Curs FIZIC II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda 1111

CMPUL ELECTRIC STAIONAR N VID

Cuprins:

1.0 Procese de electrizare. Sarcina electric 1.1. Fora electric i intensitatea cmpului electric 1.2. Potenialul electric scalar 1.3. Relaia dintre potenialul scalar i intensitatea cmpului electric staionar 1.4. Fluxul cmpului electric i legea lui Gauss

1.0. Procese de electrizare. Sarcina electric

Inc de la vechii greci se tie c o bucat de chihlimbar frecat cu ln va atrage obiecte uoare. Se spune c chihlimbarul este electrizat sau are sarcin electric. Aceti termeni deriv de la cuvntul grecesc electron, care este denumirea n greac a chihlimbarului. Cea mai simpl metod de a obine un material ncrcat electric este prin frecarea acestuia cu alt material (exemple: pieptenele prin pr, maina cu aerul, ebonita i blana, sticla cu mtase).

Electrizarea reprezint de fapt transferul de sarcin electric de pe un corp pe altul. Experimental se arat c exist corpuri ncrcate electric cu sarcin pozitiv sau negativ. Practic, electrizarea se obine prin transferul electronilor din structura unui corp asupra celuilalt corp. In mod nomal, materia e format din atomi, neutri din punct de vedere electric i deci materia n stare normal va fi lipsit de sarcini electrice. In urma procesului de frecare, o parte din electroni trec de pe un corp pe cellalt conducnd la obinerea a dou corpuri ncrcate cu sarcin, unul pozitiv(prin lipsa unor electroni), iar cellalt negativ (prin existena unui surplus de electroni). S-a observat experimental c sarcinile de acelai semn se resping, n timp ce cele de semn contrar se atrag.

Definim sarcina electric ca fiind o mrime fizic scalar, avnd simbolul Q i unitatea de msur n SI coulomb.

Un coulomb reprezint sarcina electric transportat prin seciunea transversal a unui conductor timp de o secund, de un curent staionar avnd intensitatea de 1A.

1C=[I]SI[t]SI=As Cea mai mic sarcin electric pus n eviden este sarcina electronului,

numit i sarcina electric elementar avnd valoarea e=1,610-19C. Astfel, sarcina electric a unui corp, Q, poate avea numai valori egale cu multiplii ntregi ai sarcinii electrice elementare:

Q=ne unde n este un numr ntreg iar e- sarcina elementar a electronului.

an colar 2014-2015 2222Astfel putem spune c sarcina electric este o marime cuantificat. In

general corpurile sunt neutre din punct de vedere electric, transferul de sarcin de pe un corp pe altul conducnd la corpuri ncrcate electric.

S-a observat experimental c, la interaciunea dintre corpurile ce alctuiesc un sistem izolat dpdv electric, sarcina electric se redistribuie astfel nct valoarea ei total s nu se modifice. In concordan cu aceste constatri, s-a formulat principiul conservrii sarcinii electrice: pentru un sistem izolat din punct de vedere electric, suma algebric a sarcinilor electrice ale corpurilor din sistem rmne constant.

Astfel, la atingerea unui corp electrizat de unul neelectrizat, o parte din sarcina acestuia se transfer pe cel de-al doilea cu respectarea principiului conservrii sarcinii electrice. Acest proces se numete electrizare prin contact.

Dac un corp ncrcat se apropie, dar fr s ating un alt corp neelectrizat, apare electrizarea prin influen. Aceasta const n separarea sarcinilor n interiorul celui de-al doilea corp, astfel nct n vecintatea primului corp se adun sarcinile de semn contrar, iar cele de acelai semn se deplaseaz n direcie opus.

Msurarea sarcinii electrice a unui corp se realizeaz cu electrometrul.

a b

c

Figura 1: Prile componente i funcionarea unui electrometru

Acesta este format dintr-o cavitate metalic format din 4 cvadrante n interiorul creia se mic, sub influena sarcinilor electrice , o palet cu 2 aripi

Curs FIZIC II FAIMAsusinut de un fir subire pe care este fixatconectat electric cu cvadrantul opus de pe diagonalaceeai sarcin. Una din perechile de cvadrancealalt cu sarcin negativva roti. Rotirea paletei sub influenfirului de susinere a paletei. O radiacu un unghi proporional cu unghiul de rota

Un astfel de dispozitiv poate fi folosit la determinarea activitradioactive cu ajutorul camerei de ionizare

1.1. Fora electric

Pentru a descrie interaccaracterul finit al vitezei de propagare a interacadmintem c interacia are loc prin intermediul unui c o particul acioneaz asupra alteiacreaz un cmp, care la rndul lui acParticulele interacioneaz

Un cmp este o mpuncte diferite din spaiu. Dacstaionar sau static. De exemplu, temperatura unui mediu este un cmp caracterizat de o mrime scalar care este funcde timp t . Un alt exemplu de cmp l constituie cmpul vitezelor particulelor unui lichid care curge. Acest cmp este caracterizat de mviteza din fiecare punct al spa

Se poate arta experimental constituie corpurile microscopice sau macroscopice posedpozitiv, q+ , fie o sarcinfizicii care se ocup cu interacelectric care se afl n repaus fa

Cele dou tipuri de sarcinelectric care aparin unor particule nemicate interacioneaz fora electric, sau fora lui Coulomb (fora coulombian). n exprimarea forcoulombiene se postuleazsarcini punctiforme pozitive situate n poziii fixe din spasituate n vid, interacioneaz(figura 1.1.).

21

212

21

21

021 4

1r

r

r

qqFr

r

pi=

II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda ire pe care este fixat o oglind. Fiecare cvadrant este

conectat electric cu cvadrantul opus de pe diagonal astfel nct acestea s. Una din perechile de cvadrani este ncrcat cu sarcin pozitiv

negativ. La aplicarea unei sarcini electrice din exterior, paleta se Rotirea paletei sub influena sarcinilor electrice se transform n torsionarea

inere a paletei. O radiaie luminoas incident pe oglind va fi deviational cu unghiul de rotaie al firului sub aciunea paletei.

Un astfel de dispozitiv poate fi folosit la determinarea activitii unei surse radioactive cu ajutorul camerei de ionizare (vezi figura 1c).

a electric i intensitatea cmpului electric

Pentru a descrie interacia dintre diverse particule trebuie s avem n vedere caracterul finit al vitezei de propagare a interaciilor. Din aceast cauz trebuie s

ia are loc prin intermediul unui cmp. Adic, n loc s spunem asupra alteia, trebuie s considerm c particula respectiv

un cmp, care la rndul lui acioneaz asupra celei de a doua particule. prin cmpul creat de ele sau de alte particule.

Un cmp este o mrime scalar sau vectorial care ia valori diferite n iu. Dac cmpul nu depinde de timp spunem c este un

. De exemplu, temperatura unui mediu este un cmp caracterizat care este funcie de coordonatele punctului din spaiu ( yx,

. Un alt exemplu de cmp l constituie cmpul vitezelor particulelor unui lichid care curge. Acest cmp este caracterizat de mrimea vectorial ( zyx ,,vrviteza din fiecare punct al spaiului, la momentul t .

experimental folosind metoda lui Millikan c particulele care constituie corpurile microscopice sau macroscopice posed fie o sarcin electric

electric negativ, q . Electrostatica este acea parte a cu interacia particulelor i corpurilor ncrcate cu sarcin

n repaus fa de un sistem de referin inerial. tipuri de sarcin in unor particule

ntre ele prin a lui Coulomb

n exprimarea forei coulombiene se postuleaz c exist sarcini punctiforme pozitive i negative

ii fixe din spaiu, care, ioneaz astfel

Figura 1.1: Interacia electric dintre sarcinile punctiforme din punctele 1

3333cvadrant este

astfel nct acestea s aibe pozitiv, iar

xterior, paleta se n torsionarea va fi deviat

ii unei surse

avem n vedere trebuie s

spunem particula respectiv

asupra celei de a doua particule.

valori diferite n este un cmp

. De exemplu, temperatura unui mediu este un cmp caracterizat )zy, i

. Un alt exemplu de cmp l constituie cmpul vitezelor particulelor unui )tz,

particulele care electric

este acea parte a rcate cu sarcin

dintre i 2

an colar 2014-2015 4444 (1.1)

n sistemul internaional (S.I.) sarcina electric, iq are ca unitate de msur coulombul (C) care este definit cu ajutorul unitii de curent electric amperul (A). Factorul pi4 este o constant de proporionalitate introdus cu scopul de simplifica forma unor ecuaii importante n electromagnetism. Constanta 0 , care poart numele de permitivitatea vidului are n SI valoarea:

212120 mNC1085,8 = (1.2)

Din ecuaia (1.1) i din figura 1.1 se observ c fora coulombian este direct proporional cu produsul sarcinilor 21,qq i invers proposional cu ptratul

distanei dintre ele, 12r . Se observ c fora este orientat n sensul versorului 21

21

r

rr

dac sarcinile au acelai semn i orientat n sens opus dac sarcinile sunt de semn contrar. Adic 21F

r este de respingere pentru sarcini de acelai semn i de atracie

pentru sarcini de semn contrar. Fora 21Fr

acioneaz n punctul 1 unde se afl sarcina 1q care interacioneaz cu sarcina 2q din punctul 2. Asupra sarcinii 2q din punctul 2 acioneaz fora de reaciune 2112 FF

rr= (vezi figura 1.1).

De asemenea, se observ c fora coulombian nu depinde direct de 1rr

i 2rr

; adic de poziiile particulelor fa de originea sistemului de referin inerial ales n care particulele se afl n repaus.Relaia (1.1) scris pentru cazul n care sarcinile sunt situate n mediul vid, caracterizat de valoarea permitivitii 0 . Pentru un mediu oarecare, se nlocuiete 0 cu permitivitatea absolut a sa i se scrie o

relaie asemntoare cu (1.1). Raportul r=

0 se numete permitivitatea relativ

sau constanta dielectric a mediului respectiv. Pentru vid 1=r . Fora electric, sau fora lui Coulomb, definit prin ecuaia (1.1), exprim

interacia electric dintre dou particule ncrcate cu sarcini punctiforme. Prezena altor sarcini n vecintatea lor nu schimb valoarea acestei fore. n cazul cnd avem mai multe sarcini trebuie s considerm pe lng legea lui Coulomb (1.1) i principiul suprapunerii forelor.

Acesta afirm c fora care acioneaz asupra oricrei sarcini este suma vectorial a forelor coulombiene provenite de la fiecare sarcin din sistem n parte. Figura 1.2 ilustreaz aplicarea principiului suprapunerii forelor pentru un sistem de trei sarcini 1q , 2q i 3q . Se observ c forele care acioneaz asupra lui 1q din partea sarcinilor 2q i 3q sunt 21F

r i 31F

r, iar fora total este:

313310

31213

210

2131211 44

rr

qqr

r

qqFFFrrrrr

pi+

pi=+= (1.3)

n general, dac avem mai multe sarcini nji qqqqq ........,....,, 21 distribuite discret ca n figura 1.3., fora jF

r care acioneaz asupra sarcinii jq din partea

sarcinii iq este:

Curs FIZIC II FAIMA

Figura 1.2: Compunerea forcare acioneaz n punctul (1)

==

jiijj FFrr

Aceast ecuaie poate fi scrispoziie ai sarcinilor n raport cu un sistem de referinrepaus fa de sarcini. Dac

ni qqqq ,....,...,, 21 au respectiv, vectorii de pozii relaia (1.4) devine:

ijF

r

pi=

041

n practic este mai convenabil selectric, ( )1E

r din punctul 1, creat

( )1Er

Din ultima egalitate observchiar dac sarcina 1q nu ar fi acolo Aceast definiie neglijeaz

2q . Evident c se poate introduce acest fapt, dar aceast abordare nu este prezentat

Intensitatea cmpului electric este o mecuaia (1.6) nelegem trei ecuaexemplu, componenta dup

( 111 ,, zyxExunde ( )111 ,, zyx i ( 22 ,, yxsarcinile 1q i respectiv, 2q

II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda

Compunerea forelor electrice n punctul (1)

Figura 1.3: Configuraie de sarcini discrete cu vectorii de poziie

pi

=

jiij

ij

jir

r

qq r3

041

ie poate fi scris i sub o alt form, n funcie de vectorii de ie ai sarcinilor n raport cu un sistem de referin inerial, cu originea n O

de sarcini. Dac, n raport cu acest sistem de referin, sarcinile au respectiv, vectorii de poziie ni rrrr

rrrr,...,,...,, 21 atunci ijr

r=

( )ijnj ij

rrrr

qq rrrr

= 1

321

este mai convenabil s utilizm noiunea intensitatea cmpului din punctul 1, creat de sarcina 2q care se definete astfel:

1

21

qFr

= sau ( ) 21321

2

01 4

1r

r

qE rr

pi=

Din ultima egalitate observm c ( )1Er

descrie cmpul electric n punctul 1 nu ar fi acolo i indiferent de poziiile celorlalte sarcini

ie neglijeaz faptul c sarcina 1q modific cmpul creat de sarcina se poate introduce i o definiie mai riguroas care s in seama

abordare nu este prezentat aici. Intensitatea cmpului electric este o mrime vectorial i prin urmare, prin

elegem trei ecuaii scalare, cte una pentru fiecare component axa Ox este:

) ( ) ( ) ( )[ ] 2/322122122121

0

2

4 zzyyxx

xxq

++

pi=

)2, z sunt coordonatele punctelor 1 i 2 n care se g2 .

5555

ie de sarcini discrete

(1.4)

ie de vectorii de ial, cu originea n O i n

sarcinile ij rrrr

(1.5)

intensitatea cmpului

(1.6)

descrie cmpul electric n punctul 1 iile celorlalte sarcini, iq .

cmpul creat de sarcina seama i de

i prin urmare, prin cte una pentru fiecare component. De

(1.7)

i 2 n care se gsesc

6666

Figura 1.4: Poziia relativpunctului P fa de sarcinile discrete iq

Dac avem o configura

al lui P . Aceast funcie vectoriali constituie un cmp vectorial electrostaticacestui cmp vectorial ntrs se numeasc pe scurt cmpul electric

Pentru a reprezenta direcdin spaiu, se utilizeaz liniile de cmp

Fiecare linie de cmp este astfel trasatvectorul ( )rE rr i este orientatcmp asociate cu:

a) sarcin electricb) sarcin punctiformc) dou sarcini punctiforme egale

a) Figura 1.5: Liniile de cmp pentru: pereche de sarcini egale n valoarea absolut

Densitatea liniilor de cmp este proporelectric.

Liniile de cmp sunt continue. Ele pornesc de la sarcinile pozitive termin pe cele negative. Aceste linii nu se intersecteazdirecia cmpului este unic

an colar 2014-2015

ia relativ a de sarcinile

avem o configuraie de mai multe sarcini distribuite discret n spa(vezi figura 1.4.) atunci, n acord cu principiul suprapunerii, intensitatea cmpului electric ntr-un punct P oarecare din spaiu este suma vectorial a cmpurilor create de fiecare sarcin. Adic:

( ) ( )in

i i

i rrrr

qrE rrrrrr

= =1

304

1pi

unde poziiile relative, irrrr

ale lui P fasarcinile discrete iq sunt date de diferenvectorilor lor de poziie fa de referenfixat cu originea n O. Din (1.8) se observEr

n P este funcie de vectorul de poziie vectorial ( )rE rr este caracteristic fiecrui punct din spa

cmp vectorial electrostatic. Se obinuiete s se noteze intensitatea acestui cmp vectorial ntr-un punct curent cu E

r, fr a se mai scrie argumentul

pe scurt cmpul electric Er

.

Pentru a reprezenta direcia i sensul cmpului electric Er

n diferite puncte liniile de cmp (sau liniile de for).

Fiecare linie de cmp este astfel trasat nct este tangent n fiecare punct la i este orientat n sensul lui E

r. n figura 1.5. sunt trasate liniile de

punctiform pozitiv; punctiform negativ;

sarcini punctiforme egale i de semn opus.

b) c)

Liniile de cmp pentru: a) o sarcin pozitiv; b) o sarcin negativ pereche de sarcini egale n valoarea absolut

Densitatea liniilor de cmp este proporional cu intensitatea cmpului

Liniile de cmp sunt continue. Ele pornesc de la sarcinile pozitive pe cele negative. Aceste linii nu se intersecteaz una cu alta, deoarece

ia cmpului este unic n fiecare punct. Diagrama liniilor de cmp ne

2015 ie de mai multe sarcini distribuite discret n spaiu

.4.) atunci, n acord cu principiul suprapunerii, intensitatea cmpului electric

iu este suma a cmpurilor create de fiecare

(1.8)

fa de sunt date de diferena

de referenialul .8) se observ c

ie de vectorul de poziie rr rui punct din spaiu

se noteze intensitatea a se mai scrie argumentul i

n diferite puncte

n fiecare punct la .5. sunt trasate liniile de

i c) o

cu intensitatea cmpului

Liniile de cmp sunt continue. Ele pornesc de la sarcinile pozitive i se una cu alta, deoarece

n fiecare punct. Diagrama liniilor de cmp ne

Curs FIZIC II FAIMAfurnizeaz informaii despre mdeoarece densitatea lor este propor

Prin ecuaia (1.8)cmpul creat de o configuradiscret de sarcini. Cum aflcmpul creat de o distribucontinu de sarcini din volumul nchis de suprafaa S ? (figura Se consider un mic volum interiorul lui V care conine sarcina

idq . Raportul

( )ii

i rdVdq r=

definete densitatea de sarcinjurul punctului i de poziie

idV este destul de mic. Sarcina poate fi considerat punctiformutilizm ecuaia (4.8) cu modificde sum folosim integrala deoarece acesta este considerat

( )V

rE pi

=

4rr

Deoarece punctul curent (oarecare) din volumul

Pentru a nu confunda notai (1.10) se scrie sub forma:

( ) (pi

=

VPrE

4rr

Observm c ecuascalare prin proieciile vectorilor pe cele 3 axe Ox, Oy pe axa Ox a lui ( )PrE rr este:

( PPPx zyxE ,,unde PP yx , i Pz sunt coordonatele punctului punctului curent din V . Relasarcin volumic, forma creat de aceasta n orice punct 3 integrale de tipul (1.12) care reprezint

Sarcinile de pe suprafapunctul P . Densitatea de sarcinanalog ca cea volumic, adic

II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda ii despre mrimea intensitii cmpului i despre direcia acestuia

deoarece densitatea lor este proporional cu intensitatea cmpului. .8), aflm

cmpul creat de o configuraie de sarcini. Cum aflm

cmpul creat de o distribuie de sarcini din volumul V

? (figura 1.6.). un mic volum idV din

ine sarcina

(1.9)

te densitatea de sarcin din ie ir dac

este destul de mic. Sarcina idq punctiform dac idV e mic i pentru a calcula cmpului

ia (4.8) cu modificrile: n loc de iq intruducem iii dVdq = iar n loc folosim integrala deoarece acesta este considerat ca o sum la limit. Deci:

( )( )( ) ii

ii dVrr

rrr

pi

3

0rr

rr

Deoarece punctul i din volum este un punct curent i dV este elementul curent (oarecare) din volumul V n relaia (4.10) se omite indicele i i ir

r devine

Pentru a nu confunda notaiile ,vectorul rr de poziie a lui P l notm cu .10) se scrie sub forma:

( )( )( )pi

P

P

rr

dVrrr3

0rr

rr

ecuaia (1.11) este vectorial i se separ n trei integrale iile vectorilor pe cele 3 axe Ox, Oy i Oz. De exemplu, proiec

este:

) ( )( )( ) ( ) ( )[ ] ++pi

=

V PPP

PP

zzyyxx

dxdydzxxzyx2/32

04

,,

sunt coordonatele punctului P iar yx, i z sunt coordonatele . Relaia (1.11) ne spune c dac cunoatem densitatea de i poziia volumului V putem determina cmpul electric

n orice punct P cu o poziie cunoscut. Practic, se calculeaz.12) care reprezint proieciile pe axe ale ecuaiei (1.11).

Sarcinile de pe suprafaa S a volumului V contribuie i ele la cmpul din . Densitatea de sarcin superficial ( )rr este o mrime care se define

, adic:

Figura 1.6: Poziia punctului P n care calculm cmpul creat de sarcina distribuitcontinuu n volumul V

7777ia acestuia

i pentru a calcula cmpului P iar n loc

. Deci:

(1.10)

este elementul devine rr .

m cu Prr

(1.11)

n trei integrale proiecia

(1.12)

sunt coordonatele densitatea de

electric . Practic, se calculeaz cele

i ele la cmpul din definete

ia punctului P n care

m cmpul creat de sarcina distribuit

8888

( )AQ

r

=r

unde A este o arie mic de la suprafa cu o adncime mic

=V

dVQ

Din ecuaiile (1.13)

( )

=

Ar

1r

n care volumul de integrare mic, adic AhV = .

Dac n calcularea cmpului luatunci ecuaia (4.13) care calculeazcomplecteaz sub forma:

( ) =PrE04

1rrpi

unde VS este aria care limiteazn concluzie, cunoscnd densitatea de sarcin

spaial a acestora putem determina oarecare din spaiu efectundcele trei axe ale acestora.

De exemplu, putem afla intensitatea cmpului electric creat de o linie de sarcini sau de un plan de sarcini, etc. de aflat intensitatea cmpului electric prin intermediul potendespre care vom discuta n paragraful urm

1.2. Potenialul

Fiind dat un cmp sta

de semn contrar cu fora electric

Figura 1.7: Deplasarea unei sarcini pe drumul C

an colar 2014-2015

de pe suprafa iar Q este sarcina dintr-un volum cu o adncime mic. Adic:

dV

.13) i (1.14) obinem:

V

dV

n care volumul de integrare V are baza pe aria A i o adncime h destul de

n calcularea cmpului lum n consideraie i sarcina superficialia (4.13) care calculeaz cmpul ntr-un punct oarecare

( )( )( )

( )( )( )

+

VS P

P

V P

P dArr

rrrdVrr

rrr3

03

0 41

rr

rrr

rr

rrr

pi

este aria care limiteaz volumul V , iar dA este un element de arie pe cunoscnd densitatea de sarcin a sistemului i distribu

a acestora putem determina intensitatea cmpului electric ntr-un punct iu efectund integralele vectoriale (1.16) sau proieciile scalare pe

De exemplu, putem afla intensitatea cmpului electric creat de o linie de sarcini sau de un plan de sarcini, etc. ns, n anumite situaii practice este mai ude aflat intensitatea cmpului electric prin intermediul potenialului electric scalar

care vom discuta n paragraful urmtor.

ialul electric scalar

Fiind dat un cmp staionar caracterizat de intensitatea sa Er

, ne punem ntrebarea: care este valoarea lucrului mecanic necesar pentru a transporta o sarcin unitate dintrun punct a , n altul, b pe un drum (curb) C din regiunea n care se afl cmpul E

r? (vezi figura

Pentru a deplasa sarcina q drum elementar sdr de pe curba aplicm o for extern exF

r egal

a electric Eqr

. Deci, lucrul mecanic elementar este:

Deplasarea unei sarcini pe drumul

2015 (1.13)

un volum V

(1.14)

(1.15)

destul de

i sarcina superficial P se

(1.16)

este un element de arie pe VS . i distribuia

un punct iile scalare pe

De exemplu, putem afla intensitatea cmpului electric creat de o linie de ii practice este mai uor

ialului electric scalar

, ne punem care este valoarea

lucrului mecanic necesar pentru a unitate dintr-

pe un drum din regiunea n care se

(vezi figura 1.7). pe un

de pe curba C egal i

Curs FIZIC II FAIMA sdFdL ex

rr==

Pentru a deplasa sarcina mecanic:

=C

u sdELrr

Adic avem o integral curbilinie pe curba cmpului i elementul diferenia valoarea cmpului E

r.

se arat c valoarea acesteiadrumul de la a la b este altAceast integral este aceean cazul cnd cantitatea de sub integral

n cazul nostru, al cmpului electric stade tipul (1.18) nu depinde de drum adicunesc punctele a i b . Valoarea sa depinde numai de pozii b final.

n continuare ne propunem snceput considerm cazul particular n care cmpul este creat de sarcina punctiformq i drumul ab este format dintrde cerc 'aa i o linie radialfigura 4.8. n acest caz vom avea:

==aabaa

u dEsdEL''

rrr

Dar pe 'aa sdr este perpendicular pe deci produsul scalar sdE r

r

este zero. Pe ba' vectorul cu sdr i EdssdE =r

r. n plus, cmpul creat

de sarcina punctiform q

este 204 r

qEpi

= . Prin urmare, ecua

bauL

'4

0pi

=

Notm

(aar

q V4 0

=

pi

unde ( )aV i ( )bV sunt valorile func

( ) qr04

Vpi

=

II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda sdEq r

r

Pentru a deplasa sarcina 1=q unitate pe drumul C efectum un lucru

curbilinie pe curba C din produsul scalar dintre intensitatea i elementul diferenial de deplasare sdr ales pe curba C n locul unde se

n cazul general al unei integrale curbilinii, n matematicacesteia depinde de drumul C pe care se calculeaz. Daceste alt curb 'C atunci integrala depinde de forma curbei

este aceeai pentru toate drumurile ',CC etc. de la a la b numai n cazul cnd cantitatea de sub integral este o diferenial total exact.

n cazul nostru, al cmpului electric staionar, de tip coulombian, integrala depinde de drum adic este aceeai pentru toate drumurile care

. Valoarea sa depinde numai de poziia punctelor: a

n continuare ne propunem s demonstrm afirmaia de mai sus. Pentru m cazul particular n care

cmpul este creat de sarcina punctiform este format dintr-un arc

i o linie radial ba' ca n n acest caz vom avea:

ba

sdEsd'

rrr (1.19)

este perpendicular pe Er

i pe drumul 'aa

vectorul Er

este paralel n plus, cmpul creat

q la distana r

. Prin urmare, ecuaia (1.19) se scrie:

ab

r

rr

qr

qr

drqdrr

q b

a00

20

20 444 pi

pi=

pi=

pi

)a i ( )bbr

q V4 0

=

pi

sunt valorile funciei scalare.

r

Figura 1.8: Drumul aab pentru calcularea lucrului mecanic Lu dat de ecuaia (1.19)

9999(1.17)

m un lucru

(1.18)

din produsul scalar dintre intensitatea n locul unde se

matematic . Dac

atunci integrala depinde de forma curbei 'C . numai

ionar, de tip coulombian, integrala i pentru toate drumurile care

iniial

ia de mai sus. Pentru

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Drumul aab pentru

dat de

10101010 unde r este distana de la sarcina scalar ( )rV .

ATENIE! Nu confundm poten

n final, putem spune c am demonstrat rela

baa

sdE V'

= rr

adic acest integral nu depinde de drum, dar depinde de diferendintre capetele sale. Aceast

fiecare treapt avem:

=

=

=

++ bab

bab

baa

sdE

sdE

sdE

iii

V

V

11

221

11

rr

rr

rr

Adunm ecuaiile (C pentru a obine n final:

sdEC

V= rr

Deci, am demonstrat c aceastsarcina care creaz cmpul electric, este punctiformdiscret, sau continu de sarcinsuprapunerii, att pentru cmp, ct cmpurilor se adun vectorial, ipozitive sau negative). Pe baza acestui principiu rezult

Figura 1.9: Curba de integrare ab aproximat cu o curb n trepte de tipul celei din figura 1.8.

an colar 2014-2015a de la sarcina q la punctul n care se consider poten

m potenialul ( )rV cu volumul V . am demonstrat relaia:

( ) ( )ab VV

nu depinde de drum, dar depinde de diferena de potendintre capetele sale. Aceast concluzie am tras-o n cazul particular reprezentat n

figura 1.8. S considerm acum un caz

mai general n care curba Cunete punctele a i b este de o form oarecare reprezentat figura 1.9. Aceast curb poate fi aproximat cu curba n trepte reprezentat punctat n figura Aceste trepte, formate din curbe mici de tipul curbei baa' din figura pot fi destul de mici nct saproximeze bine curba C . Dac scriem ecuaia (1.23) pentru

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

+ ii bb

bb

ab

VV

VV

VV

1

12

1

(1.24) i aproximm curba treapt bbabaa .....2211 cu curba

( ) ( )ab V aceast egalitate este valabil pentru orice curb C

cmpul electric, este punctiform. Dac avem o configurade sarcin care creaz cmpul apelm la principiul

suprapunerii, att pentru cmp, ct i pentru potenial. Confrom acesteia, intensitvectorial, iar potenialele se adun algebric (fiind scalare

pozitive sau negative). Pe baza acestui principiu rezult c orice cmp electric

Curba de integrare ab

n trepte de tipul

2015 potenialul

(1.23)

a de potenial o n cazul particular reprezentat n

m acum un caz

C care este de o

ca n poate fi

cu curba n trepte punctat n figura 1.9.

Aceste trepte, formate din curbe mici din figura 1.8,

pot fi destul de mici nct s

.23) pentru

(1.24)

cu curba

(1.25)

dac avem o configuraie

m la principiul ial. Confrom acesteia, intensitile

algebric (fiind scalare orice cmp electric

Curs FIZIC II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda 11111111 staionar satisface o relaie de tipul (1.25). Aceasta este o relaie global (sau integral) dintre intensitatea cmpului electric ( )rE rr i potenialul scalar ( )rrV .

Din ecuaia (1.25) nelegem i semnificaia fizic a potenialului scalar ( )rrV . Astfel daca punctul iniial a este la atunci ( ) 0V =a (conform ecuaiei

1.21) i punctul final b este n poziia r fa de sarcina q , aflat n origine, atunci avem:

( )rsdELr

u V==

rr (1.26)

Adic potenialul scalar al unui punct este numeric egal cu lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea sarcinii unitate de la n punctul considerat. Unitatea de msur pentru potenial este voltul: [V]=1J/C=1V

Menionm c relaia (1.22) este valabil numai pentru potenialul scalar creat de sarcin punctiform q situat n originea axelor i situat la distana r fa de punctul n care se calculeaz ( )rV . Potenialul ntr-un punct P de vector de poziie Pr datorat unei distribuii discrete de sarcini punctiforme, qi, este suma:

( )

=

i iP

iP

rr

qr rr

041Vpi

(1.27)

unde irr

sunt vectorii de poziie ai sarcinilor iq i Prr

este vectorul de poziie al punctului P (vezi figura 1.4).

Pentru a afla potenialul datorat unei distribuii continue de sarcin, cu densitatea volumic ( )rr i cu densitatea superficial ( )rr procedm ca n cazul intensittii cmpului electric, n sensul c suma din ecuaia (1.27) o transformm n integral. Adic, obinem o relaie de tipul:

( ) ( ) ( )

+

=

VS PV PP

rr

dArrr

dVrr rr

r

rr

rr

pi

pi 00 4

14

1V (1.28)

care este asemntoare cu ecuaia (1.16), ns aici avem integrale din mrimi scalare n loc de mrimi vectoriale. n loc de trei integrale scalare echivalente cu ecuaia (1.16) n ecuaia (1.28) avem o singur integral scalar care are numitorul mai simplu dect cel din ecuaia (1.16).

Diferena de potenial ntre punctele a i b poate fi interpretat ca potenialul punctului a fa de punctul b i este cunoscut sub numele de tensiunea electric dintre punctele a i b. Unitatea de msur pentru tensiunea electric este de asemenea voltul. Diferena de potenial (sau tensiunea electric) se msoar cu voltmetrul.

n finalul acestui paragraf menionm c relaia global (1.25) dintre Er

i V, n cazul particular al unei curbe C nchise (pentru care ba i ( ) ( )ba VV = ), se scrie sub forma:

an colar 2014-2015 12121212

0=C

sdE rr

(1.29)

Semnul pe integral arat c este vorba de o integral pe o curb nchis C . Fizic, relaia (1.29) se citete i astfel: circulaia intensitii cmpului electric pe o curb nchis C este nul.

Aceasta este o proprietate important a cmpului electric staionar. Vom vedea ulterior c dac cmpul nu e staionar (adic variaz n timp) circulaia sa pe o curb nchis nu mai este nul.

Relaia (1.25) cu forma sa particular (1.29) constituie o lege global sau integrat a cmpului electric staionar. n paragraful urmtor vom deduce forma local (diferenial) echivalent cu aceast lege global.

1.3. Relaia dintre potenialul scalar i intensitatea cmpului electric staionar

Relaia integral (1.25) o scriem de asemenea sub forma echivalent:

( ) ( ) ( )zyxzzyyxxdzEdyEdxEC

zyx ,,V,,V +++=++ (1.30)

unde punctele de coordonate ( )zzyyxx +++ ,, i ( )zyx ,, sunt puncte vecine cnd ( )zyx ,, sunt mici.

Dac dezvoltm n serie de puteri funcia V obinem:

( ) ( ) Rz

z

yy

x

xzyxzzyyxx +

+

+

+=+++ V!1

V!1

V!1

,,V,,V (1.31)

unde restul R este mic deoarece conine puterile de ordinul superior ale mrimilor zyx ,, .

Neglijm R n (1.31) i introducem (1.31) n partea dreapt a ecuaiei (1.30). Prin identificarea cantitilor de sub integral obinem:

zE

yE

xE zyx

=

=

=

V,

V,

V (1.32)

Vectorul care are componentele zyx

V

,

V,

V este numit gradientul

potenialului V i se scrie, pe scurt sub forma:

kz

jy

ix

gradrrr

+

+

= VVVVV (1.33)

Curs FIZIC II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda 13131313 unde ji rr, i kr sunt vectorii axelor Ox, Oy i Oz iar k

zj

yi

x

rrr

+

+

= VVV este

un operator vectorial i este numit operatorul diferenial gradient sau operatorul (nabla). El opereaz n (1.33) asupra funciei scalare V . Cum

kEjEiEE zyxrrrr

++= , pe baza relaiilor (1.32) i (1.33) obinem:

VVVVV

+

+

= gradkz

jy

ix

Errrr

(1.34)

Semnul arat o scriere echivalent a relaiei dintre V i Er

. Ecuaia gradVE =

r (1.34)

este forma local (sau diferenial) a legturii dintre potenialul scalar V al unui punct i intensitatea cmpului electric E

r din acel punct. Notm c orice cmp care

se bucur de proprietatea c intensitatea sa deriv dintr-un potenial este un cmp conservator (vezi Anexa I). Aceast lege local (diferenial) a cmpului electric staionar are forma global (integral) exprimat prin ecuaia (1.29) care exprim c sdE

rr nu depinde de drum. Cu alte cuvinte, lucrul mecanic efectuat de fora

electric nu depinde de drum. Forma diferenial echivalent cu ecuaia (1.29) se mai scrie i cu ajutorul

altui operator diferenial. Acest operator este definit prin relaia:

zyx EEEzyx

kjiErot

=

rrr

r (1.35)

i poart numele de rotorul vectorului Er

.

Rotorul unui vector se mai scrie i sub formele:

EErotrr

(1.35)

Dac n expresia (1.35) rotorul lui Er

introducem expresiile (1.32) ale componentelor lui E

r obinem:

0=Erotr

(1.36) Spunem c avem un cmp electric irotaional. Aceast proprietate este

echivalent cu relaia (1.34) i deci ea este o exprimare local (diferenial) a proprietii de baz a cmpului electric staionar. Deci, ea poate fi considerat ca o lege de baz a cmpului electric staionar (electrostatic).

1.4. Fluxul cmpului electric i legea lui Gauss

Legea lui Gauss, ca toate legile cmpurilor vectoriale, se exprim att sub form global (integral) ct i sub form local (diferenial). Forma global este dedus din ipoteza de baz prin care se postuleaz forma coulombian a forei

14141414 electrice. Forma local se deduce din cea integraldin matematic care leag integrala de volum de cea de suprafaDin aceast cauz legea lui Gauss este adesea denumit

Pentru a scrie forma matematicflux al cmpului electric printr

Fluxul intensitii cmpului electric printrdat de relaia

AdEdrr

= unde E

r este luat n punctul unde se ia suprafa

mrimea dA i este orientat dupconsiderate, sau ctre partea convexsuprafa finit S se define

dS

S ==

Dac suprafaa S este nchis

unghiul, , dintre Er

i d18090 < 0cos

Curs FIZIC II FAIMAunghi se vede i aria 'Ad

r din partea opus

solid elementar este dat de rela

unde r este distana de la pozidintre direcia radial (sau direc

Adr

. Produsul cosdA este proiecunghi solid se msoar, n SI, n centrul unei sfere sub care se vede pe sfersfer aria este normal la razeste 24 rpi rezult c o sferO suprafa nchis se vede dintrsterradiani.

Folosind noiunea de unghi solidnchis S din figura 4.10 n care se afleste:

04pi==

qAdESS

S

rr

n acest ir de egalitn vedere expresia produsului scalar punctiform q .

A treia egalitate este obegalitate rezult din faptul cpunctul intern este pi4 .

Dac n interiorul suprafedistribuite discret sau continuu(1.41) se va scrie:

0

int

= S

QAdE

S

rr

unde S

Qint este suma (sau integrala n distribuinteriorul lui S . Ecuaia (exprim faptul c fluxul intensitnchis este egal cu sarcina totalinteriorul acelei suprafee raportat

Dac avem sarcini n exteriorul lui S , ca n figura 1.12, atunci liniile de cmp care intr n aceast suprafacel al liniilor care ies din ea. Cu alte cuvinte, fluxul prin suprafaa de intrare este egal

II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda

Figura 1.12: Liniile de cmp prin suprafaa nchis n cazul cnd cmpul este creat de sarcina punctiform q situat n exterior

din partea opus a liniilor de cmp. Prin definiie unghiul solid elementar este dat de relaia:

2cos

r

dAd =

a de la poziia lui q la elementul de arie dA iar este unghiul (sau direcia lui

Er

) de la poziia lui q i direcia vectorului este proiecia ariei pe direcia normal la cea radial. Orice

, n SI, n sterradiani. Un sterradian este unghiul solid de la centrul unei sfere sub care se vede pe sfer o suprafa egal cu 2r (raza sferei). Pe

la raz i cos=1. Deoarece suprafaa unei sfere de razo sfer se vede din centrul su sub un unghi de pi4 sterradieni.

se vede dintr-un punct din interiorul su tot sub un unghi de

iunea de unghi solid, s considerm fluxul lui Er

prin suprafadin figura 4.10 n care se afl o singur sarcin punctiform q . Acest flux

0002

0 44cos

=

pi=

pi=

qdqdqdAr SS

ir de egaliti, cea de a doua egalitate de la stnga este scris n vedere expresia produsului scalar i expresia mrimii lui E

r dat de sarcina

A treia egalitate este obinut pe baza definiiei (1.40) i n final ultima din faptul c unghiul solid sub care se vede suprafaa nchis

n interiorul suprafeei nchise S am avea mai multe sarcini, distribuite discret sau continuu, am face apel la principiul superpoziiei i rela

S

este suma (sau integrala n distribuia continu) tuturor sarcinilor din ia (1.42) reprezint forma integral a legii lui Gauss.

fluxul intensitii cmpului electric staionar printr-o suprafacu sarcina total din

e raportat la 0 . avem sarcini n exteriorul lui

.12, atunci liniile de cmp suprafa este egal cu

cel al liniilor care ies din ea. Cu alte cuvinte, a de intrare este egal i

15151515

Liniile de cmp prin

n cazul cnd creat de sarcina

ie unghiul

(1.40) este unghiul

ia vectorului . Orice

. Un sterradian este unghiul solid de la (raza sferei). Pe

a unei sfere de raz r sterradieni.

u tot sub un unghi de pi4

prin suprafaa . Acest flux

(1.41)

avnd dat de sarcina

i n final ultima S din

am avea mai multe sarcini, i relaia

(1.42)

) tuturor sarcinilor din a legii lui Gauss. Ea

o suprafa

an colar 2014-2015 16161616 de semn contrar cu fluxul de pe suprafaa de ieire: adic fluxul total pe S este nul. Deci, n cazul general cnd avem sarcini n interiorul i n exteriorul unei suprafee nchise date, contribuia la flux prin aceast suprafa nchis o au numai sarcinile din interior.

Acest rezultat exprimat prin legea lui Gauss este n acord cu afirmaia c limitele cmpului electric sunt linii deschise, pornind de la sarcini pozitive i ajungnd la sarcinile negative. Cu alte cuvinte, sursa de cmp electric este sarcina electric.

Aceast ultim afirmaie este valabil i pentru cmpuri electrice nestaionare i deci putem spune c legea lui Gauss este mai general dect legea lui Coulomb, care este valabil numai pentru sarcini staionare.

Acest lucru ne sugereaz c putem postula ca adevrat legea lui Gauss i s deducem din ea legea lui Coulomb i alte caracteristici ale cmpului electric care ne scap n abordarea de mai sus.

Pentru a deduce forma local (sau diferenial) a legii lui Gauss vom face urmtoarele observaii:

1) Sarcina din interiorul unei suprafee nchise se poate scrie sub forma: =

V

dVQint (1.43)

unde este densitatea de sarcin din volumul V nchis de suprafaa VS .Dac sarcina din interior este discret integrala devine o sum.

2) Teorema lui Gauss din matematic se scrie sub forma:

( )

+

+

=++V

zyx

Szzyyxx dxdydz

z

Ey

Ex

EdAEdAEdAEV

(1.44)

unde yx dAdA , i zdA sunt proieciile vectorului arie Adr

pe axa Ox (adic dydz), axa Oy i respectiv pe axa Oz.

3) Expresia z

Ey

Ex

E zyx

+

+

reprezint rezultatul operatorului diferenial

divergen asupra vectorului Er

Adic

z

Ey

Ex

EEdiv zyx

+

+

=

r (1.45)

Scriind operatorul nabla kz

jy

ix

rrr

+

+

= rezult c EEdivrr

= deci

divergena este un scalar produsul scalar dintre vectorii i Er

.

Acum din (1.42) i (1.43) obinem: =

VS

dVAdEV

0

1rr (1.46)

dar din (1.44) i (1.45) rezult: =

VS

dVEdivAdEV

rrr (1.47)

Curs FIZIC II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda 17171717 n final din (1.46) i (1.47) avem:

0

=Ediv

r (1.48)

Aceasta este forma local (diferenial) a legii lui Gauss. Ea arat c sursa de cmp electric o constituie cantitatea de sarcin. Aceasta mpreun cu forma integral (1.42) reprezint o lege fundamental a cmpului electric staionar n vid. O alt lege este cea exprimat prin relaiile (1.29) i (1.36). n cursul urmtor vom discuta aceste legi n diverse cazuri particulare.

an colar 2014-2015 18181818 ANEXA I: Fore i cmpuri conservative

O importan deosebit se acord n fizic forelor conservative (sau poteniale). n acest caz fora nu depinde explicit de timp, ci implicit prin intermediul vectorului de poziie rr (sau coordonatelor yx, i z ) al punctului material. Adic ( ) ( )zyxFrFF ,,rrrr == . Cum n fiecare punct ( )zyx ,, avem o for spunem c punctul material se mic ntr-un cmp de fore staionar. O for conservativ care formeaz un cmp de fore staionar poate fi aflat cu ajutorul energiei poteniale ( )zyxU ,, a cmpului prin relaiile:

z

UFyUF

x

UF zyx

=

=

= ,, (1)

sau

+

+

=++= kz

UjyUi

x

UkFjFiFF zyxrrrrrrr

. (2)

Expresia ( ) ( ) ( ) kz

zyxUjy

zyxUix

zyxU rrr

+

+

,,,,,, se numete gradientul

funciei scalare ( )zyxU ,, i se noteaz astfel Ugrad sau U , unde se citete nabla i este un operator care actioneaz asupra funciei U . Deci scriem

Ukz

UjyUi

x

UU

+

+

=

rrrgrad (3)

i observm c gradientul se aplic unei funcii scalare (cum ar fi energia potenial ( )zyxU ,,

sau concentraia unei soluii chimice, ( )zyxC ,, etc.) i reprezint un vector. Cu ajutorul gradientului, fora conservativ se scrie: ( )zyxUF ,,grad=r . (4) Lucrul mecanic elementar efectuat de o for conservativ se scrie:

Uzz

UyyU

xx

UrFL dddddd =

+

+

==rr

(5)

unde am folosit expresia lucrului mecanic elementar i relaiile (1) care exprim componentele forei conservative n funcie de energia potenial U . Ultima egalitate din (5) arat c expresia din parantez este difereniala energiei poteniale U .

Lucrul mecanic efectuat de o for conservativ la micarea punctului material pe o curb C de la punctul {1} la punctul {2}, n conformitate cu (5) este:

)2()1(dd UUUrFLCC

C === rr

(6)

adic, depinde numai de diferena dintre energiile poteniale n strile iniial )1(U i final )2(U i nu depinde de traiectoria C sau de viteza punctului material pe

Curs FIZIC II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda 19191919 traiectorie. Dac drumul este nchis starea final {2} devine identic cu cea iniial {1} i )2()1( UU = . Ca urmare din ecuaia (6) rezult:

0d =C

rF rr

. (7)

Adic, dac cmpul de fore este conservativ lucrul mecanic efectuat de forele cmpului asupra punctului material este zero pe un drum nchis (integrala curbilinie pe o curb nchis am notat-o

C

).

Cu privire la energia potenial ( )zyxU ,, a cmpului de fore conservativ este important s observm c dac la ea adugm o constant arbitrar ,C , ea ne d aceeai for:

( ) ( )[ ]CzyxUzyxUF +== ,,grad,,gradr (8) deoarece derivata unei constante este nul. Spunem c energia potenial este determinat pn la o constant arbitrar. Adic putem alege valoarea de zero a energiei poteniale ntr-un punct convenabil ales (de exemplu la ).

n afar de forele conservative exist i fore disipative pentru care lucrul mecanic pe un contur nchis este totdeauna negativ. Exemple: fora de frecare de alunecare sau fora de rezisten la micarea unui corp solid ntr-un fluid. Spre deosebire de forele conservative cele disipative depind i de viteza vr a punctului material, nu numai de poziia rr . Un caz aparte l reprezint fora giroscopic (sau de rotaie) care depinde de vitez i este orientat totdeauna perpendicular pe vitez. De exemplu fora Lorentz cu care acioneaz cmpul magnetic asupra unei particule cu sarcin aflat n micare: BqFL

rrr= v . Lucru mecanic efectuat de o astfel de

for este totdeauna nul indiferent de traiectoria punctului material.

an colar 2014-2015 20202020 PROBLEME:

Problema 1: Un atom de heliu dublu ionizat are o mas m=6,6810-27kg i o sarcin electric Q=2e=3,210-19C. Comparai fora de respingere electrostatic dintre 2 particule de acelai tip cu fora de atracie gravitaional dintre ele. Se d constanta gravitaional K=6,6710-11N(m/kg)2.

R: Fe/FG=3,11031>>1

Problema 2: Dou sarcini de 10-9C se afl in aer la distana de 8cm una fa de alta. S se determine mrimea, direcia i sensul forei ce acioneaz asupra unei a treia sarcini de 510-11C aflat la 8 cm distan fa de fiecare din cele 2 sarcini iniiale. Caracterizai intensitatea cmpului electric ntr-un punct situat la egal distan de cele 3 sarcini.

R: a) 1,2110-7N, direcia perpendicular pe dreapta format de cele 2 sarcini iniiale, deprtndu-se de ele

b) 1795,84V/m, direcia perpendicular pe dreapta format de cele 2 sarcini iniiale, spre ele

Problema 3: Dou sarcini punctiforme pozitive, de mrime q sunt aezate pe axa OY n punctele de coordonate y=+a i y=-a. O a treia sarcin pozitiv, de aceeai mrime se afl undeva pe axa OX.

a) ce for se exercit asupra celei de a treia sarcini cnd ea se afl n origine?

b) care sunt mrimea, direcia i sensul forei ce acioneaz asupra celei de a treia sarcini dac aceasta se gsete n punctul de coordonate (x,0)?

R: a) 0; b) =

unde =

;

Problema 4: Dou sarcini punctiforme de +1210-9C i -1210-9C sunt plasate la distana d=MN=10cm una fa de cealalt. S se calculeze potenialul n punctele A, B, C dac se tie c M,A,N,B sunt coliniare i NA=4cm, MA=6cm, MB=4cm, iar MC=NC=10cm.

R: VA=-900V, VB=1930V, Vc=0V

Problema 5: In vrfurile A,B,C ale unui ptrat ABCD cu latura a=0,4m se afl 3 corpuri punctiforme cu sarcinile Q1=-210-6C, Q2=8210-6C respectiv Q3=Q1. S se determine:

a) mrimea, direcia i sensul forei electrice ce acioneaz din partea sarcinilor Q1, Q3 asupra sarcinii Q2;

b)intensitatea cmpului electric creat de sarcinile Q1, Q2, Q3 n vrful D al ptratului;

c) potenialul electric n punctul D; d) lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unui corp punctiform cu sarcina

Qv=10-6C din punctul D n centrul O al ptratului R: a) 1,8N, direcia pe diagonala ptratului, de la

B la D

Curs FIZIC II FAIMA .l. dr. ing. Liliana Preda 21212121 b) 158625V/m, direcia pe diagonala ptratului,

sensul de la B la D c) 1269V; d) 6,09mJ