CAPITOLUL VI ECHILIBRAREA MECANISMELOR I A MAINILOR6.1. IntroducereEchilibrarea mecanismelor i a mainilor este o problem extrem de important, al crei scop este acela de a repartiza judicios masele n vederea anulrii torsorului de inerie. Torsorul de inerie se poate anula total sau parial. Dac se anuleaz doar fora de inerie echilibrarea se numete static, iar dac se anuleaz i momentul de inerie, echilibrarea se numete dinamic sau total. Echilibrarea mecanismelor i a mainilor presupune parcurgerea urmtoarelor etape: 1. Studiul teoretic i modelarea matematic; 2. Interpretarea rezultatelor; 3. Echilibrarea practic.

6.2. Condiiile generale de echilibrarePentru stabilirea condiiilor generale de echilibrare, se consider un rigid n micare de rotaie n jurul axei z (fig.1). Sistemul xOyz este solidar cu rigidul, asupra cruia acioneaz un sistem de fore aplicate Fp , incluznd i greutatea proprie a rigidului, care-l pun n micare. Rigidul este articulat n punctele O i A de pe axa z, reaciunile fiind notate cu R' i R". Echilibrarea rigidului presupune ca reaciunile R' i R" s fie invariabile, adic s aib aceeai valoare n micare ca n repaus. Cu alte cuvinte, reaciunile trebuie s fie independente de cinematic. Pentru stabilirea condiiilor generale de echilibrare se aplic teoremele impulsului i ale momentului cinetic, astfel:

d H d H = Fi = F + R' + R" dt dt d KO = M d K O = M + h R" Oi O dt dt

(1)

1

Fl

z A

F2 m2 h rc C y G

R" R' m1 O

x

Fp FnFigura 1

Considernd masa concentrat n centrul de greutate al rigidului, se poate determina variaia impulsului, adic: dH = m rC + rC (2) dt

[

(

)]

Proiectnd pe axe prima ecuaie vectorial din sistemul 1 i innd cont de relaia 2, se obine:m yC 2 xC = Fx + R 'x + R"x 2 m xC yC = Fy + R ' y + R" y 0 = Fz + R' z + R"z

[ [

]

]

(3)

Momentul cinetic se determin cu relaia: K O = r r dm

(

)

(4)

iar derivata acestuia n raport cu timpul este: d KO KO = + KO dt t Folosind notaiile din mecanica teoretic: xzdm = J xz zydm = J yz 2 2 (x + y )dm = J zz i innd cont de faptul c: r = xi + y j + z k se poate exprima derivata momentului cinetic sub forma:2

(5)

(6)

(7)

d KO = J xz i J yz j + J zz k + dt

i 0 J xz

j 0 J yz

k

J zz

(8)

Proiectnd cea de-a doua relaie vectorial din sistemul 1 pe axele sistemului xOyz i innd cont de relaia 8, se obine: J xz + 2 J yz = M Ox hRy " 2 (9) J yz J xz = M Oy + hRx " J = M Oz zz Pentru ca realizarea echilibrrii trebuie ca reaciunile s fie independente de cinematic. Deci, pentru =0 i =0, trebuie s se obin aceleai reaciuni. In aceste condiii sistemul (9) devine: M Ox = hRy " (10) M Oy = hRx " M = 0 Oz iar sistemul (3) devine: Fx + R ' x + R"x = 0 (11) Fy + R ' y + R" y = 0 Fz + R ' z + R"z = 0 Ultima condiie din sistemul (10) nu poate fi ndeplinit deoarece momentul MOz este nenul, datorit frecrii de pivotare care apare n cupla cinematic. Analiznd condiiile (10) i (11) se constat c reaciunile R' i R" sunt aceleai n repaus i n micare doar dac sunt ndeplinite condiiile: xC = yC = 0 (12) J xz = J yz = 0Concluzii: Pentru echilibrarea unui rigid cu ax fix este necesar ca: 1. Centrul de greutate al rigidului s fie pe axa de rotaie; 2. Axa de rotaie s fie ax principal de inerie. n continuare se va demonstra c un rotor dezechilibrat poate fi echilibrat cu ajutorul a dou mase punctiforme, amplasate n plane perpendiculare pe axa de rotaie. Pentru aceasta se consider dou mase punctiforme, m1 i m2, amplasate peste rotorul dezechilibrat (fig.1). Vectorii de poziie sunt r1, r2 . nlocuind n ecuaiile 3 i 9, se obin relaiile: X + Rx '+ Rx "= 2 (mxc + m1x1 + m2 x2 ) (myc + m1 y1 + m2 y2 ) (13) 2 Y + Ry '+Ry "= (myc + m1 y1 + m2 y2 ) + (mxc + m1x1 + m2 x2 )

M Ox hRy " m1 gy1 m2 gy2 = 2 (J yz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 ) ( J xz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 ) M Oy + hRx "+ m1 gx1 + m2 gx2 = 2 ( J + m x z + m x z ) (J + m y z + m y z ) xz 1 1 1 2 2 2 yz 1 1 1 2 2 2 3

(14)

Punnd condiiile ca centrul de greutate s fie pe axa de rotaie i ca axa de rotaie s fie ax principal de inerie, se obine sistemul: mxC + m1 x1 + m2 x2 = 0 my + m y + m y = 0 C 1 1 2 2 (15) J xz + m1 x1 z1 + m2 x2 z2 = 0 J yz + m1 y1 z1 + m2 y2 z2 = 0 Sistemul astfel obinut este un sistem de 4 ecuaii cu 8 necunoscute: m1 , m2 , x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z 2 . Sistemul se rezolv dac se impun patru din cele 8 necunoscute, iar restul se determin din rezolvarea sistemului. Considernd c masele punctiforme sunt situate n plane perpendiculare pe axa de rotaie, situate la distanele cunoscute z1 i z2, dac se impune i distana fa de axa de rotaie din aceste plane, sistemul se poate rezolva. Din toate aceste consideraii se poate deduce urmtoarea teorem asupra echilibrrii rotorilor:Echilibrarea unui rotor se poate face cu ajutorul a dou mase punctiforme amplasate n dou plane arbitrare perpendiculare pe axa de rotaie a rotorului.

Cu alte cuvinte se poate considera c orice dezechilibru este produs de dou mase concentrate situate n dou plane arbitrare, perpendiculare pe axa de rotaie. Observaii: 1. Echilibrarea rotorilor se poate face prin adugare de mase punctiforme sau prin extragere de mase. 2. Dac se respect numai prima condiie de echilibrare (centrul de greutate s fie pe axa de rotaie), atunci echilibrarea se numete static; dac se respect i cea de-a doua condiie (axa de rotaie s fie ax central de inerie) echilibrarea se numete dinamic.

6.3. Echilibrarea rotorilor n practicn practic pot apare dezechilibre ale rotorilor cauzate de: defecte de montaj; defecte de prelucrare; deformaii; defecte interne (neomogenitate structural) etc. A). Se consider un rotor, care are momentul de inerie neglijabil i lucreaz la turaii foarte mici. Pentru acest tip de rotor se accept doar o echilibrare static, adic aducerea centrului de greutate n axa de rotaie. Se poate realiza echilibrarea acestui rotor prin ncercri astfel (fig.2): Se sprijin rotorul pe dou prisme cu muchiile paralele i este lsat liber; dup cteva oscilaii se va opri n poziie de echilibru, centrul de greutate este dezaxat; Se marcheaz aceast poziie i operaia se repet, marcnd de fiecare dat dezechilibrele, care sunt situate n interiorul unui sector. Direcie dezechilibrului este dat de direcia bisectoarei sectorului. Se realizeaz echilibrarea prin amplasarea unei mase pe partea opus dezechilibrului, la o distan determinat prin ncercri, astfel nct s fie respectat condiia: (16) m e = m1 y1 unde: e este dezaxarea centrului de greutate; y1 este distana la care se amplaseaz masa de echilibrare.

4

y

y

m1 y1

m

m1

O e C mg

z

O C

z

Figura 2 Observaii: Echilibrarea static a acestui rotor s-ar putea face i prin scoatere de material, pe direcia dezechilibrului. Excentricitatea centrului de greutate se determin cu ajutorul unui dispozitiv special, prevzut cu un disc gradat. Un alt mod de echilibrare static a rotorilor, care evit ncercrile repetate, se bazeaz pe principiul balanei.B). Echilibrarea dinamic a rotorilor se poate realiza cu ajutorul unor standuri n diverse variante constructive. Din punct de vedere principial se deosebesc dou variante constructive: a) o variant la care rotorul dezechilibrat are dou cuple de rotaie care pot oscila liber ntrun plan (fig.3); b) o variant n care standul are o astfel de construcie nct compenseaz deplasrile virtuale ale cuplelor rotorului, cauzate de dezechilibrele acestuia (fig. 4).

a) Pentru standul din figura 3, se constat c exist posibilitatea deplasrii pe orizontal a cuplelor rotorului, datorit prezenei arcurilor. Dezechilibrul dinamic este cauzat i de faptul c axa de rotaie nu este ax principal de inerie. Componentele orizontale ale forelor de inerie, produc n lagre reaciuni periodice, care genereaz oscilaii n sistemul elastic. Se msoar amplitudinile acestor oscilaii (n plan orizontal) i se constat c sunt proporionale cu mrimea dezechilibrului. FiH = Fi cos (17) F d Fi cos d = unde = t (18) RH = iH l l Planul dezechilibrului este defazat cu /2 fa de planul n care se msoar amplitudinile. Concluzie: Se pot amplasa dou mase pentru echilibrarea dinamic a rotorului, deoarece s-au determinat cu acest stand, att mrimea dezechilibrului, ct i planul acestuia. Masele de echilibrare se vor amplasa n planul respectiv astfel nct s creeze un cuplu egal i de sens contrar cu cel al dezechilibrului. b) n figura 4 este reprezentat standul care compenseaz deplasrile virtuale ale cuplelor rotorului, printr-un cuplu de fore electromagnetice care apare n circuitul electric.

5

Fi

FiV

FiH O

FiH Fi

FiV

FiH

FiH

d

l

Figura 3 Masa mII amplasat n planul II trebuie s se compenseze un moment al dezechilibrului a crei mrime se determin cu ajutorul aparatului de msur A i care depinde de poziia de reglaj a dispozitivului 6. Echilibrarea complet se face cu ajutorul unei alte mase, procednd n mod similar, dup ce rotorul s-a demontat de pe stand i s-a rotit astfel nct planul II s fie n dreptul articulaiei suportului.I 2 II 6

1 M

E 3 M

4

5

Figura 4

6

1. Motor de antrenare 2. Rotor 3. Suport oscilant 4. Suport oscilant 5. Bobine cu miez de fier; 6. Dispozitiv electro-mecanic E. Sursa de energie electric *** Echilibrarea total este foarte dificil de realizat i de aceea se accept un dezechilibru rezidual, care nu trebuie s depeasc o valoare admisibil, care depinde de: c) C - calitatea echilibrrii ; d) m - masa rotorului; e) - viteza unghiular a rotorului; C f) esa [g mm/kg] - echilibrul specific admisibil; esa =

1. 2. 3. 4.

ua esa m (19) Deci, pentru verificarea echilibrrii se parcurg etapele: Se alege calitatea C a echilibrrii (din standarde); Se calculeaz esa i ua; Se determin dezechilibrul rezidual u; Se compar u cu ua; trebuie s se verifice condiia: u ua .

6.4. Echilibrarea mecanismelor planeAa dup cum s-a vzut mai nainte, condiiile generale de echilibrare constau n meninerea constant a reaciunilor dinamice care se transmit fundaiei. Echilibrarea mecanismelor const de fapt n echilibrarea torsorului forelor de inerie, astfel nct se poate afirma c un mecanism este echilibrat dac n orice moment, torsorul forelor de inerie este nul, adic: Fi = 0 (20) M oi = 0 Proiectnd relaiile de mai sus pe axele x, y i z se obin relaiile: M Oix = 0 Fix = 0 i (21) M Oiy = 0 Fiy = 0 M = 0 F = 0 iz O iz Aceste 6 ecuaii reprezint condiiile de echilibrare care pot fi realizate exact sau aproximativ, n totalitate sau parial.

6.4.1. Echilibrarea static a mecanismelor planeEchilibrarea static a mecanismelor plane se refer la ndeplinirea primului set de condiii din relaia 4. Exist mai multe metode de echilibrare static, dar cea mai utilizat este metoda vectorilor liniar independeni dezvoltat de Berkof i Lowen. Metoda se bazeaz pe urmtoarea afirmaie:7

Se spune c un mecanism plan este echilibrat static atunci cnd centrul de greutate al tuturor elementelor mobile este un punct fix.

Metoda se bazeaz pe reprezentarea vectorului de poziie al centrului maselor tuturor elementelor mobile, rC , sub forma unui produs ntre un factor constant i unul variabil. Vectorul de poziie al centrului maselor este: 1 n rC = (22) mi rCi M i =1

M = mii =1

n

(22)

Metoda vectorilor liniari independeni presupune scrierea acestui vector sub forma: 1 rc = k1 + k 2 z 2 + k3 z3 + ... + k j z j + ... + k q z q (23) M

(

)

n care: k j - factorii constani n care intervin caracteristicile de distribuie a maselor elementelor;z j - factori variabili care depind numai de poziia mecanismului.

Condiia de echilibrare static este ndeplinit dac toi k j , j = 2, q sunt nuli, ceea ce este echivalent cu a demonstra c vectorii variabili z j sunt liniar independeni. Pentru a determina condiiile de echilibrare static se dezvolt relaiile anterioare, separnd partea real de partea imaginar. Se obine un sistem de ecuaii ntre caracteristicile de distribuie a maselor elementelor mobile. Pentru mecanismul patrulater articulat plan, cu o distribuie general a maselor (fig.5), se determin condiiile echilibrare static folosind metoda dezvoltat de Berkof i Lowen.

2' y 2 A 1 1 O C2 2 2 2 C3 3 3 33

2 ' B

C

C1 1 1

C

x

Figura 5 Se presupun cunoscute lungimile elementelor, notate cu li , i = 1,4 , precum i poziiile centrelor de mas ale elementelor. Centrele de mas sunt notate cu Ci , i = 1,3 i sunt descrise n coordonate polare, prin razele i i unghiurile i .8

Pentru fiecare element cinematic n parte se exprim vectorii de poziie ai centrelor de mas astfel: rC1 = 1 ei (1 + 1 ) i i ( + ) (24) rC 2 = l1 e 1 + 2 e 2 2 i ( + ) rC 3 = l4 + 3 e 3 3 Centrul de mas al mecanismului se determin din relaia: M rC = m1 1 ei (1 + 1 ) + m2 l1 ei1 + 2 ei ( 2 + 2 ) + m3 l4 + 3 ei ( 3 + 3 ) (25)

(

)

(

)

Vectorii ei1 , ei 2 , ei3 nu sunt liniar independeni, deoarece verific ecuaia de nchidere a conturului vectorial: l1 ei1 + l2 ei 2 l3 ei 3 l4 = 0 (26) Se exprim ei 2 din relaia 26, obinndu-se: 1 ei 2 = l3 ei 3 + l4 l1 ei1 l2 care se nlocuiete n relaia 25, obinndu-se: l M rC = ei1 m11ei 1 + m2l1 m2 2ei 2 1 + l2

(

)

(27)

e

i 3

l l m3 3ei 3 + m2 2ei 2 3 + m3l4 + m2 2ei 2 4 l2 l2

(28)

Mecanismul este echilibrat static dac se ndeplinesc condiiile: i 1 i 2 l1 m11e + m2l1 m2 2e l = 0 2 (29) l3 i 3 i 2 m e + m e = 0 2 2 3 3 l2 deoarece vectorii ei1 , ei 3 sunt liniar independeni. n aceste condiii, vectorul de poziie al centrelor maselor mobile devine: l 1 m3l4 + m2 2ei 2 4 = ct. (30) rC = M l2 Separnd partea real de partea imaginar, din (29) se obine sistemul: l1 m11 cos 1 + m2l1 m2 l 2 cos 2 = 0 2 l1 m11 sin 1 m2 2 sin 2 = 0 l2 (31) l m3 3 cos 3 + m2 3 2 cos 2 = 0 l2 l3 m3 3 sin 3 + m2 2 sin 2 = 0 l2 9

Din sistemul 31se determin mi , i , i care reprezint caracteristicile de distribuie a maselor pentru mecanismul echilibrat static. Din sistem (29)se pot determina direct termenii:

i 1 i 2 ' l1 m11e = m2 2 ' e l 2 m ei 3 = m ei 2 l3 2 2 3 3 l2 i 2 i 2 ' unde: 2e = l2 + 2 ' e n acest caz soluia este:l1 m1 1 = m 2 l 2 ' 2 l3 m3 3 = m 2 l 2 2 1 = 2 ' 3 = 2 +

(32)

(33)

(34)

Se poate alege arbitrar poziia centrului maselor numai pentru unul din elementele mobile, de ex. elementul 2, celelalte elemente mobile avnd centrul de mas ntr-o poziie determinat. = = 0 Dac 2 , iar configuraia centrelor maselor pentru mecanismul echilibrat 1 2 ' = 3 = static este redat n figura 6.y C2 l2 A l3 l1 O C x

B

C1

C3

Figura 6 Dac se dorete echilibrarea static a unui mecanism manivel - piston, cu o distribuie general a maselor (fig.7), se procedeaz la fel ca la mecanismul patrulater anterior.

10

y A 2 C B 2 1 C1 1 1 O 1 s 3 C 2 2 C2 2 ' 3 2' 33

C3

x

Figura 7 Vectorii de poziie ai centrelor de mas ai elementelor mobile sunt: rC1 = 1 ei (1 + 1 ) i i ( + ) (35) rC 2 = l1 e 1 + 2 e 2 2 i ( + ) rC 3 = s3 + 3 e 3 3 Ecuaia de nchidere a conturului vectorial este: l1 ei1 + l2ei 2 s3 = 0 Dac se elimin ei 2 se obine: ei 2 =

(36)

1 s3 l1 ei1 l2 Vectorul de poziie a centrului maselor tuturor elementelor mobile este: l M rC = ei1 m11ei 1 + m2l1 m2 2ei 2 1 + l2 (37) i 3 i 2 s3 + m3 s3 + m2 2e + m3 3e l2 Factorii variabili sunt: ei1 , s3 . Se poate realiza echilibrarea static pe direcia y, punnd condiia ca centrul maselor s se deplaseze numai pe direcia axei Ox, obinndu-se condiia: l m11ei 1 + m2l1 m2 2ei 2 1 = 0 (38) l2 Echivalent cu: l m11ei 1 = m2 2 ' ei 2 ' 1 (39) l2 care este ndeplinit atunci cnd: l1 m11 = m2 2 ' l2 (40) = ' 2 1 Dac din ecuaia de nchidere a conturului vectorial se limin s3, se scrie: s3 = l1 ei1 + l2 ei 2 (41)

(

)

M rC = ei1 m11ei 1 + m2l1 + m3l1 + +ei 2 m2 2ei 2 + m3l2 + m3 32ei 3 (42)11

(

)

(

)

ndeplinirea condiiilor urmtoare asigur o echilibrare static complet: m11 = (m3 + m2 )l1 i 1 m11e + m2l1 + m3l1 = 0 m2 21 = m3l2 (43) i 2 1 = m2 2e + m3l2 = 0 2 = Mecanismul echilibrat static este cel din figura 8.C2 y A C3

x O C1 C

Figura 8 Uneori echilibrarea mecanismelor se realizeaz cu ajutorul unor mase de echilibrare, ataate elementelor cinematice (fig. 9). Dac se noteaz cu exponentul o caracteristicile iniiale, ale mecanismului dezechilibrat i cu exponentul e parametrii maselor de echilibrare, se pot determina caracteristicile maselor de echilibrare din ecuaiile (45), scrise pe baza ecuaiilor (44).C i o i

i

o

ie(II Ox)

Figura 9 Ecuaiile de momente statice scrise pentru fiecare element i cruia i se ataeaz o mas de echilibrare:mi i = mi i + mi io o e e

mi = mio + mie

(44)

Ecuaiile din care se determin caracteristicile maselor de echilibrare sunt:

mie ie = tg ie =

(m ) + (m )2 i i o i

o 2 i

2 mi i mio io cos i io

(

)(

) (

)

(45) (46)

mi i sin i mio io sin io mi i cos i mio io cos io

Observaii: 1. Metoda vectorilor liniar independeni are aplicabilitate general, putnd fi folosit pentru orice mecanism plan; 2. Mecanismele echilibrate static i pstreaz echilibrul indiferent de regimul de micare;12

3. Pentru mecanismele care nu pot fi echilibrate cu mase de echilibrare, se recomand completarea mecanismului cu lanuri cinematice pentru echilibrare (diade).

6.4.2. Echilibrarea manivel piston

static

parial

a

mecanismului

Se pune problema echilibrrii statice pariale a unui mecanism manivel piston pe direcia axei Ox sau a axei Oy (fig.10), urmrind direct forele de inerie dezvoltate i punnd condiia ca rezultanta acestora s fie nul.

Ri = 0 Rk ,i = 0k =1

n

(47)x 3 B

l

2 2

A l y 1 1

O

Figura 10 Se consider c manivela are o micare uniform, cu viteza unghiular 1=ct., iar unghiul =1t. Se cunosc masele elementelor 1, 2 i 3, respectiv m1, m2, m3 i centrele de mas C1i C2 ale elementelor 1 i 2. Echilibrarea static parial presupune parcurgerea mai multor etape: Se concentreaz static masa manivelei n punctele O i A, iar masa bielei n punctele A i B, n scopul exprimrii forelor de inerie (fig.11). Concentrarea static a masei manivelei n punctele O i A este descris de ecuaiile: 0 0 l 1 m1O = m1 1 m1O + m1 A = m10 l1 (48) 0 0 0 m1O 1 + m1 A l1 1 = 0 m1 A = m10 1 l1

(

)

0 l2 2 m2 A = m2 l m2 A + m2 B = m2 2 2 m2 A 2 + m2 B l2 2 = 0 m2 B = m2 0 l2 0

(

)

(49)

Astfel, n punctele de concentrare O, A i B se afl masele:

13

mO = m1O mA = m1 A + m2 A m = m + m 2B 3 Bx

(50)

FBB

(i)

C 2

FAy

(i)

A C 1

o

2

o1

O E

e

FE

(i)

Figura 11 Se determin forele de inerie din A i B (punctul O este fix), innd cont de faptul c masa din A execut rotaie, iar masa din B execut translaie. Forele de inerie sunt: FiA = mA a A FiA = mA 2l1 (51) FiB = mB aB Pentru masa din B aflat n translaie, se dezvolt acceleraia lui B n serie Fourier. Se obine:

aB = l112 cos1 + 4 A2 cos 21 + 16 A4 cos 41 + .... + k 2 Ak cos k1 (52)

(

)l1 , adic l2

n care Ak sunt coeficienii din dezvoltarea n serie Fourier a deplasrii xB a pistonului. Coeficienii Ak sunt tabelai i valorile lor descresc o dat cu raportul = : 1 > A2 > A4 > A6 > ..... Fora de inerie a masei din B aflat n translaie este: Fi , B = mBl112 cos1 + 4 A2 cos 21 + .... + k 2 Ak cos k1

(

)

(53)

Relaia (53) poate fi interpretat astfel: fora de inerie din B poate fi scris ca o sum de fore de inerie de diverse armonice; o for de inerie de armonic (ordin) k are direcia constant, iar mrimea este variabil cu pulsaia (k).Fi ,B = Fi ,B(1)

+ Fi ,B

(2 )

+ ... + Fi ,B

(k )

+ ...

(54)

unde:14

Fi , B (1) = mBl112 cos 1 (2 ) Fi , B = 4 A2 mBl112 cos 21 ......... (k ) 2 2 Fi , B = k Ak mBl11 cos k1

(55)

Forele de inerie de ordin superior sunt mai mici dect fora de inerie de prima armonic i pot fi neglijate, astfel nct se poate scrie, cu suficient de bun aproximaie c: (1) (56) Fi , B Fi , B = mBl112 cos 1 Se ataeaz o mas de echilibrare n punctul E, iar fora de inerie a masei de echilibrare are modulul: Fi , E = mE e12 (57) 1. Dac se realizeaz echilibrarea static parial pe direcia axei Ox, se va verifica relaia: pr Fi,A + Fi,B + Fi,E = 0 mAl112 cos1 + mBl112 cos1 mEe12 cos1 = 0 Ox (58) de unde se deduce c: (59) mE e = l1 (m A + mB )

(

)

2. Dac se realizeaz echilibrarea static parial pe direcia axei Oy, se va verifica relaia: prOy Fi , A + Fi , B + Fi , E = 0 mAl112 sin 1 mE e12 sin 1 = 0 (60)

(

)

de unde se deduce c: mE e = l1m A

(61)

Dac se impune distana e la care se amplaseaz masa de echilibrare, relaiile (59) i (61) furnizeaz valoarea masei de echilibrare mE. Se constat c o echilibrare simultan pe axele Ox i Oy nu este posibil. Astfel, dac mecanismul este echilibrat parial pe axa Ox, atunci pe axa Oy rmne un dezechilibru rezidual, care se determin cu relaia: (62) Fi , y = pr.Oy ( Fi , A + Fi , B + Fi , E ) = mBl112 sin 1 Dac se realizeaz echilibrarea mecanismului pe axa Oy, rmne un dezechilibru rezidual pe axa Ox care se determin cu relaia: (63) Fi , x = pr.Ox ( Fi , A + Fi , B + Fi , E ) = mBl112 cos 1 Observaie: Se poate realiza o echilibrare static complet cu ajutorul a dou mase de echilibrare.

6.4.3. Echilibrarea mainilor cu piston policilindriceO main cu piston policilindric reprezint un ansamblu de mecanisme manivel - piston care au o manivel comun, arborele cotit (fig.12). Unghiul de rotaie al manivelei j este: j = 1 + j (65) unde j este unghiul de decalaj al manivelei j fa de manivela 1, presupus constant.

15

y A1

A2 O1

1

B1

F B1

x

Aj

O2

2

B2 2

F B2zj

z2

j Oj z j

Bj

F Bj

Figura 12 Se presupune c arborele cotit se rotete cu viteza unghiular constant 1. Pentru studiul echilibrrii acestei maini se va presupune c echipajele sunt identice din punct de vedere geometric i mecanic, iar pentru fiecare echipaj se va realiza concentrarea maselor n A i B, astfel nct aceste mase vor fi egale pentru toate echipajele. Modelul cu dou mase concentrate introduce o eroare n aprecierea momentului forelor de inerie ale bielei. M i , 2 = J 2 2 (66) unde:J2 reprezint eroarea introdus de modelul cu dou mase concentrate asupra mrimii momentului de inerie axial al bielei, care se determin cu relaia: 2 2 J 2 = J C 2 m2 A 2 + m2 B (l2 2 ) = J C 2 m2 2 (l2 2 ) (67)

[

]

JC2 este momentul de inerie axial al bielei n raport cu axa perpendicular pe planul micrii i care trece prin C2; m2A i m2B sunt masele concentrate n A i B. Se poate alege constructiv o biel astfel nct J20. Pentru echilibrarea forelor de inerie ale maselor aflate n rotaie (mA) fie se realizeaz decalaje corespunztoare ntre manivele, fie se realizeaz echilibrarea cu mase de echilibrare pe fiecare maneton n parte. Pentru echilibrarea forelor de inerie ale maselor aflate n translaie (mB), se va analiza posibilitatea autoechilibrrii acestui mecanism, prin repartizarea convenabil a maselor n translaie, deci fr adugare sau ndeprtare de mase suplimentare. Se consider echipajul j al acestei maini i se scriu forele de inerie ale maselor n translaie ca sume de fore de inerie de armonice diferite, obinute prin dezvoltarea n serie l Fourier a spaiului parcurs de masa n translaie, n funcie de raportul = 1 . l2 FBj = FBj (1) + FBj ( 2) + FBj ( 4) + ... + FBj ( k ) + ... (k ) 2 2 FBj = k Ak l11 cos(k j ) 16

(68)

Pentru echilibrarea acestor maini este necesar ca torsorul forelor de inerie s fie nul i acest lucru se realizeaz atunci cnd se anuleaz pentru fiecare armonic n parte.

Fj =1 n j =1

n

(k )

Bj

=0

M (F ) = 0(k )

unde k=1,2,4,6....

(69)

O

Bj

Datorit faptului c amplitudinile armonicelor sunt descresctoare, este foarte important s se realizeze echilibrarea armonicelor de ordin inferior care au intensitile cele mai mari. Pentru mainile policilindrice n linie, la care forele de inerie ale maselor n translaie sunt paralele cu axa Ox, echilibrarea se realizeaz prin respectarea condiiilor:

Fj =1 n j =1

n

(k )

Bj

=0(k )

M (F ) = 0Oy Bj

(70)(k )

M Oy FBj

(

(k )

)= z Fj

Bj

= z j k 2 Ak 12l1 cos(k j )

Condiiile de echilibrare pentru forele de inerie la armonicele de ordin k se scriu sub forma:n sin (k j ) = 0 j =1 n cos(k j ) = 0 j =1 n z sin (k ) = 0 j j j =1 n z cos(k ) 0 j = j j =1

(71)

Din condiiile 71 se desprind condiiile pentru echilibrarea mainilor cu piston policilindrice, adic echilibrarea este posibil dac se acioneaz asupra decalajului dintre manivele j i asupra distanei dintre axele cilindrilor z j . Din punct de vedere geometric, primele dou relaii se refer la anularea sumei vectorilor unitari care fac unghiurile k j cu o direcie de referin, iar ultimele dou relaii se refer la anularea sumei vectorilor de lungime z j i care fac unghiurile k j cu o direcie de referin.

17