UNIVERSITATEA “DUNREA DE JOS” DIN GALAI

TEZ DE DOCTORAT

DETERMINAREA SOLICITRILOR GENERALE I LOCALE ALE CORPULUI NAVEI ÎN CAZUL OSCILAIILOR DIN PLAN VERTICAL PRIN MODELAREA NUMERIC A FLUIDULUI

Ing. Marius POPA

Conductor tiinific: prof. dr. ing. Liviu STOICESCU

1999

2

Cuprins

Index de notaii ......................................................................................................... 4

Capitolul 1 Introducere......................................................................................... 7

1.1 Motivaia tezei

1.2 Scopul tezei

1.3 Privire de ansamblu asupra tezei

Capitolul 2 Solicitri generale i locale ale corpului navei ..................................12

2.1 Generaliti. Trecut

2.2 Probleme actuale

2.3 Teoria fâiilor. Analiza spectral. Extinderea analizei în timp. Limitri 2.4 Metodologia aplicrii teoriei fâiilor

2.4.1 Oscilaia vertical 2.4.2 Ruliul

Capitolul 3 Modelarea numeric a micrilor fluidului i ale navei ...................22

3.1 Ecuaiile ce guverneaz fenomenul

3.2 Analiza principial i algoritmic a fenomenului

3.3 Analiza problemei prin metoda elementului finit

3.4 Analiza problemei prin metoda elementului de suprafa 3.5 Comparaia celor dou metode. Metoda aleas pentru a fi utilizat în tez

Capitolul 4 Modelarea numeric a micrilor fluidului i ale navei, realizat în tez .................................................................................. 40

4.1 Elementul de frontier folosit. Detalierea ecuaiilor guvernante

4.2 Calculul termenului t∂∂φ

4.3 Modul de tratare a punctelor de intersecie între S.L. i suprafeele solide

4.4 Modelarea excitaiei (modelarea frontierei amonte). Modelarea condiiilor

la limita pe frontiera aval

4.5 Modelarea numeric a micrii fluidului cu S.L. fr corpuri în plutire

4.5.1 Schema de rezolvare i algoritmul folosit

4.5.2 Detalii

4.6 Modelarea numeric a micrii fluidului cu S.L. în prezena unui corp în

plutire

4.6.1 Schema de rezolvare i algoritmul folosit

4.6.2 Detalii

4.7 Descrierea programelor realizate

3

Capitolul 5 Exemple numerice. Comparaii cu rezultatele analitice i cu

rezultatele indicate in bibliografie.....................................................65

5.1 Generarea valului

5.2 Corpul în micare liber. 5.2.1 Oscilaia vertical liber 5.2.2 Oscilaia de ruliu liber

5.3 Corpul în micare complex sub aciunea unui val generat de o pala

5.4 Comparaia cu experimentul

5.5 Verificarea presiunilor calculate cu metoda prezentat

Capitolul 6 Determinarea presiunilor pe corpul navei în studiul de fa ...........107

6.1 Descrierea simulrii 6.2 Rezultatele obinute

Capitolul 7 Studiul efectului presiunilor calculate prin modelarea numeric a fluidului asupra rezistenei structurii navei considerate ..................115

7.1 Prezentarea ipotezelor studiului

7.2 Prezentarea structurii

7.3 Modelarea numeric a structurii

7.4 Sarcinile aplicate structurii

7.5 Integrarea în timp a soluiei

7.6 Rezultatele obinute

7.7 Concluzii asupra rezultatelor

Capitolul 8 Concluzii.............................................................................................135

8.1 Realizri personale

8.2 Concluzii

8.3 Posibile dezvoltri viitoare

Mulumiri ..................................................................................................................140

Bibliografie................................................................................................................141

Anexa 1. Programul de realizare a simulrii i unit-urile eseniale.......................146

Anexa 2. Structura dublului bord – Detalii din planuri ........................................170

4

Index de notaii

ABS = American Bureau of Shiping (Societate de Clasificare)

ABM = Metoda de integrare în timp predictor corector (Adams-Bashforth-Moulton)

BEM = Metoda Elementului de Frontier CFD = Calculul Dinamicii Fluidului (Metode pentru …)

FDM = Metoda Diferenelor Finite

FEM = Metoda Elementelor Finite

GL = Germanischer Lloyd (Societate de Clasificare)

SL = Suprafaa Liber

α = panta instantanee a valului

α0 = amplitudinea pantei valului

β = unghi ce exprim un defazaj între dou micri ε = unghi ce exprim un defazaj între dou micri φ = funcia potenial de vitez φr = unghiul de ruliu (msurat în sistemul de coordonate absolute)

η = cota suprafeei libere fa de suprafaa apei linitite (în expresiile liniare)

λii = coeficientul relativ al amortizrii θ = unghiul de ruliu

ρ = densitatea (a fluidului sau a oelului)

σ = tensiunea normal σe = tensiune echivalent Von Misses

τ = tensiunea tangenial ω = viteza unghiular sau pulsaie= Tπ2

ψ = factorul (sau raportul) de amplificare

ζ = parametru utilizat pentru descrierea valorilor internodale

a = distana intercostal c = viteza de propagare a valului în acvatoriul de adâncime h sau

factorul de atenuare a oscilaiilor libere

cg = viteza de grup a valurilor în acvatoriul de adâncime h

c1,2,3 = coeficieni de care depind coeficienii relativi ai maselor adiionale sau amortizrii cii = coeficientul relativ al maselor adiionale

cT = coeficientul de finee al seciunii transversale a corpului = A/(B*d)

d = pescajul corpului

dzG = deplasarea în direcie vertical a centrului de mas fa de poziia iniial err = eroarea masic relativ g = acceleraia gravitaional h = adâncimea acvatoriului sau înlimea metacentric k = component a matricii de rigiditate sau numrul de und al valului = λπ2

p = presiunea fluidului într-un punct sau pulsaia proprie a unui sistem

pd = componenta dinamic a presiunii

p0 = presiunea atmosferic mii = coeficientul relativ al masei adiionale

ro = densitatea corpului în plutire

s = parametru ce descrie suprafaa corpului

tdw = tone deadweight, respectiv masa încrcturii utile a unei nave cuprinzând marfa i rezervele

un = viteza normal la contur a particulei de fluid = n∂∂φ

5

us = viteza tangenial la contur a particulei de fluid = s∂∂φ

z = cota pe vertical a unui punct sau cota instantanee a navei în oscilaie vertical ∆x = spaierea grilei în direcia orizontal xG = abscisa centrului de greutate a navei (calculul 2D hidrodinamic)

yG = ordonata centrului de greutate a navei (calculul 2D hidrodinamic)

zC = cota centrului de greutate al mrfii zG = cota centrului de mas al navei

zH = cota centrului de mas al corpului de oel

zv = amplitudinea instantanee a valului

n = versorul normalei la suprafa r = versorul unui punct

u = viteza particulei de fluid

v = viteza unui punct de pe suprafaa corpului

2D, 3D = simboluri însemnând bidimensional respectiv tridimensional

A = aria seciunii corpului în plutire

Aw = aria seciunii orizontale la nivelul liniei de plutire a corpului

B = limea corpului

BC = limea spaiului de marf Bdb = limea dublului bord

C(e)

= conturul elementului e

C1, C

2 = poriuni ale conturului elementului e

D = domeniul de studiu sau înlimea de construcie a navei

F = for (direcia este exprimat de indice)

G = funcia Green

HC = înlimea zonei de marf Hv = înlimea valului

Jφ = momentul de inerie al corpului

JC = momentul propriu de inerie al încrcturii

JH = momentul propriu de inerie al corpului de oel

kxx = raza de inerie transversal = MJφ

L = lungimea acvatoriului

L.B. = linia de baz a corpului navei

M = masa corpului navei sau momentul încovoietor dintr-o seciune a navei

Mii = masa adiional Mφ = momentul exterior ce acioneaz asupra corpului

MC = masa încrcturii

MH = masa corpului de oel

N = funcie de form Nii = coeficientul de amortizare

NT = numrul total de puncte al modelului

P.D. = planul diametral al navei (planul de simetrie bilateral al corpului)

RK4 = metoda Runge-Kutta de ordinul 4

S = suprafaa corpului

T = perioada unei funcii armonice sau fora tietoare într-o seciune a navei

Tr = perioada de rezonan (perioada proprie) a unui sistem

V(t) = volumul fluidului din acvatoriu la momentul t

Vo = volumul fluidului din acvatoriu la momentul iniial

c = vectorul termenilor liberi din sistemele de ecuaii ce modeleaz fluidul

6

cp = vectorul termenilor liberi din sistemele de ecuaii ce modeleaz presiunea

Clim = vectorul condiiilor limit impuse sistemelor de ecuaii ce modeleaz fluidul

( ) tf = vectorul sarcinilor variabile în timp

Nec = vectorul necunoscutelor sistemelor de ecuaii ce modeleaz fluidul

u = vectorul deplasrilor nodurilor domeniului

u = vectorul vitezelor nodurilor domeniului

u = vectorul acceleraiilor nodurilor domeniului

[C] = matricea coeficienilor de amortizare

[K] = matricea de rigiditate

[L] = matricea coeficienilor vitezelor normale la contur

[M] = matricea coeficienilor necunoscutelor sistemelor de ecuaii ce modeleaz fluidul

[Mp] = matricea coeficienilor necunoscutelor sistemelor de ecuaii ce modeleaz presiunea

[R] = matricea coeficienilor potenialelor

∇ = operatorul (z

ky

jx

i∂

∂+

∂

∂+

∂

∂)

∆ = operatorul Laplace (∆=∇*∇) sau

deplasamentul navei (masa total a navei)

t∂

∂ = derivata parial de timp

Dt

D = derivata de timp substanial (sau material)

dt

d = derivata de timp substanial (sau material)

n∂

∂ = derivata dup direcia n

7

Capitolul 1. Introducere 1.1 Motivaia tezei Transportul naval a fost întotdeauna i se previzioneaz a fi în continuare una din cele mai viabile modaliti de circulaie a valorilor materiale i umane. Unul din aspectele viabiliti îl constituie sigurana i de aceea conceptul “safety first” (sigurana în primul rând), este unanim acceptat i urmrit cu perseveren de ctre toi cei implicai într-o activitate naval de calitate. Problema siguranei navei are între componentele sale (prezentate într-o ordine oarecare): a) sigurana la rsturnare a navei (problema stabilitii);

b) sigurana structurii navei - a corpului (problem numit generic “problema de rezistena general i local”); c) sigurana la efectele dinamice (vibraiile induse de maini i instalaii, vibraiile induse de marea real);

d) sigurana la efectul oboselii; e) sigurana la manevrare. Analiza tuturor aspectelor mai sus menionate conduce ctre un aspect comun mai puin aprofundat i anume: interaciunea dintre corp i ap, materializat prin distribuia de presiuni pe corpul navei. Indiferent sub ce form sunt cuprinse în modelarea fenomenelor - ca excitaii acionând asupra unui corp rigid ori elastic, sau ca solicitri ale unei structuri generale ori locale - presiunile pe corpul navei se regsesc întotdeauna. Analiza acestor fenomene a evoluat în timp, pornindu-se de la modele ce includeau ipoteze mult simplificatoare i ajungându-se în prezent la studii foarte apropiate de realitatea fizic prin modelare numeric cu ajutorul Metodei Elementului Finit, Metodei Elementului de Frontier sau Metodei Diferenelor Finite. Aceste abordri sunt în prezent posibile datorit trecerii pe o treapt de performan superioar a tehnicii de calcul. Interesul pentru determinarea distribuiei presiunilor reale pe corpul navei i respectiv a sarcinilor reale ce acioneaz pe corpul navei, este subliniat i prin implicarea marilor societi de clasificare, grad de implicare relevat prin desele referine la aceast problem în publicaiile proprii ale acestora. Astfel, concentrându-ne pe publicaiile Germanischer Lloyd (lunarele GL Magazin i anuarele GL Report) regsim o prim menionare a studiului curgerii fluidului în jurul navei, respectiv studiul interaciunii fluid-nava prin metode numerice, înc din 1992 ca direcie major de cercetare. Ediia 1993 a aceleiai publicaii [107.1], face meniuni mult mai concrete la aceast problem înc din articolul de deschidere “Construcii navale / Servicii de Consultan Maritim” (“Shipbuilding / Marine Advisory Services”). Astfel [107.1.1], primul capitol al acestui articol “Msurtori pe termen lung a tensiunilor aprute la bordul navelor” (“Long - Term Measurements of Stress on Board of Ships”) descrie dificultile în realizarea msurtorilor concrete în scopul deducerii unor reguli de construcie i demonstreaz convergena experimentului i a msurtorilor pe nav cu modelele de simulare. Se subliniaz i capacitatea simulrii de a extinde analiza spre zonele în care msurtorile pe nav i practica nu au adus suficiente informaii. Ca o continuare fireasc, al doilea capitol “Analiza Integrat a Rezistenei la Oboseal” (“Integrated Fatigue Strength Analysis”) propune o schem complet de analiz a oboselii navei, atât din punctul de vedere al structurii generale cât i din punct de vedere al structurii locale (schema prezentat la sfâritul capitolului). Se subliniaz c pân în respectivul moment, analiza general oferea tensiunile globale în elementele structurii,

8

acestea fiind comparate cu valorile limit. Cazurile de avarii întâlnite la longitudinalele de bordaj ale navele tanc arat c tensiunile din variaiile presiunii locale ale apei pot exercita un efect decisiv asupra rezistenei la oboseal i în plus c “pot fi considerate majore efectele non - liniare ca de exemplu: trunchierea istoricului (evoluiei) presiunilor pentru pri ale bordurilor navei, cauzat de submersia sau imersia temporar din valuri”. Se observ astfel atât din diagrama flux cât i din cuprinsul comentariilor, c determinarea cât mai exact a presiunilor pe corpul navei, cât i a evoluiei lor, a devenit o problem esenial pentru sigurana la oboseal. Trebuie de asemenea subliniat c punctul de vedere nou aprut în abordarea studiului rezistenei navei ca urmare a apariiei acestor metodologii de determinare a distribuiei de presiuni pe corpul navei, face s se estompeze i chiar s dispar clasica împrire a solicitrilor corpului navei în solicitri generale i locale. Acelai numr al GL Magazin gzduiete i articolul “Managementul Proiectelor” (“Project Management”) [107.1.1.] în care gsim urmtoarea afirmaie: “Dei aplicarea i progresul cercetrii experimentale în hidrodinamic rmân indispensabile, în viitorul previzibil, simulrile de dinamica fluidelor - adesea denumite bazine numerice de încercri - vor crete semnificativ în importan pentru antierele navale, putând s întreasc validitatea i s grbeasc disponibilizarea rezultatelor. De aceea msurile viitoare de asisten se vor concentra în câmpul hidromecanicii. Prin proiectele aprobate în 1993 – ‘Curgerea vâscoas i cu suprafaa liber, de-a lungul navei’, ‘Curgerea staionar cu spargerea valurilor’ i ‘Dezvoltarea unei metode generale a panourilor pentru calculul curgerii poteniale’ - s-a realizat primul pas într-un program de cercetare întins pe o perioada de 5 ani, a crei definire va fi în curând finalizat.” Rezultatele acestui program anunat în 1993 s-au cumulat, aa cum reiese din articolul “Cercetare i Dezvoltare – SHIPREL – O Cale tiinific de Dezvoltare a Regulilor” (“Research and Developement - SHIPREL - A Scientific Approach to Practical Rule Developement”) din GL Anual Report 1995 [107.2.], cu rezultatele programului SHIPREL (Ship Reliability - Sigurana navei) dezvoltat înc din 1991 împreun cu alte dou societi de clasificare (Bureau Veritas , Registro Italiano Navale) i dou renumite instituii de cercetare (Universitatea Tehnic din Danemarca , Institutul Tehnic Superior din Portugalia). Acest articol afirm existena, testarea favorabil i intrarea în uz a unor programe de simulare bazate în special pe metoda modificat a seciunilor i pe teoria tridimensional a difraciei (metoda panourilor), pentru sarcinile de ordinul unu induse de valuri (rezolvarea liniarizat a problemei), precum i dezvoltarea de ctre institutele de cercetri a unor metode de analiz neliniar (efecte de ordin doi) a sarcinilor induse de valuri în particular, în cazul micrilor cu amplitudini mari. Implicaiile practice, în afara emiterii de concepte i reguli care s mreasc sigurana navei, nu au întârziat s apar. GL Magazin No. 2 Dec.1995/Ian. 1996 [107.3] prezint prin articolul “Tehnologia Informaiei în Construcia de Nave” (“Information Technology in Shipbuilding (ITIS)”), un program pentru informatizarea întregii viei a unei nave (de la iniierea proiectului - proiectare - i pe toat durata exploatrii), în care componenta ITiSA îi propune “Procesarea distribuit a sarcinilor hidrodinamice” (“Distributed Processing of Hydrodinamic Tasks”), prin care GL-ul s preia datele primare (forma corpului) necesar pentru calculele hidrodinamice prin metode CFD. Anul 1997 a adus rezultatele acestor cercetri nu numai în cuprinsul unor reguli i formule de eantionare ci i sub forma acceptrii i chiar recomandrii calculului sarcinilor induse de marea real prin metoda modificat a fâiilor (ca i în ediia 1992), dar i prin metoda panourilor tridimensionale. Evoluia constant ascendent a studiului acestei probleme este de necontestat. Interesul marilor societi de clasificare este numai un aspect al efortului mondial în aceast direcie, aceasta reflectându-se i în numrul mare de lucrri publicate în acest domeniu.

9

Aceste lucrri sunt dedicate nu numai studiului pur teoretic, fundamental ci i aplicrii acestor studii în practic. Astfel în [58] este prezentat un studiu comunicat la Simpozionul PRAD 98 (Practical Design of Ships and Mobile Units) asupra sarcinilor ce acioneaz asupra bordajului unui modern petrolier al unei companii petroliere americane (descris de autori ca: petrolier cu dublu înveli din noua clas “Millenium”, cu dou propulsoare i dou cârme), ca urmare a raportrii de ctre respectiva companie a unui numr neobinuit de mare de avarii structurale la nivelul liniilor de încrcare obinuite ale petrolierelor de pe ruta Alaska-California. Reflectându-se din punct de vedere economic în costuri ridicate ale întreinerii navelor, aceste avarii au trezit interesul companiei în efectuarea unui studiu hidrodinamic complex ce a evideniat lipsurile metodelor de analiz a sarcinilor dinamice ale ABS, în particular presiunile hidrodinamice variabile ce acioneaz pe nav.

Precum se observ, problema const în determinarea sarcinilor reale ce se aplic structurii cât i în determinarea modului de aplicare a acestora astfel încât atât efectele

10

generale i locale respectiv cvasi-statice i dinamice s fie surprinse, toate acestea cu minimum de resurse dar cu maximum de eficien.

Comunitatea tiinific internaional este preocupat permanent de dezvoltarea unor metodologii care s satisfac aceste cerine, rezultate practice concretizându-se în programe de simulare hidrodinamic. Accesul la componentele conceptuale ale acestor programe este prohibitiv de aceea utilizatorii nu pot adeseori s cunoasc complet ipotezele considerate. Acest fapt face ca s nu fie posibil aprecierea cauzele calitative care conduc la obinerea unor rezultate numerice. De aceea este necesar s se realizeze studii care s clarifice aspectele complexe ale fenomenelor hidrodinamice, s estimeze direciile critice în care se va face studiul i care s aduc în permanen practica la nivelul cercetrii.

inând cont de cele prezentate anterior, existena tezei de fa este motivat de necesitatea realizrii de studii pentru atingerea dezideratelor de mai sus. Viitorul, este în opinia mea i presupun i în asentimentul general, strâns legat de dezvoltarea tehnicii de calcul. Aceasta trebuie s susin un efort de calcul uria aflat într-o permanent cretere, i de asemenea s duc la o scurtare spre o limit acceptabil practic a timpilor de rulare i a simulrilor, în fluxurile economice reale. Oricum atât timp cât tehnica de calcul se perfecioneaz continuu, evoluia în studiul fenomenelor hidrodinamice va avea tendina de a renuna la aproximri i de a se apropia din ce în ce mai mult de realitate, fr îns a ignora i rapoartele între ordinele de mrime ale fenomenelor ce intervin. 1.2. Scopul tezei Teza are dou scopuri principale:

- realizarea unei abordri cât mai apropiat de fenomenul fizic real a micrii fluidului cu suprafaa liber în prezena unui corp în plutire (componenta hidrodinamic),

- realizarea unui studiu asupra influenei aplicrii unor sarcini mult mai apropiate de realitate, cu un profund aspect neliniar i dinamic, asupra structurii navelor (componenta de structur).

Ambele aspecte ale problemei sunt de un grad de noutate deosebit. Astfel: - modelarea numeric a fluidului se realizeaz în domeniul spaiu-timp ceea ce

reprezint în prezent cea mai “aproape de fenomen” modelare pentru fluid (dei modelarea cu FDM pentru fluidul vâscos este în plin actualitate - pentru modelarea fluidului potenial în conjuncie cu analiza structural aceasta este linia cea mai avansat în plan mondial în tot acest deceniu);

- aplicarea pe structur a sarcinilor provenite din modelarea de mai sus reprezint o abordare facilitat de noile metode i instrumente de calcul ce tinde s deschid noi perspective proiectrii optime a structurilor navale moderne. Presiunile aplicate sunt profund neliniare i variabile în timp, având valori care au doar ca medie valorile uzuale prescrise pân în prezent.

Componenta “hidrodinamic” const în simularea cu cât mai puine ipoteze

simplificatoare a interaciunii neliniare între valuri i o structur în plutire. (inem îns s subliniem înc de la început c abordarea interaciunii val - structur fix se poate realiza mult mai facil cu aceiai algoritmi simplificai corespunztor.) În lucrarea de fa studiul a fost realizat doar în 2D, respectiv s-a simulat micarea unei seciuni transversale a navei. Dat fiind faptul c modelarea fluidului în domeniul spaiu-timp este o abordare foarte modern, s-a considerat c este esenial ca mai întâi s se stabileasc o metodologie de studiu eficient i fiabil. Dispunând de o astfel de metodologie mecanismele hidrodinamice pot fi mai bine înelese iar extinderea de la 2D la 3D va reprezenta mai ales o problem de modelare geometric i nu o problem de metodologie.

11

Pentru a realiza aceast simulare au fost urmrite urmtoarele aspecte: - modelarea unui generator de val convenabil, - modelarea convenabil a frontierei aval i amonte, - tratare uniform i robust a zonei de intersecie între suprafeele solide i

suprafaa liber (indiferent de ce suprafa solid este vorba), - dezvoltarea unui algoritm stabil pentru avansarea în timp a soluiei (integrarea în

timp a suprafeei libere i a poziiei corpului), - dezvoltarea unei metode eficiente i stabile pentru determinarea presiunilor pe

corpul navei.

Componenta “de structur” const în aplicarea dinamic a presiunilor variabile determinate de ctre componenta “hidrodinamic” i calcularea rspunsului dinamic al structurii. Aplicarea acestor presiuni este realizat în scopul evidenierii ciclurilor de solicitare ale potenialelor zone slabe sau supraîntrite ale structurii, în condiiile când ciclurile de încrcare rezultate din simularea hidrodinamic se dovedesc a fi substanial diferite de cele estimate de teoriile clasice. Studiul prezentat în cazul de fa nu se dorete atât un studiu aplicat unei structuri punctuale sau un studiu cantitativ, cât un studiu calitativ menit s sublinieze efectele aplicrii sarcinilor rezultate în urma unui calcul hidrodinamic aproape de realitate. 1.3. Privire de ansamblu asupra tezei Teza cuprinde 8 capitole (incluzându-l pe cel de fa). inând cont c pentru a ajunge aici primul capitol a fost parcurs se va prezenta pe scurt lucrarea începând cu capitolul 2. Capitolul 2 dorete s prezinte stadiul actual al studiului hidrodinamic în problematica naval, detaliind pe scurt metoda considerat ca fiind cea mai utilizat în prezent. Capitolul 3 formuleaz ipotezele calculului hidrodinamic. Prin enunarea celor dou subprobleme ale calculului hidrodinamic se trece la analiza principial i algoritmic a fenomenelor pe baza deduciilor autorului cât i în baza referinelor bibliografice. În continuarea capitolului autorul îi propune prezentarea documentat a celor dou metode numerice principale folosite în bibliografie: Metoda Elementului Finit i Metoda Elementului de Frontier, cu scopul final de a le compara avantajele i dezavantajele i de a justifica alegerea uneia dintre ele. În capitolul 4 se detaliaz principalele probleme ale modelrii numerice ale curgerii fluidului fr / i în prezena unui corp în plutire, prin Metoda Elementului de Frontier. În final se prezint i se detaliaz algoritmii utilizai pentru studiu i programele dezvoltate de autor pentru realizarea simulrilor. În capitolul 5 se prezint rezultatele simulrilor numerice realizate de autor în scopul verificrii metodei. În capitolul 6 se prezint rezultatele obinute de autor pentru nava ce va fi studiat din punct de vedere structural. Capitolul 7 prezint aplicarea rezultatelor hidrodinamice la o structur real i se face comparaia cu rezultatele obinute prin aplicarea sarcinilor calculate cu metoda uzual a aezrii statice a navei pe val. Capitolul 8 este dedicat enumerrii realizrilor personale ale autorului, a concluziilor i a posibilelor dezvoltri. Lucrarea cuprinde diagrame ale evoluiilor diverselor procese considerate, precum i imagini ale diferitelor structuri utilizate.

12

Capitolul 2. Solicitri generale i locale ale corpului navei 2.1. Generaliti. Trecut Analiza solicitrilor generale i locale ale corpului navei a evoluat în timp atât din punctul de vedere al calculului structurii cât i din punctul de vedere al calculului hidrodinamic (prin care se obin solicitrile structurii).

La început au fost considerate ipoteze mult simplificatoare în care procesele dinamice se presupuneau lent variabile în timp (cvasistatice), astfel încât câmpul de presiuni era considerat hidrostatic. Acest mod de abordare este reprezentat de analiza rezistenei generale i locale a navei prin aezarea statica pe val. Acest model, numit i al “grinzii nav”, considera doar forele hidrostatice aprute ca urmare a echilibrrii navei pe un val longitudinal critic i distribuia de greuti. Solicitrile generale sunt obinute prin integrarea statica a sarcinilor menionate obinându-se astfel momentele încovoietoare i forele tietoare globale dintr-o seciune a grinzii nav. Analiza global a structurii se realizeaz în câteva seciuni caracteristice sau critice în care a fost constituit o aproximare compact a seciunii reale numit “grind echivalent”. Solicitrile generale sunt aplicate acestei grinzi echivalente obinându-se astfel tensiunile globale. Valorile tensiunilor globale sunt compuse cu tensiunile locale calculate pentru zone considerate a fi solicitate periculos de ctre reguli, experien sau observaii.

Realitatea a impus îns îmbuntirea modelelor folosite, urmtorii pai fiind constituii de luarea în considerare a distribuiei de presiuni în val atât în cazul valului longitudinal cât i în cazul valului travers. În cazul valului travers a fost considerat efectul valurilor cu dimensiuni comparabile cu dimensiunile navei. Combinarea celor dou situaii a condus la analiza cazului mixt al valului oblic i respectiv la evidenierea a înc unei solicitri importante respectiv momentul de torsiune al navei. Aceast solicitare este esenial în cazul noilor tipuri de nave portcontainer respectiv navele cu deschideri mari în puni. O abordare net mai înaintat a aprut prin introducerea teoriei câmpurilor poteniale în studiul hidrodinamicii i prin dezvoltarea metodelor numerice (susinut de cea a tehnicii de calcul) care folosesc analiza curgerii fluidului în jurul conturului real, în acest fel se încearc surprinderea aspectul hidrodinamic. Teoria astfel dezvoltat, numit “strip theory” (metoda fâiilor), a cptat o mare amploare atunci când rezultatele prezentate în ea a fost în concordan cu experimentele. Dar aceast teorie ce se bazeaz pe ipoteze simplificatoare are dezavantajul c nu se aplic corpurilor a cror forma iese din prezumiile fcute. Azi din ce în ce mai multe soluii constructive pentru unele tipuri noi de nave nu se mai încadreaz în aceste forme. În plus, aceast teorie nu permite studiul în cazurile extreme de comportare a navei, cum nu este relevant nici pentru studiul solicitrilor locale, în special în zonele cu forme deosebite. 2.2. Probleme actuale Metoda “grinzii nav” este înc utilizat cu succes în proiectarea curent. Ca modalitate de studiu hidrodinamic, respectiv de obinere a sarcinilor pe corpul navei, “teoria fâiilor” în combinaie cu analiza spectral reprezint o metoda de proiectare ce ia în consideraie fenomenele mult mai aproape de realitate, respectiv curgerea reala a fluidului în jurul navei i condiiile reale de excitaie (prin considerarea spectrelor de val corespunztoare mrii reale).

13

Pe plan mondial exist îns tendina, în strâns corelaie cu creterea posibilitilor hardware în special, de studiu al rspunsului hidrodinamic al navei prin simulare direct. Aceste tendine se manifest prin prezena din ce în ce mai insistent în ultimul timp în publicaiile de specialitate precum i în cadrul proiectelor de cercetare iniiate de diverse instituii, a acestei tematici. Din punct de vedere al structurii s-au realizat pai mult mai substaniali prin apariia i intrarea în uz curent a Metodei Elementului Finit. Larga utilizare pe care a gsit-o aceast metod a condus la dezvoltarea i perfecionarea aplicaiilor software ce o folosesc, astfel încât ea poate fi considerat uzual în cadrul proiectrii moderne. Modelarea structurilor navale cu ajutorul acestei metode a ajuns la performana analizrii întregii nave constituit în elemente finite dar i la rafinri locale duse pân la nivelul cordonului de sudur de col. Etapele unei analizei cu Element Finit sunt:

a) realizarea modelului; b) determinarea sarcinilor ce se aplic structurii; c) aplicarea sarcinilor; d) obinerea i interpretarea rezultatelor globale; e) considerarea unor posibile rafinri a sarcinilor în zonele respective; f) obinerea i interpretarea rezultatelor locale.

Analizarea pailor mai sus numii conduce la constatarea ca în prezent paii b) i c) sunt mai slab susinui de metodele numerice apropiate de fenomen.

În prezent, în modelrile realizate cu Metoda Elementului Finit nu se considera influena oboselii, în special prin necunoaterea factorul de scar, a factorului amortizrii structurale sau a defectelor tehnologice. Totui se constat c, raportat la modelarea structurii, modelarea sarcinilor hidrodinamice, în special a celor locale, este mult mai puin înaintat. 2.3. Teoria fâiilor. Analiza spectral. Extinderea analizei în timp. Limitri. 2.3.1. Introducere Acest subcapitol nu îi propune prezentarea metodei fâiilor ci încearc doar s evalueze gradul de rezolvare a problemei pe care aceste metode l-au adus, precum i limitrile lor, datorate aproximaiilor pe care le implic i care motiveaz studiul de fa. În a doua seciune a acestui subcapitol se vor descrie pe scurt modalitile prin care pân acum s-a extins analiza sarcinilor aplicate structurilor navale în diverse intervale de timp, cât i critica fundamental ce se poate aduce respectivelor metodologii. Deoarece ne propunem o abordare succint, ne vom axa atunci când vom aborda metodologiile clasice, doar pe micrile simetrice. Aa cum am afirmat i în capitolul 2.1. primii pai în rezolvarea acestei probleme pornind de la premisele hidrostatice, au fost considerarea efectului Smith respectiv variaia presiunii în val i în profunzime, iar strâns legate de aceasta, influena rapoartelor între dimensiunile navei i cele ale valului. Noiunea de mase adiionale, în general de coeficieni hidrodinamici, prezent în ecuaiile mecanice ale sistemului nav, a cptat o folosin practic odat cu dezvoltarea teoriei curgerii poteniale i mai ales atunci când Lewis a adus un instrument facil de calculare a lor. Lewis a fundamentat prin ceea ce uzual se numesc “formele Lewis” metodologia de transformare a curgerii în jurul cilindrului unitar în curgerea în jurul unor seciuni mult mai complexe ce puteau fi asimilate cu seciunile transversale prin nav. Cu aceste unelte se putea determina suficient de precis micarea general a navelor care se încadrau în ipotezele de lucru. Principalele ipoteze sunt:

14

1) fluidul este considerat ideal (forele vâscoase sunt de câteva ordine de mrime mai mici decât celelalte fore ce intervin în ecuaiile micrii corpului);

2) curgerea este potenial; 3) nava are o form de corp simetric alungit L/B ≥ 6; lungimea valului mult mai mare

decât amplitudinea sa, λ>>h; 4) micrile navei sunt de mic amplitudine; 5) micrile nave pot fi împrite în dou grupe distincte: micrile simetrice (micarea

de înaintare, micarea de oscilaie vertical i micarea de tangaj) i micrile nesimetrice (micarea de deriv lateral, micarea de ruliu i micarea de giraie). Se consider c o component a unei grupe nu influeneaz micrile celeilalte grupe (cele dou grupe sunt decuplate între ele)

6) nava este considerat rigid (nedeformat i fr s vibreze); 7) atât potenialele cât i ecuaia diferenial de micare i presiunea sunt liniarizate.

Utilizând ipotezele de mai sus se creeaz premiza analizei unor zone cilindrice, nava

fiind considerat reuniunea unor astfel de zone. Pentru fiecare astfel de zon se determin coeficienii micrii. Aceti coeficieni ai fiecrei fâii sunt integrai pe lungimea navei obinându-se astfel coeficienii globali. Cu ajutorul coeficienilor globali se calculeaz micarea navei i forele ce acioneaz asupra întregii structuri. Ceea ce trebuie remarcat, în afara aproximrilor i liniarizrilor fundamentale ale metodei, este faptul c sarcinile care se aplic unei structuri locale nu se regsesc. O astfel de abordare nu rspunde de exemplu problemei rezistenei la oboseal a longitudinalelor de bordaj ca urmare a variaiilor de imersiune ale navei. Soluia const în determinarea potenialului de viteze care guverneaz curgerea în fâiile reprezentative ce definesc respectiva geometrie local, obinerea vitezelor i folosirea ecuaiei lui Bernoulli pentru aproximarea câmpului de presiune. Potenialul de viteze, cuprinde în expresia sa atât o component dependent de form, cât i un factor armonic complex, care încearc s surprind dependena de timp i de frecvena excitrii, (excitaia considerându-se a fi valurile regulate sinusoidale - armonice). O astfel de abordare are dou implicaii:

a) apare ca esenial existena unei metode prin care s se realizeze transferul studiului de la excitaiile cu frecvene punctuale ctre fenomenul continuu al mrii reale;

b) pentru rezolvarea efectiv a problemei sunt necesare o serie de ipoteze simplificatoare.

2.3.2. Formulare Cadrul general al acestei teorii presupune ca: nava este rigid, are simetrie bilateral i avanseaz cu viteza constant în valuri regulate sinusoidale pe o direcie oarecare într-un acvatoriu nelimitat ca adâncime i întindere. Chiar i din aceste premize analiza este restrâns. Ipoteza navei rigide ne permitem s o meninem pentru c a renuna la ea ar însemna atingerea unor complicaii care nu reprezint scopul lucrrii de fa. Nava vibrant, studiat prin intermediul distribuiei de presiuni pe corpul ei, ar putea fi un subiect demn de aprofundat în alte astfel de lucrri. Ipotezele simetriei bilaterale precum i a vitezei constante pot fi îns înlturate într-un eventual studiu de simulare chiar dac în cadrul teoriei de fa simplific lucrurile. Se mai fac i alte ipoteze: a) micrile navei în sistemul de axe proprii sunt micri oscilatorii armonice în expresie liniar sau liniarizat,

15

b) vâscozitatea fluidului se consider neglijabil deoarece forele dinamice sunt cu circa trei ordine de mrime superioare forelor vâscoase, deci micarea fluidului se consider potenial, existând un potenial total de viteze ce satisfac ecuaiile clasice:

∆Φ=0 nun

=∂

∂φ pe suprafaa navei, unde:

n= normala la suprafaa navei; u= viteza respectivului punct de pe nav,

p

tgz

ρ

∂φ

∂

φ= +

∇+

2

2, unde z= distana pe vertical între S.L. i punctul în cauz în

dreptul respectivului punct.

Pe S.L. pt

gz= = +∇

+02

2∂φ

∂

φ, unde: z= elevaia S.L. în funcie de x si y.

Potenialul de vitez se constituie dintr-o component constant datorat înaintrii navei (perturbrii fluidului de ctre corpul navei) i o component dependent de timp asociat sistemului de valuri incidente i în funcie de micarea (oscilaia) corpului în valuri: φ ( r ,t) =[ -Uo x+ φs ( r )] + φT ( r )exp[iωt] Aceast descompunere evideniaz dou ipoteze din formularea cadrului general: viteza constant (prin intermediul Uo) i valurile sinusoidale regulate (prin intermediul pulsaiei acestora ω). c) geometria navei este suficient de neted astfel încât atât potenialul constant de perturbaie (φs), cât i potenialul variabil (φT), împreun cu derivatele lor sunt mici, derivatele superioare i termenii încruciai putând fi ignorai, fiind foarte mici. Mai mult chiar termenul variabil φT se descompune liniar sub forma:

=

++=6

1j

jjDIT φηφφφ

unde φi este potenialul valului incident peste care se suprapune potenialul de difracie φD în scopul surprinderii efectului prezenei corpului navei în ap în poziia de echilibru, nemicat. În plus pentru compensarea efectelor ignorate prin φD se adaug i potenialele radiante unitare φj, ponderate de deplasrile centrului de greutate ale navei ηj. Aceste poteniale încearc s surprind efectul micrilor navei într-un fluid în care nu exist potenial incident. Aceast ipotez conine un cumul de liniarizri. Ipoteza micilor valori pentru φs, φT i pentru derivatele lor, devine inoperant atunci când micrile navei devin ample, respectiv când se încearc renunarea la ipoteza a) sau atunci când excitaia este de mare amplitudine. În aceste cazuri i descompunerea liniar a potenialului φT în vederea aplicrii superpoziiei fenomenului de difracie i radiaie, devine nerecomandat. Evitarea unor astfel de liniarizri i descompuneri elaborate, apare ca necesar atunci când prin simulare numeric fenomenul i-ar urma cursul nealterat. d) o alt ipotez liniarizatoare este aceea prin care presiunea se dezvolta în serie Taylor în jurul poziiei medii neperturbate a corpului i se liniarizeaz reinând doar termenii de prim ordin pentru φs si φT, obinându-se în final:

( ) ( )tixyx

Uip T ⋅⋅

⋅−⋅++

−⋅−= ωηηηφ

∂

∂ωρ exp*543

unde primul grup reprezint componenta hidrodinamic a presiunii, iar cel de-al doilea reprezint componenta hidrostatic, variaia în timp a presiunii fiind armonica cu pulsaia excitaiei valului sinusoidal regulat (dar defazat fa de val). Este evident c problema profund liniarizat, este rezolvat dac se determin potenialul φT. Precum s-a afirmat mai sus, potenialul φT se descompune într-un potenial incident cunoscut i potenialele de difracie i radiante φD i φj. Aceste poteniale depind deja de forma navei, de excitaie i de viteza de avans, iar abordarea calculului lor se face cu teoria

16

modificat a seciunilor. Scopul acestei teorii este de a simplifica calculul hidrodinamic reducând problema de la tridimensional la bidimensional, respectiv de la o integral pe suprafaa (3D), la o integrala contur (sau pe fâie - respectiv pe o suprafa 3D în care una din dimensiuni, cea paralel cu axa global ox, are o dimensiune constant). Pentru problema distribuiei de presiuni aceast teorie aduce aceeai simplificare: presiunile se obin doar pe câte o fâie a navei (transversal i cu extindere dξ), din potenialul plan “ataat” respectivei fâii (în locul abordrii globale a presiunilor pe tot corpul navei ca derivând dintr-un potenial spaial). Dar aceast abordare implic ipoteze simplificatoare suplimentare, cum ar fi: e) B,d << L , deci corpul este lung i subire, astfel încât putem afirma c fâia este o zona cvasicilindric în raport cu axa longitudinal, din suprafaa navei mrginit de dou seciuni transversale. f) se simplific condiia de suprafa liber considerând c frecvena de întâlnire nu este înalt, altfel spus λ ≈ L. În acest mod ecuaia Laplace în condiii de suprafaa liber 3D se reduce la ecuaia Laplace 2D prin considerarea la limit a problemei cilindrului oscilând la suprafaa liber a apei.

Astfel ecuaiile de S.L. ce includ jx

Ui φ∂

∂ω

2

−⋅ , în condiiaω

∂

∂>>

U

x i folosind

egalitatea ( ) jji φωφω 22−=⋅⋅ , vor avea forma 02 =⋅+⋅− jj

zg φ

∂

∂φω .

Rezolvarea problemei cilindrului mai introduce nite limitri importante respectiv: → domeniul de fluid s fie infinit; → valurile s se propage la infinit având amplitudine constanta ξa ceea ce reduce

posibilitatea de studiu a problemei în cazuri cu acvatorii limitate (adâncime limitat, maluri apropiate, combinaii ale acestor factori, etc.);

→ reînnoiete limitarea amplitudinii micrilor în raport cu dimensiunile seciunii. În cazul de fa, interesul focalizându-se spre micrile simetrice, (verticale); potenialul plan al micrii verticale este compus dintr-o surs aflat în originea sistemului de axe i o serie de poteniale multipolare:

( ) ( )

⋅⋅−

+

⋅

⋅=

∞

=

tiCg

m

H

m

H

m

H

SRaH

tr ωφφωπ

ηφ θ exp**Re

122,,

Expresiile matematice ale acestor poteniale sunt cunoscute din literatura de specialitate. Coeficienii C m

H

2 sunt în aa fel determinai încât s satisfac condiiile la limit pe cilindru. Particularizând formula de mai sus pentru r = 1 (cilindrul unitar) se obine potenialul pe conturul cilindrului: ( )tH

B ,,1 θφ , care introdus în formula Bernoulli conduce la determinarea câmpului de presiune.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tNtMg

tHHaH

B ⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅= ωθωθ

ωπ

ηθφ cos,1sin,1,,1 unde:

( ) ( ) ( )∞

=

+=1

22 ,1,1,1m

H

m

H

m

H

SIN

HqM θφθφθ

( ) ( ) ( )∞

=

+=1

22 ,1,1,1m

H

m

H

m

H

COS

HpN θφθφθ

Funciile H

SINφ , H

COSφ si H

m2φ sunt indicate în literatura de specialitate. Constantele q m

H

2

si p m

H

2 sunt determinate în funcie de forma seciunii prin metoda celor mai mici ptrate, seria generat de indicele m fiind trunchiat la o valoare finit acceptabil în funcie de complexitatea seciunii. Aceast metodologie se numete metoda formelor Lewis.

17

În ecuaia lui Bernoulli, considerat fr termenul hidrostatic, se are în vedere într-o prim aproximaie, c ponderea energiei cinetice în fora hidrodinamic este redus în raport cu

componenta t∂

∂φ (ceea ce reprezint o liniarizare) astfel încât presiunea dinamic se deduce

ca: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tNtMT

gt

ttpp

HHa

H

BH

B ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

−=−== ωθωθηρ

θ∂

∂φρθ sin,1cos,1,,1,,1

2.3.3. Analiza spectral. Extinderea analizei în timp. Adugând termenul hidrostatic la presiunea dinamic exprimat anterior se determin presiunile pe corpul navei. Odat obinute presiunile pe corpul navei, calea analizei structurale (analizei rezistenei locale i generale i a rezistenei la oboseal) este deschis. Se pot calcula tensiunile ce apar în structuri pentru valuri sinusoidale regulate de diferite frecvene putându-se astfel determina funcia de transfer a sistemului. Folosind apoi spectre pe termen scurt, recomandate de reguli sau caracteristice zonelor care se doresc a fi parcurse, se estimeaz rspunsul structurii pe termen scurt, obinându-se valorile medii ale acestui rspuns, valorile maxime semnificative, depirile unor valori de interes i frecvena acestor depiri. O alta variant ar fi ca funcia de transfer folosit s se refere doar la presiuni, iar rspunsul structurii s fie estimat pentru valorile semnificative ale spectrului presiunilor. Prima variant ofer îns o informaie mult mai cuprinztoare asupra fenomenului. Trebuiesc subliniate îns dou aspecte importante:

→ rspunsul cinematic i dinamic al structurii pentru aceeai frecven a excitaiei trebuie s fie o funcie liniar de amplitudine pentru a permite suprapunerea efectelor. De asemenea, se presupune c rspunsul navei la orice component individual a valului este independent de rspunsul ei la celelalte componente; → spectrele de intrare i de ieire vor fi considerate ca spectre de banda îngust, separându-se astfel zona de oscilaie a navei de zona de frecvene a vibraiilor corpului.

În cadrul analizei pe termen lung se ia în consideraie i probabilitatea întâlnirii unor stri individuale ale mrii (furtuni extreme sau hule ale cror caracteristici s fie puternic dependente de zon). Totui societile de clasificare dau indicaii mult mai clare asupra spectrelor marii folosite in analiza pe termen lung. Referina [108.2] indic spectrul Atlanticului de Nord ca fiind cel mai indicat pentru analiza pe termen lung. Analiza spectral pe termen lung ine cont i de urmtoarele aspecte:

- unghiul de întâlnire val-nav; - durata de via a navei; - cazurile de încrcare tipice ale navei.

Putem spune c unghiul de întâlnire val-nav este în strâns corelare cu spectrul mrii în sensul c depinde de ruta de navigaie care determin i marea considerat. Durata de via a navei reprezint o dat de intrare de baz în proiectarea preliminar a navei iar cazurile de încrcare tipice depind în special de tipul navei. De aici rezult c toi aceti parametri ai analizei spectrale sunt determinai probabilistic. Combinaiile între spectrele mrii, unghiul de întâlnire i cazurile de încrcare, estimate pentru durata de via a navei, conduc la spectre de rspuns pariale care însumate dau rspunsul pe termen lung. [108.2] recomand ca distribuiile de tensiuni pe termen lung pentru diverse structuri semnificative ale navei s fie calculate distinct deoarece tensiunile medii estimate sunt distincte pentru fiecare din ele. De asemenea se recomand i o extrapolare a fiecrui caz de încrcare în sensul considerrii unei durate ipotetice de apariie a cazurilor de încrcare egal cu durata de via a navei. În acest mod se consider c se pot compara mai bine cazurile de

18

încrcare, se pot evalua efectele cazurilor intermediare i de asemenea se pot evalua mai bine i condiiile critice de încrcare. Mai trebuie îns subliniat faptul c analiza spectral nu este legat doar de metoda feliilor pentru determinarea micrilor navei i a solicitrilor hidrodinamice. Aceast metod poate fi folosit în mod similar i în corelaie cu studiul rspunsului navei în domeniul spaiu-timp. Acest tip de studiu nu a fost dezvoltat suficient pân în prezent tocmai din cauza slabei dezvoltri a metodelor de analiz în domeniul spaiu-timp. 2.3.4. Concluzii asupra abordrii prin teoria fâiilor Metoda fâiilor a reprezentat un pas înainte în studiul solicitrilor dinamice ale navei, apropiindu-se incomparabil mai mult de fenomen decât metodele anterioare. Dar i aceast metoda îi are limitrile sale, tocmai datorit ipotezelor simplificatoare i liniarizrilor menite s faciliteze calculul. În momentul de fa aceast metod reprezint standardul mondial competitiv în analiza hidrodinamicii navale. Marile limitri ale metodei sunt îns:

a) aplicabilitatea ei cu mare succes numai la navele fr forme complicate; b) aplicarea dificil în cazul navelor multi corp, nave care reprezint una din cele mai

noi tendine pe plan mondial; c) limitarea micrilor navei i a amplitudinii excitaiei la valuri mici raportate la

seciunea navei. Aceast limitare este în general nerealistic pentru micarea de oscilaie vertical i micarea de ruliu;

d) slaba capacitate de modelare numeric a presiunilor la capetele grinzilor navei; e) liniarizrile fcute atât în expresiile potenialelor i a derivatelor acestora cât i în

exprimarea presiunilor pe corpul navei; f) studiul separat al micrilor simetrice i nesimetrice în baza decuplrii sistemului

general al cinematicii navei; g) capacitatea finit de descriere a contururilor seciunilor cea ce poate conduce,

conform referinei [68] pag.63, la erori între 50 i 100 % în aprecierea solicitrilor hidrodinamice;

h) imposibilitatea de a studia aceeai problematic în situaia acvatoriilor finite. Aceste neajunsuri par a fi suficient de concludente în vederea susinerii demersului viitor al acestei lucrri. Viitorul este al metodelor care bazându-se pe impresionanta for de calcul ce se nate, simuleaz în condiii din ce în ce mai exacte, realitatea. 2.4. Metodologia aplicrii teoriei fâiilor Vom prezenta metodologia uzual de aplicare a teoriei fâiilor pentru micrile navei care sunt studiate în aceast lucrare. Deoarece studiul este efectuat în 2D micrile ce sunt evideniate sunt deriva lateral, oscilaia vertical i ruliul. Micarea de deriv lateral este surprins doar în cazul oscilaiei de ruliu liber (capitolul 5.2.2) i în cazul excitrii corpului de ctre un val generat de o pal. În marea parte a studiului aceast micare este blocat din considerente ce in de comparaia cu experimentul dar i datorit faptului real c deriva lateral nu este dorit i de aceea este compensat prin aciunea cârmei. Conform ipotezelor teoriei fâiilor, coeficienii de interaciune a micrii de oscilaie vertical i ai micrii de ruliul sunt mici raportai la ceilali coeficieni ce descriu micrile navei. Din acest motiv, în metodologia practic, uzual, ecuaiile generale ale oscilaiilor pe direcia acestor micri se decupleaz.

19

2.4.1 Oscilaia vertical Ecuaia general a micrii verticale este:

( ) ( ) ( ) 03333 =−⋅⋅+−+−+⋅∆ vwvv zzAgzzNzzMz ρ unde:

- ∆ = deplasamentul corpului - M33 = masa adiional de ap antrenat în micare - N33 = coeficientul de amortizare - Aw = aria seciunii orizontale din dreptul liniei de plutire - z = amplitudinea instantanee a micrii verticale a corpului - zv = amplitudinea instantanee a valului

Separând termenii ce conin micarea navei de cei care conin micarea apei se obine ecuaia de oscilaie pe vertical a navei în coordonate absolute:

( ) vwvvw zAgzNzMzAgzNzM ⋅⋅⋅++⋅=⋅⋅⋅++⋅+∆ ρρ 33333333

Considerând s= z-zv ca fiind micarea relativ a navei fa de ap se obine ecuaia de oscilaie pe vertical a navei în coordonate relative:

( ) vw zsAgsNsM ⋅∆−=⋅⋅⋅++⋅+∆ ρ3333

Considerând valul ca fiind sinusoidal, dat de legea ( )trz vv ωcos= , i notând:

- az = ∆+M33; - bz = N33; - cz = ρgAw

expresiile de mai sus se pot prelucra obinându-se: a) ecuaia de oscilaie pe vertical a navei în coordonate absolute:

( ) ( )zzzvzzz tbMcrzczbza βωωω ++−=⋅+⋅+⋅ cos222233

unde βz este defazajul între fora perturbatoare rezultat pe nav i micarea valului b) ecuaia de oscilaie pe vertical a navei în coordonate absolute:

( )trscsbsa vzzz ωω cos⋅⋅∆⋅=⋅+⋅+⋅

Soluiile stabilizate ale acestor ecuaii sunt de forma: ( )za tzz εω −⋅= cos respectiv

( )sa tss εω −= cos unde ε reprezint defazajul între rspunsurile respective ale navei i

micarea valului iar za respectiv sa amplitudinile oscilaiilor calculate cu relaiile:

( )

( ) 2222

222233

4 ωνω

ωω

zzz

zzv

a

na

bMcrz

+−

+−= respectiv

( ) 2222 4 ωνω

ω

zzz

v

a

na

rs

+−

∆= unde

zzz ab=ν2 iar zzz acn =2 . Rapoartele va rz i va rs se numesc rapoarte de amplificare ale rspunsurilor navei.

Precum se poate observa, rapoartele de amplificare ale rspunsurilor navei sunt independente de amplitudinea excitaiei. Necunoscutele acestei modelri au fost masele adiionale i coeficientul de amortizare. Metoda fâiilor propune utilizarea pentru calculul acestor termeni a rezultatelor obinute

20

analitic pentru un cilindru unitar infinit lung care se mic armonic în ipoteza micilor oscilaii, cu pulsaia ω, într-un fluid cu suprafa liber. Transpunerea modelului analitic la realitate se face printr-o transformare conform uzual numit dup cel care a fundamentat-o metoda formelor Lewis. Prin aceast metodologie coeficienii maselor adiionale i de amortizare se exprim în funcie pe ω, dimensiunile de gabarit ale seciunii (B i d) i coeficientul de finee al acesteia. În cazul micrii verticale M33= c33ρπB²/8 iar N33= λ33ρωB²/4. Ambii coeficieni adimensionali c33 i λ33 sunt obinui din tabele prin interpolare liniar în funcie de urmtorii parametri: c1= ω²d/g c2= 2d/B c3= CT= A/(Bd). Aceti parametri prezentai tabelar, au fost calculai folosindu-se metoda formelor Lewis. Dac pentru studierea unei micri parametrii cureni calculai nu se încadreaz în limitele parametrilor tabelai atunci se pot realiza extrapolri chiar dac acestea nu sunt recomandate. Din experiena practic a autorului extrapolrile sunt necesare în general în cazul seciunilor din extremitile navei aa cum era i de ateptat ca urmare a limitrilor metodei. Atunci când toate ipotezele simplificatoare pot fi acceptate, metoda de calcul este simpl din punct de vedere aplicativ. Pe scurt aceasta are urmtoarele etape:

- se divide corpul în fâii transversale încercându-se ca acestea s aproximeze zone cilindrice;

- cunoscându-se pulsaia excitaiei ω i parametrii fiecrei seciunii se calculeaz coeficienii maselor adiionale i de amortizare;

- se integreaz aceti coeficieni pe lungimea corpului obinându-se coeficienii globali ai micrii;

- se rezolv ecuaia micrii (absolut sau relativ) obinându-se parametrii ce intereseaz. În general se urmrete obinerea raportului de amplificare din care se obine, prin ridicare la ptrat, componenta corespunztoare pulsaiei ω a spectrului de transfer.

2.4.2 Ruliul Ecuaia general a ruliului are forma:

( ) ( ) ( ) 04444 =−⋅⋅∆⋅⋅+−+−+⋅ αφραφαφφφ rrrr hgNMJ unde:

- Jφ = momentul masic de inerie al corpului - M44 = masa adiional de ap antrenate de micare de ruliu - N44 = coeficientul de amortizare la ruliu - h = înlimea metacentric - φr = unghiul de ruliu în coordonate absolute - α = panta instantanee a valului. Are amplitudinea α0= 2π*rv/λ

Din aceast expresie se observ c termenul de redresare este calculat în ipoteza micilor oscilaii fapt care în general nu este corect. Folosind ca i în cazul oscilaiei verticale ipoteza valului armonic i notând:

- aφ = Jφ + M44; - bφ = N44; - cφ = ρg∆h - ψ = unghiul de ruliu relativ = φr - α se obine:

a) ecuaia ruliului în coordonate absolute este:

21

( ) ( )φφφφφφφ βωωωαφφφ ++⋅−=⋅+⋅+⋅ tbMccba rrr cos2222440

unde

βφ este defazajul între momentul perturbator ce acioneaz asupra navei i val b) ecuaia ruliului în coordonate relative este:

( )tJcba ωωαψψψ θφφφ sin20 ⋅=⋅+⋅+⋅

Soluiile stabilizate ale acestor ecuaii sunt de forma: ( )φεωφφ −⋅= tar cos respectiv

( )ψεωψψ −= ta cos unde ε reprezint defazajul între rspunsurile respective ale navei i

panta valului iar φa respectiv ψa amplitudinile oscilaiilor calculate cu relaiile:

( )

( ) 2222

2222440

4 ωνω

ωωαφ

φφφ

φφ

+−

+−=

na

bMca respectiv

( ) 2222

2

4 ωνω

ωαψ

φφφ

θ

+−=

na

Ja unde

φφφν ab=2 iar φφφ acn =2 .

Rapoartele 0αφa i 0αψ a se numesc rapoarte de amplificare ale rspunsurilor

navei. Precum se poate observa, i în cazul ruliului, rapoartele de amplificare ale rspunsurilor navei sunt independente de amplitudinea excitaiei. Calculul coeficienilor M44 i N44 se face în funcie de coeficienii tabelari c44 i λ44 astfel: M44= c44ρπd4 iar N44= λ44ρωd4. Coeficienii adimensionali se calculeaz din tabele în funcie de parametrii c1, c2, c3 descrii la oscilaia vertical. i în acest caz necesitatea extrapolrii pentru calculul coeficienilor indic deficiene de modelare. Etapele rezolvrii sunt identice cu cele prezentate pentru cazul oscilaiei verticale. Ptratul raportului de amplificare se numete operatorul rspunsului în amplitudine al navei pentru respectiva micare. Calcularea acestui operator pentru diferite pulsaii ω ale excitaiei, este esenial pentru estimarea rspunsurilor medii statistice ale navei la diferite spectre de mare real. Una din ipotezele fundamentale ale analizei spectrale este c rspunsul navei la oricare component individual a valului este o funcie liniar de amplitudinea acestei componente. Astfel dac amplitudinea valului se multiplic cu x se ateapt ca i rspunsul s se multiplice cu x. Aceast ultim ipotez, împreun cu ipoteza decuplrii micrii de oscilaie vertical de cea de ruliu se vor dovedi îns a nu fi valabile decât în cazul micilor oscilaii i uneori nici atunci (ca în cazul apariiei ruliului parametric), demonstrând necesitatea realizrii unor studii care s surprind mult mai corect fenomenele.

22

Capitolul 3. Modelarea numeric a micrilor fluidului i ale navei 3.1. Ecuaiile ce guverneaz fenomenul

Chiar de la început este necesar s precizm premizele eseniale ale actualului studiu: fluidul se consider incompresibil si nevâscos; curgerea se consider potenial; corpul navei se consider a fi rigid.

Micarea fluidului se face în cadrul domeniului D. Domeniul D este mrginit de urmtoarele frontiere: frontiera amonte – considerat uzual frontiera stâng prin care se realizeaz excitarea

fluidului (atunci când este cazul) ; frontiera aval – considerat uzual frontiera dreapt prin care fluidul prsete domeniul D

(atunci când este cazul) ; frontiera inferioar – fundul domeniului; frontiera superioar – constituit din dou subfrontiere: suprafaa liber i suprafaa

corpului (atunci când este cazul). Sistemul de coordonate pe care îl vom folosi în continuare este definit astfel:

originea sistemului de axe este în punctul de intersecie al frontierei amonte cu frontiera superioar;

axa x este orizontal i are sensul pozitiv de la stânga la dreapta; axa y este pozitiv în sus; axa z este pozitiv definit astfel încât oxyz s fie un sistem de coordonate drept. Curgerea fluidului va fi descris cu ajutorul unui potenial de viteze. Acest potenial va satisface ecuaia de continuitate - ecuaia Laplace, respectiv ∆φ = 0. Aceast ecuaie nu este îns suficient pentru determinarea micrii fluidului. Mai sunt necesare i condiiile la limit.

Pe suprafaa liber a fluidului vor fi îndeplinite : a) condiia cinematic - componenta vertical a vitezei unei particule ce aparine S.L., trebuie s fie egal cu viteza de ridicare a acestei suprafee:

23

( ) VVV

zzz V

tDt

D

zV

V

V

ηηηφ

ηη

∇⋅+∂

∂==

∂

∂=

==

respectiv

VV z

VVVV

z zzyyxxtzηη

φηφηφηηφ

== ∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂pentru cazul general 3D.

Exprimarea de mai sus a condiiei cinematice este strâns legat de valul liniar sau valul de amplitudine mic. Într-o exprimare general condiia cinematic este identic cu ecuaia de

micare liber a unei particule de fluid în domeniul D de fluid: Dt

Dx

x=

∂

∂φ,

Dt

Dy

y=

∂

∂φ,

Dt

Dz

z=

∂

∂φ (cazul 3D)

b) condiia dinamic pe S.L. - presiunea pe S.L. este constant i egal cu presiunea atmosferic po (considerat uzual = 0).

Din expresia general a ecuaiei lui Bernoulli ( )

02

2

=⋅+++ zgpV

t ρ∂

∂φ,pentru cazul

suprafeei libere pe care: z V= η , p=p0=0 i pentru cazul fluidului potenial pentru care:

V = ∇φ se obine:

( )

Vz

zgt

η

φ

∂

∂φ

=

=⋅+∇

+ 02

2

(b.1)

Folosind condiia cinematic Dt

D

z

V

z V

η

∂

∂φ

η

==

prin derivata în timp se obine forma:

( )

VztDt

D

zg

η

φ

∂

∂φ

∂

∂φ

=

=

∇++ 0

2

2

(b.2)

Uzual se folosete forma (b1), forma (b2) introducând o ecuaie diferenial de ordinul doi în domeniul timp. Multe abordri mai vechi folosesc i (b2), liniarizând-o sub forma

gz t

∂φ

∂

∂ φ

∂+ =

2

2 0 i chiar mai mult, presupunând c potenialul φ poate fi descompus într-o

component spaial i o component de timp cu expresie armonic (deci ( ) tier

⋅⋅⋅= ωφφ 0 ), se

ajunge la ecuaia: 0020 =⋅− φω

∂

∂φ

zg . Aceste abordri sunt legate astfel i de ipoteza micilor

oscilaii, deci de un întreg set de ipoteze simplificatoare ce se dorete a fi depit. Din aceste motive se consider c folosirea ecuaiei (b1) este metoda optim de abordare a condiiei dinamice. Aceast abordare implic îns folosirea unei necunoscute în plus fa de câmpul de viteze φ, respectiv a câmpului de elevaii ale suprafeei libere η, asimilat i cu coordonata global z corespunztoare punctelor suprafeei libere.

O alt condiie este cea de pe frontierele solide ce mrginesc acvatoriul (pereii,

malurile, generatorul de val) sau se gsesc în acvatoriu (nava). Aceast condiie înseamn fizic c fluidul nu trebuie nici s strpung frontiera solid, dar nici s creeze “goluri” de materie în preajma ei, deci cu alte cuvinte proieciile pe normala la suprafaa solid atât a vitezei fluidului în punctele adiacente frontierei cât i a vitezei punctelor de pe frontier, s fie

egale: nVn

⋅=∂

∂φ, unde n este versorul normalei la suprafa, iar V este viteza de deplasare

a frontierei solide.

24

Aceste ecuaii reprezint ecuaiile ce descriu comportarea fluidului. La ele se adaug ecuaiile ce descriu micarea navei, respectiv în cazul studiului de fa micrile de oscilaie vertical, micarea de deriv lateral i micarea de ruliu. Deoarece nava este considerat ca fiind un corp rigid, micarea ei va fi bine definit de evoluia poziiei centrului de greutate fa de un sistem fix de coordonate legat de pmânt i respectiv de rotaia liniei de baz fa de axa orizontal a sistemului fix, notat cu φ. Astfel ecuaiile navei sunt :

a) ecuaia de echilibru a forelor pe orizontal xextxG FFx +=⋅∆ ,

b) ecuaia de echilibru a forelor pe vertical zextzG FgFz +⋅∆−=⋅∆ , respectiv

c) ecuaia de echilibru a momentelor extr MMJ +=⋅ φφ φ unde,

∆ = deplasamentul (masa global) a navei; g = acceleraia gravitaional;

Jφ = momentul masic de inerie al navei fa de axa longitudinal care trece prin centrul ei de greutate;

Fxext, Fzext, Mext sunt fore i momente exterioare aplicate corpului Fx, Fz si Mφ sunt tocmai forele hidrodinamice obinute din integrarea distribuiei de presiuni pe care suntem interesai s o determinm:

⋅⋅=uS

uxx dsnpF ⋅⋅=uS

uzz dsnpF ( )[ ] u

S

G dsnxxpM

u

−⋅= xφ unde,

Su= suprafaa udat = Su(t) Termenul p reprezint presiunea fluidului care se exercit pe corpul navei. Aceast presiune se calculeaz utilizând ecuaia general a lui Bernoulli. Determinarea corect a câmpului de presiuni pe corpul navei trebuie s in seama simultan de aceste dou aspecte: curgerea fluidului i respectiv micrile navei. De aici se poate extrage o caracteristic principal a algoritmilor pe care se vor mula metodele numerice de simulare: este necesar ca aceti algoritmi s cuprind o secven prin care s se realizeze evaluarea evoluiei fluidului, în special a suprafeei libere, i o secven care s realizeze acelai lucru pentru evoluia corpului, urmând ca rezultatele furnizate de cele dou secvene s fie corelate sau aduse la convergen de ctre o a treia. 3.2. Analiza principial i algoritmic a fenomenului Înainte de a studia principial i algoritmic fenomenul interaciunii fluid - nav, s analizm pentru început fenomenul curgerii fluidului. În timp, studiul curgerii fluidului s-a fcut în baza a dou metode: metoda Euler i metoda Lagrange. Metoda Euler este cea la care abordarea clasic în mecanica fluidelor face cele mai multe referiri, metoda Lagrange fiind considerat greoaie i ineficient. Metoda Euler consider c studiul fluidului trebuie fcut într-o reea de puncte fixe caracteristice, în care pot fi determinate presiunea instantanee i vectorul vitez. Metoda Lagrange consider c studiul fluidului trebuie fcut prin urmrirea evoluiei particulelor, deci prin construirea traiectoriilor acestora, obinute prin integrarea în timp a vitezelor instantanee a particulelor. Într-adevr, din punct de vedere al problemelor clasice de mecanic a fluidelor, reprezentate în special de curgerile în spaii clar delimitate i complet umplute de fluid (deci fr S.L.), inclusiv cazul curgerilor nestaionare, metoda Euler este deosebit de eficace, reeaua de puncte de studiu fiind bine definit i constituit. Problemele cu suprafa liber creeaz îns dificulti, în abordarea cu metoda Euler. Un excelent material bibliografic în argumentarea pro i contra a acestor probleme i metode, îl constituie referina [4].

25

Din pcate se pare c nici abordarea pur Lagrangean nu este o soluie, datorit apariiei fenomenelor de “clustering”, (fenomenul de adunare a punctelor), sau la polul opus fenomenul de spaiere (în alte zone), ceea ce duce, în ambele cazuri la inducerea de neuniformiti nepermis de mari în descrierea suprafeei libere, neuniformiti ce duc la instabilitatea reelei. Aceste fenomene ce par a avea suport fizic, dar care au un aspect numeric dezavantajos, sunt agravate de acumularea cu efecte catastrofale a erorilor numerice în zonele cu gril puternic deformat.

Soluia poate fi o metodologie hibrid Euleriano – Lagrangean. Aceast metod const în folosirea ecuaiilor Euler pentru aflarea caracteristicilor fluidului în puncte nu atât fixe cât bine determinate (cu alte cuvinte bine cunoscute pentru un timp t), urmat de determinarea noii extinderi a frontierelor domeniului D prin integrarea acestora în timp, în sensul Lagrange.

Aceast metoda are la rândul su dou variante: 1) integrarea în timp a micrilor particulei complet libere; 2) integrarea în timp a micrilor pe vertical (aceast variant este intermediar între

metoda Eulerian i Lagrangean deoarece nici nu se construiete S.L. prin deplasarea liber a particulelor din ea, dar nici nu se limiteaz la a studia un punct fix ce poate fi pe S.L. în fluid sau în afara fluidului). Aceast abordare este folosit în referina [92] i în referina [50], în aceasta din urm, fiind menionat ca o posibilitate particular ce uureaz mult calculul.

În alte lucrri bibliografice, noua geometrie a S.L. este determinat pe baza vitezelor

particulelor (deci varianta 1) urmat îns de o reconstituire a divizrii domeniului, tocmai pentru a evita problemele numerice ce pot apare. Dealtfel i în [92] se menioneaz o astfel de procedur legat în special de zona de fluid din apropierea corpului (i pentru zona de pe corp aa cum se va vedea), dar dup un numr de pai fcui direct. Integrarea în timp a S.L. se poate face, în conformitate cu referinele bibliografice prin: a) avansarea soluiei în timp cu o metod tip ABM (predictor - corector) pornindu-se de la o

estimare i ciclarea pân la convergen; b) integrarea cu o metod tip Runge - Kutta; c) metode directe de integrare a micilor variaii calculate prin rezolvarea sistemelor liniare

obinute prin dezvoltarea în serie a ecuaiilor guvernante a fenomenului ([62]); d) folosirea metodei Newton Rapson pentru determinarea evoluiei mrimilor implicate în

fenomen ([34], [35]) combinaie între dezvoltarea în serie i ciclarea pân la convergen).

Trebuie subliniat un aspect extrem de important, respectiv evidenierea a dou componente distincte (dar nu i independente) ale problemei.

Cele doua componente sunt marcate explicit sau implicit (prin modul de abordare a

problemei generale) în referinele [92], [50], [8], [10], [89]. Le vom identifica folosind denumirile date în [89] respectiv [8]: subproblema cinematic sau problema pur spaial constând în rezolvarea curgerii

pentru un domeniu bine fixat, având o geometrie a S.L. bine cunoscut;

problema pur dinamic sau de determinare a evoluiei temporale a curgerii i respectiv

noua geometrie a suprafeei libere. inând cont de aceste subprobleme, se extrage o caracteristic de principiu a algoritmului pentru rezolvarea problemei curgerii fluidului (conform referinei [8] chiar i în interaciune cu nava), respectiv: se rezolv mai întâi ecuaia Laplace - care este o problem pur spaial i folosind rezultatele acestei rezolvri, se determin atât evoluia fluidului cât i a corpului prin una din metodele enunate.

26

Un alt aspect important al acestei problematici o constituie calculul termenului ∂φ/∂t. Este demn de reinut c în cazul S.L. termenul ∂φ/∂t nu este un termen care ne intereseaz s fie calculat în mod explicit. Acest termen, alturi de ∂ηv/∂t, sau mai general vectorul tx ∂∂ (unde x reprezint versorul particulelor de pe S.L.), particip la vectorul derivatelor de timp ale caracteristicilor S.L. prin a cror integrare în timp se determin complet S.L., atât ca geometrie cât i ca distribuie a potenialului de viteze (deci a vitezelor). Apare astfel o consecin extrem de interesant: valurile sunt produse pe suprafaa apei ca urmare a presiunii dinamice creat de curenii de aer (po)dinamic ≠ (po)static = 0 i care conduce la apariia unui ∂φ⁄∂t ≠ 0. Acest dezechilibru perturb uniformitatea potenialului de viteze, considerat iniial uniform nul. Spre diferen de cazul S.L., termenul ∂φ⁄∂t este esenial a fi determinat pe corpul navei, pentru a se afla distribuia presiunilor i pentru determinarea micrilor acestuia.

Presiunea pe corpul navei este ( )

⋅+

∇+= zg

tp

2

2φ

∂

∂φρ i are ca punct cheie calcul

termenul ∂φ⁄∂t. Metoda întâlnit în marea parte a bibliografiei studiate pentru calculul acestei derivate, este bazat pe diferenele finite. Astfel:

12

,, 12

ttt

tt

−

−=

ζζφφφ

D

D unde ζ este un parametru ce descrie corpul navei fa de un reper fix în

timp de pe aceasta (de exemplu punctul de chila); ζ

φ,t

reprezint potenialul de vitez din

punctul respectiv de pe suprafaa navei la timpul t.

Dar tot ( )φ∂

∂φφ∇⋅+= V

ttD

D, unde ( )GxxxV −+= xφ

(unde φ este unghiul de ruliu) astfel

încât se obine:

( )[ ] ( )[ ]z

xxzx

zzxtt

GGGG∂

∂φφ

∂

∂φφ

φ

∂

∂φ⋅−⋅++−⋅−−= *

D

D

Deoarece acest tip de derivare implic faptul c punctul spaial rmâne fix în expresia obinut intervine acceleraia de deplasare a grilei în ipoteza c punctul îi pstreaz poziia relativ pe corpul navei.

Aplicarea acestei metode creeaz dificulti legate de divizarea domeniului precum i în alegerea pasului de timp optim.

Not: folosirea diferenei finite pentru acest calcul implic utilizarea unor pai de timp mai mici de T/40 aa cu reiese din [92]. Un pas de timp mai mic înseamn îns un timp mai mare pentru realizarea unei simulri. În referina [8] îns apare o foarte interesant idee, dezvoltat algoritmic de Cointe în 1991, în care se afirm c independent de φ i φt satisface ecuaia Laplace. Într-adevr, bazându-ne pe independena spaiu - timp se poate afirma c,

==txxttxxt ∂∂

φ∂

∂∂

φ∂

∂∂

φ∂

∂∂

φ∂2

3

2

322

( )

+

==∆=+=+

tztxtztxttztx ∂

∂φ

∂

∂

∂

∂φ

∂

∂φ

∂

∂

∂∂

φ∂

∂∂

φ∂

∂∂

φ∂

∂∂

φ∂2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

0

(acceptat implicit în deducerea ecuaiei Bernoulli în [86] 7.2.1.2) Folosind aceast idee se poate aborda determinarea derivatei ∂φ⁄∂t pe corpul navei ca o problem Laplace uzual, la care cunoatem valorile respectivei derivate pe S.L. i eventual în alte puncte particulare. Se remarc faptul c primul mod de abordare implic, ca urmare a rearanjrii divizrii domeniului, unele calcule de interpolare; în schimb a doua metod, nu numai c nu ar mai

27

suferi de pe urma acestei probleme, dar ar reprezenta o abordare mult mai riguroas matematic i ar permite divizarea mult mai flexibil a suprafeei de interaciune corp - fluid (ceea ce ar putea aduce un plus de stabilitate calculului cinematicii i dinamicii corpului). Fr a anticipa i a detalia, autorul prezentei teze a ajuns la concluzia c aceast a doua metod este cea mai bun pentru calculul termenului în discuie dovedindu-se cea mai eficient i robust. Concluzia fireasc a acestui subcapitol este urmtorul algoritm: # 0. Se stabilete starea iniial # 1.0. Se începe simularea în domeniul timp # 1.1. Pornind de la starea iniial: # 1.1.1. se determin noua S.L. # 1.1.2. se determin noua poziie a navei # 1.1.3. se rezolv câmpul de viteze al fluidului # 1.1.4. se rezolv câmpul de presiuni de pe corpul navei

# 1.2 Eventual, în funcie de metod, se cicleaz pân la atingerea gradului dorit de convergen. sau se parcurg etapele #1.1 în câi pai sunt cerui de ctre metoda de integrare în timp

# 2.0. Se incrementeaz timpul # 2.1. Dac t < t max., se revine la 1.1. fcând starea nou, starea iniial # 2.2. Altfel se oprete calculul. O alt problem ce trebuie menionat în aceast analiz este cea a excitrii corpului. Excitaia poate fi o cauz acionând direct asupra corpului i care îi produce micarea în ap calm (studiul unei astfel de situaii reprezentând studiul problemei de radiaie - cauza putând fi o for) sau micarea suprafeei libere a apei, deci valurile. Primul mod de excitare este uor de surprins prin introducerea unui termen suplimentar în ecuaia de micare a navei. Pentru al doilea mod problema este mult mai complex, perturbarea suprafeei libere putând fi fcut efectiv printr-un generator de val cu echivalent fizic (ca de exemplu o frontiera mobil) sau prin introducerea unei perturbaii numerice aa cum ar fi un potenial de val standard (aceasta fiind metoda clasic), sau un câmp de viteze. Metoda introducerii unui potenial, aa cum reiese i din referina [92], creeaz pregnante probleme de instabilitate numeric la intersecia S.L. cu frontiera prin care se introduce potenialul de val. Metoda generatorului de val cu echivalent fizic se regsete în [62], [34], [35], [99]. Este incontestabil c aceast metod este mult mai aproape de fenomenul real. Studiile realizate de autorul tezei indic aceast metod ca fiind de asemenea mult mai robust decât cele ale introducerii de excitatori numerici. Totui aceste metode prezint dezavantajul unei corelri greoaie între parametrii excitaiei i înlimea de val obinut. Autorul este convins îns c metoda de modelare a curgerii fluidului pe care o prezint (inclusiv posibilitatea determinrii presiunilor), poate conduce i la soluionarea acestei corelaii eventual prin considerarea aspectelor energetice (respectiv regsirea energiei introduse în sistem de ctre pala - calculat cu ajutorul presiunilor instantanee pe pal - în energia sistemului de valuri creat). Revenind la problematica central a studiul curgerii fluidului acesta este realizat efectiv în dou etape:

- determinarea câmpului de viteze la un moment dat t pentru domeniul de fluid corespunztor respectivului timp;

- avansarea soluiei în timp respectiv determinarea geometriei noului domeniu de fluid corespunztor timpului urmtor.

28

Rezolvarea problemei cinematice implic rezolvarea ecuaiei de continuitate care este o ecuaie diferenial eliptic cu variabil spaial ( 0=∆φ ).

Avansarea soluiei în timp, problema dinamic, implic rezolvarea ecuaiilor difereniale constituite de condiiile limit (pe S.L., pe suprafeele solide pe suprafeele amonte i / sau aval atunci când este cazul), ecuaii difereniale cu variabil temporal. Caracteristice pentru problema studiului curgerii fluidului cu S.L. nu sunt atât metodele de integrare în timp, cât metodele de rezolvare a ecuaiei de continuitate. Metodele de integrare în timp nu implic o modelare numeric a variabilelor implicate foarte distinct de la o metod la alta, spre diferen de metodele de rezolvare ale ecuaiilor difereniale spaiale. Acestea din urm se disting prin posibiliti de modelare numeric a domeniului spaial extrem de diferite chiar dac idea de baz rmâne aceeai ca i la metodele de integrare în timp: divizarea domeniului studiat. Ambele metode de integrare urmresc transformarea problemei continue în probleme discrete, respectiv reducerea la valori nodale semnificative. Metodele de rezolvare a ecuaiilor difereniale spaial necesit îns descrierea variabilelor dintr-un punct al domeniului spaial continuu, funcie de valorile nodale. Aceast descriere se poate realiza prin mai multe modaliti care disting astfel principalele metode de studiu ale fenomenului. 3.3. Principalele metode de studiu ale fenomenului În timp, aa cum am menionat, au existat diverse abordri ale problemei curgerii fluidului cu S.L. Scopul acestui capitol este s analizeze abordrile care renun la cele mai multe aproximri i liniarizri, respectiv metodele de simulare numeric în domeniul spaiu-timp.

Pentru calculul hidrodinamic exist dou tipuri principale de metode de simulare: - metode bazate pe diferene finite care ofer rezultate foarte bune pentru curgeri

vâscoase complexe (inclusiv cu suprafa liber în prezena corpurilor) i - metode bazate pe ipoteza fluidului ideal, potenial. Aceste modelri se pot efectua

prin metoda elementelor finite sau prin metoda elementelor de frontier. Metodele bazate pe diferene finite implic resurse hardware importante i durate de timp mari dar i rezultatele obinute au un înalt grad de acuratee. Metodele poteniale necesit resurse mult mai modeste i timpi de rulare mai mici îns rezultatele sunt de la bun început afectate de ipoteza de baz a fluidului ideal.

Solicitrile implicate în calculele de structur nu sunt influenate decisiv de efectul vâscozitii. În plus, analizarea complex a comportrii navei implic studierea multor cazuri de încrcare în corelaie cu diverse stri ale mrii (starea mrii fiind definit printr-o gam mare de frecvene ale excitaiei). Din aceasta rezult c o analiz complet implic extrem de multe rulri deci factorii economicitate “timp de rulare” i “resurse harware” devin eseniali.

Confirmarea faptului c metodele poteniale sunt optime pentru efectuarea calculelor hidrodinamice în scopul obinerii datelor de intrare pentru analiza structural, este dat i de atenia pe care o acord în ultimii ani acestor metodologii marile societi de clasificare i institute de cercetare.

Prin afirmaia de mai sus considerm c nu am diminuat cu nimic importana metodelor bazate pe diferene finite, indispensabile calculelor de îmbuntire a performanelor hidrodinamice ale corpului sau în calculul de propulsie (optimizarea elicelor dar i a configuraiei pupa din punctul de vedere al vitezelor de intrare în discul elicei), etc. ci doar am afirmat c un astfel de calcul “de finee”, mult mai apropiat de realitate, este mult prea costisitor pentru scopurile analizei structurii.

29

Aa cum s-a afirmat mai sus rezolvarea problemei de fa are dou componente: I) rezolvarea subproblemei cinematice, respectiv a ecuaiei de continuitate a fluidului; II) rezolvarea subproblemei dinamice, respectiv avansarea în timp a soluiei.

Avansarea soluiei în timp se poate realiza prin una din metodele “clasice” pentru rezolvarea integrrii unui sistem de ecuaii difereniale într-un domeniu unidimensional. Indiferent de metoda aleas, domeniul de timp suport o divizare identic.

În schimb rezolvarea ecuaiei de continuitate a fluidului const în rezolvarea unei ecuaii difereniale eliptice într-un domeniu cu dou sau trei dimensiuni. Rezolvarea unei astfel de ecuaii se poate realiza prin metode ce necesit discretizri net distincte ale domeniului (în totalitatea sa sau numai pe frontierele sale). Din acest motiv se consider c nu atât metoda de integrare în timp caracterizeaz rezolvarea problemei globale, cât metoda de rezolvare a ecuaiei de continuitate. În cazul ipotezelor acceptate, metodele numerice prin care se poate soluiona ecuaia de continuitate sunt: a) metoda elementelor finite; b) metoda elementelor de frontier. a) Metoda elementelor finite este un instrument de for în problematica structurilor i respectiv în problema mediilor continue. b) Metoda elementelor de frontier în schimb, îi are legat renumele în special de problemele hidrodinamice cu suprafee limit (sau de contact), cum ar fi problema curgerii pe pala de elice ori de-a lungul profilului hidrodinamic (cârm, arip portant), sau în probleme de suprafa liber. Nu trebuie uitat nici rolul deosebit al acestei metode în aerodinamic. [106] i [12] fac referin la o metod care s combine cele dou metode principale, menit a elimina dezavantajele FEM prin introducerea elementelor infinite. Aceste referine îns, aparin studiilor anilor 1970 - 1980 i sunt tributare înc liniarizrilor. Bibliografia mai recent, nu mai face nici o referire la o astfel de metodologie, dei idea este extrem de atractiv ca modalitate de modelare a acvatoriilor nelimitate pentru evitarea problemei reflexiei valului de marginile domeniului. Fcând o analiz pur statistic se poate observa o tendin, dealtfel sesizat i în [8], de utilizare în special a metodei elementelor de suprafa în defavoarea metodei elementelor finite cu toate c i pentru aceast metod exist o preocupare constant. 3.4. Analiza problemei prin metoda elementelor finite Aceast metod este clar prezentat pentru cazul fluidului fr frontiere în micare în [86] capitolul 7. Ea pornete de la divizarea întregului domeniu de studiu în subdomenii, în interiorul crora s putem aproxima variaia mrimilor de interes, în funcie de valorile nodale (semnificative). Problema poate îmbrca dou forme : → forma brut, neprelucrat, a ecuaiei difereniale; → forma rafinata, a calculului variaionale. ambele având enunate condiiile de limit (forma diferenial are atât condiii de tip Dirichlet φ = φo pe C1, cât i Neumann ∂φ⁄∂n = Vo pe C2, forma variaional încorporeaz condiia Neumann pstrând explicite doar condiiile Dirichlet). În cazul fluidului fr frontiere în micare, prin prelucrarea formei difereniale prin metoda Galerkin se ajunge la aceeai expresie ca i cea oferit de forma variaional. Pe scurt : → forma variaional urmrete minimizarea integrantului

Ix y

dsS

=

+

∂φ

∂

∂φ

∂

2 2

- ⋅⋅2

20

C

dCV φ cu ∂φ

∂nV= 0 pe C2 si φ φ= 0 pe C1

→ prelucrarea formei difereniale folosind metoda Galerkin. Se consider:

30

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )

=

⋅==p

i

e

ii

ee

yx yxNyxN1

, ,, φφφ unde p= numrul de noduri ale elementului în care s-a

divizat domeniul. Metoda Galerkin presupune ponderarea cu funcia de form Ni deci:

( )

Nx y

dsi

Se

∂ φ

∂

∂ φ

∂

2

2

2

2 0+

= ⇔

( )

( ) ( )

( )( )

Nx

dsN

x xdS N

xl dCi

S

i

e

i

e

x

CSe ee

∂ φ

∂

∂

∂

∂φ

∂

∂φ

∂

2

2 0 = ⇔ − + i similar

pe direcia y, deci prin adunare: ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

− +

+ +

=

∂

∂

∂φ

∂

∂

∂

∂φ

∂

∂φ

∂

∂φ

∂

N

x x

N

y ydS N

xl

yl dC

i

e

i

e

i

e

x

e

y

CS ee

0 (i=1…p)

dar ( )C C C

e = +1 2 pe care avem condiiile limit mai sus enunate ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ⋅=

+

+= eeeeC

i

CCC

y

e

x

e

i dCNVdCly

lx

N

221

20∂

∂φ

∂

∂φ

condiiile 0φφ = pe C1 fiind folosite pentru rezolvarea sistemului de ecuaii obinut,

sistem care are forma: ( )[ ] ( ) ( )eee

pK =φ unde,

( )[ ] [ ] [ ][ ]( )=

eS

TedSBDBK cu [ ]

=

y

Nx

N

Bi

i

∂

∂∂

∂

(i=1…p) [ ]

=

10

01D

( ) [ ]( )=

eC

TedCNVp

2

20

Precum am mai spus, o astfel de abordare este suficient în cazul complet mrginit de frontiere fixe, în cazul fluidelor cu S.L. i/sau cu frontiere solide în micare, nu mai este suficient, neincluzând nici una din condiiile acestor frontiere. În [66] se folosete aceast variant a abordrii directe a ecuaiei difereniale, îns pe lâng faptul c liniarizeaz dublu condiia dinamic a S.L., se accept i idea simplist a unui potenial de forma tj

eN⋅⋅⋅⋅= ωφφ (deci simplu variind armonic în timp). În plus este cât se

poate de clar c respectiva lucrare nu îi propune decât s contureze o metoda calitativ de obinere a coeficienilor hidrodinamici, fie chiar i în condiiile unui acvatoriu limitat (fapt imposibil totui cu metoda fâiilor) i în nici un caz atingerea performanelor unei simulri, respectiv obinerea unei distribuii de presiuni sau evoluia S.L. O abordare net superioar o aduce [104]. Plusul calitativ este remarcat chiar din liniarizrile mai restrânse ale condiiilor la limit:

- condiia dinamic considerat este ηρ∂

∂φρ ⋅⋅+= g

t0 lipsind doar termenul

( )∇φ2

2 (care se dovedete a fi neesenial în constituirea coeficienilor

hidrodinamici, în comparaie cu termenul t∂∂φ );

- condiia cinematic considerat este ∂φ

∂

∂η

∂n t

V= pe suprafaa liber.

De asemenea i setul de necunoscute pe care i-l propune este mult mai complex i implicit mai complet: a) valorile potenialelor nodale; b) înlimea instantanee a valului pe S.L.(η); c) vitezele navei(uj).

31

Spre diferen de [66], necunoscutele nu mai sunt considerate a fi simplu armonice de timp, ci au o variaie proprie (neaproximat la o armonic). Un alt plus al acestei lucrri este introducerea unei forme variaionale, care ine cont de frontierele mobile ale domeniului, respectiv:

Γ Γ = ΓΩ

=Γ

−++Γ+Γ−Ω

+

+

=

nj

jjn dtt

gduldvd

zyxI

0

6

1

20

222

02

η∂

∂ηφ

∂

∂φη

ηφφ

∂

∂φ

∂

∂φ

∂

∂φ

unde Ω= domeniul în întregime; Γn= frontiera solid având viteza vno; Γ0= frontiera solid

corp având viteza uj; Γη= suprafaa liber. Fa de forma din [86], se remarc c integrantul conine în plus termenul datorat micrii navei i termenul datorat suprafeei libere. În aceast referin se subliniaz faptul c dimensiunea total poate fi substanial redus, prin eliminarea potenialelor punctelor din interiorul fluidului (de exemplu prin mijloacele eliminrii Gauss), afirmaie ce ne reamintete avantajul metodei elementelor de frontier de a reduce dimensiunea spaial a problemei cu o unitate. De asemenea, se indic metoda Runge - Kutta pentru avansarea soluiei în timp, ceea ce apare ca o prim încercare de simulare în domeniul spaiu-timp. Din pcate îns modificarea S.L. nu implic i modificarea geometriei grilei, cu alte cuvinte z pe ultima linie a grilei este constant i diferit de η pe S.L. Aceast caracteristic a lucrrii apare ca o inconsecven geometric i se altur liniarizrilor condiiilor la limit, fiind de asemenea i o acceptare implicit a ipotezei micilor amplitudini. Cea mai nou lucrare ce implic folosirea elementelor finite este [50]. Trebuie subliniat de la bun început c lucrarea în discuie prelucreaz expresia variaional propus de o alt referin, respectiv Luke “A variational principle for a fluid with a free surface”, “Journal of Fluid Mech. pp. 395 - 397, 1967. Referina în discuie îi propune s studieze curgerea cu S.L. a fluidului dintr-un canal, pe lâng o nav considerat a avea un pescaj mare (respectiv - fundul navei se extinde pân la limita de jos a zonei considerate), fluidul având viteza U. Se propun urmtoarele condiii limit : a) xn nU ⋅−=φ pe corpul navei;

b.1) x

nxt

nU

φηη +⋅−= condiia cinematic pe suprafaa liber;

b.2) ( )

02

02

==⋅+∇

+⋅+ρ

ηφ

φφp

gU xt condiia dinamic pe suprafaa liber;

c) ϕ=0 si ∂φ

∂t= 0 pentru momentul iniial;

Se propune adimensionalizarea variabilelor prin mrimile h (adâncimea acvatoriului),

ρh3 i h

g (L, M, T) de unde se obin ecuaiile:

a’) φn h zF n= −

b.1’) η ηφ

t h x

n

z

Fn

= − + b.2’) ( )

φ φφ

ηt h xF p+ +∇

+ = =

2

20

unde Fh= numrul Froude= U

gh

Pentru a dezvolta ecuaiile pe care urmeaz s le rezolve, autorii studiaz o problem omogen cu Fh = 0 i una pur convectiv, considerând c adunarea termenilor pur convectivi la ceilali termeni dedui din ecuaia omogen, nu împieteaz proprietile fundamentale reflectate de respectivele ecuaii.

32

Astfel pentru Fh = 0 considerând c toate frontierele cu excepia S.L. sunt perei rigizi i nemicai (inclusiv nava), va trebui s minimizm funcionala J în raport cu variabilele

propuse în acest caz, respectiv φ în noduri i η pe S.L. Funcionala J are expresia J Ldt

t

= 0

*

unde ( )L dS dS dVt

S DSF F

= − − ∇ φη η φ1

2

1

22

2

unde: SF este proiecia suprafeei libere pe

axa ox iar indicele din dreapta jos va reprezenta derivarea în raport cu respectiva mrime. Analizând termenii egalitii L (Lagrangean), observm c : → al treilea termen reprezint energia cinetic a întregului volum;

→ al doilea termen reprezint energia potenial considerându-se S.L. neperturbat ca nivel energetic potenial nul; → primul termen reprezint un termen de transfer între energia cinetica i energia potenial.

Condiiile de minimizare sunt Jη = 0 si Jφ = 0 i au forma:

(A) ( ) ( )δ φδη ηδη φ δηηJ dt dS dSt

SS

t

FF

= − − ∇

=1

22

0

*

( )φδη φδη φ φ η ηt t

St t

S

t

S

dS dS d dS dt

F FF

= =− − + ∇ +

*

*

0

2

0

1

2

(B) δ ηδφ φ δφφJ dt dS dVt

DS

t

F

= − ∇ ∇

=0

*

δ ηφ

δφ φδφφJ dtn

dS dVt

n

z DS

t

F

= −

+ ∇

2

0

*

Condiia de staionaritate (A) conduce la respectarea ecuaiei dinamice a S.L. , iar condiia (B) la ecuaia cinematic a S.L. i la ecuaia guvernant a fenomenului.

Exprimând necunoscutele ( )φ x y z t, , , i ( )η x y z t, , , în conformitate cu FEM ca fiind

( ) ( ) ( )=

⋅=N

i

ii zyxNttzyx1

;,,,,, ηφφ i respectiv ( ) ( ) ( )=

⋅=NF

k

kk yxMttyx1

,,, ηη

se poate deduce o nou form pentru L. Examinând cu atenie expresiile se observ c : a) φ (x, y, z, t) este în funcie i de η doar în cazul elementelor ce au ca frontier superioar S.L. Prin extensie, în cazul când am avea în studiu i nava, φ de pe nava ar fi în funcie de necunoscutele ce guverneaz micarea acesteia, respectiv xG si θ.

b) trebuie subliniat c z pe S.L. = η , corespunztor i analog, z pe suprafaa navei

( )z xG ,θ

c) (evideniat explicit în referin) ( ) ( )Vzikk zyxNyxM

ηη

== ;,,, (k=1…NF)

unde, NF este numrul de noduri de pe S.L. , deci funcia de form ce exprim elongaia S.L. este o particularitate a funciei de form a potenialului pentru coincizia z = η.

Se obin astfel L T

k P

ik kl l

i ij jj

N

i

N

k kl ll

NF

k

NF

k

NF

l

NF

= − −

==

φ η

φ φ η η

2 211

unde,

T M M dSkl k l

SF

= ; K N N dVij i j

D

= ∇ ∇ ; P M M dSkl k l

SF

=

O alt observaie este c : d) formal, autorii lucrrii, consider c φ depinde de toate nodurile domeniului D, iar ξ depinde de toate elevaiile nodale ale S.L. În abordarea clasica φ depinde doar de potenialele

33

nodurilor elementelor în interiorul cruia este punctul curent. Altfel spus abordarea clasic apare ca reducând aparent influena nodurilor aflate la distane din ce în ce mai mari de nodul curent.

Deoarece ∂

∂φ

∂

∂φ

∂

∂φ

∂

∂φ

JLdt

Ldt

L

i i

t

i i

t

= ⇔

= = 0 0

0 0

* *

deci trebuie ca:

a) T kkl l i j jj

N

l

NF

kη φ=

==

11

pentru punctele de pe S.L.

deci k=1…NF respectiv i S Lk ∈ . .

b) kij jj

φ = 0 pentru i S L∉ . . deci pentru nodurile din D exclusiv S.L.

Analog ∂

∂η

∂

∂η

∂

∂η

∂

∂η

JLdt

Ldt

L

k i

t

k

t

k

= ⇔

=

= 0 0

0 0

* *

obinându-se forma

c.1) T

K

Pkll

NF

il

i

ij

k

jji

kl ll

NF

= =

= − −1 12

φ

φ∂

∂ηφ

η pentru k=1…NF respectiv i S Lk ∈ . .

Aa precum remarc autorii lucrrii, derivata ∂

∂η

kij

k

este dificil de calculat în contextul

S.L. când însi mrimea kij depinde implicit de elevaia ηk. Pentru soluionarea acestei probleme se propune cutarea unei alte expresii a termenului stâng din ecuaia c1). Se plec de la expresia (A) respectiv δ ηJ considerând

funcia test δη k ( se poate admite în mod firesc ca ( ) ( ) ( )=

⋅=NF

k

kk yxMttyx1

,,, δηδη ). În plus

trebuie remarcat c pentru punctele S.L., deoarece z/S.L.=η, vom avea ∂η

∂φ

∂

∂φ=

..LSz ceea ce

conduce la:

( )∂

∂ δη

ηJ

k

= 0 ⇔ ( )T M dS M dS Pkl il

l

NF

k z t

SF

k

SF

kl l

l

NF

φ φ η φ η= =

= − − ∇ −1

2

1

1

2 unde k∈S.L.

Efectul navei care înainteaz, se transform prin scderea unei viteze U, în efectul apei incident navei cu viteza –U i este introdus printr-un termen convectiv de forma:

( )dSNMx

Mx

xMF jl

FS

kkh ;2 ⋅

∆+−

∂

∂

∂

∂α, unde se folosete lM pentru ecuaia

Tkl lη 6 respectiv Nj pentru ecuaia T ijkl

φ . Un α = 0 este echivalentul unei scheme Galerkin

standard, iar α = 1 corespunde metodei diferenelor înainte, cunoscut din cadrul metodei diferenelor finite. Autorii relev faptul c acest termen influeneaz în sens pozitiv stabilitatea S.L. având un rol de atenuator a componentelor de λ mic (ω mare), ce pot parazita forma S.L. În final se obine un sistem format din :

→ ecuaii liniare de tip b), exprimând interdependenele din domeniul de fluid exclusiv S.L., respectiv ecuaii de continuitate; → ecuaii difereniale de tip a) i c.2.), neliniarizate, ce exprim variaia S.L. i în cazul prezentat a unui corp i micarea corpului.

Se evideniaz astfel cele dou componente ale rezolvrii : → rezolvarea în domeniul fluidului;

→ rezolvarea S.L. , respectiv a micrii navei cu ajutorul rezultatelor din fluid prin integrare în timp.

34

Concluzionând, putem afirma c din punctul de vedere al modalitii de deducere a ecuaiei matematice, calea ce se contureaz a fi de urmat merge pe firul descris având ca baz de referin [50] i completat cu termenii ce corespund micrii corpului pe baza expresiei variaionale prezentate în [104]. Trebuie subliniat c dei calea matematic este bine conturat, se ridic ca fiind extrem de important, problema împririi domeniului de fluid în elemente finite, mai ales în contextul prezenei corpului navei în condiiile când acest corp are o geometrie deosebit, i/sau când corpul execut micri cu amplitudini mari. Ambele lucrri mai sus menionate au din acest punct de vedere, fiecare câte o particularitate, respectiv :

→ în [104] micarea are amplitudine mic, modificarea S.L. nefiind surprins prin modificarea grilei, cum de asemenea nici micarea navei nu modific grila; → [50] consider nava extins în adâncime pân la limita inferioar a domeniului, i nemicat (se poate considera ca se studiaz incidena unui fluid asupra structurii erecte de la fund pân peste S.L.), ceea ce conduce firesc la folosirea unei simplificri cu efecte benefice: grila se modific doar pe vertical, mai mult chiar, singurele puncte ce-i modifica poziia chiar i pe aceast singur direcie, sunt cele de pe S.L. Precum am mai afirmat aceast considerare a grilei este folosit i în lucrri ce utilizeaz metoda elementelor de frontier i este demn de reinut în contextul în care lucrarea de fa se refer în special la micrile verticale.

Ceea ce apare din ce în ce mai clar este faptul c în cazul micrii complexe a navei grila va trebui refcut cel puin dup un anumit numr de pai de timp (nu obligatoriu acelai). Argumentele ce pledeaz în favoarea acestui fapt sunt :

- necesitatea de a acoperi cvasiuniform suprafaa udat a navei cu noduri de gril; - necesitatea de a pstra un raport între dimensiunile fiecrui element în limite

rezonabile (0,5 → 2); - necesitatea de a avea o distribuie cvasiuniform a nodurilor pe S.L.

Din punct de vedere al geometriei elementelor, elementele rectangulare au o utilizare fireasca dar în plus, aa cum reiese i din [104], vor trebui folosite i elemente triunghiulare pentru surprinderea formelor deosebite ale navei i pentru a face tranziia spre elemente mari în interiorul domeniului de fluid, care este o zon fr interes. Necunoscutele zonei interioare de fluid, neinteresându-ne în mod special, vor conduce la idea folosirii eliminrii Gauss, respectiv tratarea lor prin condensare (surprinderea efectului lor global), de aceea grila pe zona de interior a domeniului de fluid poate fi chiar mai grosier. Este evident c posibilitatea unei refaceri a grilei prin mijloace manuale este exclus din start, dat fiind numrul mare de pai de timp ce trebuiesc parcuri. Dei problema regridizrii automate în cadrul micrilor verticale se întrevede a fi mai facil decât în cazul micrii de ruliu, pentru profile de nave cu seciuni cu pante pronunate vor exista dificulti. 3.5. Analiza problemei prin metoda elementelor de frontier Aceast metod este prezentat introductiv în [106] într-un capitol subintitulat “Metoda distribuiei de surse 3D” având ca baz teoretic subcapitolul “Metoda funciilor Green” precum i în [18]. Aceast metod face parte din familia denumit general "metode ale singularitilor", despre care putem gsi referine în [55], [62], [92], [34], [35], [8], [9], [10], [26], [73]. Autorul a remarcat c în ultimul timp exist mai multe referine bibliografice ce folosesc aceste metode pentru simulrile hidrodinamice fa de cele care folosesc metoda elementelor finite. În principiu, metodele singularitilor constau în modelarea curgerii fluidului cu ajutorul unor combinaii de singulariti.

35

Aceast idee apare i în metoda fâiilor dar spre diferen de aceast metod, singularitile sunt dispuse pe diversele frontiere ale domeniului i sunt determinate fr intermedierea unei transformri complexe ctre un model rezolvabil analitic. Ceea ce este interesant de reinut ca urmare a treceri în revist a evoluiei metodei din anii 1980 i pân în prezent, este faptul ca s-a trecut de la considerarea unor singulariti numai pe corpul navei, dar care trebuiau s îndeplineasc i condiii suplimentare la limit pe alte frontiere (ca de exemplu pe S.L.) [55], la distribuia acestor singulariti pe toate frontierele ce mrginesc fluidul, deci inclusiv pe nava, S.L., perei rigizi (statici sau în micare), frontiere la infinit. Aceste singulariti sunt formate cu ajutorul funciilor Green, funcii de baz ce satisfac doar ecuaia de continuitate ∆φ = 0. Satisfacerea celorlalte condiii la limit este realizat prin calcularea intensitilor acestor singulariti considerate distincte pentru fiecare punct al spaiului.

În acest mod problema îi pstreaz totui aspectul continuu i deci i gradul de dificultate de aceea s-a urmrit discretizarea domeniului spaial i respectiv a variaiei intensitilor singularitilor. Pentru orice punct din interiorul domeniul se poate demonstra c intensitatea singularitii este în funcie de poziia spaial a punctului i de intensitile de pe frontierele domeniului, astfel problema reducându-se la a descrie variaia intensitilor pe frontiere. Aceast proprietate este cea care realizeaz reducerea ordinului spaial de complexitate a problemei cu o unitate, deoarece aa cum am afirmat mai sus descrierea spaial integral a domeniului este înlocuit de descrierea spaial integral a frontierelor sale. Descrierea variaiei intensitii de-a lungul frontierelor este realizat prin asumarea unui numr discret de noduri ce descriu pe frontier regiuni mrginite (segmente pentru 2D, suprafee sau panele pentru 3D). Variaia intensitii de-a lungul acestor regiuni este descris cu ajutorul intensitilor în noduri i cu ajutor unor funcii de form. Aceste funcii de form pot fi constante [92], liniare ca în multe referine [62], [34], [35], sau chiar parabolice [8], [9], [10]. Autorul nu dispune de referine care s menioneze utilizarea elementelor de ordin superior celui parabolic, îns în discuii directe purtate cu domnul doctor Berkvens (autorul referinelor) [8], [9], [10] acesta a afirmat c în cadrul proiectului de cercetare din care fac parte i lucrrile domniei sale, au fost studiate i elemente de ordin superior despre care a afirmat c raportat la efortul de calcul nu aduc îmbuntiri substaniale. O referin interesant asupra Metodei Elementelor Integrale de Frontier Desingularizate se face în [24]. Aceast metod consider singularitile distribuite în afara domeniului de fluid ceea ce ar avea ca avantaj, în opinia autorilor referinei menionate, calculul facil folosind integrarea numeric prin puncte a termenilor ce apar în modelare.

Dei autorul nu a aprofundat problema, se poate aduce de la început o obiecie de principiu ce const în faptul c toat aceast metod depinde de distana de desingularizare (distana fa de contur la care se plaseaz singularitile). Aceast distan trebuie aleas cu deosebit grij, ea având, aa cum afirm i autorii referinei, efecte extreme asupra calculelor numerice. Alegerea acestei distane se realizeaz “în urma testelor numerice” ceea ce întrete opinia autorului, preluat de la unul din profesorii si, cum c orice constant într-un program este o potenial problem. Denumirile exacte ale diferitelor metode ale singularitilor pot varia de la referin la referin. Astfel [55], denumete metoda ce distribuie singulariti numai pe corpul navei, dar care prevede termeni adiionali în scopul satisfacerii condiiilor limit, metoda elementelor de suprafa. Aceeai denumire o folosete i [62], dei se consider distribuia unor singulariti îndeplinind doar ∆φ = 0 pe toate frontierele fluidului. Oricum atât [92] cât i [8], indicând ca întemeietori ai metodei ce pare a fi cea mai actualitate pe Longuet - Higgins & Cokelet (1976), i denumesc metoda folosit de ei metoda ecuaiilor integrale de frontier (Boundary Integral Equation Methods - BIEM). Aceast metod st la baza studiilor în domeniul spaiu-timp. Fr a anticipa vom afirma c aceast metod va fi cea pe care autorul o va folosi i de aceea ne vom concentra asupra ei.

36

Înainte de a trece la o scurta prezentare a metodei, trebuie menionat c funcia ce satisface ecuaia de continuitate (ecuaia Laplace), este funcia Green i are forma ln(r) în 2D respectiv 1/r în 3D. Meniunea trebuia fcut deoarece aceast funcie va apare explicit în continuare sub forma 2D. Pentru a prezenta metoda ne vom folosi de cazul 2D. Considerm un domeniu de fluid mrginit de urmtoarele frontiere: frontierele solide fixe sau în micare, S.L., frontiera rigid reprezentat de corpul navei, eventuale frontiere la infinit. Toate acestea însumate formeaz conturul C. Folosind identitatea Green pentru φ i soluia fundamental a ecuaiei Laplace în 2D

( ) ( )( )( )G x xζ ζ π, ln , /= distanta 2 se obine pentru un punct de pe contur:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θ

πφ ζ

∂φ

∂ζ

∂

∂ζ φ ζ

ζ ζ

ζ

xx G x

n

G

nx dL

C2

= −

, ,

unde x definete poziia punctului curent pentru care se face integrarea pe conturul C, ζ = coordonata curent ce descrie conturul C în cadrul integrrii; θ(x) = este unghiul sub care se vede conturul C din punctul x i care în cazul unei frontiere netede poate fi considerat π (tangentele în punct la domeniul D sunt coliniare).

Pentru a calcula integrala pe conturul C acesta se divide în segmente de contur (elemente de frontier). Vom nota aceste segmente ∆Lj unde j=1..N, N fiind numrul de segmente în care s-a fcut divizarea. Astfel, integrala pe conturul C se aproximeaz cu suma integralelor pe segmentele ∆Lj. Segmentele de contur pot fi aproximate de curbe cu capetele în punctele de divizare, descrise analitic. Uzual aceste curbe analitice sunt drepte i astfel integralele curbilinii pe segmentele de divizare sunt aproximate cu integrale liniare. Se presupune c variaiile funciilor ce se doresc a fi cunoscute ( n∂∂φφ , ) pe segmentul de divizare sunt dependente de valorile lor în puncte speciale (numite de colocaie) rezult c φ în orice punct de pe contur poate fi exprimat numai în funcie de aceste valori speciale i de variaia asumat. Pentru a determina aceste valori speciale, se particularizeaz expresia de mai sus în punctele colocaie. Aceste puncte pot fi capetele segmentelor de divizare ale domeniului sau mijloacele acestora în funcie de varianta metodei.

37

Notând cu φ i potenialul în punctul de colocaie xi obinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ζ

ζζ

ζφ∂

ζ∂ζ

∂

∂φζφ dL

n

xG

nxGx

N

j L

i

ii

i

j

= ∆

−=

1

,,

2

1

unde N este numrul total de elemente de frontier; ∆Lj = segmentul ce reprezint elementul de frontier j; ζ = coordonata curent de integrare pe elementul ∆Lj

Exprimarea termenilor cureni φ(ζ) respectiv ( )ζ∂

∂φ

n se face în funcie de distribuia

asumat. Astfel, dac se consider distribuia constant φ(ξ) = φj = ct. i ( ) .ctn

j

n == φζ∂

∂φ

ζ

pe

tot segmentul sau pentru distribuia liniar ( ) ( ) j

jjj L∆−+= −− ζφφφζφ 11 i analog

( ) ( ) j

j

n

j

n

j

nn L∆−+=−− ζφφφζφ 11 .

In urma unor astfel de prelucrri se obine un sistem liniar de ecuaii având necunoscutele φ- urile i φn - urile în punctele de colocaie de forma wqP =⋅ unde q este vectorul necunoscutelor. Acest sistem este rezolvat cu ajutorul condiiilor la limita introduse de frontierele fluidului. Cu valorile necunoscutelor astfel determinate pe baza condiiilor limit ce conin derivate de timp, se determin noua poziie a S.L. i noile incrementri ale condiiilor limit de tip Dirichlet (φ j ), respectiv Neumann (φn

j ). Putem astfel contura sumar o modalitate de tratare a problemei: a) la un pas de timp t se cunoate: poziia S.L., a corpului, a celorlalte frontiere. Pe S.L.

cunoatem φ-urile (condiiile Dirichlet), iar pe corp sau alt frontier impenetrabil, mobil sau nu, se cunoate nvn ⋅=φ ( v = viteza corpului, n = normala la suprafa sa)

(deci condiia de tip Neumann); b) se construiete sistemul de ecuaii i se pun condiiile la limit. Prin rezolvarea sistemului

de ecuaii se afl: pe S.L. viteza normal (φn), iar pe frontierele solide potenialele (φ); c) din condiia dinamic pe S.L. se afl t∂∂φ pe S.L. ;

d) se determina pe corp t∂∂φ putându-se astfel determina distribuia de presiuni pe suprafaa corpului. Cunoscând distribuia de presiuni pe corp, prin integrarea acesteia se determin forele care acioneaz asupra corpului. Prin rezolvarea ecuaiilor de echilibru ale corpului se calculeaz acceleraiile ω,22 txG ∂∂ i prin integrarea acestora vitezele

corpului ω,txG ∂∂ .

Not: în capitolul urmtor se va arta strânsa interdependen între termenul t∂∂φ i acceleraiile corpului exprimat prin sistemul de ecuaii unitar ce conduce la calcularea simultan a ambelor seturi de necunoscute.

e) prin integrare în timp se determin: poziia S.L., valorile φ pe S.L., poziia corpului i respectiv, viteza acestuia. Not: integrarea în timp se poate realiza prin ciclare pân la atingerea convergenei sau prin utilizarea unei metode cu un numr constant de pai.

Aceast modalitate de rezolvare este utilizat în corelaie cu FEM în [50] ceea ce arat c este independent de metod. Aa precum se observ mai sus, geometria la pasul de timp t este folosit pentru a obine derivatele de timp necesare avansrii fenomenului. Avansul în timp se poate face prin metode de tip Runge – Kutta deci metode cu numr fix de pai sau metode ca predictor - corector (ABM), Euler ori Newton-Raphson, ce realizeaz iteraii succesive pân la obinerea convergenei. Toate aceste metode folosesc geometria pasului anterior, respectiv a iteraiei anteriore ca punct de start în calculul noii geometrii. Folosirea îns a vechii geometrii, ca

38

geometrie de start pentru determinarea pasului urmtor, introduce ceea ce se numete inconsistena geometric. Astfel utilizând termenii BEM, ecuaia ce guverneaz fenomenul se exprim sub

forma: [ ] [ ]R Ln

φ∂φ

∂=

. Pentru timpul k ecuaia are forma [ ] [ ]R Ln

k k k

k

φ∂φ

∂=

iar

pentru timpul k + 1 forma [ ] [ ]R Ln

k k k

k

+ + ++

=

1 1 11

φ∂φ

∂.

Dar dac pentru timpul k cunoatem exact geometria fizica a fenomenului, nu acelai lucru îl putem spune i pentru timpul k + 1, iar aceasta deoarece ecuaia în φ i ∂φ/∂n ascunde intrinsec i necunoscuta reprezentat de geometria S.L. i dac este cazul de poziia corpului în plutire. Din acest motiv toate metodele de avansare în timp a soluiei numite mai sus, se sprijin în prim faz pe vechea geometrie, rezolvându-se o ecuaie de forma

[ ] [ ]R Lnit

k

it

k

it

k

it

k

−

+

−

+

=

1

1

1

1

φ∂φ

∂, unde prin it se înelege un anumit pas de iteraie între timpul k

i k + 1 (numrul de “iteraii” fiind fix sau variabil depinzând de atingerea convergenei). În referina [62], autorii propun o abordare a problemei consistent din punct de vedere geometric, dar realizabil matematic prin adoptarea liniarizrii ecuaiilor integrale i a condiiilor la limit, în sensul dezvoltrii lor în serie i a pstrrii doar a termenilor de ordinul întâi. Altfel spus, considerând ecuaia de mai sus pentru timpul k + 1 scris ca:

[ ] [ ]( ) ( ) [ ] [ ]( )R R L Ln n

k k k

k

+ + = +

+

∆ ∆ ∆ ∆φ φ

∂φ

∂

∂φ

∂, realizând produsele i sczând

egalitatea pentru timpul k i reinând doar termenii de ordin 1, se obine

[ ] [ ] [ ] [ ]∆ ∆ ∆ ∆R R Ln

Ln

k kk

kφ φ

∂φ

∂

∂φ

∂+ =

+

.

În manier analog se trateaz i condiiile la limit, evideniindu-se în ∆[R] , ∆[L] i în ecuaiile provenite din condiiile la limit variaia necunoscutei “ascunse”, considerate a fi z, η sau ξ (notaia nu are relevan, exprimând aceeai realitate fizic, respectiv elevaia S.L.). Evident c în cazul prezenei corpului navei, executând o micare liber se adaug i variabilele xG si θ. În final se obine un sistem de ecuaii liniare ce va oferi prin rezolvare, variaiile în intervalul ∆t a mrimilor necunoscute (∆φ, ( )n∂∂∆ φ i ∆η). O variant a acestei metode este prezentat în referina [34]. Idea din [62] este îmbuntit prin calculul derivatelor mrimilor implicate i nu a micilor variaiilor. Avansul în timp se realizeaz prin principiul iterativ prin folosirea unei metode de tip Newton – Raphson. În lucrarea de fa nu s-a utilizat o astfel de metod consistent geometric, ci s-a urmat calea metodelor “clasice” considerându-se c acestea necesit un efort de calcul mai mic iar rezultatele obinute astfel sunt corecte. 2.6. Analiza comparativ a celor dou metode Ceea ce trebuie remarcat de la început, este faptul c ambele metode se muleaz pe aceeai algoritmi de principiu ce constau în rezolvarea subproblemei cinematice i a subproblemei dinamice. Aceast observaie este extrem de important i evideniaz faptul c indiferent de calea aleas pentru avansarea soluiei în timp, rezolvarea ecuaiei de continuitate

39

poate fi realizat cu oricare din cele dou metode. De aici se poate concluziona c ceea ce va diferenia cele dou metode trebuie cutat doar în cadrul subproblemei cinematice. În toate referinele bibliografice prezentate pentru FEM s-a putut observa c modelarea este înc destul de departe de realitate. În referinele mai vechi se folosesc aproximri ale condiiilor de suprafa liber, iar în referina mai recent [50] nava se consider nemicat chiar dac se realizeaz modelarea complet a S.L.. Din simulrile realizate de ctre autor [76], [77], rezult c FEM este mult mai sensibil la înlarea valului fa de BEM. BEM reuete s surprind începutul fenomenului de ascuire extrem a crestei valului i de curbare înspre direcia de propagare premergtoare pierderii stabilitii energetice, respectiv a deferlrii, fapt nerealizabil cu FEM. Explicaia acestei comportri mai bune a BEM este imediat, inând cont c FEM necesit pentru stabilitate forme raionale ale elementelor de discretizare. Aceast observaie a adus semne de întrebare suplimentare referitoare la capabilitatea FEM de modelare a fenomenului, în contextul prezenei unui corp în plutire care execut micri ample. Probabil c acest lucru ar fi posibil dar ar implica algoritmi de regridizare mai complexi. Astfel de algoritmi sunt implicai în conformitate cu [59], în metodele de calcul hidrodinamic ale fluidelor vâscoase dar în conjuncie cu alte metode de modelare. Regridizarea frontierei implicat în BEM este clar mult mai facil decât regridizarea domeniului în FEM. Un alt avantaj notabil al BEM este acela c micoreaz dimensiunea geometric a problemei cu o unitate, astfel o problem plan devine o problem exprimat în variabile de contur (liniare), iar o problem spaial devine o problem exprimat în variabile de suprafee. Variabilele ataate punctelor interioare domeniului din FEM dispar deoarece devine posibil ca acestea s fie exprimate cu ajutorul variabilelor de pe frontier. De asemenea BEM lucreaz cu un set de variabile dintre care unele au concretee fizic imediat, respectiv vitezele normale pe frontier. Importana unui astfel de amnunt este demn de consideraie mai cu seam atunci când sunt necesare verificri ale rezultatelor sau depanri iniiale ale softului.

Totui, prin simulrile realizate, autorul a constatat i un avantaj neateptat al FEM dar care nu poate compensa primele dou avantaje ale BEM. Dispersia numeric în FEM, deoarece FEM implic principiul conservrii energiei, este mult mai mic decât cea din BEM. Valurile generate cu elemente finite, odat stabilizate îi pstreaz amplitudinea cvasiconstant, spre diferen de FEM unde aceasta descrete exponenial, proporional cu gradul de rafinare al grilei (deci implicit i de gradul funciei de interpolare al valorilor internodale) precum i cu distana fa de excitaie. În concluzie, autorul a considerat c BEM reprezint metoda optim pentru realizarea modelrii curgerii fluidului cu suprafa liber în prezena unui corp în plutire, drept urmare aceasta este metoda ce se va utiliza în continuare.

40

Capitolul 4. Modelarea numeric a micrilor fluidului i ale navei realizat în tez

4.1. Elementul de frontier folosit. Detalierea ecuaiei fundamentale. Vom folosi un element de frontier ale crui noduri corespund cu punctele de colocaie. Atât φ cât i n∂∂φ se consider a varia liniar între noduri. Detalierea se refer la elementul de frontier pentru domeniile 2D (plane) reprezentate în cazul de faa prin segmente de dreapt. Determinarea normalei la suprafa se face cu ajutorul regulii burghiului drept, considerând axa z perpendicular pe suprafa i având întotdeauna sensul spre noi. Parcurgerea conturului se face întotdeauna în sensul acelor de ceasornic.

Pentru un segment (j, j + 1), φ respectiv n∂∂φ într-un punct oarecare între nodurile j

si j +1 sunt date de expresiile:

( ) ( )ii

i

i

iL

φφξξ

φξφ −−

+= +1 ( )

∂

∂−

∂

∂−+

∂

∂=

∂

∂

+ jjj

j

j nnLnn

φφξξφξ

φ

1

unde ξ este parametrul curent jjj L+≤≤ ξξξ iar Lj lungimea segmentului j.

Înlocuind aceste relaii în egalitatea fundamental, se obine (pentru cazul 2D):

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Γ

++

∂

∂−

∂

∂−+

∂

∂−

∂

∂

−

−+=⋅

j

jjj

j

j

jjj

j

j

j

j

darnnLn

rnL

xxc lnln 11 φφξξ

φφφξξ

φφ

unde ξdda j = . Notând jjj L+=+ ξξ 1 se obine forma:

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( ) +

∂

∂−+

∂

∂−=⋅

Γ

+

Γ

+

j j

j

j

j

j

j drnL

drnL

xxc

jj

ξξξ

φξξξ

φφ lnln 11

( )( )

( )( )

−

∂

∂+

−

∂

∂+

Γ+Γ

+ξ

ξξφξ

ξξφdr

Lndr

Lnjj

j

j

jj

j

j

lnln1

1

respectiv:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅+⋅=⋅

+

+j

d

j

j

c

j

j

b

jj

a

jj xTn

xTn

xTxTxxc1

1

φφφφφ

41

Presupunând problema Neumann cu 0=∂

∂

n

φ pe Γ, se observ c s-ar obine în afar de

soluia banal i φ = constant, ceea ce ar conduce la egalitatea: ( ) ( ) ( )( ) +=j

b

j

a

j xTxTxc ,

egalitate extrem de util pentru calculul coeficientului c(x). Pentru calculul coeficienilor se consider ataat fiecrui element de contur, sistemul local de axe definit de acesta, având îns originea în piciorul perpendicularei duse din punctul definit de x sau i, pe segment. Astfel se obine o ordonat constant ηi precum i abscisele ξj i ξj+1, pe care deja le-am utilizat în exprimarea formulelor. Cu aceste noi coordonate, calculul coeficienilor T se poate face exact nefiind necesar nici o integrare de tip cvadratur Gauss.

Pentru început trebuie calculat termenul ( )( )n

r

∂

∂ ln.

inând cont c 222 ξη += ir i dn=dηi se obine:

( )( ) ( )( )

22222ln

2

1ln

rn

r i

i

ii

i

η

ξη

ηξη

η=

+=+

∂

∂=

∂

∂

Formulele finale ale coeficienilor sunt:

−

+

+

+

⋅

−=

+++

i

j

i

j

j

j

ji

ji

j

ia

j arctgarctgLL

Tη

ξ

η

ξξ

ξη

ξηη 11

22

21

2

ln2

−

−

+

+

⋅=

++

i

j

i

j

j

j

ji

ji

j

ib

j arctgarctgLL

Tη

ξ

η

ξξ

ξη

ξηη 1

22

21

2

ln2

−

−

+

+

⋅=

+++

i

j

i

j

j

ij

ji

ji

j

ic

j arctgarctgLL

Tη

ξ

η

ξηξ

ξη

ξηη 11

22

21

22

ln4

( )[ ] ( )[ ] 1ln1ln4

1 22221

221 −+−−+

⋅+ ++ jijjij

jLξηξξηξ

( ) ( ) 12212

12

21 ln

2ln

2 +

+

+

+++

⋅++

⋅− jji

j

jj

ji

j

j

LLξξη

ξξξη

ξ

−

+

+

+

⋅

−=

++

i

j

i

j

j

ij

ji

ji

j

id

j arctgarctgLL

Tη

ξ

η

ξηξ

ξη

ξηη 1

22

21

22

ln4

( )[ ] ( )[ ] 1ln1ln4

1 22221

221 −+−−+

⋅− ++ jijjij

jLξηξξηξ

42

( ) ( ) jji

j

j

ji

j

jj

LLξξη

ξξη

ξξ−+

⋅−+

⋅+ +

+ 222

21

21 ln2

ln2

Se observ c atunci când punctul i coincide cu nodul j sau j+1, se obin singulariti. În aceste cazuri, în ciuda singularitilor existente, integralele ce se doresc calculate se dovedesc a avea valori finite calculabile, inând cont c:

a) integralele ce conin ( )( )

22

ln

ξη

η

+=

∂

∂

i

i

n

rvor fi nule deoarece ηi = 0 pentru orice ξ.

b) integralele ce conin ln(r) care pentru ηi = 0 devin ln(ξ2)/2, se vor calcula luându-

se în considerare egalitatea ( ) ( )( ) ( )aaxxxdxxa

a

lnlnln0

0

=−= ce rezult ca urmare

a limitei ( ) 0lnlim0

=→

xxx

.

Expresiile astfel deduse sunt: 0=a

jT ; 0=b

jT

Pentru ηi=0 i ξj=0

( )[ ] ( ) 12

1

212

12

1 ln2

1ln4

1++

+

++ +⋅

−−⋅

+= jj

j

j

jj

j

c

jLL

T ξξξ

ξξ ; ( )[ ] 1ln4

1 21

21 −

⋅−= ++ jj

j

d

jL

T ξξ

Pentru ηi=0 i ξj+1=0 modul de deducere a expresiilor este analog.

4.2 Calculul termenului t∂

∂φ

Termenul t∂∂φ este prezent în ecuaia general Bernoulli, ecuaie folosit pentru calculul presiunii. Ecuaia Bernoulli are dou particularizri importante pentru studiul de fa, de unde i cele dou ipostaze ale termenului considerat:

- cazul suprafeei libere, - cazul suprafeei corpului. În cazul suprafeei libere, ecuaia Bernoulli se particularizeaz inând cont c

presiunea atmosferic poate fi considerat convenional nul obinându-se astfel

( )( )22φφ ∇+⋅−=∂∂ zgt .

Conform celor prezentate în capitolul 3.2. integrarea în timp a acestui termen, reprezint una din etapele avansrii soluiei în timp prin care se obin valorile potenialului de viteze φ pe suprafaa liber. Termenul t∂∂φ constituie modalitatea de calcul a funciei de potenial pe S.L., care este condiia Dirichlet pe frontiera suprafa liber în cadrul ecuaiei difereniale eliptice reprezentat de ecuaia de continuitate. Înelegerea acestui aspect este punctul nodal al simulrii numerice a curgerii fluidului cu suprafa liber.

Calculul acestui termen nu prezint dificulti, z fiind bine cunoscut, iar v=∇φ

putându-se calcula în funcie de n∂∂φ , respectiv s∂∂φ pe suprafaa liber, deci pe frontiera domeniului. În cazul suprafeei corpului rigid, ecuaia Bernoulli are expresia general:

( ) 022 =⋅+++∂∂ zgput ρφ . Spre diferen de cazul suprafeei libere, unde presiunea este considerat apriori nul, în situaia aceasta, presiunea este cea care intereseaz deoarece este necesar în ecuaiile de echilibru ale corpului. De aici se observ c aceast situaie este util doar în cazul studiului curgerii fluidului în prezena unui corp în plutire. În situaia de fa, termenul t∂∂φ este folosit pentru determinarea acceleraiei corpului (în cadrul micrii complexe de rototranslaie), acceleraie care în cadrul procesului de avansare a soluiei în timp, ofer atât viteza corpului (utilizat ca i condiie de tip Dirichlet

43

pe frontiera solid corp pentru ecuaia diferenial spaial, respectiv ecuaia de continuitate) cât i poziia acestuia la pasul de timp urmtor. În capitolul 3.2. am prezentat succint metodele propuse pentru calcularea acestui termen. Principalele metode utilizate pân acum se bazau pe metoda diferenelor finite, dar cea mai nou i mai viabil metod este cea bazat pe observaia c i t∂∂φ este o funcie

armonic respectând astfel ecuaia Laplace ( ) 0=∂∂∆ tφ . Astfel se poate folosi i pentru

t∂∂φ metoda elementului finit de frontier în mod identic ca i în cazul funciei φ. Fr a mai detalia se poate urma aceeai procedur ca i în cazul ecuaiei continuitate, de unde se observ c este necesar ca pe suprafeele solide s se cunoasc ( ) nt ∂∂∂∂ φ .

Vom detalia în continuare calculul acestui termen subliniind c reprezint unul din punctele nodale ale studiului curgerii fluidului cu suprafa liber în prezena unui corp (sau a unor corpuri) în plutire.

Calculul se face pornind de la condiia de impenetrabilitate a suprafeelor solide: nvnun ⋅=⋅=∂∂φ exprimat scalar ca: uxnx + uznz = vxnx +vznz , unde u = reprezint

viteza particulei de pe suprafaa solid, v = viteza suprafeei solide în punctul dat. Realizm o derivare material, deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ndt

duvnv

dt

dnu

dt

dn

dt

dvnv

dt

dn

dt

dunu

dt

d⋅−+⋅=⋅⇔⋅+⋅=⋅+⋅ [4.2.1]

Normala la suprafa este o funcie de unghiul de ruliu instantaneu (φr(t)) i de poziia punctului curent definit prin s: ( )( )stnn r ,φ= , unde s este un parametru ce descrie suprafaa

solid iar φr unghiul de ruliu. Se deriveaz material normala ( ) ( ) ( )dt

ds

ds

nd

dt

d

d

ndn

dt

d r

r

⋅+⋅=φ

φ

[4.2.2] i se detaliaz termenii ce intervin în expresie.

Astfel ( ) svudt

ds⋅−= (reprezint viteza relativ a particulei fa de suprafaa solid, iar s

vectorul tangent la suprafa, în sensul de parcurgere a acesteia) iar R

s

ds

nd= unde R este

curbura suprafeei în punctul respectiv. Termenul ( )

dt

ds

ds

nd⋅ = ( )( )

R

ssuv ⋅−− [4.2.3].

Versorul normalei la contur depinde de unghiul α (fcut de tangenta la conturul corpului cu axa orizontal local a copului i care este funcie de s parametrul de descriere al corpului) i de unghiul de ruliu φ (ce reprezint unghiul dintre axa orizontal local i axa orizontal global) deci ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )tstsn rr φαφα ++−= cos,sin . Derivând dup φr se obine

44

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )ttttd

ndrr

r

φαφαφ

+−+−= sin,cos care se identific cu

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

++−

=

0cossin

100

tsts

kji

nxk

rr φαφα

( k este versorul normal la planul în care se

face studiul). Dar ωφ

=dt

d r iar ωω =⋅ k deci expresia ( )

dt

d

d

nd r

r

φ

φ⋅ = nxω [4.2.4].

Prin cumularea termenilor [4.2.3] i [4.2.4] expresia [4.2.2] are forma final

( ) ( ) ( ) ( )( )

⋅−−−=−

R

ssuvnuv

dt

nduv xω .

Ca urmare a deduciilor de mai sus expresia [4.2.1] are forma

( ) ( ) ( ) ( )( )

⋅−−⋅−+⋅=⋅

R

ssuvnxuvnv

dt

dnu

dt

dω [4.2.5]

Not: Se observ îns c pentru zonele drepte R este infinit, deci ( ) ( )( ) 0=−−R

ssuvuv

obinându-se astfel, pentru acest caz particular: ( ) ( ) ( )( )nuvnvdt

dnu

dt

dxϖ−+⋅=⋅ .

Dar ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇+

∂

∂=

z

uu

x

uu

t

u

z

uu

x

uu

t

uuu

t

u

dt

ud z

z

z

x

zx

z

x

x

x ,

deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

z

z

z

z

xx

x

z

x

xz

z

x

x nz

uu

x

uun

z

uu

x

uun

t

un

t

un

dt

ud

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= [4.2.6]

Deoarece ( )

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

txxtu

tx

φφ i analog ( )

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

tzztu

tz

φφ se obine

( ) ( )

∂

∂

∂

∂=⋅

∂

∂

∂

∂+⋅

∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

tnn

tzn

txn

t

un

t

uzxz

z

x

x φφφ. Astfel relaia [4.2.6] are forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

z

z

z

xx

x

z

x

x nz

uu

x

uun

z

uu

x

uu

tnn

dt

ud

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

φ [4.2.7].

Prin egalarea relaiilor [4.2.5] i [4.2.7] se evideniaz termenul care intereseaz în final respectiv ( ) nt ∂∂∂∂ φ :

( ) ( ) ( )( )

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

⋅−−−+⋅=

∂

∂

∂

∂

z

uu

x

uun

z

uu

x

uun

R

ssuvnuvn

dt

vd

tn

z

z

z

xz

x

z

x

xxxϖφ

Ultimii doi termeni din relaie se pot reexprima inând cont de egalitile fundamentale

între derivatele funciei φ ( xzzx ∂∂∂=∂∂∂ φφ 22 i 2222zx ∂∂−=∂∂ φφ ) i ca

∇⋅

2

2v

n

Pentru a exprima complet ecuaia de mai sus trebuie detaliat i termenul ( ) ndtvd ⋅ . Pentru un punct oarecare de pe suprafaa corpului, viteza lui se exprim ca:

rxvv G ω+= unde Gv = viteza centrului de greutate a corpului,

ω = viteza unghiular a corpului, r = versorul punctului în raport cu centrul de greutate. Se deriveaz material expresia vitezei obinându-se:

( ) ( ) ( )rxxtrxrxvdtvd G ωωωω +∂∂++=

45

unde: GG av = = vectorul acceleraiei centrului de mas al corpului,

ω = vectorul acceleraiei unghiulare, vutr −=∂∂ = viteza relativ a particulei de ap fa de corp.

Spre diferen de calculul uzual din dinamica navei, versorul punctului de pe nav în raport cu centrul de greutate nu a mai fost considerat constant în raport cu timpul, astfel încât expresia ( ) tv ∂∂ nu reprezint acceleraia unui punct fix de pe nav. În cazul de fa aceast expresie exprim variaia în timp a vitezei punctelor de pe nav ce sunt tangentate de particula de fluid în cadrul parcursului su de-a lungul frontierei solide nav, derivarea în timp a condiiei de impenetrabilitate fcându-se pentru una i aceeai particul. Expresia final a termenului ( ) nt ∂∂∂∂ φ este:

( )( ) ( )( ) ( )

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

−−−⋅+⋅++

z

uu

x

uun

z

uu

x

uun

R

uvvunnrxxrxv z

z

z

xz

x

z

x

xxG

2

x2 ϖωωω

Calcul acestei expresii ridic dificulti numerice mai ales la ultimii termeni de tipul xu x ∂∂ sau xu z ∂∂ . Pentru calculul acestor termeni se va nota:

βsin−=∂∂ xn respectiv βcos=∂∂ xs de unde ( ) ( )ts rφαβ +=

βcos=∂∂ zn iar ( )βsin=∂∂ zs Exprimarea vitezelor fluidului cu ajutorul vitezelor în sistemul local este dat de:

ββ sincos nsx uuu −= ββ cossin nsz uuu +=

Derivatele dup direciile principale, exprimate în funcie de derivatele dup direciile locale sunt date de formulele:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

snx

s

sx

n

nx ∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ββ cossin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

snz

s

sz

n

nz ∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ββ sincos

În plus se va ine cont c ecuaia de continuitate nu depinde de sistemul de coordonate în care este exprimat, ceea ce implic i egalitatea: nusu ns ∂∂−=∂∂ . În plus, deoarece derivatele pariale ale funciei de potenial nu depind de ordinea de derivare se obine i

nusu sn ∂∂=∂∂ . Utilizându-se cele prezentate mai sus se obin urmtoarele expresii:

( )z

u

s

u

s

u

x

u znsx

∂

∂−=

∂

∂−−

∂

∂=

∂

∂ββββ cossin2sincos 22

( )x

u

s

u

s

u

z

u zsnx

∂

∂=

∂

∂+−

∂

∂=

∂

∂ββββ cossin2sincos 22

Aa cum se poate remarca, scopul final a fost de a avea expresii care s conin doar derivate tangeniale i nu derivate normale. Urmrirea acestui scop este fireasc, dei delimitarea lui a fost unul din punctele nodale ale conceperii metodei prezentate, deoarece metoda elementului de frontier, spre diferen de metoda elementului finit, creeaz dificulti în calculul mrimilor derivate în preajma singularitilor reprezentate de noduri. Iniial autorul a calculat derivatele în cauz prin metoda diferenelor finite aplicat brut pe contur pentru coordonatele globale. Aceast abordare crea singulariti atunci când bordajele drepte coincideau cu o ax global ceea impunea calculul expresiilor în cauz pe baza egalitilor ce decurg din ecuaia de continuitate i din insensibilitatea la ordinea de derivare a funciei de potenial. Pentru a distinge când era necesar aceast intervenie se testa înclinarea suprafeei, iar pentru înclinri mai mici ca o valoare predefinit se realizau substituiile. Aceast metodologie inducea îns discontinuiti evidente mai ales în graficele forelor ce acioneaz asupra corpului (rezultate imediate ale integrrii termenului afectat - presiunea). Din acest motiv autorul a încercat o determinare analitic a derivatelor, aciune care creeaz dificulti matematice majore. Printr-o analiz mai clar a dezideratelor i a mijloacelor disponibile s-a

46

evideniat c trebuie gsit o soluie independent de particularitile geometrice i care s conin doar derivatele tangeniale ce pot fi calculate uor prin însi natura metodei numerice folosite. Astfel s-a ajuns la expresiile de mai sus, în care derivatele de tip s∂∂ pot fi calculate fie cu ajutorul diferenelor finite, fie analitic dac sunt utilizate elemente de frontier de ordin superior. 4.3. Modul de tratare a punctelor de intersecie între S.L. i suprafeele solide Punctele în care se intersecteaz S.L. i suprafeele solide, deci dou tipuri distincte de frontiere, ridic trei tipuri de probleme: a) comportamentul cinematic al punctului respectiv; b) modul de punere al condiiilor la limit; c) modul de calcul al vitezelor în respectivele puncte. a) Particularitatea cinematic a acestor puncte const în aceea c trebuie s urmreasc i S.L. dar în acelai timp s se menin i pe frontiera solid.

Pentru a satisface aceast dubl condiie, vom considera c punctul se deplaseaz pe suprafaa solid, urmrindu-i acesteia formele dar cu o vitez relativ, calculat folosind relaia us–vs unde us i vs sunt vitezele tangeniale la suprafaa solid în punctul respectiv a particulei de apa i respectiv a suprafeei solide. Relaia vectorial este

( ) svusvsu ⋅−=⋅−⋅ îns efectiv în procedura de calcul se va folosi expresia: svu s ⋅−

date fiind particularitile modelrii numerice. Deplasarea particulei împreun cu suprafaa solid este asigurat din condiia de impenetrabilitate, dar în plus se introduce i efectul de S.L. prin us aa cum se va vedea în continuare. b) Aparent pentru aceste puncte de intersecie dispunem atât de condiia Dirichlet cât i de cea Neumann. Condiia Dirichlet este valoarea φ în respectivul nod, iar condiia Neumann

este valoarea n∂∂φ obinut din condiia de impenetrabilitate a frontierei solide. Trebuie îns remarcat c spre diferen de alte puncte de pe frontier care au tangenta la contur continu, punctele de intersecie între S.L. i suprafeele solide, au tangente diferite atât la dreapta cât i la stânga, deci n∂∂φ va avea valori diferite atât la dreapta cât i la stânga. Una din aceste valori este cea obinut din condiia de impenetrabilitate, iar cealalt este necunoscuta efectiv ce trebuie calculat. c) În urma calculelor în aceste puncte se vor cunoate vitezele normale la suprafee

n∂∂φ stânga i n∂∂φ dreapta. Pentru determinarea vitezelor ux i uz nu este necesar s cunoatem nici una din vitezele tangeniale.

Bazându-ne pe faptul c u este unic, indiferent de exprimarea care folosete vitezele stânga sau dreapta, se va obine:

47

( ) ( ) ( ) ( ) drdrndrdrsststnststsx uuuuu αααα sincossincos −=−=

( ) ( ) ( ) ( ) drdrndrdrsststnststsz uuuuu αααα cossincossin +=+=

Cunoscând undr i unst se calculeaz usdr i usst.

Notând: ( ) ( ) drdrnststn uuA αα sinsin −= ( ) ( ) drdrnststn uuB αα coscos +−=

drstdrstD αααα cossinsincos +−=

se obine: D

BAu drdr

sst

αα cossin +−=

D

BAu stst

sdr

αα cossin +−=

Se observ astfel c vitezele tangeniale conin influenele atât ale suprafeei solide cât i ale S.L. Trebuie îns remarcat c în acest mod se creeaz o neconcordan cu ipoteza variaiei liniare a funciei de potenial, neconcordan care exista oricum i în cazul calculrii vitezelor tangeniale su în punctele de contur prin medierea “pantelor” aproximrilor liniare ale funciei de potenial adiacente respectivului nod. Precum se poate observa prezentarea de mai sus se refer în special la rezolvarea ecuaiei de continuitate a fluidului. Din punctul de vedere al termenului t∂∂φ , situaia descris la punctul b) pentru funcia φ este aplicabil în mod asemntor. 4.4. Modelarea excitaiei (modelarea frontierei amonte). Modelarea condiiilor la limit pe

frontiera aval Atât problema realizrii excitrii domeniului de fluid cât i problema condiiilor limit la frontiera aval, reprezint aspecte eseniale ale modelrii numerice a curgerii fluidului cu suprafa liber, condiionând obinerea unor rezultate utile. Realizarea excitrii fluidului este necesar pentru obinerea valurilor. Excitarea masei fluidului se poate realiza prin dou modaliti de baz: a) excitarea prin introducerea pe frontiera amonte a caracteristicilor unui val cunoscut

analitic; b) excitarea prin modelarea unui excitator natural.

Prima modalitate implic impunerea în punctele frontierei aval a valorilor funciei de potenial φ sau a vitezelor în punctele respective (exprimate prin vitezele normale n∂∂φ ), corespunztoare unui val modelat teoretic, de obicei valul liniar Airy. În acest caz frontiera amonte nu se va deplasa pe orizontal ci doar pe vertical în încercarea de urmrire a evoluiei suprafeei libere în punctul de intersecie cu aceasta. Un mare dezavantaj al acestui mod de realizare a valului este acela c nici unul din modelele analitice nu sunt complet neliniare ceea ce este în neconcordan cu modelarea de fa care este complet neliniar. Acest aspect conduce la diferene în caracteristicile ateptate ale valului i cele obinute în realitate, precum i la variaii alternante mai mari în cadrul diagramelor de conservare ale masei.

Între cele dou subvariante ale acestei metode de excitare, autorul a concluzionat c impunerea unui câmp de viteze rezultat dintr-un val teoretic se potrivete mult mai bine cu sistemul general de ecuaii ce se rezolv, deoarece în acest mod nu se intr în contradicie cu condiiile limit din punctul de intersecie cu suprafaa liber. Impunerea unui potenial în acest punct intr în dezacord cu metodologia general utilizat în aceast lucrare pentru determinarea potenialelor în punctele S.L., respectiv integrarea termenului ∂φ ∂t (aa cum rezult din capitolul 4.3.). Contradicia se manifest prin apariia unor fenomene de zimare a S.L. (fenomenul de “sawtooth” raportat în [92] i aa cum rezult din aceasta este des întâlnit). Referina [92] indic o posibil metod de temperare a acestei instabiliti prin combinarea aplicrii treptate a excitaiei i prin impunerea unei funcii modelatoare pe o poriune din S.L. Autorul a încercat în cadrul simulrilor sale i aceast metod, dar a gsit c este dificil de aplicat i este dependent de o constant, reprezentat de lungimea zonei de

48

modelare i nu ofer rezultate satisfctoare, manifestate prin discontinuiti de pant în punctele de terminare a zonei de modelare.

A doua modalitate implic modelarea frontierei aval ca o suprafa solid ce se mic în concordan cu o lege impus. Echivalena fizic real este pala evantai sau pistonul, ambele regsindu-se ca excitatoare în cadrul bazinelor de încercri navale. Aceast modelare este cea mai apropiat de realitate i cea pe care autorul o recomand ca fiind cea mai potrivit modelului complet neliniar, deoarece se bazeaz pe rezolvarea aceluiai set de ecuaii ca i în restul modelrii i nu pe rezultate analitice obinute pe baza unor aproximri. Corectitudinea acestei metode reiese i din eroarea de conservare a masei mult mai mic obinut chiar pentru cazul când frontiera aval este considerat fix i solid. Din pcate autorul nu a stabilit o expresie analitic între parametrii fizici ai micrii excitatorilor i înlimea valului obinut astfel, ceea cea ce a reprezentat motivul pentru care în cadrul simulrilor din cadrul tezei a fost folosit prima metod prin care se obine mult mai uor o înlime a valului apropiat de cea estimat. Prin frontier aval se înelege zona din extremitatea modelului, ultima în direcia de curgere a fluidului. Poate fi reprezentat de conturul vertical dintre fund i suprafaa liber, sau de acesta plus o zon adiacent din suprafaa liber. Frontiera aval a fost modelat în cadrul lucrrii de fa în dou moduri: - prin asimilarea ei cu un perete solid fix; - prin considerarea unei frontiere permeabile. Aceste modelri se refer doar la conturul vertical dintre fund i suprafaa liber. De asemenea în cadrul simulrilor realizate în cursul timpului s-a folosit i o frontier de tip absorbant (“damping boundary”) dar s-a renunat la aceast modelare, deoarece depindea de constante ce reprezentau factorul de amortizare i lungimea zonei. Modelarea frontierei aval ca un perete solid fix este cea mai apropiat de fenomenul fizic real corespunztor i este de asemenea cea mai facil. În acest caz se impun vitezele normale nule în punctele frontierei ca fiind ∂φ ∂n = 0 , iar cota punctului de intersecie între aceast frontier solid i S.L. este deplasat pe vertical în funcie de evoluia în timp a fluidului. Dezavantajul acestui tip de frontier este acela c efectul de reflexie al valului este extrem de pronunat ceea ce conduce în cazul unei simulri de mai lung durat la apariia unui fenomen nedorit de und staionar. În scopul temperrii valului reflectat, autorul a adoptat pentru un timp frontiera aval de tip absorbant. Frontiera aval de tip absorbant este o combinaie a peretelui solid fix cu o zon adiacent din suprafaa liber, în care se realizeaz atenuarea numeric a înlimii valului, deci implicit i a energiei sale. Aceast metod introduce variaii mari în ecuaia de conservare a masei i este puternic dependent de coeficientul de amortizare considerat i de lungimea zonei de amortizare, ceea ce introduce noi coeficieni empirici fapt ce este bine a fi evitat. Modelarea frontierei aval prin considerarea unei frontiere penetrabile se face prin simularea traversrii de ctre fluid a conturului vertical dintre fund i suprafaa liber. Pentru realizarea acestei simulri a fost folosit o variant a condiiei de radiaie a lui Orlanski prezentat în referina [92]: nct ∂∂φ∂∂φ '−= , unde c’ este un parametru având dimensiunile unei viteze. Tot în [92] este indicat c pentru c’= c (viteza valurilor în apa de adâncime considerat) frontiera aval este suficient de nonreflexiv, fapt verificat i de simulrile ce vor fi prezentate. Trebuie remarcat c pentru cazul valului liniar Airy i pentru c’= c condiia de mai sus devine exact, ceea ce arat c utilizat sub aceast form ea poate fi considerat liniarizarea condiiei reale.

49

4.5. Modelarea numeric a micrii fluidului cu suprafa liber fr corp în plutire 4.5.1. Schema de rezolvare i algoritmul folosit Schema de rezolvare

Fig. 4.5.1.1 – Condiiile la limit pentru 0=∆φ

În Fig. 1 sunt prezentate condiiile la limit impuse pentru rezolvarea ecuaiei de continuitate 0=∆φ respectiv a subproblemei cinematice. La un pas de timp ti sunt cunoscute: - frontierele domeniului D respectiv forma S.L. i punctele de intersecie ale acesteia cu

frontierele amonte i aval - vitezele normale (condiiile de tip Neumann) pe suprafeele solide (ca fundul acvatoriului

sau pal) i pe frontiera amonte - valorile funciei de potenial (condiiile de tip Dirichlet) pe S.L. i pe frontiera aval

Subproblema dinamic const în calculul urmtorilor parametri la pasul de timp

urmtor ti+1 (la paii intermediari de integrare sau ciclare): - forma suprafeei libere se determin prin integrarea condiiei cinematice a S.L. respectiv

( ) ( )+

=+

1

0

1

it

i dtDtxDtx unde zjxiDtxD ∂∂⋅+∂∂⋅= φφ ;

- punctele de intersecie ale cu S.L. cu frontierele amonte i aval ( )+

∩∩∩ −=1

0

it

vux unde ∩u

reprezint viteza particulei de fluid în punctul de intersecie iar ∩v este viteza frontierei în punctul de intersecie.

- noua poziie a palei (dac este cazul)

- valorile funciei de potenial φ pe suprafaa liber ( ) ( )+

=+

1

0

1

it

i dtDtDt φφ unde

( ) gzDtD −∆= 22φφ rezultat din condiia dinamic a S.L.

Not: φ este calculat în acest mod pentru toate punctele de intersecie a S.L. cu alte frontiere (frontiere solide sau frontierele pe care se impun condiii speciale cum ar condiia de permeabilitate).

50

- valorile funciei de potenial φ pe frontiera aval ( ) ( )+

∂∂=+

1

0

1

it

i dttt φφ unde

( )nct ∂∂⋅−=∂∂ φφ ' (condiia de penetrabilitate Orlanski) Algoritmul folosit Not: Algoritmul de fa este cel folosit în simulrile din cadrul lucrrii de fa. Deoarece metoda de integrare în timp utilizat, condiioneaz structura algoritmului, precizm c se va utiliza metoda Runge-Kutta de ordin 4. #0. Iniierea #0.1. Se iniializeaz variabilele

OBS.: În cazul când se folosete generatorul de val de tip “evantai” trebuie avut grij ca amplitudinea unghiului de excitaie în corelare cu lungimea palei “evantaiului” i cu perioada excitaiei, s nu conduc la fenomenul de deferlare (“overturning”) în chiar prima perioad de excitare sau în continuare. Atât amplitudinea unghiului de excitaie, lungimea palei “evantaiului” cât i perioada excitaiei sunt parametri ai energiei introduse, care se regsete sub forma valului.

#0.2. Se iniializeaz grila de lucru OBS.: Din testele fcute s-a observat c se pot obine rezultate foarte bune folosind o dimensiune a grilei pe direcia valului dx ≤ λ/10. #0.3. Se iniializeaz timpul t=to i pasul de timp dt. OBS.: Din testele fcute cât i din bibliografie, s-au obinut rezultate foarte bune cu un pas de timp dt ≤ T/40 (în [100] este indicat, în corelaie cu o metodologie asemntoare, chiar dt=T/20).

#1. Se începe ciclul de timp Se repeta #1.1. Se conserv variabilele aparinând timpului anterior t1 în variabile OLD. Detaliere: Variabilele conservate sunt:

- poziia anterioar a grilei xOLD, yOLD; - valorile funciei de potenial pe S.L φOLD.

#1.2. Se începe procedura de integrare în timp (Runge-Kutta) (avansarea soluiei în timp, respectiv rezolvarea subproblemei dinamice) #1.2.1. Se conserv derivatele de timp cunoscute în variabile de tip RK1 (Runge-Kutta pas 1). Aceste variabile sunt: - ∂φ ∂t pe S.L., - vitezele punctelor de pe S.L. #1.2.2. Se trece la pasul intermediar de integrare în timp urmtor (pasul i=2..4) #1.2.3. Se avanseaz: - funcia de potenial pe suprafaa liber i coordonatele suprafeei libere

X = Xold +ci-1 dt ( )∂ ∂X ti−1

unde c=1/2,1/2,1 pentru i=1..3

i X= Xold+dt ( ( )∂ ∂X t1+2 ( ( )∂ ∂X t

2+ ( )∂ ∂X t

3)+ ( )∂ ∂X t

4)/6

pentru i=4 Not: prin X se îneleg variabilele enumerate mai sus. - timpul: spre timpul intermediar urmtor tRKi=t1+dtRKi Not: dtRKi=dt/2,dt/2,dt i=2..4

#1.2.4. Se pun noile condiii la limit datorate incrementrii timpului:

51

- cele care se cunosc apriori, ca de exemplu pe excitatorul de tip evantai a crui micare este cunoscut în timp ( )∂φ ∂n f t= (condiii de tip Neumann)

- cele care au fost calculate, respectiv valorile funcii de potenial φ pe S.L.(condiii de tip Neumann) #1.2.5. Se începe rezolvarea subproblemei cinematice: (se rezolv ecuaia [M]φ,∂φ ∂n necunoscui= c detaliat în subcapitolele urmtoare)

#1.2.5.1. Se calculeaz matricea [M] #1.2.5.2. Se calculeaz vectorul termenilor liberi c cu ajutorul condiiilor la limit

#1.2.5.3. Se rezolv sistemul obinut din ecuaia de continuitate #1.2.5.4. Se calculeaz vitezele în punctele S.L. precum i derivatele de timp ale funciei potenial în punctele S.L.

#1.2.6. Se repet procedura începând cu #1.2.2 pân la completarea pailor intermediari de integrare în timp #1.3. Regridizarea, dac este cazul, a frontierei suprafa liber în scopul evitrii

fenomenului de adunarea a punctelor “clustering”) #1.4. Se calculeaz eroarea relativ de conservare a masei. OBS.: Eroarea relativa este calculata ca (V-Vo)/Vo/100 [%] unde V este volumul instantaneu al fluidului, iar Vo volumul iniial al domeniului D. #1.5. Se pstreaz rezultatele dorite #1.6. Se cicleaz de la #1.1 pân când se parcurge tot intervalul de timp dorit.

4.5.2. Detalii Pentru început definim domeniul D ca fiind un domeniu 2D de fluid mrginit de suprafee solide fixe la frontiera din dreapta, la partea inferioar (fund) i pe poriunea inferioar a frontierei stânga, restul acestei frontiere fiind solid i rigid dar având o micare cu caracteristici cunoscute, sau tot fix în cazul când excitaia se realizeaz cu ajutorul modelului analitic al unui val prin impunerea unui câmp de poteniale sau viteze. Frontiera superioar este denumit suprafa liber i reprezint zona de separaie dintre fluid i atmosfer.

Nodurile de pe aceste frontiere sunt (în numerotarea utilizat în programul de calcul): 1..NART = nodurile frontierei solide fixe stânga; NART…NPS +1 = nodurile frontierei solide rigide mobile (evantai); NPS +1…NPS +NSL = nodurile suprafeei libere; NPS +NSL… NPS +NSL+NPD = nodurile frontierei solide fixe dreapta; NPS +NSL+NPD… NPS +NSL+NPD+NF = NT =nodurile frontierei solide fixe inferioare. Punctele deosebite, în contextul discutat în capitolul 4.3., sunt punctele NSP+1 i NSP+NSL (“coluri”).

52

În conformitate cu capitolul 4.1. prin aplicarea BEM pentru rezolvarea ecuaiei de continuitate pe domeniul D (punctul #1.2.5 al algoritmului) se obine urmtorul sistem de ecuaii:

= +

+

∂

∂+

∂

∂++=⋅

NT

j j

dij

j

cijj

bijj

aijii

nT

nTTTc

1 11

φφφφφ pentru j=1..NT

care prin grupare dup φi i ( )i

n∂∂φ va avea forma:

( ) ( ) =

−−

∂

∂++⋅−+=

NT

j j

dij

cijjiij

bij

aij

nTTcTT

1110

φφδ pentru i=1..NT iar δij este

simbolul lui Kronecker (δij=1 dac i≠j i δij=0 dac i=j). Pentru a rezolva acest sistem de ecuaii este necesar s punem condiii la limit (punctulele #1.2.4 i #1.2.5.2 din algoritm). Aceste condiii sunt: n∂∂φ =0 pentru punctele suprafeelor solide fixe;

n∂∂φ = valoare determinat pe suprafaa solid rigid mobil cu cinematic cunoscut sau obinut din derivarea corespunztoare a expresiei analitice a unui val; valorile funcie de potenial φ în punctele S.L.: valorileφ pe S.L. se obin prin

integrarea în timp a derivatei t∂∂φ ; în cazul punctelor speciale (punctele de intersecie ale S.L. cu frontierele solide NSP+1 si NSP+NSL) se cunosc potenialele φ, precum i n∂∂φ stânga pentru NSP+1

i n∂∂φ dreapta pentru NSP + NSL. Totalitatea acestor condiii la limit, reprezentând concretizri ale funciei de potenial

sau ale vitezei normale la contur în punctele menionate mai sus, constituie vectorul Clim complementar vectorului necunoscutelor Nec, reuniunea lor formând câmpul funciilor de potenial i ale vitezelor normale pe contur. În acest mod sistemul de ecuaii devine: [ ] CNecM = unde,

[M] = matricea coeficiienilor ataai necunoscutelor; (punctul #1.2.5.1 din algoritm) C = vectorul termenilor liberi rezultat în urma impunerii condiiilor la limit;

∂

∂

∂

∂

∂

∂= ++=

+−++=+

=

T

NTNSLNPSi

NSLNPSdr

T

MSLNPSNPSiNPSst

T

NPSi

T

nnnNec ..1

,1..21,..1 ,,,, φ

φφφφ

În acest mod, având o geometrie cunoscut i un set de condiii la limit cunoscute, putem determina complet câmpul de potenial i vitezele normale la contur. Ne intereseaz îns vitezele în noduri, atât pe direcia normalei cât i pe cea a tangentei. Evident c dac se cunoate nun ∂∂= φ i su s ∂∂= φ într-un punct, se poate afla

viteza pe orice direcie, inclusiv pe cea a axelor globale de coordonate. Viteza tangenial s∂∂φ în acest caz se va calcula cu formula:

−+

−=

∂

∂

−

−+

1

11

2

1

i

ii

i

ii

i LLs

φφφφφ

sau sub formula unei medii ponderate: ( ) ( )

1

111

−

−−+

+

⋅−+⋅−=

∂

∂

ii

iiiii

i LL

LL

s

φφφφφ

Ambele formulri dau rezultate cvasiegale atunci când nodurile sunt dispuse cvasiregulat pe contur. Aceast formul este general valabil exceptând “colurile” unde se folosete metoda descris în capitolul 4.3.punctul c). Formulele pentru calculul vitezei tangeniale deriv din ipoteza variaiei liniare a potenialului de vitez de-a lungul elementului i nu trebuiesc interpretate ca o utilizare a diferenelor finite. În cazul utilizrii unor elemente de frontier pe care variaia lui φ este

53

descris prin funcii de ordin superior în s, expresia derivatei tangeniale ar avea o altfel de form, ceea ce nu ar mai crea confuzii cu diferenele finite. Astfel pentru un timp dat t, cunoscând geometria i condiiile la limit, se poate determina complet câmpul potenialului de vitez i cel al vitezelor. Aceast realizare rezolv subproblema cinematic. Pentru rezolvarea complet a problemei este necesar s se realizeze avansarea soluiei în timp. În cazul de fa avansarea soluiei în timp const în integrarea în timp a caracteristicilor suprafeei libere, respectiv a funciei de potenial i a geometriei. Metoda de integrare folosit este Runge-Kutta de ordinul 4 (punctul #1.2.). Pasul de timp folosit este dt=T/40, unde T reprezint perioada excitaiei. Aceast perioad de timp dovedete prin rezultatele obinute c asigur stabilitatea numeric a modelrii pentru domenii largi ale excitaiei.

Considerând c simularea este realizat folosind ca metod de integrare în timp Runge-Kutta de ordin 4 i condiii de suprafa liber liniarizate, referina [10] propune urmtoarea formul pentru dispersia numeric a amplitudinii valului într-un punct dat:

( ) ( )86

144

1dtdt

zezωϑω +−

=∆ unde: ϑ = eroarea numeric a expresiei de fa, ω= pulsaia excitaiei, dt= perioada de timp.

În [10] se consider c metoda RK4 este slab disipativ dac 1<<dtω iar disiparea

numeric ζ<< 1 (ζ=∆z/z eroarea relativ a amplitudinii valului la sfâritul unui interval de timp I). În aceste ipoteze se obine urmtoarea formul prin care se poate evalua corectitudinea alegerii pasului de timp:

TI

Tdt

5151

51

8

91

⋅≤ ζ

ππ unde:

T= perioada excitaiei, I= durata simulrii (multiplu de T), ζ= eroarea relativ a amplitudinii valului la sfâritul intervalului I, datorat disiprii numerice.

Utilizând aceast formul se obine dt≤ T/40 pentru I=20T i ζ=2e-4, eroare relativ pe care o considerm mai mult decât mulumitoare. Din punctul de vedere al stabilitii numerice în aceeai referin se mai propun

urmtoarele criterii: ττπ

⋅≈≤ 9.022

dt , unde τ este exprimat prin fiecare din formulele:

a) ( ) gxl ∆= πτ 2 b) cxr ∆=τ

Aa cum se poate observa τl reprezint perioada unui val gravitaional cu lungimea de und ∆x iar expresia ce deriv din b) este un criteriu de tip Courant ( 1≤∆= xcdtNC ).

Considerând ∆x=λ/10 i aproximând λ8.0≈T (perioada valului de adâncime mare)

condiia a) revine la inegalitatea adevrat 10

8.09.0

40

8.0 λλ< . Condiia b) este i mai

evident, respectiv T/40=0.025T < 0.9T/10=0.09T.

54

4.6. Modelarea numeric a micrii fluidului cu suprafa liber în prezena unui corp în plutire 4.6.1. Schema de rezolvare i algoritmul folosit Schema de rezolvare

Fig. 4.6.1.1 – Condiiile la limit pentru 0=∆φ

În Fig. 4.6.1.1 sunt prezentate condiiile la limit impuse pentru rezolvarea ecuaiei de continuitate 0=∆φ respectiv a subproblemei cinematice. La un pas de timp ti sunt cunoscute: - frontierele domeniului D respectiv forma S.L. i poziia navei Gx , φr i punctele de

intersecie ale corpului cu S.L. ∩x - vitezele normale (condiiile de tip Neumann) pe suprafeele solide respectiv (ca fundul

acvatoriului, pal i suprafaa corpului) i pe frontiera amonte - valorile funciei de potenial (condiiile de tip Dirichlet) pe S.L. i pe frontiera aval

Subproblema dinamic const în calculul urmtorilor parametri la pasul de timp urmtor

ti+1 (la paii intermediari de integrare sau ciclare): - forma suprafeei libere se determin prin integrarea condiiei cinematice a S.L. respectiv

( ) ( )+

=+

1

0

1

it

i dtDtxDtx unde zjxiDtxD ∂∂⋅+∂∂⋅= φφ ;

- poziia navei prin ( ) + +

=1 1

0 0

1

i it t

GG dtxtx i ( ) + +

=1 1

0 0

1

i it t

rr dtt φφ

- punctele de intersecie ale corpului cu S.L. ( )+

∩∩∩ −=1

0

it

vux unde ∩u reprezint viteza

particulei de fluid în punctul de intersecie iar ∩v este viteza navei în punctul de intersecie.

- poziia punctelor de intersecie între S.L. i frontierele amonte i aval - noua poziie a palei (dac este cazul)

55

- valorile funciei de potenial φ pe suprafaa liber ( ) ( )+

=+

1

0

1

it

i dtDtDt φφ unde

( ) gzDtD −∆= 22φφ rezultat din condiia dinamic a S.L.

Not: φ este calculat în acest mod pentru toate punctele de intersecie a S.L. cu alte frontiere (frontiere solide sau frontierele pe care se impun condiii speciale cum ar condiia de permeabilitate).

- valorile funciei de potenial φ pe frontiera aval ( ) ( )+

∂∂=+

1

0

1

it

i dttt φφ unde

( )nct ∂∂⋅−=∂∂ φφ ' (condiia de penetrabilitate Orlanski)

Pentru a calcula termenii Gx i ∩v este necesar s se rezolve micarea navei. Micarea

navei este bine cunoscut dac se determin acceleraiile instantanee ale micrii ( Gx , rφ ).

Acceleraiile navei se obin utilizând ecuaiile de echilibru dinamic ale corpului

respectiv ecuaia de echilibru a forelor ext

S

G Fdsnpx

u

+⋅=⋅∆ i ecuaia de echilibru a

momentelor ( ) ext

S

r MdsnpxrkJ

u

+

⋅⋅=⋅ φφ

.

Presiunea p este exprimat ca ( )( )zgtp ⋅+∇+∂∂⋅−= 22φφρ . Pentru a calcula

termenul t∂∂φ se rezolv ecuaia 0=

∂

∂∆

t

φ.

Fig. 4.6.1.2 – Condiiile la limit pentru ( ) 0=∂∂∆ tφ

În Fig. 4.6.1.2 sunt prezentate condiiile limit ce se impun pentru rezolvarea ecuaiei

( ) 0=∂∂∆ tφ . La un timp ti sunt cunoscute:

- frontierele domeniului - valorile de tip Neumann ( ) nt ∂∂∂∂ φ pe frontierele solide (ca fundul acvatoriului,

pala în micare sau corpul navei) sau pe frontiera amonte pe care se folosete un potenial analitic

56

- valorile de tip Dirichlet t∂∂φ pe S.L. (obinute din condiia dinamic a S.L.) i pe frontiera aval (obinute din condiia de permeabilitate Orlanski)

Ca urmare a rezolvrii sistemului ( ) 0=∂∂∆ tφ extins cu ecuaiile de echilibru dinamic

se obin acceleraiile corpului i valorile t∂∂φ pe suprafaa corpului. Algoritmul folosit OBSERVAIE GENERAL: detaliile subliniate în capitolul 4.5.1. sunt valabile i în cazul de faa, atunci când nu exist alte precizri. #0. Iniierea #0.1. Se iniializeaz variabilele #0.2. Se iniializeaz grila de lucru

#0.3. Se iniializeaz timpul t=to i pasul de timp dt. #0.4. Se calculeaz parametri instantanei iniiali ai micrii corpului. Aceti

parametri sunt reprezentai de acceleraiile iniiale ale corpului.

(se rezolv ecuaia [Mp]∂φ ∂t , ( )∂ ∂φ ∂ ∂t n , xG , ω necunoscute=cp detalierea

în subcapitolele urmtoare) Not: aceati parametri sunt extrem de importani pentru determinarea corect

a micrii corpului mai ales în cazurile unui dezechilibru iniial sau a unei micri iniiale (cum ar fi cazurile de producere a micrilor libere de oscilaie vertical sau ruliu).

#0.4.1. Se determin matricea [Mp] #0.4.2. Se impun condiiile la limit. Valorile implicate fiind nule, expresiile

obinute sunt extrem de simple. Se calculeaz vectorul termenilor liberi, cp care este nul cu excepia ultimilor trei poziii corespunztoare ecuaiilor de micare ale corpului. #0.4.3. Se rezolv sistemul astfel obinut i se determin valorile iniiale

pentru parametrii instantanei iniiali ai micrii corpului. #1. Se începe ciclul de timp Repet #1.1. Se conserv variabilele aparinând timpului anterior t1 în variabile OLD. Detaliere: Variabilele conservate sunt:

- poziia anterioar a grilei xOLD, yOLD; - valorile funciei de potenial pe S.L φrOLD. - poziia corpului în plutire xG OLD, zG OLD, φrOLD - vitezele corpului în plutire OLDOLDx rG φ ,

#1.2. Se începe procedura de integrare în timp (Runge-Kutta) (avansarea soluiei în timp respectiv rezolvarea subproblemei dinamice) #1.2.1. Se conserv derivatele de timp cunoscute în variabile de tip RK1 (Runge-Kutta pas 1). Aceste variabile sunt: - ∂φ ∂t pe S.L. - vitezele punctelor de pe S.L. - vitezele i acceleraiile ce definesc micarea corpului #1.2.2. Se trece la urmtorul pas intermediar de integrare în timp (pasul i=2..4) #1.2.3. Se avanseaz:

- funcia de potenial pe suprafaa liber, coordonatele suprafeei libere, vitezele corpului i poziia acestuia în spaiu:

57

X = Xold +ci-1 ( ) 1−itX ∂∂ dt unde c=1/2,1/2,1 pentru i=1..3

i X= Xold+dt( ( )1tX ∂∂ +2( ( )2tX ∂∂ + ( )3tX ∂∂ )+ ( )4tX ∂∂ )/6 pentru i=4 Not: prin X se îneleg variabilele enumerate mai sus.

OBS.: o atenie deosebit trebuie dat determinrii punctelor de intersecie ale corpului cu S.L. În aceast idee trebuie subliniat c geometria conturului de intersecie corp – fluid nu se va determina prin integrarea în timp a vitezelor punctelor de pe contur (deoarece vitezele acestora sunt exprimate prin aproximri insuficient de precise în acest scop – respectiv nu se va reui s se conserve riguros geometria corpului) – ci se va porni de la poziia punctelor menionate mai sus, relativ la sistemul de coordonate propriu navei, vectorul coordonatelor asfel obinute fiind rotit cu unghiul de ruliu instantaneu i translat în coresponden cu coordonata centrului de mas în sistem global. Astfel aceste puncte de intersecie definesc poziia navei în sistemul global i puncte ale S.L. (a se vedea în capitolul 4.3.).

- timpul: spre timpul intermediar urmtor tRKi=t1+dtRKi Not: dtRKi=dt/2,dt/2,dt i=2..4

#1.2.4. Se pun noile condiii la limit datorate incrementrii timpului pentru ecuaia câmpului potenialului de viteze (A) i pentru cea a derivatelor de timp ale acestui potenial (B): (A)

- cele care se cunosc apriori, ca de exemplu pe excitatorul de tip evantai a crui micare este cunoscut în timp ( )∂φ ∂n f t= (condiii de tip Neumann)

- cele care au fost calculate, respectiv valorile funcii de potenial φ pe S.L.(condiii de tip Neumann) i vitezele pe suprafaa solid a corpului (B)

- valori cunoscute apriori ca ( )∂ ∂φ ∂ ∂t n = 0 pe frontierele solide fixe (e.g.

fundul acvatorului) - valorile calculate ca∂φ ∂t pe suprafaa liber (condiie Dirichlet) obinute din condiia dinamic a S.L. sau

- valorile calculate ( )∂ ∂φ ∂ ∂t n pe suprafaa corpului (condiii de tip Neumann) (a se vedea în capitolul 4.2.) #1.2.5. Se începe rezolvarea subproblemei cinematice de asemenea pentru ecuaia câmpului potenialului de viteze (A) i pentru cea a derivatelor de timp ale acestui potenial (B): (A) (se rezolv ecuaia [M]φ,∂φ ∂n necunoscui= c detaliat în subcapitolele urmtoare)

#1.2.5.A.1. Se calculeaz matricea [M] #1.2.5.A.2. Se calculeaz vectorul termenilor liberi c cu ajutorul condiiilor la limit

#1.2.5.A.3. Se rezolv sistemul obinut din ecuaia de continuitate #1.2.5.A.4. Se calculeaz vitezele în punctele S.L. precum i derivatele de timp ale funciei potenial în punctele S.L.

(B) (se rezolv ecuaia [Mp]∂φ ∂t , ( )∂ ∂φ ∂ ∂t n , xG , ω necunoscute=cp, detalierea în subcapitolele urmtoare)

#1.2.5.B.1. Se calculeaz matricea [Mp] #1.2.5.B.2. Se calculeaz vectorul termenilor liberi cp cu ajutorul condiiilor la limit

58

#1.2.5.B.3. Se rezolv sistemul obinut din ecuaia de continuitate a ∂φ ∂t i în ecuaiile de echilibru ale corpului

#1.2.5.B.4. Se calculeaz ∂φ ∂t pe suprafaa corpului i acceleraiile corpului în plutire OBS.: prin integrarea în timp a parametrilor instantanei ai micarii se obine poziia corpului. Termenii ∂φ ∂t conduc la determinarea câmpului de presiuni pe corpul în plutire.

#1.2.6. Se repet procedura începând cu #1.2.2 pân la completarea pailor intermediari de integrare în timp #1.3. Regridizarea, dac este cazul, a frontierei amonte a suprafaei libere în scopul evitrii fenomenului de adunarea a punctelor “clustering”) #1.4. Se calculeaz eroarea relativ de conservare a masei.

OBS.: Eroarea relativ este calculat ca: (V-Vo)/VNo/100 [%], unde V este volumul instantaneu al fluidului, Vo volumul iniial al domeniului D, iar VNo este volumul iniial al navei.

#1.5. Se pstreaz rezultatele dorite #1.6. Se cicleaz de la #1.1 pân când se parcurge tot intervalul de timp dorit. 4.6.2 Detalii Introducerea unui corp în plutire implic rezolvarea micrii în timp a acestuia, în interaciune cu fluidul. Micarea corpului este determinat de acceleraiile sale instantanee:

Gx vectorul acceleraiei centrului de mas al corpului;

rφ acceleraia unghiular a corpului (notat i ω ). Aceste acceleraii pot fi calculate utilizând ecuaiile de echilibru dinamic prezentate anterior. Pentru explicitarea acestor ecuaii trebuie cunoscut câmpul de presiuni pe corpul navei. În expresia presiunilor termenul t∂∂φ creeaz dificulti de calcul. Conform

concluziilor capitolului 3, acest termen se va calcula prin rezolvarea ecuaiei ( ) 0=∂∂∆ tφ . Rezolvarea acestei ecuaii se va face prin discretizarea sa cu metoda elementelor de frontier ceea ce implic apariia ca necunoscute pe lâng t∂∂φ i a termenului ( ) nt ∂∂∂∂ φ . În concluzie, în cazul fluidului cu S.L. i corp în plutire trebuiesc rezolvate dou probleme de tip Laplace: 0=∆φ i ( ) 0=∂∂∆ tφ . Domeniul D este mrginit inferior dreapta i stânga ca i domeniul D anterior, în schimb S.L. se împarte într-o S.L. stânga i S.L. dreapta, separate de suprafaa solid a corpului în plutire ce are o micare care trebuie determinat (ca în figura de mai jos).

59

În plus fa de punctele deja descrise în capitolul 4.5.2. se adaug în conformitate cu particularitatea cazului de fa: NSLS = numrul de puncte ce descriu S.L. la stânga; NTN = numrul total de puncte ce descriu corpul in plutire; NSLD = numrul de puncte ce descriu S.L. la dreapta; NSLS+NTN+NSLD = numrul total de puncte ce definesc frontiera superioar. Subliniem apariia a înc dou puncte cu caracteristici speciale în conformitate cu capitolul 4.3. (“coluri”), în plus fa de cele cunoscute. Aceste puncte sunt: NPS+NSLS+1, respectiv NPS+NTN. Sistemul de ecuaii ce modeleaz ecuaia fundamental 0=∆φ are aceeai forma cu precizarea c vectorul condiiilor limit va avea urmtoarea componen: n∂∂φ =0 pe suprafeele solide fixe i = 1…NART ∪ NPS+NSL … NT ;

Not: Aceast condiie este valabil pentru frontiera aval, respectiv pentru punctele i= NPS+NSL+1.. NPS+NSL+NPD dac aceasta este considerat un perete solid fix. În cazul utilizrii pe frontiera aval a condiiei de penetrabilitate în aceste puncte, se calculeaz φ prin integrarea în timp a termenului t∂∂φ calculat din condiia menionat. n∂∂φ = cunoscut = f(t) pe evantai sau nVal ∂∂φ în cazul utilizrii unui val

cunoscut analitic, i= 1…NPS +1; nvn ⋅=∂∂φ unde v =viteza punctului de pe corpul în plutire iar n = normala la suprafaa corpului în punctul respectiv;

φ calculat prin integrare în timp pentru i=NPS+1 .. NPS+NSLS+1 ∪ NPS+NTN…NPS+NSL

Condiia de impenetrabilitate pe corpul în plutire implic cunoaterea vitezelor caracteristice acestuia la un timp dat, viteza unui punct de pe conturul corpului fiind exprimat prin rxvv G ω+= . Aceasta subliniaz necesitatea rezolvrii ecuaiilor de micare ale corpului. Vectorul Nec în acest caz are componena:

,,,,, 1..21,..21,

..1T

NTNNSLSNPSNSLSNPSi

NSLSNPSdr

T

NSLSNPSNPSiNPSst

NPSinnn

−++++=

++++=+

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂φ

φφφφ

∂

∂

∂

∂

∂

∂++=

+−++++++

T

NTNSLNPSi

NSLNPSdr

T

NSLNPSNTNNSLSNPSNTNNSLSNPSst nnn..1

,1..1,,

,, φφφφ

pentru situaia când frontiera aval este solid i fix. În cazul când se folosete condiia de penetrabilitate, ultima component a mulimii se divide: pe poriunea frontierei aval, respectiv i= NPS+NSL+1.. NPS+NSL+NPD, care este viteza normal la contur, iar pe fund, respectiv i=NPS+NSL+NPD+1..NT, este funcia de potenial. Rezolvarea ecuaiilor de micare ale corpului necesit cunoaterea termenului t∂∂φ ,

ceea ce implic, aa cum s-a artat, rezolvarea unei ecuaii de tip Laplace pentru t∂∂φ . Spre diferen de modelarea ecuaiei fundamentale, modelarea ecuaiei Laplace pentru

t∂∂φ implic un sistem de (NT+3)x(NT+3), ecuaii având NT necunoscute de tip t∂∂φ i

( ) nt ∂∂∂∂ φ (în analogie cu vectorul Nec descris mai sus pentru ecuaia de continuitate) la care se adaug trei necunoscute suplimentare ce descriu micarea corpului, respectiv acceleraiile acestuia: Gx , Gz i rφ .

60

Astfel prin discretizarea ecuaiei Laplace cu ajutorul BEM (în conformitate cu capitolul 4.5.2), se obin NT ecuaii au forma general respectiv:

( ) ( )=

−−

∂

∂

∂

∂++

∂

∂⋅−+=

NT

j j

dij

cij

jiij

bij

aij

tnTT

tcTT

1110

φφδ pentru i=1..NT

Pentru a rezolva acest sistem se impun condiiile la limit. Pentru j∈Su (suprafaa udat a corpului în plutire), deci j= NPS+NSLS+1 .. NPS+NSLS+NTN, prin introducerea condiiei la limit de tip Neumann (sub forma prezentat în capitolul 4.2), se obin egaliti de forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( −−⋅+⋅+⋅+⋅+=∂∂∂∂⋅+ vuxnnrnrnTTntTT

d

ij

c

ij

d

ij

c

ij ωϖϖϖφ 2xxxvG

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

y

uu

x

uun

y

uu

x

uun z

z

z

xz

x

z

x

xx

ceea ce înseamn c prin impunerea condiiilor la limit pe corp se introduc trei necunoscute suplimentare Gx , Gz i rφ . Sistemul obinut astfel se poate scrie în form matricial:

[ ] [ ][ ]

NTFNTNTxFCNTxNTF CNecMM =+− 33 [4.6.2.1] unde:

- [ ]FM este matricea coeficienilor de influen fluid-fluid, are dimensiunea NTxNT i

corespunde necunoscutelor de tip t∂∂φ i ( ) nt ∂∂∂∂ φ

- [ ]FCM − este matricea coeficienilor de influen a corpului asupra fluidului, are

dimensiunea NTx3 i corespunde necunoscutelor Gx , Gz i rφ

- Nec vectorul necunoscutelor, are dimensiunea NTx3 i este format din necunoscute de

tip t∂∂φ i ( ) nt ∂∂∂∂ φ pe primele NT poziii i Gx , Gz i rφ

- FC vectorul termenilor liberi corespunztor ecuaiei ( ) 0=∂∂∆ tφ (componenta “de fluid” din sistemul extins care se va obine în final), are dimensiunea NT.

La acest set de ecuaii se mai adaug un bloc de 3 ecuaii ce sunt obinute prin

detalierea condiiilor de echilibru ale corpului. Astfel, ecuaiile de echilibru a corpului pe direcie orizontal este:

⋅=+⋅S

Gexx xMasaFdsnp

Aceast ecuaie se prelucreaz inând cont de: nxds=dx, c în general Fex=0 i de

expresia presiunii ( ( )( )22φφρ ∇+⋅+∂∂−= gytp ) obinându-se:

( )⇔⋅

∆=

∇+⋅−

∂

∂−= G

S S S

xdxygdxt

pdx

ρ

φφ

2

2

( )

dxygxdxt

S S

G

∇+⋅=⋅

∆−

∂

∂−

2

2φ

ρ

φ

Analog se obin expresiile ce rezult din ecuaiile de echilibru pe direcie orizontal i pentru rotaie (micarea de ruliu):

( ) ( ) ( ) gdzzgzdzt

S S

G ⋅∆

+−

∇+⋅=⋅

∆−−

∂

∂− ρ

φ

ρ

φ

2

2

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]dzzzdxxxzgJ

dzzzdxxxt

GG

S S

rGG ⋅−+⋅−

∇+⋅=⋅−⋅−+⋅−

∂

∂− 2

2φ

φρ

φ φ

61

Aceste ultime ecuaii se pot scrie în form matriceal astfel:

[ ] [ ][ ] 33333 CNTxCxNTCF CNecMM =+− [4.6.2.2] unde:

- [ ]CFM − este matricea de influen a fluidului asupra corpului, are dimensiunea 3xNT i

corespunde necunoscutelor de tipul t∂∂φ i ( ) nt ∂∂∂∂ φ . Deoarece îns în expresiile

ecuaiilor de echilibru dinamic nu se regsesc decât termenii t∂∂φ pe corp rezult c pe fiecare linie sunt nenuli doar termenii corespunztori punctelor de pe corp. Aceste puncte corespund indicilor i=NPS+NSLS+2..NPS+NSLS+NTN+1, domeniu de indici pe care îl vom nota în continuare cu icorp. Exprimând integralele prin metoda trapezelor, se obine urmtoarea expresie detaliat:

[ ] ( )

( )( ) ( )( )

[ ] ( )

+−+

+−

+−

+

++

=

+−+−

+−

+−

++ NTNTNNSLSNPSx

ii

iiGiiiGi

ii

ii

NSLSNPSx

corp

zzzzxxxx

zz

xx

..3

1111

11

11

13 0

22

2

2

0

- [ ]CM este matricea coeficienilor de influen corp-corp, are dimensiunea 3x3 i

corespunde necunoscutelor Gx , Gz i rφ . Detaliat are forma

−

∆−

∆−

φJ00

00

00

- Nec vectorul necunoscutelor este descris anterior

- CC este vectorul termenilor liberi corespunztori ecuaiilor de echilibru dinamic i are

dimensiunea de 3. Considerând c integrarea presiunilor pe corp se face prin metoda trapezelor se obine urmtoarea form:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−⋅++

−⋅+⋅

∇+⋅

∆⋅++

⋅

∇+⋅−

+⋅

∇+⋅

−++

++=

+−+−

−++

++=

+−

−++

++=

+−

1

2

11112

1

2

112

1

2

112

222

22

22

NTNNSLSNPS

NSLSNPSi

GiiiGiiii

i

NTNNSLSNPS

NSLSNPSi

iii

i

NTNNSLSNPS

NSLSNPSi

iii

i

zzzzxxxxzg

gzz

zg

xxzg

φ

φ

φ

Forma matricial complet se obine prin reunirea celor dou ecuaii [4.6.2.1] i

[4.6.2.2] astfel încât s formeze un sistem compatibil i unic determinat. Aceast form este:

[ ] [ ][ ] [ ]

( ) ( )

333

33333

3

+

+

++−

−

=

NTC

NTF

NT

NTxNTxCxNTCF

NTxFCNTxNTF

C

CNec

MM

MM

Avantajul acestei metodologii de calcul este independenta de modificarea în timp a

grilei de pe nav i de pasul de timp folosit, spre diferen de cazul folosirii diferenelor finite. În plus, calculul direct al acceleraiilor, fr a mai fi necesar integrarea efectiv a presiunilor pe corpul navei pentru determinarea solicitrilor hidrodinamice i obinerea acceleraiilor din

62

acestea, crete precizia calculului. În concluzie, eficiena i fiabilitatea metodei este dat de faptul c se bazeaz pe o modelare matematic compact, indiferent de modificarea grilei i de pasul de timp, care cuprinde atât aspectele legate de presiune cât i cele legate de acceleraia corpului. Cunoscând acceleraiile Gx , Gz i rφ , pentru orice moment anterior lui ti precum i

valorile iniiale ale acestora se determin poziia i vitezele corpului la moment dat ti prin integrarea în timp a acceleraiilor. Poziia corpului este definit prin coordonatele centrului de masa Gx precum i de unghiul de ruliu φr. Vitezele corpului sunt utilizate pentru impunerea

condiiilor Neumann pe suprafaa navei în cadrul rezolvrii ecuaiei de continuitate. De asemenea, ele contribuie la aflarea vitezei relative a fluidului în punctele de intersecie cu suprafaa liber (viteza de imersare a bordajului). Prin integrarea în timp a vitezei de imersare, în corelaie cu poziia corpului se determin punctele de intersecie ale corpului cu S.L. definitivându-se astfel calculul geometriei S.L. la noul timp.

Metoda de integrare în timp utilizat în lucrarea de fa este Runge-Kutta de ordinul 4.

Aceast metod este una dintre cele mai utilizate i deci a crei stabilitate numeric este dovedit.

În referina [92] se utilizeaz o metod predictor-corector Adams-Bashforth-Moulton de ordinul 4 cu rezultate satisfctoare. Pasul de timp mic folosit în [92] (ajungând chiar la T/160) este considerat de autorul lucrrii de fa o consecin a calculrii termenului t∂∂φ prin metoda diferenelor finite.

De asemenea, în cursul pregtirii acestei lucrri autorul a obinut rezultate satisfctoare chiar i cu o metod de integrare de tip Euler, folosindu-se, ca i în cazul ABM4, ciclarea pân la atingerea unei convergene a rezultatelor considerat satisfctoare. Dezavantajul acestor metode îns în pasul de timp (∆t) mai mic ce trebuie utilizat mai ales în cazul unor micri critice (în apropierea frecvenelor de rezonan), putându-se ajunge, ca i în [92], chiar i la T/160. Aceiai valoare mic a pasului de timp este necesar i în cazul metodei “consistente” bazate pe o metod de integrare în timp de tip Newton-Raphson (iterativ) utilizat în [35].

În referina [100] se arat c o simulare ce folosete Runge – Kutta de ordinul 4 este stabil chiar i pentru un pas de timp ( ) 20/,min rh TTt =∆ unde Th este perioada critic a

micrii de oscilaie pe vertical iar Tr perioada critic a micrii de ruliu. Simulrile realizate în aceast lucrare folosesc 20/hTt ≈∆ (în cazurile studiate Th<Tr).

O situaie particular a rezolvrii a acestui sistem este determinarea valorilor iniiale

ale parametrilor instantanei ai micrii navei. Aceste valori, precum se tie din teoria rezolvrii ecuaiilor difereniale, sunt eseniale pentru determinarea în mod unic a soluiei. Aceste valori nu pot fi cunoscute printr-o deducie banal, de aceea singura modalitate de calcul a lor este rezolvarea sistemului ( ) 0=∂∂∆ tφ , extins prin adugarea ecuaiilor de micare la timpul to=0 (punctul #0.4 al algoritmului). Modul de deducere al sistemului în acest caz este identic cu cel pentru un timp oarecare t, cu observaia c expresiile termenilor vor fi mult mai simple deoarece la momentul iniial atât câmpul de viteze cât i cel al funciei potenial este constant nul.

63

4.7. Descrierea programelor utilizate Programele prin care se face simularea fenomenelor hidrodinamice au fost realizate utilizând limbajul de programare TURBO PASCAL în versiunea TURBO PASCAL 7.0. Din punct de vedere al programrii s-a urmrit principiul general al programrii structurate, respectiv modularizarea. Parametrii rulrilor acestor programe depind direct proporional cu puterea a treia de numrul de puncte pe care le conine modelul. Acest motiv a condus la încercarea autorului de a diminua pe cât a fost posibil numrul de puncte utilizate. Autorul a folosit intens variabilele dinamice în scopul de a putea rula cât mai mult în modul “real”, mod care permite eventuale depanri. Durata rulrilor este evident puternic dependent de hardware-ul disponibil i este clar influenat de faptul c trebuiesc salvate rezultate intermediare la fiecare pas de timp. Ca termen de comparaie, rularea unui exemplu ce implic aproximativ 85 de puncte i 720 de pai de timp, pe un calculator cu microprocesor având frecvena de 333 MHz, dureaz aproximativ 4 ore. Un exemplu ce implic aproximativ 150 puncte, necesit deja aproximativ 20 ore pentru un numr de numai 480 pai de timp. Se observ c efortul de calcul este substanial pentru un P.C. mai ales în cazul când se stabilete metodologia (ceea ce implic rulri succesive de tatonare sau verificare). Îns odat definitivat metoda, efortul de calcul nu mai apare ca fiind atât de mare, mai ales atunci când este utilizat pe mijloace hardware mai puternice. Programul utilizeaz tehnica modularizrii (a “unit”-urilor). Prezentm în continuare modularizarea pentru programul ce simuleaz curgerea fluidului cu S.L. în prezena unui corp în plutire. Modulul principal se numete DMAIN. Acest modul apeleaz variabile i proceduri coninute în celelalte module: DTIP, DINIT, DGRILA, DASM, DGAUSS, DVIT, DFORTE. Unitul DTIP este apelat de ctre toate aceste module deoarece el conine declaraiile de tip i variabilele globale. Unitul DGRILA cuprinde procedurile care iniializeaz geometria i care o deseneaz pe ecran la fiecare pas de timp. Unitul DINIT cuprinde procedurile de iniializare a condiiilor la limit la fiecare timp atât pentru ecuaia 0=∆φ cât i pentru ecuaia ( ) 0=∂∂∆ tφ . Unitul DASM realizeaz asamblarea matriciilor necunoscutelor [M], respectiv [Mp] i calculeaz coeficientul α (a se vedea în capitolul 4.1.) (atât pentru ecuaia 0=∆φ cât i

pentru ecuaia ( ) 0=∂∂∆ tφ ). Acest unit apeleaz unitul DELEM.

Unitul DELEM calculeaz termenii d

j

c

j

b

j

a

j TTTT ,,, prin asamblarea crora se afl [M]

i [Mp]. Unitul DGAUSS rezolv sistemele de ecuaii obinute prin metoda eliminrii Gauss. Unitul DVIT calculeaz vitezele în punctele de pe contur, respectiv: viteza tangenial

s∂∂φ (a se vedea capitolul 4.5.2) i apoi vitezele în sistemul global de coordonate. Unitul DFORTE integreaz presiunile pe corp determinând astfel forele ce se exercit asupra acestuia. Acest unit nu este absolut necesar simulrii deoarece aa cum reiese din capitolul 4.6.2. acceleraiile corpului se determin din rezolvarea sistemului ( ) 0=∂∂∆ tφ extins cu ecuaiile de echilibru ale corpului, far a mai fi necesar s se parcurg etapa intermediar a integrrii presiunilor. Totui acest unit este folosit pentru post procesarea rezultatelor, el cuprinzând i procedura care calculeaz presiunile în punctele de pe corpul navei.

64

În cazul curgerii fluidului fr corp îm plutire uniturile descrise mai înainte se adapteaz corespunztor în sensul c DFORTE nu mai este necesar, iar DINIT, DELEM, DASM i DGAUSS nu mai conin variabilele i procedurile referitoare la câmpul de presiuni. Anexa I conine listing-urile integrale ale programului principal i a celor mai iportante unituri pentru cazul studiului curgerii fluidului cu suprafa liber în prezena unui corp în plutire. Pentru reprezentarea rezultatelor s-a folosit un alt program numit DES_NAV realizat tot cu ajutorul limbajului de programare TURBO PASCAL versiunea 7.0. Acest program utilizeaz fiierele de rezultate create de DMAIN i realizeaz:

- reprezentarea variaiei geometriei domeniului în timp; - diagrama variaiei erorii de mas în timp ; - diagrama micrii centrului de mas al corpului în timp în coordonate x i y; - diagrama micrii în timp a centrului de mas pe direcie vertical; - diagrama variaiei în timp a unghiului de ruliu; - variaia în timp a elevaiei unui punct al S.L. la un x dat; - reprezentarea variaiei în timp a câmpului de presiuni în jurul corpului; - diagrama variaiei în timp a forelor ce acioneaz asupra corpului; - variaia în timp a presiunii într-un punct dat de pe corp.

Diagramele ce ilustreaz simulrile ce vor fi prezentate, sunt realizate cu acest

program.

65

Capitolul 5 Exemple numerice. Comparaii cu rezultate analitice i cu rezultatele indicate în bibliografie

5.1. Generarea valului Se va trata problema generrii valului prin metoda fluxului de viteze calculat cu ajutorul caracteristicilor unui val descris analitic (a se vedea capitolul 4.4.). Valul cunoscut analitic este valul liniar Airy. A fost folosit acest tip de val deoarece este utilizat în una din referinele cu care care se va face comparaia pentru validarea rezultatelor. Rezultatele simulrii pe care o prezentm în continuare dorete s susin rezultatele ce vor fi prezentate în cadrul studiului curgerii fluidului cu suprafa liber în prezena unui corp în plutire. Aspectele vizate sunt: amplitudinea valului obinut i variaia erorii masice. În toate simulrile pe care le prezentm în aceast lucrare, este extrem de util s se cunoasc lungimea de und a unui val generat de o excitaie cu o perioad dat (T) într-un acvatoriu cu o adâncime cunoscut (h). Pentru aceasta se va folosi teoria valului liniar pentru care sunt cunoscute expresii analitice ale diferitelor caracteristici. Rezultatele obinute de autor demonstreaz c aceast estimare este suficient de corect, eroarea încadrându-se în pasul de divizare a conturului ataat suprafeei libere (dx). În scopul estimrii lungimii de und s-a rezolvat ecuaia neliniar:

λλ

π

π−

⋅= hth

Tg 2

20

2cu ajutorul unui program realizat în TURBO Pascal numit ESTIM.

Pentru rezolvarea acestei ecuaii s-a folosit metoda “cletelui”, metod care se dovedete în cazul de fa eficient i rapid. Pentru a descrie geometria domeniului D se vor folosi notaiile descrise în capitolul 4.5. NPS= 9 respectiv numrul de puncte pe peretele stâng de la fund pân imediat sub S.L.; NPD= 9 respectiv numrul de puncte pe peretele drept de la fund pân imediat sub S.L.; NSL= 51 repectiv numrul total de puncte de pe S.L.; NF= 16 respectiv numrul de puncte pe fund fr interseciile cu pereii; Acceleraia gravitaional este considerat normal, iar densitatea apei 1 t/m3. Adâncimea acvatoriului este 0.9 m (în conformitate cu scopul enunat mai sus – comparaia cu rezultatele prezentate în referina [92]). Perioada excitaiei este 1.0 s. Simularea va corespunde cu cazul 6 ce este prezentat în capitolul 4.4. Pentru adâncime i perioada considerat, programul ESTIM ofer λ= 1.559 m ceea ce corespunde cu rezultatul prezentat în [92] Tabelul 1 – Seria C. Lungimea domeniului a fost de 5λ. Simularea a fost efectuat pe durata a 18 perioade de timp (deci 18.0 s), pasul de timp fiind dt=T/40= 0.025 s. În punctele de pe frontiera stânga (amonte) este introdus o vitez descris de

expresia: ( )( )( )

( )tkxkhsh

hzkchHvx ωω −

+= cos

2 unde k= numrul de und iar ω= pulsaia valului.

Înlimea valului H este de 0.051m. Punctele de pe frontiera aval, inclusiv punctul de intersecie între frontier i S.L. se deplaseaz pe vertical în funcie de viteza tangenial calculat. Cota z care este utilizat în formul este îns cota punctului de la timpul 0. Considerm necesar s subliniem din nou c valul obinut este complet neliniar deoarece este obinut prin integrarea direct (fr liniarizri sau omisiuni) a condiiilor suprafeei libere. Utilizarea ca excitaie a valului liniar Airy poate cel mult, aa cum s-a artat

66

în capitolul 4.4., s intre în conflict cu condiiile de S.L. în cazul folosirii câmpului de potenial, dar nu influeneaz cu nimic rezolvarea complet neliniar a curgerii fluidului cu S.L. Valul astfel obinut este un val neliniar.

Fig. 5.1.1 - Geometria S.L. la t= 10.075 s

În figura 5.1.1. este prezentat geometria suprafeei libere la un timp dat. Se poate remarca c lungimea de und i înlimea valului obinut sunt în concordan cu cele ateptate. Astfel lungimea de und calculat ca diferena între dou extreme succesive are o valoare medie de 1.55 m, iar înlimea valului este de 0.048 m. În poriunea imediat apropiat excitaiei apar diferene mai importante în cazul lungimii de und datorate, în opinia autorului, unei zone de stabilizare a curgerii (o zon tranzitorie). Totui aceste erori se încadreaz în eroarea datorat msurrii lungimii de und cu ajutorul nodurilor grilei, deci ca multiplu de dx.

Fig. 5.1.2a - Variaia în timp a elevaiei S.L. la x= λ/2

67

Fig. 5.1.2b - Variaia în timp a elevaiei S.L. la x= 3λ

În figurile 5.1.2. sunt prezentate variaiile elevaiilor suprafeelor libere la x=λ/2 i x=3λ. În cazul x=λ/2 înlimea valului obinut este de aproximativ 0.050 m iar pentru x=3λ înlimea valului este de aproximativ 0.048 m în corelaie cu cea evideniat în figura 5.1.1. Aceast scdere de înlime se datoreaz dispersiei numerice a metodei. Comparând diverse înlimi de val autorul a concluzionat c dispersia numeric este direct proporional cu deprtarea de excitaie i cu numrul de puncte folosit pe suprafaa liber. Figurile 5.1.2. confirm i buna respectare a periodicitii, procesul fiind unul de tip oscilaie forat. Eroarea perioadei evideniate se încadreaz în valoarea pasului de timp dt. Figura 5.1.2b evideniaz i viteza de grup a valurilor astfel generate cg≠c. Expresia

general a vitezei de grup este: ( )

+=

khsh

khccg

2

21

2. În cazul de fa aceast vitez ar putea

fi aproximat ca c/2 (val în acvatoriu cu adâncime mare). Din figura 5.1.2b se poate observa c în punctul aflat la x=3λ se obine o elevaie semnificativ (considerat H/2) abia pentru t/T= 5.725 ceea ce ar însemna cg0.52*c. În figura 5.1.3 este prezentat variaia în timp a erorii masice relative a simulrii. Pentru a facilita comparaia cu rezultatele ce se vor prezenta în capitolul 5.4. am definit

eroarea masic relativ ca fiind raportul: ( ) ( )( )100*

M

VotVterr

ρ−= [%] unde:

V(t) = volumul de fluid din acvatoriu la momentul t; Vo = volumul de fluid din acvatoriu la momentul iniial; M = masa corpului în plutire aa cum va fi exemplificat în capitolul 5.4.

Not: M= 79.375 kg

Eroarea masic relativ este exprimat în raport cu M (masa unui corp utilizat abia în capitolul 5.4) în scopul uurrii comparrii erorilor relative din cazurile similare de generare a valului - fr i în prezena corpului în plutire. Exprimarea erorii relative în raport de masa M≈79 kg ofer o rezoluie mai bun cu aproximativ 1000 de ori fa de compararea cu volumul iniial al fluidului care este de aproximativ 71200 kg. inând cont de acest mod de

68

exprimare a erorii prin care aceasta se raporteaz la o valoare oarecare, independent de mrimea acvatoriului urmeaz s încercm s explicm evoluia acestei mrimi. Pentru simularea de fa, frontiera aval a fost considerat permeabil. Simularea s-a realizat pe durata a 18 intervale de timp pentru a putea ilustra optim fenomenele. Astfel, se observ c:

- în primele aproximativ 3 perioade, eroarea are valori strict pozitive ceea ce indic un aflux de mas în deplin concordan cu utilizarea unui câmp de vitez definit ca mai sus, în care z îi pstreaz valoarea iniial;

- în perioada cuprins între intervalele 3 i 7 eroarea de mas devine negativ. Ca fenomen fizic acest fapt reprezint atingerea de ctre frontul de val a frontierei aval modelat permeabil, fapt firesc inându-se cont c acvatoriul are lungimea de 5λ. Plusul de substan introdus începe s fie eliminat;

- în perioada cuprins între intervalele 7 i 10 eroarea de mas tinde spre echilibru. Fluxul de substan se stabilizeaz;

- perioada cuprins între intervalele 10 i 18 arat c fluxul de substan este stabil Valoarea medie indic totui c rmâne un plus rezidual (1%).

Fig. 5.1.3. – Variaia în timp a erorii masice

Atât asimetria între amplitudinile pozitive i cele negative ale valului cât i evoluia erorii masice ce indic prezena unui transport de substan, arat c valul obinut este neliniar. Studiile realizate de ctre autor asupra posibilitii simulrii valurilor arat c: prin mrirea cantitii de energie introdus de ctre excitator valul tinde s se ascut i apoi, în extrem, s deferleze. Toate aceste rezultate i concluzii indic aceast metod de simularea a curgerii fluidului cu suprafa liber, ca fiind în conformitate cu realitatea i mult mai apropiat de aceasta fa de modelele analitice. Prin cele artate pân aici sperm s convingem c utilizarea unei astfel de modelri este posibil i util.

69

5.2. Corpul în micare liber S-a considerat c pentru validarea metodei de simularea a curgerii fluidului cu suprafa liber în prezena unui corp, este necesar mai întâi studierea micrilor libere ale corpului, respectiv micarea de oscilaie pe vertical i micarea liber de ruliu, respectiv oscilaii în jurul axei perpendiculare pe planul corpului (în cazul 2D). Rezultatele obinute prin simularea acestor micri, vor fi folosite ca valori pentru perioadele proprii critice în capitolul 5.4. i vor fi comparate cu rezultatele experimentale prezentate în referina [92]. În ambele simulri se va utiliza:

- un acvatoriu de adâncime h=0.9 m (conform cu adâncimea bazinului de încercri prezentat în referina [92]);

- acceleraia gravitaional normal (9.81 m/s2) i densitatea apei 1000 kg/m3; - un corp rectangular având o lime B=0.4 m, un pescaj d= 0.2 m i o gurn

rotunjit cu raza r = 0.025 m (conform dimensiunilor corpului utilizat în experimentele prezentate în [92]);

- centrul de greutate al corpului este la 0.3625B fa de linia de baz, iar raza de inerie este 0.36B (seria de test C în conformitate cu [92]);

Corpul este dispus în mijlocul acvatoriului. Distana dintre bordurile corpului i marginile solide i fixe ale acvatoriului este de

3.5λ, unde λ lungimea de und a valului gravitaional generat în acvatoriul cu adâncimea h, de o excitaie cu perioada T= perioada critic a micrii. Folosind notaiile prezentate în capitolul 4.6.2., numrul de puncte de pe diversele zone ale conturului sunt:

- NPS= NPD= 9 respectiv numrul de puncte de pe frontiera amonte respectiv aval; - NF= 40 respectiv numrul de puncte de pe fundul acvatoriului; - NSLS=NSLD= 35 respectiv numrul de puncte de pe S.L. la stânga i la dreapta

corpului; - NNVS= NNVD= 6 respectiv numrul de puncte de pe bordajele stânga i dreapta

ale navei; - NNVF= 11 respectiv numrul de puncte de pe fundul navei; Frontierele aval i amonte sunt de tipul perete solid fix. Durata de timp în care s-a realizat simularea este de 5T.

5.2.1. Oscilaia vertical liber Pentru a obine o estimare iniial a perioadei critice am utilizat metoda fâiilor aplicat seciunii considerate. Utilizând notaiile clasice în Dinamica Navei, ecuaia general a micrii verticale libere are expresia: ( ) 03333 =+++ BgzzNzMM ρ unde:

M33= masa adiional la micarea vertical, N33= coeficientul de amortizare al micrii verticale.

Calculul acestor termeni se face cu ajutorul formulelor: 82

3333 BcM ρπ= 4223333 BN ρωλ=

Coeficienii c33 i λ33 sunt prezentai tabelar în [36] i depind de urmtorii parametrii:

gdc2

1 ω= Bdc 22 = BdAc =3

70

Calculul necesar pentru estimarea perioadei critice cu aceast metod este un calcul iterativ. Astfel, se pornete de la o perioad i se extrag din tabele coeficienii ecuaiei de micare. Prin rezolvarea ecuaiei se obine o nou estimare a perioadei. Procesul se continu pân la convergen.

În cazul de fa se poate folosi estimarea ce rezult din [92] respectiv T=1.24 s. Utilizând aceast valoare se obine dup prima ciclare T=1.18 s. A doua ciclare indic c aceast valoare asigur convergena.

Factorul de atenuare al oscilaiilor libere calculat cu ajutorul acestei metode este c=0.64. Pentru simularea de fa s-a folosit T=1.0 s i un pas de timp de T/40=0.025 s. Durata simulrii este de 5T= 5 s. Durata estimrii este limitat la aceast valoare deoarece condiia de frontier aval perete solid fix, creeaz valuri reflectate ce altereaz rezultatele. Acvatoriul are lungimea total L= 7λ+B= 7*2.36+0.40= 16.92 m (λ=2.36 m reprezint lungimea de und a valului generat în acvatoriul de fa de o excitaie cu perioada de 1.24 s). În figura 5.2.1.1. este prezentat geometria suprafeei libere la un timp dat. Simetria micrii este confirmat i de elevaiile identice ce aparin punctelor simetrice fa de axa de mijloc a acvatoriului.

Fig. 5.2.1.1. – Geometria S.L. la T=2.5 s

Fig. 5.2.1.2 – Deplasarea relativ a centrului de mas

71

Figura 5.2.1.2. prezint deplasarea relativ a centrului de mas a corpului. Prin deplasare relativ se înelege raportul h/H unde: h= deplasarea instantanee a centrului de mas fa de poziia de echilibru iar, H= deplasarea iniial a centrului de mas, reprezentând în acelai timp i deplasarea maxim. Diagrama a fost prezentat în termenii deplasrii relative a centrului de mas pentru a se putea evidenia buna concordan cu diagrama similar prezentat în fig. 22 din [92], realizat pentru a compara experimentul cu rezultatele numerice ale autorului referinei.

Din diagrama mai înainte menionat se observ c perioada micrii experimentale este mai mic decât cea a micrii simulate, ceea ce este în concordan cu rezultatele obinute în lucrarea de fa (respectiv 1.18 s în loc de 1.24 s) Valorile numerice extreme sunt:

timp (minime) Valori minime timp (maxime) Valori maxime 0.620 -0.599 0.000 1.000 1.780 -0.315 1.200 0.455 2.960 -0.168 2.360 0.237 4.120 -0.088 3.540 0.126

4.720 0.076 Din tabelul de mai sus se obin urmtoarele valori ale perioadei între maxime i ale factorului de atenuare (factorul de atenuare= ( )1ln +ii AA unde Ai= amplitudinea la pasul i):

Perioada T [s] Factorul de atenuare Perioada T [s] Factorul de atenuare

1.160 0.642 1.200 0.787 1.180 0.629 1.160 0.650 1.160 0.646 1.180 0.631

1.180 0.505 Media aritmetic a perioadelor este 1.174 s iar cea a factorilor de atenuare 0.641.

Fig. 5.2.1.3. – Variaia în timp a erorii masice relative

72

În figura 5.2.1.3. este prezentat variaia în timp a erorii masice relative. Eroarea

masic relativ este calculat prin: ( )

100⋅−

=M

VoVerr

ρ unde:

V= volumul instantaneu al fluidului din acvatoriu, Vo= volumul iniial al fluidului din acvatoriu, M= masa corpului. Variaia erorii indic tendina de stabilizare a acesteia la o valoare medie de 0.175% din masa corpului, pe care autorul o consider satisfctoare inându-se cont c aceast eroare cuprinde i eroarea datorat micrii suprafeei libere. Comparând rezultatele obinute prin simulare cu cele calculate folosind teoria clasic se observ c sunt foarte apropiate. Acest fapt se justific prin utilizarea unui dezechilibru iniial relativ mic (H=0.02 m deci 10% din pescaj) precum i a factorului de atenuare semnificativ, ceea ce a meninut simularea în zona micrilor, cu amplitudini mici. Pentru evidenierea componentelor neliniare ale presiunii ce acioneaz, în fig. 5.2.1.4. se prezint distribuia componentelor dinamice ale presiunii la dou momente de timp.

Prin componentele dinamice se înelege ( )

∂

∂+

∇−=

tpd

φφρ

2

2

Fig. 5.2.1.4 – Distribuia pe corpul navei a componentelor dinamice ale presiunii

la t=0.460 s i t= 1.060 s 5.2.2. Oscilaia de ruliu liber În cazul oscilaiei de ruliu libere nu s-a mai apelat la teoria fâiilor, deoarece pentru

perioada critic ce se obine coeficientul c1, care în aceast situaie este exprimat ca g

dc

2

1

ω=

are valoarea 0.165, valoare ce necesit extrapolri în cadrul tabelelor utilizate. Pentru determinarea perioadei T autorul a realizat o simulare cu T=1 s observând zona în care se situeaz valoarea real.

A doua simulare a fost realizat cu T= 2 s i dt=T/40, deci 0.050 s. λ considerat este 5.025 m corespunztoare valului gravitaional generat de o excitaie cu perioada de 2 s. Pentru a se realiza mai uor dezechilibrul iniial (unghiul iniial de ruliu notat U i care reprezint i amplitudinea maxim a oscilaiei), se acioneaz asupra corpului cu un moment exterior pe o durat finit. Pentru simularea numeric se iniializeaz componenta NT+3 a

73

vectorului termenilor liberi ai ecuaiei ( ) 0=∂∂∆ tφ , cu valoarea dorit, în cazul de fa: cp[NT+3]= 0.25Jφρπ2cos(πt) pentru t<0.5 s. În figura 5.2.2.1. este prezentat geometria S.L. pentru un timp dat. Se poate remarca asimetria micrii i amplitudinea mic a valurilor generate (ceea ce indic o disipare a energiei mult mai mic).

Fig. 5.2.2.1.

În figura 5.2.2.2. este prezentat variaia în timp a unghiul de ruliu. Variaia relativ este calculat prin raportul u/U unde: u = unghiul instantaneu de ruliu, U = unghiul maxim de ruliu. În situaia de fa unghiul maxim de ruliu este de aproximativ 12.2°. Se poate considera c un astfel de unghi scoate micarea corpului din zona aproximrilor liniare.

Fig. 5.2.2.2. – Variaia în timp a unghiului de ruliu relativ

Valorile numerice extreme sunt: timp (minime) Valori minime timp (maxime) Valori maxime

1.760 -0.956 0.680 1.000 3.920 -0.898 2.840 0.926 6.080 -0.842 5.000 0.871 8.240 -0.784 7.160 0.814

9.320 0.755

74

Din tabelul prezentat, se obin urmtoarele valori ale perioadei între maxime i ale factorului de atenuare:

Perioada T [s] Factor de atenuare Perioada T [s] Factor de atenuare 2.160 0.066 2.160 0.077 2.160 0.064 2.160 0.061 2.160 0.071 2.160 0.068

2.160 0.075 Media aritmetic a perioadelor este 2.160 s, iar cea a factorilor de atenuare 0.069. Este remarcabil, spre diferen de cazul oscilaiei verticale, stabilitatea perioadei obinute prin simulare numeric. În referina [92], în figura 26 sunt prezentate rezultate experimentale ale oscilaiei de ruliu realizate în condiiile respectate de simularea de fa. Se observ o diferen în special referitoare la perioada proprie a micrii care este mai mic în cazul experimental. Autorul referinei [92] afirm c a sesizat aceast diferen i în simulrile numerice realizate de el i a corectat-o intervenind în ecuaia de echilibru a momentelor, ce acioneaz asupra corpului prin introducerea unor coeficieni de amortizare determinai experimental pentru cazul concret pe care îl studia. Autorul lucrrii de fa nu i-a propus studiul în amnunt al acestui fenomen, de aceea a considerat c rezultatele pe care le-a obinut sunt satisfctoare. Astfel, din diagrama prezentat pentru comparaie, perioada micrii este 1.83 s fa de 2.16 s, iar atenuarea este mult mai pronunat. Concluzia care se trage din aceast observaie este c modelarea numeric utilizat de autor nu surprinde complet fenomenul real. Autorul referinei [92] a analizat termenul de amortizare dinamic în maniera clasic, considerându-l ca fiind suma unei componente de amortizare de radiaie i a unei componente de amortizare vâscoase. Componenta de amortizare de radiaie s-a considerat c este cuprins de modelarea numeric cu ajutorul fluidului potenial, îns nu i cea de amortizare vâscoas, de aceea s-a acionat în direcia estimrii acesteia. Aceast constatare indic o deficien a unei ipoteze principale a modelrii, respectiv cea a fluidului potenial. Cu toate acestea, rezultatele obinute sunt suficient de apropiate de realitate pentru ca metoda s poat fi utilizat cu succes cel puin pentru calculele ce implic determinarea presiunilor.

Fig. 5.2.2.3. – Variaia în timp a erorii masice relative

75

Figura 5.2.2.3 prezint evoluia în timp a erorii masice relative i se calculeaz conform formulei prezentate în capitolul 5.2.1. Se observ c eroarea are o tendin medie ascendent, dar care are tendina de stabilizare. Aceast tendin este confirmat i de micorarea amplitudinii oscilaiei în jurul valorii medii. Figurile 5.2.2.4 prezint distribuia presiunii dinamice pe corp la dou momente de timp distincte. Se poate observa neliniaritatea pronunat a acestora.

Fig. 5.2.2.4 – Distribuia presiunii dinamice pe suprafaa corpului la t= 0.52 s i t= 3.76 s

Concluzia studiului micrilor libere ale corpului este c simulrile realizate cu metoda prezentat dau rezultate în bun corelare cu realitatea. În funcie de condiiile iniiale, aceste rezultate sunt similare cu cele obinute prin teoria liniar sau evideniaz efectele neliniare ce apar în cazul micrilor ample. 5.3. Corpul în micare complex sub aciunea unui val generat de o pal Studiul micrii unui corp sub aciunea unui val generat de o pal este realizat în scopul comparrii rezultatelor cu cele prezentate în referina [35]. În acest scop simularea a respectat condiiile prezentate în capitolul 6.3 al referinei menionate. Astfel:

- un acvatoriul are adâncime h=1.0 m i o lungime de 10.0 m (între pala în poziie vertical i peretele dreapta);

- acceleraia gravitaional normal (9.81 m/s2) i densitatea apei 1000 kg/m3; - se utilizeaz un corp rectangular având o lime B=0.5 m, un pescaj d= 0.5 m i o

gurn rotunjit cu raza r= 0.1 m; - centrul de greutate al corpului este la 0.2 m fa de linia de baz, iar momentul

masic de inerie este 0.008 kg*m2; - sistemul de coordonate utilizat îi are originea în punctul de intersecie al

suprafeei libere linitite i pala în poziie vertical, axa ox este orizontal spre peretele dreapta, iar axa oy este vertical pozitiv în sus;

- corpul este dispus cu bordajul stânga (bordul din val) la distana de 2.5 m de originea sistemului de coordonate;

- pala este articulat pe fundul bazinului i se mic cu perioada de T=2 s. Unghiul fcut de pal cu direcia orizontal [rad] este dat de α=π/2+0.14889*cos(π*t).

Not: 0.14889 rad ≅8.5°

76

Folosind notaiile prezentate în capitolul 5.6.2., numrul de puncte de pe diversele zone ale conturului sunt:

- NPS= NPD= 9 respectiv numrul de puncte de pe frontiera amonte, respectiv aval; - NF= 16 respectiv numrul de puncte de pe fundul acvatoriului; - NSLS= 9 respectiv numrul de puncte de pe S.L. la stânga corpului; - NSLD= 23 respectiv numrul de puncte de pe S.L. la dreapta corpului; - NNVS= NNVD= 5 respectiv numrul de puncte de pe bordajele stânga i dreapta

ale navei; - NNVF= 4 respectiv numrul de puncte de pe fundul navei; Frontiera aval este de tip perete solid fix. Durata de timp pe care s-a realizat simularea este de 5T, pasul de timp utilizat este T/40.

Lungimea de und a unui val gravitaional generat de o excitaie cu T= 2 s într-un astfel de acvatoriu este 5.025 m, de unde rezult c lungimea prezentului acvatoriu reprezint aproximativ dou lungimi de und. S-a considerat interesant s se reprezinte geometria S.L. la diferite momente de timp pentru a se putea prezenta mai bine fenomenul. Figurile 5.3.1.a..i servesc acestui scop. În plus se poate realiza comparaia cu rezultatele similare prezentate în referina [35] fig. 6.11 i 6.12. Ceea ce este de remarcat, este faptul c S.L. este mult mai neted decât cea din referin.

Fig. 5.3.1.a – Corpul în micare liber t=0.52 s (φr= 0.09°)

Fig. 5.3.1.b – Corpul în micare liber t=1.52 s (φr= -2.18°)

77

Fig. 5.3.1.c – Corpul în micare liber t=2.52 s (φr= 8.28°)

Fig. 5.3.1.d – Corpul în micare liber t=3.00 s (φr= -7.96°)

Fig. 5.3.1.e – Corpul în micare liber t=3.52 s (φr= -8.37°)

Fig. 5.3.1.f – Corpul în micare liber t=4.00 s (φr= 14.19°)

78

Fig. 5.3.1.g – Corpul în micare liber t=5.00 s (φr= -13.56°)

Fig. 5.3.1.h – Corpul în micare liber t=6.00 s (φr= 12.09°)

Fig. 5.3.1.i – Corpul în micare liber t=9.52 s (φr= -3.65°)

În figura 5.3.2. este prezentat variaia în timp a erorii masice relative. Eroarea masic relativ este calculat cu ajutorul formulei prezentate anterior. Se observ c tendina de cretere pozitiv a erorii se atenueaz ca i variaia în jurul valorii medii. Figura 5.3.3. prezint evoluia în timp i spaiu a centrului de mas. Comparând aceste rezultate cu cele prezentate în referina [35] Fig. 6.8. se remarc diferene semnificative. Totui pentru intervalul 0 – 4 s rezultatele sunt foarte apropiate. Acest interval de timp nu este afectat de condiia de frontier aval deoarece, timpul de propagare a valului pân la peretele dreapta al acvatoriul utilizat este de aproximativ 2 perioade de timp, deci 4 s. De la acest moment de timp, tipul frontierei aval devine esenial pentru evoluia fenomenului. Astfel o frontier reflexiv aa cum este peretele solid fix creeaz un val reflectat ce interfereaz cu

79

valul inial, modificând puternic micarea corpului. Tendina final de micare a corpului în simularea de referin este în direcia de propagare a valului ceea ar corespunde unei frontiere nonreflexiv, permeabil.

Fig. 5.3.2. – Variaia în timp a erorii masice relative

Fig. 5.3.3. – Evoluia în timp i spaiu a centrului de mas

80

Figura 5.3.4. reprezint variaia în timp a unghiului de ruliu. Comparând aceste rezultate cu cele din referina [35], remarcm c prezenta curb este mult mai neted. Extremele ambelor curbe se încadreaz în aceleai limite. Ambele curbe prezint un maxim de aproximativ 0.3 rad în apropierea timpului t= 4 s, iar minimele sunt în jurul valorii de –0.2 rad. Spre diferen de referin, unde variaia unghiul de ruliu are tendina de a se stabiliza în timp, în simularea de fa se observ o tendin de atenuare a unghiului de ruliu. Aceste comportri diferite sunt fireti în contextul unei frontiere aval de tip diferit (aa cum s-a subliniat i mai sus). Astfel, o frontier permeabil ar permite stabilizarea micrii corpului, spre diferen de o frontier reflexiv care creeaz un val reflectat ce ar cauza în prim faz o micorare a unghiului de ruliu. Din pcate autorul referinei [35] nu menioneaz nimic despre modul cum a tratat frontiera aval. În lips de informaii suplimentare autorul prezentei lucrri a concluzionat c rezultatele au un grad de convergen satisfctor în contextul explicaiei gsite pentru diferenele constatate.

Ceea ce mai trebuie remarcat, este faptul c în simularea din referina [35] s-a utilizat un pas de timp variabil având ca valoare maxim dt= 0.025= T/80 i valoare minim dt= 0.00625= T/320. În simularea din lucrarea de fa s-a utilizat dt=0.050=T/40 iar rezultatele sunt mult mai stabile. Acest fapt poate reprezenta un argument pentru utilizarea metodei Runge-Kutta de ordin 4 pentru integrarea în timp a soluiei, în locul unei metode iterative de tip Newton-Raphson.

Fig. 5.3.4 – Variaia în timp a unghiului de ruliu

În scopul evidenierii înc o dat a neliaritii calculului se vor prezenta în continuare în figurile 5.3.5. distribuiile presiunii dinamice pe corp.

81

Fig. 5.3.5. – Distribuia presiunii dinamice pe corp la t=3.56 i 3.88 s

Concluzia acestui subcapitol este aceea c metoda se dovedete fiabil pentru simularea micrii complexe a navei, rezultatele fiind compatibile cu cele din bibliografie. 5.4. Comparaia cu experimentul Referinele bibliografice ofer puine exemple de experimente care s fie asociate unor studii în domeniul spaiu-timp, probabil datorit noutii metodei i consumului de timp relativ mare de pân acum, necesar realizrii unei simulri. Totui referina [92] prezint un set cuprinztor de experimente realizate de ctre autorul referinei mai sus menionate, dl. D. Sen, în bazinul de încercri hidrodinamice al Universitii “Memorial” din Newfoundland, Canada, în scopul comparrii cu rezultatele simulrilor în domeniul spaiu-timp. Testele realizate se refer atât la micrile de oscilaii libere (aa cum a fost artat în capitolele 5.2.1 i 5.2.2), cât i la micrile complexe ale unui corp în val de travers. Bazinul mai sus menionat are dimensiunile 54.74 x 4.8 x 3.04 m i este echipat cu un generator de valuri de tip piston i un absorbant de valuri de tip plaj parabolic.

Experimentul s-a realizat având deplasarea lateral a corpului blocat. Acest aspect este considerat atât în simulrile numerice ale d-lui Sen cât i ale autorului prin blocarea gradului de libertate ˝deriv lateral˝. Aceast ipotez, pe lâng certele avantaje practice din punct de vedere al montajului experimental, este i în corelaie cu realitatea efectiv deoarece întotdeauna o nav (deci corpul care se dorete studiat în final) va ine întotdeauna cursul, deci se va opune deplasrii laterale, dealtfel, numit sugestiv deriv. Montajul experimental urmrete obinerea cât mai corect a curgerii plane simulate. Pentru aceasta se utilizeaz un corp de lungime 120 cm i seciune rectangular 40 x 40 cm cu o raz de gurn de 2.5 cm. Acest corp se aeaz travers pe val, între doi perei verticali fa de care se las o lumin de 1-2 mm în ambele borduri. Corpul are un pescaj iniial de 20 cm, de unde rezult c densitatea sa proprie ro este ρ/2. Concluzionând, dimensiunile corpului sunt: B=0.4 m i d= 0.2 m. În lucrarea de fa s-au utilizat doar rezultatele experimentale ale seriei C din referin. Aceste rezultate corespund urmtoarelor caracteristici particulare ale corpului:

- centrul de greutate se afl la 0.3625*B de linia de baz, - raza de inerie a corpului este de 0.36*B. Aceste caracteristici ale corpului au fost utilizate i pentru simulrile efectuate în

capitolul 5.2., de aceea putem considera cunoscute perioadele proprii ale corpului. Astfel, perioada proprie de oscilaie vertical este de aproximativ 1.16 s, iar cea de ruliu de aproximativ 2.16 s. Aceste dou rezultate au o foarte mare importan în înelegerea corect a rezultatelor simulrilor efectuate. Corpul a fost articulat în braul cruciorului de msur. Acesta a msurat:

- deplasarea centrului de mas în direcie vertical zG (s-a pstrat notaia în z pentru a se putea face mai uor comparaia cu referina),

- unghiul de ruliu θ,

82

- fora de deriv lateral, respectiv fora pe direcia de deplasare blocat, Fx.

Experimentele considerate acoper o gam larg a perioadelor de excitaie ce sunt în zona perioadei proprii a micrii verticale, dar i în zona primei jumti a perioadei proprii de ruliu. Fenomenele pe care le vor evidenia simulrile ce vor fi prezentate în continuare au un caracter profund tranzitoriu spre diferen de rezultatele prezentate în referin. Aceast constatare este principala cauz a diferenelor relative medii de aproximativ ±15% aa cum rezult din tabelul 5.4.1. Principalele fenomene evideniate în simulrile de fa sunt:

- fenomenul de pulsaie, - fenomenul de ruliu parametric.

Înainte de a prezenta rezultatele concrete ale simulrilor efectuate vom face o scurt

descriere a fenomenelor mai sus numite. Fenomenul de pulsaie

Fenomenul de pulsaie reprezint rezultatul compunerii soluiei oscilaiei proprii a unui sistem, cu oscilaia forat generat de o excitaie a crei pulsaie este în preajma valorii pulsaiei de rezonan.

În referina [23] 2.6.1.d este prezentat fenomenul de pulsaie în cadrul sistemelor fr amortizare. Folosind notaiile din referina menionat, ecuaia oscilaiei forate fr amortizare este: tqxpx ωsin2 =+ , unde ω= pulsaia excitaiei, respectiv p= pulsaia proprie

a sistemului. În ipoteza c ω are o valoare în preajma pulsaiei proprii a sistemului, se consider 1≈pω i p-ω=2ε. Astfel, soluia ecuaiei oscilaiilor forate fr amortizare este:

( )[ ] ttq

ttq

x ωεωε

εωωεω

cossin2

2sinsin22

−=+−=

Pentru obinerea relaiei de mai sus, ipoteza 1≈pω implic aproximrile 1cos2cos ≈≈ tt εε .

În relaia de mai sus se evideniaz fenomenul de pulsaie. Astfel, fenomenul de pulsaie se manifest prin evoluia armonic cu perioad 2π/ω a soluiei, având îns o amplitudine variind dup o lege armonic cu perioada 2π/ε. În cazul oscilaiei forate în prezena amortizrii, componenta rspunsului corespunztoare oscilaiilor libere se amortizeaz în timp, deci i amplitudinea fenomenului de pulsaie scade în timp. De asemenea i perioada de apariie a btii nu mai este egal cu 2π/ε, ci are o valoare în preajma valorii ideale. Fenomenul de pulsaie este asociat în cazul simulrilor de fa:

- cazurilor 1, 2, 3, 4 pentru oscilaia corpului în direcia vertical; - cazului 11 pentru oscilaia de ruliu. Pentru cazurile i micrile mai sus numite, fenomenul de pulsaie este uor de

remarcat i datorit unei perioade de pulsaie 2π/ε comparabil cu domeniul de timp simulat. Fenomenul de ruliu parametric Fenomenul de ruliu parametric este fenomenul de cretere catastrofal a amplitudinii micrii, aprut pentru perioade ale excitaiei având valori în jurul multiplilor de jumti ale perioadei de rezonan ( 2nTT r= cu n=1, 2, 3, …), datorit variaiei în timp a termenului de redresare. Fenomenul este descris în referina [15] 3.4.2. În general, este asociat ruliului catastrofic produs de dezechilibrele de presiuni datorate valurilor de cap sau pupa. Acest

83

fenomen a intrat în atenia societilor de clasificare i implicit a siguranei navelor atunci când a condus la scufundarea unor nave în condiii aparent de neîneles, respectiv mare cu valuri regulate i cu înlimi moderate. Simulrile de fa dei reprezint studiul valului travers, surprinde acelai tip de fenomen, ceea ce ne permite s susinem c metoda prezentat în aceast lucrare, dar extins pentru 3D, poate ajuta i la studiul ruliului parametric datorat valului longitudinal. Ruliul parametric se datoreaz variaiei în timp a braului de redresare a corpului (sau într-o exprimare mai general a termenului de redresare). Aceast variaie apare ca urmare a modificrii ample a zonei imerse a corpului, datorat micrii acestuia în valuri cu amplitudini mari, longitudinale sau de travers. Modificarea ampl a zonei imerse este o dovad a ieirii din ipotezele micilor oscilaii folosite de calculul liniar al micilor oscilaii, demonstrând înc o dat neliniaritatea simulrilor efectuate. Ecuaia general a micrii de ruliu este (pstrând notaiile din referina [15]):

( ) tMtcba rrr ωφφφ cos0=++

Considerând valurile ce excit nava ca fiind sinusoidale, termenul de redresare c(t) va avea forma ( )( )thhhMg ωδ sin1 ⋅+⋅⋅ . Introducând aceast expresie în ecuaia micrii se

obine: ( )( ) tMthhgMhba rr ωφωδφφ cossin1 0=+++ . În cazul valurilor longitudinale

momentul de excitaie este nul, iar ecuaia ia forma Mathieu. O caracteristic a ecuaiei Mathieu const în aceea c pentru anumite valori ale frecvenei excitaiei, soluia tinde la infinit dac amortizarea este nul. Valorile acestor frecvene sunt date de perioade de tipul

2nTT r= cu n=1, 2, 3, …, unde, Tr este perioada de rezonan la ruliu. Spre diferen de cazul valurilor longitudinale, în cazul valului travers momentul este

clar nenul. Rezultatele obinute prin simulare numeric indic îns apariia aceluiai tip de soluie, care tinde spre valori foarte mari pentru perioade cu valori în jurul jumtii perioadei de rezonan. Tot în referina [15], în figura 3.27 este prezentat evoluia amplitudinii rspunsului, în funcie de perioada de excitaie. Din aceast diagram se poate observa c exist situaii când pentru aceeai perioad, fenomenul este provocat printr-un aport energetic sporit. Aceast situaie este sesizabil între cazurile 3 i 4. Astfel, dei ambele cazuri sunt caracterizate prin aceeai frecven a excitaiei, în cazul 3 este evideniat ruliul parametric îns nu i în cazul 4. Diferena const în amplitudinea excitaiei care, pentru cazul 4 este aproximativ 50% din cea de la cazul 3. Este de remarcat faptul c s-a obinut confirmarea rezultatelor analitice prin experimente efectuate de Grim [15]. Prin lucrarea de fa se arat c exist i posibilitatea de studiu a fenomenului mult mai puin costisitoare, prin simulare numeric. Tabelul 5.4.1 – Comparaia cu rezultatele experimentale din [92] tab. 1 Seria C

T λ h [m] 2*dzG/B ∆zG Fx/(ro*g*B*B) ∆Fx [s] [m] num exp num exp % num exp % 1 0.9086 1.289 0.066 0.0756 0.075 0.099 -13.2 0.099 0.144 -20.7 2 0.9086 1.289 0.037 0.037 0.047 0.059 -19.6 0.064 0.068 -6.3 3 0.9520 1.415 0.081 0.095 0.136 0.197 -18.7 0.122 0.176 -18.4 4 0.9520 1.415 0.045 0.049 0.089 0.098 +1.0 0.085 0.083 +11.0 5 1.0000 1.559 0.085 0.098 0.213 0.273 -9.8 0.135 0.151 +3.6 6 1.0000 1.559 0.048 0.051 0.140 0.130 +14.3 0.093 0.088 +12.5 7 1.0520 1.723 0.047 0.048 0.196 0.210 -4.7 0.099 0.099 +2.3 8 1.1060 1.916 0.066 0.0675 0.375 0.390 -1.8 0.135 0.156 -11.3 9 1.1760 2.137 0.077 0.0805 0.573 0.670 -10.6 0.163 0.148 +15.3

10 1.2490 2.393 0.041 0.041 0.341 0.390 -12.6 0.105 0.091 +15.2 11 1.4280 3.035 0.038 0.039 0.242 0.295 -15.9 0.103 0.091 +15.5

84

În tabelul 5.4.1. se definete eroarea relativ a mrimilor comparate ca fiind dat de relaia: ∆X= ((Xnum/hnum)/(Xexp/hexp)-1)*100 (%). Aa cum se poate observa în aceast relaie, se încearc a se considera efectul variaiilor în amplitudine ale excitaiei. O astfel de premiz ar oferi o corecie precis în cazul unui fenomen liniar. Cu toate c fenomenele pe care le prezentm nu sunt liniare, autorul a pstrat i aceast valoare ca o posibil comparaie cu valorile din referina [92]. Autorul consider rezultatele pe care le-a obinut ca fiind credibile i apropiate de rezultatele experimentale. Diferenele aprute sunt puse în seama caracterului profund realistic al simulrilor, ce surprind aspectele tranzitorii ale micrilor. Rezultatele experimentale prezint micarea stabilizat, în concordan cu rezultatele oferite de metoda de simulare în domeniul spaiu-timp utilizat în referina [92]. Metoda folosit în [92] este mult simplificat. Astfel, φ i n∂∂φ sunt constante pe element, iar punctele de colocaie sunt pe

mijlocul segmentului. t∂∂φ este calculat prin diferene finite. O astfel de variant a BEM nu poate surprinde unele neliniariti ce conduc la apariia fenomenelor mai sus menionate, fapt recunoscut i de autorul referinei. Astfel diferenele care apar sunt de dou feluri în corespondena fiecrui fenomen descris mai sus:

- diferene în amplitudinea micrii verticale datorate fenomenului de pulsaie, - diferene în micarea complex datorate ruliului parametric. Acesta conduce la

apariia unghiurilor de ruliu mari, ce destabilizeaz micarea prin scoaterea gurnei din ap (modelarea numeric nu este gândit s suporte fenomenul din cauza aspectului complet nerealistic). Este posibil îns ca efectul s fie amplificat i datorit unui deficit de amortizare a micrii de ruliu, fapt subliniat în capitolul 5.2.2.

Opinia autorului este c aceste fenomene nu au fost sesizate în referina [92] datorit a trei factori:

- modelarea cu ajutorul elementului de frontier cu variaie constant pe lungime a funciei de potenial i a vitezei normale,

- simularea fenomenului dup amorsare pe un interval de timp redus (aproximativ 5 perioade),

- considerarea numai a rezultatelor experimentale stabilizate. Cazurile considerate sunt prezentate în ordinea din tab. 1 Seria C din referina [92].

Condiiile simulrii numerice sunt identice pentru toate cazurile respectiv (pstrând notaiile din capitolul 4.6.2): - NPS=NPD=9 reprezentând numrul de puncte de pe frontierele stânga respectiv dreapta, - NSLS=SSLD=25 reprezentând numrul de puncte de pe S.L. între bordurile corpului i

frontierele stânga respectiv dreapta, - NNVS=NNVD=6 reprezentând numrul de puncte de pe bordul stânga respectiv dreapta, - NNVF= 11 reprezentând numrul de puncte de pe fundul navei, - NF= 16 reprezentând numrul de puncte de pe fundul acvatoriului.

Acvatoriul considerat are adâncimea de 0.9 m i lungimea de 2.5λ+B+2.5λ, nava fiind poziionat la mijlocul acestuia. λ reprezint lungimea de und a valului gravitaional generat de o excitaie cu perioada T corespunztoare fiecrui caz în acvatoriul cu adâncimea actual. Acceleraia gravitaional este normal g=9.81 m/s2 , iar densitatea fluidului ρ=1000 kg/m3. Durata simulrilor este de 14*T cu excepia cazurilor 3,10 i 4 unde este de 18*T, respectiv 16*T. Mrirea duratei de simulare în aceste cazuri a fost fcut pentru a evidenia apariia ruliului parametric în cazul 3 i neapariia lui în cazul 4 dei ambele cazuri au aceeai perioad de excitaie, respectiv apariia fenomenului de pulsaie legat de fenomenul de ruliu pentru cazul 10.

85

Diagramele ce prezint rezultatele simulrilor sunt în concordan cu cele din referina [92] pentru a se uura comparaia. Astfel mrimile prezentate sunt: - variaia adimensionalizat a ordonatei centrului de mas, definit prin relaia 2*dzG/B,

unde dzG=zG-zGo. zG reprezint ordonata instantanee a centrului de mas, iar zGo ordonata iniial;

- fora de deriv lateral adimensionalizat, definit prin relaia Fx/(ro*g*B*B), deci for orizontal adimensionalizat cu greutatea corpului pe unitatea de lungime;

- unghiul de ruliu în grade; - eroarea masic relativ [%] definit ca în capitolele anterioare. Asupra acestei erori

atragem din nou atenia c este raportat la mas corpului dar reprezint eroarea pe întreg acvatoriul. În acest sens considerm a fi relevant comparaia care se va face la cazul 6, cu eroarea masic relativ obinut prin generarea valului în absena valului (a se vedea capitolul 5.1.).

Fig. 5.4.a Caz 1 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

Fig. 5.4.b Caz 1 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

86

Fig. 5.4.c Caz 1 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. 5.4.d Caz 1 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

În figura 5.4.a Caz 1 se remarc fenomenul de pulsaie. Astfel amplitudinea deplasrii centrului de mas crete pân la t ≈ 6.2T, apoi descrete pân la aproximativ t ≈ 8.75T. Evoluia amplitudinii are în continuare un caracter repetitiv cu observaia c amplitudinea maxim atins la t ≈ 11.2T este mai mic decât cea anterior înregistrat. Se evideniaz astfel semiperioada btii Tb/2 ≈5T = 4.543 s. Considerând p = 2π/1.16 = 5.416 rad/s i ω= 2π/0.9086= 6.9152 rad/s, se obine ε = (ω-p)/2= 0.75 rad/s. Semiperioada teoretic a btii în cazul când nu ar exista amortizare este π/ε = 4.2 s.De remarcat este i unghiul mediu de ruliu negativ care indic canarisirea permanent a corpului datorat valului incident.

Fig. 5.4.a Caz 2 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

87

Fig. 5.4.b Caz 2 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

Fig. 5.4.c Caz 2 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. 5.4.d Caz 2 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Figura 5.4.a Caz 2 evideniaz acelai fenomen de pulsaie. Diferena între cazurile 1 i 2 este dat de diferena de amplitudine a excitaiei. Astfel, maxima pozitiv a amplitudinii relativ a oscilaiei verticale a centrului de mas este de aproximativ 0.08 pentru cazul 1 i 0.04 pentru cazul 2. Unghiul permanent de canarisire este de aproximativ –1.5° pentru cazul 1 i –0.5° pentru cazul 2. De asemenea eroarea masic relativ reflect ca evoluie fenomenul descris în capitolul 5.1. iar amplitudinea, proporionalitatea cu amplitudinea excitaiei.

88

Fig. 5.4.a. Caz 3 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

Fig. 5.4.b. Caz 3 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

Fig. 5.4.c. Caz 3 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

89

Fig. 5.4.d. Caz 3 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

i în cazul 3 se evideniaz în figura 5.4.a Caz 3 fenomenul de pulsaie pentru micarea de oscilaie vertical a centrului de mas. Astfel, amplitudinea deplasrii centrului de mas crete pân la t ≈ 6.2T, apoi descrete pân la aproximativ t ≈ 8.75T. Evoluia amplitudinii are în continuare un caracter repetitiv cu observaia c amplitudinea maxim atins la t ≈ 11.2T este mult mai mic decât cea anterior înregistrat. Se evideniaz astfel semiperioada btii Tb/2 ≈ 5T = 4.76 s. Considerând p=2π/1.16= 5.416 rad/s i ω= 2π/0.952= 6.66 rad/s se obine ε = (ω-p)/2= 0.592 rad/s. Semiperioada teoretic a btii în cazul când nu ar exista amortizare este π/ε = 5.3 s. Tot în aceast diagram, la t ≈ 16..18T se observ deplasri nefireti ale centrului de mas. Extreme nefireti ale forei de deriv sunt prezente în acelai interval de timp aa cum se sesizeaz în diagrama din figura 5.4.b Caz 3. Aceste fenomene se datoreaz apariiei ruliului parametric evideniat în figura 5.4.c Caz 3. Unghiul de ruliu atinge chiar 14°, inclinare în bordul opus valului. Media unghiului de ruliu este de -1° reprezentând canarisirea permanent a corpului. Perioada excitaiei este 0.952 s ceea ce reprezint 88% din jumtatea perioadei proprii de ruliu (1.08 s).

Fig. 5.4.a Caz 4 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

90

Fig. 5.4.b Caz 4 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

Fig. E.4.c Caz 4 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. 5.4.d Caz 4 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Cazul 4 difer fa de cazul 3 prin amplitudinea excitaiei. Amplitudinea valului generat în cazul 4 este de 0.081 m, iar în cazul 3 de 0.045 m, deci 55.6%. Diferena cea mai

91

semnificativ o reprezint faptul c nu mai apare ruliul parametric. Evoluia unghiului de ruliu este cvasiarmonic având unghiul mediu de ruliu de aproximativ -1°. În figura 5.4.1 Caz 4, datorit faptului c nu mai apar unghiuri mari de ruliu, se remarc faptul c extremele fenomenului de pulsaie dispar în timp, ceea ce confirm atenuarea componentei oscilaiei proprii a soluiei. Cazurile 5 i 6 sunt realizate prin excitarea corpului cu un val cu aceiai perioad (T= 1 s). Ambele cazuri sunt caracterizate de apariia ruliului parametric: într-o form mult mai pronunat în cazul 5 pentru care amplitudinea valului este mai mare i într-o form mai temperat, dar cu un caracter ascendent evident în cazul 6. Apariia unor unghiuri de ruliu mari este sesizabil de asemenea i în evoluia micrii pe vertical a centrului de mas, precum i în evoluia forei de deriv lateral în intervalul de timp 13-14T. Fenomenul de pulsaie este mai puin vizibil deoarece semiperioada teoretic a pulsaiei are valoarea de 7.24 s. Deoarece primul maxim al fenomenului se înregistreaz la aproximativ 7.1T, înseamn c al doilea maxim ateptat ar fi la aproximativ 14.3T, ceea ce depete domeniul simulrii i pentru cazul 5 se suprapune zonei de influen a unghiurilor mari de înclinare datorate ruliului parametric.

Fig. 5.4.a Caz 5 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

Fig. 5.4.b Caz 5 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

92

Fig. 5.4.c Caz 5 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. 5.4.d Caz 5 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Fig. 5.4.a Caz 6 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

93

Fig. 5.4.b Caz 6 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

Fig. 5.4.c Caz 6 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. 5.4.d Caz 6 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

94

Aa cum am menionat anterior vom face comparaia erorii masice relative a cazului 6 de simulare, cu cea a simulrii într-un acvatoriu similar a unui val cu aceeai perioad prezentat în figura 5.1.3. Se poate observa c aliura evoluiei în timp a erorii masice este similar, reflectând acelai mers al fenomenului descris în capitolul 5.1., respectiv: introducerea suplimentar de mas în intervalul 0..3T, urmat de preponderena evacurii acesteia în intervalul 3..7T. În intervalul 7-10T se înregistreaz o tendin de stabilizare confirmat apoi în intervalul de timp 10-14T.

Diferenele între erorile relative la diferite momente de timp în cazul simulrii în prezen corpului, sunt suficient de mici. Astfel maximele în intervalul de timp 0..3T pentru cazul 6 sunt aproximativ 18%, iar pentru cazul valului 15%. Minimele în intervalul 3..7T sunt –14% pentru cazul 6 i –11% pentru val. Maximele zonei stabilizate sunt 16% pentru cazul 6 i 9% pentru val, iar minimele –6% pentru cazul 6 i –5% pentru val. Aceast comparaie arat c valorile relativ mari ale erorii masice nu indic o problem în modelarea micrii corpului, ci sunt doar o consecin a modelrii numerice a excitaiei. Faptul c aliura evoluiei erorii masice relative este identic pentru toate simulrile, constituie un argument suplimentar asupra corectitudinii simulrilor demonstrând satisfacerea uneia din cerinele de baz, respectiv repetivitatea esenei fenomenului pentru condiii fizice diferite.

Fig. 5.4.a Caz 7 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

Fig. 5.4.b Caz 7 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

95

Fig. 5.4.c Caz 7 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. 5.4.d Caz 7 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Fig. 5.4.a Caz 8 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

96

Fig. E.4.b Caz 8 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

Fig. 5.4.c Caz 8 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. E.4.d Caz 8 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Cazurile 7 i 8 sunt realizate cu valuri având perioada de 1.052 s i respectiv 1.1062 s. În ambele cazuri ruliul parametric are o perioad destul de lung de amorsare. Odat amorsat fenomenul se instaleaz clar, aa cum este evideniat i în cazul 9 realizat cu un val cu perioada de 1.17 s. În acest caz, influena unghiurilor mari este sesizat i în diagramele micrii verticale a centrului de mas, precum i a forei de deriv lateral.

97

Fig. 5.4.a Caz 9 – Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

Fig. 5.4.b Caz 9 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

Fig. 5.4.c Caz 9 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

98

Fig. 5.4.d Caz 9 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Fig.5.4.a Caz 10 –Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

Fig. 5.4.b Caz 10 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

99

Fig. 5.4.c Caz 10 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

Fig. 5.4.d Caz 10 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Cazul 10 este realizat cu o excitaie cu perioada de 1.249 s. Oscilaia vertical a centrului de mas este bine stabilizat, în schimb rularea pe 18T a evideniat apariia fenomenului de pulsaie de aceast dat în legtur cu oscilaia de ruliu. Iniial autorul a realizat o simulare doar pe 14T, îns în dorina de a cerceta dac oscilaia vertical a centrului de mas s-a stabilizat, domeniul a fost extins ceea ce a condus la evidenierea apariiei fenomenului de pulsaie a ruliului. Cazul 11 este realizat cu un val de perioad 1.428 s. Micarea pe vertical a centrului de mas este bine stabilizat. Oscilaia de ruliu indic instalarea fenomenului de pulsaie. Astfel considerând p=2π/2.16= 2.909 rad/s i ω=2π/1.428= 4.4 rad/s, se obine 2ε= 1.49 rad/s, ceea implic o perioad teoretic a btii Tb=2π/ε= 8.428 s. Din diagrama 5.4.c Caz 11 rezult o perioad real de 6T, ceea ce însemn aproximativ 8.568 s. Se poate remarca apropierea mult mai mare între perioada de pulsaie teoretic i cea real în cazul ruliului, fa de cazul oscilaiei verticale a centrului de mas, ceea ce reprezint un indiciu în plus al faptului c oscilaia de ruliu este mai slab amortizat fa de cea de micare vertical. Remarcabile sunt i valorile sczute ale erorii masice relative în zona de stabilizare ceea ce indic înc o dat c i micrile corpului sunt stabilizate.

100

Fig.5.4.a Caz 11 –Evoluia în timp a variaiei adimensionalizate a ordonatei centrului de mas

Fig. 5.4.b Caz 11 – Evoluia în timp a forei de deriv lateral adimensionalizat

Fig. 5.4.c Caz 11 – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

101

Fig. 5.4.d Caz 11 – Evoluia în timp a erorii masice relative [%]

Aceste simulri au fost realizate în scopul de a fi comparate cu rezultatele experimentale prezentate în referina [92] pentru obinerea unei validri complexe a metodei de simulare stabilit de autorul prezentei lucrri. Considerm c rezultatele prezentate mai sus susin validarea metodei în raport cu experimentul. Mai mult chiar, s-a artat c simularea numeric permite evidenierea i studiul unor fenomene complexe în micarea corpului, care au uneori implicaii limit în cazurile reale corespondente. 5.5. Verificarea presiunilor calculate cu metoda prezentat Capitolul anterior a prezentat rezultate comparative referitoare la cinematica corpului. Finalitatea prezentului studiu hidrodinamic este îns determinarea câmpului de presiuni ce acioneaz pe corpul navei în scopul utilizrii acestor rezultate în calculele de structur. Pentru aceasta este necesar validarea în raport cu experimentul a presiunilor ce rezult din calcule. Autorul a folosit pentru validarea presiunilor obinute în simulrile sale, rezultatele prezentate în referina [58]. În aceast referin se prezint calculele hidrodinamice i experimentele practice efectuate de ctre SSPA Maritime Consulting AB, Götebord, Suedia, asupra noii nave tanc de clas Millennium, la solicitarea firmei ARCO Marine Inc. Aceast nav are dou elici i dou cârme, deci o extremitate pupa sofisticat. Ca nav tanc realizeaz transportul petrolului din Alaska ctre California. Nava studiat în cadrul referinei [58] are urmtoarele caracteristici:

Caracteristic Simbolizare Unitate de msur

Valoare

Lungime între perpendiculare Lpp m 258.16 Lime Bmax m 46.2 Pescaj d [m] 16.0

Coeficient bloc CB -- 0.80 Deplasament ∇ m3 152600

Raza de inerie transversal Kxx/B -- 0.30 Cota centrului de greutate KG m 13.7

102

Firma proprietar a comandat acest studiu complex în încercarea de a evita problemele aprute în zonele plutirilor ce corespund liniilor de încrcare la alte nave tanc ale companiei, implicate pe aceeai rut special. În acest mod armatorul îi manifest neîncrederea în metoda de analiza dinamic a ˝American Bureau of Shipping˝ (ABS) i în special în estimarea forelor hidrodinamice nestaionare ce acioneaz asupra corpului. Rezultatele sunt obinute atât prin experiment cât i prin simulare numeric cu ajutorul programului SPLASH.

În referin se afirm textual: “Estimarea oboselii structurii bordajului a fost îmbuntit prin utilizarea profilului presiunii generate de SPLASH. Analiza structural extins cu ajutorul simulrii folosind SPLASH, a explicat de ce avariile de pe bordul tribord au fost localizate mai sus decât cele de pe babord, corespunztor diferenei dintre pescajele de pe ruta sud, respectiv nord, sub incidena predominant a valurilor de sud-vest. De aceea, diferite alte tipuri de petroliere au fost analizate cu acest program. Din pcate, de abia acum, prin aceast analiz rezultatele sunt confirmate i experimental”. Deoarece scopul principal al prezentei lucrri este tocmai stabilirea unei metode de calcul mai precis a distribuiei dinamice de presiuni pe corpul navei, autorul a fost încântat s gseasc în aceast referin datat 1998, dovada concret a interesului în scopuri practice pentru problema pe care o studiaz. În capitolul 7 al referinei este prezentat câmpul de presiuni pe corpul navei prin intermediul operatorului RAO (Operatorul Rspunsului în Amplitudine). Operatorul Rspunsului în Amplitudine este definit pentru un rspuns X generat de excitaia s ca fiind: ( ) ( )minmaxminmax ssXXRAOX −−= .

Nava este supus i unui val de travers de perioad 11 s i înlime 3 m. Rezultatele sunt prezentate în referin în figura 6 – Profilul Operatorul Rspunsului în Amplitudine aplicat presiunii i în figura 8 – Profilul total al presiunii pentru valul travers. Din figura 8 se rein urmtoarele valori pentru RAO-presiune determinate experimental: - la staia P13 corespunztoare la 12.0 m deasupra liniei de baz RAO=27.62 kN/m3; - la staia P10 corespunztoare la 7.5 m deasupra liniei de baz RAO=27.10 kN/m3; - la staia P7 corespunztoare la 3.5 m deasupra liniei de baz RAO=24.93 kN/m3;

Se observ c simularea numeric ofer rezultate uor mai mici fa de cele msurate experimental, acceptate a corespunde suficient de bine cu realitatea. Din figura 8 se reine înlimea pe care este udat bordajul respectiv RM4= 3.11 m, precum i unghiul maxim de ruliu de 2.7°. În aceast figur este evideniat i marea diferen (care în cazul respectiv este de aproximativ 3 ori), între curbele de presiune uzual folosite (care sunt aproximrile hidrostatice ale presiunilor din valul incident asupra unei nave fixe) i cele reale. Presiunea real este net diferit de cea utilizat în calcule i are o variaie neliniar. Presiunea calculat numeric încorporeaz atât efectele dinamice date de viteza particulelor de ap din val, cât i pe acelea date de micarea relativ nav-fluid atât prin

componenta dinamic ( ( )( )t∂∂+∇ φφρ 22 ), cât i prin componenta aparent hidrostatic

(ρgz) reprezentat de presiunea coloanei de fluid “ridicat” pe bordaj. Simularea numeric prezentat este realizat cu urmtorii parametri (pstrând notaiile din capitolul 4.6.2): - NPS=NPD=9 reprezentând numrul de puncte de pe frontierele stânga, respectiv dreapta, - NSLS=SSLD=25 reprezentând numrul de puncte de pe S.L. între bordurile corpului i

frontierele stânga, respectiv dreapta, - NNVS=NNVD=15 reprezentând numrul de puncte de pe bordul stânga, respectiv dreapta - NNVF= 22 reprezentând numrul de puncte de pe fundul navei,

103

- NF= 16 reprezentând numrul de puncte de pe fundul acvatoriului.

Acvatoriul considerat are adâncimea de 110 m i lungimea de 2.5λ+B+2.5λ, nava fiind poziionat la mijlocul acestuia. λ reprezint lungimea de und a valului gravitaional generat de o excitaie cu perioada T, în acvatoriul cu adâncimea actual. Acceleraia gravitaional este normal g=9.81 m/s2 , iar densitatea fluidului ρ=1000 kg/m3. Lungimea de und este 188.75 m, iar adâncimea de 110 m este cea mai mic adâncime pentru care λ=188.75 m nu se modific (cu alte cuvinte cea mai mic adâncime pentru care valul poate fi considerat de mare adâncime). Înlimea valului considerat este 3.0 m.

A fost simulat zona cilindric a navei prin considerarea unei seciuni dreptunghiulare cu limea B i pescajul d, având o gurn de raz 2.0 m. Durata simulrilor este de 18*T . În figurile urmtoare sunt prezentate principalele evoluii cinematice în timp ale corpului precum i evoluia erorii masice pentru a se confirma stabilitatea fenomenului i a se putea compara simularea cu cele realizate în capitolul 5.4.

Fig. 5.5.1. – Evoluia în timp a variaiei centrului de mas [m]

Fig. 5.5.2. – Evoluia în timp a unghiului de ruliu [grade]

104

Fig. 5.5.3. – Evoluia în timp a erorii masice relativ [%]

În continuare se vor prezenta diagramele evoluiilor în timp a presiunilor la cele trei staii din referin.

Fig. 5.5.4. – Evoluia presiunii la P13 (12.0 m fa de L.B.)

În cazul de fa RAO este aproximativ [(75-0) kN/m2]/(3 m) = 25 kN/m³ fa de 27.62 kN/m³

Fig. 5.5.5. – Evoluia presiunii la P10 (7.5 m fa de L.B.)

105

În cazul de fa RAO este aproximativ [(110-35) kN/m2]/(3 m) = 25 kN/m³ fa de 27.10. kN/m³.

Fig. 5.5.6. – Evoluia presiunii la P7 (3.5 m fa de L.B.)

În cazul de fa RAO este aproximativ [(145-80) kN/m2]/(3 m) = 21.7 kN/m³ fa de 24.93. kN/m³.

Valorilor RAO mai mici pentru presiuni (la nivelul celor obinute în simularea din lucrare) sunt obinute folosind i programul SPLASH. Autorii referinei consider rezultatele simulrii numerice pe deplin satisfctoare i exprim opinia c micile diferene dintre simulare i experiment sunt neglijabile fa de cele obinute prin considerarea teoriilor clasice. Ceea ce a interesat i s-a urmrit a fi verificat în [58] a fost nivelul valoric al presiunilor în comparaie cu metodele clasice de calcul precum i explicarea avariilor aprute la nav la longitudinalele de la cele dou linii de plutire (de plin încrcare i de balast). Explicaia obinut astfel este c presiunile calculate dinamic pot fi i de pân la 3 ori mai mari decât cele obinute prin aezarea static pe val. Figura 5.5.2 demonstreaz prezena unui unghi maxim de ruliu simulat de 2.5°, deci în bun concordan cu referina (2.7° conform referinei).

Pentru a putea demonstra înlarea apei pe bordaj vom utiliza tot diagramele evoluiei

presiunii în diferite puncte ale bordajului.

Fig. 5.5.7. – Evoluia presiunii în punctul aflat la L.B.-4.5 m

106

Fig. 5.5.8a – Evoluia presiunii în punctul L.B.+3.6 m

Fig. 5.5.8b – Evoluia presiunii în punctul L.B.+4.0 m

Faptul c în figura 5.5.7, presiunea este “tiat” la extrema inferioar, indic absena apei în punctul L.B.-4.5 m, în intervalele de timp corespunztoare, deci bordajul este dezgolit periodic în acest punct. Din punctul de vedere al înlrii apei pe bordaj, figurile 5.5.8 demonstreaz c punctul L.B.+3.6 m este udat periodic începând cu perioada 6 iar punctul L.B.+4.0 m este udat de la perioada 9. În referin, pentru înlarea apei pe bordaj de-asupra liniei de plutire este indicat valoarea msurat experimental de 3.11 m. În opinia autorului, aceste valori demonstreaz bun concordan dintre simulare i fenomenul real. Concluzionând, se poate afirma c metoda prezentat ofer rezultate comparabile cu realitatea i din punct de vedere al distribuiei presiunilor pe corpul navei. În plus s-a artat c rezultatele simulrii de fa indic aceleai tendine ca i cele efectuate cu alte programe de calcul existente.

107

Capitolul 6. Determinarea presiunilor pe corpul navei în studiu de fa

6.1. Descrierea simulrii Am ales pentru exemplificarea aplicrii câmpului presiunilor hidrodinamice asupra structurii, o nav tanc de 38000 tdw. Structura acestei nave va fi detaliat în Capitolul 7, dedicat integral calculului structural. Caracteristicile navei ce intereseaz din punctul de vedere al calcului hidrodinamic de fa, sunt cele menionate în urmtorul tabel:

Caracteristic Simbolizare Unitate de msur

Valoare

Lungime între perpendiculare Lpp m 178.45 Lime Bmax m 28.0

Înlimea de construcie D m 16.8 Pescaj d [m] 12.0

Coeficient bloc CB -- 0.80 Deplasament ∇ m3 47967

Raza de inerie transversal Kxx/B -- 0.305 Cota centrului de greutate KG m 10.187

Lungimea, limea, pescajul, coeficientul bloc i deplasamentul sunt date obinute din proiectul navei i sunt independente de cazul de încrcare. Raza de inerie transversal i cota centrului de greutate sunt puternic dependente de cazul de încrcare. Din acest motiv, pentru efectuarea oricrei analize hidrodinamice i apoi structurale, este necesar s se fixeze cazul de încrcare. În situaia navelor tanc problema stabilirii cazurilor de încrcare pentru care se vor face analizele hidrodinamice i de structur este mult mai simpl deoarece aceste nave navig în principal la plin încrcare (sau balastate astfel încât plutirea este în preajma liniei de plin încrcare) sau fr încrctur, dar cu toate tancurile de balast pline. Aceast particularitate este evideniat i în referina [58] menionat în capitolul 5.5.

Pentru simularea de fa vom considera cazul de încrcare “Cargo SG= 0.8654 +10% bunkers” prezentat în documentele calculatorului de bord ca exemplu tipic. Aceast simbolizare reprezint cazul tipic de sosire la destinaie (când conform cerinelor de registru rezervele trebuiesc s fie 10% din totalul iniial) la plin încrcare cu marf omogen i cu densitatea de 0.8654 t/m3.Acest caz a fost ales pentru c spre diferen de altele, nava este pe asiet aproape dreapt. În conformitate cu rezultatele prezentate de calculatorul de bord, cota centrului de greutate este 10.187 m deasupra liniei de baz. Pentru calculul razei de inerie transversal adimensionalizat Kxx, se pot folosi fie

formule statistice, fie calculul direct. Folosind formula statistic

+=

22 2

112 B

zCKxx GB

prezentat în referina [15], se obine Kxx= 0.319. Pentru realizarea calculului direct este necesar s se determine momentul de inerie al întregii seciuni fa de centru de greutate, în raport cu care se realizeaz calculul cinematic al corpului. Momentul de inerie total este suma momentului de inerie al corpului de oel i al

mrfii: ( ) ( )22GHHHGCCC zzMJzzMJJ −++−+= φφφ .

Pentru a calcula caracteristicile corpului de oel a fost folosit un program uzual de calcul al caracteristicilor secionale ale structurii navale, numit TPMOD. La realizarea acestui

108

program cu ajutorul limbajului PASCAL a participat i autorul prezentei lucrri. Acest program a fost utilizat în proiecte concrete, aprobate de societile de clasificare. Figura 6.1. prezint topologia structurii aa cum a fost introdus în programul TPMOD. Referin la aceast figur se va face i în capitolul urmtor atunci când se va prezenta structura ce va fi analizat.

Fig. 6.1. – Seciunea transversal tipic a navei

Considerând densitatea oelului 7.8 t/m3, caracteristicile ineriale ale corpului de oel sunt:

- cota centrului de mas zH= 7.280 m, - masa corpului de oel (pe unitatea de lungime) MH= 3.74454 m2*7.8 t/m3 = 29.2 t/m, - momentul de inerie masic al corpului de oel (pe unitatea de lungime)

JφH= (150.4+358.6) m4*7.8 t/m3 = 3970.2 tm. Caracteristicile ineriale ale mrfii sunt:

- spaiul de marf are limea BC= B-2Bdb= 28.0-2*2.0= 24.0 m, înlimea spaiului de marf HC= D-2.0= 14.8 m,

- cota centrului de mas zC= 2.0+HC/2= 9.8 m, - masa încrcturii (pe unitatea de lungime) este MC= BC*HC*0.8654= 307.39 t/m, - momentul de inerie masic al mrfii (pe unitatea de lungime) este

JφC= 0.8654*BC*HC*(BC2+HC

2)/12= 20365 tm. Efectuând calculul se obine momentul de inerie masic pe unitatea de lungime Jφ= 24628 tm. Raza de inerie adimensionalizat se calculeaz ca fiind

( )2BdBJKxx ⋅⋅⋅= ρφ , obinându-se Kxx= 0.305.

Acest rezultat este absolut credibil inând cont de valoarea obinut prin formulele statistice, cât i de valoarea folosit în referina [58] pentru acelai tip de nav.

109

Pentru realizarea simulrii dorite mai este necesar s se determine caracteristicile excitaiei, respectiv caracteristicile valului incident. În cazul prezentat în referina [58], nava tanc transport petrol între Alaska i California. Acesta este motivul pentru care se face referire precis la efectul valurilor de sud-vest. Probabil c aceste valuri sunt caracteristice rutei uzuale a acestei nave. Acesta este îns cazul fericit al unei nave dedicate unei rute stabilite. Societile de clasificare propun îns ca în cazul când nu se cunosc cu suficient precizie rutele pe care va naviga nava, s se utilizeze pentru calculele de structur spectrul de val al Atlanticului de Nord. Acest spectru este prezentat în referina [108] Partea V, capitolul 2, pagina 3-5. Studiindu-l, se observ c o mare pondere în cadrul spectrului o are perioada de 8.5 s. În cadrul acestei perioade valurile cu înlimile între 1.5 i 5.5 m au efectul energetic semnificativ. În lucrarea de fa a fost folosit pentru exemplificare o înlime a valului de 5.0 m. Presiunile obinute în urma acestei simulri vor fi folosite pentru a încrca structura în capitolul urmtor. Suplimentar s-au realizat i simulri ce valuri cu perioada de 11 s i înlimea de 3.0 m, 6.0 m i respectiv 12.0 m. Ultima înlime de val este extrem, având o pondere extrem de redus în cadrul spectrului de val, îns simularea a fost realizat pentru a evidenia rezultatul calcului neliniar. Condiiile simulrilor numerice sunt aceleai ca cele folosite în capitolele 5.5 i 6.6., cu meniunea c adâncimea acvatoriului a fost corelat cu lungimea de und. Astfel în cazul valului cu perioada T= 8.5 s, λ are valoarea de 112.75 m, iar adâncimea h= 60.0 m. Pentru valul cu T= 11.0 s ,λ este 188.75 m, iar adâncimea h= 110.0 m. 6.2. Rezultate obinute Rezultatele simulrii realizate cu valul având perioada T= 8.5 s i Hv= 5.0 m sunt prezentate în figurile 7.2.1.- 7.2.7.

Fig. 7.2.1 – Evoluia în timp a variaiei cotei centrului de mas

Se observ c factorul de amplificare al rspunsului navei pe direcia micrii verticale este subunitar. Se poate sesiza i apariia fenomenului de pulsaie. Amplitudinea oscilaiei verticale calculat prin metoda fâiilor este 3.45 m, factorul de amplificare fiind 1.38.

Din evoluia unghiului de ruliu se observ iniierea ruliului parametric la timpii mai mari de 13.5T. Acest fenomen este sesizabil i în evoluia variaiei cotei centrului de greutate la t= 17T. Apariia unghiurilor de ruliu mari sunt limitate prin schimbarea unghiului de întâlnire a navei cu valurile. Acesta este motivul pentru care i în analiza structural s-au limitat variaiile presiunilor doar la o durat de timp de 13.5T.

110

Utilizând metoda fâiilor, pentru acest caz se obine o amplitudine a unghiului de ruliu absolut de ≈0.64° (factorul de amplificare este 0.08 iar α0≈8°). Se observ c rapoartele între dimensiunile seciunilor prezentate în capitolul 5.4 i cele de fa sunt apropiate. Astfel raportul B/d pentru modelul din capitolul 5.4 este 0.4/0.2=2.0 iar pentru cazul de fa 28.0/12.0= 2.33. În baza acestei asemnri putem stabili un raport de similitudine între fenomene. Singurul impediment poate fi doar adâncimea bazinului, care în cazul modelului este clar o adâncime limitat (respectiv, pentru aceeai perioad a excitaiei, o variaie a adâncimii conduce la o variaie a lungimii de und). Favorabil stabilirii similitudinii se adug îns razele de inerie cvasiegale (Kxx ≈0.3). Acceptând similitudinea, se poate

considera c criteriul de similitudine pentru timp este BgT , de unde, inând cont c g este

identic în ambele cazuri, se deduce c 36.8⋅≈= mmrmr TBBTT . Perioada critic de ruliu a

modelului este aproximativ 2.16 s deci perioada critic a navei ar fi aproximativ 18.07 s. Perioada de simulare de 8.5 s reprezint 0.47 din perioada critic estimat ceea ce susine apariia fenomenului de ruliu parametric în conformitate cu rezultatele evideniate în capitolul 5.4.

Fig. 7.2.2. – Evoluia în timp a unghiului de ruliu

Fig. 7.2.3. – Evoluia în timp a erorii masice relative

111

Evoluia erorii masice este în concordan cu rezultatele prezentate pân acum. În figura 7.2.6. este prezentat variaia în timp a presiunii, în punctul de pe bordul incident aflat la intersecia cu suprafaa liber neperturbat (12.0 deasupra liniei de baz). Din aceast diagram se observ c valoarea maxim a presiunii în acest punct este de aproximativ 35 kN/m2 care ar corespunde la 3.56 m coloan de ap. Conform uzanei, aplicând un val cu Hv=5.0 m ne ateptm s obinem la nivelul suprafeei libere o presiune de aproximativ (2.5 m)*ρ*g ≈ 24.25 kN/m2. Se observ astfel c presiunea pe bordaj este net superioar celei obinute prin aproximarea hidrostatic. Din figura 7.2.4., pentru punctul aflat la 2.4 m deasupra liniei de baz se obin maxime de presiune de ≈ 115 kN/m2 , ceea ce corespunde la 11.7 m coloan de ap i minime de 45 kN/m2 , ce corespund la 4.6 m coloan de ap. Folosind aproximarea valului care se extinde la ±2.5 m în jurul suprafeei libere, se obin presiuni maxime corespunztoare la 12.1 m coloan de ap i minime corespunztoare la 7.1 m coloan de ap. În aceast situaie diferenele indic supraestimarea presiunilor prin folosirea metodei presiunii hidrostatice i ignorarea adevratei forme a solicitrii ciclice (profund asimetric).

Fig. 7.2.4. – Variaia în timp a presiunii la z= 2.4 m de la L.B. (panoul 1)

Fig. 7.2.5. – Variaia în timp a presiunii la z= 7.2 m de la L.B. (panoul 7)

112

Fig. 7.2.6. – Variaia în timp a presiunii la S.L. z= 12.0 m de la L.B.

Fig. 7.2.7. – Variaia în timp a presiunii la z= 15.2 m de la L.B. (panoul 17)

Pentru punctul situat la 15.2 m deasupra S.L., deci la 3.2 m deasupra plutirii de plin încrcare, aplicarea valului cu amplitudinea prescris în jurul S.L. nu implic apariia nici unei presiuni. Acest fapt este contrazis de simularea numeric, care estimeaz o presiune cu maximum de ≈ 12 kN/m2. Toate aceste rezultate confirm faptul c aplicarea presiunilor pe corpul navelor în conformitate cu distribuii liniare i simetrice fa de linia de plutire considerat este fals. Presiunile ce acioneaz pe corpul navelor, aa cum am concluzionat i în capitolul anterior, depind atât de efectele hidrodinamice surprinse de termenii 22v i t∂∂φ , cât i de micarea relativ a navei fa suprafaa liber. Acest ultim factor depinde la rândul su de evoluia suprafeei libere i de micarea navei ca rspuns la excitaie. Teoria uzual, liniar, a dinamicii navei consider c amplitudinea rspunsului navei notat Ro este Ro=Eo*ψ unde, Eo este amplitudinea excitaiei, iar ψ este factorul de transfer. Metodologia uzual de calcul ofer pentru fiecare pulsaie ω un factor de transfer ψ unic. Rezultatele simulrilor pe care le vom prezenta în continuare vor contrazice aceast ipotez. Astfel rulând evoluia navei în valuri cu perioada 11 s, dar cu înlimile 3.0 m, 6.0 m i 12.0 m se obin urmtorii factori de transfer: ψ1≈ 4.3/3= 1.4, ψ2≈ 7/6= 1.16 i mai ales ψ3≈ 8.75/12= 0.73. Tendina de evoluie a factorului de amplificare este descresctoare.

113

Fig. 7.2.8. – Evoluia în timp a variaiei cotei centrului de mas. T= 11 s Hv= 3.0 m

Fig. 7.2.9. – Evoluia în timp a variaiei cotei centrului de mas. T=11 s Hv= 6.0 m

Fig. 7.2.10. – Evoluia în timp a variaiei cotei centrului de mas. T= 11 s Hv= 12.0 m

Prin teoria uzual se obine un factor de amplificare ψ ≈ 1.00, rezultat ce poate reprezenta o valoare medie statistic acceptabil pentru calculul rspunsului cinematic al

114

navei. Din punctul de vedere al calculului distribuiei presiunilor pe suprafaa navei, utilizarea factorului de amplificare ψ independent de amplitudinea valului conduce la rezultate incorecte. Chiar dac scopul acestui capitol este de a prezenta simularea folosit pentru a obine distribuia de presiuni pe corpul navei ce vor fi utilizate în calculul de structur, se poate trage o concluzie i din analizele de mai sus. Concluzia acestui capitol i a studiului hidrodinamic efectuat este c presiunile ce acioneaz pe corpul navei sunt incorect determinate prin metodele uzuale. Astfel pentru cazul de fa, prin metodele uzuale, presiunile sunt subestimate i ca valoare i ca extindere spaial în zonele de deasupra liniei de plutire, dar supraestimate în zonele de sub plutire. În plus forma ciclului presiunii în zonele de sub linia de plutire este ignorat fiind considerat simetric, ceea ce s-a dovedit a fi fals. Estimarea corect a distribuiei de presiuni pe corpul navei conduce la date iniiale corecte pentru calculele de structur. Se încearc astfel s se evite avariile de tipul celor raportate în referina [58].

115

Capitolul 7. Studiul efectului presiunilor calculate prin modelarea numeric a fluidului asupra rezistenei structurii navei considerate

7.1. Premizele i ipotezele studiului În capitolele anterioare s-a artat c presiunile ce acioneaz pe corpul navei calculate prin metoda modelrii numerice a fluidului au valori i variaii substanial diferite de presiunile utilizate uzual în calculele de structur. Metodele uzuale de calcul ale presiunilor ce acioneaz asupra structurii, consider nava static aezat pe val i ia în calcul o corecie exponenial în funcie de adâncime i de numrul de und (efectul Smith). Aa cum reiese din rezultatele prezentate în capitolele anterioare, diferenele dintre presiunile ce acioneaz pe corpul navei calculate prin cele dou metode, sunt datorate atât efectelor dinamice din valul neliniar, cât i efectului micrii relative neliniare dintre val i nav. Proiectarea optimal a structurilor navale moderne a impus nevoia determinrii cu mai mare acuratee a sarcinilor hidrodinamice. Dezvoltarea i impunerea unor forme hidrodinamice noi, precum i construirea marilor structuri off-shore au creat premiza ieirii din cadrul ipotezelor metodelor folosite pân acum, deschizând astfel calea simulrii numerice ca alternativ a analizei. De asemenea, în ultima perioad de timp, datorit mai ales unor avarii structurale aprute la navele de tip bulkcarier i petrolier cu vârst medie (5-10 ani), s-a impus necesitatea efecturii calculelor de oboseal ale structurilor, ceea ce implic considerarea efectelor dinamice variabile în timp. Calculele structurale uzuale iau în consideraie efectele dinamice asupra structurii mai ales prin formule de registru. Conform referinei [108] Partea V Cap. 2 obiectivele analizei rezistenei la oboseal sunt:

- identificarea zonelor din structur cu tensiuni ciclice mari, - evaluarea detaliilor structurale critice, - gsirea alternativelor structurale;

iar metode de analiz: - metoda determinist simplificat, - metoda spectral, - metoda simulrii istoricului în timp a tensiunilor. În metoda determinist simplificat sunt selectate cazurile de încrcare (i prin acestea

spectrul tensiunilor pe toat durata de via a navei), în conformitate cu cerinele din regulile societilor de clasificare. În cadrul metodei spectrale, rspunsul structurii la procesul de încrcare stohastic este calculat în domeniul frecven, iar spectrul tensiunilor pe toat durata vieii navei este determinat prin metode statistice. Simularea istoricului în timp a tensiunilor, este realizat în domeniul timp i face posibil luarea în considerare prin calcul direct a efectelor neliniare de-a lungul diverselor situaii de încrcare i a procesului de avariere a structurii.

Selectarea metodei de analiz depinde de obinerea unor rezultate acceptabile în condiiile ipotezelor i simplificrilor asumate.

În prezent, metoda determinist simplificat este cea mai utilizat, îns aa cum s-a artat în referina [58] opiunea utilizrii necondiionate a unei astfel de metodologii este pus sub semnul întrebrii. Conform referinei [108] aceast metod poate fi utilizat atunci când situaiile de încrcare considerate produc tensiunile cele mai relevante, iar forma i numrul ciclurilor solicitrilor pot fi estimate cu suficient acuratee pe baza experienei sau a unor calcule asemntoare. De aici se poate deduce c utilizarea acestei metode nu este recomandat în cazul navelor pilot ce aduc soluii inginereti noi (fapt confirmat i de referina [58]). Atunci când se aplic metoda analizei spectrale trebuie s se verifice cât de justificate sunt simplificrile utilizate, ca de exemplu neglijarea sau considerarea parial a efectelor

116

nonliniare. Aceste efecte pot fi îns bine surprinse în cazul simulrii istoricului în timp a tensiunilor.

Depinzând de extensia analizei, analiza la oboseal ia în consideraie urmtoarele tipuri de tensiuni:

- tensiunile nominale din structur, - tensiunile din corpul sudurilor (tensiunile structurale), - tensiunile aprute datorit concentratorilor de tensiuni.

Aceasta este prezentarea pe scurt a domeniilor din cadrul structurilor navale, în care

cunoaterea cu mai mult acuratee a distribuiei de presiuni pe corpul navei i deci implicit a tensiunilor din corpul navei, poate avea efecte benefice. Studiul de fa, prin metoda de calcul a distribuiei dinamice de presiuni pe corpul navei, poate oferi rezultate de intrare pentru oricare din ele. Din pcate, exist o limitare major a studiilor practice, respectiv realizarea unor simulri numai în plan. Extinderea acestora în spaiul tridimensional nu este o problem de metod, metoda prezentat în lucrarea de fa pretându-se fr probleme pentru aceast extindere, cât o problem de posibiliti hardware. Autorul lucrri consider c prezentarea unui studiu structural efectuat prin încrcarea unei structuri reale cu presiunile dinamice calculate în capitolul 6, poate conduce la concluzii folositoare asupra eficienei acestei metodologii. În conformitate cu cele prezentate mai sus autorul îi propune s identifice zonele din structur cu tensiuni ciclice critice, considerând numai tensiunile din structur. Metoda folosit este simularea istoriei în timp a tensiunilor pentru cazul unui val cu o frecven i înlime dat. Asupra structurii se consider c acioneaz doar solicitrile din cazul de încrcare considerat în ap calm i presiunile din valul aplicat travers. Zona din structur considerat, este zona cilindric în care curgerea fluidului este bine reprezentat prin modelarea bidimensional. Solicitrile din valul longitudinal nu sunt incluse datorit faptului c efectele dinamice date de acesta nu sunt surprinse în simularea hidrodinamic, care este realizat în 2D. Efectul hidrodinamic al acestuia este semnificativ i absena sa conduce la tensiuni mult mai mici în structur. Dealtfel, studiul structural de fa nu îi propune s fie unul cantitativ, ci unul calitativ. Prin el se dorete s se sublinieze influena calculului hidrodinamic apropiat de realitate asupra tensiunilor din structur. Aa cum se subliniaz i în referina [108] (sau indirect în referina [58]), analiza dinamic a navei este puternic dependent de cazurile de încrcare i de traseele de navigaie ale acesteia. Realizarea unui astfel de studiu este deosebit de complex i laborioas în condiiile în care rezultatele sunt extrem de dedicate respectivei nave, putând fi extinse cel mult unui anumit tip de nave. inând cont de aceste argumente, considerm c prezentarea unei metodologii de abordare a problemei este calea practic de urmat în cazul analizei dinamice a structurilor navale i nu încercarea gsirii unei soluii universale, 7.2. Prezentarea structurii Structura pentru care se face exemplificarea calculului dinamic cu utilizarea distribuiei dinamice a presiunilor, este dublul bord în zona cilindric a petrolierului de 38000 tdw utilizat în capitolul 6 pentru determinarea solicitrilor hidrodinamice. Topologia seciunii maestre a acestei nave a fost prezentat în figura 6.1. Nava are distana intercostal în zona cilindric a= 800 mm. Distana între elementele longitudinale de osatur este tot distana intercostal. Înlimea dublului fund este 2000 mm, iar limea dublului bord este tot 2000 mm, respectiv de la peretele transversal etan situat la

117

y= 12000 mm, pân la bordaj situat la y= 14000 mm. Puntea are o selatur trapezoidal, deci cota de terminare a peretelui longitudinal în punte este mai mare decât cea a punctului de intersecie dintre punte i bordaj. Zona considerat efectiv în calculul de structur este cea cuprins longitudinal între peretele transversal etan la coasta 109 i peretele transversal etan la coasta 153, iar transversal între dublul bord de la y= 12000 i bordaj. Aceast zon se extinde de-a lungul a dou spaii de marf separate de peretele etan la coasta 131. Aceast alegere a permis obinerea unei zone efective de studiu (ferit de efectele de capt), de dimensiunea unui spaiu de marf centrat pe peretele etan de la coasta 131. De asemenea aceast dimensiune permite încadrarea modelului numeric în disponibilitile harware ale unui calculator personal, ceea ce este extrem de util în cazul efecturii unui calcul mai rapid. Pentru a denumi seciunile orizontale ale structurii vom folosi denumirile consacrate în construcia naval, legate de numrul ataat longitudinalei corespunztoare în planul seciunii maestre. Astfel, nivelul celor de mai de jos longitudinale va fi nivelul L21, iar a celor mai de sus L37. Tablele bordajului i ale dublului bord le vom considera împrite în panouri delimitate de aceste seciuni longitudinale, pe care îns le vom numi panoul 1, 2, … (P1, 2, …) începând de la nivelul dublului fund. Tablele utilizate în zona studiat se încadreaz între 12 mm în zona superioar a dublului bord (între L31 i L37) i 16 mm în zona de din imediata vecintate a gurnei (între dublu fund i L21, respectiv panoul 1 de bordaj). Bordajul este realizat din table de grosime 15 mm pân la L28 i tabl de 14 mm între L28 i L37. Zona între L37 i punte inclusiv este realizat din table de grosime 15 mm din oel de înalt rezisten (limita de curgere 355 N/mm2). Tablele dublului bord descresc în grosime de la 15 mm la nivelul dublului fund pân la 12 mm la partea superioar, dar sub L 37. Coastele întrite au grosime uniform 12 mm. Coastele etane au grosimi de table ce descresc de la 15 mm la nivelul inferior, la 12 mm la nivelul superior. Coastele întrite au 5 decupri de trecere a fluidului de 400 x 700 mm. Decuparea inferioar, utilizat i pentru trecere în cazul inspeciei spaiilor, are dimensiunea de 600 x 800 mm i este bordurat ca urmarea a evidenierii prin analiza structural efectuat de societatea de clasificare a unui concentrator local de sarcin. Longitudinalele de bordaj sunt realizate din bulbi cu limi variind de la 420 mm la 220 mm, iar grosimi între 14 mm i 11 mm. Structura transversal a unui spaiu de marf este constituit din cei 2 perei etani i 5 coaste întrite. Pereii etani se afl la 3a de coastele întrite adiacente. Coastele întrite au un spaiu de 4a între ele. Coastele întrite au la nivelele L22, L24, L29, L31, L33 i L36 brachei între longitudinalele de bord i cele de dublu bord, dispui spre pupa. Trecerea longitudinalelor prin coastele întrite este rigidizat prin plcue de rigidizare. În spaiul de marf la nivelele L27 i L28 se afl o travers nepuntit în dreptul fiecrei coaste întrite. De asemenea, coastele întrite au la aceste nivele brachei dispui atât la pupa cât i la prova. Aceste traverse realizeaz descrcarea unei mari pri a solicitrilor în direcie orizontal. Tot la aceste nivele, dar i la nivelele L24 i L33, în pupa pereilor etani exist o platform extins pân la coasta întrit adiacent. Celelalte nivele sunt întrite în zonele pereilor etani printr-o structur numit în practic “diamant”, respectiv o grupare de gusee dispuse în cazul de fa astfel: dou în zona pupa în corespondena longitudinalei de bordaj i a celei de dublu bord, iar unul în prova în corespondena longitudinalei de dublu bord. Guseele din pupa se sprijin pe un montant realizat din profil cu bulb ce rigidizeaz peretele etan. În corespondena montantului mai sus menionat, sub punte este dispus o longitudinal cu profil dreptunghiular din oel de înalt rezisten, cu dimensiunile 270 x18 mm.

118

Acolo unde nu sunt prevzute coaste întrite sau perei etani, în corespondena fiecrei coaste sub punte exist o pereche de brachei sprijinii pe longitudinalele nivelului L37 i pe longitudinala de punte menionat anterior. 7.3. Modelarea numeric a structurii Modelarea numeric a structurii s-a realizat prin elemente finite utilizând facilitile programului de element finit COSMOS aflat sub licen universitar în cadrul Catedrei de Inginerie Electric i Nave a Universitii “Dunrea de Jos” din Galai. În figurile 7.3.1, 7.3.2, 7.3.3. sunt prezentate pri ale modelului obinut. Pentru a se putea realiza vederea interioar, bordajul a fost considerat invizibil. Bordul prezentat este babordul. Modelul realizat are 4164 de noduri i 5063 elemente. Elementele sunt de tip SHELL4T (QUAD4) respectiv elemente neliniare de plac groas cu proprieti atât de membran, cât i de încovoiere. Fiecare nod are toate cele 6 grade de libertate.

Fig. 7.3.1. – Vedere a prii pupa sus a modelului (fr bordaj)

Fig. 7.3.2. – Vedere a prii de mijloc sus a modelului (fr bordaj)

119

Fig. 7.3.3. – Vedere a prii mijloc jos a modelului Unitatea de baz în divizarea modelului este distana intercostal a. Astfel bordul i bordul dublu sunt divizate în panouri având dimensiunile a x a. Ele sunt mrginite superior de longitudinale, iar pe orizontal limita de separaie dintre ele corespunde coastelor. Excepia este irul de panouri superioare (corespunztoare centurii) care au înlimea mai mare. Puntea a fost divizat în dou iruri de panouri mrginite de longitudinala de punte i de bordaj, respectiv dublu bord. Longitudinalele sunt divizate în elemente de lungime a. Divizarea coastelor întrite i a pereilor transversali etani este mai complex datorit longitudinalelor care le parcurg a elemetelor de întrire precum i a gurilor de trecere a apei. Dat fiind mrimea modelului, anumite elemente au fost simplificate sau echivalate în conformitate cu modularea uzual. Astfel, zona de trecere a longitudinalelor prin coastele întrite a fost modelat fr considerarea nodului tipic, decuprile de trecere a apei de form oval au fost aproximate la un octogon, iar bracheii de întrire a coastelor întrite au fost aproximai la un dreptunghi. Un alt aspect esenial al modelrii numerice a structurii este modul cum au fost puse condiiile la limit ale structurii.

În cazul de fa una din cele mai importante ipoteze ale condiiilor limit o reprezint încastrarea bazei întregului model. În analiza structurilor navale, aceast ipotez este unanim considerat c modeleaz foarte bine comportarea dublului bord în raport cu dublul fund.

De asemenea este evident c punctele aflate la intersecia dintre dublu bord i pereii transversali etani au restricionat deplasarea în sensul axelor oy i oz. De asemenea i punctele aflate pe conturul marilor planee au restricionat rotirea în planul acestora. Acest set de constrângeri este universal aplicabil oricrei zone dintr-o structur naval.

Urmtoarele constrângeri sunt îns particulare cazului de fa. Astfel, considerând c traversele nepuntite sunt componente ale unui cadru cu o mare rigiditate, au fost restricionate pe direcia axei oy deplasrile punctele corespunztoare de la intersecia coastelor întrite cu dublul bord la nivelele L27 i L28. Not: Traversele nepuntite formeaz un cadru împreun cu montanii peretelui longitudinal etan de la y= 7200 mm de la P.D. i cu traversele de punte. Ambele au dimensiuni considerabile, respectiv montantul are inima de 1450 x 12 mm i o flan de 400 x 28 mm, iar traversa de punte are inima în medie de 1200 x 11 mm, flanat 200 x 15 mm.

120

7.4. Sarcinile aplicate structurii Asupra structurii se vor aplica dou tipuri de sarcini, astfel:

- presiuni variabile în timp i distribuite pe fiecare panou de bordaj, - fore concentrate în nodurile de frontier din corespondena coastelor 109 i 153

pentru simularea solicitrilor induse de cazul de încrcare în ap calm (momentul încovoietor M i fora tietoare T).

Modul de calcul al presiunilor variabile în timp a constituit subiectul celorlalte

capitole ale lucrrii de fa. În capitolul 6.2. sunt prezentate diagrame ale evoluiei în timp a presiunii pe câteva din panourile navei. Presiunile au fost calculate pentru punctele din centrul irurilor orizontale de panouri, considerându-se c valoarea obinut este o medie a valorilor de pe întreg panoul. Astfel, pe fiecare din aceste panouri, a fost aplicat o presiune constant, egal cu cea din punctul central.

Forele tietoare i momentele încovoietoare sunt preluate din exemplul tipic al calculatorului de bord, exemplu menionat în capitolul 6.1. Astfel:

a) pentru coasta 109 M= -34893 tfm reprezentând 21.2% din momentul admisibil i T= -536 t reprezentând 7.3% din fora admisibil,

b) pentru coasta 153 M= -38932 tfm reprezentând 23.7% din momentul admisibil i T= +319 t reprezentând 4.5% din fora admisibil. (Not: unitile de msur sunt cele folosite de calculatorul de bord).

Utilizând caracteristicile secionale prezentate în capitolul 6.1. se calculeaz tensiunile normale în punctele de interes. Prin înmulirea tensiunilor normale cu ariile medii adiacente punctelor de interes, se obin forele nodale normale pe seciunile de capt. Ariile medii sunt considerate astfel:

- în punctele de pe bord sau dublu bord, aria medie este suma jumtilor ariilor seciunilor panourilor adiacente i a profilului cu bulb,

- în punctele libere ale profilului cu bulb, aria medie este jumtate din aria profilului cu bulb.

Cu ajutorul programului de calcul structural POSEIDON al societii de clasificare Germanischer Lloyd s-a trasat rspunsul structurii la o for tietoare unitar (exprimat în kN). Rspunsul maxim (tensiunea maxim obinut) la o for tietoare de 1 kN este 0.12893e-2 N/mm2. Pentru situaia de fa, pentru operativitate, s-a estimat grafic pe diagram un rspuns mediu (o tensiune tangenial medie) pentru fiecare perete vertical din cadrul celor dou seciuni. S-a obinut astfel pentru bordaj 0.81429e-3 N/mm2 i 0.88215e-3 N/mm2 pentru dublu bord. Tensiunile tangeniale sunt calculate prin înmulirea rspunsurilor medii în cele dou zone cu forele tietoare (exprimate în kN) din cele dou seciuni. Prin înmulirea tensiunilor tangeniale cu ariile medii de forfecare adiacente punctelor de pe bordaj i dublu bord din cele dou seciuni de capt, se obin forele ce vor fi aplicate în acestea pentru a simula efectul forei tietoare T. Aria medie de forfecare este considerat suma jumtilor ariilor seciunilor panourilor adiacente punctului. Aceste solicitri completeaz modelul numeric. Pentru rezolvarea acestuia mai trebuie stabilit i metoda ce va fi folosit pentru integrarea în timp a soluiei.

121

7.5. Integrarea în timp a soluiei Ecuaia de micare a unui sistem dinamic este: [ ] [ ] [ ] ( ) tfuKuCuM =++ unde:

- [M] este matricea maselor domeniului, - [C] este matricea coeficienilor de amortizare, - [K] este matricea coeficienilor de rigiditate, - uuu ,, vectorul deplasrilor, vitezelor i acceleraiilor nodurilor,

- ( ) tf este vectorul solicitrilor variabile în timp.

Programul de element finit realizeaz calculul matricelor [K] i [M]. Pentru calculul matricei coeficienilor de amortizare sunt necesare îns informaii suplimentare. Conform referinelor [37] i [102], amortizarea structurilor sudate este foarte mic, ceea ce a permis ca în lucrarea de fa s se neglijeze amortizarea structural. Calculul rspunsului în timp al structurii se poate realiza prin:

- metoda superpoziiei modale, - metoda integrrii directe în timp. Calculul prin metoda superpoziiei modale implic determinarea modurilor proprii de

vibraie. În urma rulrii calculului de frecvene proprii aplicat modelului prezentat mai sus (fr solicitri aplicate), autorul a observat c majoritatea modurilor proprii obinute nu sunt realistice. Astfel, formele proprii indicau puternice oscilaii locale mai ales ale elementelor longitudinale între elementele de sprijin (coastele întrite), în condiiile în care bordajul i dublu bordul nu oscilau de loc. Pentru selectarea modurilor proprii reale ar fi fost necesar un proces de filtrare a soluiilor. Din pcate programul de element finit nu permitea folosirea selectiv a modurilor proprii în cadrul integrrii în timp prin superpoziie modal, ci doar folosirea primelor m moduri. Acest fapt a condus la alegerea metodei integrrii în timp pentru rezolvarea sistemului dinamic. Aceste concluzii reies i dintr-un studiu intern al Institutului de Cercetri i Proiectri Navale din Galai (ICEPRONAV) (referina [1]), document care i-a fost prezentat succint autorului în cadrul consultrii pe aceast tem a unor cercettori din cadrul institutului. Respectivul document prezenta i studiul cu metoda elementului finit a modurilor proprii de vibraii ale unui tub rectangular lung, care are întrituri longitudinale (situaia idealizat a unei structuri navale construite în sistem longitudinal). i în acest document se sesiza apariia în special a oscilaiilor elementelor longitudinale, concluzionându-se în final c modalitatea cea mai bun de a apropia rezultatele obinute de realitate, este metoda “topirii” elementelor longitudinale în panourile înveliului. Confirmarea acestei metodologii ca fiind aplicat în analizele efectuate de ctre societile de clasificare a fost obinut i prin intermediul d-lui conf. dr. ing. L. Domnioru da la Catedra de Nave a Facultii de Inginerie Electric i Nave. În analiza de fa s-a utilizat metoda integrrii directe. Conform documentaiei programului de element finit utilizat [109], rezolvarea ecuaiei dinamice prin aceast metod se realizeaz iterativ. Ecuaia dinamic are urmtoarea form de discretizare în timp:

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( )1−∆+∆+∆+∆+∆+∆+−=∆++

ittttittittittitt FRuKuCuM [M] = matricea maselor sistemului; [C] = matricea coeficienilor de amortizare; t+∆t [K](i)

= matricea coeficienilor de rigiditate la timpul t+∆t i iteraia i; t+∆tR = vectorul forelor externe la timpul t+∆t t+∆tF(i-1) = vectorul forelor nodale interne generate la timpul t+∆t i iteraia i;

122

t+∆t∆u(i) = vectorul variaiei deplasrilor nodale la iteraia i;

( )itt u∆+ = vectorul deplasrilor nodale la iteraia i;

( )itt u∆+ = vectorul vitezelor nodale la iteraia i;

( )itt u∆+ = vectorul acceleraiilor nodale la iteraia i. Autorul a folosit opiunile implicite ale programului, respectiv schema de integrare în timp Newmark-Beta (cu parametrii de integrare γ=0.5 i β= 0.25) i metoda Newton-Raphson pentru iterarea soluiei. Pasul de timp utilizat a fost T/40 unde T este perioada oscilaiei. Soluiile au fost memorate din 2 în 2 pai de calcul pentru a salva spaiul de stocare. În condiiile utilizrii unui procesor cu frecvena de 333 MHz i a unui calculator personal cu o memorie de 32 Mb, timpul necesar rulrii a 740 pai de timp este de aproximativ 8 ore. Fiierele de rezultate au mai mult de 400 Mb. 7.6. Rezultatele obinute Autorul a realizat o rulare a modelului în condiiile aplicrii pe bordaj a presiunilor dinamice i trei rulri statice corespunztoare situaiilor de aezare static a navei în valul travers. Considerând c detalierea modului de obinere i aplicare a sarcinilor dinamice s-a fcut mai sus, se va detalia modul de calcul i aplicare a sarcinilor statice. Cazurile statice corespund imersrii navei la nivelul liniei de plutire+amplitudinea valului considerat, la nivelul liniei de plutire i la nivelul liniei de plutire-amplitudinea valului considerat. Concret:

- pentru primul caz vom considera o presiune hidrostatic echivalent cu cea a unei coloane de ap de înlime H = 12.0+2.5= 14.5 m deasupra liniei de baz;

- pentru cazul al doilea vom considera o presiune hidrostatic echivalent cu cea a unei coloane de ap de înlime H = 12.0 m deasupra liniei de baz;

- pentru cazul al treilea vom considera o presiune hidrostatic echivalent cu cea a unei coloane de ap de înlime H = 12.0-2.5= 9.5 m deasupra liniei de baz.

Presiunea într-un punct oarecare cu cota z fa de linia de baz va fi p= ρg(H - z). Pe fiecare panou se aplic o presiune constant egal cu cea a punctului din mijloc.

În continuare se vor prezenta zonele critice determinate în urma acestor rulri. Prezentarea se face începând cu nivele inferioare. Rezultatele vor prezenta în special valoarea tensiunii echivalente Von Misses obinut prin relaia:

( ) ( ) ( )[ ] ( )222222 32 yzxzxyzyzxyxe τττσσσσσσσ +++−+−+−= ,

dar i valorile tensiunii normale σ în direciile de interes sau a celei tangeniale τ. La prima longitudinal (2800 mm de la linia de baz), L21 s-au evideniat tensiuni echivalente substaniale fa de restul structurii nivelului în zonele:

- de la mijlocul elementului între punctele de sprijin ale elementului pe coastele întrite (P1585),

- în zonele de intersecie cu coastele (P1385). Maximele se obin pentru punctele aflate la mijlocul elementului între coastele întrite

imediat adiacente peretelui etan (P1585). Pentru punctul P1385: în cazul 1 static se obine σx= -36.4 kN/mm2 i σe= 32.0 kN/mm2 ; în cazul 2 static se obine σx= -28.6 kN/mm2 i σe= 25.2 kN/mm2 ; în cazul 3 static se obine σx= -20.1 kN/mm2 i σe= 18.4 kN/mm2. În situaia aplicrii dinamice a solicitrilor

123

extremele medii ale tensiunii normale sunt de aproximativ –27 i –9 kN/mm2 , ceea ce indic faptul c aplicarea static a valului reprezint o supraestimare pentru aceste elemente.

Fig. 7.6.1. – Distribuia tensiunilor σx pentru L21

Fig. 7.6.2. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru punctul P1385

O concluzie identic se obine i pentru punctul P1585. În cazul 1 static se obine σx= +42.2 kN/mm2 i σe= 40.2 kN/mm2 ; în cazul 2 static se obine σx= +33.2 kN/mm2 i σe= 31.6 kN/mm2 ; în cazul 3 static se obine σx= +24.1 kN/mm2 i σe= 23.0 kN/mm2. În situaia aplicrii dinamice a solicitrilor, extremele medii ale tensiunii normale sunt de aproximativ +29 i +10.7 kN/mm2 , iar pentru tensiunea echivalent 31 kN/mm2 i 10 kN/mm2 .

Fig. 7.6.3. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru punctul P1585

124

Fig. 7.6.4. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru punctul P1585

La longitudinala L22 (3600 mm de la linia de baz), se evideniaz concentrri de tensiuni în zone mai apropiate de coasta întrit, datorit apariiei unei zone rigidizate suplimentar prin prezena brachetului între longitudinala de bord i cea de dublu bord. Aceti brachei sunt dispui pe coastele întrite în scopul micorrii câmpului de plac, pentru prevenirea voalrii zonelor în care se realizeaz descrcarea pe traversele nepuntite sau în zonele slbite de decuprile de trecere a apei.

Fig. 7.6.5. – Distribuia tensiunilor echivalente pentru L22

Fig. 7.6.6. - Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru punctul P1296

125

Pentru punctul P1296: în cazul 1 static se obine σx= -10.3 kN/mm2 , σy= -15.5 kN/mm2 , τxy= 13.4 kN/mm2 i σe= 27.0 kN/mm2 ; în cazul 2 static se obine σx= -8.0 kN/mm2 , σy= -12.0 kN/mm2 , τxy= 10.4 kN/mm2 i σe= 20.8 kN/mm2 ; în cazul 3 static se obine σx= -5.6 kN/mm2 , σy= -7.25 kN/mm2 , τxy= 7.3 kN/mm2 i σe= 18.4 kN/mm2. Datorit rigidizrii zonei tensiunile principale nu mai au direcii apropiate de axele globale, de aceea vom considera doar tensiunea echivalent. În situaia aplicrii dinamice a solicitrilor, extremele medii ale tensiunii echivalente sunt de aproximativ 27 i 9.6 kN/mm2 . Efectul de suprasolicitare datorat aplicrii valului static este prezent i aici. În cazul longitudinalei L23 (4400 mm de la linia de baz) distribuia tensiunilor este asemntoare cu cazul longitudinalei L21 (similaritatea structurii).

Fig. 7.6.7. – Distribuia tensiunilor σx pentru L23

Pentru punctul P1225: în cazul 1 static s-a obinut σx= 29.6 kN/mm2 i σe= 28.1 kN/mm² ; pentru cazul 2 static s-a obinut σx= 22.4 kN/mm² i σe= 21.3 kN/mm² pentru cazul 3 static s-a obinut σx= 15.0 kN/mm² i σe= 14.3 kN/mm2 . În cazul dinamic σx are extremele de aproximativ 23 kN/mm² i 9.8 kN/mm², iar tensiunea echivalent de aproximativ 24 kN/mm² i 9.9 kN/mm².

Fig. 7.6.8. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru P1225

126

Fig. 7.6.9. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1225

Pentru punctul P1590: tensiunile cresc substanial. În cazul 1 static s-a obinut σx= 41.3 kN/mm2 i σe= 39.0 kN/mm² ; pentru cazul 2 static s-a obinut σx= 30.9 kN/mm² i σe= 29.2 kN/mm² ; pentru cazul 3 static s-a obinut σx= 20.6 kN/mm² i σe= 19.4 kN/mm2 . În cazul dinamic, σx are extremele de aproximativ 28.5 kN/mm² i 6.0 kN/mm², iar tensiunea echivalent de aproximativ 28.4 kN/mm² i 5.0 kN/mm².

Fig. 7.6.10. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru P1590

Fig. 7.6.11. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1590

127

Pentru punctul P1435 aflat la intersecia cu coasta întrit, tensiunea normal îi schimb sensul devenind tensiune de compresiune. Se obine: pentru cazul static 1 σx= -34.3 kN/mm² i σe= 30.1 kN/mm², pentru cazul static 2 σx= -25.9 kN/mm² i σe= 22.7 kN/mm² iar pentru cazul static 3 σx= -17.5 kN/mm² i σe= 15.3 kN/mm². Pentru cazul dinamic extremele obinute sunt: pentru σx aproximativ –26.5 kN/mm² i -6.8 kN/mm², iar pentru σe 23.4 kN/mm² i 7 kN/mm².

Fig. 7.6.12. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru P1435

Fig. 7.6.13. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1435

Pe longitudinala L25 se obin zone critice în punctele:

- P1594 la mijlocul deschiderii longitudinalei de bordaj între coastele întrite, - P1390 la intersecia longitudinalei de bordaj cu coasta întrit.

Pentru punctul P1594 se obine: pentru cazul static 1 σx= 42.4 kN/mm² i σe= 40.0 kN/mm²; pentru cazul static 2 σx= 29.5 kN/mm² i σe= 27.8 kN/mm² iar pentru cazul static 3 σx= 16.7 kN/mm² i σe= 15.7 kN/mm². Pentru cazul dinamic extremele obinute sunt: pentru σx aproximativ 33.0 kN/mm² i -4.0 kN/mm², iar pentru σe 33.5 kN/mm² i 2.0 kN/mm². Pentru punctul P1390 se obine: pentru cazul static 1 σx= -39.8 kN/mm² i σe= 35.2 kN/mm²; pentru cazul static 2 σx= -28.4 kN/mm² i σe= 25.7 kN/mm² iar pentru cazul static3 σx= -16.7 kN/mm² i σe= 15.0 kN/mm². Pentru cazul dinamic extremele obinute sunt: pentru σx aproximativ -35.0 kN/mm² i -4.0 kN/mm², iar pentru σe 30.5 kN/mm² i 4.0 kN/mm².

128

Fig. 7.6.14. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru P1594

Fig. 7.6.15. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1594

Fig. 7.6.16. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru P1390

129

Fig. 7.6.17. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1390

În cazul longitudinalei L27 (7600 mm de la linia de baz), punctele cele mai solicitate sunt cele de la intersecia longitudinalei de dublu bord cu coastele aflate la mijlocul zonei dintre pereii etani. Prin aceste puncte se realizeaz descrcarea solicitrilor panourilor cuprinse între dublul fund i zona sprijinit de traversele nepuntite spre acestea din urm. Acest fapt reiese i din preponderena tensiunilor în direcie orizontal.

Fig. 7.6.18. – Distribuia tensiunilor echivalente pentru L27

Fig. 7.6.19. – Evoluia în timp a tensiunilor σy pentru P1459

130

Analizând punctul P1459 se obin urmtoarele rezultate: pentru cazul static 1 σy= -32.8 kN/mm² i σe= 33.6 kN/mm²; pentru cazul static 2 σy= -22.3 kN/mm² i σe= 22.7 kN/mm², iar pentru cazul static 3 σy= -12.2 kN/mm² i σe= 12.2 kN/mm². În cazul dinamic σy variaz între aproximativ –39.5 kN/mm² i -4.0 kN/mm². Longitudinala L28 (8400 mm de la linia de baz) reprezint un caz similar cu cel al L27. i în acest caz punctele critice sunt de descrcri ale solicitrilor din dreptul traverselor nepuntite. Aceste puncte preiau îns solicitrile panourilor de la nivelul L28 pân la punte, care sunt mai mici decât cele de pe panourile inferioare. Punctul considerat este P1396. În cazul static 1 se obine σe= 24.9 kN; în cazul static 2 σe= 11.6 kN/mm² iar în cazul static 3 σe= 3.2 kN/mm². În cazul dinamic, σe are extreme de aproximativ 29.0 kN/mm² i 2.0 kN/mm². În aceste cazuri solicitrile dinamice duc la o cretere în starea de tensiune. Zonele prin care se face descrcarea sarcinilor de pe structura primar pe structurile întrite, acioneaz sub influena sarcinilor dinamice ca nite sumatori ai diferenelor locale.

Fig. 7.6.20. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1396

Pentru longitudinala L30 (10000 mm deasupra liniei de baz) poriunile cele mai solicitate sunt tot trecerile prin coastele întrite i zonele de mijloc între sprijine. Totui, zonele de trecere prin coastele întrite (prin care se realizeaz descrcarea spre coaste) au tensiuni cu 25% mai mari fa de cele de pe mijlocul deschiderii.

Fig. 7.6.21. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru P1397

131

Un astfel de punct este P1397. În cazul static 1 σx= -33.5 kN/mm²; pentru cazul static 2 σx= -4.6 kN/mm², iar pentru cazul static 3 tensiunile sunt de neglijat. Analiza dinamic arat c extremele σx sunt –34.0 kN/mm² i –4.0 kN/mm². Pentru longitudinala L32 (11600 mm deasupra liniei de baz), punctele critice sunt tot cele de la trecerea prin coastele întrite, ca de exemplu punctul P1480. Pentru acest punct σx= -25.7 kN/mm² pentru cazul 1 i nesemnificative pentru celelalte cazuri statice. Analiza dinamic indic extreme ale σx de aproximativ -28.5 kN/mm² i –8.5 kN/mm².

Fig. 7.6.22. – Evoluia în timp a tensiunilor σx pentru P1480

Longitudinala L33 (12400 mm deasupra liniei de baz) este slab solicitat prin folosirea aezrii statice pe val (dealtfel apa atinge acest punct doar în cazul static 1). Astfel punctul 1258 are σe= 2.9 kN/mm². Analiza dinamic indic c tensiunea echivalent variaz între aproximativ 16.3 kN/mm² i 4 kN/mm².

Fig. 7.6.23. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1258

Analiza pereilor etani nu a indicat nici o zon critic. În schimb coastele întrite din zona de mijloc a spaiului dintre doi perei etani au mai multe puncte critice. Cea mai de jos decupare de trecere a apei este un puternic concentrator de tensiuni fapt sesizat i de societatea de clasificare care a cerut bordurarea decuprii. Dar punctele care sunt de interes în cazul de fa sunt punctele prin care coasta întrit se descarc spre traversele nepuntite.

132

În cazul coastei 120 aceste puncte sunt P1090 i P1089.

Fig. 7.6.24. – Distribuia tensiunilor echivalente pentru coasta 120

Punctul 1089 are în cazul static 1 σe= 40.1 kN/mm²; în cazul static 2 σe= 29.1 kN/mm² i σe= 18.4 kN/mm² pentru cazul static 3. Componenta maxim a tensiunilor în acest punct este τyz. Analiza dinamic indic valori maxime ale tensiunii echivalente maxime mult mai mari, de aproximativ 50 kN/mm² (deci un factor de amplificare de +25%). Minimele tensiunilor echivalente au o valoare medie de aproximativ 7.0 kN/mm². Amplitudinea solicitrii ciclice astfel obinut este de aproximativ 43 kN/mm², fa de aproximativ 22 kN/mm² obinut prin aezarea static a navei pe val. Se observ astfel c amplitudinea ciclului este cu aproape 100% mai mare, fa de cea obinut static. De asemenea forma ciclului obinut dinamic este net mai asimetric.

Fig. 7.6.25. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1089

Pentru punctul P1090, componenta σy are ponderea cea mai mare. Tensiunile echivalente pentru acest punct sunt: pentru cazul static 1 σe= 44.7 kN/mm²; pentru cazul static 2 σe= 29.6 kN/mm², iar pentru cazul static 3 σe= 16.4 kN/mm². Prin studiul dinamic se obin urmtoarele extreme ale tensiunii echivalente: 55.5 kN/mm² i 7.3 kN/mm². Amplitudinea ciclului tensiunilor calculate prin metoda dinamic este cu 70% mai mare decât cea obinut prin aezarea static pe val a navei.

133

Fig. 7.6.26. – Evoluia în timp a tensiunilor echivalente pentru P1090

7.7. Concluzii asupra rezultatelor Rezultatele obinute în urma studiului structurii sunt consecine fireti ale aplicrii presiunilor hidrodinamice calculate anterior. Cele dou concluzii importante obinute în capitolele anterioare se reflect i în evoluia tensiunilor din structur.

Astfel, faptul c presiunile din zonele de sub linia de plutire sunt supraestimate prin aezarea static a navei în val, fa de presiunile calculate prin simularea în timp a fenomenului, este reflectat în valorile absolute mai mari ale extremelor tensiunilor calculate în cazurile statice, fa de cele calculate în cazul dinamic. Astfel, maximele absolute ale tensiunilor (tensiunile date de “crestele” presiunilor aplicate) calculate prin aezare static, sunt în medie mai mari cu 20-25% fa de cele calculate dinamic. Minimele absolute (tensiunile date de “golurile de val”), sunt semnificativ mai mici în cazul dinamic faa de cazul aezrii statice pe val, fapt explicat prin micarea relativ neliniar a navei fa de suprafaa apei. De asemenea, în zonele apropiate liniei de plutire (sub i peste aceasta), calculul tensiunilor în ipoteza aezrii statice nu mai are eficien. Calculul static nu mai reflect tensiunile reale atât din punctul de vedere al determinrii extremelor tensiunilor, cât i din punctul de vedere al formei ciclului de solicitare. Aceast situaie este normal, inându-se cont c presiunea real la linia de plutire este cu aproximativ 40% mai mare decât cea care rezult din aezarea static i c apa ud zone mult mai extinse ale bordajului. inând cont de particularitile structurii considerate, se evideniaz c în zonele prin care se realizeaz descrcarea sarcinilor pe structurile de sprijin, concentrarea de tensiuni în cazul dinamic, este mai mare cu aproximativ 70-100% fa de cazul aezrii statice pe val. Aceast diferen provine atât din faptul c respectivele puncte “colecteaz” diferenele de pe întreaga zon pe care o susine, cât i din cumularea efectelor dinamice din cadrul structurii. Concluzia ce se trage din prezentarea de mai sus este c în cazul aezrii statice a navei pe valul travers rezultatele obinute nu sunt în conformitate cu cele obinute prin simulare direct în timp, diferenele fiind datorate efectelor dinamice din val i din micarea relativ nav - val. Din punct de vedere al finalitii structurale, studiul poate fi considerat un segment al analizei navei în valuri oblice (ce include cazul extrem al valului travers). O evaluare complet a structurii ar implica i considerarea valului longitudinal deci, simularea micrii navei fa de ap, în 3D.

134

Dar aa cum am afirmat de la început acest calcul de structur nu este menit s se constituie într-un studiu de caz care s evidenieze zone “în rou” (respectiv zone slabe), ale prezentei structuri. Faptul c astfel de zone nu au fost evideniate prin analiza concret a structurii de fa, este un fapt pozitiv la adresa seriei de nave care deja sunt construite i exploatate.

Acest studiu este prezentat în scopul de a evidenia diferenele ce apar ca urmare a folosirii a dou metodologii diferite, dintre care una este cea uzual.

135

Capitolul 8. Concluzii 8.1. Realizri personale Lucrarea de fa are dou scopuri principale:

- realizarea unei abordri cât mai apropiat de fenomenul fizic real al micrii fluidului cu suprafaa liber în prezena unui corp în plutire (componenta hidrodinamic) i

- realizarea unui studiu asupra influenei aplicrii unor sarcini mult mai apropiate de realitate, cu un profund aspect neliniar i dinamic, asupra structurii navelor (componenta de structur).

Realizrile personale ale autorului sunt legate de atingerea acestor scopuri. Astfel, din punct de vedere hidrodinamic:

1) s-a pus la punct o metodologie de simulare în domeniul spaiu-timp a curgerii fluidului cu suprafa liber, bazat pe ipoteza fluidului potenial i pe condiiile la limit în forma lor complet (neliniar). Prin aceast metod se pot simula valuri complet neliniare pân în apropierea fenomenului de pierdere a echilibrului energetic. Rezultatele acestor simulri sunt extrem de utile în studiul fenomenelor de eroziune a plajelor, a efectelor digurilor sau în determinarea curenilor în acvatoriile utilitare. Alte, studii de interes ce se pot realiza cu aceast metodologie sunt: cel al valurilor singulare (de tip val seismic - tzunami) sau cel al fenomenului de sloshing în tancuri;

2) pe baza metodologiei simulrii curgerii fluidului cu suprafa liber s-a dezvoltat metodologia de simulare a curgerii fluidului cu suprafa liber în prezena unui corp sau a mai multe corpuri în plutire (sau fixe). Aceast metodologie permite calculul micrii corpului dar i determinarea presiunilor hidrodinamice pe suprafaa sa în domeniul spaiu-timp. Aceast metod, spre diferen de cele clasice utilizate în prezent, nu este dependent de forma corpului, adâncimea acvatoriului i ipoteza micilor excitaii, fiind aplicabil oricrei forme de corp sau corpuri, în acvatorii limitate sau nu i pentru excitaii modelate complet neliniar. Domeniile de aplicare ale acestei metodologii sunt multiple, cum ar fi:

- studiul micrilor neliniare ale navei, inclusiv studierea unor fenomene rare ca ruliul parametric

- determinarea sarcinilor reale de pe corpul navei - studiul hidrodinamic al corpurilor deosebite (ca de exemplu catamaranele) - studiul structurilor off-shore - studiul fenomenelor ce apar la ancorare sau amarare sub efectul valurilor sau a

oscilaiilor proprii - studiul stabilitii navelor avariate - studiul efectului asupra stabilitii navei a micrii fluidelor cu suprafa liber din

interiorul acesteia Toate aceste aplicaii ale metodologiei stabilite sunt probleme critice i deosebit de actuale;

3) evidenierea existenei unui cuplaj real, de tip ruliu parametric, între micarea de oscilaie pe vertical i micarea de ruliu. În conformitate cu cunotinele autorului, evidenierea acestui fenomen este realizat în premier, ruliul parametric considerat pân în prezent demonstrând doar cuplajul între micarea de tangaj i micare de ruliu. Chiar dac în cadrul acestei lucrri nu s-a realizat o analiz analitic a acestui fenomen, se poate considera c apariia constant a acestuia în preajma perioadei egal cu jumtatea perioadei critice de ruliu permite obinerea unor concluzii. Se demonstreaz astfel c teoriilor clasice nu pot fi extrapolate prin ignorarea ipotezei micilor oscilaii. Aceast

136

concluzie este suficient de puternic pentru a susine întregul demers fcut în lucrarea de fa.

Din punct de vedere al calculului structural s-a studiat bordul dublu al unei nave tanc

existente. Acestei structuri i s-au aplicat presiunilor determinate prin simulare direct în timp iar pentru comparaie i s-au aplicat i presiunile din aezarea static pe val. Rezultatele au evideniat c analiza dinamic aduce informaii mult mai exacte asupra solicitrilor din structur atât din punct de vedere al mrimii acestora cât i din punctul de vedere al formei solicitrilor ciclice i a extinderii zonelor afectate. Prin aceasta se subliniaz necesitatea considerrii în calculul de structur a sarcinilor determinate prin metode mai apropiate de realitate cu scopul final de evitare sau cel puin de meninere sub control a avarilor. 8.2. Concluzii Leonardo DaVinci afirma c acolo unde începe apa începe incertitudinea. Primii pai în îndeprtarea incertitudinii au fost fcui prin laborioase observaii experimentale care au condus la descoperirea legilor hidrodinamicii. Mult vreme îns aceste legi au fost exprimate prin ecuaii atât de simple în form, dar atât de complexe în esen, încât rezolvarea unor probleme practice de hidrodinamic se fcea în baza unor drastice aproximri. În prezent, pornindu-se de la setul complet de legi, metodele numerice permit realizarea simulrii fenomenelor hidrodinamice. Aceast lucrare a avut scopul de a stabili o metodologie de calcul hidrodinamic prin care s se realizeze simularea curgerii fluidului cu suprafa liber.

Din punct de vedere al stabilirii unei metode, concluziile care s-au tras sunt urmtoarele:

- metoda cea mai potrivit pentru studiul hidrodinamic al fluidului potenial cu suprafa liber în domeniul spaiu-timp este Metoda Elementului de Frontier. Aceast metod are avantajul de a oferi posibilitatea modelrii facile a evoluiei geometriei domeniului în timp. Datorit acestei caracteristici se pot surprinde stri extreme ale valului. De asemenea, prin reducerea gradului spaial al problemei cu o unitate, se economisesc resurse hardware i timp de rulare;

- generatoarele de val de tip frontier solid mobil sunt cele mai apropiate de realitate. Totui, dac este necesar s se utilizeze un excitator modelat pe baza caracteristicilor valurilor teoretice este de preferat s se impun pe frontiera amonte câmpul de viteze i nu câmpul funciilor de potenial deoarece câmpul de viteze nu intr în contradicie cu condiia de suprafa liber;

- condiia simplificat de frontier aval permeabil, utilizat în lucrare ofer rezultate foarte bune. Se dovedete c evoluia erorii masice este în principal rezultatul condiiilor impuse pe frontierele amonte i aval;

- metoda optim de calcul a termenului t∂∂φ este cea bazat pe modelarea

numeric a ecuaiei ( ) 0=∂∂∆ tφ . Aceast metod ofer o mare flexibilitate în modelarea grilei putându-se utiliza aceiai gril ca i în cazul modelrii ecuaiei de continuitate;

- calculul condiiei Neumann pe corpul navei pentru ecuaia ( ) 0=∂∂∆ tφ , respectiv

( ) nt ∂∂∂∂ φ , conduce la evidenierea acceleraiilor corpului. În plus, aceste condiii trebuiesc calculate în funcie de derivatele tangeniale, derivate care datorit metodei, pot fi uor calculate;

- metodele de calcul ale termenilor t∂∂φ sau ( ) nt ∂∂∂∂ φ pe corpul navei bazate pe diferene finite sunt poteniale inductoare de discontinuiti în modelarea fenomenului. Aceste discontinuiti pot fi evideniate în special în diagramele de fore ce acioneaz asupra corpului sub forma “colilor de fierstru”;

137

- acceleraiile corpului se determin rezolvând un sistem obinut prin cuplarea ecuaiei ( ) 0=∂∂∆ tφ cu ecuaiile de echilibru ale corpului i nu prin rezolvarea direct a acestora din urm. Aceast concluzie subliniaz strânsa interdependen între micare i presiunile care acioneaz asupra navei. Considerm c rezolvarea acestui sistem cuplat permite surprinderea corect a efectelor neliniare i tranzitorii;

- pasul de timp utilizat pentru integrarea în timp cu aceast metod este suficient de mare pentru a da eficien chiar în cazul utilizrii unui calculator personal.

Din punctul de vedere al rezultatelor hidrodinamice obinute prin simulrile în timp

realizate cu metoda stabilit în lucrare, se pot trage concluziile: - cinematica navei obinut prin simulare direct în timp dovedete c aplicarea

teoriilor clasice ofer cel mult un rspuns cinematic mediu global. Astfel, simularea direct subliniaz dependena factorului de amplificare a micrii de amplitudinea excitaiei, fapt care nu este surprins în teoriile clasice, inclusiv de teoria fâiilor;

- ruliul parametric apare i în cazul valului de travers datorit variaiei în timp a momentului de redresare ca urmare a micrilor verticale cu amplitudini mari;

- amplitudinea excitaiei este esenial pentru cazurile în care este posibil apariia ruliului parametric. Astfel, pot exista cazuri când pentru aceiai perioad a excitaiei, ruliul parametric s apar sau nu în funcie amplitudinea excitaiei;

- micrile ample ale navei fac ca ipotezele clasice s-i piard valabilitatea. În cazul utilizrii ecuaiilor clasice pentru modelarea micrilor navei, acestea trebuiesc considerate în formele lor complexe, cu coeficieni variabili în timp. Considerarea diferiilor coeficieni de cuplare între micrile simetrice i cele asimetrice ca fiind mult mai mici decât restul coeficienilor se dovedete a nu fi adevrat în cazul micrilor cu amplitudini mari. Studiul micrilor simetrice separat de micrile nesimetrice (clasic în teoria fâiilor) se dovedete a fi întotdeauna corect;

- distribuia de presiuni pe corpul navei este în strâns legtur cu cinematica micrii nav-val. Aplicarea unor metode de aezare static a navei pe val bazate pe determinarea amplitudinii micrii relative prin metode clasice nu ia în consideraie efectul amplitudinii excitaiei asupra rspunsului i nici nu reflect forma real a ciclului de solicitare.

Concluziile studiilor hidrodinamice dovedete c avansul luat de metodele structurale trebuie susinut de metode care s ofere datele de intrare pentru aceste calcule. Este bine tiut c “tria” unui sistem este dat de cea mai slab verig a sa. În acest sens, considerm c dezvoltarea calculului neliniar sau al calculului optimal al structurilor este nejustificat în lipsa unor informaii suficient de corecte asupra solicitrilor. O prim concluzie a studiului structural realizat este c în cazul modelrii cu elemente finite a structurilor complexe având elemente de întrire modelate distinct de înveli, metodele clasice de obinere a modurilor proprii nu dau rezultate corecte. Modurile proprii obinute astfel sunt o posibil combinaie între modurile proprii ale structurii i modurile proprii ale diferitelor detalii structurale distincte.

Ca metode de determinare a modurilor de frecven proprie a unor astfel de structuri se propun:

- analiza modelelor simplificate prin tehnica “topirii” elementelor de întrire în înveli;

- obinerea cel puin a modului principal de vibraie prin studiul rspunsului structurii la o excitaie de tip impuls unitar.

138

Aceast concluzie s-a obinut ca urmare a încercrii folosirii metoda superpoziiei modale ca metod de obinere rspunsului dinamic în timp al structurii modelat cât mai apropiat de realitate. Consecina este c aceast metod nu poate fi folosit pentru obinerea rspunsului dinamic în timp al structurii modelat cât mai apropiat de realitate dac nu exist programe de calcul care s utilizeze moduri proprii selectate de la caz la caz. În consecin, în aceast situaie, metoda integrrii directe în timp este cea recomandat.

Studiul structural confirm c diferenele sesizate în distribuiile de presiuni calculate prin simulare direct în timp i aezare static a navei pe val se transmit i tensiunilor prin extreme i forme ale ciclului. Aceste diferene devin critice în zona de deasupra plutirii deoarece pentru aceasta calculul bazat pe ipoteze hidrostatice ofer solicitrile cele mai deprtate de realitate. În plus, s-a sesizat c în cazul studiului dinamic, în zonele de descrcare ale structurii, apar creteri ale amplitudinii ciclurilor de solicitare de pân 100%. Aceste zone se dovedesc prin calcul dinamic adevrate “amplificatoare” de tensiuni ceea ce le indic ca fiind “intele” studiilor de detaliu i al unei atente execuii i supravegheri. Din punct de vedere naval în general, concluzia acestui studiu este c metodele numerice de simulare hidrodinamic ajung din urm metodele numerice aplicate de mult mai mult vreme în calculul structurilor. Combinaia acestor dou aspecte tinde s transforme studiul navelor i implicit proiectarea naval într-o tiin extrem de precis.

Din punct de vedere aplicativ, concluzia acestui studiu este c aceast metodologie

este eficient i practic. S-a dovedit aici c o astfel de simulare poate surprinde fenomene tranzitorii i fenomene profund neliniare adeseori dificil de surprins experimental sau prin teoriile clasice. Modelarea unor cazuri extreme sau noi este facil iar costurile sunt cele ale unei dotri hardware iniiale, cele ale timpului necesar creerii unui software i cele ale timpului dedicat studiilor.

Posibilitile de utilizare ale acestei metodologii sunt la îndemâna celor interesai Concluzia general este c dezvoltarea tehnicii de calcul permite apropierea crescând de realitate prin intermediul simulrilor. Aceast afirmaie este adevrat pentru majoritatea aspectelor cunoaterii i numai pentru cele legate de domeniul naval. 8.3. Posibile dezvoltri viitoare Cea mai important dezvoltarea ce poate fi realizat pe baza celor prezentate în prezenta lucrare este trecerea la simularea 3D. Baza teoretic a simulrii în 3D este identic cu cea prezentat aici dar este necesar ca toate deduciile s fie adaptate acestei situaii. Dezvoltarea în 3D deschide complet calea rezolvrii multor probleme ale domeniului naval. Din punct de vedere structural, în acest mod s-ar determina complet sarcinile ce acioneaz asupra corpului obinându-se astfel o evaluare real i cuprinztoare a rezistenei generale i locale a corpului. O a doua dezvoltare posibil a simulrii curgerii fluidului cu suprafa liber ar fi studiul aprofundat al modului de realizare a excitaiei i al condiiilor limit aval. Din punctul de vedere al obinerii excitaiei ar trebui studiat modul de simulare al strii reale a mrii. În aceast idee poate fi încercat excitarea fluidului cu o frontier solid ce se deplaseaz dup una din legile de micare utilizate în bazinele de încercri navale pentru obinere acestui efect. Înainte de aceasta trebuie îns s se calculeze legea de legtur între micarea excitatorului i parametrii valului obinut. Acest studiu se poate face folosind considerente energetice, prin combinarea calcul hidrodinamic simplu cu cel prin care se determin presiunile pe excitator (pal sau piston).

139

O a treia posibil dezvoltare a acestui studiu este aprofundarea micrii de ruliu în

scopul clarificrii deficitului de amortizare evideniat de comparaia cu experimentul pentru aceast micare. Un astfel de studiu ar consta în prim faz în testarea efectului unor elemente de frontier de ordin superior. În cazul când aceast rafinare nu aduce rezultatele scontate ar trebui efectuat un studiu dedicat gsirii unei metode generale de compensare numeric a acestui efect. O a patra posibilitate de dezvoltare a acestei lucrri este îmbinarea simulrii micrii fluidului cu cea a calculului structural pentru determinarea maselor adiionale la vibraia plcilor. Acest studiu ar implica iterarea pân la convergen a geometriei plcii calculate prin Metoda Elementului Finit. Geometria plcii ar fi obinut prin aplicarea asupra acesteia a presiunilor hidrodinamice rezultate la fiecare pas de timp din forma i viteza de micare a punctelor plcii. Încununarea unor astfel de dezvoltri ar fi realizarea unei modelri hidroelastice a navei prin care s se studieze eventual i mecanismul de apariie a avariilor provenite din oboseal. Se va spune c aceast ultim posibil dezvoltare este o exagerare i c este ceva nerealistic. Probabil c aceast reacie ar fi trezit acum un timp proiectul anunat în referina [49] de construire a unei superstructuri plutitoare de 5 km lungime, 1 km lime i câiva metri adâncime, utilizabil ca aeroport. În concluzie, dezvoltarea unei metodologii fiabile de simulare a curgerii fluidului cu suprafa liber cu sau fr corpuri în plutire deschide domenii largi de studiu în continuare. Toate aceste domenii sunt de larg interes în construciile maritime în general. Utilizarea unor metode eficiente de simulare în oricare din aceste domenii poate conduce la economisirea de timp, bani i chiar de viei omeneti.

140

Mulumiri Mulumesc prin prezentele rânduri tuturor celor care au avut harul, dorina i rbdarea de a m instrui i a m modela de-a lungul anilor.

În primul rând familiei în întregul ei, pentru c îi aparin cu calitile i defectele mele. O meniune special trebuie s fac pentru soia mea care a avut rbdarea îngereasc s

atepte s termin tot ce aveam de fcut. Apoi profesorilor care m-au învat matematic, fizic, istorie, biologie, rezistena

materialelor, arhitectur naval, metode numerice, tiina materialelor i alte tiine plcute i utile în general dar care mi-au artat i cum s m strduiesc s gândesc i s îneleg lucrurile i faptele în întregul lor.

O meniune special trebuie s fac pentru îndrumtorul meu tiinific pentru ideea acestei lucrri care m-a purtat în actualitate i care m-a ajutat cu înelepciune s descopr cile adevrate i s m feresc de fundturi, uneori ascultându-m chiar atunci când starea sntii îi era precar.

De asemenea mulumesc i acelora care m-au susinut moral i material în realizarea lucrrii. Mulumesc colectivelor celor dou firme la care am lucrat pân în prezent pentru înelegerea i sprijinul concret pe care mi le-au acordat (în ordine cronologic: biroul de proiectare Ship Design Group din Galai i Societii Romanian Lloyd membr a Grupului de firme Germanischer Lloyd). Mulumesc Catedrei de Nave ce aparine Facultii de Inginerie Electric i Nave din cadrul Universitii “Dunrea de Jos” din Galai pentru sprijinul logistic pe care mi l-a acordat în multiple forme (incluzând facilitatea utilizrii programului de element finit COSMOS). Mulumesc Catedrei de Mecanic i Rezistena Materialelor pentru rbdarea cu care a audiat rezultatele pariale ale acestei lucrri în scopul îmbuntirii tiinifice a lor. Nu am menionat în mod special decât dou persoane pentru ca nu cumva, fcând încercarea de a înirui pe toi celor crora le sunt îndatorat, s omit pe cineva, ceea ce ar fi nedrept. Am îneles adeseori, discutând cu alte persoane, c este o mare i repetat ans s întâlneti în mod consecvent oameni de calitate aa cum mi s-a întâmplat mie personal.

i nu în ultimul rând mulumesc celor care vor citi aceast lucrare în sperana c o vor cântri i judeca în ideea c un singur om este lipsit de putere i trector în timp pe când mai muli oameni animai de aceleai idealuri sunt o for persistent i redutabil.

141

BIBLIOGRAFIE [1] L. Anghel, C. Dimitriu, C. Bran, S. Brazde – “Cercetri privind variaia momentului de

inerie cu modul propriu de vibraie”, Tema de cercetare ICEPRONAV, AC2850-17.1.1, 1996

[2] G. B. Airy – “On tides and waves”, Encyclopedia Metropolitana, Series 5, 5, pag. 241-396 [3] Malick Ba, Alain Rebeyrotte, Amyn Albayaty - “Non Linear Ship Motion by a Time

Domain Panel Method”, EUROMECH 374, Poitiers-Futuroscope, pag. 67-74, April 1998 [4] Balasubramaniam Ramaswamy and Mutsuto Kawahara - “Arbitrary Lagrangian-

Eulerian finite element method for unsteady, convective, incompressibile viscous free surface fluid flow”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 7; pag. 1053-1075, 1987.

[5] R. E. D. Bishop, W. G. Price – “Hydroelastiticity of Ships”, Cambridge Univ. Press, 1979 [6] W. G. Price, R. E. D. Bishop – “Probabilistic Theory of Ship Dynamics”, Chapman and

Hall, London, 1974 [7] R. Bhattacharyya – “Dynamics of marine vehicles”, John Wiley & Sons, New York, 1981 [8] P. J. Berkvens, P.J. Zandbergen - “Nonlinear Reaction Forces on Oscillating Bodies by a

Time - Domain Panel Method”, Journal of Ship Research, vol. 40, 4, pag. 288-302, 1996. [9] P. J. Berkvens, P.J. Zandbergen - “Nonlinear Unsteady 3-D Motion of Freely Floating

Bodies”, EUROMECH 374, Poitiers-Futuroscope, April 1998 [10] P. J. Berkvens – “Floating Bodies Interacting with Water Waves – Development of a Time-

Domain Panel Method”, Ph. D. Dissertation, University of Twente, The Neetherlands, 1998 [11] V. Bertram, G. Thiart - “Fully three-dimensional ship seakeeping computations with a

surge-corrected Rankine panel method”, Journal of Science and Technology, vol. 3, No. 2, 1998

[12] P. Bettes, O.C.Zienkiewicz - “Difraction and refraction on surface waves, using finite and infinite elements”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. II, pag. 1271-1290, 1977

[13] I. Bidoaie, N. Sârbu, I. Chiric, O. Iona – “Îndrumar de proiectare pentru teoria navei”, Îndrumar litografiat, Universitatea din Galai, 1986

[14] I. Bidoaie, O. Iona – “Teoria navei”, Note de Curs universitar [15] I. Bidoaie, O. Iona – “Complemente de Arhitectur Naval. Dinamica navei”,

Editura Porto-Franco, 1998 [16] A. E. Branch – “Economics of shipping practice and management”, Secon Edition,

Chapman & Hall, London – New York, 1988 [17] C. Brtianu – “Metode cu element finit în dinamica fluidelor”, Editura Academiei R.S.R.,

Bucureti, 1983 [18] C. A. Brebia - “Topics in Boundary Element Research”,

Springer-Werlany, Berlin, Heidelberg, vol. 1-3, 1987 [19] J. Broeze, E. F. G. van Daalen, P. J. Zandbergen – “A three-dimensional panel method

for nonlinear free surface waves on vector computers”, Computation Mechanics, 13, 12-28, 1993

[20] C. M. Bucur, C. A. Popeea, Gh. Gh. Simion – “Matematici speciale. Calcul numeric”, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983

[21] T. H. J. Bunnik, A. J. Hermans - “Two Methods to Simulate the Propagation of an Incoming Wave Over a Steady Wave Fiels”, EUROMECH 374, Poitiers-Futuroscope, pag. 59-66, April 1998

[22] Gh. Buzdugan – “Rezistena materialelor”, Editura Academiei Române, Bucureti, 1986 [23] Gh. Buzdugan, L. Fetcu, M. Rade – “Vibraii mecanice”,

Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982

142

[24] M. S. Celebi, M. H. Kim, R. F. Beck - “Fully Nonlinear 3-D Numerical Wave Tank Simulation”, Journal of Ship Research, Vol. 42, No. 1, pag. 33-45, March 1998

[25] A. H. Clément - “Recent Developments of Computational Time-Domain Hydrodynamics Based on a Diferential Approach of the Green Functions”, EUROMECH 374, Poitiers-Futuroscope, pag. 49-58, April 1998

[26] R. Bruce Chapman – “Survey of Numerical Solutions for Ship Free-Surface Problems”, Proceedings of the 3rd International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, pag. 5-15, David W. Taylor Naval Ship Research and Development Centre, Bethesda, Maryland, 1978.

[27] R. Cointe, P. Geyer, P. King, B. Molin and M. Tramoni – “Nonlinear and linear motions of a rectangular barge in a perfect fluid”, Proceedings of the 18th Symposium on Naval Hydrodinamics, Ann Arbor, Michigan, 1991

[28] I. N. Constantinescu, G. V. Dnu – “Metode noi pentru calcule de rezisten”, Editura Tehnic Bucureti, 1989

[29] V. Cristea, I. Athanasiu, E. Kalisz, L. Negreanu – “Borland Pascal 7.0 pentru Windows”, Editura Teora Bucureti, 1994

[30] V. Davîdov, N. Mattes – “Calculul Dinamic al Rezistenei Construciilor Navale”, Editura Sudostroienie, 1974 [31] C. W. Dawson – “A practical Computer Method for Solving Ship-Wave Problems”,

Proceedings of the 3rd International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, pag. 30-38, David W. Taylor Naval Ship Research and Development Centre, Bethesda, Maryland, 1978.

[32] G. Dinc – “Metode variaionale i aplicaii”, Editura Tehnic, Bucureti, 1980 [33] Gh. Dodescu – “Metode Numerice în Algebr”, Editura Tehnic, Bucureti, 1979 [34] Pompiliu Donescu, Lawrence W. Virgin – “Free surface flow computing using a fully

consistent method”, In ASME Fluids Engineering Division, Annual Summer Meeting, San Diego, CA, 1996

[35] Pompiliu Donescu – “Nonlinera fluid-structure interaction of floating bodies”, Draft of Ph. D. Dissertation, Duke University, 1997

[36] Leonard Domnioru – “Dinamica navei in marea reala” - Ed. Evrika, Braila, 1997 [37] Leonard Domnioru – “Modelarea fenomenelor de springing i whipping.

Hidroelasticitatea navei”, Editura Evrika, Brila, 1997 [38] Leonard Domnioru, Ovid Popovici, Daniela Domnioru – “Introducere în analiza

structurilor navale prin metoda elementului finit”, Editura Evrika, Brila, 1999 [39] N. Fonseca, C. Guedes Soares – “Time-Domain Analysis of Large-Amplitude Responses

of Ships in Waves”, PRAD 98, pag. 495-501, 1998 [40] Julieta Florea, Valeriu Panaitescu – “Mecanica Fluidelor”, Editura Didactica si

Pedagogica, Bucuresti, 1979 [41] D. Gârbea – “Analiz cu elemente finite”, Editura Tehnic Bucureti, 1990 [42] V. Giuglea, O. Iona, M. Popa – “Actual Problems of the Readmission to Class of the

River Going Ships Reinstalled in Service After a Long Period of Inactivity”, 4th Technical Committee Meeting of Romanian Lloyd, 1997

[43] Ö. Gören – “On the Second-Order Wave Radiation of an Oscillating Vertical Circular Cylinder in Finite-Depth Water”, Journal of Ship Research, Vol. 40, No. 3, pag. 224-234, September 1996

[44] O. Grim – “Uber den Einfluss der mitschwingenden Wassermasse auf die Schwingungs-eigenschaften lokaler schwingungs fähiger Systeme”, Schiff und Hafen, S.538, 1953

[45] H. J. Haussling, R. T. VanEseltine – “Finite-Difference Methods for Transient Potential Flows with Free Surfaces”, Proceedings of the 3rd International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, pag. 295-314, David W. Taylor Naval Ship Research and Development Centre, Bethesda, Maryland, 1978.

143

[46] J. Hess, O. M. A. Smith – “Calculation of non-lifting potential flow about arbitrary three

dimensional bodies”, Journal of Ship Research, 8, September 1964 [47] Caius Iacob – “Mecanica Teoretica”, Editura Didactic i Pedagocic, Bucureti, 1971 [48] Al. Ioan, O. Popovici, L. Domnioru – “Rezistena general a corpului navei”,

Editura Evrika, Brila, 1998 [49] Masashi Kashiwagi – “A B-spline Galerkin scheme for calculating the hydroelastic

response of a very large floating structure in waves”, Journal of SNAJ, Vol. 3 Nr. 1, pag. 37-49, 1998

[50] Kwang June Bai, Jang Whan Kim, Yang Hwan Kim – “Numerical computation for a neliniar free surface flow problem”, Report AC2396, Department of Naval Architecture, Seoul National University, Korea, 1993

[51] M. Landrini, E. F. Campana – “Steady Waves and Forces About a Yawing Flat Plate” Journal of Ship Research, Vol. 40, No. 3, pag. 179-192, Sept. 1998

[52] Lazar Dragos – “Principiile mecanicii mediilor continue”, Editura Tehnica, Bucuresti, 1983

[53] E. Lehmann – “Schiffsvibrationen. Lokale Schwingungen an Bord von Schiffen”, Technischen Universität Hamburg

[54] F. M. Lewis – “The Inertia of the Water Surrounding a Vibrating Ship”, The Society of Naval Architects and Marine Engineers, New York, 1929

[55] W.-M. Lin, D. Yue – “Numerical Solutions for Large Amplitude Ship Motions in the Time Domain”, 18th Symp. on Naval Hydrodynamics, Ann Arbor, Michigan, pag. 41-66, 1990.

[56] M. S. Longuet-Higgins and E. D. Cokelet – “The deformation of steep surface waves on water: I. A numerical method of computation.”, Proceedings, Royal Society of London, Series A, 350, pag. 1-26, 1976

[57] J. C. Luke – “A variational principle for a fluid with a free surface”, Journal of Fluid Mechanics, 27, pag. 395-397, 1967

[58] J. Lundgren, M. C. Cheung, B. L. Hutchison – “Wave-Induced Motions and Loads for a Tanker. Calculations and Model Tests”, PRAD 98, pag. 503-510, 1998

[59] A. Lungu – “Metode numerice în hidrodinamic”, Note de Curs universitar [60] Hisaaki Maeda, Chang Kyu Rheem – “Practical Time Domain Simulator of Wave Loads

on a Ship in Multi-Directional Waves”, PRAD 98, pag. 513-519, 1998 [61] t. Mruor – “Metode numerice în rezolvarea ecuaiilor neliniare”, Editura Tehnic,

Bucureti, 1981 [62] Daniel E. Medina, James A. Loggett, R.A. Birchwood, K.E. Torrance – “A consistent

boundary element method for free surface hydrodinamics calculations”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol.12, pag. 835-897, 1991.

[63] K.-S. Min, S.-H. Kang – “Systematic study on the hull form design and resistance prediction of displacement-type super-high-speed ships”, Journal of Marine Science and Tehnology, vol. 3, No. 2, 1998

[64] M. Modiga – “Mecanica structurilor navale”, Universitatea “Dunrea de Jos” din Galai, Curs litografiat, 1978

[65] K. Moszyski – “Metode numerice de rezolvare a ecuaiilor difereniale ordinare”, Editura Tehnic, Bucureti, 1973

[66] R. E. Newton – “Finite Element Analysis of Two-Damping Added Mass and Damping”, Finite Element in Fluids, vol.I, pag. 219-232, Woley,Gallagher,P.H. et al (eds),1975

[67] A. Nestegärd – “Comparative study of fully non-linear wave simulation programs”, Report No. 94-2041, Det Norske Veritas Research AS, Høvik, Norway, 1994

[68] Iordan Novac – “Cercetari asupra oscilatiilor generale ale navelor si stabilirea parametrilor sistemelor de amortizare pasive” - Teza de doctorat - Universitatea din Galati 1991

[69] Takuya Ohmori – “Finite-volume simulation of flows about a ship in maneuvring motion”

144

Journal of SNAJ, Vol. 3 Nr. 2, pag. 82-93, 1998 [70] T. Ohmori, M. Fujino, H. Miyata – “A study on flow field around full ship forms in

maneuvering motion”, Journal of Science and Technology, Vol. 3, No. 1, 1998 [71] J. Orlanski – “A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows”, Journal of

Computational Physiscs, 21, pag. 251-259, 1976 [72] C. Pacoste, V. Stoian, D. Dubin – “Metode moderne în mecanica structurilor”, Editura tiinific i Enciclopedic, Bucureti, 1988 [73] Jacek S. Pawlowski, Don W. Bass – “A Theoretical and Numerical Model of Ship Motions

in Heavy Seas”, SNAME Transaction, vol, 99, pag. 319-352, 1991. [74] M. Popa, I. Chiric, V. Giuglea – “Numerical modeling of sea propellers characteristics”,

XIX-th National Conference of Solid Mechanics, Târgovite, România, 1995 [75] Marius Popa, O. Iona, I. Chiric – “A FEM for Propeller Blade Strength”, The Annals of

“Dunarea de Jos” University of Galati, Fascicle X, Applied Mechanics, 1996 [76] Marius Popa, Ovidiu Iona – “Theoretical and Numerical Modeling Problems of the Free

Surface Flow of Potential Fluid”, The Annals of “Dunarea de Jos” University of Galati, Fascicle X, Applied Mechanics, 1997

[77] Marius Popa, Liviu Stoicescu – “Theoretical and Numerical Modeling Problems of the Free Surface Flow of Potential Fluid Using Boundary Element Method”, The Annals of “Dunarea de Jos” University of Galati, Fascicle X, Applied Mechanics, 1997

[78] Marius Popa, Liviu Stoicescu – “Theoretical and Numerical Modeling Problems of the Free Surface Flow of Potential Fluid in Presence of Floating Body Using Boundary Element Method”, The Annals of “Dunarea de Jos” University of Galati, Fascicle X, Applied Mechanics, 1998

[79] Marius Popa – “Theoretical and Numerical Modelling Problems of the Free Surface Flow of Potential Fluid in Presence of Floating Body Using Boundary Element Method – Verification Against Experiments”, The Annals of “Dunarea de Jos” University of Galati, Fascicle XI, Naval Architecture, 1998

[80] Ovid Popovici, Al. Ioan, L. Domnioru – “Calculul, amenajarea i exploatarea navei”, Universitatea “Dunrea de Jos” din Galai, Curs litografiat, 1991

[81] Ovid Popovici, L. Manolache, Al. Ioan, L. Domnioru – “Proiectarea navei. Curs practic”, Universitatea “Dunrea de Jos” din Galai, Curs litografiat, 1993

[82] Ovid Popovici i colectiv – “Dinamica structurilor navale”, Universitatea “Dunrea de Jos” din Galai, Curs litografiat, 1992

[83] O. Popovici, D. Pitulice, Al. Ioan, L. Domnioru – “Dinamica structurilor navale. Culegere de probleme”, Galai, 1993

[84] V. A. Postnov, V. S. Kalinin, D. M. Rostovev – “Vibraia Navei”, Editura Sudostroienie, 1983 [85] V. F. Poterau, N. Mihalache, D. Mangeror – “Metode numerice în elesticitate i

plasticitate”, vol. I, Editura Academiei Române, 1993 [86] S. S. Rao – “The Finite Element Method in Engineering”, Pergamon Press 1982 [87] J. E. Romate – “The Numerical Simulation of Nonlinear Gravity Waves in Three

Dimensions using a Higer Order Panel Method”, PhD-thesis, University of Twente, Enschede, The Netherlands, 1989

[88] M. Rocule – “Analiz matematic”, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1984 [89] Eugen Rusu – “Mecanica analitica a mediilor continue cu aplicatii in tehnologia marina”,

Teza de doctorat, Universitatea “Dunarea de Jos”, Galati, 1997. [90] Horea Sandi – “Elemente de dinamica structurilor”, Editura Tehnic, Bucureti, 1983 [91] C. Schumann – “Computing Free Surface Ship Flows with a Volume-of-Fluid Method”,

PRAD 98, pag. 381-396, 1998 [92] D. Sen – “Numerical Simulation of Two- Dimensional Floating Bodies”, Journal of Ship Research, vol. 37, 4; pag. 307-330, 1993.

145

[93] M. L. Smoleanski – “Tabele de integrale nedefinite”, Editura Tehnica, Bucuresti, 1972 [94] A. Spataru – “Constructii costiere si acvatorii”, Editura Tehnica, Bucuresti, 1990 [95] L. Stoicescu – “Rezistena materialelor”, Note de Curs universitar [96] L. Stoicescu – “Conspecte asupra metodelor de rezolvare a spring-ului i whipping-ului”,

Note private [97] L. Stoicescu, M. Modiga – “Metode matriciale în teoria structurilor de nave”, Curs

litografiat, Institutul Politehnic Galai, 1973 [98] Y. Sumi – “Fatigue crack propagation and computational remaining life assesment of ship

structure”, Journal of SNAJ, Vol. 3 Nr. 2, pag. 102-112, 1998 [99] Katsuji Tanizawa, Shigeru Naito – “An Aplication on Fully Nonlinear Numerical Wave

Tank to the Study on Parametric and Chaotic Roll Motions”, Varna, STAB 97, vol. 2., pag. 285-294, 1997

[100] Tanizawa, K. - “A Nonlinear Simulation Method of 3-D Body Motions in Waves”, Journal of SNAJ, Vol. 178, pag. 179-191, 1995

[101] C. Taylor, T. G. Hughes – “Finite element programming of the Navier-Stokes equations”, Pineridge Press, 1981

[102] F. F. Vane – “ocuri i vibraii”, vol. III cap. 46 “ocuri i vibraii la nave”, pp. 362-398 [103] Al. Vasilescu, G. Praisler – “Similitudinea sistemelor elastice”,

Editura Academiei RSR, 1974 [104] W. Visser, M. van der Wolt - “A Numerical Approach to the Study of Irregular Ship

Motions”, Finite Element in Fluids, vol.I pag. 233-249, Woley Gallagher,P.H et al (eds), 1975.

[105] G. Zaraphonitis, A. D. Papanikolaou, D. Spanos – “On a 3-D Mathematical Model of the Damage Stability of Ships in Waves”, STAB 97, vol. 1, pag. 233-244, Varna, 1997

[106] O. C. Zienkiewicz, R. W. Lewis – “Numerical Methods in Offshore Engineering” - John Wiley & Sons, 1978

[107] Publicaii Germanischer Lloyd 1. GL Annual Report 1993 1.1. Shipbuilding / Marine Advisory Service - Long Term Measurement of Stress on Board Ships

- Integrated Fatigue Strengh Analysis - Hydrodinamic Computation

1.2. Project Management 2. GL Annual Report 1995 - Research Developement - Shiprel - A Scientific Approach to Practical Rule Developement 3. GL Magazin No. 2 Dec. 1995 / Ian. 1996 - Information Technology in Shipbuilding (ITiS) 4. The Minutes of Stations Managers’ Meeting 1996. Report No. 12 I. Asmusse, J. Schulte – “Matching the Challenges of other Societies” [108] Germanischer Lloyd – Rules for Classification and Construction 1999

Part I “Seagoing Ships” Chapter 1 - “Hull Structures” Part V “Analysis Techniques” Chapter 1 - Guidelines for Strength Analyses of Ship Structures with the Finite Element

Method Chapter 2 - Guidelines for Fatique Strength Analyses of Ship Structures [109] Structural Research & Analysis Corp. *** - “COSMOS/M – Documentation”