1 9. DERIVAREA NUMERIC A FUNIILOR

(acest curs nu se cere la examen) 9.1. INTRODUCERE Pentru derivarea sau integrarea funciilor date sub form analitic se folosesc diverse metode, cunoscute din manualele de analiz matematic. Sunt ns funcii ale cror expresii sunt deosebit de complicate, ceea ce face dificil obinerea derivatei sau primitivei. De asemenea, din diferite experimente rezult valorile numerice ale unor funcii a cror derivate sau primitive trebuie calculate. De exemplu, la diferite momente de timp s-a msurat viteza unui mobil i dorim s cunoatem acceleraia acestuia sau distana parcurs ntre dou puncte date. Deoarece viteza este obinut numeric, trebuie s cutm formule de derivare i integrare numeric pentru rezolvarea problemei. 9.2. DERIVAREA NUMERIC A FUNCIILOR Expresiile diferitelor formule de derivare numeric se obin prin mai multe metode, cum ar fi: folosirea definiiei drivatei ntr-un punct, utilizarea dezvoltrii n serie Taylor sau folosirea polinoamelor de aproximare. 9.2.1. Formule de derivare care folosesc definiia derivatei Dac se folosete definiia derivatei ntr-un punct, expresia

h

xfhxfxf iihi

)()(lim)(0

+=

, (9.2.1)

reprezint derivata funciei )(xf n punctul ix , cu condiia ca limita funciei s existe. n acest sens, raportul

h

xfhxf ii )()( + ,

constituie o aproximaie a derivatei funciei )(xf n punctul ix , adic:

h

xfhxfxf iii)()(

)(+

, (9.2.2)

unde h este distana dintre dou noduri.

2 n figura 9.2.1, se observ c panta curbei n punctul ix a fost nlocuit cu secanta dus prin punctele A i B. Desigur, raportul

h

xfhxf ii

)()( ,

reprezint o alt aproximaie a derivatei funciei )(xf n punctul ix , adic:

h

xfhxfxf iii

)()(

)( , (9.2.3)

unde h s-a considerat pozitiv.

Fig. 9.2.1. Reprezentarea geometric a aproximaiilor derivatei unei funcii

De asemenea, din figura 9.2.1 se observ c odat cu micorarea lui h pantele celor dou drepte 1 i 2 , care trec prin punctele A i B, respectiv C i A, sunt mai apropiate de tangenta la curb n punctul de abscis ix . Totui, h nu poate fi prea mic, deoarece am ajunge la scderea a dou numere aproximativ egale, ceea ce ar conduce la o eroare relativ foarte mare. O aproximaie mai bun a derivatei funciei n punctul ix se obine dac se consider dreapta care trece prin punctele C i B, dreapt a crei pant este mai apropiat de tangenta la curb n punctul ix . In acest sens, derivata funciei

)(xf , n punctul de abscis ix , poate fi aproximat de raportul

h

hxfhxf ii2

)()( + ,

care reprezint media celor dou fracii (9.2.2) i (9.2.3), adic:

h

hxfhxfxf iii 2)()(

)(+

. (9.2.4)

A

x

y

1ix ix 1+ix

h hC

B

o

2

1

3 9.2.2. Formule de derivare care folosesc dezvoltarea n serie Taylor Dezvoltarea n serie Taylor a funciei )(xf , n punctul de abscis x, situat n jurul lui ix , este:

+

+

+= )(!2)(

)(!1)(

)()(2

ii

ii

i xfxxxfxxxfxf . (9.2.5)

Dac se fac nlocuirile: hxx i += i hxx i = , se obin relaiile:

+++=+ )(!2

)(!1

)()(2

iiii xfhxfhxfhxf ; (9.2.6)

++= )(!2

)(!1

)()(2

iiii xfhxfhxfhxf . (9.2.7)

Prin scderea parte cu parte a celor dou relaii (9.2.6) i (9.2.7), se obine:

h

hxfhxfxf iii 2)()(

)(+

= , (9.2.8)

iar prin adunare:

2

)()(2)()(

hhxfxfhxfxf iiii

++= . (9.2.9)

Relaiile (9.2.8) i (9.2.9) reprezint formulele pentru calculul aproximativ al derivatelor de ordinul unu i doi ale funciei )(xf , cnd pe curb se consider trei puncte ( hxx ii =1 , ix , hxx ii +=+1 ) (v.figura 9.2.2).

)0(x

y )( 2 xy =

xy =1)( 2 xy =

xy =1y

ox)0(x )1(x)2(x

)( 2 xy =

o

oa

b))(,( afaA

y

)1(x )2(x

))(,( bfbB

x

y

hxi ix hxi+

h h)2( hxf i

ohh

hxi 2 hxi 2+i 1+i 2+i1i2i

)( hxf i )( ixf )( hxf i+ )2( hxf i+

Fig. 9.2.2. Valorile funciei )(xfy = n nodurile considerate

Dac funcia este dat numeric, adic pentru nodurile ix , ni ,1= , se cunosc

4

ordonatele iy , ni ,1= , relaiile de calcul aproximativ al derivatelor de ordinul unu i doi sunt:

hyy

y iii 211 + = , (9.2.10)

respectiv

2

11 2h

yyyy iiii ++

= , (9.2.11)

unde 1 ,2 = ni . Dac funcia este neperiodic, pentru determinarea derivatelor de ordinul unu sau doi n punctul de abscis 1x , se folosete interpolarea liniar sau ptratic. Dac ns funcia este periodic, pentru determinarea derivatelor de ordinul unu i doi n punctul nxx =1 se folosesc relaiile:

hyyyy nn 2

121

== ; hyyyyy nn 2

2 1121

+== . (9.2.12)

Dac se consider 5 puncte de pe graficul funciei )(xfy = , atunci pentru derivatele de ordinul unu i doi avem urmtoarele relaii: 2 ,3 ,

12)()(8 2i2i1-i1i

i =

= ++ nih

yyyyy , (9.2.13)

2 ,3 ,12

)()(16302

2-i2i11ii =

+++= ++ ni

hyyyyyy ii . (9.2.14)

n cazul funciilor periodice, pentru calculul derivatelor de ordinul unu i doi n nodurile nxx =1 , 2x i 1nx , se folosesc relaiile:

hyyyy

yy nnn 12)()(8 2312

1 == ;

hyyyy

y n12

)()(8 14132

= ; h

yyyyy nnnn 12

)()(8 3221

= ;

223121

1 12)()(1630

hyyyyyyy nnn

+++== ;

214132

2 12)()(1630

hyyyyyy n+++= ;

23221

1 12)()(1630

hyyyyyy nnnnn

+++= .

5

n practic, de cele mai multe ori funcia este cunoscut numeric. De aceea, nainte de a se trece la derivarea propriu-zis, se recomand o analiz mai atent a datelor numerice (obinute din experimentri sau dintr-un grafic), eliminarea punctelor care nu se ncadreaz ntr-o anumit distribuie sau efectuarea unei uniformizri a datelor prin media a trei valori consecutive. De asemenea, pentru obinerea derivatei de ordinul doi, se recomand folosirea formulelor corespunztoare derivatei de ordinul unu, aplicate la valorile derivatei de ordinul unu, dup ce acestea au fost uniformizate. Eroarea de trunchiere a primei derivate a funciei )(xf , n punctul de abscis ix , este de forma:

h

hxfhxfxfE iiiTi 2)()(

)(+

= . (9.2.15)

Folosind dezvoltrile n serie Taylor ale funciei )(xf , n jurul punctului ix , cu reinerea a patru termeni:

)(!3

)(!2

)(!1

)()( 132

+= fhxfhxfhxfhxf iiii ;

)(!3

)(!2

)(!1

)()( 232

+++=+ fhxfhxfhxfhxf iiii ,

unde: ] ,[1 ii xhx , ] ,[2 hxx ii + , rezult:

)]()([12 212

+= ffhE iT . (9.2.16)

Dac )(xf este continu, exist ] ,[ 21 astfel nct

2

)()()( 21 +

=fff . (9.2.17)

Folosind relaia (9.2.17), eroarea de trunchiere (9.2.16) capt forma:

)(6

2= fhE

iT . (9.2.18)

Din relaia (9.2.18), se observ c eroarea de trunchiere devine cu att mai mic, cu ct pasul de derivare h este mai mic. Totui, prin reducerea exagerat a pasului de derivare se poate ajunge la scderea a dou numere aproximativ egale, ceea ce conduce la anularea prin scdere, adic la o eroare relativ foarte mare.