferentiala liniara de ordinul treicu coeficienti constanti, omogena

x′′′ − x = 0 (1.10)

ce are ecuatia caracteristica r3 − 1 = 0 si radacinile caracteristice

r1 = 1, r2 = −12

+ i

√3

2, r3 = −1

2− i√

32.

Acestor radacini caracteristice le corespund solutiile fundamentale

x1(t) = et, x2(t) = e−t

2 cost√

32, x3(t) = e

−t

2 sint√

32.

Astfel, solutia generala a ecuatiei (1.10) este

x = C1 et + e

−t

2(C2 cos

t√

32

+ C3 sint√

32

). (1.11)

Folosind sistemul, constatam ca necunoscuta y se obtine derivand pe x, iar functia z se obtine derivandu–lpe y. Se gaseste

y = C1et − 1

2e−t

2[(C2 − C3

√3) cos

t√

32

+ (C3 + C2

√3) sin

t√

32

],

z = C1et − 1

2e−t

2[(C2 + C3

√3) cos

t√

32

+ (C3 − C2

√3) sin

t√

32

].

(1.12)

Solutia generala a sistemului (1.9) este data de (1.11) si (1.12).


Exercitiul 1.1.3. Folosind metoda eliminarii sa se determine ecuatia diferentiala liniara de ordinul trei cucare este echivalent sistemul

y′1 + 9y1 + 12y2 + 5y3 = 0,

y′2 − 5y1 − 6y2 − 3y3 = 0,

y′3 − y1 − 4y2 − y3 = 0.

(1.13)

Folosind rezultatul stabilit, sa se integreze sistemul (1.13).

Solutie. Derivam prima egalitate din (1.13) si ın rezultatul obtinut, y′′1 = −9y′1 − 12y′2 − 5y′3, ınlocuim y′1,y′2, y

′3 cu valorile date ın (1.13). Gasim

y′′1 = 16y1 + 16y2 + 4y3. (1.14)

Procedand similar cu egalitatea (1.14), deducem

y′′′1 = −60y1 − 80y2 − 28y3. (1.15)

Consideram sistemul format din prima ecuatie a sistemului initial (1.13) si ecuatia (1.14)12y2 + 5y3 = −9y1 − y′1,

16y2 + 4y3 = −16y1 + y′′1 ,(1.16)

ın care necunoscutele sunt y2 si y3.Rezolvand sistemul algebric (1.16), gasim

y2 = −118y1 +

18y′1 +

532y′′1 ,

y3 =32y1 −

12y′1 −

38y′′1 .

(1.17)

Valorile lui y2 si y3 determinate ın (1.17) le ınlocuim ın ecuatia (1.15) si astfel gasim ca y1 este solutie aecuatiei diferentiale liniara si omogena, de ordin trei, cu coeficienti constanti

y′′′ + 2y′′ − 4y′ − 8y = 0. (1.18)

Ecuatia caracteristica a ecuatiei diferentiale (1.18) este

r3 + 2r2 − 4r − 8 = 0,

radacinile sale fiind r1 = 2, r2 = r3 = −2. Radacinii caracteristice simple r1 = 2 ıi corespunde solutiay(1)(x) = e2x, iar celei duble ıi corespund solutiile y(2) = e−2x si y(3) = x e−2x.

Solutiile astfel determinate formeaza un sistem fundamental de solutii al ecuatiei diferentiale (1.18), decisolutia sa generala este

y(x) = C1y(1)(x) + C2y

(2)(x) + C3y(3)(x).

Prin urmare, expresia lui y1 estey1 = C1e

2x + (C2 + C3x)e−2x, (1.19)

unde C1, C2, C3 sunt constante reale arbitrare.Pentru determinarea functiilor necunoscute y2 si y3 folosim expresiile (1.17), unde ınlocuim pe y1, y

′1 si y′′1

asa cum rezulta din (1.19). Gasim y2 = −12C1e

2x − (C2 +12C3 + C3x)e−2x,

y3 = −C1e2x + (C2 + C3 + C3x)e−2x.


Prin urmare, solutia generala a sistemului (1.13) estey1 = C1e

2x + (C2 + C3x)e−2x,

y2 = −12C1e

2x − (C2 +12C3 + C3x)e−2x,

y3 = −C1e2x + (C2 + C3 + C3x)e−2x.

Exercitiul 1.1.4. Sa se integreze sistemul diferential liniar de ordinul ıntai omogen cu coefcienti constantiy′1 = 2y1 + y2 + 2y3,

y′2 = −y1 − 2y3,

y′3 = y1 + y2 + 2y3.

(1.20)

Solutie. Aplicand demonstratia reciprocei Teoremei 1.1.1, suntem condusi la ecuatia

y′′1 = 5y1 + 4y2 + 6y3. (1.21)

Derivand aceasta egalitate si ınlocuind derivatele din membrul al doilea, obtinem

y′′′1 = 12y1 + 11y2 + 14y3. (1.22)

Cu prima ecuatie a sistemului diferential (1.20) si ecuatia (1.21) alcatuim sistemuly2 + 2y3 = y′1 − 2y1,

4y2 + 6y3 = y′′1 − 5y1,

din care se determina functiile necunoscute y2 si y3 ın functie de y1 si derivatele y′1, y′′1

y2 = y′′1 − 3y′1 + y1,

y3 = −12y′′1 + 2y′1 −

32y1.

(1.23)

Introducerea expresiilor lui y2 si y3 din (1.23) ın egalitatea (1.22) conduce la ecuatia diferentiala liniara deordinul al treilea, omogena si cu coeficienti constanti

y′′′1 − 4y′′1 + 5y′1 − 2y1 = 0, (1.24)

a carei ecuatie caracteristica,r3 − 4r2 + 5r − 2 = 0

are radacina dubla r1 = r2 = 1 si radacina simpla r3 = 2. Acestor radacini caracteristice le corespund sistemulfundamental de solutii:

y(1)1 = ex; y

(2)1 = x ex; y

(3)1 = e2x. (1.25)

Solutia generala a ecuatiei diferentiale (1.24) este combinatia liniara de solutiile sistemului fundamental desolutii (1.25)

y1 = (C1 + C2x)ex + C3e2x. (1.26)


Celelalte doua necunoscute ale sistemului (1.20) se determina din (1.23)y2 = (−C1 − C2 − C2x)ex − C3e

2x,

y3 = C2ex +

12C3e

2x.(1.27)

Prin urmare, solutia generala a sistemului (1.20) este reprezentata de functiile date ın (1.26) si (1.27).

Observatia 1.1.1. Rezultatele stabilite pot fi obtinute ıntr–un alt mod din care rezulta o noua metoda derezolvare a sistemelor diferentiale de tipul (1.20) si anume metoda valorilor si vectorilor proprii.

1.1.2 Integrale prime. Solutie generala

In ipotezele mentionate pentru functiile f1, f2, . . . , fn se poate demonstra ca exista o solutie unica a sistemului(1.1) care, pentru x = x0, ia valorile prescrise

yi(x0) = y(0)i , i = 1, n, (1.28)

unde (x0, y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n ) este un punct arbitrar din interiorul multimii I ×D.

Fie aceasta solutie

y1 = ϕ1(x;x0, y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n ),

y2 = ϕ2(x;x0, y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n ),

· · · ,

yn = ϕn(x;x0, y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n ).

(1.29)

Aceasta forma a solutiei pune ın evidenta dependenta sa de datele initiale y(0)1 , y

(0)2 , ..., y

(0)n .

Geometric, (1.29) reprezinta ecuatiile parametrice ale unei curbe Γ ın spatiul liniar n dimensional Rn,care trece prin punctul M0(y(0)

1 , y(0)2 , . . . , y

(0)n ). Curba Γ se numeste curba integrala sau traiectorie a sistemului

diferential (1.1). Punctul M0 ∈ Γ se numeste punct initial .Fie acum un punct oarecare M(y1, y2, . . . , yn) ∈ Γ, diferit de M0, corespunzator valorii x ∈ (a, b). Valorile

y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n si y1, y2, . . . , yn sunt legate prin relatiile (1.29).

Daca schimbam rolurile punctelor M0 si M, deci M devine punct initial, M0 ∈ Γ fiind variabil, ın bazaunicitatii solutiei, curba integrala care trece prin M trece si prin M0. Prin urmare, avem

y(0)1 = ϕ1(x0;x, y1, y2, . . . , yn),

y(0)2 = ϕ2(x0;x, y1, y2, . . . , yn),

· · · ,

y(0)n = ϕn(x0;x, y1, y2, . . . , yn).

(1.30)

Relatiile (1.30) arata ca sistemul (1.29) s–a putut rezolva unic ın raport cu valorile initiale y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n ,

iar functiile din membrul drept admit derivate partiale continue ın raport cu x, y1, y2, . . . , yn.Cum datele initiale se pot alege arbitrar ın interiorul lui D, notandu–le ın (1.30) cu C1, C2, . . . , Cn (constante

arbitrare), obtinem ansamblul de relatii

ψ1(x, y1, y2, . . . , yn) = C1,

ψ2(x, y1, y2, . . . , yn) = C2,

· · · ,

ψn(x, y1, y2, . . . , yn) = Cn,

(1.31)


unde ψi(x, y1, y2, . . . , yn) = ϕi(x0;x, y1, y2, . . . , yn), iar x0 este dat.Dar relatiile (1.31) pot fi rezolvate ın mod unic ın raport cu variabilele y1, y2, . . . , yn, deci

y1 = ϕ1(x;C1, C2, . . . , Cn),

y2 = ϕ2(x;C1, C2, . . . , Cn),

· · · ,

yn = ϕn(x;C1, C2, . . . , Cn).

(1.32)

Relatiile (1.31) reprezinta solutia generala sub forma implicita a sistemului (1.1). In loc de solutie generala seutilizeaza si termenul de ansamblu de integrale prime sau integrala generala a sistemului. Oricare din ecuatiile(1.31) se numeste integrala prima a sistemului (1.1).

Solutia generala a sistemului diferential (1.1), sub forma explicita, este data de relatiile (1.32).Din modul cum au fost deduse relatiile (1.31) constatam ca o functie ψ(x, y1, y2, . . . , yn) este integrala prima

numai daca (y1, y2, . . . , yn) verifica sistemul (1.1).Astfel, putem da doua definitii echivalente pentru integrala prima a unui sistem de ecuatii diferentiale

ordinare de ordinul ıntai.

Definitia 1.1.1. Se numeste integrala prima a sistemului de ecuatii diferentiale (1.1) orice relatie obtinutarezolvand ın raport cu constantele arbitrare solutia lui generala (1.32).

Asadar, oricare din relatiile (1.31) este o integrala prima a sistemului (1.1).In baza existentei si unicitatii unei solutii a sistemului (1.1) care trece printr–un punct dat din interiorul

multimii I ×D, rezolvarea ın raport cu constantele arbitrare a relatiilor (1.32) este ıntotdeauna posibila.Definitia de mai sus poate fi data numai dupa ce se cunoaste solutia generala a sistemului.

Definitia 1.1.2. Functia ψ(x, y1, y2, . . . , yn) : [a, b] ×D → R este o integrala prima a sistemului (1.1) pe osubmultime deschisa Ω a multimii [a, b]×D, daca ψ este de clasa C1(Ω), nu este identic constanta dar

ψ(x, ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ψn(x)) ≡ constant,

de–a lungul oricarei traiectorii y1 = ϕ1(x), y2 = ϕ2(x), . . . , yn = ϕn(x) a sistemului (1.1).

Observatia 1.1.2. Cu Definitia 1.1.2 putem spune ca un sistem de ecuatii diferentiale ordinare de ordinulıntai admite o infinitate de integrale prime deoarece functia

Φ[ψ1(x, y1, y2, . . . , yn), ψ2(x, y1, y2, . . . , yn), . . . , ψn(x, y1, y2, . . . , yn)],

unde Φ este o functie arbitrara de integralele prime ψi, este la randul ei o integrala prima a sistemului (1.1).

Teorema 1.1.2. Rezolvarea sistemului (1.1) este echivalenta cu obtinerea a n integrale prime independente.

Demonstratie. Fie n integrale prime (1.31) independente functional, deci pentru care determinantul functional

D(ψ1, ψ2, . . . , ψn)D(y1, y2, . . . , yn)

6= 0.

Aplicand teorema de existenta si unicitate a sistemelor de functii definite implicit [13], din (1.31) deducemrelatiile (1.32) care constituie solutia generala a sistemului. q.e.d.


Observatia 1.1.3. Cunoasterea unei singure integrale prime a sistemului (1.1) reduce rezolvarea sistemului lan− 1 ecuatii cu n− 1 functii necunoscute.

Intr-adevar, din ψ1(x; y1, y2, . . . , yn) = C se poate exprima una din functiile necunoscute, de exemplu yn, ınfunctie de x, y1, y2, . . . , yn−1 si C

yn = (x, y1, y2, . . . , yn−1, C).

Inlocuindu–l ın primele n − 1 ecuatii ale sistemului (1.1) obtinem un sistem de n − 1 ecuatii diferentiale cun− 1 functii necunoscute.

Observatia 1.1.4. Sistemul (1.1) este echivalent cu sistemul

dx

1=dy1

f1=dy2

f2= · · · = dyn

fn. (1.33)

Acest sistem este echivalent la randul sau cu cel obtinut prin ınmultirea rapoartelor cu un acelasi factor,care poate fi functie de n+ 1 variabile, si anume x, y1, y2, . . . , yn.

In cele ce urmeaza consideram ca numarul variabilelor este n si ca sunt notate cu x1, x2, . . . , xn, iar unadintre ele este dependenta de celelalte n− 1, ceea ce ınseamna ca putem scrie sistemul de ecuatii diferentiale ınforma

dx1

X1(x)=

dx2

X2(x)= · · · = dxn

Xn(x), (1.34)

unde x = (x1, x2, . . . , xn), care se numeste forma simetrica a sistemului de n− 1 ecuatii diferentiale de ordinulıntai cu n− 1 necunoscute.

1.2 Sisteme diferentiale sub forma simetrica

Sa consideram sistemul simetric (1.34) ın care functiile Xi sunt continue si au derivate partiale continue ınraport cu toate variabilele x1, x2, . . . , xn.

Conform paragrafului precedent, solutia generala a sistemului simetric (1.34) este ansamblul

ψ1(x1, x2, . . . , xn) = C1,

ψ2(x1, x2, . . . , xn) = C2,

· · · ,

ψn−1(x1, x2, . . . , xn) = Cn−1,

(1.35)

format din n − 1 integrale prime oarecare independente functional, ın sensul ca rangul matricei jacobiene alfunctiilor ψ1, ψ2, . . . , ψn−1 este egal cu n− 1 ın interiorul multimii de existenta a functiilor X1, X2, . . . , Xn.

Daca dorim sa trecem un sistem de la forma simetrica (1.34) la forma normala, este suficient sa alegem unadin variabile, de exemplu xn, ca variabila independenta. In acest fel, din (1.34) avem

dx1

dxn=X1(x1, x2, . . . , xn)Xn(x1, x2, . . . , xn)

,

dx2

dxn=X2(x1, x2, . . . , xn)Xn(x1, x2, . . . , xn)

,

· · · ,dxn−1

dxn=Xn−1(x1, x2, . . . , xn)Xn(x1, x2, . . . , xn)

.

(1.36)


Observatia 1.2.1. Pentru valorile initiale x(0)1 , x

(0)2 , . . . , x

(0)n , valoarea functiei Xn nu trebuie sa se anuleze.

Daca acest lucru nu este posibil, alegem alta variabila independenta.

Teorema 1.2.1. Relatiaψ(x1, x2, . . . , xn) = C (1.37)

este o integrala prima a sistemului simetric (1.34) daca si numai daca, de–a lungul unei curbe integrale asistemului (1.36), avem

X1(x) · ∂ψ∂x1

+X2(x) · ∂ψ∂x2

+ · · ·+Xn(x) · ∂ψ∂xn

= 0, (1.38)

unde x = (x1, x2, . . . , xn).

Demonstratie. Daca functia ψ din (1.37) este o integrala prima a sistemului (1.36), atunci de–a lungul uneicurbe integrale a sistemului (1.36), ψ(x1, x2, . . . , xn) are o valoare constanta, deci diferentiala ei totala este nulaceea ce conduce la

∂ψ

∂x1· dx1 +

∂ψ

∂x2· dx2 + · · ·+ ∂ψ

∂xn· dxn = 0. (1.39)

Deoarece de–a lungul unei curbe integrale diferentialele dxi sunt proportionale cu valorile functiilor Xi (vezi(1.34)), avem (1.38).

Reciproc, din (1.38) rezulta (1.39) si deci dψ(x1, x2, . . . , xn) = 0 de–a lungul unei curbe integrale, ceea ceeste echivalent cu ψ(x1, x2, . . . , xn) ≡ constanta pentru orice solutie a sistemului (1.36). q.e.d.

Observatia 1.2.2. Conform Definitiei 1.1.1, ψ este o integrala prima a sistemului (1.36) sau a sistemuluisimetric (1.34).

Observatia 1.2.3. Singurele functii reale de n variabile reale care verifica relatia (1.38) sunt integralele primeale sistemului (1.34).

Din punct de vedere geometric, solutia generala (1.35) reprezinta o familie de curbe obtinuta prin intersectiasuprafetelor ψi(x1, x2, . . . , xn) = Ci, i = 1, n− 1. Aceasta familie de curbe este inclusa ın intersectia domeniilorde definitie ale functiilor Xi(x1, x2, . . . , xn) si depinde de n− 1 parametri C1, C2, . . . , Cn−1.

Aducerea unui sistem de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai la forma simetrica este indicata pentruaflarea integralelor prime si, ın consecinta, pentru aflarea solutiei sale generale.

Exercitiul 1.2.1. Sa se determine solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale sub forma normalady

dx=

z

(z − y)2,

dz

dx=

y

(z − y)2, y 6= z 6= 0.

Solutie. Forma simetrica a acestui sistem este

dx

(z − y)2=dy

z=dz

y.


Cautam doua combinatii integrabile care sa poata furniza cele doua integrale prime independente.O integrala prima se obtine din ultimele doua rapoarte scrise ın forma ydy−zdz = 0 care implica d(y2−z2) =

0 si deci y2−z2 = C1 este prima integrala prima (o familie uniparametrica de cilindri hiperbolici cu generatoareleparalele cu axa Ox).

Cea de a doua integrala prima se va obtine dupa ce aplicam o proprietate a sirului de rapoarte egale. Astfel,avem

dx

(z − y)2=dz − dyy − z

.

Dupa simplificarea prin y − z se obtine

dx+ (y − z)d(y − z) = 0,

care conduce la cea de a doua integrala prima 2x+ (y − z)2 = C2 (familie uniparametrica de cuadrice).Solutia generala a sistemului, sub forma implicita, este data de

y2 − z2 = C1,

2x+ (y − z)2 = C2

si reprezinta o familie dublu parametrica de curbe ın spatiu.

Exercitiul 1.2.2. Sa se determine solutia generala a sistemului simetric

dx

2y(2a− x)=

dy

x2 + z2 − y2 − 4ax=

dz

−2yz,

unde a ∈ R, x 6= 2a, y 6= 0 si z 6= 0.

Solutie. Egalitatea rapoartelor extreme ne conduce la combinatia integrabila

dx

x− 2a=dz

z,

care da integrala primax− 2az

= C1.

Daca scriem aceasta egalitate ın forma x− C1z − 2a = 0, constatam ca integrala prima reprezinta o familie deplane paralele cu axa Oy.

O alta combinatie integrabila este

xdx+ ydy + zdz

−y(x2 + y2 + z2)=

dz

−2yz=⇒ d(x2 + y2 + z2)

x2 + y2 + z2=dz

z,

din care se obtine cea de a doua integrala prima

x2 + y2 + z2

z= C2.

Daca scriem rezultatul gasit ın forma x2 + y2 + z2 − C2z = 0, constatam ca cea de a doua integrala primareprezinta o familie de sfere cu centrele pe axa Oz, tangente ın origine planului xOy.

Solutia generala a sistemului simetric este ansamblul celor doua integrale primex− 2az

= C1,

x2 + y2 + z2

z= C2.

Asadar, curbele integrale sunt o familie dublu parametrica de cercuri ın spatiu.


Exercitiul 1.2.3. Sa se gaseasca solutia generala a sistemului simetric

dx

x(x+ y)=

dy

−y(x+ y)=

dz

(y − x)(2x+ 2y + z).

Solutie. Din primele doua rapoarte se obtine integrala prima

xy = C1. (1.40)

Vom cauta acum a doua combinatie integrabila. Efectuand raportul dintre suma numaratorilor si sumanumitorilor primelor doua rapoarte, vom obtine un raport egal cu al treilea

dx+ dy

x2 − y2=

−dz(x− y)(2x+ 2y + z)

.

Dupa simplificarea cu x− y, se obtine

dx+ dy

x+ y=

−dz2x+ 2y + z

.

Efectuand diferenta numaratorilor pe diferenta numitorilor, obtinem un raport egal cu primul

dx+ dy

x+ y= −dx+ dy + dz

x+ y + z,

din care deducemdx+ dy

x+ y+dx+ dy + dz

x+ y + z= 0. Integrand, obtinem

(x+ y)(x+ y + z) = C2. (1.41)

Solutia generala a sistemului este ansamblul integralelor prime (1.40) si (1.41).

1.3 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare

In acest paragraf vom determina solutiile sistemelor de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai. Formagenerala a unui astfel de sistem este

y′1 + a11(x) y1 + a12(x) y2 + · · ·+ a1n(x) yn = f1(x),

y′2 + a21(x) y1 + a22(x) y2 + · · ·+ a2n(x) yn = f2(x),

· · · ,

y′n + an1(x) y1 + an2(x) y2 + · · ·+ ann(x) yn = fn(x).

(1.42)

Presupunem ca functiile aij si fi, i, j = 1, n, sunt continue pe intervalul [a, b].Daca toti fi(x) ≡ 0, i = 1, 2, . . . , n, spunem ca sistemul este omogen. In caz contrar sistemul este neomogen.Sistemul (1.42) se poate scrie ın forma vectoriala

y′ + e(A(x)Y ) = f(x), (1.43)

unde y : [a, b] → Rn este o functie vectoriala necunoscuta, de variabila reala, derivabila, care ın baza canonicadin Rn,

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), · · · , en = (0, 0, . . . , 1),

are coordonatele y1, y2, . . . , yn, e = (e1, e2, . . . , en) ∈ Rn × Rn × · · · × Rn = (Rn)n, A(x) ∈ Mn×n(R) este omatrice cu elementele aij(x), Y este matricea cu o singura coloana si elemente coordonatele vectorului y, adicay = eY, iar f = (f1, f2, . . . , fn) : [a, b]→ Rn este functie vectoriala de o variabila reala, cunoscuta.


Definitia 1.3.1. Fie q un numar natural. Spunem ca functia vectoriala de variabila reala g = (g1, g2, . . . , gn) :[a, b] → Rn este de clasa Cq([a, b]) daca functiile coordonate gi, i = 1, n, sunt continue si au derivate continuepana la ordinul q inclusiv.

Multimea Cq([a, b]) este spatiu liniar real infinit dimensional. Pentru C0([a, b]) vom folosi notatia C([a, b]).

Definitia 1.3.2. Se numeste solutie a sistemului (1.43) functia vectoriala de variabila reala

ϕ = (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn) : [a, b]→ Rn,

de clasa C1([a, b]), care satisface egalitatea

ϕ′(x) + e(A(x)Φ(x)) = f(x), (∀) x ∈ [a, b],

unde Φ este matricea coloana cu elementele ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn.

1.3.1 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare si omogene

Fie sistemul (1.43) si sa notamL(y) = y′ + e(A(x)Y ). (1.44)

Atunci sistemul (1.43), ın forma omogena, se scrie

L(y) = 0, (1.45)

unde 0 este functia vectoriala identic nula 0 : [a, b]→ Rn.

Teorema 1.3.1. Aplicatia vectoriala L este un operator liniar definit pe spatiul vectorial C1([a, b]) si cu valoriın spatiul vectorial C([a, b]).

Demonstratie. Prima parte a teoremei este evidenta daca avem ın vedere expresia (1.44) a operatorului L sicontinuitatea functiilor aij .

Se vede apoi ca operatorul L are proprietatea

L(αϕ+ βψ) = αL(ϕ) + βL(ψ), (1.46)

oricare ar fi numerele α si β, reale sau complexe, si oricare ar fi functiile vectoriale de variabila reala ϕ,ψ ∈ C1([a, b]). q.e.d.

A integra sistemul liniar si omogen (1.43) de ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai, cu coeficientivariabili, ınseamna a gasi toate solutiile lui. Observam ca daca y ∈ C1([a, b]) este o solutie a sistemului(1.45), atunci imaginea lui y prin operatorul L este elementul nul din C([a, b]). Prin urmare, multimea solutiilorsistemului (1.45) coincide cu nucleul operatorului liniar L, deci cu Ker L.

Operatorul L fiind liniar, rezulta ca Ker L este un spatiu liniar, subspatiu liniar al spatiului liniar infinitdimensional C([a, b]).

Observatia 1.3.1. Daca coeficientii sistemului omogen (1.45) sunt functii reale, iar functia vectoriala ϕ+ iψeste o solutie complexa a sistemului omogen (1.45), atunci functiile vectoriale de variabila reala ϕ si ψ suntsolutii ale acestui sistem.


Intr-adevar, din (1.46) rezulta

L(ϕ+ iψ) = L(ϕ) + iL(ψ) = 0,

deoarece ϕ+iψ este o solutie a sistemului. Cum L(ϕ) si L(ψ) sunt functii reale, deducem L(ϕ) = 0 si L(ψ) = 0,adica functiile reale ϕ si ψ sunt solutii ale sistemului (1.45).

Sa consideram un punct oarecare x0 ∈ [a, b] si y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n numere reale arbitrare.

Problema lui Cauchy1 pentru sistemul (1.45) consta ın determinarea acelei solutii y a sistemului care saverifice conditia lui Cauchy (conditia initiala)

y(x0) = y(0), (1.47)

unde y(0) = (y(0)1 , y

(0)2 , . . . , y

(0)n ).

Teorema de existenta si unicitate [35] a solutiei problemei lui Cauchy pentru sistemul (1.45) pune ın evidentaun element y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Ker L care satisface conditia (1.47).

Teorema 1.3.2. Multimea KerL este un spatiu vectorial real de dimensiune n.

Demonstratie. Sa consideram multimea de solutii ale sistemului (1.45)

y(1),y(2), ...,y(n) (1.48)

care verifica urmatoarele conditii ale lui Cauchy

y(1)(x0) = (1, 0, 0, ..., 0),

y(2)(x0) = (0, 1, 0, ..., 0),

· · · ,

y(n)(x0) = (0, 0, 0, ..., 1)

(1.49)

si sa aratam ca elementele acestei multimi, ca elemente ale spatiului Ker L, sunt liniar independente. Vomdemonstra prin reducere la absurd.

Presupunem deci ca solutiile sunt liniar dependente. Atunci exista constantele C1, C2, . . . , Cn, nu toatenule, astfel ıncat

C1y(1)(x) + C2y(2)(x) + · · ·+ Cny(n)(x) = 0, (∀) x ∈ [a, b]. (1.50)

In particular, (1.50) are loc pentru x0 si atunci, din (1.49) si (1.50), avem

(C1, C2, ..., Cn) = (0, 0, ..., 0)

din care deducem ca toate constantele C1, C2, ..., Cn sunt egale cu zero, ceea ce contrazice ipoteza.Prin urmare, solutiile (1.48) sunt liniar independente.Sa aratam ca solutiile (1.48) constituie o baza ın Ker L.Pentru aceasta, trebuie demonstrat ca orice y ∈ Ker L se scrie ca o combinatie liniara de elementele din

(1.48), deci ca exista constantele reale C1, C2, . . . , Cn astfel ıncat

y = C1y(1) + C2y(2) + · · ·+ Cny(n), (1.51)

sauy(x) = C1y(1)(x) + C2y(2)(x) + · · ·+ Cny(n)(x), (∀) x ∈ [a, b]. (1.52)

1Cauchy, Augustin Louis (1789 – 1857), ilustru matematician si inginer francez. A demarat un proiect important de reformularesi demonstrare riguroasa a teoremelor de algebra, a fost unul dintre pionierii analizei matematice si a adus o serie de contributiisi ın domeniul fizicii. Datorita perspicacitatii si rigurozitatii metodelor sale, Cauchy a avut o influenta extraordinara asupracontemporanilor si predecesorilor sai. Catolic si roialist fervent, a manifestat o prezenta sociala activa.


Scriind ca (1.52) are loc si pentru x0 si folosind (1.49), gasim

(y1(x0), y2(x0), . . . , yn(x0)) = (C1, C2, . . . , Cn),

din care deducem ca Ci din (1.51) sunt unic determinate si

C1 = y1(x0), C2 = y2(x0), . . . , Cn = yn(x0).

Prin urmare, solutia considerata se scrie ın mod unic ın forma

y = y1(x0)y(1) + y2(x0)y(2) + · · ·+ yn(x0)y(n).

Am dovedit astfel ca orice y ∈ Ker L se exprima unic ca o combinatie liniara a vectorilor (1.48), liniarindependenti ın Ker L, ceea ce arata ca multimea (1.48) este o baza ın Ker L.

Prin urmare, Ker L este spatiu vectorial real n dimensional. q.e.d.

Definitia 1.3.3. Vom spune ca n solutii y(1),y(2), . . . ,y(n) ale sistemului (1.45) formeaza un sistem funda-mental de solutii pe intervalul [a, b] daca ele sunt liniar independente ın spatiul liniar n−dimensional Ker L.

Cum dimensiunea lui Ker L este n rezulta ca orice baza din Ker L este un sistem fundamental de solutii asistemului (1.45).

1.3.2 Matrice fundamentala a unui sistem omogen

Definitia 1.3.4. Matricea patratica Γ(x), de ordinul n, ale carei coloane sunt coordonatele vectorilory(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x) care formeaza un sistem fundamental de solutii al sistemului liniar si omogen deecuatii diferentiale de ordinul ıntai, cu coeficienti variabili (1.45), se numeste matrice fundamentala a sis-temului.

Teorema 1.3.3. Fie Γ(x) o matrice fundamentala a sistemului (1.45), Γ′(x) matricea formata din derivateleelementelor matricei Γ(x) si O matricea nula patratica de ordinul n. Atunci

Γ′(x) + A(x)Γ(x) = O, (∀) x ∈ [a, b]. (1.53)

Demonstratie. Identitatea (1.53) este evidenta deoarece reprezinta scrierea matriceala a identitatilor

L(y(i)) = 0, i = 1, 2, . . . , n

care exprima faptul ca functiile vectoriale y(1),y(2), . . . ,y(n) sunt solutii ale sistemului (1.45). q.e.d.

Observatia 1.3.2. Matricea fundamentala a unui sistem omogen nu este unica.


Intr-adevar, orice matrice Γ(x) = Γ(x) ·C, unde C este o matrice patratica constanta de ordinul n nesingulara,este, de asemenea, o matrice fundamentala a sistemului (1.45).

Reciproc, orice matrice fundamentala Γ(x) a sistemului (1.45) se poate reprezenta sub forma

Γ(x) = Γ(x) · C, x ∈ [a, b], (1.54)

unde C este o matrice constanta de tip n× n nesingulara.Ultima afirmatie rezulta din corolarul urmator.

Corolarul 1.3.1. Daca Γ(x) este o matrice fundamentala a sistemului de ecuatii diferentiale (1.45), atunciorice solutie a acestuia se reprezinta sub forma

y(x) = e(Γ(x)C), x ∈ [a, b], (1.55)

unde C este matricea coloana a coordonatelor unui vector constant din Rn.

Demonstratie. Formula (1.55) rezulta din faptul ca pe coloanele matricei Γ(x) sunt coordonatele vectorilor uneibaze din spatiul solutiilor sistemului (1.45). Astfel, (1.55) este exprimarea unui vector a unui spatiu liniar ndimensional ıntr–o baza. q.e.d.

1.3.3 Determinantul lui Wronski

Ca si la studiul ecuatiilor diferentiale liniare, omogene de ordinul n, cu coeficienti constanti, se poate introducedeterminantul lui Wronski2 sau wronskianul asociat unui sistem fundamental de solutii

W [y(1),y(2), . . . ,y(n)] =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y(1)1 (x) y

(2)1 (x) · · · y

(n)1 (x)

y(1)2 (x) y

(2)2 (x) · · · y

(n)2 (x)

· · · · · · · · · · · ·

y(1)n (x) y

(2)n (x) · · · y

(n)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (1.56)

Pentru valorile functiei introdusa ın (1.56) se pot utiliza notatiile W (x) sau W [y(1),y(2), . . . ,y(n)](x).

Observatia 1.3.3. Wronskianul W [y(1),y(2), . . . ,y(n)] asociat sistemului fundamental de solutii

y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x)

este determinantul matricei fundamentale Γ(x).

Teorema 1.3.4. Conditia necesara si suficienta ca solutiile

y(1),y(2), . . . ,y(n),

ale sistemului (1.45), sa formeze un sistem fundamental de solutii a acestuia este ca determinantul lui Wronskicorespunzator sa nu fie identic nul pe intervalul [a, b].

2Hoone – Wronski, Josef Maria (1776 – 1853), filozof Messianist polonez, dar si matematician, fizician, inventator, avocat sieconomist. S–a nascut Hoone, dar si–a schimbat numele ın 1815.


Demonstratie. Sa aratam mai ıntai suficienta, adica din

y(1),y(2), . . . ,y(n) ∈ Ker L si W [y(1),y(2), . . . ,y(n)]∣∣∣x=x0

6= 0

sa rezulte ca functiiley(1), y(2), . . . , y(n) (1.57)

formeaza un sistem fundamental de solutii pentru sistemul (1.45).Demonstratia se face prin reducere la absurd.Presupunem ca functiile y(1),y(2), . . . ,y(n), ca elemente ale lui Ker L, sunt liniar dependente. Exista atunci

n constante, nu toate nule, astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] sa avem

C1y(1)(x) + C2y(2)(x) + · · ·+ Cny(n)(x) = 0. (1.58)

Scriind (1.58) pe componente si luand x = x0, deducem

C1y(1)1 (x0) + C2y

(2)1 (x0) + · · ·+ Cny

(n)1 (x0) = 0,

C1y(1)2 (x0) + C2y

(2)2 (x0) + · · ·+ Cny

(n)2 (x0) = 0,

· · · ,

C1y(1)n (x0) + C2y

(2)n (x0) + · · ·+ Cny

(n)n (x0) = 0.

(1.59)

Am obtinut astfel un sistem liniar si omogen de n ecuatii cu n necunoscute al carui determinant esteW [y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x)]

∣∣∣x=x0

, care prin ipoteza este diferit de zero, deci sistemul (1.59) are numai solu-

tia banala C1 = 0, C2 = 0, . . . , Cn = 0, ceea ce contrazice presupunerea.Deci, solutiile (1.57) sunt liniar independente.In baza Definitiei 1.3.3, functiile (1.57) formeaza un sistem fundamental de solutii al sistemului (1.45) pe

intervalul [a, b].Sa demonstram necesitatea. Daca solutiile y(1),y(2), . . . ,y(n) sunt liniar independente atunci, macar ıntr–un

punct x0 ∈ [a, b], determinantul lui Wronski asociat acestor solutii este diferit de zero.Deoarece y(1),y(2), . . . ,y(n) formeaza o baza ın Ker L, orice y ∈ Ker L se scrie ın mod unic ın forma

y = C1y(1) + C2y(2) + · · ·+ Cny(n). (1.60)

Considerand un x0 ∈ [a, b], notand y(x0) = y(0) si scriind (1.60) pe coordonate ın x0, obtinem

C1y(1)1 (x0) + C2y

(2)1 (x0) + · · ·+ Cny

(n)1 (x0) = y

(0)1 ,

C1y(1)2 (x0) + C2y

(2)2 (x0) + · · ·+ Cny

(n)2 (x0) = y

(0)2 ,

· · · ,

C1y(1)n (x0) + C2y

(2)n (x0) + · · ·+ Cny

(n)n (x0) = y

(0)n .

(1.61)

Deoarece sistemul (1.61) are solutia unica C1, C2, . . . , Cn, rezulta ca determinantul sistemului,

W [y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x)]∣∣∣x=x0

,

este nenul. q.e.d.


Teorema 1.3.5. (Liouville3) Daca functia

W (x) = W [y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x)]

este wronskianul unui sistem de n solutii ale sistemului (1.45), atunci are loc egalitatea

W (x) = W (x0) e−∫ xx0

trA(t) dt, (∀) x, x0 ∈ [a, b], (1.62)

unde trA(t) =n∑i=1

aii(t) este urma matricei A a sistemului.

Demonstratie. Fara a restrange generalitatea, presupunem ca sistemul y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x) este liniarindependent (ın caz contrar W (x) ≡ 0 si (1.62) este banal satisfacuta).

Fie Γ(x) matricea fundamentala cu coloanele y(1)(x), y(2)(x), · · · , y(n)(x).Din teorema cresterilor finite, avem Γ(x+ε) = Γ(x)+εΓ′(x)+o(ε), x ∈ [a, b], iar din ecuatia (1.53) rezulta

Γ(x+ ε) = Γ(x)− εA(x)Γ(x) + o(ε), x ∈ [a, b]. (1.63)

Daca ın egalitatea (1.63) luam determinantul ambelor membri, obtinem:

W (x+ ε)=det (In − εA(x) + o(ε)Γ−1(x))W (x)=W (x)(

1− εtrA(x) + o(ε)),

unde ε este arbitrar si suficient de mic. Trecand la limita pentru ε→ 0, rezulta

W ′(x) = − trA(x)W (x), x ∈ [a, b],

iar prin integrare se obtine formula (1.62). q.e.d.

1.3.4 Solutia generala a sistemului omogen de ecuatii diferentiale liniare

Sa presupunem ca avem un sistem fundamental de solutii

y(1)(x), y(2)(x), . . . , y(n)(x)

al sistemului (1.45). Orice alta solutie a sistemului se scrie ın mod unic ın forma (1.60), unde C1, C2, . . . , Cnsunt constante arbitrare.

Putem afirma ca (1.60) constituie solutia generala a sistemului (1.45), deoarece verifica sistemul, are ıncomponenta sa n constante arbitrare si oricarei probleme de tip Cauchy a sistemului i se pot preciza ın mod unicsistemul de constante C1, C2, . . . , Cn astfel ıncat solutia determinata sa satisfaca conditia initiala y(x0) = y(0),cu y(0) vector arbitrar din Rn.

Cum vectorul din membrul drept al relatiei (1.60) se poate scrie ın forma e(Γ(x)C), unde C este matrice cuo singura coloana si cu n linii, rezulta ca solutia generala a sistemului (1.45) poate fi scrisa si ın forma (1.55).

Observatia 1.3.4. Sistemul fundamental de solutii pentru (1.45) nu este unic.

Intr-adevar, se stie ca ıntr–un spatiu liniar n dimensional exista o infinitate de baze. Daca multimea defunctii y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x) este o baza ın Ker L si (Cij)i,j=1,n este o matrice patratica nesingulara,

3Liouville, Joseph (1809 - 1882), matematician francez.


atunci sistemul de vectori

y(i) =n∑j=1

Cijy(j), i ∈ 1, n, (1.64)

formeaza de asemeni o baza ın Ker L si deci avem un alt sistem fundamental de solutii.Matricea constanta C din (1.64) este matricea de trecere de la baza y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x) la sistemul

de vectoriy(1)(x), y(2)(x), . . . , y(n)(x). (1.65)

Daca aceasta matrice de trecere este si nesingulara, sistemul de vectori (1.65) este, de asemenea, sistem funda-mental de solutii pentru sistemul (1.45).

1.4 Sisteme neomogene de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai

Sa consideram sistemul liniar si neomgen de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai

L(y) = y′ + e(A(x)Y ) = f(x), (1.66)

ın care matricea A(x) = (aij(x)) ∈ Mn×n(R) a coeficientilor sistemului are elemente functii continue peintervalul [a, b], f = (f1, f2, . . . , fn) ∈ C([a, b]), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ C1([a, b]), iar Y = (yi)1×n este matriceacoloana cu n linii a necunoscutelor yi ∈ C1([a, b]) ale sistemului.

Ne propunem sa determinam solutiile sistemului (1.66) prin metoda variatiei constantelor a lui Lagrange4.Vom cerceta daca solutia generala a sistemului (1.66) se poate obtine din solutia generala (1.60) a sistemuluiomogen asociat sistemului (1.66), ınlocuind constantele C1, C2, . . . , Cn prin functiile convenabil alese

C1(x), C2(x), . . . , Cn(x). (1.67)

Daca multimea y(1)(x),y(2)(x), . . . ,y(n)(x) este un sistem fundamental de solutii a sistemului omogenasociat L(y) = 0, atunci vom determina functiile (1.67) continue si cu derivate continue pe [a, b], astfel ıncat

y(x) = C1(x)y(1)(x) + C2(x)y(2)(x) + · · ·+ Cn(x)y(n)(x) (1.68)

sa fie solutie a sistemului neomogen (1.66). Impunand aceasta si tinand cont ca y(i), i = 1, n, sunt solutii alesistemului omogen asociat, gasim sistemul

n∑i=1

C ′i(x)y(i)(x) = f(x), x ∈ [a, b], (1.69)

care are forma matricealaΓ(x) · C ′(x) = F (x), x ∈ [a, b]. (1.70)

Dar (1.69) este un sistem de n ecuatii cu n necunoscute C ′i(x), i = 1, n.Solutia acestui sistem se deduce din (1.70) prin ınmultirea la stanga cu inversa matricei Γ(x). Se obtine

C ′(x) = Γ−1(x) · F (x). (1.71)

4Lagrange, Joseph – Louis (17361813), matematician, mecanician si astronom, nascut ın Torino, provincia Piemont din Italia.A trait o parte a vietii ın Prusia si o alta ın Franta. A adus contributii semnificative ın toate domeniile analizei matematice, teorieinumerelor, mecanicii clasice si mecanicii ceresti. La recomandarea lui Euler si d’Alembert, ın 1766 Lagrange i–a succedat lui Eulerla conducerea sectiei de matematici a Academiei de Stiinte a Prusiei din Berlin, post ın care a activat timp de 20 de ani efectuandun mare volum de munca si castigand cateva premii ale Academiei de Stiinte a Frantei. Tratatul lui Lagrange asupra mecaniciianalitice (Mecanica Analitica, a 4−a Editie, 2 Volume, Editura Gauthier–Villars, Paris, 1888–1889), scris ın Berlin si publicatprima data ın 1788, ofera cel mai cuprinzator studiu al mecanicii clasice de la Newton, constituind totodata fundamentul pentrudezvoltarea fizicii matematice din secolul 19. In 1787, la varsta de 51 de ani, se muta de la Berlin ın Franta, devine membru alAcademiei de Stiinte a Frantei si ramane ın Franta pana la sfarsitul vietii. Prin urmare, Lagrange este considerat deopotriva om destiinta francez si italian. Lagrange a supravietuit Revolutiei din Franta si a devenit primul profesor de analiza matematica a ScoliiPolitehnice din Paris ınca de la deschiderea sa din 1794. Napoleon i–a acordat lui Lagrange Legiunea de Onoare si l–a ınobilat ın1808 cu titlul de Conte al Imperiului. Este ınmormantat ın Panteon si numele sau apare printre cele 72 de personalitati ale carornume sunt inscriptionate pe Turnul Eiffel.


Integrand ecuatiile diferentiale ordinare (1.71) se gaseste

C(x) = K +∫ x

x0

Γ−1(s) · F (s)ds, (1.72)

unde K ∈M1×n are elemente constante arbitrare.Inlocuind (1.72) ın (1.68), obtinem solutia generala a sistemului neomogen (1.66)

y(x) = e(

Γ(x)K +∫ x

x0

Γ(x) · Γ−1(s)F (s)ds), (1.73)

unde F este matricea coordonatelor vectorului f ın baza canonica din Rn.Sa mai observam ca (1.73) se scrie si ın forma

y = e(

Γ(x)K)

+ e(∫ x

x0

Γ(x) · Γ−1(s)F (s)ds)

= yo(x) + yp(x), (1.74)

din care deducem ca solutia generala a sistemului neomogen (1.66) este suma dintre solutia generala yo(x) asistemului omogen asociat L(y) = 0 si o solutie particulara yp(x) a sistemului neomogen.

O solutie particulara a sistemului neomogen (1.66) se obtine prin metoda variatiei constantelor luand pentruK din (1.72) matricea coloana identic nula.

1.5 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti

Sa studiem sistemele de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai, neomogene si omogene, ın care coeficientiidin (1.42) sunt constante reale notate cu −aij .

Astfel de sisteme diferentiale le vom numi ın continuare sisteme diferentiale liniare.Forma generala a unui sistem diferential liniar, neomogen este

y′1 = a11y1 + a12y2 + · · ·+ a1nyn + f1(x),

y′2 = a21y1 + a22y2 + · · ·+ a2nyn + f2(x),

· · ·

y′n = an1y1 + an2y2 + · · ·+ annyn + fn(x),

(1.75)

ın care f1, f2, . . . , fn sunt functii date, continue pe un compact [a, b].Daca ın (1.75) toate functiile fi sunt identic nule, atunci sistemul diferential liniar corespunzator

y′1 = a11y1 + a12y2 + · · ·+ a1nyn,

y′2 = a21y1 + a22y2 + · · ·+ a2nyn,

· · ·

y′n = an1y1 + an2y2 + · · ·+ annyn,

(1.76)

este un sistem omogen de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai cu coeficienti constanti , sau sistem diferentialliniar si omogen cu coeficienti constanti . Deoarece coeficientii acestui sistem coincid cu cei ai sistemului (1.75),sistemul diferential se numeste asociatul sistemului (1.75).

Forma matriceala a unui astfel de sistem omogen este

Y ′ = AY, (1.77)

unde Y este matricea cu o singura coloana cu elementele coordonatele vectorului y = (y1, y2, . . . , yn), iar A estematricea patratica de ordinul n a carei elemente sunt coeficientii sistemului.

Toate rezultatele stabilite mai sus pentru sisteme de ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti variabili, omo-gene si neomogene, sunt adevarate si pentru sistemele (1.75) si (1.76).

Vom determina solutia generala a sistemului omogen (1.76) folosind teoria valorilor si vectorilor proprii.


Pentru aceasta, cautam solutii particulare ale sistemului (1.77) de forma

Y = Γ erx, (1.78)

unde Γ este matricea coordonatelor vectorului nenul γ, deci γ = eΓ, iar r este un numar real sau complex.Vom determina γ si r din conditia ca y = eΓ erx sa fie solutie a sistemului (1.76), a carui forma vectoriala

estey′ = e(AY ). (1.79)

Impunand conditia ca Y din (1.78) sa verifice (1.77), gasim ca Γ este solutia unui sistem liniar omogen acarui forma matriceala este

(A− rE)Γ = O, (1.80)

unde E este matricea unitate de ordinul n, iar O este matricea nula.Pentru ca sistemul algebric (1.80) sa aiba solutii nebanale, determinantul acestuia trebuie sa fie nul. Astfel,

obtinem ecuatia algebrica de gradul n ın necunoscuta r

det (A− rE) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − r a12 . . . a1n

a21 a22 − r . . . a2n

. . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann − r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (1.81)

numita ecuatie caracteristica a sistemului diferential (1.76).Ecuatiile (1.81) si (1.80) arata ca Γ din (1.78) este matricea coloana a vectorului propriu γ a matricei A,

corespunzator valorii proprii r.Daca ecuatia caracteristica (1.81) are toate cele n radacini reale si distincte, r1, r2, . . . , rn, lor le corespund

n vectori proprii γi, respectiv n solutii particulare ale sistemului neomogen (1.79)

y1(x) = γ1er1x, y2(x) = γ2e

r2x, . . . , yn(x) = γnernx. (1.82)

Wronskianul solutiilor (1.82) este produsul dintre e(a11+a22+···+ann)x si determinantul Vandermonde5 con-struit cu numerele r1, r2, . . . , rn. Deoarece radacinile caracteristice sunt distincte, rezulta ca wronskianulsolutiilor mentionate ın (1.82) este diferit de zero, fapt ce atrage concluzia ca functiile (1.82) constituie unsistem fundamental de solutii pentru sistemul de ecuatii diferentiale (1.76).

In acest caz, solutia generala a sistemului (1.76) este combinatia liniara

y = C1γ1er1x + C2γ2e

r2x + · · ·+ Cnγnernx, (1.83)

ın care C1, C2, . . . , Cn sunt constante arbitrare. Forma acestei solutii generale este

Y = C1Γ1er1x + C2Γ2e

r2x + · · ·+ CnΓnernx. (1.84)

Teorema 1.5.1. Daca ecuatia caracteristica are, de pilda, radacina r1 multipla de ordinul k, atunci partea dinsolutia generala corespunzatoare ei are forma

P1(x)

P2(x)

· · ·

Pn(x)

er1x, (1.85)

5Vandermonde, Alexandre – Theophile (1735 - 1796), matematician, chimist si muzician francez ce a lucrat cu Bezout si Lavoisier;numele lui este ın principal asociat cu teoria determinantilor din matematica.


unde P1(x), P2(x), . . . , Pn(x) sunt polinoame de grad cel mult k − 1, avand coeficientii functii liniare de kconstante arbitrare C1, C2, . . . , Ck. Polinoamele P1(x), P2(x), . . . , Pn(x) nu pot fi identic nule decat daca toateconstantele C1, C2, . . . , Ck sunt nule. A se vedea Exemplul 1.5.2.

Cazul radacinilor complexe poate fi tratat ın mod analog. Vor rezulta solutii complex conjugate ın perechi.Din fiecare astfel de pereche se construiesc alte doua solutii reale luand semisuma acestora si semidiferentaımpartita prin unitatea imaginara.

Pentru determinarea solutiilor particulare ale sistemelor neomogene se poate folosi metoda variatiei con-stantelor a lui Lagrange. In cazul ın care fi(x) = eαx(Q1

i (x) cosβx + Q2i (x) sinβx), solutii particulare se pot

obtine prin metoda coeficientilor nedeterminati, fara cuadraturi. Mai precis, se cauta solutii particulare deforma termenului liber, adica de forma

yi(x) = xseαx(R1i (x) cosβx+R2

i (x) sinβx), i = 1, n,

unde R1i si R2

i sunt polinoame de aceleasi grade cu respectiv polinoamele Q1i si Q2

i , iar s este multiplicitatea luir = α+ iβ ca radacina a ecuatiei caracteristice.

Vom ilustra aceste afirmatii prin exemple.

Exemplul 1.5.1. Sa se determine solutia generala a sistemului diferential omogeny′1 = 2y1 − 2y2 + 3y3,

y′2 = y1 + y2 + y3,

y′3 = y1 + 3y2 − y3.

Solutie. Sistemul de ecuatii diferentiale dat este de ordinul ıntai, omogen, cu coeficienti constanti si sepoate scrie ın forma matriceala

Y ′ = AY, unde A =

2 −2 3

1 1 1

1 3 −1

, Y =

y1

y2

y3

, Y ′ =

y′1

y′2

y′3

.

Pentru a determina solutia generala a sistemului, aplicam metoda valorilor si vectorilor proprii .Valorile proprii ale matricei A sunt radacinile ecuatiei caracteristice

det (A− rE) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2− r −2 3

1 1− r 1

1 3 −1− r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,

adica a ecuatiei r3 − 2r2 − 5r + 6 = 0. Radacinile acestei ecuatii sunt r1 = 1, r2 = 3, r3 = −2.Deoarece valorile proprii sunt reale si distincte, vectorii proprii corespunzatori sunt liniar independenti.Vectorul propriu corespunzator valorii proprii r este o solutie nebanala a sistemului liniar si omogen

(2− r)γ1 −2γ2 +3γ3 = 0,

γ1 +(1− r)γ2 +γ3 = 0,

γ1 +3γ2 +(−1− r)γ3 = 0.

(1.86)


Cele trei sisteme corespunzatoare radacinilor caracteristice, obtinute din (1.86) luand succesiv pentru rvalorile r1 = 1, r2 = 3, r3 = −2, sunt:

γ1 − 2γ2 + 3γ3 = 0,

γ1 + γ3 = 0,

γ1 + 3γ2 − 2γ3 = 0

;

−γ1 − 2γ2 + 3γ3 = 0,

γ1 − 2γ2 + γ3 = 0,

γ1 + 3γ2 − 4γ3 = 0

;

4γ1 − 2γ2 + 3γ3 = 0,

γ1 + 3γ2 + γ3 = 0,

γ1 + 3γ2 + γ3 = 0.

Corespunzator vectorilor proprii

γ(1) = (−1, 1, 1), γ(2) = (1, 1, 1), γ(3) = (11, 1,−14).

avem urmatoarele solutii liniar independente ale sistemului

Y (1)(x) =

−1

1

1

ex; Y (2)(x) =

1

1

1

e3x; Y (3)(x) =

11

1

−14

e−2x

si prin urmare solutia generala a sistemului diferential este

Y (x) = C1Y(1)(x) + C2Y

(2)(x) + C3Y(3)(x),

unde C1, C2, C3 sunt constante arbitrare.Egaland elementele corespunzatoare gasim solutia generala pe componente (coordonate)

y1(x) = −C1ex + C2e

x + 11C3e−2x,

y2(x) = C1ex + C2e

3x + C3e−2x,

y3(x) = C1ex + C2e

3x − 14C3e−2x.

(1.87)

Integrarea sistemului se poate efectua si prin metoda eliminarii .

Exemplul 1.5.2. Sa se afle solutia generala a sistemului liniar de ecuatii diferentiale cu coeficienti constantiy′1 = y1 − y2,

y′2 = y1 + 3y2.

Solutie. Matricea sistemului are ecuatia caracteristica r2 − 4r + 4 = 0 cu radacina dubla r = 2. ConformTeoremei 1.5.1, solutia generala a sistemului se cauta sub forma

y1 = (A1x+ C1)e2x,

y2 = (A2x+ C2)e2x.

Se gaseste y1 =

((C1 + C2)x+ C1

)e2x,

y2 =(− (C1 + C2)x+ C2

)e2x,

sau, matriceal, Y = C1Y(1)(x) + C2Y

(2)(x), unde Y (1)(x) =

(x+ 1

−x

)e2x, Y (2) =

(x

1− x

)e2x.


Exemplul 1.5.3. Determinati solutia generala a sistemului omogeny′1 = 2y1 − y2 − y3,

y′2 = 2y1 − y2 − 2y3,

y′3 = −y1 + y2 + 2y3.

Solutie. Sistemul se poate scrie matriceal ın forma Y ′ = AY, unde matricea sa A =

2 −1 −1

2 −1 −2

−1 1 2

are valoarea proprie tripla r = 1. Conform Teoremei 1.5.1, solutia generala trebuie cautata sub forma

Y =

A1x

2 +B1x+ C1

A2x2 +B2x+ C2

A3x2 +B3x+ C3

ex.

In cele din urma se gaseste ca Y se scrie ca o combinatie liniara de constantele C1, C2, C3

Y = C1

x+ 1

2x

−x

ex + C2

−x

1− 2x

x

ex + C3

−x

−2x

x+ 1

ex.

Exemplul 1.5.4. Sa se integreze sistemul

y′1 = 3y1 − y2,

y′2 = y1 + 3y2.

Solutie. Se aplica metoda valorilor si vectorilor proprii.Valorile proprii sunt numerele complex conjugate r1 = 3 + i, r2 = 3− i.Dupa determinarea vectorilor proprii corespunzatori se gasesc solutiile complex conjugate

Y (1)(x) =

(i

1

)e(3+i)x, Y (2)(x) =

(−i

1

)e(3−i)x.

Pornind de la acestea, determinam alte doua solutii liniar independente,

Y (1)(x) =Y (1)(x) + Y (2)(x)

2=

(− sinx

cosx

)e3x, Y (2)(x) =

Y (1)(x)− Y (2)(x)2i

=

(cosx

sinx

)e3x.

Asadar, solutia generala a sistemului, scrisa matriceal, este

Y (x) = C1Y(1)(x) + C2Y

(2)(x),

unde C1 si C2 sunt constante reale arbitrare.


Exemplul 1.5.5. Sa se integreze sistemul

y′1 = y2,

y′2 = −y1 + 2y2.

Solutie. Valorile proprii ale matricei sistemului sunt r1 = r2 = 1.Sistemul de ecuatii care da coordonatele vectorilor proprii se reduce la o singura ecuatie γ1 − γ2 = 0. Toti

vectorii proprii sunt de forma γ = λ(1, 1), unde λ 6= 0. Deci, nu exista doi vectori proprii liniar independenti.Se cauta atunci solutia generala a sistemului ın forma

y1(x) = (C1 + C2x)ex, y2(x) = (D1 +D2x)ex.

Gasim y1(x) = (C1 + C2x)ex, y2(x) = (C1 + C2 + C2x)ex, unde C1 si C2 sunt constante reale arbitrare.

Exemplul 1.5.6. Sa se determine solutia generala a sistemului y′1 = −3y1 − 4y2 + 2x,

y′2 = y1 + y2 + x

si sa se rezolve problema lui Cauchy cu conditiile initiale y1(0) = 15 si y2(0) = −8.

Solutie. Avem de integrat un sistem de ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti neomogen, termeniiliberi fiind polinoame de gradul ıntai.

Determinam ıntai solutia generala a sistemului omogen asociat y′1 = −3y1 − 4y2,

y′2 = y1 + y2.

Pentru aceasta, procedam ca ın exemplul precedent si gasim

y(o)1 (x) = (−2C1 + C2 − 2C2x)e−x,

y(o)2 (x) = (C1 + C2x)e−x.

Determinam o solutie particulara a sistemului neomogen de forma membrului drept. Deoarece r = 0 nu esteradacina caracteristica a sistemului omogen asociat, se cauta o solutie particulara de forma

yp1(x) = A1x+B1, yp2(x) = A2x+B2.

Se gaseste A1 = −6, A2 = 5, B1 = 14, B2 = −9.Deoarece solutia generala a sistemului dat este suma dintre solutia generala a sistemului omogen asociat si

solutia particulara determinata, avem y1(x) = y(o)1 (x) + yp1(x) = (−2C1 + C2 − 2C2x)e−x − 6x+ 14,

y2(x) = y(o)2 (x) + yp2(x) = (C1 + C2x)e−x + 5x− 9.

Impunand solutiei generale satisfacerea conditiilor initiale, gasim ca valorile constantelor C1 si C2 sunt 1 sirespectiv 3. Prin urmare, solutia problemei lui Cauchy este

y1(x) = (1− 6x)e−x − 6x+ 14,

y2(x) = (3x+ 1)e−x + 5x− 9.

Capitolul 2

Ecuatii cu derivate partiale de ordinulıntai

2.1 Ecuatii liniare cu derivate partiale de ordinul ıntai

2.1.1 Definitii. Suprafete integrale

Definitia 2.1.1. O relatie de forma

F(x1, x2, . . . , xn, u,

∂u

∂x1,∂u

∂x2, . . . ,

∂u

∂xn

)= 0, (2.1)

unde F este o functie reala continua de 2n + 1 variabile reale definita pe un domeniu ∆ ⊂ R2n+1, se numesteecuatie cu derivate partiale de ordinul ıntai, daca se cere sa se determine functia

u = ϕ(x1, x2, . . . , xn) (2.2)

cu derivate partiale de ordinul ıntai continue ıntr–un domeniu D ⊂ Rn, astfel ıncat sa avem

F(x;ϕ(x),

∂ϕ

∂x1(x),

∂ϕ

∂x2(x), . . . ,

∂ϕ

∂xn(x))≡ 0 (2.3)

pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D.

In cele ce urmeaza, F(D) reprezinta spatiul liniar al functiilor reale definite pe domeniul D ⊂ Rn.

Definitia 2.1.2. Functia ϕ ∈ F(D) din (2.2) care satisface conditia (2.3) se numeste solutie sau suprafataintegrala a ecuatiei (2.1).

Definitia 2.1.3. Ecuatia cu derivate partiale de ordinul ıntai de forma

X1(x)∂u

∂x1+X2(x)

∂u

∂x2+ · · ·+Xn(x)

∂u

∂xn= 0 (2.4)

se numeste ecuatie cu derivate partiale de ordinul ıntai, liniara si omogena .

Forma (2.4) arata ca ecuatia depinde liniar de derivatele partiale ale functiei necunoscute u, iar coeficientiiXk sunt functii doar de variabila vectoriala x, adica de variabilele independente x1, x2, . . . , xn. In plus, vom

25


presupune ca functiile Xk sunt de clasa C1(D) si nu se anuleaza simultan ın D, ceea ce ınseamna ca are locinegalitatea

X21 (x) +X2

2 (x) + · · ·+X2n(x) > 0, (∀) x ∈ D. (2.5)

2.1.2 Sistem caracteristic. Curbe caracteristice

Consideram ecuatia liniara (2.4) ın care functiile Xk ∈ C1(D) satisfac ın D conditia (2.5).

Definitia 2.1.4. Sistemul simetric definit ın D

dx1

X1(x)=

dx2

X2(x)= · · · = dxn

Xn(x)(2.6)

se numeste sistemul caracteristic asociat ecuatiei cu derivate partiale (2.4).

Definitia 2.1.5. Curbele integrale ale sistemului (2.6) se numesc curbe caracteristice ale ecuatiei cu derivatepartiale liniara si omogena (2.4).

In ipoteza ca xn este variabila independenta, din paragraful 1.2 rezulta ca solutia generala a sistemuluicarcteristic (2.6) este

xi = ϕi(xn, C1, C2, . . . , Cn−1), i = 1, n− 1, (2.7)

sau, rezolvand ın raport cu constantele arbitrare C1, C2, . . . , Cn−1,

ψ1(x1, x2, . . . , xn) = C1,

ψ2(x1, x2, . . . , xn) = C2,

· · ·

ψn−1(x1, x2, . . . , xn) = Cn−1,

(2.8)

unde ψ1, ψ2, . . . , ψn−1 sunt functii continue cu derivate partiale continue ın D.Oricare din relatiile (2.8) se numeste integrala prima a sistemului caracteristic (2.6), iar ansamblul (2.8)

reprezinta o familie de curbe integrale, sau o familie de curbe caracteristice ale ecuatiei (2.4).Vom vedea ca integrarea ecuatiei (2.4) este strans legata de integrarea sistemului caracteristic asociat (2.6).

Aceasta legatura este data de teorema urmatoare.

Teorema 2.1.1. Daca relatiaψ(x1, x2, . . . , xn) = C (2.9)

este o integrala prima a sistemului caracteristic (2.6), atunci functia reala de n variabile reale definita pe D

u = ψ(x1, x2, . . . , xn) (2.10)

este o solutie a ecuatiei cu derivate partiale (2.4).

Demonstratie. Folosind Teorema 1.2.1, rezulta ca daca (2.9) este o integrala prima a sistemului caracteristic(2.6), atunci de–a lungul unei curbe caracteristice avem

X1(x) · ∂ψ∂x1

+X2(x) · ∂ψ∂x2

+ · · ·+Xn(x) · ∂ψ∂xn

= 0. (2.11)

Capitolul 2 — Ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai 27

Egalitatea (2.11) fiind adevarata pentru orice constanta C, este adevarata pentru orice curba integrala situataın D, de unde rezulta ca este adevarata pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D; prin urmare (2.10) este o solutiea ecuatiei (2.4) ın D. q.e.d.

2.1.3 Solutia generala

Teorema 2.1.2. Daca ψ1, ψ2, . . . , ψn−1 sunt integrale prime ale sistemului caracteristic (2.6), independentefunctional pe multimea D′ ⊂ D, si

Φ(v1, v2, . . . , vn−1)

este o functie oarecare cu derivate partiale continue ıntr–un domeniu ∆ ⊂ Rn−1, atunci functia x 7→ u(x),unde

u(x) = Φ(ψ1(x), ψ2(x), . . . , ψn−1(x)), (2.12)

este o solutie a ecuatiei cu derivate partiale (2.4) ın D′.

Demonstratie. In prima etapa aratam ca functia u = Φ(ψ1, ψ2, . . . , ψn−1) verifica ecuatia (2.4). Pentru aceastatrebuie sa calculam derivatele partiale de ordinul ıntai ale acestei functii. Aplicand regula de derivare a functiilorcompuse, avem

∂u

∂x1=∂Φ∂v1· ∂ψ1

∂x1+∂Φ∂v2· ∂ψ2

∂x1+ · · ·+ ∂Φ

∂vn−1· ∂ψn−1

∂x1,

∂u

∂x2=∂Φ∂v1· ∂ψ1

∂x2+∂Φ∂v2· ∂ψ2

∂x2+ · · ·+ ∂Φ

∂vn−1· ∂ψn−1

∂x2,

· · · ,∂u

∂xn=∂Φ∂v1· ∂ψ1

∂xn+∂Φ∂v2· ∂ψ2

∂xn+ · · ·+ ∂Φ

∂vn−1· ∂ψn−1

∂xn.

(2.13)

Daca ın relatia de ordin j din (2.13) ınmultim cu Xj , unde j ∈ 1, 2, ..., (n−1), si adunam pe coloane, obtinem

n∑i=1

Xi(x1, x2, . . . , xn) · ∂u∂xi

=n−1∑j=1

∂Φ∂vj

( n∑k=1

Xk ·∂ψj∂xk

)(2.14)

Insa, ın (2.14) fiecare paranteza din partea dreapta este nula deoarece, conform Teoremei 2.1.1, functiileψj(x1, x2, . . . , xn), j = 1, n− 1, sunt solutii ale ecuatiei cu derivate partiale (2.4). Rezulta ca functia u din(2.12) este solutie a ecuatiei (2.4).

Reciproc, orice solutie u(x1, x2, . . . , xn) a ecuatiei (2.4) este de forma (2.12).Intr-adevar, u(x1, x2, . . . , xn) fiind solutie a ecuatiei (2.4), avem

X1(x)∂u

∂x1+X2(x)

∂u

∂x2+ · · ·+Xn(x)

∂u

∂xn= 0. (2.15)

Pe langa aceasta, avem si relatiile

X1(x)∂ψj∂x1

+X2(x)∂ψj∂x2

+ · · ·+Xn(x)∂ψj∂xn

= 0, j = 1, n− 1, (2.16)

care exprima ca integralele prime ψ1, ψ2, . . . , ψn−1 sunt solutii ale ecuatiei cu derivate partiale de ordinul ıntai(2.4).

Pentru orice punct fixat (x01, x

02, . . . , x

0n) ∈ D, ecuatiile (2.15) si (2.16) formeaza un sistem de n ecuatii liniare

si omogene ın necunoscutele X1, X2, . . . , Xn. Datorita conditiei (2.5), acest sistem are si solutii nebanale.


Conform teoremei lui Rouche1, determinantul sistemului∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂u

∂x1

∂u

∂x2· · · ∂u

∂xn

∂ψ1

∂x1

∂ψ1

∂x2· · · ∂ψ1

∂xn

∂ψ2

∂x1

∂ψ2

∂x2· · · ∂ψ2

∂xn

· · ·

∂ψn−1

∂x1

∂ψn−1

∂x2· · · ∂ψn−1

∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=D(u, ψ1, ψ2, . . . , ψn−1)D(x1, x2, . . . , xn)

(2.17)

trebuie sa fie nul pentru orice (x01, x

02, . . . , x

0n) ∈ D. Asadar, putem scrie

D(u, ψ1, ψ2, . . . , ψn−1)D(x1, x2, x3, . . . , xn)

= 0, (∀) x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D.

Deoarece ψ1, ψ2, . . . , ψn−1 sunt integrale prime independente functional ın D, exista domeniul D′ ⊂ D ıncare matricea jacobiana Jψ(x), unde ψ = (ψ1, ψ2, . . . , ψn−1), are rangul n− 1. Aceasta ınseamna ca cel putinun minor de ordinul n− 1 al matricei este nenul pe D′. Fie ca acest minor este determinantul functional

D(ψ1, ψ2, . . . , ψn−1)D(x1, x2, x3, . . . , xn−1)

6= 0, (∀) x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D. (2.18)

Folosind rezultatele de la dependenta si independenta functionala a functiilor, rezulta ca functia u depindefunctional pe D′′ ⊂ D′ de functiile ψ1, ψ2, . . . , ψn−1. Prin urmare, putem scrie u = Φ(ψ1, ψ2, . . . , ψn−1). q.e.d.

Definitia 2.1.6. Functia u din (2.12), unde Φ este o functie arbitrara definita pe un domeniu din spatiul Rn−1,se numeste solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale liniare si omogena (2.4).

Exercitiul 2.1.1. Sa se integreze urmatoarele ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai omogene

1. (x+ 2y)∂z

∂x− y ∂z

∂y= 0; 2. y

∂z

∂x− x∂z

∂y= 0;

3. x(2x3 − y3)∂z

∂x+ y(x3 − 2y3)

∂z

∂y= 0; 4. 2

√x∂z

∂x− y ∂z

∂y= 0.

Solutie. Sistemele caracteristice corespunzatoare ale acestor ecuatii sunt:

1.dx

x+ 2y=

dy

−y; 2.

dx

y=

dy

−x; 3.

dx

x(2x3 − y3)=

dy

y(x3 − 2y3); 4.

dx

2√x

=dy

−y.

1Rouche, Eugene (1832 – 1910), matematician francez. In 1896 a fost ales membru al Academiei de Stiinte din Franta.


Aceste sisteme caracteristice sunt echivalente respectiv cu ecuatiile diferentiale ordinare

1.dy

dx= − y

x+ 2y; 2.

dy

dx= −x

y;

3.dy

dx=y(x3 − 2y3)x(2x3 − y3)

; 4.dy

dx= − y

2√x.

Prima si a treia ecuatie diferentiala de ordinul ıntai este omogena si se integreaza utilizand substitutiay

x= u,

unde noua functie necunoscuta este u, ce depinde de x, iar celelalte doua ecuatii sunt cu variabile separabile.Solutiile acestor ecuatii diferentiale ordinare sunt:

1. y(x+ y) = C; 2. x2 + y2 = C; 3.x3 + y3

x2y2= C; 4.

√x+ ln y = C.

Fiecare din relatiile de mai sus reprezinta o integrala prima pentru ecuatia cu derivate partiale de ordinulıntai omogena corespunzatoare.

Solutia generala a unei ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai omogena este o functie arbitrara de n− 1integrale prime independente. Cum pentru toate aceste exercitii n este 2, la fiecare avem nevoie doar de cate ointegrala prima si le vom considera pe cele deduse mai sus. Prin urmare, solutiile ecuatiilor date sunt respectiv

1. z = ψ(y(x+ y)); 2. z = ψ(x2 + y2);

3. z = ψ(x3 + y3

x2y2

); 4. z = ψ(

√x+ ln y),

unde ψ este o functie oarecare de clasa C1(I) si I un interval real.

Exercitiul 2.1.2. Sa se determine solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii cu derivate partiale de ordinulıntai omogene

1. (az − by)∂u

∂x+ (bx− cz)∂u

∂y+ (cy − ax)

∂u

∂z= 0, a, b, c ∈ R;

2. (x− a)∂u

∂x+ (y − b)∂u

∂y+ (z − c)∂u

∂z= 0, a, b, c ∈ R;

3. xz∂u

∂x− yz ∂u

∂y+ (x2 − y2)

∂u

∂z= 0;

4. (x− y + z)∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ z

∂u

∂z= 0;

5. xy∂w

∂x− y2 ∂w

∂y+ z2 ∂w

∂z= 0;

6. x2 ∂F

∂x− xy∂F

∂y+ y2 ∂F

∂z= 0;

7.√x∂u

∂x+√y∂u

∂y+√z∂u

∂z= 0;

8. 2 coshx∂u

∂x+ 2 sinhx

∂u

∂y− z sinhx

∂u

∂z= 0.


Solutie. Sistemele caracteristice corespunzatoare ecuatiilor de mai sus sunt:

1.dx

az − by=

dy

bx− cz=

dz

cy − ax;

2.dx

x− a=

dy

y − b=

dz

z − c;

3.dx

xz=

dy

−yz=

dz

x2 − y2;

4.dx

x− y + z=dy

y=dz

z;

5.dx

xy=

dy

−y2=dz

z2;

6.dx

x2=

dy

−xy=dz

y2;

7.dx√x

=dy√y

=dz√z

;

8.dx

2 coshx=

dy

2 sinhx=

dz

−z sinhx.

Vom cauta combinatii integrabile ale rapoartelor egale.1. Prin ınmultirea celor trei rapoarte cu respectiv x, y si z si adunarea numaratorilor si a numitorilor, ob-

tinem un nou raport care are numitorul egal cu zero, iar numaratorul este diferentiala expresiei x2 + y2 + z2.Rezulta ca si numaratorul trebuie sa fie zero si prin urmare x2 + y2 + z2 = C1 este prima integrala prima asistemului caracteristic corespunzator primei ecuatii.

Inmultind acum rapoartele cu c, a si b si adunand iarasi numaratorii si numitorii ıntre ei, obtinem din nouzero la numitor. Prin urmare cx+ ay + bz = C2 este a doua integrala prima.

2.

dx

x− a=

dy

y − b=⇒ x− a

y − b= C1,

dy

y − b=

dz

z − c=⇒ y − b

z − c= C2.

3. Consideram primele doua rapoarte. Dupa simplificare prin z se obtine combinatia integrabiladx

x=

dy

−ycare conduce la integrala prima xy = C1.

A doua integrala prima se obtine dupa ce adunam numaratorii si numitorii din primele doua rapoarte,

raportul gasit egalandu–l cu al treilea. Avemd(x+ y)z(x− y)

=dz

x2 − y2, de unde, dupa simplificare cu x − y, se

obtine combinatia integrabila(x+ y)d(x+ y) = zdz

care conduce la integrala prima (x+ y)2 − z2 = C2.

4. Integranddy

y=dz

zobtinem integrala prima ψ1(x, y, z) =

y

z.

Pentru a obtine a doua integrala prima pornim de la egalitatea

dx

x− y + z=d(y − z)y − z

,

dedusa folosind o proprietate a rapoartelor egale. Notand y − z = u, se ajunge la ecuatia liniara de ordinul

ıntai neomogenadx

du− 1ux = −1 care are solutia x = u(C2 − lnu). Revenind la variabilele x, y, z se obtine a

doua integrala primax

y − z+ ln (y − z) = C2.


5. Cele doua integrale prime independente functional se obtin considerand primele doua rapoarte si respectivultimele doua. Se obtine:

xy = C1;1y

+1z

= C2.

6. O integrala prima se gaseste prin considerarea primelor doua rapoarte. Dupa simplificare cu x si apoiintegrare, se obtine xy = C1.

Pentru cea de a doua integrala prima vom folosi integrala prima gasita.Din ultimele doua rapoarte se obtine y dy = −x dz care, dupa ınmultire cu y si folosirea integralei prime

deja gasita, se obtine13y3 + C1z = C2. Inlocuind C1 = xy avem ca cea de a doua integrala prima este

13y3 + xyz = C2.

7. Cele doua combinatii integrabile le vom determina considerand primele doua rapoarte si apoi ultimeledoua. Integrand, obtinem: √

x−√y = C1;√y −√z = C2.

8. O combinatie integrabila estedx

2 coshx=

dy

2 sinhxdin care rezulta integrala prima y − ln coshx = C1.

A doua integrala prima se obtine daca se considera ultimele doua rapoarte dupa care se simplifica prin sinhx.Integrand ın ambii membri, avem z2 ey = C2.

Astfel, solutiile generale ale ecuatiilor cu derivate partiale din enunt sunt:

1. u(x, y, z) = Φ(x2 + y2 + z2, cx+ ay + bz);

2. u(x, y, z) = Φ(x− ay − b

,y − bz − c

);

3. u(x, y, z) = Φ(xy, (x+ y)2 − z2);

4. u(x, y, z) = Φ(y

x,

x

y − z+ ln (y − z));

5. u(x, y, z) = Φ(xy,1y

+1z

);

6. u(x, y, z) = Φ(xy,13y3 + xyz);

7. u(x, y, z) = Φ(√x−√y, √y −

√z);

8. u(x, y, z) = Φ(y − ln coshx, z2ey),

unde Φ este o functie arbitrara de integralele prime mentionate.

2.1.4 Problema lui Cauchy

In general, ın problemele practice, nu intereseaza solutii arbitrare ale ecuatiei (2.4), ci acele solutii care saındeplineasca anumite conditii initiale.


Definitia 2.1.7. Problema determinarii ın domeniul D ⊂ Rn a acelei solutii u(x1, x2, . . . , xn) a ecuatiei cuderivate partiale liniare si omogene (2.4) care pentru xn = x0

n se reduce la o functie data ψ(x1, x2, . . . , xn−1) ∈C1(D′), unde D′ ⊂ Rn−1, adica

u(x1, x2, . . . , xn−1, x0n) = ψ(x1, x2, . . . , xn−1), (x1, x2, . . . , xn−1) ∈ D′, (2.19)

se numeste problema lui Cauchy pentru ecuatia (2.4).

In anumite conditii impuse functiilor Xk si ψ solutia problemei Cauchy exista si este unica.In cele ce urmeaza ne vom ocupa de determinarea efectiva a solutiei problemei lui Cauchy.Aceasta solutie va fi de forma (2.12) si problema se reduce la a determina functia Φ, deci de a determina

legatura ıntre integralele prime ψ1, ψ2, . . . , ψn−1.Fie o vecinatate a punctului M0(x1, x2, . . . , xn−1, x

0n), inclusa ın D, ın care determinantul functional (2.18)

este diferit de zero. O asemenea vecinatate exista ın baza faptului ca functiile ψk, k = 1, n− 1, sunt continuesi au derivate partiale continue pe D. Daca ın (2.8) punem xn = x0

n, obtinem sistemul

ψi(x1, x2, . . . , xn−1, x0n) = Ci, i = 1, n− 1, (2.20)

care, rezolvat ın raport cu x1, x2, . . . , xn−1, conduce la

xj = ωj(C1, C2, . . . , Cn−1), j = 1, n− 1. (2.21)

Putem enunta acum urmatoarea teorema.

Teorema 2.1.3. Solutia problemei lui Cauchy pentru ecuatia (2.4) cu conditia initiala (2.19) este data de

u(x1, x2, . . . , xn) = ψ(ω1(ψ1, ψ2, . . . , ψn−1), ω2(ψ1, ψ2, . . . , ψn−1), · · · , ωn−1(ψ1, ψ2, . . . , ψn−1)),

unde ψ1, ψ2, . . . , ψn−1 sunt n− 1 integrale prime independente functional ale sistemului caracteristic (2.6).

Demonstratie. Trebuie sa aratam ca functia u din enuntul teoremei este solutie a ecuatiei cu derivate partiale(2.4), apoi ca verifica conditia initiala (2.19).

Faptul ca u este solutie a ecuatiei (2.4) rezulta imediat din faptul ca u este de forma Φ(ψ1, ψ2, . . . , ψn−1)dupa cum rezulta din expresia ei.

Solutia verifica conditia initiala ın vecinatatea U a punctului M0. In adevar pentru xn = x0n, conform

relatiilor (2.20) si (2.21), rezulta ca (2.19) este ındeplinita. Din modul cum este construita functia u rezulta siunicitatea ei. q.e.d.

Exercitiul 2.1.3. Sa se rezolve problema lui Cauchy pentru ecuatiile cu derivate partiale liniare si omogene

1. 2x∂u

∂x− y ∂u

∂y+ z3 ∂u

∂z= 0,

2. zux+ (x− z)2 ∂u

∂y+ x

∂u

∂z= 0,

cu conditiile initiale date respectiv de: 1. u(x, y, 1) = x+ y; 2. u(x, 0, z) = 2z(z − x).

Solutie. Sistemele caracteristice corespunzatoare

1.dx

2x=

dy

−y=dz

z3, 2.

dx

z=

dy

(x− z)2=dz

x


au integralele prime

1.

ψ1(x, y, z) = xy2,

ψ2(x, y, z) =1z2

+ lnx,2.

ψ1(x, y, z) = x2 − z2

ψ2(x, y, z) = 2y + (x− z)2.

Sistemul (2.20), ın cazul acestor ecuatii cu derivate partiale, devine respectiv

1.

xy2 = C1

1 + lnx = C2

, 2.

x2 − z2 = C1,

(x− z)2 = C2.

Rezolvand aceste sisteme, gasim

1.

x = eC2−1 = ω1(C1, C2)

y =

√C1

eC2−1= ω2(C1, C2)

, 2.

x =

C1 + C2

2√C2

= ω1(C1, C2),

z =C1 − C2

2√C2

= ω2(C1, C2).

Conform Teoremei 2.1.3, avem ca solutia problemei lui Cauchy este

u(x, y, z) = ψ(ω1(ψ1, ψ2), ω2(ψ1, ψ2)).

Deoarece expresiile functiei ψ sunt respectiv

1. ψ(x, y) = x+ y, 2. ψ(x, z) = 2z(z − x),

rezulta ca solutiile problemei lui Cauchy pentru cele doua ecuatii cu derivate partiale sunt

1. u(x, y, z) = ω1(ψ1, ψ2) + ω2(ψ1, ψ2)

2. u(x, y, z) = 2ω2(ψ1, ψ2)(ω2(ψ1, ψ2)− ω1(ψ1, ψ2)

).

Efectuand calculele, gasim

1. u(x, y, z) = eψ2(x,y,z)−1 +

√ψ1(x, y, z)eψ2(x,y,z)−1

2. u(x, y, z) = ψ2(x, y, z)− ψ1(x, y, z).

Inlocuind pe ψ1 si ψ2, obtinem u(x, y, z) = xez−2−1 + y

√e1−z−2 si respectiv u(x, y, z) = 2y + 2z2 − 2xz.

2.2 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai, cuasiliniare

Definitia 2.2.1. O ecuatie cu derivate partiale de ordinul ıntai de forma

X1(x, u)∂u

∂x1+X2(x, u)

∂u

∂x2+ · · ·+Xn(x, u)

∂u

∂xn= Xn+1(x, u) (2.22)

se numeste ecuatie cuasiliniara neomogena.

O astfel de ecuatie este liniara ın raport cu derivatele partiale de ordinul ıntai ale functiei necunoscute u caredepinde de variabilele x1, x2, . . . , xn (de variabila vectoriala x = (x1, x2, . . . , xn)), iar coeficientii Xk sunt functiiatat de variabila vectoriala independenta x cat si de functia u.

Vom presupune ca functiile Xk, k = 1, 2, . . . , n, sunt continue pe domeniul D ⊂ Rn+1, au derivate partialecontinue ın D si

n∑k=1

X2k(x1, x2, . . . , xn, u) > 0, (∀) (x1, x2, . . . , xn, u) ∈ D.


2.2.1 Solutia generala

Teorema 2.2.1. Integrarea ecuatiei cu derivate partiale (2.22) se reduce la integrarea ecuatiei cu derivatepartiale liniara cu n+ 1 variabile

X1(x, u)∂V

∂x1+X2(x, u)

∂V

∂x2+ · · ·+Xn(x, u)

∂V

∂xn+Xn+1(x, u)

∂V

∂u= 0.

Demonstratie. Sa cautam pentru ecuatia cuasiliniara (2.22) o solutie u, definita implicit de ecuatia

V (x1, x2, . . . , xn, u) = 0, (2.23)

V fiind o functie necunoscuta ce urmeaza sa o determinam. In ipoteza ca V este continua si are derivate partialecontinue, cu derivata partiala ın raport cu u diferita de zero ın interiorul lui D, din (2.23) si teorema de existentasi unicitate a functiilor reale de n variabile reale definite implicit de o ecuatie ın n+ 1 necunoscute, obtinem

∂u

∂x1= −

∂V

∂x1

∂V

∂u

,∂u

∂x2= −

∂V

∂x2

∂V

∂u

, · · · , ∂u∂xn

= −

∂V

∂xn∂V

∂u

,

pe care le ınlocuim ın ecuatia (2.22). In acest fel ajungem la

X1∂V

∂x1+X2

∂V

∂x2+ · · ·+Xn

∂V

∂xn+Xn+1

∂V

∂u= 0, (2.24)

care este o ecuatie liniara si omogena ın necunoscuta V. Fie

ψk(x1, x2, . . . , xn, u) = Ck, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1, (2.25)

n integrale prime independente ale ecuatiei (2.24). Solutia generala a ecuatiei (2.24) este

V (x1, x2, . . . , xn, u) = Φ(ψ0, ψ1, ψ2, . . . , ψn−1), (2.26)

iar ecuatia V (x1, x2, . . . , xn, u) = 0 defineste implicit solutia ecuatiei cuasiliniare (2.22) ın forma u =ϕ(x1, x2, . . . , xn).

Conform Teoremei 2.2.1, urmeaza ca trebuie sa determinam n integrale prime ale sistemului caracteristic

dx1

X1=dx2

X2= · · · = dxn

Xn=

du

Xn+1,

atasat ecuatiei (2.24), anume

ψ0(x1, x2, . . . , xn, u) = C0,

ψ1(x1, x2, . . . , xn, u) = C1,

· · · ,

ψn−1(x1, x2, . . . , xn, u) = Cn−1.

(2.27)

Atunci, solutia generala a ecuatiei (2.22) este functia definita implicit de

Φ(ψ0, ψ1, ψ2 · · · , ψn−1) = 0, (2.28)

Φ fiind o functie arbitrara derivabila si cu derivate partiale de ordinul ıntai continue. q.e.d.


Exercitiul 2.2.1. Sa se determine integrala generala a ecuatiei cuasiliniare

xy2 ∂z

∂x+ x2y

∂z

∂y= (x2 + y2)z.

Solutie. Sistemul caracteristic asociat acestei ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai este

dx

xy2=

dy

x2y=

dz

(x2 + y2)z.

Din primele doua rapoarte obtinem ecuatiadx

y=dy

xcare ne conduce la integrala prima x2 − y2 = C0.

O a doua integrala prima se obtine din combinatia

ydx+ xdy

xy3 + x3y=

dz

(x2 + y2)z.

Primul raport al acestei combinatii se obtine din primele doua rapoarte ale sistemului caracteristic prin ınmultirealor cu x, respectiv y, urmata de adunarea lor. Se obtine un nou raport egal cu celelalte rapoarte ale sistemuluicaracteristic. Dupa ınmultirea cu x2 + y2 se obtine

d(xy)xy

=dz

z,

iar de aici rezulta a doua integrala primaz

xy= C1.

Conform Teoremei 2.2.1, solutia generala a ecuatiei date este functia z = z(x, y) definita implicit de ecuatiaΦ(ψ1, ψ2) = 0, unde Φ este o functie arbitrara. Avand ın vedere expresiile lui ψ1 si ψ2, avem ca solutia generalaa ecuatiei cu derivate partiale cuasiliniara este functia z = z(x, y) definita implicit de ecuatia

Φ(x2 − y2,z

xy) = 0.

Solutia generala se poate scrie ın forma z = xyΨ(x2−y2), unde Ψ este o functie reala arbitrara de o variabilareala, derivabila si cu derivata continua.

Exercitiul 2.2.2. Sa se integreze ecuatia cuasiliniara

x1∂z

∂x1+ x2

∂z

∂x2+ · · ·+ xn

∂z

∂xn= z +

x1x2 · · ·xnz

.

Solutie. Sistemul caracteristic asociat acestei ecuatii este

dx1

x1=dx2

x2= · · · = dxn

xn=

zdz

z2 + x1x2 · · ·xn.

Se observa ca avem urmatoarele combinatii integrabile:

dx1

x1=dx2

x2,

dx1

x1=dx3

x3, . . . ,

dx1

x1=dxnxn

sid(x1x2 · · ·xn)nx1x2 · · ·xn

=zdz

z2 + x1x2 · · ·xn. (2.29)


Din integrarea primelor n− 1 combinatii integrabile obtinem integralele primex2

x1= C1,

x3

x1= C2, . . .

xnx1

= Cn−1.

Pentru a integra ultima combinatie integrabila notam:

x1x2 · · ·xn = v; z2 = u.

Astfel, combinatia integrabila (2.29) se reduce la

du

dv− 2nv

u =2n.

Aceasta este o ecuatie diferentiala de ordinul ıntai liniara si neomogena si integrala ei generala este

u = Cnn√v2 +

2vn− 2

sau, daca revenim la vechile variabile,

(n− 2)z2 = Cn(n− 2) n√

(x1x2 · · ·xn)2 + 2x1x2 · · ·xn.

Integrala generala a ecuatiei date este functia z definita implicit de

(n− 2)z2 = 2x1x2 · · ·xn + (n− 2) n√

(x1x2 · · ·xn)2 Φ(x2

x1,x3

x1, . . . ,

xnx1

),

unde Φ este o functie diferentiabila arbitrara.

Exercitiul 2.2.3. Sa se determine solutia generala a ecuatiei

(xy3 − 2x4)∂z

∂x+ (2y4 − x3y)

∂z

∂y= 9z(x3 − y3).

Solutie. Sistemul caracteristic asociat ecuatiei este

dx

x(y3 − 2x3)=

dy

y(2y3 − x3)=

dz

9z(x3 − y3).

Considerand primele doua rapoarte se obtine o ecuatie diferentiala omogena care integrata conduce laintegrala prima

y3 + x3

y2x2= C0.

O a doua integrala prima se obtine din combinatia integrabila

ydx+ xdy

3xy4 − 3x4y=

dz

9z(x3 − y3).

Simplificand, obtinem ecuatia cu variabile separated(xy)xy

+dz

3z= 0, care prin integrare conduce la a doua

integrala prima x3y3z = C1.Solutia generala a ecuatiei este

z =1

x3y3Φ(x3 + y3

x2y2

),

unde Φ este o functie derivabila arbitrara.


2.2.2 Problema lui Cauchy

Fie ecuatia cu derivate partiale cuasiliniara (2.22) si punctul arbitrar, dar fixat, M0(x10, x20, . . . , xn0, u0) ∈ D.

Definitia 2.2.2. Problema determinarii unei solutii u a ecuatiei (2.22) ıntr–o vecinatate U a punctului M0 ∈ D,care pentru xn = xn0 sa se reduca la functia continua si cu derivate partiale continue ψ(x1, x2, . . . , xn−1), adica

u(x1, x2, . . . , xn−1, xn0) = ψ(x1, x2, . . . , xn−1), (2.30)

se numeste problema lui Cauchy a ecuatiei (2.22).

Pentru rezolvarea problemei lui Cauchy vom considera ca s–au determinat n integrale prime independentefunctional ıntr–o vecinatate a lui M0, iar daca presupunem ca aceste integrale prime sunt cele din (2.27), elevor fi independente daca

D(ψ0, ψ1, ψ2, . . . , ψn−1)D(x1, x2, . . . , xn−1, u)

∣∣∣M0

6= 0. (2.31)

Vom cere ca solutia cautata u = ϕ(x1, x2, . . . , xn) sa treaca prin punctul M0, deci u0 = ϕ(x10, x20, . . . , xn0).Functia u, dupa cum am aratat la aliniatul precedent, este definita implicit de ecuatia

V (x1, x2, . . . , xn, u) = Φ(ψ0, ψ1, ψ2, . . . , ψn−1) = 0

si problema se reduce la determinarea functiei Φ, adica a legaturii ıntre integralele prime (2.27). In acelasitimp, u trebuie sa fie unic determinata ıntr–o vecinatate a punctului M0, deci

∂V

∂u(x10, x20, . . . , xn0, u0) 6= 0.

Fie W o vecinatate a punctului M0 ın care sistemul (2.27) se poate inversa ın functie de x1, x2, . . . , xn−1, u.Vom face ınsa inversarea dupa ce vom ınlocui pe xn cu xn0, obtinand astfel sistemul

ψ0(x1, x2, . . . , xn−1, xn0, u) = C0,

ψ1(x1, x2, . . . , xn−1, xn0, u) = C1,

· · · ,

ψn−1(x1, x2, . . . , xn−1, xn0, u) = Cn−1.

(2.32)

Prin rezolvarea sistemului (2.32) ın privinta variabilelor mentionate, gasim

u = ω0(C0, C1, . . . , Cn−1),

x1 = ω1(C0, C1, . . . , Cn−1),

· · · ,

xn−1 = ωn−1(C0, C1, . . . , Cn−1).

(2.33)

Teorema 2.2.2. Solutia problemei lui Cauchy pentru ecuatia (2.22) care ındeplineste conditia initiala (2.30)este functia u definita implicit de ecuatia

ω0(ψ0, . . . , ψn−1)− ψ[ω1(ψ0, . . . , ψn−1), . . . , ωn−1(ψ0, . . . , ψn−1)] = 0, (2.34)

unde ψ0, ψ1, . . . , ψn−1 sunt integrale prime independente functional care satisfac conditia (2.31).


Demonstratie. Functia u = ϕ(x1, x2, . . . , xn) definita implicit de ecuatia (2.34) este o solutie a ecuatiei (2.22)deoarece provine dintr–o relatie de forma (2.28).

Functia u data de (2.34) verifica conditia initiala (2.30) deoarece conform lui (2.32) si (2.33) pentru xn = xn0

avemω0(ψ0, ψ1, . . . , ψn−1)

∣∣∣xn=xn0

= u,

ωk(ψ0, ψ1, . . . , ψn−1) = xk, k = 1, 2, . . . , n− 1.

Din (2.34) rezulta ca pentru xn = xn0

u(x1, x2, . . . , xn)∣∣∣xn=xn0

= ψ(x1, x2, . . . , xn−1).

Derivata functiei V din membrul ıntai al relatiei (2.34), ın raport cu u, ın punctul M0, se gaseste ca esteegala cu 1, deci diferita de zero.

Fiind satisfacute ipotezele teoremei de existenta si unicitate a unei functii reale de mai multe variabile realedefinita implicit de ecuatia (2.34), functia u = ϕ(x1, x2, . . . , xn) exista si este unica. q.e.d.

Exercitiul 2.2.4. Sa se gaseasca suprafata integrala a ecuatiei cu derivate partiale de ordinul ıntai liniara sineomogena

xy∂z

∂x− y2 ∂z

∂y= x

care trece prin curba

(Ca) :

x = a,

2ayz = a2 + 2.(2.35)

Solutie. Sistemul caracteristic corespunzator este

dx

xy=

dy

−y2=dz

x. (2.36)

Considerand primele doua rapoarte, obtinem combinatia integrabila

dx

x+dy

y= 0

din care obtinem integrala prima a sistemului xy = C0.Amplificand ın sistemul (2.36) primul raport cu y, al doilea cu x si raportul al treilea cu y2, obtinem

ydx

xy2= −xdy

xy2=y2dz

xy2. (2.37)

Aceste trei rapoarte, avand acelasi numitor, se scriusub forma

ydx

1=−xdy

1=y2dz

1.

Folosind proprietatile rapoartelor egale, deducem

ydx

1=−xdy

1=y2dz

1=ydx− xdy

2,


ultima egalitate fiind o combinatie integrabila caci se poate scrie ın forma d(x

y

)= d(2z).

Integrand ultima combinatie integrabila, obtinem a doua integrala prima a sistemului (2.36)

2z − x

y= C1.

Integrala generala a ecuatiei este functia z = z(x, y) definita implicit de ecuatia F (x, y, z) = 0, unde

F (x, y, z) = Φ(C0, C1) = Φ(xy, 2z − x

y).

Observam ca integrala generala se mai poate scrie ca

z =x

2y+ f(xy),

unde f este o functie reala de variabila reala, arbitrara.Ansamblul ecuatiilor celor doua integrale prime formeaza ecuatiile unei curbe caracteristice (C) situata pe

suprafata integrala (S).Suprafata integrala cautata (Sa) se obtine eliminand pe x, y, z ın sistemul format de ecuatiile celor doua

integrale prime si ecuatiile curbei (Ca). Efectuand aceasta eliminare, rezulta

C1 =2C0

=⇒ z − x

2y=

1xy

=⇒ (Sa) 2xyz − x2 = 2

si deci (Sa) este o suprafata algebrica de ordinul al treilea.

Exercitiul 2.2.5. Fie ecuatia cu derivate partiale de ordinul ıntai cuasiliniara

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= z − xy.

Sa se determine solutia sa generala si sa se rezolve problema lui Cauchy cu conditia initiala

z(2, y) = 1 + y2 ⇐⇒

x = 2,

z = 1 + y2.

Solutie. Sistemul caracteristic asociat estedx

x=

dy

y=

dz

z − xy. Din primele doua rapoarte se obtine

integrala primax

y= C0.

Inmultind primul raport cu y, al doilea cu x si efectuand suma numaratorilor pe suma numitorilor, gasimun nou raport egal cu oricare din cele trei. Egalandu–l cu primul raport, obtinem combinatia integrabila

d(xy + z)xy + z

=dx

x.

Integrand, obtinem a doua integrala prima y +z

x= C1.

Rezulta ca solutia generala este functia definita implicit de ecuatia

Φ(xy, y +

z

x

)= 0,

unde Φ este o functie arbitrara derivabila si cu derivate continue.


Pentru rezolvarea problemei lui Cauchy trebuie sa rezolvam mai ıntai sistemul2y

= C0,

y +z

2= C1,

=⇒

z = 2

(C1 −

2C0

)= ω0(C0, C1),

y =2C0

= ω1(C0, C1).

Inlocuind pe y si z ın z = 1 + y2 gasim relatia care corespunde lui (2.34)

2(C1 −

2C0

)− 1− 4

C20

= 0.

Daca se ınlocuiesc C0 si C1 cu respectiv

ψ0(x, y, z) =y

x, ψ1(x, y, z) = y +

z

x,

deducem ca solutia problemei lui Cauchy este functia z =(x+ 2y)2

2x− xy.

Dupa eliminarea numitorului, observam ca din punct de vedere geometric solutia determinata reprezinta osuprafata algebrica de ordinul al treilea din care se scot intersectiile acesteia cu planul Oyz.

Exercitiul 2.2.6. Sa se determine suprafata integrala a ecuatiei cu derivate partiale de ordinul ıntai cuasiliniaraneomogena

(y − z)∂z∂x

+ (z − x)∂z

∂y= x− y,

care contine dreapta (d) de ecuatii x = y = z.

Solutie. Sistemul caracteristic asociat ecuatiei diferentiale date este

dx

y − z=

dy

z − x=

dz

x− y, (2.38)

caruia trebuie sa–i determinam doua integrale prime functional independente. Pentru aceasta, cautam combi-natii integrabile ale rapoartelor egale. Se observa ca acestea sunt egale cu ınca doua

dx

y − z=

dy

z − x=

dz

x− y=dx+ dy + dz

0=xdx+ ydy + zdz

0,

obtinute efectuand suma numaratorilor pe suma numitorilor (penultimul raport) si suma numaratorilor pesuma numitorilor celor trei rapoarte din (2.38), ınmultite ın prealabil cu x, y si respectiv z.

Cand ıntr–o succesiune de rapoarte egale numitorul unui raport este zero, numaratorul acelui raport trebuiesa fie, de asemenea, zero. Prin urmare,

dx+ dy + dz = 0, xdx+ ydy + zdz = 0.

Din aceste egalitati se obtin cele doua integrale prime independente functional ale sistemului simetric (2.38)

x+ y + z = C1, x2 + y2 + z2 = C2. (2.39)

Geometric, prima integrala prima reprezinta un fascicol de plane paralele de normala N = i + j + k, iar ceade a doua este o familie de sfere concentrice cu centrul ın originea reperului.

Solutia generala a sistemului simetric (2.38) este ansamblul celor doua integrale prime care, din punct devedere geometric, reprezinta o familie dublu parametrica de cercuri ın spatiu, care sunt curbele caracteristice.

Pentru a determina suprafata integrala care contine dreapta (d), impunem conditia ca sistemul format deecuatiile curbelor caracteristice si ecuatiile dreptei sa fie compatibil, ceea ce conduce la relatia de compatibilitateC2

1 − 3C2 = 0.Inlocuind C1 si C2 ın relatia de compatibilitate cu expresiile lor din (2.39) se gaseste ca suprafata integrala

cautata este conul patratic (eliptic) cu varful ın origine de ecuatie x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx = 0.

Capitolul 3

Elemente de teoria campurilor

3.1 Campuri scalare. Curbe si suprafete de nivel

Fie D ⊂ R3 un domeniu tridimensional, M(x, y, z) un punct oarecare din D si f ∈ F(D) o functie reala definitape D. Valorile functiei f, scrise ın forma f(M), sau ın forma f(x) = f(x, y, z), unde x = (x, y, z) ∈ D, suntnumere reale sau scalari. Astfel, functia f se mai numeste si functie scalara.

Definitia 3.1.1. Functia scalara f ∈ F(D), D ⊂ R3, se numeste camp scalar tridimensional.

Daca domeniul D este bidimensional, deci D ⊂ R2, sau D este o portiune de suprafata marginita de ocurba ın spatiu, pozitia punctului M ∈ D va fi determinata de doi parametri (coordonatele carteziene x si yale punctului din plan ın primul caz, sau coordonatele curbilinii u si v ale punctului situat pe o suprafata ıncel de al doilea caz). Dupa caz, vom scrie: f(M) = f(x, y); f(M) = f(u, v). In ambele cazuri, functia scalaraf ∈ F(D) se numeste camp scalar bidimensional.

In cele ce urmeaza vom presupune ca functia f este continua pe D si admite derivate partiale de orice ordincontinue ın D.

Exemplul 3.1.1. Campul temperaturilor T = T (M) ıntr–o regiune tridimensionala sau bidimensionala sicampul presiunilor p = p(M) ıntr–un domeniu plan sau spatial sunt exemple de campuri scalare.

Exemplul 3.1.2. Functia reala de doua variabile reale

f : R2 → R, f(M) = f(x, y) =x2

a2+y2

b2, a, b ∈ R∗+, (3.1)

este un camp scalar bidimensional.

Exemplul 3.1.3. Functia reala de trei variabile reale

f : R3 → R, f(M) = f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 (3.2)

este un camp scalar definit ın ıntreg spatiu tridimensional.

Fie campul scalar f(M), M ∈ D ⊂ R3 si M0(x0, y0, z0) ∈ D fixat.

41


Definitia 3.1.2. Se numeste suprafata de nivel care trece prin M0 a campului scalar tridimensional f(M),locul geometric S0 al punctelor M ∈ D cu proprietatea

f(M) = f(M0) (3.3)

sau, avand ın vedere coordonatele carteziene ale punctelor M si M0,

f(x, y, z) = f(x0, y0, z0). (3.4)

Deoarece M0 este un punct al suprafetei de nivel S0, ecuatia acesteia este (3.3) sau (3.4).

Observatia 3.1.1. Prin orice punct M0 ∈ D trece o suprafata de nivel a campului scalar tridimensionalf ∈ F(D), iar orice doua suprafete de nivel ale sale ori sunt identice, ori nu au nici un punct comun.

Exemplul 3.1.4. Suprafetele de nivel ale campului termic dintr–o regiune tridimensionala sunt izotermele;cele ale campului presiunilor sunt izobarele; suprafetele de nivel ale campului scalar (3.2) sunt sfere cu centreleın origine.

Definitia 3.1.3. Prin curba de nivel a campului scalar bidimensional f ∈ F(D), D ⊂ R2 (sau D ⊂ Σ, undeΣ este o suprafata), se ıntelege locul geometric al punctelor M(x, y) ∈ D (sau M(u, v) ∈ D ⊂ Σ) cu proprietatea

f(x, y) = f(x0, y0) sau (f(u, v) = f(u0, v0)), (3.5)

unde M0(x0, y0), (sau M0(u0, v0), ) sunt puncte oarecare, dar fixate, din D.

Observatia 3.1.2. Prin orice punct M0 ∈ D trece cate o curba de nivel si oricare doua asemenea curbe saucoincid, sau nu au puncte comune.

Exemplul 3.1.5. Curbele de nivel ale campului scalar (3.1) sunt elipse omofocale, cu centrul de simetrie ın

origine, care au axele de coordonate ca axe de simetrie si semiaxele a

√x2

0

a2+y2

0

b2si b

√x2

0

a2+y2

0

b2.

O prima imagine a unui camp scalar este data de suprafetele (curbele) sale de nivel care arata modul cumsunt stratificate valorile campului, viteza de stratificare ıntr–un punct fiind tocmai derivata dupa o directieoarecare de versor s a campului ın punctul considerat.

3.2 Derivata dupa o directie si gradientul unui camp scalar

Sa consideram campul scalar f ∈ F(D), s un versor arbitrar si, pentru fiecare punct x ∈ D, definim functiareala g de variabila reala t

g(t) = f(x + ts), t ∈ I, x + ts ∈ D, (3.6)

unde I este un interval real.

Capitolul 3 — Elemente de teoria campurilor 43

Evident, avem o infinitate de functii g (pentru fiecare x ∈ D exista o asemenea functie) si pentru toate,avem g(0) = f(x). Functiile g sunt restrictiile functiei f la dreapta care trece prin x si are directia s.

Presupunem ca, pentru orice x ∈ D, functia g corespunzatoare este derivabila ın t = 0.

Definitia 3.2.1. Spunem ca functia f este derivabila ın D dupa directia s daca functiile g, definite ın(3.6), sunt derivabile ın t = 0.

Definitia 3.2.2. Daca f este derivabila ın D dupa directia s, numarul real g′(0) se numeste derivata campuluiscalar f dupa directia s ın punctul x ∈ D.

Notam aceasta derivata cudf

ds(x). Prin urmare,

df

ds(x) = g′(0) = lim

t→0

g(t)− g(0)t− 0

= limt→0

f(x + ts)− f(x)t

. (3.7)

Definitia 3.2.3. Functiadf

ds∈ F(D) ale carei valori se determina dupa legea (3.7), se numeste derivata

campului scalar f dupa directia s.

Observatia 3.2.1. Fiind definite cu ajutorul derivatelor unei functii reale de o variabila reala, proprieta-tile derivatelor dupa o directie ale campurilor scalare sunt aceleasi ca cele ale derivatelor functiilor reale de ovariabila reala.

In consecinta, putem scrie (pentru simplificare, omitem variabila x):

d

ds(λ1 f1 + λ2 f2) = λ1

df1

ds+ λ2

df2

ds;

d

ds(f1 · f2) =

df1

ds· f2 + f1 ·

df2

ds;

d

ds

(f1

f2

)=

df1

ds· f2 − f1 ·

df2

dsf2

2

;

d

ds(F (f)) = F ′(f) · df

ds,

(3.8)

unde f1, f2 si f sunt campuri scalare derivabile ın D dupa directia s, iar F (f) = F f este compusa functiei fcu functia F.

Deoarece am presupus ca functia f care defineste un camp scalar are derivate partiale continue ın D, rezultaca f este diferentiabila ın D si valoarea ın h = (h1, h2, h3) ∈ R3 a diferentialei functiei f ın punctul x ∈ D este

df(x)(h) = df(x,h) = (∇f)(x) · h, (3.9)

unde

(∇f)(x) =∂f

∂x(x) i +

∂f

∂y(x) j +

∂f

∂z(x) k (3.10)


este gradientul functiei f ın punctul x ∈ D. Intre gradientul functiei f si vectorul h se efectueaza produsul scalarstandard a doi vectori din R3.

df(x)(h) =∂f

∂x(x)h1 +

∂f

∂y(x)h2 +

∂f

∂z(x)h3. (3.11)

Operatorul diferential ∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂zse numeste operatorul lui Hamilton1 sau operatorul nabla.

Pe de alta parte, se stie ca daca f este diferentiabila ın D, atunci f este derivabila ın D dupa orice directiesi derivata sa dupa directia s ıntr–un punct x ∈ D este valoarea ın s a diferentialei functiei f ın punctul x. Prinurmare,

df

ds(x) = df(x, s) = df(x)(s). (3.12)

Din (3.9) si (3.12) deducemdf

ds(x) = (∇f)(x) · s, (3.13)

iar din (3.10) si (3.13) rezultadf

ds(x) =

∂f

∂x(x) s1 +

∂f

∂y(x) s2 +

∂f

∂z(x) s3. (3.14)

Fie P punctul din D al carui vector de pozitie este x + ts. Conform Observatiei 3.1.1, prin punctul P treceo suprafata de nivel (S) a campului scalar f. Dreapta (d) care trece prin M si are directia s, intersecteazasuprafata (S) ın punctul P. Astfel, t este abscisa curbilinie a punctului P de pe dreapta (d) pe care M esteoriginea elementului de arc. Daca notam cu t = `(MP ) lungimea arcului MP, formula (3.7) se rescrie ın forma

df

ds(x) = lim

`(MP )→0P∈(d)

f(P )− f(M)`(MP )

. (3.15)

Consideram acum ca punctul P ∈ (S) nu este pe dreapta (d), ci pe o curba neteda arbitrara Γ care treceprin M si are versorul tangentei ın M identic cu s.

Definitia 3.2.4. Se numeste variatie medie a campului scalar f, raportul

f(P )− f(M)`(MP )

, (3.16)

unde P ∈ Γ ∩ (S) iar `(MP ) este abscisa curbilinie a punctului P.

Teorema 3.2.1. Limita variatiei medii (3.16) a campului scalar f atunci cand P tinde, pe curba Γ, la punctulM(x), este egala cu derivata ın x dupa directia s a campului scalar f.

Demonstratie. Evaluarea diferentei de la numaratorul variatiei medii, conduce la

f(P )− f(M) = (∇f)(x) · (−→OP −

−→OM) + ε · (

−→OP −

−→OM), (3.17)

unde ε este o functie vectoriala de variabila vectoriala cu proprietatea

limP→M

ε = 0, (3.18)

cu mentiunea ca punctul P, ın acest proces de trecere la limita, se afla pe curba Γ.

1Hamilton, William Rowan (1805 – 1865), fizician, astronom si matematician irlandez.


Daca ımpartim (3.17) prin `(MP ), trecem la limita pentru P →M, ceea ce este echivalent cu `(MP )→ 0,tinem cont de (3.18), (3.14) si de rezultatul

lim`(MP )→0P∈Γ

−→OP −

−→OM

`(MP )= s,

din geometria diferentiala, se deduce

lim`(MP )→0P∈Γ

f(P )− f(M)`(MP )

=df

ds(x), (3.19)

ceea ce demonstreaza teorema. q.e.d.

Observatia 3.2.2. Relatia (3.19) se poate lua ca definitie pentru derivata dupa directia s a campului scalar fın punctul x ∈ D.

Ne propunem sa determinam acea directie a spatiului dupa care derivata campului scalar f ın punctul xeste maxima.

Tinand cont ca produsul scalar a doi vectori din R3 este egal cu produsul dintre normele vectorilor si cosinusulunghiului θ dintre ei si ca ‖s‖ = 1, din (3.13) deducem

df

ds(x) = ‖(∇f)(x)‖ · cos θ. (3.20)

Din (3.20) se vede ca derivata este maxima cand θ = 0, adica atunci cand versorul s este versorul n(x) alvectorului (∇f)(x),

n(x) =(∇f)(x)‖(∇f)(x)‖

. (3.21)

Pentru a demonstra o proprietate remarcabila a versorului (3.21) sa presupunem ca M este fixat si notatcu M0 si ca vectorul sau de pozitie este x0 = (x0, y0, z0). Fie γ0 ⊂ (S0) o curba neteda arbitrara care trece prinM0 si care are tangenta t0 ın M0. Daca x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) sunt ecuatiile parametrice ale curbei γ0 sipunctul M0 corespunde lui t0 pe curba γ0, atunci

t0 =dϕ

dt(t0) i +

dψ

dt(t0) j +

dχ

dt(t0) k. (3.22)

Cum curba γ0 este situata pe (S0), unde (S0) este suprafata de nivel care trece prin M0 de ecuatie f(x, y, z) =f(x0, y0, z0), avem

f(ϕ(t), ψ(t), χ(t)) = f(x0, y0, z0). (3.23)

Daca derivam (3.23) ca o functie compusa si consideram t = t0, deducem

∂f

∂x(x0)

dϕ

dt(t0) +

∂f

∂y(x0)

dψ

dt(t0) +

∂f

∂z(x0)

dχ

dt(t0) = 0. (3.24)

Din (3.10), (3.21), (3.22) si (3.24), obtinem

n(x0) · t0 = 0,

care demonstreaza ca n(x0) este ortogonal tuturor tangentelor ın M0 la toate curbele γ0 ⊂ (S0) care trec prinM0. Cum locul geometric al acestor tangente este planul tangent ın M0 la suprafata (S0), rezulta ca n(x0) esteversorul normalei ın M0 la suprafata de nivel (S0). Sensul versorului n(x0) este spre acea parte a spatiului ıncare f(x, y, z) > f(x0, y0, z0). Asadar:


Teorema 3.2.2. Derivata campului scalar f dupa directia s ın punctul x0 este maxima dupa directia versoruluin(x0) a normalei ın M0 la suprafata de nivel (S0) care trece prin M0, sensul normalei fiind sensul cresteriivalorilor campului scalar f.

Revenind la un punct arbitrar x ∈ D, obtinem ca derivata dupa directia normalei n(x) ın punctul M lasuprafata de nivel care trece prin M are expresia

df

dn(x) = (∇f)(x) · n(x). (3.25)

Cu ajutorul lui (3.21), din (3.25) deducem

df

dn(x) = ‖(∇f)(x)‖. (3.26)

Cum gradientul campului scalar f ın punctul x este coliniar si de acelasi sens cu n(x), din (3.26) obtinem

(∇f)(x) =df

dn(x) n(x). (3.27)

Sa mai observam ca folosind (3.20) si (3.25) putem scrie

df

ds(x) =

df

dn(x) cos θ, (3.28)

unde θ este unghiul dintre versorii s si n.Formula (3.28) da legatura ıntre derivata dupa un versor oarecare s si derivata dupa directia normalei ın

punctul M la suprafata de nivel care trece prin M, ocazie cu care reıntalnim concluzia Teoremei 3.2.2.Din (3.27) deducem ca regulile de calcul pentru gradient sunt aceleasi cu regulile de calcul ale derivatei dupa

o directie. Daca avem ın vedere (3.8) si renuntam la scrierea variabilei vectoriale x, se pot scrie relatiile:

∇(λϕ+ µψ) = λ∇ϕ+ µ∇ψ, λ, µ ∈ R;

∇(ϕψ) = ψ∇ϕ+ ϕ∇ψ;

∇(ϕψ

)=ψ∇ϕ− ϕ∇ψ

ψ2, ψ 6= 0;

∇F (ϕ) = F ′(ϕ)∇ϕ.

(3.29)

Mai precizam ca pentru gradientul campului scalar ϕ se folososte si notatia gradϕ.

Exercitiul 3.2.1. Se da campul scalarϕ(x, y, z) =

a · rr2

,

undea = 2i + j− k, r = x i + y j + z k, r =

√x2 + y2 + z2.

Sa se calculeze unghiul dintre vectorii (∇ϕ)(A) si (∇ϕ)(B), unde A si B sunt puncte de coordonate A(2, 1, 1)si B(0, 1,−1).

Solutie. Daca aplicam regulile de calcul (3.29), gasim ca gradientul campului scalar ϕ ın punctul oarecareM(x, y, z), diferit de originea reperului Oxyz, este

(∇ϕ)(M) = −2a · rr4

r +1r2

a,


de unde rezulta (∇ϕ)(A) = − 118

(2 i + j + 7 k) si (∇ϕ)(B) =12

(2 i − j + k). Cum cosinusul unghiului θ dintredoi vectori este raportul dintre produsul scalar al lor si produsul normelor acestora, obtinem

cos θ =(∇ϕ)(A) · (∇ϕ)(B)‖(∇ϕ)(A)‖ ‖(∇ϕ)(B)‖

= −59.

Semnul minus dovedeste ca unghiul dintre cei doi gradienti este obtuz.

Exercitiul 3.2.2. Fie campul scalar ϕ(x, y, z) = (a · r)2 + (a × r)2, unde r = xi + yj + zk este vectorul depozitie al punctului M(x, y, z), iar a este un versor constant.

a) Sa se determine suprafata de nivel care trece prin M0(1, 2, 3).b) Sa se calculeze derivata campului scalar ϕ dupa directia de parametri directori (2,−1, 2) ın punctul M0.

Solutie. Deoarece (a · r)2 = a2r2 cos2 θ si (a × r)2 = a2r2 sin2 θ, iar a2 = 1, deducem ca valorile campuluiscalar sunt ϕ(x, y, z) = r2 = x2 + y2 + z2.

a) Suprafata de nivel care trece prin M0(1, 2, 3) este x2 + y2 + z2 = 14, adica sfera de raza R =√

14 si cucentrul ın origine.

b) Versorul s al vectorului v de parametri directori (2,−1, 2) este

s =v‖v‖

=23i− 1

3j +

23k.

Gradientul campului scalar ϕ ın punctul M0 este

(∇ϕ)(M) = (gradϕ)(x, y, z) = 2x i + 2y j + 2z k,

de unde(∇ϕ)(M0) = (gradϕ)(1, 2, 3) = 2(i + 2j + 3k).

Derivata functiei ϕ ın punctul M0 dupa directia s este

dϕ

ds(M0)=(∇ϕ)(M0) · s = 2(i + 2j + 3k) · 1

3(2i− j + 2k) =

23

(2− 2 + 6) = 4.

Rezulta ca unghiul θ dintre vectorii (∇ϕ)(M0) si s este ascutit.

3.3 Campuri vectoriale. Linii si suprafete de camp

Definitia 3.3.1. Se numeste camp vectorial o functie vectoriala de variabila vectoriala definita pe un domeniuD ⊂ R3.

Functia vectoriala v care defineste un camp vectorial pe D ⊂ R3 se poate scrie ın una din formele:

v = v(P ); v = v(r); v = v(x); v = v(x, y, z), (3.30)

unde r este vectorul de pozitie al punctului P ∈ D, care, ın reperul R = O; i, j,k, are expresia analitica

r =−→OP= x i + y j + z k, (3.31)

unde O este originea reperului, iar i, j,k este o baza ortonormata ın R3.


Notandv = v1 i + v2 j + v3 k, (3.32)

unde vm = vm(x, y, z), m = 1, 2, 3, observam ca studiul unei functii vectoriale de trei variabile reale (sau devariabila vectoriala), adica a unui camp vectorial, se reduce la studiul a trei functii reale de trei variabile reale(a trei campuri scalare tridimensionale).

In cele ce urmeaza, vom presupune ca functia vectoriala care defineste un camp vectorial pe domeniultridimensional D este continua, are derivate partiale continue ın D care nu se anuleaza ın nici un punct din D.

Definitia 3.3.2. Se numeste linie de camp ın D a campului vectorial v, o curba stramba (L) ⊂ D cuproprietatea ca tangenta ın fiecare punct P ∈ (L) are ca vector director pe v(P ).

Cum un alt vector director al tangentei ın punctul P (x, y, z) ∈ (L) este diferentiala vectorului (3.31)

dr = dx i + dy j + dz k (3.33)

avem ca v si dr sunt vectori directori ai aceleiasi drepte, adica ei sunt coliniari.In concluzie, coordonatele acestor doi vectori directori trebuie sa fie proportionale si deci

dx

v1(x, y, z)=

dy

v2(x, y, z)=

dz

v3(x, y, z). (3.34)

Definitia 3.3.3. Sistemul simetric (3.34) se numeste sistemul diferential al liniilor de camp ın D acampului vectorial v = (v1, v2, v3) ∈ F(D,R3), unde F(D,R3) este spatiul liniar al functiilor vectoriale definitepe domeniul D.

Observatia 3.3.1. In baza teoremei de existenta si unicitate a solutiei unui sistem simetric, rezulta ca prinorice punct al domeniului D trece cate o singura linie de camp a campului vectorial v = (v1, v2, v3) ∈ F(D,R3).

Definitia 3.3.4. Se numeste suprafata de camp a unui camp vectorial, orice suprafata generata de o liniede camp a acelui camp vectorial.

Teorema 3.3.1. Conditia necesara si suficienta ca o suprafata (S) sa fie suprafata de camp a campului vectorialv ∈ F(D,R3) este ca vectorul v(P ) sa fie continut ın planul tangent la suprafata (S) ın punctul P ∈ (S).

Demonstratie. Necesitatea. O linie de camp (G) a campului vectorial v este ansamblul a doua integrale primeindependente functional ale sistemului simetric (3.34)

(G)

ψ1(x, y, z) = C1

ψ2(x, y, z) = C2,(3.35)

unde ψ1, ψ2 sunt doua integrale prime independente functional.Pentru ca (G) din (3.35) sa genereze o suprafata, parametrii C1 si C2 trebuie sa fie legati printr–o relatie de

formaΦ(C1, C2) = 0, (3.36)


numita relatie de conditie si ca, suprafata de camp corespunzatoare conditiei (3.36) se obtine eliminand con-stantele arbitrare C1 si C2 ıntre (3.35) si (3.36). Obtinem

Φ(ψ1(x, y, z), ψ2(x, y, z)) = 0, (3.37)

deci o ecuatie de forma(S) : F (x, y, z) = 0 (3.38)

ın care recunoastem ecuatia carteziana implicita a unei suprafete (S). In plus, ın orice punct P ∈ (S), vectorulv(P ) este tangent suprafetei de ecuatie (3.37) si deci continut ın planul tangent ın P la suprafata (S), deoarecev(P ) este tangent la linia de camp care trece prin P si genereaza suprafata (S).Suficienta. Trebuie sa aratam ca orice suprafata (S) de ecuatie (3.38) cu proprietatea ca v(P ) este continutın planul tangent ın punctul P la (S) este generata de liniile de camp ale campului vectorial v.

Ecuatia (3.38) poate fi considerata ca o suprafata de nivel a campului scalar F.Se stie ca un vector coliniar si de acelasi sens cu sensul de crestere al functiei F ın punctul P (x, y, z) ∈ (S)

este(∇F )(x, y, z) =

∂F

∂x(x, y, z) i +

∂F

∂y(x, y, z) j +

∂F

∂z(x, y, z) k. (3.39)

Deoarece vectorul (3.39) este ortogonal vectorului v(P) continut ın planul tangent ın P la suprafata (S),re-zulta ca produsul lor scalar este nul, deci

v1(x, y, z)∂F

∂x(x, y, z) + v2(x, y, z)

∂F

∂y(x, y, z) + v3(x, y, z)

∂F

∂z(x, y, z) = 0, (3.40)

ceea ce arata ca functia F (x, y, z) din (3.38) verifica o ecuatie cu derivate partiale de ordinul ıntai omogena. Darorice solutie a ecuatiei diferentiale (3.40) este generata de curbele integrale ale sistemului caracteristic asociat,adica de (3.34), iar curbele caracteristice ale sale sunt liniile de camp ale campului vectorial v ∈ F(D,R3).Teorema este astfel demonstrata. q.e.d.

Definitia 3.3.5. Campul vectorial v ∈ F(D,R3) se numeste biscalar daca exista functia scalara derivabilaϕ ∈ F(D) si functia diferentiabila F ∈ F(D), astfel ıncat sa avem

v = ϕgradF = ϕ∇F. (3.41)

Derivata dupa o directie s a unui camp vectorial v ∈ F(D,R3) ıntr–un punct x ∈ D se defineste la fel ca lacampurile scalare

dvds

(x) = limt→0

v(x + ts)− v(x)t

. (3.42)

Daca functia v are derivate partiale de ordinul ıntai continue, existenta limitei (3.42) este asigurata si

dvds

(x) =dv1

ds(x) i +

dv2

ds(x) j +

dv3

ds(x) k. (3.43)

Daca se tine cont de (3.14), (3.43) devine

dvds

(x) = s1∂v∂x

(x) + s2∂v∂y

(x) + s3∂v∂z

(x). (3.44)

Relatia (3.44) constituie expresia carteziana a derivatei campului vectorial v, ın punctul x ∈ D, dupa directiade versor s = (s1, s2, s3), expresie care se mai poate scrie ın forma

dvds

(x) =(s1

∂

∂x+ s2

∂

∂y+ s3

∂

∂z

)v. (3.45)


Deoarece operatorul s1∂

∂x+s2

∂

∂y+s3

∂

∂zpoate fi interpretat formal ca produsul scalar dintre s si operatorul

vectorial ∇, se poate adopta conventia de scriere

s ·∇ = s1∂

∂x+ s2

∂

∂y+ s3

∂

∂z. (3.46)

Cu aceasta conventie si cu renuntarea la mentionarea variabilei x, formula de calcul (3.45) ia forma

dvds

= (s ·∇) v. (3.47)

Exercitiul 3.3.1. Sa se determine derivata campului vectorial v(x, y, z) = xy2i + x2yj + z(x2 + y2)k dupadirectia de parametri directori (1, 3,−1). Care este locul geometric al punctelor din spatiu pentru care derivatadupa directia s este normala vectorului v = (1, 1, 1)?

Solutie. Sa calculam versorul directiei mentionate. Fiindca norma vectorului v este ‖v‖ =√

v · v =√

11,

rezulta ca versorul directiei dupa care trebuie sa derivam este s =1‖v‖

v =1√11

(i + 3j− k).

Folosind (3.47), gasim

dvds

=1√11

[(y2 + 6xy)i + (2xy + 3x2)j + (2xz + 6yz − x2 − y2)k

].

Pentru a determina locul geometric cerut, impunem conditia de ortogonalitatedvds·v = 0 si obtinem ecuatia

x2 + 4xy + xz + 3xz = 0 ce reprezinta ecuatia unei cuadrice (suprafata algebrica de ordinul al doilea).Analizand invariantii cuadricei constatam ca locul geometric este un con patratic cu varful ın origine.

Exercitiul 3.3.2. Sa se determine liniile de camp ale campurilor vectoriale:

10. v(x, y, z) = x i + y j + (z +√x2 + y2 + z2)k;

20. v(x, y, z) = (xy − 2z2)i + (4xz − y2)j + (yz − 2x2)k;

30. v(x, y, z) = (xz − y)i + (yz − x)j + (z2 − 1)k;

40. v(x, y, z) = (x+ y)i + (y − x)j− 2zk.

Solutie. Liniile de camp sunt curbele integrale ale respectiv sistemelor simetrice:

10.dx

x=

dy

y=

dz

z +√x2 + y2 + z2

;

20.dx

xy − 2z2=

dy

4xz − y2=

dz

yz − 2x2;

30.dx

xz − y=

dy

yz − x=

dz

z2 − 1;

40.dx

x+ y=

dy

y − x=

dz

−2z.


Se obtin combinatiile integrabile:

10.dx

x=dy

y, xdx+ ydy + (z −

√x2 + y2 + z2)dz = 0;

20. ydx+ xdy + 2zdz = 0, 2xdx+ zdy + ydz = 0;

30.dx− dy

(x− y)(1 + z)=

dz

z2 − 1,

xdx− ydy(x2 − y2)z

=dz

z2 − 1;

40.xdx+ ydy

x2 + y2=

dz

−2z,

dy

dx=y − xy + x

,

care conduc respectiv la integralele prime:

10.y

x= C1, z −

√x2 + y2 + z2 = C2;

20. z2 + xy = C1, x2 + yz = C2;

30.x− yz − 1

= C1,x+ y

z + 1= C2;

40. (x2 + y2)z = C1, ln (x2 + y2) + 2arctgy

x= C2.

Curbele integrale ale sistemelor simetrice de mai sus sunt:

10.

y

x= C1

z −√x2 + y2 + z2 = C2

; 20.

z2 + xy = C1

x2 + yz = C2

;

30.

x− yz − 1

= C1

x+ y

z + 1= C2

; 40.

(x2 + y2)z = C1

ln (x2 + y2) + 2arctgy

x= C2.

Primul camp vectorial are liniile de camp la intersectia planelor y = C1x cu paraboloizii de rotatie ın jurulaxei Oz de ecuatie

z −√x2 + y2 + z2 = C2.

De mentionat ca fiecare plan al familiei y = C1x nu trebuie sa contina dreapta de intersectie a acestuia cuplanul Oyz.

Liniile de camp al celui de al doilea camp vectorial se gasesc la intersectia hiperboloizilor:

z2 + xy = C1; x2 + yz = C2.

Al treilea camp vectorial are liniile de camp drepte rezultate din intersectia familiilor de plane:

x− y = C1(z − 1); x+ y = C2(z + 1).

Din fiecare dreapta se scot punctele de cote −1 si 1.

Curbele de intersectie ale suprafetelor de rotatie ın jurul axei Oz, de ecuatii z =C1

x2 + y2, si suprafetele

cilindrice cu generatoarele paralele cu axa Oz, de ecuatii ln (x2 + y2)+2arctgy

x= C2, reprezinta liniile de camp

ale ultimului camp vectorial.


Exercitiul 3.3.3. Sa se determine suprafetele de camp ale campurilor vectoriale de mai jos care trec princurbele (Γ) specificate alaturat

1. v(x, y, z) = xy2 i + x2y j + (x2 + y2)z k, (Γ) :

x = 2y,

z = 1,

2. v(x, y, z) = xi + yj + (z − x2 − y2 + 1)k, (Γ) :

x− z = a2,

x2 + y2 = a2−1,

3. v(x, y, z) = xz i + yz j + (x2 + y2 + z2) k, (Γ) :

x = 1,

z = y2,

4. v(x, y, z) = x i + y j + (z − x2 sin y) k, (Γ) :

x = y2,

z = 0.

Solutie. Sistemele diferentiale ale liniilor de camp sunt:

1.dx

xy2=

dy

x2y=

dz

z(x2 + y2);

2.dx

x=dy

y=

dz

z − x2 − y2 + 1;

3.dx

xz=dy

yz=

dz

x2 + y2 + z2;

4.dx

x=dy

y=

dz

z − x2 sin y.

1. O combinatie integrabila a primului sistem simetric este data de primele doua rapoarte egale care, dupasimplificare cu x2y2, conduce la xdx− ydy = 0 si din care se obtine integrala prima x2 − y2 = C1.

O a doua combinatie integrabila se obtine scriind

dx

xy2

=

dy

y

x2=

dz

zx2 + y2

.

Daca ultimul raport ıl egalam cu suma primelor doua, dupa simplificarea cu x2 + y2, obtinem combinatiaintegrabila

dx

x+dy

y=dz

z

care furnizeaza a doua integrala prima independenta

z

xy= C2.

Atunci, generatoarele (G) ale suprafetei de camp au ecuatiilex2 − y2 = C1

z

xy= C2.

Dar, generatoarele (G) trebuie sa se sprijine pe curba directoare Γ.


Pentru aceasta, sistemul format de ecuatiile lor

x2 − y2 = C1

z

xy= C2

x = 2y,

z = 1

trebuie sa fie compatibil. Fiind un sistem de patru ecuatii cu trei necunoscute x, y si z, el va fi compatibil numaidaca constantele C1, C2 satisfac relatia de conditie

2C1C2 = 3.

Inlocuind pe C1 si C2 din integralele prime gasim ca suprafata de camp are ecuatia carteziana explicita

z =3xy

2(x2 − y2).

2. O integrala prima se vede imediat si anume

x

y= C1

si se obtine integrand primele doua rapoarte egale. Inmultind primele doua rapoarte cu x, respectiv y siadunandu–le, obtinem un nou raport egal cu primele trei. Un al cincilea raport egal cu primele patru se obtineadunand al treilea raport cu al patrulea. Combinatia obtinuta prin egalarea ultimelor doua rapoarte

d(x2 + y2)2(x2 + y2)

=

12d(x2 + y2) + dz

z + 1

este integrabila si, dupa efectuarea notatiei t = x2 + y2, se obtine ecuatia diferentiala de ordinul ıntai liniara sineomogena

dz

dt− 1

2tz =

1− t2t

a carei solutie generala estez = C2

√t− 1− t.

Revenind la notatie, constatam ca cea de a doua integrala prima este

z + 1 + x2 + y2√x2 + y2

= C2.

Suprafata de camp se obtine rezolvand sistemul

x

y= C1

z + 1 + x2 + y2√x2 + y2

= C2

x− z = a2

x2 + y2 = a2 − 1.

Acest sistem este compatibil daca si numai daca este satisfacuta relatia de conditie

C1 = C2

√1 + C2

1 .


Inlocuind pe C1 si C2 gasim ca suprafata de camp are ecuatia

z = −x2 − y2 + x− 1.

3. O integrala prima estey

x= C1. Inmultim primul raport cu x, al doilea cu y, alcatuim din acestea un nou

raport egal cu celelalte ce are la numarator suma numaratorilor celor doua rapoarte modificate si la numitorsuma numitorilor acelorasi rapoarte si obtinem ın acest fel combinatia integrabila

d(x2 + y2)2z(x2 + y2)

=dz

x2 + y2 + z2.

Cu notatia t = x2 + y2, combinatia integrabila se reduce la ecuatia diferentiala Bernoulli

dz

dt− 1

2tz =

12

1z.

Substitutia z2 = u reduce aceasta ecuatie la ecuatia diferentiala liniara

u′ − 1tu = 1,

care are solutia generala u = t C2 + t ln t.Revenind la vechile variabile, gasim ca cea de a doua integrala prima este

z2 − (x2 + y2) ln (x2 + y2)x2 + y2

= C2.

Pentru a determina suprafata de camp trebuie sa gasim suprafata generata de curbele integrale ale sistemuluisimetric al liniilor de camp care trebuie sa se sprijine pe curba Γ. Se procedeaza ca la celelalte exercitii, se gasesterelatia de conditie

1C4

1

−(

1 +1C2

1

)ln(

1 +1C2

1

)1 +

1C2

1

= C2,

de unde, eliminand constantele arbitrare cu ajutorul integralelor prime, deducem ca suprafata de camp areecuatia

z2 =y4

x2+ 2(x2 + y2) lnx.

4. Integralele prime ale sistemului simetric al liniilor de camp suntx

y= C1,

z

y− x

ycos y = C2

si ansamblul acestora reprezinta ecuatiile liniilor de camp.Relatia de conditie este C2

1 cosC1 +C2 = 0, de unde deducem ca suprafata de camp care trece prin curba Γare ecuatia carteziana explicita

z =x2

y

(cos y − cos

x

y

).

3.4 Integrale cu vectori si campuri scalare

Sub aceasta denumire se ınteleg diverse tipuri de integrale (definite sau Riemann, curbilinii, de suprafata, dublesi triple) al caror integrand contin campuri vectoriale sau campuri scalare. Vom considera campuri vectoriale deforma v = (v1, v2, v3) ∈ F(D,R3) sau de forma w = (w1, w2, w3) ∈ F(D,R3), unde D ⊂ R3 este un domeniu sicampuri scalare de forma ϕ ∈ F(D), toate satisfacand conditiile cerute astfel ıncat integralele mentionate maisus sa aiba sens. Vom prezenta pe scurt aceste tipuri de integrale.


3.4.1 Integrale curbilinii

Fie AB o curba ın domeniul D care satisface conditiile de regularitate pana la ordinul care va fi necesar. O curbacare satisface conditiile de regularitate se numeste curba neteda. Conditiile de regularitate asigura existentatangentei ın orice punct al ei, care variaza continuu odata cu punctul curbei. Daca A coincide cu B, curbacorespunzatoare se numeste ınchisa. Curba se zice orientata daca s–a precizat un sens de parcurs pe ea.

Integrala curbilinie pe curba AB a campului vectorial v(P ) sau a campului scalar ϕ(P ) este una din urma-toarele: ∫

AB

v · dr;∫AB

v × dr;∫AB

ϕdr, (3.48)

unde dr = dx i + dy j + dz k este diferentiala vectorului de pozitie r = x i + y j + z k.Avand ın vedere expresiile analitice ale produselor de vectori, integralele curbilinii mentionate ın (3.48) se

exprima dupa cum urmeaza: ∫AB

v · dr =∫AB

v1dx+ v2dy + v3dz; (3.49)∫AB

v × dr = i∫AB

v2 dz − v3 dy + j∫AB

v3 dx− v1 dz + k∫AB

v1 dy − v2 dx;

∫AB

ϕ(x, y, z)dr = i∫AB

ϕ(x, y, z)dx+ j∫AB

ϕ(x, y, z)dy + k∫AB

ϕ(x, y, z)dz.

Integralele curbilinii care apar ın membrul al doilea ın oricare din relatiile de mai sus au forma generala

I =∫AB

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz.

La studiul integralelor curbilinii de speta a doua s–a specificat faptul ca daca v ∈ F(D,R3) reprezinta uncamp de forte pe D, integrala curbilinie (3.49) este lucrul mecanic al fortei v(P ) cand P parcurge curba AB.

Integrala curbilinie (3.49) se mai numeste integrala de linie a vectorului v(P ). Integrala de linie pe curbaınchisa (C), parcursa o singura data, se numeste circulatia vectorului v(P ) pe curba (C).

Integralele de linie au urmatoarele proprietati:∫AB

(λv + µw) · dr = λ

∫AB

v · dr + µ

∫AB

w · dr;

∫AB

v · dr =∫AP

v · dr +∫PB

v · dr, P ∈ (AB), AP ∪ PB = AB;

∣∣∣ ∫AB

v · dr∣∣∣ ≤ ∫

AB

|v · dr| ≤∫AB

‖v‖ ds ≤M∫AB

ds = M · L;∫AB

v(x, y, z) · dr =(v · dr

ds

)(x0, y0, z0) · L, (3.50)

unde: λ si µ sunt scalari arbitrari; L este lungimea arcului AB; M este valoarea maxima a normei vectoruluiv(P ) pe arcul (AB); Q(x0, y0, z0) este un punct determinat pe arcul de curba (AB).

Proprietatea (3.50) este o teorema de medie analoaga primei teoreme de medie de la integrala definita.Celelalte tipuri de integrale curbilinii din (3.48) au proprietati similare.Fie campul vectorial continuu v ∈ C(D,R3).

Definitia 3.4.1. Integrala curbilinie I =∫C

v · dr se numeste independenta de drum pe domeniul D ⊂ R3

daca oricare ar fi punctele M1,M2 ∈ D si oricare ar fi arcele de curba (M1αM2) si (M1βM2), ambele incluseın D si cu sensurile de parcurs de la M1 catre M2, avem∫

M1αM2

v · dr =∫M1βM2

v · dr.


Teorema 3.4.1. Integrala curbilinie I =∫C

v · dr este independenta de drum pe D daca si numai daca I = 0

oricare ar fi curba ınchisa neteda sau neteda pe portiuni (C) ⊂ D.

Demonstratie. Daca M1,M2 ∈ D sunt puncte arbitrare si (M1αM2) ⊂ D, (M1βM2) ⊂ D sunt arce arbitrare,netede pe portiuni, atunci curba (M1αM2βM1) este ınchisa si neteda pe portiuni si, reciproc, fiind data o curbaorientata ınchisa, neteda pe portiuni, (C) ⊂ D si M1,M2 ∈ (C) doua puncte alese arbitrar, curba C se prezintaca o juxtapunere de doua arce netede pe portiuni. Din aceste afirmatii si Definitia 3.4.1 rezulta concluziateoremei. q.e.d.

3.4.2 Integrale de suprafata

Domeniul pe care se efectueaza integrarea este o portiune de suprafata (Σ) de ecuatie vectoriala

(Σ) : r = r(u, v), (u, v) ∈ (∆ ∪ γ) ⊂ R2, (3.51)

unde ∆ este un domeniu plan iar frontiera acestuia γ este o curba neteda ınchisa. Fie (C) frontiera suprafetei(Σ). Aceasta curba este corespunzatoare prin transformarea (3.51) a curbei ınchise γ.

Presupunem ca suprafata (Σ) este neteda, ceea ce ınseamna ca admite plan tangent ın fiecare punct al ei,care variaza continuu odata cu punctul suprafetei. Prin urmare, exista si sunt continue pe ∆ derivatele partiale

ru(u, v) =∂r∂u

(u, v), rv(u, v) =∂r∂v

(u, v), (u, v) ∈ ∆,

care satisfac conditia de regularitate ru(u, v)× rv(u, v) 6= 0.In aceste conditii, functia

n(u, v) =ru(u, v)× rv(u, v)‖ru(u, v)× rv(u, v)‖

= n1i + n2j + n3k

este versorul normalei ın punctul M ∈ (Σ) corespunzator punctului (u, v) ∈ ∆, iar n1, n2, n3 sunt cosinusuriledirectoare ale acestui versor.

Dupa acelasi criteriu ca si la integrale curbilinii, introducem urmatoarele integrale de suprafata de spetaıntai: ∫∫

(Σ)

(n ·w)dσ;∫∫(Σ)

(n×w)dσ;∫∫(Σ)

ϕn dσ, (3.52)

unde dσ este elementul de arie al suprafetei (Σ).In cazul cand suprafata este data prin ecuatia vectoriala (3.51), expresia elementului de arie dσ este

dσ =√E(u, v)G(u, v)− F 2(u, v) dudv,

unde E(u, v), F (u, v) si G(u, v) sunt coeficientii lui Gauss2:

E(u, v) = r2u(u, v); F (u, v) = ru(u, v) · rv(u, v); F (u, v) = r2

v(u, v).

Integralele de suprafata cu vectori din (3.52) se calculeaza dupa cum urmeaza:∫∫(Σ)

(n ·w)dσ =∫∫∆

(n1w1 + n2w2 + n3w3)√EG− F 2 dudv;

2Gauss, Johann Carl Friederich (1777 – 1855), om de stiinta si matematician german cu contributii semnificative ın domeniile:teoria numerelor; statistica matematica; analiza matematica; geometrie diferentiala; geodezie; geofizica; electrostatica; astronomie;si optica.


∫∫(Σ)

(n×w)dσ = i∫∫(Σ)

(n2w3 − n3w2)dσ + j∫∫(Σ)

(n3w1 − n1w3)dσ + k∫∫(Σ)

(n1w2 − n2w3)dσ; (3.53)

∫∫(Σ)

ϕn dσ = i∫∫(Σ)

n1ϕdσ + j∫∫(Σ)

n2ϕdσ + k∫∫(Σ)

n3ϕdσ. (3.54)

Integralele din membrul doi al egalitatilor (3.53) si (3.54) se reduc la integrale duble pe ∆ conform formulei decalcul a unei integrale de suprafata de speta ıntai [13].

Definitia 3.4.2. O expresie de forma (n · w)dσ se numeste flux elementar al campului vectorial w prin

elementul orientat de suprafata ndσ, iar integrala de suprafata de speta ıntai∫∫Σ

(n ·w) dσ se numeste fluxul

total al campului w prin suprafata (Σ).

Proprietatile integralelor de suprafata (3.52) sunt analoage celor prezentate pentru integrale curbilinii. Prinurmare, avem ∫∫

(Σ)

n · (λv + µw) dσ = λ

∫∫(Σ)

(n · v)dσ + µ

∫∫(Σ)

(n ·w)dσ; (3.55)

∫∫(Σ)

(n ·w)dσ =∫∫

(Σ1)

(n ·w)dσ+∫∫

(Σ2)

(n ·w)dσ, ; (3.56)

∣∣∣ ∫∫(Σ)

(n ·w)dσ∣∣∣ ≤∫∫

(Σ)

|(n ·w)|dσ ≤∫∫(Σ)

‖w‖ dσ ≤M∫∫(Σ)

dσ = M AΣ; (3.57)

∫∫(Σ)

n ·w dσ = (n ·w)(x0, y0, z0)AΣ, (3.58)

unde: λ si µ sunt scalari arbitrari; Σ1 si Σ2 sunt submultimi ale suprafetei Σ pentru care Σ1 ∪ Σ2 = Σ,Σ1 ∩Σ2 = ∅; AΣ este aria suprafetei (Σ); M este valoarea maxima a normei vectorului w(P ) pe suprafata (Σ);Q(x0, y0, z0) este un punct determinat al suprafetei Σ.

Proprietatea (3.58) este o teorema de medie analoaga primei teoreme de medie din teoria integralelor definite.Celelalte integrale de suprafata din (3.52) au proprietati asemanatoare celor prezentate ın (3.55)− (3.57).Este posibil ca suprafata neteda (Σ) sa fie reprezentata cartezian explicit prin ecuatia

(Σ) : z = f(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2, (3.59)

caz ın care, elementul de arie dσ al suprafetei are forma

dσ =√

1 + p2 + q2 dxdy,

undep = p(x, y) =

∂z

∂x(x, y), q = q(x, y) =

∂z

∂y(x, y),

iar versorul normalei n la fata superioara a suprafetei are expresia analitica

n = − p√1 + p2 + q2

i− q√1 + p2 + q2

j +1√

1 + p2 + q2k. (3.60)


In cazul mentionat de (3.59) si (3.60), reducerea unei integrale de suprafata∫∫(Σ)

ϕ(x, y, z) dσ la o integrala

dubla se face cu ajutorul formulei de calcul∫∫(Σ)

ϕ(x, y, z) dσ =∫∫D

ϕ(x, y, f(x, y))√

1 + p2 + q2 dxdy. (3.61)

Folosind (3.59)− (3.61) se pot transpune cu usurinta toate rezultatele stabilite ın cazul cand suprafata (Σ)este data prin ecuatia vectoriala (3.51). Pentru aceasta trebuie efectuata schimbarea de variabile x = x(u, v),y = y(u, v) ın integrala dubla (3.61).

Afirmatii asemanatoare au loc si atunci cand suprafata (Σ) este data implicit printr–o ecuatie de formaF (x, y, z) = 0. Astfel,

p = −

∂F

∂x∂F

∂z

, q = −

∂F

∂y∂F

∂z

,

iar versorul normalei la suprafata (Σ) ın punctul P (x, y, z) ∈ (Σ) este

n(P ) =(∇F )(x, y, z)‖(∇F )(x, y, z)‖

.

3.4.3 Integrale triple (de volum)

Fie Ω ⊂ R3 un domeniu carabil, deci o multime care are volum. Elementul de volum, notat cu dω, are expresiadω = dxdydz.

Integralele de volum sau triple care ne vor interesa sunt:∫∫∫Ω

ϕdω;∫∫∫

Ω

v dω. (3.62)

Prima din integralele (3.62) a fost studiata aratandu–se ca, ın anumite ipoteze asupra domeniului Ω, ea sereduce la o iteratie de integrale simple. De exemplu, daca Ω este un domeniu simplu ın raport cu axa Oz iarproiectia sa pe planul xOy este un domeniu simplu ın raport cu axa Oy, atunci

Ω = (x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y).

Astfel, ∫∫∫Ω

ϕdω =∫ b

a

dx

∫ y2(x)

y1(x)

dy

∫ z2(x,y)

z1(x,y)

ϕ(x, y, z) dz.

A doua integrala (3.62) se reduce la calculul a trei integrale de tipul celei precedente,∫∫∫Ω

v dω = i∫∫∫

Ω

v1 dω + j∫∫∫

Ω

v2 dω + k∫∫∫

Ω

v3 dω,

fiecareia din integralele membrului drept urmand sa i se aplice o formula de calcul.Prezentam, fara demonstratie, unele proprietati ale integralelor triple:∫∫∫

Ω

(λv + µw)dω = λ

∫∫∫Ω

vdω + µ

∫∫∫Ω

wdω;


∫∫∫Ω

vdω =∫∫∫Ω1

vdω+∫∫∫Ω2

vdω;

∣∣∣ ∫∫∫Ω

v(P ) dω∣∣∣ ≤∫∫∫

Ω

‖v(P )‖dω ≤M∫∫∫

Ω

dω = M Vol(Ω),

unde Ω1, Ω2 sunt astfel ıncat Ω1 ∪ Ω2 = Ω, Int Ω1 ∩ Int Ω2 = ∅, M = maxP∈Ω‖v(P )‖ si Vol(Ω) este volumul

domeniului Ω.

3.4.4 Formula integrala Gauss–Ostrogradski. Consecinte

Sa consideram domeniul tridimensional V a carui frontiera este suprafata ınchisa neteda S si fie (x1, x2, x3)coordonatele carteziene ale unui punct oarecare P ∈ V ∪ S. Suprafata S fiind neteda, ın fiecare punct P ∈ Sexista versorul n = (n1, n2, n3) al normalei exterioare. Astfel, avem un camp vectorial definit ın punctele P ale

suprafetei care depinde de variabila vectoriala x =−→OP= x1i + x2j + x3k.

Consideram v = (v1, v2, v3) ∈ F(V ∪ S,R3) un camp vectorial continuu pentru care coordonata vi arederivata partiala vi,i continua ın V.

In aceste ipoteze are loc formula integrala Gauss–Ostrogradski 3

∫∫S

(n1v1 + n2v2 + n3v3)dσ =∫∫∫V

(v1,1 + v2,2 + v3,3)dω, (3.63)

care se poate scrie si ın forma ∫∫S

3∑i=1

nivi dσ =∫∫∫V

3∑i=1

vi,i dω. (3.64)

In particular, considerand pe rand: v1 = 1, v2 = 0, v3 = 0; v1 = 0, v2 = 1, v3 = 0; v1 = 0, v2 = 0, v3 = 1,formula (3.63) devine: ∫∫

S

n1 dσ = 0;∫∫S

n2 dσ = 0;∫∫S

n3 dσ = 0. (3.65)

Relatiile (3.65) pot fi scrise unitar ın forma ∫∫S

n dσ = 0.

Daca alegem succesiv pentru campul vectorial v una din urmatoarele expresii analitice:

(x1, 0, 0); (0, x1, 0); (0, 0, x1);

(x2, 0, 0); (0, x2, 0); (0, 0, x2);

(x3, 0, 0); (0, x3, 0); (0, 0, x3),

3Ostrogradski, Mihail Vasilevici (1801 – 1862), matematician si fizician rus, nascut ın Ucraina. A fost discipol al lui LeonhardEuler. Este considerat unul din cei mai importanti matematicieni ai Rusiei Tariste.


din (3.64) obtinem ∫∫S

n1x1dσ = vol(V );∫∫S

n2x1dσ = 0;∫∫S

n3x1dσ = 0;

∫∫S

n1x2dσ = 0;∫∫S

n2x2dσ = vol(V );∫∫S

n3x2dσ = 0;

∫∫S

n1x3dσ = 0;∫∫S

n2x3dσ = 0;∫∫S

n3x3dσ = vol(V ).

Aceste relatii pot fi scrise concentrat ın forma∫∫S

nixj dσ = δij vol(V ), (3.66)

unde indicii i si j iau oricare din valorile 1, 2, 3, δij este simbolul Kronecker4 (δii = 1, δij = 0, daca i 6= j), iarvol(V ) este volumul domeniului V.

Din (3.66) se pot deduce relatiile∫∫S

x1ndσ = vol(V )i;∫∫S

x2ndσ = vol(V )j;∫∫S

x3ndσ = vol(V )k. (3.67)

3.4.5 Camp potential

Definitia 3.4.3. Un camp vectorial continuu v ∈ F(D,R3) se numeste camp potential daca exista campulscalar ϕ ∈ C1(D), numit potentialul scalar al campului vectorial v, astfel ıncat

v(M) = (∇ϕ)(M), (∀) M ∈ D.

Definitia 3.4.4. Un camp de forte F ∈ F(D,R3) se numeste camp conservativ de forte daca exista campulscalar U ∈ C1(D), numita functie de forta, astfel ıncat F = ∇U.

Exemplul 3.4.1. Campul gravitational este un camp conservativ de forte.

Solutie. Intr-adevar, sa presupunem ca originea reperului Oxyz este ın centrul pamantului. Se stie ca forta Fcu care este atras de catre pamant un punct material M(r) este

F(r) = −Cr3

r,

unde C este o constanta, iar r este marimea vectorului de pozitie r a punctului M. Deoarece:

∂

∂x

(1r

)= − x

r3;

∂

∂y

(1r

)= − y

r3;

∂

∂z

(1r

)= − z

r3,

4Kronecker, Leopold (1823 - 1891), matematician german, printre contributiile importante ale sale numarandu–se lema luiKronecker, produsul lui Kronecker, delta lui Kronecker si teorema lui Kronecker.


rezulta ca putem reprezenta campul gravitational F ın forma

F(M) = (∇U)(M),

unde U(M) = C/r.Prin urmare, campul vectorial F este un camp conservativ de forte pe R3 \ 0.

Teorema 3.4.2. Fie campul vectorial v ∈ C1(D,R3), unde D este un domeniu tridimensional.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

• v este un camp potential;

• integrala curbilinie∫C

v · dr este independenta de drum pe D;

• expresia diferentiala ω = v · dr este o diferentiala totala pe D.

Demonstratie. Faptul ca prima afirmatie implica celelalte doua este evident.Sa presupunem ca ω = v · dr este diferentiala totala pe D. Atunci exista functia U diferentiabila pe D astfel

ıncat ω = dU = (∇U) · (dr) din care deducem ca∫AB

v · dr =∫AB

dU = U(B)− U(A)

si deci integrala curbilinie depinde doar de extremitatile A si B ale curbei (C). Din ω = (∇U) · (dr) = v · drsi unicitatea expresiei diferentialei unei functii obtinem v = ∇U, ceea ce arata ca v este un camp potential.Asadar, prima afirmatie este implicata de ultima.

Daca integrala curbilinie∫C

v ·dr este independenta de drum pe D, considerand arcul de curba AM ⊂ D cu

extremitatea A fixa si cealalta extremitete M variabila, functia U(M) =∫AM

v · dr are proprietatea ∇U = v,

adica v este un camp potential. q.e.d.

3.5 Divergenta unui camp vectorial

Fie Ω ⊂ R3 un domeniu avand ca frontiera suprafata ınchisa neteda sau neteda pe portiuni Σ si v ∈ F(Ω∪Σ,R3)un camp vectorial continuu pe Ω ∪ Σ, diferentiabil ın orice punct M(x1, x2, x3) ∈ Ω.

Considerand un punct P0 ∈ Ω, de vector de pozitie x0 = (x10, x20, x30), exista domenii V ⊂ Ω astfel ıncatP0 ∈ V. Presupunem ca frontiera unui astfel de domeniu V este o suprafata ınchisa neteda S. Fie n = n(x)

versorul normalei exterioare ıntr–un punct oarecare P ∈ S de vector de pozitie−→OP= x = (x1, x2, x3).

Fie δ(V ) diametrul multimii V, adica maximul distantei dintre doua puncte oarecare M,Q ∈ V. Presupunemca domeniul V are volum si ca vol (V ) este volumul sau.

Cu aceste pregatiri, consideram raportul

Φvol (V )

=

∫∫S

(n(x) · v(x)

)dσ

vol (V ), (3.68)

dintre fluxul Φ al campului vectorial v prin suprafata S si vol(V ).

Definitia 3.5.1. Se numeste divergenta campului vectorial v, ın punctul P0, notata (div v)(P0) sau (∇ ·v)(x0), limita raportului (3.68) atunci cand diametrul domeniului V tinde la zero, adica


limδ(V )→0

∫∫S

(n(x) · v(x))dσ

vol (V )= (div v)(P0) = (∇ · v)(x0). (3.69)

Teorema 3.5.1. Daca v = v(P ) este camp vectorial diferentiabil ın x0 =−→OP 0 si exista constantele pozitive k1

si k2 astfel ıncat:aria (S) ≤ k1 δ

2(V ); vol (V ) ≥ k2 δ3(V ), (3.70)

atunci limita (3.69) exista si

(∇ · v)(x0) =3∑i=1

∂vi∂xi

(x0) =∂v1

∂x1(x0) +

∂v2

∂x2(x0) +

∂v3

∂x3(x0). (3.71)

Demonstratie. Din ipoteza diferentiabilitatii functiei vectoriale v de argument vectorial ın punctul x0 ∈ Drezulta ca are loc identitatea

v(x) = v(x0) + dv(x,x− x0) +α(x− x0)‖x− x0‖, (3.72)

unde dv(x,x−x0) = (dv)(x)(x−x0) = (i j k)(Jv(x0)

(X−X0

))este valoarea ın h = x−x0 = (i j k)

(X−X0

)a diferentialei functiei v ın punctul x0 = (i j k)X0, Jv(x0) =

∥∥∥ ∂vi∂xj

(x0)∥∥∥

3×3este matricea jacobiana a functiei

v = (v1, v2, v3) ın punctul x0, iar α este o functie vectoriala definita pe R3 cu proprietatea

limx→x0

α(x− x0) = α(0) = 0. (3.73)

In aceste relatii, X − X0 si X0 reprezinta matricea cu trei linii si o coloana a coordonatelor vectorilor x − x0

si respectiv x0 ın baza formata de versorii ortogonali i, j,k care, ımpreuna cu originea O, constituie reperulcartezian ortogonal Ox1x2x3.

Daca ınmultim ambii membri ai relatiei (3.72) cu n(x), integram pe suprafata S, tinem cont de relatiile(3.66) si (3.67) si ımpartim cu vol (V ), se obtine∫∫

S

n(x) · v(x) dσ

vol (V )=

3∑i=1

( ∂vi∂xi

)(x0) +

∫∫S

‖x− x0‖(n(x) ·α(x− x0)) dσ

vol (V ). (3.74)

Trecem ın membrul ıntai primul termen al membrului doi din (3.74) si apoi luam valoarea absoluta. A douaipoteza (3.70), faptul ca ‖x− x0‖ ≤ δ(V ) si inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz

|n(x) ·α(x− x0)| ≤ ‖n(x)‖ ‖α(x− x0)‖ = ‖α(x− x0)‖,

conduc la ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∫∫S

n(x) · v(x) dσ

vol (V )−

3∑i=1

( ∂vi∂xi

)(x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣≤

∫∫S

‖α(x− x0)‖ dσ

k2δ2(V ). (3.75)


Insa, din (3.73) rezulta ca functia α este continua ın h = x − x0 = 0 ceea ce atrage ca pentru orice ε > 0,exista µ(ε) > 0 astfel ıncat

‖α(x− x0)‖ ≤ k2

k1ε, (3.76)

oricare ar fi x ∈ S care satisface inegalitatea

‖x− x0‖ < µ(ε).

Putem considera ca domeniul V ⊂ Ω ce contine punctul x0 este astfel ales ıncat δ(V ) ≤ µ(ε). In acest caz,din (3.70), (3.75), (3.76) rezulta ca pentru orice ε > 0 exista µ(ε) > 0 astfel ıncat oricare ar fi domeniul V cuδ(V ) < µ avem ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∫∫S

n(x) · v(x) dσ

vol (V )−

3∑i=1

( ∂vi∂xi

)(x0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣< ε,

ceea ce conduce la relatia

limδ(V )→0

∫∫S

n · vdσ

vol(V )=

3∑i=1

( ∂vi∂xi

)(x0). (3.77)

Din (3.69) si (3.77) rezulta (3.71). q.e.d.

Demonstratia acestei teoreme nu ar fi fost posibila fara inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz [8]. 5 6

Deoarece divergenta campului vectorial v = (v1, v2, v3) ıntr–un punct oarecare M ∈ Ω este

(div v)(x, y, z) =∂v1

∂x(x, y, z) +

∂v2

∂y(x, y, z) +

∂v3

∂z(x, y, z), (3.78)

analizand (3.78), constatam ca ın membrul al doilea este rezultatul ınmultirii scalare a operatorului diferentialal lui Hamilton

∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

cu vectorul v si deci notatia ∇ · v pentru divergenta campului vectorial v este justificata.

Definitia 3.5.2. Un camp vectorial v ∈ F(D,R3), diferentiabil ın domeniul D, se numeste solenoidal dacadiv v = 0.

3.6 Rotorul unui camp vectorial

Sa consideram o directie arbitrara de versor a si fie (Π) planul perpendicular pe versorul a care trece printr-unpunct fixat P0 ∈ Ω In acest plan consideram o curba simpla ınchisa (C) care ınconjoara punctul P0. Curba (C)delimiteaza o portiune (S) de suprafata plana, a carei arie o notam tot cu S. Fie δ(S) diametrul multimii (S).

5Schwarz, Karl Herman Amandus (1843 – 1921), matematician german.6Buniakowski, Viktor Iakovlevici (1804 - 1889), matematician rus, membru si apoi vicepresedinte al Academiei de Stiinte din

Sankt Petersburg. In 1826 Buniakowski obtine o bursa la Paris avandu-l ca profesor pe Cauchy. Buniakovski a publicat peste150 lucrari din diverse domenii ale matematicii (ın special teoria numerelor, teoria probabilitatilor), precum si mecanica. In 1846publica un tratat de teoria probabilitatilor, ın care sunt prezentate realizarile ın domeniu ale lui Simeon Denis Poisson si Pierre–Simon Laplace. In 1875 s–a instituit ”Premiul Buniakovski” pentru matematicieni. In alte lucrari ulterioare se ocupa de statisticademografica, de determinarea erorilor de observatie si alte probleme similare. In ceea ce priveste teoria numerelor, da o nouademonstratie legii reciprocitatii patratice. Dar cel mai celebru rezultat al sau este cel din analiza matematica: inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz. Inegalitatea a fost publicata de Cauchy ın 1821. In 1859 Buniakovski a reformulat-o pentru calculul integral.A tradus ın limba rusa si a redactat multe din lucrarile lui Cauchy.


Pentru a introduce rotorul unui camp vectorial v ∈ F(Ω,R3), plecam de la circulatia Γ a acestuia pe curba(C) si sa calculam limita

limδ(S)→0

ΓS

= limδ(S)→0

∫C

v(x) · dr

S.

In acest scop, transformam raportul Γ/S ıntr–un raport dintre un flux pe o suprafata ınchisa (S) si volumuldomeniului V ınchis de aceasta suprafata, reducand astfel problema la cea prezentata ın paragraful precedent.Pentru aceasta, consideram portiunea din suprafata cilindrica, cu generatoarele paralele cu a, de ınaltimeconstanta h si avand una din baze portiunea de suprafata (S).

Notam cu (S1) cealalta baza a cilindrului, cu (S`) suprafata laterala a sa, iar cu dσ` elementul de arie alsuprafetei (S`).

Avand ın vedere ca dr = τ ds si ca h · ds = dσ`, rezulta ca

ΓS

=h ·∫C

v(x) · dr

h · S=

∫∫S`

v · τ dσ`

vol (V ), (3.79)

unde τ este versorul tangentei la curba (C) orientat astfel ıncat sa fie compatibil cu orientarea suprafetei (S).Insa τ , a si n` (normala exterioara la suprafata laterala a cilindrului) formeaza un triedru drept astfel caτ = a× n`. Atunci, (3.79) devine

ΓS

=

∫∫S`

(v × a) · n` dσ`

vol (V ). (3.80)

Deoarece integralele pe bazele cilindrului din integrantul care intra ın (3.80) sunt nule, ın baza celor deduse ınparagraful prercedent, rezulta ca

limδ(S)→0

ΓS

= limδ(V )→0

∫∫S

(v × a) · n dσ

vol (V )= (∇ · (v × a))(x0). (3.81)

Daca aplicam formula de calcul a divergentei, gasim ca limita din (3.81) se poate scrie ca produsul scalar dintrevectorul a si un anumit vector w(x0)

limδ(S)→0

ΓS

= a ·w(x0),

undew(x0)=(v3,2(x0)−v2,3(x0))i+(v1,3(x0)−v3,1(x0))j+(v2,1(x0)−v1,2(x0))k.

Definitia 3.6.1. Vectorul w(x0) se numeste rotorul campului vectorial v ın punctul x0 si se scrie:

w(x0) = (rot v)(x0).

Daca analizam expresia rotorului vedem ca aceasta se poate calcula cu ajutorul determinantului formal

(rot v)(x0) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(x0) = (∇× v)(x0).


Intr–un punct oarecare x, vom avea

(∇× v)(x) = (rot v)(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

v1(x) v2(x) v3(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Definitia 3.6.2. Un camp vectorial v ∈ F(D,R3), diferentiabil ın domeniul D, se numeste irotational saulamelar daca rot v = 0.

Teorema 3.6.1. Un camp potential v ∈ F(D,R3), al carui potential ϕ ∈ C2(D), este lamelar.

Demonstratie. Intr-adevar, campul vectorial v fiind potential, v(M) = gradϕ(M). Calculand rotorul acestuicamp, gasim

∇× v =( ∂2ϕ

∂x2∂x3− ∂2ϕ

∂x3∂x2

)i +( ∂2ϕ

∂x3∂x1− ∂2ϕ

∂x1∂x3

)j +( ∂2ϕ

∂x1∂x2− ∂2ϕ

∂x2∂x1

)k.

Din faptul ca ϕ ∈ C2(D), rezulta ca derivatele partiale mixte de ordinul doi ale sale sunt egale. Prin urmare, veste camp irotational sau lamelar, adica ∇× v = 0. q.e.d.

3.7 Reguli de calcul cu operatorul lui Hamilton

O parte a acestor reguli au fost mentionate ın (3.29), unde operatorul ∇ s–a aplicat unor functii scalare. Maimult, gradientul poate fi aplicat unui produs scalar a doua campuri vectoriale. Operatorul ∇ aplicat scalarunui camp vectorial conduce la divergenta acelui camp, iar daca ∇ se aplica vectorial unui camp vectorial seobtine rotorul acelui camp, adica

∇ϕ = gradϕ; ∇ · u = div u; ∇× v = rot v.

In baza celor prezentate mai sus, se pot demonstra urmatoarele formule de calcul cu operatorul ∇ a luiHamilton ın care, pentru simplitate, renuntam la scrierea variabilei vectoriale x):

∇ · (u + v) = ∇ · u + ∇ · v;

∇× (u + v) = ∇× u + ∇× v;

∇ · (ϕu) = ϕ(∇ · u) + u · (∇ϕ);

∇ · (u× v) = v · (∇× u)− u · (∇× v);

∇× (ϕu) = ϕ(∇× u)− u× (∇ϕ);

∇(u · v) = v × (∇× u) + u× (∇× v) + (v ·∇)u + (u ·∇)v;

∇× (∇× v) = ∇(∇ · v)−∇2v,


unde ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2este operatorul diferential al lui Laplace7 sau laplacian.

Avem

∇2ϕ = div (gradϕ) =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+∂2ϕ

∂z2.

Ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea

∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+∂2ϕ

∂z2= 0,

se numeste ecuatia lui Laplace. Orice solutie a ecuatiei Laplace se numeste functie armonica .Pentru alte operatii cu operatorul ∇, obtinem:

∇× (u× v) = u(∇ · v)− v(∇ · u) + (v ·∇)u− (u ·∇)v; (3.82)

∇× (∇ϕ) = rot (gradϕ) = 0; ∇ · (∇× v) = div (rot v) = 0.

3.8 Formule integrale

Fie (Σ) o suprafata ınchisa ce margineste domeniul Ω, care are urmatoarele proprietati:

• o dreapta paralela la axele de coordonate ale reperului cartezian ortogonal Oxyz intersecteaza suprafata(Σ) ın cel mult doua puncte;

• Ω se proiecteaza pe planul xOy dupa un domeniu D si cilindrul proiectant al lui Ω cu generatoarele paralelecu Oz este tangent la Ω ın lungul unei curbe (Γ) care ımparte (Σ) ın doua suprafete (conditii analoage sepot pune si pentru planele yOz si zOx);

• suprafata (Σ) este cu doua fete si presupunem ca este formata dintr–un numar de portiuni netede.

Pentru astfel de suprafete (Σ) si domeniile Ω marginite de ele au loc urmatoarele formule integrale:∫∫Σ

n · v dσ =∫∫∫

Ω

div v dω; (3.83)

∫∫Σ

nϕdσ =∫∫∫

Ω

gradϕdω; (3.84)

∫∫Σ

n× v dσ =∫∫∫

Ω

rot v dω; (3.85)

∫∫Σ

ϕdψ

dndσ =

∫∫∫Ω

(gradϕ · gradψ + ϕ∇2ψ)dω; (3.86)

7Laplace, Pierre – Simon (1749 – 1827), matematician si astronom francez a carui opera a fost pivotul dezvoltarii astronomieimatematice si statisticii matematice. A rezumat si extins opera predecesorilor sai ın cele cinci volume de Mecanica cereasca,editate ıntre anii 1799 si 1825. Aceasta opera translateaza studiul geometric al mecanicii clasice spre unul fundamentat pe calcululdiferential, deschizand astfel un domeniu larg de probleme. In statistica, asa numita interpretare Bayesiana a probabilitatii a fostdezvoltata ın principal de catre Laplace. A formulat ecuatia lui Laplace si a pus bazele transformatei Laplace care apare ın multedomenii ale fizicii matematice, un domeniu al matematicii unde si–a adjudecat rolul de formator. Operatorul diferential al luiLaplace este denumit astfel dupa numele sau. Laplace a reformulat si dezvoltat ipoteza nebulara a originii sistemului solar si a fostunul din primii oameni de stiinta care a postulat existenta gaurilor negre. A introdus notiunea de colaps gravitational. Laplaceeste considerat unul din cei mai mari oameni de stiinta din toate timpurile, fapt ce i–a atras supranumele de Newton al Frantei.A ınteles matematica mai bine decat oricare din contemporanii sai. A devenit conte al Primului Imperiu Francez ın 1806 si a fostnumit marchiz ın 1817 de catre Restauratia Bourbon.


∫∫Σ

(ϕdψ

dn− ψdϕ

dn

)dσ =

∫∫∫Ω

(ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ)dω. (3.87)

Formula integrala (3.83) este forma vectoriala a formulei Gauss–Ostrogradski (3.63), fiind adeseori ıntalnitasub denumirea de formula integrala a divergentei sau teorema divergentei.

Identitatea (3.84) se numeste formula integrala a gradientului.Relatiei (3.85) i se poate spune formula integrala a rotorului.Egalitatea (3.86) este cunoscuta sub denumirea de prima identitate integrala a lui Green8.Relatia (3.87) este a doua identitate integrala a lui Green.

Observatia 3.8.1. Identitatile lui Green pot fi considerate atat ın spatiul afin IEn, de dimensiune superioaralui 3, asociat spatiului Euclidian Rn, cat si ın planul afin IE2 asociat spatiului Euclidian bidimensional R2.

Daca (S) este o portiune de suprafata regulata orientabila, avand frontiera o curba ınchisa rectificabila (Γ),iar campul vectorial v ∈ F(Ω,R3) este diferentiabil si S ⊂ Ω, atunci are loc formula integrala a lui Stokes 9∫

Γ

v · dr =∫∫S

n · rot v dσ. (3.88)

Teorema 3.8.1. Campul vectorial v ∈ C1(D,R3) este irotational pe domeniul simplu conex D ⊂ R3 daca si

numai daca integrala curbilinie∫C

v · dr este independenta de drum pe D.

Demonstratie. Presupunem rot v = 0 si fie C o curba ınchisa oarecare inclusa ın D, iar S ⊂ D o suprafata cu

frontiera C. Aplicand formula integrala a lui Stokes (3.88), gasim∫C

v · dr = 0. In baza Teoremei 3.4.1 rezulta

ca integrala curbilinie∫C

v · dr este independenta de drum pe D.

Demonstratia reciprocei se face prin reducere la absurd. Presupunem ca exista un punct M0(x0, y0, z0) ıncare rot v 6= 0 si fie ca, ın acest punct, v2,1 − v1,2 = µ > 0. Atunci exista o vecinatate a punctului M0, situataın planul z = z0 si inclusa ın D, ın punctele careia avem v2,1 − v1,2 > 0. Aplicand formula lui Stokes, ın careportiunea de suprafata este ın vecinatatea de mai sus, gasim ca pe frontiera acesteia, care este o curba ınchisadin D, integrala curbilinie este diferita de zero. Dar acest lucru contrazice ipoteza. q.e.d.

Exercitiul 3.8.1. Se da campul de forta definit pe R3

F(x, y, z) = yz(2x+ y + z)i + zx(x+ 2y + z)j + xy(x+ y + 2z)k.

Sa se arate ca acest camp vectorial este irotational si sa se determine o functie de forta.

8Green, George (1793 - 1841), matematician englez, initiatorul fizicii matematice ın Marea Britanie.9Stokes, Sir George Gabriel (1819 – 1903), matematician si fizician englez care, la Universitatea Cambridge din Marea Britanie,

a adus contributii importante ın: dinamica fluidelor, inclusiv ecuatiile Navier – Stokes; optica; si fizica matematica. A fost secretarsi apoi presedinte al Societatii Regale a Regatului Unit al Marii Britanii si Irlanda.


Solutie Faptul ca F este camp irotational de forta este simplu de aratat.

In baza Teoremei 3.8.1, integrala curbilinie∫C

F · dr este independenta de drum ın R3. Folosind Teorema

3.4.2, deducem ca functia de forta care se anuleaza ın origine este U(M) =∫OM

F · dr.

Deoarece integrala curbilinie este independenta de drum, se poate integra de la O la M(x, y, z) pe muchiileparalelipipedului cu fetele paralele cu axele de coordonate care are O si M ca varfuri opuse. Atunci

U(M) =∫ x

0

v1(t, 0, 0)dt+∫ y

0

v2(x, t, 0)dt+∫ z

0

v3(x, y, t)dt.

Folosind coordonatele campului vectorial v, rezulta ca functia de forta care se anuleaza ın origine este

U(x, y, z) =∫ z

0

xy(x+ y + 2t)dt = xyz(x+ y + z).

Exercitiul 3.8.2. Sa se determine liniile de camp ale campului vectorial

w = (−x+ y + z)i + (x− y + z)j + (x+ y − z)k.

Aratati ca w este camp conservativ si determinati–i functiile de forta. Calculati fluxul campului w prin fataexterioara a suprafetei ınchise S de ecuatie | − x+ y + z|+ |x− y + z|+ |x+ y − z| = 1.

Solutie. Sistemul diferential al liniilor de camp genereaza combinatiile integrabile

dx+ dy + dz

x+ y + z=

dy − dx−2(y − x)

=dx+ dy − 2dz−2(x+ y − 2z)

si liniile de camp (x+ y + z)2(x+ y − 2z) = C1

x+ y − 2z = C2(y − x).

Avem ca ∇×w = 0 ceea ce arata ca w este un camp conservativ.

Observand ca expresia diferentiala ω = w · dr este diferentiala functiei −12

(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx,

deducem ca functiile de forta sunt F (x, y, z) = −12

(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx+ const.

Suprafata prin care se calculeaza fluxul este ınchisa, are opt fete si limiteaza domeniul V. Folosind formulaintegrala Gauss–Ostrogradski, rezulta:

∇ ·w = −3; Φ =∫∫∫V

∇ ·wdxdydz = −3∫∫∫V

dxdydz.

Pentru calculul integralei triple efectuam schimbarea de variabile

X = −x+ y + z, Y = x− y + z, Z = x+ y − z

pentru care dxdydz =14dXdY dZ. Frontiera Σ a domeniului transformat V1 are ecuatia |X|+ |Y |+ |Z| = 1, este

un octoedru si are volumul 4/3. Rezulta Φ = −1.

Exercitiul 3.8.3. Fie a un versor constant, v ∈ F(R3,R3) un camp vectorial de forma v(x, y, z) = a × u(r)si Ω un domeniu tridimensional marginit de suprafata ınchisa Σ, neteda pe portiuni.


Sa se arate ca au loc relatiile:

1.∫∫Σ

v × n dσ + a∫∫∫

Ω

div u dω =∫∫∫

Ω

duda

dω;

2.∫∫Σ

v · n dσ + a·∫∫∫

Ω

rot u dω = 0;

3.∫∫Σ

div (v · n)dσ + a×∫∫∫

Ω

rot (rot u)dω = −∫∫∫

Ω

d(rot u)da

dω.

Solutie. Utilizand formula integrala a rotorului (3.85), obtinem∫∫Σ

v × ndσ = −∫∫∫

Ω

rot v dω.

Inlocuind ın membrul al doilea pe v si tinand cont de formula (3.82), deducem∫∫Σ

v × ndσ = −∫∫∫

Ω

[a div u− udiv a + (u ·∇)a− (a ·∇)u]dω.

Deoarece a este versor constant, div a = 0 si (u ·∇)a = 0. Prin urmare,∫∫Σ

v × ndσ = −a∫∫∫

Ω

div u dω+∫∫∫

Ω

(a ·∇)udω.

Cu relatia (3.47) avem∫∫Σ

v × ndσ = −a∫∫∫

Ω

div u dω+∫∫∫

Ω

duda

dω, de unde rezulta prima identitate.

Pentru a demonstra a doua identitate, aplicam formula integrala Gauss–Ostrogradski (3.83). totodata sidivergenta produsului de vectori. Obtinem∫∫

Σ

v · n dσ =∫∫∫

Ω

(u · rot a− a · rot u)dω = −a·∫∫∫

Ω

rot u dω,

din care se deduce a doua identitate.In mod analog, se demonstreaza si cea de a treia identitate.

Exercitiul 3.8.4. Se considera campul vectorial w = (a · r)r× (a× r), unde a este un versor constant si r estevectorul de pozitie al unui punct M(x, y, z) ∈ Ω. Frontiera domeniului Ω este suprafata ınchisa orientabila (Σ)cu proprietatile precizate la ınceputul paragrafului.

Sa se arate ca au loc relatiile: ∫∫Σ

(div w)ndσ =12

∫∫∫Ω

rot rot w dω; (3.89)

∫∫Σ

(n× rot w)dσ = 2∫∫∫

Ω

grad div w dω. (3.90)

Solutie. Calculand divergenta campului vectorial w, gasim

div w = r2 − 3(a · r)2.


Aplicam formula integrala a gradientului (3.84) ın care ϕ = div w. Asadar, vom avea∫∫Σ

(div w)n dσ =∫∫∫

Ω

grad div w dω.

Avand ın vedere expresia lui div w si regulile de calcul cu gradientul, deducem grad div w = 2[r− 3(a · r)a]. Pede alta parte, rot rot w = 4[r− 3(a · r)a], adica

rot rot w = 2grad div w (3.91)

si astfel egalitatea (3.89) este evidenta.Pentru a demonstra relatia (3.90) folosim formula integrala a rotorului (3.85) ın care campul vectorial v este

ınlocuit cu rot w. Prin urmare, avem∫∫Σ

(n× rot w)dσ =∫∫∫

Ω

rot rot w dω. (3.92)

Daca ın relatia (3.92) facem uz de (3.91) deducem ca are loc si (3.90).

Exercitiul 3.8.5. Se considera v = ϕ(r)r un camp vectorial definit pe un domeniu Ω ⊂ R3 a carui frontieraeste suprafata ınchisa si neteda pe portiuni (Σ). Presupunem ca functia ϕ este diferentiabila pe un intervalI ⊂ R+. Vectorul de pozitie si marimea razei vectoare ale punctului M(x, y, z) ∈ Ω ∪ Σ sunt

r =−→OM= x i + y j + z k, r = ‖

−→OM ‖ =

√x2 + y2 + z2. (3.93)

Sa se arate ca au loc identitatile:∫∫Σ

ϕ(r)r · n dσ − 3∫∫∫

Ω

ϕ(r) dω =∫∫∫

Ω

r · grad ϕ(r) dω; (3.94)

∫Γ

ϕ(r)r · dr = 0, (3.95)

unde Γ este o curba simpla ınchisa, neteda pe portiuni, inclusa ın domeniul ınchis Ω ∪ Σ, care este frontieraunei suprafete deschise S ⊂ Ω ∪ Σ.

Solutie. Din (3.93) rezulta ca expresia analitica a campului vectorial v este

v = xϕ(r) i + yϕ(r) j + zϕ(r) k,

iar divergenta lui, conform (3.78), este

div v = 3ϕ(r) + rϕ′(r).

Formula integrala Gauss–Ostrogradski (3.83) conduce la∫∫Σ

ϕ(r) r · n dσ − 3∫∫∫

Ω

ϕ(r) dω =∫∫∫

Ω

r ϕ′(r) dω. (3.96)

Identitatea (3.94) rezulta din (3.96) deoarece rϕ′(r) = r · grad ϕ(r).Identitatea (3.95) rezulta din formula lui Stokes (3.88) aplicata campului vectorial v, deoarece

rot v = rot (ϕ(r)r) = 0.

Capitolul 4

Ecuatii cu derivate partiale de ordinulal doilea

4.1 Ecuatiile fizicii matematice

Pentru descrierea matematica a multor fenomene fizice este adesea necesara utilizarea derivatelor partiale alemarimilor variabile care descriu aceste fenomene. Uneori aceste derivate partiale trebuie sa satisfaca anumiteecuatii care se numesc de obicei ecuatii ale fizicii matematice.

Ecuatiile fizicii matematice sunt ecuatii cu derivate partiale, liniare sau nu, de ordinul al doilea sau de ordinsuperior care se ıntalnesc ın studiul matematic al unor procese si/sau fenomene din natura si societate.

Astfel, ın studiul oscilatiilor unei coarde, ın oscilatiile curentului electric ıntr–un conductor , ın studiulvibratiilor gazelor etc. se utilizeaza o ecuatie cu derivate partiale de forma

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= F (t, x), a ∈ R, (4.1)

pe care o putem numi ecuatia coardei vibrante.In studiul micilor vibratii ale unei membrane se utilizeaza o ecuatie de forma

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2= F (t, x, y), a ∈ R, (4.2)

numita ecuatia propagarii undelor cilindrice.In studiul propagarii sunetului ın spatiul cu trei dimensiuni R3 se utilizeaza o ecuatie de forma

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2− ∂2u

∂z2= F (t, x, y, z), a ∈ R, (4.3)

care se numeste ecuatia propagarii undelor sferice.Cel mai adesea, fiecare dintre ecuatiile (4.1) − (4.3) poarta denumirea de ecuatia neomogena a propagarii

undelor sau pe scurt ecuatia undelor .In procese de difuzie a caldurii , de filtratie a lichidelor sau gazelor prin medii poroase se utilizeaza una dintre

ecuatiile:1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= F (t, x), a ∈ R; (4.4)

1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2= F (t, x, y), a ∈ R; (4.5)

1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2− ∂2u

∂z2= F (t, x, y, z), a ∈ R, (4.6)

denumita respectiv ecuatia propagarii caldurii ın una, doua sau trei dimensiuni.Daca ın relatiile (4.1) − (4.6) functia F corespunzatoare este nula, ecuatia respectiva se numeste ın plus

omogena.

71


Fenomenele electrodinamice sunt descrise de ecuatiile lui Maxwell ; acestea sunt:

1) rot H =1c

∂D∂t

+4πc

I +4πc

Ie;

2) rot E = −1c

∂B∂t

;

3) div B = 0;

4) div D = −4πρ;

5) D = εE;

6) B = µH;

7) I = σE,

(4.7)

unde E este campul electric, H este campul magnetic, D este vectorul de deplasare a lui Maxwell , B este vectorulinductiei magnetice, I este densitatea de volum a curentilor, Ie este vectorul densitatii de curent generat defortele electrodinamice aplicate, ρ este densitatea maselor electrice, ε este constanta dielectrica a mediului , µeste permeabilitatea magnetica, σ este conductibilitatea mediului , c este viteza luminii , considerata constanta.

Din aceste ecuatii se deduc altele, utile pentru aplicatii. De exemplu, aplicand operatorul∂

∂tın ambii

membri ai ecuatiei 4) si folosind 1), precum si relatia div rot H = 0, obtinem

c∂ρ

∂t+ div (I + Ie) = 0.

In anumite conditii restrictive, sistemul (4.7) se poate simplifica. Prezentam doua astfel de simplificari.1. In cazul fenomenelor electromagnetice ın vid (µ = ε = 0, σ = 1, si ın plus Ie = 0), sistemul (4.7) devine:

rot H =1c

∂E∂t, rot E = −1

c

∂H∂t

, div H = 0, div E = 0. (4.8)

In obtinerea acestor ecuatii s–a tinut cont de faptul ca I = 0, D = E, B = H.

Aplicand ın prima ecuatie din (4.8) operatorul∂

∂tsi tinand seama de a doua, obtinem identitatea

rot rot E = − 1c2∂2E∂t2

. (4.9)

Dar,rot rot E = −∇2E + grad (div E), (4.10)

unde ∇2 =∂2

∂x2+∂2

∂y2+∂2

∂z2este operatorul lui Laplace ın trei dimensiuni .

Folosind ultima relatie (4.8), din (4.9) si (4.10) obtinem

∇2E =1c2∂2E∂t2

, (4.11)

cu alte cuvinte componentele lui E verifica o ecuatie de forma ∇2u =1c2∂2u

∂t2, care se numeste ecuatia propagarii

undelor sferice sau ecuatia propagarii undelor .2. Considerand cazul cand Ie = 0, ε = const., µ = const., σ = const. constatam ca, [22] p. 55, H si E

satisfac ecuatiile cu derivate partiale de ordinul al doilea:

∇2H =εµ

c2∂H∂t

+4πσµc2

∂2H∂t2

; (4.12)

∇2E =εµ

c2∂E∂t

+4πσεc2

∂2E∂t2

. (4.13)

Capitolul 4 — Ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea 73

Din (4.12) si (4.13), ın anumite conditii impuse constanteleor ε, µ, σ, si c, componentele campului magneticsi ale celui electric satisfac, dupa caz, ecuatia omogena a propagarii caldurii sau ecuatia omogena a propagariiundelor, [22], p. 55.Daca nu am fi presupus ca Ie = 0, atunci ecuatiile (4.12) si (4.13) nu ar fi fost omogene.

3. In cazul particular cand mediul conductor este un fir, cu alte cuvinte cand propagarea se face numaiıntr–o directie (spre exemplu, axa Ox) daca presupunem ın plus si faptul ca Ie 6= 0, obtinem, la fel ca si (4.13),ecuatia:

∂2E∂x2

− a2 ∂2E∂t2

+ 2b∂E∂t

= F(t, x), (4.14)

a si b fiind functii care se deduc din ε, µ si σ.Prin urmare, coordonatele campului electric E se comporta, dupacaz, ca si cum ar fi solutia unei coarde

vibrante, fie se propagaın conductor ca si temperatura.Fenomenele ın care starile anumitor marimi fizice nu depind de timp se numesc fenomene stationare.In probleme de functii complexe, de campuri electrice sau magnetice stationare, ın studiul starii stationare

a caldurii, ın mecanica etc. se utilizeaza ecuatii cu derivate partiale de forma:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0;

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0;

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= f(x, y);

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= f(x, y, z),

numite corespunzator: ecuatia lui Laplace ın doua dimensiuni ; ecuatia lui Laplace ın trei dimensiuni ; ecuatialui Poisson ın doua dimensiuni ; ecuatia lui Poisson ın trei dimensiuni .

Ecuatiile prezentate mai sus provin din studiul unor probleme practice si nu este necesara cunoasterea solutieigenerale; solutia trebuie cautata ın anumite conditii suplimentare.

Din acest punct de vedere, deosebim trei categorii de probleme:

a) Probleme cu conditii initiale (probleme Cauchy);

b) Probleme cu conditii la limita (conditii pe frontiera);

c) Probleme mixte.

In rezolvarea acestor probleme trebuie sa se tina seama de urmatoarele aspecte matematice ale calculelor:

1. Obtinerea solutiei cautate (teorema de existenta a solutiei);

2. Solutia obtinuta sa fie unica (teorema de unicitate a solutiei);

3. Solutia depinde continuu de datele problemei (stabilitatea solutiei).

Stabilitatea solutiei consta ın faptul ca la variatii mici ale datelor problemei considerate corespund solutiicare difera putin ıntre ele.

Rezolvarea simultana a acestor cerinte ne conduce la concluzia ca problema este corect pusa.

4.2 Tipuri de ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea

Fie D ⊂ R2, un domeniu oarecare, Ω o submultime din R6 si F : D × Ω → R o functie reala de opt variabilereale.


Definitia 4.2.1. O relatie de forma

F(x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y,∂2u

∂x2,∂2u

∂x∂y,∂2u

∂y2

)= 0 (4.15)

se numeste ecuatie cu derivate partiale de ordinul al doilea daca se cere sa se determine toate functiilereale u = ϕ(x, y), de clasa C2(D), care au proprietatea

F(x, y, ϕ(x, y),

∂ϕ

∂x(x, y),

∂ϕ

∂y(x, y),

∂2ϕ

∂x2(x, y),

∂2ϕ

∂x∂y(x, y),

∂2ϕ

∂y2(x, y)

)= 0, ∀ (x, y) ∈ D. (4.16)

Definitia 4.2.2. Se numeste solutie ın domeniul D a ecuatiei (4.15) orice functie u = ϕ(x, y), de clasa C2(D),care are proprietatea (4.16).

Definitia 4.2.3. Variabilele reale (x, y) ∈ D ⊂ R2 se numesc variabilele independente ale ecuatiei cuderivate partiale (4.15), iar functia u = u(x, y), care apare ın (4.15) ımpreuna cu derivatele ei partiale pana laordinul doi inclusiv, este denumita functia necunoscuta a ecuatiei (4.15).

Definitia 4.2.4. Ecuatia (4.15) se numeste liniara daca F este o functie liniara ın u si derivatele acesteia.

Definitia 4.2.5. Ecuatia (4.15) se numeste cvasiliniara daca F este o functie liniara ın derivatele partialede ordinul doilea ale functiei u.

In cele ce urmeaza vom considera ecuatia cvasiliniara de ordinul al doilea. O asemenea ecuatie are forma

a11(x, y)∂2u

∂x2+ 2a12(x, y)

∂2u

∂x∂y+ a22(x, y)

∂2u

∂y2+G

(x, y, u,

∂u

∂x,∂u

∂y

)= 0, (4.17)

unde functiile cunoscute a11, a12, a22 se presupun a fi cel putin de clasa C2 ın domeniul D ⊂ R2 si care nu seanuleaza simultan ın D, iar G este o functie reala de cinci variabile reale, definita pe un domeniu din R5.

Definitia 4.2.6. Ecutia cu derivate partiale de ordinul al doilea (4.17) se numeste liniara daca are forma

a11(x, y)∂2u

∂x2+ 2a12(x, y)

∂2u

∂x∂y+ a22(x, y)

∂2u

∂y2+ b1(x, y)

∂u

∂x+ b2(x, y)

∂u

∂y+ f(x, y) = 0, (4.18)

unde b1, b2 si f sunt functii cunoscute de clasa cel putin C0 pe domeniul D ⊂ R2.

Sa presupunem ca ın ecuatia (4.17) sau ın ecuatia (4.18) se efectueaza schimbarea de variabileξ = ξ(x, y),

η = η(x, y).(4.19)

Ca urmare a efectuarii schimbarii de variabile (4.19), ecuatia (4.17) va avea o noua forma, ceea ce ınseamnaca se poate pune problema alegerii unei asemenea forme a schimbarii (4.19) astfel ıncat ecuatia (4.17) sa poatafi pusa sub o forma cat mai convenabila.


Aplicand regula de derivare a functiilor compuse, gasim ca derivatele partiale de ordinul unu si doi alefunctiei necunoscute u, ın raport cu variabilele x si y, se exprima ın functie de derivatele lui u ın raport cu ξ siη prin relatiile

∂u

∂x=∂u

∂ξ· ∂ξ∂x

+∂u

∂η· ∂η∂x,

∂u

∂y=∂u

∂ξ· ∂ξ∂y

+∂u

∂η· ∂η∂y,

(4.20)

unde u(x, y) = u(ξ(x, y), η(x, y)).Din relatiile (4.20) deducem ca operatorii de derivare partiala fata de variabilele x si y se exprima liniar prin

operatorii de derivare partiala ın raport cu variabilele ξ si η, si anume∂

∂x=

∂

∂ξ· ∂ξ∂x

+∂

∂η· ∂η∂x,

∂

∂y=

∂

∂ξ· ∂ξ∂y

+∂

∂η· ∂η∂y,

(4.21)

unde functiile ξ = ξ(x, y) si η = η(x, y) sunt date ın (4.19).

Aplicand operatorii de derivare partiala∂

∂xsi

∂

∂yambilor membri ai relatiilor (4.20) si tinand cont de (4.21)

deducem ca derivatele partiale de ordinul al doilea ale functiei necunoscute u, ın raport cu vechile variabile x siy, adica

∂2u

∂x2,

∂2u

∂x∂y,

∂2u

∂y2,

se exprima cu ajutorul derivatelor partiale de ordinul al doilea ale functiei u ın raport cu variabilele noi, ξ si η.

Mai jos, se arata cum se obtine derivata partiala secunda∂2u

∂x2.

∂2u

∂x2=

∂

∂x

(∂u∂x

)=

∂

∂x

(∂u∂ξ· ∂ξ∂x

+∂u

∂η· ∂η∂x

)=

=∂

∂x

(∂u∂ξ

)· ∂ξ∂x

+∂u

∂ξ· ∂

2ξ

∂x2+

∂

∂x

(∂u∂η

)· ∂η∂x

+∂u

∂η· ∂

2η

∂x2=

=( ∂∂ξ

(∂u∂ξ

)· ∂ξ∂x

+∂

∂η

(∂u∂ξ

)· ∂η∂x

)· ∂ξ∂x

+∂u

∂ξ· ∂

2ξ

∂x2+

+( ∂∂ξ

(∂u∂η

)· ∂ξ∂x

+∂

∂η

(∂u∂η

)· ∂η∂x

)· ∂η∂x

+∂u

∂η· ∂

2η

∂x2=

=∂2u

∂ξ2·( ∂ξ∂x

)2

+ 2∂2u

∂ξ∂η· ∂ξ∂x· ∂η∂x

+∂2u

∂η2·(∂η∂x

)2

+∂u

∂ξ· ∂

2ξ

∂x2+∂u

∂η· ∂

2η

∂x2;

(4.22)

Celelalte doua derivate partiale de ordinul al doilea se obtin analog.Derivata partiala mixta de ordinul doi are expresia

∂2u

∂x∂y=∂2u

∂ξ2· ∂ξ∂x· ∂ξ∂y

+∂2u

∂ξ∂η

( ∂ξ∂x· ∂η∂y

+∂ξ

∂y· ∂η∂x

)+∂2u

∂η2· ∂η∂x· ∂η∂y

+∂u

∂ξ· ∂

2ξ

∂x∂y+∂u

∂η· ∂

2η

∂x∂y, (4.23)

ın timp ce a doua derivata partiala secunda nemixta se exprima prin relatia

∂2u

∂y2=

∂2u

∂ξ2·(∂ξ∂y

)2

+ 2∂2u

∂ξ∂η· ∂ξ∂y· ∂η∂y

+∂2u

∂η2·(∂η∂y

)2

+∂u

∂ξ· ∂

2ξ

∂y2+∂u

∂η· ∂

2η

∂y2. (4.24)

Introducand expresiile precedente ın ecuatia (4.17) si scotand factor comun derivatele partiale∂2u

∂ξ2,∂2u

∂ξ∂η,

∂2u

∂η2, obtinem o ecuatie de forma

c11∂2u

∂ξ2+ 2c12

∂2u

∂ξ∂η+ c22

∂2u

∂η2+H

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

)= 0, (4.25)


unde

c11 = a11

( ∂ξ∂x

)2

+ 2a12∂ξ

∂x

∂ξ

∂y+ a22

(∂ξ∂y

)2

,

c12 = a11∂ξ

∂x

∂η

∂x+ a12

( ∂ξ∂x

∂η

∂y+∂ξ

∂y

∂η

∂x

)+ a22

∂ξ

∂y

∂η

∂y,

c22 = a11

(∂η∂x

)2

+ 2a12∂η

∂x

∂η

∂y+ a22

(∂η∂y

)2

,

(4.26)

iar H este o functie reala definita pe un domeniu din R5.

Daca expresiile (4.20)− (4.24) se ınlocuiesc ın ecuatia (4.18), atunci aceasta din urma devine

c11∂2u

∂ξ2+ 2c12

∂2u

∂ξ∂η+ c22

∂2u

∂η2+ α

∂u

∂ξ+ β

∂u

∂η+ γu+ δ = 0,

care arata ca noua ecuatie este de asemenea liniara.Se observa ca ecuatia (4.25) se simplifica daca unul din coeficientii c11, c12, c22 se anuleaza. Pentru aceasta

este necesara o alegere convenabila a schimbarii de variabile (4.19).Se observa ca daca drept functie ξ(x, y) se alege o solutie a ecuatiei

a11

(∂ϕ∂x

)2

+ 2a12∂ϕ

∂x

∂ϕ

∂y+ a22

(∂ϕ∂y

)2

= 0, (4.27)

atunci coeficientul c11 devine nul si ecuatia (4.25) se transforma ın una mai simpla.Fie ϕ(x, y) = C o curba integrala a ecuatiei (4.27). Pe aceasta curba are loc relatia

∂ϕ

∂xdx+

∂ϕ

∂ydy = 0,

sau∂ϕ

∂x= −dy

dx· ∂ϕ∂y.

Inlocuind aceasta expresie a derivatei partiale∂ϕ

∂xın (4.27) si simplificand cu

(∂ϕ∂y

)2

, se obtine ecuatia

a11dy2 − 2a12dy · dx+ a22dx

2 = 0 (4.28)

numita ecuatia caracteristica. Integralele ecuatiei (4.28) se numesc curbe caracteristice ale ecuatiei cu derivatepartiale de ordinul al doilea (4.17).

Rezolvand ecuatia (4.28) ın raport cudy

dxse obtin doua ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai, si

anume: dy

dx=

a12 −√a2

12 − a11a22

a11;

dy

dx=

a12 +√a2

12 − a11a22

a11

(4.29)

In functie de semnul expresiei de sub radicalii din (4.29), ecuatia (4.17) se numeste respectiv:

de tip hiperbolic,daca a212 − a11a22 > 0;

de tip eliptic,daca a212 − a11a22 < 0;

de tip parabolic,daca a212 − a11a22 = 0.

Pentru gasirea solutiei unei ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea este necesara efectuarea unortransformari care sa conduca la o forma cat mai simpla a acesteia, numita forma canonica.


4.3 Reducerea la forma canonica a ecuatiilor de tip hiperbolic

In acest caz, avem a212 − a11a22 > 0. Cele doua ecuatii diferentiale ordinare (4.29) furnizeaza solutiile generale

ϕ(x, y) = c1, ψ(x, y) = c2.

Luand ξ = ϕ(x, y) si η = ψ(x, y), expresiile coeficientilor c11 si c22 devin identic nule si ımpartind cu

coeficientul derivatei∂2u

∂ξ∂η, ecuatia (4.25) devine

∂2u

∂ξ∂η= H1

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

), (4.30)

care se numeste forma canonica!a unei ecuatii!de tip hiperbolic.

Exemplul 4.3.1. Sa se reduca la forma canonica si apoi sa se integreze ecuatia liniara cu derivate partiale deordinul al doilea

∂2u

∂x2+ 2

∂2u

∂x∂y− 3

∂2u

∂y2+ 2

∂u

∂x+ 6

∂u

∂y= 0.

Solutie. Ecuatia caracteristica atasata(dy

dx

)2

− 2dy

dx− 3 = 0 are solutiile

dy

dx= 3 si

dy

dx= −1, care au

respectiv integralele generale (solutiile generale) 3x−y = c1 si x+y = c2. Din punct de vedere geometric fiecaredintre aceste solutii generale reprezinta o familie de drepte ın plan.

Conform teoriei prezentate, se face schimbarea de variabile

ξ = 3x− y,

η = x+ ysi se calculeaza derivatele

partiale:

∂u

∂x=∂u

∂ξ· ∂ξ∂x

+∂u

∂η· ∂η∂x

= 3∂u

∂ξ+∂u

∂η;

∂u

∂y=∂u

∂ξ· ∂ξ∂y

+∂u

∂η· ∂η∂y

= −∂u∂ξ

+∂u

∂η;

∂2u

∂x2=

∂

∂x

(∂u∂x

)=

∂

∂x

(3∂u

∂ξ+∂u

∂η

)= 3

∂

∂ξ

(3∂u

∂ξ+∂u

∂η

)+

∂

∂η

(3∂u

∂ξ+∂u

∂η

)= 9

∂2u

∂ξ2+ 6

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2;

∂2u

∂x∂y=

∂

∂x

(∂u∂y

)=∂

∂x

(− ∂u

∂ξ+∂u

∂η

)=3

∂

∂ξ

(− ∂u

∂ξ+∂u

∂η

)+

∂

∂η

(− ∂u

∂ξ+∂u

∂η

)=−3

∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2;

∂2u

∂y2=

∂

∂y

(∂u∂y

)=

∂

∂y

(− ∂u

∂ξ+∂u

∂η

)= − ∂

∂ξ

(− ∂u

∂ξ+∂u

∂η

)+

∂

∂η

(− ∂u

∂ξ+∂u

∂η

)=∂2u

∂ξ2− 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2,

care ınlocuite ın ecuatie conduc la forma canonica

2∂2u

∂ξ∂η+∂u

∂η= 0.

Pentru obtinerea solutiei acestei ecuatii canonice, se noteaza ω =∂u

∂ηsi ecuatia devine 2

∂ω

∂ξ+ ω = 0, care

este o ecuatie cu derivate partiale de ordinul ıntai. Sistemul caracteristic corespunzator ultimei ecuatii este

dξ

2=dη

0= −dω

ω.

Integralele prime ale acestui sistem caracteristic sunt: ω · eξ/2 = c1; η = c2, unde c1 si c2 sunt constantearbitrare. Solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale de ordinul ıntai este functia ω = ω(ξ, η) definita


implicit de ecuatia F (ω · eξ/2, η) = 0, din care rezulta ω = e−ξ/2Φ(η), unde Φ este o functie arbitrara. Tinandcont de ce s–a notat cu ω, deducem ca u = u(ξ, η) este solutia ecuatiei cu derivate partiale de ordinul ıntai

∂u

∂η= e−ξ/2Φ(η),

a carei sistem caracteristic estedξ

0=

dη

1=

du

e−ξ/2Φ(η). Procedand ca mai sus, gasim ca solutia generala

u = u(ξ, η) a ecuatiei canonice esteu = e−ξ/2φ(η) + ψ(ξ),

unde φ si ψ sunt functii arbitrare.Solutia generala u = u(x, y) a ecuatiei initiale se determina din relatia precedenta ın care facem ξ = 3x− y

si η = x+ y. Obtinem u(x, y) = e(y−3x)/2φ(x+ y) + ψ(3x− y).

Exemplul 4.3.2. Sa se integreze ecuatia liniara cu derivate partiale de ordinul al doilea

∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2= 4x+ 3 cos y.

Solutie. A integra o ecuatie diferentiala ınseamna a determina toate solutiile sale.Cautam o solutie a ecuatiei cu derivate partiale ın forma

u(x, y) = uo(x, y) + up(x, y),

unde uo(x, y) este solutia ecuatiei omogene uxx − uyy = 0, iar up(x, y) este o solutie particulara a ecuatieineomogene, de forma membrului drept.

Pentru a integra ecuatia omogena, o vom aduce mai ıntai la forma canonica. Usor se constata ca ecuatia

omogena este de tip hiperbolic, iar ecuatia sa caracteristica este(dydx

)2

− 1 = 0, din care deducem ca cele doua

ecuatii diferentiale ale caracteristicilor suntdy

dx= 1 si

dy

dx= −1. Prima dintre ele are solutia generala y−x = c1,

iar cea de a doua are solutia generala y + x = c2.Se face schimbarea de variabile

ξ = y − x,

η = y + x

si se calculeaza derivatele partiale

∂u

∂x= −∂u

∂ξ+∂u

∂η,∂u

∂y=∂u

∂ξ+∂u

∂η,

∂2u

∂x2=∂2u

∂ξ2− 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2,

∂2u

∂y2=∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2,

care ınlocuite ın ecuatia omogena, conduc la forma canonica

4∂2u

∂ξ∂η= 0.

Integrand aceasta ecuatie redusa la forma canonica, gasim ca functia u, ca functie de ξ si η are expresia

u = φ(ξ) + ψ(η),

unde φ(ξ) si ψ(η) sunt functii diferentiabile arbitrare.


Revenind la schimbarea de variabila, se obtine solutia ecuatiei omogene

uo(x, y) = φ(y − x) + ψ(y + x).

Pentru ecuatia neomogena ıncercam o solutie particulara de forma membrului drept, adica

up(x, y) = a0x3 + a1x

2 + a2x+ a3 + b cos y.

Calculand derivatele partiale necesare si impunand ca up sa fie solutia ecuatiei neomogene, se obtine

6a0x+ 2a1 + b cos y = 4x+ 3 cos y.

Prin identificare, se gaseste a0 = 2/3, a1 = 0 si b = 3, iar solutia particulara devine

up(x, y) =23x3 + a2x+ a3 + 3 cos y.

Solutia generala a ecuatiei date este

u(x, y) = φ(y − x) + ψ(y + x) +23x3 + a2x+ a3 + 3 cos y,

unde functiile φ si ψ sunt complet arbitrare, iar constantele a2 si a3 sunt de asemenea arbitrare.

Exemplul 4.3.3. Sa se integreze ecuatia

x2 ∂2u

∂x2− y2 ∂

2u

∂y2+ x

∂u

∂x− y ∂u

∂y= 3 lnx+ 2 ln y.

Solutie. Se procedeaza ca la exercitiul precedent cautand o solutie de forma

u(x, y) = uo(x, y) + up(x, y),

unde uo si up au semnificatii asemanatoare, dar raportate la ecuatia data.Se constata ca cele doua familii de curbe caracterisxtice (ecuatia data este de tip hiperbolic) sunt lnx = c1

si ln y = c2, ceea ce ne determina sa efectuam schimbarea de variabileξ = lnx,

η = ln y.

In final suntem condusi la rezultatul

u(x, y) = φ(

lnx

y

)+ ψ(lnxy) +

12

ln3 x+12

ln3 y,

unde φ si ψ sunt functii diferentiabile arbitrare.

4.4 Reducerea la forma canonica a ecuatiilor de tip parabolic

In acest caz, are loc relatia a212−a11a22 = 0. De aici, rezulta ca a11 si a22 au acelasi semn, care poate fi presupus

pozitiv si deci a12 = ±√a11 ·√a22. Vom considera ca si a12 este pozitiv, cazul a12 < 0 tratandu–se asemanator.

Coeficientul c11 se poate scrie ın forma

c11 =(√

a11∂ξ

∂x+√a22

∂ξ

∂y

)2

.


Cele doua ecuatii (4.29) coincid si furnizeaza o singura integrala generala, si anume ϕ(x, y) = c.Efectuand schimbarea de variabile

ξ = ϕ(x, y)

η = ψ(x, y),

unde ψ(x, y) este o functie independenta functional de ϕ, expresia lui c11 devine nula, ceea ce atrage relatia

√a11

∂ξ

∂x+√a22

∂ξ

∂y= 0. (4.31)

Daca ın expresia lui c12 folosim ca a12 = ±√a11 ·√a22, atunci constatam cu usurinta ca expresia lui c12 este

c12 =(√

a11∂ξ

∂x+√a22

∂ξ

∂y

)·(√

a11∂η

∂x+√a22

∂η

∂y

).

Folosind (4.31), deducem c12 = 0.Dupa ımpartirea cu c22, ecuatia (4.25) are forma canonica

∂2u

∂η2= H2

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

). (4.32)

Exemplul 4.4.1. Sa se reduca la forma canonica, ecuatia

x2 ∂2u

∂x2+ 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2 ∂

2u

∂y2= 0, x 6= 0, y 6= 0.

Pornind de la forma canonica gasita, determinati solutia generala a ecuatiei date.

Solutie. Deoarece a212 − a11 · a22 = (xy)2 − x2y2 = 0, rezulta ca ecuatia este de tip parabolic. Ecuatia

caracteristica atasata,

x2(dydx

)2

− 2xydy

dx+ y2 = 0,

este echivalenta cu ecuatia cu variabile separabile xdy

dx− y = 0 a carei solutie generala este

y

x= c. Conform

teoriei prezentate, se efectueaza urmatoarea schimbare de variabile ξ =y

x

η = y.

Calculand derivatele partiale de ordinele ıntai si doi, se obtine:

∂u

∂x=∂u

∂ξ

∂ξ

∂x+∂u

∂η

∂η

∂x= − y

x2

∂u

∂ξ;

∂u

∂y=∂u

∂ξ

∂ξ

∂y+∂u

∂η

∂η

∂y=

1x

∂u

∂η+∂u

∂η;

∂2u

∂x2=y2

x4

∂2u

∂ξ2+

2yx3

∂u

∂ξ;

∂2u

∂x∂y= − y

x3

∂2u

∂ξ2− y

x3

∂2u

∂ξ∂η− 1x2

∂u

∂ξ;

∂2u

∂y2=

1x2

∂2u

∂ξ2+

2x

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2


Inlocuind derivatele partiale ın ecuatia initiala, obtinem forma canonica∂2u

∂η2= 0, de unde rezulta ca forma

generala a functiei u = u(ξ, η) care satisface aceasta ecuatie este u = η · f(ξ) + g(ξ), ın care f si g sunt functiiarbitrare de doua ori diferentiabile pe un interval din R.

Revenind la variabilele x si y gasim u(x, y) = yf(yx

)+ g

(yx

)si aceasta functie este solutia generala a

ecuatiei initiale.

Exemplul 4.4.2. Sa se reduca la forma canonica si apoi sa se integreze ecuatia liniara cu derivate partiale deordinul al doilea

x2 ∂2u

∂x2− 2xy

∂2u

∂x∂y+ y2 ∂

2u

∂y2+ x

∂u

∂x+ y

∂u

∂y= 0

stiind ca sunt satisfacute conditiile initiale

u(1, y) = 1− cos y,∂u

∂x(1, y) = 2y. (4.33)

Solutie. Deoarece a212 − a11 · a22 = (xy)2 − x2 · y2 = 0 rezulta ca ecuatia este de tip parabolic.

Ecuatia caracteristica atasata

x2(dydx

)2

+ 2xydy

dx+ y2 = 0

este echivalenta cu ecuatia diferentiala ordinarady

dx= −y

x, care are solutia generala xy = c.

Conform teoriei prezentata, efectuam schimbarea de variabile

ξ = xy

η = x,unde η este cea mai simpla functie

aleasa astfel ıncat ξ = ξ(x, y) si η = η(x, y) sa fie independente functional. Calculam derivatele partiale sigasim:

∂u

∂x= y

∂u

∂ξ+∂u

∂η;

∂u

∂y= x

∂u

∂ξ;

∂2u

∂x2= y2 ∂

2u

∂ξ2+ 2y

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2;

∂2u

∂x∂y= xy

∂2u

∂ξ2+ x

∂2u

∂ξ∂η+∂u

∂ξ;

∂2u

∂y2= x2 ∂

2u

∂ξ2.

Dupa ınlocuirea derivatelor partiale de mai sus ın ecuatia din enunt, se obtine forma canonica

∂2u

∂η2+

1x· ∂u∂η

= 0, sau∂2u

∂η2+

1η· ∂u∂η

= 0.

Pentru obtinerea solutiei, se noteaza∂u

∂η= ω si ecuatia devine

∂ω

∂η+

1η· ω = 0, care este o ecuatie cu derivate

partiale de ordinul ıntai a carei sistem caracteristic este

dξ

0=dη

η=

dω

−ω.

Cele doua integrale prime ale acestui sistem simetric sunt ξ = c1 si ω · η = c2 si deci solutia generala a ecuatieicu derivate partiale de ordinul ıntai este functia ω = ω(ξ, η) definita implicit de ecuatia F (ξ, ω · η) = 0, unde Feste o functie diferentiabila arbitrara. Se observa ca ecuatia F (ξ, ω · η) = 0 se expliciteaza simplu si avem

ω =1η· f(ξ), (4.34)


unde f(ξ) este o functie arbitrara, care se deduce din F.

Tinand cont ca ω =∂u

∂η, ecuatia (4.34) devine

∂u

∂η=

1η· f(ξ), care are solutia generala u = f(ξ) · ln η+ g(ξ),

unde g este o functie derivabila arbitrara.Revenind la variabilele x si y, gasim ca solutia generala a ecuatiei din enunt este

u = f(xy) · lnx+ g(xy).

Functiile f si g se determina din conditiile initiale (4.33), care conduc la relatiile:

g(y) = 1− cos y; f(y) + yg′(y) = 2y,

din care deducem f(y) = y(2− sin y) si g(y) = 1− cos y.Prin urmare,

u(x, y) = x · y · (2− sinxy) · lnx+ 1− cos (x · y).

este solutia ecuatiei din enunt care satisface conditiile initiale (4.33).

4.5 Reducerea la forma canonica a ecuatiilor de tip eliptic

In acest caz a212 − a11 · a22 < 0 si integralele generale ale ecuatiilor diferentiale ordinare (4.29) sunt de forma:

ϕ(x, y) = c1; ϕ(x, y) = c2,

unde ϕ este conjugata functiei cu valori complexe ϕ. Prin urmare,

ϕ(x, y) = α(x, y) + iβ(x, y),

ϕ(x, y) = α(x, y)− iβ(x, y).(4.35)

Se efectueaza transformarea ξ = α(x, y),

η = β(x, y).(4.36)

Deoarece ϕ(x, y) = α(x, y)+iβ(x, y) este solutia ecuatiei (4.27), rezulta ca α = α(x, y) si β = β(x, y) satisfacecuatia

a11

(∂α∂x

+ i∂β

∂x

)2

+ 2a12

(∂α∂x

+ i∂β

∂x

)(∂α∂y

+ i∂β

∂y

)+ a22

(∂α∂y

+ i∂β

∂y

)2

= 0

care, dupa efectuarea operatiilor de ridicare la patrat si ınmultire, devine(a11

(∂α∂x

)2

+ 2a12∂α

∂x

∂α

∂y+ a22

(∂α∂y

)2)−(a11

(∂α∂x

)2

+ 2a12∂β

∂x

∂β

∂y+ a22

(∂β∂y

)2)+

+2i(a11

∂α

∂x

∂β

∂x+ a12

(∂α∂x

∂β

∂y+∂α

∂y

∂β

∂x

)+ a22

∂α

∂y

∂β

∂y

)= 0.

(4.37)

Din (4.26), (4.36) si (4.37) rezultac11 − c22 + 2ic12 = 0. (4.38)

Insa, o functie complexa este nula daca si numai daca partea reala si partea imaginara sunt nule, astfel ca din(4.38) obtinem c11 = c22 si c12 = 0.

Daca ımpartim cu c11, ecuatia (4.25) se scrie sub forma canonica

∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2= H3

(ξ, η, u,

∂u

∂ξ,∂u

∂η

),

unde functia necunoscuta este u = u(ξ, η).


Exemplul 4.5.1. Sa se reduca la forma canonica ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea

x2 ∂2u

∂x2− 2xy

∂2u

∂x∂y+ 2y2 ∂

2u

∂y2+ x

∂u

∂x+ y

∂u

∂y= 0.

Solutie. Avem a212 − a11a22 = −x2y2 < 0, deci ecuatia este de tip eliptic. Ecuatiile (4.29) corespunzatoare

suntdy

dx=

(−1± i)yx

.

Integrand ecuatia diferentiala ordinara de ordinul ıntai corespunzatoare semnului plus, gasim

ln (xy)− i lnx = c,

de unde deducem ca trebuie efectuata schimbarea de variabile

ξ = lnxy

η = lnx.Aplicand teoria dezvoltata mai

sus pentru calculul derivatelor partiale de ordinele ıntai si doi, gasim expresiile:

∂u

∂x=

1x· ∂u∂ξ

+1x· ∂u∂η

;

∂u

∂y=

1y· ∂u∂ξ

;

∂2u

∂x2=

1x2· ∂

2u

∂ξ2+

2x2· ∂

2u

∂ξ∂η+

1x2· ∂

2u

∂η2− 1x2· ∂u∂ξ− 1x2· ∂u∂η

;

∂2u

∂x∂y=

1xy· ∂

2u

∂ξ2+

1xy· ∂

2u

∂ξ∂η;

∂2u

∂y2=

1y2· ∂

2u

∂ξ2− 1y2· ∂u∂η,

care introduse ın ecuatia initiala, o simplifica, devenind

1x2· ∂

2u

∂ξ2+

1x2· ∂

2u

∂η2− ∂u

∂ξ= 0.

Din a doua relatie a schimbarii de variabile deducem x = eη, pe care daca o folosim ın relatia precedenta

gasim ca expresia canonica a ecuatiei considerate este∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2− e2η · ∂u

∂ξ= 0.

Exemplul 4.5.2. Sa se reduca la forma canonica si apoi sa se integreze, ecuatia liniara cu derivate partialede ordinul al doilea

(1 + x2)∂2u

∂x2+ (1 + y2)

∂2u

∂y2+ x

∂u

∂x+ y

∂u

∂y= 0.

Solutie. Deoarece a212 − a11a22 = −(1 + x2)(1 + y2) < 0, rezulta ca ecuatia este de tip eliptic.

Ecuatia caracteristica atasata

(1 + x2)(dydx

)2

+ (1 + y2) = 0,

care se mai poate scrie ın forma (1 + x2)(dy)2 + (1 + y2)(dx)2 = 0, este echivalenta cu ecuatiile diferentialedy√

1 + y2= i

dx√1 + x2

,

dy√1 + y2

= −i dx√1 + x2

sau

ln (y +

√1 + y2)− i ln (x+

√1 + x2) = c1,

ln (y +√

1 + y2) + i ln (x+√

1 + x2) = c2,


unde c1 si c2 sunt constante arbitrare.

Se efectueaza urmatoarea schimbare de variabile

ξ = ln (y +

√1 + y2)

η = ln (x+√

1 + x2).Se calculeaza derivatele partiale

si se obtine:

∂u

∂x=

1√1 + x2

∂u

∂η;

∂u

∂y=

1√1 + y2

∂u

∂ξ;

∂2u

∂x2=

11 + x2

∂2u

∂η2− x

(1 + x2)√

1 + x2

∂u

∂η;

∂2u

∂y2=

11 + y2

∂2u

∂ξ2− y

(1 + y2)√

1 + y2

∂u

∂ξ.

Inlocuind derivatele partiale ın ecuatia initiala, obtinem forma canonica∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2= 0. Pentru integrarea

ecuatiei canonice, se cauta solutii de forma u(ξ, η) = eλξ+µη. Aceasta functie este solutie a ecuatiei canonicedaca λ2 + µ2 = 0 sau λ = ±iµ.

In acest mod, am determinat doua solutiile particulare u1(ξ, η;λ) si u2(ξ, η;λ), undeu1(ξ, η;λ) = eλ(ξ+iη) = eλξ(cosλη + i sinλη),

u2(ξ, η;λ) = eλ(ξ−iη) = eλξ(cosλη − i sinλη).

iar λ este o constanta reala arbitrara, care ınsa sunt functii complex conjugate.Datorita faptului ca ecuatia canonica este liniara, rezulta ca functiile reale

u1(ξ, η;λ) =u1(ξ, η;λ) + u2(ξ, η;λ)

2,

u2(ξ, η;λ) =u1(ξ, η;λ)− u2(ξ, η;λ)

2i

sunt de asemeni solutii. Efectuand calculele, gasimu1(ξ, η;λ) = eλξ cosλη,

u2(ξ, η;λ) = eλξ sinλη.

Prin verificare directa se constata ca orice functie de forma

u(ξ, η;λ) = eλξ(F1(λ) cosλη + F2(λ) sinλη

),

unde F1(λ) si F2(λ) sunt functii arbitrare, este de asemeni o solutie a ecuatiei canonice. Parametrul λ poatelua orice valoare reala.

Folosind principiul superpozitiei, deducem ca solutia generala a ecuatiei canonice este

u(ξ, η) =∫ +∞

−∞eλξ(F1(λ) cosλη + F2(λ) sinλη

)dλ.

Revenind la variabilele initiale x si y, gasim ca solutia generala a ecuatiei considerate este

u(x, y) =∫ +∞

−∞(y +

√1 + y2)λ

(F1(λ) cos (λ ln (x+

√1 + x2)) + F2(λ) sin (λ ln (x+

√1 + x2))

)dλ,

unde F1(λ) si F2(λ) sunt functii reale arbitrare absolut integrabile pe axa reala.

Capitolul 5

Ecuatii cu derivate partiale de tiphiperbolic

5.1 Ecuatia coardei vibrante

Se considera un fir flexibil pentru care lungimea este dimensiunea predominanta, celelalte fiind neglijabile, numitın cele ce urmeaza coarda elastica. Sa presupunem ca

a) ın pozitia de echilibru, coarda ocupa segmentul OA pe axa Ox;

b) prin aplicarea unei forte, coarda executa oscilatii ın planul vertical xOu;

c) ın timpul vibratiei, fiecare punct al coardei executa oscilatii verticale pe o dreapta perpendiculara pepozitia de echilibru.

Fie o coarda elastica omogena, de lungime ` care, ın repaos, ocupa pozitia segmentului OA pe axa Ox.Prin aplicarea unor forte, coarda executa vibratii ın planul xOu.Fie M un punct arbitrar al coardei si M0(x) pozitia sa de repaos. Sa presupunem ca punctul M, ın

miscare, ramane ıntr–un plan perpendicular pe OA. Deplasarea de la M0 la M depinde de x si de timpul t. Sedemonstreaza ca daca u = u(x, t) reprezinta deplasarea punctelor coardei fata de pozitia de echilibru (elongatiacoardei), masurata ın punctul de abscisa x ∈ [0, `], la momentul t > 0, atunci u(x, t) verifica ecuatia

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= f(t, x), a ∈ R. (5.1)

Ecuatia (5.1) se numeste ecuatia neomogena a coardei vibrante sau ecuatia undelor unidimensionale. Aceastaecuatie se ıntalneste ın studiul propagarii undelor elastice cum ar fi cele acustice, optice, electromagnetice si dinacest motiv se mai numeste ecuatia undelor sau ecuatia propagarii undelor elastice.

Constanta a2 are valoarea a2 =T0

ρ, unde T0 este marimea algebrica a proiectiei ortogonale pe axa Ox a

vectorului tensiune ın coarda aflata ın repaos (pozitia de echilibru) si ρ este densitatea materialului din careeste confectionat firul extensibil, presupus omogen, adica masa unei unitati de lungime a coardei, iar f(t, x)este marimea algebrica a rezultantei fortelor exterioare.

Se spune despre o coarda ca este infinita daca lungimea ei este foarte mare ın comparatie cu elongatiilemaxime. Un fir de telegraf foarte lung poate servi ca exemplu de coarda infinita.

Ecuatia1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0, a ∈ R, (5.2)

se numeste ecuatia omogena a coardei vibrante.Din considerente practice, solutiile ecuatiei (5.1), sau (5.2), vor trebui sa verifice si alte conditii suplimentare.

De exemplu, ın cazul ın care u(t, x) reprezinta vibratiile unei coarde elastice, omogene, fixata la capete, vomavea conditii la limita de forma:

u(t, 0) = 0; u(t, `) = 0. (5.3)

85


Integrarea ecuatiei coardei vibrante consta ın a–i determina unul din modurile posibile de vibratie descrisde functia u(t, x) mod care va fi bine determinat numai daca se cunosc apriori pozitia initiala si viteza initialacoardei, numite conditii!initiale:

u(t, x)|t=0 = ϕ(x);∂u

∂t(t, x)|t=0 = ψ(x). (5.4)

Aceasta ınseamna ca ın timpul vibratiei realizate prin modul pe care vrem sa–l determinam, vom cunoasteın fiecare moment t > 0 pozitia punctului de pe coarda, de abscisa x, daca la ınceputul miscarii, ın momentult = 0, este data pozitia fiecarui punct al coardei prin plasarea sa pe graficul functiei ϕ(x), precum si distributiavitezelor fiecarui punct al acestui grafic prin valorile functiei ψ(x).

Conditiile (5.4) se numesc conditii initiale ale problemei Cauchy pentru coarda vibranta.Deci, ϕ(x) ne da profilul coardei la momentul initial, iar ψ(x) ne da viteza cu care vibreaza punctele coardei

la momentul t = 0.Daca coarda este de lungime infinita, se pune problema determinarii functiei u : R× [0,∞)→ R care verifica

ecuatia (5.1) cu conditiile initiale (5.3). Pentru aceasta exista doua metode: metoda lui d’Alembert1 si metodasepararii variabilelor sau metoda lui Fourier 2.

In cele ce urmeaza vom studia cazurile cand coarda vibranta este finita sau infinita, iar ecuatia ei esteomogena sau neomogena.

5.2 Metoda lui d’Alembert de integrare a ecuatiei omogene a coar-dei vibrante infinite

Fie coarda vibranta de lungime infinita ale carei elongatii satisfac ecuatia de tip hiperbolic (5.2) ın multimeaR× [0,∞) ⊂ R2, la care se adauga conditiile initiale

u(0, x) = ϕ(x);∂u

∂t(0, x) = ψ(x), ∀x ∈ R. (5.5)

Ecuatia caracteristica corespunzatoare, data de

a2( dtdx

)2

− 1 = 0, (5.6)

este echivalenta cu dt

dx= −1

a

dt

dx=

1a

⇐⇒

t = −1

ax+ c1

t =1ax+ c2

⇐⇒

at+ x = c1

at− x = c2.

Prin urmare, curbele caracteristice ale ecuatiei omogene a coardei vibrante sunt drepte.Conform teoriei prezentate, efectuam schimbarea de variabile

ξ = x+ at

η = x− at.(5.7)

1d’Alembert, Jean le Rond (1717 – 1783), matematician, fizician si filozof francez. Rezultatele sale din domeniul matematicii,ın particular cele legate de rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale, au gasit aplicatii imediate ın fizica si astronomie. Mai multenotiuni din matematica si fizica au primit numele sau: metoda lui d’Alembert pentru rezolvarea ecuatiei propagarii undelor siformula lui d’Alembert care exprima solutia acestei ecuatii, principiul lui d’Alembert privitor la fortele si acceleratiile unui sistemde particule, teorema lui d’Alembert legata de numarul radacinilor unui polinom ın multimea numerelor complexe, criteriul luid’Alembert de convergenta a unor serii etc.

2Fourier, baron Joseph (1768 – 1830), matematician francez. Studiind propagarea caldurii, el descoperi seriile trigonometricecunoscute drept serii Fourier , puternic instrument matematic. A fost membru al Academiei Franceze de Stiinte.

Capitolul 5—Ecuatii cu derivate partiale de tip hiperbolic 87

Aplicand regulile de derivare ale functiilor compuse, gasim ca derivatele partiale de ordinul al doilea, nemixte,ale functiei necunoscute sunt date de

∂2u

∂x2=∂2u

∂ξ2+ 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2

∂2u

∂t2= a2

(∂2u

∂ξ2− 2

∂2u

∂ξ∂η+∂2u

∂η2

) (5.8)

Inlocuind (5.8) ın (5.2) se obtine∂2u

∂ξ∂η= 0, (5.9)

care reprezinta forma canonica a ecuatiei omogene a propagarii undelor.Ecuatia (5.9) se mai poate scrie ın forma

∂

∂η

(∂u∂ξ

)= 0,

din care deducem ca derivata partiala∂u

∂ξdepinde doar de variabila ξ, adica

∂u

∂ξ= f(ξ), (5.10)

unde f(ξ) este o functie arbitrara, care admite primitive.Prin integrarea ecuatiei diferentiale (5.10) gasim

u(ξ, η) = h1(ξ) + h2(η),

unde h1 este o primitiva a functiei f, iar h2 este o functie arbitrara.Revenind la vechile variabile, se obtine

u(x, t) = h1(x+ at) + h2(x− at), (5.11)

care reprezinta solutia generala a ecuatiei omogene a coardei vibrante.Impunand functiei (5.11) sa satisfaca conditiile initiale (5.5), deducem ca functiile h1 si h2 trebuie sa satisfaca

sistemul h1(x) + h2(x) = ϕ(x)

h′1(x)− h′2(x) =1aψ(x).

(5.12)

Scriind cea de a doua ecuatie din (5.12) ın forma h′1(τ) − h′2(τ) =1aψ(τ) si integrand aceasta egalitate ıntre

limitele 0 si x, obtinem

h1(x)− h2(x) = c+1a

∫ x

0

ψ(τ)dτ, (5.13)

unde constanta c reprezinta valoarea ın x = 0 a functiei h1 − h2.Considerand (5.13) si prima ecuatie din sistemul (5.12), constatam ca functiile h1 si h2 se determina din

sistemul h1(x) + h2(x) = ϕ(x)

h1(x)− h2(x) = c+1a

∫ x

0

ψ(τ)dτ.(5.14)

Rezolvand sistemul (5.14), gasim pentru valorile functiilor h1 si h2 expresiileh1(x) =

12ϕ(x) +

12a

∫ x

0

ψ(τ)dτ +c

2

h2(x) =12ϕ(x)− 1

2a

∫ x

0

ψ(τ)dτ − c

2.

(5.15)


Pentru a determina solutia problemei Cauchy pentru coarda vibranta infinita, adica solutia ın R× [0,∞) aecuatiei liniare omogene cu derivate partiale de ordinul al doilea de tip hiperbolic (5.2) care sa satisfaca conditiileinitiale (5.5), avem nevoie de valorile functiilor h1 si h2 ın respectiv punctele x+ at si x− at. Din (5.15), avem

h1(x+ at) =12ϕ(x+ at) +

12a

∫ x+at

0

ψ(τ)dτ +c

2

h2(x− at) =12ϕ(x− at)− 1

2a

∫ x−at

0

ψ(τ)dτ − c

2.

(5.16)

Solutia problemei Cauchy pentru coarda vibranta infinita se obtine atunci din (5.11) si (5.16) si se vedesimplu ca se poate scrie sub forma

u(x, t) =12

(ϕ(x+ at) + ϕ(x− at)

)+

12a

∫ x+at

x−atψ(τ)dτ. (5.17)

Relatia (5.17) este denumita uneori formula lui d’Alembert.

5.3 Metoda alternativa de deducere a formulei lui d’Alembert

De data aceasta, coardei vibrante infinite ıi vom spune coarda elastica infinita. Consideram o coarda elasticasuficient de lunga ıncat sa putem presupune ca are lungime infinita. Sub actiunea unor factori externi, coardavibreaza. La momentul t = 0 configuratia corzii este graficul functiei f(x) definita pe ıntreaga axa reala. Lamomentul t > 0, datorita vibratiilor, configuratia corzii este alta, sa zicem u(x, t).

Functia u = u(x, t) se numeste sageata.Presupunem ca se cunoaste viteza g(x) cu care se schimba forma corzii la momentul t = 0, deci cunoastem

valoarea ın punctul (x, 0) a derivatei partiale ın raport cu variabila temporara t a functiei u(x, t).Din teoria elasticitatii se stie ca legea dupa care vibreaza coarda este

1a2

∂2u

∂t2=

∂2u

∂x2. (5.18)

Ne propunem sa se determinam printr–o alta metoda pozitia corzii la orice moment si ın orice punct al ei.Problema pusa se reduce la determinarea acelei solutii u(x, t) a ecuatiei (5.18) care satisface conditiile initiale

u(x, 0) = f(x), x ∈ (−∞,∞), (5.19)

∂u

∂t(x, 0) = g(x), x ∈ (−∞,∞). (5.20)

Astfel, avem de rezolvat o problema de tip Cauchy pentru ecuatia diferentiala (5.18) cu conditiile initiale(5.19) si (5.20).

Pentru aceasta, vom ınmulti ecuatia cu e−iξx dupa care integram ın raport cu x de la −∞ la +∞.Derivarea partiala ın raport t comuta cu integrarea ın raport cu x, astfel ca putem scrie

1a2

∂2

∂t2

∫ +∞

−∞u(x, t) e− iξx dx =

∫ +∞

−∞

∂2u

∂x2(x, t) e− iξx dx. (5.21)

In membrul drept al relatiei (5.21) se aplica urmatorul rezultat de la transformata Fourier

Teorema 5.3.1. Daca primele r − 1 derivate ale functiei f : R→ R tind la zero cand |t| → ∞ iar f (r)(t) esteabsolut integrabila, atunci

1√2π

∫ +∞

−∞

drf

dtr(t) e− iut dt = (iu)r F (u). (5.22)


Aplicand Teorema 5.3.1, obtinem ecuatia

1a2

d2U

dt2(ξ, t) + ξ2U(ξ, t) = 0, (5.23)

unde functia U(ξ, t) este transformata Fourier a functiei u(x, t).In felul acesta, cu ajutorul transformatei Fourier am ınlocuit ecuatia diferentiala cu derivate partiale (5.18)

cu ecuatia diferentiala ordinara (5.23).Conditiile initiale (5.19) si (5.20) se transforma respectiv ın

U(ξ, 0) =1√2π

∫ +∞

−∞f(x) e− iξx dx = F (ξ); (5.24)

dU

dt(ξ, 0) =

1√2π

∫ +∞

−∞g(x) e− iξx dx = G(ξ). (5.25)

Astfel, avem de rezolvat o problema de tip Cauchy pentru ecuatia diferentiala ordinara de ordinul doi, liniara,(5.23) cu conditiile initiale (5.24) si (5.25).

Un sistem fundamental de solutii al ecuatiei (5.23) contine functiile

U1(ξ, t) = cos aξt, U2(ξ, t) = sin aξt.

Atunci, solutia generala a ecuatiei (5.23) este

U(ξ, t) = C1U1(ξ, t) + C2U2(ξ, t) = C1 cos aξt+ C2 sin aξt

unde constantele de integrare C1 si C2 sunt functii de ξ. Insa,

U(ξ, 0) = C1(ξ) = F (ξ),dU

dt(ξ, 0) = aξC2(ξ) = G(ξ).

Daca folosim relatiile lui Euler, rezulta ca expresia lui U(ξ, t) este

U(ξ, t) =12F (ξ)(e iatξ + e−iatξ) +

G(ξ)2iaξ

(e iatξ − e−iatξ). (5.26)

Aplicand transformarea Fourier inversa functiei U(ξ, t), obtinem

u(x, t) =1√2π

∫ +∞

−∞U(ξ, t) e ixξ dξ. (5.27)

Inlocuind ın (5.27) pe U(ξ, t) din (5.26) si tinand cont de rezultatele

1√2π

∫ +∞

−∞F (ξ) e i(x±at)ξ dξ = f(x± at), g(u) =

1√2π

∫ +∞

−∞G(ξ)e iuξdξ,

∫ x+at

x−atg(u) du =

1√2π

∫ +∞

−∞G(ξ)

(∫ x+at

x−ate iξu du

)dξ =

=1√2π

∫ +∞

−∞

G(ξ)i ξ

(e i(x+at)ξ + e i(x−at)ξ

)dξ,

regasim solutia de la paragraful precedent

u(x, t) =12

(f(x+ at) + f(x− at)) +12a

∫ x+at

x−atg(u) du.


5.4 Unicitatea solutiei problemei Cauchy pentru coarda vibrantainfinita

Metoda lui d’Alembert dezvoltata ın subsectiunea precedenta demonstreaza ın fond existenta solutiei problemeiCauchy pentru coarda vibranta infinita, nu ınsa si unicitatea sa.

Teorema 5.4.1. Solutia problemei Cauchy pentru coarda vibranta infinita este unica.

Demonstratie. Pentru a demonstra unicitatea, presupunem ca exista doua solutii distincte u1(x, t) si u2(x, t).Datorita liniaritatii ecuatiei (5.2), rezulta ca diferenta celor doua solutii

u(x, t) = u1(x, t)− u2(x, t)

este de asemenea o solutie a ecuatiei cu derivate partiale (5.2), care ınsa satisface conditii initiale identic nule

u(x, 0) = 0,∂u

∂t(x, 0) = 0,

ceea ce ınseamna ca functiile ϕ si ψ din (5.5) sunt identic nule.Conform formulei lui d’Alembert (5.17), solutia problemei Cauchy a coardei vibrante infinita, cu conditii

initiale nule, este functia identic nula, deci u(x, t) = 0, ∀ (x, t) ∈ R× [0,∞). q.e.d.

Observatia 5.4.1. Solutia problemei Cauchy pentru coarda vibranta infinita este unica si este data de formulalui d’Alembert (5.17).

Exemplul 5.4.1. Sa se integreze ecuatia coardei vibrante infinita

19∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0,

cu conditiile initiale u(0, x) = x2,

∂u

∂t(0, x) = 3x2.

Solutie. In acest caz, a = 3, ϕ(x) = x2, ψ(x) = 3x2.Aplicand formula lui d’Alembert (5.17), gasim ca solutia problemei Cauchy este

u(x, t) =(x+ 3t)2 + (x− 3t)2

2+

16

∫ x+3t

x−3t

3τ2 dτ

sauu(x, t) = x2 + 3x2t+ 9t2 + 9t3.

5.5 Metoda separarii variabilelor de integrare a ecuatiei omogene acoardei vibrante finite

Prin coarda vibranta finita se ıntelege un fir dintr–un material extensibil, omogen, fixat la capetele x = 0 six = `, unde ` este lungimea coardei. Prin urmare, ın pozitia de echilibru, coarda ocupa segmentul [0, `] de pe


axa Ox a reperului cartezian xOu.Se noteaza cu u(x, t) abaterea ın punctul x, la momentul t, de la pozitia de echilibru.Problema care se pune consta ın determinarea solutiei ecuatiei omogene

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (5.28)

care sa satisfaca conditiile la limita u(0, t) = 0,

u(`, t) = 0,∀ t ∈ [0,∞) (5.29)

si conditiile initiale u(x, 0) = ϕ(x),

∂u

∂t(x, 0) = ψ(x),

∀x ∈ [0, `]. (5.30)

Pentru problema (5.28)− (5.30) se cauta solutii de forma

u(x, t) = X(x) · T (t), (5.31)

unde X(x) si T (t) sunt functii care urmeaza sa fie determinate astfel ıncat ecuatia (5.28) sa fie satisfacuta siconditiile (5.29) si (5.30) sa fie ındeplinite.

Derivatele partiale nemixte de ordinul al doilea ale functiei u din (5.31) au expresiile∂2u

∂x2= X ′′(x) · T (t)

∂2u

∂t2= X(x) · T ′′(t).

(5.32)

Inlocuind (5.31) ın (5.28), obtinem relatia

X(x) · T ′′(t)− a2X ′′(x) · T (t) = 0, ∀ (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞),

care se mai poate scrie ın formaT ′′(t)a2T (t)

=X ′′(x)X(x)

= k, (5.33)

unde k nu poate fi decat o constanta, deoarece trebuie sa fie egala cu valoarea unei functii numai de x, pe de oparte si simultan cu valoarea unei functii numai de t, pe de alta parte, variabilele x si t fiind independente ıntreele.

Egalitatile (5.33) sunt ındeplinite daca:

X ′′(x)− kX(x) = 0; (5.34)

T ′′(t)− ka2T (t) = 0. (5.35)

Observam ca conditiile la limita (5.29) sunt echivalente cu relatiile

X(0) = 0, X(`) = 0. (5.36)

Relatia (5.34) constituie o ecuatie diferentiala ordinara, liniara, de ordinul al doildea, cu coeficienti constantia carei ecuatie caracteristica r2 − k = 0 are radacinile r1 =

√k si r2 = −

√k.

Distingem trei cazuri.Cazul I, ın care presupunem k > 0, ceea ce ınseamna ca radacinile caracteristice sunt reale si distincte, iar

solutia generala a ecuatiei (5.34) se scrie sub forma

X(x) = c1ex√k + c2e

−x√k (5.37)


careia impunandu–i conditiile initiale (5.36), obtinem sistemul liniar si omogenc1 + c2 = 0,

c1e`√k + c2e

−`√k = 0,

pentru determinarea constantelor c1 si c2. Determinantul acestui sistem este nenul, ceea ce arata ca singurasolutie este cea banala c1 = c2 = 0, care nu convine deoarece atrage dupa sine X(x) = 0 si deci u(x, t) = 0.Interpretand acest rezultat ajungem la concluzia ca toate punctele coardei raman tot timpul nemiscate, adica,ın acest caz coarda nu ar executa nici un fel de vibratii, ceea ce contrazice conditiile initiale.

Cazul II, ın care presupunem k = 0, ceea ce ınseamna ca ecuatia diferentiala (5.34) se reduce la X ′′(x) = 0care are solutia generala

X(x) = c1 · x+ c2. (5.38)

Impunand solutiei (5.38) sa satisfaca conditiile initiale (5.36) gasim si de aceasta data ca c1 = c2 = 0, careconduce la concluzia X(x) = 0 si implicit la solutia u(x, t) = 0, rezultat care contrazice conditiile initiale (5.30),ın sensul ca acestea nu sunt satisfacute.

Cazul III: k < 0. In acest caz, putem nota k = −ν2 si ecuatia diferentiala (5.34) va avea forma

X ′′(x) + ν2X(x) = 0. (5.39)

Ecuatia caracteristica corespunzatoare ecuatiei diferentiale (5.39) este r2 + ν2 = 0, iar radacinile acesteia suntr1 = iν si r2 = −iν, ceea ce atrage ca

X(x) = c1 · cos νx+ c2 · sin νx (5.40)

este solutia generala a ecuatiei diferentiale (5.34), ın care k = −ν2. Impunand solutiei generale (5.40) conditiileinitiale (5.36), gasim

c1 = 0,

c2 · sin ν` = 0.

Neputand lua varianta c1 = c2 = 0 din aceleasi motive ca mai sus, ramane sa impunem conditia sin ν` = 0,care conduce la ν` = nπ, unde n ∈ IN∗.

Asadar, valoarea lui ν depinde de n, motiv pentru care pe viitor va fi notata prin νn, astfel ca

νn =nπ

`, n = 1, 2, ...,

iar pentru k vom avea valorile

kn = −(nπ`

)2

, n = 1, 2, ...· (5.41)

In concluzie, solutia ecuatiei diferentiale (5.39) care satisface conditiile la limita (5.36), pe care o vom notade aici ınainte prin Xn(x), este

Xn(x) = sinnπ

`x, n ∈ IN∗. (5.42)

Sa ne ıntoarcem acum la ecuatia diferentiala (5.35), ın care pentru k luam valorile (5.41), adica la ecuatiilediferentiale ordinare, de ordinul al doilea, liniare si omogene

T ′′(t) + a2(nπ`

)2

T (t) = 0, n ∈ IN∗. (5.43)

Pentru fiecare n ∈ IN∗, solutia generala corespunzatoare ecuatiei (5.35) este

Tn(t) = an cosnπa

`t+ bn sin

nπa

`t, (5.44)

unde an si bn, n ∈ IN∗, sunt deocamdata constante reale arbitrare.


Introducand (5.42) si (5.44) ın (5.31) constatam ca

un(x, t) =(an cos

nπa

`t+ bn sin

nπa

`t)

sinnπ

`x, n ∈ IN∗ (5.45)

sunt solutii ale ecuatiei coardei vibrante de lungime finita (5.28) care satisfac conditiile la limita (5.29).Suma tuturor acestor solutii, ın cazul cand aceasta exista, este de asemeni o solutie a ecuatiei (5.28) care

satisface conditiile la limita (5.29). Notand aceasta suma cu u(x, t), avem ca functia

u(x, t) =∞∑n=1

(an cos

nπa

`t+ bn sin

nπa

`t)

sinnπ

`x, (5.46)

unde coeficientii an si bn, n ∈ IN∗, sunt deocamdata constante reale arbitrare, este solutie a ecuatiei (5.28) caresatisface conditiile la limita (5.29).

Seria (5.46) poate fi derivata partial termen cu termen, iar derivata partiala a functiei suma ın raport cuvariabila t este

∂u

∂t(x, t) =

πa

`

∞∑n=1

n(− an sin

nπa

`t+ bn cos

nπa

`t)

sinnπ

`x. (5.47)

Determinarea acestor coeficienti va rezulta ın urma impunerii conditiilor initiale functiei u(x, t), definita cafiind suma seriei de functii trigonometrice (5.46), iar seria cu acesti coeficienti astfel determinati va defini solutiaproblemei la limita cu conditii initiale (5.28)− (5.30).

Impunand solutiei (5.46) prima conditie initiala (5.30) se obtine∞∑n=1

an sinnπ

`x = ϕ(x), (5.48)

iar daca folosim (5.46) si cea de a doua conditie initiala din (5.30), deducem

πa

`

∞∑n=1

nbn sinnπ

`x = ψ(x). (5.49)

Din (5.48) si (5.49) se observa ca an si bn sunt coeficientii Fourier ai dezvoltarii functiilor ϕ(x) si ψ(x) ınserii Fourier, mai precis:

an =2`

∫ `

0

ϕ(x) sinnπ

`x dx; (5.50)

bn =2nπa

∫ `

0

ψ(x) sinnπ

`x dx. (5.51)

Deci, solutia ecuatiei omogene a coardei vibrante de lungime finita (5.28) care satisface conditiile la limita (5.29)si conditiile initiale (5.30) este data de suma seriei trigonometrice (5.46), unde coeficientii an si bn sunt dati de(5.50) si respectiv (5.51).

Exemplul 5.5.1. Sa se integreze ecuatia omogena a coardei vibrante de lungime doua unitati

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0,

cu conditiile la limita u(0, t) = 0,

u(2, t) = 0,∀ t ∈ R

si conditiile initiale u(x, 0) =

x, daca x ∈ [0, 1)

2− x, daca x ∈ (1, 2],

∂u

∂t(x, 0) = 0.


Solutie. Se cauta solutia de forma

u(x, t) =∞∑n=1

(an cos

nπa

2t+ bn sin

nπa

2t)

sinnπ

2x, (5.52)

unde

an =∫ 2

0

ϕ(x) sinnπ

2x dx, bn =

2nπa

∫ 2

0

ψ(x) sinnπ

2x dx.

Functia ψ(x) fiind identic nula pe compactul [0, 2], rezulta ca bn = 0. Coeficientii an se obtin ınlocuind peϕ(x) care este egal cu x, daca x ∈ [0, 1) si 2− x, daca x ∈ (1, 2] :

an =∫ 1

0

x sinnπ

2x dx+

∫ 2

1

(2− x) sinnπ

2x dx =

8n2π2

sinnπ

2,

sau

an =

0, daca n = 2k,

(−1)k8

n2π2, daca n = 2k + 1.

Inlocuind ın (5.52) valorile gasite ale coeficientiolr an si bn se obtine solutia problemei la limita cu conditiiinitiale, care are expresia

u(x, t) =8π2

∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)2an cos

a(2k + 1)πt2

· sin nπ2x, x ∈ [0, 2].

5.6 Integrarea ecuatiei neomogene a coardei vibrante finite cu con-ditii la limita omogene

Coarda de lungime ` executa oscilatii ıntretinute sau fortate atunci cand nu este lasata sa vibreze liber, asuprasa actionand o forta perturbatoare f(x, t), ın fiecare punct x al ei si la orice moment t ≥ 0, facand–o sa vibrezecontinuu. Ecuatia coardei vibrante va fi ın acest caz neomogena si va avea forma

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= f(x, t), (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (5.53)

unde f(x, t) este o forta exterioara data pe unitatea de masa a coardei si perpendiculara pe axa Ox.Intentionam sa determinam solutia ecuatiei (5.53) care sa verifice:

a) conditiile la limita u(0, t) = 0

u(`, t) = 0,∀ t ∈ [0, T ];

b) conditiile initiale u(x, 0) = ϕ(x)

∂u

∂t(x, 0) = ψ(x),

∀x ∈ [0, `].

Datorita liniaritatii ecuatiei coardei vibrante, ıncercam sa determinam u(x, t) ca suma de doua functii

u(x, t) = up(x, t) + ν(x, t),

unde ν(x, t) sa fie solutia ecuatiei omogene care sa satisfaca aceleasi conditii la limita si aceleasi conditii initialeca si functia u(x, t), iar up(x, t) sa fie solutia ecuatiei neomogene a coardei vibrante de lungime finita, cu conditii


la limita si initiale nule. Prin urmare, up(x, t), careia ıi vom spune solutie particulara, este solutia urmatoareiprobleme la limita cu conditii initiale:

1a2

∂2up∂t2

− ∂2up∂x2

= f(x, t), (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞);

up(0, t) = 0

up(`, t) = 0,∀ t ∈ [0, T ];

up(x, 0) = 0

∂up∂t

(x, 0) = 0,∀x ∈ [0, `].

Din rezultatele prezentate anterior, se stie ca

ν(x, t) =∞∑n=1

(an cos

nπa

`t+ bn sin

nπa

`t)

sinnπ

`x, (5.54)

unde an =

2`

∫ `

0

ϕ(x) sinnπ

`x dx;

bn =2nπa

∫ `

0

ψ(x) sinnπ

`x dx, n ∈ IN∗.

Pentru aflarea solutiei particulare up(x, t) se utilizeaza metoda separarii variabilelor, luand

up(x, t) =∞∑n=1

Tn(t) sinnπ

`x, (5.55)

care verifica conditiile la limita, deoarece pentru x = 0 si x = ` se anuleaza fiecare termen al seriei (5.55).Cunoasterea lui up(x, t) cere ınsa determinarea sirului de functii Tn(t), care se va realiza din conditia ca

up(x, t) din (5.55) sa verifice ecuatia neomogena a coardei vibrante, adica din conditia

∞∑n=1

( 1a2Tn′′(t) sin

nπ

`x− Tn(t)

∂2

∂x2

(sin

nπ

`x))

= f(x, t). (5.56)

In continuare, presupunem ca f(x, t) este dezvoltabila ın serie Fourier numai de sinusuri, adica are locidentitatea

f(x, t) =∞∑n=1

bn(t) sinnπ

`x, ∀x ∈ [0, `], ∀ t ∈ [0,∞), (5.57)

unde

bn(t) =2`

∫ `

0

f(x, t) sinnπ

`x dx.

Inlocuind (5.57) ın (5.56), obtinem identitatea

∞∑n=1

(Tn′′(t) +

(nπa`

)2

Tn(t))

sinnπ

`x = a2

∞∑n=1

bn(t) sinnπ

`x, ∀x ∈ [0, `], ∀ t ∈ [0,∞). (5.58)

Deoarece functiile yn = sinnπ

`x sunt independente functional, din (5.58) rezulta

Tn′′(t) +

(nπa`

)2

Tn(t) = a2bn(t), n ∈ IN∗. (5.59)


Egalitatile (5.59) reprezinta ecuatii diferentiale liniare, neomogene, de ordinul al doilea, cu coeficienti constanti.Ecuatiile omogene asociate ecuatiilor (5.59)

Tn′′(t) +

(nπa`

)2

Tn(t) = 0, n ∈ IN∗ (5.60)

au ca ecuatii caracteristice, ecuatiile de gradul al doilea

r2 +(nπa

`

)2

= 0, n ∈ IN∗,

cu radacinile complex conjugate

r1 = inπa

`, r2 = −inπa

`, n ∈ IN∗,

carora le corespund sistemele fundamentale de solutii

Tn1 = cosnπa

`t, Tn2 = sin

nπa

`t, n ∈ IN∗. (5.61)

Folosind solutiile (5.61), construim solutiile generale Tn0 ale ecuatiilor omogene asociate (5.60)

Tn0(t) = αn cosnπa

`t+ βn sin

nπa

`t, n ∈ IN∗, (5.62)

unde αn si βn sunt constante reale arbitrare.Solutiile generale ale ecuatiilor (5.59) sunt astfel

Tn(t) = Tn0(t) + cn(t) = αn cosnπa

`t+ βn sin

nπa

`t+ cn(t), n ∈ IN∗, (5.63)

unde cn(t), n ∈ IN∗, sunt solutii particulare ale ecuatiilor neomogene (5.59).

Observatia 5.6.1. Integrarea ecuatiei coardei vibrante de lungime finita s–a facut cu conditii la limita omogene.

5.7 Integrarea ecuatiei neomogene a coardei vibrante finite cu con-ditii la limita neomogene

Consideram urmatoarele functii

f : [0, `]× [0, T ]→ R, f ∈ C0([0, `]× [0, T ]);

g, h : [0, T ]→ R, g, h ∈ C2([0, T ]);

ϕ,ψ : [0, `]→ R, ϕ, ψ ∈ C0([0, `])

si problema la limita cu conditii initiale ın care se cere determinarea functiei

u : [0, `]× [0, T ]→ R, u ∈ C2([0, `]× [0, T ]),

ce sa satisfaca ecuatia cu derivate partiale de tip hiperbolic

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= f(x, t), (x, t) ∈ [0, `]× [0, T ], (5.64)

conditiile initiale u(x, 0) = ϕ(x),

∂u

∂t(x, 0) = ψ(x),

∀x ∈ [0, `] (5.65)


si conditiile la limita u(0, t) = g(t),

u(`, t) = h(t),∀ t ∈ [0, T ]. (5.66)

Urmatoarea teorema reduce rezolvarea acestei probleme la limita cu conditii initiale la o problema de acelasitip, dar cu conditii la limita omogene. In prealabil, introducem urmatoarele functii:

f∗(x, t) = f(x, t)− 1a2

(g′′(t) +

x

`(h′′(t)− g′′(t))

);

ϕ∗(x) = ϕ(x)−(g(0) +

x

`(h(0)− g(0))

);

ψ∗(x) = ψ(x)−(g′(0) +

x

`(h′(0)− g′(0))

).

(5.67)

Teorema 5.7.1. Daca u∗(x, t) este o solutie a ecuatiei

1a2

∂2u∗

∂t2− ∂2u∗

∂x2= f∗(x, t), (x, t) ∈ [0, `]× [0, T ], (5.68)

cu conditiile initiale u∗(x, 0) = ϕ∗(x),

∂u∗

∂t(x, 0) = ψ∗(x),

∀x ∈ [0, `] (5.69)

si conditiile la limita u∗(0, t) = 0,

u∗(`, t) = 0,∀ t ∈ [0, T ], (5.70)

atunciu(x, t) = u∗(x, t) +

x

`(h(t)− g(t)) (5.71)

este o solutie a problemei la limita cu conditii initiale (5.64)− (5.66).

Demonstratie. Derivatele partiale de ordinul al doilea, nemixte, ale functiei u(x, t) din (5.71) sunt

∂2u

∂x2=∂2u∗

∂x2

∂2u

∂t2=∂2u∗

∂t2+ g′′(t) +

x

`(h′′(t)− g′′(t)).

Deci1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2=

1a2

∂2u∗

∂t2− ∂2u∗

∂x2+

1a2

(g′′(t) +

x

`(h′′(t)− g′′(t))

)=

= f∗(x, t) +1a2

(g′′(t) +

x

`(h′′(t)− g′′(t))

)= f(x, t),

ceea ce ınseamna ca u din (5.71) este solutie a ecuatiei (5.64).Studiem daca functia u din (5.71) satisface conditiile initiale.

Pentru aceasta calculam u(x, 0) si∂u

∂t(x, 0). Avem:

u(x, 0) = u∗(x, 0) + g(0) +x

`(h(0)− g(0)) = ϕ∗(x) + g(0) +

x

`(h(0)− g(0)) = ϕ(x);

∂u

∂t(x, 0) =

∂u∗

∂t+ g′(0) +

x

`(h′(0)− g′(0)) = ψ∗(x) + g′(0) +

x

`(h′(0)− g′(0)) = ψ(x),

deci u verifica conditiile initiale (5.65).


In plus, avem:

u(0, t) = u∗(0, t) + g(t) +0`

(h(t)− g(t)) = g(t);

u(`, t) = u∗(0, t) + g(t) +`

`(h(t)− g(t)) = h(t),

ceea ce arata ca si conditiile la limita (5.66) sunt verificate.Mai trebuie precizata functia u∗(x, t).Pentru aceasta vom utiliza rezultatele stabilite ın sectiunea precedenta unde am integrat ecuatia neomogena

a coardei vibrante finita cu conditii la limita omogene.Se verifica simplu ca functia u∗(x, t) data de

u∗(x, t) =∫ `

0

G(x, t, s)ϕ∗(s)ds+∫ t

0

(∫ `

0

G(x, τ, s)ψ∗(s)ds)dτ+

+∫ t

0

(∫ t−τ

0

(∫ `

0

G(ξ, τ, s)f∗(τ, s)ds)dτ)dξ,

(5.72)

unde

G(x, t, s) =2`

∞∑k=1

sin(kπ`x)· cos

(akπ`t)· sin

(kπ`s)

(5.73)

este solutia problemei la limita cu conditii initiale (5.68)− (5.70).Avaand functia u∗(x, t) determinata, rezulta ca solutia problemei la limita cu conditii initiale (5.65)− (5.67)

este functia u(x, t) din (5.71). q.e.d.

Exemplul 5.7.1. Sa se integreze ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea

14∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= t− x,

cu conditiile initiale

u(x, 0) = x+ 1,

∂u

∂t(x, 0) = x

si conditiile la limita

u(0, t) = t,

u(2, t) = t+ 1.

Solutie. Constantele si functiile acestei probleme sunt:

a = 2; ` = 2; f(x, t) = t− x; ϕ(x) = x+ 1; ψ(x) = x; g(t) = t; h(t) = t+ 1. (5.74)

Aplicam teoria prezentata ın aceasta subsectiune cu datele mentionate ın (5.74).Pentru aceasta trebuiesc calculate toate functiile indexate superior cu asterix. Avem

f∗(x, t) = f(x, t)− 14

(g′′(t) +

x

2(h′′(t)− g′′(t))

)= t− x− 1

4

(0 +

x

2(0− 0)

)= t− x;

ϕ∗(x) = ϕ(x)−(g(0) +

x

2(h(0)− g(0))

)= x+ 1−

(0 +

x

2(1− 0)

)=x+ 2

2;

ψ∗(x) = ψ(x)−(g′(0) +

x

2(h′(0)− g′(0))

)= x−

(1 +

x

2(1− 1)

)= x− 1.

(5.75)

Folosind (5.73), ın care se introduc primele doua date din (5.74), se determina functia G(x, t, s), iar dacarezultatul gasit se introduce ın (5.72), aflam functia u∗(x, t). In final, solutia problemei la limita cu conditiiinitiale este data de

u(x, t) = u∗(x, t) + t+x

2.


5.8 Principiul lui Duhamel pentru determinarea unei solutii parti-culare a ecuatiei neomogene a coardei vibrante finite

Teorema 5.8.1. Daca pentru fiecare τ fixat, notam w(x, t, τ) solutia ecuatiei

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0 (5.76)

care verifica conditiile initiale w(x, 0, τ) = 0,

∂w

∂t(x, 0, τ) = a2f(x, τ)

(5.77)

si conditiile la limita w(0, t, τ) = 0,

w(`, t, τ) = 0,(5.78)

unde τ este un parametru, atunci functia

up(x, t) =∫ t

0

w(x, t− τ, τ)dτ (5.79)

verifica ecuatia vibratiilor coardei finite

1a2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= f(x, t), (5.80)

cu conditiile initiale omogene up(x, 0) = 0

∂up∂t

(x, 0) = 0(5.81)

si conditiile la limita omogene up(0, t) = 0,

up(`, t) = 0.(5.82)

Demonstratie. Functia up din (5.79) este o integrala depinzand de doi parametri, x si t. Conform ipotezelor,rezulta ca up este de doua ori diferentiabila, iar derivatele partiale se determina prin formula lui Leibniz dederivare a unei integrale depinzand de parametru [14][p. 65]. Mai ıntai, avem:

∂2up∂x2

(x, t) =∫ t

0

∂2w

∂x2(x, t− τ, τ) dτ. (5.83)

Apoi,∂up∂t

(x, t) =∫ t

0

∂w

∂t(x, t− τ, τ) dτ + w(x, 0, t). (5.84)

Tinand seama de (5.77), din (5.84) se obtine o noua integrala care depinde de doi parametri

∂up∂t

(x, t) =∫ t

0

∂w

∂t(x, t− τ, τ) dτ, (5.85)

careia, daca ıi aplicam formula lui Leibniz, deducem

∂2up∂t2

(x, t) =∫ t

0

∂2w

∂t2(x, t− τ, τ) dτ +

∂w

∂t(x, t, 0). (5.86)


Avand ın vedere cea de a doua conditie initiala din (5.77), rezulta ca (5.86) devine

∂2up∂t2

(x, t) =∫ t

0

∂2w

∂t2(x, t− τ, τ) dτ + a2f(x, t). (5.87)

Impunand ca up(x, t) sa satisfaca (5.80) si tinand cont de (5.83) si (5.87), ajungem la

1a2

(a2f(x, t) +

∫ t

0

∂2w

∂t2(x, t− τ, τ) dτ

)−∫ t

0

∂2w

∂x2(x, t− τ, τ) dτ = f(x, t)

sau ∫ t

0

( 1a2

∂2w

∂t2(x, t− τ, τ)− ∂2w

∂x2(x, t− τ, τ)

)dτ = 0,

ceea ce este adevarat deoarece w(x, t, τ) este solutia ecuatiei omogene (5.76).Din (5.79) si (5.85) rezulta ca ambele conditii initiale (5.81) sunt ındeplinite.De asemeni, conditiile la limita (5.82) sunt satisfacute deoarece functia w verifica conditiile la limita (5.78).Astfel, teorema este demonstrata. q.e.d.

5.9 Ecuatia de echilibru a unei membrane elastice

Se numeste membrana elastica o foaie ıntinsa, perfect flexibila si care opune rezistenta la ıntindere. Lucrulmecanic efectuat de catre o forta externa, pentru a deforma un sector al membranei, este proportional cu defor-marea. Coeficientul de proportionalitate T, indiferent de forma si pozitia acestui sector, se numeste tensiuneamembranei .

Vom deduce ecuatia pe care trebuie sa o verifice o membrana aflata ın echilibru, presupunand ca la momentulinitial ea ocupa ın planul xOy un domeniu D, marginit de o curba L, suficient de regulata. Fortele elasticeinterne produc un lucru mecanic egal si de semn contrar cu cel datorat fortelor externe. Fie f(M) densitatea,ıntr–un punct M ∈ D, a fortei perpendiculare pe planul xOy. Sub actiunea acestei forte, membrana trece ıntr–onoua stare, descrisa de ecuatia u = u(M), sau u = u(x, y), unde x si y sunt coordonatele carteziene ale punctuluiM. Presupunem ca deformarea membranei este mica, ceea ce ınseamna ca vom neglija puterile superioare lui

2 ale derivatelor partiale∂u

∂xsi∂u

∂y. Presupunem ın plus ca, sub actiunea fortelor externe, punctele membranei

nu se deplaseaza decat pe perpendiculara la planul xOy astfel ıncat coordonatele x, y ale unui punct arbitrarnu se modifica.

Lucrul mecanic al fortei externe f(x, y), care a produs deplasarea membranei din pozitia sa initiala (u =0, M(x, y) ∈ D), ın pozitia descrisa de ecuatia u = u(x, y), M(x, y) ∈ D, este egal cu∫∫

D

f(x, y)u(x, y)dxdy.

In decursul deplasarii, variatia ariei membranei este∫∫D

(√1 +

(∂u∂x

(x, y))2

+(∂u∂y

(x, y))2

− 1)dxdy,

iar lucrul mecanic al fortelor elastice interne este egal cu

−T∫∫D

(√1 +

(∂u∂x

(x, y))2

+(∂u∂y

(x, y))2

− 1)dxdy ≈ −T

2

∫∫D

(∂u∂x

(x, y))2

+(∂u∂y

(x, y))2

dxdy.

Prin urmare, lucrul mecanic total se scrie

A(u) =∫∫D

(−T2

(∂u∂x

(x, y))2

+(∂u∂y

(x, y))2

+ f(x, y)u(x, y))dxdy. (5.88)


Variatia functionalei (5.88) se exprima prin

δA(u)∫∫D

(−T (uxδux + uyδuy) + fδu) dxdy,

unde, pentru comoditatea scrierii, am notat derivatele partiale de ordinul ıntai ale functiei u cu ux, respectivuy.

Conform principiului deplasarilor virtuale, ın pozitia de echilibru u = u(x, y) are loc relatia δA(u) = 0,pentru toate variabilele admisibile δu(x, y). Utilizand prima identitate a lui Green (3.86), sau [15][p.137], avem∫∫

D

(uxδux + uyδuy) + fδu) dxdy =∫L

∂u

∂nδu ds−

∫∫D

∇2u δu dxdy,

unde n este versorul normalei exterioare la conturul L si∂u

∂neste derivata campului scalar u pe directia

versorului n (vezi (3.13)), obtinem

δA(u) = −T∫L

∂u

∂nδu ds+

∫∫D

(T∇2u+ f)δu dxdy = 0. (5.89)

Deoarece orice functie indefinit diferentiabila ın D si egala cu zero pe frontiera este o functie admisibila,presupunand ca u(x, y) si f(x, y) sunt suficient de regulate, egalitatea (5.89) implica

T∇2u = −f(x, y), ∀M(x, y) ∈ D, (5.90)

unde ∇2 este operatorul lui Laplace ın doua dimensiuni

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2.

Ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea de tip eliptic (5.90) este denumita ecuatia de echilibru amembranei elastice.

In continuare vom stabili conditiile la limita.

a) Daca marginea membranei este fixata rigid, nu se produce nici o deplasare a punctelor de pe conturul Lsi prin urmare

u(x, y) = 0, ∀M(x, y) ∈ L. (5.91)

b) Daca marginea membranei este libera ea se poate deplasa liber pe suprafata laterala a cilindrului cugeneratoarele perpendiculare pe planul xOy si curba directoare conturul L. In acest caz, δu este arbitraraın D si pe L, iar conditia (5.89) implica

∂u

∂n(x, y) = 0, ∀M(x, y) ∈ L. (5.92)

c) Daca marginea membranei este supusa unei forte cu densitatea liniara f1, integrala curbilinie din (5.89)se ınlocuieste cu ∫

L

(− T ∂u

∂n+ f1

)δu ds,

iar δu fiind arbitrara de–a lungul lui L, rezulta

−T ∂u∂n

(x, y) + f1(x, y) = 0, ∀M(x, y) ∈ L. (5.93)


d) Daca marginea membranei este fixata elastic, cu o forta −ku, unde k exprima rigiditatea legaturii, conditiala limita se obtine ınlocuind cu = ku pe f1 ın ecuatia (5.93). Astfel rezulta conditia

∂u

∂n(x, y) + hu(x, y) = 0, ∀M(x, y) ∈ L, (5.94)

unde h =k

T.

5.10 Ecuatia de miscare a unei membranei elastice

Vom stabili acum ecuatia de miscare a unei membranei elastice.In acest scop, fie u = u(x, y, t) functia care descrie pozitia membranei la momentul t. Conform principiului

lui d’Alembert, functia u(x, y, t) este solutia ecuatiei diferentiale

T∇2u = −(f(x, y, t)− ρ(x, y)

∂2u

∂t2(x, y, t)

),

unde f = f(x, y, t) este densitatea fortei externe, iar ρ(x, y)∂2u

∂t2(x, y, t) este densitatea fortei de inertie.

Asadar, ecuatia de miscare a unei membrane elastice are forma

a2∇2u− utt = F (x, y, t), unde a2 =T

ρ, F (x, y, t) = −f(x, y, t)

ρ(x, y), (5.95)

unde pentru derivata partiala secunda ın raport cu timpul t am utilizat notatia mai simpla∂u2

∂t2= utt.

Din punct de vedere fizic, este clar ca, pentru a descrie oscilatiile ın mod univoc, trebuie ca ın afara ecua-tiei (5.95) si a conditiei la limita (una, oricare, din conditiile a)–d)), sa se precizeze pozitia initiala (formamembranei) la momentul initial t = 0 si vitezele initiale ale punctelor membranei.

Se formuleaza asadar, pentru ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea de tip hiperbolic (5.95),urmatoarea problema la limita cu conditii initiale: sa se afle o functie u : D × [0,∞) → R, de doua oridiferentiabila ın D pentru t ≥ 0, solutie a ecuatiei vibratiilor libere ale membranei elastice, care sa verifice unadin cele cinci conditii la limita a)–d), ın care (x, y) trece ın (x, y, t), si sa satisfaca de asemenea conditiile initiale

u(x, y, 0) = ϕ(x, y),∂u

∂t(x, y, 0) = ψ(x, y), ∀M(x, y) ∈ D,

unde ϕ si ψ sunt functii date.

5.11 Oscilatiile libere ale unei membrane elastice circulare

Scopul acestui paragraf este acela de a gasi oscilatiile libere ale unei membrane elastice circulare de raza R cuconditii la limita si initiale date. Pentru simplitate, consideram ca data la limita este nula. Deci, problemaconsta ın gasirea functiei u(r, θ, t), care tine loc de ınaltimea membranei fata de planul ın care s–a ales reperulpolar (r, θ), care satisface ecuatia oscilatiilor libere ale membranei scrisa ın coordonate polare [9]

utt = a2(urr +

1rur +

1r2uθθ

), (r, θ) ∈ (0, R)× [0, 2π), (5.96)

conditia la limita nulau(R, θ, t) = 0 (5.97)

si conditiile initiale u(r, θ, 0) = f(r, θ),

∂u

∂t(r, θ, 0) = g(r, θ),

(5.98)

unde f si g sunt functii date.


Pentru a rezolva problema la limita cu conditii initiale (5.96)− (5.98), reamintim problema vibratiilor libereale coardei care a implicat superpozitia unui numar infinit de oscilatii simple.

Daca abordam membrana ıntr–un mod similar, vom cauta solutii de forma

u(r, θ, t) = U(r, θ) · T (t). (5.99)

Expresia (5.99) da forma U(r, θ) a oscilatiillor ınmultite cu factorul oscilator T (t). Procedand la ınlocuire ınecuatia cu derivate partiale ale oscilatiilor libere ale membranei, ajungem la ecuatiile

∇2U + λ2U = 0 (ecuatie de tip Helmholtz), (5.100)

T ′′ + λ2a2T = 0 (miscare armonica simpla), (5.101)

unde∇2U = Urr +

1r2Ur +

1r2Uθθ

este operatorul lui Laplace ın coordonate polare ın plan, aplicat functiei U = U(r, θ).Din sensul fizic al problemei rezulta ca functia U = U(r, θ) este o functie periodica de θ, cu perioada 2π,

adicaU(r, θ) = U(r, θ + 2π) (5.102)

si ca aceasta functie este marginita ın centrul discului, adica

|U(0, θ)| <∞. (5.103)

Sa remarcam ca de la ınceput am presupus constanta de separare sa fie negativa (deci, am notat–o cu −λ2)deoarece dorim ca T (t) sa fie functie periodica.

In urmatoarea etapa, dorim sa rezolvam ecuatia Helmholtz, ınsa, mai ıntai, este necesara conditia la limita.Pentru a afla aceasta, ınlocuim (5.99) ın conditia la limita (5.97), din care deducem

u(R, θ, t) = U(R, θ) · T (t) = 0, 0 < t <∞

sauU(R, θ) = 0. (5.104)

Folosind pentru problema (5.100), (5.102), (5.103), (5.104) metoda separarii variabilelor, avem

U(r, θ) = Φ(r) · Z(r) (5.105)

si din (5.100) obtinem ecuatiile Φ′′(θ) + ν2Φ(θ) = 0,

Z ′′(r) +1rZ ′(r) +

(λ2 − ν2

r2

)Z(r) = 0.

(5.106)

In baza relatiilor (5.103) si (5.104), trebuie sa fie ındeplinite conditiileZ(R) = 0,

|Z(0)| <∞.(5.107)

Din (5.102) si (5.106)1 obtinem ν = n, unde n este un numar natural, si

Φn(θ) = An cosnθ +Bn sinnθ. (5.108)

Efectuand substitutia λr = x ın ecuatia (5.106)2, necunoscuta devine functie de variabila x, pe care o notam

cu y(x). Daca ın egalitatea Z(r) = y(x) derivam ın raport cu r de doua ori si tinem cont cadx

dr= λ, gasim:

Z ′(r) =d

dry(x) =

dy

dx· dxdr

= y′(x) · λ = λ · y′(x);

Z ′′(r) =d

drZ ′(r) =

d

dr(λy′(x)) =

d

dx(λy′(x)) · dx

dr= λy′′(x) · λ = λ2 · y′′(x).


Asadar, Z(r) = y(x),

Z ′(r) = λy′(x),

Z ′′(r) = λ2y′′(x).

(5.109)

Daca folosim (5.109) ın ecuatia diferentiala (5.106)2, aceasta devine

x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y = 0 (5.110)

ın care recunoastem ecuatia diferentiala a lui Bessel [24].Se stie ca solutia generala a ecuatiei (5.110) este de forma

yν(x) = c1Jν(x) + c2Yν(x),

unde Jν(x) si Yν(x) sunt functiile lui Bessel de ordinul ν, de speta I si II respectiv [21], [24][Cap. 3].Revenind la ecuatia (5.106)2, constatam ca solutia sa generala, ın cazul ν = n, este

Zn(r) = cnJn(λr) + dnYn(λr).

Deoarece ın vecinatatea punctului x = 0, functia Jn(x) este marginita, iar functia Yn(x) ete nemarginita, ınbaza relatiei (5.107)2 rezulta ca dn = 0. Deci, solutia generala a ecuatiei Bessel (5.106)2 este

Zn(r) = cnJn(λr). (5.111)

Din conditia (5.104), obtinem Jn(λR) = 0. Punand λR = µ, obtinem ecuatia Jn(µ) = 0. Fie kn1, kn2, ...,solutiile ei pozitive, adica

Jn(knm) = 0, m = 1, 2, ...· (5.112)

Atunci, din (5.111) obtinem ca functiile

Zn,m(r) = Jn

(knmR

r)

(5.113)

sunt solutiile problemei (5.106)2 si (5.107).Din relatiile (5.99), (5.101), (5.105), (5.108), (5.113) rezulta ca functiile

unm(r, θ, t) =((Anm cos

aknmR

t+Bnm sinaknmR

t)

cosnθ+

+(Cnm cos

aknmR

t+Dnm sinaknmR

t)

sinnθ)Jn

(knmR

r) (5.114)

sunt solutiile particulare ale ecuatiei (5.96), denumite oscilatii fundamentale. Aceste solutii satisfac conditia lalimita (5.97).

Cautam solutia problemei la limita cu conditii initiale (5.96)− (5.98) sub forma seriei de functii

u(r, θ, t) =∞∑n=0

∞∑m=1

unm(r, θ, t), (5.115)

unde functiile unm sunt definite prin formulele (5.114). Calculand derivata functiei u si impunand conditiileinitiale (5.98), obtinem

f(r, θ) =∞∑n=0

∞∑m=1

(Anm cosnθ + Cnm sinnθ

)Jn

(knmR

r),

g(r, θ) =∞∑n=0

∞∑m=1

aknmR

(Bnm cosnθ +Dnm sinnθ

)Jn

(knmR

r).

(5.116)


Dezvoltand functia f(r, θ) ca functie periodica de θ ın serie Fourier

f(r, θ) =α0

2+∞∑n=1

αn(r) cosnθ + βn(r) sinnθ,

unde αn(r) =

1π

∫ π

−πf(r, θ) cosnθ dθ, n ∈ IN,

βn(r) =1π

∫ π

−πf(r, θ) sinnθ dθ, n ∈ IN∗

(5.117)

si comparand aceasta dezvoltare cu formula (5.116), rezulta

α0(r) = 2∞∑m=1

A0mJ0

(k0m

Rr)

αn(r) =∞∑m=1

AnmJn

(knmR

r)

βn(r) =∞∑m=1

CnmJn

(knmR

r).

(5.118)

Pe de alta parte, pentru fiecare n ∈ IN fixat, sirul de functii(Jn(knmx)

)m≥1

, unde knm sunt radacini ale

ecuatiei Jn(x) = 0, este un sir ortogonal cu ponderea x pe intervalul [0, 1], adica

∫ 1

0

xJn(knpx)Jn(knqx) dx =

0, pentru q 6= p

12J2n+1(knp), pentru q = p.

(5.119)

Sa notam generic prin w(r), oricare din functiile membrilor ıntai din (5.118). Aceasta functie poate fi dez-voltata ın serie Fourier–Bessel

w(r) =∞∑s=1

asJn

(knsRr), (5.120)

coeficientii dezvoltarii determinandu–se prin formula

as =2

R2J2n+1(kns)

∫ R

0

τw(τ)Jn(knsRτ)dτ. (5.121)

In continuare vom arata cum se determina coeficientii Cnm. Folosind rezultatele din (5.119)−(5.121), ultimarelatie din (5.118) devine

∞∑s=1

2R2J2

n+1(kns)

∫ R

0

τβn(τ)Jn(knsRτ)dτJn

(knsRr)

=∞∑q=1

CnpJn

(knqRr), n ∈ IN. (5.122)

Inmultim egalitatea (5.122) cu rJn(knpRr)

dupa care integram ıntre 0 si R. In urma acestor operatiuni, folosind

relatia (5.119), obtinem

Cnp =2

R2J2n+1(knp)

∫ R

0

τβn(τ)Jn(knpRτ)dτ.

Coeficientii Anm se determina asemanator.Pentru a determina coeficientii Bnm si Dnm plecam de la dezvoltarea ın serie Fourier a functiei g(r, θ) si se

urmareste rationamentul de mai sus, derulat dupa egalitatile (5.116).In aceest mod, problema la limita cu conditii initiale este complet rezolvata.


Sa ıncercam sa determinam solutia problemei (5.96), (5.97), (5.98) ıntr–un caz particular [18][p. 238] sianume cand functia u este independenta de variabila θ, situatie frecvent ıntalnita cunoscuta sub numele deproblema axial–simetrica. Aceasta presupune ca ın locul conditiilor (5.98) trebuiesc considerate conditiile

u(r, θ, 0) = f(r)

∂u

∂t(r, θ, 0) = 0,

(5.123)

cu mentiunea ca nu este nici o dificultate sa consideram si cazul ın care∂u

∂t(r, θ, 0) 6= 0. Cu aceste presupuneri,

solutia problemei corespunzatoare devine

u(r, t) =∞∑m=1

AmJ0(k0mr) cos k0mat, (5.124)

scopul fiind acela de a gasi Am astfel ıncat

f(r) =∞∑m=1

AmJ0(k0mr). (5.125)

Pentru a gasi constantele Am, folosim conditia de ortogonalitate (5.119) ın care consideram ca n = 0, adica

∫ 1

0

rJ0(k0mr)J0(k0qr) dr =

0, pentru m 6= q

12J2

1 (k0q), pentru m = q.(5.126)

Calculul acestei integrale poate fi gasit ın multe carti despre functii Bessel. De exemplu, [21] este una din celemai bune carti de tabele, ın care sunt tabelate radacinile functiilor Bessel.

Multiplicand fiecare membru al ecuatiei (5.125) cu rJ0(k0qr), integrand de la 0 la 1 si folosind (5.126),obtinem

Aq

∫ 1

0

rJ20 (k0qr) dr =

∫ 1

0

rf(r)J0(k0qr) dr

din care putem determina pentru Aq valoarea

Aq = 2∫ 1

0

rf(r)J0(k0qr) dr/J21 (k0q), q = 1, 2, ... (5.127)

Oscilatiie membranei circulare de raza R = 1, independente de unghiul polar θ, sunt descrise de functia u(r, t)din (5.124), unde coeficientii sunt dati de relatiile (5.127).

Aceasta solutie nu este asa de complicata cum pare la prima vedere. O putem interpreta ca fiind dezvoltareaconditiei initiale f(r) exprimata prin suma

f(r) = A1J0(k01r) +A2J0(k02r) +A3J0(k03r) + ...

urmata de inserarea factorului oscilant cos (k0mat) ın fiecare termen; adica

u(r, t) = A1J0(k01r) cos (k01at) +A2J0(k02r) cos (k02at) +A3J0(k03r) cos (k03at) + ...

De exemplu, oscilatiile membranei circulare, de raza R = 1, cu conditiile initialeu(r, θ, 0) = J0(2.4r) + 0.5J0(8.65r),

ut(r, θ, 0) = 0

trebuie sa fie date deu(r, t) = J0(2.4r) cos (2.4at) + 0.5J0(8.65r) cos (8.65at).

Capitolul 6

Probleme de tip difuzie (Ecuatii de tipparabolic)

6.1 Ecuatia diferentiala a propagarii caldurii

In situatiile ın care ıntr–o anumita regiune din spatiu temperatura nu este constanta, se produce fenomenuldeplasarii unui flux de caldura de la punctele cu temperatura mai ınalta la puncte de temperaturi scazute,fenomen care poarta numele de propagarea caldurii .

Dupa cum vom vedea ın continuare, modelarea matematica a acestui fenomen se realizeaza printr–o ecuatiecu derivate partiale de ordinul al doilea de tip parabolic. Ecuatia corespunzatoare se stabileste plecand de lalegea lui Fourier. Conform acestei legi, cantitatea de caldura Q care trece ın intervalul de timp δt prin ariainfinitezimala sau elementul de arie δS, interioara corpului considerat, este data de formula

Q = −k(x, u)∂u

∂n(x, t)δSδt, (6.1)

unde n este versorul normalei la suprafata ın sensul temperaturilor descrescatoare, k(x, u) este coeficientulconductibilitatii termice, iar u(x, t) este temperatura corpului ın punctul de vector de pozitie x = (x1, x2, x3) lamomentul t. Presupunem corpul izotrop din punct de vedere al proprietatilor termice, prin urmare, k(x, u) nudepinde de orientarea ariei. Pentru a stabili ecuatia, izolam ın interiorul corpului paralelipipedul [9]

Π = M(ξ1, ξ2, ξ3) |xj < ξj < xj + δxj , j = 1, 2, 3,

cu fetele paralele cu planele de coordonate, si sa determinam bilantul sau termicc. Pe baza legii lui Fourier(6.1), paralelipipedul Π, prin fata ξ1 = x1, primeste sau cedeaza cantitatea de caldura

Q′ = −k(x, u)∂u

∂x1(x, t)δx2δx3δt,

ın timp ce prin fata opusa ξ1 = x1 + δx1, cantitatea de caldura cedata sau primita este

Q′′ = k(x1 + δx1, x2, x3, u(x1 + δx1, x2, x3, t)

) ∂u∂x1

(x1 + δx1, x2, x3, t)δx2δx3δt.

Bilantul termic prin cele doua fete opuse va fi suma celor doua cantitati de caldura. Daca aplicam lemafundamentala a calculului diferential [13], pana la infiniti mici de ordin superior ın raport cu δx1, δx2, δx3, δt,cantitatea totala de caldura Q′ +Q′′ are expresia

Q′ +Q′′ =∂

∂x1

(k(x, u)

∂u

∂x1

)(x, t)δx1δx2δx3δt.

107


In mod analog se calculeaza fluxul de caldura care se produce prin celelalte fete. Astfel, cantitatea de calduraδQ, care strabate suprafata paralelipipedului Π ın timpul δt, este

δQ =3∑j=1

∂

∂xj

(k(x, u)

∂u

∂xj

)δx1δx2δx3δt = ∇ · (k∇u).

Presupunem ca schimbul termic se produce de prezenta unor surse de caldura a caror densitate convenimsa o notam cu F (x, t). Cantitatea de caldura pe care sursele o cedeaza paralelipipedului Π ın timpul δt este

δQ1 = F (x, t)δx1δx2δx3δt. (6.2)

Astfel, ın timpul δt corpul primeste ın total cantitatea de caldura

δQ2 = δQ+ δQ1. (6.3)

Pe de alta parte, cantitatea de caldura Q2 poate fi definita ın functie de cresterea temperaturii ın paralelipipedulΠ ın intervalul de timp δt, ın urmatorul mod: daca ρ(x) este densitatea materialului din care este confectionatparalelipipedul si c(x) este caldura sa specifica, atunci

δQ2 =(u(x, t+ δt)− u(x, t)

)ρ(x)c(x)δx1δx2δx3. (6.4)

Aplicand iarasi lema fundamentala a calculului infinitezimal, din (6.4) obtinem

δQ2 = ρ(x)c(x)∂u

∂t(x, t)δx1δx2δx3δt. (6.5)

Egalam (6.3) cu (6.5) si ınlocuim δQ si δQ1. Obtinem

ρ(x)c(x)∂u

∂t(x, t) = ∇ · (k∇u) + F (x, t). (6.6)

Daca coeficientul conductivitatii termice k depinde efectiv de temperatura u, atunci (6.6) este o ecuatie cuderivate partiale de ordinul al doilea, neliniara. Daca ınsa k nu depinde de u, adica k(x, u) = k(x), atunci (6.6)devine liniara. In cazul unui corp omogen, avem

ρ(x) = const., c(x) = const., k(x) = const.

si ecuatia (6.6) se scrie sub forma

∂u

∂t(x, t) = a2(∇2u)(x, t) + f(x, t), (6.7)

unde

a2 =k

ρc, f(x, t) =

F (x, t)ρc

.

Ecuatiile (6.6) sau (6.7) se numesc ecuatii de propagare a caldurii .Daca f(x, t) = 0, ın domeniul tridimensional ocupat de corp are loc fenomenul de racire al materialului din

care este confectionat corpul, pana la o uniformizare a temperaturii la valoare constanta, daca domeniul ocupatde corp este izolat termic de exteriorul sau. In acest caz, fenomenul de racire este descris de ecuatia

∂u

∂t(x, t) = a2(∇2u)(x, t). (6.8)

Termenul a2(∇2u)(x, t) poarta numele de difuzie, iar problemele fizice ın care este implicata ecuatia (6.6)sau (6.7) se numesc probleme de tip difuzie. Coeficientul a2 se numeste difuzivitatea termica a mediului princare are loc propagarea caldurii.

In general, difuzia poate fi definita ca miscarea particolelor dintr–un domeniu de concentratie mare spre oregiune cu concentratie mai scazuta.

Capitolul 6—Ecuatii de tip parabolic 109

Difuzia apare ca un rezultat al legii a doua a termodinamicii care afirma ca entropia sau dezordinea oricaruisistem trebuie sa creasca ın timp ıntotdeauna.

Difuzia este importanta ın multe fenomene ale vietii fiind de mare interes datorita diverselor aplicatii dingeofizica si industrie. In acest sens mentionam de exemplu faptul ca companiile petrolifere sunt interesate ınprocesul difuziei termoelastice pentru o extractie mai eficienta a titeiului din depozitele subterane.

Difuzia termoelastica ıntr–un solid elastic se datoreaza cuplarii campului termic, difuziei masei, din care estealcatuit corpul, si deformarea solidului, presupusa a fi elastica.

Cel care a avut preocupari majore ın teoria difuziei ın termoelasticitate a fost renumitul matematicianpolonez Witold Nowacki care a dezvoltat modelul matematic al termoelasticitatii cuplate, care implica printrealtele viteze infinite ale propagarii undelor elastice.

De cele mai multe ori, ın cartile sau articolele ın care se studiaza aspecte ale propagarii caldurii din punctde vedere ingineresc, pentru coordonatele carteziene x1, x2, x3 se foloseste notatia x, y, z, astfel ca ecuatia (6.7)se scrie ın forma

ut = a2(uxx + uyy + uzz).

6.1.1 Conditie initiala

Toate problemele fizice care se petrec ıntr–un corp C trebuie sa porneasca de la o anumita valoare a timpului,notata ın general t = 0, astfel ca, pentru descrierea univoca a propagarii caldurii ın corpul C, ın afara ecuatiei(6.6) sau (6.7), trebuie specificata temperatura la acest moment ın toate punctele corpului, numita temperaturainitiala, adica

u(x, 0) = ϕ(x), (6.9)

unde ϕ este o functie reala data definita ın toate punctele corpului, deci ϕ : C → R.In studiul ecuatiei propagarii caldurii, egalitatea (6.9) poarta denumirea de conditie initiala.

6.1.2 Conditii pe frontiera sau conditii la limita

Toate problemele fizice au frontiere de un anumit tip, astfel ca trebuie sa descriem matematic ce se petrecepe acea frontiera pentru a caracteriza ın mod adecvat problema fizica considerata, cu alte cuvinte trebuie sadescriem regimul termic pe frontiera, sau conditia la limita.

In cazul unei frontiere S a corpului C, mentinuta la o temperatura data, conditia la limita se scrie

u(x, t) = ψ(x, t), ∀x ∈ S, ∀ t ≥ 0, (6.10)

unde ψ este o functie reala data, definita ın punctele frontierei corpului, la orice moment t ≥ 0 al studiuluifenomenului termic.

Daca prin frontiera S trece un flux de caldura q, conditia la limita se scrie sub forma

∂u

∂n(x, t) = h(x, t), ∀x ∈ S, ∀ t ≥ 0, (6.11)

unde h =q

α, α fiind coeficientul de schimb la suprafata, iar n este normala unitara exterioara ın punctul

x ∈ S. In particular, daca C este un corp izolat termic pe frontiera S, atunci∂u

∂n|S = 0. Daca temperatura

mediului ambiant este data, se presupune ca schimburile de caldura au loc conform legii lui Newton, adicaq|S = α(u1− u)|S , unde q este fluxul termic, α este coeficientul de schimb la suprafata, iar u1 este temperaturamediului ambiant. Pe de alta parte, ın baza legii lui Fourier, corpul primeste ın unitatea de timp, prin unitatea

de arie a lui S, fluxul q1 = k∂u

∂n. Cele doua fluxuri trebuie sa fie egale, adica k

∂u

∂n= α(u1 − u)|S sau

(∂u∂n

+ κu)

(x, t) = ϕ1(x, t), ∀x ∈ S, ∀ t ≥ 0, (6.12)

unde κ =α

ksi ϕ1 = hu1.

Conditiile la limita sunt restrictii impuse pe frontierele domeniului de analiza. Aceste restrictii pot fi dedoua tipuri:


1. conditii la limita de tip Dirichlet1 (numite si conditii esentiale), ın care se impun valorile variabilei de-pendente pe frontiera specificata (vezi (6.10));

2. conditii la limita de tip Neumann2 (numite si naturale), ın care se impune gradientul variabilei dependenteın directie normala pe frontiera specificata (vezi (6.11)).

Daca pe frontiera specificata se impun atat conditii Dirichlet, cat si Neumann, se vorbeste de conditii de tipCauchy .

Daca pe frontiera specificata se impun combinatii liniare de conditii Dirichlet si Neumann se vorbeste despreconditii de tip Robin.

Daca pe diferite parti ale frontierei domeniului se impun conditii la limita de tipuri diferite se spune ca estevorba despre conditii mixte.

6.2 Alte ecuatii de tip difuzie

6.2.1 Caldura superficiala pierduta, proportionala cu diferenta de temperatura

Ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea de tip parabolic

ut = a2∇2u− β(u− u1), β > 0, (6.13)

descrie fluxul de caldura printr–un corp datorat atat fenomenului de difuzie, cuantificat prin termenul a2∇2u,cat si pierderii sau castigarii caldurii prin suprafata corpului. Caldura pierduta (u < u1) sau castigata (u > u1)este proportionala cu diferenta ıntre temperatura u(x, t) a corpului si temperatura mediului ınconjurator u1,cu β constanta de proportionalitate. Daca β este foarte mare ın contrast cu coeficientul de difuzivitate a2,atunci fluxul de caldura din interiorul corpului, de tip ıncoace si ıncolo, prin suprafata corpului, va fi mai mic ıncomparatie cu fluxul de tip ınspre si dinspre suprafata si deci, fluxul va fi drenat spre exterior ın conformitatecu ecuatia

ut = −β(u− u1).

In chimie, unde u semnifica concentratia unei substante, ecuatia (6.13) afirma ca viteza de schimbare (variatie)a substantei, adica ut, se datoreaza atat difuziei a2∇2u, cat si faptului ca substanta poate fi creata (u < u1)sau distrusa (u > u1) printr–o reactie chimica proportional cu diferenta dintre concentratiile u si u1.

6.2.2 Ecuatia difuzie–convectie a poluarii apelor subterane

Poluarea apelor subterane este un fenomen complex, care depinde atat de natura mediului poros cat si de naturapoluantilor. In general, poluarea apelor subterane are un aspect fizic si unul chimic sau biochimic.

In continuare, definim notiunea de poluare a apelor subterane ın legatura cu dispersia unui poluant ıntr-unmediu poros, si apoi descriem matematic legaturile dintre concentratia poluantului si celelalte marimi caracter-istice.

Cand doua fluide miscibile intra ın contact, exista o interfata care deschide o zona de tranzitie ın carediferentele dintre proprietatile fizice ale celor doua fluide tind, ın timp, sa se niveleze. Acest efect globalrezulta din actiunea simultana a unor fenomene fizico-chimice, cum ar fi difuzia moleculara, sau diferentele depermeabilitate ale mediului poros.

Fenomenul datorita caruia apare miscarea si ımprastierea poluantului poarta numele de dispersie. Mecan-ismul dispersiei este foarte complicat. Dispersia este rezultatul actiunii simultane a unui fenomen pur mecanicsi a unui fenomen fizico-chimic.

1Dirichlet, Gustav Lejeune (1805 – 1859), matematician german, autor al cercetarilor asupra seriilor trigonometrice, cel care adefinit conceptul de functie ın sensul ei modern de corespondenta.

2Neumann, John von (1903 - 1957), matematician american evreu de origine austro–ungara cu importante contributii ın fizicacuantica, analiza functionala, teoria multimilor, topologie, economie, informatica, analiza numerica, hidrodinamica exploziilor,statistica si ın multe alte domenii ale matematicii, fiind unul din cei mai importanti matematicieni din istorie. Von Neumann a fostun pionier al aplicatiilor teoriei operatorilor ın mecanica cuantica, membru al Proiectului Manhattan si al Institutului pentru StudiiAvansate de la Princeton (fiind unul din primii savanti adusi - un grup numit uneori ”semizeii”), si co–creator al teoriei jocurilor

si a conceptelor din automatele celulare si constructorul universal. Impreuna cu Edward Teller si Stanislaw Ulam, von Neumann arezolvat probleme cheie din teoria fizicii nucleare implicata ın reactiile termonucleare si bomba cu hidrogen.


Descrierea fizica a fenomenului de dispersie poate fi facuta prin suprapunerea unui fenomen de difuziemoleculara a substantei poluante cu un fenomen de convectie (advectie), datorat existentei unui camp de vitezeın domeniul ın care are loc poluarea.

Vom studia dispersia unui poluant ın apa aflata ıntr-un mediu poros, prin determinarea concentratieisubstantei poluante ıntr-un punct din domeniul de curgere, la un moment dat. Aceasta concentratie esteinfluentata de natura mediului poros (prin porozitate, conductivitate hidraulica, tortuozitate), de regimul decurgere (prin campul vitezelor) si de natura poluantului (prin coeficientul de difuzie moleculara).

Prin tortuozitate (τ) se ıntelege raportul dintre distanta ıntre capetele traiectoriei parcurse de poluant (ınlinie dreapta) si distanta reala, parcursa prin pori (mult mai mare decat cea reala).

In literatura de specialitate sunt prezentate trei categorii de modele matematice ale fenomenului de dispersiea unui poluant ın apa aflata ıntr-un mediu poros:

– modele geometrice;

– modele geometrico–statistice;

– modele probabilistice.

Modelele geometrice si cele geometrico-statistice au la baza reprezentarea mediului poros printr-o reteageometrica, care sa permita exprimarea matematica a fenomenului. Astfel de modele necesita un numar marede parametri, caracteristici geometriei date. Reprezentarea mediului poros printr-o retea geometrica constituieo idealizare a conditiilor reale. Pentru a face numarul cel mai mic de presupuneri cu privire la geometria locala amediului poros s-a cautat un model general, o reprezentare generala a dispersiei. Aceasta a condus la realizareaunor modele probabilistice, bazate pe ideea ca datele privitoare la mediul poros sunt aleatorii si ca cea maipotrivita reprezentare a unei situatii este aceea de a reprezenta mediul printr-un set de variabile aleatorii. Deasemenea, exista deduceri deterministe ale ecuatiei dispersiei. Acestea se bazeaza pe legea conservarii masei sipe cele doua legi ale lui Fick3 .

In continuare, prezentam descrierea matematica a dispersiei unui poluant ıntr-un mediu poros saturat.Ecuatia care descrie fenomenul de transfer de masa, ıntr-un fluid care circula printr-un mediu poros, ın

forma generala este:

ut(x, t) = ∇ ·(D(ρ(x, t)∇u(x, t)

ρ(x, t)

))−∇ ·

(v(x, t)u(x, t)

)+ Sr(x, t) (6.14)

sauut(x, t) = Td + Tc + Sr, (6.15)

ın care: u(x, t) este concentratia poluantului ıntr-un punct din domeniu, la un moment dat;v(x, t) este viteza apei ın porii mediului saturat; ρ(x, t) este densitatea amestecului ;D este o transformare liniara definita pe R3, cu valori ın R3, care caracterizeaza dispersia poluantului ın

apa din mediul poros; Sr(x, t) reprezinta o sursa de substanta poluanta ıntr-un punct sau ıntr-o zona dindomeniu (sau adsorbtia poluantului ın matricea poroasa); Td reprezinta transportul difuzional si se realizeazaprin miscarea neıncetata a moleculelor care se ciocnesc si schimba astfel, ıntre ele, energie; Tc este transportulconvectiv (advectiv) sau flux advectiv si corespunde deplasarii particulelor antrenate de miscarea generala afluidului.

Cand se doreste exprimarea matematica a fenomenului de dispersie, se face referire la ecuatia (6.14) sau(6.15).

Din analiza fenomenului de dispersie a unui poluant ıntr-un mediu poros rezulta existenta a trei mecanismeprincipale, de migratie a substantelor poluante:

– convectia (advectia);

– difuzia moleculara;

– dispersia mecanica sau cinematica.

3Fick, Adolf (1829 – 1901), fiziolog german, care a formulat legile difuziei. A mai contribuit si la studiul contractiei musculare


Pornind de la definirea fenomenului, se poate exprima matematic fiecare din cele trei mecanisme.Prin convectie (advectie) vom ıntelege antrenarea elementelor ın solutie, ın miscarea fluidului care se de-

plaseaza.Difuzia moleculara este un fenomen fizic legat de agitatia moleculara. Intr-un fluid ın repaus, miscarea brow-

niana provoaca deplasarea particulelor ın toate directiile spatiului. Daca concentratia fluidului este omogena ınspatiu, doua puncte vecine trimit, ın medie, acelasi numar de particule unul spre celalalt, iar agitatia molecularanu modifica concentratia solutiei. Daca exista un gradient de concentratie ıntre doua puncte vecine, punctulcu concentratie mai ridicata va trimite, ın medie, mai multe particule ın toate directiile, decat punctele cuconcentratie slaba. Rezultatul acestei agitatii moleculare va fi un flux de particule dinspre zona cu concentratiemai ridicata spre cea cu concentratie mai scazuta.

Dispersia cinematica (mecanica) este un fenomen de amestec, legat de eterogenitatea vitezelor microscopice.Dispersia cinematica ar putea fi rezumata prin urmatoarele aspecte:

(i) propagare mai rapida a elementelor transportate ın axa porilor ;

(ii) diferenta a vitezelor medii ıntre pori diferiti ;

(iii) liniile de curent se ıntrepatrund, provocand o dilutie neuniforma a concentratiei.

Transformarea D din ecuatia (6.14) se numeste coeficient de dispersie si contine ın ea atat efectul difuzieimoleculare a poluantului ın apa cat si pe cel al vitezei apei ın porii materialului poros. Daca se alege ca baza ınR3 versorii directiilor principale de anizotropie ale corpului, atunci matricea transformarii liniare D ın aceastabaza are forma diagonala

D =

DL 0 0

0 DT 0

0 0 DT

.

In matricea de mai sus, DL este numit coeficient de dispersie longitudinala (ın sensul curgerii), iar DT senumeste coeficient de dispersie transversala ın doua directii ortogonale la directia de curgere.

Pentru a obtine solutii cu semnificatie fizica, ecuatiei (6.14) i se adauga conditia initiala si conditii pe frontieracorpului, care de fapt sunt conditii de unicitate.

6.3 Proprietati ale solutiilor problemelor de propagare a caldurii

Vom considera unele probleme care se pun ın legatura cu ecuatia propagarii caldurii ıntr–o singura dimensiunespatiala si vom studia unele proprietati ale solutiilor acestor probleme. Ne vom ocupa deci de cel mai simpluexemplu de ecuatie cu derivate partiale de tip parabolic si anume ecuatia parabolica liniara

∂u

∂t= a2 ∂

2u

∂x2+ α(x, t)

∂u

∂x+ β(x, t)u, (6.16)

unde a > 0 este constanta de difuzivitate, iar functiile α(x, t) si β(x, t) sunt functii continue. In cazul particularcand α(x, t) si β(x, t) sunt identic nule, ecuatia (6.16) descrie propagarea unidimensionala a caldurii fara surseinterne de caldura (vezi ecuatia (6.8), particularizata desigur la cazul unidimensional).

Fie D un domeniu din planul xOt avand frontiera ∂D = Γ1∪Γ2, unde Γ1 este segmentul de dreapta AB situatpe paralela t = T > 0 la axa orizontala Ox, iar Γ2 = AMB este un arc simplu de curba situat ın semiplanult < T. Vom presupune ca domeniul D este situat ın semiplanul t ≥ 0, situatie care poate fi ıntotdeauna realizataprintr–o schimbare de variabile daca este cazul.

De asemeni, vom presupune ca solutia ecuatiei (6.16) este de clasa C2 pe domeniul ei de definitie.

Teorema 6.3.1. (Principiul de extrem pentru o ecuatie parabolica) Fie u(x, t) solutia ecuatiei (6.16)pe D ∪ Γ1, despre care presupunem ca este continua pe D = D ∪ ∂D si fie β(x, t) ≤ 0 pe D. Daca

sup(x,t)∈D

u(x, t) > 0, (6.17)

atunci acesta este atins pe portiunea de frontiera Γ2.


Demonstratie. Fie ∀ε > 0 si v(x, y) = u(x, y) − εt, (x, t) ∈ D. Deoarece sup(x,t)∈D

u(x, t) = sup(x,t)∈D

v(x, t) + εT,

conform ipotezei (6.17), putem alege ε > 0 astfel ca sup(x,t)∈D

v(x, t) > 0. Daca ar exista (x0, t0) ∈ D∪Γ1 asa ıncat

v(x0, t0) = sup(x,t)∈D

v(x, t), atunci exista δ > 0 pentru care segmentul

I = (x, t0) : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ D ∪ Γ1.

Acest interval este paralel cu axa orizontala Ox, are lungimea 2δ si centrul ın punctul (x0, t0).Fiindca x0 ∈ I este punct de maxim pentru functia v(x, t0), x ∈ I, de doua ori derivabila pe I, avem

∂v

∂x(x0, t0) = 0,

∂2v

∂x2(x0, t0) ≤ 0.

Tinand seama ca u(x, y) = v(x, y) + εt verifica (6.16), rezulta ca functia v(x, t) satisface ecuatia

a2 ∂2v

∂x2(x, t) + α(x, t)

∂v

∂x(x, t) + β(x, t)v(x, t)− ∂v

∂t(x, t) = ε(1− tβ(x, t)).

Luand aici (x, t) = (x0, t0), avand ın vedere relatiile precedente si faptul ca β(x0, t0)v(x0, t0) ≤ 0, obtinem ca∂v

∂t(x0, t0) < −ε. Continuitatea functiei

∂v

∂t(x0, t) asigura existenta unui η > 0 astfel ca

∂v

∂t(x0, t) ≤ −

ε

2, t ∈ [t0 − η, t0 + η].

Integrand aceasta inegalitate pe segmentul [t0 − η, t0], obtinem

v(x0, t0)− v(x0, t0 − η) ≤ −ε2η.

Inegalitatea astfel obtinuta arata ca punctul (x0, t0) nu poate apartine multimii D ∪ Γ1, deci el apartineportiunii de frontiera Γ2. Acum, tinand seama ca pentru orice punct (x, t) ∈ D avem t > 0, obtinem

sup(x,t)∈D

u(x, t) ≤ εT + sup(x,t)∈Γ2

v(x, t) = εT + sup(x,t)∈Γ2

[u(x, t)− εt] ≤ εT + sup(x,t)∈Γ2

u(x, t).

Facand ε→ 0 ın inegalitatea sup(x,t)∈D

u(x, t) ≤ εT + sup(x,t)∈Γ2

u(x, t) rezulta

0 < sup(x,t)∈D

u(x, t) = sup(x,t)∈Γ2

u(x, t),

adica valoarea pozitiva maxima, daca exista, este atinsa pe Γ2. q.e.d.

Observatia 6.3.1. Daca u este solutie a ecuatiei (6.16), atunci si −u este solutie a acestei ecuatii. Repetandrationamentul de mai sus pentru functia −u, obtinem ca daca inf

(x,t)∈Du(x, t) < 0, atunci acesta este atins pe Γ2.

Observatia 6.3.2. Remarca precedenta, ımpreuna cu concluzia Teoremei 6.3.1, arata ca daca β(x, t) ≤ 0 peD, atunci orice solutie a ecuatiei (6.16) satisface conditia

‖u‖ = sup(x,t)∈D

|u(x, t)| ≤ sup(x,t)∈Γ2

|u(x, t)|. (6.18)


Teorema 6.3.2. Daca (x, t) → φ(x, t), (x, t) ∈ Γ2 este o functie continua, atunci exista cel muult o solutie aecuatiei (6.16) care satisface conditia

u(x, t) = φ(x, t), (x, t) ∈ Γ2. (6.19)

Demonstratie. Daca u1(x, t) si u2(x, t) sunt doua solutii ale problemei (6.16), (6.19), atunci functia v(x, t) =u1(x, t)− u2(x, t) este solutie a ecuatiei (6.16), care satisface conditia

v(x, t) = 0, (x, t) ∈ Γ2.

Daca β(x, t) ≤ 0 pe D, atunci aplicand Teorema 6.3.1, avem ca v(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t) = 0 pe D, ceeace este echivalent cu u1(x, t) = u2(x, t) pe D.

Daca β(x, t) > 0 pe D, atunci exista β0 > 0 asa ıcat β0 > β(x, t), pe D. In acest caz, functia

w(x, t) = v(x, t) exp(β0t)

verifica ecuatia∂w

∂t= a2 ∂

2w

∂x2+ α(x, t)

∂w

∂x+ β(x, t)w, (x, t) ∈ D

si conditia w(x, t) = 0 pe Γ2. Deoarece β(x, t) = β(x, t) − β0 < 0, pe D, rezulta ca w(x, t) = 0 pe D si deciu1(x, t) = u2(x, t) pe D. Cu aceasta am demonstrat unicitatea solutiei problemei (6.16), (6.19). q.e.d.

Teorema 6.3.3. Daca solutia problemei (6.16), (6.19) exista, ea depinde continuu de valoarea ei pe Γ2.

Demonstratie. Deoarece multimea de puncte Γ2 este compacta si φ(x, t) este continua pe Γ2, avem evident

‖φ‖ = sup(x,t)∈Γ2

|φ(x, t)| <∞. (6.20)

Fie u1(x, t) si u2(x, t) solutii ale ecuatiei (6.16) satisfacand conditiile u1(x, t) = φ1(x, t), pentru (x, t) ∈ Γ2,respectiv u2(x, t) = φ2(x, t), pentru (x, t) ∈ Γ2, functiile date φ1 si φ2 fiind functii continue pe Γ2.

Luand β0 ≥ 0 (β0 se ia zero, daca β(x, t) ≤ 0, pe D) ca la Teorema 6.3.3, notand u1(x, t) − u2(x, t) =w(x, t) exp(β0t) si aplicand inegalitatea (6.18), obtinem

sup(x,t)∈D

|u1(x, t)− u2(x, t)| = sup(x,t)∈D

|w(x, t) exp(β0t)| ≤ exp(β0t) sup(x,t)∈Γ2

|φ1(x, t)− φ2(x, t)|.

Asadar, ∀ε > 0 avemsup

(x,t)∈D|u1(x, t)− u2(x, t)| < ε,

de ındata cesup

(x,t)∈Γ2

|φ1(x, t)− φ2(x, t)| < δ(ε, T ) = exp(−β0t)ε, T > 0.

Aceasta ınsemna ca la variatii mici ale valorii solutiei problemei (6.16), (6.19) pe Γ2, variatii masurate cuajutorul normei (6.20), corespund variatii mici ale solutiei pe D, variatii care sunt masurate cu ajutorul normei(6.18). Aceasta ınseamna ca solutia problemei (6.16), (6.19) depinde continuu de datele pe portiunea Γ2 afrontierei lui D. q.e.d.


6.4 Propagarea caldurii ıntr–o bara de lungime finita cu conditiila limita si initiale neomogene, ın absenta surselor interne decaldura

Vom aplica rezultatele obtinute pana acum la studiul a doua probleme referitoare la ecuatia propagarii caldurii

∂u

∂t= a2 ∂

2u

∂x2, a > 0 (6.21)

ıntr–o singura dimensiune spatiala, ın absenta surselor interne de caldura. Ecuatia (6.21) se obtine din (6.16)daca luam α(x, t) = 0 si β(x, t) = 0. Aceasta ultima conditie face ca rezultatele continute ın Teorema 6.3.1 siTeorema 6.3.2 sa fie adevarate pentru ecuatia (6.21).

Sa consideram problema determinarii unei solutii a ecuatiei (6.21) pe domeniul

Ω = (x, t) : x ∈ [0, `], t ∈ [0,+∞),

care sa satisfaca conditia initiala neomogena

u(x, 0) = φ(x), x ∈ [0, `], (6.22)

si conditiile la capete (pe frontiera barei)

u(0, t) = µ1(t), u(`, t) = µ2(t), t ∈ [0,+∞), (6.23)

unde φ, µ1 si µ2 sunt functii continue pe domeniul lor de definitie verificand conditiile de compatibilitate

φ(0) = µ1(0), φ(`) = µ2(0).

Din punct de vedere fizic problema revine la gasirea distributiei temperaturii ıntr–o bara de lungime finita` > 0, cunoscand conditia termica a barei la momentul t = 0, descrisa de functia φ : [0, `]→ R si temperaturilela care sunt mentinute capetele O si A ale barei.

Observatia 6.4.1. In baza Teoremei 6.3.2, daca solutia problemei (6.21), (6.22), (6.23) exista, atunci ea esteunica pe orice dreptunghi OABC, unde O este originea reperului xOt si totodata una din extremitatile barei,A(`, 0) este cealalta extremitate, B(`, t0), cu t0 > 0, C(0, t0). In plus, aceasta solutie depinde continuu de datelepe laturile CO, OA si AB ale dreptunghiului (Γ2 din Teorema 6.3.2 este OA ∪ AB ∪ OC). De aici rezultaca daca solutia problemei (6.21), (6.22), (6.23) exista pe banda semi–infinita Ω, atunci ea este unica sidepinde continuu de datele pe frontiera acesteia. Frontiera multimii Ω este formata din semiaxa pozitivaOt, din segmentul OA si semidreapta pozitiva x = `.

Vom construi solutia problemei (6.21), (6.22), (6.23) folosind metoda lui Fourier de separare a variabilelor .Daca ın problema (6.21), (6.22), (6.23) trecem de la functia necunoscuta u(x, t) la noua functie necunoscuta

v(x, t) prin relatia

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), w(x, t) = µ1(t) +1a

(µ2(t)− µ1(t)

)· x, (6.24)

atunci v(x, t) este solutia problemei

(P )

∂v

∂t= a2 ∂

2v

∂x2− ∂w

∂t,

v(x, 0) = φ(x)− w(x, 0),

v(0, t) = v(`, t) = 0.


Sa observam acum ca daca v1(x, t) si v2(x, t) sunt solutiile problemelor (P1), respectiv (P2) definite dupacum urmeaza:

(P1)

∂v

∂t= a2 ∂

2v

∂x2,

v(x, 0) = φ(x)− w(x, 0),

v(0, t) = v(`, t) = 0;

(P2)

∂v

∂t= a2 ∂

2v

∂x2− ∂w

∂t,

v(x, 0) = 0,

v(0, t) = v(`, t) = 0,

atunci v(x, t) = v1(x, t) + v2(x, t) este solutia problemei (P ). Prin urmare, solutia problemei (6.21), (6.22),(6.23) este

u(x, t) = v1(x, t) + v2(x, t) + w(x, t). (6.25)

Din acest motiv, ın cele ce urmeaza expunem metoda lui Fourier pentru determinarea solutiilor problemelorcare sa contina drept caz particular problemele (P1) si (P2).

6.5 Propagarea temperaturii ıntr–o bara izolata termic, cu conditieinitiala nenula si ın absenta surselor de caldura

sau infinita ın ambele sensuri si care este redusa la un singur segment de dreapta este neglijabila, iar temperaturaeste constanta ıntr–o sectiune

In ipoteza ca ıntre suprafata barei de lungime finita ` si mediul ınconjurator nu exista schimb de caldura(bara este izolata termic nici surse de caldura ın interior , ceea ce ınseamna ca f(x, t) = 0, iar µ1 si µ2 suntfunctii identic nule, functia u = u(x, t) care da valoarea temperaturii la orice moment t, ın orice punct x albarei, trebuie cautata ca solutie a ecuatiei

)1a2ut − uxx = 0 (6.26)

cu o conditie initiala si conditii date.Presupunand ca extremitatile x = 0 si x = ` ale barei sunt mentinute la temperatura zero, conditiile la

limita constau din relatiile:u(0, t) = 0; u(`, t) = 0, ∀ t > 0 (6.27)

La momentul t = 0, cand se ıncepe studiul propagarii temperaturii ın bara, presupunem ca se cunoasteforma barei, ceea ce se traduce prin conditia initiala

u(x, 0) = φ(x), ∀x ∈ [0, `], (6.28)

unde φ(x) este o functie de clasa C1([0, `]) care satisface conditiile de compatibilitate φ(0) = φ(`) = 0. Rezultaca functia φ poate fi reprezentata ca o serie Fourier de sinusuri pe [0, `], serie care este absolut si uniformconvergenta pe [0, `],

φ(x) =∞∑n=1

an sinnπ

`x, ∀x ∈ [0, `], (6.29)

coeficientii dezvoltarii fiind dati de relatiile

an =2`

∫ `

0

φ(x) sinnπ

`x dx, ∀n ∈ IN∗. (6.30)

Aplicand metoda separarii variabilelor , cautam solutii particulare ale ecuatiei (6.26), sub forma

u(x, t) = X(x) · T (t), ∀ (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞). (6.31)

Introducand u din (6.31) ın ecuatia cu derivate partiale (6.26), obtinem urmatoarele ecuatii diferentiale ordinare:

T ′(t) + a2λT (t) = 0; (6.32)

X′′(x) + λX(x) = 0. (6.33)


Pentru determinarea solutiilor nebanale de forma (6.31), ale ecuatiei (6.26), care satisfac conditia la limita(6.27), trebuie aflate mai ıntai solutiile nebanale ale ecuatiei (6.33) cu conditia la limita

X(0) = 0, X(`) = 0. (6.34)

Pentru valorile lui λ egale cu λn =(nπ`

)2

, unde n ∈ IN∗, si numai pentru aceste valori, exista solutii

nebanale Xn(x), ale problemei Cauchy (6.33), (6.34), egale cu

Xn(x) =√

2`

sinnπ

`x, n ∈ IN∗. (6.35)

Valorilor λn =(nπ`

)2

le corespund urmatoarele solutii ale ecuatiei (6.32) :

Tn(t) = bn exp(−(nπa

`

)2

t), t ∈ [0,∞), (6.36)

unde, pentru claritatea scrierii am utilizat simbolul exp y pentru valoarea ın y a functiei exponentiale cu bazae, iar, dupa cum vom constata ındata, coeficientii bn sunt, pana la un factor, coeficientii precizati ın (6.30).

Din cele stabilite mai sus, deducem ca functiile

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) =√

2`bn exp

(−(nπa

`

)2

t)

sinnπ

`x, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), n ∈ IN∗ (6.37)

satisfac ecuatia (6.26) si conditiile la limita (6.27), indiferent de bn.Folosind principiul superpozitiei [18], rezulta ca functia

u(x, t) =∞∑n=1

Xn(x)Tn(t) =

√2`

∞∑n=1

bn exp(−(nπa

`

)2

t)

sinnπ

`x, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞) (6.38)

satisface ecuatia (6.26) si conditiile la limita (6.27), cu presupunerea ca seria de functii din membrul drept alegalitatii (6.38) trebuie sa fie absolut si uniform convergenta pe domeniul indicat alaturat, conditie care esteındeplinita daca avem ın vedere ipotezele de lucru.

Impunand functiei u(x, t) din (6.37) sa satisfaca si conditia initiala (6.28), deducem ca ar trebui sa avem

φ(x) =√

2`

∞∑n=1

bn sinnπ

`x, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞). (6.39)

Din unicitatea dezvoltarii unei functii periodice ın serie Fourier numai de sinusuri si relatiile (6.29), (6.39),deducem

∞∑n=1

an sinnπ

`x =

√2`

∞∑n=1

bn sinnπ

`x, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞). (6.40)

Seriile de functii din (6.40) sunt egale daca si numai daca

bn =

√`

2an, (6.41)

unde coeficientii an sunt precizati ın (6.29).Introducand bn din (6.41) ın (6.38), ajungem la concluzia ın bara subtire omogena, de lungime finita `, se

propaga dupa legea

u(x, t) =∞∑n=1

an exp(−(nπa

`

)2

t)

sinnπ

`x, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (6.42)

unde coeficientii an sunt dati ın (6.30).


Prezenta factorului exp(− nπa

`

)2

t, unde t ≥ 0, ın seriile (6.38) si (6.42), precum si proprietatile seriei

(6.29), (6.30) atrage faptul ca seria (6.42) este infinit derivabila termen cu termen, iar suma sa u(x, t) estesolutia problemei (6.26), (6.27), (6.28). Prin urmare, putem afirma ca ıntr–o bara subtire care nu face schimbde caldura cu exteriorul si fara surse termice ın interiorul ei, careia ıi cunoastem distributia temperaturii lamomentul initial, temperatura se propaga dupa legea (6.42).

Observatia 6.5.1. Trecerea, ın rationamentele de mai sus, a functiei φ(x) ın φ(x)−w(x, 0) conduce la solutiaproblemei (P1).

Daca ın (6.42) introducem valoarea lui an, data de (6.30), obtinem ca solutia (6.42) se poate scrie ın forma

u(x, t) =∫ `

0

G(x, t; ξ)φ(ξ)dξ, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (6.43)

unde s–a efectuat notatia

G(x, t; ξ) =2`

∞∑k=1

exp(− akπ

`

)2

t · sin kπ`x · sin kπ

`ξ, (x, t; ξ) ∈ [0, `]× [0,∞)× [0, `]. (6.44)

Definitia 6.5.1. a Functia G(x, t; ξ) din (6.44) se numeste functia lui Green pentru ecuatia caldurii.

Exercitiul 6.5.1. Sa se gaseasca solutia u(x, t) a ecuatiei propagarii caldurii printr–o bara de lungime 4 unitati

∂u

∂t− 4

∂2u

∂x2= 0,

stiind ca bara este izolata termic, adica

u(0, t) = 0, u(`, t) = 0, t ∈ [0,∞),

iar temperatura sa la momentul initial t = 0 este data de

u(x, 0) =

x

2, daca 0 ≤ x ≤ 2,

4− x2

, daca 2 < x ≤ 4= ϕ(x).

Solutie. Conform teoriei dezvoltata mai sus, solutia problemei este

u(x, t) =∞∑n=1

an exp (−n2π2

4t) sin

nπ

4x,

unde

an =12

∫ 4

0

ϕ(ξ) sinnπ

4ξdξ.

Introducand aici expresia functiei ϕ(x), avem

an =12

(∫ 2

0

x

2sin

nπx

4dx+

∫ 4

2

4− x2

sinnπx

4dx)

=

=8πn2

sinnπ

2=

(−1)k

8π2(2k + 1)2

, daca n = 2k + 1,

0, daca n = 2k..


Din aceste calcule rezulta ca solutia problemei are ın final expresia

u(x, t) =8π2

∞∑k=1

(−1)k

(2k + 1)2exp (− (2k + 1)2π2

4t) sin

(2k + 1)π4

x.

6.6 Propagarea caldurii ıntr–o bara finita, cu date la limita si initialenule, ın prezenta surselor interne de caldura

Sa aplicam metoda lui Fourier pentru gasirea solutiei problemei

(Q)

∂u

∂t= a2 ∂

2u

∂x2+ f(x, t), (x, t) ∈ [0, `]× [0,+∞),

u(x, 0) = 0, x ∈ [0, `],

u(0, t) = u(`, t) = 0, t ∈ [0,+∞),

unde f(x, t) este functie de clasa C1 pe banda semi–infinita [0, `]× [0,+∞).Aceasta problema modeleaza matematic propagarea temperaturii ıntr–o bara subtire de lungime `, tempe-

ratura datorata doar unei surse de caldura descrisa de functia f(x, t). Prin urmare, bara nu efectueaza schimbde caldura cu exteriorul nici prin suprafata sa laterala si nici prin extremitatile sale, iar la momentul initial,adica la momentul t = 0, temperatura este considerata a fi nula.

Cautam o solutie a problemei (Q) ın forma

u(x, t) =∞∑n=1

Tn(t) sinnπ

`x, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (6.45)

unde Tn(t) sunt functii ce urmeaza a fi determinate.Dezvoltand functia f(x, t) ın serie de sinusuri pe [0, `], avem

f(x, t) =∞∑n=1

φn(t) sinnπ

`x, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (6.46)

unde coeficientii dezvoltarii sunt dati de

φn(t) =2`

∫ `

0

f(x, t) sinnπ

`x, n ∈ IN∗. (6.47)

Punand conditia ca (6.45) sa verifice ecuatia neomogena a propagarii temperaturii (prima relatie din (Q)),si tinand cont de (6.46), obtinem egalitatile

∞∑n=1

(T ′n(t) +

(nπa`

)2

Tn(t)− φn(t))

sinnπ

`x = 0, n ∈ IN∗,

care au loc daca Tn(t), pentru fiecare n ∈ IN∗, este solutia ecuatiei diferentiale

T ′n(t) +(nπa

`

)2

Tn(t) = φn(t). (6.48)

Este evident ca functia u(x, t) din (6.45) verifica conditia la limita a problemei (Q). Functia u(x, t) verificasi conditia initiala din (Q) daca si numai daca avem

Tn(0) = 0, n ∈ IN∗. (6.49)


Din (6.48) si (6.49), obtinem

Tn(t) =∫ ∞

0

φn(τ) exp((− nπa

`

)2

(t− τ))dτ, n ∈ IN∗. (6.50)

In ipotezele impuse, functia (6.45), cu Tn(t), n ∈ IN∗, dati de (6.50) este solutia problemei (Q), iar solutia

problemei (P2) se obtine pentru f(x, t) = −∂w∂t

(x, t).

6.7 Propagarea caldurii ıntr–o bara finita, cu conditii la limita siinitiale neomogene, ın prezenta unei surse interne de caldura

Presupunem ca se dau functiile

f : [0, `]× [0,∞)→ R,

µ1, µ2 : [0,∞)→ R,

φ : [0, `]→ R,

f ∈ C0([0, `]× [0,∞)),

µ1, µ2 ∈ C0([0,∞)),

φ ∈ C0([0, `]),

si ca se cere determinarea functiei u : [0, `] × [0,∞) → R, u ∈ C0([0, `] × [0,∞)), care sa verifice ecuatiaunidimensionala a propagarii caldurii

1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= f(x, t) (6.51)

ın bara de lungime `, ın prezenta sursei interne de caldura f(x, t), sa satisfaca conditiile la limitau(0, t) = µ1(t),

u(`, t) = µ2(t), t ∈ [0,∞)(6.52)

si conditia initiala u(x, 0) = φ(x), x ∈ [0, `]. (6.53)

Teorema care urmeaza va reduce rezolvarea problemei (6.51), (6.52), (6.53) la o problema asemanatoare, darcu conditii la limita omogene. Pentru aceasta introducem functia

f∗(x, t) = f(x, t)− 1a2

(µ′1(t) +

x

`

(µ′2(t)− µ′1(t)

)), (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (6.54)

care va fi o noua sursa interna de caldura.Introducem de asemenea, functia

φ∗(x) = φ(x)−(µ1(0) +

x

`

(µ2(0)− µ1(0)

))care va constitui o noua data initiala .

Teorema 6.7.1. Daca u∗(x, t) este solutia problemei la limita cu date initiale1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= f∗(x, t),

u(0, t) = u(`, t) = 0, t ∈ [0,∞),

u(x, 0) = φ∗(x), x ∈ [0, `],

(6.55)

atunci functiau(x, t) = u∗(x, t) + µ2(t) +

x

`

(µ2(t)− µ1(t)

), (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞), (6.56)

este solutia problemei (6.51), (6.52), (6.53).


Demonstratie. Aratam mai ıntai ca functia (6.56) verifica ecuatia (6.55)1, pentru aceasta avand nevoie dederivatele sale. Folosind (6.56), obtinem

∂u

∂t=

∂u∗

∂t+ µ′1(t) +

x

`

(µ′2(t)− µ′1(t)

),

∂u

∂x=

∂u∗

∂x+

1`

(µ2(t)− µ1(t)

),

∂2u

∂x2=

∂2u∗

∂x2.

(6.57)

Inmultind prima si a treia relatie din (6.57) cu 1/a2, respectiv −1, adunandu–le si folosind faptul ca u∗(x, t)satisface ecuatia (6.55)1, precum si (6.54), obtinem

1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2=

1a2

∂u∗

∂t− ∂2u∗

∂x2+

1a2

(µ′1(t) +

x

`

(µ′2(t)− µ′1(t)

))=

= f∗(x, t) +1a2

(µ′1(t) +

x

`

(µ′2(t)− µ′1(t)

))= f(x, t),

ceea ce ınseamna ca functia u din (6.56) este solutie a ecuatiei (6.51).Din (6.56) obtinem de asemenea

u(0, t) = u∗(0, t) + µ1(t) +0`

(µ2(t)− µ1(t)

)= µ1(t),

u(`, t) = u∗(`, t) + µ1(t) +`

`

(µ2(t)− µ1(t)

)= µ2(t),

u(x, 0) = u∗(x, 0) + µ1(0) +x

`

(µ2(0)− µ1(0)

)= φ∗(x) + µ1(0) +

x

`

(µ2(0)− µ1(0)

)= φ(x),

ceea ce arata ca functia u din (6.56) satisface conditiile la limita (6.52) si conditia initiala (6.53). q.e.d.

6.8 Principiul lui Duhamel pentru determinarea unei solutii par-ticulare a ecuatiei neomogene a propagarii temperaturii ıntr–obara de lungime finita

Teorema 6.8.1. (Principiul lui Duhamel) Daca pentru fiecare τ ∈ [0,∞) fixat notam cu w(x, t, τ) solutiaecuatiei

1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= 0, (6.58)

care verifica conditiile w(0, t, τ) = 0,

w(`, t, τ) = 0(6.59)

siw(x, 0, τ) = a2f(x, τ), (6.60)

atunci functia

up(x, t) =∫ t

0

w(x, t− τ, τ)dτ (6.61)

este solutia ecuatiei1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= f(x, t), (6.62)


care satisface conditiile initiale si la limita u(x, 0) = 0,

u(0, t) = 0,

u(`, t) = 0.

(6.63)

Demonstratie. Calculam derivatele functiei (6.61) folosind teoria integralelor depinzand de parametri. Avem

∂up∂t

= w(x, 0, t) +∫ t

0

∂w

∂t(x, t− τ, τ)dτ

sau∂up∂t

= a2f(x, t) +∫ t

0

∂w

∂t(x, t− τ, τ)dτ.

Apoi,∂2up∂x2

=∫ t

0

∂2w

∂x2(x, t− τ, τ)dτ.

Din aceste rezultate deducem

1a2

∂up∂t− ∂2up

∂x2=

1a2

(a2f(x, t) +

∫ t

0

∂w

∂t(x, t− τ, τ)dτ

)−∫ t

0

∂2w

∂x2(x, t− τ, τ)dτ =

= f(x, t) +∫ t

0

( 1a2

∂w

∂t(x, t− τ, τ)− ∂2w

∂x2(x, t− τ, τ)

)dτ = f(x, t),

ceea ce arata ca functia (6.61) este solutia ecuatiei (6.62).Din (6.61), (6.59) si (6.60), gasim

up(x, 0) =∫ 0

0

w(x, t− τ, τ)dτ = 0,

up(0, t) =∫ t

0

w(0, t− τ, τ)dτ = 0,

up(`, t) =∫ t

0

w(`, t− τ, τ)dτ = 0,

adica sunt ındeplinite si conditiile (6.63). q.e.d.

Observatia 6.8.1. In baza Teoremei 6.7.1 si Teoremei 6.8.1 rezulta ca rezolvarea problemei propagarii calduriiıntr–o bara de lungime finita, cu conditii la limita si initiale nenule, ın prezenta unei surse interne de caldura,denumita si factor perturbator, se reduce la determinarea solutiei problemei

1a2

∂u

∂t− ∂2u

∂x2= 0, (x, t) ∈ [0, `]× [0,∞),

u(x, 0) = φ(x), x ∈ [0, `],

u(0, t) = u(`, t) = 0, t ∈ [0,∞),

adica a problemei (6.26), (6.27), (6.28), a carei solutie a fost determinata ıntr–un paragraf anterior.


6.9 Problema Cauchy pentru ecuatia propagarii caldurii ıntr–o di-mensiune spatiala

In cele ce urmeaza vom considera propagarea temperaturii ıntr–o bara infinita ın ambele sensuri , ceea ceınseamna ca vom urmari modul de racire a unei bare foarte lungi, cunoscand la momentul initial distributiatemperaturii ın fiecare punct al ei.

Prin urmare, avem de studiat problema determinarii solutiei ecuatiei cu derivate partiale de tip parabolic

1a2ut − uxx = 0, (x, t) ∈ (−∞,+∞)× [0,+∞), (6.64)

cu conditia initialau(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (−∞,+∞). (6.65)

Aceasta problema cu o conditie initiala este cunoscuta ca problema Cauchy pentru ecuatia propagarii calduriiıntr–o dimensiune spatiala.

Din punct de vedere fizic, problema (6.64), (6.65) revine la determinarea distributiei temperaturii unei bareinfinite ın ambele sensuri cand se cunoaste distributia initiala a temperaturii.

Pentru ınceput, vom presupune ca functia ϕ(x) este continua si marginita pe ıntreaga axa reala.

Teorema 6.9.1. Exista cel mult o solutie a problemei (6.64), (6.65) care este marginita ın semiplanul t ≥ 0.

Demonstratie. Presupunem ca ar exista solutiile u1(x, t) si u2(x, t) ale problemei (6.64), (6.65) care suntmarginite ın semiplanul t ≥ 0, adica

|u1(x, t)| ≤M, |u2(x, t)| ≤M, (x, t) ∈ R× [0,+∞).

Functia w(x, t) = u1(x, t)− u2(x, t) este o solutie a problemei (6.64), (6.65) satisfacand conditiile

w(x, 0) = 0, ∀x ∈ R, |w(x, t)| ≤ 2M, ∀ (x, t) ∈ R× [0,+∞).

Fie L > 0 si T > 0 arbitrari. Se verifica imediat ca functia

v(x, t) =4ML

(x2

2+ a2t

)este o solutie a ecuatiei (6.64) si verifica conditiile

v(x, 0) ≥ 0 = |w(x, 0)|, ∀x ∈ R, |v(±L, t)| ≥ 2M ≥ |w(±L, t)|, ∀ t ∈ [0,+∞).

Functiile v(x, t)− w(x, t) si v(x, t) + w(x, t) sunt solutii ale ecuatiei (6.64) pe dreptunghiul

D = (x, t) : |x| < L, 0 < t < T

ale carui varfuri sunt A(−L, T ), B(−L, 0), C(L, 0) si D(L, T ), iar pe portiunea de frontiera Γ2 = AB∪BC∪CDsunt nenegative si deci avem:

infΓ2

(v(x, t)− w(x, t)) ≥ 0; infΓ2

(v(x, t) + w(x, t)) ≥ 0. (6.66)

In baza principiului de maxim rezulta ca avem

infD

(v(x, t)− w(x, t)) ≥ 0; infD

(v(x, t) + w(x, t)) ≥ 0, (6.67)


caci ın caz contrar am avea infΓ2

(v(x, t)− w(x, t)) < 0; infΓ2

(v(x, t) + w(x, t)) < 0, ceea ce contrazice ine-

galitatile (6.66). Din inegalitatile (6.67) rezulta |w(x, t)| ≤ v(x, t) =4ML

(x2

2+ a2t

), ∀ (x, t) ∈ D, unde D

este ınchiderea domeniului D.Fie acum (x0, t0) un punct din semiplanul t ≥ 0, ales arbitrar. Pentru orice ε > 0 putem alege L suficient de

mare astfel ıncat sa avem |w(x0, t0)| < ε si deci w(x0, t0) = 0. Cum (x0, t0) a fost ales arbitrar, rezulta ca avem

w(x, t) = u1(x, t)− u2(x, t) = 0, ∀x ∈ (−∞,+∞) si ∀ t ≥ 0

si astfel teorema este demonstrata. q.e.d.

Observatia 6.9.1. Din Teorema 6.9.1 rezulta ca daca prin anumite mijloace putem gasi o solutie a problemei(6.64), (6.65), atunci aceasta este unica solutie a acestei probleme.

Incercam sa determinam solutia ecuatiei (6.64) folosind metoda separarii variabilelor. In acest scop, punem

u(x, t) = X(x)T (t), (x, t) ∈ (−∞,+∞)× [0,+∞). (6.68)

Inlocuind (6.68) ın (6.64), obtinem1a2X(x)T ′(t)−X ′′(x)T (t) = 0

sauX ′′(x)X(x)

=1a2

T ′(t)T (t)

= K,

unde K trebuie sa fie o constanta deoarece x si t sunt variabile independente. Avem de integrat ecuatiilediferentiale ordinare:

X ′′(x)−KX(x) = 0, x ∈ (−∞,+∞); (6.69)

T ′(t)−K a2T (t) = 0, t ∈ [0,+∞). (6.70)

Integrand ecuatia (6.70), se obtineT (t) = c · exp(Ka2t),

unde c este o constanta.Dupa aceasta etapa, rezulta ca solutia ecuatiei (6.64) este

u(x, t) = cX(x) exp (K a2t).

De aici rezulta ca nu putem avea decat cazul K < 0, deoarece pentru K > 0 ar rezulta ca pentru c 6= 0 ınfiecare punct al barei temperatura ar creste ın valoare absoluta peste orice limite, iar pentru K = 0, aceastatemperatura ar pastra ın fiecare punct o valoare ce ar depinde numai de acel punct si independenta de timp,adica am avea

u(x, t) = cX(x).

Nu putem accepta nici anularea constantei c, deoarece atunci am avea temperatura nula ın toata bara ın oricemoment, ceea ce contrazice conditia initiala (6.65).

Tinand seama de cele de mai sus, introducem o noua constanta λ > 0, legata de constanta K prin relatiaK = −λ2, ceea ce conduce la faptul ca ecuatia diferentiala verificata de X(x) devine

X ′′(x) + λ2X(x) = 0, x ∈ (−∞,+∞). (6.71)

Ecuatia diferentiala (6.71) are solutia

X(x) = A cosλx+B sinλx. (6.72)


Pentru constantele de integrare din (6.72) putem afirma ca depind de λ, iar daca notam cA = A(λ) si cB = B(λ),o solutie a ecuatiei (6.64) este

u(x, t;λ) =(A(λ) cosλx+B(λ) sinλx

)exp(−λ2a2t), (6.73)

ceea ce ınseamna ca la fiecare λ > 0 avem cate o unda de temperatura.Aplicand principiul superpozitiei si tinand cont ca λ acopera ıntreaga semidreapta pozitiva deschisa R∗+ =

(0,+∞), constatam ca solutia generala a ecuatiei (6.64) este

u(x, t) =∫ ∞

0

u(x, t;λ) dλ (6.74)

sau

u(x, t) =∫ ∞

0

(A(λ) cosλx+B(λ) sinλx

)exp(−λ2a2t) dλ, ∀ (x, t) ∈ R× [0,+∞).

Conditia initiala (6.65) implica verificarea identitatii∫ ∞0


)dλ = ϕ(x), ∀x ∈ R, (6.75)

din care vom vedea ca se pot deduce functiile A(λ) si B(λ).Intr-adevar, aceasta se va ıntampla daca functia ϕ(x) este astfel ıncat admite o reprezentare integrala Fourier

ın cosinus

ϕ(x) =1π

∫ ∞0

(∫ +∞

−∞ϕ(α) cosλ(x− α)dα

)dλ. (6.76)

Folosind (6.75) si (6.76), deducem∫ ∞0


)dλ =

=∫ ∞

0

(( 1π

∫ +∞

−∞ϕ(α) cosλα dα

)cosλx

)dλ+

∫ ∞0

(( 1π

∫ +∞

−∞ϕ(α) sinλα dα

)sinλx

)dλ, ∀x ∈ R.

(6.77)

Deoarece functiile cosλx si sinλx sunt independente functional, din (6.77) rezultaA(λ) =

1π

∫ +∞

−∞ϕ(α) cosλα dα,

B(λ) =1π

∫ +∞

−∞ϕ(α) sinλα dα.

(6.78)

Inlocuind ın (6.73) expresiile (6.78) ale functiilor A(λ) si B(λ), obtinem pentru solutia u(x, t;λ) urmatoareaexpresie

u(x, t;λ) =1π

(cosλx

∫ +∞

−∞ϕ(α) cosλα dα+ sinλx

∫ +∞

−∞ϕ(α) sinλα dα

)exp(−λ2a2t),

care poate fi restransa la

u(x, t;λ) =1π

∫ +∞

−∞ϕ(α) exp(−λ2a2t) cosλ(x− α)dα. (6.79)

Daca introducem expresia functiei u(x, t;λ) din (6.79) ın (6.74), putem afirma ca solutia problemei Cauchypentru ecuatia caldurii este data de expresia

u(x, t) =1π

∫ +∞

−∞

(∫ ∞0

exp(−λ2a2t) cosλ(x− α) dλ)ϕ(α)dα, (6.80)


care se poate transforma, daca ın integrala interioara, care este o integrala de tip Poisson4 se face substitutia

λ a√t = u,

α− xa√t

= v,

din care rezultaλ =

u

a√t, dλ =

du

a√t, λ(α− x) = uv.

Asadar, integrala interioara din (6.80) are acum expresia

1a√t

∫ ∞0

exp(−u2) cosuv du =1a√tI(v),

unde am notat cu I(v) integrala improprie depinzand de parametrul v

I(v) =∫ ∞

0

exp(−u2) cosuv du.

Functia I(v) este derivabila si

I ′(v) = −∫ ∞

0

u exp(−u2) sinuv du.

Integrand prin parti, obtinem

I ′(v) =12

exp(−u2) sinuv∣∣∣∞0− v

2

∫ ∞0

exp(−u2) cosuv du,

din care deducem ca functia I(v) este solutia ecuatiei diferentiale

I ′(v) +v

2I(v) = 0.

Astfel, pentru determinarea functiei I(v) trebuie sa integram o ecuatie diferentiala de ordinul ıntai cuvariabile separabile. Separand variabilele si integrand, gasim

I(v) = I(0) exp(− v2

4

).

Insa I(0) =∫ ∞

0

exp(−u2)du este integrala Gauss–Poisson a carei valoare este I(0) =√π

2, astfel ca

I(v) =√π

2exp

(− v2

4

).

Revenind la notatiile pentru I si v, se gaseste

a√t

∫ ∞0

exp(−a2λ2t) cosλ(x− α)dλ =√π

2exp

(− (x− α)2

4a2t

). (6.81)

Inlocuind (6.81) ın (6.80), avem

u(x, t) =1

2a√πt

∫ +∞

−∞ϕ(α) exp

(− (x− α)2

4a2t

)dα, (x, t) ∈ R× (0,+∞). (6.82)

Integrala (6.82) se numeste integrala Poisson.Relatia (6.82) descrie, ın conditia initiala data de ϕ(x), regimul termic de racire al barei , imediat dupa

aplicarea ıncalzirii la momentul t = 0 cuantificata de functia ϕ(x).Nu este clar ınsa ce se ıntampla la momentul initial t = 0. Este oare ındeplinita conditia initiala (6.65)?

4Poisson, Simeon Denis (1781 – 1840), matematician francez, unul din creatorii fizicii matematice si autor al multor lucraridespre mecanica cereasca, teoria elasticitatii si calculul probabilitatilor.


Vom ıncerca sa raspundem la ıntrebare amintind ca am presupus ca functia ϕ este marginita pe R, adicaexista M > 0 asa ıncat sa avem |ϕ(x)| ≤ M, x ∈ R. Vom arata ca functia (6.82) este de asemeni marginita,adica satisface conditia

|u(x, t)| ≤M, (x, t) ∈ R× (0,+∞). (6.83)

Facand schimbarea de variabila α = x+ 2au√t ın integrala (6.82), obtinem

u(x, t) =1√π

∫ +∞

−∞ϕ(x+ 2au

√t) exp (−u2)du, (x, t) ∈ R× (0,+∞). (6.84)

Integrala improprie depinzand de parametrii x si t din (6.84) este absolut si uniform convergenta ın raport cut ≥ 0 si avem

|u(x, t)| ≤ 1√π

∫ +∞

−∞|ϕ(x+ 2au

√t)| exp (−u2)du ≤M 1√

π

∫ +∞

−∞exp (−u2)du = M

1√π·√π = M.

Asadar, are loc (6.83), deci functia u(x, t) din (6.82) este marginita.Vom arata acum ca functia (6.82) este continua pe banda semi–infinita Ω = [0, `]× [0,∞) si satisface conditia

limt→0

u(x, t) = ϕ(x), x ∈ (−∞,+∞), (6.85)

adica functia u(x, t) verifica conditia initiala (6.65).Tinand cont de integrala Gauss–Poisson, rezulta ca putem scrie

ϕ(x) =1√π

∫ +∞

−∞ϕ(x) exp (−u2)du. (6.86)

Din (6.82) si (6.86), obtinem

|u(x, t)−ϕ(x)| = 1√π

∣∣∣ ∫ +∞

−∞

(ϕ(x+2au

√t)−ϕ(x)

)exp (−u2)du

∣∣∣ ≤ 1√π

∫ +∞

−∞|ϕ(x+2au

√t)−ϕ(x)| exp (−u2)du.

Integrala improprie∫ +∞

−∞exp (−u2)du este convergenta si are valoarea

√π deoarece este de doua ori integrala

Gauss–Poisson. Prin urmare, oricare ar fi ε > 0 exista k = k(ε) > 0 astfel ıncat sa avem

2M√π

(∫ −k−∞

exp (−u2)du+∫ +∞

k

exp (−u2)du)<ε

2. (6.87)

Tinand seama de inegalitatea (6.87) si de faptul ca |ϕ(x+ 2au√t)− ϕ(x)| ≤ 2M, obtinem

|u(x, t)− ϕ(x)| < ε

2+

1√t

∫ +k

−k|ϕ(x+ 2au

√t)− ϕ(x)| exp (−u2)du.

Functia ϕ fiind continua rezulta ca, pentru ε > 0 considerat mai sus, exista δ = δ(ε) astfel ıncat sa avem|ϕ(x+ 2au

√t)− ϕ(x)| < ε

2, pentru orice t ∈ [0, δ], pentru orice u ∈ [−k,+k] si orice x ∈ R. Deci, avem

|u(x, t)− ϕ(x)| = ε

2+ε

21√π

∫ +k

−kexp (−u2)du <

ε

2+ε

21√π

∫ +∞

−∞exp (−u2)du = ε, ∀ t ∈ [0, δ],

adica are loc (6.85).In baza Teoremei 6.3.3 rezulta ca functia (6.82) este unica solutie marginita a problemei (6.64), (6.65).


Observatia 6.9.2. Procedand analog ca ın demonstratia egalitatii (6.85), se poate arata ca solutia problemei(6.64), (6.65) depinde continuu de datele initiale.

Observatia 6.9.3. Din (6.82) se vede ca temperatura initiala ϕ(x) se propaga instantaneu, ceea ce ınseamnaca oricare ar fi temperatura initiala la momentul t = 0, aceasta da nastere unei temperaturi nenule ın oricepunct x ∈ R si la orice moment t > 0. Aceasta situatie pare a fi imposibila din punct de vedere fizic si aratalimitele modelului care ne–a condus la ecuatia liniara (6.64) de propagare a caldurii. Acest neajuns se poateınlatura, spre exemplu, daca ipoteza lui Fourier (6.1), privind conductia caldurii, se ınlocuieste cu o alta legede propagare.

6.10 Problema Cauchy a ecuatiei propagarii caldurii ın n dimensiunispatiale. Solutie fundamentala

Sa consideram ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea ın functia necunoscuta

(x, t) = (x1, x2, ..., xn, t)→ u = u(x, t), (x, t) ∈ Rn+1,

1a2

∂u

∂t=∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

+ ...+∂2u

∂x2n

, a > 0. (6.88)

Ecuatia (6.88) este de tip parabolic si mai poate fi scrisa ın forma

ut = a2∇2u, a > 0, (6.89)

.unde am notat

∇2u =∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

+ ...+∂2u

∂x2n

, (6.90)

care este laplacianul functiei u ın n dimensiuni.In cazurile n = 3, n = 2 si n = 1, ecuatia corespunzatoare (6.89) descrie propagarea caldurii ın trei, doua si

respectiv o singura dimensiune, ıntr–un mediu omogen si ın absenta surselor interne de caldura.Consideratiile si rezultatele obtinute ın cazul n = 1, ın paragraful anterior, se pot adapta pentru cazurile

n > 1. Vom da ın continuare generalizari la cazurile n = 2 si n = 3, fara a le sustine cu argumente matematiceriguroase.

Ecuatia caracteristica atasata ecuatiei (6.88) este( ∂ω∂x1

)2

+( ∂ω∂x2

)2

+ ...+( ∂ω∂xn

)2

= 0

si deci curbele caracteristice ale ecuatiei (6.88) sunt hiperplanele (n + 1)−dimensionale t = λ, unde λ este oconstanta reala arbitrara.

Fie functia reala de 2n+ 2 variabile reale (x, t; ξ, τ) = (x1, x2, ..., xn, t; ξ1, ξ2, ..., ξn, τ), definita prin relatia

E(x, t; ξ, τ) =1(

2a√π(t− τ)

)n · exp(− ‖x− ξ‖

2

4a2(t− τ)

), t > τ, (6.91)

unde ‖x − ξ‖ =

√√√√ n∑k=1

(xk − ξk)2 este norma euclidiana ın Rn, iar exp este simbolul functiei exponentiale cu

baza numarul e.


Efectuand derivatele functiei (6.91), gasim∂E

∂t=

(− n

2(t− τ)+‖x− ξ‖2

4a2(t− τ)2

)E(x, t; ξ, τ),

∇2E =1a2

(− n

2(t− τ)+‖x− ξ‖2

4a2(t− τ)2

)E(x, t; ξ, τ),

de unde rezulta ca functia (6.91) verifica ecuatia (6.89) oricare ar fi ξ ∈ Rn si t > τ.Functia (6.91) se numeste solutie fundamentala a ecuatiei caldurii ın n dimensiuni spatiale.Pentru n = 1 si τ = 0, din (6.91) se obtine

E(x, t; ξ, 0) =1

2a√πt· exp

(− (x− ξ)2

4a2t

), t > 0 (6.92)

si formula (6.82) se scrie sub forma

u(x, t) =∫ +∞

−∞ϕ(ξ)E(x, t; ξ, 0)dξ, (x, t) ∈ R× [0,∞). (6.93)

Daca g(x, t) este o functie marginita, continua si absolut integrabila pentru (x, t) ∈ R× [0,∞), atunci functia

v(x, t; τ) =∫ +∞

−∞g(ξ, τ)E(x, t; ξ, τ)dξ, t > τ, (6.94)

satisface conditiile∂v

∂t= a2 ∂

2v

∂x2, t > τ ; v(x, τ ; τ) = g(x, τ) (6.95)

si deci functia

u(x, t) =∫ t

0

v(x, t; τ)dτ, t > τ (6.96)

este solutia problemei ∂u

∂t= a2 ∂

2u

∂x2+ g(x, t),

u(x, 0) = 0.(6.97)

In cazul n = 2, solutia fundamentala a ecuatiei caldurii este

E(x, y, t; ξ, η, τ) =1

4a2π(t− τ)· exp

(− (x− ξ)2 + (y − η)2

4a2(t− τ)

), t > τ. (6.98)

Solutia problemei Cauchy 1a2

∂u

∂t=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2,

u(x, y, 0) = Φ(x, y)(6.99)

este

u(x, y, t) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Φ(ξ, η) · E(x, y, t; ξ, η, 0)dξdη, (6.100)

Φ(x, y) fiind presupusa marginita, continua si absolut integrabila pe R2.Solutia fundamentala a ecuatiei propagarii caldurii ın cazul n = 3 este

E(x, y, z, t; ξ, η, ζ, τ) =1

8a3√π3(t− τ)3

· exp(− (x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2

4a2(t− τ)

), t > τ. (6.101)


Daca Φ(x, y, z) este o functie marginita, continua si absolut integrabila pe R3, atunci solutia problemeiCauchy

1a2

∂u

∂t=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2,

u(x, y, z, 0) = Φ(x, y, z)(6.102)

este data de formula

u(x, y, z, t) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞Φ(ξ, η, ζ) · E(x, y, z, t; ξ, η, ζ, 0)dξdηdζ. (6.103)

Exercitiul 6.10.1. Sa se integreze ecuatia

∂u

∂t− 4

∂2u

∂x2= 0, x ∈ R, t > 0,

stiind ca

u(x, 0) = ϕ(x), ϕ(x) =

c, daca x ∈ (α, β)

0, daca x /∈ (α, β),

limx→±∞

u(x, t) = 0,

limx→±∞

∂u

∂x(x, t) = 0.

Solutie. Fiind o bara de lungime infinita, solutia problemei este data de

u(x, t) =1

2a√πt

∫ +∞

−∞ϕ(ξ) exp

(− (x− ξ)2

4a2t

)dξ, (x, t) ∈ R× [0,∞).

Cunoscand functia ϕ(x), dar si faptul ca a = 2, deducem ca solutia problemei devine

u(x, t) =c

4√πt

∫ β

α

exp(− (x− ξ)2

16t

)dξ, (x, t) ∈ R× [0,∞).

Daca se face substitutia u =ξ − x4√t, se obtine

u(x, t) =c√πt

∫ β−x4t

α−x4t

exp(−u2)du, (x, t) ∈ R× [0,∞).

Introducand notatia

Φ(y) =2√π

∫ y

0

exp(−z2)dz,

constatam ca solutia problemei considerate este

u(x, t) =c

2

(Φ(β − x

4√t

)− Φ

(α− x4√t

)).


6.11 Propagarea caldurii ıntr–o bara omogena de lungime finita,a carei suprafata laterala este izolata termic si ale carei ex-tremitati schimba caldura cu exteriorul prin convectie

Presupunem ca schimbul de caldura prin convectie se realizeaza cu medii ambiante aflate la temperaturileconstante u1 si u2, ın respectiv cele doua capete ale barei. In aceste conditii, studiul propagarii caldurii ın baraomogena de lungime `, a carei suprafata laterala este izolata termic, se reduce la rezolvarea ecuatiei (6.26) cuconditia initiala (6.28) si cu conditiile la limita

∂u

∂x(0, t)− h1

(u(0, t)− u1

)= 0

∂u

∂x(`, t) + h2

(u(`, t)− u2

)= 0, t ∈ [0,∞),

(6.104)

unde h1 si h2 sunt constante pozitive care arata ca extremitatile barei nu sunt termoizolate. In cazul ın careh1 = h2 = 0, relatiile (6.104) devin

∂u

∂x(0, t) = 0,

∂u

∂x(`, t) = 0, t ∈ [0,∞)

si arata ca bara nu face schimb de caldura cu exteriorul ei.Cautam solutia problemei la limita cu conditii initiale (6.26), (6.28), (6.104) ın forma

u(x, t) = v(x) + w(x, t), (6.105)

unde v(x) este solutia ecuatiei (6.26), adica a ecuatiei v′′(x) = 0, care satisface conditiile la limita (6.104).Ecuatia v′′(x) = 0 admite solutia generala

v(x) = c1x+ c2. (6.106)

Impunand functiei (6.106) sa satisfaca conditiile la limita (6.104), obtinemc1 =

h1(u2 − u1)h1 + h2 + `h1h2

,

c2 = u1 +c1h1

= u1 +u2 − u1

h1 + h2 + `h1h2.

(6.107)

Pentru ca functia u(x, t) din (6.105) sa fie solutia problemei la limita cu conditia initiala precizata mai sus,functia w(x, t) trebuie sa satisfaca ecuatia (6.26), conditia initiala

w(x, 0) = u(x, 0)− v(x) = φ(x)− v(x) = φ(x), (6.108)

unde v(x) se determina din formulele (6.106), (6.107) si urmatoarele conditii la limita omogene∂w

∂x(0, t)− h1w(0, t) = 0,

∂w

∂x(`, t) + h2w(`, t) = 0.

(6.109)

Rezolvarea problemei la limita cu conditiile (6.26), (6.108), (6.109) o vom face utilizand de asemeni metodasepararii variabilelor .

In cele din urma se gaseste

w(x, t) =∞∑n=1

An

(µn`

cosµn`x+ h1 sin

µn`x)

exp(− a2µ2

n

`2t), (6.110)

unde µn, n ∈ IN∗, sunt radacinile pozitive ale ecuatiei

cotµ =µ2 − `2h1h2

`µ(h1 + h2), (6.111)


iar coeficientii An, obtinuti din conditia initiala (6.108), folosind ortogonalitatea functiilor

Xn(x) =µn`

cosµn`x+ h1 sin

µn`x

pe compactul [0, `], au expresiile

An =1

‖Xn‖2

∫ `

0

u0(x)(µn`

cosµn`x+ h1 sin

µn`x)dx, (6.112)

prin patratul normei functiei Xn(x) ıntelegand numarul

‖Xn‖2 =∫ `

0

(µn`

cosµn`x+ h1 sin

µn`x)2

dx.

Din cele deduse mai sus rezulta ca distributia temperaturii ıntr–o bara omogena de lungime `, a careisuprafata laterala este izolata termic si ale carei extremitati schimba caldura cu exteriorul prin convectie estedata de legea

u(x, t) =h1(u2 − u1)

h1 + h2 + `h1h2x+ u1 +

u2 − u1

h1 + h2 + `h1h2+∞∑n=1

An

(µn`

cosµn`x+ h1 sin

µn`x)

exp(− a2µ2

n

`2t),

unde µn, n ∈ IN∗, sunt radacinile pozitive ale ecuatiei (6.64), iar coeficientii An au valorile date ın (6.65).

Capitolul 7

Ecuatii de tip eliptic

7.1 Ecuatia lui Laplace si ecuatia lui Poisson. Solutie fundamentala

Din (6.90), unde s–a introdus laplacianul ın n dimensiuni, desprindem ca operatorul diferential de ordinul aldoilea care actioneaza asupra functiei u = u(x1, x2, ..., xn) are expresia

∇2 =∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+ ...+∂2

∂x2n

. (7.1)

Operatorul (7.1) este cunoscut sub numele de operatorul lui Laplace ın n dimensiuni .Operatorul lui Laplace ın n dimensiuni poate fi scris de asemenea ca produsul scalar al operatorului dife-

rential vectorial

∇ = e1∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ ...+ en

∂

∂xn, (7.2)

cu el ınsusi.Operatorul ∇ din (7.2) este cunoscut sub numele de operatorul lui Hamilton ın n dimensiuni , iar ek, unde

k ∈ 1, 2, ..., n, sunt versorii reperului cartezian ortogonal Ox1x2...xn. Asadar,

∇2 = ∇ ·∇.

Definitia 7.1.1. Ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea

∇2u = 0 (7.3)

se numeste ecuatia lui Laplace ın n dimensiuni.

Definitia 7.1.2. Ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea neomogena

∇2u = f(x1, x2, ..., xn), (7.4)

unde f : D ⊂ Rn → R este o functie continua pe D, se numeste ecuatia lui Poisson ın n dimensiuni.

Definitia 7.1.3. O functie reala u(x) definita pe un domeniu D ⊂ Rn, unde este considerata una din ecuatiile(7.3), sau (7.4), care este continua ımpreuna cu derivatele sale partiale pana la ordinul al doilea si transformaın identitate acea ecuatie cu derivate partiale se numeste solutie regulata a respectivei ecuatii.

133


Definitia 7.1.4. O solutie regulata ın D ⊂ Rn a ecuatiei lui Laplace (7.3) se numeste functie armonica.

Se verifica imediat ca functiaE(x,y) =

‖x− y‖2−n, daca n > 2

− ln ‖x− y‖, daca n = 2, x 6= y = (y1, y2, ..., yn), (7.5)

unde‖x− y‖ =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ...+ (xn − yn)2,

este solutie a ecuatiei lui Laplace ın n dimensiuni (7.3) pe multimea Rn \ y.

Definitia 7.1.5. Functia E din (7.5) se numeste solutie!fundamentala sau solutie!elementara a ecuatieilui Laplace ın n dimensiuni.

Observatia 7.1.1. Pentru a semnala existenta si a vectorului y ın expresia (7.5), se obisnuieste ca solutiafundamentala (7.5) sa se noteze prin E(x,y).

Din Definitia 7.1.5 rezulta ca solutia fundamentala a ecuatiei lui Laplace este o functie armonica ın oricepunct din IEn \ y, iar ın punctul ξ admite o singularitate de tip pol pentru n > 2 si logaritmica pentru n = 2.

Spatiul fizic ıl vom nota cu R3 si ıl vom presupune raportat la sistemul cartezian ortonormat Oxyz. Multimeade versori ortonormati i, j,k este baza reperului ortonormatR = O, i, j,k, i fiind versorul axei Ox, j versorulaxei Oy, iar k este versorul axei Oz. Planul z = 0 va fi asimilat cu R2.

In cazul n = 3, solutia fundamentala a ecuatiei lui Laplace este

E((x, y, z), (ξ, η, ζ)) =1r, r =

√(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2, (x, y, z) 6= (ξ, η, ζ), (7.6)

iar ın cazul plan avem

E((x, y), (ξ, η)) = ln1r

= − ln r, r =√

(x− ξ)2 + (y − η)2, (x, y) 6= (ξ, η). (7.7)

Teorema 7.1.1. Fie S o hipersuprafata neteda, ınchisa sau nu din spatiul punctual afin euclidian IEn

asociat spatiului vectorial Rn si fie µ(ξ) o functie reala continua definita pe S.Expresia

u(x) =∫S

E(x,y)µ(y)dσy, (7.8)

unde dσy este elementul de arie al hipersuprafetei S, a carui pozitie pe hipersuprafata este determinata devariabila de integrare y, este o functie armonica ın raport cu variabila x pentru toate punctele x ale spatiuluiIEn nesituate pe S.

Demonstratie. Afirmatia rezulta din faptul ca functia E(x,y) este armonica ın raport cu variabila x pentru

x 6= y si din faptul ca operatorii de derivare partiala de ordinul al doilea∂2

∂x2i

se aplica sub semnul integrala din

membrul al doilea al relatiei (7.8). q.e.d.


7.2 Proprietatile fundamentale ale functiilor armonice

Teorema 7.2.1. Daca u(x) este o functie armonica ın D ⊂ Rn, atunci la fel este si functia u(λCx + h), undeλ este o constanta reala, C este o matrice ortogonala constanta de ordin n, iar h = (h1, h2, ..., hn) este un vectorconstant din Rn, cu proprietatea ca λCx + h apartine domeniului D.

Demonstratie. Amintim ca matricea C se numeste ortogonala daca coincide cu inversa sa. Prin urmare, omatrice ortogonala are proprietatea C · Ct = Ct · C = In, unde Ct este transpusa matricei C, iar In estematricea unitate de ordinul n, proprietate care se poate exprima matematic prin relatiile:

n∑k=1

cik · cjk = δij ;n∑k=1

cki · ckj = δij , (7.9)

unde δij este elementul de pe linia i si coloana j a matricei unitate, care este egal cu 1 daca i = j si zero dacai 6= j.

Folosind regula lantului de derivare a unei functii compuse si relatiile (7.9) deducem ca au loc egalitatile

∂2

∂x2i

u(λCx + h) = λ2 ∂2

∂x2i

u(y), i ∈ 1, 2, ..., n, (7.10)

unde y = λCx + h.Afirmatia din teorema este acum evidenta daca tinem cont de (7.3), (7.9) si (7.10). q.e.d.

Teorema 7.2.2. Daca uk(x), k = 1, 2, ...,m, sunt functii armonice, atunci tot astfel este si suma finita

u(x) =m∑

k=1

ckuk(x),

unde ck sunt constante reale arbitrare.

Demonstratie. Afirmatia rezulta evident din egalitatea

∇2( m∑k=1

ckuk(x))

=m∑k=1

ck∇2uk(x)

si Definitia 7.1.4. q.e.d.

Teorema 7.2.3. Daca u(x) este o functie armonica ıntr–un domeniu D ⊂ Rn, atunci functia

v(x) = ‖x‖2−nu( x‖x‖2

)este de asemenea o functie armonica ın toate punctele unde ea este definita.

Demonstratie. Afirmatia rezulta prin verificare directa, calculand derivatele partiale nemixte de ordinul al doileaale functiei v(x) si tinand cont de faptul ca u(x) este functie armonica ın D. q.e.d.


In cazul ın care domeniul D ⊂ Rn contine punctul de la infinit, definitia functiei armonice necesita unelementionari suplimentare deoarece notiunea de derivata ın punctul de la infinit nu mai are sens. Pentru aceasta,este nevoie de precizat ce se ıntelege prin vecinatate a punctului de la infinit .

Definitia 7.2.1. Prin vecinatatea punctului de la infinit ın Rn se ıntelege exteriorul bilei ınchise de razaR cu centrul ın origine.

Exteriorul bilei ınchise de raza R cu centrul ın origine este multimea punctelor x ∈ Rn caracterizata deinegalitatea ‖x‖ > R.

Definitia 7.2.2. Se spune ca functia u(x) este armonica ın punctul de la infinit sau mai precis, ıntr–ovecinatate a punctului de la infinit, cand functia

v(y) = ‖y‖2−nu( y‖y‖2

)(7.11)

este armonica ın sens obisnuit ıntr–o vecinatate a punctului y = 0.

Expresia (7.11) are sens pentru toti y 6= 0, iar valoarea functiei v(y) ın punctul y = 0 este definita ca fiindlimita lim

y→0v(y).

Prin transformarea y =x‖x‖2

a variabilei y, rezulta formula

u(x) = ‖x‖2−nv( x‖x‖2

).

Definitia 7.2.3. Printr–o solutie regulata la infinitu(x) a ecuatiei lui Laplace se ıntelege o functie care estearmonica peste tot ıntr–o vecinatate a punctului de la infinit, cu exceptia punctului de la infinit ınsusi si careramane marginita pentru ‖x‖ → ∞ ın cazul n = 2 si tinde la zero nu mai ıncet decat tinde la zero ‖x‖2−n ıncazul n > 2.

Fie D un domeniu din spatiul afin IEn care are o frontiera S suficient de neteda si fie u(x) si v(x) douafunctii reale armonice pe D, continue ın D ∪ S ımpreuna cu derivatele lor partiale de ordinul ıntai.

Integrand peste domeniul D identitatilen∑i=1

∂

∂xi

(v∂u

∂xi

)=

n∑i=1

∂v

∂xi

∂u

∂xi,

n∑i=1

∂

∂xi

(v∂u

∂xi− u ∂v

∂xi

)= 0

si folosind formula integrala Gauss–Ostrogradski [8], obtinem corespunzator formulele∫S

v(y)∂u(y)∂ny

dσy =n∑i=1

∫D

∂v

∂xi(x)

∂u∂xi

(x)dτx (7.12)

si ∫S

(v(y)

∂u(y)∂ny

− u(y)∂v(y)∂ny

)dσy = 0 (7.13)

In formulele (7.12) si (7.13), ca si ın cele ce urmeaza, prin ny ıntelegem vectorul unitar al normalei exterioare

ın punctul y al hipersuprafetei S, iar∂u(y)∂ny

este derivata dupa directia ny a functiei u(y) ın punctul y care,


dupa cum se stie, este egala cu produsul scalar dintre gradientul functiei u ın punctul y si versorul normaleiexterioare ny, adica

∂u(y)∂ny

= (∇u)(y) · ny =n∑k=1

∂u

∂yk(y)nyk(y).

De asemenea, dσy este elementul de arie al hipersuprafetei S ın punctul curent al ei y, iar dτx este elementulde volum ın punctul x ∈ D care, dupa cum se stie este dτx = dx1dx2 · ... · dxn, unde x = (x1, x2, ..., xn).

Pentru ca formulele (7.12) si (7.13) sa ramana valabile ın cazul ın care D contine punctul de la infinit, situatiecare se ıntampla daca D este multime nemarginita, este natural sa cerem ca integrantii din aceste formule safie functii absolut integrabile, sau sumabile ın cazul cand expresiile din cei doi membri ai formulelor (7.12) si(7.13) sunt ıntelese ca integrale Lebesgue.

Formulele (7.12) si (7.13) fac posibila stabilirea ınca a unui numar de proprietati elementare ale functiilorarmonice.

Teorema 7.2.4. (Teorema de unicitate a functiilor armonice) Daca functia u(x) este armonica ın dome-niul D, continua ın D ∪ S ımpreuna cu derivatele partiale de ordinul ıntai ale sale si egala cu zero pe frontieraS a domeniului D, atunci u(x) = 0 peste tot ın D ∪ S.

Demonstratie. Proprietatea indicata rezulta din egalitatea (7.12) daca facem ın ea u(x) = v(x). Intr–adevar,deoarece u(y) = 0 pentru y ∈ S, formula (7.12) implica

n∑i=1

∫D

( ∂u∂xi

)2

dτx =∫S

u(y)∂u(y)∂ny

dσy (7.14)

si prin urmaren∑i=1

∫D

( ∂u∂xi

)2

dτx = 0.

In consecinta,∂u

∂xi= 0 (i = 1, 2, ..., n), x ∈ D, adica u(x) = const. pentru toti x ∈ D. Acum, deoarece u(y) = 0

pentru y ∈ S, ın baza continuitatii functiei u(x) ın domeniul ınchis D ∪ S, rezulta ca u(x) = 0 pentru totix ∈ D ∪ S. q.e.d.

Teorema 7.2.5. Fie u(x) o functie armonica ın domeniul D si continua ın D ∪ S ımpreuna cu derivatele eipartiale de ordinul ıntai.

Daca derivata pe directia normala∂u

∂ny(y) este egala cu zero pe frontiera S a domeniului D, atunci u(x) =

const. pentru toti x ∈ D.

Demonstratie. Aceasta proprietate a functiilor armonice se demonstreaza exact ın acelasi mod ca teoremaprecedenta. Pentru a finaliza demonstratia este suficient ca ın egalitatea (7.14) sa luam ın consideratie faptul

ca∂u(y)∂ny

= 0 pentru toti y ∈ S. q.e.d.

Teorema 7.2.6. Daca u(x) este functie armonica ın domeniul D, continua ın D∪S ımpreuna cu derivatele eipartiale de ordinul ıntai, atunci integrala pe hipersuprafata S a derivatei pe directia normala este egala cu zero.


Demonstratie. Intr-adevar, punand ın (7.12), v(x) = 1 pentru toti x ∈ D, obtinem∫S

∂u(y)∂ny

dσy = 0. (7.15)

q.e.d.

7.3 Formule de reprezentare integrala

7.3.1 Formule de reprezentare integrala ale functiilor de clasa C1 si C2

Asa numitele formule de reprezentare integrala ale functiilor de clasa C1 si C2 pe un domeniu D ⊂ IEn se obtinprin introducerea solutiei fundamentale E(x,y) ın prima si a doua identitate a lui Green, prezentate pentrucazul n = 3 ın relatiile (3.86) si respectiv (3.87), bineınteles cu luarea ın consideratie a Observatiei 3.8.1.

Deoarece solutia fundamentala contine de fapt 2n variabile, va trebui sa precizam care din ele sunt fixesi care sunt variabile, x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn). In cele ce urmeaza vom presupune x fix, iar yvariabil ın domeniul D ⊂ IEn, adica y ∈ D. Pozitia lui x se poate determina ın functie de domeniul D :

• punctul x poate sa apartina lui D;

• x poate sa fie situat pe frontiera lui D, adica x ∈ ∂D = S;

• punctul x se poate afla ın exteriorul lui D.

Vom presupune ca D este un domeniu marginit.Avand ın vedere forma solutiei fundamentale, vom constata ca ın formulele de reprezentare integrala, pe

care urmeaza sa le demonstram, apar integrale improprii de forma

I(x) =∫D

f(y)dτy‖x− y‖α

, x ∈ D, (7.16)

unde α este un numar real, f(y) este o functie definita, marginita si integrabila ın domeniul marginit D, iardτy este elementul de volum al spatiului afin IEn.

Lema 7.3.1. Daca f(y) este o functie definita, marginita si integrabila ın domeniul marginit D, iar α < n,atunci integrala improprie (7.16) este convergenta.

Demonstratie. Deoarece punctul fix x apartine domeniului D, ıl putem izola ın bila deschisa B(x, ε) centrataın x, de raza ε > 0, complet inclusa ın D si vom putea scrie I(x) = Iε(x) + I1(x), unde s–a notat

Iε(x) =∫B(x,ε)


, I1(x) =∫D\B(x,ε)


. (7.17)

Deoarece integrantul care apare ın I1(x) este o functie integrabila ın D \ B(x, ε), este suficient sa gasim ın ceconditii este convergenta integrala Iε(x).

Pentru aceasta, efectuam schimbarea de variabila y = x + rs, unde 0 ≤ r ≤ ε, iar s este un versor arbitrardin Rn, ceea ce ınseamna ca ‖s‖ = 1. De asemenea, putem afirma ca multimea versorilor s constituie sfera Σ,de raza unitate cu centrul ın origine, denumita pe scurt sfera unitate si notata cu Σ(0, 1).

Deoarece elementul de volum ın B(x, ε) este dτy = rn−1drdωn, unde dωn este elementul de arie al sfereiΣ(0, 1), iar norma vectorului x − y este egala cu raza ε a bilei B(x, ε), rezulta ca integrala improprie Iε(x) seprezinta ca o iteratie de doua integrale, una simpla, pe sfera unitate Σ(0, 1), si cealalta integrala improprie de

speta a doua Iε(x) =∫B(x,ε)


=∫ ε

0

rn−α−1dr

∫Σ(0,1)

f(x + rs)dωn.

Conform unui criteriu cunoscut de convergenta a integralelor improprii de forma∫ a

0

rn−α−1dr, cu a > 0,

[8], integrala Iε(x) tinde la zero, cand ε→ 0, daca n− α− 1 > −1, ceea ce ınseamna α < n. q.e.d.


Teorema 7.3.1. (Formula de reprezentare integrala a functiilor de clasa C1) Daca u(x) este o functiede clasa C1 ın D si de clasa C0 pe ınchiderea D a domeniului D de frontiera S, atunci are loc identitatea

pωnu(x) =∫D

∇yE(x,y) · (∇u)(y)dτy −∫S

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy, (7.18)

unde:

• ωn =1

Γ(n

2

)2πn/2 este aria sferei unitate din IEn;

• Γ(λ) =∫ +∞

0

xλ−1e−xdx este functia gamma a lui Euler ;

• E(x,y) este solutia fundamentala a ecuatiei lui Laplace;

• ∂E(x,y)∂ny

este derivata pe directia normalei exterioare ny a solutiei fundamentale E(x,y);

• p este functia!ın scara definita ın modul urmator:

p(x) =

+1, daca x ∈ D;

+12, daca x ∈ ∂D = S;

0, daca x /∈ D, adica x ∈ IEn \D.

(7.19)

Demonstratie. Amintim ıntai ca prima identitate a lui Green scrisa pentru un domeniu D ⊂ IEn, de frontieraS, se obtine formal din (3.86) daca consideram ca integrala de volum este pe domeniul n−dimensional D, iarintegrala de suprafata este o integrala pe hipersuprafata S, adica∫

D

u(y)(∇2v)(y)dτy +∫D

((∇u)(y)

)·(

(∇v)(y))dτy =

∫S

u(x)∂v(y)∂ny

dσy. (7.20)

Daca presupunem ca x ∈ IEn \D, atunci ‖x− y‖ 6= 0 si deci ∇2yE(x− y) = ∇2

xE(x− y) = 0, oricare ar fix ın aceasta situatie. Deoarece E(x − y) ∈ C2(D), daca x 6= y, se poate aplica prima identitate a lui Green(7.20) ın ipoteza v(y) = E(x−y), aici x considerandu–se fixat ın IEn \D. Prima integrala din (7.20) va disparesi se obtine evident formula (7.18), cu p = 0.

Daca ınsa x ∈ D, formula (7.20) nu se mai poate aplica deoarece v(y) = E(x− y) nu este de clasa C2(D).Pentru a elimina aceasta dificultate, vom considera din nou bila deschisa care a fost introdusa ın demonstratia

Lemei 7.3.1. In domeniul D \ B(x, ε) se poate aplica formula ın cauza, deoarece ‖x − y‖ 6= 0, obtinandu–seastfel identitatea∫

D\B(x,ε)

u(y)∇2yE(x− y)dτy +

∫D\B(x,ε)

((∇u)(y)

)·(

(∇yE)(x,y))dτy =

∫∂(D\B(x,ε))

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy,

care, deoarece ∇2yE(x−y) = 0 si deoarece ∂(D \B(x, ε)) = ∂D ∪ ∂B(x, ε) = S ∪Σ, se va putea scrie ın forma

−∫

Σ

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy =∫D\B(x,ε)

((∇u)(y)

)·(

(∇yE)(x,y))dτy −

∫S

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy, (7.21)

unde am tinut cont ca versorul normala exterioara ny ın punctul y ∈ Σ este dirijat spre centrul sferei Σ, ceea ce

ınseamna ca vom avea∂

∂ny= − ∂

∂r. Avand ın vedere expresia (7.5) a solutiei fundamentale E(x,y), vom avea


de asemenea∂

∂rE(x,y) = − 1

n‖x− y‖1−n = − 1

nε1−n, deoarece y ∈ Σ si deci ‖x− y‖ = ε. Vom gasi∫

Σ

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy = −∫

Σ(0,1)

u(x + εs)dσs, (7.22)

unde Σ(0, 1) este sfera unitate, avand elementele notate cu s, iar dσs este elementul de arie ın punctul s alacestei sfere.

Inlocuind integrala din (7.22) ın identitatea (7.21), dupa trecere la limta pentru ε→ 0, gasim formula (7.18),

ın care p(x) = +1, deoarece limε→0

(D \B(x, ε)

)= D si lim

ε→0

∫Σ(0,1)

u(x + εs)dσs = u(x)ωn.

Daca x ∈ ∂D = S, vom extrage din D o semibila B′(x, ε), cu centrul ın x si raza ε > 0.Rationamentul anterior se aplica ın ıntregime, singura diferenta constand ın faptul ca ın loc de integralele

care apar ın (7.22), care sunt calculate pe sfera Σ cu centrul ın x si raza ε vor aparea aceleasi integrale, ınsacalculate pe o emisfera.

Notand cu Σ′ aceasta emisfera, vom avea:

−∫

Σ′u(y)

∂E(x,y)∂ny

dσy =∫D\B′(x,ε)

((∇u)(y)

)·(

(∇yE)(x,y))dτy −

∫S

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy; (7.23)

∫Σ′u(y)

∂E(x,y)∂ny

dσy = −∫

Σ′(0,1)

u(x + εs)dσs; (7.24)

limε→0

∫Σ′u(y)

∂E(x,y)∂ny

dσy = − limε→0

∫Σ′(0,1)

u(x + εs)dσs = −12ωnu(x). (7.25)

unde Σ′(0, 1) este emisfera unitate, a carei arie este12ωn

Analizand acest de al treilea procedeu si tinand cont de (7.24) si (7.25), dupa trecerea la limita pentru ε→ 0ın (7.23), constatam ca (7.18) este adevarata si ın cazul x ∈ S = ∂D. q.e.d.

Teorema 7.3.2. (Formula de reprezentare integrala a functiilor de clasa C2) Daca u(x) este o functiede clasa C2 ın D si de clasa C1(D) si S este frontiera lui D, atunci are loc identitatea

pωnu(x) = −∫S

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy +∫S

E(x,y)∂u(y)∂ny

dσy −∫D

E(x,y)(∇2u)(y)dτy, (7.26)

ın care p este functia ın scara definita prin (7.19).

Demonstratie. Scriind identitatea lui Green (7.20), ın care v(y) = u(y), iar u(y) = E(x,y), obtinem relatia∫D

E(x,y)(∇2u)(y)dτy +∫D

((∇y)E(x,y)

)·(

(∇u)(y))dτy =

∫S

E(x,y)∂u(y)∂ny

dσy. (7.27)

Dupa cum ne convingem imediat, egalitatea (7.27) are sens caci punand aici D \ B(x, ε) ın loc de D si facand

apoi ε→ 0, obtinem o relatie din care putem extrage termenul∫D

((∇y)E(x,y)

)·(

(∇u)(y))dτy care, ınlocuit

ın (7.18), conduce exact la formula (7.26). q.e.d.


7.3.2 Formula de reprezentare integrala a unei functii armonice

Teorema 7.3.3. Pentru o functie armonica ıntr–un domeniu D de frontiera S, continua ın D ∪ S ımpreunacu derivatele partiale de ordinul ıntai, are loc formula de reprezentare integrala

u(x) =1ωn

∫S

E(x,y)∂u(y)∂ny

dσy −1ωn

∫S

u(y)∂E(x,y)∂ny

dσy. (7.28)

ωn =1

Γ(n

2

)2πn/2 este aria sferei de raza unitate din IEn, iar Γ este functia Gamma a lui Euler.

Demonstratie. Pentru a deduce formula (7.28), alegem un punct arbitrar x ∈ D si consideram bila ınchisa‖y − x‖ ≤ ε de raza ε > 0, situata ın ıntregime ın D. Notam cu Dε partea din domeniul D care ramane ınafara bilei. Aplicam formula (7.13) domeniului Dε, a carui frontiera este reuniunea dintre frontiera S a lui D sifrontiera bilei, de ecuatia ‖y − x‖ = ε. In locul functiei v(y) vom considera v(y) = E(x,y). Obtinem∫

S

(E(x,y)

∂u(y)∂ny

− u(y)∂E(x,y)∂ny

)dσy =

∫‖y−x‖=ε

(E(x,y)

∂u(y)∂ny

− u(y)∂E(x,y)∂ny

)dσy. (7.29)

Celui de al doilea termen din membrul doi ıi adunam si scadem termenul u(x)∂E(x,y)∂ny

si astfel membrul

doi al egalitatii (7.29) devine∫‖y−x‖=ε

E(x,y)∂u(y)∂ny

dσy −∫‖y−x‖=ε

(u(y)− u(x)

)∂E(x,y)∂ny

)dσy − u(x)

∫‖y−x‖=ε

∂E(x,y)∂ny

dσy. (7.30)

Pe de alta parte, pe sfera ‖y − x‖ = ε, avem

E(x,y) =

1

(n− 2)εn−2pentru n > 2,

− ln ε pentru n = 2,

∂E(x,y)∂ny

=

− 1εn−1

pentru n > 2,

−1ε

pentru n = 2,

limε→0

∫‖y−x‖=ε

(u(y)− u(x)

)∂E(x,y)∂ny

)dσy = 0,∫

‖y−x‖=ε

dσyεn−1

= ωn.

Prin urmare, ın baza relatiei (7.15), prin trecere la limita pentru ε → 0 ın egalitatea (7.29) ın care se tinecont de (7.30), se obtine reprezentarea integrala (7.28). q.e.d.

Observatia 7.3.1. Formula (7.28), de reprezentare integrala a unei functii armonice ın D ⊂ IEn, se poateobtine direct din (7.26) daca se tine cont de faptul ca functia u(x) este armonica ın D.


7.4 Formule de medie ale unei functii armonice

Teorema 7.4.1. Daca ϕ(x) este o functie armonica pe un domeniu D ⊂ IEn, atunci valoarea sa ıntr–un punctx ∈ D este egala cu media valorilor luate pe frontiera unei bile ınchise arbitrare cu centrul ın x si raza R inclusaın D, adica

u(x) =1

ωnRn−1

∫‖y−x‖=R

u(y)dσy. (7.31)

Demonstratie. Intr-adevar, deoarece pe sfera ‖y − x‖ = R avem egalitatile

E(x,y) =

1

(n− 2)Rn−2pentru n > 2,

− lnR pentru n = 2,

∂E(x,y)∂ny

=

− 1Rn−1

pentru n > 2,

− 1R

pentru n = 2,

este usor de vazut ca, ın baza formulei (7.15), din formula de reprezentare integrala (7.28), obtinem (7.31).Scriind formula (7.31) pentru sfera ‖y − x‖ = ρ ≤ R ın forma

ρn−1u(x) =1ωn

∫‖y−x‖=ρ

u(y)dσy

si integrand aceasta egalitate ın raport cu ρ pe compactul [0, R], obtinem

u(x) =n

ωnRn

∫‖y−x‖≤R

u(y)dτy, (7.32)

unde dτy este elementul de volum a carui locatie ın D este specificata prin variabila y, iarωnR

n

neste volumul

bilei deschise ‖y − x‖ < R.Formulele (7.32) si (7.31) sunt cunoscute ca formule de medie ale unei functii armonice pentru o bila

deschisa si respectiv pentru frontiera acesteia. q.e.d.

Folosind coordonatele polare ın plan si ın spatiu, formula de medie (7.31) se poate rescrie ın respectiv formele:

u(x1, x2) =1

2π

∫ 2π

0

u(x1 +R cos θ, x2 +R sin θ)dθ, (7.33)

u(x1, x2, x3) =1

4π

∫ π

0

dθ

∫ 2π

0

u(x1 +R sin θ cosψ, x2 +R sin θ sinψ, x3 +R cos θ) sin θdψ. (7.34)

7.5 Principiu de extrem pentru functii armonice

Consideram o functie u(x), armonica ın domeniul D ⊂ Rn, si notam cu m si M marginile inferioara si superioaraale valorilor functiei respective.

Din egalitatea (7.32) cu usurinta se poate stabili urmatoarea proprietate cunoscuta sub numele de principiude extrem pentru functii armonice.


Teorema 7.5.1. O functie u(x), armonica pe un domeniu D, nu poate lua valorile sale maxime sau minimeın puncte ale domeniului D decat daca se reduce la o constanta.

Demonstratie. Cand M = +∞ sau m = −∞ afirmatia din teorema este evidenta deoarece functia u(x) poatelua numai valori finite ın orice punct al domeniului D. Presupunem atunci ca M 6= +∞ si ca exista un punctx0 ∈ D ın care functia u(x) ia valoarea sa maxima pe D,

u(x0) ≥ u(x), ∀x ∈ D. (7.35)

Daca B0 este o bila cu centrul ın x0 si raza a0 astfel aleasa ıncat B0 si frontiera sa S0 sa fie incluse ın D, atuncidin (7.31) si (7.35) rezulta

u(x0) ≥ 1ωna

n−10

∫‖y−x‖=a0

u(y)dσy. (7.36)

Daca pe sfera ‖y − x0‖ = a0 exista un punct x1 ın care u(x1) < u(x0), datorita continuitatii functiei u(x),exista o vecinatate V1 a punctului x1 pentru care u(x) < u(x0) si inegalitatea (7.36) devine stricta

u(x0) >1

ωnan−10

∫‖y−x‖=a0

u(y)dσy, (7.37)

ceea ce contrazice egalitatea (7.31). Rezulta u(x) = u(x0), ∀x ∈ S0, si aceasta pentru orice sfera care ındeplinesteconditiile enuntate, ın particular pentru sferele cu centrul ın x0 si cu raza a < a0. Deci

u(x) = u(x0), ∀x ∈ B0 = B0 ∪ S0.

Valoarea maxima u(u0) fiind egala cu u(x1), ∀x1 ∈ S0, repetand rationamentul pentru o bila B1 cu centrul ınx1 aleasa astfel ca B1 ∪S1 = B1 ⊂ D, rezulta ca u(x) = u(x1) = u(x0), ∀x ∈ B1 etc. Fie y ∈ D arbitrar. CumD este multime conexa, exista o linie poligonala L, de lungime finita, care uneste x0 cu y. Luand x1 = S0 ∩ L,x2 = S1 ∩ L etc., dupa un numar finit de pasi obtinem o bila Bn astfel ıncat y ∈ Bn, deci u(y) = u(x0),∀y ∈ D. In concluzie, daca u(x), armonica pe D, ia ıntr–un punct x0 ∈ D valoarea sa maxima, u(x) se reducela o constanta pe D.

Asadar, din rationamentul dezvoltat mai sus, rezulta ca punctul de extrem u0 nu poate apartine interioruluidomeniului D, si ın consecinta u0 ∈ S0. q.e.d.

conditie la frontiera, atunci diferenta lor w(x) = u(x)− v(x) este egala cu zero pe frontiera S a domeniuluiD, si prin urmare, ın baza principiului de extrem pentru o functie armonica, w(x) = 0, adica u(x) = v(x)pretutindeni ın D ∪ S.

7.6 Problema Dirichlet si problema Neumann

Cand se deduc anumite ecuatii cu derivate partiale din legi generale care guverneaza fenomene ale naturii, aparın mod natural conditii suplimentare impuse solutiilor cautate. Demonstrarea existentei si unicitatii solutiilorcare satisfac conditii suplimentare specifice (la limita sau pe frontiera si eventual initiale) joaca un rol importantın teoria ecuatiilor cu derivate partiale.

Daca atunci cand au loc mici variatii ale datelor continute atat ın ecuatii cat si ın conditiile suplimentareimpuse solutiilor se produc mici variatii ale solutiilor care satisfac ecuatiile si conditiile modificate spunem casolutiile sunt stabile sau ca problemele sunt bine puse (corect puse). Altminteri, problemele ın chestiune se zicprobleme puse impropriu sau probleme incorect puse.

Este bine de mentionat ca conditiile problemelor care trebuiesc sa fie satisfacute de catre solutiile cautatedepind de tipul ecuatiei cu derivate partiale considerate.

Sa formulam acum o problema la limita a carei corectitudine se va demonstra ulterior.Presupunem ca S, frontiera unui domeniu marginit D din spatiul afin n−dimensional IEn, asociat spatiului

euclidian Rn, este o hipersuprafata neteda (n− 1)−dimensionala.


In cele ce urmeaza, prin suprafata ın IEn vom ıntelege o hipersuprafata (n − 1)−dimensionala de acesttip. Preferam acest stil de prezentare, general la prima vedere, ın dorinta de a prinde simultan cele douacazuri ıntalnite cel mai frecvent ın practica curenta. Primul caz este acela ın care n = 3, hipersuprafata fiindacum suprafata obisnuita din spatiul euclidian tridimensional, iar cel de al doilea este cel ın care n = 2, candhipersuprafata este ınlocuita de o curba plana.

Sa formulam urmatoarea problema: sa se determine acea solutie u(x) a ecuatiei (7.3) care sa fie regulata ındomeniul D, continua ın regiunea ınchisa D ∪ S si care sa satisfaca conditia la limita

limx→y

u(x) = ϕ(y); x ∈ D, y ∈ S, (7.38)

unde ϕ este o functie continua data definita pe S.Problema astfel formulata este cunoscuta sub numele prima problema la limita fundamentala sau problema

Dirichlet .Problema Neumann consta ın determinarea unei functii u(x), armonica pe domeniul D ⊂ IEn, pentru care

sunt date valorile derivatei sale dupa directia versorului n al normalei exterioare(∂u∂n

)(x) = ψ(x); x ∈ S, (7.39)

ın toate punctele x apartinand frontierei S a domeniului D, ın care normala n(x) este continua. Functia ψ(x)este considerata cunoscuta, data si este o functie continua.

Problema Neumann pentru ecuatia lui Laplace este cunoescuta si sub numele de a doua problema la limitasau a doua problema fundamentala .

Aceste doua probleme, referindu–se la un domeniu marginit, se numesc probleme interioare. Urmatoareleprobleme, referitoare la domenii nemarginite, se numesc probleme exterioare .

Fie D un domeniu nemarginit si S frontiera sa formata din una sau mai multe suprafete cu normala n(x)continua pe portiuni. Dam ca exemplu urmatoarele domenii nemarginite din IE3, spatiul afin asociat spatiuluiliniar R3, ın care s–a ales reperul cartezian ortogonal Oxyz :

D1 = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 > R2, R > 0;

D2 = (x, y, z) ∈ R3 | z > 0;

D3 = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 > R2, z > 0, R > 0;

D4 = (x, y, z) ∈ R3 | (x− 2)2 + y2 > 1, x > 0.

Multimea D1 reprezinta exteriorul bilei ınchise cu centrul ın origine de raza R si este o multime deschisa, conexa,dar nemarginita. Domeniul D2 este semispatiul superior. Multimea D3 este semispatiul superior din care s–aınlaturat jumatatea superioara din cilindrul circular ınchis, de raza R, cu axa de rotatie axa Oz. Ultima multimeeste situata ın semispatiul x > 0 dar si ın exteriorul cilindrului cu generatoarele paralele cu Oz, avand curbadirectoare cercul de raza 1 si centrul ın punctul C(2, 0, 0) situat ın planul Oxy. Domeniile D2, D3 si D4 suntde asemeni nemarginite.

Problema lui Dirichlet pentru un domeniu nemarginit D ⊂ IEn este urmatoarea: sa se determine o functieu(x), armonica pe D, cu urmatoarele conditii:

u(x) = ϕ(x), ∀x ∈ S; lim‖x‖→∞

u(x) = 0,

unde ϕ(x) este o functie data, definita pe frontiera S a domeniului D.Problema Neumann pentru un domeniu nemarginit D ⊂ IEn consta ın determinarea unei functii u(x),

armonica pe D, date fiind valorile derivatei∂u

∂n(x) ın toate punctele x ∈ S ın care n este continua, iar

lim‖x‖→∞

u(x) = 0.

Teorema 7.6.1. Solutia problemei Dirichlet este unica, atat ın cazul domeniilor marginite cat si ın cazuldomeniilor nemarginite.

Solutia problemei Neumann pentru domenii marginite este determinata ın afara unei constante aditive.


In cazul domeniilor nemarginite, solutia u(x) a problemei Neumann care satisface conditiile suplimentare

|u(x)| ≤ C

‖x‖λ, max

∣∣∣ ∂u∂x1

(x)∣∣∣, ∣∣∣ ∂u∂x2

(x)∣∣∣, ..., ∣∣∣ ∂u

∂xn(x)∣∣∣ ≤ K

‖x‖1+λ, ‖x‖ > R0,

unde C, K, R0, λ sunt constante strict pozitive date si λ >n− 2

2, este unica.

Demonstratie. Sa presupunem ca exista doua solutii ale problemei Dirichlet, u1(x) si u2(x)

∇2u1(x) = 0, ∇2u2(x) = 0, pe D,

u1(x) = ϕ(x), u2(x) = ϕ(x), ∀x ∈ S.

Diferenta lor u(x) = u1(x)− u2(x) va fi o functie armonica pe D, nula pe frontiera S. In plus, ın cazul cand Deste domeniu nemarginit

lim‖x‖→∞

u(x) = 0.

In aceste conditii, functia u(x) este nula pe D. Intr-adevar, daca ar lua valori strict pozitive ın puncte aledomeniului D, ar rezulta ca u(x) ar lua valoarea sa maxima ıntr–un punct din D, fapt care contrazice Teorema7.5.1. Pentru motive similare, u(x) nu poate lua valori strict negative pe D. Cum u(x) = 0 pe D, rezultau1(x) = u2(x) si unicitatea solutiei problemei Dirichlet este dovedita.

Sa consideram acum problema Neumann pentru un domeniu marginit D de frontiera S. Presupunem ca

admite doua solutii u1(x) si u2(x). Diferenta lor u(x) = u1(x) − u2(x) este functie armonica pe D si∂u

∂n= 0,

pe S. Din (7.12), ın care punem u = v, rezulta∫D

‖(∇u)(x)‖2dτx = 0. Functia u(x) este de clasa C2(D), deci

F (x) = ‖(∇u)(x)‖2 este continua si pozitiva pe D. Sa presupunem ca exista x0 ∈ D pentru care F (x0) > 0.Datorita continuitatii, exista o vecinatate V0 ⊂ D a punctului x0 pe care F ia valori strict pozitive, deci∫V0

F (x)dτx > 0. Rezulta ca∫D

‖(∇u)(x)‖2dτx =∫V0

F (x)dτx > 0, care contrazice egalitatea de mai sus. Prin

urmare, F (x) = 0, ∀x ∈ D. Deci, ın toate punctele domeniului D,( ∂u∂x1

)2

+( ∂u∂x2

)2

+ ...+( ∂u∂xn

)2

= 0.

Aceasta egalitate are loc daca∂u

∂x1=

∂u

∂x2= ... =

∂u

∂xn= 0 ın orice punct x al domeniului D, deci u(x) se

reduce la o constanta pe D, adica cele doua solutii u1(x) si u2(x) difera printr–o constanta.In cazul cand domeniul D este nemarginit, presupunand ca u(x) verifica inegalitatile din enuntul Teoremei

7.6.1, consideram o sfera Σ cu centrul ın originea reperului si de raza a > R0. Fie Ba bila care are frontiera S.Notam Da = D ∩Ba. Frontiera domeniului Da este formata din o parte a frontierei S pe care o notam cu S′ sio parte a sferei Σ pe care o notam cu Σ′. Evident, este posibil ca Σ = Σ′ sau S = S′.

Sa presupunem ca exista doua solutii u1(x) si u2(x) ale problemei Neumann pentru domeniul D nemarginit,

verificand conditiile suplimentare. Diferenta lor u(x) = u1(x) − u2(x) este functie armonica pe D cu∂u

∂n= 0,

pe S. In plus, pentru ‖x‖ > R0 avem

|u(x)| ≤ C

‖x‖λ, max

∣∣∣ ∂u∂x1

(x)∣∣∣, ∣∣∣ ∂u∂x2

(x)∣∣∣, ..., ∣∣∣ ∂u

∂xn(x)∣∣∣ ≤ K

‖x‖1+λ. (7.40)

Prin urmare, u(x) este functie armonica pe Da,∂u

∂n= 0, pe S′ iar pe Σ′ sunt satisfacute conditiile (7.40), cu

‖x‖ = a.Sa scriem formula (7.12) pentru u = v si domeniul Da,∫

S′u(x)

∂u

∂n(x)dσy +

∫Σ′u(x)

∂u

∂n(x)dσy =

∫Da

‖(∇u)(x)‖2dτx. (7.41)


Deoarece∂u

∂n= 0, pe S′, prima integrala din (7.41) este nula. Evaluam a doua integrala tinand seama de

conditiile (7.40). Avem ∣∣∣∂u∂n

∣∣∣ = |(∇u) · n| ≤ ‖(∇u)(x)‖ ≤∣∣∣ ∂u∂x1

∣∣∣+∣∣∣ ∂u∂x2

∣∣∣+ ...+∣∣∣ ∂u∂xn

∣∣∣,deci ∣∣∣ ∫

Σ′u(y)

∂u

∂n(y)dσy

∣∣∣ ≤ ∫Σ′|u(y)|

∣∣∣∂u∂n

(y)∣∣∣dσy ≤ 2C

aλ· 6Ka1+λ

∫Σ′dσy.

Ultima integrala, fiind aria unei portiuni din sfera Σ, este mai mica decat ωnan−1, deci∣∣∣ ∫Σ′u(y)

∂u

∂n(y)dσy

∣∣∣ ≤ 12CKa2λ+2−n .

Prin ipoteza, λ >n− 2

2si pentru a suficient de mare, membrul doi al acestei inegalitati este mai mic decat

orice ε > 0 dat. Revenind la egalitatea (7.41) rezulta ca pentru ε > 0 exista η(ε) > 0, astfel ıncat pentru oricea > η(ε), ∫

Da

‖(∇u)(x)‖2dτx < ε,

fapt care este posibil, numai daca∣∣∣ ∂u∂x1

∣∣∣ =∣∣∣ ∂u∂x2

∣∣∣ = ... =∣∣∣ ∂u∂xn

∣∣∣ = 0 pe Da pentru orice a > η(ε). Deci u(x)

se reduce la o constanta pe D. Tinand seama ca lim‖x‖

u(x) = 0, rezulta u(x) = 0 pe D, deci u1(x) = u2(x) si

unicitatea solutiei este dovedita. q.e.d.

7.7 Functia lui Greeen a problemei Dirichlet pentru ecuatia luiLaplace

Definitia 7.7.1. Prin functie Greeen a problemei Dirichlet pentru ecuatia lui Laplace ıntr–un domeniuD ⊂ Rn se ıntelege functia G(x,y)depinzand de punctele x ∈ D∪S si y ∈ D∪S care are urmatoarele proprietati:

(1) aceasta functie are formaG(x,y) = E(x,y) + g(x,y), (7.42)

unde E(x,y) este solutia fundamentala a ecuatiei lui Laplace ın n dimensiuni, iar g(x,y) este o functiearmonica atat ın raport cu variabila x ∈ D, cat si ın raport cu variabila y ∈ D;

(2) cand punctul x sau y se afla pe frontiera S a domeniului D, este satisfacuta egalitatea

G(x,y) = 0. (7.43)

Este usor de vazut ca G(x,y) ≥ 0 peste tot ın domeniul D. Intr-adevar, sa notam prin Dδ acea parte adomeniului D care se situeaza ın afara bilei ınchise ‖x − y‖ ≤ δ, unde y ∈ D, de raza suficient de mica,δ > 0. Deoarece lim

x→yG(x,y) = +∞, pentru δ suficient de mic, trebuie sa avem inegalitatea G(x,y) > 0,

cand ‖x − y‖ < δ. In consecinta, G(x,y) ≥ 0 pe frontiera domeniului Dδ si prin urmare, conform principiuluide extrem (Teorema 7.5.1), G(x,y) ≥ 0 pentru toti x ∈ Dδ ceea ce face sa concluzionam ca G(x,y) ≥ 0pretutindeni ın D ∪ S.


Teorema 7.7.1. Functia lui Green G(x,y) este simetrica ın raport cu variabilele sale:

G(x,y) = G(y,x), ∀x,y ∈ D.

Demonstratie. Pentru a demonstra aceasta proprietate, sa includem punctele x si y ın bilele ınchise d : ‖z−x‖ ≤δ si d′ : ‖z− y‖ ≤ δ de raza δ > 0, suficient de mica. Partea din afara celor doua bile va fi notata cu Dδ.

Functiile v(z) = G(z,y) si u(z) = G(z,x) sunt armonice ın interiorul domeniului D situat ın exteriorulbilelor d si d′. Aplicand formula (7.13) domeniului Dδ obtinem egalitatea∫

S

(G(z,y)

∂G(z,x)∂nz

−G(z,x)∂G(z,y)∂nz

)dSz =

∫C

(G(z,y)

∂G(z,x)∂nz


)dSz+

+∫C′

(G(z,y)

∂G(z,x)∂nz


)dSz,

unde nz denota normala unitara exterioara ın puncte z apartinand atat lui S cat si sferelor C : ‖z− x‖ = δ siC ′ : ‖z− y‖ = δ.

In baza Definitiei 7.7.1, G(z,x) = G(z,y) = 0, z ∈ S, astfel ca ultima formula se rescrie ın forma∫C

(G(z,y)

∂G(z,x)∂nz


)dSz =

∫C′

(G(z,x)

∂G(z,y)∂nz

−G(z,y)∂G(z,x)∂nz

)dSz.

In final, folosind relatiile:

G(z,x) = E(z,x) + g(z,x); G(z,y) = E(z,y) + g(z,y),

unde g(z,x) si g(z,y) sunt functii armonice, prin trecere la limta pentru δ → 0, obtinem egalitatea G(x,y) =G(y,x), pe care trebuia sa o demonstram. q.e.d.

Acum, fie ca u(x) din formula de reprezentare integrala (7.28) este solutia problemei Dirichlet pentru ecuatialui Laplace si sa ınlocuim ın (7.28) pe E(x,y) cu G(x,y). Atunci, repetarea argumentelor din obtinerea formulei(7.28) si aplicarea lui (7.42) si (7.43) conduce la formula

u(x) = − 1ωn

∫S

∂G(x,y)∂ny

ϕ(y)dSξ, (7.44)

unde ϕ este o functie reala continua data.Cand functia lui Green este cunoscuta, formula (7.44) exprima solutia problemei Dirichlet pentru ecuatia

lui Laplace ın urmatorul mod: sa se determine functia u(x), armonica ın D, continua pe D∪S si care satisfaceconditia la limita

limx→x0

u(x) = ϕ(x0); x ∈ D, x0 ∈ S. (7.45)

Faptul ca functia u(x) data ın formula (7.44) este armonica rezulta din faptul ca functia G(x,y) este armonica ınraport cu x pentru x 6= y. Totusi, faptul ca aceasta functie satisface conditia la limita (7.45) cere o demonstratiespeciala.

7.8 Potentialul de masa

Sa consideram expresia

u(x) =∫D

E(x,y)µ(y)dτy, (7.46)


unde D este un domeniu din IEn, E(x,y) este solutia fundamentala introdusa ın (7.5), iar µ(y) este o functiedefinita pe domeniul D.

Functia (7.46) este o integrala depinzand de n parametri, coordonatele punctului x ∈ IEn.

Definitia 7.8.1. Cand integrala din membrul drept al formulei (7.46) este convergenta, functia u(x) se numestepotential al unei distributii n−dimensionale de masa sau potential de masa cu densitatea de masasau densitatea de volum µ ın domeniul D.

In cazul cand n = 3 pentru potentialul de masa se foloseste denumirea de potential newtonian sau potentialde volum.

Daca n = 2 potentialul de masa corespunzator poarta denumirea de potential logaritmic.Avand ın vedere expresia solutiei fundamentale ın cazul n = 2, rezulta ca potentialul logaritmic are expresia

u(x1, x2) =∫D

µ(ξ1, ξ2) ln1rdξ1dξ2, (7.47)

unde r =√

(x1 − ξ1)2 + (x2 − ξ2)2 este distanta euclidiana ıntre punctele de coordonate (x1, x2) si (ξ1, ξ2).In cele ce urmeaza vom presupune ca D este un domeniu marginit.Deoarece solutia fundamentala E(x,y) este o functie armonica pentru x 6= y, potentialul de volum u(x) din

(7.46) este functie armonica pentru puncte x situate ın afara multimii D ∪ S, unde S este frontiera domeniuluiD. In plus, ın cazul n > 2 functia u(x) tinde la zero pentru ‖x‖ → ∞.

Folosind teoria integralelor depinzand de parametri [8], se pot demonstra cu usurinta urmatoarele teoreme.

Teorema 7.8.1. Daca functia µ este continua si marginita ın domeniul D, potentialul de volum u(x) este ofunctie continua care are derivate partiale de ordinul ıntai, continue ın IEn, exprimate de formulele

∂u

∂xi=∫D

∂

∂xiE(x,y)µ(y)dτy (i = 1, 2, ..., n). (7.48)

Teorema 7.8.2. Daca densitatea de masa µ poseda derivate partiale de ordinul ıntai, continue si marginite ınD, atunci potentialul de volum (7.46) admite derivate partiale de ordinul al doilea ın D.

In baza acestor teoreme, pentru x ∈ D se obtine relatia

(∇2u)(x) = −ωn µ(x), (7.49)

care, ın cazul n = 2, devine∂2u

∂x21

(x1, x2) +∂2u

∂x22

(x1, x2) = −2π µ(x1, x2). (7.50)

In baza formulelor (7.49) si (7.50) deducem ca functia definita de relatia

u(x) = − 1ωn

∫D

G(x,y)f(y)dτy, (7.51)

unde G(x,y) este functia lui Green a problemei Dirichlet pentru functii armonice ın domeniul D, iar f(x) esteo functie marginita care are derivate partiale de ordinul ıntai continue si marginite ın D, este o solutie regulataa ecuatiei Poisson

∇2u(x) = f(x), x ∈ D. (7.52)

De asemenea, se poate arata ca functia (7.51) satisface conditia la limita omogena

limx→x0

u(x) = 0, x ∈ D, x0 ∈ S. (7.53)


Astfel, daca functia lui Green G(x,y) este cunoscuta, potentialul de volum u(x) determinat prin formula (7.51)da solutia, ın domeniul D, pentru problema Dirichlet omogena (7.53) a ecuatiei Poisson (7.52).

Acum, ın locul conditiei la limita omogena de tipul (7.53), sa consideram o conditie la limita neomogena deforma

limx→x0

u(x) = ϕ(x0), x ∈ D, x0 ∈ S. (7.54)

Daca v(x) este o functie armonica ın D care satisface conditia la limita (7.54), adica

limx→x0

v(x) = ϕ(x0), x ∈ D, x0 ∈ S

si daca u(x) este solutia cautata a problemei Dirichlet neomogene (7.54) pentru ecuatia Poisson (7.52), atuncidiferenta u(x)− v(x) = w(x) este o solutie regulata a ecuatiei

∇2w(x) = f(x), x ∈ D

care satisface conditia la limita omogena

limx→x0

w(x) = 0, x ∈ D, x0 ∈ S. (7.55)

Prin urmare, problema determinarii solutiei u(x) a problemei Dirichlet neomogene (7.54) pentru ecuatiaPoisson (7.52) se reduce la determinarea solutiei w(x) ale aceleiasi ecuatii care ınsa satisface conditia la limitaomogena (7.55).

7.9 Potentialii de simplu strat si dublu strat

Pe langa potentialul de masa, prezentat ın paragraful precedent, formulele de reprezentare integrala (7.18),(7.26) si (7.28) introduc ın studiu alte doua integrale care depind de parametri, calculate pe hipersuprafete(n− 1)−dimensionale din IEn, de forma:

u(x) =1ωn

∫∂D

E(x,y)µ(y)dσy; (7.56)

u(x) =1ωn

∫∂D

µ(y)∂E(x,y)∂ny

dσy, (7.57)

denumite respectiv potential de simplu strat si potential de dublu strat .In cazul n = 2, potentialul de simplu strat are expresia

u(x) =1

2π

∫C

µ(y) ln1

‖x− y‖dsy, (7.58)

unde C este o curba Jordan, simpla si ınchisa, care are curbura continua, dsy este elementul de arc al curbei,iar µ este o functie de doua ori continuu diferentiabila, numita densitate de potential . Curba C este frontieraunui domeniu marginit D ⊂ IEn.

Observand ca (7.58) se poate scrie ın forma alternativa

u(x) = − ln ‖x‖2π

∫C

µ(y)dsy +1

2π

∫C

ln‖x‖‖x− y‖

µ(y)dsy, (7.59)

deducem ca lim‖x‖→∞

u(x) = 0 numai atunci cand este ındeplinita conditia

∫C

µ(y)dsy = 0.


Potentialul de dublu strat ın plan are forma

u(x) = − 12π

∫C

µ(y)∂

∂nyln ‖x− y‖dsy. (7.60)

Desigur, potentialul de masa ın cazul a doua dimensiuni este

u(x) =1

2π

∫D

µ(y) ln1

‖x− y‖dy1dy2, (7.61)

unde dy1dy2 este elementul de arie ın plan.Denumirile date acestor integrale depinzand de parametri justifica o alta interpretare a formulelor integrale

ale unei functii de clasa C1 si C2, sau a unei functii armonice, si anume formule de reprezentare prin potentiali.

Daca n = 3, tinand cont de forma solutiei fundamentale si de faptul ca ın acest caz aria sferei unitate este4π, rezulta ca potentialii de simplu strat, de strat dublu si de masa au respectiv expresiile

u(x) =1

4π

∫S

µ(y)r

dσy, (7.62)

u(x) =1

4π

∫S

µ(y)∂

∂ny

(1r

)dσy, (7.63)

u(x) =1

4π

∫D

µ(y)r

dy1dy2dy3, (7.64)

unde S este o suprafata simpla, ınchisa, care margineste domeniul D ⊂, dσy este elementul de arie ın punctuly = (y1, y2, y3) al suprafetei S, dy1dy2dy3 este elementul de volum ın spatiul tridimensional, iar r este distantaeuclidiana dintre punctele x = (x1, x2, x3) si y, adica r =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.

Integralele care definesc potentialul de volum si potentialii de simplu si dublu strat care apar ın formulelede reprezentare sunt improprii, deoarece integranzii respectivi sunt functii discontinue. Pentru convergenta lorınsa se poate aplica Lema 7.3.1, tinand evident cont ca dimensiunea varietatii ∂D este n − 1. Atat ın aceastalema cat si ın toate formulele care contin integrale improprii de acest tip, integralele se ınteleg ın sensul valoriiprincipale Cauchy , adica vom scrie∫

D

‖x− y‖β · f(y)dτy = limε→0

∫D\B(x,ε)

‖x− y‖β · f(y)dτy,

unde B(x, ε) este bila de raza ε > 0 cu centrul ın punctul x. Folosind proprietatile solutiei fundamentale E(x,y),deducem ca fiecare din potentialii (7.56) si (7.57) este functie armonica ın ıntreg spatiul afin IEn, cu exceptiapunctelor apartinand suprafetei S, si tinde la zero pentru ‖x‖ → ∞.

Domeniul D si complementara acestuia ın raport cu ıntreg spatiu IEn vor fi notate prin D+ si respectiv D−.Se poate demonstra ca potentialul de dublu strat sufera un salt la traversarea frontierei S a domeniului D,

atat dinspre D+ cat si dinspre D−. De exemplu, ın cazul planului, relatiile de salt sunt [4][p. 79]:

u+(x0)− u(x0) = −12µ(x0); (7.65)

u−(x0)− u(x0) =12µ(x0), (7.66)

unde u+(x0) si u−(x0) sunt limitele dinspre D+, respectiv D−, a potentialului de dublu strat (7.60), atuncicand x→ x0 ∈ C.

Cu aceste pregatiri, suntem ın masura sa construim solutia u(x) a problemei Dirichlet pentru ecuatia luiLaplace ın domeniul D+ ⊂ IEn cu conditia la limita (pe frontiera)

u+(x0) = g(x0), (7.67)

sub presupunerea ca curbura curbei C si functia data g(x0) sunt continue. Aceasta solutie se cauta ın formapotentialului de dublu strat (7.60), cu precizarea ca, pentru moment, densitatea de potential µ(y) este functienecunoscuta.


Se demonstreaza mai ıntai ca formula (7.60) care exprima potentialul de dublu strat ın plan, are sens sipentru x = x0. Pentru aceasta, se introduce functia K(s, t), de variabilele s si t, abscisele curbilinii (lungimilede arc) ale punctelor x0 si y de pe curba C, prin relatia

πK(s, t) =∂

∂nyln ‖y − x0‖

si se arata ca

πK(s, t) =1

‖y − x0‖22∑i=1

(yi − x0i )∂yi∂ny

=cosϕ‖y − x0‖

=∂

∂tθ(s, t), (7.68)

unde

cosϕ =(y − x0) · ny‖y − x0‖

si

θ(s, t) = arctany2 − x0

2

y1 − x01

.

Se poate vedea usor [4][p. 76] ca K(s, t) este o functie continua de s si t si ca

limt→0

K(s, t) =K(s)2π

,

unde K(s) este curbura curbei C ın punctul x0 al ei.Din continuitatea functiei K(s) rezulta ca expresia

u(x) = − 12π

∫C

cosϕ‖y − x0‖

µ(y)dsy. (7.69)

a potentialului de dublu strat (7.60) are sens pentru x0 ∈ C si ca u(x) este functie continua pe C, ın fiecarepunct x0 ∈ C.

In conformitate cu (7.68), (7.69) si (7.67), pentru ca functia u(x) exprimata prin formula (7.60) (aceastafunctie este armonica ın domeniul D+) sa satisfaca conditia la limita (7.67), trebuie sa aiba loc egalitatea

µ(s) +∫C

K(s, t)µ(t)dt = −2g(s). (7.70)

Egalitatea (7.70) este o ecuatie integrala Fredholm liniara, de tipul al doilea , ın raport cu functia necunoscutaµ.

Prin urmare, problema Dirichlet pentru ecuatia lui Laplace se reduce la ecuatia integrala (7.70).In [4][p. 228] se demonstreaza ca ecuatia integrala (7.70) are o singura solutie µ. Aceasta ınseamna ca

potentialul de dublu strat (7.60) cu densitatea µ satisfacand ecuatia integrala (7.70) este solutia problemeiDirichlet pentru ecuatia lui Laplace cu conditia pe frontiera (7.67).

Astfel, este lamurita existenta solutiei acestei probleme.Se poate demonstra [4][p. 82] ca atunci cand punctul x trece din domeniul D+ spre domeniul D−, iar

trecerea se face printr–un punct x0 ∈ C, potentialul de simplu strat (7.58) ramane continuu ın timp ce derivata

sa normala∂u

∂nxsufera salturile ( ∂u

∂nx

)+

− ∂u(x0)∂nx0

=12µ(x0) (7.71)

si ( ∂u∂nx

)−− ∂u(x0)

∂nx0= −1

2µ(x0). (7.72)

In formulele (7.71) si (7.72) derivatele directionale∂u(x0)∂nx0

se exprima prin formula

∂u(x0)∂nx0

=1

2π

∫C

(y − x0) · ny‖y − x0‖2

µ(y)dsy =12

∫C

K∗(s, t)µ(t)dt, (7.73)


unde

K∗(s, t) =1π

∂

∂sarctan

y2 − x02

y1 − x01

(7.74)

este functie continua. Problema Neumann (numita de asemeni a doua problema cu valori la limita sau a douaproblema fundamentala) a teoriei functiilor armonice se formuleaza ın felul urmator: sa se gaseasca functia u(x),armonica ın D+ care sa fie continua ınpreuna cu derivatele partiale de ordinul ıntai ın D+∪C si satisface con-ditia pe frontiera (∂u

∂n

)+

= g(x0), x0 ∈ C, (7.75)

unde g(x0) este o functie data definita ın punctele curbei C.Am aratat anterior ca daca u(x) si u1(x) sunt doua solutii ale problemei Neumann, atunci ele difera printr–o

constanta, adica u(x) = u1(x) + C.

Prin urmare, daca u(x) este o solutie a problemei Neumann, atunci aceeasi proprietate o are si functiau(x) + C, unde C este o constanta reala oarecare.

Din Teorema 7.2.6, pentru ca problema Neumann cu conditia la limita (7.75) sa aiba solutie este necesar ca∫C

g(s)ds = 0. (7.76)

Acum, avem toate conditiile ca sa rezolvam problema Neumann cu ajutorul potentialului de simplu strat(7.58) cu densitate necunoscuta µ. Folosind (7.71), (7.73) si (7.75), pentru determinarea functiei µ obtinemecuatia integrala Fredholm de tipul al doilea

µ(s) +∫C

K∗(s, t)µ(t)dt = 2g(s) (7.77)

a carui nucleu K∗(s, t) se exprima prin formula (7.74).Astfel, problema Neumann se reduce la ecuatia integrala cu nucleu singular (7.77).Se poate arata [4][p. 228] ca conditia (7.76) este nu numai necesara dar si suficienta pentru ca solutia

problemei Neumann sa existe.

7.10 Problema Dirichlet interioara pentru cerc

Ne propunem sa determinam functia armonica u = u(x, y) ın discul D cu centrul ın origine si raza 1, cand seda functia u pe frontiera C a acestuia.

Modelul matematic pentru aceasta problema la limita, denumita problema lui Dirichlet interioara pentrucerc ıl constituie urmatoarele ecuatii

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, (x, y) ∈ D,

u(x, y) = h(x, y), (x, y) ∈ C = ∂D,

(7.78)

unde D este domeniul definit de inegalitatea x2 + y2 < 1 (discul de raza 1), iar C este cercul de ecuatiex2 + y2 = 1, deci cu centrul ın originea reperului Oxy si raza 1.

Vom reformula aceasta problema la limita ın coordonate polare, ceea ce revine la a efectua schimbarea devariabile independente

x = r cos θ,

y = r sin θ.(7.79)

Laplacianul functiei u, ın doua dimensiuni, ın coordonate polare, are expresia

∇2u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= r2 ∂

2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂θ2, (7.80)


astfel ca, utilizand (7.79) si (7.80), problema la limita (7.78) devine r2 ∂2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂θ2= 0, (r, θ) ∈ [0, 1)× [0, 2π],

u|C = f(θ), θ ∈ C = [0, 2π],(7.81)

unde s–a efectuat notatia f(θ) = h(cos θ, sin θ).In problema la limita reformulata ın coordonate polare (7.81), noua functie necunoscuta a fost notata tot cu

u si este de fapt rezultatul compunerii functiei u din (7.78) cu functiile reale de variabilele reale r si θ, definiteprin relatiile (7.79). Prin urmare, ın (7.81) avem ca u = u(r, θ) este functia necunoscuta.

Pentru determinarea solutiei problemei la limita (7.81), utilizam metoda separarii variabilelor si deci cautamsolutia ecuatiei (7.81)1 ın forma

u(r, θ) = R(r) · Φ(θ). (7.82)

Impunand ca functia u din (7.82) sa satisfaca ecuatia diferentiala (7.81)1, dupa separarea variabilelor, ob-tinem ecuatia

r2R′′(r) + rR′(r)R(r)

+Φ′′(θ)Φ(θ)

= 0,

care este echivalenta cur2R′′(r) + rR′(r)

R(r)= −Φ′′(θ)

Φ(θ)= k, (7.83)

unde k este o constanta ale carei valori urmeaza sa fie precizate. Obtinem astfel ecuatiile:Φ′′(θ) + kΦ(θ) = 0;

r2R′′(r) + rR′(r)− kR(r) = 0.(7.84)

Din conditia naturala ca functia u din (7.78) sa fie continua pe D∪C si sa admita derivate partiale de ordinuldoi continue pe D, rezulta ca R(r) trebuie sa fie functie marginita pe compactul [0, 1]. In afara de aceasta, fiindcadomeniul D este un disc, Φ trebuie sa fie functie periodica de perioada 2π, adica Φ(θ + 2π) = Φ(θ). Aceastaconditie de periodicitate a functiei Φ implica o anumita forma a constantei k si nu este greu de dovedit ca acestevalori sunt k = n2, unde n ∈ IN. Prin urmare, ecuatia (7.84)1 are solutiile

Φn(θ) = αn cosnθ + βn sinnθ, n ∈ IN. (7.85)

Functiile (7.85) se numesc functii proprii ale problemei la limita considerata, iar valorile lui k, adica k = n2,unde n ∈ IN, se numesc valori proprii ale problemei.

Ecuatia diferentiala (7.84)2 este de tip Euler si cautand solutii ale acesteia de forma

R(r) = rα,

constatam ca constanta reala α trebuie sa fie solutia ecuatiei caracteristice

α2 − n2 = 0,

care are desigur radacinile α = ±n. Astfel, pentru n 6= 0 ecuatia diferentiala (7.84)2 are solutia generala

Rn(r) = γn rn + δn r

−n.

Pentru n = 0, ecuatia corespunzatoare obtinuta din (7.84)2 este rR′′(r) + R′(r) = 0, care se mai poate scrie(rR′(r))′ = 0, sau rR′(r) = δ0. Ultima ecuatie are solutia R(r) = δ0 ln r + γ0. Insa, din conditia de marginire afunctiei R(r), deducem ca δn = 0, pentru n ∈ IN. Prin urmare, ecuatia (7.81)1 are solutiile

un(r, θ) = rn(An cosnθ +Bn sinnθ), n ∈ IN∗,

unde am notat αnγn = An si βnγn = Bn.


Sa consideram acum seria de functii

u(r, θ) =∞∑n=0

un(r, θ) = A0 +∞∑n=1

rn(An cosnθ +Bn sinnθ). (7.86)

Functia u din (7.86) verifica ecuatia (7.81)1 deoarece fiecare termen verifica acea ecuatie. Determinam acumconstantele A0, An, Bn astfel ıncat sa fie ındeplinita conditia la limita (7.81)2. Trebuie sa avem

A0 +∞∑n=1

(An cosnθ +Bn sinnθ) = f(θ), θ ∈ [0, 2π].

In ipoteza ca functia f(θ) se poate dezvolta ın serie Fourier, pentru constante se obtine valorile:

A0 =1

2π

∫ 2π

0

f(τ)dτ ; An =1π

∫ 2π

0

f(τ) cosnτdτ ; Bn =1π

∫ 2π

0

f(τ) sinnτdτ.

Introducem aceste valori ale constantelor ın (7.86) si obtinem relatia

u(r, θ) =1

2π

∫ 2π

0

f(τ)(

1 + 2∞∑n=1

rn(cosnθ cosnτ + sinnθ sinnτ))dτ,

care se mai poate scrie ın forma

u(r, θ) =1

2π

∫ 2π

0

f(τ)(

1 + 2∞∑n=1

rn cosn(θ − τ))dτ. (7.87)

Suma seriei de sub integrala din relatia (7.87) poate fi calculata pornind de la identitatea

∞∑n=1

rn cosn(θ − τ) + i

∞∑n=1

rn sinn(θ − τ) =∞∑n=1

rn exp (in(θ − τ)).

Ultima serie este convergenta pentru r < 1 si are suma

S =r exp (i(θ − τ))

1− r exp (i(θ − τ))=

r

exp (−i(θ − τ))− r=r(

cos(θ − τ)− r + i sin(θ − τ))

1− 2r cos (θ − τ) + r2

si prin urmare∞∑n=1

rn cosn(θ − τ) =r cos(θ − τ)− r2

1− 2r cos (θ − τ) + r2. (7.88)

Pentru a da o forma finala relatiei (7.87), mai trebuie calculata expresia

1 + 2∞∑n=1

rn cosn(θ − τ)

si pentru aceasta utilizam rezultatul (7.88). Gasim

1 + 2∞∑n=1

rn cosn(θ − τ) =1− r2

1− 2r cos (θ − τ) + r2. (7.89)

Introducand (7.89) ın (7.87), obtinem solutia problemei (7.81) ın forma

u(r, θ) =1− r2

2π

∫ 2π

0

f(τ)dτ1− 2r cos (θ − τ) + r2

. (7.90)


Prin schimbarea lui r ın r/R se obtine solutia problemei Dirichlet pentru cercul de raza R

u(r, θ) =R− r2

2π

∫ 2π

0

f(τ)dτR2 − 2Rr cos (θ − τ) + r2

. (7.91)

Fiecare din relatiile (7.90) si (7.91) este cunoscuta sub numele de formula lui Poisson.

Exercitiul 7.10.1. Sa se determine solutia problemei Dirichlet pentru discul cu centrul ın origine de raza 1 :∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0,

u(x, y) = y, pentru (x, y) ∈ R2, cu proprietatea x2 + y2 = 1.(7.92)

Solutie. Se trece la coordonate polare ın plan si se utilizeaza formula lui Poisson (7.90) ın care f(τ) = sin τ,deci

u(r, θ) =1− r2

2π

∫ 2π

0

sin τ1− 2r cos (θ − τ) + r2

dτ. (7.93)

In integrala (7.93) efectuam schimbarea de variabila eiτ = exp (iτ) = z. Observam ıntai ca daca τ parcurgeintervalul de integrare [0, 2π], atunci z apartine cercului |z| = 1 avand centrul ın origine si raza 1. Tinand contapoi de formulele lui Euler

sin τ =eiτ − e−iτ

2i, cos τ =

eiτ + e−iτ

2si de substitutia eiτ = z, gasim

sin θ =z2 − 1

2iz, cos (θ − τ) =

z2e−iθ + eiθ

2z.

Diferentiind ın relatia eiτ = z, obtinem ieiτdτ = dz, de unde deducem dτ =dz

iz. Folosind toate aceste rezultate

ın integrala (7.93) gasim ca aceasta devine

u(r, θ) =1− r2

4π

∫|z|=1

z2 − 1

z(re−iθz2 − (1 + r2)z + reiθ

)dz.Numitorul functiei f(z) de sub semnul integralei are radacinile z1 = 0, z2 = reiθ si z3 =

1reiθ, ınsa doar z1 si z2

se afla ın interiorul cercului |z| = 1. Punctele z1 si z2 sunt poli simpli pentru functia f(z).Pentru calculul acestei integrale ın complex se aplica teorema reziduurilor [2], [15][p. 251], deci

u(r, θ) =i(1− r2)

2

(Rez[f(z), z1] + Rez[f(z), z2]

),

unde Rez[f(z), z1] si Rez[f(z), z2] sunt reziduurile functiei f(z) ın polii z1 si respectiv z2, iar

f(z) =z2 − 1

z(re−iθz2 − (1 + r2)z + reiθ

) .Deoarece f(z) este catul polinoamelor

P (z) = z2 − 1, Q(z) = z(re−iθz2 − (1 + r2)z + reiθ

),

rezulta ca reziduurile functiei f(z) ın polii simpli z1 si z2 sunt

Rez[f(z), z1] =P (z1)Q′(z1)

, Rez[f(z), z2] =P (z2)Q′(z2)

.


Prin urmare, reziduurile corespunzatoare sunt

Rez[f(z), z1] = − 1reiθ

, Rez[f(z), z2] =re2iθ − 1

r(r2 − 1)eiθ,

suma lor fiind

Rez[f(z), z1] + Rez[f(z), z2] =r(e2iθ − 1)(r2 − 1)eiθ

.

Aplicand teorema reziduurilor [15][p. 251], gasim

u(r, θ) = −i r(e2iθ − 1)2eiθ

= r sin θ.

Revenind la variabilele x si y constatam ca solutia problemei la limita (7.92) este u(x, y) = y.

Exercitiul 7.10.2. Sa se determine solutia u = u(r, θ) a problemei Dirichlet interioara pentru discul cu centrul

ın origine de raza 3, stiind ca pe frontiera acestuia functia u satisface conditia u(3, θ) =θ

2, unde θ ∈ [0, 2π]. Sa

se calculeze valoarea ın punctul M(1, π/3) a solutiei.

Solutie. Conform rezultatelor stabilite mai sus, solutia problemeir2 ∂

2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂θ2= 0, (r, θ) ∈ [0, 3)× [0, 2π],

u(3, θ) =θ

2, θ ∈ [0, 2π]

(7.94)

este de forma

u(r, θ) =∞∑n=0

rn(En cosnθ + Fn sinnθ), (7.95)

unde coeficientii se determina din conditia la limita (7.94)2 :

u(3, θ) =∞∑n=0

rn(En cosnθ + Fn sinnθ) =θ

2. (7.96)

Ultima egalitate din (7.96) reprezinta dezvoltarea ın serie Fourier a functieiθ

2, de perioada T = 2π. Prin urmare,

coeficientii acestei dezvoltari trebuie sa fie dati de relatiile

E0 =1

2π

∫ 2π

0

θ

2dθ =

π

2,

En =1

3nπ

∫ 2π

0

θ

2cosnθ dθ = 0,

Fn =1

3nπ

∫ 2π

0

θ

2sinnθ dθ = − 1

n3n.

(7.97)

Din (7.95) si (7.97) rezulta ca solutia cautata este

u(r, θ) =π

2−∞∑n=1

rn

n3nsinnθ.


Valoarea solutiei u(r, θ) ın punctul M de coordonate polare r = 1 si θ = π/3 se determina simplu si gasim

u(

1,π

3

)=π

2−∞∑n=1

1n3n

sinnπ

3.

Exercitiul 7.10.3. Sa se determine solutia u = u(r, θ) a problemei lui Dirichlet pentru discul cu centrul ın

origine si de raza 2, stiind ca pe frontiera acestuia functia u(r, θ) satisface conditia u(2, θ) = 3 sin 2θ+12

cos 2θ,

unde θ ∈ [0, 2π].

Solutie. Intrucat se cere determinarea solutiei care sa depinda de coordonatele polare r si θ, vom considerade la bun ınceput ca ecuatia lui Laplace este scrisa ın aceste coordonate. Prin urmare, ın discul de raza r = 2,trebuie sa determinam acea solutie a ecuatiei

r2 ∂2u

∂r2+ r

∂u

∂r+∂2u

∂θ2= 0

care sa satisfaca conditia la limita u(2, θ) = 3 sin 2θ +12

cos 2θ, unde θ ∈ [0, 2π].Se aplica metoda separarii variabilelor, ceea ce ınseamna ca se cauta solutii de forma

u(r, θ) = R(r)T (θ)

care introduse ın ecuatia de mai sus, conduce la

R′′T +1rR′T +

1r2RT ′′ = 0.

Separand variabilele ın ultima ecuatie, avem

T ′′

T= −r

2R′′ + rR′

R= λ.

Astfel, se obtin ecuatiile diferentiale ordinare de ordinul al doileaT ′′ + λT = 0,

r2R′′ + rR′ − λR = 0.

−1Din faptul ca functia u este periodica ın variabila θ, rezulta ca si functia T (θ) trebuie sa fie periodica ın θ,ceea ce ınseamna ca ecuatia diferentiala ın T (θ) trebuie sa aiba solutii periodice. Rezulta:

λ = n2; T ′′ + n2T = 0; r2R′′ + rR′ − n2R = 0; n = 0, 1, 2, ...

Solutiile periodice ale ecuatiei T ′′ + n2T = 0 sunt de forma

Tn(θ) = An cosnθ +Bn sinnθ.

Pentru ecuatia diferentiala r2R′′ + rR′ − n2R = 0 se cauta solutii de forma R(r) = rt. O astfel de functieeste solutie daca t2 − r2 = 0, ceea ce ınseamna ca t = ±n si deci

Rn(r) = Cnrn +Dnr

−n, n = 0, 1, 2, ...

Din conditia ca R(r) sa fie continua ın originea r = 0, deducem ca Dn = 0.Daca introducem notatiile AnCn = En si BnCn = Fn, atunci avem ca

un(r, θ) = rn(En cosnθ + Fn sinnθ), n = 1, 2, ...


−1Folosind principiul superpozitiei [18] , rezulta ca solutia generala ın discul de raza r = 2 a ecuatiei lui Laplaceın coordonate polare este

u(r, θ) =∞∑n=1

rn(En cosnθ + Fn sinnθ).

Coeficientii En si Fn se determina din conditia la limita, ceea ce ınseamna ca

∞∑n=1

2n(En cosnθ + Fn sinnθ) = 3 sin 2θ +12

cos 2θ, ∀ θ ∈ [0, 2π],

de unde deducem ca singurii coeficienti nenuli sunt E2 si F2 si acestia au valorile

E2 =18, F2 =

34.

Prin urmare, solutia problemei este

u(r, θ) =r2

4

(12

cos 2θ + 3 sin 2θ).

Capitolul 8

Probleme si exercitii propuse

8.1 Probleme propuse

Problema 8.1.1. Exista campuri vectoriale care sunt simultan solenoidale si irotationale?

Problema 8.1.2. Sa se arate ca egalitatea∂f1

∂x+∂f2

∂y+∂f3

∂z= 0 constituie o conditie necesara si suficienta

pentru compatibilitatea sistemului de ecuatii cu derivate partiale de ordinul ıntai

∂w

∂y− ∂v

∂z= f1,

∂u

∂z− ∂w

∂x= f2,

∂v

∂x− ∂u

∂y= f3,

unde f1, f2, f3 ∈ C1(D) sunt functii date pe domeniul simplu conex D ⊂ R3.

Problema 8.1.3. Sa se afle care din campurile vectoriale admit un potential (scalar sau vectorial) si sa sedtermine acest potential:

a) v = (x+ 2y)i + (y − 2x)j− 2zk;

b) v = (xy − az)i + (a2 − y2)j + (yz − ax)k, a ∈ R∗+;

c) v = xi + yϕ(y)j− 2zϕ(y)k, ϕ ∈ C1(R);

d) v = (y − z)i + (x− 1)j− xk;

e) v = r3r, r2 = x2 + y2 + z2, r = xi + yj + zk;

f) v =(1y− z

x2

)i +(1z− x

y2

)j +( 1x− y

z2

)k;

g) v = yzi + xzj + xyk.

159


Problema 8.1.4. Sa se determine solutia generala si solutia problemei Cauchy respective ın urmatoarele cazuri:

a) y(x+ 2u)∂u

∂x− (x+ u)2 ∂u

∂y+ yu = 0, u(0, y) = y2;

b) xu∂u

∂x+ yu

∂u

∂y+ xy = 0, u(x, 2) = x;

c) 2xu∂u

∂x+ 2yu

∂u

∂y= u2 − x2 − y2, u(x, 1) = x;

d) x∂u

∂x− y ∂u

∂y+ z

∂u

∂z= u, u(1, y, z) = y + z;

e) xu∂u

∂x+ yu

∂u

∂y= x2 + y2 + u2, u(x, 1) = x2;

f) (x+ ex)∂u

∂x+ (y + ey)

∂u

∂y= u2 − ex+y;

g) xy∂u

∂x− y2 ∂u

∂y= x2, u(x, x2) = ex.

Problema 8.1.5. Sa se determine solutia u = u(r, θ) a problemei lui Dirichlet pentru discul cu centrul ınorigine si raza 3 stiind ca pe frontiera acestuia este satisfacuta conditia u(3, θ) = 6 sin 2θ, unde θ ∈ [0, 2π].

8.2 Exercitii propuse cu indicatii si raspunsuri

Exercitiul 8.2.1. Sa se reduca la forma canonica ecuatia cu derivate partiale de ordinul doi

∂2u

∂x2− 4

∂2u

∂x∂y− 5

∂2u

∂y2= 0.

Folosind rezultatul stabilit sa se determine solutia generala a ecuatiei.

Indicatie. Ecuatia este de tip hiperbolic. Se efectueaza substitutia

ξ = y + 5x,

η = y − x.

Raspuns. Forma canonica a ecuatiei este∂2u

∂ξ∂η= 0, iar solutia sa generala a este u(x, y) = f(y+5x)+g(y−x),

unde f si g sunt functii reale de variabila reala de doua ori diferentiabile.

Exercitiul 8.2.2. Stabiliti tipul ecuatiei cu derivate partiale de ordinul al doilea

x2 ∂2u

∂x2− y2 ∂

2u

∂y2= 0

si apoi aduceti–o la forma canonica.

Indicatie. Ecuatia este de tip hiperbolic. Se va folosi substitutia

ξ =x

y,

η = xy.

Raspuns.∂2u

∂ξ∂η− 1

2η∂u

∂η= 0.


Exercitiul 8.2.3. Specificati tipul si apoi aduceti la forma canonica ecuatia cu derivate partiale de ordinul aldoilea

∂2u

∂x2+ 2 sinx

∂2u

∂x∂y− (3 + cos2 x)

∂2u

∂y2− y ∂u

∂y= 0.


ξ = cosx+ 2x+ y,

η = cosx− 2x+ y.

Raspuns.∂2u

∂ξ∂η+ξ + η

ξ2

(∂u∂ξ

+∂u

∂η

)= 0.

Exercitiul 8.2.4. Cercetati tipul ecuatiei cu derivate partiale de ordinul doi

tg 2x∂2u

∂x2− 2ytg x

∂2u

∂x∂y+ y2 ∂

2u

∂y2+ tg 3x

∂u

∂x= 0

si apoi gasiti expresia sa canonica.

Indicatie. Ecuatia este de tip parabolic. Se efectueaza substitutia

ξ = y sinx,

η = y.

Raspuns.∂2u

∂η2− 2ξη2

∂u

∂ξ= 0.

Exercitiul 8.2.5. Sa se stabileasca tipul ecuatiei

y2 ∂2u

∂x2− 2xy

∂2u

∂x∂y+ x2 ∂

2u

∂y2− x∂u

∂x− y ∂u

∂y= 0

si apoi sa se determine o forma canonica a sa.

Indicatie. Ecuatia este de tip parabolic. Se efectueaza substitutia

ξ = x2 + y2,

η = x.

Raspuns.∂2u

∂η2− η

ξ − η2

∂u

∂η= 0.

Exercitiul 8.2.6. Determinati tipul ecuatiei

∂2u

∂x2+ y

∂2u

∂y2+

12∂u

∂y= 0, y > 0

si apoi gasiti–i forma canonica.

Indicatie. Ecuatia este de tip eliptic. Se efectueaza substitutia

ξ = 2

√y,

η = x.

Raspuns.∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2= 0.


Exercitiul 8.2.7. Specificati tipul si apoi aduceti la forma canonica ecuatia cu derivate partiale de ordinul aldoilea

∂2u

∂x2+ x

∂2u

∂y2= 0, cu x > 0.

Indicatie. Ecuatia este de tip eliptic. Se efectueaza substitutia

ξ = y,

η =23x√x.

Raspuns.∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2+

13η∂u

∂η= 0.

Exercitiul 8.2.8. Sa se aduca la forma canonica ecuatia

∂2u

∂x2+ 8

∂2u

∂x∂y+ 20

∂2u

∂y2+∂u

∂x+ 4

∂u

∂y= 0.

Indicatie. Ecuatia este de tip eliptic. Se va efectua substitutia

ξ = y − 4x,

η = 2x.

Raspuns.∂2u

∂ξ2+∂2u

∂η2+

12∂u

∂η= 0.

Exercitiul 8.2.9. Sa se integreze ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea

4x2 ∂2u

∂x2− y2 ∂

2u

∂y2+ 2x

∂u

∂x= 0,

unde x > 0, iar y 6= 0.

Indicatie. Ecuatia este de tip hiperbolic. Se face substitutia

ξ =x

y2,

η = xy2.

Raspuns. Solutia generala a ecuatiei este u(x, y) = 4√xy2ϕ

( xy2

)+ ψ(xy2), unde ϕ si ψ sunt functii reale

arbitrare de doua ori derivabile.

Exercitiul 8.2.10. Sa se determine solutia ecuatiei cu derivate partiale de ordinul doi

∂2u

∂x2+ 2 cosx

∂2u

∂x∂y− sin2 x

∂2u

∂y2− sinx

∂u

∂y= 0

care satisface conditiile u(x, sinx) = x4,∂u

∂y(x, sinx) = x.

Indicatie. Ecuatia este de tip hiperbolic. Utilizati substitutia

ξ = x− y + sinx,

η = −x− y + sinx.


Raspuns. u(x, y) =12[(x+ y − sinx)4 + (x− y + sinx)4

]+

14[(x− y + sinx)2 − (x+ y − sinx)2

].

Exercitiul 8.2.11. Studiati ecuatia cu derivate partiale de ordinul al doilea

∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2+ 3

∂u

∂x− 3

∂u

∂y= ex.

Indicatie. Ecuatia este de tip hiperbolic. Se face substitutia

ξ = x+ y,

η = x− y

Raspuns. u(x, y) = ϕ(x+ y) + e−3yψ(x− y) +ex

4.

Exercitiul 8.2.12. Sa se integreze ecuatia∂2u

∂x2− ∂u

∂t= 2 cos(3x− 2t).

Indicatie. Se cauta o solutie particulara de forma up(x, t) = a cos(3x− 2t) + b sin(3x− 2t).

Raspuns. up(x, y) =485

sin (3x− 2y)− 1885

cos (3x− 2y).

Exercitiul 8.2.13. Sa se dtermine solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale de ordinul al doilea

4x2 ∂2u

∂x2− y2 ∂

2u

∂y2+ 2x

∂u

∂x= 2− 3ex.

Indicatie. Ecuatia este de tip hiperbolic si se utilizeaza substitutia

ξ =x

y2,

η = xy2.

Raspuns. u(x, y) = 4√xy2ϕ

( xy2

)+ ψ(xy2).

Exercitiul 8.2.14. Sa se afle solutia generala a ecuatiei∂2u

∂x2+ 2

∂2u

∂x∂y+∂u

∂x+ 2

∂u

∂y= 0.

Indicatie. Ecuatia este de tip parabolic si se face substitutia

ξ = y,

η = y − 2x.

Raspuns. u(x, y) = e

y

2− x + ϕ(y) + ψ(y − 2x).

Exercitiul 8.2.15. Sa se afle solutia generala a ecuatiei 4∂2u

∂x2− 4

∂2u

∂x∂y+∂2u

∂y2− 6

∂u

∂x+ 3

∂u

∂y− 4u = 2ex−y.


Indicatie. Ecuatia este de tip parabolic. Se va efectua substitutia

ξ = x+ 2y,

η = y.

Raspuns. u(x, y) = eyϕ(x+ 2y) + e−4yψ(x+ 2y)− 12ex−y.

8.3 Probleme cu conditii initiale si la limita

Exercitiul 8.3.1. Sa se determine solutia ecuatiei∂2u

∂x2− 1

4∂2u

∂t2= 0 care satisface conditiile initiale

u(x, 0) = 3 sin

πx

4,

∂u

∂t(x, 0) = 0

si conditile la limita u(0, t) = 0,

u(4, t) = 0.

Indicatie. Este o problema la limita cu conditii initiale pentru ecuatia coardei vibrante finita si omogena.

Raspuns. u(x, t) = 3 sinπx

4cos

πt

2.

Exercitiul 8.3.2. Sa se gaseasca solutia ecuatiei a2 ∂2u

∂x2− ∂2u

∂t2= 0 care satisface conditiile initiale

u(x, 0) =

2hlx, 0 ≤ x ≤ l

22hl

(l − x),l

2≤ x ≤ l

,

∂u

∂t(x, 0) = 0

si conditiile la limita u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Indicatie. Problema la limita cu conditii initiale pentru ecuatia coardei vibrante finita si omogena.

Raspuns. u(x, t) =8hπ2

∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)2sin

(2k + 1)πl

x cosa(2k + 1)π

lt.

Exercitiul 8.3.3. Sa se afle solutia ecuatiei a2 ∂2u

∂x2− ∂u

∂t= 0, 0 ≤ x ≤ l stiind ca

u(x, 0) = x2 − 1, limt→∞

u(x, t) = 0,∂u

∂x(0, t) = 0,

∂u

∂x(l, t) = 0.


Indicatie. Problema de propagare a caldurii ıntr–o bara finita fara surse externe de ıncalzire.

Raspuns. u(x, t) =4l2

π2

∞∑k=0

(−1)k

k2

(cos

kπ

lx)e−(akπ

l

)2

t.

Exercitiul 8.3.4. Sa se dtermine acea solutie a ecuatiei∂2u

∂x2+ 2

∂2u

∂x∂y− 3

∂2u

∂y2= 0 care satisface conditiile

initiale u(x, 0) = 3x2,∂u

∂y(x, 0) = 0.

Indicatie. Se arata ca solutia generala a ecuatiei este de forma

u(x, y) = f(x+ y) + g(3x− y),

unde f si g sunt functii reale de variabila reala de doua ori derivabile. Se gasesc apoi aceste functii impunandconditiile din enunt.

Raspuns. u(x, y) = 3x2 + y2.

Exercitiul 8.3.5. Sa se determine solutia ecuatiei 2∂2u

∂x2− 7

∂2u

∂x∂y+ 5

∂2u

∂y2= 0 cu conditiile initiale u(0, y) =

9y3,∂u

∂x(0, y) = y2.


ξ = ξ = 3x+ y,

η = η = x+ 2y

Raspuns. u(x, y) =15[(3x+ y)2 − (3x+ y)3 +

34

(x+ 2y)3 − 14

(x+ 2y)2].

Exercitiul 8.3.6. Sa se afle solutia ecuatiei∂2u

∂t2= 4

∂2u

∂x2+ tx, cu conditiile initiale

u(0, x) = x2,

∂u

∂t(0, x) = x.

Indicatie. Problema de propagare a undelor elastice ıntr–o bara infinita sub influenta unei forte externe.

Exercitiul 8.3.7. Sa se determine solutia ecuatiei∂2u

∂t2=∂2u

∂x2+ ex cu conditiile initiale

u(0, x) = sinx,

∂u

∂t(0, x) = x+ cosx.

Indicatie. Problema de propagare a undelor elastice sub influenta unei forte externe stationare.

Raspuns. u(x, t) = 3 sinx cos t+ xt− ex +12

(ex+t + ex−t).


Exercitiul 8.3.8. Sa se determine solutia ecuatiei

(1− x2)∂2u

∂x2− ∂2u

∂y2− x∂u

∂x= 0,

unde 0 < x < 1, care satisface conditiile initiale u(x, 0) = arcsinx,∂u

∂y(x, 0) = 1.

Indicatie. Ecuatia este de tip hiperbolic. Se efectueaza schimbarea

ξ = arcsinx+ y,

η = arcsinx− y

Raspuns. u(x, y) = arcsinx+ y.

Exercitiul 8.3.9. Sa se determine solutia generala si solutia problemei Cauchy indicate ın cazul ecuatiilor demai jos:

1.∂2u

∂x2− ∂2u

∂x∂y− 6

∂2u

∂y2= 0, u(0, y) = f(y),

∂u

∂x(0, y) = g(y);

2.∂2u

∂x2+ 4

∂2u

∂x∂y+ 4

∂2u

∂y2= ex, u(0, y) = f(y),

∂u

∂x(0, y) = g(y).

Indicatie. Ambele ecuatii sunt ecuatii cu derivate partiale de ordinul al doilea, prima de tip hiperbolic, iar adoua de tip paqrabolic.

Raspuns. 1. Solutia generala este u(x, y) = ϕ(y − 2x) + ψ(y + 3x), unde ϕ si ψ sunt functii arbitrare de douaori derivabile pe R, iar solutia problemei Cauchy respective este

u(x, y) =15

(3f(y − 2x) + 2f(y + 3x)

)+

15

∫ y+2x

y−2x

g(t)dt.

2. u(x, y) = ϕ(y − 2x) + xψ(y − 2x) + ex (solutia generala);

u(x, y) = f(y − 2x) + xg(y − 2x) + 2xf ′(y − 2x) + ex − x− 1 (solutia problemei Cauchy).

Index de notiuni

ıncalzire, 126sir ortogonal, 105

a douaidentitate integrala a lui Green, 67problema fundamentala, 144problema la limita, 144

a doua identitate a lui Green, 138abscise curbilinii, 151adsorbtia poluantului, 111ansamblu de integrale prime, 7aria sferei unitate din IEn, 139arie infinitezimala, 107asociatul unui sistem diferential, 19

banda semi–infinita, 115bara

infinita ın ambele sensuri, 123izolata termic, 116

baza ın nucleul operatorului liniar L, 14

caldura propagata instantaneu, 128camp

conservativ de forte, 60electric, 72gravitational, 60magnetic, 72potential, 60scalar bidimensional, 41scalar tridimensional, 41solenoidal, 63vectorial, 47vectorial diferentiabil, 62vectorial biscalar, 49vectorial irotational, 65vectorial lamelar, 65

campul vitezelor, 111circulatia unui vector pe o curba ınchisa, 55clasa

de functii C1(Ω), 7de functii C2(D), 112

coardaelastica, 85elastica infinita, 88infinita, 85

coeficient dedifuzivitate, 110dispersie, 112

coeficient de dispersielongitudinala, 112transversala, 112

coeficientulconductibilitatii termice, 107de difuzie moleculara, 111

combinatie liniara, 20concentratia

unei substante, 110unei substante poluante, 111unui poluant, 110, 111

conditiainitiala, 13lui Cauchy, 13

conditieinitiala, 109la limita omogena, 148la limita, 109la limita neomogena, 149

conditiiesentiale, 110initiale, 81initiale ale unei coarde vibrante, 86la limita, 85mixte, 110pe frontiera, 73

conditii decompatibilitate, 116regularitate, 55tip Cauchy, 110tip Robin, 110

conductibilitatea mediului, 72conductivitate hidraulica, 111constanta

de difuzivitate, 112dielectrica a mediului, 72

corpizolat termic, 109omogen, 108

cosinusurile directoare ale normalei la suprafata, 56curba

ınchisa, 55, 149ın spatiul n dimensional Rn, 6caracteristica, 76de nivel, 42directoare a unei suprafete cilindrice, 101integrala, 6

167

168 Index de notiuni

Jordan, 149neteda, 55orientata, 55simpla, 149

curbura unei curbe plane, 150, 151

data initiala, 120date initiale, 6deformare, 100

a unui solid, 109elastica, 109

densitatede masa, 148de potential, 149de volum, 148materiala, 85

densitateafortei de inertie, 102fortei externe, 102maselor electrice, 72unui amestec, 111

dependenta continua de date, 114dependenta, 6deplasare, 85derivata

dupa o directie, 42unui camp scalar dupa directia s, 43

determinantul lui Wronski, 15dezordine, 109diametrul unei multimi, 61diferente de permeabilitate, 110diferentiala totala, 61difuzie, 108

a caldurii, 71moleculara, 110termoelastica, 109

difuzivitate termica, 108dispersia unui poluant, 111dispersie, 110distributia temperaturii, 123divergenta unui camp vectorial, 62domeniu simplu, 58

ecuatiacoardei vibrante, 71de miscare a unei membranei elastice, 102diferentiala a lui Bessel, 104lui Helmholtz, 103lui Laplace, 66

ın doua dimensiuni, 73ın trei dimensiuni, 73

lui Laplace ın n dimensiuni, 133lui Poisson

ın doua dimensiuni, 73ın trei dimensiuni, 73

lui Poisson ın n dimensiuni, 133

neomogena a coardei vibrante, 85neomogena a propagarii undelor, 71omogena a coardei vibrante, 85propagarii caldurii, 108propagarii undelor, 72propagarii undelor elastice, 85undelor, 71, 85undelor unidimensionale, 85

ecuatia propagariicaldurii, 71undelor cilindrice, 71undelor sferice, 71, 72

ecuatiecaracteristica, 76, 153caracteristica a unui sistem diferential liniar si o-

mogen, 20cu derivate partiale de ordinul ıntai, 25cu derivate partiale de ordinul ıntai, liniara si o-

mogena, 25cuasiliniara neomogena, 33de echilibru, 101diferentiala de tip Euler, 153integrala cu nucleu singular, 152integrala Fredholm liniara, de tipul al doilea, 151omogena, 71parabolica liniara, 112

ecuatie de tipeliptic, 76hiperbolic, 76parabolic, 76

ecuatiilefizicii matematice, 71lui Maxwell, 72

elementorientat de suprafata, 57

element dearc al unei curbe, 149arie, 107arie ın plan, 150arie al sferei unitate, 138arie al unei hipersuprafete, 137arie al unei hipersuprafete netede, 134volum, 137

elongatia unei coarde, 85emisfera unitate, 140entropie, 109existenta unei solutii, 143expresia carteziana a derivatei unui camp vectorial, 50

factoroscilant, 106oscilator, 103perturbator, 122

familiede curbe integrale, 26

familie de curbe integrale, 26


fenomenedin natura, 71din societate, 71electrodinamice, 72electromagnetice ın vid, 72fizice, 71stationare, 73

fenomenul detransfer de masa, 111advectie, 111convectie, 111difuzie, 110difuzie moleculara, 111dispersie, 111

filtratiagazelor prin medii poroase, 71lichidelor prin medii poroase, 71

fluxadvectiv, 111de caldura, 107, 109elementar, 57

forte elastice interne, 101forma

matriceala a unui sistem diferential liniar, 19vectoriala a unui sistem diferential liniar, 11

forma canonica, 87a unei ecu atii de tip hiperbolic, 77a unei ecuatii cu derivate partiale de ordinul al

doilea, 76a unei ecuatii de tip eliptic, 82a unei ecuatii de tip parabolic, 79

formula de reprezentare integrala, 141formula

lui d’Alembert, 86, 88lui Poisson, 155

formula integralaa divergentei, 67Gauss–Ostrogradski, 59a gradientului, 67a lui Stokes, 67a rotorului, 67

formulede calcul cu operatorul Hamilton, 65de medie ale unei functii armonice, 142de reprezentare integrala, 138de reprezentare prin potentiali, 150

formulele lui Euler, 155frontiera unui domeniu tridimensional, 68functie vectoriala de variabila reala, 12functia

ın scara, 139gamma a lui Euler, 139lui Greeen a problemei Dirichlet pentru ecuatia lui

Laplace, 146lui Green pentru ecuatia cldurii, 118

vectoriala identic nula, 12functie

absolut integrabila, 129, 137armonica, 66, 134armonica ın punctul de la infinit, 136Bessel de ordin ν si de speta ıntai, 104Bessel de ordin ν si de speta a doua, 104de forta, 60reala de doua ori continuu diferentiabila, 149scalara, 41sumabila, 137

functiide clasa C1, 138de clasa C2, 138de clasa C2(D), unde D ⊂ IEn este un domeniu,

139de clasa Cq([a, b]), 12necunoscute ale unui sistem diferential, 1proprii, 153vectoriale, 1

generatoarele unei suprafete cilindrice, 101gradientul unui camp scalar, 42, 44

hipersuprafata(n− 1)−dimensionala ın IEn, 139neteda, 134neteda (n− 1)−dimensionala ın IEn, 143

independenta functionala, 125inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz, 62integrala

curbilinie independenta de drum, 55de linie, 55de tip Poisson, 126

integrala improprieconvergenta, 127, 138depinzand de parametri absolut si uniform conver-

genta ın raport cu unul din parametri, 127integrala prima

a unui sistem diferential, 7a unui sistem caracteristic, 26a unui sistem diferential pe o submultime deschisa,

7integrala

curbilinie, 55Gauss–Poisson, 126generala a unui sistem diferential, 7Lebesgue, 137Poisson, 126

integralecurbilinii de speta a doua, 55improprii ın sensul valorii principale Cauchy, 150

izotrop, 107

laplacian, 66


laplacianulın n dimensiuni, 128ın coordonate polare ın plan, 152unei functii ın n dimensiuni, 128

lege de propagare a caldurii, 128legea lui Fourier, 107legile lui Fick, 111linie de camp, 48lucru mecanic, 100lucrul

mecanic al unei forte externe, 100mecanic al unei forte, 55

marimea vectorului de pozitie, 61matrice

fundamentala a unui sistem diferential, 14jacobiana a unei functiii, 62ortogonala, 135

matricea unitate, 135mediu poros, 71membrana

elastica, 100fixata elastic, 102libera, 101supusa pe contur unei forte, 101

metodaeliminarii, 4, 22lui d’Alembert, 86lui Fourier, 86lui Fourier de separare a variabilelor, 115separarii variabilelor, 86, 116, 131, 153valorilor si vectorilor proprii, 6, 21variatiei constantelor a lui Lagrange, 18, 21

mod de racire a unei bare, 123modele

geometrice, 111geometrico–statistice, 111probabilistice, 111

multime nemarginita, 137

natura unui poluant, 111nucleul unei ecuatii ingtegrale, 152numere

complexe, 12reale, 12

operator diferential, 44operatorul

lui Hamilton, 44lui Hamilton ın n dimensiuni, 133lui Laplace, 66nabla, 44

operatorul lui Laplaceın n dimensiuni, 133ın coordonate polare ın plan, 103ın doua dimensiuni, 101

ın trei dimensiuni, 72oscilatii

ale curentului electric ıntr–un conductor, 71ale unei coarde, 71ale unei coarde elastice, 85fundamentale, 104verticale, 85

permeabilitatea magnetica, 72plan tangent ıntr–un punct al unei suprafete, 49, 56pol simplu, 155poluare, 110pondere, 105porozitate, 111potential

al unei distributii de masa, 148de dublu strat, 149de masa, 148de simplu strat, 149de volum, 148logaritmic, 148newtonian, 148

pozitiade echilibru a unei coarde elastice, 85initiala a unei coarde elastice, 86initiala a unei membrane elastice, 102

primaidentitate integrala a lui Green, 67problema la limita fundamentala, 144

prima identitate integrala a lui Green, 138principiul

de extrem al unei functii armonice, 142de maxim, 123lui Duhamel, 121superpozitiei, 103, 117

problemaaxial–simetrica, 106Cauchy, 117Cauchy pentru coarda vibranta, 86corect pusa, 73la limita cu conditii initiale, 93, 95

problema de tip Cauchy, 73problema

Cauchy pentru ecuatia propagarii caldurii, 123Cauchy pentru coarda vibranta infinita, 88Dirichlet, 144Dirichlet interioara pentru cerc, 152lui Cauchy, 32, 37lui Cauchy a unui sistem diferential, 13Neumann, 144

problemebine puse, 143de tip Cauchy ale unui sistem diferential, 17de tip difuzie, 108exterioare, 144incorect puse, 143


interioare, 144puse impropriu, 143

procese dinnatura, 71societate, 71

produsul scalar standard, 44propagarea

caldurii, 107undelor elastice, 85, 109

punct initial, 6punctul de la infinit, 136, 137

regimde curgere, 111termic de racire al barei, 126termic pe frontiera, 109

relatiede compatibilitate, 40de conditie, 49

reprezentare integrala Fourier ın cosinus, 125reziduul unei functii complexe ıntr–un pol, 155rezultanta fortelor exterioare, 85rotorul unui camp vectorial, 64

scalari, 41sens de parcurs al unei curbe, 55serie

absolut si uniform convergenta, 116de functii absolut si uniform convergenta, 117Fourier, 154Fourier de sinusuri, 116

serii Fourier, 86sfera unitate, 138, 140singularitate

de tip pol, 134logaritmica, 134

sistemcaracteristic asociat unei ecuatii cu derivate par-

tiale de ordinul ıntai, 26de n ecuatii diferentiale ordinare de ordinul ıntai

sub forma normala, 1diferential neomogen, 11diferential omogen, 11diferential, 1diferential liniar, 19diferential liniar si omogen cu coeficienti constanti,

19diferential liniar, neomogen, 19fundamental de solutii, 14omogen de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai cu

coeficienti constanti, 19sistemul diferential al liniilor de camp, 48solutia generala

sub forma implicita a unui sistem diferential, 7a ecuatiei cu derivate partiale liniare si omogena,

28

a unui sistem diferential, 17sub forma explicita, 7

solutiea unui sistem de ecuatii diferentiale, 12elementara, 134fundamentala, 134generala a unui sistem diferential, 17particulara, 95regulata la infinit, 136stabila, 143

solutii liniar independente, 13spatiul afin IEn, 67, 143stabilitatea unei solutii, 73substanta

creata, 110distrusa, 110

suprafatade camp, 48de nivel, 42integrala, 25laterala izolata termic, 131neteda, 56

sursade substanta poluanta, 111interna de caldura, 116, 120

temperatura initiala, 109temperatura, 107tensiunea membranei, 100teorema de

existenta a unei solutii, 73unicitate, 73

teoremafunctiilor definite implicit, 34cresterilor finite, 17divergentei, 67lui d’Alembert, 86lui Rouche, 28reziduurilor, 155

termoelasticitate, 109termoelasticitatea cuplata, 109tortuozitate, 111traiectorie a unui sistem diferential, 6transformata Fourier, 88transport

advectiv, 111convectiv, 111difuzional, 111

transpusa unei matrice, 135

unda de temperatura, 125unde

acustice, 85electromagnetice, 85optice, 85

unicitatea unei solutii, 143


valori proprii, 153variatie medie a unui camp scalar, 44variabila

dependenta, 1independenta, 1

vecinatate a punctului de la infinit, 136vector, 11vectorul

de deplasare a lui Maxwell, 72de pozitie al unui punct, 61densitatii de curent generat de fortele electrodi-

namice aplicate, 72inductiei magnetice, 72propriu corespunzator unei valori proprii, 21tensiune ıntr–o coarda elastica, 85unitar al normalei exterioare, 136

versorul normalei ıntr–un punct al unei suprafete, 56vibratii

ale unei membrane, 71ale unui gaz, 71

vitezainitiala a unei coarde elastice, 86luminii, 72

viteze initiale, 102

wronskianulsolutiilor unui sistem de ecuatii diferentiale, 20unui sistem fundamental de solutii, 15

Bibliografie

[1] Adams, R. A. – Calculus. A complete Course, Fourth ed., Addison–Wesley, 1999

[2] Barbu, Gh. – Matematici speciale. Note de curs, Tipografia Universitatii din Pitesti, 1992.

[3] Bermant, A. F., Aramanovich, I. G. – Mathematical Analysis, A Brief Course for Engineering Students,Mir Publishers, Moscow, 1986.

[4] Bitsadze, A. V. – Equations of Mathematical Physics, Mir Publishers, Moscow, 1980.

[5] Borislav, C. si altii – Matematici speciale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.

[6] Branzanescu, V., Stanasila, O. – Matematici speciale. Teorie, exemple, aplicatii, Editura ALL, Bucuresti,1994.

[7] Bucur, Gh., Campu, E., Gaina, S. – Culegere de probleme de calcul diferential si integral Vol. III, EdituraTehnica, Bucuresti, 1967.

[8] Budak, B., M., Fomin, S., V. – Multiple integrals, field theory and series. An advanced course in HigherMathematics, Mir Publishers, Moscou, 1973.

[9] Chiorescu, Gh. – Matematici speciale. Culegere de aplicatii ın mecanica, Editura ”Gh. Asachi” Iasi, 1995.

[10] Ciobanu, Gh., Chiorescu, Gh., Sava V. – Capitole de matematici speciale, Rotaprint, UniversitateaTehnica ”Gh. Asachi” Iasi, Facultatea de Electronica si Telecomunicatii, Catedra de Matematica, 1998.

[11] Crstici, B. (coordonator) – Matematici speciale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.

[12] Craiu, M., Rosculet, M., N. – Ecuatii diferentiale aplicative. Probleme de ecuatii cu derivate partiale deordinul I, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1971.

[13] Craciun, I. – Analiza matematica. Calcul diferential, www.mec.tuiasi.ro/studenti.html/download, Iasi2011.

[14] Craciun, I. – Analiza matematica. Calcul integral, Editura PIM, Iasi, 2007.

[15] Craciun, I. – Capitole de matematici speciale, Editura PIM, Iasi, 2007.

[16] Courant, R., and Hilbert, D., Methods of Mathematical Physics, Vol. 1 and 2, New York: Wiley, 1953.

[17] Enescu, I., Sava, V. – Matematici speciale, Institutul Politehnic Iasi, Facultatea de Mecanica, Rotaprint,1981.

[18] Farlow, S. J. – Partial differential equations for scientists and engineers, Dover Publiications, Inc, NewYork, 1993

[19] Gaina, S., Campu, E., Bucur, Gh. – Culegere de probleme de calcul diferential si integral Vol. II, EdituraTehnica, Bucuresti, 1966

[20] Haberman, R. – Elementary Applied Partial Differential Equations, with Fourier Series and BoundaryValue Problems, Second Edition, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1987.

[21] Jahnke, E. and Emde, F. – Tables of Functions with Formulae and Curves. Stechert, 1941; Dover, 1945.

173


[22] Haimovici, A. – Ecuatiile fizicii matematice si elemente de calcul variational, Editura Didactica si Peda-gogica, Bucuresti, 1966.

[23] Keks, W.– Complemente de matematici cu aplicatii ın tehnica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1981.

[24] King, A. C., Billingham, J., and Otto, S. R. – Differential Equations. Linear, Nonlinear, Ordinary,Partial, Cambridge University Press, 2003.

[25] Mattheij, R.M. M., Rienstra, S. W., ten Thije Boonkkamp, J. H. M. – Partial Differential Equations:Modeling, Analysis, Computation, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2005.

[26] Nicolescu, L., J., Stoka, M., I. – Matematici pentru ingineri. Vol. I, Editura Tehnica, Bucuresti, 1969.

[27] Olariu, V., Prepelita, V. – Matematici speciale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1985.

[28] Olariu, V., Stanasila, T. – Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale, Editura Tehnica, Bucuresti, 1982.

[29] Radu, C., Dragusin, C., Dragusin, L. – Aplicatii de algebra, geometrie si matematici speciale, EdituraDidactica si Pedagogica, Bucuresti, 1991.

[30] Radomir, I., Ovesea, H. – Matematici speciale, Editura Albastra, Cluj Napoca, 2001.

[31] Rudner, V., Nicolescu, C. – Probleme de matematici speciale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1982.

[32] Smirnov, V. – Cours de mathematiques superieures, tome II, Editions Mir – Moscou, 1972.

[33] Smirnov, V. – Cours de mathematiques superieures, tome III, Deuxieme partie, Editions Mir, Moscou,1972.

[34] Stanasila, T. – Analiza complexa si calcul operational, Editura Universitatii Politehnica din Bucuresti,1985.

[35] Sabac, I. Gh. – Matematici speciale, Vol. I, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.

[36] Sabac, I. Gh. – Matematici speciale, Vol. II, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1965.

[37] Sabac, I. Gh., Cocarlan, P., Stanasila, O., Topala, A. – Matematici speciale, Vol. II, Editura Didactica siPedagogica, Bucuresti, 1983.

[38] Teodorescu, N., Olariu, V. – Ecuatiile fizicii matematice, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,1970.

[39] Teodorescu, N., Olariu, V. – Ecuatii diferentiale si cu derivate partiale, Volumul II Ecuatii cu derivatepartiale, Editura Tehnica, Bucuresti, 1979.

[40] Thomas, Jr., G. B., Finney, R. L. – Calculus and Analytic Geometry, 7th Edition, Addison–WesleyPublishing Company, 1988.

[41] Trandafir, R. – Probleme de matematica pentru ingineri, Editura Tehnica, Bucuresti, 1977.

ecuatii diferentiale si cu derivate partiale. vol. 2 ecuatii cu derivate

Documents