Download - Suport Metode Cantitative de Analiza Bugetara

GUVERNANŢĂ PUBLICĂ EUROPEANĂ Metode cantitative de analiză bugetară

1

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE

FACULTATEA FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VALORI

MASTER �GUVERNANŢĂ PUBLICĂ EUROPEANĂ�

CURSUL �METODE CANTITATIVE DE ANALIZĂ BUGETARĂ�

Autori: Prof. univ. dr. Radu STROE Prof. univ. dr. Adrian BĂDESCU

BUCUREŞTI 2005


2

CAPITOLUL 1. ANALIZA STRUCTURII ŞI DINAMICII INDICATORILOR

BUGETARI Acest gen de analiză se practică în mod curent pentru a depista tendinţele şi orientările privind evoluţia cheltuielilor/veniturilor publice şi în particular, a celor bugetare, precum şi pentru efectuarea unor comparaţii internaţionale. Principalele grupe de indicatori utilizaţi în acest scop sunt:

1. mărimea (cuantumul, volumul) cheltuielilor/veniturilor, în expresie nominală şi reală;

2. structura cheltuielilor/veniturilor, ca pondere a componentelor în total; 3. indicii de creştere a cheltuielilor/veniturilor; 4. ponderea cheltuielilor/veniturilor în produsul intern brut; 5. cuantumul per capita.

În cele ce urmează prezentarea indicatorilor se face în raport cu cheltuielile; pentru venituri determinările sunt similare.

1.Pentru calculul în expresie reală a cuantumului cheltuielilor este necesar să se definească anul de referinţă, adică cel ale cărui preţuri sunt considerate ca etalon într-o analiză dinamică, preţuri numite �constante�. Fie 0 (zero) indicele prin care identificăm acest an într-o succesiune temporală pentru care se efectuează analiza şi t indicele prin care identificăm un an oarecare în respectiva serie dinamică (t = 1,2,�,T). Fie Cn cuantumul cheltuielilor în expresie nominală şi Cr cuantumul lor în expresie reală. Oricare dintre aceşti doi indicatori sunt indexabili temporal cu indicele t şi avem în plus că:

0

Cn = 0

Cr Se defineşte indicele de preţuri al anului t în raport cu cel de referinţă IGPt/0, numit

deflator. Cuantumul cheltuielilor în expresie reală în anul t este :

tCr = tCn / 0/tIGP Pentru informaţiile statistice privind bugetul, pe care o ţară le furnizează, în baza

convenţiilor internaţionale, unor instituţii/organizaţii internaţionale, se practică raportarea nu numai în moneda naţională, ci şi într-o monedă străină acceptată în cadrul unor convenţii, de regulă USD, iar mai recent EURO. În acest caz se utilizează cursul mediu de schimb al anului la care se referă informaţiile în cauză:

Cm = cs/Cm unde: Cm = cheltuiala exprimată în moneda convenită, cs = cursul de schimb exprimat în lei/unitatea străină convenită (lei /USD sau

lei/EURO) 2. Indicatorul de structură este ponderea, exprimând procentul (cota) ce revine unui

anume gen de cheltuială din cheltuielile totale:


3

TCnCni

i =α

în care: i = indice pentru identificarea tipului de cheltuială ( i = 1,2,�,n),

iCn = cheltuiala de tip i în expresie nominală, TCn = total cheltuieli în expresie nominală. 3. Pentru analiza evoluţiei cheltuielilor sunt utilizaţi indicii de creştere, calculaţi fie

după expresia nominală, fie după cea reală:

100*/jt

tjtt Cn

CnICn

−− = j =1,2,�t

100*/jt

tjtt Cr

CrICr

−− = , j = 1,2,�t

unde:

jttICn −/ = indicele de creştere a cheltuielii în expresie nominală în anul t faţă de anul t-j,

=− jttICr / similar în expresie reală. Pe baza indicilor de creştere poate fi calculat un raport de devansare. Raportul de

devansare se calculează între o cheltuială oarecare i şi totalul cheltuielilor sau între o cheltuială (fie ea oarecare sau totală) şi produsul intern brut. Raportul arată de câte ori creşte mai repede un indicator (cel aflat la numărătorul raportului de devansare) faţă de celălalt (cel aflat la numitorul raportului de devansare) între două momente de timp considerate, t şi t-j :

jti

ti

jtt

jttti ITCn

ICnTCnCnkd

−−

− ==,

,

/

/,)/(αα

jtt

jttii IPIB

ICnPIBCnkd

−

−=/

/,)/( ,

unde : =•)/( iCnkd coeficientul (raportul) de devansare al creşterii cheltuielilor de tip i în

expresie nominală faţă de creşterea cheltuielilor totale în expresie nominală (TCn), respectiv faţă de produsul intern brut (PIB), între cele două momente de timp t şi t-j,

=− jttiICn /, indicele de creştere a cheltuielii de tip i în expresie nominală între t şi t-j, =− jttITCn / similar pentru cheltuielile totale în expresie nominală,

jttIPIB −/ = similar pentru produsul intern brut. Între indicatorii pentru care au fost definiţi coeficienţii de devansare, se poate

introduce şi o relaţie de tip elasticitate, exprimând numărul de procente cu care creşte un


4

indicator (cel a cărui variaţie se află la numărătorul raportului de elasticitate) la creşterea cu un procent a celuilalt indicator (cel a cărui variaţie se află la numitorul raportului de elasticitate) între două momente considerate, fie t şi t-j:

11

)/(/

/,

−

−=

−

−

jtt

jttii ITCn

ICnTCnCnE

11

)/(/

/,

−

−=

−

−

jtt

jttii IPIB

ICnPIBCnE

unde: =•)/( iCnE elasticitatea cheltuielilor de tip i în expresie nominală faţă de cheltuielile

totale în expresie nominală (TCn), respectiv faţă de produsul intern brut (PIB), între cele doi ani t şi t-j.

4. Ponderea cheltuielilor în produsul intern brut arată ce cotă din aceasta revine

unei anumite categorii de cheltuială, fie ea oarecare sau însuşi totalul cheltuielilor sau deficitul/excedentul bugetar:

PIBCni

i =β , i = 1,2,�,n, n+1,n+2

unde componenta n+1 a indicelui I semnifică totalul cheltuielilor, iar componenta n+2 semnifică deficitul/excedentul bugetului. Acest indicator poate fi şi el indexat temporal în cazul analizei unei serii statistice dinamice. Cei doi indicatori valorici sunt exprimaţi în preţuri curente, adică ale anului la care ei se referă.

5.Cuantumul cheltuielilor per capita exprimă volumul de cheltuieli de un anumit tip i sau totale ce revin în medie pentru un locuitor:

LCC /•= ,

unde: =C cheltuieli per capita,

=•C cuantumul cheltuielilor în expresie nominală (Cn) sau în expresie reală (Cr) sau exprimată într-o monedă străină (Cm), L = numărul de locuitori în anul de calcul.

Pentru identificarea tipului de cheltuială, se poate indexa C şi •C cu indicele i=1,2,�n. n+1, n+2. Aceşti indicatori sunt utilizaţi frecvent pentru dimensionarea veniturilor şi cheltuielilor bugetare. Aceasta este o operaţiune de predicţie deosebit de complexă, deoarece are în vedere nu numai indicatorii şi parametrii bugetului, dar şi pe cei ai economiei. Printre premisele unei predicţii realiste se înscriu:

! posibilitatea de măsurare a caracteristicilor cantitative ale fenomenelor şi proceselor economice, posibilitate creată de teoria economică şi de ştiinţa finanţelor;

! existenţa unor informaţii de referinţă sub forma seriilor dinamice, rezultat general al statisticii şi în particular al statisticii financiare;


5

! fundamentarea unor metode şi tehnici de calcul şi analiză, rod al matematicii, statisticii teoretice, analizei economico-financiare, teoriei financiare, modelării economico-financiare şi practicii bugetare.

Schema predicţiei bugetare include: ! formularea obiectivelor urmărite a fi realizate prin buget şi evaluarea efortului

financiar implicat; ! pregătirea informaţiilor pentru determinarea tendinţelor ce caracterizează

cheltuielile şi veniturile bugetare, dar şi evoluţia economiei şi, în primul rând a surselor de venituri;

! analiza calitativă a acestor tendinţe, a consistenţei şi coerenţei lor, precum şi a şansei (probabilităţii) de producere a lor;

! elaborarea propunerilor de venituri şi cheltuieli bugetare, mai precis a variantelor pe care se va fundamenta propunerea de proiect de buget.

Practica bugetară a conturat mai multe metode pentru dimensionarea veniturilor şi

cheltuielilor bugetare. Unele se referă strict la elaborarea propunerilor, unele au în vedere componenta tendenţională, iar altele circumscriu şi aspectele corelative cu evoluţia economiei.

Metoda majorării (diminuării) se bazează pe extrapolarea unei tendinţe relativ consolidate, rezultată din dinamica pe 5-8-10 ani a veniturilor şi cheltuielilor bugetare. Ritmul de evoluţie al acestora este asumat ca realizabil şi în viitor. Pe baza lui se corelează nivelul veniturilor/cheltuielilor în anul curent, rezultând predicţia pentru anul următor:

1Ir nnt

1t1t/t −= ∏

=

=−

11/ / −− = tttt SSI , t = 1,2,�n

)1(1 rSSn +∗=+ , unde: n = orizontul statistic de informare (de pildă 5 ani),

=−1/ ttI indicele de creştere a venitului/cheltuielii bugetare în anul t faţă de anul t-1,

=r ritmul mediu de evoluţie a venitului/cheltuielii bugetare pe n ani, =nS nivelul venitului/cheltuielii bugetare în anul curent,

=+1nS predicţia pentru anul n+1 a venitului/cheltuielii bugetare. Metoda nu dă rezultate în cazul în care contextul economic este �frământat� (au avut loc schimbări repetate de viteză sau de sens pe parcursul orizontului statistic) sau în cazul în care conjunctura anului de predicţie (n+1) se modifică sensibil faţă de a anilor incluşi în orizontul statistic. Metoda evaluării directe se bazează pe estimarea veniturilor şi cheltuielilor anului t+1 (următor celui curent), pornind de la predicţiile privind evoluţia economică şi eventualele modificări legislative ce vor intra în vigoare în anul t+1. Metoda este aplicabilă nu global, ci pentru fiecare categorie de venit şi cheltuială în parte. Într-o formă simplificată, predicţia veniturilor ( PVt+1 ) poate fi realizată după relaţia:


6

lBIVpPV 1tt1t ∆∗+= ++ , unde: =tVp venitul preliminat în anul t, în condiţiile legislaţiei curente, =+1tBl baza de impozitare în anul t+1,

=∆l modificări legislative în anul t+1 faţă de anul t, altele decât cele privind baza de impozitare,

=∗ semnifică o aplicaţie adecvată şi nu o operaţie de înmulţire. Reprezentarea în fond a metodei poate fi redată formal prin relaţia: ),,,,(1 cpselfVpPV tt ∗=+ ,

unde f este o funcţie corectivă care concentrează eventualele modificări privind legislaţia (l) şi influenţa factorilor de natură economică (e), socială (s), politică (p) şi de conjunctură externă (c), iar semnul �*� semnifică de data aceasta o operaţie de înmulţire. În ceea ce priveşte evaluarea cheltuielilor, metoda este similară, doar că eventualele corecţii sunt determinate predominant în raport cu produsul intern brut (PIB), rata inflaţiei (ri) şi cursul de schimb al monedei naţionale (cs): ),,( 1111 ++++ ∗= ttttt csriPIBgCpPC unde Cpt sunt cheltuielile preliminate pentru anul t, iar g este o funcţie corectivă concentrând impactul evoluţiei factorilor de influenţă menţionaţi. Într-o formă simplificată, predicţia cheltuielilor se poate realiza după relaţia: )1( 11 ++ +∗∗= tPIBtt riICpPC , unde IPIB este indicele PIB în anul t+1 faţă de anul t, în preţuri deflatate, adică neinfluenţate de procesul inflaţionist.


7

CAPITOLUL 2. INDICATORI FINANCIARI AI ÎMPRUMUTURILOR OBLIGATARE PUBLICE

Creditul public reprezintă suma pe care o autoritate publică o ia cu împrumut de la un agent economic oarecare. Creditorul poate fi o persoana fizică sau o persoană juridică, autohtonă sau străină. Creditul poate fi pe termen scurt, mediu sau lung şi este purtător de dobândă. Apariţia creditului public este determinată de insuficienţa resurselor financiare ale unei autorităţi publice, în raport cu cheltuielile acesteia. Întrucât practica financiară este dominată de creditul preluat de stat, ne vom referi în continuare la acest credit, ca formă tipică a creditului public, formă care este denumită împrumut de stat. Împrumutul de stat apare în legătură cu execuţia bugetului de stat care, pe perioade subanuale (zile sau luni) sau pe total an, poate suferi de insuficienţa veniturilor în raport cu cheltuielile prevăzute a se efectua. De aici necesitatea unui împrumut fie din nevoia de trezorerie (acoperirea unor cheltuieli pe termen scurt) fie din nevoia de echilibrare a bugetului (acoperirea deficitului anual). Ca urmare a preluării unui credit, statul emite înscrisuri cu statut de titluri financiare: poliţe/bonuri de tezaur, certificate/bonuri de impozite şi certificate de trezorerie în cazul creditelor din nevoi de trezorerie sau obligaţiuni de stat, titluri de rentă perpetuă în cazul creditelor de echilibrare a bugetului. Toate aceste titluri pot fi sau nu tranzacţionate pe piaţa de capital, în raport cu faptul că preluarea creditului s-a făcut dintr-un cerc larg, respectiv restrâns de creditori, sau că piaţa de capital iniţiază sau nu tranzacţii cu astfel de titluri. Acoperirea golului temporar de trezorerie sau a deficitului bugetar anual prin împrumuturi în loc de impozite prezintă unele avantaje: operativitatea (deoarece evită un proces legislativ de regulă de lungă durată, strict obligatoriu în cazul impozitelor), evitarea nemulţumirii sociale (deoarece fără excepţia, creşterea fiscalităţii este o decizie guvernamentală total neagreată nici de populaţie, nici de întreprinzători) şi diminuarea relativă în timp a efortului fiscal (deoarece acţionează efectele inflaţiei, în măsura în care dobânda angajată ajunge în timp să nu mai acopere integral rata inflaţiei). Aceste avantaje au însă un cost reprezentând dezavantajul apelului la împrumut, cost format din cheltuielile de lansare (publicitate, comisioane), vânzarea sub pari, dobânda, prima de rambursare ş.a. Împrumuturile de stat prezintă mai multe elemente tehnice, din care unele sunt de indentificare, altele de catracterizare valorică şi temporală, altele privesc rambursarea, diferite avantaje ş.a. Înscrisul, adică actul/documentul ce atestă că posesorul său este creditor pentru emitent, se prezintă ca o hârtie tipărită faţă-verso, având menţionate denumirea împrumutului, valoarea nominală, seria, emitentul şi diferite semne (culori, arabescuri, figuri, desene etc.) cu rol de securizare, pentru evitarea/îngreunarea comiterii de falsuri. Pe verso sunt, de obicei, menţionate extrase din regulamentul emisiunii, avantajele conferite debitorilor, scadenţa ş.a. Înscrisul are un �corp� (cel descris mai sus) şi un �carnet de cupoane�. Cupoanele reprezintă mici piese de hârtie, cam de mărimea unor mărci poştale, similar unei coale filatelice. Ele pot fi negociate împreună cu �corpul� sau separat de acesta. Cuponul este un înscris cu elemente de securizare, pe care este menţionată scadenţa la care este încasabilă dobânda aferentă titlului respectiv pentru o perioadă determinată. Dacă dobânda este plătită anual, atunci în carnetul de cupoane va exista câte un cupon pentru


8

fiecare an din durata împrumutului. Dobânda anuală poate fi plătită semestrial sau trimestrial, în care caz numărul cupoanelor este câte două respectiv câte patru pentru fiecare an din durata împrumutului. Cele mai uzuale înscrisuri sunt prezentate în continuare: Bonurile de tezaur pot avea sau nu putere circulatorie În primul caz ele circulă ca şi banii de hârtie. În al doilea caz pot fi negociate la bursă în măsura în care piaţa este suficient de susţinută; de asemenea, pot fi lombardate (în toate cazurile în care nu se pot negocia la bursă), adică vândute înainte de termen acelor bănci care fac astfel de operaţiuni şi care îşi reţin o parte din dobânda aferentă respectivelor bonuri de tezaur, sub forma taxei de lombard (similară taxei de scont). Poliţele de tezaur sunt supuse dreptului cambial, adică pot fi scontate înainte de termen acelor bănci ce fac astfel de operaţiuni şi care îşi reţin o parte din dobânda aferentă. Certificatele de trezorerie nu au putere circulatorie şi de regulă nici piaţă secundară. Ele sunt preschimbate în numerar la scadenţă, plus dobânda aferentă. Certificate sau bonurile de impozite sunt înscrisuri cu care statul îşi plăteşte furnizorii, nu sunt purtătoare de dobândă şi pot fi utilizate de posesori pentru plata impozitelor către stat. Obligaţiunile sunt înscrisuri cu piaţă secundară, adică negociabile la bursă. Similar, titlurile cu rentă perpetuă, care, de altfel, sunt retrase din circuitul economic de către stat prin achiziţionarea lor la bursă, la preţul pieţei. Denumirea împrumutului este un element de identificare ce permite individualizarea titlurilor pe pieţele financiare primară şi secundară. Valoarea nominală reprezintă suma care este înscrisă pe titlul aparţinător unei emisiuni şi care se exprimă în unităţi monetare naţionale (în cazul unor emisiuni lansate pe piaţa internă) sau într-o unitate monetară străină (în cazul unor emisiuni lansate pe piaţa internaţională de capital). Valoarea nominală este standardizată în cupiuri adică un număr standard de unităţi monetare. Valoarea nominală este valoarea de referinţă la care se calculează dobânda anuală ce îi revine posesorului unui titlu, după relaţia: VNdnD ∗= , (1) unde: D = dobânda anuală aferentă unui titlu, dn = rata nominală a dobânzii, VN = valoarea nominală a titlului. Valoarea nominală este totodataă, valoarea de referinţă pentru rambursarea împrumutului. Dacă nu există nici o altă specificaţie, la scadenţă emitentul răscumpără titlurile la valoarea lor nominală. De asemenea, este valoarea de referinţă pentru calculul cursului de bursă. Valoarea efectivă sau valoarea de piaţă este suma de bani cu care se poate procura de pe piaţă, la un moment dat, un titlu aparţinător unei emisiuni. În cazul în care momentul ales este chiar cel al lansării pe piaţă, valoarea efectivă se numeşte valoare de emisiune sau preţ de emisiune.


9

Valoarea de piaţă, precum şi forma ei particulară de preţ de emisiune, poate fi peste, la sau sub valoarea nominală. În funcţie de acest raport de ordine emisiunea sau titlul se zic supra, la sau sub pari. Cursul este numărul de unităţi monetare cu care se pot cumpăra la un moment dat o sută de unităţi monetare din valoarea nominalăa unui titlu aparţinător unei emisiuni, aşa încât:

100∗=VNVPc , (2)

unde: c = cursul curent al unui titlu, VP = valoarea de piaţă a titlului. Cursul obligaţiunii se stabileşte pentru titlul �nud�, adică distinct de valoarea la zi a cuponului de la proxima scadenţă. Acest procedeu este determinat tocmai de faptul că şi cuponul poate fi negociat separat, adică la fel ca un titlu de valoare distinct. Valoarea la zi a cuponului (vzc) se determină pe baza duratei posesiei lui de către vânzător (t) şi a lungimii scadenţei (z):

ztDvzc ∗= (3)

Durata t reprezintă numărul de zile scurse de la ultima scadenţă până la data vânzării cuponului, iar z reprezintă numărul de zile între ultima scadenţă şi proxima: 181 sau 182 de zile (scadenţa de 30 iunie, după cum anul este bisect sau nu), 184 de zile (scadenţa semestrială de la 31 decembrie) şi 365 de zile sau 366 de zile (scadenţa anuală la 31 decembrie). Această valoare se poate exprima procentual în raport cu valoarea nominală a obligaţiunii:

100% ∗=VNvzcvzc

În cazul în care, între două scadenţe, se vinde o obligaţiune inclusiv cuponul de la proxima scadenţă, cursul de vânzare se determină după relaţia: %vzcc'c += Termenul de rambursare este scadenţa, data la care împrumutul trebuie rambursat. Termenul poate fi precizat (sub un an � termen scurt, de regulă 3 sau 6 luni; între unul şi cinci ani � termen mediu;: peste cinci ani � termen lung) sau neprecizat (cazul titlurilor cu rentă perpetuă). Termenele medii şi lungi sunt folosite, de regulă, pentru acoperirea deficitelor bugetare cronice sau pentru finanţarea unor investiţii. Termenele scurte sunt folosite pentru acoperirea unor �goluri de casă� temporare sau a unor cheltuieli neprevăzute. Venitul asigurat de titlu este venitul ce revine posesorului unui titlu pe prioada deţinerii acestuia. Din punct de vedere al sursei acestuia, venitul poate fi intrinsec şi conjunctural.

" Venitul intrinsec este cel pe care îl produce împrumutul sub forma dobânzii şi a primei de rambursare, considerate la rândul lor, distinct, ca elemente tehnice ale împrumutului.


10

În forma la care ne-am referit mai sus (relaţia (1)) dobânda este nominală şi este legată de sau defineşte rata nominală a dobânzii. Posesorul de titlu referă însă dobânda pe care o încasează nu la valoarea nominală a titlului, ci la efortul efectiv pe care l-a făcut el pentru a cumpăra titlul, adică la valoarea de achiziţie, la valoarea de piaţă a titlului în momentul cumpărării lui. Apare astfel rata efectivă a dobânzii:

VPDde = ,

din care, dacă ţinem seama de relaţiile (1) şi (2), obţinem:

c

dnde =

În legătură cu rata dobânzii, posesorul poate calcula şi o rată reală a dobânzii, adică o rată a dobânzii corectată cu deflatorul (indicele) preţurilor:

11−

+=

pIdedr sau 1

11

−++

=ridedr

unde: Ip = indicele preţurilor, Ri = rata inflaţiei.

" Venitul conjunctural este rezultatul obţinut de posesorul unui titlu din variaţia cursului acestuia între momentul achiziţiei şi un moment ulterior, arbitrar ales, de regulă momentul în care se decide vânzarea titlului. Acest rezultat poate fi pozitiv sau negativ, după cum cursul a urcat sau a scăzut. Posesorul titlului poate calcula astfel produsul anual efectiv al investiţiei (plasamentului său), corectând dobânda încasată pe cupon cu acest venit conjunctural:

VPVNcacvDpae ∗−+

=)(

sau, ţinând seama de (1) şi (2)

ca

cacvdnpae −+= ,

unde: cv = cursul titlului în momentul vânzării, ca = cursul titlului în momentul achiziţiei. Observaţie: În calculul produsului anual efectiv se presupune că posesia obligaţiunii a încetat în chiar ziua următoare celei de scadenţă anuală. În cazul altor zile de vânzare, în calculul dobânzii se ţine seama de relaţia (3).


11

Prima de rambursare este plusul de valoare oferit creditorului de către debitor la momentul rambursării împrumutului şi care, de regulă, este anunţată încă din perioada lansării împrumutului: VEVRpr −= , cu VEVR > , unde: pr = prima de rambursare, VR = valoarea de răscumpărare, VE = valoarea de emisiune.


12

CAPITOLUL 3. NIVELUL OPTIM AL ACCIZEI Pentru determinarea unui nivel de impunere rezonabil teoria financiară propune diferite soluţii. O măsură a acestui nivel o furnizează modelul lui Arthur Laffer al cărui obiect este determinarea unui nivel de impunere zis optim, deoarece realizează maximum de încasări fisdcale în condiţii de echilibru general cerere/ofertă. Echilibrul general cerere/ofertă este construit pe egalitatea cererii globale şi a ofertei globale, introduse ca funcţii de preţ: )p(CC = 0'C < (3.1) )p(OO = 0'O > (3.2) OC = (3.3) unde: C = cererea globală, p = nivelul preţurilor, O = oferta globală, C( ) = funcţia de cerere, O( )= funcţia de ofertă Pe baza relaţiei de echilibru (3.3) se formează o ecuaţie a cărei variabilă este preţul şi care acceptă cel puţin o soluţie datorită caracteristicilor celor două funcţii componente. Fie p* soluţia, al cărei sens economic este de preţ de echilibru. Pe baza lui se pot determina nivelurile de echilibru ale cererii şi ofertei, respectiv C(p*) şi O(p*) sau C* şi O*. În acest echilibru intervine statul cu impozite, care vor determina modificarea punctului de echilibru. Introducerea impozitelor se face sub forma unei accize, definită ca impozit pe unitatea de produs desfăcută (vândută şi cumpărată). Dacă înţelesul accizei se consideră stricto sensu, atunci definirea ei pe unitatea de produs desfăcută se face prin însăşi legea care introduce acciza. Dacă înţelesul ei se consideră, prin extensie, ca fiind orice impozit sau taxă, atunci determinarea ei pe unitatea de produs desfăcută nu este dificilă întrucât agentul economic ştie şi care este cuantumul impozitului în cauză, şi care este volumul său de activitate (producţia desfăcută); acciza pe unitatea de produs desfăcută va fi raportul dintre cei doi indicatori menţionaţi anterior. Tendinţa ofertantului, referitor la impozitele pe care le plăteşte, este de a încerca să le recupereze de la cumpărător prin preţul produsului/tariful serviciului pe care i-l oferă. Acest lucru este posibil prin creşterea preţului de vânzare, dar este limitat de cel puţin două condiţii:

• mărimea preţului îl poate pune pe ofertant în situaţia de necompetitivitate faţă de ceilalţi ofertanţi, dacă aceştia nu practică aceiaşi manevră sau o practică limitat;

• mărimea preţului poate micşora cererea, reducându-i ofertantului încasările, încasări din care va trebui să suporte un volum total de impozite similar sau diminuat într-o măsură mai mică (impozitul pe avere, de pildă, nu se modifică în raport cu veniturile).

În cazul opţiunii de majorare a preţului, consecutiv introducerii unui impozit pe care trebuie să-l plătească, ofertantul va porni, la limită, de la ipoteza menţinerii cel puţin a profitului obţinut anterior apariţiei respectivului impozit. Volumul fizic al activităţii sale nu va creşte, ceea ce înseamnă păstrarea la acelaşi nivel CT a cheltuielilor ocazionate de activitatea


13

sa; va creşte, în schimb, venitul încasat, de la mărimea V anterioară introducerii impozitului, la VM ulterioară acestui fapt, ca rezultat al majorării preţului unitar de vânzare. Profitul iniţial are mărimea V-CT, iar ulterior VM-CT-c*(VM-CT), unde c este cota de impunere aferentă impozitului nou introdus. Pe baza ipotezei de egalitate a celor două profituri avem: )( CTVMcCTVMCTV −∗−−=− din care se obţine mărimea venitului modificat/majorat, respectiv ulterior introducerii noului impozit: )1/()( cCTcVVM −∗−= , în care avem următoarea restricţie: )1,0(∈c . VM este o funcţie crescătoare în c, cu alte cuvinte cu cât cota de impunere este mai mare, cu atât creşterea venitului (prin preţ), inclusiv a preţului unitar de vânzare, este mai mare:

0)c1(

CTV'VM 2c >−−

=

sau VVM

oc=

→lim şi +∞=

→1limc

, adică VM ∈ (V,+∞).

În cazul opţiunii de majorare a preţului, ofertantul va lucra cu două categorii de preţuri:

• un preţ de piaţă, fie pp, în care este inclus cuantumul unitar al impozitului T şi care va fi preţul la care cumpărătorul achiziţionează produsul;

• un preţ de gestiune, fie pg, în care nu este inclus impozitul: pg = pp � T (3.4)

Preţul de gestiune este un preţ de calcul al profitului obţinut de ofertant, care în calculele sale de eficienţă nu poate conta pe mărimea T a impozitului ce trebuie virat necondiţionat către bugetul statului. Oferta sa va fi determinată tocmai de acest preţ de gestiune, din care el suportă cheltuielile privind activitatea şi obţine profitul scontat (în sensul de profit obişnuit, care îi motivează efortul de iniţiere, desfăşurare şi continuare a activităţii). Modelul Laffer cuprinde următoarele relaţii similare celor ce descriu echilibrul global cerere/ofertă (3.1) � (3.3):

" funcţia cererii, definită prin preţul de piaţă:

)( ppCC = 0'C > (3.5) " funcţia ofertei, definită prin preţul de gestiune:

)( pgOO = 0'O > (3.6)


14

" relaţia între cele două preţuri, conform (4) " ecuaţia echilibrului global, conform (3).

Ecuaţia de echilibru se scrie, ţinând seama şi de (4): )()( pgOTpgC =+ , din care se determină preţul de gestiune la echilibru ca funcţie de acciză:

)(Tpgpg =∗ , Pe baza relaţiilor (3.5) şi (3.6) se pot determina cererea şi oferta de echilibru ca funcţii de acciză: ))(( TpgTCC +=∗

))(( TpgOO =∗ pentru care, în plus, avem:

∗∗ = OC , reprezentând volumul de echilibru al activităţii economice. Deoarece acciza este definită pe unitatea de produs desfăcută, se poate scrie expresia veniturilor bugetare VB, pe care statul le doreşte maxime: ))((maxmax TpgTCTVB +∗= sau ))((maxmax TpgOTVB ∗= din care rezultă că veniturile bugetare sunt funcţie de acciză: )(maxmax TVBVB = Condiţia de maxim revine la: 0'VB T = (3.7) 0''VB T < astfel încât din (7), ca ecuaţie în raport cu acciza, se poate determina nivelul ei optim T*, în sensul că maximizează încasările bugetare în condiţiile echilibrului global cerere/ofertă. Cu ajutorul lui T* se determină succesiv nivelele de �optim� ale venitului bugetar (VB*), ale celor două preţuri (pg* şi pp*) şi ale volumului cererii şi ofertei (C* şi O*). Modelul permite şi determinarea incidenţei accizei, adică a măsurii în care ea este suportată de cumpărător, respectiv de ofertant. Incidenţa se calculează ca pondere a sumei totale a accizei suportate de cumpărători, respectiv de ofertanţi, în total încasare bugetară:

∗∗

∗∗∗ −=

CTCpppa

**)(


15

∗∗

∗∗∗ −=

OTOpgpb

**)(

unde: a = incidenţa accizei asupra cumpărătorului, b = incidenţa accizei asupra ofertantului. Introducerea accizei conduce la câteva relaţii de ordine privind preţurile în modelul Laffer faţă de modelul (3.1) � (3.3) în care nu apare acciza: ∗∗ > ppp şi ∗∗ < ppg ∗∗ < CCL şi ∗∗ < OOL unde, pentru cerere şi ofertă, indicele L semnifică nivelul lor conform modelului Laffer, iar lipsa acestui indice indică nivelul acestora în condiţiile modelului fără acciză (3.1) - (3.3).


16

CAPITOLUL 4. DECIZII MULTICRITERIALE ÎN CONDIŢII DE CERTITUDINE

O problemă decizională în condiţii de certitudine poate fi definită de următoarele elemente: V = {V1, V2, ..., Vm} - mulţimea variantelor sau a alternativelor; C = {C1, C2, ..., Cn} - muţimea criteriilor decizionale. Evaluarea fiecărei variante Vi din punctul de vedere al criteriului Cj, ia forma unei

matrici a consecinţelor A = [aij],i = m,1 , j = n,1 , problema decizională multicriterială fiind numită şi problemă multiatribut cardinală. Problema decizională dată în acest context este specifică unor condiţii de certitudine (deterministe), datorită faptului că, în urma alegerii variantei Vi, din punct de vedere al criteriului Cj, se obţine în mod cert rezultatul/consecinţa aij. Putem observa că orice problemă de tip cardinal poate fi transformată într-o problemă ordinală, deoarece ordinea valorilor consecinţelor în fiecare criteriu în parte relevă un clasament/ierarhie a variantelor, pentru fiecare criteriu Cj în parte. A rezolva o astfel de problemă decizională multidimensională, înseamnă a realiza o ordonare coerentă a variantelor, de la cea mai bună, la cea mai puţin bună, în raport cu ansamblul celor n criterii. De multe ori criteriile sunt percepute de decidenţi ca având importanţe diferite, fapt ce

impune evaluarea unor coeficienţi de importanţă şπjţ, j = n,1 . Aceşti coeficienţi vor defini un vector π = (π1, π2, ..., πn), de coeficienţi, eventual

normalizaţi, caz în care ∑ =π=

n

1jj 1

. Modelele decizionale în contextul existenţei mai multor criterii, numite modele multicriteriale/multidimensionale, se împart în două clase, respectiv modele decizionale multiatribut (MDMA) şi, respectiv, modele decizionale multiobiectiv (MDMO). Atunci când mulţimea variantelor este infinită, fiind descrisă sub forma unui sistem de restricţii (egalităţi şi inegalităţi), avem o problemă de tip MDMO, în care avem în vedere maximizarea/minimizarea unor funcţii obiectiv. Atunci când alegerea variantei optime se face dintr-o mulţime finită de variante, care se compară între ele din punct de vedere al unei mulţimi finite de criterii, avem o problemă din clasa MDMA.

4.1. Metode multicriteriale de alegere Criteriile unei probleme decizionale multiatribut sunt diferite prin natura lor, iar consecinţele cuprinse în matricea decizională A sunt neomogene, unele calitative, altele cantitative, iar în acest ultim caz ele pot fi exprimate în unităţi de măsură diferite. De aceea este necesară o operaţie preliminară de omogenizare a consecinţelor printr-o procedură de scalare. Scalarea poate fi de tip ordinal, atunci când se face o corespondenţă între mulţimea valorilor criteriilor şi mulţimea numerelor naturale, stabilindu-se astfel o ordine a entităţilor. Dacă mulţimea de corespondenţă este un interval, avem o scalare de tip interval, în care se evidenţiază distanţa dintre entităţi. în fine, un al treilea tip de scalare, cel mai frecvent utilizat


17

în practică, îl constituie normalizarea prin care se realizează convertirea matricei A într-o alta

R = [ rij ] i = m,1 , j = n,1 , cu elemente în intervalul [0, 1].


18

Sunt cunoscute mai multe formule de normalizare, dintre care putem exemplifica: • normalizarea vectorială:

∑

=∑

=

==

m

1iij

ijijm

1i

2ij

ijij

a

arsau

a

ar

• normalizarea prin transformări liniare: - pentru criterii de maxim

{ }ij

imaxj

maxjijij amaxaunde,a/ar ==

- pentru criterii de minim

rij=1-aij/maxja

• normalizare prin interpolare:

- pentru criterii de maxim:

( ) ( )minj

maxj

minjijij aa/aar −−=

- pentru criterii de minim

( ) ( )min

jmaxjij

maxjij aa/aar −−=

unde { }ij

iminj amina =

Criteriile de tip calitativ (nenumerice) se pretează scalării ordinale, sau scalării într-un interval stabilit aprioric de decident. Tot o operaţiune preliminară, în contextul completării informaţiilor necesare rezolvării problemei, o constituie evaluarea coeficienţilor de importanţă a criteriilor. Prezentăm succint câteva metode în acest caz. a) Metoda vectorului propriu Decidentul construieşte o matrice B = şbijţ a intensităţii importanţei relative a perechilor de criterii (Ci, Cj), cu proprietăţile evidente:

( ) n1kjibbbi

b1b jkikijji

ij ,,,,/] =∀==

Elementele matricei B sunt stabilite de decident, acesta trebuind să delimiteze pe o scală numerică importanţa egală, slabă, puternică, sau absolută a perechilor de criterii. Coeficienţii de importanţă care vor fi calculaţi pe acestă bază, notaţi vectorial cu

( )n21~,...,~,~~ πππ=π vor fi componentele vectorului propriu al matricei B, corespunzătoare

valorii proprii maxime. Paşii algoritmului au în vedere:


19

• Rezolvarea ecuaţiei caracteristice:

( ) 0IBdet =λ−

•• Determinarea lui { } BS,max pii

i* ∈λλ=λ

••• Calcul vectorului propriu π~ din ecuaţia:

T~~B *T πλ=π b) Metoda entropiei Pentru fiecare criteriu în parte, pe baza datelor din matricea R, se calculează Hj - entropia rezultatelor (r1j, r2j, ..., rmj)T, după formula:

[ ]1,0H,

mln1k,rlnrkH j

m

1iijijj ∈=∑−=

= Gradul de diversificare a informaţiei date de criteriul Cj este: dj=1- Hj, iar coeficienţii de importanţă vor putea fi calculaţi astfel:

1cu,d/d

n

1jj

n

1jjjj =∑π∑=π

== Dacă decidentul acordă aprioric o importanţă subiectivă criteriilor, având expresia

vectorială ( )n21 ,...,, λλλ=λ , atunci cu mărimile jπ determinate anterior putem ajusta

coeficienţii obţinând vectorul ( )n21~,...,~,~~ πππ=π după relaţia:

∑ =π∑ πλπλ=π==

n

1jj

n

1ijjjjj 1~cu,/~

Metodele de soluţionare a MDMA pot fi grupate în funcţie de tipul informaţiei disponibile, privind importanţa, dependenţa sau independenţa criteriilor, precum şi în funcţie de complexitatea acestei informaţii. Astfel, se pot evidenţia MDMA fără informaţie, aşa cum sunt metoda dominanţei, metoda maximin, metoda maximax, metoda momentelor ş.a. în cazul în care există informaţii referitoare la criterii, după complexitatea acesteia putem evidenţia:

• cazul informaţiei date prin niveluri standard (metoda conjunctivă şi cea disjunctivă);

• cazul relevării unor preferinţe ordinale (metoda lexicografică, metoda eliminării, metoda permutărilor succesive);

• cazul preferinţelor cardinale (metodele: atribuirii liniare, a ponderării simple aditive, a ponderării ierarhice, a diametrelor, Electre, Onicescu, Topsis, a minimizării abaterii, Saphier, a punctajelor ş.a.);

• cazul criteriilor dependente (metoda combinărilor ierarhice).


20

în cazul în care informaţia disponibilă are în vedere variantele problemei, MDMA pot fi grupate în două clase, respectiv atunci când se iau în considerare perechile de variante (metoda Linmap şi metoda iterativă a ponderării aditive), respectiv când avem date distanţele între perechile de variante (metoda scalării multidimensionale). Ca o extensie a MDMA o constituie şi clasa modelelor multicriteriale dinamice şi a celor care operează cu mulţimi vagi (fuzzy). Pornind de la această structurare a metodelor şi modelelor decizionale deterministe de tip multiatribut au fost elaborate o serie de proceduri de rezolvare care, în funcţie de modul în care se obţine varianta optimă, pot fi grupate în:

• metode directe, în care varianta optimă este aleasă pe baza unei funcţii definite pe mulţimea variantelor;

• metode indirecte, în care ierarhia finală a variantelor este rezultatul aplicării unui algoritm.

Fără a avea pretenţia unei prezentări complete a metodelor de decizie din clasa MDAM, vom prezenta, conform structurii anunţate câteva metode/modele şi algoritmi utilizaţi în mod curent în practica decizională.

4.1.1. Decizii fără informaţii privind preferinţele decidentului asupra criteriilor/variantelor

Metoda dominanţei Vom spune că o variantă Vi este dominată dacă există o alta Vj şi cel puţin un indice k, k ş [1, 2, ..., n] astfel încât rik < rjk şi ril ≤ rjl, pentru toţi l ≠ k. Astfel, iterativ, se vor putea elimina variantele dominate şi vom obţine mulţimea soluţiilor nedominate, fără a putea furniza însă o ierarhie a acestora.

Metoda maximin Alegerea vizează cea mai bună variantă în raport cu criteriul pentru care ia cea mai mică valoare. Formal soluţia se obţine rezolvând problema:

{ }ij

jirminmax

Metoda maximax Metoda recomandă alegerea acelei variante care are valoarea cea mai mare în criteriul său cel mai bun, respectiv:

{ }ij

jirmaxmax

Cele două metode, care îşi au originea în teoria jocurilor, au fost unificate de Hurwicz într-o procedură de alegere a variantelor din mulţimea

( ) ( ){ }ijjijjirrV maxmin1max ⋅+−= ααα


21

unde αş[0, 1] desemnează aşa-numitul "coeficient de optimism" al decidentului, crescător când α → 1. Se oservă uşor că la limită, pentru α = 0 regăsim regula maximin, iar pentru α = 1, regula maximax.


22

Metoda momentelor Metoda, elaborată de Deutch şi Martin, se aplică MDMA cu criterii echiimportante, sau, altfel spus, în absenţa unor informaţii referitoare la importanţa criteriilor. Algoritmul de soluţionare a problemei are în vedere următorii paşi:

• normalizarea matricei A în forma R; •• pentru fiecare linie a matricei R se calculează momentul linie Mi

l:

m,1i,r/rjM

n

1jij

n

1jij

li =∑∑ ⋅=

==

••• se ordonează liniile matricei R în sens crescător după {Mil}.

•••• pentru fiecare coloană a matricei R se calculează momentul coloană Mjc:

n,1j,r/riM

m

1iij

m

1iij

cj =∑∑ ⋅=

==

••••• se ordonează coloanele matricei obţinute la pasul anterior în ordine crescătoare după { Mj

c}. ♦Se reia algoritmul de la pasul al doilea până când nu mai sunt necesare reordonări,

nici pe linie şi nici pe coloană. Ultima ordonare a liniilor furnizează clasamentul optim al variantelor decizionale.

4.1.2. Metode de decizie cu informaţii asupra criteriilor (preferinţe ordinale) Metodele conjunctivă şi disjunctivă Sunt presupuse cunoscute elementele matricei A precum şi elementele unui vector de nivele standard, corespunzătoare celor n-criterii ordonate preferenţial V0 = (a01, a02, ..., a0n). Se selectează, în prima versiune, acele variante Vi care îndeplinesc în conjuncţie proprietatea aij ≥

a0j, j = n,1 . În metoda disjunctivă se alege acea variantă pentru care există cel puţin un criteriu j є {1, 2, ..., n} astfel încât aij ≥ a0j. Metoda lexicografică Metoda presupune relevarea de către decident a unor preferinţe ordinale asupra criteriilor. Să presupunem, fără a micşora generalitatea abordării, că preferinţele decidentului urmează ordinea naturală: {C1, C2, ..., Cn}. Se selectează mai întâi mulţimea V1 a variantelor care satisfac la maxim criteriul cel mai important pentru decident, la start este vorba despre C1. Avem:

==≤≤

1kmk1

1ii1 amaxa/VV

Dacă avem card V1 = 1 rezultă evident că acel unic element al lui V1 este soluţia problemei, în caz contrar se construieşte mulţimea V2 astfel:


23

{ }2212 max/ kkii aaVVV =∈=

Procedura continuă până când: - s-a obţinut o mulţime Vk cu un singur element, care reprezintă soluţia modelului, sau - s-au luat în considerare toate criteriile şi, în acest caz, variantele din ultima mulţime reprezintă soluţia problemei.

Metoda eliminării Se presupun a fi cunoscute matricea A şi o funcţie care ataşează fiecărui criteriu Ci un număr natural U(Ci) definit de exemplu după relaţia: U(Ci) = n - (i - 1), care cuantifică importanţa criteriului Ci pentru decident. Fie V' o mulţime de variante caracterizate într-un anumit mod prin intermediul criteriilor (de exemplu, V' este mulţimea variantelor care ating valorile maxime pentru anumite criterii alese preferenţial de decident). Probabilitatea ca variata Vi să aparţină mulţimii V' este:

( ) ( ) ( )∑∑=

=∈

n

1kk

Jjji CU/CU'V,Vp

i

unde Ji = {j/Ve ş V', îrij - rejî< ε}, deci Ji este mulţimea indiciilor de criteriu pentru care varianta Vi este, din punctul de vedere al consecinţelor sale, suficient de apropiată de variantele Ve є V'. Acea variantă V* care are proprietatea că funcţia p (V*, V') este maximă se alege ca fiind cea mai bună. 4.1.3. Metode de decizie cu preferinţe cardinale asupra criteriilor Metodele din această clasă fac necesară cunoaşterea vectorului coeficienţilor de

importanţă a criteriilor, ( )n21 ,...,, πππ=π . Metodele pot fi de următoarele feluri:

• Metode directe - selectează varianta care maximizează o funcţie RV: →ϕ . Aici se includ metodele: atribuirii liniare, ponderării simple aditive, diametrelor ş.a.

•• Metode indirecte - determină o ierarhie pe mulţimea variantelor prin utilizarea unui algoritm (exemplu - metoda ELECTRE şi variantele ei).

••• Metode care, prin introducerea conceptului de distanţă, aleg varianta cea mai apropiată de soluţia ideală (metoda Saphier, TOPSIS ş.a.). Prezentăm în continuare câteva din aceste metode decizionale. Metoda atribuirii liniare Metoda, propusă de Bernardo şi Blin, consideră dată matricea A şi criteriile echiimportante. Se construieşte matricea locurilor L = [Lij]m x n, Lij - reprezintă locul ocupat de varianta i în criteriul j.


24

Se introduce "funcţia - loc", notată l: V x C → {1, 2, ..., m} şi definită de l(Vi, Cj) = k atunci când varianta Vi ocupă din punctul de vedere al criteriului Cj locul k. Suma locurilor ocupate de varianta Vi în toate criteriile Cj este cuantificată de funcţia cumulativă ρ:V → N

( ) ( ) m,1i,C,VlV

n

1jjii =∑=ρ

= Soluţia problemei va fi varianta V* pentru care:

( ) ( )i

i* VmaxV ρ=ρ

în cazul în care h - variante (h ≥ 2) ocupă acelaşi loc pentru un criteriu, se subîmparte acel criteriu în h subcriterii cărora li se asociează coeficienţii de importanţă egali cu a h - a parte din coeficientul criteriului iniţial.

Metoda ponderării aditive Metoda, datorată lui Mac Crimmon, propune alegerea variantei optime care rezultă din soluţionarea modelului:

( ) ∑ π∑π=

==

n

1jj

n

1jijjiii

,/rmaxVfmax

unde rij se obţin printr-una din metodele de scalare ale matricei A. Metoda diametrelor Ierarhizarea variantelor problemei se face în funcţie de omogenitatea lor în raport cu criteriile, respectiv în raport de modul în care acestea iau valori apropiate pentru toate criteriile. Din necesităţi practice se introduc două funcţii numerice: funcţia de apreciere A: V → R şi funcţia diametru D: V → N care măsoară omogenitatea variantelor. Avem atunci:

( ) ( )[ ] ∑ ππ∑ −=Α

==

n

1jjj

n

1jjii /C,VlmV

în care l: V x C → {1, 2, ..., m} este funcţia - loc. în plus:

( ) ( )[ ] ( )[ ] n,1j;m,1i;C,VlminC,VlmaxVD ji

jji

ji ==−=

O variantă este cu atât mai omogenă cu cât are diametrul mai mic, şi este cu atât mai bună pentru decident, cu cât valoarea funcţiei de apreciere este mai mare. Cum nu întotdeauna variantele cu apreciere maximă au diametru minim, se agregă cele două funcţii sub forma:

( ) ( ) ( )[ ]{ } 2/VDmVAVAgr iii −+=


25

Ierarhia optimă este dată de clasamentul realizat în ordine descrescătoare a funcţiei de agregare. Metoda Onicescu într-o primă versiune se consideră criteriile ca fiind echiimportante. De la matricea locurilor se construieşte o matrice a frecvenţelor F = [fij]m x m, în care fij - arată de câte ori varianta i ocupă locul j, fij ş {0,1, ..., m}. Fiecărei variante Vi i se ataşează o funcţie de agregare a frecvenţelor RV:f → , construită astfel:

( ) mi2iii 2

1f...21f

21fVf

m21⋅++⋅+⋅=

care relevă prin intermediul ponderilor k21

importanţa descrescătoare acordată frecvenţei ocupării unor locuri mai puţin bune. Ierarhia finală este dată de ordinea descrescătoare a valorilor lui f(Vi). într-o a a doua versiune se propune alegerea variantei optime pe baza relaţiei:

( )

= ∑

=

),(

1 21maxmax

ji CVln

jjiii

Vf π

Metoda ELECTRE Metoda ELECTRE a fost elaborată de un colectiv de cercetători francezi, condus de B. Roy, ea desemnând în fapt o metodă de clasament şi alegere în prezenţa unor puncte de vedere multiple. Fiecărui criteriu Cj i se poate ataşa un vector al mulţimii consecinţelor normalizate,

( )mjj2j1j r,...,r,rC~ = , care reprezintă aşa-numitele stări rezultate în vederea evaluării variantelor Vi din punctul de vedere al criteriului Cj. Compararea elementelor mulţimii V în raport cu C, sau astfel spus în raport cu

mulţimea n21 C~...C~C~ ××× este posibilă doar atunci când oricare două variante pot fi comparate, în funcţie de fiecare criteriu în parte. Astfel, fiecărui criteriu Cj i se va ataşa un graf Gj = (V, Uj) unde elementele lui V sunt vârfurile/nodurile grafului. între două vârfuri Vi, Vk vom putea construi un arc având ca sursă nodul i şi ca destinaţie/adresă nodul k, dacă Vi depaşeşte pe Vk în ordonarea după criteriu Cj. în caz de echivalenţă între cele două variante, nodurile corespunzătoare vor fi legate prin arce în ambele sensuri. Graful Gj este tranzitiv şi complet el dând astfel o reprezentare sugestivă a relaţiei de preordine definită pe V, în raport cu criteriul Cj. Tranzitivitatea înseamnă că dacă între două noduri oarecare Vi, Vk, există un drum orientat de la Vi la Vk, atunci există şi un arc de la Vi la Vk. Graful este, de asemenea, complet în sensul că oricare două vârfuri Vi, Vk sunt unite printr-un arc, cel puţin într-un sens.


26

A rezolva problema decizională multicriterială înseamnă ca, pornind de la {Gj}j = n,1 , să construim un graf sinteză G0 = (V, U0) care să reflecte ordonarea elementelor din V în funcţie de toate criteriile Cj.

în G0 vom avea (Vi, Vk) Є G0 ⇔ (Vi, Vk) ş Gj, ( ) n,1j =∀ . Realizarea unei ordonări complete în G0 necesită introducerea unor indicatori de concordanţă, respectiv de discordanţă, care vor permite iterativ completarea lui G0 cu arce, până ce se va obţine o soluţie bună din toate punctele de vedere, în raport cu anumite mărimi-prag ale indicatorilor menţionaţi. Concordanţa dintre două variante Vg, Vh ş V este dată de indicatorul:

( ) ,1,

1

∑∑ ∈

=

⋅=Jj

jn

jj

hg

pVVC π

unde J = {j/rgj ≥ rhj, pentru criteriul Cj de maxim, respectiv rgj ≤ rhj, pentru criteriile de minim}. Fără a micşora generalitatea vom presupune că toate criteriile au ca obiectiv maximizarea. Indicatorul ia valori în intervalul [0,1], furnizând o informaţie referitoare la nivelul de "depăşire" a variantei Vh de către varianta Vg. Discordanţa dintre două variante Vg, Vh ş V este dată de indicatorul:

( ) { }

−∆

>=

∈gjhj

Jj

hjgj

hg rr

rrdacaVVD

max1

,0,

unde { } J\n,...,2,1J = , iar ∆ este ecartul maxim în valoare absolută din matricea consecinţelor normalizate. Acest indicator reflectă, în mod dual, nivelul depăşirii variantei Vg de către Vh. Pe mulţimea V se va introduce acum o relaţie de surclasare (ϕ) definită astfel: Vom spune că Vg surclasează pe Vh şi vom scrie Vg ϕ Vh ⇔ C(Vg, Vh) ≥ p şi D(Vg, Vh) ≤ q, unde p, q sunt praguri de concordanţă, respectiv de discordanţă, cuprinse între 0 şi 1. Fiecărei perechi de praguri (p, q) i se va putea asocia un graf G(p, q) = (V, U(p, q)) construit astfel: (Vg, Vh) ş U(p, q) ⇔ C(Vg, Vh) ≥ p şi D(Vg, Vh) ≤ q, sau, astfel spus, (Vg, Vh) ş U(p, q) ⇔ Vg ϕ Vh. Prin scăderea iterativă a valorilor lui p, iniţial cât mai apropiat de 1, şi creşterea lui q, de la valoarea iniţială, apropiată de 0, în graful iniţial se introduc noi vârfuri şi arce. Astfel, dacă pornind de la G(p, q) facem ca p' ≤ p şi q' ≥ q, unde p' = p - ∆p, q' = q + ∆q, obţinem un alt graf G(p', q'), în raport cu care G(p, q) este un subgraf parţial. Procedeul descris este reiterat până când, pentru un nivel admis de decident al

nivelurilor celor două praguri, ( q,p ) se identifică o variantă V* ş V care le surclasează pe

toate celelalte C(V*, Vi) ≥ p şi D(V*, Vi) ≤ q , (∀) i = m,1 . Metoda, simplu de aplicat, are avantajul că ţine seama atât de relaţiile de concordanţă, cât şi cele de discordanţă dintre variante, deşi cei doi indicatori au baze de calcul diferite (coeficienţii de importanţă, respectiv consecinţele, eventual normalizate). Metoda poate utiliza


27

consecinţele directe, dar în acest caz apar probleme de necomparabilitate a diferenţelor ahj - agj sub aspect multicriterial şi intercriterial. Metoda TOPSIS Metoda, elaborată de Hwang şi Youn, dezvoltă o tehnică de ordonare prin similaritate cu soluţia ideală. Ea urmăreşte definirea variantei optime ca fiind acea variantă aflată la distanţa cea mai mică faţă de aşa-numita soluţie ideală. Paşii algoritmului sunt daţi de următoarea secvenţă:

Pas 1. Construirea matricei R = [rij] i = m,1 , j = n,1 a consecinţelor normalizate. Pas 2. Construirea matricei normalizate ponderate cu coeficienţii de importanţă a criteriilor: V = [vij] , vij = πj ⋅ rij. Pas 3. Definirea vectorilor soluţiei ideale pozitive V+ şi soluţiei ideale negative V-, astfel: V+ = (v1

+, v2+, ..., vn

+), V- = (v1-, v2

-, ..., vn-)

unde: max {vij}, când Cj e criteriu de maxim vj

+ = 1 ≤ i ≤ m min {vij}, când Cj e criteriu de minim 1 ≤ i ≤ m şi max {vij}, când Cj e criteriu de minim vj

- = 1 ≤ i ≤ m min {vij}, când Cj e criteriu de maxim 1 ≤ i ≤ m Pas 4. Calculul distanţei euclidiene între o variantă curentă Vi şi varianta- soluţie V+, respectivV-:

( )

2/1n

1j

2jiji vvS

∑ −==

++

( ) m,1i,vvS

2/1n

1j

2jiji =

∑ −==

−−

Pas 5. Determinarea coeficientului apropierii relative de soluţia ideală pozitivă:

−+

−

+=

+ii

iAR SS

SCi


28

Evident că o variantă Vi este cu atât mai apropiată de V+ cu cât →+iARC 1.

Pas 6. Ordonarea descrescătoare a variantelor în funcţie de +iARC , respectiv determinarea soluţiei problemei de decizie multiatribut. Metoda permutărilor succesive Elaborată de Bernard şi Besson, metoda are în vedere posibilitatea investigării celor m! permutări ale variantelor, având ca date de intrare necesare matricea A şi vectorul

( ) ∑ =ππππ=π=

n

1jjn21 1,,...,,

.

Pentru fiecare permutare ),V ..., ,V ,(V Qm21 iiii = cu i = 1, 2, ..., m! se construieşte o

matrice pătratică de forma:

]d[D

likii = unde:

∑ <π

=

∑ >π

=

∈

∈

liki

liki

lk

Djklj

kl

Cjklj

ii

iidaca,

iidaca,0

iidaca,

d

iar

{ }lklkjijiii ii,m,...,2,1i,i,aajClklk

≠=≥=

{ }lklkjijiii ii,m,...,2,1i,i,aajDlklk

≠=≤=

Mulţimea Clkii - reprezintă acele criterii pentru care a jik depăşeşte a jli , iar

Dlkii submulţimea criteriilor pentru care a jli depăşeşte pe jik

a . Rangul fiecarei permutări Qi se calculează în continuare cu formula:

!m,...,2,1i,R

likilikii Dj

jCj

jQ =∑ π−∑ π=∈∈

Ierarhia finală va fi dată de permutarea cu rang maxim: }R{maxR

i* QiQ =

. Să notăm că metoda prezentată poate fi încadrată în clasa metodelor de decizie cu preferinţe cardinale, dar şi ordinale asupra criteriilor. În acest ultim caz vom presupune

cunoscută ordinea importanţei criteriilor ca fiind n21 iii C ..., ,C ,C . Se construiesc vectorii πj cu componentele i1, i2, ..., ij egale cu 1/j iar restul nule. Se determină permutările corespunzătoare acestor vectori, asemănător cazului cardinal, soluţia optimă corespunzând vectorului πn.


29

În afara metodelor decizionale multiatribut au fost dezvoltate şi alte metode în care se urmăreşte eliminarea treptată a criteriilor dependente şi reţinerea doar a celor independente, metode decizionale cu informaţii referitoare la preferinţele apriorice ale decidentului asupra variantelor, algoritmi pentru decizii multicriteriale fuzzy ş.a. O problemă practică, privită ca o dificultate în implementarea metodelor MDMA o constituie aceea legată de neunicitatea soluţiilor acestora. Teoretic, acest impediment poate fi depăşit prin aplicarea unei proceduri numite iterarea metodelor. Pas 1. Presupunem că problemei iniţiale descrise de V, C şi matricea A i-au fost aplicate s metode de decizie M1, M2, ..., Ms în urma cărora s-au obţinut în iteraţia (1) clasamentele/ierarhiile:

s, ..., 2, 1, k ),j ..., ,j ,(j I

(1)

mk

(1)

2k

(1)

1k

(1)k ==

unde j(1)

lk ş {1, 2, ..., m} pentru orice l ş {1, 2, ..., m}. Pas 2. Se construieşte maticea R(1) a ierarhiilor ale cărei coloane conţin locurile variantelor în ierarhiile obţinute în pasul 1.

=

)1()1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

1

)1()1(2

)1(1

)1(

111

mmm s

s

m

s

jjj

jjj

V

V

III

R

L

MMM

L

M

L

Matricei R(1) i se aplică din nou secvenţa de metode {M1, M2, ..., Ms}, obţinându-se ierarhiile I1

(2), I2(2), ..., Is

(2). Pas 3. Se reia procedeul cu pas 2 în cadrul unei noi iteraţii. Procedura de calcul se încheie, fiind posibile trei situaţii:

• După k-iteraţii matricea R(k) are toate coloanele identice I1(k) ≡ I2

(k) ... ≡ Is(k), această

coloană fiind soluţia problemei în contextul convergenţei algoritmului. •• După k-iteraţii matricea R(k) se repetă R(k) = R(k+1) = ... . Procedeul este stabil dar

ierarhiile sunt diferite, în general alegerea uneia din ele fiind la latitudinea decidentului. ••• Procedeul ciclează, în sensul că după k-iteraţii regăsim matricea R(k'), k' < k,

alegerea ierarhiei din mulţimea {I1(k), I2

(k), ..., Is(k)} fiind de competenţa decidentului.

4.1.4. Aplicaţii bugetare Prezentăm în continuare, ca aplicaţii la metodele multiatribut de alegere, indicatorul

dezvoltării umane şi metoda cost-avantaj . 1. Indicatorul dezvoltării umane Între cheltuielile social-culturale şi dezvoltarea economică există o relaţie de tip feed-back, caracterizată cel mai adesea multicriterial. În această relaţie, cheltuielile social-


30

culturale pot fi interpretate ca o investiţie pe termen lung şi foarte lung pentru dezvoltarea viitoare; de aceea, aceste chletuieli sunt denumite investiţii în resurse umane. În structura acestor investiţii se regăsesc trei componente principale: investiţia intelectuală, investiţia de sănătate şi investiţia culturală. În această relaţie , cheltuielile social-culturale pot fi interpretate ca o investiţie pe termen lung şi foarte lung pentru dezvoltarea viitoare ; de aceea , aceste cheltuieli sunt denumite investiţii în resurse umane. Ulterior, a fost introdus conceptul de dezvoltare umană. Acest concept dfineşte un nou domeniu de cercetare economică, ce circumscrie investiţia în resurse umane şi pentru care PNUD (Programul Naţiunilor Unite pentru Dezvoltare) a propus un indicator complex de evaluare: indicatorul dezvoltării umane (IDU):

3

3

1∑== j

jRIDU , (4.1)

unde: Rj este rangul indicatorului specializat al dezvoltării umane. PNUD defineşte trei astfel de indicatori specializaţi: longevitatea, nivelul de educaţie, standardul (nivelul) de viaţă.

1. Longevitatea este speranţa de viaţă la naştere exprimată în ani, cu alte cuvinte durata medie de viaţă la care poate spera un nou-născut. Determinarea acesteia se face pe baza statisticii demografice, dar şi a unor estimări privind evoluţia mediului economico-social.

2. Nivelul de educaţie este exprimat prin:

2.1 gradul de alfabetizare (ponderea cunoscătorilor de carte din totalul populaţiei);

2.2 gradul de cuprindere în învăţământ (ponderea celor ce urmeză cursuri de educaţie/instruire/formare profesională în total populaţie, într-un interval de timp dat, de regulă un an).

Nivelul de educaţie este, aşadar, un indicator compus pe baza celor doi menţionaţi.

3. Standardul (nivelul) de viaţă este exprimat prin produsul intern brut (PIB) pe

locuitor, exprimat în USD şi corectat anual cu un coeficient exprimând puterea de cumpărare a monedei naţionale faţă de cea a USA.

Rangul indicatorului specializat este determinat după o relaţie care permite exprimarea

mărimii respectivului indicator într-o scară cuprinsă între zero şi unu:

jjMAX

jjj VV

VISDUR

min.

min

−

−= j=1 şi 3, (4.2)

în care:


31

ISDUj = indicatorul j (1 sau 3) al dezvoltării umane, Vmin j = valoarea minimă a ISDUj, VMAX j= valoarea maximă a ISDUj. Pentru cel de-al doilea indicator specializat se calculează, potrivit relaţiei (2), rangul indicatorilor ce-l compun: R2.1 şi R2.2. Apoi se calculează rangul nivelului de educaţie după relaţia:

3

*2 2.21.22

RRR

+=

2. Metoda cost-avantaj Multicriterialitatea este utilizată de asemenea, în corelaţie cu metoda cost-avantaj, utilizată în deciziile privind nivelul unor cheltuieli/venituri bugetare.Această metodă prezintă forţă de argumentaţie, deoarece compară cheltuielile cu rezultatele, adică permite folosirea indicatorilor de eficienţă şi, de asemenea, dă posibilitatea introducerii alegerii multicriteriale. În ce priveşte eficienţa, aceasta este evidenţiată în două din formele ei cele mai expresive:

• Efect obţinut la unitatea de cost; C/A1e =

• Cheltuiala (efortul) necesară pentru obţinerea unei unităţi de avantaj; ACe /2 =

unde C este costul necesar pentru realizarea obiectivului, iar A este avantajul generat de realizarea respectivului obiectiv.

Într-o analiză mai detaliată, costurile pot fi defalcate pe componente/tipuri/categorii, de pildă: costuri de capital (investiţii), costuri materiale, costuri salariale. La rândul lor, avantajele pot fi evidenţiate prin indicatori specifici, cum sunt: elevi/studenţi şcolarizaţi, săli de clasă etc. (pentru obiective de învăţământ), număr de unităţi spitaliceşti sau de paturi de spital, bolnavi îngrijiţi etc. (pentru obiective de sănătate), număr de locuri de muncă create, număr de şomeri asistaţi sau integraţi etc. (pentru obiective sociale), creşterea PIB-ului, valoarea prezentă netă etc. (pentru obiective economice) ş. a.

În ce priveşte alegerea multicriterială, aceasta permite definirea unor criterii de apreciere calitativă şi implicit de selecţie specifice diferitelor obiective. Să presupunem un obiectiv pentru realizarea căruia pot fi avute în vedere j = 1,2,�J variante. Criteriile calitative de apreciere a obiectivului (a rezultatelor obţinute prin relizarea lui) sunt identificate cu indicele k = 1,2,...K. În limita unui criteriu dat, proiectele pot fi ierarhizate în ordine, de pildă descrescătoare. Rezultă astfel locul jkl pe care varianta j îl ocupă în ierarhia generată de criteriul k. Această informaţie poate fi cumulată pe mulţimea criteriilor k, rezultând un rang pentru fiecare proiect j, astfel:

∑=

=K

1kjkj lr j = 1,2,...J

(4.3)


32

Cu cât acest rang este mai mic, cu atât proiectul respectiv este mai bine situat în ierarhia multicriterială. Procedura poate fi îmbunătăţită prin introducerea unor ponderi de importanţă pentru fiecare criteriu în parte, fie Pk, atunci:

∑=

K

kkP

1= 1

Aceste ponderi aduc �în joc� subiectivismul decidentului, adică importanţa pe care el o

acordă diferitelor criterii de apreciere. În acest caz relaţia (4.3) devine:

∑=

∗=K

kkjkj Plr

1 j = 1,2,...J

Unul dintre criteriile luate adesea în calcul este valoarea actuală a avantajului net

rezultat din realizarea obiectivului pentru care s-au efectuat cheltuielile bugetare. Acceptăm ipoteza unui obiectiv realizat în etape anuale t = (1,T1) în care se efectuează cheltuieli de realizare CBt. Obiectivul funcţioneaza până la momentul T2>T1, cu cheltuieli anuale de funcţionare CFt cu t = T1+1, T1+2, �T2.

În tot intervalul de funcţionare se obţin rezultate brute anuale de mărime At. Datorită perenităţii realizării şi funcţionării obiectivului, evaluarea avantajului net trebuie efectuată în condiţiile procedurii de actualizare, pentru a asigura echivalenţa puterii de cumpărare a monedei naţionale, indiferent de anul în care a fost efectuată cheltuiala sau s-a obţinut avantajul. Fie i rata de actualizare. În aceste condiţii avantajul net actual (ANA) este:

∑ ∑+= =

−− +∗−+∗−=2

1

1T

1Tt

T

1t

tt

ttt )i1(CB)i1()CFA(ANA

Metoda prezintă, cu toate avantajele ei, unele puncte slabe sau discutabile:

! Diversitatea şi chiar incongruenţa criteriilor caracteristice domeniilor eterogene finanţate din buget;

! Nepotrivirea între optimul unui sistem în unicitatea şi integralitatea lui şi suma optimelor parţiale ale subsitemelor care îl compun.

Depăşirea acestor aspecte a fost încercată prin tehnica managementului prin obiective (MBO). Aceasta presupune o planificare globală pe un termen suficient de bine acoperitor al orizonturilor de realizare a obiectivelor propuse de diferite instituţii centrale. Resursele identificate pentru respectivul orizont sunt distribuite între obiective, astfel încât să asigure o cotă de realizare cât mai ridicată.

4.2. Decizii pe bază de utilităţi Conceptul de utilitate are o importanţă teoretică, dar şi aplicativă, deosebită în teoria deciziei. Ca formă infralogică, utilitatea este legată de o alta, respectiv de valoare, dar are un sens mai restrâns, vizând activitatea practică a omului. Sunt cunoscute trei accepţiuni ale conceptului de utilitate, respectiv în sens Bernoulli, în sensul teoriei echilibrului general şi în sens Neumann-Morgenstern.Vom prezenta în detaliu cea de a treie accepţiune.


33

4.2.1. Utilitatea decizională în sens von Neumann - Morgenstern Dacă utilitatea marginală se referă la un vector multidimensional de consumuri, utilitatea decizională are în vedere o consecinţă sau un vector de consecinţe care pot fi situaţii, împrejurări sau orice rezultat al unui proces decizional, exprimat cantitativ sau calitativ. La rândul ei, utilitatea bernoulliană este inclusă în definiţia modernă a utilităţii decizionale uni sau multicriteriale. John von Neumann şi Oskar Morgenstern au introdus termenul de utilitate (Theory of Games and Economic Behavior, 1944), considerând-o ca o cuantificare axiomatizată a preferinţelor decidentului. Sistemul axiomatic al utilităţii, privită ca o măsură a preferinţei caută să reflecte comportamentul raţional al decidenţilor. Ca elemente primare se au în vedere:

• V = {V1, V2, ..., Vm} mulţimea variatelor/alternativelor; • relaţia binară "≽" (preferat sau indiferent); • o mulţime de scalari ∑ = {α, β, ... } având semnificaţia unor probabilităţi.

De la relaţia binară ≽ se pot introduce alte două relaţii pe V x V. Astfel avem preferinţa strictă, notată prin ≻ şi definită de Vi ≻ Vj ⇔ Vi ≽Vj dar Vj ≽Vi nu poate avea loc şi respectiv relaţia de indiferenţă, notată ∼ şi definită de Vi ∼ Vj ⇔ Vi ≽ Vj şi Vj ≽ Vi. Axiomatica formulată de Neumann şi Morgenstern este dată în continuare: A1. Un decident care compară consecinţele variantelor Vi şi Vj poate releva una din următoarele trei atitudini: - preferă pe Vi lui Vj, (Vi ≻ Vj); - preferă pe Vj lui Vi, (Vj ≻Vi); - nu preferă nici una din cele două variante sau, astfel spus, cele două variante îi sunt indiferente (Vi ∼ Vj). A2. Relaţia de preferinţă este tranzitivă: Vi ≻ Vj şi Vj ≻Vk ⇒ Vi ≻ Vk, iar relaţia de indiferenţă este tranzitivă şi simetrică, adică: Vi ∼ Vj şi Vj ∼ Vk ⇒ Vi ∼ Vk, iar Vi ∼ Vj ⇒ Vj ∼ Vi. A3. în afara variantelor pure din V decidentul poate lua în considerare un tip special de variante, numite mixturi probabilistice a două variante simple Vi, Vj, de forma: V' ≡ [pVi; (1 - p)Vj], unde p reprezintă probabilitatea de realizare a variantei Vi, iar 1 - p, probabilitatea realizării variantei Vj. în acest context, dacă Vi ≻ Vj atunci Vi ≻ V', oricare ar fi p ş (0, 1), iar dacă Vj ≻ Vi, atunci V' ≻ Vi, (∀) p ş (0, 1). A4. Dacă avem trei variante decizionale, în relaţia preferenţială Vi ≻ Vj ≻ Vk, atunci există mixtură V' = [αVi; (1 - α)Vk] astfel încât V' ≻ Vj, α ş ∑ şi o altă mixtură V" = [βVi; (1 - β)Vk] astfel încât Vj ≻ V", β ş ∑. Axioma evidenţiază posibilitatea construirii cu ajutorul a două variante Vi, Vk a unei infinităţi de mixturi probabilistice,care variează continuu între Vi şi Vk. Această axiomă reprezintă echivalentul axiomei continuităţii din teoria echilibrului general. A5. Pentru oricare trei variante Vi ≻ Vj ≻ Vk, dacă un decident exprimă relaţia Vi > Vj, atunci, implicit, el va exprima şi relaţia


34

[αVi; (1 - α)Vk] ≻ [αVj; (1 - α)Vk], (∀) α ş ∑, deci o relaţie de preferinţă între două variante se conservă atunci când se consideră mixtura acestora cu o a treia variantă. A6. Dacă Vi ∼ Vj, atunci [αVi; (1 - α)Vk] ∼ [αVj; (1 - α)Vk], (∀) α ş ∑ şi (∀) Vk ş V. Deci o relaţie de indiferenţă între două variante Vi, Vj se conservă atunci când se consideră şi mixtura acestora cu o a treia variantă Vk. A7. Dacă avem mixtura V' ≡ [βVi; (1 - β)Vj] atunci [αV'; (1 - α)Vj] ∼ [αβVi; (1 - αβ)Vj], oricare ar fi α, β ş ∑, deci alternativele compuse se pot descompune în alternative simple, folosind regulile din calculul probabilităţilor, fără ca preferinţele să fie afectate. Pe baza acestor axiome se defineşte funcţia de utilitate care asociează fiecărei variante Vi un element al mulţimii numerelor reale, având proprietăţile: a) Vi ≻ Vj ⇔ U(Vi) > U(Vj), adică funcţia de utilitate U : V → R este monoton crescătoare în raport cu relaţia de preferinţă; b) Vi ∼ Vj ⇔ U(Vi) = U(Vj); c) Dacă Vk este o mixtură probabilistică Vk = [pVi; (1 - p)Vj], p ş (0, 1), iar V' o variantă indiferentă faţă de Vk, V' ∼ Vk, atunci U(V') = pU(Vi) + (1 - p) U(Vj); d) Dacă funcţia de utilitate are proprietăţile anterioare atunci ea poate suferi o transformare liniară pozitivă care îi conservă calitatea de funcţie de utilitate a variantei Vi:

)V(U~ i = aU(Vi) + b, a > 0, b ş R Utilitatea unei variante Vi, U(Vi), se poate determina considerând cunoscute/estimate utilităţile U(Vj) şi U(Vk), între care există relaţia Vj ≻ Vk. Dacă U(Vj) = 1 şi U(Vk) = 0 putem avea următoarele cazuri:

• Vj ≻ Vi ≻ Vk ⇒ se apreciează de către decident probabilitatea p pentru care Vi ∼ [pVj; (1 - p)Vk]. Atunci avem:

U(Vi) = pU(Vj) + (1 - p)U(Vk) = pU(Vj) = p ş [0, 1];

•• Vi ≻ Vj ≻ Vk ⇒ se apreciează probabilitatea q pentru care Vj ∼ [qVi; (1 - q)Vk].

Deci U(Vj) = qU(Vi) + (1 - q)U(Vk) ⇒ U(Vi) = q1

≥ 1; ••• Vj ≻ Vk ≻ Vi. Trebuie estimată probabilitatea γ pentru care Vk ∼ [γVj; (1 - γ)Vi].

De aici rezultă că U(Vi) = - γ−γ

1 ≤ 0 Pornind de la matricea consecinţelor A = [aij] putem construi matricea utilităţilor U = [uij] prin interpolare liniară într-un intreval [a, b]. Dacă criteriul este de maxim atunci avem

uij = a + (b - a) minj

maxj

minjij

aaaa−−

,


35

ajmax = max {aij},

1 ≤ i ≤ m

ajmin = min {aij}, j = 1, 2, ..., n.

1 ≤ i ≤ m

uij - utilitatea lui Vi pentru Cj aij - consecinţa variantei Vi în criteriul Cj

în cazul în care criteriul este de minim, avem:

uij = a + (b - a) minj

maxj

ijmaxj

aaaa

−−

Principalele obiecţii formulate în raport cu definiţia lui von Neumann şi Morgenstern se referă la: - identificarea utilităţii cu o probabilitate subiectivă, menţinând caracterul subiectiv al tratării problemei decizionale; - tranzitivitatea relaţiei de preferinţă şi uneori a celei de indiferenţă sunt chestiuni discutabile, cel puţin din punct de vedere psihologic. Rezolvarea problemei decizionale în care matricea ei este o matrice a utilităţilor, necesită o tratare distinctă, după cum este relevată sau nu independenţa criteriilor. în cazul în care problema independenţei criteriilor este ignorată, metodele prezentate anterior (MDMA) pot fi aplicate cu un mic amendament care constă în transformarea elementelor matricei A sau R într-o matrice a utilităţilor U = [uij] estimate printr-o procedură de tip Neumann - Morgenstern. Matricei U i se pot aplica în continuare metodele decizionale expuse până acum. 4.2.2.. Metoda maximizării utilităţii globale Metoda, elaborată de Boldur Gh.-Lăţescu şi Stancu I.-Minasian, are la bază ideea transformării funcţiilor obiectiv ale unei probleme multicriteriale în funcţii-utilitate în sens Neumann - Morgenstern, care, apoi, vor fi însumate pentru a obţine o funcţie sinteză. Metoda, elaborată în contextul existenţei unei probleme de programare matematică linară cu criterii multiple, poate fi la fel de bine inclusă în clasa metodelor de rezolvare a problemelor decizionale cu un număr infinit de variante. Folosirea conceptului de utilitate în rezolvarea unei astfel de probleme face necesară examinarea posibilităţii de a însuma utilităţile. în studiul acestei probleme P. C. Fishburn a arătat că utilităţile sunt aditive numai dacă criteriile sunt independente în sensul teoriei utilităţii. Fiecărei variante Vi îi corespunde un n-uplu de consecinţe (ai1, ai2, ..., ain). în afara celor m . n-uple din matricea consecinţelor se pot lua în considerare toate n-uplele din produsul cartezian n21 Cx...xCxCC = , unde Cj = {x1j, x2j, ..., xmj} reprezintă mulţimea

consecinţelor corespunzătoare criteriului Cj, j = n,1 . Cum numărul total al acestor n-uple este γ = mn rezultă că vom putea introduce mn - m variante "fictive": Vm+1, Vm+2, ..., Vγ.


36

Dacă notăm cu a1, a2, ..., aγ n-uplele care fac parte din produsul cartezian j

n

1jCX

= se va putea defini o mulţime G de perechi de mixturi de forma (ω1, ω2) astfel:

ω1 = (p1a1, p2a2, ..., pγaγ), ( ) γ=∀∈∑ =

γ

=,1j,Ca,1p j

1jj

ω2 = (q1a1, q2a2, ..., qγaγ), ( ) γ=∀∈∑ =

γ

=,1j,Ca,1q j

1jj

astfel încât ω1 ω2 şi probabilitatea totală a unui aj ş jC , n,1j = să fie aceeaşi în ambele mixturi. Fiind date n criterii C1, C2, ..., Cn ele sunt mutual independente în sensul teoriei utilităţii, dacă şi numai dacă ω1 ∼ ω2 pentru orice (ω1, ω2) ş G. în acest caz aditivitatea utilităţilor este posibilă şi avem: U(ai1, ai2, ..., ain) = u1(ai1) + u2(ai2) + ... un(ain) Intuitiv, independenţa criteriilor în sensul teoriei utilităţii specifică faptul că unei consecinţe a unei variante Vi, din punct de vedere al criteriului Ck, îi corespunde întotdeauna aceeaşi utilitate, indiferent cu ce consecinţă, din punct de vedere al criteriului Cl este asociată. Independenţa criteriilor sugerează o anumită stabilitate a utilităţilor la schimbarea împrejurărilor în care se face estimarea. Pentru prezentarea metodei maximizării utilităţii globale vom considera că suntem în prezenţa unei probleme decizionale multicriteriale de tipul:

optim {Fj(x)}, j = r,1 x ş D unde Fj sunt funcţiile/criteriile multiobiectiv (liniare) iar D domeniul soluţiilor admisibile definit printr-un set de restricţii liniare, incluzând şi condiţiile de nenegativitate. Pas 1. Pentru fiecare funcţie-scop se determină valoarea optimă Xj, unde

(x)F optim X jDx

j∈

= şi valoarea pesimă Yj, unde

Fj(x) pesim YjDx∈

=.

Pas 2. Pe mulţimea tuturor valorilor optime şi pesime determinate se estimează utilităţile acestor valori în sens Neumann - Morgenstern

{X1, X2, ..., Xr; Y1, Y2, ..., Yr} → {U1, U2, ..., Ur; Ur+1, Ur+2, ..., U2r} Pas 3. Funcţiile obiectiv Fj se transformă în funcţiile de utilitate FUj rezolvând mai

întâi r sisteme liniare având necunoscute coeficienţii (αj, βj), j = r,1 .

αjXj + βj = uj

αjXj + βj = uj+r Vom putea construi acum funcţiile de utilitate:


37

FUj = αjFj + βj, j = r,1 Pas 4. Se rezolvă în final problema de programare matematică având drept scop maximizarea utilităţii globale: UG:

,FUmaxUGmax

r

1jjj

DxDx∑ π==∈∈

πj - coeficienţii de importanţă a criteriilor Cj. în cazul în care modelul decizional are forma clasică a matricei utilităţilor, U = [Uij], i

= m,1 , j = n,1 metoda se simplifică ea comportând doi paşi: Pas 1. Se calculează utilitatea fiecărei variante folosind aditivitatea utilităţilor multicriteriale:

U(Vi) = m,1i,U

n

1jijj =∑ π

= Pas 2. Se alege variata optimă V* pentru care:

U(Vi).max U(V*)

mi1 ≤≤=

4.2.3.. Metoda ELECTRE - BOLDUR O variantă a metodei ELECTRE a fost propusă de profesorul Gheorge Boldur-Lăţescu. În vederea simplificării şi operaţionalizării metodei, în sensul teoriei utilităţii, autorul a propus utilizarea unor coeficienţi normalizaţi de concordanţă şi respectiv discordanţă. Aceşti

coeficienţi, notaţi cu (.,.)D�(.,.),C� sunt calculaţi pe baza utiltăţilor Uij estimate pentru consecinţele aij din matricea decizională A, după procedeul Neumann - Morgenstern. Formulele de calcul sunt: C� (Vg, Vh) = ∑ πj (Ugj - Uhj) j ş J J = {j | Ugj ≥ Uhj} D� (Vg, Vh) = ∑ πj (Uhj - Ugj) j ş J J = {1, 2, ..., n} J Paşii metodei sunt următorii: Pas 1. Se estimează utilităţile pe fiecare criteriu şn parte, sau pe şntreg tabloul decizional, obţinându-se matricea utilităţilor multicriteriale U = [Uij].


38

Pas 2. Se calculează pentru fiecare pereche de alternative atât matricea coeficienţilor de concordanţă C� , cât şi matricea coeficienţilor de discordanţă D� . Pas 3. Se introduce o regulă de surclasare a variantelor, conform căreia o variantă Vk surclasează o altă variantă Vi (notat Vk ϕ Vi) dacă şi numai dacă C� (Vk, Vi) ≥ p şi D� (Vk, Vi) ≤ q, p + q = 1, p, q ş [0, 1]. Algoritmul urmăreşte determinarea acelei variante V* care, pentru prerechea de praguri

(p*, q*) admisă de decident, le surclasează pe toate celelalte. În cazul în care 1

n

1jj =∑π

= avem o simplificare numerică a aplicării algoritmului, deoarece se poate observa că C� (Vk, Vi) = D� (Vi, Vk). 4.2.4. Aplicaţii în fiscalitate Prezentăm în continuare , ca aplicaţie, valorificarea teoriei utilităţii în determinarea cuantumului impozitului pe venit.

Cuantificarea cerinţelor principiilor de echitate fiscală se poate realiza în contextul teoriei utilităţii, prin definirea funcţiei de utilitate în raport cu venitul, funcşie care exprimă comportamentul contribuabilului faţă de venitul său:

U = U(V) U�>0 şi U��<0, unde: U = utilitatea, U(V) = funcţia de utilitate, V = venitul contribuabilului.

Pornind de la această funcţie, se pot formula ipoteze referitoare la modul de aşezare a impozitului ca �sacrificiu� de prelevare a unei părţi din venitul contribuabilului în beneficiul realizării funcţiilor statului. Sunt uzuale trei ipoteze în legătură cu acest �sacrificiu�:

# Sacrificiul absolut egal

�Sacrificiul� absolut egal este o ipoteză de impunere potrivit căreia impozitele trebuie aşezate astfel încât pierderile de utilitate (cauzate de diminuarea veniturilor prin impunere) să fie egale:

U(VA) � U(VA-TA) = U(VB) � U(VB-TB), (4) unde: VA = venitul contribuabilului A, VB = venitul contribuabilului B, TA = impozitul suportat de contribuabilul A, TB = impozitul suportat de contribuabilul B.

În condiţiile ipotezelor privind �sacrificiul�, situaţia fiscală a contribuabilului A este considerată etalon, astfel încât pierderea lui de utilitate cauzată de impunere urmează să se


39

reflecte şi asupra celorlalţi contribuabili sau cel puţin asupra celor din aceeaşi categorie cu el. Contribuabilul A este, în principiu, o persoană ipotetică şi anume cea care, având un venit VA şi o situaţie personală bine precizată, plăteşte un impozit TA prestabilit. Contribuabilul B este o persoană reală căreia urmează să i se stabilească impozitul astfel încât pierderea sa de utilitate, prin diminuarea venitului, să fie identică cu cea a persoanei ipopetice A. Pe baza relaţiei (4) şi acceptând proprietatea relaţiei U(V) de a fi inversabilă, se poate determina cuantumul impozitului pentru contribuabilul B: ))()()((][ 1 TAVAUVAUVBUUVBTB −+−−= − Efectul ipotezei �sacrificiului� absolut egal, în cazul anumitor funcţii de utilitate, este proporţionalitatea impozitului, adică impunerea cu aceeaşi cota a veniturilor celor doi contribuabili. Proporţionalitatea apare în cazul funcţiei de utilitate din clasa funcţiilor logaritmice: U(V) = lnV, ceea ce conduce, conform (4), la egalitatea: lnVA - ln(VA � TA) = lnVB � ln(VB-TB) din care rezultă:

VBTB

VATA

= ,

cu alte cuvinte, cota de impozitare este aceeaşi.

# Sacrificiul proporţional egal

�Sacrificiul� proporţional egal este o ipoteză de impunere potrivit căreia ponderea utilităţii venitului disponibil în utilitatea venitului brut se păstreză aceiaşi:

)()(

)()(

VBUTBVBU

VAUTAVAU −

=−

În acest caz, impozitul plătit de contribuabilul B este dat de relaţia:

)()()((][ 1

VAUVBUTAVAUUVBTB ∗−−= − )

# Sacrificiul marginal egal

�Sacrificiul� marginal egal este o ipoteză de impunere potrivit căreia pierderea de

utilitate marginală între venitul brut şi cel disponibil este egală: U�(VA-TA) � U�(VA) = U�(VB-TB) � U�(VB)


40

În acest caz, impozitul plătit de contribuabilul B este dat de relaţia:

)dV))VB('U)VB('U)TAVA('U(f(]U[VBTB 1 +−−−= − În această ipoteză se ţine seama de faptul că utilitateamarginală a unei unităţi de venit

este cu atât mai mare cu cât venitul este mai mic, adică de faptul că unitatea marginală este o funcţie descrescătoare, adică:

+∞=

→)V('Ulim

0V şi 0)V('Ulim

V=

∞→

4.3. Metode şi modele de alegere multicriterială în caz continuu O problemă decizională multiobiectiv, este descrisă de un set de restricţii liniare/neliniare, de tip egalităţi şi/sau inegalităţi, inclusiv restricţii de nenegativitate care dau sens variantelor de natură economică şi o mulţime de funcţii-obiectiv, care reprezintă criteriile de decizie. Vom aborda în continuare un caz particular al problemei decizionale multiobiectiv care precizează liniaritatea restricţiilor şi a funcţiilor obiectiv. Formal problema decizională cu un număr infinit de variante este:

optim {Fj(x)}, j = r,1 x ş D D = domeniul soluţiilor admisibile de exemplu, D = {x = (x1, x2, ..., xn)T| Ax ≤ b, x ≥ 0} Fără a micşora generalitatea tratării vom presupune că toate funcţiile Fj sunt de maxim, acest lucru fiind permis de relaţia

min Fj(x) = - max[-Fj(x)]. Problema necesită determinarea vectorului x* = (x1

*, x2*, ..., xn

*)T ş D, "cât mai bun"

din punct de vedere al mulţimii criteriilor {Fj}, j = r,1 . Deoarece spaţiului vectorial al valorilor funcţiilor obiectiv {(F1(x), F2(x), ..., Fr (x)) | x ş D} nu este total ordonat, este dificil de a găsi un punct x* ş D care să optimizeze simultan ansamblul funcţiilor obiectiv. 4.3.1. Modalităţi de definire a soluţiei problemei multiobiectiv Dificultăţile practice ale definirii soluţiei unei astfel de probleme au făcut necesară introducerea conceptului de soluţie eficientă/eficace, sau soluţie optimă în sens Pareto. Sintetizând încercările de definire a soluţiei x* evidenţiem următoarele abordări: 1) x* - este vectorul care optimizează o funcţie-sinteză a celor r funcţii de eficienţă, adică: h(F) = h[F1, F2, ..., Fr], în care h(.) poate fi definită în mai multe variante:

a) h [F1, F2, ..., Fr] = optim {Fi(x)}, i= r,1 Dacă funcţiile Fi au ca obiectiv maximizarea atunci vom considera:


41

h [F1, F2, ..., Fr] = min {Fi(x)} 1 ≤ i ≤ r care se maximizează, adică: { })(minmax

1xFiriDx ≤≤∈

Dacă Fi sunt de minim vom considera:

h [F1, F2, ..., Fr] = max {Fi(x)} 1 ≤ i ≤ r

care se minimizează, adică:

min max {Fi(x)} x ş D 1 ≤ i ≤ r

b) pentru r = 2 vom putea considera:

h [F1, F2] = )x(F)x(F

2

1

care conduce la o problemă de programare fracţionară.

c) [ ] [ ] 0,,)x(FF,...,F,Fh ii

r

1iiir21

i

≥βα∑α=β

=

d) [ ] [ ] 0,)x(FexpF,...,F,Fh i

r

1iiir21 ≥α∑ −α−=

= r e) h [F1, F2, ..., Fr] = ∏ Fi i = 1 2) x* este vectorul care minimizează un criteriu de forma: φ(x*) = min h(ψ1(x - X1), ..., ψr(x - Xr)), x ş D

în care Xj = (x1j, x2j, ..., xnj)T, j = r,1 este soluţia optimă a problemei cu o singură funcţie obiectiv, Fj, iar ψk este o funcţie de tip distanţă dintre vectorul x şi D şi soluţia optimă Xk corespunzătoare funcţiei Fk. Alegerea funcţiilor h şi ψk conduce la obţinerea unor cazuri particulare ale lui φ(x*), ca de exemplu:

a) ( ) 0,xx)x(h k

n

1j

2jkj

r

1kk ≥α∑ −∑α===

b) 0,xx)x(h k

n

1jjkj

r

1kk ≥α∑ −∑α===

c) ( )∑ −Ψ=

=

r

1kkk Xx)x(h


42

d) h(x) = max ψk(x - Xk) 1 ≤ k ≤ r

Astfel, de exemplu, dacă se va alege ψk(x - Xk) = αk |Fk(Xk) - Fk(x)|, αk ≥ 0 şi funcţia h(x) conform d), atunci x*, vectorul care realizează cel mai bun compromis, este acel vector pentru care: φ(x*) = min max αk|Fk(Xk) - Fk(x)| x ş D 1 ≤ k ≤ r

3) Soluţia x* este vectorul care aparţine unei mulţimi de puncte eficiente: x0 ş D este soluţie eficientă dacă nu există nici un x ş D astfel încât Fh(x) ≥ Fh(x0), pentru h = 1, 2, ..., r, şi pentru cel puţin un indice h0 să avem Fh0(x) > Fh0(x0), în ipoteza că toate funcţiile sunt de maxim. Deci x0 este un punct eficient dacă are proprietatea că nu există un altul x care să îmbunătăţească cel puţin o funcţie în timp ce celelalte rămân neschimbate. O astfel de soluţie este definită în literatura de specialitate şi ca soluţie nedominată sau soluţie optimală în sens Pareto. 4) x* este soluţia optimă obţinută prin ordonarea criteriilor de către decident. Astfel se rezolvă r probleme de programare matematică restrângând de fiecare dată domeniul D prin transformarea în restricţii a soluţiilor optime, obţinute prin rezolvarea unei probleme cu o singură funcţie obiectiv. Vom avea mulţimile:

DD*o =

( )

∈==∈

*01

Dy1

*1 Dx);y(FoptimxFxD

*0

( )

∈==∈

*12

Dy2

*2 Dx);y(FoptimxFxD

*1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

( )

∈== −∈ −

*1kk

Dyk

*k Dx);y(FoptimxFxD

*1k - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

( )

∈== −∈ −

*1rr

Dyk

*r Dx);y(FoptimxFxD

*1r

Rezolvarea problemei înseamnă determinarea unui punct sau a mai multor puncte din

mulţimea *rD .

Mulţimea *rD depinde de ordonarea preferenţială a funcţiilor obiectiv, realizată de

catre decident. 5) x* ş D poate fi determinat pe baza unor algoritmi (de exemplu metoda POP, STEM ş.a). 6) x* aparţine unei mulţimi de soluţii eficiente definite de Geoffrion astfel: x* e soluţie propriu eficientă dacă ea este eficientă şi dacă există un scalar M > 0 cu proprietatea că oricare


43

ar fi j = r,1 şi oricare ar fi x ş D astfel încât Fj(x) < Fj(x*) există i ≠ j cu Fi(x) > Fi(x*) aşa încât:

M

)(xF - (x)F(x)F - )(xF

*jj

i*

i ≤

De aici rezultă că mulţimea punctelor propriu eficiente este inclusă în mulţimea punctelor eficiente, iar în cazul liniar cele două mulţimi coincid. 4.3.2. Metoda programării - scop Programarea scop sau programarea prin obiective (goal programming) a fost introdusă

şi dezvoltată de A. Charnes şi W. Cooper. Se consideră un vector )F ..., ,F ,F( F r21= ale cărui componente reprezintă nivelele care trebuie atinse de funcţiile obiectiv. Este, teoretic, imposibil de a găsi un vector x* ş D pentru care toate funcţiile obiectiv sunt la nivelele dorite, adică:

*

r*

r2*

21*

1 Cx F F spus, astfel sau, F )(xF ..., ,F )(xF ,F )(xF =====

Pentru un vector x* ş D vor exista abateri în plus sau în minus între Fi(x) şi iF , iar problema constă în minimizarea distanţei dintre vectorul ale cărui componente reprezintă

valorile posibile ale funcţiilor obiectiv. Avem problema Dxmin∈ d( F , F(x)).

Vom considera spaţiul vectorial n - dimensional Rn înzestrat cu norma || . ||, definită în sens clasic. Cea mai cunoscută normă este norma Hölder:

1p,xx

p/1n

1i

pip

≥

∑=

= . Pentru p = 2 avem norma (distanţa) euclidiană:

2/1n

1i

2i2

xx

∑=

= Pe spaţiul Rn pot fi definite şi alte norme:

∑==

n

1ii1

xx, sau

{ }imi1

xmaxx≤≤∞

=

Dacă vom considera normele prezentate, obţinem următoarele modele care rezolvă problema de programare - scop.

≥≤

∑ −==

0x,bAx/FFF-F min :Mp/1r

1i

piipx

1


44

≥≤

∑ −==

0x,bAx/FFF-F min :Mr

1iii1x

2

≥≤

∑ −==

0x,bAx/FFF-F min :M2/1r

1i

2ii2x

3

{ }0x,bAx/FFmaxF-F min :M ii

x4 ≥≤−=

∞

Minimizarea normei ||F - F ||p, p ≥ 2 conduce la probleme de programare neliniară, iar minimizarea normelor ||F - F ||1 şi ||F - F ||∞ se face printr-o procedură de optimizare liniară. Vom considera modelul M2 în care se minimizează suma abaterilor absolute, model studiat de Charnes, Cooper şi Ijiri.

Pentru fiecare funcţie vom nota +kd (x) şi

−kd (x) abaterile în plus, sau în minus ale

valorilor Fk(x) de la valorile kF . Scopul nostru îl constituie minimizarea sumei acestor abateri. Pentru o funcţie Fk abaterea de la kF va avea loc numai într-un anumit sens, deci dacă

+kd > 0 ⇒

−kd = 0 şi reciproc, dacă

−kd > 0, atunci

+kd = 0.

Modelul devine:

( )

∈≥

==−+

∑ +

−+

+−=

+−

Dx0)x(d),x(d

r,1k,Fdd)x(F

)x(d)x(dmin

kk

kkkk

r

1kkk

4.3.3. Metoda STEM Metoda STEM (Step Method) este de asemenea o metodă interactivă în care decidentul, printr-o alternare a fazei de calcul cu faza de analiză şi decizie, poate să dirijeze mai eficient procesul de căutare a soluţiei. Vom considera problema multiobiectiv:

{ } r1hxFhDx,,)(max =

∈

Paşii algoritmului sunt următorii: Pas 1. Se rezolvă r probleme de programare (liniară conform ipotezei), luând rând pe rând criteriile h = 1, 2, ..., r. Fie Z1 vectorul valorilor maxime ale funcţiilor scop:

( )r11211rDx1Dx1 F,...,F,F)x(Fmax),...,x(FmaxZ =

=

∈∈


45

Pas 2. Se rezolvă încă o problemă de programare liniară cu o funcţie F* definită prin agregarea lui Fj.

∑π==∈∈

r

1jjjDx

*

DxFmaxFmax

Fie S* soluţia optimă a acestei probleme şi

Z(S*) = (F1(S*), F2(S*), ..., Fr(S*))

vectorul valorilor celor r funcţii de eficienţă în soluţia S*. Pas 3. Decidentul compară componentele vectorilor Z(S*) şi Z1. Dacă funcţiile iau valori acceptabile pentru S*, problema este rezolvată. în caz contrar decidentul trebuie să indice pentru funcţia Fk, care ia valoarea cea mai puţin satisfăcătoare un prag Fk

* de la care valoarea acesteia îl va satisface. Pas 4. Se reia problema de la pas 1 considerând sistemul iniţial la care se adaugă restricţia introdusă în pasul 3. Fie D1 noul domeniul al soluţiilor admisibile, D1 ⊂ D, D1 = {x | x ş D, Fk(x) ≥ Fk

*}. Rezultatul pasului 1 va conduce la

( )r22221rDx1Dx2 F,...,F,F)x(Fmax),...,x(FmaxZ

11

=

=

∈∈

Pas 5. Decidentul trebuie să se pronunţe din nou asupra modului în care restrângerea lui D afectează sau nu valorile funcţiilor obiectiv. în caz afirmativ se reia algoritmul de la pasul 1, dar pentru un prag mai mic Fk

** < Fk*. în caz contrar se continuă cu pasul 2 pentru

domeniul D1. Alegerea coeficienţilor πj poate fi realizată în mai multe modalităţi: a) decidentul stabileşte în mod subiectiv, evident, ponderile de importanţă a criteriilor; b) există informaţii referitoare la importanţa criteriilor luate două câte două. Se va ataşa funcţiilor F1, ..., Fr o matrice pătratică M = [ mij] ale cărui elemete pot fi definite prin convenţie astfel:

=

,0,4,2,1

ijm

Vom nota mi = ∑=

r

1jijm

, mărimile mi reflectând nivelul de depăşire în preferinţă a criteriilor de către criteriul Fi. Coeficienţii πi, πj vor fi aleşi astfel încât să avem:

r,...,2,1j,i,

mm j

j

i

i =π

=π

Să notăm că în ambele situaţii (a şi b) coeficienţii rămân neschimbaţi în cursul aplicării algoritmului STEM. Metoda STEM a fost dezvoltată de autorii ei (colectivul profesorului R. Benayoun) în sensul reducerii la mimim a dialogului cu decidentul şi al creşterii vitezei de convergenţă.

dac` Fi ţi Fj au aceeaţi importanî`, dac` Fi este superior lui Fj, dac` Fi este net superior lui Fj, şn oricare alt caz.


46

Să mai notăm în finalul acestui capitol ca în clasa algoritmilor de rezolvare a problemelor decizionale multiobiectiv poate fi inclusă şi metoda maximizării utilităţii globale, pe care am prezentat-o anterior, în contextul modelelor MDMA.


47

CAPITOLUL 5. DECIZII DE ALEGERE IN CONDIŢII DE RISC ŞI DE INCERTITUDINE

Prin risc, în general, se înţelege probabilitatea de a înfrunta o situaţie neprevăzută, sau de a suporta o pagubă. Aceasta defineşte de fapt o situaţie de angajare într-o activitate nesigură sau periculoasă, fără însă a dimensiona, într-un fel sau altul, pericolul sau şansa de succes.

După cum se ştie, în fiecare activitate economică complexă există un anumit risc. Acceptarea ideii de risc de către decident, înseamnă îndemn la prudenţă în sensul de a da eficienţă activităţii respective, evitând diletantismul şi, mai presupune, siguranţa pe care o împărtăşeşte acesta, că probabilitatea producerii unor "pierderi" în desfăşurarea activităţii respective este redusă la minimum. Deoarece noţiunea de risc se poate preciza numai în procesul formării gândirii, în practică ne întâlnim cu mai multe interpretări ale acestuia, care sunt dependente de metodele de calcul (risc matematic), factorul uman participant la procesul decizional (risc raţional; risc asumat) şi de situaţie (risc de situaţie; risc probabilistic; risc operativ).

5.1.. Modele decizionale în condiţii de risc Probabilitatea reprezintă cuantificarea posibilităţii de apariţie a unui eveniment. Există mai multe moduri în care un decident poate ataşa probabilităţi de realizare pentru diferite evenimente. În continuare vom încerca să facem o deosebire între probabilitatea obiectivă şi cea subiectivă. Probabilitatea obiectivă necesită existenţa unei anumite baze informaţionale pentru ataşarea probabilităţilor de realizare care trebuie să fie independente de persoana care face această atribuire (aceasta se realizează pe baza experimentelor statistice sau pe baza observării distribuţiilor de frecvenţă).

Mulţi decidenţi, însă, sunt confruntaţi cu situaţii în care li se cere să facă aprecieri de tip probabilistic, fără a fi ajutaţi de mărimi obiective sau observaţii statistice. În cazurile decizionale complexe acest lucru este foarte dificil.

Percepţia subiectivă asupra posibilităţilor de realizare a unui eveniment şi probabilitatea alocată acesteia constituie probabilitatea subiectivă şi ea exprimă gradul de încredere al decidentului cu privire la realizarea evenimentului respectiv. Jocurile de noroc reprezintă o situaţie tipică în care participanţilor li se cere să facă aprecieri subiective asupra probabilităţilor de realizare a unui anumit eveniment.

Pentru mulţi decideţi un mod obişnuit de atribuire a probabilităţilor îl reprezintă căutarea în propria experienţă a unor evenimente similare celor analizate.

Principala caracteristică a riscului o constituie expunerea la şansa unei pierderi. Aşadar pentru a exista un risc este necesar mai întâi să existe o pierdere potenţială, iar apoi trebuie să existe şansa de a pierde; o pierdere sigură nu reprezintă un risc. În plus, termenul a expune presupune că decidentul poate să acţioneze astfel încât să mărească sau să diminueze şansa pierderii.

O altă caracteristică a riscului decidentului este aceea de a se aventura, sugerând şi mai mult o orientare către acţiune, comparativ cu prima observaţie.

Există două forme ale pierderii potenţiale:


48

" un venit (rezultat) care ne va face să ne situăm pe o poziţie mai puţin bună decât cea

de referinţă; " un rezultat care nu este la fel de bun comparativ cu alte rezultate posibile (ce s-ar fi

putut obţine). Primul aspect este mai uşor perceput ca o pierdere reală, pe când al doilea se referă

la o pierdere de oportunitate care nu este întotdeauna uşor de perceput. Pierderile de oportunitate pot transforma situaţiile aparent lipsite de risc în situaţii riscante, atunci când au loc evenimente imprevizibile.

În concluzie există trei componente ale riscului: magnitudunea pierderii, şansa pierderii şi expunerea la risc. Pentru a reduce riscul este necesar să reducem cel puţin una din aceste componente. Gradul de risc poate fi considerat ca fiind direct proporţional cu şansa pierderii, cu dimensiunea acesteia şi cu gradul de expunere a decidentului la pierdere.

Riscul creşte odată cu mărimea sumei riscate sau a şanselor de pierdere. De asemenea depinde direct şi de contextul socio-economic în care se desfăşoară activitatea (climat stabil/instabil). Când expunerea la pierdere este mai mare şi riscul este mai mare. Dacă magnitudinea riscului şi şansele pierderii nu pot fi restrânse putem diminua riscul prin scăderea expunerii la pierdere. Expunerea la risc trebuie considerată din următoarele puncte de vedere:

" persoana care ia decizia; " mediul social al decidentului(de obicei familia sau firma); " societatea în ansamblul ei

Paradigma de bază a riscului Un proces decizional presupune existenţa a două căi de urmat: o acţiune numită acţiune sigură şi o alta numită acţiune riscantă care are două rezultate posibile: o pierdere şi un câştig. Dacă am şti că rezultatul variantei riscante va fi câştig, am opta pentru cea de-a doua variantă, iar dacă am şti că rezultatul ar fi pierdere, am opta pentru varianta sigură.

Problema rezidă în faptul că nu ştim cu siguranţă care va fi rezultatul alegerii celei de-a doua variante, acest rezultat depinzând de un eveniment nesigur despre care singurele cunoştinţe pe care le avem sunt probabilistice. Acest prototip de situaţie riscantă se numeşte

Pierdere

Câ ştig

Varianta riscantă

Varianta sigură

decizie

eveniment


49

paradigma principală a riscului. Ea stă la baza studierii riscului. Pentru o mai bună vizualizare a acestei probleme este indicată utilizarea unui arbore decizional.

Deşi majoritatea situaţiilor riscante au mai mult de două alternative, mai multe evenimente sigure şi mai multe rezultate, forma de bază conţine aceleaşi elemente principale. Paradigma de bază a riscului constituie punctul de plecare în abordarea oricărei probleme care conţine risc.

În timp ce paradigma de bază a riscului este, aşa cum o sugerează şi denumirea, cea mai simplă situaţie în studierea riscului, în majoritatea cazurilor fiind necesar să se lucreze conform ei, existenţa ei poate lua însă diferite forme:

" activitatea sigură nu trebuie să fie neapărat un status quo ci poate fi orice activitate cu un rezultat sigur cuprins între cel mai bun şi cel mai slab rezultat al variantei riscante;

" ambele activităţi pot fi riscante, dar una mai riscantă decât cealaltă; " pot exista mai mult de două activităţi; " activitatea riscantă poate avea mai mult de două rezultate. Majoritatea managerilor consideră anumite evenimente nesigure ca fiind responsabile

pentru riscul implicat de deciziile în afaceri. în mod frecvent aceste evenimente sunt externe firmei: pieţele financiare şi de materii prime, reglementările guvernamentale împreună cu alte condiţii economice generale de desfăşurare a activităţii unei firme. Sunt luaţi în considerare şi factori interni: incertitudinea privind inovaţiile tehnologice, lipsa experienţei manageriale. De asemenea o cauză a riscului este considerată şi lipsa de informaţii privind aceste evenimente nesigure precum şi imprevizibilitatea acestora.

Dihotomizarea proceselor decizionale din economie în decizii în condiţii de incertitudine, când nu se cunosc probabilităţile de realizare a stărilor naturii, respectiv în condiţii de risc, când aceste mărimi pot fi estimate, schematizează evident lucrurile comparativ cu modul în care acestea se desfăşoară în realitate.

În practică există o multitudine de situaţii posibile între lipsa totală a informaţiilor asupra stărilor naturii, la una din extremităţi şi probabilitatea egală cu unitatea, la cealaltă extremitate.

Inexistenţa informaţiilor referitoare la probabilităţile de realizare a stărilor naturii, deci condiţia de incertitudine, reprezintă de fapt o abordare expeditivă a unei probleme decizionale economice, aşa cum, de multe ori, condiţiile reale ne obligă să o facem. Metodele de rezolvare pentru o astfel de abordare sunt foarte bune pentru soluţii cadru ale unor probleme schematizate.

O problemă decizională abordată iniţial în condiţii de incertitudine poate fi dezvoltată prin determinarea, pe bază statistică, a probabilităţilor de realizare a stărilor naturii sau prin estimarea unor probabilităţi apriorice, subiective. În ambele cazuri problema depăşeşte cadrul incertitudinii şi, prin acumularea de informaţii, poate fi considerată problemă decizională în condiţii de risc.


50

Caracteristic acestei situaţii este faptul că informaţiile provenite din estimări subiective pot fi îmbunătăţite prin metoda analizei bayesiene, permiţând trecerea treptată de la probabilităţi apriorice la probabilităţi estimate statistic.

Desigur, acumularea de informaţii suplimentare este costisitoare, de aceea estimările consecinţelor şi ale utilităţilor acestora vor ţine seama de costuri.

De reţinut că la nivel de detaliere a deciziei economice este necesar să se depăşească faza de soluţie cadru în condiţii de incertitudine şi să se facă estimări ale probabilităţilor şi să se acumuleze informaţii statistice care să contribuie la creşterea calităţii deciziei.

Evaluarea impactului informaţiei incomplete şi imperfecte în fundamentarea deciziilor la nivelul firmelor constituie în acest sens o problemă de maximă importanţă atât sub aspect teoretic, dar mai ales practic.

În momentul în care decidentul este capabil să estimeze probabilităţile de realizare a stărilor naturii (probabilităţi apriori) are loc transformarea problemei decizionale în condiţii de incertitudine în problemă decizională în condiţii de risc. O astfel de problemă poate fi reprezentată schematic asemănător cu problema decizională în condiţii de incertitudine. Vom avea şi în acest caz o mulţime a alternativelor decizionale m21 V,...,V,V , şi o mulţime a stărilor posibile ale naturii: r21 N,...,N,N . Corespunzător fiecărei perechi ( )ji N,V vom avea consecinţa ija . Spre deosebire de problema decizională în condiţii de incertitudine, în acest caz avem în plus probabilităţile de realizare ataşate fiecărei stări a naturii: ( )jNp .

Având disponibilă matricea plăţilor, problema decizională în condiţii de risc poate fi rezolvată fie utilizând criteriul variantei de probabilitate maximă, fie criteriul valorii monetare aşteptate maxime (expected monetary value-EMV).

Criteriul variantei de probabilitate maximă este aplicabil atunci când în mulţimea stărilor naturii există o stare cu probabilitate de realizare net superioară probabilităţilor corespunzătoare celorlalte stări. În acest caz criteriul recomandă reţinerea acelei stări şi alegerea variantei căreia îi corespunde cel mai favorabil rezultat pentru respectiva stare a naturii.

Criteriul valorii monetare aşteptate maxime(EMV) presupune alegerea acelei variante care duce la cea mai mare valoare monetară aşteptată. Aşadar vom calcula mai întâi, pentru fiecare variantă valoarea monetară aşteptată corespunzătoare :

( )∑=

=∀⋅=n

jijji miaNpEMV

1,1 )(

Va fi aleasă în final varianta care asigură maximizarea valorii monetare aşteptate:

imi

EMVEMV,1

max*=

=

Criteriul EMV-maxim stă la baza soluţionării problemelor decizionale care cuprind mai multe momente sau paşi de decizie. Metoda utilizată pentru definirea strategiei


51

decizionale optime are în vedere parcurgerea arborelui decizional de la terminaţiile acestuia (frunze), către nodul rădăcină.

Paşii metodei inducţiei inverse cuprind, pentru un arbore valorizat, următoarele reguli: " în fiecare nod eveniment, corespunzător ultimului moment decizional, se calculează

EMV acestuia, pornind de la rezultatele finale estimate şi de la probabilităţile de realizare a stărilor naturii;

" următoarele noduri întâlnite în parcurgerea în sens invers a arborelui sunt nodurile decizionale ale momentului respectiv. În aceste noduri se vor anula toate deciziile cu valori ale EMV mai mici decât EMV maxim.

Procedura se repetă până când se atinge nodul rădăcină. În acest moment decidentul poate formula strategia decizională optimală. Ea precizează concret ce decizie va trebui adoptată în primul moment decizional şi, de asemenea, care este succesiunea celor mai favorabile decizii ulterioare, în diferitele stări ale naturii care se vor produce. Metoda inducţiei inverse având drept regulă decizională-criteriul EMV oferă un instrument managerial util decidenţilor confruntaţi cu astfel de probleme nedeterministe.

5.2. Analiza bayesiană în soluţionarea problemei decizionale în condiţii de risc

Demersul bayesian apriori cuprinde următoarele activităţi decizionale:

" identificarea şi explicitarea stărilor posibile ale naturii, precum şi a listei deciziilor potenţiale;

" evaluarea consecinţelor ataşate fiecărei variante decizionale în contextul fiecărei stări a naturii;

" formalizarea stării de ignoranţă parţială a decidentului, în termenii probabilităţilor subiective ataşate stărilor naturii;

" calculul consecinţelor aşteptate, corespunzătoare fiecărei decizii în parte; " alegerea deciziei optimale sau recurgerea la o procedură de obţinere a unor

informaţii suplimentare necesare revizuirii probabilităţilor apriorice. Vom nota cu N spaţiul stărilor posibile ale naturii, ( ) n,1j,N j = şi cu V spaţiul

deciziilor posibile ( ) m,1i,Vi = .

Informaţia apriori constă în asignarea de probabilităţi subiective ( ){ }j0 NP stărilor naturii, reflectând gradul de ignoranţă parţială a decidentului.

Matricea decizională poate fi reprezentată prin intermediul consecinţelor monetare n,1j,m,1i,aij == sau prin intermediul utilităţilor acestora )a(U ij . Vom considera mai departe

că aceste utilităţi depind liniar de aij.

Informaţia posterioară va fi obţinută făcând apel la probabilităţile ( ){ }j1 NP care reprezintă probabilităţile revizuite, pe baza informaţiilor suplimentare referitoare la stările naturii, obţinute prin proceduri de tip studii de piaţă, consultarea experţiilor ş.a.

Valoarea aşteptată a deciziei iV , notată )V(E i poate fi calculată astfel:


52

( )j0n

1j iji NP)a(U)V(E ⋅= ∑=

Alegerea optimală pe baza informaţiei apriori se realizează, conform criteriului valorii aşteptate maxime astfel:

( )j0n

1j ijii

iNP)a(Umax)V(Emax ⋅= ∑

=

Un demers natural constă în a încerca să eliminăm incertitudinea intuind care va fi starea adevărată (reală) a naturii, care se va produce. Dacă Nk este această stare reală a naturii, problema este simplă: ea constă în alegerea variantei care, în starea Nk maximizează U(aik), deci

)a(Umax iki

Din nefericire este imposibil de a elimina în totalitate incertitudinea, dar este posibil ca decidentul să încerce să obţină informaţii suplimentare şi, pe baza lor, să revizuiască probabilităţile iniţiale ataşate stărilor naturii, apelând la teorema lui Bayes.

Vom nota cu X informaţia suplimentară rezultată pe baza unui experiment (studiu

de piaţă, sondaj, consultarea unui expert ş.a.). Probabilităţile iniţiale ( ){ }j0 NP vor fi astfel

revizuite pe baza rezultatelor (X) obţinute şi vor fi desemnate prin )X/N(P j sau )N(P j1 . Vom nota cu (H) informaţia apriori care ne-a permis să atribuim stărilor naturii (Nj)

probabilităţile apriori P0(Nj), sau mai precis, P(Nj/H) . Ţinând seama de informaţia apriori (H) de care dispunem, probabilitatea de a obţine un rezultat (X) în urma demersului făcut pentru obţinerea informaţiei suplimentare va fi )H/X(P . Teorema lui Bayes furnizează următoarele mărimi: " probabilităţile apriori ale stărilor naturii P(Nj/H); " probabilităţile comune de a obţine rezultatul X şi starea naturii (Nj), în funcţie de

informaţia apriori H: )()()( HNXPHNPHNXP jJj II ⋅=

" probabilităţile revizuite pentru Nj condiţionate de X şi H:

( ) ( ) ( )[ ])/( HXP

HNXPHNPHXNP jj

j

II

⋅=

Costul incertitudinii ataşat problemei decizionale


53

Logica analizei Bayesiene este fundamentată pe faptul că decidentul poate ameliora cunoştinţele sale referitoare la stările naturii, încercând să obţină informaţii suplimentare.

Un astfel de demers nu poate fi sistematic deoarece el antrenează un cost adiţional. De aceea este necesar de a compara avantajul sperat a se obţine pe această cale cu costul ocazionat de dobândirea informaţiei suplimentare. Pentru început ar trebui calculat costul incertitudinii generat de faptul că decidentul nu deţine decât informaţii parţiale asupra stărilor naturii.

Practic, diferenţa dintre valoarea aşteptată a deciziei pe care ar putea să o ia în condiţii de informaţii perfecte şi valoarea aşteptată maximă, fără alte informaţii, reprezintă costul incertitudinii, sau altfel spus valoarea aşteptată a informaţiei perfecte (VAIP).

Valoarea globală, pentru toate stările naturii, condiţionată de disponibilitatea informaţiei perfecte VIP este:

( )j

n

jiji

NPaUVIP 01

)(max ⋅= ∑=

În acest context valoarea aşteptată a informaţiei perfecte (VAIP) se obţine scăzând din VIP, valoarea aşteptată (maximă) corespunzătoare deciziei în condiţii de incertitudine, pe baza informaţiei apriori:

VAIP = costul incertitudinii (CI) =

=( )j0

n

1j ijiNP)a(Umax ⋅∑

= -( )j0

n


=

Costul incertitudinii furnizează expresia bănească a sumei maxime pe care decidentul o va considera rezonabilă de a o plăti pentru obţinerea informaţiei suplimentare.

Cuantificarea costului incertitudinii pe baza pierderilor de oportunitate aşteptate

Abordarea valorii informaţiei perfecte poate fi realizată prin măsurarea pierderii de oportunitate, definită de diferenţa dintre consecinţa unei decizii alese în condiţii de incertitudine şi consecinţa deciziei considerate a fi cea mai bună, ţinând cont de starea naturii care se va realiza ulterior adoptării ei.

Dacă vom scădea din fiecare cantitate )a(U ij o constantă jα , care depinde numai de starea naturii jN , şi nu de decizia adoptată ( iV ), valoarea aşteptată a deciziei iV se scrie astfel:

( ) ( )j0n

1j jj0n

1j iji NPNP)a(U)V(E ⋅α−⋅= ∑=

∑=


54

Utilitatea aşteptată a deciziilor luate cu informaţii perfecte, ( )j0

n


= se va

diminua cu aceeaşi cantitate ( )j0

n

1jj NP⋅α∑

= . Valoarea aşteptată a informaţiei perfecte nu va fi afectată, deoarece termenul

( )j0n

1jj NP⋅α∑

= se reduce, el fiind scăzut din ambii termeni ai diferenţei următoare (VAIP):

( ) ( )j

n

jijij

n

jiji

NPaUNPaU 01

01

)(max)(max ⋅−⋅ ∑∑==

Dacă )a(Umax ijij =α, atunci utilitatea aşteptată a informaţiei perfecte este nulă:

( ) ( )

( ) ( ) 0NP)a(UmaxNP)a(Umax

NPNP)a(Umax

j0n

1j ijij0

n

1j iji

j0n

1j jj0n

1j iji

=⋅−⋅=

=⋅α−⋅

∑=

∑=

∑=

∑=

Avem :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )j

n

jjiji

j

n

jjj

n

jiji

j

n

jjj

n

jiji

j

n

jijij

n

jiji

NPaU

NPNPaU

NPNPaU

NPaUNPaUVAIP

01

01

01

01

01

01

01

)(max

)(max

)(max

)(max)(max

∑

∑∑

∑∑

∑∑

=

==

==

==

−−=

=

⋅−⋅−

−

⋅−⋅=

=⋅−⋅=

α

α

α

Vom nota cu )a(U)a(UmaxL ijijiij −=

, respectiv diferenţa dintre utilitatea celei mai

bune decizii în starea jN şi utilitatea lui iV pentru aceeaşi stare. Mărimea ijL arată pierderea

de oportunitate ca urmare a alegerii variantei iV , atunci când se va realiza jN . Observăm că 0Lij = dacă iV coincide cu cea mai bună decizie în starea naturii jN .


55

Acest fapt sugerează posibilitatea utilizării unui alt criteriu de alegere a deciziei

optimale. În locul alegereii după ( )j0

n


= putem alege decizia căreia îi corespunde pierderea de oportunitate aşteptată minimă:

( )

⋅∑=

j0n

1j ijiNPLmin

Mărimea determinată furnizează valoarea aşteptată a informaţiei perfecte şi deci, costul incertitudinii. Cele două reguli decizionale prezentate sunt echivalente. Criteriul pierderii de oportunitate minime furnizează direct valoarea aşteptată a informaţiei perfecte. Costul incertitudinii reprezintă pierderea de oportunitate aşteptată în raport cu cea mai bună decizie posibilă, ţinând cont de informaţia apriori, reflectată în distribuţia de probabilitate a stărilor naturii. Diferenţa între pierderea de oportunitate aşteptată a unei decizii oarecare şi costul incertitudinii reprezintă aşa numitul cost de iraţionalitate. El măsoară excedentul pierderii de oportunitate aşteptate a deciziei alese în raport cu acela al celei mai bune decizii posibile, în conformitate cu informaţia disponibilă despre stările naturii.

Valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare Fie K costul necesar obţinerii unei informaţii perfecte. Utilitatea aşteptată a informaţiei perfecte se modifică devenind:

( ) ( )j

n

jiji

NPKaU 01

)(max ⋅−∑=

, în loc de: ( )j

n

jiji

NPaU 01

)(max ⋅∑=

Valoarea informaţiei perfecte este dată de:

( ) ( ) ( )j0n

1j ijij0

n

1j ijiNP)a(UmaxNPK)a(UmaxVIP ⋅−⋅−= ∑

=∑= .

Posibilităţile de obţinere a informaţiei perfecte sunt limitate, dar decidentul poate încerca să reducă incertitudinea prin achiziţionarea unei informaţii suplimentare necesare revizuirii probabilităţilor preliminare (apriori).

Pentru a formaliza acest demers vom nota cu X cantitatea de informaţii suplimentare obţinute în acest sens. Probabilitatea condiţionată a obţinerii rezultatului X, ţinând seama de

informaţia apriori asupra stărilor naturii ( ){ }jN/XP este presupusă a fi cunoscută.

Pot fi astfel revizuite probabilităţile apriori )N(P j0 în funcţie de informaţia suplimentară (X), pe baza teoremei lui Bayes. Noul criteriu de alegere este acum:


56

( )X/NP)a(Umax j0n

1j iji⋅∑

= , în loc de: ( )j0

n


=

Acest nou criteriu este subordonat realizării rezultatului X obţinut din cercetarea întreprinsă pentru obţinerea unor informaţii suplimentare asupra stării naturii.

Decidentul dispune apriori de o distribuţie de probabilitate )}N(P{ j0 şi cunoaşte probabilitatea condiţionată de obţinere a rezultatelor X în funcţie de informaţia apriorică

asupra lui ,N j ( ){ }jN/XP . Probabilitatea marginală a rezultatului X este deci cunoscută:

∑=

⋅=n

1jj0j )N(P)N/X(P)X(P

Dacă rezultatul X survine ca urmare a informaţiei suplimentare, decidentul va alege Vi astfel încât:

( ) ( )XNPaUXVE j0n

1jiji

ii

/)(max/max ⋅= ∑=

Utilitatea aşteptată a informaţiei suplimentare se poate scrie ca fiind:

( ) ( )∑ ∑=

⋅⋅X

j0n

1j ijiXPX/NP)a(Umax

.

Este deci suficient în fapt de a multiplica utilitatea maximală a fiecărei decizii iV atunci când un rezultat (X) apare, prin probabilitatea corespunzătoare de apariţie a rezultatului X:P(X) şi de a face suma probabilităţilor pentru toate rezultatele posibile.

Expresia precedentă poate fi prelucrată pentru a facilita calculele numerice, pe baza teoremei lui Bayes.

Avem:

[ ])(

)()/()/( 0XP

NPNXPXNP jjj

⋅=

de unde )()/()()/( 0 jjj NPNXPXPXNP ⋅=

Utilitatea aşteptată a informaţiei suplimentare este:

( ) ( )∑ ∑=

⋅⋅X

j0j0n

1j ijiNPN/XP)a(Umax

Este suficient de a compara acest rezultat cu cel obţinut pe baza informaţiei apriori:


57

( )j0n


= pentru a obţine valoarea informaţiei suplimentare. Avem valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare:

( ) ( ) ( )j0n

1j ijiXj0j0

n

1j ijiNP)a(UmaxNPN/XP)a(UmaxVAIS ⋅−⋅⋅= ∑

=∑ ∑

= Din această mărime poate fi apoi scăzut costul informaţiei suplimentare. Să mai notăm că putem raţiona în termenii pierderilor de oportunitate aşteptate. În acest caz utilitatea aşteptată a informaţiei suplimentare se scrie:

( ) ( )∑ ∑=

⋅

⋅X

j0n

1jiji

XPXNPL /min

Pierderea de oportunitate aşteptată fără informaţii suplimentare este:

( )j0n

1jiji

NPLmin ⋅∑=

În fine, valoarea aşteptată a informaţiei suplimentare poate fi scrisă astfel:

( ) ( ) ( )∑ ∑=

∑=

⋅

⋅−⋅=X

j0n

1j ijij0

n

1j ijiXPXNPLNPLVAIS /minmin

În concluzie putem releva faptul că într-un număr mare de probleme decizionale există

posibilitatea ca decidenţii să revină asupra unor variante deja adoptate, ca urmare a facilităţilor oferite de obţinerea unor informaţii suplimentare. Aceste informaţii au menirea de a le permite pe baza unui proces logic de a-şi revizui estimaţiile referitoare la probabilităţile de realizare a stărilor naturii.

Obţinerea unor noi informaţii, în general pe bază experimentală, contribuie la reducerea gradului de incertitudine care îşi pune amprenta asupra procesului decizional.

Etapele clasice ale procesului decizional pot înregistra anumite modificări, ele fiind ordonate astfel:

" Definirea problemei decizionale şi formularea modelului decizional asociat problemei;

" Analiza anterioară, în care pe baza experienţei acumulate şi a judecăţilor individuale, decidentul estimează probabilităţile (subiective) de apariţie a evenimentelor şi rezolvă problema decizională printr-una din metodele disponibile. Dacă soluţia obţinută este agreată de decident, ea este adoptată şi aplicată în practică. în caz contrar decidentul va face un demers pentru obţinerea de noi informaţii necesare reducerii gradului de incertitudine în scopul obţinerii unei soluţii mai eficiente;

" Etapa analizei pre-posterioare - în care decidentul verifică dacă includerea informaţiei suplimentare aduce o îmbunătăţire a performanţelor sistemului, în raport cu decizia adoptată în etapa anterioară;

" Culegerea (obţinerea) datelor suplimentare;


58

" Analiza posterioară - în urma căreia rezultatele cercetării vor putea fi înglobate în analiza problemei;

" Adaptarea soluţiei conform criteriului lui Bayes, după înglobarea informaţiei suplimentare. 5.3. Incertitudine:concepte, definiţii, criterii de alegere Majoritatea fenomenelor se desfăşoară în prezenţa unui complex de condiţii, ce echivalează cu existenţa mai multor stări posibie ale naturii, ale căror probabilităţi de realizare, de regulă, nu se cunosc. Pentru această situaţie, teoriile actuale ale deciziei au introdus conceptul de incertitudine ca o condiţie inevitabilă a procesului decizional, ce caracterizează fundamental fiinţa umană. Modelul probabilistic, precizat în capitolul anterior, deşi acceptă în principiu incertitudinea, caută să scape de ea la început, resorbind-o prin atribuire de probabilităţi. Incertitudinea, în funcţie de sursele ei, este prezentă în proces cu rol de condiţii (decizia în condiţii de incertitudine), determinate de mediul ambiant, cât şi intrinsecă deciziei (incertitudinea deciziei), favorizată de factorul uman (actorii procesului decizional). Ca urmare, incertitudinea poate genera o serie de probleme psiho-manageriale a căror soluţionare este de natură a modifica sensibil procesul decizional însuşi, în care decidenţii recurg la strategii de decizie diferite de cele presupuse de modelul analitic. Incertitudinea se poate manifesta şi în procesul decizional în condiţii certe sub formă de incertitudine iniţală, dar fiecare fază a procesului se finalizează într-un produs cert, iar incertitudinea iniţială este absorbită prin procese cognitive. În această situaţie, prin luarea deciziei, incertitudinea a fost complet eliminată, sau chiar dacă mai rămâne o anumită cantitate de incertirudine, ea nu mai este importantă. În situaţiile reale însă incertitudinea nu este de regulă absorbită integral în fazele predecizionale, ci persistă. Ea devine astfel un parametru important al procesului decizional, interacţionând cu ceilalţi parametri ai acestuia. În literatura de specialitate se întâlnesc mai mulţi termeni ce se referă, dintr-o perspectivă sau alta, la acelaşi lucru, fără a exista însă un consens asupra diferenţelor de semnificaţie dintre ei: nedeterminare, ambiguitate, risc, incertitudine. Astfel: - nedeterminarea - pare să aibă un sens mai pregnant ontologic (incertitudinea ontologică), în care estimările pot fi absolut certe, dar într-un sens probabilistic. Raţionalitatea în această situaţie nu garantează succesul în mod absolut, ea indică doar probabilitatea cea mai ridicată de succes. Experienţa a arătat că între cazurile în care probabilitatea unui câştig este mică, chiar dacă câştigul este mare şi cele când probabilitatea unui câştig este mare, cei mai mulţi decidenţi aleg cazurile ce le asigură o mai mare siguranţă a câştigului, chiar dacă acesta este mic; - ambiguitatea - se referă la incapacitatea decidentului de a determina cu claritate semnificaţia situaţiilor în care urmează a acţiona; - riscul - reprezintă asumarea mai mult sau mai puţin conştientă a rezultatelor alegerii făcute. El nu se referă la fragilitatea cunoştinţelor decidenţilor ci la probabilitatea de reuşită/eşec a acţiunii realizate pe baza unei decizii oarecare. Riscul poate proveni din nedeterminarea ontologică a rezultatului acţiunii şi/sau din fragilitatea cunoştinţelor, informaţiilor pe care le deţine decidentul la un moment dat;


59

- incertitudinea poate desemna capacitatea explicativ - predictivă limitată a cunoştinţelor decidentului, fie că această limitare provine din nedeterminarea ontologică sau din caracterul aproximativ al cunoştinţelor decidentului, existente la un moment dat. Prin incertitudine cognitivă se înţelege "incompletitudinea şi fragilitatea cunoştinţelor relevante în raport cu un proces decizional specificat"1[1]. Pentru a lua o decizie corectă, decidentul trebuie să dispună de toate cunoştinţele teoretice şi de informaţiile empirice despre starea mediului economic în care decizia respectivă umează a fi pusă în aplicare. Dificultatea luării unei decizii nu stă însă numai în incompletitudinea cunoştinţelor, ci şi în fragilitatea lor. Cunoştinţele pe care le deţin actorii în procesul decizional nu sunt pur şi simplu adevărate sau false. Ele sunt mai degrabă aproximări mai exacte sau mai puţin eronate, mai corecte sau mai eronate. De asemenea, în privinţa gradului lor de corectitudine, subiectul decident (actor) este, de asemenea, incert. El nu ştie cu exactitate cât de bune sunt cunoştinţele şi informaţiile de care dispune. Chiar şi atunci când posedă toate cunoştiinţele şi informaţiile relevante, decidentul poate prezenta un grad ridicat de incertitudine în ceea ce priveşte calitatea acestora.

Din punctul de vedere al comportamentului uman în procesul decizional intervine o dedublare plină de consecinţe în alegerea variantelor, dedublare privită dintr-o perspectivă obiectivă şi dintr-una subiectivă.

Analiza unei probleme decizionale identificate la nivelul unei firme are ca scop construirea unui model care să permită determinarea strategiei optime, atunci când decidentul se confruntă cu un număr mare de alternative, în contextul acţiunii unor evenimente viitoare, caracterizate de nedeterminare.

Complexitatea unei astfel de probleme este dată de faptul că fiecărei variante sau strategii, pentru care decidentul poate opta, îi va corespunde un vector de rezultate posibile, care depind de un ansamblu de factori (condiţii) necontrolabili, reprezentaţi de aşa numitele evenimente sau stări ale naturii.

Prima misiune a decidentului confruntat cu o astfel de problemă constă în definirea mulţimii finite, posibil infinite, a variantelor decizionale (alternativelor) de care dispune,

desemnate prin vectorul ( ) miVV i ,, 1== . Elementele vectorului V pot reprezenta o mulţime predeterminată de variante de

acţiune, şi în acest caz ea nu poate fi modificată de-a lungul procesului decizional sau, dimpotrivă, ea este o listă deschisă de astfel de variante decizionale, construite de către decident în funcţie de informaţiile care îi sunt disponibile, în funcţie de alţi factori de natură psihologică (comportamentală) ş.a.m.d.

O problemă decizională este în general multicriterială, datorită punctelor de vedere

multiple care stau la baza alegerii. Fie ( ) nkcC k ,, 1== vectorul criteriilor decizionale. Fără a micşora generalitatea vom considera mai departe posibilitatea agregării acestor criterii într-unul de tip monetar.

Un alt element important al problemei decizionale îl constituie mulţimea stărilor

naturii (sau evenimentelor) notată cu ( ) rjNN j ,, 1== . Elementele acestei mulţimi sunt, de


60

asemenea, rezultatul investigaţiei făcute de analist asupra problemei concrete de decizie, care face obiectul studiului său.

Cazul pe care îl studiem în această secţiune este cel nedeterminist, deci vom avea N >1.

Dacă decidentul poate interveni asupra elementelor mulţimii V, apare evident faptul că elementele lui N, numite şi strategii ale naturii, nu-i sunt accesibile acestuia. Oricum, identificarea cât mai aproape de realitate a stărilor naturii reprezintă o altă condiţie a eficientizării procesului decizional al firmei.

Rezultatul alegerii unei anumite variante decizionale şi al producerii ulterioare a unei anumite stări a naturii, desemnat prin ( )ji NVA , este denumit consecinţă sau plată. În termeni monetari matricea plăţilor poate conţine profituri, sau dimpotrivă costuri ale firmei, semnul algebric al acestora desemnând sensul fluxului bănesc (intrări/ieşiri) pentru firmă.

Determinarea elementelor matricei A depinde de o serie întreagă de factori obiectivi şi subiectivi având oricum o importantă încărcătură informaţională. Modelul decizional poate îmbrăca forma matricială sau forma unui arbore decizional. Acest ultim caz este indicat a fi utilizat în modelarea proceselor decizionale secvenţiale (dinamice).

Un arbore decizional va avea întotdeauna ca nod-rădăcină un nod decizional. Arcele care pornesc din astfel de noduri sunt în fapt arce-decizii, nodurile de acest tip fiind controlate de decident. Adresa fiecărui arc-decizie o constituie o stare a naturii (eveniment). Arcele care pornesc din aceste din urmă noduri sunt arcele-evenimente, necontrolabile de către decident.

Reprezentarea problemei decizionale, sau a succesiunii temporale de probleme decizionale, în care fiecare secvenţă decizională va cuprinde arcuri şi noduri de tip decizii-evenimente, are ca terminaţii (frunzele arborelui) o mulţime de valori reprezentând consecinţele (monetare în cazul nostru) ale parcurgerii fiecărui drum ce leagă nodul rădăcină cu fiecare terminaţie posibilă în parte.

Dacă în matricea decizională elementele acesteia din urmă sunt exprimate monetare, arcele arborelui decizional vor fi valorizate în procesul de modelare în acelaşi mod. Pe de o parte, arcele vor fi valorizate, pentru fiecare moment decizional cu sumele băneşti ataşate, reprezentând câştigurile/pierderile adoptării unei variante decizionale şi respectiv realizării unei anumite stări a naturii.

În plus, arcele-evenimente vor putea fi valorizate (în cazul problemelor decizionale în condiţii de risc) cu probabilităţile subiective (apriorice) ale producerii respectivelor stări ale naturii, atunci când decidentul poate recurge la un astfel de demers.

În funcţie de elementele cu care au fost valorizate arcele, prin parcurgerea fiecărui lanţ care leagă nodul iniţial de fiecare terminaţie se determină un bilanţ al fluxurilor băneşti, care determină în final mulţimea consecinţelor (rezultatelor) fiecărei succesiuni de acţiuni (decizii), în fiecare din posibilele stări ale naturii, care pot fi identificate. Evident că simpla comparare a acestor rezultate nu este relevantă pentru adoptarea unei strategii.

Soluţionarea unei astfel de probleme, atunci când ea conţine cel puţin două momente (etape) decizionale, se face pe baza unei proceduri de parcurgere a arborelui în sens invers construcţiei sale (metoda inducţiei inverse).

Soluţionarea unei probleme decizionale nedeterministe se face apelând la o serie de criterii (reguli) care au un caracter general, fiind în acest sens expresia atitudinii


61

(comportamentului) decidentului în raport cu factorul risc; de asemenea, există o serie de reguli decizionale care sunt specifice doar unor anumite domenii sau probleme (decizii pe piaţa de capital, decizii în asigurări ş.a.) Pentru prezentarea câtorva reguli decizionale utilizate în soluţionarea modelelor în condiţii de incertitudine, vom considera cazul problemei care vizează o singură perioadă de timp, pentru care presupunem cunoscută matricea plăţilor estimate, de elemente ( ) rjmiNVA ji ,,,,, 11 == . În absenţa unor informaţii referitoare la probabilităţile de realizare a stărilor naturii, un decident poate apela la un anumit criteriu de decizie, în mare parte determinat de comportamentul său faţă de risc.

Un criteriu este bine definit dacă şi numai dacă el conduce la alegerea fără ambiguităţi a unei (unor) acţiuni. Dacă vom considera, pentru simplificarea notaţiei că plata asociată alegerii variantei decizionale Vi şi a realizării ulterioare a stării naturii Nj este

rjmiaij ,,,, 11 == , vom putea formula următoarele criterii decizionale în condiţii de incertitudine, pentru problema exprimată în termeni monetari.

" Criteriul maximin

Fiecărei decizii posibile ( )iV îi este ataşat un index care reprezintă minimul plăţilor asociate liniei i ),,,( 21 inii aaa L . Criteriul, numit şi criteriul prudent sau conservator (Wald), recomandă alegerea variantei al cărui index maximizează plăţile minime. Deci, fiecare acţiune este privită prin prisma celei mai nefavorabile stări a naturii pentru acţiunea respectivă, iar alegerea optimă este cea căreia îi corespunde cea mai bună, dintre cele mai puţin bune plăţi. Formal avem:

000maxminmax jiijiijji

aaa ==.

Potrivit acestui demers problema decizională poate fi considerată ca un joc de sumă nulă între doi parteneri: decidentul şi natura (mediul decizional). Strategia maximin este cea mai bună replică a decidentului în raport cu strategia minimax a naturii, respectiv împotriva celei mai nefavorabile distribuţii de plăţi pe care o poate produce natura. Strategia maximin are sens din mai multe puncte de vedere: maximizează nivelele de securitate ale decidentului (primul jucător) şi, în acelaşi timp, ea este cea mai bună în raport cu strategia minimax a naturii (cel de-al doilea jucător). Această din urmă strategie, a celui de-al doilea jucător, putem accepta că, în acest context nu e caracterizată de un efect ciclic. Criteriul prezentat mai este catalogat şi ca un criteriu pesimist, datorită faptului că decidentul presupune că se va realiza cea mai nefavorabilă situaţie şi va acţiona în conformitate cu această supoziţie. Dacă matricea decizională are în componenţa sa costuri şi nu profituri (venituri), criteriul poate fi uşor modificat pentru decident în sensul de minimax.

" Criteriul optimist (maximax)

Spre deosebire de criteriul maximin care, pentru fiecare acţiune, ia în considerare cea mai nefavorabilă stare a naturii, criteriul optimist priveşte fiecare variantă de acţiune prin


62

prisma celei mai favorabile stări posibile a naturii. În această metodă, fiecărei acţiuni(decizii) posibile Vi i se asociază un index dat de maximul plăţilor ),,,( 21 inii aaa L . Se va alege acţiunea al cărei index maximizează plăţile maxime. Formal avem:

000maxmaxmax jijijijij

aaa ==

" Criteriul regretului minimax (Savage)

Criteriul lui Savage reprezintă o îmbunătăţire a criteriului maximin. Astfel, dacă Nj

este starea reală a naturii (deci cea care se va produce efectiv), atunci nu ne vom asuma nici un risc, sau, altfel spus, nu vom avea nici un regret monetar dacă vom alege chiar varianta optimă corespunzătoare ei. Regretele monetare apar dacă, alegând o anumită variantă decizională, acesta se va dovedi ulterior a nu fi cea optimă pentru starea naturii care se va produce.

Pentru o problemă decizională având drept intrări plăţile ija se va construi astfel un nou tabel al regretelor monetare ijr , în care ijr reprezintă practic suma ce trebuie adăugată lui ija pentru a egala plata maximă din coloana j.

În matricea regretelor se vor determina regretele monetare maxime corespunzătoare fiecărei variante. În final, se va alege ca variantă optimă acea acţiune care corespunde indexului care minimizează maximul regretelor pe linie .

Să observăm că matricei regretelor monetare, care e o matrice de pierderi, i se va aplica un criteriu prudent de tip minimax. Formal avem:

( )

( ) njmiaRr

njaR

ijjij

ijij

,1;,1,

,1,max

==∀−=

=∀=

iar alegerea va fi dată de:

000minmaxmin jiijiijji

rrr ==

" Criteriul lui Hurwicz

Acest criteriu evidenţiază cel mai bun rezultat asociat fiecărei decizii Vi, respectiv cel

mai puţin bun rezultat. Pentru un index pesimist-optimist, ]1,0[∈α , vom asocia fiecărei decizii Vi combinaţia:

ii Mm )1( αα −+⋅

numită α - indexul lui Vi. Dintre două sau mai multe acţiuni o vom alege pe aceea căreia îi corespunde α - indexul mai mare.

Să notăm că pentru 1=α criteriul lui Hurwicz devine criteriul maximin iar pentru 0=α , criteriul maximax. Nivelul lui α poate fi determinat empiric iar, în unele cazuri,

simularea diverselor valori posibile ale lui α permite relevarea mai multor strategii


63

decizionale. În funcţie de valorile acestui parametru, pot fi evidenţiate punctele în care decidentul raţional comută deciziile posibile între ele.

" Criteriul bazat pe principiul raţiunii insuficiente

Conform acestui criteriu dacă un decident relevă o ignoranţă totală referitoare la starea

naturii care se va produce, atunci acesta ar trebui să se comporte ca şi cum stările naturii ar fi echiprobabile. Aceasta înseamnă translatarea problemei în condiţii de risc cu o distribuţie de probabilitate apriori uniformă. Fiecărei decizii Vi îi va fi ataşată o valoare aşteptată notată

)( iVVA dată de:

mian

VVAn

jiji ,,)( 11

1=⋅= ∑

=

Criteriul de alegere va fi dat de decizia care maximizează valoarea aşteptată:

)(max* ii

VVAVA =.

Principiul raţiunii insuficiente a fost formulat prima dată de J. Bernoulli şi el precizează faptul că dacă nu există nimic care să indice că un eveniment este mai probabil decât celelalte, atunci evenimentele ar trebui să fie considerate echiprobabile. Acest principiu este însă destul de vag, iar folosirea lui nediscriminată poate conduce la rezultate contradictorii.

Înaintea aplicării unuia din criteriile prezentate decidentul poate să micşoreze dimensiunea problemei decizionale prin eliminarea variantelor dominate (neadmisibile).

Prin definiţie vom spune că varianta decizională Vk este dominată şi implicit va fi eliminată din matricea decizională, dacă există cel puţin o altă variantă Vi pentru care avem:

( ) { }mjjjaa ookjij ,...,,,...,2,1, 11 +−=∀≥ şi

00 kjij aa ⟩

Această operaţie nu afectează evident soluţia problemei, dar aduce avantaje numerice. În general un proces decizional este considerat raţional dacă utilizează o analiză

logică a cunoştinţelor relevante pentru a ajunge la selectarea deciziei celei mai bune. Modelul clasic al teoriei deciziei face abstracţie de incertitudinea care caracterizează fundamental fiinţa umană. Modelul probabilistic, deşi acceptă în principiu incertitudinea, caută să o elimine, resorbind-o prin atribuirea de probabilităţi. Chiar dacă se asumă incompletitudinea cunoştinţelor noastre la un moment dat, calculul decizional nu este afectat de o asemenea incertitudine. El are loc ca şi cum cunoştinţele noastre ar fi perfecte. În continuare incertitudinea este luată în considerare ca o componentă esenţială şi permanentă a procesului decizional.


64

CAPITOLUL 6. MULTIPLICATORII BUGETARI AI CREŞTERII ECONOMICE Problema rolului ce revine componentelor financiar � monetare în desfăşurarea

activităţii economice şi sociale şi, cu predilecţie, în creşterea economică a constituit obiect de studiu pentru toate şcolile economice. La început, mişcarea acestor componente a fost pusă exclusiv pe seama a ceea ce ştiinţa economică a numit �mâna invizibilă�, adică mecanismele pieţei, în principal concurenţa. Ulterior, pe măsura consolidării organizării statale şi a diversificării-dezvoltării funcţiilor statului a fost pusă tot mai insistent problema intervenţiei statului în mecanismul economic.

Astfel şcoala keynesistă a fundamentat necesitatea unei intervenţii de substanţă şi a precizat inclusiv modalităţile prin care o astfel de intervenţie se poate realiza.

Şcolile de factură liberală s-au pronunţat în general contra intervenţionismului statal în virtutea principiului �laisser faire, laisser passer�.

Abordările postkeynesiste critică �globalitatea� (la nivelul economiei unei ţări) a soluţiilor keynesiste de intervenţiei ele nuanţează obiective, momente sau domenii ale intervenţiei, încearcă să corecteze soluţiile keynesiste în contextul opiniei privind �globalizarea� economiei.

Astfel, până în anii `70, au fost formulate modalităţi de intervenţie de tipul �mix policy�, al căror obiectiv central este controlul inflaţiei. Toate aceste inovaţii în materie de intervenţie se bazează, în principal, pe aceleaşi pârghii financiar � monetare la care face referinţă şi Keynes. De exemplu, �mix policy� apelează la măsuri diferenţiate monetare şi bugetare:

• Cele monetare vizează dinamica preţurilor, dinamica masei monetare, evoluţia ratei dobânzii;

• Cele bugetare vizează dinamica activităţii economice (supuse intervenţiei prin pârghii fiscale şi vamale) şi reglementarea soldului bugetului, al cărui eventual deficit să fie acoperit nu prin emisiune monetară, ci prin credite pe pieţele financiare (pe piaţa monetară, pe piaţa de capital internă, pe piaţa externă de capital).

În sfârşit, în jurul anului 1995 au apărut abordările grupate în teoria creşterii endogene care vizează valenţele de creştere ale mecanismului economic însuşi, dar şi ale componentelor neeconomice ale mecanismului social, prin valorificarea posibilităţilor pe care le creează progresul tehnic, piaţa şi segmentele ei, educaţia, dorinţa de prosperitate, revoluţia informatică. Unele din primele conexiuni între indicatorii sau parametrii financiari � monetari şi cei ce caracterizează nivelul, dinamica şi creşterea economică au fost formulate de reprezentanţi ai şcolii mercantiliste (secolele XV � XVIII), cum au fost Th. Mun şi W. H. Stafford (în Anglia), A. de Montcretien şi J. B. Colbert (în Franţa). Uzând de formulările moderne consacrate de modelarea economică, modelul conexiunilor menţionate se prezintă astfel:

• Funcţia creditului C = C(M) cu C�>0 (6.1)

• Funcţia tranzacţiilor T = T(M) cu T�>0 (6.2)

• Funcţia dobânzii d = d(M) cu d�>0 (6.3)


65

unde: C = volumul creditului; M = masa monetară; T = volumul trnzacţiilor; D = rata dobânzii (preţul banilor). Pârghia monetară prin care statul ar putea interveni este rata dobânzii, pe care Banca Naţională (în calitate de realizator al politicii monetare a statului) o poate influenţa prin nivelul taxei oficiale a scontului. Secvenţele de impact sugerate de modelul 6.1 � 6.3 se derulează, pe seama stimulului iniţial al creşterii ratei dobânzii, astfel: rTCMd →↓→↓→↓→↓↑ unde:

↑ semnifică o creştere; ↓ semnifică o reducere;

→ semnifică o consecinţă; r este ritmul creşterii economice.

O astfel de conexiune a căpătat în timp forţă de axiomă şi este valorificată şi azi în teoriile economice moderne, ca şi în formularea politicilor intervenţioniste, în vederea susţinerii dezvoltării sau asanării componentelor degresive ale ciclului economic. O contribuţie de aceeaşi amplitudine şi importanţă, axiomatizată în egală măsură, o reprezintă relaţia lui Irwing Fisher (reprezentant al şcolii economice clasice, secolele XVII � XIX) referitoare la echilibrul pieţei monetare, cunoscută sub forma:

TPVM ∗=∗ unde: M = masa monetară; V = viteza de rotaţia a banilor; P = nivelul preţurilor; T = volumul tranzacţiilor, şi în care membrul stâng reprezintă oferta de bani, iar cel drept cererea de bani.

În contextul şcolii clasice economistul A. Dowar explică ritmul creşterii economice prin parametri de comportament al agenţilor economici, consideraţi a fi consumatorul individual şi investitorul. Modelul său, prezent în continuare într-o formă ulterioară ce include ca agent economic şi statul � consumator, este:

ttt SCY += (6.4)

tt YcC ∗= (6.5)

tt YgG ∗= (6.6) )( 1−−∗= ttt YYaI (6.7)

tt IS = (6.8) unde: t = index temporal, Y = venit naţional,


66

C = consum individual, G = consum guvernamental, I = investiţii, a,c şi g = înclinaţii marginale Substituind ecuaţiile (2.1 � 2.4) în (2.5) se obţine:

11 −++

=− gac

aYY

t

t

adică indicele creşterii venitului, din care rezultă ritmul creşterii economice:

1

1−++

−−=

gacgcr

în care, prin înclinaţia marginală spre consum guvernamental, se pot introduce elemente de intervenţie statală sub forma politicii cheltuielilor publice.

Întreaga teorie economică postclasică (neoclasică, keynesistă, neokeynesistă etc.) valorifică �axioma� lui Fisher, cel mai adesea în ipoteza unei oferte date (exogene) de bani, pe care o utilizează ca pe un indicator de natură monetară pe care se întemeiază intervenţii şi politici monetare guvernamentale.

Astfel, de exemplu, şcoala neoclasică (secolul al XIX-lea � începutul secolului al XX-lea) a produs modelul echilibrului general de piaţă al pieţei în ansamblul ei şi al unora din segmentele acesteia), model în care bazele condiţiilor echilibrului general au fost formulate de Marie Esprit Leon Walras, cel mai de seamă reprezentant al acestei şcoli şi cel dintâi care a utilizat în economie, în mod sistematic, valenţele şi posibilităţile pe care le oferă matematica.

Modelul echilibrului general, în varianta cea mai complexă pe care a conceput-o

şcoala neoclasică, include: • Funcţia de producţie

)( DNYY = (6.9)

cu 0'Y ≥ şi 0''Y <

• Funcţia de ofertă de muncă

)/( pwNN ss = (6.10) cu 0'N s ≥

• Funcţia de investiţii

I = I(i), cu 0'I ≤ (6.11)

• Funcţia de economii


67

S = S(i) cu 0'S ≥ (6.12)

• Relaţia de echilibru general I = S (6.13)

• Relaţia de echilibru pe piaţa muncii

DS NN = (6.14)

• Echilibrul sectorului monetar

YpkM ∗∗= (6.15) în care: Y = produsul final (în expresie fizică), ND = cerere de muncă, NS = ofertă de muncă, w = salariul unitar (unităţi monetare pe unitatea de muncă folosită pentru a exprima cererea/oferta de muncă), p = nivelul preţurilor, I = investiţiile, i = rata dobânzii, S = economiile, M = masa monetară, k = coeficient de lichiditate, cu valoare egală cu inversul vitezei de rotaţia a banilor.

Funcţia de producţia exprimă oferta pe piaţa bunurilor şi serviciilor şi permite introducerea condiţiei de participare a producătorilor pe această piaţă, respectiv maximizarea profitului scontat ( Π ):

maxΠ = )max( DNwYp ∗∗∗ , (6.16) pentru care se poate scrie condiţia de optim:

⇒=Π 0

DdNd )p/w(]'Y[N 1

D−= , (6.17)

unde: Y� este derivata funcţiei de producţie (cu sensul economic de productivitate marginală a muncii);

1[.]− semnifică inversa funcţiei marcată cu semnul �punct�. Din condiţia (6.14) se obţine o ecuaţie în catre variabila este w/p (cu sensul economic de salariu real) şi care, rezolvată, conduce la soluţia de optim (fie (w/p)*), adică acel nivel al salariului real care asigură atât maximizarea profitului producătorilor, cât şi echilibrul pe piaţa


68

muncii. Din (6.10) se obţine valoarea de echilibru pentru factorul de muncă (fie N*), cu care se poate determina din (6.9) nivelul de echilibru al produsului final (fie Y*). Relaţia (6.15) este o transformată a relaţiaei lui Fisher din care se pot determina nivelul de echilibru al preţurilor (p*) şi cel al salariului nominal (w*). Este deschisă calea pentru simulări privind nivelul de echilibru al preţurilor, al ratei inflaţiei şi chiar al dobânzii. Acesta din urmă poate fi comparat cu nivelul de echilibru al dobânzii, determinat din relaţia de echilibru general (6.13). Se poate avea astfel o imagine a ecartului între echilibrul generat de segmentele piaţa bunurilor şi serviciilor plus piaţa muncii şi piaţa monetară, pe de o parte, şi ansamblul pieţei, pe de altă parte. Keynes dezvoltă o teorie complexă a intervenţiei guvernamentale în mecanismul economic, un model amplu al pieţei în care apar intens corelate segmentele de piaţă, inclusiv cea externă. Forma cea mai simplă a modelului său are în vedere o economie închisă în care statul nu intervine. În varianta unor investiţii determinate exogen modelul include:

• Funcţia de consum

0CYcC +∗= (6.18)

• Funcţia de investiţii

0II = (6.19)

• Ecuaţia de echilibru Y =C + I, (6.20)

În care: C = consumul; c = înclinaţia marginală spre consum, adică dC/dY; C0 = consum autonom; I = investiţii; I0 = investiţii autonome; Y = produsul final. Substituirea, în ecuaţia de echilibru, a funcţiilor de comportament (cea de consum şi cea de investiţii) conduce la obţinerea unei expresii a produsului final în funcţie de variabilele de comportament şi parametrii aferenţi lor, din care expresie se poate determina un multiplicator al creşterii economice:


69

cdI

dY−

=1

1

0

,

(6.21) cunoscut ca multiplicatorul investiţiilor şi care arată cu cât creşte produsul final în cazul creşterii cu o unitate a investiţiilor. Multiplicatorul este întotdeauna supraunitar deoarece c∈(0;1). În varianta în care investiţiile sunt date de nivelul venitului, funcţia de investiţii (6.19) devine: 0IYaI +∗= (6.22) în care a este înclinaţia marginală spre investiţii, adică dI/dY,. exprimând utilizarea sporului de venit, respectiv un indicator invers celui de eficienţă a investiţiilor, şi anume: ce spor de investiţii se realizează la o unitate de creştere a produsului final. Prin acelaşi procedeu de substituire(a funcţiilor de comportament (6.18) şi (6.22) în ecuaţia de echilibru (6.20) se obţine o altă formă a multiplicatorului creşterii economice:

acdI

dY−−

=1

1

0

, (6.23)

cunoscut ca multiplicator extins al investiţiilor, cu acelaşi conţinut ca cel precedent (5.4), dar de valoare mai mare:

cac −

>−− 1

11

1 ,

(6.24) întrucât a∈(0;1): investiţiile nu pot să scadă în condiţiile de creştere a veniturilor (creşterea produsului final înseamnă implicit creşterea veniturilor agenţilor economici). Motivaţia este dată de Keynes sub forma cunoscutelor ipoteze privind comportamentul agenţilor economici:

• Tendinţa de a-şi conserva standardul de viaţă, deci o inerţie în modificarea consumului;

• Tendinţa de a economisi mai mult odată cu creşterea veniturilor, ceea ce înseamnă , implicit, disponibilităţi mai mari pentru investiţii.

Ambii multiplicatori ai investiţiei sunt întotdeauna supraunitari întrucât a şi c ∈ (0;1). Aceste variante de model de creştere pregătesc �formulele� intervenţionismului

guvernamental, pe care Keynes le introduce sub forma: • Politicii cheltuielilor guvernamentale, prin variabila G; • Politicii fiscale, prin variabila de impozite şi taxe T; • Politicii subvenţiilor, o formă a cheltuielilor guvernamentale de tipul

transferurilor efectuate de stat în beneficial altor entităţi economice


70

(consumatori, unii producători, unele instituţii sau societăţi comerciale de stat), prin variabila R.

Modelul de creştere se referă la o economie închisă în care statul intervine şi are în vedere, ca variante, caracterul exogen sau nu al unora din variabilele de intervenţie. În varianta în care toate variabilele de intervenţie sunt exogene, modelul include:

• Ecuaţia venitului net

Yn = Y � Tn (6.25)

• Ecuaţia impozitului net Tn = T � R (6.26)

• Funcţia de consum

0CYncC +∗= (6.27)

• Funcţia de investiţii I =I0 (6.28)

• Funcţia cheltuielilor guvernamentale G = G0 (6.29)

• Funcţia impozitelor T = T0 (6.30)

• Funcţia subvenţiilor R =R0 (6.31)

• Ecuaţia de echilibru

Y = C + I +G (6.32) În această variantă vorbim impropriu de funcţii în relaţiile (6.28) � (6.31), relaţii care de fapt sunt expresia valorilor exogene ale variabilelor respective. Pe baza aceluiaşi procedeu de substituire se pot determina patru multiplicatori de creştere economică:

cdG

dYdIdY

−==

11

00

(6.33)


71

c

cdRdY

dTdY

−==

100

, (6.34)

din care trei exprimă amploarea efectului fiecăreia din cele trei politici intervenţioniste menţionate mai sus. Avem aşadar:

• Multiplicatorul cheltuielilor guvernamentale dY/dG0 , de aceeaşi mărime cu cel al investiţiilor dY /dI0 şi, în plus, egal cu multiplicatorul investiţiilor caracteristic modelului neintervenţionist cu investiţii exogene );

• Multiplicatorul fiscal dY/dT0 şi multiplicatorul subvenţiilor dY/dR0 , din care primul este negativ, egal în valoare absolută cu cel de-al doilea şi mai mic decât ceilalţi doi precedenţi:

ccc

−<

− 11

1

(6.35)

Multiplicatorul fiscal poate fi sub sau supraunitar, după cum c ∈ (0;0,5), respectiv c∈ (0,5;1). În ce priveşte valoarea negativă a multiplicatorului fiscal, aceasta se explică prin relaţia inversă care există între fiscalşitate şi creşterea economică: cu cât fiscalitatea este mai pronunţată cu atât este mai descurajată tendinţa agenţilor economici de a dezvolta activitatea economică şi, în primul rând, de a face investiţii. Procedura de substituire a funcţiilor de comportament în ecuaţia de echilibru conduce la obţinerea unei ecuaţii a produsului final. În varianta de model (6.25) � (6.32) rezultă:

)(1

)(1

100000 RT

ccGIC

cY −

−−++

−=

(6.36) Introducem ∆ ca operator de variaţie, cu sensul de variaţie absolută. Astfel, dacă un indicator presupune două nivele diferite de realizare 21 xx ≠ , variaţia indicatorului x este: 12 xxx −=∆ (6.37)

" Să facem supoziţia că statul adoptă o politică de �îngheţare� a deficitului bugetar.

Aceasta presupune o asemenea politică fiscală şi a cheltuielilor bugetare încât variaţia celor două componente bugetare (cheltuieli şi venituri fiscale) să fie de aceiaşi mărime. Conform formalizărilor practicate în model, aceasta înseamnă că: 00 TG ∆=∆ (6.38) Să presupunem, în continuare, că celelalte variabile de care depinde produsul final, adică nivelul autonom al consumului (C0), al investiţiilor (I0) şi al subvenţiilor (R0), nu voe


72

suferi modificări, variaţia lor fiind nulă. În felul acesta se poate separa în mod strict efectul unei politici de �îngheţare� a deficitului bugetar. Dacă aplicăm operatorul de variaţie la ecuaţia produsului final (6.36) şi ţinem seama de condiţia (6.38), atunci rezultă că: 0GY ∆=∆ sau 0TY ∆=∆ (6.39) ceea ce înseamnă că, în condiţiile �îngheţării� deficitului bugetar, efectul politicii cheltuielilor bugetare, ca şi al politicii fiscale, este de aceiaşi mărime ca efortul presupus. Adică: majorarea cheltuielilor bugetare cu valoarea x, pe seama creşterii veniturilor fiscale cu aceeaşi valoare x, are ca efect creşterea produsului final cu valoarea x.

" Să facem o a doua supoziţie, considerând că statul utilizează variaţia încasărilor bugetare fiscale pentru a subvenţiona economia, adică:

00 RT ∆=∆ (6.40)

Menţinând ipoteza de invarianţă a celorlalte variabile de care depinde produsul final, adică nivelul autonom al consumului (C0), al investiţiilor (I0) şi al cheltuielilor guvernamentale (G0), aplicarea operatorului de variaţie ∆ la ecuaţia produsului final conduce la rezultatul: 0=∆Y , (6.41) ceea ce înseamna că politica fiscală nu are nici un efect de creştere economică, în condiţiile utilizării integrale a veniturilor fiscale suplimentare pentru subvenţionarea economiei. Cele două concluzii, (6.39) şi (6.41), sunt cunoscute sub numele de teorema lui Haavelmo, reprezentând un rezultat al studiilor realizate în şcoala economică postkeynesistă. Modelul (6.25) � (6.32) permite dezvoltarea unor variante bazate pe renunţarea la caracterul exogen al unora din variabile astfel considerate în forma de bază (primară) a acestui model (impozitele, cheltuielile guvernamentale, subvenţiile) sau �deschiderea� economiei (prin introducerea importului, exportului, soldului balanţei comerciale), diversificând astfel valenţele intervenţionismului prin politici guvernamentale.


73

CAPITOLUL7. ELEMENTE DE ECONOMETRIE

7.1. Indicatori şi reprezentări statistice

1. Media şi abaterea standard

Media şi varianţa unei serii sunt estimate prin:

∑∑

=

=

−=

=T

t t

T

t t

Txx

Txx

122

1

)(�σ (7.1)

Abaterea standard, notată cu Std(xt) şi calculată ca rădăcină pătrată a variaţiei

(dispersiei), este cea mai comună măsură a volatilităţii.

Dacă xt este iid(independent şi identic distribuită), atunci este necesar să se determine

varianţa mediei de selecţie. Atunci

( ) .)()()( 211

TxVarTxTVarTxVarTxVar ttT

t tT

t t === ∑∑ == (7.2)

Prima egalitate rezultă din presupunerea că xt şi xs sunt independent distribuite (aşadar

covarianţa este zero). A doua egalitate rezultă din presupunerea că xt şi xs sunt identic

distribuite (aşadar au aceeaşi varianţă).

Media de eşantionare este nedeplasată, aceasta înseamnă că valoarea ei aşteptată este

egală cu media populaţiei.. Pentru a ilustra aceasta se consideră că valoarea aşteptată a mediei

de selecţie a lui xt, independet şi identic distribuită (iid) este:

.11 t

T

t tT

t t ExTxETxE == ∑∑ == (7.3)

2.Testarea mediei de selecţie

a. Distribuţia mediei modelului b.Distribuţia mediei de selecţie la T

Figura 7.1. � Distribuţia mediei de selecţie a modelului şi a mediei modelului

momentelor T ale variabilelor aleatoare zt-1 unde zt~x2(1).


74

Legea numerelor mari precizează că media de selecţie converge către adevărata medie

a populaţiei când dimensiunea eşantionului tinde către infinit. Aceasta este valabilă pentru o

foarte mare clasă de variabile aleatoare, dar există şi excepţii. O condiţie suficientă, dar nu şi

necesară, pentru această convergenţă este aceea că media de selecţie să fie nedeplasată (ca în

relaţia7.3) şi că varianţa tinde către zero, în timp ce dimensiunea eşantionului tinde spre infinit

(ca in relaţia7.2). Aceasta este numită şi convergenţa în medie pătratică.

Teorema limită centrală(CLT) spune că xT converge în distribuţie către o

distribuţie normală în timp ce mărimea eşantionului creşte (vezi figura 7.1. b). Aceasta este de

asemenea valabilă pentru o foarte mare clasă de variabile aleatoare, şi reprezintă un rezultat

foarte folositor din moment ce permite verificarea ipotezelor.

3.Covarianţa şi corelaţia

Covarianţa a două variabile, x şi y, este estimată prin:

( ) ( )( ) ./,1

^TzzxxzxCov T

t tttt ∑ =−−= (7.4)

Corelaţia a două variabile este estimată prin:

,)()(

),(),( ^^

^^

tt

tttt

zStdxStd

zxCorrzxCorr = (7.5)

unde ^

)( txStd este o estimare a deviaţiei standard. O corelaţie trebuie să se încadreze între

valorile -1 şi 1. De notat că mărimile covarianţă şi corelaţie măsoară numai gradul relaţiei

liniare.

Autocovarianţa lui x de pas p este estimată de:

( ) ( )( )∑ = −−− −−=T

t pttptt TxxxxxxCov1

^,/, (7.6)

unde folosim aceeaşi medie estimată, utilizând toate datele, în ambele cazuri. Similar,

autocorelaţia de pas p este:

( )

.),(

),(2

^

^^

t

pttptt

xStd

xxCovxxCorr −− = (7.7)

Observaţie: Altă metodă pentru a calcula autocorelaţia de selecţie a modelului în (7.7)

este apelând la panta ecuaţiei de autoregresie:


75

.tptt ubxax ++= −

Aceasta rezultă din faptul că panta este ( )./),(^

ptptt xVarxxCov −− Numitorul poate fi

puţin diferit în (7.7) atâta timp cât câteva date sunt eliminate, dar diferenţa este mică.

7.2. Metode de estimare

7.2.1. Metoda celor mai mici pătrate

1.Regresia unifactorială

Modelul regresiei unifactoriale este:

,10 ttt uxy ++= ββ unde 0=tEu şi .0),( =tt uxCov (7.8)

De remarcat, două foarte importante ipoteze:(i) media reziduului,ut, este zero, şi (ii)

variabila reziduală nu este corelată cu regresorul xt. Dacă regresorul însumează toate

informaţiile folositoare pentru a descrie yt, atunci presupunerile implică aceea că nu avem nici

o metodă mai rafinată pentru o deducere a lui ut, chiar după ce am observat xt.

Presupunând că nu se cunosc 0β şi 1β , şi că avem un eşantion la îndemană: yt şi xt

pentru t=1,2...T, estimatorul LS al lui 0β şi 1β minimizează funcţia de pierdere:

( ) ( ) ( ) ......�� 2

2102

2

1 1101

2

10 +−−+−−=−−∑ =xyxyxyT

t tt ββββββ (7.9)

prin alegerea lui 0�β şi 1

�β pentru a face valoarea funcţiei de pierdere cât mai mică posibil.

Obiectivul are în vedere alegerea valorilor lui 0�β şi 1

�β pentru a construi modelul cât mai

corect posibil, aceasta însemnând o variaţie mică a părţi neexplicate (variabila reziduală),

.��10 tt xy ββ −−

Observaţie: Condiţia de ordinul întâi pentru minimizarea funcţiei diferenţiabile cere

să găsim valoarea lui β în intervalul supinf βββ ≤≤ , care face valoarea funcţiei diferenţiabilă

)(βf cât mai mică posibilă. Rezultatul este supinf ,ββ sau acea valoare a lui β pentru care

( ) .0/ =ββ ddf

Condiţiile de ordinul întâi pentru minim cer ca derivatele parţiale ale raportului

funcţiei de pierdere, în raport cu 0�β şi 1

�β să fie zero:

( ) ( ) 0��1 10

2

1 100

=−−−=−−∂∂ ∑∑ == t

T

t ttT

t tt xxyxy βββββ

(7.10)


76

( ) ( ) 0��1 10

2

1 101

=−−−=−−∂∂ ∑∑ == t

T

t ttT

t tt xxyxy βββββ

. (7.11)

Observaţie: De notat că iβ este valoarea reală (neobservată) pe care o estimăm să fie

iβ� . Când iβ este un număr necunoscut (determinist), iβ� este o variabilă aleatoare din

moment ce e calculată ca o funcţie a selecţiei aleatoare ale variabilelor yt şi xt.

Observaţie: Covarianţa este definită ca:

( )( )[ ] ( )

ExEyExyExEyEyExExEyExyExEyyExxEyxyEEyyExxEyxCov

−=+−−=+−−=−−=),(

iar când x=y obţinem ( ) .)( 22 ExExxVar −= Aceste rezultate se menţin de asemenea şi pentru

momentele de selecţie.

Când mediile lui y şi x sunt zero, atunci putem neglija constanta. În acest caz, relaţia

(8.4) cu 0�0 =β conduce la:

∑∑ ===

T

t tttT

t t xxxy111

�β sau ∑∑

=

== T

t tt

T

t tt

Txx

Txy

1

11

/

/�β (7.12)

În acest caz estimatorul coeficientului este covarianţa de selecţie a lui yt şi xt(reamintim că

mediile sunt zero), împărţită la varianţa regresorului xt.

Calitatea unui model de regresie este deseori măsurată în termenii abilităţii sale de a

explica modificările variabilelor dependente.

Să considerăm ty� valoarea aşteptată a lui yt. De exemplu, în relaţia (7.8) va fi

.�� 10 tt xy ββ += Dacă o constantă este inclusă în ecuaţia regresiei, sau mediile pentru y şi x

sunt zero, atunci o verificare a calităţii ajustării modelului este dată de:

.)�,( 22tt yyCorrR = (7.13)

Pentru a înţelege acest rezultat, presupunem că xt nu are putere explicativă, aşa că R2

ar trebui să fie zero. Dacă xt este necorelat cu yt când numărătorul în relaţia (7.12) este zero,

atunci .0�1 =β Ca o consecinţă 0

�� β=ty , care este o constantă � şi o constantă este întotdeauna

necorelată cu orice altceva.

Pentru a deduce ce reprezintă R2, presupunem coeficienţi estimaţi egali cu coeficienţi

reali, aşadar .�� 10 tt xy ββ += În acest caz,

.),( 21010

2ttt xuxCorrR ββββ +++=


77

Dacă modelul este perfect astfel că ut=0, atunci R2=1. Când 01 =β , atunci R2=0.

2. Regresia multifactorială

Considerând modelul liniar:

,... '2211 tttkktttt uxuxxxy +=++++= ββββ (7.13)

unde yt şi ut sunt scalari, xt un vector 1×k , şi β un vector al coeficienţilor reali de

dimensiune 1×k . Suma pătratealor variabilelor reziduale:

( ) ,��2

1'

12 ∑∑ ==

−=T

t ttT

t t xyu β (7.14)

Va fi mimimizată în raport cu vectorul β . Condiţiile de ordinul întâi sunt:

( ) ∑ ∑∑ = ==× =−=T

t

T

t ttttT

t tttk xxyxxyx1 1

'1

'1

��0 ββ (7.15)

care, rezolvate, conduc la:

( ) .�1

1

1' ∑∑ =

−

==

T

t ttT

t tt yxxxβ (7.16)

Pentru a găsi distribuţia estimatorului, folosim relaţia (7.13) pentru a substitui yt în

relaţia (7.16) şi rearanjând se obţine:

( ) ( ) ∑∑ =

−

==−

T

t ttT

t tt TuxTTxxT1

1

1' .//� ββ (7.17)

Distribuţia asimptotică este (tipic) normală şi are aceeaşi formă ca în regresia

unifactorială.

7.2.2. Metoda verosimilităţii maxime

O altă metodă pentru a obţine un estimator este maximizarea funcţiei de verosimilitate.

Dacă ut în (7.8) sunt identic şi independent distribuite ( )2,0 σN , atunci densitatea funcţiei de

probabilitate a lui ut este:

./21exp

2

1)( 22

2

−= σ

πσtt uupdf (7.18)

Din moment ce erorile sunt independente, obţinem funcţia L- de verosimilitate:

( )

−== ∑∏ =

−

=

T

t tTT

t t uupdfL1

222/21

/21exp2)( σπσ (7.19)

şi logaritmând, avem:


78

( ) ( ) ( ) ./21ln

22ln

2ln 22

12 σβσπ ∑ =

−−−−=T

t tt xyTTL (7.20)

Această funcţie este maximizată prin minimizarea ultimului termen, care este

proporţional cu suma pătratelor erorilor, la fel ca în relaţia (7.9): LS este ML când erorile sunt

normal, independent şi identic distribuite.

Estimatorii de maximă verosimilitate au proprietăţi foarte bune, considerând că

presupunerile distribuţiei de bază sunt corecte dacă maximizăm partea dreaptă a funcţiei. În

acest caz, MLE sunt tipic cei mai eficienţi - estimatori precişi, cel puţin asimptotici. ML,

permiţând testarea ipotezelor (incluzând teste Wald, LM şi LR).

7.3 Metode de prognoză bazate pe serii dinamice

Analiza seriilor de timp a demonstrat a fi o metodă eficientă în realizarea predicţiilor.

Principalul dezavantaj este acela că de obicei nu permite o analiză structurală a predicţiei.

Procesul numit zgomot alb este principalul bloc constructiv folosit în multe modele de

serii de timp. Este carcterizat de o medie zero, o varianţă constantă şi neautocorelată:

( ) .0,0,)(0 2 ≠=== − sCovVarE tsttt εεσεε (7.21)

Dacă, în plus tε este normal distribuită, atunci se spune că este un zgomot alb

Gaussian. Acest proces nu poate fi predicţionat sigur.

7.3.1. Modele autoregresive (AR)

Studiem procesul autoregresiv de ordin întâi, AR(1), în unele detalii pentru a înţelege

conceptele principale ale proceselor autoregresive.

Un AR(1) este descris de:

,1 ttt ayy ε+= − (7.22)

unde tε este procesul zgomotului alb conform (7.21). Dacă 11 <<− a , atunci efectul

evenimentului şoc dispare, iar ty este staţionar.

Modelul AR(1) poate fi estimat cu OLS, din moment ce tε şi 1−ty sunt necorelate, şi

toate instrumentele uzuale pentru testarea semnificaţiei coeficienţilor şi estimarea varianţei

variabilelor reziduale se pot aplica.

Proprietăţile principale ale unui proces AR(1), pentru ,1<a sunt:


79

)1/()()( 2aVaryVar tt −= ε (7.23)

sstt ayyCorr =− ),( (7.24)

iar varianţa şi autocorelaţia sunt crescătoare în a.

Dacă a=1 în (7.22), atunci obţinem un mers aleator. Este clar că mersul aleator este

nestaţionar, acesta este efectul unui şoc ce nu dispare niciodată. Aceasta implică că varianţa

este infinită şi că intrumentele standard pentru testarea coeficienţilor sunt invalide. Soluţia

este să studiem schimbările prin înlocuirea lui y cu .1−− tt yy În general, procesele cu

proprietăţile că efectul şocului nu dispare nicodată sunt numite nestaţionare.

Figura 7.2. prezintă un exemplu al estimări unui AR(1)

a. Venitul=c+b*întârzierea Venitului,panta b.Venitul=c+b*întârzierea Venitului,R2

Stocul excedentar al veniturilor, pe lună.

Figura 7.2. � Prognoza stocului veniturilor în US (orizonturi de investiţi diferite) cu

întârzierea veniturilor.

Rezolvăm prin substituţie repetată:

( ) t

y

ttt

t

ayay εε ++=−

−− 44344211

12 (7.25

ttt aya εε ++= −− 122 (7.26)

M (7.27)

∑=

−−−+ +=

K

sst

SKt

K aya0

11 .ε (7.28)


80

Factorul 11

−−+

KtK ya decreşte monotn spre zero dacă 0<a<1, când K creşte, şi descreşte

în mod oscilant dacă -1<a<0. În orice caz, procesul AR(1) este staţionar şi putem lua limita

când ∞→K şi obţinem:

....0

22

1 sts

stttt aaay −

∞

=−− ∑=+++= εεεε (7.29)

Din momet ce tε este necorelat în timp, yt-1 şi tε sunt necorelate. Putem calcula

varianţa lui yt în (7.22) ca suma varianţelor a două componente în partea dreaptă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

21 1/)( aVarVaryVaraVarayVaryVar tttttt −=+=+= −− εεε

cu ( ) ( )tt yVaryVar =−1 (7.30)

În aceste calcule folosim faptul că ( )1−tyVar şi ( )tyVar sunt egale. Formal, aceasta

rezultă din faptul că ambele sunt funcţii liniare ale termenilor ε curenţi şi trecuţi (vezi 7.29)

ce au aceiaşi varianţă în timp ( tε este presupus a fi zgomotul alb).

De notat că din (7.30) varianţa lui yt este crescătoare în valoarea absolută a lui a.

Deducem că un a mare implică un şoc ce are efect peste multe perioade de timp şi, de aceea,

apar modificări (volatilitate) în y.

Similar, covarianţa lui yt şi yt-1 este:

( ) ( ) ( ) ( ).,,, 11111 tttttttt yaVaryyaCovyayCovyyCov ==+= −−−−− ε (7.31)

Putem atunci calcula autocorelaţia de ordin întâi ca:

( ) ( )( ) ( ) .

,,

1

11 a

yStdyStdyyCov

yyCorrtt

tttt ==

−

−− (7.32)

Se poate demonstra că:

( ) ( ) .,, stststt ayyCorryyCorr == +− (7.33)

Presupunem că am estimat un AR(1). Pentru a simplifica demonstraţia, presupunem că

şi valoarea actuală a şi Var ( )tε , ce pot fi aproximări rezonabile, dacă au fost estimate pe un

model dezvoltat.

Vrem să previzionăm yt+1 folosind informaţiile disponibile în t. Din (7.22) obţinem:

.11 ++ += ttt ayy ε (7.34)

Din moment ce ceea mai bună aproximare a lui 1+tε este zero, cea mai bună

previzionare şi eroare previzionată sunt:


81

ttt ayyE =+1 (7.35)

111 +++ =− tttt yEy ε cu varianţa 2σ (7.36)

Putem de asemenea să dorim previzionarea yt+2 folosind informaţii din t. Pentru

aceasta din (7.22) se obţine:

( ) .212

21212

1

+++++++ ++=++=+=+

tttt

y

ttttt ayaayaayyt

εεεεε43421

(7.37)

Din moment ce 1+ttE ε şi 2+ttE ε sunt ambele zero, obţinem că:

ttt yayE 22 =+ (7.38)

2122 ++++ +=− ttttt ayEy εε cu varianţa .222 σσ +a (7.39)

Mai general, avem:

ts

st yayE = (7.40)

( ) ( )( ) 21242 ...1 σ−++ ++++=− s

sttst aaayEyVar (7.41)

.11 2

2

2

σ−−

=aa s

(7.42)

Procesul autoregresiv de ordin p,AR(p) este o extensie a lui AR(1).

tptpttt yayayay ε+++= −−− ...2211 (7.43)

Toate calculele anterioare pot fi efectuate pentru acest proces la fel de bine. Acest

proces poate fi de asemenea estimat cu OLS din moment ce tε este necorelat cu întârzierile

lui yt.

Ca un exemplu, considerăm previzionarea lui yt pentru informaţiile în t, prin folosirea

unui AR(2).

11211 +−+ ++= tttt yayay ε (7.44)

Aceasta dă previzionarea de pas:

.1211 −+ += tttt yayayE (7.45)

Putem folosi relaţia (3.24) pentru a scrie yt+2 astfel:

( )

( ) .211121221

221121122112

1

++−

++−+++

++++=

++++=++=+

tttt

tt

y

ttttttt

ayaayaa

yayayaayayayt

εε

εεε4444 34444 21

(7.46)

7.3.2. Modele de medie mobilă (MA)


82

Un proces de medie mobilă de ordin q este:

ptpttty −− +++= εθεθε ...11 , (7.47)

unde tε este zgomotul alb(uzual Gaussian).

Estimarea procesului MA este efectuată prin stabilirea funcţiei de verosimilitate şi apoi

folosind unele metode numerice pentru maximizare; LS nu funcţionează pentru toate din

moment ce variabilele din partea dreaptă sunt neobservabile. Acesta este un motiv pentru care

modelele MA au un rol limitat în aplicare. Mai mult, majoritatea modelelor pot fi bine

aproximate printr-un model AR de ordin inferior.

7.3.3. Modele mixte ARMA(p,q)

Modelele mixte sunt formate dintr-un un model de medie mobilă agăugat

la un modele AR.

De exemplu, un ARMA(2,1) ar putea fi:

,112211 −−− +++= ttttt yayay εθε

unde tε este zgomotul alb. Acest tip de model este mai greu de estimat decât modelul

autoregresiv (LS nu poate fi folosit). Specificările apropiate ale modelului

(numărul întârzierilor lui yt şi tε ), sunt deseori necunoscute. Metodologia Box �Jenkins

reprezintă un set de îndrumări pentru a atinge specificaţiile corecte pornind cu unele modele,

studiind structura autocorelării variabilelor reziduale fixate şi apoi modificând modelul.

Majoritatea modelelor ARMA pot fi bine aproximate printr-un model AR, permiţând

adăugarea unor întârzieri. Din moment ce modelele AR sunt aşa de uşor de estimat, această

aproximare este deseori folosită frecvent.

7.3.4. Modele ARCH şi GARCH

Modele ARCH

Un model simplu ARCH(1) este dat de relaţia:

( ) 0

'

=

+=

tt

ttt

xuEubxy

unde xt este un vector 1×k . Variabila reziduală poate fi scrisă:

tttu συ=

cu tυ ~identic şi independent distribuită


83

cu 01 =− ttE υ şi .121 =− ttE υ

şi varianţa condiţionată este generată de:

0, 02

1102 >+= − ααασ tt u şi .10 1 <≤ α

Modele GARCH

În loc de folosirea unui model ARCH cu multe întârzieri, este mai comod să utilizăm

un model GARCH de ordin redus (ARCH Generalizat). Modelul GARCH(1,1) este simplu şi

suficient de general: 2

112

1102

−− ++= ttt u σβαασ cu .1;1,;0 11110 <+≥> βαβαα

Modelele bazate pe studiul seriilor dinamice (de timp) sunt studiate si ilustrate prin

exemple din domeniul analizei bugetare , detaliind principalele etape care vizează:

staţionarizarea şi desezonalizarea, identificarea, estimarea, validarea şi testarea, elaborarea de

predicţii (previziuni).


84

Bibliografie:

1. Bădescu, A.V., Dobre, I., Modelarea deciziilor economico-financiare, Ed. Conphys, Rm. Vâlcea, 2001;

2. Pecican, E., Econometria pentru economisti, Ed. Economica, Bucureşti, 2003; 3. Stroe, R., Armeanu, D., Finanţe, Ed. ASE, Bucureşti, 2004.


85

CUPRINS Pag. Cap.1. Analiza structurii şi dinamicii indicatorilor bugetari.....................................................1 Cap.2. Indicatori financiari ai împrumuturilor obligatare publice.............................................6 Cap.3. Nivelul optim al accizei................................................................................................10 Cap.4. Decizii multicriteriale în condiţii de certitudine��...14

4.1. Metode multicriteriale de alegere��..14 4.1.1. Decizii fără informaţii privind preferinţele decidentului asupra

criteriilor/variantelor��...17 4.1.2. Metode de decizie cu informaţii asupra criteriilor (preferinţe ordinale)18 4.1.3. Metode de decizie cu preferinţe cardinale asupra criteriilor��..19 4.1.4. Aplicaţii bugetare��...25

4.2. Decizii pe bază de utilităţi.....................................................................................28 4.2.1. Utilitatea decizională în sens von Neumann � Morgenstern��..28 4.2.2.. Metoda maximizării utilităţii globale��....30 4.2.3.. Metoda ELECTRE � BOLDUR��....32 4.2.4. Aplicaţii în fiscalitate��.33

4.3. Metode şi modele de alegere multicriterială în caz continuu��...35 4.3.1. Modalităţi de definire a soluţiei problemei multiobiectiv��..35 4.3.2. Metoda programării � scop��.37 4.3.3. Metoda STEM��39

Cap.5. Decizii de alegere in condiţii de risc şi de incertitudine...............................................41 5.1. Modele decizionale în condiţii de risc...................................................................41 5.2. Analiza bayesiană în soluţionarea problemei decizionale în condiţii de risc........45 5.3. Incertitudine:concepte, definiţii, criterii de alegere...............................................51

Cap.6. Multiplicatorii bugetari ai creşterii economice............................................................58 Cap.7. Elemente de econometrie .............................................................................................67

7.1. Indicatori şi reprezentări statistice.........................................................................67 7.2. Metode de estimare................................................................................................69

7.2.1. Metoda celor mai mici pătrate.................................................................69 7.2.2. Metoda verosimilităţii maxime................................................................71

7.3 Metode de prognoză bazate pe serii dinamice........................................................72 7.3.1. Modele autoregresive (AR).....................................................................72 7.3.2. Modele de medie mobilă (MA)...............................................................75 7.3.3. Modele mixte ARMA(p,q)......................................................................75 7.3.4. Modele ARCH şi GARCH......................................................................76

Bibliografie...............................................................................................................................77

Download - Suport Metode Cantitative de Analiza Bugetara

Top Related