Propoziie. n orice triunghi ortocentrul H , centrul de greutate G i centrul cercului circumscris triunghiului O sunt puncte coliniare i HG = 2 GO . ( Dreapta acestor trei puncte este numit dreapta lui Euler.) Demonstraie. Considerm triunghiul ABC (fig. 1).

Fig. 1 Prin omotetia de centru G i raport A, B, CM N A B

1 h , G ,1 , vrfurile truinghiului 2 2

se transform n mijloacele laturilor M , N , respectiv P . Cum ,N P B C

,

M N

A B

rezult c prin omotetia

h

1 G, 2

nlimile

triunghiului ABC se transform n mediatoarele triunghiului i prin urmare 1 h 1 (H ) = O . Aceasta nseamn c GH = GO , de unde rezult c punctele G,2

H , G, O

sunt coliniare i

H =2G G O

2

Propoziie. n orice triunghi mijloacele laturilor, picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul cu vrfurile triunghiului sunt situate pe acelai cerc. (Acest cerc este numit cercul celor 9 punct sau cercul lui Euler.) Demonstraie. Considerm triunghiul ABC i notm cu C (O, r ) cercul circumscris triunghiului.

Fig. 2 Fie M , N , P, D, E , F , I , J , K punctele din enunul propoziiei. Notm cu Q punctul diametral opus lui A i artm c Q este simetricul lui

H fa de M . Pentru aceasta observm c OM =

1 AH (din poziia lui G fa de 2

H Q i O ). Dac { M } = HQ OM atunci OM este linie mijlocie n triunghiul AH , adicOM = 1 AH ceea ce nseamn c 2

Fie

{ T } = A D

M coincide cu M i

HM = M Q

.

C (O, r ) . Artm c T este simetricul lui H fa de D .1 AT OM 2

Pentru aceasta fie O proiecia lui O pe AD . Atunci DT = O T O D = i HD = HO + OM = AO AH + OM = n concluzie, puncteleQ = sM ( H ),1 AT OM , adic DT = HD . 2

se gsesc pe cercul C (O, r ) .

T = sD ( H ), V = sE ( H ), U = sF ( H )hH, 1 2

R = s N ( H ),

S = s P ( H ),

Pe de alt parte folosindu-ne de omotetia

avem

M =h F =h

H, 1 2

1 2

(Q) ,

N =h

H,

H,

(V ) ,

1 2

( R) ,

P =h

H,

1 2

(S) ,

D =h

H,

1 2

(T ) ,

E =h

H,

1 2

(U ) ,

I =h

H,

1 2

( A) ,hH,

J =h

H,

1 2

( B) ,

K =h

H,

1 2

(C ) ,

ceea ce nseamn c punctele M , N , P, D, E , F , I , J , K sunt situate pe omoteticul cercului C (O, r ) prin omotetia segmentului HO i de raz1 2

, care este un cerc cu centrul n mijlocul

1 r. 2