curs02 inginerie seismica

Click here to load reader

Post on 30-Jul-2015

212 views

Category:

Engineering

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 18 2. Dinamica structurilor: sisteme cu un grad de libertate dinamic 2.1. Ecuaii de micare, formularea problemei, metode de rezolvare Dinamica structurilor are ca obiectiv determinarea rspunsului (eforturilor i deplasrilor) structurilor supuse unor ncrcri dinamice. ncrcarea dinamic este o ncrcare a crei mrime, direcie, sens sau punct de aplicare variaz n timp. 2.1.1. Sisteme cu un singur grad de libertate dinamic Multe tipuri de structuri inginereti pot fi idealizate ca i structuri relativ simple, care faciliteaz determinarea rspunsului dinamic. Un exemplu este castelul de ap din Figura 2.1a. Aceast structur poate fi schematizat ca si o mas m fixat la captul superior al unei console fr mas, dar de rigiditate k (vezi Figura 2.1b). Obiectivul dinamicii structurilor este determinarea deplasrilor i eforturilor n acest pendul inversat atunci cnd asupra masei acioneaz o for dinamic lateral (orizontal), sau atunci cnd o micare seismic orizontal acioneaz la baza consolei. Sistemul structural din Figura 2.1b este un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (GLD). k m (a) (b) Figura 2.1. Un castel de ap (a), http://en.wikipedia.org/wiki/Water_tower i idealizarea acestuia sub forma unui pendul inversat (b). Numrul de grade de libertate dinamic (GLD) necesare ntr-o analiz dinamic a unei structuri este numrul de deplasri independente necesare pentru definirea poziiei deplasate a maselor fa de poziia lor iniial. Pe lng castelul de ap din Figura 2.1a, multe alte tipuri de structuri pot fi idealizate ca i structuri cu un singur grad de liberate dinamic (SGLD). Un exemplu este cadrul parter reprezentat n Figura 2.2, care poate fi idealizat ca i un sistem format dintr-o mas m concentrat la nivelul acoperiului, un cadru fr mas care ofer rigiditate sistemului i un amortizor care disipeaz energia de vibraie a sistemului. ntr-o structur real fiecare element structural (grinda i stlpii) contribuie la masa, rigiditatea i amortizarea structurii. n schema idealizat n schimb, fiecare dintre aceste proprieti este concentrat ntr-o component separat: componenta de mas, componenta de rigiditate i componenta de amortizare. Este de menionat faptul c numrul de grade de libertate dinamice este n general diferit de gradul de nedeterminare geometric (sau gradele de libertate) folosit(e) la determinarea eforturilor n structur prin metoda deplasrilor (o problem de static). Astfel, cadrul din Figura 2.2 are un singur grad de libertate dinamic (deplasarea lateral a masei concentrate la nivelul acoperiului), n schimb gradul de nedeterminare static este egal cu trei (dou rotiri de noduri i o deplasare lateral). 2. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 19 Figura 2.2. Un sistem cu un singur grad de libertate dinamic sub aciunea unei fore dinamice p(t) [a]; i a unei micri seismice la baz structurii [b]. Vor fi considerate dou tipuri de ncrcare dinamic: (1) o for dinamic p(t) dup direcia orizontal (vezi Figura 2.2a) i (2) o micare seismic orizontal ug(t) aplicat la baza structurii (vezi Figura 2.2b). n ambele cazuri u reprezint deplasarea lateral ntre mas i baza structurii. 2.1.2. Relaia for-deplasare S considerm structura din Figura 2.3a asupra creia acioneaz fora static fS pe direcia gradului de libertate u. Determinarea relaiei dintre fora fS i deplasarea u este o problem clasic de statica construciilor. Figura 2.3. Relaii for-deplasare (Chopra, 2001). n cazul unui sistem liniar elastic (vezi Figura 2.3d) materialul din care este compus structura are o comportare elastic, iar eforturile n structur se determin pe baza ipotezei deplasrilor mici, folosind un calcul de ordinul I. Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u este liniar: Sf k u= (2.1) unde k este rigiditatea lateral a sistemului, unitile acesteia fiind for/lungime. n cazul unor structuri reale, elementele structurale pot intra n curgere la deformaii mari, curba de descrcare i rencrcare diferind de curba de ncrcare iniial. Acest efect se datoreaz comportrii plastice a materialului, iar un sistemul corespunztor se numete inelastic (vezi Figura 2.3c). Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u nu mai este liniar i depinde de istoria i direcia de ncrcare: 3. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 20 ( ),S Sf f u u= (2.2) unde u reprezint viteza sistemului (vitez pozitiv semnific creterea deformaiilor, iar viteza negativ scderea deformaiilor). Rspunsul dinamic al sistemelor inelastice este important deoarece multe structuri au un comportament inelastic sub aciunea unor micri seismice puternice din cauza curgerii, fisurrii i a degradrii elementelor structurale. 2.1.3. Fora de amortizare ncercri pe sisteme simple cu un singur grad de libertate dinamic au artat c amplitudinea vibraiilor unui sistem care este lsat s vibreze liber scade cu timpul (vezi Figura 2.4). Acest fenomen se datoreaz amortizrii sistemului. n cazul unor structuri simple, amortizarea se datoreaz efectului termic al deformaiilor ciclice elastice a materialului i din cauza frecrii interioare a materialului. n cazul structurilor reale, exist multe alte mecanisme care contribuie la disiparea energiei. Printre acestea se numr frecarea n mbinrile metalice, deschiderea i nchiderea microfisurilor la elementele din beton armat, frecarea ntre elementele structurale i cele nestructurale (de exemplu pereii de compartimentare), etc. n mod practic, este imposibil descrierea matematic a tuturor acestor fenomene n cazul unor construcii reale. Ca urmare, amortizarea structurilor reale este reprezentat ntr-o manier mult simplificat, folosind o amortizare vscoas echivalent. Figura 2.4. nregistrarea vibraiilor libere ale unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (Chopra, 2001). Figura 2.5. Fora de amortizare (Chopra, 2001) n Figura 2.5 este reprezentat un amortizor vscos liniar supus unei fore fD de-a lungul gradului de libertate u. Efortul din amortizor este egal i de sens invers cu fora exterioar fD (vezi Figura 2.5b). Relaia dintre fora fD i viteza de deformare a amortizorului u este dat de relaia (vezi Figura 2.5c): Df c u= (2.3) unde constanta c este coeficientul de amortizare vscoas. Unitile acestuia sunt for x timp/lungime. 4. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 21 Coeficientul de amortizare vscoas pentru structuri reale poate fi determinat pe baza unor ncercri de vibraii libere sau forate ale unor construcii. Amortizarea vscoas echivalent este folosit pentru modelarea energiei disipate la deformaii ale structurii n domeniul elastic. n domeniul inelastic, datorit comportrii inelastice a elementelor structurale, se produce o disipare suplimentar de energie, care trebuie cuantificat n mod direct. 2.1.4. Ecuaia de micare n cazul unei fore externe n Figura 2.6 este reprezentat un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (SGLD) supus unei fore dinamice p(t) pe direcia gradului de libertate u. Att fora p(t), ct i deplasarea rezultat u(t) variaz cu timpul. Ecuaia diferenial care stabilete deplasarea u(t) poate fi determinat prin dou metode: Folosind legea a 2-a a lui Newton Principiul de echilibru dinamic a lui D'Alambert Legea a 2-a a lui Newton Forele care acioneaz asupra masei m la un moment dat sunt: fora perturbatoare p(t), efortul elastic (sau inelastic) fS i fora de amortizare fD (vezi Figura 2.6b). Fora extern p(t), precum i deplasarea u(t), viteza ( )u t i acceleraia ( )u t sunt pozitive n direcia axei x pozitive. Forele fS i fD sunt artate n figur acionnd n sens invers, deoarece acestea sunt eforturi interioare care se opun deformaiei, respectiv vitezei. Fora rezultant de-a lungul axei x este p - fS - fD, i folosind legea a 2-a a lui Newton obinem: S Dp f f mu = (2.4) de unde: S Dmu f f p+ + = (2.5) nlocuind n ecuaia (2.5) relaiile (2.1) i (2.3), aceast ecuaie devine: ( )mu cu ku p t+ + = (2.6) Aceasta este ecuaia de micare ce caracterizeaz deplasarea u(t) a sistemului idealizat din Figura 2.6a, presupus a fi liniar elastic, sub aciunea unei fore dinamice p(t). Figura 2.6. Determinarea ecuaiei de micare pe baza unui sistem SGLD (Chopra, 2001). Principiul lui D'Alambert Principiul lui D'Alambert se bazeaz pe noiunea de for de inerie, care este egal cu produsul dintre mas i acceleraie i acioneaz n sens invers acceleraiei. Acesta afirm c un sistem dinamic poate fi considerat ca i un sistem static echivalent asupra cruia acioneaz forele externe i fora de inerie. Conform principiului lui D'Alambert, un sistem dinamic care include forele (i momentele) de inerie este n echilibru la orice moment. n Figura 2.6c este prezentat sistemul de fore care acioneaz asupra masei m, aceasta fiind nlocuit cu fora de inerie, reprezentat cu linie ntrerupt pentru a o distinge de forele reale. Scriind echilibrul forelor se obine ecuaia (2.5), care a fost obinut anterior folosind legea a 2-a a lui Newton. 5. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 22 Componentele de rigiditate, amortizare i mas Ecuaia de micare a unui sistem dinamic poate fi formulat printr-o procedur alternativ. Sub aciunea forei exterioare p(t), starea sistemului este descris de deplasarea u(t), viteza ( )u t i acceleraia ( )u t , vezi Figura 2.7a. Acest sistem poate fi vizualizat ca i combinaia a trei componente pure: (1) componenta de rigiditate: cadrul fr mas i fr amortizare (vezi Figura 2.7b); (2) componenta de amortizare: cadrul amortizat, dar fr mas sau rigiditate (vezi Figura 2.7c); i (3) componenta de mas: masa concentrat la nivelul acoperiului, fr rigiditatea sau amortizarea cadrului (vezi Figura 2.7d). Relaia dintre fora extern fS i deplasarea u este dat de ecuaia (2.1) n cazul unui sistem liniar elastic, cea ntre fora de amortizare fD i viteza u de relaia (2.3), iar fora de inerie fI care acioneaz asupra componentei de mas este dat de relaia If mu= . Astfel, fora exterioar p(t) poate fi considerat distribuit la cele trei componente ale structurii, iar S D If f f+ + trebuie s egaleze fora exterioar p(t), ceea ce conduce la ecuaia de micare formulat de relaia (2.5). Figura 2.7. Sistemul (a), componenta de rigiditate (b), componenta de amortizare (c) i componenta de mas (d), Chopra, 2001. Sistemul cu un singur grad de libertate dinamic idealizat prin cadrul parter din Figura 2.6 este sugestiv n contextul ingineriei civile. n tratatele clasice de mecanic i fizic, comportarea sistemelor cu SGLD este n general analizat pe baza unui sistem format dintr-o mas, un arc i un amortizor (vezi Figura 2.8a). Folosind legea a 2-a a lui Newton (vezi Figura 2.8b) sau principiul lui D'Alambert (vezi Figura 2.8c) se obine aceiai ecuaie de micare (2.6) care a fost determinat anterior pentru cadrul parter. Figura 2.8. Reprezentarea clasic a unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic, Chopra, 2001. 2.1.5. Ecuaia de micare n cazul micrii seismice n contextul ingineriei seismice, problema principal a dinamicii structurilor este determinarea rspunsului structural sub efectul micrii seismice care acioneaz la baza structurii. Notnd deplasarea terenului cu ug, deplasarea total (sau absolut) a masei cu ut i deplasarea relativ ntre teren i mas prin u (vezi Figura 2.9), n orice moment se poate scrie urmtoarea relaie: ( ) ( ) ( )t gu t u t u t= + (2.7) Att ut ct i ug se refer la acelai sistem inerial de referin, iar direciile lor pozitive coincid. 6. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 23 Ecuaia de micare pentru sistemul SGLD din Figura 2.9a poate fi determinat prin oricare dintre metodele descrise n capitolul 2.1.4. n continuare se va folosi principiul de echilibrului dinamic al lui D'Alambert. Pe baza echilibrului forelor care acioneaz asupra sistemului (vezi Figura 2.9b), inclusiv a forei de inerie fI se poate scrie: 0I S Df f f+ + = (2.8) Doar deplasarea relativ u ntre mas i baza structurii produce eforturi i fore de amortizare n structur (micarea de corp rigid nu produce eforturi n structur). Astfel, pentru un sistem liniar elastic relaiile (2.1) i (2.3) sunt valabile. Fora de inerie fI este proporional cu acceleraia total t u a masei: t If mu= (2.9) nlocuind ecuaiile (2.1), (2.3) i (2.9) n ecuaia (2.8) obinem: 0t mu cu ku+ + = (2.10) de unde, folosind relaie (2.7) obinem: gmu cu ku mu+ + = (2.11) Comparnd ecuaiile (2.6) i (2.11) se poate observa c ecuaiile de micare pentru un sistem supus unei micri seismice la baz cu acceleraia ( )gu t este identic cu cea a unui sistem acionat de o for exterioar egal cu ( )gmu t . Astfel, micarea seismic la baza structurii poate fi nlocuit cu o for seismic efectiv (vezi Figura 2.10): ( ) ( )eff gp t mu t= (2.12) Figura 2.9. Un sistem SGLD suspus micrii seismice la baz (Chopra, 2001). Figura 2.10. Fora seismic echivalent (Chopra, 2001). Fora seismic efectiv este egal cu produsul dintre mas i acceleraie terenului, acionnd n sens invers acceleraiei. Este important de observat c fora seismic efectiv depinde de doi factori: masa structurii construciile cu masa mai mare fiind supuse unor fore echivalente mai mari acceleraia terenului construciile amplasate n zone seismice puternice fiind supuse unor fore efective mai mari 2.1.6. Formularea problemei i determinarea eforturilor Problema fundamental n dinamica structurilor este determinarea rspunsului unui sistem cu un grad de libertate dinamic (n cazul unui sistem liniar elastic definit de masa m, rigiditatea k i coeficientul de amortizare c) sub efectul unei aciuni dinamice, care poate fi o for dinamic 7. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 24 exterioar p(t) sau acceleraia terenului aplicat la baza structurii ( )gu t . Termenul de rspuns se refer ntr-un sens larg la orice cantitate care definete comportarea structurii, cum ar fi deplasarea, viteza, acceleraia masei, sau eforturi i tensiuni n elementele structurii. n cazul unei ncrcri seismice, att valorile totale (sau absolute), ct i cele relative ale deplasrii ( )u t , vitezei ( )u t i acceleraiei ( )u t pot fi necesare. Deplasarea relativ ( )u t asociat deformaiilor structurii sunt cele mai importante, deoarece eforturile n elementele structurii sunt n relaie direct aceasta. Prin rezolvarea ecuaiei de micare a sistemului cu un grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul parter din exemplele anterioare), se obine variaia n timp a deformatei structurii ( )u t . Pe baza acestor valori, se pot determina eforturile din elementele structurale (momentele de ncovoiere, eforturile axiale i cele tietoare) printr-o analiz static a structurii n orice moment de timp dat. Aceast analiz static a structurii poate fi vizualizat n dou moduri: Structura poate fi analizat sub efectul deplasrii laterale impuse ( )u t . Folosind metoda deplasrilor se pot determina rotirile de noduri, iar ulterior eforturile n elementele structurale. Cel de-al doilea mod const n folosirea unei fore statice echivalente, un concept central n determinarea rspunsului seismic al structurilor. La orice moment de timp dat t, aceasta este o for static exterioar fS care produce deplasarea u determinat din analiza dinamic. Astfel: ( ) ( )sf t ku t= (2.13) unde k este rigiditatea lateral a structurii. Eforturile din elementele structurale (momentele de ncovoiere, eforturile axiale i cele tietoare) pot fi determinate n orice moment de timp dat printr-o analiz static a structurii sub efectul forelor fS determinate conform ecuaiei (2.13). 2.1.7. Combinarea rspunsului static cu cel dinamic n aplicaiile practice este necesar determinarea eforturilor ntr-o structur rezultate din combinarea ncrcrilor statice (de obicei gravitaionale) existente n structur nainte de aplicarea aciunii dinamice, cu cele rezultate din aciunea dinamic. n cazul sistemelor liniar elastice este valabil principiul suprapunerii efectelor, de aceea rspunsul total poate fi determinat prin suprapunerea rezultatelor a dou analize separate: (1) analiza static a structurii sub efectul ncrcrilor permanente, utile, variaiei de temperatur, etc. i (2) rspunsul dinamic al structurii. n cazul sistemelor inelastice nu mai este valabil principiul suprapunerii efectelor. Rspunsul dinamic al unor astfel de sisteme trebuie s in cont de deformaiile i eforturile existente n structur nainte de aplicarea ncrcrii dinamice. 2.1.8. Metode de rezolvare a ecuaiei de micare Ecuaia de micare a uni sistem liniar elastic cu un singur grad de libertate dinamic este o ecuaie diferenial de ordinul doi, determinat anterior: ( )mu cu ku p t+ + = (2.14) Pentru a defini problema n mod complet trebuie specificate deplasarea iniial (0)u i viteza iniial (0)u . De obicei structura este n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, astfel nct cele dou valori sunt egale cu zero. n cele ce urmeaz sunt trecute n revist trei metode de rezolvare a ecuaiei de micare. Soluia clasic Soluia complet a unei ecuaii difereniale liniare de ordinul doi neomogene u(t) este compus din suma soluiei complementar uc(t) i a celei particulare up(t). Astfel, u(t) = uc(t) +up(t). Deoarece ecuaia diferenial este de ordinul doi, exist dou constante de integrare n soluia complementar, care pot fi determinate cunoscnd condiiile iniiale. Soluia clasic de rezolvare a ecuaiei de micare este deosebit de util n cazul vibraiilor libere i a celor forate la care fora dinamic este definit analitic. Exemplu: Ecuaia de micare n cazul unui sistem SGLD neamortizat (c=0), sub efectul unei fore de tip treapt p(t)=p0, t0 este: 8. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 25 0mu ku p+ = (a) Soluia particular a ecuaiei (a) este 0 ( )p p u t k = (b) iar soluia complementar este: ( ) cos sinc n nu t A t B t = + (c) unde A i B sunt constante de integrare i n k m = . Soluia complet este dat de suma ecuaiilor (b) i (c): 0 ( ) cos sinn n p u t A t B t k = + + (d) Dac sistemul este n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, pentru t=0 avem (0) 0u = i (0) 0u = . Pentru aceste condiii iniiale constantele A i B pot fi determinate a fi: 0 0 p A B k = = (e) nlocuind ecuaiile (e) n ecuaia (d) rezult soluia ecuaiei de micare analizate: 0 ( ) (1 cos )n p u t t k = Integrala Duhamel O alt modalitate de a determina soluia unei ecuaii difereniale liniare se bazeaz pe reprezentarea ncrcrii seismice sub forma unei secvene de impulsuri infinitezimale. Rspunsul unui sistem sub efectul forei aplicate p(t) la timpul t se obine ca nsumnd rspunsul tuturor impulsurilor pn n acel moment. Pentru cazul unui sistem SGLD neamortizat aflat n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, rezult urmtoarea relaie: 0 1 ( ) ( )sin[ ( )] t n n u t p t d m = (2.15) unde n k m = . Ecuaia (2.15) este cunoscut sub denumirea de integral Duhamel i reprezint o form special a integralei de convoluie. Ecuaia este valabil numai pentru condiii iniiale "de repaos". Integrala Duhamel reprezint o metod alternativ fa de metoda clasic de determinare a rspunsului dinamic dac fora p(t) este definit analitic i este suficient de simpl pentru evaluarea analitic a integralei. Pentru ncrcri dinamice definite numeric la valori de timp discrete, integrala Duhamel poate fi integrat numeric. Exemplu: S se determine rspunsul unui sistem SGLD neamortizat (c=0), sub efectul unei fore de tip treapt p(t)=p0, t0. Pentru aceast ncrcare dinamic, ecuaia (2.15) rezult: 0 0 0 0 0 cos ( )1 ( ) sin[ ( )] (1 cos ) tt n n n n n n p t p u t p t d t m m k = = = = = Acest rezultat este identic cu cel obinut prin metoda clasic. Metode numerice Metodele de rezolvare a ecuaiei de micare descrie anterior sunt aplicabile numai pentru sisteme liniar elastice i ncrcri dinamice definite analitic. Analiza rspunsului dinamic al sistemelor 9. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 26 inelastice i a celor la care ncrcarea dinamic este prea complicat pentru a fi definit analitic, poate fi efectuat prin metode numerice (calcul biografic). Esena unui calcul biografic const n discretizarea ncrcrii dinamice n pai mici de timp, i determinarea rspunsului dinamic n timp al sistemului SGLD prin considerarea unui rspuns liniar n cadrul unui pas de timp. 2.2. Vibraii libere Vibraiile libere ale unei structuri au loc atunci cnd structura este scoas din poziia de echilibru static i lsat s vibreze liber fr vre-o for dinamic perturbatoare. 2.2.1. Vibraii libere neamortizate Micarea unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul portal discutat anterior) sub aciunea unei fore dinamice p(t) este descris de ecuaia (2.6): ( )mu cu ku p t+ + = . n cazul vibraiilor libere neamortizate fora perturbatoare lipsete p(t)=0, la fel ca i amortizarea (c=0). Astfel, ecuaia de micare devine: 0mu ku+ = (2.16) Vibraiile libere apar ca urmare a scoaterii sistemului din echilibru static, prin aplicarea masei unei deplasri iniiale (0)u sau a unei viteze iniiale (0)u la timpul zero, definit ca i timpul n care este iniiat micarea: (0) (0)u u u u= = (2.17) Folosind metoda clasic de rezolvare, soluia ecuaiei difereniale omogene (2.16) folosind condiiile iniiale (2.17) este: (0) ( ) (0)cos sinn n n u u t u t t = + (2.18) unde s-a folosit notaia n k m = (2.19) Ecuaia (2.18) este reprezentat n Figura 2.11, din care se poate observa c sistemul efectueaz o micare oscilatorie fa de poziia de echilibru static i c valoarea deplasrii este aceiai la fiecare 2 n secunde. Acest tip de micare poart denumirea de micare armonic simpl. Poriunea a-b-c-d-e a curbei deplasare-timp descrie un ciclu complet de micare armonic a sistemului. Din poziia de echilibru static la punctul a, masa se deplaseaz la stnga, atingnd deplasarea pozitiv maxim uo n punctul b, moment n care viteza este egal cu zero i deplasarea ncepe s scad, atingnd poziia de echilibru static n punctul c, cnd viteza devine maxim, astfel nct masa continu s se deplaseze spre stnga, atingnd deplasarea minim uo n punctul d, moment n care viteza este din nou egal cu zero iar deplasarea ncepe s scad din nou, pn cnd masa ajunge n poziia de echilibru static e. Timpul n care un sistem cu un singur grad de libertate dinamic efectueaz un ciclu complet de oscilaii libere neamortizate se numete perioad proprie de vibraie, se noteaz cu Tn i se msoar n secunde. Relaia dintre aceasta i frecvena circular proprie (sau pulsaia proprie de vibraie), care se msoar n radiani pe secund este: 2 n n T = (2.20) Frecvena proprie de vibraie fn reprezint numrul de oscilaii complete pe care le efectueaz sistemul ntr-o secund, se msoar n Hz i este dat de urmtoarele relaii: 1 n n f T = (2.21) 10. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 27 2 n nf = (2.22) Proprietile de vibraie proprie n , nT i nf depind doar de masa i rigiditatea structurii, conform ecuaiilor (2.19) la (2.21). Odat cu cretere rigiditii unei structuri perioada proprie de vibraie va scdea, iar frecvena proprie de vibraie va crete. n mod similar, creterea masei unei structuri conduce la creterea perioadei proprii de vibraie i scderea frecvenei proprii de vibraie. Termenul de propriu folosit n definiiile n , nT i nf se refer la faptul c acestea sunt proprieti proprii ale sistemului,atunci cnd acesta este lsat s vibreze liber. Figura 2.11. Vibraii libere neamortizate ale unui sistem liniar elastic SGLD (Chopra, 2001). Frecvena circular proprie n , frecvena proprie de vibraie nf i perioada proprie de vibraie nT pot fi exprimate ntr-o form alternativ prin: 1 2 2 st n n n st st g g f T g = = = (2.23) unde st mg k = , iar g este acceleraia gravitaional. Valoarea st reprezint deformarea elastic a unui sistem SGLD atunci cnd asupra acestuia acioneaz o for static egal cu mg . Deplasarea sistemului SGLD variaz ntre valoarea maxim 0u i cea minim 0u . Magnitudinea 0u pe care o au aceste oscilaii se numete amplitudinea micrii oscilatorii i este dat de: ( ) ( ) 2 2 0 0 0 n u u u = + (2.24) Amplitudinea oscilaiilor depinde de deplasarea iniial ( )0u i viteza iniial ( )0u , precum i de proprietile structurii ( n ). 2.2.2. Vibraii libere amortizate Micarea unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul portal discutat anterior) sub aciunea unei fore dinamice p(t) este descris de ecuaia (2.6): ( )mu cu ku p t+ + = . n cazul vibraiilor libere neamortizate fora perturbatoare lipsete p(t)=0, astfel nct ecuaia de micare (2.6) ( )mu cu ku p t+ + = devine: 0mu cu ku+ + = (2.25) mprind ecuaia (2.25) cu m obinem: 11. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 28 2 2 0n nu u u + + = (2.26) unde n k m = , conform definiiei anterioare i 2 n cr c c m c = = (2.27) Ne vom referi la valoarea 2 2 2cr n n k c m km = = = (2.28) prin coeficientul de amortizare critic, iar este fraciunea din amortizare critic. Coeficientul de amortizare c este o msur a energie disipate de sistem ntr-un ciclu de oscilaii libere. Pe de alt parte, fraciunea de amortizare critic este o msur adimensional a amortizrii, proprie unui sistem i care depinde inclusiv de masa i rigiditatea sistemului. Tipuri de micare n Figura 2.12 sunt prezentate deformaiile u(t) ale unor sisteme SGLD supuse unei deplasri iniiale u(0) pentru trei valori ale . Dac c=ccr sau 1 = , sistemul revine la poziia de echilibru static fr a efectua vre-o oscilaie. Dac c>ccr sau 1 > , sistemul revine la poziia de echilibru static fr a efectua vre-o oscilaie, la fel ca n cazul 1 = , dar mai lent. Dac cccr). Sisteme cu amortizare subcritic Soluia ecuaiei (2.25) innd cont de condiiile iniiale (2.17) pentru sisteme cu c