curs02 inginerie seismica

Click here to load reader

Post on 30-Jul-2015

205 views

Category:

Engineering

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 18 2. Dinamica structurilor: sisteme cu un grad de libertate dinamic 2.1. Ecuaii de micare, formularea problemei, metode de rezolvare Dinamica structurilor are ca obiectiv determinarea rspunsului (eforturilor i deplasrilor) structurilor supuse unor ncrcri dinamice. ncrcarea dinamic este o ncrcare a crei mrime, direcie, sens sau punct de aplicare variaz n timp. 2.1.1. Sisteme cu un singur grad de libertate dinamic Multe tipuri de structuri inginereti pot fi idealizate ca i structuri relativ simple, care faciliteaz determinarea rspunsului dinamic. Un exemplu este castelul de ap din Figura 2.1a. Aceast structur poate fi schematizat ca si o mas m fixat la captul superior al unei console fr mas, dar de rigiditate k (vezi Figura 2.1b). Obiectivul dinamicii structurilor este determinarea deplasrilor i eforturilor n acest pendul inversat atunci cnd asupra masei acioneaz o for dinamic lateral (orizontal), sau atunci cnd o micare seismic orizontal acioneaz la baza consolei. Sistemul structural din Figura 2.1b este un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (GLD). k m (a) (b) Figura 2.1. Un castel de ap (a), http://en.wikipedia.org/wiki/Water_tower i idealizarea acestuia sub forma unui pendul inversat (b). Numrul de grade de libertate dinamic (GLD) necesare ntr-o analiz dinamic a unei structuri este numrul de deplasri independente necesare pentru definirea poziiei deplasate a maselor fa de poziia lor iniial. Pe lng castelul de ap din Figura 2.1a, multe alte tipuri de structuri pot fi idealizate ca i structuri cu un singur grad de liberate dinamic (SGLD). Un exemplu este cadrul parter reprezentat n Figura 2.2, care poate fi idealizat ca i un sistem format dintr-o mas m concentrat la nivelul acoperiului, un cadru fr mas care ofer rigiditate sistemului i un amortizor care disipeaz energia de vibraie a sistemului. ntr-o structur real fiecare element structural (grinda i stlpii) contribuie la masa, rigiditatea i amortizarea structurii. n schema idealizat n schimb, fiecare dintre aceste proprieti este concentrat ntr-o component separat: componenta de mas, componenta de rigiditate i componenta de amortizare. Este de menionat faptul c numrul de grade de libertate dinamice este n general diferit de gradul de nedeterminare geometric (sau gradele de libertate) folosit(e) la determinarea eforturilor n structur prin metoda deplasrilor (o problem de static). Astfel, cadrul din Figura 2.2 are un singur grad de libertate dinamic (deplasarea lateral a masei concentrate la nivelul acoperiului), n schimb gradul de nedeterminare static este egal cu trei (dou rotiri de noduri i o deplasare lateral). 2. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 19 Figura 2.2. Un sistem cu un singur grad de libertate dinamic sub aciunea unei fore dinamice p(t) [a]; i a unei micri seismice la baz structurii [b]. Vor fi considerate dou tipuri de ncrcare dinamic: (1) o for dinamic p(t) dup direcia orizontal (vezi Figura 2.2a) i (2) o micare seismic orizontal ug(t) aplicat la baza structurii (vezi Figura 2.2b). n ambele cazuri u reprezint deplasarea lateral ntre mas i baza structurii. 2.1.2. Relaia for-deplasare S considerm structura din Figura 2.3a asupra creia acioneaz fora static fS pe direcia gradului de libertate u. Determinarea relaiei dintre fora fS i deplasarea u este o problem clasic de statica construciilor. Figura 2.3. Relaii for-deplasare (Chopra, 2001). n cazul unui sistem liniar elastic (vezi Figura 2.3d) materialul din care este compus structura are o comportare elastic, iar eforturile n structur se determin pe baza ipotezei deplasrilor mici, folosind un calcul de ordinul I. Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u este liniar: Sf k u= (2.1) unde k este rigiditatea lateral a sistemului, unitile acesteia fiind for/lungime. n cazul unor structuri reale, elementele structurale pot intra n curgere la deformaii mari, curba de descrcare i rencrcare diferind de curba de ncrcare iniial. Acest efect se datoreaz comportrii plastice a materialului, iar un sistemul corespunztor se numete inelastic (vezi Figura 2.3c). Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u nu mai este liniar i depinde de istoria i direcia de ncrcare: 3. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 20 ( ),S Sf f u u= (2.2) unde u reprezint viteza sistemului (vitez pozitiv semnific creterea deformaiilor, iar viteza negativ scderea deformaiilor). Rspunsul dinamic al sistemelor inelastice este important deoarece multe structuri au un comportament inelastic sub aciunea unor micri seismice puternice din cauza curgerii, fisurrii i a degradrii elementelor structurale. 2.1.3. Fora de amortizare ncercri pe sisteme simple cu un singur grad de libertate dinamic au artat c amplitudinea vibraiilor unui sistem care este lsat s vibreze liber scade cu timpul (vezi Figura 2.4). Acest fenomen se datoreaz amortizrii sistemului. n cazul unor structuri simple, amortizarea se datoreaz efectului termic al deformaiilor ciclice elastice a materialului i din cauza frecrii interioare a materialului. n cazul structurilor reale, exist multe alte mecanisme care contribuie la disiparea energiei. Printre acestea se numr frecarea n mbinrile metalice, deschiderea i nchiderea microfisurilor la elementele din beton armat, frecarea ntre elementele structurale i cele nestructurale (de exemplu pereii de compartimentare), etc. n mod practic, este imposibil descrierea matematic a tuturor acestor fenomene n cazul unor construcii reale. Ca urmare, amortizarea structurilor reale este reprezentat ntr-o manier mult simplificat, folosind o amortizare vscoas echivalent. Figura 2.4. nregistrarea vibraiilor libere ale unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (Chopra, 2001). Figura 2.5. Fora de amortizare (Chopra, 2001) n Figura 2.5 este reprezentat un amortizor vscos liniar supus unei fore fD de-a lungul gradului de libertate u. Efortul din amortizor este egal i de sens invers cu fora exterioar fD (vezi Figura 2.5b). Relaia dintre fora fD i viteza de deformare a amortizorului u este dat de relaia (vezi Figura 2.5c): Df c u= (2.3) unde constanta c este coeficientul de amortizare vscoas. Unitile acestuia sunt for x timp/lungime. 4. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 21 Coeficientul de amortizare vscoas pentru structuri reale poate fi determinat pe baza unor ncercri de vibraii libere sau forate ale unor construcii. Amortizarea vscoas echivalent este folosit pentru modelarea energiei disipate la deformaii ale structurii n domeniul elastic. n domeniul inelastic, datorit comportrii inelastice a elementelor structurale, se produce o disipare suplimentar de energie, care trebuie cuantificat n mod direct. 2.1.4. Ecuaia de micare n cazul unei fore externe n Figura 2.6 este reprezentat un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (SGLD) supus unei fore dinamice p(t) pe direcia gradului de libertate u. Att fora p(t), ct i deplasarea rezultat u(t) variaz cu timpul. Ecuaia diferenial care stabilete deplasarea u(t) poate fi determinat prin dou metode: Folosind legea a 2-a a lui Newton Principiul de echilibru dinamic a lui D'Alambert Legea a 2-a a lui Newton Forele care acioneaz asupra masei m la un moment dat sunt: fora perturbatoare p(t), efortul elastic (sau inelastic) fS i fora de amortizare fD (vezi Figura 2.6b). Fora extern p(t), precum i deplasarea u(t), viteza ( )u t i acceleraia ( )u t sunt pozitive n direcia axei x pozitive. Forele fS i fD sunt artate n figur acionnd n sens invers, deoarece acestea sunt eforturi interioare care se opun deformaiei, respectiv vitezei. Fora rezultant de-a lungul axei x este p - fS - fD, i folosind legea a 2-a a lui Newton obinem: S Dp f f mu = (2.4) de unde: S Dmu f f p+ + = (2.5) nlocuind n ecuaia (2.5) relaiile (2.1) i (2.3), aceast ecuaie devine: ( )mu cu ku p t+ + = (2.6) Aceasta este ecuaia de micare ce caracterizeaz deplasarea u(t) a sistemului idealizat din Figura 2.6a, presupus a fi liniar elastic, sub aciunea unei fore dinamice p(t). Figura 2.6. Determinarea ecuaiei de micare pe baza unui sistem SGLD (Chopra, 2001). Principiul lui D'Alambert Principiul lui D'Alambert se bazeaz pe noiunea de for de inerie, care este egal cu produsul dintre mas i acceleraie i acioneaz n sens invers acceleraiei. Acesta afirm c un sistem dinamic poate fi considerat ca i un sistem static echivalent asupra cruia acioneaz forele externe i fora de inerie. Conform principiului lui D'Alambert, un sistem dinamic care include forele (i momentele) de inerie este n echilibru la orice moment. n Figura 2.6c este prezentat sistemul de fore care acioneaz asupra masei m, aceasta fiind nlocuit cu fora de inerie, reprezentat cu linie ntrerupt pentru a o distinge de forele reale. Scriind echilibrul forelor se obine ecuaia (2.5), care a fost obinut anterior folosind legea a 2-a a lui Newton. 5. Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/ 22 Componentele de rigiditate, amortizare i mas Ecuaia de micare a unui sistem dinamic poate fi formulat printr-o procedur alternativ. Sub aciunea forei exterioare p(t), starea sistemului este descris de deplasarea u(t), viteza ( )u t i acceleraia ( )u t , vezi Figura 2.7a. Acest sistem poate fi vizualizat ca i combinaia a trei componente pure: (1) componenta de rigiditate: cadrul fr mas i fr amortizare (vezi Figura 2.7b); (2) componenta de amortizare: cadrul amortizat, dar fr mas sau rigiditate (vezi Figura 2.7c); i (3) componenta de mas: masa concentrat la nivelul acoperiului, fr rigiditatea sau amortizarea cadrului (vezi Figura 2.7d). Relaia dintre fora extern fS i deplasarea u este dat de ecuaia (2.1) n cazul unui sistem liniar elastic, cea ntre fora de amortizare fD i viteza u de