CURSUL 2

ERORI DE CALCUL NUMERIC

APROXIMAREA FUNCIILOR PRIN INTERPOLARE

1. Erori de calcul numeric

O formula de calcul numeric se aplica, de obicei, in mod repetat. In

consecina, prezint importanta nu numai eroarea introdusa intr-o etapa, ci si

tendina de a amplifica sau, dimpotriv, de a atenua erorile introduse de anterior,

adic stabilitatea metodei numerice. Studiul erorilor numerice rmne deci o

problema deschisa, care trebuie luata in considerare pentru fiecare metoda de

calcul in parte. 1.1. Surse de erori

Erorile inerente: sunt erorile legate de cunoaterea aproximativa a unor

valori provenite din msurtori sau din faptul c avem de-a face cu numere

iraionale (algebrice sau transcendente: numerele , e, 3 , etc.). Evident, rezultatul

oricror calcule depinde i de precizia datelor introduse iniial. Ca erori inerente

pot fi considerate i erorile de conversie fcute la trecerea in baza 2 a unor numere

care se introduc in memoria calculatoarelor numerice actuale. Spre exemplu,

numrul 0.1 reprezentat printr-un numr finit de zecimale in baza 10, devine o frac

zecimala periodica in baza 2 (0.110 0.0(0011)2).

Erorile de metod sau erorile de trunchiere sunt provenite din aproximaiile

fcute la deducerea formulelor de calcul. Exemple: restul RN(x) la interpolarea

polinomial, distana +1nx la rdcin, din metodele iterative de calcul, erorile

introduse prin trunchierea seriilor la un anumit rang, etc. Spre deosebire de erorile

inerente, erorile de metod pot fi reduse, in principiu, orict de mult.

Erorile de rotunjire sunt legate de posibilitile limitate de reprezentare a

numerelor in calculatoarele numerice. In general, orice calculator poate reprezenta

numerele cu un numr redus de cifre semnificative, depinznd de lungimea

cuvntului (numrul de bii utilizat la stocarea unui numr In mod curent se

lucreaz cu un echivalent de circa 7 cifre semnificative n simpl precizie i de

circa 15 cifre semnificative in dubla precizie.

Dup cum se tie, n memoria intern a calculatoarelor actuale se folosete

reprezentarea n virgul mobil, in forrna normalizat. Astfel, orice numr real x se

scrie 1 0(b 1) este baza sistemului de numeraie utilizat, iar n (ntreg) este exponentul. n forma

normalizat mantisa este cuprins in intervalul [b-1, 1)

11

unde g conine cifrele care nu pot fi incluse in mantisa f. Rotunjirea se face de

obicei simetric, adic se nlocuiete

500501 .gdacag,.gdacag

iar ca margine a erorii

tpyxtp eeee

adic o sum ponderat a erorilor introduse la reprezentarea in calculator a

cantitii sumate. i n acest caz se introduce a eroare suplimentar la reprezentarea

sumei yx + , a crei valoare relativ o vom nota cu s . Ca urmare, eroarea relativ la sumare va fi ts

syxts eyxy

yxxe ++++=

Aplicaie: s scriem eroarea total la calculul expresiei

z)yx(z)yx(E ++= Solutie:

pszyxtE eeeyxy

yxxe ++++++=

cu marginea

++

+ 31015yxyx

e ttE

Ca recornandare general, n calculul numeric trebuie studiat i propagarea

erorilor. n anumite cazuri, acurnularea erorilor poate conduce la rezultate complet

eronate. Pentru a ilustra aceast posibilitate, s considerrn calculul integralei

=1

0

1dxexI xnn

O modalitate de calcul o reprezint utilizarea unei relaii de recuren

,...,n,nII nn 211 1 == plecnd de la valoarea . Rezultatele calculelor pentru diferitele valori ale

lui n sunt date in tabelul de mai jos. Se observ c pentru n = 13, se obine.o

valoare negativ a integralei, ceea ce nu este posibil, funcia integrat fiind pozitiv

pe [0, 1]. Rezult c valorile obinute sunt eronate, incepnd cu o anurnit valoar a

lui n. Explicaia o constituie faptul c valoarea integralei I0 se calculeaz cu o

10 1

= eI

eroare e0 care este amplificat prin aplicarea formulei de recuren, astfel c, la

calculul lui I13 eroarea este

09

013 10622713 ee!e = Pentru a obine o valoare corect n cazul indicilor n mari se aplic formula de

recuren sub forma

,...N,Nn,n

II nn 11

1 ==

in care erorile sunt reduse in fiecare etap. Prin urmare, plecnd de la un N

suficient de mare eroarea introdus din necunoa valorii In va fi redus, astfel nct

s obinem rezultate corecte. Observnd c valoarea integralei scade cu n, vom

alege N = 20 i vom aproxima I20 0, calculnd integralele de indice mai mic din

ce n ce rnai precis. Valonile obinute sunt date in acelade mai sus. Se observ c

rezultatele sunt rnai bune la indici mari i identice la indici mici (n < 7).

Tabel. Exemplu de amplificare a erorilor

n ,...,n,nII nn 211 1 == ,...N,Nn,nII nn 1

11 ==

0 0.632121 0.632121 1 0.367879 0.367879 3 0.207277 0.207277 7 0.112383 0.112383 9 0.091586 0.091612 13 -0.377925 0.066948 17 - 0.052778 20 - 0.000000

1. Polinomul de interpolare Lagrange

Una dintre cele mai vechi i mai generale formule de interpolare este cea

datorat lui Lagrange.

S presupunem ca n intervalul [a, b] sunt specificate n+1 valori ale argumentului,

x0, x2, , xn, i valorile corespunztoare ale unei funcii f(x)

f(xi) = yi , i = 0, 1, 2, ,n

Se cere construirea unui polinom P de gradul n care ia n punctele specificate, xi,

aceleai valori ca i funcia f(x)

Pn(xi) = yi , i = 0, 1, 2, ,n

n anumite situaii valorile yi se determin experimental i se caut o formul

pentru f care n punctele xi s coincid cu valorile date, iar n rest s aproximeze

valorile experimentale. O variant de formul este aceea a unui polinom de gradul

n dat de urmtoarea teorem:

Teorema: Polinomul de interpolare, Pn , asociat unei tabele de valori este unic

( ) =

= =

n

ikk ki

kn

iin xx

xxxfxP00

)( (1)

Presupunem ca f este o funcie de n+1 ori derivabil.. Dac notm cu

)(sup )1( xfM n+= , atunci are loc inegalitatea:

)!1()(...)(

)()( 0 +

nxxxxM

xPxf nn

Sub aceast form polinomul de interpolare se numete polinomul Lagrange.

Pe baza formulei de interpolare a lui Lagrange se poate rezolva i problema

interpolarii inverse, adica gsirea argumentului pentru care polinomul Lagrange

are o anumita valoare. Pentru aceasta este suficient s se considere y ca variabil

indepenenta i s se scrie o formul exprimnd x ca funcie de y

=

=

=n

i

n

ikk ki

ki yy

yyxx0 0

(2)

Cu ajutorul acestei formule se poate gsi o rdcin a ecuaiei f(x) = 0. n acest

scop se calculeaz un tablou de valori yi , i = 0, 1, 2, ,n pentru argumentele xi

apropiate de rdcina. Considernd apoi y = 0 n formula (2), se gseste rdcina

respectiv. Daca este un polinom de gradul n, rdcina determinat

prin aceast metod este exact.

)()( xPxf n

Exemplu: S se realizeze un program care determin 130 folosind polinomul de

interpolareare Lagrange; s se evalueze i eroarea de interpolare.

Rezolvare:

S consideram funcia xxf =)( . Vom lua ca puncte de diviziune: . 169,144,121 210 === xxx

x 121 144 169

f(x) 11 12 13

Polinomul de interpolare este:

( )( ) ( )( ) ( )( )1200

12114413565

169121121104

16914411)(2+= xxxxxxxP

Pentru o valoare n intervalul [121,169], de exemplu x=130

gsim: , iar 400379.11)130(2 =P 401754.11130 . Deoarece 25

83)('''

= xxf =>

'''f este monoton descrescatoare pe [ ]169,121=I , deci maximul pentru va fi atins n punctul . Deci

'''f

121=x 51183 =M . Conform formulei (1)

( )( )( )00172.0

!3121130144130169130

1183)130(130)130(001375.0 52 =

end endfunction

n fereastra de comand se definesc mai nti vectorii ce conin valorile

corespunztoare pentru x i y, apoi se apeleaz funcia definit mai sus:

x=[121 144 169]; y=[11 12 13]; lagrange(x,y,130) ans = 11.40043478260870

Observaie: Dac se consider mai multe puncte de interpolare, de exemplu:

-->x=[81 100 121 144 169]; -->y=[9 10 11 12 13];

se va obine:

-->lagrange(x,y,130) ans = 11.401672

un rezultat mai apropiat de

-->sqrt(130) ans = 11.401754

Exerciii:

1. S se determine valoarea polinomul de interpolare Lagrange pentru funcia )cos()sin()( xxxf += , nodurile

21;

41;

61;0 3210 ==== xxxx i 5

1=x . 2. S se determine 115 considernd o reea de trei puncte care conine valoarea 115. 3. S se determine funcia de interpolare pentru , nodurile )sin()( xxf =

21;

41;

61;0 3210 ==== xxxx . S se reprezinte grafic i s se compare graficele cu

cele obinute prin formula lui Lagrange. 4. Estimai valorile temperaturii la momentele de timp 2.5 sec i 4.9 sec, cu datele din tabelul de mai jos.

Timp [s] Temperatura [0C]

0.0 0.0 1.0 20.0 2.0 60.0 3.0 68.0 4.0 77.0 5.0 110.0

2. Polinomul de interpolare Newton

Definiie: Fie i x0, x1,, xn n+1 puncte distincte din [a, b]. Se

numesc diferene divizate de ordinul nti ale lui f urmtoarele expresii:

Rbaf ],[:

1

11

12

1221

01

0110

)()(],[...,,)()(],[,)()(],[

=

==

nn

nnnn xx

xfxfxxfxx

xfxfxxfxx

xfxfxxf

Diferenele divizate de ordinul k+1 se definesc cu ajutorul diferenelor divizate de

ordinul k:

iki

kiiikiiikiii xx

xxxfxxxfxxxf =

+++++++++++

1

112111

],...,,[],...,,[],...,,[

Polinomul Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)++f[x0,x1,,xn](x-x0)(x- xn-1) se numete

polinomul lui Newton cu diferene divizate.

Definiie: Fie i h>0 o constant. Se numesc diferene finite (la

dreapta) de ordinul nti, respectiv diferene finite (la stnga) de ordinul doi

urmtoarele expresii:

Rbaf ],[:

)()()( xfhxfxf += )()()( hxfxfxf +=

Teorem: Se consider o reea de punce echidistante , de pas h,

xi=x0+ih, nxxx ,...,, 10

ni ,1= i valorile corespunztoare f(xi)=yi , ni ,1= . Atunci polinoamele

nnn

nhn

xxxxyh

xxxxyhxxyyxP

!))...((...

!2))((

!1)( 1002

100

2000

1 +++=

i

nnn

nnnn

nn

nnnhn

xxxxxxyh

xxxxyhxxyyxP

!))...()((...

!2))((

!1)( 112

122 +++=

sunt polinoame Lagrange i se numesc polinoame Newton cu diferene finite de

prima i a doua spe.

Observaia 1: Polinomul lui Newton de spea nti se utilizeaz cnd x, punctul n

care se aproximeaz f(x), este mai aproape de x0, iar Polinomul lui Newton de

spea a doua se utilizeaz cnd x este mai aproape de xn.

Observaia 2: Dac notm h

xxt 0

= atunci polinomul de interpolare Newton cu

diferene finite (la dreapta) de prim spe are urmtoarea form:

!)1)...(1(...

!2)1(

!1)( 00

200

1n

ntttyttytyytP nn++++= .

Observaia 3: Daca notm h

xxt n = atunci polinomul de interpolare Newton cu

diferene finite (la stnga) de spea a doua are urmtoarea form:

!)1)...(1(...

!2)1(

!1)( 22

nntttyttytyytP n

nnnnn

++++++= .

Exemplu:

Se consider urmtoarele date experimentale:

xi 0 0.5 1 1.5

yi 1 1.1276 1.5431 2.3534

Se cere s se calculeze valoarea lui y pentru x=0.25 folosind polinomul de

interpolare Newton cu diferene finite la dreapta i valoarea lui y pentru x=1.25

folosind polinomul de interpolare Newton cu diferene finite la stnga.

Rezolvare

xi f(xi)=yi yi 2yi 3yi

0 1

0.5 1.1276

2y0 = 0.2879

1 1.5431

1.5 2.3534

y0 = 0.1276

y1 = 0.4755

y2 = 0.8103

2y1 = 0.1069

2y1 = 0.3948

3y 32 y 33 y Calculul lui y pentru x=0.25:

03449.1)125.0)(5.025.0)(025.0(5.0!3

1069.0

)5.025.0)(025.0(5.0!2

2879.0)025.0(5.0!1

1276.01)25.0(

3

21

3

=+

+++=P

Calculul lui y pentru x=1.25:

89222.1)5.025.1)(125.1)(5.125.1(5.0!3

1069.0

)125.1)(5.125.1(5.0!2

3948.0)5.125.1(5.0!1

8103.03534.2)25.1(

3

22

3

=+

+++=P

Rezolvarea n Scilab/ (pentru diferene divizate):

Se definete un functia:

function pol=newtonDivizate(x,y,v) n=length(x); for i=1:n-1 for k=n:-1:i+1 y(k)=(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-i)) end end pol=y(n); for i=n:-1:2 pol=pol*(v-x(i-1))+y(i-1); end endfunction

n fereastra de comand se definesc mai nti vectorii ce conin valorile

corespunztoare pentru x i y, apoi se apeleaz funcia definit mai sus:

x=[121 144 169]; y=[11 12 13]; newtonDivizate(x,y,130) ans = 11.40043478260870

Observaie: Rezultatul trebuie s fie acelai cu cel obinut prin interpolarea

Lagrange.

lagrange(x,y,130) ans = 11.40043478260870

Exercitiu: S se calculeze valoarea polinomului de interpolare Newton cu

diferene divizate pentru 5,0,5

== nixi i f(x)=sin(x) n 2512= x .

Rezolvare: (n Scilab cu diferene divizate)

function pol=newtonDivizate(x,y,v) n=length(x); for i=1:n-1 for k=n:-1:i+1 y(k)=(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-i)) end end pol=y(n); for i=n:-1:2

pol=pol*(v-x(i-1))+y(i-1); end endfunction x=[0 %pi/5 %pi*2/5 %pi*3/5 %pi*4/5 %pi]; y=sin(x); newtonDivizate(x,y,%pi*12/25) sin(%pi*12/25) ans = 0.9977572 ans = 0.9980267

Rezolvare: (cu diferene finite la dreapta)

function pol=newtonDifFinDr(a,h,n,y,v) for i=1:n x(i)=a+(i-1)*h; end for i=1:n-1 for k=n:-1:i+1 y(k)=y(k)-y(k-1) end end pol=y(1);p=1; for i=2:n p=p*(v-x(i-1))/((i-1)*h) pol=pol+y(i)*p; end endfunction x=[0 %pi/5 %pi*2/5 %pi*3/5 %pi*4/5 %pi]; y=sin(x); newtonDifFinDr(0,%pi/5,6,y,%pi*12/25) sin(%pi*12/25) ans = 0.9977572 ans = 0.9980267

Exercitii

1. S se calculeze valoarea aproximativ a funciei f(x)=sin(x)+cos(x) n punctul 1/6, folosind polinomul Newton cu diferene divizate pe reeaua xj=j*0.25, j= 3,0 .

2. S se scrie polinomul lui Newton cu diferene finite la stnga pentru funcia f(x)=sin(x) pe reeaua xj=j*0.25, j= 3,0 n punctul 0.65.

3. S se calculeze valoarea aproximativ a funciei f(x)=cos(x)+1 n punctul 1/5, folosind polinomul lui Newton cu diferene divizate pe reeaua xI=i*0.25, i= 3,0 .

4. S se scrie polinomul lui Newton cu diferene finite la dreapta pentru funcia f(x)=sin2x pe reeaua xi=i*0.5, i= 3,0 n punctul 1.25.

5. S se calculeze valoarea aproximativ a funciei f(x)=cos(x) n punctul 1/6, folosind polinomul Newton cu diferene divizate pe reeaua xj=j*0.25, j= 3,0 .

6. S se scrie polinomul lui Newton cu diferene finite la stnga pentru funcia f(x)=sin(x/2) pe reeaua xj=j/2, j= 3,0 n punctul 0.333.

3. Calculul derivatei unei funcii definit prin date de interpolare

Derivata unei funcii definit prin datele de interpolare cu

se aproximeaz prin derivata polinomului de interpolare al

lui Lagrange astfel:

( ii yx , )niihaxi ...,,1,0, =+=

))(;,...,,()( xfnhahaaLdxdxf ++ ( )

= =

=n

i

n

ikk

n

kijj

ini jqini

yh 0 0

,0

)()!(!

11

unde ( )*, =+= nn

abhqhax .

Aproximarea derivatei prin polinomul de interpolare al lui Newton cu diferene

finite la dreapta are formula: =

=n

ii

itP

iy

htP

1

''

0' )(!

1)( unde

}1,..,2,1{1

1)()(1

' += = itpentrukttPtPi

kii i h

xxt 0

= .

Observaie: Formula lui se obine dup logaritmarea lui . )(' tPi =

+=i

ki kttP

1)1()(

Exemplu (aproximare prin derivata polinomului de interpolare Lagrange):

. 55.0,10,...,1,0,1.0 3 ==== xsixyiix iii

Rezolvarea n Scilab:

Se definesc2 funcii: factorial i DerivLagrange.

function f=factorial(n)

f=1; for i=1:n f=f*i; end endfunction function DerivLagrange(a,n,h,v) for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=x(i)^3; end q=(v-a)/h; s1=0; for i=1:n+1 s2=0; for k=1:n+1 if k~=i p=1; for j=1:n+1 if (j-i)*(j-k)~=0 p=p*(q+1-j); end end s2=s2+p; end end s1=s1+s2*y(i)*(-1)^(n+1-i)/(factorial(i-1)*factorial(n+1-i)); end d=s1/h endfunction

Se definesc n fereastra de comand a, n, h i v i apoi se apelaz DerivLagrange:

a=0; n=10; h=0.1; v=0.55; DerivLagrange(a,n,h,v) d = 0.90750000000000

Exercitii

1. S se calculeze derivata unei funcii definit prin datele de interpolare: xi 50 55 60 65

yi 1.699 1.740 1.778 1.813 pentru x=57.

2. S se calculeze derivata funciei f(x)=xex+x2 pentru x=2 i s se compare rezultatul obinut cu derivata funciei obinut prin metoda de mai sus dac se consider reeaua de puncte 0; 0.75; 1.5; 2.25.

3. S se calculeze derivata funciei f(x)=sin(x) pentru x=1/8 i s se compare rezultatul obinut cu derivata funciei obinut prin metoda de mai sus dac se

consider reeaua de puncte dat de relaia: 4,1,4

)1( == jjx j . 4. S se calculeze derivata funciei f(x)=sin(x)+cos(x) pentru x=1/6 i s se

compare rezultatul obinut cu derivata funciei obinut prin metoda de mai sus dac se consider reeaua de puncte dat de relaia: xj=j*0.25, j= 3,0 .

4. Funcii de interpolare spline

Definiie: Fie bxxxaRbaf n =

Rezolvarea n Scilab:

function [m,alfa,beta]=fspline(x,y) n=length(x); for i=1:n-1 h(i)=x(i+1)-x(i); end for i=1:n-2 la(i+1)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1)); ro(i+1)=h(i)/(h(i)+h(i+1)); d(i+1)=3*(h(i)/h(i+1)*(y(i+2)-y(i+1))+h(i+1)/h(i)*(y(i+1)-y(i)))/(h(i)+h(i+1)); end a=zeros(n,n); la(1)=1;ro(n)=1;a(n,n-1)=1;a(1,2)=1; d(1)=3*(y(2)-y(1))/h(1)-h(1)/2; d(n)=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1)-h(n-1)/2; for i=1:n a(i,i)=2; end for i=2:n-1 a(i,i+1)=la(i); a(i,i-1)=ro(i); end m=a^(-1)*d'; for i=1:n-1 alfa(i)=3*(y(i+1)-y(i))/(h(i)^2)-(m(i+1)+2*m(i))/h(i); beta(i)=-2*(y(i+1)-y(i))/(h(i)^3)+(m(i+1)+m(i))/(h(i)^2); end endfunction

Rezultatele se obin n fereastra de comand

x=[-1 -0.333 0.333 1]; y=x./(1+10.*x) y = 0.11111111111111 0.14291845493562 0.07690531177829 0.09090909090909 [m,alfa,beta]=fspline(x,y); p=y(3)+m(3)*(0.5-x(3))+alfa(3)*(0.5-x(3))^2+beta(3)*(0.5-x(3))^3 p = 0.08053333070872

Observaie: Interpolare cu functia splin a Scilab-ului

d=splin(x,y); interp(0.5,x,y,d) ans = 0.0833333

Exerciiu:

Se consider urmtoarele date experimentale:

xi 0 0.5 1 1.5

yi 1 1.1276 1.5431 2.3534

Se cere s se calculeze valoarea lui y pentru x=0.25 folosind funciile spline

cubice. S se compare rezultatul cu cel obinut prin functia splin a Scilab-ului.

4.1 Funcii Scilab pentru interpolare i derivare

Denumire funcie Semnificaie interpln Interpolare liniar linear_interpn Interpolare liniar n dimensional splin Interpolare cu funcii spline cubice interp Funcii spline cubice de evaluare a unei funcii derivative Aproximarea derivatelor unei funcii

Interpolare liniar: interpln

x=[1 10 20 30 40]; y=[1 30 -10 20 40]; plot2d(x',y',[-3],"011"," ",[-10,-40,50,50]); yi=interpln([x;y],-4:45); plot2d((-4:45)',yi',[3],"000");

-10 0 10 20 30 40 50-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Interpolare biliniar: linear_interpn

n = 8; x = linspace(0,2*%pi,n); y = x;

z = 2*sin(x')*sin(y); xx = linspace(0,2*%pi, 40); [xp,yp] = ndgrid(xx,xx); zp = linear_interpn(xp,yp, x, y, z); xbasc() plot3d(xx, xx, zp, flag=[2 6 4]) [xg,yg] = ndgrid(x,x); param3d1(xg,yg, list(z,-9*ones(1,n)), flag=[0 0]) xtitle("Interpolare biliniar pentru 2sin(x)sin(y)") legends("Puncte de interpolare",-9,1) xselect()

Bilinear interpolation of 2sin(x)sin(y)

-1.9

-0.5

0.9

Z

0

1

2

3

4

5

6

7

X

0

1

2

3

4

5

6

7

Y

interpolation points

Interpolare cu funcii spline: splin

deff("y=runge(x)","y=1 ./(1 + x.^2)") a = -5; b = 5; n = 11; m = 400; x = linspace(a, b, n)'; y = runge(x); d = splin(x, y); xx = linspace(a, b, m)'; yyi = interp(xx, x, y, d); yye = runge(xx); xbasc() plot2d(xx, [yyi yye], style=[2 5], leg=Interpolare spline@Funcie exact") plot2d(x, y, -9) xtitle("Interpolare a funciei Runge")

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

interpolation of the Runge function

interpolation splineexact function

Calculul aproximativ al derivatei unei funcii de trei variabile

function y=F(x) y=[sin(x(1)*x(2))+exp(x(2)*x(3)+x(1)) ; sum(x.^3)]; endfunction function y=G(x,p) y=[sin(x(1)*x(2)*p)+exp(x(2)*x(3)+x(1)) ; sum(x.^3)]; endfunction x=[1;2;3];[J,H]=derivative(F,x,H_form='blockmat'); disp(J) disp(H) --> ! 1095.8009 3289.4833 2193.2663 ! ! 3. 12. 27. ! ! 1092.996 3287.6648 2193.2663 ! ! 3287.6648 9868.7896 7676.4324 ! ! 2193.2663 7676.4324 4386.5327 ! ! 6. 0. 0. ! ! 0. 12. 0. ! ! 0. 0. 18. !

CURSUL 2ERORI DE CALCUL NUMERICAPROXIMAREA FUNCIILOR PRIN INTERPOLARE1. Erori de calcul numeric1. Polinomul de interpolare LagrangeTimp [s]

2. Polinomul de interpolare Newton Rezolvare

3. Calculul derivatei unei funcii definit prin date de interpolareExercitii

4. Funcii de interpolare spline4.1 Funcii Scilab pentru interpolare i derivareInterpolare liniar: interplnInterpolare biliniar: linear_interpnInterpolare cu funcii spline: splinCalculul aproximativ al derivatei unei funcii de trei variabile