cursul meu 7 stabilirea functiei de transfer

8/18/2019 Cursul Meu 7 Stabilirea functiei de transfer

1/23

CURS 7 Teoria sistemelor mecatronice

Deci, f.d.t a unui sistem este definita de raportul dintre imaginea marimii de iesire a

sistemului, ce se obtine in cazul raspunsului normal si imaginea marimii lui de intrare, in

conditii initiale nule.

Observatii :

1. Functia de transfer este o functie de variabila complexa s = σ + jω

. In expresia f.d.t intra numai parametrii caracteristici ai sistemului/procesului la care se refera – prin coeficientii an!!...a" si bm!!!.b". Deci, f.d.t depinde numai si numai de structura si

alcatuirea sistemului respectiv.

#. Raspunsul unui sistem dat la diverse semnale de intrare u$t% se poate determina prin

intermediul f.d.t.

Intr-adevar : Y(s ! "(s # $(s, de unde re%ulta

&(t ! L-1

'"(s # $(s ()*

&. Daca u(t este un impuls Dirac +(t, atunci raspunsul lui normal este functia pondere (t si

cum se stie (din tabele ca L'+ (t ! , re%ulta ca rel. () devine :

"(s ! L', (t ! ∞∫h (t ⋅e − st dt

()

0


2/23

Deci, f.d.t este ima1inea functiei pondere, adica ima1inea raspunsului normal provocat de

impulsul Dirac.

2xista diverse forme de exprimare al1ebrica a f.d.t :

a daca se scoate factor comun b0 si a0 se scrie ca :

H ( s =

b

3

⋅ sm + b 3

⋅ s m−- + ...... + b 3 ⋅ s +-

⋅

b

m

m−-


3/23

0

a3

⋅ sn + a 3

⋅ s n −- + ...... + a 3 ⋅ s +-

()4


4/23

a0

n

n−

unde

b0

se numeste factor static de amplificare. 5oeficientii am66a0 si bm66b0 sunt

a


5/23

0

numere reale, intre1i si po%itive. Daca "(s corespunde unui fenomen fi%ic real, atunci n ' m.

5armen 7u8oreanu


6/23


Remarcam ca numitorul f.d.t e1alat cu %ero constituie ecuatia caracteristica a ecuatiei diferentiale

a sistemului dat.

Radacinile numaratorului notate cu zi cu i ! , ),6.,m, de forma : %i ! 9i 8;i se numesc

zerourile f.d.t, iar radacinile numitorului notate cu p ( cu 8 !,).6,n, de forma : p 8 ! 9 8 8; 8 se

numesc polii f.d.t.


7/23

cand radacinile si polii sunt reali (9 ! p-%

Distributia polilor si a %erourilor f.d.t in planul s determina comportarea sistemului din punct de

vedere al tran%itiei intrare-iesire.

c% Daca se presupune ca atat numitorul cat si numaratorul au radacini in ori1ine, s ! 0, atunci f.d.t

are forma :

H ( s =

k

⋅

Qq ( s

(>0

s

α

P

( s


8/23

p

unde k = bm

−q

este factorul de amplificare iar 9 este ordinul polului in ori1ine.

an − p

Concluzie: cunoscand ecuatia diferentiala a unui sistem putem scrie f.d.t corespun%atoare.

)*emplu de stabilire a functiei de transfer

. Accelerometru. $n accelerometru pre%entat in fi1ura >. este un aparat constituit dintr-o masa

m mobila, in raport cu un suport S , solidar cu sistemul a carui acceleratie se va masura. ?asa m

este readusa de un resort R de constanta k @ amorti%orul A determina o frecare vascoasa

(coeficientul de proportionalitate a fortei de frecare cu vite%a fiind k a.

In practica, masa m se deplasea%a fara contact mecanic datorita unei perne de aer sau a unei

suspensii electrostatice. 5and piesa a carei acceleratie se masoara si o data cu ea si suportul S al

accelerometrului se deplasea%a spre dreapta cu o acceleratie a, masa m ramane in urma (po%itia

5armen 7u8oreanu )


9/23


10/23

Acceleratia re%ultanta, in deplasarea spre dreapta, va fi data de relatia : a ′ = a −

d ) y

(t

dt )

Forta de inertie care actionea%a asupra masei m in cadrul acestei miscari, va fi :

F i = m ⋅ a ′ = m ⋅ ( a − d ) y (t dt )

5onform le1ii ecilibrului fortelor (le1ea dBAlembert, aceasta forta ecilibrea%a forta motoare

F m care atra1e masa m spre dreapta. Forta F m este data de forta de intindere a resortului R si cea produsa de amorti%or, proportionala cu vite%a maseim in miscarea spre stan1a fata de suportul S .

F = F = ky (t + k

dy (t

= m ( a −

d ) y (t

a dt

dt )

i

m


11/23

Re%ulta urmatoare ecuatie diferentiala liniara de ordinul II:

m ⋅

d ) y (t

+ k a ⋅

dy (t

+ k ⋅ y (t = m ⋅a

(>

dt

)

dt


12/23

ce exprima dependenta dintre citirea & (deplasarea masei m si acceleratia suportului C.

5armen 7u8oreanu >


13/23


Stabilirea functiei de transfer

Semnalul de intrare este acceleratia suportului u (t !a.

Semnalul de iesire este deplasarea masei m (citirea &.

Ce aplica ecuatiei (> transformata aplace pentru conditii nule:

d ) y (t

dy (t

+ k ⋅ ! [ y (t ] = m ⋅ ! [ a ]

m ⋅ !

dt

)

+ k a ⋅ !

dt


14/23

m ⋅ s) ⋅ " ( s + k a ⋅ s ⋅ " ( s + k ⋅ " ( s = m ⋅# ( s

Relatia de mai sus se imparte la m si se obtine :

s) ⋅ " ( s + k ma ⋅ s ⋅ " ( s + m

k ⋅ " ( s =# ( s

( s) + k ma ⋅ s + m

k ⋅ " ( s =# ( s

Re%ulta f.d.t

H ( s =

" ( s

=


15/23

(>)

# ( s

s)

+

k a

⋅ s +

k

m


16/23

m

Observatie :

F.d.t caracteri%ea%a transferul informational intrare-iesire. Eractic, ecuatia de definitie a f.d.t. Y(s

! "(s # $(s, se repre%inta astfel :

U$s%

,$s%

-$s%


17/23

c.% Reprezentari grafice ale f.d.t (p.=-ivint

iagrama /0uist

Grice f.d.t "(s, fiind o functie de variabila complexa s ! H 8J, poate fi scrisa sub forma :

-$s% 2 -Re3(-im

5armen 7u8oreanu


18/23


Deci, poate fi repre%entata intr-un plan complex cu coordonatele "Re si 8"im denumit planul "(s.

Daca variabila complexa s descrie un contur incis $ in planul s, fi1. >.4a, atunci "(s descrie de

asemenea un contur incis in planul "(s, fi1.>.4b.

Fig.3.%


19/23

Dintre toate contururile 5 posibile, in studiul sistemelor automate pre%inta interes conturul

/0uist care este un semicerc cu centrul in ori1inea axelor planului s , avand ra%a infinit mare si

limitat la stan1a de axa ima1inara, fi1. >.=.

Fig.3.&

Fig.3.'(


20/23

5armen 7u8oreanu


21/23


iagrama /0uist explorea%a semiplanul drept al planului s in vederea anali%ei stabilitatii

sistemelor dinamice. Earcur1erea axei ima1inare din cadrul acestui contur, corepun%and la valori

ale lui ω∈ ( −∞ , ∞ , ecivalea%a cu cunoasterea 4odografului vectorului H)*+,.

Acesta repre%inta raspunsul la frecventa al unui sistem dinamic caracteri%at de functia de transfer

H)s, si locul de transfer este o curba in planul H)*+,, 1radata in valori ale pulsatiei + (fi1. >.0.

H R(+ si H - (+ se numesc caracteristica reala de frecventa, respectiv caracteristica imaginara

de frecventa

iagrama 5ode $ continuare de la livint, apoi operatii cu fdt%


22/23


23/23

5armen 7u8oreanu *

cursul meu 7 stabilirea functiei de transfer

Documents