ABORDARI PRIVIND REZOLVAREA ECUATIILOR DE GRAD SUPERIOR INGINER PROFESOR TRIF VICTOR INTRODUCERE Prezenta lucrare, dupa cum se vede si din titlu este destinata abordarii unor metode destinate in principal rezolvarii ecuatiilor de grad superior cu o nederminata, notata de regula cu x, care la ora actuala nu au formule de rezolvare. Din documentarea mea exista rezolvate in ceea ce priveste ecuatiile de grad superior doar mai multe cazuri de ecuatii particulare. Cu toate ca, eu am crezut ca am rezolvat complet orice ecuatie indifferent ce grad ar avea, totusi revin si spun ca nu am reusit pana acum, dar doresc sa reliefez cazurile particulare pe care le-am gasit, noi formule de rezolvare pentru ecuatiile de gradul intai si doi, si apoi doresc sa prezint metodele mele de abordare in sensul ecuatiilor de grad mai mare, egal cu trei, in speranta ca reprezinta aceste abordari ceva mai deosebit si ar putea fi utile unor terte personae, eventual intr-o colaborare chiar pe internet, sau chiar independent, dupa cum vor dori, sa continue aceasta munca, si poate in final sa se obtina rezolvarea si acestor ecuatii. Trebuie sa specific, asa dupa cum se va vedea, ca, metodele mele, sunt destinate rezolvarii oricarei ecuatii de orice grad ar fi ea, chiar si de gradul 100, etc. Consider ca este ceva deosebit, si fac bine a arata pana unde am ajuns eu, si apoi asa dupa cum specificam imediat mai sus principalul este sa se obtina rezolvarea acestor ecuatii. Personal, consider, ca aceste modalitati pe care le-am aplicat sunt foarte interesante, si poate vor produce un relative ecou in cercul celor interesati de astfel de lucruri. O sa se poata vedea ca exista mai multe modalitati de abordare pe care le-am folosit, eu as fi dorit chiar sa arat ca sunt mai multe modalitati de rezolvare a unei ecuatii. Ceea ce este interesant, este ca acest aspect pe care l-as fi dorit sa-l obtin in cazul oricarei ecuatii de orice grad ar fi ea, l-am reusit cu success in cazul ecuatiei de gradul 1 si 2, si mai putin in cazul ecuatiilor de grad mai mare. Fara sa mai intru in alte amanunte, incerc sa prezint in continuare prima mare abordare, care se bazeaza pe folosirea unor pachete de substitutii, carora eu le-am dat niste nume, in fine acest lucru nu are o prea mare importanta, ci este in primul rand o ordonare facuta de mine. Pe parcurs se va vedea cum am dorit sa lucrez cu ele. Astfel avem : ( 1i ) SUBSTITUTII DIRECTE este primul pachet pe care il prezint si in consecinta l-am denumit astfel. Dupa cum se va vedea acest pachet de sustitutii este infinit destinat la orice ecuatie. Vom prezenta cateva, si apoi oricine cred ca isi va da seama cum se formeaza aceste substitutii: 2332414 4 55322313 3 442212 2 3311 220 11) 1 (; ) 1 (; ) 1 (; ) 1 (; 1x n x n x n x x x x nx n x n x n x x x x nx n x n x x x x nx n x x x x nx x x n

); 1 (); 1 (1 1) (1 1 x x x x nx x x x nN N NNi i ii 1________________________________________________________________________Tot ca substitutii directe definim si substitutiile: ); 1 )( 1 ( 1; 02 0 221+ x x x x x mx x m; 1); 1 (); 1 (; 1; 1; 1); 1 (5 0 592 2 2 483 1 473 0 365 0 554 0 442 331 x x x mx x x x mx x x x mx x x mx x x mx x x mx x x x m . . . .); 1 (); 1 (); 1 (2 3 3 5123 2 2 5114 1 510d m a sx x x x mx x x x mx x x x m

________________________________________________________________________ OBSERVATIE se observa usor cum se definesc substitutiile directe n(i) si m(i), si se aleg dupa cum voi arata, functie de gradul ecuatiei sau dupa dorinta. Substitutiile directe n la puterea i le-am mai numit substitutii directe de unitate. Mai am pachete de substitutii, dar am sa le trec pe parcursul desfasurarii lucrarii. In continuare doresc sa trec ceea ce am facut eu, dar sis a trec in revista ceea ce s-a facut in acest domeniu. CONTINUTUL LUCRARII

Forma generala a unei ecuatii de gradul n, n, N este:0 .......001111 + + + +x a x a x a x annnn, unde: ; " " min det; , ~ 0 ,i ilaputerea ataecuatie er ne xN n n i iiecuatiei coeficient aii - astfel putem completa de exemplu, ca:- ecuatia de gradul trei este:-000112233 + + + x a x a x a x a--ecuatia de gradul 2, este:-; 0001122 + + x a x a x a -ecuatia de gradul 1, este:

; 00011 + x a x a Ecuatia de gradul 0, este:

; 000 x a- la ultima ecuatie, in baza ca , K sia a 0 0, 0, acest lucru implica automat, ca00 x , aspect ce contrazice conventia existenta, si anume ca, 10 x ; -asupra acestui aspect am sa mai revin pe parcursul lucrarii prin alte calcule. De asemenea, fapt ce este cunoscut, in cazul oricarei ecuatii la care ii scriem forma generala, daca, gradul ecuatiei a fost fixat, conditia de existenta a acelei ecuatii de grad fixat, este ca si coeficientul nedeterminatei la grad maxim sa fie diferit de 0, iar pe parcursul acestei 2lucrari, in afara de situatiile care se vor mentiona la momentul respective, toti coeficientii ecuatiilor vor face parte in general din multimea numerelor complexe, chiar daca ei sunt in anumite cazuri, coeficienti reali, deoarece aceasta este conditia general ape care eu am impus-o.- ____________________________________________________________________________________- OBSERVATIE pe parcursul lucrarii, nu vom folosi tot timpul notatiaia, pentru coeficientii unei ecuatii, ci dupa cum va fi cazul.- ____________________________________________________________________________________- In continuare trecem teorema care este cunoscuta:- ____________________________________________________________________________________- TEOREMA1 (generalizare) orice ecuatie de un anumit grad n, n fiind numar natural, admite atatea solutii cate indica numarul ca si valoare care reprezinta gradul ecuatiei in cauza.- ____________________________________________________________________________________-In sensul acestei teoreme de exemplu, o demonstrez astfel, dupa cum urmeaza, printr-o demonstratie simpla ce tine mai mult de logica matematica si logica algebrica:- Se cunoaste teorema de descompunere in factori de gradul 1 a unei ecuatii de gradul n:-); )........( ).......( )( ( ..... ......2 1001111 n i niinnnnx x x x x x x x a x a x a x a x a x a + + + +- Daca fiecare binom l-am egala cu 0, am obtine n solutii, asa dupa cum indica si gradul ecuatiei.- ____________________________________________________________________________________-In continuare sa mai definim niste pachete de substitutii:- SUBSTITUTII DIRECTE INVERSE:- ; / ) 1 ( / 1; / / ) 1 ( / 1 12 1 1211 01x x x x x x qx n x x x x x q -; / ) 1 ( / 13 2 1 23x x x x x x q -; 2 2 2 04/ 1 1 1 x x x x q -. . . . ; / 1 1; 3 3 05d m a s x x x q - Se observa modul de determinare al acestor substitutii ;- ____________________________________________________________________________________tot ca substitutii directe inverse, mai putem defini :-; / / ) 1 ( / 1 111 06x n x x x x x q -; / / ) 1 ( / 122 1 17x m x x x x x x q -; / / ) 1 ( / 143 2 1 28x m x x x x x x q -; / / ) 1 ( / 1 1222 2 2 2 09x m x x x x x q -. . . . ; / / ) 1 ( / 1 1343 3 3 3 010d m a s x m x x x x x q ;- Se observa si in acest caz modul simplu de determinare al acestor tipuri de substitutii, si ca sunt foarte multe, practice o infinitate,din care in cazul fiecarei ecuatii se vor allege cele mai potrivite.- Tot in mod similar mai putem defini si substitutiile:-; / / ) 1 ( / 154 3 1 311x m x x x x x x q 3-... ; / / ) 1 ( / 154 3 1 312etc x m x x x x x x q - ____________________________________________________________________________________OBSERVATIA 4 se observa in cazul acestor substitutii si modul, sau sau putem gasi modalitatile de exprimare a unei substitutii functie de altele. Se va vedea pe parcursul expunerii, ca se vor gasi multe formule de rezolvare pentru ecuatii folosind combinatii ale acestor substitutii, asa dupa cum se va vedea, inclusive folosind si celelalte substitutii date mai jos. Mentionez ca in general aceste sustitutii si alegerea lor,mai prcis formarea lor se poate jongla,functie de ce am dori sa obtinem.,mai prcis formarea lor se poate jongla,functie de ce am dori sa obtinem.Forma generala a unei ecuatii de gradul n, n, N este:0 .......001111 + + + +x a x a x a x annnn, unde: ; " " min det; , ~ 0 ,i ilaputerea ataecuatie er ne xN n n i iiecuatiei coeficient aii - astfel putem completa de exemplu, ca:- ecuatia de gradul trei este:- 000112233 + + + x a x a x a x a--ecuatia de gradul 2, este:- ; 0001122 + + x a x a x a -ecuatia de gradul 1, este: ; 00011 + x a x a Ecuatia de gradul 0, este: ; 000 x a- la ultima ecuatie, in baza ca , K sia a 0 0, 0, acest lucru implica automat, ca00 x , aspect ce contrazice conventia existenta, si anume ca, 10 x ; -asupra acestui aspect am sa mai revin pe parcursul lucrarii prin alte calcule. De asemenea, fapt ce este cunoscut, in cazul oricarei ecuatii la care ii scriem forma generala, daca, gradul ecuatiei a fost fixat, conditia de existenta a acelei ecuatii de grad fixat, este ca si coeficientul nedeterminatei la grad maxim sa fie diferit de 0, iar pe parcursul acestei lucrari, in afara de situatiile care se vor mentiona la momentul respective, toti coeficientii ecuatiilor vor face parte in general din multimea numerelor complexe, chiar daca ei sunt in anumite cazuri, coeficienti reali, deoarece aceasta este conditia general ape care eu am impus-o.- ____________________________________________________________________________________- OBSERVATIE pe parcursul lucrarii, nu vom folosi tot timpul notatiaia, pentru coeficientii unei ecuatii, ci dupa cum va fi cazul.- ____________________________________________________________________________________- In continuare trecem teorema care este cunoscuta:- ____________________________________________________________________________________- TEOREMA1 (generalizare) orice ecuatie de un anumit grad n, n fiind numar natural, admite atatea solutii cate indica numarul ca si valoare care reprezinta gradul ecuatiei in cauza.- ____________________________________________________________________________________-In sensul acestei teoreme de exemplu, o demonstrez astfel, dupa cum urmeaza, printr-o demonstratie simpla ce tine mai mult de logica matematica si logica algebrica:- Se cunoaste teorema de descompunere in factori de gradul 1 a unei ecuatii de gradul n:-); )........( ).......( )( ( ..... ......2 1001111 n i niinnnnx x x x x x x x a x a x a x a x a x a + + + +4- Daca fiecare binom l-am egala cu 0, am obtine n solutii, asa dupa cum indica si gradul ecuatiei.- ____________________________________________________________________________________-In continuare sa mai definim niste pachete de substitutii:- SUBSTITUTII DIRECTE INVERSE:- ; / ) 1 ( / 1; / / ) 1 ( / 1 12 1 1211 01x x x x x x qx n x x x x x q - ; / ) 1 ( / 13 2 1 23x x x x x x q -; 2 2 2 04/ 1 1 1 x x x x q - . . . . ; / 1 1; 3 3 05d m a s x x x q - Se observa modul de determinare al acestor substitutii ;- ____________________________________________________________________________________tot ca substitutii directe inverse, mai putem defini :- ; / / ) 1 ( / 1 111 06x n x x x x x q - ; / / ) 1 ( / 122 1 17x m x x x x x x q - ; / / ) 1 ( / 143 2 1 28x m x x x x x x q - ; / / ) 1 ( / 1 1222 2 2 2 09x m x x x x x q - . . . . ; / / ) 1 ( / 1 1343 3 3 3 010d m a s x m x x x x x q ;- Se observa si in acest caz modul simplu de determinare al acestor tipuri de substitutii, si ca sunt foarte multe, practice o infinitate,din care in cazul fiecarei ecuatii se vor allege cele mai potrivite.- Tot in mod similar mai putem defini si substitutiile:- ; / / ) 1 ( / 154 3 1 311x m x x x x x x q - ... ; / / ) 1 ( / 154 3 1 312etc x m x x x x x x q - ____________________________________________________________________________________OBSERVATIA 4 se observa in cazul acestor substitutii si modul, sau sau putem gasi modalitatile de exprimare a unei substitutii functie de altele. Se va vedea pe parcursul expunerii, ca se vor gasi multe formule de rezolvare pentru ecuatii folosind combinatii ale acestor substitutii, asa dupa cum se va vedea, inclusive folosind si celelalte substitutii date mai jos. Mentionez ca in general aceste sustitutii si alegerea lor,mai prcis formarea lor se poate jongla,functie de ce am dori sa obtinem.,mai prcis formarea lor se poate jongla,functie de ce am dori sa obtinem.- ____________________________________________________________________________________Acum in continuare urmatorul pachet de substitutii, il denumesc astfel : SUBSTITUTII ANTISIMETRICE (SAUINDIRECTE, SAU CONTRADIRECTE) :5

... ) 1 (... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...........; ) 1 (... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........; ) 1 (; ) 1 (; ) 1 (); 1 (; 1111 1 '111 1 '3223 4414 4 5 '522 3313 3 4 '42212 2 3 '31 2 '20 1 '1etc x n x x x x netc x n x x x x nx n x n x n x n x x x x nx n x n x n x x x x nx n x n x x x x nx x x x nx x x nN N N NNi i i ii + + + + + + + + + + + + + +

Cred ca se poate observa usor modul de formare si concepere a acestor substitutii. Tot ca substitutii antisimetrice sau indirecte, in mod similar cum am definit in cazul substitutiilor directe, consideram deci si urmatoarele substitutii:

. . . ....; ) 1 (.... ) 1 (...; ) 1 (; 1; ) 1 (; ) 1 (; 1); 1 )( 1 ( 1; ) 1 (; 1; 03 '22 3 3 5 '112 '43 2 2 5 '10'54 5 '95 0 5 '82 '22 2 2 4 '7'43 4 '64 0 4 '52 3 0 3 '4'22 3 '32 0 2 '2'1d m a setc x m x x x x metc x m x x x x metc x m x x x x mx x x mx m x x x x mx m x x x x mx x x mx x x x x x mm x x x x mx x x mx x m + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - se observa in mod cred foarte simplu c um definim si formam aceste substitutii.De asemenea avem si asa numitele substitutii antisimetrice si inverse : ; / / ) 1 ( / 1; / / ) 1 ( / 1; / / ) 1 ( / 1 1'43 2 1 2 '3'22 1 '2'11 0 '1x m x x x x x x qx m x x x x x x qx n x x x x x q + + + + + + + + +

. . . . ; / / ) 1 ( / 1; / / ) 1 ( / 1 1; / / ) 1 ( / 1 1'54 3 1 3 '63 '43 3 3 3 0 '52 '22 2 2 2 0 '4d m a s x m x x x x x x qx m x x x x x qx m x x x x x q + + + + + + + + + - seoobserva de asemenea modul de concepere al acestor substitutii, concepere dupa cum vrem sa le formam, sis a le alegem, si dupa cum vrem sa operam cu ele.- In continuare arat substitutiile simetrice sau opuse:-. . . . ); 1 (); 1 (); 1 (; ) 1 ( 1 13 4 3 ' '42 3 2 ' '32 ' '21' '1d m a s x x x x nx x x x nx x x x nn x x x n + + 6 -se observa de asemenea modul foarte simplu de concepere si formare al acestor substitutii; aceste ultime substitutii,au fost substitutiile simetrice pentru substitutiile directe.Pentru substitutiile antisimetrice le definim astfel: . . . . ); 1 (); 1 (); 1 (); 1 ( 13 3 4 ' ' '42 2 3 ' ' '32 ' ' '2' ' '1d m a s x x x x nx x x x nx x x x nx x n+ + + + -astfel formam substitutiilesimetrice._________________________________________________________________________________ OBSERVATIA 5- se observa in mod simplu conceperea substitutiilor simetrice, astfel ca nu mai trecem si altele, mai ales avand in vedere ca sunt un numar infinit, cu mentiunea ca se pot defini in cazul fiecarui tip de substitutii definitpana acum, deci si in cazul lui m1;mi, sau qi si qi.Mai am un tip de substitutii, si anume substitutii banalede tipul (sau forma) 1, care arata astfel:. . . . ..., ; 6 ; 3 ; 2... ; 7 ; 3 ; 2... , 5 ; 2 ; 33 3 332 2 221d m a s etc x x sau x x sau x x petc x x sau x x sau x x petc x sau x sau x p - accentuam pee le atunci cand le prezentam si operam cu ele; cred ca se intelege modul de concepere si formare al lor, si ele sunt infinite, si de asemenea pot fi definite si pentru celelalte tipuri de substitutii. In continuare vom trece sa reliefam cum folosim aceste substitutii in operarile de rezolvare a ecuatiei de gradul n, n fiind numar natural, darn nu inainte de a amintica mai sunt un tip de substitutii, si anume : substitutii banale de tipul 2, sau le putem denumi si de forma 2, dar pe acestea le prezentam atunci cand vom opera cu ele. Inainte de a incepe cu ecuatia de gradul 1, vom enunta o serie de teoreme care cred ca se vor incadra in aceasta teorie, fapt ce se va vedea pe parcursul lucrarii. Totusi voi incepe prezentarea ecuatiei de gradul 1, chiar daca vor fi o serie de teoreme, si care aproape ca pot fi acceptate fara demonstratie, pentru ca demonstratia poate fi acceptata prin logica matematica.Deci incep cu ecuatia de gradul 1, si voi enunta unele teoreme generalizate, ca apoi sa ajung la abordarea efectiva a ei folosind aceste pachete de substitutii pe care le-am prezentat, apoi sa trec in mod similar la ecuatia de gradul 2, la ecuatia de gradul 3, etc., sis a ajung pana, sa zicem de exemplu la ecuatia de gradul 10.Deci, in consecinta, in continuare voi incepe cu analiza ecuatiei de gradul 1.ABORDAREA PRIN ALTE METODE A REZOLVARII ECUATIEI DE GRADUL 1 Incep mai intai cu o observatie.OBSERVATIE am sa tratez pe tot parcursul lucrariiecuatiile ca fiind definite pe K ( K = multimea numerelor complexe), deci coeficientii si chiar solutiile pot fi orice numar complex, chiar pur complexe, dar bineinteles consideram in contextual acestei afirmatii, ca si numerele reale fac parte tot din aceasta multime dupa cum este si adevarat, deci tratam si ecuatii cu coeficienti pur reali. Referindu-ne acum la ecuatia de gradul 1, avem:- forma generala a unei ecuatii de gradul1 este:. , , 0 , 0 K b sia cua b ax +-conditia 0 a , este conditia de existenta a ecuatiei de gradul 1 (in aceasta situatie).-solutia ecuatiei de gradul 1, pentru ca numai una este, se afla cu formula clasica (banala), simpla:7 abx ; rezolvare care este cunoscuta. In cazurile reale o ecuatie de gradul 1 poate apare sub o insiruire de termini legati si termini liberi, avand intre ei semen de operatii, deci sub forma unei expresii algebrice, mai lungi sau mai scurte, egalata cu 0, sau acesti termini se pot afla si in partea stanga si in partea dreapta a semnului egal. In aceasta situatie rezolvarea traditionala cunoscuta consta in aducerea in primul rand a ecuatiei date spre rezolvare, la forma generalaspecifica gradului pe care il are ( in situatia prezenta avem gradul 1). In sensul rezolvarii ecuatiei de gradul 1 vom enunta o regula generala de rezolvare, care mare parte din ea se verifica la fiecare ecuatie, de aceea ii spunem regula generalizata. Dar mai intai sa enuntam cateva definitii:DEFINITIA 1 in contextual expresiei unei ecuatii, care la urma urmei este o insiruire de termini avand intre ei semen de operatii algebrice: - termenii care contin nedeterminataxsi care are in fata un coefficientK ci , cu semnul inmultirii intre ei, se numesc termini legati.DEFINITIA 2 in expresia unei ecuatii, termenii simpli, K Ti si care nu sunt inmultiti cu nederminata x,se numesc termini liberi.DEFINITIA 3 numim o ecuatie, o insiruire de termini legati si termini liberi, intre care exista semnul operatiei de adunare si sunt despartiti prin semnul egalitatii..- exemplu numeric :- fie ecuatia de gradul 1 :7x-2x+12x -5x = 15x +9x-4x+3 -8-21-17+16 ; avem -{7x ; -2x ; 12x ; -5x ; 15x ; 9x ; -4x = termini legati ; si - X = nederminata ( necunoscuta ) care apartine in general multimii K ;-{7 ; -2 ; -5 ; 15 ; 9 ; -4 ; K ci - coeficientii nedeterminatei ;- si { K 16 ; 17 ; 21 ; 8 ; 3 = termenii liberi.In continuare enuntam regula de rezolvare a unei ecuatii in general si in particular a ecuatiei de gradul 1 :REGULA 1 (generalizare) in cazul oricarei ecuatii data spre rezolvare, se urmareste ca regula principala aducerea ecuatiei la forma generala specifica gradului ei: - pentru aceasta se trec toti termenii ecuatiei din partea dreapta a semnului egalitatii in partea stanga respectand regula : la trecerea unui termen dintr-o in cealalta a semnului egalitatii, ori din dreapta in stanga, ori din stanga in dreapta, se schimba semnul de operatie + sau - din fata lui , si anume : - daca termenul are in fata semnul +, acesta dupa trecere devine -, si invers ; - apoi se aplica operatia de reducere a tuturor termenilor legati (care de fapt sunt termini asemenea) la unul singur, si toti termenii liberi la unul singur, dupa care se aplica formula de rezolvare (daca exista), si care in cazul ecuatiei de gradul 1 este :x= -b/a .DEFINITIA 4 doi termini se numesc asemenea daca seamana intre ei, adica daca sunt termini legati atunci coeficientul Ci dinfata nederminatei x , poate fi orice numar complex, dar la doi termini asemenea x se afla la aceeasi putere. Similar pentru termenii liberi , care de fapt sunt numere simple complexe(inparticular pot fi numere reale),DEFINITIA 5 coeficientii Ci, dinfata nederminatei x, se mai numesc coeficientii nederminatei. Avand in vedere scrierea ecuatiei de gradul n,N n , de exemplu:00 1 +bx ax , si a si b, si in general coeficientii N i K Ci , , ai nederminatei si N i K b bi , ,, termini liberi, se mai numesc coeficientii ecuatiei date. Revenind la exemplul numeric dat, si aplicand cele spuse avem rezolvarea :7x-2x+12x-5x=15x+9x-4x+3-8-21-17+16 ; 7x-2x+12x-5x-15x-9x+4x-3+8+21+17-16=0,-8x+27=0 , si deci am adus ecuatia data ca o expresie algebrica la forma generala specifica ei. Deci avem x=27/8 si spunem ca am rezolvat ecuatia data .8 REGULA 2 daca in forma general ape care o obtinem pentru o ecuatie data spre rezolvare, termenul legat la care nederminata este la putere maxima, are semnul - in fata se inmulteste ecuatia cu (-1), astfel ca sa avem in fata termenului legat, intotdeauna semnul +. Deci in exemplul considerat am avea : -8x+27=0/(-1) 8x-27=0 x= 27 / 8 .In baza celor aratate enuntam teorema :TEOREMA 1 -(generalizare) orice ecuatie deorice grad arfi, pentru a putea sa fie rezolvata, trebuie adusa la forma generala specifica ei, functie de gradul pe care il are, si aceasta este prima operare asupra ei. In continuare vom da mai multe exemple numerice, mai ales in cazul ecuatiei de gradul intai, si vom enunta mai multe teoreme, in mare, generalizate. Astfel avem : -fie ecuatia :3x=6 , si avemx=2 ; si , 26Denuntam urmatoarea teorema generalizata, adica, care este valabila pentru orice ecuatie de orice grad, la care se verifica, si respective care indeplinesc conditia aratata , teorema care de fapt chiar daca nu a fost cunoscuta ca teorema , ci ca proprietate, ea este cunoscuta in matematica, si des utilizata : TEOREMA 2 (generalizare) solutiile intregi ale unei ecuatii de orice grad ar fi ea, in cazul in care exista, pot fi cautate printer divizorii intregi ai termenului liber. Demonstratie :Luam ecuatia de gradul 1 :ax+b = 0 ax=-b si x= absi scriem asa :ax = -ka,sin e dam seama, ca daca a divide pe b obtinem simplu solutia, si pentru ca numerele intregi sunt mai simplu de calculate se vede si de unde s-a enuntat aceasta teorema.-acum sa zicem ca ecuatia data admite de fapt solutie rationala de forma : { b ax Z q pqpx , , ;pbqa sau bq pa b aqpsi aqpax , ,;si din aceasta ultima relatie, pentru ca { Z q p , , sunt numere prime intre ele,p / b , adica b divide pe p , si acest lucru se intampla intotdeauna in cazul solutiilor rationale ; ne dam seama de asemenea ca q divide intotdeauna pe a. -si enuntam urmatoarea teorema :TEOREMA 3 (generalizare) orice ecuatie de orice grad ar fi ea, daca admite o solutie rationala de forma { { q p si Z q pqpx , ; , ,1 sunt numere prime intre ele, atunci p este in mod sigur un divisor a termenului liber, iar q este un divisor al coeficientului nedeterminatei la grad maxim.OBSERVATIE -teorema s-ar putea ca pana in final sa sufere unele restrictii, in sensul ca este absolute valabila in cazul ecuatiei de gradul 1, dar s-ar putea san u aiba o verificare absolute generala pentru ecuatiile de grad mai mare.Teorema asemanatoare, cunoscuta si enuntata deja in literature, este :TEOREMA4 o ecuatie de gradul n, in cazul in care admite o solutie rationalaqpx 1 ,atunci aceasta poate finaax01 .- mai putem face un calcul :Avem dupa cum se va vedea : pa=-bq/:q ,si avem , bqap si notam: , pby b pyqayDaca il cunoastem pe p, il aflam pe y, iar apoi aflam pe q ; astfel in acest sens, fara a intra in amanunte, pentru ca, aceste operari fac mai mult parte din alta abordare a rezolvarii ecuatiilor, putem enunta urmatoarea regula de calcul :REGULA pentru ca intotdeauna p divide termenul liber, cautam pe p printer divizorii termenului liber (in acest sens o simplificare de calcul in alegerea divizorului optim o voi prezenta, unde prezint metoda de abordare a 9rezolvarii ecuatiilor, amintita), apoi calculam pe y si apoi folosindu-ne de acesta calculam pe q, si am aflat solutia rationalaqpx 1 . - referitor la teorema 2 pe care am enuntat-o, in cazul ecuatiei de gradul 2, am avea : Z dacax xsi c undec xc b ax x c bx ax c bx ax + + + + , / ) ( ; 01 12 2, se cauta un divisor a lui c, sau toti divizorii lui c, si se allege cate unul , se face verificarile de rigoare, si daca avem egalitate acesta va fi o solutie a ecuatiei date.Practic teorema se refera la solutiile intregi ale unei ecuatii, deoarece acestea sunt mai simplu de determinat prin aceasta regula. Personal, consider ca aceasta demonstratie si justificare a teoremei 2 bazata pe rationamente de logica matematica, este usor de inteles. La fel in mod similar se petrece si in cazul ecuatiei de gradul 3.In continuare sa luam un alt exemplu de ecuatie de gradul1, sip e care sa-l analizam dupa aceeasi regula si rationamente simple: - fie ecuatia :151432.575723 x x , sau daca aducem mai intai la numitor comun termenii ecuatiei, obtinem o ecuatie echivalenta cu cea initiala, dar cu coeficienti intregi. 151414 155723x x, enuntam urmatoarea regula de calcul in rezolvarea unei ecuatii.REGULA (generalizare) orice ecuatie in vederea rezolvarii ei se adduce la forma generala specifica gradului ei, dar de exemplu daca aceasta forma contine coeficienti numere pur rationale, se indica sa se opereze operatia de aducere a ecuatiei la numitor comun a termenilor ecuatiei si eliminarea acestui numitor, deci scrierea ecuatiei generale cu coeficienti intregi, si apoi sa se treaca la rezolvarea ei.In continuare mai enuntam o regula de calcul in vederea rezolvarii unei ecuatii :REGULA -daca o ecuatie in vederea rezolvarii ei, am adus-o la forma generala specifica graduluiei, cu coeficienti intregi, pe baza proprietatii echivalentei ecuatiilor, este indicat, (darn u in toate cazurile, asa dupa cum se va vedea si dupa cum voi arata), ca ecuatia in vederea rezolvarii ei sa se aduca la forma cea mai simpla, (ireductibila) prin aplicarea simplificarii ei in cazul in care coeficientii ei au un multiplu comun.OBSERVATIE unde voi arata ca nu este indicat acest lucru, este cazul care se va referi la teorema . - alt exemplu : -fie ecuatia : { I I siavem x x 362 ; 3 ;362 3 ; (I= multimea numerelor irationale) - alt exemplu : - fie ecuatia : { { Z si I siavem x x 1 , 3 : ; 1 3 3 , deci ca si concluzie, exista un numar limitat de ecuatii cu coeficienti numere pur irationale, care pot avea o solutie care sa fie numar intreg.OBSERVATIE in mod firesc si 1 este numar irrational conform relatiilor de incluziune a multimilor de numere, dar am facut referire aici doar la numerele pur irationale.- astfel enuntam urmatoarea teorema : _____________________________________________________________________________________________TEOREMA 5 -(GENERALIZARE) orice ecuatie de orice grad, cu coeficienti numere pur irationale, admite toate solutiile numere pur irationale, exceptand cel mult un numar finit de cazuri. OBSERVATIE cu toate ca dau exemplele numericela ecuatia de gradul 1, si fac generalizari pentru orice ecuatie de orice grad ar fi ea, demonstratiile intr-o prima aproximare pot fi acceptate prin simpla logica matematica, iar in alt sens, demonstratii mai complete inca nu pot fi date deoarece ecuatiile de grad mai mare decat 2, inca nu sunt rezolvate.Persoanele interesate pot momentan face verificari pe exemple numerice, si se vor convinge de veridicitatea adevarului. La urma urmei, aceste teoreme pot fi acceptate direct, asa dupa cum am spus prin logica matematica, ele fiind usor de inteles si rationat. - alt exemplu : fie ecuatia : { K Ksix i i siavemiix i x i ) 2 3 ( ); 7 5 ( : , ;) 2 3 () 7 5 () 7 5 ( ) 2 3 ( - alt exemplu : fie ecuatia : (3-2i)x=(3-2i) { Z Ksix i siavem x ) 2 3 ( : 110 - alt exemplu :fie ecuatia : (3-2i)x=(6-4i) { { Z Ksi i i siavem x 2 ) 4 6 ( ); 2 3 ( : 2 , deci enuntam teorema :TEOREMA6 (generalizare) orice ecuatie de orice grad ar fi ea, cu coeficienti numere pur complexe, admite toate solutiile, numere pur complexe, exceptand cel mult un numar finit de cazuri. OBSERVATIE dintre cazurile care fac exceptie, de exemplu in cazul ecuatiei de gradul 1, cele la care a=b, sau la care b este un multiplu de intreg sau rational, sau irrational a luia :a=kb ; . ; ; ; : . ; ; I Q Z k ka b sauinvers I Q Z k In continuare enunt si doua teoreme cunoscute si existente, importanta lor fiind de asemenea esentiala pe parcursul desfasurarii lucrarii. TEOREMA7 (generalizare) orice ecuatie de orice grad ar fi ea, daca admite o solutie irationala de forma ,1B A x + atunci ea admite si solutia conjugate acesteia, B A x 2. TEOREMA 8 (generalizare) orice ecuatie de orice grad ar fi ea, daca admite o solutie complexaiB A x + 1Atunci ea admite si solutia conjugate acesteia.iB A x 2.In continuare doresc sa fac o remarca, si anume cu privire la teorema lui Abel-Ruffini, si anume : - daca am vazut prin teoremele anterioara ca o ecuatie daca admite o solutie irationala, atunci o admite sip e conjugate acesteia, dupa forma pe care o are o solutie irationala, aceasta forma nu poate fi obtinuta decat prin rezolvarea unei ecuatii de gradul 2, si la fel si solutiile complexe (B poatefi B , ), deci orice ecuatie ar trebui sa aiba formule de rezolvare cu radicali. In continuare in legatura cu teoremele 7 si 8, mai enunt doua teoreme, de asemenea importante in aceasta lucrare, si care nu au fost enuntate sub aceasta forma pana acum :TEOREMA 9 (generalizare daca o ecuatie de orice grad, admite o solutie irationala, aceasta in mod sigur este de forma,1B A x + iar conjugate acesteia, pe care de asemenea o admite, in mod sigur are forma B A x 2TEOREMA 10 (generalizare) daca o ecuatie, de orice grad ar fi ea, admite o solutie complexa, aceasta in mod sigur are forma iB A x + 1,iar conjugate ei pe care de asemenea o admite, in mod sigur are formaiB A x 2. - alt exemplu :- fie ecuatia de gradul 2:2 ; 0 20 4 312 + cux x x: - si fie ecuatia de gradul 2 : ; 1 ; 0 7 4 312 + cux x x - si fie ecuatia de gradul 2: ; 3 ; 0 39 4 312 + cux x xCONCLUZIE se observa ca, cu cat solutia intreaga a crescut, termenul liber a crescut si el in valoare absoluta, la aceeasi coeficienti neschimbatia si b, si de asemenea coeficientii a si b, trebuie sa aiba aceleasi semne (se exclude denumirea de semne de operatii). Astfel enuntam urmatoarea teorema:TEOREMA 11 (generalizare) in cazul oricarei ecuatii de orice grad, daca o comparam cu o ecuatie de acelasi grad cu ea, numita ecuatie de referinta, sau ecuatie reper, la care cunoastem cel putin o solutie (in fapt noi o alegem si o formam ecuatia in cauza), si coeficientii nedeterminatei pastreaza aceleasi semne cu ale ecuatiei date spre rezolvare, si in plus au aceleasi valori numerice, termenul liber va fi termenul care dimensioneaza marimea in valoare a solutiei ecuatiei de rezolvat.OBSERVATIE in exemplul numeric analizat succinct, am considerat ca si ecuatie reper, ecuatia :0 2 4 32 + o x x, si am observat ca :- ptr.( ) ; 7 20 11 x- ptr. 39 20 31 x;OBSERVATIE in exemplul numeric dat, a si b au ambii semnul + ; in cazul unei ecuatii oarecare date spre rezolvare, semnele pot diferi ; - pentru verificarea teoremei in cazul unei ecuatii oarecare data spre rezolvare, se allege o ecuatie reper cu o solutie cunoscuta, ecuatie pe care o formam noi, si care sa pastreze aceleasi semne a coeficientilornedeterminatei, si apoi comparam termenii liberi in valoare absoluta, sa vedem in situatia aleasa si 11create de noi daca solutia ecuatiei de rezolvat este mai mare sau mai mica ca si a ecuatiei luate ca referinta, respective a aproxima intr-o prima abordare, nivelul de marime al unei solutii a ecuatiei de rezolvat.OBSERVATIE sunt probleme in acest sens de verificare, aratat aici, de exemplu in cazul ecuatiilor de grad par, si care, prin coincidenta admit toate solutiile numere pur complexe, unde aceasta stabilire a nivelului de marime al unei solutii a ecuatiei date spre rezolvare, in comparative cu solutia unei ecuatii de referinta alese, (dupa cum am aratat), pune probleme mai deosebite, dar aceasta analiza o voi reliefa la locul potrivit. La fel, dar putin mai simplu este si in cazul cand o astfel de ecuatie, admite toate solutiile numere irationale conjugate doua cate doua.OBSERVATIA 8 ecuatia reper, bineinteles se allege cu aceeasi coeficienti (de aceleasi semne si valori este vorba de coeficientii nedeterminatei), ca si ecuatia de rezolvat. - alt exemplu :alegem acum cateva ecuatii, de exemplu tot trei ecuatii de gradul 2, dar care sa admita o aceeasi solutie ( una din cele doua solutii sa fie identical la toate ecuatiile), dar care au coeficientii nederminatei diferiti, dar bineinteles tot cu aceleasi semne : - fie ecuatia :2 , 0 20 4 312 + cux x x ; - fie ecuatia : 2 ; 0 24 2 512 + cux x x ; - fie ecuatia : 2 ; 0 14 3 212 + cux x x ;OBSERVATIA 9 ce observam; in primul rand se poate spune ca teorema data inainte, este si in acest caz valabila ( ca de altfel in toate situatiile), dar o comparare a ecuatiei de rezolvat cu ecuatia de referinta este mai greoaie in sensul determinarii posibilitatii cum este cazul de a arata ca ecuatia admite aceeasi solutie. De exemplu observam de asemenea imediat, daca comparam a doua ecuatie din exemplul considerat, pe care o consideram ecuatie de rezolvat, cu prima ecuatie, pe care o consideram ecuatie reper, si aplicam acelasi rationament, ca in prima exemplificare, observam ca a a crescut cu 2 iar b a scazut cu 2, iar termenul liber20 24 ,in valoare absoluta a crescut, in realitate a scazut. La fel in cazul celei de a treia ecuatii a a scazut cu 1, b a scazut cu 1, iar c a crescut, respective in modul 20 14 . Am specificat ca aici nu intru in analize deosebite, cid oar reliefez unele aspecte, sau enunt teoreme care consider eu ca totusi au valabilitate destul de generala, si analizele de amanunt lelas in acea parte din lucrare, mai prcis in acel capitol in care ma ocup de acest tip de abordare. Ce concluzii putem trage in aceasta ultima exemplificare :(1) in primul rand vorbind momentan si in general, teorema 11, este valabila si in acest caz, dar are influienta si nivelul valorii coeficientilor nedeterminatei ;(2) acum ce mai observam; de exemplu daca vrem sa vedem daca a doua ecuatie admite de exemplu aceeasi solutie cu ecuatia reper, scadem a doua ecuatie din cea de referinta :

0 20 4 2 20 24 2 5 20 4 3222 2 + + + +x xx xx x x x - apoi verificam solutia ecuatiei de referintax=2 in ecuatia rest, si observam ca o verifica, deci cele doua ecuatii admit aceeasi solutie:-8+4+4 = 0 ) ( 2 0 01A x - oricum este o operatie de verificare a unei solutii, mai simpla pentru ca avem coeficienti mai mici. Enuntam urmatoarea teorema :TEOREMA12 (generalizare) (dar momentan ne referim doar la ecuatia de gradul 1 si 2) daca luam o ecuatie reper (de gradul 1 sau 2 dupa cum este cazul) la care cunoastem o solutie, si dorim sa verificam daca o ecuatie data spre rezolvare admite aceeasi solutie, dar aceasta ultima ecuatie are alti coeficienti, scadem cele doua ecuatii si verificam in ecuatia rest solutia ecuatiei reper, si tragem concluzia daca solutia ecuatiei reper este solutie si pentru ecuatia data sau nu.OBSERVATIE iarasi vin cu unele observatii legate de ceea ce arat chiar daca par stupide aceste rationamente, eu doresc sa reliefez printer altele si un anumit mod de gandire si rationare cu privire la rezolvarea ecuatiilor si de grad mai mare, fapt ce se va vedea intr-o alta parte a acestei lucrari, unde vreau sa ma ocup amanuntit de aceasta medoda 12de abordare in rezolvarea ecuatiilor de grad superior si acolo se va vedea importanta acestor rationamente care le arat foarte pe scurt aici.Tot aici mai enunt teoremele :TEOREMA 13 (generalizare) daca avem o ecuatie reper luata de referinta, cu o solutie cunoscuta, nivelul valorilor solutiilor unei alte ecuatii de rezolvat, cu aceeasi coeficientisi semne ale lor, se reflecta direct in nivelul valorii termenului liber.TEOREMA 14 (generalizare) daca avem o ecuatie reper luata de referinta, cu o solutie cunoscuta, si avem alte ecuatii cu alti coeficienti, faptul ca admit, acestea din urma, solutii diferite decat cea a ecuatiei reper (mai mari sau mai mici) acest lucru se reflecta direct tot in nivelul valorii termenului liber.OBSERVATIE cand cautam sa comparam sis a operam o ecuatie in relatie cu o ecuatie de referinta, este indicat, (dupa cum este cazul) sa alegem ecuatia reper, dup ace vedem asa zisa ecuatie de rezolvat, si aceasta in principal pentru a opera aceleasi semne coeficientilor nedeterminatei, si dupa cum este cazul aceleasi valori. Acum in cele ce urmeaza, dupa aceste cateva aspecte pe care le-am reliefat pana acum, sip e care asa dupa cum am specificat, si din nou ma repet, le consider esntiale pentru tot ce va contine aceasta lucrare, trec astfel in continuare la abordarea rezolvarii ecuatiilor de grad superior, prin primul model de rationament, si anume acela in care vom aplica pachetele de substitutii pe care le-am aratat, si in aceasta abordare vom incepe chiar cu ecuatia de gradul 1, sis a vedem daca ii gasim si alte relatii de rezolvare decat cea extreme de simpla, banala care este cunoscuta.______________________________________________________________________________________________Totusi , inainte de a incepe reliefarea acestor calcule , vreau sa amintesc si de a doua metoda de rezolvare a ecuatiilor, care se bazeaza pe asa numitele de catre mine de conditii de rezolvare a unei ecuatii, in general. De asemenea in acest context, deci al celei de a doua metode de abordare, voi defini o serie de determinanti caracteristici, pentru fiecare ecuatie (in sensul ca se pot defini astfel de determinanti) si cu cat gradul ecuatiei este mai mare, cu atat vor fi mai multi determinanti caracteristici, pe care ii denumesc determinanti caracteristici de rezolvare a unei ecuatii.OBSRVATIE IMPORTANTA trebuie sa specific asa cum am specificat in introducere, ca de exemplu in cazul acestei ultime metode, mai este cate un determinant characteristic la fiecare ecuatie, sin u am reusit sa rezolv ecuatia cu ajutorul lui, ca de altfel si in cazul substitutiilor aplicate la ecuatiile de la gradul 3 in sus, dar specific inca o data ca probabil vor fi terte personae care poate vor reusi, eu doresc sa arat deocamdata doar un mod de abordare care se rezuma momentan la multe cazuri particulare de ecuatii care pot fi rezolvate, si probabil se va gasi pana in final rezolvarea completa. In acest sens o colaborare cred ca pentru mine este suficienta.Deci sa incepem cu ecuatia de gradul 1. NOI FORMULE SI RELATII SI ABORDARI IN REZOLVAREA ECUATIEI DE GRADUL 1Observatie importanta trebuie sa mentionez, ca lucrarea nu este ordonata intr-un mod foarte deosebit. Am lucrat destul de mult, apoi reveneam si completam astfel ca unele aspecte se poate intampla sa se repete, dar as ruga sa se treaca cu vederea, deoarece acum cand copies, fiind singur si grabit, nu pot sa sistematizez toata lucrarea de la inceput si pana la sfarsit.Astfel avem : -forma generala a unei ecuatii de gradul 1, este :K b sia a cu b ax + , 0 : , 0OBSERVATIE pentru ca in cazul ecuatiei de gradul 1, conditiile de rezolvare sunt putine, simple, banale, incep prin prezentarea acestei de a doua metode de rezolvare, prin prezentarea acestor conditii.Astfel avem : ax+b=0, si punem prima conditie de rezolvare a ecuatiei care este :(1) ax=0sib=0, rezulta automatx=0, pentru ca a 0 ;(2) sau avem ax+b=0, si punem a doua conditie de rezolvare a ecuatiei de gradul 1, si anume : Ax=A si b= - A ;rezultax = A / a = -b / a;(3) mai putem pune si a treia conditie de rezolvare, care de fapt nu prea exista in mod firesc, va parea stupida, dar cred ca rationamentul care m-a dus la ea face sa fie aplicabila mai ales in modelari economice si manageriale .- pornim de la rationamentul : ax = Asib = BcuB A , si punem o conditie initiala, ca, ecuatia data trebuie sa admita o solutie bine definitax = 1;ecuatia initiala esteax+b = 0 .13Deci dupa cum se vede ecuatia data pare imposibila, ceea ce face san e gandim ca trebuie sa modelam pe a saub, astfel ca sa o facem rezolvabila sis a dea solutiax = 1 , de unde si deductia ca se poate aplica aceasta conditie impusa in modelarile economice si manageriale, unde de exemplu intervin diversi factori care trebuie astfel modelati incat sad ea in final o valoare cunoscuta, impusa, considerate optima. - apoi mai avem cazul particular de ecuatie de gradul1 :(4*)a = b, rezultax=1, si / saua = -b , rezulta x= -1.( acestea sunt de fapt ecuatii de gradul 1 cu coeficienti simetrici ).OBSERVATIE relativ la aceste conditii de rezolvare pentru ecuatia de gradul 1, pe care le-am pus ele se mai pot interpreta si astfel :- prima conditie de rezolvare :(1) ax = 0sib = 0 , vom avea (avem primul determinant characteristic al ecuatiei de gradul1) :00 01 b aC ;sau 000 01 aC , ceea ce presupuneb=0,- si in aceasta baza enuntam teorema :TEOREMA15 orice ecuatie de gradul 1 al carei determinant characteristic :

00 01 b aC,Admite automat solutia x = 0 . - punem a doua conditie de rezolvare : (2) ax = A si b = -A, avem determinantul characteristic scris sub doua forme :; 01 1; 012 2 + A Asau A A b axxb aC C si enuntam teorema :TEOREMA 16 orice ecuatie de gradul 1 al carei determinant characteristic : 01 12 A AC , admite solutia x=-=b / a .In continuare trec la prima metoda de abordare a rezolvariiecuatiilor de grad superior, asa dupa cum intentionez, dar inca nu am definitivat-o, si anume cea care foloseste pachetele de substitutii pe care le-am reliefat pana acum la inceputul lucrarii, si incep bineinteles tot cu ecuatia de gradul 1. (in acest sens m-am ghidat dupa aspectul ca, cu aceste substitutii se rezolva orice ecuatie, deci este o metoda general valabila, deci se aplica chiar de la ecuatia de gradul 1.). (1) fie ecuatia de rezolvat :ax+b = 0 [1]; notam :1 , 1101+ n x x x x n , sunt relatiile [2] si [3] - aceasta este o substitutie directa ; ecuatia de rezolvatdevine : abaa b aa b ax n siapoixa b an b a an + ++ + + + + 1 1 ], 4 [ , , 01 1 1, este la urma urmei un mod de a rezolva ecuatia pee tape, sau o modalitate de a demonstra formula ecuatiei de gradul 1. Este de mentionat, ca de exemplu in cazul ecuatiei de gradul 2, folosindu-ne de aceste substitutii, gasim alte modalitati de demonstrare a formulei de rezolvare a ecuatiei de gradul 2, chiar formule noi, care presupun alte combinatii intre coeficienti.Exemplu numeric :fie ecuatia de rezolvat : 5x-7=0 ;dupa metoda clasica avem direct x=7 / 5 ; iar dupa metoda nouaavem :) (57152,5257 51A six n + + In continuare mai facem o substitutie directa, sis a vedem ce obtinem:- fie ecuatia de rezolvat ax+b=0si notam : 1, ), 1 (222 22xnsaux n x x x x x x nobtinem o ecuatie de gradul 2 in x :] 8 [ , , 0 0 ) (2222 2222a b axn b ax an b an ax b n x a+ + + + , relatiile de mai inainte au fost relatiile [5];[6];[7];sau ] 9 [ ;22 , 12 222a b anxa b anx b an axt - si dupa cum se vede am obtinut pentru rezolvarea ecuatiei de gradul1 o formula cu radical; se obtin doua solutii din care una este bde asemenea in continuare trebuie sa aratam 14modul de determinare a lui 2n .Trecem formula acestei substitutii direct, apoi mai facem unele calcule si aratam pe parcurs cum se ajunge la relatiaei; deci avem : ;222a ab bn+- acum mai departe sa reluam calculele sistematice, sa vedem ce mai obtinem.Astfel mai avem:] 11 [ ; / ]; 10 [ ; 1 , ) 1 ( 11 2 1 121 2 1 1 2 1

`

(| + + a b ax x n na b an si n n n n six x n x x n x n Si egalam[8] cu [11], si( ) + + + + + + ++ 0 ) ( 0 ;2 22b x b a ax bx ax b axa b axab a x

] [ 1 / ]; [ ;2) ( ) (24 2 ) (24 ) ( ) (2 12 2 22 , 1F x si Aabxab a b aaab ab b a b aaab b a b ax t + + + t + + t + ______________________________________________________________________________________________Concluzii Deci este o alta modalitate de determinare a formulei ecuatiei de gradul1, cu utilizare consider eu in modelari economice si manageriale. Practic, cred eu, transformarile unei ecuatii de un anumit grad, in ecuatii de grad mai mare sau, relativ mai mic, echivalente in masura in care pot fi (relative la numarul de solutii) cu cea initiala, pot fi utilizate in astfel de modelari si chiar in inginerie si alte domenii ale stiintei.Se mai poate face calculul :

: / / / ; ; 0 // / / ________ __________00______ __________/ 0/ 0: / / ; 0 /______ __________ __________ __________ __________/ / / / / ], 1 /[ 0_____ __________/ 00222222222222222continua putem apoi sia b abn b ab n aecuatii aceste scadem sib abxab n a abxb b axa b an bxcontinuam daca sauban bx b an bxprima din ecuatie aceasta scadem si bx axx b axb an ax + + + + + + + + + 15 . 0 0 / / / / / / / / / // / / / ; 0 ; 0 2 ) 1 1 ( ; 0 2 / ) (/ / ; 0/ 0: / ; 1 , 1:/ / 0 : / / / / ; 0 2 ) 1 ( ; 0 ) (: / /, / / / / /0 0 ; 0 1 1 0 ) ( ; 0_________ __________ __________ __________: / / / / ; 0; 0: / ; / , 0 , 1 , 1'1 1'11'1'12 2 22 12 2 22 122 122122 1 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + final in obtine va se ecuatii aceste scadem daca saugenerala ecuatia obtinut am deci b ax b x x a b n n aadunam le b a ansi b a anecuatiile avem n x x na verificaresaufacem b ax final in rezulta va si ax b a x x x a ax b b a n n aavea vom ecuatii doua cele adunam daca saux x x x a ax n n a ax b b a an anecuatii aceste scadem si b an axsi b a anavea vom x x n si b an a n x x n _____________________________________________________________________________________________ Tot din aceste operari, de mai sus, si de mai inainte se mai poate obtine :] [ ; : / / ; / : / / / / / / / /; / / ; / /1 2 2 , 1 11121 22 , 1 121 2Fabxabx retine se siabx final in rezulta va n lui valorii inlocuirea prina b an siab an ana b anx si n n n+ t + +t t + - deci practic o alta determinare a formulei ecuatiei de gradul1. ______________________________________________________________________________________________In continuare mai operam un calcul :- din0 ) ( ) (: / / / / / exp / / / / ; / ; ) 1 ( 111 " " / exp / / ; 1 / ;1) 1 (1 121 12222 1 221 12 22 + + + + + ++ + + + b an a x an a ax an x an a ax b axobtinem si n lui ale resii doua cele egalam sia b axn si n x x nxnn x lui resiile egalam si n x darxnx x x x x n Care este o ecuatie de gradul 2 in x, echivalenta partial cu cea initiala, deoarece o solutie va fi comuna; deci vom avea:ab a an a a an a anx2) ( 4 ) ( ) (121 12 , 1+ + + t +;(12) - sau exprimam sipe a axb a ax axnn+ + 211:;- sa operam cu relatia lui x functie de + 1 / :1 1n x n16 ] [) () () () () () () /( ) ( / ;: / / / / / , / / ; 0 ; 4 : / 0 4 4 4; 4 3 2 2 [......] ; 4 3 24 4 4 2 ( 2 2 ;2) ( 4 ) ( ) () 1 (2 2 222211 1 1212212 21212 2 212 2 212 212121212 2 2121 1121 11Aa b aa b a b aa b aab a ab ba aabab aabaabaa ax b a ax ax n siabxsau cale alta pe obtinuta dar n lui relatiaa b an b a an a ab a n aab a n a n a n a a n a ab a n a n a a anab a n a n a a n a a an a anab a an a a an a ann+ + ++ + + + + + + + + + + + + + + t + + + t + + + + t + +; 0 22; [....] : / / . / / / // / / / / / / / / / / / / / ; / / / / / / / // / / ; : ; / ) (22; 0 ; 0 ;) /( ) ( sin ; 1: ]; [ / ] [ ; ;; ; 0 4 : / 0 4 4 4 [....] ; 4 1 24 1 2 2 4 1 2 224 1 1) ( ) (:] 14 [ ;24 1 1124 1 11 /] 13 [ ;24 1 1; 0 ; 1 1 2 ; 1 ; :2222 2 22222 22 2 22 2 122 , 12 222 2 2 22 2221221 2 221121 1 1 221 1 2 22 222 1 2 , 12 2 222 2 22222222222 2 2 2 222 2212 2121 2 121 121 1 1212122a ab bn ab b a ab a n aaab b aab a ana b aab a anavem Astfel cale alta pe obtinuta darn pentru formula aceeasi la tot duce care calculul si face poate mai se n de functie n lui a obtinere de formulao este aceasta siab a ann sau a ab baab a ab b aab aaab b aaab aa b aaab a ann b a an an b a an ananb a ana a an b a a an a an ana axb a ax axn n x n x x x nsau A x si F x siabx ab b ab x aa ab ba b axa b axndar x xa ab bn ab b n a n a a ab b a n a b an a a b a n a a b ana b aa b an saun nx x n sinn n n saun n n n n n x n six x x n sau+ + ++ ++ + + +t+ +t + + +

`

(| + + `

(| + + + + + + + + + + + + + + t + + +++ + + + + t + t + + t + t + + + t ++ t + t + + + + + ______________________________________________________________________________________________OBSERVATIE pentru verificarea formulelor folosesc ecuatia numerica :2x=4 cu x=2. Mai pot folosi si ecuatia 3x=9, cu x=3, pentru a face doua verificari. Astfel sa facem cateva verificari:17-fie ecuatia : 2x=4; n avem apoi x solutia are ecuatia clasic rezolvata : / / , 2 / / / / / . / / // / / / / / / / / / / ; 6 ; 2 / ; 3 ; 9 3 / /] ; [ 2 / ] ; [ 2 ; 2] ; [ 1 ] ; [ 223 124 1 1] ; [ 2 / / ; 123 124 1 1] ; [ 1 / ] ; [ 1 ; 124 2 4] ; [ 248 1 6] ; [ ; 124 2/ ; 1 1 2 12 12 122 , 12211 122 , 1222112b u n e s u n t r e l a t i il e t o a t ec a g a s i m s a o s u s m a i d e f o r m u l e l e v e r i fi c a m d a c a s i n n s i x x e c u a t i a f i eF x x i A xa b a nxF s i AnxF c u s innF n s i A nab a a nnAa a b bnAa b ans i x n t t t+ t t + t t +t + +t + + Acum trec mai departe la noi calcule, nu inainte de a face o remarca, si anume ca, aceste formule pot fi verificate si pentru solutii rationale,irationale sau complexe, si se va vedea ca sunt bune.deci mai avem:. / / / / ; 0 4 : / 0 4 4 ; 4 2 2; [...] ; 4 2 224 2; 1 / ]; 16 [ ;24; 0 0 :] 15 [ ; ; ; / / :; ; 4 4 4[...] ; 4 1 2 2 : / ; 4 1 2 4 2 ; 4 4 4 4 1 2 4 2;44 1 2 4 1 1[...] ;24 1 1:2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 22 , 1121212 , 1 12122121 1 222222 22 2 2 222 2 2 2 22 2 2 2 2 21generala ecuatia obtinut am si b ax a ab x a ab x a a x a x a a x aab x a a x a a ax axaab x a a x a a axxx n daraab n a anx b x an ax x an b ax SAUax b axna b axx n x n n sia b axn SAUa ab bn n a a ab b an a b a n a b a b a an n a an aab a an n nab a an nn SAU + + + + + + t + + t t + ++ + ++ + + + + + + + + + + ++ ++ + ++ +t + t ; ) 1 ( ) 1 ( ; / ); 1 )( 1 ( ; 11:; ; 04 / ; 0 4 4 4 ; [....] ; 4 ) 2 (; 4 2 ;24:121 12 22 1 2 1221212121212 2 2 212121212121n n x x nab axab axn si x n n nxnSAUa b aab ab bn ab b abnab n a abn n a b ab n a an bab n a an baab n a anabSAU+ + ++ + + + + + + + t + t t 18. / / / /; ; 0 ; 0 ; ) )( 1 ( ; 1]; 20 [ ; ; 0 ) ( ) ( 0: / / / / / exp / :]; 18 [ ; ;2 2 212121 12111212 , 1 1212generala ecuatia tot obtinut amabx b ax b a ax ax a ax ax ax b a ax ax a ax x x nsia axb a ax axn b a ax ax a ax n b a ax an ax x ann pe relatii aceste din rima putem SAUab an anx an an b ax + + + + + + + + + +t + +: SAU. / / mod/ / / / / ;) () 2 (; 0 2 ; 4 : / 0 4 4 8 4 4; 4 4 4 2 4 4 2 4[...] ; ) ( 4 ) ( 2 ;2) ( 4 ) ( ) (: / / / / , / ;2) ( 4 ) ( ) (:]; 20 /[ / / / / , / / / / / / ;12 212 21 12 2 21 1221212 2 2121 12 2 2 2122121 1121 1121 12 , 11n pentru formula alt in obtinut ama b ab a ab a abnb a ab abn n a b a ab abn n aab a n a n a a n a abn ab n a b a n ab a an a a an an a bab a an a a an a anabobtinem si relatiile egalam si a b sixab a an a a an a anx SAUrelatia in inlocuiri facem daca n pentru relatie aceeasi obtinem calcule dupaabx ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + t + + + t + + + + t + OBSERVATIE acelasi lucru il obtinem si daca inlocuim in ecuatia generalape x cu :;2) ( 4 ) ( ) (121 12 , 1ab a an a a an a anx+ + + t +si efectuam calculele aferente.In continuare mai fac o substitutie, si incerc sa gasesc un alt parcurs de rezolvare pentru ecuatia de gradul 1. Astfel avem:Notam:;1 111 ; 11 1 01101xnxxxx x qn x x x x n + - aceasta este o substitutie directa inverse ; avem: ; / ]; 22 [ ;11; 1 ) 1 ( 0 1 ; ;1111 1 1 1111a b an siqx q x x x q n x qqnqxx+ + - acum inlocuim valoarea lui x in forma generala a ecuatiei :

;11/ ; ; 0 ; 0111 11abb b ax sib b aq bq b a bqa + + + +]]]

Am obtinut tot formula clasica de rezolvare a ecuatiei de gradul1, dar pe alta cale, sau luat separate pee tape, se poate rezolva ecuatia prin alta modalitate, chiar daca mai complicata.;11:1 11b b aq bq b aabqx SAU+ + In continuare tot pentru ecuatia de gradul 1, mai facem o substitutie :19Notam:] 25 [ ;) (; 0 ; 00 ) ( 2 ) 2 ( ; 0 2) () (/ ; 0 2 0 ) 1 2 (; 1 2 ; 1 / ]; 24 [ ;) (: ]; 23 [ ;) (; 0: / / / / / / / / / ; 1 ; 1 : /; : / / / ;1/ ;1 1 1222222 22222222 22 2 22221 2 1 221 2 121 21212122 , 122222 22211212 22 12bab aq ab a q b ab a q aab a q a b a aq ab b a q b a aqa b aaqa b aaqa b an si b a aq n aq n aq b a n n aqn n x n x siaq b ax sauax b aq b a x aqecuatiei a generala formula in inlocuim o relatie aceasta si q x x x q avem maiqqx ca observa sexxq sixnxxx xx x q+ + + + + + + + + + + + + + + +]]]

+++ + + + + + + + ++ + + + t + + ++ SAU:- egalam relatiile:; / / / ;) (;) ([....] ;) (22222 222222222q pentru relatie aceeasibab aq ab a b qaq b aabaq b aab+ + ]]]

+ t ] 26 [ ;24 1 1: ;1; 0 1 ; 1 :222 , 1222222qqx sauxxq x x q x q x SAU t + + ; - in aceasta relatie, daca inlocuimSubstitutia facuta functie de coeficientii a si b, se va obtine tot formula clasica de rezolvare a ecuatiei de gradul1.Dar este de specificat un lucru ca mai apare o relatie pentru al doilea x cu care de asemenea se poate calcula solutiaEcuatiei date; - astfel ca,consider ca este indicat de a trece in revista acest calcul. Astfel avem :: // / / / / / / / / / / / ;) ( 22: / / / ]; [ ;) () () ( 22 2) ( 22/ ;) ( 2) 2 () ( 2) 2 (2 21) 4 4 ( 124 1 12 222 2 2122222222 222222 , 1obtinemce vedem sa ecuatii unor cazul in ultima formula verificam re incontinuab a bb a aab b bxavem mai si Aabb a ab a bb a aab bb a aab b bxsib a aa b b bb a aa bbbbbab abab a bb ab ab ab ax++ + ++ + ++ + ++ + t+ + t + + t

`

(| +

`

(| ++ t201 21 2 1 / /1/ :; ) ( : / 1 ;) (: ]; 28 [ ; ) ( 0 0) 1 (: / / / / / ]; 27 [ ;1 11: / / / / / / exp / ; 1 1 1 / / 1 / : /. / / / / / / / / ]; [ 2 / 39 39/ / 3 0 9 3 : /]; [ ; 24 24/ / 2 0 4 2 : /12112 1212121222222222 22222 22111 2 122 12222+ + + + + `

(| + ]]]

`

(| ++ + + + + + + + + + n nnq n n x n x sixnxxq SAUabx b b a b x a ab b aax ab ab ab a xbab aq darbq a ax a bq a x x bq a ax bx qx agenerala ecuatia in inlocuim six qxxxxq qxnx nn de functie peq acum rimam sa n x q n x si x q x calcul alta coincident o fost a sus mai de cazul deci F x si x x ecuatia fiaAb a bx si x x ecuatia fieIn continuare doresc sa verific calculele facute pe cateva exemple numerice ; astfel avem:Fie ecuatia:3x-6=0 ]; [411 2 111 2/ ] 29 []; [ 232 * 3416 33/ ] 28 []; [ 2210 1412414 1 1] 26 [] [ ; 241332 ] 24 /[ / ]; [ ; 221112 ] 22 [: / /413618 9/21/ / 1 / / 2121122 , 12 , 12 1 1An nnqA xA xA x x si A xavem deci siq q si n si x + ++ + t t t

`

(|t - - nu mai verificam si pe alte ecuatii, pentru ca,ne dam seama imediat ca, formulele sunt bune; oricum ele se verifica si pentru solutii irationale sau complexe.- Continuam mai departe cu alte calcule.21-.; // / / / 1 / / / / ]; [ ;3296724814496288192288246 54] [ ;24257275144150288300288246 54;288246 5428860516 5428857600 2916 5424; 100 16 8 * 3 * 2 4 * 9 2; 2916; 54 2 * 27; 144 4 * 9 2 * 27 * 2 2: ; 2 ; 3 ;32/ / 0 2 3 : / / / : /.; / / / / / ]; 30 [ ;) 2 ( 2) 2 )( 2 ( 4; 0 ) 2 ( ) 2 ( ; 0 2 2 : /; 02 ; 0 2; / ; : / / / / / / / / /; 0 2 ;; : " /" / / / / / / / / ; **) (/ ; / ; 0 ; / ; : /2122 , 14 3 2 2232 2 32 2 34 3 2 2 2 2 3 2 6 32 , 14 3 2 2 3 2 2 3 2 3 4 3 2 2 2 2 2 2 32 34 3 3 2 2 3 2 2 3 3 22322 2 212122 2223 222 22322 2 2 2 22222211 2 2 22radical cuformula o cu gradul de ecuatia rezolvat am A xFx siAAC b Bxb ab b a CBb a Bb a b a Aavem sib a x cu x rezolvat de ecuatia fie numeric exemplubuna solutia retine va se sib a b ab ab b a b a b a b a b axb ab b a bx a b a b a x bx a b ab b a x b a bx a xbx ax b x ab x ab x b a x b a bx a b aax b ax bax b ax ab x ab bx aa b an sixnax b aq relatia din inlocuim il q pe relatie aceasta in acumb a xq b x ab xq ab bx a xq b xq ab x ab bx a x ab b ax b abx b abxbq a ax lui ale relatii doua cele egalam acum siabx abx b abxax a bxb b aqqx sib b aq sibxax aq a ax x bqbxax aq sibq a ax calcul alt + tt+ t t + + + + + + + ++ + + + t + + + + + `

(| + + `

(| + + ++ + + + + + + + ++++ ++ + + + Continuam prin verificarea formulei gasite pe un exemplu numeric :] [ ;3296724814496288192288246 54]; [ ;24257275144150288300288246 54;288246 5428860516 5428857600 2916 5424; 100 16 8 * 3 * 2 4 * 9 2; 2916; 54 2 * 27; 144 * 9 2 * 27 * 2 22 / / 3 / ;23/ , 0 2 3 / : / / /2122 , 1 2 , 14 3 2 2232 2 3A xsi F xsiAAC B Bx xb ab b a CBb a Bb a b a Ab si a si cux x rezolvat de ecuatia fie +tt+ t t + + + + + + + OBSERVATIE se vede ca formula gasita este buna,pentru aflarea lui x,doar atat ca obtinem doua solutii, dintre care una este falsa, si aceasta din motivul, dupa cum se vede ca, am introdus solutie straina, in plus, practice ecuatia echivalenta cu cea initiala este de gradul2, si deci prin operarile effectuate s-a introdus o solutie straina.22OBSERVATIE in intentia propusa de a combate teorema lui Abel-Ruffini, chiar daca fara importanta prea mare pentru aceasta situatie, a ecuatiei de gradul1, in dorinta de a arata ca orice ecuatie de orice grad ar fi ea se rezolva prin formule continand radicali, deci in acest sens vreau sa arat, mai mult ca si fantezie, ca si ecuatia de gradul intai se rezolva prin formula continand radicali;- astfel in acest sens avem formula de mai sus din contextual ultimului calcul aratat,apoi se mai pot determina pentru ecuatia de gradul intai si alte formule cu radicali, si mai avem determinate pana acum formulele cu radicali urmatoare :;) (/ : / ;22 , 11aq b ax formula sauabx+ t Deci ca si fantezie intentionez sa arat ca toate ecuatiile se pot rezolva cu formule continand radicali, incepand chiarCu ecuatia de gradul1.Astfel enuntam,chiar daca inca nu este concludenta problema. urmatoarea teorema :TEOREMA17 orice ecuatie, de orice grad ar fi ea, chiar si ecuatia de gradul1, fi rezolvata printr-o formula (cel putin o formula) in care intervine cel putin un radical.In continuare amintim teorema lui ABEL-ruffini, care este :TEOREMA 18 (existenta) orice ecuatie de grad mai mare decat 4,nu poate fi rezolvata cu formule care sa contina radicali.Trebuie sa spun ca la ora actuala, in afara rezolvarii ecuatiei de gradul1 si 2, exista formule si pentru rezolvarea ecuatiei de gradul3 (formulele lui Cardan), si pentru rezolvarea ecuatiei de gradul4 (formula lui Ferrari), bazate ambele pe niste substitutii, dar de asemenea este trecut in literature de specialitate, ca aceste formul;e (cele pentru ecuatia de gradul3 si 4) fiind foarte greu de aplicat, de multe ori imposibil, si probabil pentru faptul ca nu dau totdeauna rezultate viabile (adevarate), ele nu se aplica. Chiar daca, cred ca ma repet, pentru ca am impresia ca acest lucru l-am mai facut, si datorita faptului ca l-am gasit iarasi in ciorne,il mai trec odata aici,poate este ceva in plus, si in acelasi timp imi cer scuze pentru repetitivitate. Astfel, in ceea ce priveste unele observatii existente in matematica, sip e care le cunosc si eu, si pentru ca probabil, si in mod sigur sunt mai multe, referitoare la ecuatii in general, vreau sa fac si eu unele mentiuni si observatii.Astfel :- se stie ca descompunerea unui polinom de gradul n in factori de gradul 1 este cunoscuta si este unica :-0 ) ( / : / " /" deg /, " /" / / / / , 1 / , / / ); )( )......( )......( )( ( ) (1 2 1 x P n radul i polinomulu atasaten gradul de ecuatiei solutiile sunt N i x unde x x x x x x x x x x a x Pni n n i nacum, daca urmarim aceasta descompunere in factori de gradul 1, observam ca ecuatiile de grad impar, admit automat o solutie reala, daca ecuatia are coeficienti reali (se schimba situatia cand ecuatia are de exemplu coeficienti numere pur irationale, sau numere pur complexe), darn u acelasi lucru se poate spune despre ecuatiile de grad par, care pot admite Toate solutiile irationale, sau complexe, conjugate, chiar daca ecuatia are coeficienti reali (firesc este ca si numerele irationale sunt tot reale ma refeream in mod deosebit la solutii intregi sau rationale), sau combinari de aceste tipuri de solutii (doua irationale si doua complexe, etc) ; in schimb prin descompunerea polinomului de gradul n in factori primi de gradul 1, observam ca o ecuatie de grad par, se poate scrie ca o descompunere a polinomului dat, de exemplu, in factori, respectiv in trinoame de gradul 2, ceea ce ne duce sa afirmam, sau sa putem afirma, ca, o ecuatie de grad superior, trebuie adusa sub o forma sau alta la o ecuatie de gradul 2 (chiar de gradul 1-de ce nu ?), a carei rezolvare o cunoastem ; - de asemenea vreau sa mai mentionezfaptul, ca, o ecuatie de grad mai mare egal decat 3, daca admite solutii irationale sau complexe ( daca are coeficienti reali), conjugate, forma lor dupa definitie, cea mai exacta se obtine prin rezolvarea unei ecuatii de gradul 2, si de asemenea aceste solutii au forma cea mai simpla si mai exacta :iB A x sau B A xi it t / / ,, si aceste solutii se obtin numai prin rezolvarea unei ecuatii de gradul 2 ; - de exempluFormula de rezolvare a ecuatiei de gradul 4, in care intervine doar un simplu radical de ordinal 4 dintr-un numar (esteVorba de formula lui Ferrari, din literature de specialitate existenta la ora actuala), nun e da o astfel de solutie irationala sau complexa, in care sa intervina un numar afara de sub radical, A, iar radicalul sa fie un radical de ordinal 2; - sauIn cazul unei solutii complexes a avem sip arte reala; - in baza acestor cateva mentiuni si observatii facute asupraecuatiilor in general, si facute pe scurt, si dupa cum am spus ca mi-am propus rezolvarea oricarei ecuatii de orice grad (si de gradul 100, 1000 , etc), voi enunta inca o teorema, darn u inainte de a mai face cateva mentiuni; - imaginan-23du-ne un lucru, si anume, vazand descompunerea unui polinom de gradul n in trinoame de gradul 2, si apoi san e imaginam ca de fapt am avea aceasta descompunere in cazul oricarei ecuatii, putem spune ca egaland cu 0 fiecare trinom, mai ales in cazul ecuatiilor de grad par, dar de fapt si in cazul celor de grad impar, doar atat ca in cazul acestor ecuatii, mai apare un binom de gradul 1, deci in aceste baze, facand aceasta egalare cu 0 a fiecarui trinom, se poate spune ca rezolvam ecuatia in cauza ( de grad mai mare, egal cu 3), prin rezolvarea unor ecuatii de gradul 2, si se poatevedea usor ca intr-o astfel de situatie teorema lui Abel-Ruffini ar fi combatuta. Dar problema este, cea reala, ca nu putem obtine aceste descompuneri in factori de gradul 1, respective trinoame de gradul 2, si atunci inseamna ca nu putem rezolva aceste ecuatii. Doar theoretic, daca pot fi inteles s-ar putea, situatie in care teorema lui Abel-Ruffini ar fi combatuta.TEOREMA 19 (generalizare) orice ecuatie de orice grad ar fi ea, admite solutii date de rezolvarea unei ecuatii de gradul 2.OBSERVATIE dupa cum se va observa pe parcursul lucrarii, exista mai multe abordari in rezolvarea unei ecuatii de grad superior, dar una va consta ca, aducem orice ecuatie de grad >2, la o forma echivalenta de ecuatie de gradul 2 (sau chiar de gradul 1), o rezolvam, verificam solutia, sau solutiile obtinute, aplicam teorema lui Bezout, si repetam rationamentul pentru o ecuatie de grad mai mic. Acum continui cu alte calcule si abordari cu privire momentan la rezolvarea ecuatiei de gradul 1. Astfel am determinat undeva mai inainte ecuatia :[ ]; 0 ) 2 ( ) 2 (: / , ) 2 (2: . / / / / / / // / / / ; 0 / : / / / ; 0 ) 2 ( ) 2 (3 2 2 2 2 3 22 22 2 324 3 2 2 3 2 2 3 2 + + ++ + + + + +x ab b a b a b a xobtinem si x ab b a xab a b aecuatie cealalta la de x ullui coeficient cu inmultimo ecuatie ultima aceasta b ax generala ecuatia avem si b ab b a bx a b a b a x- acum scadem cele doua ecuatii: / abb ab a abb ab a bab b a b ab ab b ax b ab b a ab b a b a x + ++ + + ++ + ) 2 () 2 (22; 0 2 ) 2 (2 22 2 23 2 2 34 3 2 24 3 2 2 3 2 2 3Dupa cum se vede am obtinut tot formula ecuatiei de gradul intai, cea clasica,dar important este ca am redus gradul la gradul1, al unei ecuatii de gradul 2, si in plus avem totusi o expresie mai complicatesi distincta al lui x, in afara de exprimarea clasica.SAU efectuam alt calcul :;. / / ; 020;2; 0 ) (; ) (;) ( : / ;) (/ ;2) ( 4 ) ( ) (2 1 2 , 1 12 2121 1121 12 , 1abx siaxa b bx b a b a b a anb a an sib a b aaa ab aa an separat calculama b an siab a an a a an a anx t + + + + + + ++ + + + + + t +SAU- alt calcul facem o alta substitutie, si anume, substitutia directa inverse :Notam: ); 1 () 1 )( 1 ( 1 1122 2222 03+ + x qx x xxxxx x q- ecuatia generala este : ax+b=0;si din:; ;22 32 2 3q q qx q x q q +

24si inlocuim in ecuatia generala : . / / / / / / / , / / / / / / / // / / ;11; 0 1 ) 1 ( ; 0 1 ;1/ : / :] 32 [ ; ;) ( ) () () (;) (/ ;) (; 0 ; 02 , 1 2 , 1 332 , 1 32 2 2322322 2322 222 222 222 2 2 322322223 2 2 322 3verifica care solutia alege va se siabx obtine se x lui relatia in q luivalorii inlocuirea prinqx q x x x qxxq calcul alt SAUb a bqb a bbb aabb a aabab b a b a aab ab ab aqb ab aq siab a qq bq aq aq bq q qat t + + + ++ + +_____________________________________________________________________________________________OBSERVATIE - aceste tipuri de substitutii care intr-un mod ascensional se verifica in cazul oricarei ecuatii, indiferent ce grad ar avea, consider ca pot duce la obtinerea de multe rezultate benefice, mai ales in cazul ecuatiilor de grad superior,(>2), unde ne intereseaza de fapt cel mai mult. Faptul ca abordez prin aceasta metoda si ecuatia de gradul 1, doresc sa spun ca acest lucru il fac sip e motivul de fascinatie, mai ales in cazul ecuatiei de gradul 1, la care consider, ca nimeni nu s-a gandit sa o rezolve in alta modalitate, dar trebuie sa spun, ca aceste abordari si calcule, pe care le incep chiar cu ecuatia de gradul 1, au si un alt scop, si anume ca intentia mea este sa reliefez o teorie generala, sau teorii generale, care consider eu ar duce la rezolvarea oricarei ecuatii de orice grad ar fi ea, bineinteles cu o nedeterminata, (deocamdata). Apoi consider ca se mai poate observa un lucru, si anume, ca, efectuari de calcule si gasirea de noi formule de rezolvare pentru o ecuatie in general, cu aceste tipuri de substitutii, consider eu ca este destul de vasta.________________________________________________________________________________________ Mai departe doresc sa remain reliefez niste operari de calcule in vederea rezolvarii prin alte modalitati a ecuatiei de gradul 1, de data aceasta folosind o alta serie de substitutii, asemanatoare, pe care eu le-am numit, asa dupa cum aratam si la inceputul lucrarii, prin comparative cu substitutiile directe, - si anume - substitutii antisimetrice. Pe aceste substitutii, in vederea de a da cat de cat o ordine de notare a lor, le-am notat la fel ca sip e cele directe, dar cu apostroful prim=;. Astfel avem : fie ecuatia :ax+b=0 rezulta direct x= -b/a. ; acum sa abordam rezolvarea altfel asa dupa cum specificam.Notam: . / / var / / mod / /]; [ ;311321 / ;3231 3/ : ;31; 0 1 3 / : / / / :; 1 /] 33 [ ; 0 0 ) 1 ( ; 1 ; 1'1'1'1'1'1'1'10 '1corect este e rezol de ul sau formulaA n x si n sau x x rezolvat de ecuatia fie Verificareabaa b an x sia b an b a an b n a n x x x x n + + + + + ______________________________________________________________________________________________SAU- alt calcul : Notam:]; 35 [ ; / : ]; 34 [ ;; 0 ; 0 ) ( ; ); 1 ('22 , 12'22 '22 '22 '22 '2ab anx saua b axnb ax an b x n a x n x x x x x n+t + + + + _______________________________________________________________________________________________25SAU - alt calcul :] 36 [ ]; [ ;2]; [ ; 12;2) ( ) (24 2 ) (0 ) () (;) (/ ; ) 1 ( ; 1212 22 , 122'1'1'2'12'1'1'2'1Aabab a b axsi Fab a b ax siab a b aaab ab a b a bx b x a b axa b axa b a xa b an xna b a xn si n n x n x x n x n + + + t + + t + + + + _______________________________________________________________________________________________SAU - alt calcul : +]]]]

+ t + t + + ; 024 1 1/ : / / / / ;24 1 1; 0 ;'2'22 , 1'22 2 '2bnagenerala ecuatia in inlocuim sinx n x x x x n] [ ; 6954918 36/ / ; 6 / ; 2 / , 0 6 3 / : / / / / :] 37 [ ; ; 0; 0 4 4 4 ; 4 4 4 [....] ; 4 1 2 ; 0 2 4 122'22 '222'22 '222 '22 '22 2 2 2 2 '2'2Aa ab bn sau x x n sau x cu x rezolvat de ecuatia fie arelatiei Verificarea ab bn si ab b n aab b n a n a a ab a b n a a b b n a a + + + + + + + + + t _____________________________________________________________________________________________SAU - alt calcul : ] 39 [ ; ; ) (: / / / / exp / ]; 38 [ ;2) ( 4 ) ( ) (; 0 ) ( ) ( ;; 1 / ; 1 ;11/ : / / ; 1 / ;1); 1 (2 2'1'12'1'12 '1'12 , 1'1'12 '1'12'1'12 2'2'1'1'2'2'1'1'2 2 '2a axb a ax axa axa ax b axn a ax n a ax b axavem si n pe rimam sauab an a a an a a anxb an a x an a ax a an ax x an b axn x x na b axa b axn si n x x n nxnnobtinem si egalam n x darXnx x x x x n++ + +++ + + t + + + + + + + + + SAU - alt calcul : ; / ;) () ( 2; 0 2 ; 4 : / 0 4 8 4 4 4; 4 4 4 2 4 4 2 4 ([...] ; ; ) ( 4 ) ( ) 2 (; ) ( 4 ) ( ) ( 2;2) ( 4 ) ( ) (222 2'12 2 '1'12 2 2 '1'122 '12 '12 2 '12 2 '1'12 22'12 22 '12 '1'1'12 '1'1'12 '1'1abx sia b ab a ab aab aab b anb ab a abn n a b ab a abn n aab a n a n a n a a abn ab n a b n a ab a an a an a a an bb a an a an a a an bab an a a an a a anab + + + + + + + + + + + + + + t t 26Dupa cum se vede, facand calcule separate, obtinem o alta modalitate de rezolvare a ecuatiei de gradul 1, sau obtinem in apraope toate calculele, alte modalitati de demonstrare a formulei ecuatiei de gradul 1.____________________________________________________________________________________________In continuare, sa continuam cu alte substitutii si alte calcule, tot relative la ecuatia de gradul 1. Astfel mai avem :Notam :sixnxxx xx x qavem mai apoiqxx xxxxsixnxxxx x q si n x x n,1 1 1/ : / / / ;1;11;1 11 / , 1 ; 12'12 22 1 '2'1'1 1 0 '1'1'1+ + + + +++ + + + [ ]] [ ; 0 0 ; 1 2 2 2 1 2 2; 1 ) 1 2 2 1 2 )( 1 ( ; 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 (1; 1 / ; 1 ) 1 2 ( ; 1 / : / / /; 1 2 ; 1 / : / / ]; 41 [ ; / : ; ; 0/ : / / / / ; 1 ; 1 / : / ]; 40 [ ;2 2 2 2 3 32 3 22'1'12 '1'22 '2'12'12 '1'22 , 12'22 '22 '22 '2'2'1A x x x x x x x x x xx x x x x x xxxxx n si n n q x x q x relatia in inlocuim sin n x n x avem mai sauaq b ax sauax b aq b a x aqgenerala ecuatia in inlocuim si x q x x x q avem siqqx + + + + + + + + + + + + + ++ + + + t + + ______________________________________________________________________________________________SAU - alt calcul :. 1 / / / / / / / / ; 0: / 0 ; 2 4 2 3 3; ) 1 2 ( 2 ) 1 2 2 (;1) 1 (12 ) 1 2 (1; 2 ;22 2 3 2 2 2 2 32 2 2 2 2 32 222'2'1'22 '1'2'12'12'2gradul de generala ecuatia obtinut am si b axx bx ax bx ax a ax a ax ax a ax ax axbx ax a ax x x a x x x x x ab axxa xxxa x xxxab a aq n aq n aqa an anb aax b aq + + + + + + + + + + + + + + + + ++ ++ + ++ + + Efectuam diverse calcule, pentru a se observa ce se obtine cu aceste substitutii.___________________________________________________________________________________________27SAU - alt calcul : ; ; 0 : / / / /; ; 0 ; 011; 0 / ;11; 1 ; 1;1: / / / ; / ; ; 0; 01; 0 / ; / ; : / / / ;1;1; / / / / / / exp / / /; 1 1 ; 1 ; 1 / / 0 1122'2'1'1'1'1'1'1'1'1'2'2'2'22 '2'12'1'2'22'22'1'2'1'2'12 '2'1'12 '22'2b ab aq b bq a continuare in avem sib a bq b b a bqa b ax siqx x x q x q xxxq avem asemenea debq aax saubx a axq x bq a axbx qxa b ax si x q n sauxnq avem acumx qxxxxqxnq n de functie q pe rimam sa acum cautamn x x q n x x n si x x qxxq + + + + +++ + + ++ + ++ + + +___________________________________________________________________________________________SAU - alt calcul : ] 44 [ ;) 2 ( 2) 2 )( 2 ( 4; 0 ) 2 ( ) 2 (; 0 2 2; 0 2; / ; 0 2; ;;) () (* / ;2 2 34 3 2 2 2 2 3 2 6 32 , 14 3 2 2 3 2 2 3 24 3 2 2 3 2 2 2 2 32322 2 2 22'2'23 '22 2 2 22 2 '23 '22 2 22'22'2'1'2b a b ab ab b a b a b a b a b axb ab b a bx a b a b a xb ab b a bx a x b a bx aax b ax bax b ax ab b a x ab bx aax b aq dar xq b xq ab b a x ab bx abx a b a xq b xq ab x ab bx aabx abx b abxbq aaabx abx b abxax a bbx b aax abxb a bqqx sibq aax+ t + + + + + + ]]]

]]]

+ + + + + ++++ +__________________________________________________________________________________________Verificarea formulei : ; 2916 1296 216 * 3 * 2 36 * 9 2; 26244 ; 162; 648 324 324 36 * 9 6 * 27 * 2 2 ; 0 6 34 3 2 22 32 2 3 + + + b ab b a CB b a Bb a b a A x] [ ; 2324648648129612962592/] [ ;4936813247296481458/ ;12962754 16212967558272 26244 162242122 , 1A x siF x siAAC B Bx t+ t t Concluzie - formula gasita este buna.______________________________________________________________________________________________28SAU - alt calcul antisimetric : . / / / / / / / / / ; ; : / ; 0; 16 : / ; 0 16 4 16 16 4); 4 1 ( 4 16 16 4; [....] ; 4 1 2 ) 4 2 ( ; 4 4 4 1 2 4 2;44 1 2 4 1 1[...] ;24 1 1; 0 1 ; 1 ;122'2'2'22 '22 '22'22 2 '22 '22 2'22 '22 '22 22 '2'2'2'2'2'2'22 '2'2'2 2'2'2'22 , 12 '22 '22'2metoda alta prin dar o obtinut mai am care pe relatieb ab aq q q a abq q bq a a abq q b aq a abq q b aq a bq a bq aq q a aq aaq b aqq qaq b aqqxx x q x x qxxq + + + + + + + t + + t ++ t + + t + t + +___________________________________________________________________________________________SAU - alt calcul : - am gasit anterior ecuatia :b a b acealalta din scadem o si x ab b a x b a b a x ab b acu inmultim o care pe b ax avem si b ab b a bx a x b a b a2 33 2 2 2 2 2 3 2 24 3 2 2 3 2 2 2 32 /(: / / / / / / ; 0 ) 2 ( ) 2 ( ; ) 2 (: / / / / / / 0 / / / ; 0 ) 2 ( ) 2 ( + + + + + ;. 2 : / / / / / ; ;22;2) () ( 2) (2 2) (2 2 2 2) () 2 )( ( ) )( 2 (;2: ;2/ : ; / : / ; 2 / ; 2 : / ; 1: / / / / / ; 1 : / / / : / / / / / :]. [ ; 0 0 ; 0 2 2 /; 0 ) 2 ( ) 2 ( / : / / / / ); 2 (: / / / / / : / / / / / / / / / / / /] [ ;) () () 2 () 2 (22; 0 ) 2 ( ) 2 /(1'1'1 12 22 22 23 22 22 2 2 3 2 2 3 2 2 2 32 22 2 2 21'122 2122 2'121 1'1'1 1'114 3 2 2 4 3 2 24 3 2 2 3 2 2 3 3 2 222 22 22 2 23 2 2 34 2 2 34 3 2 2 3 2 2 33 + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + n n pentru si este similarabxabx n nsiabb a ab a bb a ab b ab a ab b a ab ab a b a ab b b a b a ab ab a aab b a b a b a ab b an nab ab a abnsiab aab b an sia axb a ax axn avem si n n sau x n n avem x nica antisimetr a substituti avem si x n directa a substituti avem calcul un incercam mai SAUA b ab b a b ab b ab ab b a x ab b a b a ultima din scadem o si b ab b acu inmultim o generala ecuatia sus mai de abordarea la relativ tot calcul un facem mai saAabb a abb a bb ab a abb a ab bab b a b ab b a abx b ab b a x ab b a b a____________________________________________________________________________________________SAU : - alt calcul :- fie ecuatia generala : /; / / / / /;) 2 ( 2) 2 )( 2 ( 4/ : / / / / ;) (: / / ; ; 0 0 ; / : ; ; 0; ; / : / ; 012 2 34 3 2 2 2 2 3 2 6 32 , 1 1110100 010 010101n pentru complicata formula o obtineseb a b ab ab b a b a b a b a b ax x pentru relatia folosim dacabx b ansaub abnx bn bx ax bx ax n x x saua bx axn bx ax anx n x x x n Notam b ax++ + + + t++ + + + + + + +___________________________________________________________________________________________29SAU : - un alt calcul : ;; 0 ; 0) (;) (/ .; / : ; ; 0 ; / .; ; 0 ; 1 ./ . mod / / // / / / / ; 0 ; [....] ; ) 1 ( ; 0 ) 1 (; 0 / ; 1 ; 1 ; 1 / ); / // / / / / ( ; 1 ; 1 sin / ; ; / : / :/; / / / / / // / / / / / / / / / / / / / / / / / // / ;) (/ : / ; ; 0 ; 0 ; / :; 0 ; 0 / ; ;2222 2 222 2 2 22212 22 211212 2 22 21212122222 22 2 2 22 2 12 21222 21 2 1 21 2 2 , 1 1 221 221 1 22 2222'1'1'1'1'10 '100 0'10 0 '10 '10 '1a ab bnb a ab a n a b aa b aa n aa b an ptrsia x aa bn saun an a a bx b a n a x n a x n x x n ptran a bx b a a x a n a x n ptruri multe mai inopera poate se relatia b a n a n a b n n a b n n ab ax si n n x n n x n n x directe ile substituti larevenit am ca observa se n x x n x x n x x x n calcul alt SAUn pentru complicata formula o asa totobtine va se si relatie alta folosim x pentru aceasta data de anterior exemplul la aratat am ce cusimilarbx b an saub abna bbnx bx bn ax bx ax x n x saua bx axn bx ax an b ax si x n x x x n+ + +]]]

+ + + + + + + + + + + + t + + + t + + + t + + + + + + + + + + + _. / / / / / / /, / / / / / / / / exp / / / /;) (2/ . / / / / / /, / / / / / / min/ /; / : / / / ; 1 / / / / / , / / / /: / / ;: / / exp / / / / / ; / ;2) ( 4 ) ( ) (; 0 ) ( ) ( ; : /, / / / / / / / / / / / ; ;); 1 ( ) 1 ( ; / ); 1 ( ) 1 ( ; 11/ ,2 , 12 21 2 , 11 1 2 , 1211 1121 12 , 11 121 121211212 , 1 121212 22 1 2 12formule aceleasi obtine vor se si generala ecuatia in sus mai de x lui resia si inlocui poate sea b ab a aab b an ptr relatai final in obtine se a b cu x pe x relatialui inlocui dacaa b an obtine va se x n cu acesta pe inlocuim x lui relatia in dacaavem mai sia axb a ax axnn pe rimam relatie aceeasi din saua b an siab a an a a an a anxb a an a an x ax a ax an x an b ax avea vomdirect asa relatia luam si n n pe scriem nu daca sauab an anx an an b axx x nab axa b axn si x x n n n xxnptr+ ++ + + + + + + + + + t + + + + + + ++ +t + + + ++ + + ______________________________________________________________________________________________\30SAU : - un alt calcul : ;.; 0 / / ;2) ( 4 ) ( ) (; 0; 0 ; / ;1;1/ / ; 0 2; 0 ) 1 2 ( ; 1 2 / / ; 1 / / ; 02 211 12 121 12 , 1222222212 22 2 1 221 2121 2 1212122a axb a ax axax ab a ax axnb a an ax x an ax sauab a an a a an a anx ab a q bb aabaqabsixxnxxxxq si b a aq n aq n aqb a n n aq n n x si n x si b a x aq+ + + + + + + + + t + + + + + + + + + + + + + + + + + +_________________________________________________________________________________________SAU : - un alt calcul : . / ;) (;: / ; ; ; [....] ;) (2222222 32222222bab aq ab a q ba b a a q abaq b aabaq b aab+ + t ___________________________________________________________________________________________SAU : - un alt calcul : . / / / / / / ; ;) () (; 0 ) ( ) ( ; 0; 0 2 4 2 3 3; 0 ) (223 3;2/ /3 3; / / 0 ) ( 2; 01) 1 (12 ) 1 (1; 1 / / ;1/ / ; 0 22 , 122222 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 22 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3222 233 2 2 322 2213133 2 2 312121312 222122 2 1 221 2buna solutia alege se siabxabb a ab a bx b ab x b a a bx a x a b abbx a x a b a a ab b a a b ab b a ax b aa b aaab ab aaab ab b a aaab ab an si nab ab b a aa b an si x b a an an anb axxax x xa xxxax n sixxq si b a aq n aq n aqt ++ + + + + + + + + + + +]]]

+ +]]]

+ +++]]]

+ + + + + + + ++ + + + + + +++ + + + +___________________________________________________________________________________________SAU : - un alt calcul :. / / / / / / / // / / / / / / / / ; / / ;) () () () (; / ; / / ; : / ; ; 0 ; 01: / / / / / / / / / ;1;1/ / ;; 1 / / ; 1 1 : / / / / / / / / ; 1 / / ; 12 , 122211 222221222 2211 122 122asimetrice si directe ile substituti la o reliefat mai am carepe x pentru complicata relatie acea rezulta siabx abx b abxbq a asiax ax b ab ax abx b axqqx sib b aq sibxax aq saubq a ax bxq a ax bxqxagenerala ecuatia in inlocuim il rezultat acest six qnx qxxxxq sau qxnx n si n x q obtinem si relatii doua cele egalam si n x si x q x++ ++ ++ + + + + + + OBSERVATIE - ceea ce as dori, inca,este sa arat ca orice ecuatie are formula de rezolvare cu un radical de ordin egal cu gradul ecuatiei. Prin extensie, putem considera acest lucru valabil si in cazul ecuatiei de gradul 1, si anume :31- in acest sens se poate scrie formula de rezolvare pentru ecuatia de gradul 1, astfel :. / ;1abx _____________________________________________________________________________________________Nu mai retin daca am mai formulat teorema : _____________________________________________________________________________________________TEOREMA20 - (generalizare) - orice ecuatie de orice grad ar fi ea, admite solutii date de rezolvarea unor ecuatii de gradul 2, deci in care intervine un radical de ordinal 2.______________________________________________________________________________________________TEOREMA 21 - (generalizare) - orice ecuatie de orice grad ar fi ea, se poate rezolva cu o formula, (respective a aflaCel putin o solutie a ei ), in care intervine un radical egal ca indice,(sau ordin) , cu gradul ecuatiei date._____________________________________________________________________________________________OBSERVATIE - dupa cum se va vedea pe parcursul lucrarii, exista mai multe abordari de rezolvare, in ceea ce priveste ecuatiile de grad superior cu o nedeterminata, pe care as fi dorit sa le duc la bun sfarsit; sis a obtin rezolvarea oricarei ecuatii de orice grad ar fi ea, dar se poate intampla ca nu voi reusi, dar in fine ceea ce vroiam sa specific, este faptul, ca una din aceste metode pe care as dori sa le reliefez, in ceea ce priveste rezolvarea unei ecuatii de grad superior cu o nedeterminata, este aceea si anume, ca aducem orice ecuatie de grad >2, la forma unei ecuatii de gradul 2, o rezolvam, verificam solutiile obtinute, daca corespund, apoi aplicam teorema lui Bezout, si repetam rationamentul.______________________________________________________________________________________________In continuare revin la noi operari de calcule, in ceea ce priveste ecuatia de gradul 1. Astfel mai avem :2222 2; / / bb a abq sibxax aq + 02 + +a abbxax a. / / / // / ; 0 ; : / 0 ;2generala ecuatia obtinut amsi b ax a x a abx abx ab + + + SAU : - alt calcul :. / / / / / / ;; 0 : / / / exp / / / / ; : / / ;) (3 23 22 , 122222222buna solutia alege se siaba b ab abxa abax b ab obtinem si resii doua cele egalamb a abq sauax b aqt ++t + +]]]

+ + SAU : - alt calcul :. / / / / / / / / ; ; / / ;2 21 1generala ecuatia obtine va se final ina axb a ax axa b aa axb a ax axn sia b an + + + + + + SAU : - alt calcul :] 47 [ ; ;) () (; / / ; / / ; ; 0; 0 : / / / / / / ; ;; 0 : / / / / / ); 1 ( ;1 11 :22 2322 222 2 2 32232223 322 23 2 2 322 322 32 2 32 32222 03b a bqba b aabab b a b a aab ab ab aqb ab aq sib aaqa baqq saua bq aqq bq aq aqbq q qa generala ecuatia in inlocuim siq q qx q x q qb ax este generala ecuatia si x q qxxxx x q notam + + + + + + + + + SAU : - un alt calcul :32; : / // / / / / ]; 48 [ ;1111; 1 ) 1 ( ; 1 ;122 233 32 , 1 32 2 23223b a bq obtinem generalaecuatia in inlocuim dacaq qx q x x x qxxqt t + In ceea ce priveste substitutiile antisimetrice, sepoate spune, ca avem:;24 2 ) (;) (/ / / / ;24; ; / / / ;) (/ / ;; / ; / / ; / / 1 ; 1 / / ; ; 0 / :2 22 , 12'2'12 '12 '12 , 12'1'1'22'2'22 , 12 '22'2'1'1'1aab b ab a b axa b axa b a xn sia b an siaab n a anxax b axn x n n avem mai dara a b bn siab anxx x na b axn sia b an si n x x n siabx b ax notam+ + t + t +t + + +si] [ ;/ / ]; [ ; 12 1A abx si F x SAU : - alt calcul :. / ; ; / / ;) (; / / ;: / / / / / ; / /2'2'22'2'1'22'1'12 '12 , 1ax b aqbq aax sibb a aqb a bq sibq aaxcalcul alt un sia axb a ax axn sauaan b anx + + + + + +t ____________________________________________________________________________________________OBSERVATIE - ce se poate observa? - cu aceste substitutii, ca si cu altele, in mod similar cum am facut aceste calcule, cu aceste substitutii, pe care le-am operat, se poate observa ca se pot face o infinitate de calcule, si ceea ce as dori eu sa reusesc, este ca aceste calcule sad ea rezultate in cazul ecuatiilor de grad >2. In continuare voi mai face unele calcule scurte, tot in cazul ecuatiei de gradul 1, intr-un anumit sense le se vor asorta cu modalitatile de abordare in cazul oricarei ecuatii de orice grad, si doresc sa le trec sis a le operez, chiar de la ecuatia de gradul 1, in sensul a ceea ce spuneam, ca aceste abordari sunt similare pentru orice ecuatie. Astfel mai avem in cazul ecuatiei de gradul 1._____________________________________________________________________________________________Tot in ceea ce priveste ecuatia de gradul 1, vin cu o abordare mai deosebita, chiar daca aceasta abordare, ca de altfel si altele pe care le-am prezentat pentru ecuatia de gradul 1, par banale, sin u isi au sensul pentru o astfel de ecuatie,Dar doresc sa o suprapun aceasta abordare peste toate ecuatiile de orice grad ar fie le, deci doresc sa aplic aceasta abordare si mod de calcul, chiar de la ecuatia de gradul 1, in intentia, chiar daca nu stiu daca reusesc sa prezint o modalitate generala de rezolvare a ecuatiilor de grad superior. Astfel avem :- fie ecuatia numerica : 3x-6=0; rezulta in mod classic x=2;- acum facem urmatorul rationament : - luam o alta ecuatie tot de gradul 1,cu un coefficient a ales arbitrar si uncoefficient b1 necunoscut, punand conditia ca sa admita aceeasi solutie cu ecuatia initiala :) 1 /( ; 0 3 210 42 21______ __________3 / ; 0 77 / ; 0 6 3/ : / / / ; 0 7111 + + +b xxb xxavem rand primul in b x____________________33] [ ; 2714/ :; 14342; 0 3 42 /1 1A x Verificareb b Sa zicem acum ca am gasit ecuatia echivalenta cu cea initiala, dar cu alti coeficienti, sis a facam urmatorul calcul:] [ ; 14 ; 0 42 3 ; 0 4710 70/ : / / / / ;77: / ]; [ ; 14 ; 1 / ; 0 4 10 : / // / / / ; 0 7 7 / / ; 0 3 3 : / / / / / / ; 0 7; 0 6 31 1 11 111 1 1 11 1 1 1A b b bbsuma ecuatia in inlocuim siba b analtfel sau A ba b an si b n ecuatii acesteadunam sa acum b n si n ecuatiile cu e echivalent sunt ecuatii aceste b xsi x + + + + + + + + + + ______________________________________________________________________________________________In continuare trec la abordarea dupa aceeasi metodologie a ecuatiei de gradul 2. ABORDAREA DUPA ACEEASI METODOLOGIE A ECUATIEI DE GRADUL 2 . ALTE FORMULE DE REZOLVARE A ECUATIEI DE GRADUL 2.Incepem mai intai printr-o observatie :____________________________________________________________________________________________OBSERVATIE - dupa cum se va observa aceasta metologie de rezolvare si abordare a rezolvarii ecuatiilor de grad superior, merge foarte bine si la ecuatia de gradul 2, totul va depinde si ce este mai important este daca merge tot asa de bine si in cazul ecuatiilor de grad >2.- o sa se vada pe parcurs acest lucru, dar oricum in cazul ecuatiilor de grad superior, indifferent ce grad ar avea, se va vedea ca exista foarte multe cazuri particulare. Astfel sa trecem mai departe la calculele specifice dupa aceasta metodologie, in cazul ecuatiei de gradul 2.___________________________________________________________________________________________Astfel avem : forma generala a ecuatiei de gradul 2 este :a cu c bx ax / ; 02 + +K c b a , , / ; 0Notam :x n x x n x sau n x x x n x x x x n Notamcalcul alt un astfel procedam continuare in Acumclasica ea demonstrar de fata gradul deecuatiei a e rezol de formula alt in demonstrat am alitate aceasta prin a con indeci gradul de ecuatia pentru e rezol de clasica formula fapt de obtine se calculele fac sedaca si n x si n x apoi siac b a a b a b anc b a n b a an c b bn a an andevine ecuatia n n x n x x x x n+ t + + + + + + t + + + + + + + + + + + + + + 2 2 , 1 22221222 1 2 1 122 , 1 1121 1 1211212101; / , ; ) 1 ( / :: / / / : / / / // . / / / / 2 / // / / var / / mod/ / / / / / mod / / / int sec // / 2 / / / / / var / / / / / / / / / // / ; 1 ) ( / / ; 1 ) ( / / / ;2) ( 4 ) 2 ( ) 2 () (; 0 ) ( ) 2 ( ; 0 2/ : / / ; 1 2 ; 1 ; 134 t + t + + + + ++ + + + + + + t ++ + + + t + + + + + + + + + + + +t ++ + + + + ++ + + + + + + + 2 12 , 1 122 2 3 2 22 3 2 2 222 , 122 3 2 2 4 22 , 12 2 2 2 2 2 22222 , 12222 22 222 222 2 2/ ; 2;2055 15202800 225 15: / / / ; 2 / ; 0 14 3 2 : / /: / / ; 4 8 4 )( 4 ) )( ( 4 4 / ; / ; / ; / : ;24: / / sin / / / ;) ( 2) )( 4 4 ( 2 ) (; 0 ) ( ) ( ) ( ;;) ( ) (: ) / / / / / / /( :;; ) ( / ;) (; 0 / ; 0 ) ( / :/ ; / ;) (/ ; 0 ) ( ; 0 ) (x si xx avem clasica formula cu x cu x x ecuatia fieformulei a verificare facem c ab bc a c a c ab bc abc a c a bc ac ab a AC bc ac C ab b B ab a A undeAAC B Bxnotatiile d folo formula scriem sauab aab a bc ac ab b a b ab bxbc ac ab b x ab a x ac abx x a bc x b abxbc b a xac x b an sus mai de relatiilor ale combinatii din SAUb ac bnxc bn b a x saubc b a xn c bn bx ax c n x b ax SAUb ac anx siac x b an c x b a an c bx x n a]; [ ;27414/ / ]; [ ; 248;411 34112 9 3: / // / / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / /]; [ ;272070/ / ] [ ; 22040; 70 42 28 ; 15 6 9 ; 10 6 4 / : / / / min det / / /;2720702 1 2 , 12 12A x si A x xACUM APLICAVOI IL CLASICA FORMULA PRIN CALCULUL AFIRMAT AM CAND GRESEALA O FACUT AMNOUA GASITA FORMULA LA REFERITOR ESTE SUS MAI DE CALCULUL TOT OBSERVATIEA x si A xC B A sus mai ata er formula aplicam Acumx t + t + + SAU:/;; 2;: / / , ;24) ( / / ; 0: / / / / / / / / / sin; 0 ) ( ) 2 ( ; 2); ( ) ( ) )( 2 ( ; [....] ;22222 , 1 2 2222 22222222222222222 222 2 2 2bc ac c Cb ab