Download - TERMOTEHNICA - Teorie
-
1. Ecuaia diferenial a conduciei termice
Se pune problema de a stabili o ecuaie general valabil pentru conducia termic ntr-un corp n care cmpul de temperaturi este tranzitoriu i n care se gsesc surse interne de cldur. Sursele interne de cldur sunt caracterizate prin densitatea volumic de flux, qv, n W/m
3, care
reprezint fluxul de cldur degajat n volumul unitar. Se admit urmtoarele ipoteze: - corpul este omogen i izotrop; - proprietile fizice sunt constante; - deformaia volumului cauzat de variaia de temperatur este neglijabil; - sursele interne de cldur sunt uniform distribuite. Se consider un element de volum, cu volumul dV=dxdydz, n care la momentul iniial cmpul de temperaturi are o anumit configuraie.
A A'
B B'dy
CC'
D'D
0
y
x
z
dz
dx
ydQ
y+dy
dQ
xdQ x+dxdQ
z+dzdQ
zdQ
Fig. 1. Conducia termic printr-un perete infinitezimal de volum n coordonate rectangulare
Bilanul termic aplicat elementului de volum ntr-un interval de timp dat este: Cldura acumulat de corp rezult prin nsumarea (conform regulii de semne) dat de cldura intrat n corp prin suprafeele exterioare, cldura generat sau absorbit prin sursele interioare de cldur i cldura cedat de corp prin suprafeele exterioare. Conform legii lui Fourier, cldurile elementare dQx,, dQy, dQz care intr n elementul de volum dup axele Ox, Oy i Oz prin
conducie n timpul d sunt:
dQ q dS d q dy dz dx x x x ( )
dQ q dS d q dx dz dy y y y ( ) (1)
dQ q dS d q dx dy dz z z z ( )
n acelai interval de timp prsesc elementul de volum prin conducie, cldurile: dQ q dS d q dy dz d
x dx x dx x dx x dx ( )
dQ q dS d q dx dz dy dy y dy y dy y dy
( ) (2)
dQ q dS d q dx dy dz dz z dz z dz z dz
( )
Funcia qx dx este continu pe intervalul dx. Prin dezvoltare n serie Taylor se obine:
...q qq
xdx
x dx x
x
(3)
-
Reinnd primii doi termeni i considernd similar i dup celelalte axe, relaiile (2)
devin:
dQ qq
xdx dy dz d
dQ qq
ydy dx dz d
dQ qq
zdz dx dy d
x dx x
x
y dy y
y
z dz z
z
(4)
Cldura acumulat n elementul de volum n timpul d va fi:
dQ dQ dQ dQ dQ dQ dQx x dx y y dy z z dz (5) Din relaiile (2.8) i (2.9) se obine:
dQq
x
q
y
q
zdV d
x y z
1
(6)
n intervalul de timp d n elementul de volum dV, sursele interne de cldur degaj cldura: dQ q dV dv2 (7)
Adunnd relaiile (2.10) i (2.11) se obine cldura total acumulat n elementul de volum:
dQ dQ dQq
x
q
y
q
zq dV d
x y z
v
1 2
(8)
Cldura total acumulat n elementul de volum se poate exprima i n funcie de cldura
specific c, n J/(kgK) i densitatea , n kg/m3 prin relaia:
dQ ct
d dV
(9)
Egalnd relaiile (6) i (8) se obine:
t
c
q
x
q
y
q
z
q
c
x y z v
1 ;
t
cdiv q
q
c
v
1
(11)
nlocuind fluxurile termice unitare cu relaiile:
qt
xq
t
yq
t
zx x y y z z
; ; ; (12)
rezult:
t
c x
t
x y
t
y z
t
z
q
cx y zv
1 (13)
sau
t
cdiv grad t qv
1 (14)
reprezentnd ecuaia difereniala a conduciei termice.
Dac conductivitatea termic se consider constant dup cele trei direcii din relaia
(2.17) rezulta:c
q
z
t
y
t
x
t
c
t v
2
2
2
2
2
2
(15)
Notnd raportul
ca , n m2/s, care reprezint difuzivitatea termic, relaia (15) se
poate scrie sub forma:
ta t
q
ca t
qv v
2 2
(16)
-
2. Conducia termic unidimensional n regim staionar. Perete plan Se consider un perete plan cu feele paralele, alctuit dintr-un material omogen de
grosime i conductivitate termic = const. (figura 2). Feele plane au temperaturile constante tp1 i tp2 i suprafaa de schimb de cldur S. Se
admite tp1 tp2 . Dimensiunile suprafeeei S fiind mult mai mari dect , rezult c suprafeele plane paralele cu feele peretelui sunt suprafee izoterme. Transferul de cldur se face n direcia
0 x
t q
x
d
t(x)
= const.( =0)
>0
-
n
i
i
npp ttq
1
1,1
(5)
n care tp1 i tp,n+1_sunt temperaturile cunoscute ale suprafeelor exterioare ale peretelui neomogen.__ Pentru a obine distribuia de temperaturi n perete t = t(x), unde x0 , se integreaz ecuaia (2) ntre limitele 0 i x, respectiv tp1 i t. Rezult:
ttxq p 1 (6) Egalnd q din relaiile (3) i (6) se obine n final ecuaia temperaturii n peretele plan:
xtt
ttpp
p
21
1 (7)
care evideniaz c ntr-un perete plan omogen ( = const.), temperatura variaz liniar cu distana (grosimea peretelui).
n cazul n care conductivitatea termic este dependent de temperatur , se poate admite pentru cele mai multe aplicaii practice o variaie liniar de tipul:
t 10 [W/mK] (8) nlocuind relaia (2.51) n relaia (2.44), fluxul termic unitar se exprim cu relaia:
dx
dttq 1 (9)
Separnd variabilele i integrnd ntre limitele: la x = 0, t = tp1 i la x = , t = tp2 rezult:
21210
21 pp
pptt
ttq
(10)
Profilul temperaturii n acest caz se obine integrnd ecuaia diferenial (2.52) ntre limitele: la x = 0,t = tp1, la x, t = t(x), rezultnd:
121
0
2
1
xqtxt p
(11)
Aceast expresie arat c distribuia temperaturii este parabolic, depinznd de semnul
coeficientului ca n figura 2. Transferul de cldur global la un perete plan. Se consider un perete plan omogen cu
fee paralele cu grosime constant i conductuvitate = const. Prin perete se transfer cldur de la un fluid cald cu temperatura tf1 la un fluid rece cu temperatura tf2 , coeficienii de schimb de
cldur prin convecie ntre fluide i suprafeele peretelui, 1 i 2 fiind constani.Transferul de cldur se face unidimensional, normal pe suprafaa peretelui. Se cere determinarea fluxului de cldur Q, a fluxului termic unitar q i a temperaturilor suprafeelor peretelui tp1 i tp2. n regim termic staionar, n absena surselor interioare de cldur, fluxul unitar care se transmite prin convecie de la fluidul cald la suprafaa peretelui este egal cu fluxul termic unitar transmis prin conducie prin perete i este egal cu fluxul unitar transmis prin convecie de la suprafaa peretelui la fluidul rece:
22221111 fppppf ttttttq
(12)
-
n care transferul de cldur prin convecie s-a exprimat cu ajutorul legii lui Newton. Explicitnd din relaia (12) diferenele de temperatur:
;1
;;1
2
2221
1
11
qttqttqtt fppppf (13)
prin nsumare, pentru eliminarea temperaturilor necunoscute, se obine:
;11
21
21
qtt ff (14)
Fluxul unitar de suprafa este:
;11
21
21
ff ttq (15)
Generaliznd, ecuaia fluxului termic unitar transmis printr-un perete plan neomogen,
alctuit din n straturi, cu grosimile i i conductivitile i , unde i= 1,2,,n, perete mrginit de dou fluide cu temperaturile tf1 i tf2 ,este:
;11
211
21
n
i i
i
ff ttq (16)
-
3. Conducia termic unidimensional n regim staionar. Perete cilindric Se consider un perete cilindric cu raza interioar r1 (diametrul d1), raza exterioar r2 (diametrul d2) i lungimea l mult mai mare dect razele, alctuit dintr-un material omogen cu
conductivitate termic = const. (figura 3). Mrimile care trebuie determinate sunt: fluxul de cldur Q, fluxul termic unitar q i distribuia temperaturilor n perete. Se consider legea lui Fourier pentru conducia unidimensional prin peretele cilindric:
dr
dtrl
dr
dtSQ 2 [W] (1)
unde suprafaa de schimb de cldur este S = 2rl. La suprafeele cilindrice, utilizarea fluxului unitar de suprafa are dezavantajul variaiei acestei mrimi cu diametrul suprafeei cilindrice. Din aceast cauz se prefer utilizarea fluxului unitar liniar ql, n W/m, definit de relaia:
lqQ l (2)
tp1
tp2
?=const.
d
d1
2
d l =
1m
r
r
r
2
1
d
l
r
Fig. 3. Transferul cldurii printr-un perete cilindric omogen
Din relaia (2.60), fluxul unitar liniar este:
dr
dtrq 2 (3)
Se separ variabilele:
r
drqdt l
2
(4)
i se integreaz ntre limitele (condiii la limit de tipul nti):
la ;, 11 pttrr
la .22 , pttrr
rezultnd:
1
2
1
221 ln
2ln
2 d
dq
r
rqtt llpp
(5)
Fluxul termic unitar este:
-
1
2
21
ln2
1
d
d
ttq
pp
l
[W/m] (6)
iar fluxul de cldur transmis prin ntregul perete cilindric:
lR
ttl
d
d
ttQ
condl
pppp
,
21
1
2
21
ln2
1
[W] (7)
unde, 1
2, ln
2
1
d
dR condl
, n (mK)/W reprezint rezistena termic la transfer de cldur
conductiv.
Ecuaia fluxului termic unitar transmis printr-un perete cilindric neomogen, alctuit din n
straturi, definite de diametrele di i conductivitile i , unde i= 1,2,,n, este:
n
i
i
i
npp
l
d
d
ttq
1
1
1,1
ln2
1
(8)
n care tp1 i tp,n+1_sunt temperaturile cunoscute ale suprafeelor exterioare ale peretelui neomogen.__ Pentru a obine distribuia de temperaturi n perete t = t(r), unde 21 rrr , se integreaz
ecuaia (4) ntre limitele r1 i r, respectiv tp1 i t. Rezult:
1
1 ln2 d
dqrtt lp
(9)
relaie care arat c distribuia temperaturii este de tip logaritmic.
Transferul de cldur global la un perete cilindric. Se consider un perete cilindric
omogen cu diametrele d1 i d2 i conductuvitate = const. Prin perete se transfer cldur de la un fluid cald cu temperatura tf1 la un fluid rece cu temperatura tf2 , coeficienii de schimb de
cldur prin convecie ntre fluide i suprafeele peretelui 1 i 2 fiind constani. Transferul de cldur se face unidimensional , n lungul razei. Se cere determinarea fluxului de cldur Q, a fluxului termic unitar liniar ql i a temperaturilor suprafeelor peretelui tp1 i tp2. n regim termic staionar, n absena surselor interioare de cldur, fluxul unitar care se transmite prin convecie de la fluidul cald la suprafaa peretelui este egal ca fluxul termic unitar transmis prin conducie prin perete i este egal cu fluxul unitar transmis prin convecie de la suprafaa peretelui la fluidul rece:
222
1
2
21
1111
ln
2fp
pp
pfl ttd
d
d
ttttdq
(10)
n care transferul de cldur prin convecie s-a exprimat cu ajutorul legii lui Newton. Explicitnd din relaia (10) diferenele de temperatur:
22
22
1
221
11
11 ;ln2
; d
qtt
d
dqtt
d
qtt lfp
lpp
lpf
(11)
prin nsumare algebric se obine:
-
221
2
11
21
1ln
2
11
dd
d
dqtt lff (12)
Fluxul unitar de suprafa este:
221
2
11
21
1ln
2
11
dd
d
d
ttq
ff
l
(13)
Generaliznd, ecuaia fluxului termic unitar liniar transmis printr-un perete cilindric
neomogen, alctuit din n straturi, cu diametrele di i conductivitile i , unde i= 1,2,,n, perete mrginit de dou fluide cu temperaturile tf1 i tf2 ,este:
221
1
11
21
1ln
2
11
dd
d
d
ttq
n
i i
i
ff
l
(14)
-
4. Determinarea grosimii izolaiei termice pentru o temperatura dat la suprafaa acesteia
Necesitatea asigurrii unei anumite temperaturi la suprafaa izolaiei termice, se impune spre exemplu din respectarea normelor de protecie a muncii.
Se consider o conduct izolat termic amplasat n mediul ambiant ca n figura 2.8. Se scrie egalitatea dintre fluxul transmis prin peretele conductei, prin stratul tremoizolant i prin stratul de protecie a izolaiei, deci pna la suprafaa exterioara a izolaiei termice i fluxul transmis prin convecie de la aceasta suprafaa la mediul ambiant. Considernd notaiile din figura rezult:
spe
e
iz
p
spe
iz
izi
e
cif
ef
d
tt
d
d
d
d
d
d
d
tt
1ln
2
1ln
2
1ln
2
11
0 (1)
Din cauza aportului neglijabil al termenilor 1, 2 i 4, care reprezint rezistene la transfer termic,
n suma de la numitor acetia se consider nuli. Se mai aproximeaz dsp diz i se urmrete s se obin n final o relaie de forma x ln x, cu x= diz/de.
Fig. 4. Transferul de cldur printr-un perete cilindric izolat termic
0
0
2ln
sau 1
ln2
1
ttd
tt
d
d
d
d
dd
ttd
d
d
tt
eee
efiz
e
iz
e
iz
iz
e
eee
e
iz
iz
pef
(2)
Valoarea pentru x = diz/de rezult din tabele din literatura de specialitate i n continuare
se poate determina diz , respectiv grosimea izolaiei iz.
-
5. Determinarea grosimii izolaiei la o scdere a temperaturii fluidului transportat prin conduct
La transportul fluidelor calde prin conducte se poate impune din considerente funcionale sau economice scderea temperaturii fluidului. n figura 2.9. se consider un tronson de conduct prin care circul un fluid cald amplasat n mediul ambiant. Se cunosc urmtoarele mrimi:
temperatura fluidului la nceputul i la sfritul tronsonului, tf1 i tf2 n oC;
temperatura mediului ambiant, to n oC;
lungimea tronsonului, l n m;
debitul de fluid, m n kg/s;
cldura specific a fluidului, cp n J/(kgK);
diametrele conductei, di i de n m;
conductivitile termice ale materialelor conductei, izolaiei i proteciei izolaiei, c, iz, p n W/(mK);
grosimea peretelui conductei i a stratului de protecie, c i p; coeficienii de transfer termic prin suprafaa, i ,e n W/(m
2K).
Fig. 5. Scderea temperaturii fluidului n lungul unei conducte izolate termic
Fluxul de cldur pierdut de fluid n mediul ambiant prin elementul de lungime dl este:
dQt t
Rdl
f o
l
1
[W] (1)
unde Rl reprezint rezistena total la transfer termic. Datorit transferului de cldur spre mediul ambiant, fluidul i micoreaz temperatura cu dtf pe poriunea dl, cednd fluxul de cldur:
dQ m c dtp f 2 [W] (2)
Fluxurile de cldur exprimate prin relaiile (2.88) (2.89) sunt egale:
21 QdQd (3)
fp
l
ofdtcmdl
R
tt
(4)
-
Separnd variabilele:
dt
t t
dl
R m c
f
f o l p
(5)
i integrnd ntre tf1 i tf2 i ntre 0 i l se obine:
ln
t t
t t
l
R m c
f o
f o l p
1
2
(6)
Explicitnd rezistena la transfer termic a termoizolaiei:
Rd
dliz iz
iz
e
1
2 ln (7)
rezult:
ln ln
d
d
l
m ct t
t t
R R R Riz
e
iz
p
f o
f o
li lc lp le
21
2
(8)
Ecuaia se rezolva prin ncercri sau aproximaii succesive, rezultnd n final grosimea
izolaiei iz. n cazul n care t t t tf o f o1 2 2 / , scderea de temperatur a fluidului este neglijabil. Notnd cu tm temperatura medie a fluidului, din egalitatea fluxurilor termice:
t t
Rl m c t t
fm o
l
p f f
,
1 2 (9)
rezult rezistena termic a termoizolaiei, respectiv grosimea izolaiei.
-
6. Determinarea grosimii critice a izolaiei termice la o conducta
Se consider o conduct izolat termic amplasat n mediul ambiant. Se scrie fluxul termic unitar neglijnd rezistena stratului protector al izolaiei:
ln ln
qt t
d
d
d
d
d d
t t
R R R R
t t
R
l
f o
i i c
e
i iz
iz
e e iz
f o
li lc liz le
f o
l
1 1
2
1
2
1
(1)
Grosimea izolaiei termice influeneaza valoarea fluxului termic unitar prin termenul al treilea i al patrulea de la numitor. Astfel, la creterea diametrului exterior al izolaiei, diz :
rezistena termica a izolaiei crete, deci crete valoarea termenului al treilea, Rliz , respectiv crete ql ;
rezistena termica a mediului scade, deci scade valoarea termenului al patrulea, Rle, respectiv scade ql ;
Pentru a se obine valoarea diametrului exterior al izolaiei, diz la care ql este maxim, se egaleaz cu zero derivata numitorului n raport cu diz:
0iz
l
dd
dR ; 0
11
2
1122
izeizizl ddR (2)
Rezult: d diz iz criz
e
2
(3)
Rezult c la creterea lui diz pn la valoarea diz cr, fluxul termic unitar crete, iar peste valoarea diz cr, scade. Aceast concluzie rezult i din reprezentarea grafic a variaiei rezistenelor termice Rliz i Rle, n funcie de diametrul izolaiei, figura 6.
Problema tratat trebuie considerat numai n cazul evilor cu diametru mic.
Rl
Rl iz
R leRliRlc
diz(d )iz crdiz =de
Rl t
Fig. 6. Determinarea grosimii critice a izolaiei termice la perete cilindric
Exemplu: Pentru e = 7 W/m2 K i iz = 0,04 W/mK, rezult diz cr = 0,011 m; n majoritatea
cazurilor evile cu diametru mic nu se termoizoleaza.
-
7. Nervuri longitudinale cu profil rectangular
Pentru intensificarea fenomenelor de transfer de cldur se mrete suprafaa de transfer prin nervurarea acesteia (exemple:compresoare, evi cu nervuri la construcia schimbtoarelor de cldur). n cazul transferului de cldur prin nervuri, se urmrete determinarea cmpului de temperaturi de-a lungul nervurii i a fluxului termic pe care poate s-l evacueze nervura. Se consider o nervur dintr-un material omogen i izotrop, fr surse interne de cldur, care face corp comun cu un perete. Temperatura bazei nervurii este t0= const. Nervura este n contact cu un fluid cu temperatura tf = const.
Fig. 7. Nervur longitudinal cu profil rectangular
Schimbul de cldur ntre nervur i fluid este caracterizat de coeficientul de convecie =const. Se consider temperatura nervurii mai mare dect cea a fluidului nconjurtor. Pentru un element de volum de grosime dx din nervur se poate scrie urmtorul bilan termic:
convdxxx dQQQ (1)
unde: xQ - este fluxul de cldur care traverseaz planul x;
dxxQ - este fluxul de cldur care traverseaz planul x+dx
convdQ - este fluxul de cldur transmis prin convecie fluidului.
Termenii bilanului au expresiile:
dxdx
dtt
dx
dS
dx
QdQQ
dx
dtSQ xdxxx
; (2)
fconv ttPdxQd (3) nlocuind relaiile (2) i (3) n relaia (1) se obine ecuaia diferenial:
012
2
fttS
P
dx
dt
dx
dS
Sdx
td
(4)
Dac se introduce schimbarea de variabil ftt , care reprezint excesul de
temparatur ntre perete i fluid i se noteaz raportul:
S
Pm
2 [m-2] (5)
forma general a ecuaiei difereniale devine:
01 2
2
2
mdx
d
dx
dS
Sdx
d (6)
-
Aceast ecuaie se particularizeaz pentru unele forme geometrice. Pentru nervura cu seciune transversal constant, ecuia diferenial se simplific n forma:
022
2
mdx
d (7)
Soluua general a ecuaiei este:
mxmx eCeC 21 (8)
Constantele C1 i C2 se determin prin impunerea condiiilor la limit. n continuare se trateaz cazul cnd fluxul termic transmis prin conducie prin muchea
nervurii este egal cu fluxul termic schimbat cu fluidul, prin convecie cu coeficientul . n acest caz nu se neglijeaz fluxul termic care strbate captul liber al barei. Se consider condiiile la limit i rezult:
la x = 0, t = to, =o, rezult: C1 +C2 = o; (9)
la x = l, dt
dxt te (10)
m C e C e C e C em l m l m l m l1 2 1 2
(11)
C em
e C em
em l m l m l m l1 2
(12)
Cm
e
me
me
o
m l
m l m l1
1
1 1
(13)
Cm
e
me
me
o
m l
m l m l2
1
1 1
(14)
t t t t
ch m l xm
sh m l x
ch m lm
sh m le o e
(15)
Fluxul termic care strbate o seciune curent la x de baza barei este:
Q m Ssh m l x
mch m l x
ch m lm
sh m lx
(16)
Cldura total cedat de bar (la x = 0) este:
Q m S t tth m l
m
mth m l
x o e
0
1
(17)
-
8. Nervuri radiale cu grosime constant
Se consider o eav cu nervuri circulare de grosime constant, figura 8, confecionate dintr-un material izotrop i omogen.
Bilanul termic se scrie sub forma: Q Q dQr r dr r , unde:
;
;
;
Q Sdt
dr
Q QdQ
drdr
Q Qd
drS
dt
drdr
dQ P t t dr
r
r dr rr
r r dr
r e
(1)
Fig. 8. Nervur radial cu grosime constant
Rezult:
S
d t
dr
dS
dr
dt
drdr P t t dre
2
2 (2)
sau d t
dr S
dS
dr
dt
dr
P
St te
2
2
1
(3)
Schimbnd variabila la = t-te , explicitnd P = 22r i S = 2r i utiliznd coeficientul
mP
S
2, rezult ecuaia diferenial de tip Bessel care caracterizeaz procesul de
transfer de cldur:
d
dr r
d
drm
2
2
21 0
(4)
-
9. Metoda diferenelor finite
Se consider un corp bidirecional mprit ntr-o reea cu paii de spaiu x dup axa x i
y dup axa y ca n figura 9.
Cu ct paii de spaiu x i y sunt mai mici cu att distribuia aproximativ a temperaturii n corp va fi mai aproape de cea real.
Fig. 9. Notaiile utilizate n analiza numeric a conduciei tranzitorii bidimensionale
prin metoda diferenelor finite
Ecuaia diferenial care descrie procesul de conducie termic n corp este:
a
t
x
t
y
t
2
2
2
2
(1)
Gradienii temperaturii se scriu:
t
x
t t
xm n
m n m n
1 2
1
/ ,
, ,
(2)
t
x
t t
xm n
m n m n
1 2
1
/ ,
, ,
(3)
t
y
t t
ym n
m n m n
, /
, ,
1 2
1
(4)
t
y
t t
ym n
m n m n
, /
, ,
1 2
1
(5)
2
2
1 2 1 2 1 1
2
2t
x
t
x
t
x
x
t t t
xm n
m n m n m n m n m n
,
/ , / , , , ,
(6)
-
2
2
1 2 1 2 1 1
2
2t
y
t
y
t
y
y
t t t
ym n
m n m n m n m n m n
,
, / , / , , ,
(7)
tt tm np
m n
p 1 1
, ,
(8)
Ecuaia (10.7.) devine:
at t t
x
t t t
y
t tm np
m n
p
m n
p
m n
p
m n
p
m n
p
m n
p
m n
p
1 12
1 1
2
12 2, , , , , , , ,
(9)
Dac paii de timp i de spaiu x i y sunt alei astfel nct x = y i x2/a = 4 se observ c temperatura nodului (m,n) dup un pas de timp rezult ca media aritmetic a temperaturilor celor patru noduri vecine la pasul de timp anterior.