DUMITRU BUNEAGDANA PICIU

LECII de ALGEBR

Editura UNIVERSITARIA

CRAIOVA 2002

1

2

Refereni tiinifici:Prof.univ.dr.Constantin Nstsescu,Universitatea Bucuresti

Membru corespondent al Academiei RomneProf.univ.dr. Constantin Ni,Universitatea Bucureti

2002 EUC CRAIOVA

All rights reserved. No part of this publication may be reproduce, stored in a retrieval system, or transmitted, in any forms or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or other wise, without the prior written permission of the publisher.

Tehnoredactare computerizat : Dana Piciu, Livia PopescuCopert: Ctlin Buneag

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale

Dumitru Buneag (coordonator),Lecii de Algebra

527 p.; 21 cm.

Craiova Editura Universitaria 2002 Bibliogr. 512.54,55,56,58,553,516.62,64

ISBN 973 8043 109 8

Bun de tipar: 20.02.2002

Tipografia Universitii din Craiova, Strada, Al. Cuza, nr.13 Craiova, Romnia

Published in Romania by:

EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA

3

ISBN: 973 8043 109 8

4

CUPRINS

pag.

CAPITOLUL 1: NOIUNI PRELIMINARII . . . . . . . . . .. . . . 11. Mulimi. Operaii cu mulimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Relaii binare pe o mulime. Relaii de echivalen . . . . . . . . . . 7 3. Relaii funcionale. Noiunea de funcie. Clase de funcii . . . . . 14 4. Nucleul i conucleul unei perechi de funcii. . . . . . . . . . . . . 32 5. Mulimi ordonate. Semilatici. Latici.. . . . . . . . . . . . . . .

. . . 356. Latici.distributive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 457. Complement i pseudocomplement ntr-o latice. Algebre Boole. Algebre Boole generalizate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 508. Produsul direct (suma direct) a unei familii de mulimi . .. . . 56

9. Numere cardinale. Operaii cu numere cardinale. Ordonarea numerelor cardinale.. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . 6010. Mulimi numrabile. Mulimi finite i mulimi infinite. . .

. . . 66

CAPITOLUL 2: GRUPURI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .711. Operaii algebrice. Monoizi. Morfisme de monoizi. Produse directefinite de monoizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2. Grup. Calcule ntr-un grup. Subgrup. Subgrup generat de o mulime. Grup ciclic. Ordinul unui element ntr-un grup. . . . . . . . .83

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .903. Centralizatorul unui element ntr-un grup. Centrul unui grup. Teorema lui Lagrange. Indicele unui subgrupntr-un grup. Ecuaia claselor. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864. Subgrupuri normale. Factorizarea unui grup printr-un subgrup

normal . . . . . . . . . . .

5. Morfisme de grupuri. Compunerea morfismelor de grupuri. Monomorfisme, epimorfisme, izomorfisme de grupuri. Nucleul i conucleul unei perechi de morfisme

de grupuri. . . . . . . . . . . . . . .94

6. Teorema lui Malev. Grupul (, +). Subgrupurile lui (, +). Clasele de resturi modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7. Teoremele de izomorfism pentru grupuri. . . . . . . . . . . . . . . 108 8.Produse finite de grupuri. Teorema chinezeasc a resturilor. Numrul tipurilor de grupuri abeliene finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9. Teorema lui Cauchy pentru grupuri finite. Grupul diedral Dn de grad n. Structura grupurilor finite cu 2p elemente (p prim , p3) . . . . 118

10.Grupuri de permutri. Teorema lui Cayley. Grupurile Sn i An. .122 11. Teoremele lui Sylow. Aplicaii: caracterizarea grupurilor cu pqelemente ( p i q numere prime distincte ) i 12 elemente. . . . . . . 132

CAPITOLUL 2: GRUPURI

94

Propoziia 1.30. Dac M, M, M sunt monoizi iar fHom(M, M) i gHom(M, M) , atunci gofHom(M, M).

Demonstraie. Cum f(1)=g(1), (gof)(1)=g(f(1))=g(1)=1 iar pentru x, yM avem (gof)(xy)=g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))==(gof)(x)(gof)(y), adic gof Hom(M, M).

Definiia 1.31. Dac M i M sunt doi monoizi, numim izomorfism de monoizi un morfism fHom(M, M) care ca funcie este bijecie; n acest caz vom spune despre monoizii M, M c sunt izomorfi i vom scrie MM.

Se deduce imediat c dac fHom(M, M) este izomorfism de monoizi, atunci i f -1:MM este morfism de monoizi.

Definiia 1.32. Fie (M, ) un monoid. Vom spune despre un element xM c este inversabil (sau simetrizabil ) dac exist xM a.. xx=xx=1.

S observm c dac x exist atunci el este unic deoarece dac ar mai exista xM a.. xx=xx=1, atunci x(xx)=x1=x ix(xx)=(xx)x=1x=x, adic x=x.

Elementul x poart numele de inversul (sau simetricul) lui x. n cazul notaiei multiplicative vom nota x=x-1 iar n cazul notaiei aditive vom nota x=-x (iar x se va numi opusul lui x). n cele ce urmeaz (pn la specificri suplimentare) vom considera monoizi multiplicativi.

Pentru monoidul (M, ) prin U(M, ) (sau mai simplu U(M) dac nu se creeaz confuzii prin nespecificarea operaiei algebrice de pe M ) vom nota mulimea elementelor inversabile din M (adic U(M)=xM / exist xM a.. xx=xx=1).Evident, dac xU(M), atunci (x-1)-1=x.Pentru exemplele de monoizi de pn acum avem: U(P(T),)=T, U(P(T),)=, U(P(T),)=P(T), U(,+)=0, U(,) = 1, iar pentru o mulime A, U(Hom(A),o)=f:AA / f este bijecie. Convenim s notm (A)=fHom(A) / f este bijecie i s numim un element f(A) ca fiind o permutare asupra elementelor lui A.

95

Propoziia 1.33. Fie (M, ) un monoid i x, yU(M). Atunci 1U(M), xyU(M) iar (xy)-1=y-1x-1.

Demonstraie. Din 11=11=1 deducem c 1U(M) iar din(xy)(y-1x-1) = x(yy-1)x-1 = x1x-1 = xx-1 = 1 i (y-1x-1)(xy) = y-1(x-1x)y = =y-11y=y-1y=1 deducem c xyU(M) iar (xy)-1=y-1x-1.

Observaia 1.34.Raionnd inductiv dup n deducem c dac x1,,xnU(M) (n2), atunci x1x2xnU(M) iar (x1x2xn)-1=xn-1x2-1x1-1.

Fie acum M1, M2, , Mn monoizi iar

M = M1Mn=(x1, , xn) / xiMi , 1in.

Pentru x=(x1,,xn), y=(y1,,yn)M definim xy=(x1y1,,xnyn) iar pentru fiecare 1 i n considerm pi :MMi definit prin pi (x)=xi pentru orice x=(x1,,xn)M ( pi se zice a i-a proiecie a lui M pe Mi sau proiecia de indice i ).

Propoziia 1.35. Dac M1,,Mn sunt monoizi, atunci (M, ) estemonoid, U(M)=U (M1)U (Mn), pentru fiecare 1 i n, pi Hom(M,Mi ) i n plus este verificat urmtoarea proprietate de universalitate : Pentru oricare monoid M i familie de morfisme de

monoizi (pi)1 i n cu piHom(M, Mi ), 1 i n, exist un unic uHom(M, M) a.. pi ou=pi .

Demonstraie. Asociativitatea operaiei de nmulire de pe M rezult din asociativitatea fiecrei operaii de nmulire de pe Mi iar elementul neutru este 1=(1,,1).

Dac xU(M), x=(x1,,xn), atunci exist yM , y=(y1,,yn) a.. xy=yx=1 (x1y1,,xnyn)=(y1x1,,ynxn)=(1,,1) xiyi = yixi = 1 pentru orice 1 i n xiU(Mi) pentru orice 1 i n xU(M1) U(Mn), de unde egalitatea (de mulimi).

U(M)= U(M1) U(Mn).

96

Dac x=(x1,,xn), y=(y1,,yn)M i 1 i n, atunci xy=(x1y1,,xnyn), deci pi (xy) =xi yi =pi (x)pi (y), adic pi Hom(M,Mi).

S verificm acum proprietatea de universalitate, iar pentru aceasta fie M un alt monoid i pentru 1 i n s considerm piHom(M, M i). Pentru xM, definim u:MM prin u(x)=(p1(x),,pn(x)) i se verific imediat c uHom(M, M) iar piou=pi , pentru orice 1 i n.Fie acum uHom(M, M) a.. piou=pi pentru orice 1 i n.Atunci pentru orice xM avem pi(u(x)) = pi(x), adic u(x)=(p1(x),,pn(x))=u(x), de unde u=u.

Definiia 1.36. Monoidul M=M1 Mn mpreun cu proieciile (pi)1i n poart numele de produsul direct al monoizilor M1, M2, , Mn (cnd nu este pericol de confuzie nu vom mai specifica proieciile).

2. Grup. Calcule ntr-un grup. Subgrup. Subgrup generat de o mulime. Grup ciclic. Ordinul unui element ntr-un grup

Definiia 2.1. Vom spune despre un monoid M c este grup dac U(M)=M. Altfel zis, dubletul (M, ) format dintr-o mulime M i o operaie algebric pe M este grup dac opera ia algebric este asociativ, admite element neutru i orice element din M este inversabil.

Grupul M se va zice comutativ ( sau abelian ) dac operaia algebric este comutativ.

Exemple: 1. Dac T este o mulime nevid atunci (P(T), ) este grup comutativ.

2. Dac A este o mulime nevid, atunci ((A) , o) este grup ( n general necomutativ).

3. Mai general, dac (M, ) este un monoid atunci (U (M), ) este grup.

97

n cele ce urmeaz prin (G, ) vom desemna un grup multiplicativ (dac nu este pericol de confuzie nu vom mai specifica opera ia algebric). Cardinalul mulimii G se va nota | G | i se va numi ordinul grupului G .

n consecin, elementul neutru al lui G va fi notat cu 1 iar pentru xG inversul su va fi notat prin x-1 .

Analog ca n cazul semigrupurilor, dac pentru xG definim x0 = 1, atunci (x-1)-1= x iar dac m, n, atunci xm xn = xm+n i (xm)n = =xmn. De asemenea, dac x, y G i xy=yx, atunci pentru orice n (xy)n= xn y n.

Definiia 2.2. O submulime nevid S a lui G se zice subgrup al lui G dac S mpreun cu restricia operaiei algebrice de pe G la S formeaz grup.

Vom nota prin L(G) mulimea subgrupurilor lui G; pentru a exprima c HL(G) vom indica lucrul acesta scriind c HG.Propoziia 2.3. Pentru o mulime nevid S a lui G urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) SL(G)

(ii) 1S i pentru orice x, yS, xyS i x-1S (iii) pentru orice x, yS , x-1yS.

Demonstraie. Implicaiile (i)(ii) i (ii)(iii) suntimediate.

(iii)(i). Cum S exist x0S i atunci 1=x0-1x0S. Alegnd un element oarecare xS, cum 1S avem c i x-1=x-11S adic (S, )

este grup.

n mod evident, {1}L(G) i GL(G). Oricare alt subgrup S al lui G diferit de {1} i G se zice propriu. Subgrupul {1} se zice subgrup nul i se noteaz de obicei prin 0.

Propoziia 2.4. Fie (Si)iI o familie nevid de subgrupuri ale lui G . Atunci, I Si L(G).

iI

98

Demonstraie. Fie S= I Si i x, y S . Atunci pentru orice

iI

iI, x, ySi i cum SiG avem c x-1ySi , adic x-1yS, deci SG.

Observaia 2.5. n ceea ce privete reuniunea a dou subgrupuri ale lui G s demonstrm c dac H, KL(G), atunciHKL(G) HK sau KH. Implicaia de la dreapta lastnga fiind evident s presupunem c HKL(G) i totui HKi KH , adic exist xH astfel nct x K i yK astfel nct yH. Considernd elementul z=xy atunci cum am presupus cHKL(G) ar trebui ca zHK. Dac zH, atunci cum y=x-1z amdeduce c yH absurd. Dac zK atunci ar rezulta c x=zy-1K

absurd !.Din cele expuse mai nainte deducem c n general, dac H,

KL(G) nu rezult cu necesitate c i HKL(G). Este una din raiunile pentru care vom introduce noiunea ce urmeaz.

Defini ia 2.6. Dac M este o submul ime nevid a lui G, prin subgrupul lui G generat de M n elegem cel mai mic subgrup al lui G ( fa de relaia de incluziune ) ce conine pe M i pe care l vom nota prin . Altfel zis

= Is .

SL(G)

M SDac ML(G), n mod evident =M.

Propoziia 2.7. Dac MG este o submulime nevid, atunci = {x1 xn | n iar xi M sau xi-1 M pentru orice 1in }.

Demonstraie. Fie H={x1 xn | n iar xi M sau xi-1 Mpentru orice 1in } i x, yH, adic x=x1 xn , y=y1 ym cu xi sau xi-1 n M i yj sau yj-1 n M pentru 1in i 1jm.Cum x-1y = xn-1 x1-1 y1 ym deducem c x-1yH, adic

HG. Deoarece MH iar este cel mai mic subgrup al lui G ce conine pe M deducem c H .

99

Fie acum SG astfel nct MS. Atunci HS, deciH I s =, de unde egalitatea =H.SG

M S

Corolar 2.8. ={xn | n}{(x-1)n | n}.

Definiia 2.9. poart numele de grupul ciclic generat de x. Ordinul unui element xG notat o(x) se definete ca fiind o(x)=||. Evident, o(1)=1 iar dac x1 i o(x)=n, atunci n este cel mai mic numr natural pentru care xn=1. Dac o(x)=, atunci xn1, pentruorice n1.

Observaia 2.10. 1. Dac x Geste de ordin finit i exist

n * a.. xn 1, atunci o(x)n . a.

ntr-adevr, mprind pe nla o(x) gsim c,r

n c o(x) r i r o(x).

Din xo( x) xn 1 deducem imediat c i x r 1, adic r = 0

(innd cont de minimalitatea lui o(x)), deci o(x)n .

2. Dac x, y G , a.. o(x) io(y) sunt finite,xy= yx i

(o(x), o(y)) = 1, atunci o(xy) = o(x)o(y).

ntr-adevr, dac notm m = o(x), n = o(y) i p = o(xy), dinx m y n 1deducemc (xy)mn xmn y mn 1, adicpmn .Din

o(xy) = pdeducemc(xy) p 1 , deci x p y piardeaici

x np ( y n ) p 1 , adicmnpi cum (m,n) = 1 deducem cmp .

Analog n p i cum (m,n) = 1 deducem c mn p , adic p = mn.3.Dincelede mai nainte deducemrecursiv cdac

x1 , x2 ,..., xn G( n 2 ) i cele n elemente comut ntre ele iar

ordinele aoricaredou (diferite) sunt primentre ele,atunci

o(x1...xn ) o(x1 )...o(xn ).

Propoziia 2.11. (L(G), ) este latice complet.

100

Demonstraie. n mod evident 0={1}, 1=G iar pentru H, KL(G), HK=HK iar HK=. Dac (Si)iI este o familieoarecare de subgrupuri ale lui G, atunci Si =I Si L(G) iar

iIiI

Si = < U Si > L(G).

iIiI

3. Centralizatorul unui element ntr-un grup. Centrul unui grup. Teorema lui Lagrange. Indicele unui subgrup ntr-un grup. Ecuaia claselor

Definiia 3.1. Pentru xG vom nota CG(x) = { yG : xy=yx } i Z(G)= I CG(x). CG(x) se numete centralizatorul lui x n G iar Z(G)

xG

centrul lui G; n mod evident Z(G)= { xG ; xy = yx, pentru orice yG }.

Propoziia 3.2. Pentru orice xG, CG(x)G.

Demonstraie. Dac y, z CG(x), atunci yx = xy i zx =xz . Deducem imediat c y-1x = xy-1 iar (y-1z)x = y-1 (zx) = y-1(xz) = (y-1x)z= =(xy-1)z = x(y-1z), adic y-1z CG(x), deci CG(x) G.

Corolar 3.3. Z(G)G.

Demonstraie. Avem Z(G)= I CG(x) i conform

xGPropozi iei 2.4., Z(G)G.

Fie acum HG i xG.Definim xH = { xh : hH } i Hx = {hx : h H }. Mulimea xH (Hx) poart numele de clasa la stnga (dreapta) a lui x n raport cu H.

Propoziia 3.4. Dac x, yG i HG atunci

101

(i) xH = yH x-1yH

(ii) Hx = Hy xy-1H.

Demonstraie. (i). S presupunem c xH = yH. Cum 1H ,

x=x 1 xH = yH, adic x = yh cu h H. Deducem c y-1x=h H i cum h-1 H avem c h-1 = x-1y H. Reciproc, fie x-1y=hH i

zxH, adic z=xk cu kH. Cum x=yh-1 avem z=(yh-1)k = y(h-1k) , adic zyH (cci h-1kH ), deci xHyH . Analog deducem c i yH xH, de unde xH=yH.(ii). Ca i n cazul (i).

Corolar 3.5. Dac HG, atunci pentru xG, xH = H (sau Hx = H) xH. n particular, 1H = H.Vom nota (G/H)s = {xH : xG} i (G/H)d = {Hx : xG}

Propoziia 3.6. (G/H)s i (G/H)d sunt partiii ale lui G.

Demonstraie. Este suficient s probm pentru (G/H)s. Deoarece pentru orice xG avem x=x1 xH deducem c U xH =

xG

G.Fie acum x, yG i s demonstrm c xH=yH sauxHyH= . Avem c x-1yH sau x-1yH. Dac x-1y H, conformPropoziiei 3.4, xH=yH.

S presupunem acum c x-1yH. Dac ar exista zxHyH, atunci z=xh=yk cu h, k H i am deduce imediat c x-1y= hk-1H

-absurd. Deci n cazul x-1yH avem xHyH=.

Propoziia 3.7. Funcia f : (G/H)s (G/H)d , f(xH)=Hx-1 pentru orice xG este o bijecie .

Demonstraie. Pentru x, yG echivalenele xH=yH x-1yH x-1(y-1)-1 H Hx-1= Hy-1 (conform Propoziiei 3.4) ne

arat c f este corect definit i c este injectiv. Cum surjectivitatea lui f este imediat, deducem c f este bijecie.

102

Dinpropoziia precedent deducem c |(G/H)s|=

|(G/H)d|;acest numr cardinal se noteaz |G:H| i poart

numele de indicele lui H n G.

Lema 3.8. Dac HG i xG, atunci |xH|=|Hx|=|H| .

Demonstraie. Este suficient s artm c mulimile xH i H sunt echipotente iar n acest sens definim fx : H xH, fx(h) = xh pentru orice hH.

Dac h, kH i fx(h) = fx(k) atunci xh=xk deci h=k adic f este injectiv. Cum fx este n mod evident i surjectiv, deducem cfx este o bijecie i astfel |xH|=|H|.

Teorema 3.9. Dac HG, atunci

|G|= |H||G:H|.

Demonstraie. Cum (G/H)s este o partiie a lui G avem|G| = |xH|(sumarea fcndu-se dup clase distincte).xGinnd cont de Lema 3.8. deducem c |G|=|H||G:H|.

n cazul n care G este un grup finit, atunci |G|, |H| i |G : H| sunt numere naturale iar relaia |G|=|H||G:H|arat c |H| este un divizor al lui |G|.

Obinem astfel:Corolar 3.10. (Lagrange) Ordinul oricrui subgrup al unui grup finit divide ordinul grupului.

Corolar 3.11. Dac G este un grup finit de ordin n, atunci xn =1 pentru orice x G.

Demonstraie. Dac k=o(x), atunci xk =1 i k|n (conform teoremei lui Lagrange), adic n=kt cu t. Atunci xn=xkt=(xk)t=1t=1.

103

Definiia 3.12. Vom spune despre elementele x, yG c sunt conjugate n G i vom scrie x ~ y dac exist aG a. . x=a-1ya.

Propoziia 3.13. Relaia de conjugare ~ este o echivalen peG.

Demonstraie. Deoarece pentru orice xG, x=1-1x1 deducem c x~x, adic relaia ~ este reflexiv. Dac x, yG i x ~ y , atunci exist aG astfel nct x=a-1ya . Cum y=axa-1=(a-1)-1 xa-1 deducem c i y~x , adic relaia ~ este i simetric.

Fie acum x, y, z astfel nct x~y i y~z. Atunci exist a, bG astfel nct x=a-1ya i y=b-1zb . Deducem c x=a-1(b-1zb)a = = (a-1b-1) z (ba) = (ba)-1 z (ba), adic xz i astfel este i tranzitiv,

deci o relaie de echivalen pe G.

n conformitate cu notaiile de la Capitolul 1, pentru xG prin [x] vom desemna clasa de echivalen a lui x n raport cu relaia care se mai zice i clasa de conjugare a lui x (altfel zis [x]

este mulimea conjugailor lui x n G, adic [x]~ ={axa-1 : a G}).Propoziia 3.14. Pentru orice x G, |[x]~|=|G : CG(x)| .Demonstraie. Fie H=CG(x). Dac a, bG atunci din echivalenele axa-1=bxb-1 xa-1b=a-1bx a-1b H aH=bH deducem c funcia f:[x] ~(G/H)s , f(axa -1) = aH pentru orice aG este corect definit i injectiv. Cum n mod evident f este i surjecie deducem c f este bijecie, adic |[x~]|=|(G/H)s|=|G :H|==|G : CG(x)|.Deoarece {[x]~}xG formeaz o partiie a lui G deducem cG = U [x]~ (vom lua reuniunea dup elementele xG ce nu sunt

xG

conjugate ntre ele ). S remarcm i faptul c dac xZ(G), atunci[x]~={x}. Astfel, |G|= |[x]~|(sumarea fcndu-se dup

xG

elementele neconjugate). Scriind

104

|G|= |[x]~|+ |[x]~|= |{x}|+ |[x]~|xZ ( G )xZ ( G )xZ ( G )xZ ( G )i innd cont de Propoziia 3.13 obinem relaia|G|=|Z(G)|+ |G:CG(x)|, cunoscut sub numele de ecuaia

xZ ( G )

claselor.

n continuare vom aplica ecuaia claselor n special n cazul n care grupul G este finit.

4. Subgrupuri normale. Factorizarea unui grup printr-un subgrup normal

Definiia 4.1. Vom spune despre un subgrup H al lui G c este

normal n G dac xH = Hx pentru orice xG i vom scrie HG pentru a desemna faptul acesta.

Vom nota prin L0(G) mulimea subgrupurilor normale ale lui G. Evident, L0(G) L(G), {1}, G L0(G) iar dac G este comutativ, atunci L0(G)= L(G).

Propoziia 4.2. Pentru HL(G) urmtoarele afirmaii sunt echivalente(i) H L0(G) (ii) Pentru orice xG, xHx-1H (unde xHx-1={xhx-1 : hH).

Demonstraie. (i) (ii). Dac HG i xG, atunci xH=Hx, deci pentru hH, xh=kx cu kH astfel c xhx-1 = kH.

(ii)(i). Fie xG. Din xHx-1H deducem imediat c xHHx. nlocuind pe x cu x-1 deducem c x-1H Hx-1, de undeHxxH, adic xH=Hx, deci H L0(G).

Propoziia 4.3. L0(G) este sublatice modular marginit a luiL(G).

Demonstraie. Am vzut c {1} i G fac parte din L0(G). Fie acum H, K L0(G), xG i hHK. Atunci xhx-1H, K deci

105

xhx-1HK, adic HK L0(G). S artm acum c HK =HK=KH (unde HK= {hk|hH, kK}). AvemHK= U xK U Kx KH .

xHxH

n mod evident H, KHK iar dac alegem SG astfel nct H, KS atunci HKS, adic HK=KH=HK. Pentru a arta cHKG, fie xG, hH i kK.Scriind x(hk)x-1=(xhx-1)(xkx-1), cum xhx-1H i xkx-1K,deducem c x(hk)x-1 HK, adic HKG, deci i HK L0(G). Am demonstrat deci c L0(G) este sublatice (mrginit) a lui L(G). Pentru a proba c L0(G) este modular fie H, K, LL0(G) astfel

nct HK i s artm c K(HL)=H(KL). innd cont de cele stabilite anterior este suficient s probm incluziunea K(HL)H(KL) (cealalt fiind evident) iar pentru aceasta fie

xK(HL). Atunci xK i xHL ceea ce implic x=yz cu yH i zL. Avem z=y-1xK i cum zL deducem c zKL.CumyH rezult x=yzH(KL), adic avem

K(LH)H(KL).

Am vzut c o intersecie finit de subgrupuri normale ale lui G este de asemenea un subgrup normal al lui G. Analog se probeaz faptul c dac (Hi)iI este o familie oarecare de subgrupurinormale ale lui G, atunci Hi este de asemenea subgrup normal

iI

al lui G, astfel c, fiind dat o mulime nevid MG putem vorbi de subgrupul normal al lui G generat de M ca fiind intersecia tuturor subgrupurilor normale ale lui G ce conin pe M. Convenim snotm acest subgrup normal prin [M], adic [M]= I H.HL0 ( G )M H

Propoziia 4.4. Dac MG este o mulime nevid, atunci [M] = .

Demonstraie. Fie K = . n mod

evident MK. Tinnd cont de Propoziia 2.7, un element din K este de forma x1xn cu xiM sau xI-1 M unde M= {a-1xa|aG i

106

xM}. Pentru a proba apartenena KL0(G), fie aG i yK.Atunci y=y1yn cu yiM sau yi-1M astfel c scriind a-1ya = a-1y1yna =(a-1y1a) (a-1y2a) (a-1yna) deducem c a-1yaK, deci KG. Cum [M] este cel mai mic subgrup normal al lui G ce conine pe M deducem c [M]K.

Fie acum HL0(G) astfel nct MH. Dac alegem aG i xM, atunci xH i cum HG deducem c a-1xaH, adic KH.Atunci K I H=[M], de unde egalitatea [M]=K.HL0 ( G )M H

Dac HG, atunci (G/H)s=(G/H)d=G/H.Pentru xH, yHG/H (cu x,yG) definim (xH)(yH)=(xy)H i s artm c fa de aceast operaie algebric G/H devine grup.

Dac mai avem x, yG astfel nct xH=xH i yH=yH atunci x-1x, y-1yH. Pentru a proba c (xy)H=(xy)H scriem

(xy)-1(xy)=y-1x-1xy=[y-1(x-1 x)y](y-1y), de unde deducem c (xy)-1(xy)H, adic (xy)H=(xy)H i astfel nmulirea pe G/H este corect definit. Ea este i asociativ deoarece pentru xH, yH, zHG/H cu x, y, zG avem (xH)[(yH)(zH)]=(xH)[(yz)H]=[x(yz)]H=[(xy)z]H=[(xy)H](zH)=

=[(xH)(yH)](zH) Elementul neutru va fi 1H=H iar pentru xHG/H avem (x-1H)(xH)=(x-1xH)=H i (xH)(x-1H)=(xx-1)H=H, de unde deducem c (xH)-1=x-1H.

Defini ia 4.5. Grupul (G/H, ) poart numele de grupul factor al lui G prin subgrupul normal H. Aplicaia pH:GG/H, pH(x)=xH pentru orice xG poart numele de surjecia canonic.

Observaia 4.6. 1. n mod evident |G/H|=|G:H|, astfel c dac G este finit, |G/H|=|G|:|H|.

2. Dac HG i |G:H|=2, atunci HG, (deoarece alegnd xG\H, din HxH = HHx= i HxH=HHx=G deducem c xH=Hx).

107

n continuare vom prezenta un alt mod de a introduce

grupul factor G / H cnd HG.S presupunem la nceput c H este doar subgrup al lui G(fr a fi normal).

Pe G definim dou relaii Hsi Hdastfel:

(x, y) Hs x-1yH i (x, y) Hd xy-1H.

Se verificimediat c HsiHdsunt relaiide

echivalen pe G iar pentru xG, xHs xH i xHd Hx .

n cazul n care HG , atunciHs= Hd H i s

artm c H este o congruen peG(adiccompatibilcu

structura de grup a lui G). Pentru aceasta fie x, x, y, yG a.. (x,x), (y,y) H i s artm c i (xy, xy) H . Avem (xy)-

1(xy)=y-1x-1xy==[y-1(x-1x)y](y-1y) i cum x-1x, y-1yH

iar HG (adicy-1(x-1x)yH) deducem imediat c (xy)-1(xy)H

adic,(xy, xy) H . Astfel G / H ={[x]H }xG {xH}xG G / H

i de aici construcia grupului factor G / H continu ca mai nainte.

Observaia 4.7. Am vzut c dac HG, atunci H este ocongruen pe G (adic o relaie de echivalen pe G compatibil cu structura de grup a lui G).Se poate arta imediat c asocierea H Hstabilete o

bijecie ntre L0(G) i congruenele de pe G. ntr-adevr, dac

esteo congruen pe G, atunci searatuorc

1 x Gx ,1 L0(G) i astfel, asocierea [1] este inversa

funciei H H (de mai nainte).

5 Morfisme de grupuri. Compunerea morfismelor de grupuri. Monomorfisme, epimorfisme, izomorfisme de grupuri. Nucleul i conucleul unui morfism de grupuri. Nucleul i conucleul unei perechi de morfisme

108

de grupuri

Definiia 5.1. Dac G i G sunt dou grupuri, vom spune c o funcie f:GG este morfism de grupuri dac pentru orice x, yG, f(xy)=f(x)f(y).

Vom nota HomGr(G, G)={f:GG|f este morfism de grupuri}. Dac nu este pericol de confuzie n loc de HomGr(G, G) vom scrie Hom(G, G).

Exemple. 1. Funcia 1G:GG este morfism de grupuri.

2. f : GG, f(x)=1 pentru orice xG este de asemenea morfism de grupuri (numit morfismul nul). 3. Dac HG atunci pH :GG/H, pH(x)=xH pentru orice xG este morfism surjectiv de grupuri (numit morfismul surjectiv canonic).

Pe parcursul acestei lucrri vom prezenta mai multe exemple de morfisme de grupuri.

Observaia 5.2. Ca i n cazul monoizilor se demonstreaz imediat c dac G, G, G sunt grupuri i fHom(G,G), gHom(G,G), atunci gofHom(G,G).

Propoziia 5.3. Dac G, G sunt grupuri i fHom(G, G), atunci f(1)=1 i f(x-1) = (f(x))-1 pentru orice xG.

Demonstraie. Din 1=11 deducem c f(1)=f(11)=f(1)f(1) iar de aici c f(1) =1. Dac xG, cum xx-1 = 1 deducem 1 = f(1) = f(xx-1)

= =f(x) f(x-1), de unde f(x-1)=f(x)-1.

Propoziia 5.4. Fie G, G grupuri iar fHom(G, G).(i) Dac HG atunci f(H)G

(ii) Dac HG i f este funcie surjectiv,

atuncif(H)G

(iii) Dac HG, atunci f-1(H)G

109

(iv) Dac HG, atunci f-1(H)G.

Demonstraie. (i). Dac x, yf(H), atunci x=f(x), y=f(y) cu x, yH i cum x-1y =(f(x))-1 f(y)=f(x-1y) iar x-1yH deducem c x-1yf(H), adic f(H)G.

(ii). Dac xG i hf(H) atunci cum f este surjecie x=f(x) cu xG i h=f(h) cu hH. Deoarece xhx-1=f(xhx-1) iar xhx-1H (cciHG) deducem c xhx-1 f(H), adic f(H)G.

(iii). Dac x, yf-1(H), atunci f(x), f(y)H i cum HG deducem c f(x)-1 f(y)=f(x-1y)H, adic x-1y f-1(H), deci f-1(H)G.

(iv). Fie xG i yf-1(H) (adic f(y)H). Cum HG avem f(x)f(y)f(x)-1H sau f(xyx-1)H, deci xyx-1f-1(H), adic f-1(H)G.

Observaia 5.5. Dac fHom(G, G), conform propoziiei

precedente deducem c f-1({1})G iar f(G)G. Convenim s notm f-1(1)=Ker(f) i s-l numim nucleul lui f iar f(G)=Im(f) i s-l numim imaginea lui f.

Astfel, pentru orice fHom(G, G), Ker(f)G iar Im(f)G.

Propoziia 5.6. Dac G, G sunt grupuri iar fHom(G, G), urmtoarele afirmaii sunt echivalente:(i) f este funcie injectiv (ii) Ker(f)={1}

(iii) Pentru orice grup G i , Hom(G, G), dac fo=fo, atunci =.

Demonstraie. (i) (ii). Evident {1}Ker(f). Dac x Ker(f) atunci f(x)=1=f(1) i cum f este injecie deducem c x=1, adic Ker(f)={1}.(ii)(i). Dac x, yG astfel nct f(x)=f(y), cum f(x-1y)=

=(f(x))-1f(y)=1 deducem c x-1yKer(f)={1}, adic x-1y=1 deci x=y, rezultnd astfel c f este injecie.(i)(iii). Evident

110

(iii)(i). S presupunem prin absurd c f nu este injectiv (dei verific (iii)). Cum (i) (ii), deducem c Ker(f){1}. Dac notm G=Ker(f) i considerm , :G G, =incluziunea iar = morfismul nul (adic (x)=1 pentru orice xG), atunci i

fo=fo (cci ambele dau morfismul nul) absurd !.

Observaia 5.7. Datorit propoziiei precedente (i innd cont de felul n care se vor defini n Capitolul 5 monomorfismele ntr-o categorie oarecare) vom numi morfismele injective de grupuri monomorfisme. Monomorfismele se mai zic i scufundri.

Propoziia 5.8. Dac G, G sunt grupuri iar fHom(G, G), atunci n ipoteza c G este comutativ, urmtoarele afirmaii sunt echivalente:(i) f este surjecie (ii) Im(f)=G

(iii) Pentru orice grup G i orice morfisme , Hom(G,G), dac of=of, atunci =.

Demonstraie. Echivalena (i) (ii) este imediat.(i)(iii). Dac yG cum f este surjecie exist xG astfel nct f(x)=y. Atunci (of)(x)=( of)(x) (f(x))= (f(x)) (y)=(y), adic =.

(iii)(i). S presupunem c f verific (iii) i totui nu este surjectiv, adic Im(f)G. Alegnd G=G/Im(f) (lucru posibil

deoarece prin ipotez G este comutativ i deci Im(f)G) avem c

G{1} i astfel alegnd =pIm(f):GG i = morfismul nul de la G la G avem c dei of=of (cci ambele compuneri dau

morfismul nul) absurd.

Observaia 5.9. Datorit propoziiei precedente (i din aceleai raiuni ca n cazul Observaiei 5.7) morfismele surjective fHom(G, G) cu G comutativ se mai zic i epimorfisme (cu att mai mult cu ct vom arta mai trziu c putem renuna la restricia ca G s fie comutativ).

111

Definiia 5.10. Dac G, G sunt grupuri, vom spune c fHom(G, G) este izomorfism de grupuri dac exist gHom(G, G) astfel nct gof=1G i fog=1G. n acest caz vom spune despre grupurile G i G c sunt izomorfe i vom scrie G G.

Se verific imediat c morfismul f este izomorfism de grupuri dac i numai dac f este bijecie.

Vom privi noiunile de nucleu i conucleu ale unui morfism de grupuri ntr-un context mai general. n acest sens vom introduce noiunea de nucleu i conucleu a unei perechi de morfisme de grupuri i vom proba existena lor (analog ca n cadrul 4 de la Capitolul1).

Definiia 5.11. Fie f, g:G1G2 o pereche de morfisme de grupuri . Un dublet notat prin Ker(f, g)=(G, i) i format dintr-un grup G i un morfism de grupuri i:GG1 se zice nucleul perechii (f, g) dac ndeplinete urmtoarele condiii:

(i) foi=goi

(ii) Dac (G, i) este un alt dublet format dintr-un grup G i un morfism de grupuri i:GG1 a.. foi=goi, atunci exist un unic morfism de grupuri u:GG astfel nct iou=i.

Teorema 5.12. Pentru orice pereche de morfisme de grupuri f, g:G1G2 exist Ker(f, g) care este unic pn la un izomorfism de grupuri.

Demonstraie. Demonstra ia unicitii fiind asemntoare cu cea de la nucleul unei perechi de funcii (4, Capitolul 1) vom proba doar existena nucleului.n acest sens vom considera K = {xG1| f(x) = g(x) } i s artm c KG1. Dac x, yK, atunci f(x)=g(x), f(y)=g(y) i cum f(xy-1)=f(x)f(y)-1= g(x)g(y)-1= g(xy-1) deducem c xy-1K, adic KG1

. Morfismul i:KG1 va fi incluziunea i n mod evident foi=goi. Dac mai avem un alt dublet (K, i) cu K grup i i:KG1

morfism de grupuri astfel nct foi=goi, atunci pentru orice xK, f(i(x))K astfel c u:KK, u(x)=i(x) pentru orice xK va fi

unicul morfism de grupuri pentru care iou=i.

112

Definiia 5.13 Fie f, g:G1G2 o pereche de morfisme de grupuri. Un dublet notat prin Coker(f, g)=(G, p) format dintr-un grup G i un morfism de grupuri p:G2G se zice conucleu al perechi (f,g) dac ndeplinete urmtoarele condiii:

(i) pof=pog

(ii) Dac(G, p) este un alt dublet format dintr-un grup G i un morfism de grupuri p:G2G astfel nct pof=pog, atunci exist un unic morfism de grupuri u:GG astfel nct uop=p.

Teorema 5.14. Pentru orice pereche de morfisme de grupuri f, g:G1G2 exist Coker(f, g) care este unic pn la un izomrfism de grupuri.

Demonstraie. Cum probarea unicitii conucleului se face ca pentru funcii (4, Capitolul 1), s probm doar existena conucleului. n acest sens vom considera M={f(x)g(x)-1 |xG1 }, H=[M]= subgrupul normal al lui G2 generat de M (vezi Propozi ia 4.4) iar p H : G2G2/H morfismul surjectiv canonic i s probm c (G=G2/H, pH)=Coker(f, g). Conform Propoziiei 4.4, H=[M]= .

Deoarece pentru orice xG1, f(x)g(x)-1MH, deducem c H(f(x))=H(g(x)), adic pH(f(x))=pH(g(x)), deci pHof=pHog.

Fie acum (G, p) un alt dublet format dintr-un grup G i

un morfism p:G2G astfel nct pof=pog. Atunci pentru orice xG1 p(f(x))=p(g(x)) f(x)g(x)-1Ker p de unde deducem c

MKer(p) i deci i H=[M]Ker(p) (cci Ker(p)G2 iar H este cel mai mic subgrup normal al lui G2 ce conine pe M).

Avem deci diagrama

fpH

G1G2G2/H

gu

G

cu HKer(p). Definim u:G2/H G prin u(xH)=p(x) pentru orice xG2.

113

Dac mai avem yG2 astfel nct xH=yH atunci x-1yHKer(p), adic x-1 yKer(p) deci p(x)=p(y) i astfel u este corect definit. n mod evident u este morfism de grupuri i uopH=p.

Dac mai avem u:G2 / HG astfel nct uopH=p, atunci pentru orice x G2 avem u(pH(x))= u(pH(x)), adic u=u.

Observaia 5.15. Dac f:G1 G2 este un morfism de grupuri, atunci considernd morfismul nul 1:G1 G2 definit prin 1(x)=1 pentru orice xG1, avem c Ker(f)=Ker(f, 1) iar Coker(f)=Coker(f, 1).

6.Teorema lui Malev. Grupul (,+). Subgrupurile lui (,+). Clasele de resturi modulo n

n vederea construirii mul imii numerelor ntregi , vom prezenta la nceput o teorem a lui Malev de scufundare a unui monoid comutativ cu proprietatea de simplificare ntr-un grup comutativ urmnd ca prin particularizare la cazul monoidului

(,+) s obinem grupul aditiv (,+).

Teorema 6.1. ( Malev ) Fie (M, ) un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare. Atunci exist un grup comutativ G(M) i un morfism injectiv de monoizi iM:MG(M) ce verific urmtoarea proprietate de universalitate :

Pentru orice grup comutativ G i orice morfism de monoizi f:MG exist un unic morfism de grupuri f:G(M)G a.. diagrama

i M

M G(M)

ff

G

114

este comutativ (adic fiM =f ).

Demonstraie.Pe mulimea M=MM definim relaiadef(x, y)(x, y) xy=yx i s probm c este o echivalen pe M compatibil cu structura de monoid a lui M (adic este o congruen

pe monoidul produs M=MM ). n mod evident, relaia este reflexiv i simetric. Dac (x, y)(x, y) i (x, y)(x, y) atunci xy=yx i xy=xy, de unde xxyy=xxyy, deci xy= yx (am simplificat prin xy), adic (x, y)(x, y), deci relaia este i tranzitiv, de unde concluzia c este o echivalen pe M .

Fie acum (x, y), (x, y), (a, b), (a, b)M a.. (x, y)(a, b) i (x, y)(a, b) i s probm c i (xx, yy)(aa, bb ).

Avem deci xb=ya i xb=ya, de unde xxbb=yyaa, adic (xx, yy)(aa, bb), adic relaia este o congruen pe monoidul produs M n care reamintim c operaia de compunere se definete prin (x, y)(x, y)=(xx,yy). Vom considera monoidul ct G(M)=M/ iar pentru (x, y)M vom nota prin [x, y] clasa sa de echivalen n G(M).

Datorit faptului c relaia este o congruen pe M deducem imediat c G(M) devine n mod canonic monoid comutativ, definind

pentru [x, y], [x, y]G(M), [x, y][x, y]=[xx, yy] (elementul neutru al lui G(M) va fi [1, 1], 1 fiind elementul neutru al lui M). Deoarece pentru [x, y]G(M), [x, y][y, x]=[xy, xy]=[1, 1] deducem c [y, x]= =[x, y] 1 , adic G(M) este grup (comutativ).

Definim iM :MG(M) prin iM (x)=[x, 1] pentru orice xM. Pentru x, yM avem iM (x)iM (y)=[x, 1][y, 1]=[xy, 1]=iM (xy) adic i M este morfism de monoizi. Dac iM (x)=iM (y), atunci [x, 1]=[y, 1] x1=y1 x=y, adic iM este chiar morfism injectiv de monoizi .

S ar tm acum c dubletul (G(M), iM) verific proprietatea de universalitate din enun. Pentru aceasta fie G un grup comutativ

oarecare i f:MG un morfism de monoizi. Pentru [x, y]G(M),

115

definim f([x, y])=f(x)f(y)1. Observm c dac [x, y]=[x, y], atunci

xy=xy, deci f(x)f(y)=f(x)f(y) f(x)f(y)1=f(x)f(y)-1, adic f este corect definit.

S probm acum c f este morfism de grupuri. Avem f([x, y][x, y])=f([xx, yy])=f (xx)f(yy)-1=

=f(x)f(x)[f(y)f(y)]-1=(f(x)f(y)1)( f(x)f(y)-1)=f([x, y])f([x, y]). Pentru xM avem (fiM)(x)=f(iM (x))= f([x,1])=f(x)f(1)-1=f(x), de unde concluzia c fiM=f .

Pentru a proba unicitatea lui f (cu proprietatea din enun) s presupunem c mai exist un morfism de grupuri f:G(M)G a.. fiM=f. Atunci, pentru [x, y]G(M) avem [x,y]=[x,1][1,y]=[x,1][y,1]-1, de unde f([x, y])=f([x,1][y,1]1) = =f(iM (x)iM(y)-1)=f(iM (x))(f(iM (y))-1=f(x)(f(y))1=f([x, y]), adic f=f.

Observaia 6.2.

1. Dac f este un morfism injectiv de grupuri, atunci i f este morfism injectiv de grupuri .

ntr-adevr,dac [x,y]G(M) i f([x,y])=1,atunci

f(x)(f(y))1 =1, deci f(x)=f(y), de unde x=y, adic [x, y]=[x, x]=1.

2. Dac pemulimea dubletelor (G, f) cu Ggrup abelian i

f:MGmorfism injectivdemonoizidefinimrelaia

(G, f )(G, f)exist h:GG a.. h este morfism injectiv de grupuri

i hf=f , atunci se verific imediat c relaia de mai sus este o relaie de ordine iar dubletul (G(M), iM ) din Teorema lui Malev este cel mai mic element fa de aceast relaie de ordine.

Definiia 6.3. Consider`nd monoidul (, +) (ce areproprietatea de simplificare conform Propozi iei 1.9.) i urmnd tehnica dat de Teorema lui Malev, mulimea subiacent grupului

aditiv (G(), +) se noteaz prin i poart numele de mulimea numerelor ntregi iar grupul (, +) grupul aditiv al numerelor ntregi .

116

innd cont de faptul c i: , i(n)=[n, 0] pentru orice n este morfism injectiv de monoizi, vom identifica fiecare numr natural n prin elementul ntreg [n, 0], astfel c va fi privit n continuare ca submulime a lui .

Fie acum z=[m, n]. Dac m=n, atunci z=0. Dac mt sau t>k), adic f(k)f(t), deci f este funcie injectiv. n mod evident f este surjectiv, adic bijectiv.

Deoarece f(k+t)= x k t =xkxt = f(k)f(t) pentru orice k, t deducem c f este i morfism de grupuri adic izomorfism de grupuri i deci

G( , +).

Dac o(x)=n, atunci G={1, x, x2,, x n 1 } i atunci definim

f: (n ,+)(G,) prin f( k )= xk pentru orice 0 k n-1.

Dac xk = xt(cu 0k,tn-1) atunci presupunnd c k>t

deducem c n| k-t i

astfel k t , adic f este injectiv. In mod

evident f este i surjectiv, adic f este bijectiv.

ktk

t )=f( k t )= x

Deoarece f( k=x

t

x =f( k ) f( t ) pentru

ndeducem c f este i morfism de grupuri, adic

orice k, t

izomorfism de grupuri.

7. Teoremele de izomorfism pentru grupuri

Vom ncepe cu o teorem cunoscut sub numele de teorema fundamental de izomorfism pentru grupuri:

Teorema 7.1. Dac G, G sunt grupuri iar fHom(G, G), atunciG/Ker(f)Im(f).Demonstraie.DacnotmH=Ker(f)atunci

H={xG | f(x)=1}G iar G/Ker(f)={x Ker f | xG}={xH | xG}.

Definim :G/Ker(f)Im(f) prin (xH)=f(x) pentru orice xG. Dac x, yG, atunci din echivalenele xH=yH x-1yH

f(x-1y)=1 f(x)=f(y) deducem c este corect definit i

123

injectiv. Surjectivitatea lui fiind imediat deducem c este bijecie.

Cum ((xH)(yH)) = ((xy)H) = f(xy) = f(x)f(y) = (xH)(yH) pentru orice xH, yHG/H deducem c este imorfism de grupuri, adic este izomorfism de grupuri.

Corolar 7.2. Dac G, G sunt grupuri iar fHom(G, G) un morfism surjectiv de grupuri, atunci G/Ker(f)G.

Corolar 7.3. Fie G un grup, H, K subgrupuri ale lui G a.. K G. Atunci HK G, HK H iar HK / K H / HK.

n plus, dac i H G, atunci HK G (unde reamintim c HK=hk / hH i kK).

Demonstraie. Cum KG, xK=Kx pentru orice xG i prin urmare HK= U Kx = U xK =KH .

xHxH

Dac x, yHK, x=h1k1 i y=h2k2 cum h1, h2H i k1, k2K atunci scriind:xy-1=(h1k1)(h2k2)-1=(h1k1)(h2-1k2-1)=h1(k1k2-1)h1-1(h1h2-1) deducem c

xy-1KH=HK (cci din H, KG i K G deducem pe rnd c h1, h2-1K, h1(k1k2-1)h1-1K ]i h1h2-1H), adic[ HKG.

n mod evident KHK i s considerm :HHK/K, (x)=xK pentru orice xH (evident este corect definit deoarece pentru xH avem xHK i xKHK/K), care este morfism de grupuri.

Deoarece orice element din HK/K este de forma (xy)K=x(yK)=xK=(x) (cu xH i yK) deducem c este morfism surjectiv de grupuri.n plus, Ker =xH / (x)=1=xH / xK=K=xH /

xK=HK.

Conform Corolarului 7.2. deducem c H/Ker HK/K H/HKHK/K. Dac i HG, atunci pentru orice xG avem x(HK)=(xH)K=(Hx)K=H(xK)=H(Kx)=(HK)x, adic HKG.

124

S facem acum preparativele pentru a demonstra o alt teorem de izomorfism important din teoria grupurilor cunoscut sub numele de teorema de coresponden pentru grupuri.

Fie deci G un grup, HG iar pH:GG/H morfismul surjectiv canonic (pH(x)=xH pentru orice xG). Dac avem KG a.. HK (deci HK), atunci pH(K)=xH / xK=K/H i conform Propoziiei 5.4., K/HG/H, adic K/HL(G/H). S notm L(G;H)=KL(G)/HK i s definim :L(G;H)L(G/H), (K)=pH(K)=K/H pentru orice KL(G;H).

Suntem acum n msur s enunm i s demonstrm teorema de coresponden pentru grupuri:

Teorema 7.4. Fie G un grup, HG iar K, K1, K2L(G;H).

Atunci:(i) :L(G;H)L(G/H), (K)=pH(K)=K/H este izomorfism laticeal (ii) KG (K)=K/HG/H i n acest caz G/K (G/H)/(K/H).

Demonstraie. (i). S artm la nceput c este bijecie izoton. Dac SL(G/H), atunci pH-1(S)G i cum1S, H=Ker pH = =pH-1(1)pH-1(S), adic pH-1(S)L(G;H). Obinem astfel funcia :L(G/H)L(G;H), (S)=pH-1(S) pentru orice SL(G;H).

Vom demonstra c o=1L(G/H) i o=1L(G;H), de unde va rezulta c este bijectiv.

Fie deci SL(G/H). Atunci (o)(S)=((S))=pH(pH-1(S)) i s demonstrm c pH(pH-1(S))=S (de unde va rezulta c o=1L(G/H)).Incluziunea pH(pH-1(S))S este evident.Fie acum sS; cum pH este funcie surjectiv deducem c exist xG a.. s=pH(x), de unde rezult c xpH-1(S) i s=pH(x)pH(pH-1(S)), adic SpH(pH-1(S)), de unde egalitatea pH(pH-1(S))=S.

De asemenea, pentru KL(G;H), (o)(K)=((K))=pH-1(pH(K)) i s demonstrm c pH-1(pH(K))=K (de unde va rezulta egalitatea o=1L(G;H)). Incluziunea KpH-1(pH(K)) este evident. Pentru

125

cealalt incluziune fie xK. Atunci pH(x)pH(K) i gsim yK a.. pH(x)=p H(y).

Deducem c x-1yKer pH=HK i deci xKy=K (deoarece yK), de unde i incluziunea pH-1(pH(K))K, adic avem egalitatea pH-1(pH(K))=K. Dac K1 K2 atunci n mod evident (K1)(K2). Reciproc, dac (K1)(K2), atunci K1=((K1))=p H-1((K1)) pH-1((K 2))=((K2))=K2. Cum probarea faptului c este chiar morfism laticeal este imediat, rezult c este de fapt izomorfism de latici.

(ii). S presupunem c dac KL(G;H), atunci KG i s considerm :G/HG/K, (xH)=xK, pentru orice xG. Dac avem x,yG a.. xH=yH, atunci x-1yH i cum HK deducem c x-1yK, adic xK=yK i deci este corect definit ; n mod evident este morfism surjectiv de grupuri.

Avem xH=Ker(xH)=1 xK=K xK, deci Ker =K/H, de unde concluzia c K/HG/H.

Conform Corolarului 7.2. de la teorema fundamental de izomorfism pentru grupuri avem (G/H)/Ker G/K (G/H)/(K/H) G/K.Reciproc,dac K/HG/H,atunciputem considera

pHpK / Hiarcum K=Ker(pK/HopH)

G G/H (G/H)/(K/H)

deducem c KG.

Ca un corolar al teoremei de coresponden pentru grupuri putem s caracterizm subgrupurile grupului (n,+) pentru n2. Dup cum am vzut mai nainte n=/n. Conform teoremei de coresponden pentru grupuri orice subgrup al lui n va fi de forma K/n unde K(,+) a.. nK i n plus n/(K/n) /K.

Conform Teoremei 6.11., K=d cu d divizor natural al lui n. Prin urmare, orice subgrup H al lui n este de forma H=(d)/(n) unde d >0 i d|n iar n/H=/d=d. Pentru un astfel de grup H avem |n:H|=|d|=d iar conform teoremei lui Lagrange

126

, unde

|H|=|n|/|n:H|=n/d. n plus K este grup ciclic, anume K= d

=d+nn.

d

Pentru exemplificare s considerm n=12. Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12, deci subgrupurile lui 12 sunt:

1/12 = 12 =

0, 1,..., 11

2/12 =

0,2,4,6, 8, 10

3/12 =

0,3,6, 9

4/12 =

0,4,8

6/12 =

0,6 i

.

12 /12 = 0

8. Produse directe finite de grupuri. Teorema chinezeasc a resturilor. Numrul tipurilor de grupuri abeliene finite

Fie G1, G2, ,Gn (n2) grupuri(multiplicative)iar

G = G1 Gn= {(x1, ,xn) | xi Gi, 1 i n}.G,

Definind pentru x= (x1, , xn) , y= (y1, , yn)

xy = (x1y1, , xnyn), aa cum am artat n 1, G devine monoid n care 1=(1,,1).

Deoarece x1 ,..., x n x1-1 ,..., x n1 x1x1-1 ,..., x n x n1 =(1,,1)= =1= (x11 x1 , ... , x -n1 xn ) = x1-1 ,..., x n1 x1 ,..., x n deducem cx1-1 ,..., x n1 x1 , de unde concluzia c G devine grup.

Ca i n cazul monoizilor, pentru fiecare 1 i n, pi : G Gi , pi(x)=xi pentru orice x=(x1,,xn)G este morfism surjectiv de grupuri iar dubletul (G,(pi)1in) verific urmtoarea proprietate de universalitate:

127

Pentru oricare grup G i orice familie de morfisme de grupuri, (pi)1in cu pi : GGi pentru 1 i n, exist un unic morfism de grupuri u : GG a.. piou=pi pentru orice 1 i n.

Grupul G (mpreun cu morfismele, (pi)1in) poart numele de produsul direct al grupurilor G1, , Gn .

Propoziia 8.1 Dac G1,,Gn sunt grupuri, atunci

Z(G1 Gn)= Z(G1) Z(Gn) astfel c G1 Gn este grup comutativ dac i numai dac fiecare dintre grupurile G1 Gn este comutativ .

Demonstraie. Dac x,y G = G1 Gn, x = (x1, , xn) , y = (y1, , yn) atunci xy = yx (x1y1, , xnyn) = (y1x1, , ynx n) x1y1 = y1x1 , , xnyn = ynxn, de unde egalitatea

Z(G)=Z(G1) Z(Gn).

Propoziia 8.2. Fie G1, G2 dou grupuri.

Atunci G1{1}, {1}G2 G1G2.

Demonstraie. Fie x=(x1,x2)G1G2 i y=(x,1)G1{1}. Atunci x1 yx (x11 , x21 )(x,1)(x1 , x2 ) (x11 xx1 , x21 x2 ) (x11 xx1 ,1)

G1{1}, de unde concluzia c G1{1}G1G2. Analog se probeaz c {1} G2 G1 G2.

Teorema 8.3. Fie G un grup, H, K G a.. HK = {1} i HK=G. Atunci G H K.

Demonstraie. Reamintim c HK={hk | hH, kK}. S probm acum c pentru orice xG, elementele hH i kK pentru care x=hk sunt unice. ntr-adevr, dac mai avem h,k a.. hH, kK i x = hk

=hk, atunci h-1h=kk-1 HK = {1}, de unde h-1h = kk-1 = 1 h=h, k=k.

128

Fie acum hH, kK i x = h-1k-1hk. Cum KG deducem c h-1k-1hK, astfel c x = h-1k-1hk = (h-1k-1h)kK i cum analog se arat c

xH, deducem c xHK={1}, adic x=1 i astfel hk=kh.

Fie acum xG. Atunci exist hH, kK, unice a.. x=hk i

definim f:GHK, f(x)=(h,k). Dac mai avem x=hk cu hH, kK atunci xx=(hk)(hk) = h(kh)k = h(hk)k = (hh)(kk), de unde concluzia c f(xx)=(hh,kk)=(h,k)(hk)=f(x)f(x), adic f este morfism de grupuri. Cum n mod evident f este funcie bijectiv, deducem c f

este izomorfism de grupuri, adic GHK.

Teorema 8.4. Fie G1,G2 grupuri, G=G1 G2, H1G1, H2G2.Atunci H1H2 G iarG(H1 H2 ) G1H1 G2H 2.

Demonstraie.FiepH1: G G1H1ip: G2 G2H 2

1H 2

morfismele surjective canonice de grupuri iGG2,

f : G 1

f (x) pH1 (x), pH 2 (x) pentruH1 H 2

oricexG. Se aratimediat cf este

morfism surjectiv de grupuri, Ker f = H 1 H2, de unde innd cont de teorema fundamental de izomorfism pentru grupuri deducem c

H1 H2 G iar

G Ker( f ) Im( f ) G H1 H 2 G H1 G H 2 .

Corolar 8.5. Dac G=G1 G2, atunci G G1 1 G2 .

Teorema 8.6. Fie m, n, m, n2 i (m,n)=1.Atunci m n mn (ca grupuri aditive).m

Demonstraie.Fiem 1},

={ 0, 1,,

n={iar mn 0,,..., i f:mnm n ,

0, 1,..., n 1 }1mn 1

129

f x x, x pentru orice x{0,1, , mn-1}. Cum (m,n)=1 avem echivalenele x y mn | x y m | x y i n | x y x y i x y de unde concluzia c f este bine definit i injectiv.

Cum |m n|=|mn|=mn, deducem c f este o bijecie. Deoarece probarea faptului c f este i morfism de grupuri aditive este

imediat, deducem c f este izomorfism de grupuri.

Corolar 8.7. Dac m1,m2,,mn2 sunt numere naturale a..pentru ij, (mi,mj)=1, atunci Z m ... Z mn Z m m...m(ca grupuri

11 2n

aditive).

Observaia 8.8. Teorema 8.6. mai este cunoscut n literatura matematic i sub numele de teorema chinezeasc a resturilor.

Lema 8.9. Dac M i N sunt doi monoizi a.. M N, atunci U(M) U(N) (ca izomorfism de grupuri).

Demonstraie. Cum MN exist f:MN izomorfism de monoizi. Dac xU(M), atunci exist yM a.. xy=yx=1. Deducem c imediat c f(x)f(y)=f(y)f(x)=1, adic f(x)U(N), astfel c f :U(M)U(N), f =f |U(M) este corect definit. Dac x,yU(M), atunci xyU(M) i cum f (xy) = f(xy) = f(x)f(y) = f (x) f (y), deducem c f este morfism de grupuri. Datorit bijectivitii lui f deducem imediat i bijectivitatea lui f , de unde izomorfismul de grupuri U(M)U(N).

Lema 8.10. Dac m.n, m,n2 i (m,n)=1 atunci(m, ) (n, ) (mn, ) (izomorfism de monoizi).

Demonstraie. Ca i n demonstraia Teoremei 8.6. fie

m={ 0,1,..., m 1}, n 0, 1 , ... , n 1, mn 0,1,..., mn 1.

130

i f : mn m x n, f( x )=( x, x ) pentru orice x{0,1, , mn-1}. Dac

mai avem y{0,1, , mn-1}, atunci mn | x-y m | x-y in

xy

|x-y (cci (m, n) = 1) x y ix y , de unde deducemc

f : mnm n , f( x ) =x, x este corect definit i injectiv. n mod

evident, dindeducem c

xyxy

(x, x) (y, y) f(

f(xy) f(xy) (xy, xy)x)f(y)

n), adic f este morfism de monoizi. Cum

iar f( 1 ) (1,1) 1 (n m

|m n| = |mn| = mn deducem c f este surjecie, adic bijecie, deci izomorfism de monoizi.

Corolar 8.11. Dac m, n, m, n2 i (m, n)=1, atunci(mn)=(m)(n).

Demonstraie. Conform Lemei 8.10. avem izomorfismul demonoizi (m,) (n,) (mn,) .

Conform Lemei 8.9 avem izomorfism de grupuri U[(m,) (n,)] U(mn,). ns U[(m,) (n,)] =

=U(m,) U(n,), de unde U(m,) U(n,) U(mn,). Totul rezult acum din Observaia 6.15. deoarece

|U(m,) U(n,)| = |U(m,)| |U(n,)| = (m)(n) iar |U(mn,)| = =(mn).

Corolar 8.12. Dac m1, , mn 2 (n 2) iar pentru ij, (mi, mj)=1, atunci (m1m2 mn)=(m1)(m2) (mn).

Corolar 8.13. Dac n, n2 iar n p1k1 ... pkt t este descompunerea lui n n factori primi distinci, atunci

11

n n1p... 1p .

1t

131

Demonstraie. Deoarece pentru ij, piki , pkj j 1 , deducem (innd cont de Corolarul 8.11.) c:n p1k1 ...p ktt p1k1 ... pktt p1k1 - p1k11 ... pktt - pktt 1 kk1111.

p11... p tt

1p... 1p n1p... 1p

1t 1t

Dac n*, prin partiiea lui n nelegem un sistem ordonat de

numere naturale (m1, m2, , mk) a.. m1 m2 mkiar m1 + m2 +

+ + mk =n; vom nota prin kn numrul partiiilor lui n.

Iat, pentru n6 toate partiiile distincte ale lui n:

n=1 : (1) , deci k1 =1n=2 : (2), (1,1) , deci k2 =2n=3 : (3), (2,1), (1,1,1) , deci k3 =3n=4 : (4), (3,1), (2,2), (2,1,1), (1,1,1,1) , deci k4 =5

n=5 : (5), (4,1), (3,2), (3,1,1), (2,2,1), (2,1,1,1), (1,1,1,1,1) , deci k5 =7 n=6 : (6), (5,1), (4,2), (4,1,1), (3,3), (3,2,1), (3,1,1,1), (2,2,2), (2,2,1,1), (2,1,1,1,1), (1,1,1,1,1,1) , deci k6 =11.

Observaia 8.14. Din teorema de structur a grupurilor abeliene finit generate (vezi [22, p.99]) deducem c dac p este unnumr prim iar n* atunci exist kn tipuri de grupuri abeliene finite de ordin pn.Mai general, dac n p1n1 ... pntt este descompunerea lui n n

produse distincte de numere prime, atunci innd cont i de Corolarul 10.7 deducem c numrul tipurilor de grupuri abeliene de ordin n este egal cu k n1 ... k nt .

Astfel, exist k4 = 5 tipuri de grupuri abeliene de ordin p4 (cu pprim): p4 - corespunztor partiiei (4)

p3 p - corespunztor partiiei (3,1)

132

p2 p2 - corespunztor partiiei (2,2)pppp- corespunztor partiiei (1,1,1,1)iar dac p i q sunt numere prime distincte, atunci exist k3 k3=9 tipuri de grupuri abeliene de ordin p3q3: p3 q3 , p2 p q3 , ppp q3 , p3 q2 q,

p2p q2 q , ppp q2 q , p3 qqq,

p2pqqq, p ppqqq.

Observaia 8.15. 1. Cum 4=2 2 , conform Observaiei 8.14. exist exist dou tipuri de grupuri cu 4 elemente: 4 , 2 2 .

2. Considernd K = {1, a, b, c} cu elementele multiplicndu-se dup regula a 2 = b 2 = c 2 = 1, ab = ba = c, bc = cb = a i ca = ac = b, obinem un grup izomorf cu 2 2 numit grupul lui Klein.

9. Teorema lui Cauchy pentru grupuri finite. Grupul diedral Dn de grad n.

Structura grupurilor finite cu 2p elemente (p prim, p3)

n cadrul acestui paragraf, prin p vom desemna un numr prim (p2).

Teorema 9.1. (Cauchy) Dac G este un grup finit a.. p | |G| , atunci exist xG a.. o(x)=p (echivalent cu exist HG a.. | H | = p).

Demonstraie. Cazul 1: G comutativ. Vom face inducie matematic dup cardinalul grupurilor finite G cu proprietatea c p | |G|. Dac |G| = p , atunci G este ciclic i orice element xG, x1, are ordinul p. S presupunem afirmaia adevrat pentru orice grup comutativ G cu proprietatea c |G|1 i c afirmaia din enun este adevrat pentru orice grup G de ordin pm-1 i fie G un grup a.. | G | = p m . Conform Corolarului 9.4, Z(G)1 i fie zZ(G), z1. Cum o(z) | | G | ==pm, fie o(z)=pn cu n1 iar G1=< zpn 1 >. Cum zpn 1 1 i

deducem c o( z pn1 )=p i astfel | G1 |=p. Cum zZ(G)

deducem c G1Z(G) i atunci n mod evident G1 G. Alegnd

G=G/G1 , cum |G| = pm/p = pm-1 putem aplica ipoteza de inducie lui G, deci exist grupurile G0,G1,Gm-1 normale n G, a.. G0