47871789 termotehnica si masini termice p

Termotehnic i maini termice

I

PREFA Lucrarea de fa a fost conceput pe baza programei analitice a cursului de Termotehnic i maini termice al Facultii: Forajul sondelor i exploatarea zcmintelor, profilele: Petrol i Transportul depozitarea i distribuia hidrocarburilor. n prima parte, capitolele 13 sunt prezentate conceptele fundamentale i principiile termodinamicii. Sunt prezentate att elementele clasice precum i conceptele noi dezvoltate n ultimii ani cum sunt ecuaia puterilor, sursa de entropie, puterea disponibil pierdut i noiuni despre optimizarea entropic a proceselor. Avnd n vedere profilul acestei faculti, capitolul 4 prezint detaliat noiunile fundamentale legate de gazele reale i de amestecurile de gaze reale precum i metodele de determinare a parametrilor de stare ai gazelor reale i a amestecurilor de gaze reale. n finalul capitolului sunt prezentate metode de calcul pentru transformrile de stare ale gazelor reale. Capitolul 5 este dedicat prezentrii termodinamicii arderii, pe lng conceptele legate de procesul de ardere sunt prezentate elemente legate de formarea noxelor i metodele de control i diminuare a emisiilor poluante. Dinamica curgerii gazelor i vaporilor este prezentat n capitolul 6, iar capitolul 7 este dedicat transferului de cldur, n care sunt abordate i probleme specifice ce apar n domeniul exploatrii zcmintelor de petrol sau a transportului produselor petroliere. n capitolele 812 sunt prezentate principalele tipuri de maini termice, ciclurile, termodinamice pe baza crora funcioneaz i ecuaiile fundamentale ale acestora. Deoarece reprezentarea grafic a transformrilor de stare n diagramele pV i Ts este util pentru nelegerea fenomenelor i pentru c evoluiile sistemelor au la baz curbe greu de desenat am apelat la programe specializate, originale pentru realizarea diagramelor i a ciclurilor termodinamice din aceast lucrare. n fiecare capitol sunt prezentate cteva aplicaii ce au rolul de a preciza modul n care se pot utiliza relaiile teoretice din capitolul respectiv. Consider c n aceast lucrare studenii vor gsi un sprijin pentru nsuirea noiunilor legate de disciplina: Termotehnic i maini termice. Autorul

II

List de notaii

A seciunea [m2]; b funcia de disponibilitate [J/kg]; cp cldura specific izobar [J/kg/K]; cv cldura specific izocor [J/kg/K]; e energia specific [J/kg]; E Energie [J] ; F fora [N]; g acceleraia gravitaional 9,8 [m/s2] H entalpie [J] ; h entalpie specific [J/kg]; k exponent adiabatic; L lucrul mecanic [J]; l lucrul mecanic specific [J/kg]; M masa molecular [kg/kmol]; m masa [kg];

m - debitul masic [kg/s]; n exponent politropic; Q cldura [J]; q cldura unitii de mas [J/kg]; P putere [W] ; p presiune [Pa]; R constanta gazului [J/kg/K]; RM constanta universal a gazelor prefecte [J/kmol/K]; S entropie [J/K]; s entropia unitii de mas [J/kg/K]; T temperatura [K] ; t temperatura [C] ; U energia intern [J]; u energia intern a unitii de mas [J/kg]; V volum [m3]; v volumul specific [m3/kg]; x deplasarea [m]; Z factor de compresibilitate; cota [m];


III

- coeficient de dilatare izobar; - coeficient de convecie; - coeficient de compresibilitate izocor; - raport de compresie; - eficien frigorific sau caloric; - coeficient de compresibilitate izoterm; - randament; - timpul [s]; - coeficient de conductivitate termic [W/m/K]; - raportul de cretere a presiunii n arderea izocor; - raportul temperaturilor extreme la ITG; j - coeficientul Joule-Thomson; - densitate [kg/m3]; - raport de destindere prealabil;

Exponeni i indici

a admisie; e evacuare; c ciclu; f frigorific; m medie; p izobar; pomp de cldur; v izocor; T izoterm; t tehnic;

IV

Cuprins1 Concepte i definiii ... 1 1.1 Sistem termodinamic 1 1.2 Transformri de stare ... 3 1.3 Ecuaia de stare 4 1.4 Gazul perfect 7 1.4.1 Ecuaia de stare a gazului perfect .. 8 1.4.2 Amestecuri de gaze perfecte .. 11 1.5 Starea energetic a uni sistem termodinamic, echilibrul termodinamic 13 1.6 Postulatele termodinamicii ... 15 2 Primul principiu al termodinamicii, principiul conservrii 18 2.1 Principiul zero al termodinamicii . 18 2.2 Forme de interaciune energetic ntre sistem i mediul exterior . 18 2.2.1 Lucrul mecanic .. 19 2.2.2 Lucrul mecanic de dislocare .. 21 2.2.3 Lucrul mecanic tehnic 21 2.2.4 Alte forme de interaciune energetic echivalente lucrului mecanic . 23 2.2.5 Lucrul mecanic al unui ciclu termodinamic .. 25 2.2.6 Cldura ... 2 2.2.7 Caracteristici ale interaciunilor energetice ale sistemelor termodinamice cu mediul exterior . 26 2.3 Primul principiu al termodinamicii 27 2.3.1 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru o transformare de stare . 27 2.3.2 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise 31 2.3.2.1 Ecuaia puterilor . 31 2.3.2.2 Legea conservrii masei pentru un volum de control . 31 2.3.2.3 Ecuaia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise 33 2.4 Evaluarea energiei interne i a entalpiei . 36 2.5 Analiza energetic a transformrilor de stare . 38 2.5.1 Transformarea izocor . 39 2.5.2 Transformarea izobar . 41 2.5.3 Transformarea izoterm ... 42 2.5.4 Transformarea adiabat .. 44 2.5.5 Transformarea politrop .. 47 3 Principiul al doilea al termodinamicii, principiul evoluiei 3.1 Noiuni generale despre cicluri termodinamice . 3.2 Ciclul Carnot .. 3.3 Enunuri ale principiului al doilea al termodinamicii 3.3.1 Enunul lui Clausius 54 54 59 61 61


V

3.3.2 Enunul lui Kelvin-Planck . 61 3.4 Entropia 62 3.4.1 Variaia entropiei pentru transformrile de stare reversibile, ale gazelor perfecte . 63 3.4.2 Diagrame temperatur entropie . 64 3.4.3 Expresiile difereniale combinate ale celor dou principii ale termodinamicii .. 65 3.5 Variaia entropiei n transformrile ireversibile 66 3.5.1 Generarea de entropie n sistemele deschise .. 67 3.5.2 Teorema Gouy-Stodola .. 71 3.5.3 Puterea maxim disponibil n procesele de transport 73 3.5.4 Entropia generat n cazul curgerilor cu frecare . 74 4 Gaze reale 76 4.1 Poteniale termodinamice ... 76 4.1.1 Entalpia 76 4.1.2 Energia liber .. 77 4.1.3 Entalpia liber . 77 4.1.4 Relaiile lui Maxwell .. 77 4.2 Analiza comportrii gazelor reale .. 79 4.3 Condiiile de echilibru lichid-vapori .. 83 4.3.1 Ecuaia lui Clapeyron . 84 4.3.2 Ecuaia presiunii de saturaie . 85 4.3.3 Noiunea de fugacitate 86 4.3.3.1 Calculul fugacitii pentru faza vapori 88 4.3.3.2 Calculul fugacitii pentru faza lichid 89 4.4. Termeni de corecie pentru gazele reale 90 4.4.1 Calculul variaiei entalpiei . 91 4.4.2 Calculul variaiei entropiei . 92 4.5 Metode de calcul pentru parametrii de stare ai gazelor reale 94 4.5.1 Legea strilor corespondente .. 94 4.5.2 Corelaii n funcie de trei parametri. Factorul acentric . 96 4.5.3 Ecuaii de stare ... 100 4.5.3.1 Ecuaia cu viriali . 102 4.5.3.1.1 Corelaia lui Berthelot . 102 4.5.3.1.2 Corelaiile lui Pitzer 103 4.5.3.2 Ecuaia de stare Redlich Kwong 104 4.5.3.2.1 Determinarea parametrilor a i b pornind de la coordonatele critice . 105 4.5.3.2.2 Factorul de compresibilitate obinut cu ecuaia Redlich Kwong 106 4.5.3.2.3 Determinarea factorilor corectivi pe baza ecuaiei Redlich Kwong 107 4.5.3.2.3.1 Fugacitatea i abaterea entalpiei libere . 107 4.5.3.2.3.2 Abaterea entalpiei . 108 4.5.3.2.3.3 Abaterea entropiei 109 4.5.3.2.4 Determinarea echilibrului lichid-vapori cu ecuaia Redlich Kwong . 109 4.5.3.3 Ecuaia Benedict-Webb-Rubin . 111 4.5.3.4 Analiza comparativ a ecuaiilor de stare . 112

VI 4.6 Transformri de stare pentru gaze reale .. 116 4.6.1 Comprimarea gazelor reale 116 4.6.2 Destinderea gazelor reale .. 123 4.6.3 Laminarea gazelor reale 126 4.7 Amestecuri de gaze reale . 132 4.7.1 Noiuni generale 132 4.7.2 Analiza echilibrului lichid-vapori pentru un amestec de gaze reale . 134 4.7.2.1 Analiza echilibrului izoterm lichid-vapori pentru un amestec binar . 134 4.7.2.2 Analiza echilibrului izobar lichid-vapori pentru un amestec binar 137 4.7.2.3 Calculul echilibrului lichid-vapori pentru un amestec multicomponent 139 4.7.2.4 Calculul compoziiei amestecului n cazul vaporizrii pariale 142 4.7.2.5 Determinarea limitelor de ncadrare al amestecului . 142 4.7.3 Determinarea parametrilor termodinamici ai amestecurilor de gaze reale . 143 4.7.3.1 Determinarea volumului specific al amestecului de gaze reale . 143 4.7.3.2 Programe pentru amestecuri de gaze reale . 145 5 Termodinamica arderii . 147 5.1 Procesul de arderea .. 147 5.1.1 Arderea unei hidrocarburi de tipul C x H y ... 148 5.1.2 Analiza arderii unui combustibil definit prin compoziia elementar . 153 5.1.3 Determinarea excesului de aer prin analiza gazelor de ardere . 156 5.2 Analiza energetic a procesului de ardere 158 5.2.1 Entalpia de formare .. 159 5.2.2 Determinarea temperaturii de ardere 160 5.3 Analiza arderii n cazul procesului de combustie subteran ... 162 5.4 Controlul arderii i poluarea 165 5.4.1 Formarea i caracteristicile componentelor gazelor de ardere . 166 5.4.1.1 Monoxid de carbon (CO) 166 5.4.1.2 Hidrocarburi (HC) .. 167 5.4.1.3 Oxizi de azot (Nox) . 168 5.4.1.4 Bioxidul de carbon (CO2) .. 168 5.4.1.5 Oxigenul 168 5.4.1.6 Bioxid de sulf (SO2) .. 168 5.4.1.8 Fum / particule / negru de fum .. 168 5.4.2. Utilizarea catalizatorului pentru combaterea noxelor .. 169 5.4.3 Reducerea noxelor prin recircularea gazelor arse . 173 6 Termodinamica curgerii gazelor i vaporilor 175 6.1 Ecuaiile micrii staionare, monodimensionale, adiabate a gazelor .. 175 6.1.1 Proprietile strii frnate .................. 175 6.1.2 Viteza sunetului ntr-un gaz perfect .. 177 6.1.3 Caracterizarea ajutajelor funcie de criteriul Mach .. 179 6.1.4 Parametrii frnai i parametrii critici 181 6.2 Ajutajul convergent .. 182 6.3 Ajutajul divergent . 184 6.4 Ajutajul convergent-divergent (Laval) . 185 6.5 Undele de oc normale ce apar la curgerea gazelor perfecte prin ajutaje . 186


VII

7 Transferul de cldur 192 7.1 Mecanismele transferului de cldur 192 7.1.1 Conducia .. 192 7.1.2 Convecia .. 194 7.1.3 Radiaia . 195 7.2 Metode de analiz utilizate n transferul de cldur 196 7.3 Transferul de cldur prin conducie 199 7.3.1 Ecuaia lui Fourier, ecuaia difuziei cldurii .. 199 7.3.2 Conducia staionar prin perei plani paraleli ... 205 7.3.2.1 Analogia electric ... 207 7.3.2.2 Rezistena de contact . 210 7.3.3 Conducia staionar prin perei cilindrici . 214 7.3.4 Conducia staionar prin perei sferici . 219 7.3.5 Elemente de conducia nestaionar .. 220 7.3.5.1 Metoda capacitii punctiforme .. 220 7.3.5.2 Analiza metodei capacitii punctiforme 223 7.3.5.3 Soluii exacte pentru ecuaia difuziei cldurii n cazul unui corp solid, semiinfinit . 226 7.4 Convecia .. 229 7.4.1 Analiza procesului de convecie n stratul limit ... 230 7.4.2 Similitudinea n stratul limit, criterii de similitudine .. 233 7.4.3 Convecia forat n spaiu nelimitat . 235 7.4.4 Convecia liber n spaiu nelimitat .. 239 7.4.5 Convecia forat n cazul curgerii fluidelor prin interiorul evilor ... 242 7.4.5.1 Analiza stratului limit .. 242 7.4.5.2 Bilanul energetic al curgerii . 244 7.4.5.3 Soluii analitice pentru curgerea laminar, complet dezvoltat . 247 7.4.5.4 Ecuaii criteriale pentru determinarea coeficientului de convecie 249 7.5 Schimbtoare de cldur .. 253 7.5.1 Tipuri de schimbtoare de cldur 253 7.5.2 Coeficientul global de schimb de cldur . 255 7.5.3 Metoda temperaturii medii logaritmice .... 256 7.5.4 Determinarea temperaturii medii logaritmice n cazul schimbtoarelor cu mai multe treceri sau circulaie ncruciat .. 260 7.5.5 Metoda NTU . 262 8 Compresoare .. 271 8.1 Compresoare volumetrice . 271 8.1.1 Compresoare volumetrice cu piston .. 271 8.1.2 Compresoare cu piston cu mai multe trepte .. 276 8.1.3 Compresoare volumetrice, rotative cu lamele culisante 280 8.1.4 Compresoare volumetrice, cu rotoare profilate de tip Roots . 282 8.2 Compresoare dinamice . 284 8.2.1 Compresoare centrifugale .. 284 8.2.2 Compresoare axiale .. 289

VIII 9 Instalaii de for cu abur .. 292 9.1 Ciclul Rankine . 292 9.2 Procesul termogazodinamic din treapta de turbin .. 295 9.3 Influena presiunii i temperaturii asupra ciclului Rankine . 296 9.4 Ciclul cu supranclzirea intermediar a aburului 299 9.5 Cicluri regenerative .. 301 9.6 Cogenerarea .. 302 10 Turbina cu gaze .. 305 10.1 Ciclul Brayton 306 10.2 Ciclul turbinei cu gaze cu regenerare . 310 10.3 Instalaii ce funcioneaz pe baza ciclurilor combinate Brayton-Rankine .. 312 11 Motoare cu ardere intern 315 11.1 Ciclurile termodinamice ale motoarelor cu ardere intern ... 316 11.2 Supraalimentarea motoarelor . 322 11.3 Noiuni despre comanda electronic a motoarelor 325 11.3.1 Sistemul de injecie electronic monopunct 328 11.3.2 Sistemul de injecie electronic multipunct . 329 11.3.3 Sistemul electronic de injecie direct de benzin GDI (Gasoline Direct Injection) . 331 11.3.4 Comanda electronic a motoarelor diesel .. 332 12 Instalaii frigorifice . 337 12.1 Ciclul termodinamic al instalaiei frigorifice cu vapori, cu compresie mecanic .. 338 12.2 Ciclul termodinamic al instalaiei frigorifice cu gaze necondensabile 340


1

1. Concepte i definiii 1.1 Sistem termodinamic Dezvoltarea tiinelor a impus pentru analiza fenomenelor naturale sau a experimentelor introducerea unor concepte care s uureze nelegerea acestora. Un concept fundamental l constituie acela de sistem. Termenul provine din grecescul sistema care nseamn ansamblu, reuniune, punere mpreun a mai multor obiecte. Pentru noiunea utilizat n tehnica, putem defini sistemul ca un ansamblu de elemente interconectate dinamic, capabil de a se individualiza de mediul ambiant prin realizarea unei funcii sau a unui grup de funcii. Astfel, de exemplu, funcia unei conducte este de a permite transportul fluidelor sub aciunea unui gradient de presiune sau a cmpului gravitaional. Aceast funcie se realizeaz indiferent de materialul din care este alctuit conducta i de natura fluidului care curge prin ea. n plus, fa de un canal, la o conduct apare i funcia de containerizare a fluidului. Rezult deci, i o protecie a mediului ambiant n cazul fluidelor toxice, poluante chimic, termic sau radioactiv. Un sistem la care sunt analizate interaciunile energetice dintre prile componente i dintre sistem i mediu nconjurtor l numim sistem termodinamic. n figura 1.1 sunt prezentate dou exemple de sisteme termodinamice.

Fig. 1.1 Figura 1.1 a) reprezint un cilindru n care evolueaz un gaz. La partea inferioar cilindrul este nchis de un perete mobil denumit piston. Pentru uurina analizei se definete un volum de control, reprezentat punctat n figur, ce delimiteaz zona de interes de restul obiectelor. Tot ce rmne n afara volumului de control reprezint mediul exterior. Limita volumului de control, desenat printr-o linie punctat definete grania sistemului, ea poate avea un suport fizic (de exemplu un perete) sau poate fi fictiv. Pentru descrierea matematic a sistemului, grania reprezint locul unde se definesc condiiile la limit.

2

Concepte i definiii

Astfel, pentru cilindrul din figura 1.1 a) gazul nu poate iei sau intra in cilindru, deci grania sistemului (care n acest caz este reprezentat fizic de pereii cilindrului i capul pistonului) nu permite schimbul de substan cu mediul exterior; n acest caz sistemul se numete sistem nchis. Grania sistemului permite, ns, schimburile energetice cu mediul exterior, sub form de cldur i / sau lucru mecanic. n figura 1.1 b) volumul de control definete un sistem termodinamic format de o poriune dintr-o conduct. Observm c volumul de control are, n acest caz, i granie fictive, definite pe seciunea conductei. Prin aceste granie fictive circul un fluid, iar sistemul n care este permis schimbul de substan cu mediul exterior se numete sistem deschis. Dac grania sistemului nu permite schimbul de cldur cu mediul exterior, denumim sistemul ca un sistem adiabat. n figura 1.2 sunt prezentate sintetic categoriile de sisteme termodinamice funcie de schimburile de substan sau energie ce pot avea loc prin graniele sistemului.

TRANSFER DE MAS

NU

ST NCHIS

DA

ST DESCHIS

DA

DA

NU ST ADIABATIC

NU

TRANSFER DE LUCRU MECAHIC

TRANSFER DE CLDURA

Fig. 1.2 Problema fundamental a termodinamicii o constituie transformarea cldurii n lucru mecanic. Lucrul mecanic este o form de energie ce apare i exist att timp ct se produce o deplasare a unei mase. Pentru ca un sistem termodinamic s poat produce lucru mecanic, trebuie ca grania acestuia s se deformeze. n interiorul graniei sistemului termodinamic trebuie s existe un cop care s poat s se deformeze semnificativ odat cu grania sistemului, meninndu-i continuitatea. Acest lucru este posibil dac n interiorul sistemelor termodinamice evolueaz gaze sau vapori.


3

Principalele mrimi ce se pot msura n interiorul unui sistem termodinamic sunt presiunea, volumul i temperatura. Valoarea acestor mrimi la un moment dat definete starea sistemului termodinamic. Parametrii care definesc starea sistemului se numesc parametrii de stare, acetia fiind: a) presiunea: - se noteaz cu p ; - prin definiie, presiunea reprezint raportul dintre fora normal i suprafaa pe care se exercit: p = F / S (F - fora, S - suprafaa); - n Sistemul Internaional (SI) se msoar n pascali: Pa, 1Pa = 1N/m2; b) volumul: - se noteaz cu V, iar n Sistemul Internaional se msoar n m3; - se definete: volumul specific v = V / m , ( V - volumul, m - masa ); - unitatea de msur n SI este m3/kg; c) temperatura: - se noteaz cu T, unitatea de msur n SI este K (Kelvin), o alt unitate, tolerat si utilizat des la msurarea temperaturii, notat cu t, este gradul Celsius oC; legtura ntre cele dou scri de temperatur este: T = t + 273 ,15 ; (1oC = 273 K)

1.2 Transformri de stare Starea unui sistem, la un moment dat, este dat de totalitatea valorilor parametrilor de stare. Imaginea strii sistemului ntr-un spaiu tridimensional ce are ca axe presiunea, volumul i temperatura, este un punct. n figura 1.3 punctele 1 i 2 reprezint stri ale sistemului termodinamic. n timp, parametrii de stare ai sistemului termodinamic pot evolua; dac reprezentm grafic totalitatea strilor prin care trece sistemul, de la starea 1 la starea 2, obinem o curb. Procesul de evoluie a sistemului termodinamic de la starea 1 la starea 2 poart denumirea de transformare de stare. n termodinamic vom ntlni dou feluri de transformri termodinamice: - transformri reversibile - sunt transformri teoretice (ideale), n care sistemul termodinamic evolueaz de la starea 2 la stare 1 exact prin aceleai puncte (stri) prin care a evoluat de la 1 la 2. Ecuaia transformrilor reversibile nu depinde de direcia timpului. F ( ) = F ( ), un exemplu de astfel de ecuaie fiind ecuaia propagrii undelor n vid:

4

Concepte i definiii

2 2 2 1 2 + + =0 x 2 y 2 z 2 c 2 2

(1.1)

p 2

1 V TFig. 1.3

-

transformri ireversibile - sunt transformri reale n care evoluiile sistemului de la starea 1 la starea 2 i invers au loc pe curbe diferite. Ecuaiile ce descriu transformrile ireversibile depind de direcia timpului, adic F ( ) F ( ) , un exemplu de astfel de ecuaie fiind ecuaia conduciei: T div grad (T ) = c p

(1.2)

1.3 Ecuaia de stare Totalitatea evoluiilor posibile ale unui sistem termodinamic formeaz n spaiul p, V, T o suprafa. Ecuaia acestei suprafee este:

F( p ,V ,T ) = 0

(1.3)


5

Avnd n vedere c n interiorul sistemelor termodinamice evolueaz gaze sau vapori, substane ce nu prezint discontinuiti locale, proprietile acestora pot fi descrise prin funcii continue i derivabile. Aceast observaie ne permite s obinem cteva relaii utile pornind de la ecuaia de stare. Ecuaia (1.3) exprim o legtur ntre parametrii de stare. Putem explicita pe fiecare dintre ei funcie de ceilali doi, obinnd alte trei forme ale ecuaiei de stare:

p = p( V ,T )

(1.4) (1.5) (1.6)

V = V ( p ,T ) T = T ( p ,V )

Considernd c presiunea p este o funcie continu i derivabil n raport cu V i T, difereniem ecuaia (1.4), obinnd: p p dp = dV + dT T V V T

(1.7)

Indicele T sau V scris lng derivata parial arat c acel parametru este constant n timpul derivrii. Dac notm: p N = V T p M = V V

(1.8)

(1.9)

expresia diferenialei devine:

dp = NdV + MdTCondiia ca relaia (1.10) sa fie o diferenial total este ca:

(1.10)

N M = T Vsau

(1.11)

2p 2p = VT TV

(1.12)

Aceast condiie se realizeaz dac derivatele pariale ale lui p n raport cu V i respectiv T sunt continue i derivabile.

6

Concepte i definiii

Mrimea termodinamic caracterizat de funcia care ndeplinete condiia (1.11) este, din punct de vedere matematic, o diferenial total exact; ea se numete mrime de stare i se poate calcula n fiecare punct al suprafeei definite de ecuaia (1.3), deci n fiecare stare a sistemului. Variaia mrimii respective ntre dou stri se calculeaz printr-o integral curbilinie n lungul funciei ce reprezint transformarea de stare. Fiind o diferenial total exact, valoare integralei nu depinde de drum, adic este aceeai indiferent ce curb am alege pentru a efectua integrala; ea depinde numai de valorile din strile iniial i final. Rezult, din cele de mai sus, c variaia unei mrimi de stare nu depinde de felul transformrii termodinamice, ci numai de valorile iniiale i finale. Proprietile prezentate mai sus sunt valabile pentru oricare dintre funciile (1.4), (1.5) sau (1.6). Difereniind ecuaia (1.5) i substituind-o n (1.7) obinem:

V V dV = p dp + T dT p T p V dp = V T p p V dp + dT + dT T p T V T

(1.13)

(1.14)

p V p p V dp + dp = + dT V T p T V T T p T V

(1.15)

In expresia (1.15) dp si dT sunt difereniale, adic nite variaii mici arbitrare ale parametrilor de stare. Astfel: - dac dT = 0 rezult

p V =1 V T p T- dac dp = 0 rezult

(1.16)

p V p + =0 V T T p T V

(1.17)

sau

p V T = 1 V T T p p V

(1.18)

Derivatele pariale ale mrimilor de stare p, V i T au o interpretare fizic ce poate fi prezentat introducnd urmtorii coeficieni:


7

- coeficient de dilatare izobar:

=

1 V V = V0 V0 T p T p

(1.19)

- coeficient de compresibilitate izocor:

=

1 p p = p0 p0 T V T V

(1.20)

- coeficient de compresibilitate izoterma:

=

1 V V0 p

V p = V0 T T

(1.21)

Exprimnd derivatele pariale din ecuaiile (1.19), (1.20) i (1.21) i substituindule n ecuaia (1.18), rezult:

= p0 , i

(1.22)

poart denumirea de coeficieni termodinamici fizici. Acetia evideniaz proporionalitatea dintre variaia unei mrimi de stare fa de alta, n anumite condiii restrictive. De exemplu, dac un gaz avnd volumul V i temperatura T se nclzete izobar la temperatura T+T, volumul acestuia va deveni V+V i va putea fi calculat cu relaia:V = VT

(1.23)

1.4 Gazul perfect Gazele sau vaporii care evolueaz n interiorul sistemelor termodinamice poart denumirea de ageni termodinamici. n acest paragraf vom analiza gazul perfect ca agent termodinamic. Din punct de vedere istoric, n secolele 17 i 18 au fost stabilite, pe cale experimental, legile gazelor avnd o exprimare matematic simpl. Cercetri ulterioare au demonstrat c aceste legi nu exprim riguros comportarea gazelor reale, dar n anumite condiii, pentru o larg categorie de gaze, aceste legi pot exprima comportarea gazelor reale. Observaia de mai sus, precum i simplitatea expresiilor matematice ale legilor gazelor, au fcut ca acestea s se menin n cadrul termodinamicii sub forma legilor gazului perfect. Practic, s-a introdus un concept nou, gazul perfect, pe baza urmtoarelor ipoteze:

8

Concepte i definiii

moleculele gazului sunt perfect sferice i elastice; volumul propriu al moleculelor este neglijabil n raport cu volumul gazului; ntre molecule nu se exercit fore de interaciune; traiectoria moleculelor ntre dou ciocniri este o linie dreapt. S-a constatat c o parte dintre gazele din natur au un comportament ce poate fi descris de legile gazului perfect, dac se gsesc la presiuni relativ sczute i temperaturi mari. O categorie de gaze care pot fi aproximate n condiii mulumitoare de catre legile gazului perfect o constituie gazele de ardere sau aerul aflat la presiunea i temperatura mediului ambiant. 1.4.1 Ecuaia de stare a gazului perfect Experimental, s-au dedus legile ce descriu comportarea gazelor. Acestea s-au meninut sub denumirea de legile simple ale gazului perfect. Ele sunt: a) Legea Boyle-Mariotte, care exprim faptul c la temperatur constant volumul gazului variaz invers proporional cu temperatura.

p=

C1 V

T = C1 = constant ( C1- o constant)

(1.24)

b) Legea Gay-Lussac arat c la presiune constant volumul variaz proporional cu temperatura.V = C2T

p =C2 = constant (C2 - o constant)

(1.25)

c) Legea lui Charles exprim faptul c la volum constant presiunea variaz proporional cu temperatura.

p = C3T

V =C3 = constant (C3 - o constant)

(1.26)

d) Legea lui Avogadro arat c, n aceleai condiii de presiune i temperatur, volume egale de gaze diferite conin acelai numr de molecule. O consecin important o constituie independena numrului de molecule fa de natura gazului, astfel c n aceleai condiii de presiune i temperatur, un kilomol de gaz conine N = 6,0231026 molecule. Acest numr poart denumirea de numrul lui Avogadro. Deoarece un kilomol de gaz conine un numr bine determinat de molecule, rezult ca volumul molar n starea normal are aceeai valoare pentru toate gazele. Starea normala se definete prin urmtoarele valori ale parametrilor de stare: pN = 1,013105 Pa i TN = 273 K. n aceste condiii (VM)N, volumul molar la starea normal, este: (VM)N = 22,414 m3/kmol. Pentru a deduce ecuaia de stare a gazului perfect vom integra expresia diferenial (1.27). Derivatele pariale din aceast expresie le calculm n funcie de legile simple ale gazului perfect.


9

p p dp = dV + dT T V V T

(1.27)

Derivata parial a presiunii la volum n condiii izoterme o exprimm din relaia (1.24) scris sub alt forma, apoi derivat, rezultnd:

p=

C1 V

(1.28)

C p = 1 V2 V T

(1.29)

Constanta C1 o exprimm din relaia (1.26) i o introducem n (1.27):C1 = pV p p = V V T

(1.30) (1.31)

Derivata parial a presiunii la temperatur n condiii izocore o exprimm din relaia (1.26), prin derivare i determinarea constantei rezultnd: p = C3 T V

(1.32)

C3 =

p T

(1.33)

p p = T V T

(1.34)

nlocuind relaiile (1.31) i (1.34) n relaia (1.27), rezult:

dp =

p p dV + dT V T

(1.35)

Pentru a integra aceast ecuaie diferenial, procedm la separarea variabilelor prin mprirea expresiei cu variabila p, rezultnd succesiv:

dp dV dT + =0 p V T

(1.36)

10

Concepte i definiii

ln

pV = lnC ; C = constant; T pV =C T

(1.37)

(1.38)

Constanta C se poate determina cu ajutorul legii lui Avogadro. Introducnd parametrii p, V i T la starea normal obinem, pentru un kilomol, expresia:

p N (VM )N 1,013 10 5 22,414 = = 8314 [J/kmol/K] TN 273Se noteaz cu RM i se definete urmtoarea mrime:RM = 8314 [J/kmol/K]

(1.39)

(1.40)

Ea se numete constanta molar universal a gazelor perfecte. Notm cu n numrul de kilomoli, definit astfel:

n=

m M

(1.41)

m - masa gazului; M - masa molecular a gazului.nlocuind (1.39) i (1.40) n (1.38), obinem:

pV =Se noteaz cu R i se definete:

m RM T M

(1.42)

R=

RM M

(1.43)

Aceast constant se numete constanta gazului, iar ecuaia (1.42) devine:

pV = mRT

(1.44)

Ea se numete ecuaia de stare a gazului perfect sau ecuaia lui Clapeyron. n termodinamica tehnic se prefer aceast formulare pentru ecuaia de stare, deoarece masa m exprimndu-se n kilograme, face posibil ca puterea, furnizat sau consumat de sistemul termodinamic, s se exprime n wai. 1.4.2. Amestecuri de gaze perfecte


11

n practic, sunt situaii cnd n sistemele termodinamice evolueaz amestecuri de gaze. Vom analiza n acest paragraf legile amestecurilor de gaze perfecte. Dac toi componenii unui amestec sunt gaze perfecte, numim amestecul amestec de gaze perfecte. Ori de cte ori se lucreaz cu un amestec de gaze, este absolut necesar cunoaterea compoziiei acestuia. Astfel, pentru un amestec de gaze se pot defini trei tipuri de compoziii:

compoziia masic: gi = mi ; m

mi = m ;i =1

n

gi =1

n

i

= 1;

(1.45)

unde: gi reprezint fracia masic; mi - masa componentului i; m - masa amestecului; n - numrul de componeni.

compoziia molar yi = ni ; n

ni = n ;i =1

n

yi =1

n

i

= 1;

(1.46)

unde: yi reprezint fracie molar; ni - numrul de moli (kilomoli) ai componentului i; n - numrul de moli (kilomoli) ai amestecului; n - numrul de componeni.

compoziia volumic ri = Vi ; V

Vi =1

n

i

=V ;

r = 1;i =1 i

n

(1.47)

unde: ri reprezint fracia volumic a componentului i; Vi - volumul componentului i; V - volumul amestecului; n - numrul de componeni. Volumele componenilor, n aceleai condiii de presiune i temperatur cu amestecul, se mai numesc volume pariale. Prin definiie, masa molecular a unui gaz este dat de raportul dintre masa gazului i numrul de kilomoli. n aceste condiii, masa molecular pentru un component i se poate defini astfel:

12

Concepte i definiii

Mi =

mi [ kg / kmol ] ni

(1.48)

Trecerea de la o compoziie la alta se poate face prin relaiile:

gi =

min i =1 i

m N Mi =1 i

=

Ni M in i

=

yi M i

yMi =1 i

n

(1.49)i

mi N M yi = n i = n i = m Ni Mi i =1 i =1 i

gi Mi n g Mi i =1 i

(1.50)

Pentru a defini mrimile specifice amestecurilor de gaze, se consider un amestec format din trei componeni, desenai prin figuri geometrice distincte (figura 1.4):

componentul 1 componentul 2 componentul 3

a) Fig. 1.4

b)

n figura 1.4 a) sunt prezentai componenii separai prin intermediul unor perei despritori care mpiedic amestecarea, dar permit componenilor s aib aceeai presiune i aceeai temperatur. Dac se nltur pereii despritori, gazele se amestec, rezultnd situaia prezentat n figura 1.4 b). Se obine, practic, un amestec de gaze. Legtura dintre mrimile de stare ale componenilor i mrimile de stare ale amestecului poate fi stabilit prin intermediul legii lui Dalton sau a legii lui Amagat. Legea lui Dalton definete presiunea amestecului ca fiind suma presiunilor pariale ale componenilor. Presiunea parial a componentului i se noteaz cu pi i reprezint presiunea componentului considerat n aceleai condiii de temperatur i volum cu cele ale amestecului.

p = pii =1

n

(1.51)


13

Legea lui Amagat definete volumul amestecului ca fiind suma volumelor pariale ale componenilor. Prin volum parial al componentului i, notat cu Vi, se nelege volumul pe care l ocup acesta n aceleai condiii de presiune i temperatur cu cele ale amestecului. V = Vii =1 n

(1.52)

Dac se consider ecuaia de stare pentru gazele perfecte aplicat componentului i, considerat dup legea lui Amagat, i ecuaia de stare scris pentru ntreg amestecul, prin mprirea lor rezult o relaie ntre fraciile volumice i molare:

pVi = ni RM TpV = nRM T

(1.53) (1.54) (1.55)

Vi ni = ri = yi V n

Relaia (1.55) arat c cele trei compoziii care se pot defini pentru un amestec nu sunt independente, fraciile volumice fiind egale cu fraciile masice. Masa molecular aparent a unui amestec de gaze poate fi definit de una din relaiile:m M= = n

n Mi =1 i

n

i

n

= yi M i = ri M ii =1 i =1

n

n

(1.56)

sau

M=

m = n

m = mi M i

1 g Mi i

(1.57)

n funcie de aceast mrime, se poate defini constanta amestecului:

R=

RM [ J / kg / K ]; RM = 8314 [ J / kmol / K ]; M

(1.58)

1.5 Starea energetic a unui sistem termodinamic, echilibrul termodinamic Starea energetic a unui sistem termodinamic se refer la aspectul macroscopic i reprezint nivelul energetic de ansamblu corespunztor tuturor particulelor coninute.

14

Concepte i definiii

Intensitatea strii de agitaie molecular caracterizeaz starea energetic a sistemului i ca urmare, n timpul unei transformri termodinamice, aceast intensitate se modific. n natur sunt numeroase procese care decurg de la sine (procese naturale), de exemplu trecerea cldurii de la corpuri cu temperatur mai mare la corpuri cu temperatur mai sczut. Acest proces se desfoar pe o durat finit n timp, pn la stabilirea echilibrului, care n acest caz este reprezentat de egalitatea temperaturilor. Odat atins echilibrul, sistemul termodinamic izolat de mediul nconjurtor nu va mai putea iei din aceast stare. Starea de echilibru intern reprezint egalitatea, n toat masa sistemului, a valorilor tuturor parametrilor de stare ce caracterizeaz sistemul termodinamic. Admind c presiunea p i temperatura T sunt parametrii de stare de care depinde energia gazului perfect nchis n cilindrul unui motor, starea de echilibru implic egalitatea acestor valori n tot volumul cilindrului. Notm cu indicele prim parametrii de stare ai mediului exterior, de exemplu p, T, etc. Dac cel puin unul dintre parametrii de stare ai sistemului termodinamic are o valoare diferit de valoarea parametrului corespunztor mediului exterior, de exemplu p p' sau T T ' etc., atunci sistemul termodinamic este n dezechilibru extern. Starea de echilibru extern definete egalitatea nivelului mediu de energie corespunztoare sistemului termodinamic i a mediului extern. Condiia necesar i suficient ca un sistem termodinamic s fie ntr-o stare de echilibru extern este ca valorile parametrilor de stare ai sistemului termodinamic s fie egale cu valorile parametrilor de stare ai mediului nconjurtor. n capitolele ce urmeaz vom constata c pe lng presiune i temperatur vor mai apare i alte mrimi de stare, cum sunt energia intern, entalpia, entropia, etc. Condiiile de echilibru intern sau extern se refer la toate mrimile de stare. n termodinamica clasic se admite posibilitatea existenei dezechilibrului extern, dar pentru simplificarea lucrurilor (a modelului matematic ce descrie fenomenul) sistemul termodinamic se consider totdeauna in echilibru intern. Scoaterea unui sistem termodinamic din starea de echilibru extern se face prin schimb de lucru mecanic sau cldur cu mediul exterior, de exemplu pistonul unui motor comprim gazul din cilindru, n timpul arderii gazele se nclzesc de la cldura degajat de reacia de ardere, etc. Dezechilibrul intern al unui sistem termodinamic depinde de ct de repede se uniformizeaz starea energetic n masa acestuia. Timpul scurs de la producerea unui dezechilibru pn la uniformizarea strii energetice n masa sistemului se numete timp de relaxare. Acest timp are valori diferite funcie de proces i sistem. Astfel, uniformizarea presiunii n masa unui gaz se face ntr-un interval de timp de ~10-6s, dar egalizarea concentraiilor ntr-un aliaj metalic are loc n civa ani. Avnd n vedere c n interiorul sistemelor termodinamice evolueaz gaze sau vapori i c timpul de relaxare pentru aceste corpuri este sczut, ipoteza prin care sistemele termodinamice tehnice sunt considerate n permanen n echilibru intern este destul de aproape de realitate.


15

1.6 Postulatele termodinamicii Termodinamica are la baz dou postulate, care se refer la condiiile de stabilitate i meninere a echilibrului unui sistem. Primul postulat al termodinamicii: Un sistem termodinamic izolat ajunge totdeauna, dup ncetarea interaciunilor energetice cu exteriorul, n starea de echilibru termodinamic intern i nu poate iei de la sine din aceast stare. Atingerea strii de echilibru i meninerea sistemului n aceast stare exprim numai comportarea cea mai probabil. Teoria fluctuaiilor de la starea de echilibru arat c, datorit micrii continue a particulelor din care este format un sistem termodinamic, pentru intervale scurte de timp sunt posibile i stri de dezechilibru intern, dar aceste fluctuaii reprezint abateri spontane cu att mai puin probabile cu ct sistemul este compus din mai multe particule. De exemplu, considerm un volum delimitat arbitrar n dou jumti, jumtatea din stnga i jumtatea din dreapta, n care se gsete o singur molecul de gaz. Probabilitatea ca aceast molecul s se gseasc n jumtatea din dreapta este de 0.5. Dac ar fi dou molecule, probabilitatea ca ambele s se gseasc n jumtatea din dreapta ar fi de 0,25. Dac am avea un numr de molecule N, probabilitatea ca toate s se gseasc n jumtatea din dreapta ar fi 1/2N, pentru gaze la presiuni i temperaturi obinuite N > 1020, deci probabilitatea apariiei unei fluctuaii este foarte mic. Al doilea postulat al termodinamicii: Toi parametrii interni ai unui sistem termodinamic la echilibru sunt funcii de parametri externi i de energia sistemului. Postulatul acesta este o consecin a faptului c un sistem termodinamic exist fizic n timp i spaiu, n interaciune direct cu mediul exterior. Interaciunile energetice cu mediul exterior produc modificri n energia intern a sistemului. Aceasta este o mrime macroscopic, care nsumeaz energiile moleculelor ce alctuiesc sistemul. Mrimea termodinamic ce reflect energia moleculelor sistemului, dar caracterizeaz i energia acestuia, ca mrime macromolecular, este temperatura.Exemplul E 1.1 O cantitate de gaz perfect se afl n starea 1, caracterizat de p1 = 2 [bar], V1 = 0,5 [m3] i T1 = 1200K. Gazul parcurge o transformare izocor pn n starea 2, apoi o transformare izobar pn n starea 3, astfel nct T3 = T1. S se determine temperatura T2 i presiunea p2. Soluie: n figura 6.1 sunt prezentate strile gazului din problema 1. Izoterma punctului 1 fiind o hiperbol echilater, este simetric fa de prima bisectoare, iar acest lucru ne permite s scriem:

tg =

p1 p2 [ bar ] =1 V3 V2 [ m3 ]

Din transformarea izocor 1-2 exprimm presiunea p2, iar din izobara 2-3 exprimm volumul V3:

p1 p2 T = p2 = p1 2 T1 T2 T1

16

Concepte i definiii

V2 V3 T T = V3 = V2 3 = V1 1 T2 T3 T2 T2nlocuind aceste valori n expresia unghiului rezult:

T p1 1 2 T [ bar ] T V [ bar ] 0 ,5[ m 3 ] [ bar ] 1 =1 2 = 11 = 1 = 0 ,250 [ m3 ] T1 p1 [ m 3 ] 2 [ bar ] m3 1 1 V1 T2 T 1

Fig. 1.5Obinem urmtoarele valori:

T2 = 0 ,250 1200 = 300 [ K ] T p2 = p1 2 = 2 0 ,250 = 0 ,5[ bar ] T1


17

Exemplul E 2.2 ntr-un rezervor cu volumul de 10 m3 se gsete un amestec de gaze cu urmtoarea compoziie volumic: 0,7 metan (CH4), 0,2 etan (C2H6) i 0,1 propan (C3H8). Gazele sunt la presiunea p1 = 50 [bar] i temperatura t1 = 15 C. a) Prin expunerea la soare, temperatura gazelor din rezervor devine t2 = 65 C. S se determine presiunea gazelor n aceast stare. b) S se determine ce volum de gaze la starea normal trebuie extras din rezervorul cald pentru ca presiunea s rmn neschimbat. Soluie: a) n acest caz este vorba de o transformare izocor, prin nclzire volumul rezervorului se dilat puin n raport cu dilatarea gazelor, astfel nct aceast variaie poate fi neglijat. Aplicnd relaia transformrii izocore, obinem:

p1 p2 T 65 + 273 = p2 = p1 2 = 50 = 67 ,36 [bar] T1 T2 T1 15 + 273b) Punnd condiia ca presiunea n rezervorul cald s fie egal cu p1 din ecuaia de stare, determinm masa de gaz ce rmne n rezervor dup ce s-a extras excesul de gaze. Avnd n vedere c n rezervor este un amestec de gaze, determinm mai nti masa molecular a acestuia:

M = ri M i = 16 0 ,7 + 30 0 ,2 + 44 0 ,1 = 21,6 [kg/kmol]Constanta amestecului este

R=

8314 = 384 ,9 [J/kg/K] 21,6

p2V = m2 RT2 m2 =

p2V 50 10 510 = = 344 ,79 [kg] RT2 384 ,9 338

Masa de gaze aflat iniial n rezervor o determinm din ecuaia de stare aplicat n prima situaie:

p1V = m1 RT1 m1 =

p1V 50 10 510 = = 451,04 [kg] RT1 384 ,9 288

Volumul de gaze extras din rezervor este dat de diferena de mas mprit la densitate n starea normal. Aceasta se calculeaz din consecinele legii lui Avogadro, care arat c un kilomol dintr-o substan are, la starea normal, un volum de 22,414 [m3].

N =

M 21,6 = = 0 ,9636 [kg/Nm3] 22 ,414 22 ,414

V =

m1 m2

N

=

102 ,25 = 106 ,1 [Nm3] 0 ,9636

18

Primul principiu al termodinamicii

2. Primul principiu al termodinamicii Principiul conservrii 2.1 Principiul zero al termodinamicii Temperatura este o mrime de stare intensiv, cu caracter statistic, introdus n termodinamic ca o proprietate specific sistemelor macroscopice. Spre deosebire de ceilali parametri de stare (presiune, volum), temperatura nu prezint un etalon fizic n natur, fiind msura intensitii agitaiei termice a moleculelor, practic o expresie macroscopic a energiei medii a atomilor i moleculelor ce compun corpurile. La valori constante ale parametrilor externi, temperatura unui corp crete o dat cu energia cinetic a particulelor componente. Pornind de la ideea intuitiv de cald i rece, se poate constata dac un corp i menine echilibrul termic la contactul cu alte sisteme. Principiul zero al termodinamicii: ntr-un sistem izolat format dintr-un numr de corpuri n contact termic, condiia necesar i suficient de echilibru este egalitatea parametrului termic pentru toate corpurile considerate. Pentru o diferen dat de temperatur ntre dou corpuri cu mase diferite, aduse n contact, modificarea variabilelor de stare se face difereniat, n sensul c aceste modificri sunt mai mari pentru corpul cu mas mai mic i imperceptibile pentru corpul cu mas mai mare. Fenomenul se accentueaz pe msur ce raportul maselor celor dou sisteme crete, ajungndu-se la situaia n care, dei corpul cu mas mai mic schimb cldur, cellalt corp cu mas mai mare i menine temperatura neschimbat, jucnd rol de rezervor de cldur de capacitate infinit sau termostat. Corpul cu mas mai mic poate juca rol de termometru, prelund temperatura sistemului studiat fr ca, practic, acesta s-i modifice starea. Definirea cantitativ a temperaturii prin msurarea ei cu ajutorul unui termometru se realizeaz stabilind o relaie ntre temperatur i o proprietate fizico-chimic a corpului (dilataia, efectul termoelectric, transformarea de faz, etc). Aceast relaie, definit printr-o funcie de forma T=f(m), trebuie s ndeplineasc mai multe condiii, ntre care: s fie continu, monoton i univoc n raport cu mrimea fizico-chimic urmrit. Stabilirea unei scri termometrice este parial arbitrar. n prezent, cele mai folosite sunt: scara Celsius (cu unitatea C), scara Fahrenheit (cu unitatea F) i scara absolut de temperatur Kelvin (cu unitatea K). Relaia ntre aceste scri de temperatur este:

T (K ) = t oC + 273,15 =

( )

5 o t F + 459 ,67 9

[( )

]

(2.1)

2.2 Forme de interaciune energetic ntre sistem i mediul exterior Orice sistem termodinamic exist i evolueaz n strns legtur cu alte sisteme sau corpuri, denumite generic mediul nconjurtor. Starea energetic a sistemului termodinamic este influenat de mediul exterior pentru c n timpul evoluiei acestuia se produc schimburi energetice ntre sistem i mediu. n acest paragraf se vor analiza formele i metodele de calcul a interaciunilor energetice dintre sistem i mediu.


19

2.2.1 Lucrul mecanic Definiia din mecanic, a lucrului mecanic fcut de o fora F ce acioneaz asupra unui corp pe direcia deplasrii x ntre dou limite, notate cu 1 i 2, este:

L = Fdx1

2

(2.2)

n esen, lucrul mecanic reprezint o form de energie, deci unitatea de msur pentru lucru mecanic este, n Sistemul Internaional, Joule-ul, simbolizat J. Lucrul mecanic de 1J reprezint energia necesar deplasrii unei fore de 1N pe distana de 1m. L Lmotormotor

bateriegreutate

bateriegreutate

a Fig. 2.1

b

Lucrul mecanic este o form de energie care apare i se manifest la grania sistemului termodinamic, ca urmare a interaciunii acestuia cu mediul nconjurtor. Pentru a nelege mai bine acest lucru, s consideram urmtorul exemplu: n figura 2.1 este prezentat un sistem format dintr-o baterie i un motor electric. Lucrul mecanic fcut de sistem - conturat prin linia punctat - asupra mediului nconjurtor const n ridicarea unei greuti. Se observ c lucrul mecanic fcut de sistem strbate grania acestuia. Singurul efect - n acest caz - produs asupra mediului este ridicarea greutii. Deoarece, n general, fenomenele au o desfurare finit n timp, innd seama de durata procesului de ridicare a greutii putem concluziona c grania sistemului este strbtut de puterea necesar ridicrii greutii. Puterea, dup cum se cunoate, reprezint energie pe unitatea de timp. Dac modificm grania sistemului astfel ca ea s includ numai bateria, atunci tot ce rmne n afara graniei se consider mediu exterior, inclusiv motorul i greutatea. Se pune urmtoarea problem: cum interacioneaz sistemul cu mediul exterior din punct de vedere al lucrului mecanic. Practic - n acest caz - macroscopic, nu observm nici o micare ntre motor i baterie, cu toate c greutatea este ridicat de motor. Grania sistemului este strbtut de energia electric echivalent lucrului mecanic dezvoltat de motor. Energia electric echivalent, raportat la durata procesului, reprezint puterea furnizat de sistem, n acest caz, mediului exterior. Un sistem termodinamic este capabil s produc sau s preia lucrul mecanic, ca expresie a deplasrii unei fore, numai dac grania sistemului termodinamic este deformabil, iar n interiorul acestuia evolueaz un gaz.

20


Considerm un gaz ce evolueaz n interiorul unui cilindru prevzut la unul din capete cu un piston, lucru ce realizeaz, fizic, o grani deformabil, fig.2.2.

Fig. 2.2 Presupunem c evoluia gazului din interiorul cilindrului se face de la starea 1 pn la starea 2. Pentru o deplasare elementar dx a pistonului, corespunde o variaie elementar de volum dV=Adx, unde prin A s-a notat suprafaa pistonului. Lucrul mecanic elementar fcut de gaz este:

L = Fdx = pAdx = pdVPentru ntreaga evoluie de la 1 la 2 a sistemului, lucrul mecanic este:

( 2.3)

L12 = pdV1

2

(2.4)

S-a folosit notaia L in loc de dL deoarece lucrul mecanic nu este o mrime de stare, ci este o mrime de proces (de parcurs). Att timp ct sistemul considerat


21

(cilindrul cu gaz) nu i modific starea, spre exemplu rmne n starea 1, nu exist lucru mecanic. Acesta apare numai n momentul n care sistemul ncepe s evolueze ctre starea 2. Valoarea lucrului mecanic efectuat de sistem n evoluia sa de la 1 la 2 depinde de tipul acesteia, de restriciile n care se desfoar procesul, fapt care ne conduce la concluzia c integrala lucrului mecanic depinde de drum, deci difereniala acestuia nu este o diferenial total exact. Remarcm i n acest caz c lucrul mecanic apare i se manifest la grania sistemului (pistonul face parte din grania sistemului), strbtnd-o de la interior spre mediul nconjurtor sau invers. Dac interpretm matematic formula (2.4) de definiie a lucrului mecanic, valoarea L12 este numeric egal cu aria de sub curba 1-2 i axa volumului, adic aria 12211 (figura 2.2). 2.2.2 Lucrul mecanic de dislocare O alt form de lucru mecanic ce apare n sistemele tehnice este reprezentat de lucrul mecanic necesar deplasrii agentului termodinamic pe conductele instalaiilor sau mainilor. n figura 2.3 este prezentat o conduct pe care se deplaseaz un volum V de fluid de la poziia 1 pn la poziia 2, la presiune constant. Lucru mecanic consumat pentru aceast deplasare este:

L = pAx = pV

(2.5)

Prin A s-a notat seciunea conductei. Lucrul mecanic de dislocare (sau de deplasare) reprezint interaciunea energetic a sistemului termodinamic cu mediul, datorat transferului de mas ntre sistem i mediu. V V

x 1 Fig. 2.3 Ipoteza n care s-a dedus aceast formul, prin care am presupus c presiunea este constant, este o ipotez valabil n cazul conductelor de admisie sau de evacuare a agentului termodinamic din sistem, deoarece aceste conducte au lungime mic. 2.2.3 Lucrul mecanic tehnic 2

Lucrul mecanic tehnic, numit i lucrul mecanic util sau total, reprezint lucrul mecanic total schimbat de un sistem termodinamic cu mediul exterior. Acesta se noteaz de regul cu indicele t. n figura 2.4 este prezentat schematic o turbin. Aceasta este o main n care fluidul de lucru - a crui energie pe unitatea de mas este mare (presiune, temperatur ridicate) - ptrunde printr-o conduct de admisie n main,

22


apoi se destinde acionnd asupra paletelor rotorului, cednd o parte din energie, iar n final este evacuat din main. Trecerea fluidului prin main face ca turbina s produc un lucru mecanic util, care poate fi cules la arborele mainii. Utiliznd notaiile din figura 2.4 putem scrie:

Lt 12 = p1V1 + L12 p2V2p1V1

(2.6)

Lt12

L12

p2V2 Fig. 2.4 Semnificaia termenilor este urmtoarea: - Lt12 reprezint lucrul mecanic tehnic fcut de sistemul termodinamic prin trecerea agentului termodinamic de la starea 1 la starea 2; - p1V1 reprezint lucrul mecanic de dislocare datorat admisiei agentului termodinamic n sistem; el este pozitiv, deoarece este adus n sistem o dat cu procesul de admisie; - L12 reprezint lucrul mecanic al variaiei de volum (formula 2.4) efectuat de agentul termodinamic n sistem datorit variaiei volumului specific ntre strile 1 i 2; - p2V2 reprezint lucru mecanic consumat pentru evacuarea agentului termodinamic din sistem; el este negativ, deoarece consum o parte din energia sistemului. innd cont de formula (2.6), putem scrie:

Lt 12 = p1V1 + pdV p2V2 = pdV ( p2V2 p1V1 ) = pdV d ( pV )1 1 1 1

2

2

2

2

(2.7)

Lt 12 = [ pdV d ( pV )] = [ pdV pdV Vdp ]1 1

2

2

(2.8)


23

Lt 12 = Vdp1

2

(2.9)

Interpretarea matematic a formulei (2.9) ne arat c lucrul mecanic tehnic este ca valoare - numeric egal cu aria de sub curba transformrii 1-2 i axa presiunilor, adic aria 12211, figura 2.5.

Fig. 2.5

2.2.4 Alte forme de interaciune energetic echivalente lucrului mecanic Sistemele termodinamice ntlnite n tehnic la ora actual au o structur complex i pot interaciona cu mediul exterior prin diverse forme de energie: - Interaciunea datorat tensiunii superficiale - poate apare atunci cnd grania sistemului este format de suprafaa uni lichid. Energia schimbat de sistem cu mediul este dat de formula:

24


L12 = da1

2

(2.10)

- tensiunea superficial; da - modificarea elementar a ariei;

-

Energie datorat deformrii elastice - apare atunci cnd grania sistemului este metalic i sufer deformri elastice. Pentru deformarea pe o singur direcie, putem scrie urmtoarea formul:

L12 = dx1

2

(2.11)

-

- efortul unitar; dx deplasarea elementar; Energia cmpului magnetic - poate apare atunci cnd fluidul sau pri ale sistemului au proprieti magnetice:

L12 = 0 Hd (V )1

2

(2.12)

0 - permeabilitatea vidului; V volumul; H intensitatea cmpului magnetic; - magnetizarea; Energia cmpului electric - poate apare atunci cnd agentul termodinamic sau pri ale sistemului sunt bune conductoare de curent:

L12 = Eds1

2

(2.13)

E reprezint intensitatea cmpului electric; ds arcul elementar; Se remarc similaritatea formulelor, n fiecare dintre ele energia elementar fiind dat de produsul dintre o mrime intensiv i variaia elementar a unei mrimi extensive. Aceste forme de energie apar i se manifest atunci cnd se produc modificri ale granielor sistemului termodinamic i desigur, exist condiii locale pentru manifestarea acestor forme de energie. Toate aceste forme de energie trebuiesc luate n considerare, dac este cazul, la analiza sistemelor termodinamice. Ele constituie generalizarea noiunii de lucru i pentru alte forme de energie. Astfel, deformarea granielor sistemului este nsoit ntotdeauna de apariia unui schimb de energie sub form de lucru mecanic, lucru mecanic al tensiunii superficiale, lucru mecanic de deformare elastic, lucru magnetic, lucru electric, etc. Variaia elementar de lucru poate fi exprimat de o formul care cuprinde toate aceste forme de energie: dL = pdV dA dx 0 Hd ( V ) Eds(2.14)


25

2.2.5 Lucrul mecanic al unui ciclu termodinamic Dac un sistem termodinamic funcioneaz pe baza unui ciclu termodinamic, el poate produce un lucru mecanic util sau poate consuma lucru mecanic. Fie ciclul termodinamic din figura 2.6, ne propunem s determinm modul de calcul al lucrului mecanic asociat acestui ciclu. Transformrile termodinamice reprezentate de arcul 1A2 produc un lucru mecanic egal cu aria cuprins ntre curb i axa volumelor:

L12 = pdV = A1M 2V2V11

2

(2.15)

Lucrul mecanic produs de transformrile reprezentate de arcul de curb 2N1 este, n mod asemntor, egal cu aria cuprins de curb i axa volumelor, dar - avnd n vedere sensul de parcurgere al curbei - el va fi negativ.

L21 = pdV = A2V2V1 1 N 22

1

(2.16)

Fig. 2.6

26


Lucrul mecanic al ciclului este suma lucrurilor mecanice ale transformrilor care compun ciclul. nsumnd lucrurile mecanice i avnd n vedere semnul rezultat din sensul de parcurgere a ciclului, acesta este:

Lc = L12 + L21 = A1M 2 N 1Lucrul mecanic al ciclului este numeric egal cu aria ciclului. 2.2.6 Cldura

(2.17)

Cldura este forma de energie care apare i se manifest la grania sistemului i se datoreaz diferenei de temperatur ntre sistem i mediu. Ori de cte ori exist o diferen de temperatur ntre sistem i mediu, apare aceast form de energie. Ea trece de la zona cu temperatura mai ridicat ctre zona cu temperatur sczut. Condiia de existen a cldurii este existena unei diferene finite de temperatur. Despre un corp aflat la o anumit temperatur nu putem spune c are cldur. Ca mrime, cldura se noteaz cu Q i este proporional cu diferena de temperatur. Pentru un corp solid sau lichid, cldura poate fi exprimat astfel:

Q = mcT

(2.18)

n care m este masa corpului; c cldura specific; T - diferena de temperatur.

2.2.7 Caracteristici ale interaciunilor energetice ale sistemelor termodinamice cu mediul exterior Exist multe similariti ntre cldur i lucru mecanic; n continuare sunt precizate cele mai importante proprieti. Pentru uurina exprimrii, vom utiliza denumirea de lucru mecanic, dar proprietile ce vor fi enunate sunt valabile pentru orice form de energie inclus n categoria de lucru generalizat: 1. Cldura i lucru mecanic sunt fenomene tranzitorii. Sistemul termodinamic nu posed lucru mecanic sau cldur. Acestea apar i se manifest numai pe durata modificrii strii sistemului termodinamic, deci n transformrile de stare. 2. Cldura i lucru mecanic sunt fenomene de grani. Amndou sunt observate numai la graniele sistemului termodinamic, iar atunci cnd apar strbat graniele sistemului. 3. Cldura i lucrul mecanic, din punct de vedere matematic, nu sunt difereniale totale exacte. Valoarea lor n timpul unui proces de durat finit depinde de modul cum evolueaz sistemul, deci de transformrile de stare ale acestuia.


27

2.3 Primul principiu al termodinamicii Primul principiu al termodinamicii exprim legea general de conservare i transformare a energiei pentru sisteme termodinamice. Funcie de autor i de perioada cnd a fost enunat, se cunosc mai multe formulri ale acestui principiu, bazate pe anumite fenomene specifice, de importan restrns. a) Energia unui sistem termodinamic izolat se menine constant, oricare ar fi procesele care se desfoar n interiorul acestuia. b) Nu se poate realiza o main termic cu funcionare continu, care s produc lucru mecanic fr a consuma o cantitate echivalent din alt form de energie. c) Un perpetuum mobile de spea I este imposibil. Perpetuum mobile de spea I este o main care ar produce n permanen lucru mecanic, fr a consuma o alt form de energie. S-a constatat c, pentru a produce lucru mecanic prin transformarea altor forme de energie pe o perioad nedefinit, un sistem termodinamic trebuie s funcioneze pe baza unui ciclu termodinamic. Enunul primului principiu al termodinamicii este urmtorul: Pentru oricare ciclu termodinamic produs de sistem, suma cldurilor schimbate de sistemul termodinamic cu mediul exterior de-a lungul ciclului termodinamic este egal cu suma lucrurilor mecanice schimbate de sistem cu mediul exterior. Exprimarea matematica a primului principiu este:

Q = L

(2.19)

Aceasta arat ca integrala curbilinie a cldurii schimbate de sistem cu mediul exterior, luat pentru ntreg ciclul, este egal cu integrala curbilinie a lucrului mecanic. Pentru simbolul de difereniere d s-a preferat notaia pentru a evidenia faptul c mrimile respective nu sunt difereniale totale exacte. Stabilirea enunurilor acestui principiu natural a avut la baz rezultatele unei mulimi de experiene realizate n decursul timpului, care au condus la verificri directe sau indirecte a acestei legi. 2.3.1 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru o transformare de stare

Considerm c sistemul termodinamic evolueaz de la starea 1 la starea 2, conform reprezentrii din figura 2.7. ntre cele dou stri se aleg arbitrar urmtoarele transformri, ca evoluii posibile ale sistemului: 1A2, 2B1 i 1C2. Considerm c sistemul parcurge ciclul format de transformrile 1A2 i 2B1. Aplicm formula primului principiu al termodinamicii (2.19) pentru acest ciclu, astfel putem scrie:

28


Q + QA 1 1

2

2

B

= LA + LB1 1

2

2

(2.20)

Procedm n mod similar i pentru evoluia posibil a sistemului pe ciclul format din transformrile 1C2 i 2B1, obinnd:

Q + QC 1 1

2

2

B

= LC + LB1 1

2

2

(2.21)

Fig. 2.7 Scznd cele dou relaii i grupnd termenii, rezult:

Q QA 1 1

2

2

C

= LA LC1 12

2

2

(2.22)

(Q L )1

2

A

= (Q L )1

(2.23)

C


29

innd seama c transformrile 1A2 i 1C2 sunt transformri alese arbitrar, putem trage concluzia c integrala expresiei difereniale (Q-L) nu depinde de drumul dintre cele stri 1 i 2, ci numai de strile iniial i final. Aceste observaii ne conduc la concluzia c expresia (Q-L) este, din punct de vedere matematic, o diferenial total exact. Faptul c, pentru o transformare, ea depinde numai de strile iniiale i finale, nseamn c aceast expresie este o mrime de stare. Notm cu E mrimea respectiv; ea se numete energia sistemului termodinamic

dE = Q Lsau

(2.24)

Q = dE LForma integral a expresiei (2.25) ntre strile 1 i 2 este:Q12 = E2 E1 + L12

(2.25)

(2.26)

S-au folosit urmtoarele notaii: - Q12 reprezint cldura schimbat de sistemul termodinamic cu mediul exterior n procesul 1-2; - L12 reprezint lucrul mecanic schimbat de sistemul termodinamic cu mediul exterior n procesul 1-2; - E2-E1 reprezint variaia energiei sistemului n cursul procesului. Semnificaia fizic a mrimii E const n faptul c ea reprezint suma tuturor formelor de energie ale sistemului termodinamic pentru o stare dat. n studiul termodinamicii este util s separm energiile macroscopice legate de deplasarea masei sistemului i poziia acesteia n energie cinetic Ec i potenial Ep, iar toate celelalte forme de energie care reprezint suma energiilor microscopice ale moleculelor sistemului s le notm cu U, mrime pe care o denumim energie intern. Aceast form de energie reprezint suma energiilor de translaie, vibraie, potenial, chimic, ale atomilor i moleculelor ce constituie masa sistemului termodinamic. Expresia diferenial a energiei sistemului este:

dE = dU + mwdw + mgdZ

(2.27)

n care mwdw (cu w s-a notat viteza de deplasare a sistemului) reprezint energia cinetic elementar, iar mgdZ (Z simbolizeaz cota centrului de greutate) reprezint energia potenial elementar. Expresia diferenial a primului principiu pentru o transformare de stare devine:

Q = dU +

d mw2 + d (mgZ ) + L 2

(

)

(2.28)

Pentru un proces termodinamic care se desfoar ntre strile 1 i 2, integrnd expresia (2.28), obinem formularea integral:

30

Primul principiu al termodinamicii2 2 m(w2 w1 ) + mg (Z 2 Z 1 ) + L12 2

Q12 = U 2 U 1 + q12 = u2 u1 +

(2.29)

1 2 (w2 w12 ) + g (Z 2 Z1 ) + l12 2

(2.30)

Expresia (2.30) reprezint situaia n care masa sistemului este 1 kg. Pentru sisteme termodinamice deschise, prin care curge n permanen agentul termodinamic, lucrul mecanic total fcut de acesta este lucrul mecanic tehnic; nlocuind expresia pentru L12 din formula (2.7) n expresia (2.29), obinem:2 2 m(w2 w1 ) Q12 = U 2 + p2V2 U 1 p1V1 + + mg (Z 2 Z 1 ) + Lt 12 2

(2.31)

Observm c expresiile U 2 + p2V2 i U 1 + p1V1 sunt alctuite numai din mrimi de stare energia intern, care este o diferenial total exact, i produsul unor parametri de stare pV, care este i el o diferenial total exact. Acest grup de mrimi definete o nou mrime de stare, numit entalpie, definit astfel :

H = U + pV [J]sau

(2.32) (2.33)

h = u + pv

[J/kg]

n formula (2.31) introducem entalpia, iar aceasta devine:

Q12 = H 2 H 1 + q12 = h2 h1 +

2 m(w2 w12 ) + mg (Z 2 Z 1 ) + Lt 12 [J] 2

(2.34)

1 2 (w2 w12 ) + g (Z 2 Z1 ) + lt 12 [J/kg] 2

(2.35)

Expresiile (2.34) i (2.35) reprezint formulele integrale ale primului principiu al termodinamicii, pentru o evoluie a acestuia din stare 1 n starea 2. Formele difereniale ale primului principiu se obin prin diferenierea expresiilor (2.30) i (2.35), rezultnd:

q = du + wdw + gdZ + pdv q = dh + wdw + gdZ vdp

(2.36) (2.37)

Dac n aceste expresii se neglijeaz termenii ce reprezint energia cinetic i energia potenial, obinem pentru primul principiu urmtoarele forme difereniale:

q = du + pdv

(2.38)


31

q = dh vdp2.3.2 Formularea primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise

(2.39)

2.3.2.1 Ecuaia puterilor Termodinamica clasic opereaz cu conceptul de sistem n echilibru. Conform acestui concept, orice evoluie se petrece lent, n aa fel nct sistemul s se afle n permanen n echilibru intern i extern. Dac ne referim la timpul n care are loc un proces, n acceptul termodinamicii clasice, acest timp este infinit de mare. El nu apare ca parametru n ecuaiile transformrilor de stare. Evoluia real a sistemelor termodinamice se face n timp finit, astfel nct este necesar introducerea unui nou concept care s in seama de viteza finit de evoluie a fenomenelor reale. Dac n locul termenilor din ecuaia primului principiu (2.25) utilizm derivatele termenilor funcie de timp, obinem o ecuaie care exprima viteza momentan de variaie a energiei sistemului ca suma vitezelor momentane de variaie a cldurii i a lucrului mecanic. Deoarece derivata nti a energiei la timp reprezint putere, ecuaia bilanului energetic exprimat prin derivatele de ordinul unu, devine ecuaia bilanului puterilor.

Q=

dE +L d

(2.40)

n care Q si L reprezint viteza de variaie a cldurii, respectiv a lucrului mecanic ce strbat graniele sistemului. Practic, putem enuna ecuaia puterilor, a primului principiu al termodinamicii, astfel: viteza de variaie a energiei sistemului este egal cu diferena puterilor termice i mecanice ce strbat graniele sistemului. Aplicarea acestei formule pentru sistemele tehnice nu este foarte simpl, deoarece trebuie luat n considerare totalitatea fluxurilor masice i energetice la un anumit moment. n continuare se va detalia ecuaia puterilor i modul de aplicare a acesteia. 2.3.2.2 Legea conservrii masei pentru un volum de control Procesele termodinamice pe care dorim s le analizm se desfoar ntr-un anumit spaiu. Este util s definim fictiv un volum de control n care vom analiza fenomenele. Acest lucru ne permite s crem o delimitare net ntre sistemul studiat (aflat n volumul de control) i restul spaiului, pe care l denumim mediul nconjurtor. Masa delimitat de acest volum reprezint masa sistemului analizat. Ea poate varia n decursul timpului, funcie de fluxurile de substan ce strbat sistemul. Considerm un sistem, pentru care am definit volumul de control figura 2.8. Sistemul este reprezentat la dou momente de timp foarte apropiate.

32


La momentul iniial masa sistemului este m , iar masa elementar ma ce urmeaz a fi admis se afl la limita volumului de control, dar n afara acestuia. Masa me care va fi evacuat se afl n interiorul sistemului la limita volumului de control, dar n interiorul acestuia. La momentul urmtor de timp +d masa sistemului este m+d, masa elementar ma a fost admis n volumul de control i a ieit masa me. Pentru volumul de control considerat, egalm masa sistemului la cele dou momente de timp i obinem:

m + ma = m +d + me

(2.41)

mprind cu intervalul elementar d i fcndu-l pe acesta s tind la limit ctre zero, obinem expresia legii conservrii masei:

m + d m me ma + =0 d d dGrania sistemului

(2.42)

ma

Volumul de control

m

msistem = m + ma

ma

me +dm+d

msistem = m+d + me

meFig. 2.8

m m m m lim + d + lim e + lim a d 0 d d 0 d d 0 d

(2.43)


33

dm + me ma = 0 d

(2.44)

Notaia m reprezint derivata n raport cu timpul a masei, deci este chiar debitul masic. Legea conservri masei pentru sisteme arat c variaia masei sistemului este suma algebric a debitelor masice care strbat volumul de control. Pentru un sistem care schimb mas cu exteriorul prin mai multe canale, expresia general este: dm + me ma = 0 d

(2.45)

Particulariznd legea conservrii masei pentru o conduct prin care curgerea este staionar, figura 2.9, rezult:

ma

me

Fig. 2.9

ma = me m=

(2.46) (2.47) (2.48)

d ( Ax ) = Aw d

a Aa wa = e Ae we

n relaia (2.48), semnific densitatea, A seciunea si w viteza fluidului. Relaia (2.48) reprezint ecuaia de continuitate pentru un tub de curent. Dac fluidul este incompresibil, relaia (2.48) devine:

Aa wa = Ae we2.3.2.3 Ecuaia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme deschise

(2.49)

Fenomenele reale ce se desfoar n mainile i instalaiile termice evolueaz ntr-un timp finit. Din aceast cauz, este util formularea matematic a primului principiu al termodinamicii n form diferenial, pentru un volum de control. Pornim de la ecuaia puterilor (2.40), scris sub urmtoarea form:

34


Q (E2 E1 ) L = + d d d

(2.50)

Considerm un sistem termodinamic separat de mediul nconjurtor printr-un volum de control (figura 2.10) prin care circul un agent termodinamic. Acesta este prezentat n dou ipostaze, la momentul i la momentul +d. Masa admis n sistem ma, care are volumul specific va, i se gsete la presiunea pa, intr n sistem cu energia specific ea, definit de urmtoarea expresie:

ea = ua +

2 wa + za 2

(2.51)

n mod analog, energia specific a masei me ce iese din sistem la momentul +d este: w2 ee = ue + e + ze (2.52) 2

ma

Granita Volumul de

pa v m

me

pe v

ma

Q (transferat sistemului in intervalul me

pa v

m+d E+d

pe v

+d

Lt (produs de sustem in intervalulFig. 2.10


35

Se consider energia sistemului mrginit de volumul de control la momentul ca fiind: E1 = E + eama (2.53) iar la momentul +d este :

E2 = E + d + eeme

(2.54)

Lucrul mecanic total fcut de sistem n acest interval de timp este egal cu lucrul mecanic tehnic ce nsumeaz algebric lucrul mecanic al variaiei de volum i lucrurile mecanice de dislocare necesare admisiei masei ma i evacurii masei me.

Lt = L + ( pa vama pe veme )nlocuind relaiile (2.51), (2.52), (2.53), (2.54) i (2.55) n expresia 2.50, rezult:

(2.55)

Q ma (ea + pa va ) = E +d E + d d d innd cont de relaiile:

m (ee + peve ) + Lt + d d

(2.56)

ea + pa va = ua +

2 wa w2 + gZ a + pa va = ha + a + gZ a 2 2

(2.57)

ee + pe ve = ue +

we2 w2 + gZ e + pe ve = he + e + gZ e 2 2

(2.58)

i trecnd la limit expresia (2.56) cnd d tinde ctre zero, rezult: dE w2 w2 + me he + e + gZ e + L t Q + m a ha + a + gZ a = d 2 2

(2.59)

Considernd cazul general cnd sistemul are mai multe ci de admisie i de evacuare, expresia devine : dE w2 w2 + me he + e + gZ e + L t Q + m a ha + a + gZ a = d 2 2

(2.60)

Expresiile (2.59) i (2.60) constituie formulrile matematice ale primului principiu pentru sisteme deschise. O simplificare important se poate obine pentru regimurile de funcionare staionare ale sistemelor termodinamice, deoarece n acest caz energia sistemului rmne constant n timp, deci derivata ei se anuleaz.

36


2 wa we2 + gZ a = me he + + gZ e + L t Q + m a ha + 2 2

(2.61)

Alte particularizri importante se obin din relaia (2.61) prin introducerea de restricii suplimetare. Ecuaia energiei pentru curgerea adiabat, fr frecare, a unui fluid compresibil n interiorul unei conducte, este:

ha +

2 w2 wa + gZ a = he + e + gZ e 2 2

(2.62)

Particularizarea relaiei (2.61) pentru curgerea izoterm a unui fluid incompresibil printr-o conduct ne conduce la ecuaia lui Bernoulli.

a

pa

+

2 p w2 wa + gZ a = e + e + gZ e e 2 2

(2.63)

2.4 Evaluarea energiei interne i a entalpiei Pentru a putea aplica ecuaiile primului principiu, trebuie s existe posibilitatea definirii energiei interne i a entalpiei agentului termodinamic. Deoarece n sistemele termodinamice n care are loc transformarea cldurii n lucru mecanic sau invers, agenii termodinamici sunt n faz gazoas, vom prezenta modul de calcul al energiei interne i al entalpiei pentru gaze. O caracteristic comun att energiei interne, ct i entalpiei, o constituie faptul c aceste mrimi sunt mrimi de stare, adic ele se pot determina complet n fiecare stare a sistemului, iar variaia lor nu depinde de modul cum se face evoluia sistemului ntre cele dou stri, ci numai de valorile pe care le au n starea iniial i final. Din punct de vedere matematic, ele sunt difereniale totale exacte. Se consider energia intern ca fiind funcie de volum i temperatur, u (v ,T ) , prin difereniere obinem: u u du = dT + dv T v v T

(2.64)

Cercetri experimentale au demonstrat c la gaze energia intern nu variaz funcie de volum, ea fiind funcie numai de temperatur. Derivata parial a energiei interne la temperatur, n condiii de volum constant, a primit denumirea de cldur specific izocor, definit prin expresia urmtoare: u cv = T v

(2.65)


37

Considernd entalpia ca o funcie de presiune i temperatur h( p ,T ) , prin difereniere obinem:

h h dh = dT + dp p T p

(2.66)

Pentru gaze perfecte s-a constatat c entalpia nu depinde de presiune, iar derivata parial a acesteia funcie de temperatur a fost denumit cldur specific izobar, avnd urmtoarea formul de definiie:

h cp = T p

(2.67)

Dac considerm un proces izobar de evoluie a unui sistem termodinamic i aplicm formele difereniale ale primului principiu (2.38) i (2.39) n care introducem expresiile (2.65) i (2.67), pentru p = constant, obinem:

q = cv dT + pdvq = c p dT

(2.68) (2.69)

Din ecuaia de stare a gazului perfect, scris pentru 1 kg de gaz perfect sub forma pv = RT , pentru un proces izobar exprimm produsul pdv:

pdv = RdTEgalnd relaiile (2.68) i (2.69) rezult:

(2.70)

c p cv = R

(2.71)

Relaia de mai sus poart numele de relaia lui Robert Mayer. Raportul dintre cldurile specifice izobar i izocor se noteaz cu k i se numete exponent adiabatic.

k=

cp cv

(2.72)

Cele dou mrimi reprezint proprieti ale substanelor; pentru gaze perfecte ele se pot determina n funcie de constanta gazului i exponentul adiabatic. Considernd relaiile (2.71) i (2.72) ca un sistem de ecuaii cu necunoscutele cv i cp, prin rezolvarea sa obinem:

cp =

k R k 1

(2.73)

38


cv =

1 R k 1

(2.74)

Expresiile (2.73) i (2.74) permit calcularea cldurilor specifice izocore i izobare pentru gazele perfecte. Valorile obinute cu aceste relaii sunt diferite de valorile reale. Chiar dac un gaz, prin comportarea sa n anumite intervale de presiune i temperatur, poate fi aproximat cu un gaz perfect, pentru calcularea mrimilor energetice (energie intern, entalpie, etc) n tehnic se utilizeaz valorile reale ale acestor mrimi. Cercetri experimentale au artat c valorile cldurilor specifice ale gazelor reale variaz puternic funcie de temperatur i mult mai puin funcie de presiune. n figura 2.11 este prezentat variaia cldurii specifice izobare pentru un gaz real. Din punct de vedere matematic, curba de variaie este - de regul - exprimat printr-o regresie polinomial, de exemplu relaia (2.75):c p (T ) = a0 + a1T + a2T + a3T 2 + ...

(2.75)

cp cp(T ) cpm

T1

T2Fig. 2.11

T

Pentru un proces care se desfoar ntre temperaturile 1 i 2, se utilizeaz cldura specific izobar medie obinut cu ajutorul mediei integrale, relaia (2.76):

c pm =

1 c p (T )dT T2 T1 1

2

(2.76)

n mod analog se procedeaz i n cazul cldurii specifice izocore. 2.5 Analiza energetic a transformrilor de stare Analiza evoluiilor posibile ale unui sistem termodinamic a evideniat faptul c acesta poate trece de la o stare la alta printr-un numr limitat de transformri. n timpul evoluiei, agentul termodinamic interacioneaz cu mediul exterior, modificndu-i parametrii de stare i parametrii energetici.


39

l12 1 q12 p1, v1, T1, u1, h1Fig. 2.12 Considernd agentul termodinamic gaz perfect, se vor analiza succesiv toate evoluiile posibile ale sistemelor termodinamice. Relaiile matematice care se vor deduce n acest paragraf constituie baza analizei termodinamice a sistemelor. Analiza energetic a sistemului termodinamic se va face asupra evoluiei reversibile a acestuia ntre dou stri, conform schemei din figura 2.12 Notm cu 1 starea iniial a sistemului. n aceast stare, parametrii sistemului se noteaz cu indicele 1. Starea final se noteaz cu 2, la fel i indicii parametrilor din aceast stare. n timpul evoluiei sistemului, interaciunea acestuia cu mediul nconjurtor se poate face prin lucru mecanic i cldur. Valorile acestor mrimi, n timpul trecerii sistemului de la starea 1 la starea 2, s-au notat cu indicii 1,2. Se va considera, pentru simplitate, masa sistemului termodinamic egal cu 1kg i se va determina pentru fiecare tip de transformare variaia mrimilor de stare: energie intern i entalpie, dar i schimburile energetice cu mediul exterior, materializate prin variaia cldurii i lucrului mecanic. 2.5.1 Transformarea izocor Trecerea sistemului termodinamic de la starea iniial, notat cu 1, la starea final, notat cu 2, se face cu o restricie, volumul sistemului rmne neschimbat pe durata transformrii; acest lucru, din punct de vedere matematic, este reprezentat de condiia: v = cons tan t . Condiia introdus n ecuaia (1.38) permite stabilirea ecuaiei transformrii:

2 p2, v2, T2, u2, h2

p1 p2 = T1 T2

(2.77)

n figura 2.13 este reprezentat grafic, n diagrama pV , o transformare izocor ce se desfoar ntre strile reprezentate de punctele 1 i 2. Se constat c n aceast evoluie de volum constant, variaz presiunea i temperatura.

40


Energia intern fiind o diferenial total exact, variaia acestei mrimi nu depinde de drum, deci de felul transformrii, ci numai de valorile n strile iniial i final. Acelai lucru se poate spune i despre entalpie.

u = u2 u1 = cv (T2 T1 ) h = h2 h1 = c p (T2 T1 )

(2.78) (2.79)

Lucrul mecanic, lucrul mecanic tehnic i cldura nefiind difereniale totale exacte, variaia lor depinde de felul transformrii, iar acest lucru se traduce prin faptul c integrarea formelor difereniale se face pe baza ecuaiei transformrii (2.77), adic se ine seama de restricia de volum constant.

l12 = pdv = 01

2

(2.80) (2.81)

lt 12 = vdp = v( p2 p1 ) = v( p1 p2 ) = R(T1 T2 )1

2

Fig.2.13


41

Cldura schimbat cu mediul exterior se determin prin integrarea ecuaiei primului principiu (2.38):

q12 = (du + pdv ) = u2 u1 = u1

2

(2.82)

2.5.2 Transformarea izobar Trecerea sistemului termodinamic de la starea iniial, notat cu 1, la starea final, notat cu 2, se face pentru aceast transformare cu restricia p = cons tan t . Aceast condiie, introdus n ecuaia (1.38), permite stabilirea ecuaiei transformrii:

v1 v2 = T1 T2

(2.83)

n figura 2.14 este reprezentat n diagrama pV o evoluie izobar a sistemului. Se remarc n procesul izobar variaia volumului i temperaturii ntre strile iniiale i finale ale procesului.

Fig. 2.14

42


Variaia de energie intern si variaia de entalpie pentru transformarea izobar se poate calcula astfel:

u = u2 u1 = cv (T2 T1 ) h = h2 h` 1 = c p (T2 T1 )

(2.84) (2.85)

Dup cum observm, aceste formule rmn neschimbate indiferent de tipul transformrii (izobar, izocor, etc), deoarece sunt difereniale totale exacte i nu depind dect de strile iniial i final, iar prin definiie energia intern se determin cu cldura specific izocor, iar entalpia cu cea izobar. Schimburile energetice cu mediul exterior, pentru aceast transformare, se calculeaz astfel: - lucrul mecanic

l12 = pdv = p dv = p(v2 v1 ) = R(T2 T1 )1 1

2

2

(2.86)

- lucrul mecanic tehnic

lt 12 = vdp = 01

2

(2.87)

- cldura schimbat n cursul procesului

q12 = (dh vdp ) = c p dT = c p (T2 T1 )1 1

2

2

(2.88)

2.5.3 Transformarea izoterm Aceast transformare de stare se produce atunci cnd, pe durata evoluiei sistemului, temperatura rmne constant. Introducnd aceast condiie n relaia (1.38), rezult ecuaia transformrii de stare izoterme:p1v1 = p2 v2

(2.89)

Ecuaia (2.89) constituie legea evoluiei izoterme a sistemului, care din punct de vedere matematic reprezint ecuaia unei hiperbole echilatere. n figura 2.15, curba 1-2 reprezint o transformare izoterm pentru temperatura 697,61 [K]. Variaia energiei interne i a entalpiei se calculeaz prin formulele de definiie, innd cont de restricia T = constant, deci T1 = T2 :

u = u2 u1 = cv (T2 T1 ) = 0

(2.90)


43

h = h2 h` 1 = c p (T2 T1 ) = 0

(2.91)

Considerm o stare intermediar, ntre strile iniial i final ale acestei transformri, reprezentat printr-un punct curent de pe curba transformrii izoterme. Notm coordonatele acestui punct cu p i v. Fiind un punct de pe curb, el verific ecuaia curbei, deci:

p1v1 = pv p =

p1v1 v

(2.92)

Lucrul mecanic al variaiei de volum se calculeaz pe baza ecuaiei curbei, utiliznd relaia (2.92):

l12 = pdv = p1v1 1

2

2

dv v p = p1v1 ln 2 = RT1 ln 1 v v1 p2 1

(2.93)

Fig. 2.15

44


Lucrul mecanic tehnic se calculeaz n mod similar:2 2

lt 12 = vdp = p1v1 1

dp p p = p1v1 ln 1 = RT1 ln 1 p p2 p2 1

(2.94)

Observm c, n cazul transformrii izoterme, lucrul mecanic al variaiei de volum este numeric egal cu lucrul mecanic tehnic. Acest fapt se datoreaz simetriei curbei izoterme, este simetric fa de prima bisectoare, iar acest lucru face ca aria cuprins ntre curba izoterm si axa volumelor s fie egal cu aria cuprins ntre curb i axa presiunilor. Cele dou arii reprezint lucrul mecanic al variaiei de volum i respectiv lucrul mecanic tehnic. Cldura se poate calcula prin integrarea formelor difereniale ce exprim matematic primul principiul, ecuaiile (2.38) sau (2.39):2 2

q12 = (du + pdv ) = (cv dT + pdv ) = l121 1

(2.95)

Din relaiile (2.93), (2.94) i (2.95) rezult un lucru important pentru transformarea izoterm: cldura schimbat de sistem pe durata unei transformri izoterme este numeric egal cu lucrul mecanic al variaiei de volum i cu lucrul mecanic tehnic.

q12 = l12 = lt 12

(2.96)

2.5.4 Transformarea adiabat Transformarea adiabat este transformarea n cursul creia sistemul termodinamic nu schimb cldur cu mediul exterior. Restricia acestei transformri este q12 = 0 . Exprimat diferenial, aceast condiie devine q = 0 . Introducnd condiia n expresia diferenial a primului principul (2.38) i integrnd-o, vom obine ecuaia acestei transformri:

du + pdv = cv dT + pdv = 0

(2.97)

Din ecuaia de stare exprimm difereniala dT, pe care o introducem n ecuaia (2.97):

pv = RT dT =

pdv + vdT R

(2.98)


45

pdv(cv + R ) + cv vdp = 0c p dv dp + =0 cv v p

(2.99)

(2.100)

Expresia (2.100) reprezint o ecuaie diferenial cu variabile separate. Se definete exponentul adiabatic ca raportul cldurilor specifice izobar i izocor i se noteaz cu k. c k= p (2.101) cv Prin integrarea relaiei (2.100) obinem ecuaia adiabatei:

pv k = cons tan t

(2.102)

Dac combinm ecuaia (2.102) cu ecuaia de stare (1.36) obinem nc dou formulri ale ecuaiei adiabatei:

Tv k 1 = cons tan t T pk 1 k

(2.103) (2.104)

= cons tan t

n figura 2.16 este reprezentat grafic o transformare adiabat. Se observ c, fa de izoterme, este o curb mai abrupt, datorit exponentului variabilei volum, care este supraunitar. Acest lucru are drept consecin variaia temperaturii n transformarea adiabat ntre strile iniial i final. Variaia de energie intern i de entalpie se calculeaz astfel:

u = u2 u1 = cv (T2 T1 ) h = h2 h` 1 = c p (T2 T1 )

(2.105)

(2.106)

Pentru calculul lucrului mecanic al variaiei de volum, vom exprima legea adiabatei pentru un punct curent de pe curb, astfel:

46


Fig. 2.16k p1v1 = pv k p = k p1v1 vk

(2.107)

k l12 = pdv = p1v1 1

2

2

k +1 dv v1 k +1 1 k v ( p1v1 p2v2 ) = p1v1 2 = k v k +1 k 1 1

(2.108)

Pentru a calcula mai simplu lucrul mecanic tehnic, vom integra a doua form diferenial a primului principiu (2.39), astfel:2 2 dh vdp = 0 dh = vdp lt 12 = h1 h2 1 1

(2.109)

Relaia (2.109) ne arat c lucrul mecanic tehnic efectuat de agentul termodinamic ntr-o transformare adiabat se face pe baza variaiei entalpiei sistemului. Dezvoltnd relaia (2.109), obinem:

lt 12 = c p (T1 T2 ) =

k k ( p1v1 p2v2 ) R(T1 T2 ) = k 1 k 1

( 2.110)


47

Din relaiile de mai sus rezult legtura ntre lucrurile mecanice ale transformrii adiabate:

lt 12 = kl12

(2.111)

Datorit asimetriei curbei adiabate, lucrul mecanic tehnic este mai mare dect lucrul mecanic al variaiei de volum.

2.5.5 Transformarea politrop Aceast transformare reprezint o generalizare a transformrilor de stare prezentate pn acum, deoarece permite determinarea parametrilor unui sistem termodinamic atunci cnd acesta evolueaz fr nici o restricie. Pentru a defini ecuaia acestei transformri de stare se pornete de la ecuaia primului principiu sub form diferenial (2.112), care prin integrare permite deducerea ecuaiei politropei:

q = du + pdv

(2.112)

Pentru a putea integra ecuaia pentru membrul stng, se introduce urmtoarea notaie: q = cn dT (2.113) Se consider o mrime fictiv cn, numit cldur specific politrop, care permite exprimarea diferenialei cldurii conform relaiei (2.112). Cu aceast notaie, relaia (2.112) se pregtete pentru integrare n mod asemntor ecuaiei adiabatei, astfel:

cn dT = cv dT + pdv (cv cn )dT + pdv = 0

(2.114)

(cv cn )( pdv + vdp ) + Rpdv = 0c p cn dv dp + =0 cv cn v p

(2.115)

(2.116)

Ecuaia (2.116) este o ecuaia diferenial cu variabile separate. Pentru a o integra, notm exponentul politropic cu n, el este definit de relaia (2.116). Pentru un gaz ideal, acest coeficient este constant, lucru ce permite integrare relaiei (2.115)

n=

c p cn cv cn

(2.117)

48


n

dv dp + = 0 pv n = cons tan t v p

(2.118)

Relaia (2.118) reprezint ecuaia politropei. Aceasta poate fi exprimat sub alte dou forme, procednd la fel ca la adiabat:

Tv k 1 = cons tan t ;

T pk 1 k

= cons tan t

(2.119)

n figura 2.17 este reprezentat grafic o transformare politrop n diagrama pv. Calculul variaiei energiei interne i entalpiei se face astfel:

u = u2 u1 = cv (T2 T1 ) h = h2 h` 1 = c p (T2 T1 )

(2.120) (2.121)

Lucrul mecanic al variaiei de volum se determin prin efectuarea integralei pe ntreaga lungime a curbei:2 2

n l12 = pdv = p1v1 1

n +1 dv v1 m+1 1 n v ( p1v1 p2v2 ) = p1v1 2 = n v n+1 n 1 1

(2.122)

n mod asemntor se determin lucrul mecanic tehnic.1 1 +1 1 +1 n p1n v1 p1 k p2 k n 1

lt 12 = vdp = p1n v1 1 1

2

1

2

dp p1 n

=

(2.123)

lt 12 =

n ( p1v1 p2v2 ) n 1

(2.124)

Analiznd relaiile (2.122) i (2.123), observm c legtura ntre lucrurile mecanice ale politropei este:

lt 12 = nl12

(2.125)

n transformarea politrop este permis schimbul de cldur cu exteriorul, el se poate determina din una dintre relaiile primului principiu, spre exemplu relaia (2.38):


49

q12 = (du + pdv ) = u12 + l121

2

( 2.126)

Fig. 2.17 Transformrile izoterm, adiabat i politrop sunt reprezentate de curbe apropiate ca aspect. Este interesant de observat poziia lor relativ. Pentru acest lucru, s-au reprezentat n figura 2.18 trei transformri care pornesc din acelai punct i se desfoar ntre aceleai limite de presiune. Se observ c politropa se aeaz ntre adiabat i izoterm, respectnd relaia dintre exponeni volumului din ecuaiile respective 1 < n < k . Acest lucru este adevrat pentru majoritatea transformrilor politrope ntlnite n tehnic. Izoterma reprezint un proces ideal, greu de atins n tehnic, ns adiabata poate aproxima, destul de bine, procesele rapide din maini i instalaii. n prim aproximare, procesele rapide pot fi descrise de o adiabat. O modelare mai riguroas se poate face utiliznd transformarea politrop.

50


Fig. 2.18 Politropa este considerat o transformare de stare general. Prin particularizarea exponentului politropic se pot genera toate celelalte transformri de stare, astfel: - pentru n = 0 obinem ecuaia izobarei; - pentru n = obinem ecuaia izocorei; - pentru n = 1 obinem ecuaia izotermei; - pentru n = k obinem ecuaia adiabatei; Lucrri recente [22, 23] au artat c legile fundamentale ale naturii se pot formula succint printr-o relaie matematic de tip politropic. Particularizarea exponentului conduce la legile interaciunilor politropice conservative pentru sisteme mecanice, termodinamice, electrice, magnetice i electromagnetice.Exemplul E 2.1 Un compresor comprim 0,5[Nm3/min] aer (Maer=29[kg/kmol]) de la presiunea p1=0,8[bar] i temperatura T1=292[K], pn la presiunea de 8[bar], dup un proces politrop cu n=1.25. Exponentul adiabatic al aerului este k=1,4. a) S se determine temperatura de ieire a aerului din main, puterea necesar comprimrii aerului i puterea termic a sistemului de rcire.


51

b) S se determine cldura ce trebuie extras izobar din aerul comprimat pentru a ajunge la temperatura T1. c) S se determine puterea necesar comprimrii aerului ntre aceiai parametrii dup un proces izoterm i puterea termic la care trebuie dimensionat sistemul de rcire n acest caz. Soluie n figura 2.19 este trasat politropa 1-2pol corespunztoare procesului de comprimare, apoi izobara 2pol-2T prin care aerul comprimat este rcit pn la temperatura T1. Tot pe aceast diagram s-a trasat izoterma T1 corespunztoare punctului c). a)Temperatura T2 a aerului la ieirea din compresor se determin din ecuaia politropei:

p T2 = T1 2 p 1

n 1 n

8 = 292 0 ,8

1 ,25 1 1 ,25

= 462 ,7 [K]

Puterea necesar procesului de comprimare este egal cu lucrul mecanic tehnic al poitropei 1-2 nmulit cu debitul masic.

Fig. 2.19

52 Debitul masic:

Primul principiu al

47871789 termotehnica si masini termice p

Documents