SISTEME LINIARE CU UN NUMR FINIT DE GRADE DE LIBERTATE DINAMICStructurile reale se pot transforma, pe baza unei modelri corespunztoare, n sisteme oscilante discrete cu un numr limitat de grade de libertate dinamic. Modelul de calcul sau modelul discret simplificat va reflecta ct mai fidel comportarea sistemului real, astfel nct configuraia deformatelor dinamice s fie evaluate cu ct mai mult exactitate. Masele concentrate provin din masa proprie a structurii, din masele unitilor nestructurale precum i din masele ncrcrilor adiionale. Modelarea disipativ va fi reprezentate prin prezena amortizrii, iar modelarea elastic va fi reprezentat prin intermediul proprietilor de rigiditate sau de flexibilitate.Caracteristicile primare de definire ale modelului de calcul dinamic vor fi: [M] matricea de inerie (a maselor), [C] matricea de amortizare, [K] matricea de rigiditate lateral (dinamic),sau [D] matricea de flexibilitate lateral (dinamic) Se admite c sistemul dinamic are o comportare liniar (fizic i geometric) i deci se vor aplica principiile superpoziiei i proporionalitii.Dac se utilizeaz metodele mecanicii corpurilor deformabile se pot formula condiiile de echilibru dinamic, exprimate pe poziia deformat instantanee, folosind principiul lui dAlembert.

Fig.1

Forele care acioneaz dup direcia fiecrui grad de libertate dinamic de translaie sunt: fora exterioar Fi(t), i trei fore generate de micare: fora de inerie Fin,i(t), fora de amortizare Fa,i(t) i fora de revenire a resortului elastic Fe,i(t).Ecuaia micrii exprim echilibrul acestor sisteme de fore i se scrie astfel: (1)

unde: vectorul forelor de inerie vectorul forelor de amortizare

vectorul forelor de revenire (elastice)

vectorul forelor exterioare perturbatoare

Sistemul de ecuaii de micare pentru un sistem liniar discret cu nGLD, fig. 1 se poate scrie: (2)

unde:{i(t)} vectorul coloan al acceleraiilor{i(t)} vectorul coloan al vitezelor {ui(t)} vectorul coloan al deplasrilor {Fi(t)} vectorul forelor exterioare

Matricea diagonal a maselor [M]

Se presupune c toat masa structurii este concentrat n noduri, fiecrui nod i sunt asociate trei mase i trei momente de inerie masice corespunztoare celor ase grade de libertate.Se noteaz, pentru sistemele necuplate dinamic, mi, masa corespunztoare gradului de libertate dinamic i i i(t) acceleraia dup direcia gradului de libertate dinamic i. Masa mi reprezint msura ineriei dup direcia gradului de libertate dinamic i cnd dup aceast direcie exist o acceleraie egal cu 1, restul acceleraiilor dup celelalte grade de libertate fiind nule.Matricea maselor este o matrice diagonal de dimensiuni n*n:

Matricea de amortizare [C]Se presupune c toate deplasrile sunt nule iar vitezele sunt diferite de zero. Fora de amortizare este proporional cu viteza relativ pentru un sistem cu un grad de libertate dinamic; pentru sisteme cu mai multe grade de libertate dinamic valoarea forelor de amortizare este proporional cu vectorul vitezelor relative:

unde [C] este matricea de amortizare de dimensiune n*n:

cij reprezint fora de amortizare care apare dup direcia gradului de libertate dinamic i cnd dup direcia gradului de libertate dinamic j exist o vitez egal cu 1, restul vitezelor fiind nule

Matricea de rigiditate lateral [K] Fora de revenire este proporional cu deplasarea relativ pentru sistemul cu un grad de libertate dinamic; vectorul forelor de revenire (forelor elastice) pentru un sistem cu nGLD este proporional cu vectorul deplasrilor relative:

unde [K] reprezint matricea de rigiditate, de dimensiune n*n:

kij reprezint fora elastic ce apare dup direcia gradului de libertate dinamic i cnd numai dup direcia gradului de libertate dinamic j exist o deplasare egal cu 1.

Vibraii libere neamortizate. Valori i vectori proprii. Metoda matricei de rigiditate lateralPentru determinarea frecvenelor naturale (valorile proprii) i a formelor proprii de vibraie (vectorii proprii) se consider c sistemul vibreaz liber neamortizat. Forele care-i fac echilibru dup direcia fiecrui grad de libertate dinamic sunt fora de inerie i fora elastic (de revenire)(1)

(2)

(3)

Sistemul de ecuaii de micare devine:

(4)

Acceptnd o soluie de forma: (5)unde: vector arbitrar w pulsaie proprie j unghi de faz

sistemul de ecuaii (4) devine: (6) Dup simplificarea tuturor termenilor cu sin(wt+j) sistemul de ecuaii devine

(7)

Sistemul de ecuaii (7) fiind omogen pentru a avea soluii diferite de soluia banal este necesar ca determinantul coeficienilor s fie nul: (8)Ecuaia (8), numit i ecuaie caracteristic, se mai poate scrie, dup dezvoltarea determinantului, astfel:

(9)Rdcinile lK ale ecuaiei (9) se numesc "valori proprii iar pulsaiile naturale neamortizate se determin din relaia: (10)nlocuind lk in sistemul (7) se obin vectorii proprii corespunztori sau formele proprii de oscilaie notate {Uik}. Un vector {Uik} reprezint modul de deformare al structurii pentru pulsaia natural corespunztoare, wk2

Deoarece sistemul de ecuaii (7) este omogen nu exist o soluie unic pentru {Uik} i deci se poate obine un raport ntre componentele vectorului {Uik}.Astfel, forma proprie este definit de raportul amplitudinile micrilor diferitelor puncte de pe structur cnd aceasta este excitat cu frecvena sa proprie.Pulsaia natural wk mpreun cu forma proprie de oscilaie {Uik} alctuiesc modul propriu de oscilaie k.Matricea spectral este constituit din pulsaiile naturale i are forma: (11)Matricea modal se formeaz din formele de vibraie corespunztoare: (12) 0 valoare proprie, lk, i vectorul propriu corespunztor, {Uik} satisfac sistemul de ecuaii (7), adic:

(13)

Prenmulind la stnga cu transpusul unui alt mod, s, se obine: (14)Acelai lucru se poate face pentru o valoare proprie s i vectorul propriu corespunztor {Uis } i transpusul vectorului {Uik } : (15)

Deoarece [M] i [K] sunt matrice simetrice se mai poate scrie: (16)

(17)Scznd ecuaia (16) din (15) se obine (18)

Dac lk ls, atunci (19) (20)

Din punct de vedere energetic relaiile (19) i (20) arat c lucru mecanic al forelor de inerie corespunztoare unui mod propriu de vibraie k, atunci cnd ele parcurg cu ntreaga lor intensitate deplasrile corespunztoare altui mod, este nul; cu alte cuvinte, nu poate avea loc un transfer de energie de la un mod propriu la alt mod propriu de vibraii.Cnd una dintre componentele vectorului este aleas arbitrar atunci restul de (n-1) componente sunt determinate din raportul dintre dou componente, raport ce este constant: (21)Procesul de ajustare a componentelor formelor proprii este numit "normalizare" iar formele proprii scalate care rezult se numesc "forme ortonormate".Exist mai multe ci de normalizare a formelor proprii, i anume:a) constanta din ecuaia (21) s fie egal cu 1;b) cea mai mare component a formei proprii s fie egal cu 1 (ceea ce este convenabil pentru desenarea formei proprii);c) o component particular a formei s fie egal cu 1;d) lungimea vectorului propriu s fie egal cu 1.

Formele proprii de vibraie