curs inginerie seismica - aurel stratan

1

1. Noiuni de seismologie inginereasc

1.1. Introducere n medie peste 10000 de persoane au decedat anual din cauza cutremurelor de pmnt n secolul 20 (Bolt, 2001, vezi Figura 1.1). Chiar dac structurile proiectate i construite conform standardelor moderne de proiectare antiseismic sunt n general mult mai sigure, eliminnd la maxim pierderile de viei omeneti, pierderile economice n urma cutremurelor de pmnt sunt n cretere la nivel mondial. Dou exemple notorii sunt cutremurul din 1994 de la Northridge (SUA), cu pierderi estimate la 40 miliarde dolari americani, i cel din 1995 de la Kobe (Japonia), soldat cu pierderi de aproximativ 100 miliarde dolari americani (Scawthorn, 2003).

Figura 1.1. Pierderi de viei omeneti datorate cutremurelor majore n secolul 20 (Bolt, 2001).

Ingineria seismic este un domeniu al ingineriei care are ca scop reducerea efectelor cutremurelor de pmnt asupra construciilor inginereti. Aceasta cuprinde diverse aspecte, printre care: (1) studierea acelor aspecte ale seismologiei i geologiei care sunt importante pentru problem, (2) analiza rspunsului dinamic al structurilor sub aciunea micrii seismice i (3) dezvoltarea i aplicarea unor metode de planificare, proiectare i execuie a construciilor rezistente la efectul cutremurelor de pmnt. Ingineria seismic se ntreptrunde cu geotiinele pe de o parte, i cu tiinele sociale, arhitectura i autoritile pe de alt parte.

Seismologia este o ramur a geotiinelor care studiaz vibraiile create de surse naturale precum cutremurele de pmnt i erupiile vulcanice, precum i sursele artificiale precum exploziile subterane. Seismologia inginereasc are ca obiectiv explicarea i prezicerea micrilor seismice puternice dintr-un amplasament i studiul caracteristicilor micrii seismice care sunt importante pentru rspunsul structurilor inginereti.

Pionerul cercetrilor moderne de seismologie a fost inginerul irlandez Robert Mallet, care a ntreprins studii de teren temeinice dup cutremurul Neapoletan din 1857 (Italia). Acesta a explicat "masele dislocate de piatr i mortar" folosind termeni i principii ale mecanicii, i a introdus n acest mod un vocabular de baz, ca de exemplu noiunile de seismologie, hipocentru, isoseismic.

Inginerii constructori sunt interesai de micrile seismice puternice, care pot produce distrugeri semnificative asupra construciilor. Cu toate acestea, primii 60 de ani ai secolului 20 au fost

2

marcai de cercetri seismologice ale undelor seismice de la cutremure ndeprtate folosind seismografe foarte sensibile. Aceste aparate nu erau potrivite pentru cutremure mai rare i mai puternice, relevante pentru practica inginereasc.

Ulterior, situaia s-a schimbat. Dup cutremurul San Fernando din 1971 au fost obinute sute de nregistrri seismice puternice pentru acest seism de magnitudine 6.5 din SUA. Cercetrile privind micrile seismice puternice au nceput s avanseze rapid odat cu instalarea n zonele seismice de pe glob a unor reele dezvoltate de accelerometre digitale i obinerea de nregistrri seismice n urma unor cutremure majore.

1.2. Activitatea seismic la nivel mondial Analiza nregistrrilor seismice de la diferite observatoare seismografice permite determinarea poziiei cutremurelor de pmnt. n acest mod, s-a obinut o imagine de ansamblu a distribuiei seismelor pe pmnt (vezi Figura 1.2). Centuri cu o activitate seismic ridicat delimiteaz zone continentale i oceanice ntinse. n centura circumpacific de exemplu au loc aproximativ 81% din cutremurele majore de pe pmnt. Alte 17% din cutremurele majore sunt localizate de-a lungul centurii Alpide (care se ntinde de la oceanul Atlantic pn la insulele Sumatra din oceanul Pacific i include munii Alpi, Carpaii, munii din Anatolia i Iran, Hindu Kush, Himalaia, i munii din Asia de sud-est). n interiorul zonelor continentale i oceanice cutremurele de pmnt sunt mult mai rare, dar nu lipsesc n totalitate. Alte concentrri de activiti seismice pot fi observate n zonele oceanice, cum ar fi cele din mijlocul oceanului Atlantic i ale oceanului Indian. Lanuri de muni submarini se afl n aceste zone, iar erupiile vulcanice sunt frecvente. Concentrri masive de cutremure de mare adncime, de pn a 680 km, pot fi observate n lanurile de insule din oceanul Pacific i Caraibele de est.

vulcane zone seismice

zone de subducie direcia de deplasare a plcilor

zone de rift oceanic zone de coliziune

Figura 1.2. Distribuia mondial a cutremurelor (Bolt, 2001).

Undele seismice generate de un cutremur de pmnt iau natere undeva sub suprafaa terenului, prin alunecarea brusc a marginilor unei falii, prin care se elibereaz energia de deformaie acumulat n masivul de roc. Cu toate c n cazul cutremurelor naturale sursa seismic este

3

distribuit ntr-un volum de roc, adeseori este convenabil considerarea simplificat a sursei seismice ca i un punct n care iau natere undele seismice. Acest punct poart denumirea de focar sau hipocentru. Proiecia hipocentrului pe suprafaa terenului se numete epicentru (vezi Figura 1.3). Cu toate c multe focare se afl la adncimi mici, n unele regiuni acestea se afl la sute de kilometri adncime. ntr-un mod relativ arbitrar, cutremurele de pmnt pot fi clasificate n funcie de adncimea hipocentrului n: Cutremure de suprafa, cu adncimea hipocentrului mai mic de 70 km. Cutremure intermediare, cu adncimea hipocentrului cuprins ntre 70 i 300 km Cutremure de adncime, cu adncimea hipocentrului mai mare de 300 km

Epicentru Hipocentru

Figura 1.3. Definiia hipocentrului i a epicentrului unui cutremur de pmnt, (USGS, n.d.)

Cutremurele de suprafa au consecinele cele mai devastatoare, acestea contribuind la aproximativ 75% din energia seismic total eliberat de cutremure la nivel mondial. Exemple de zone afectate de cutremure de suprafa sunt California (SUA), Turcia, Banat (Romnia), etc. S-a artat c majoritatea cutremurelor produse n partea central a Californiei au hipocentrul n primii 5 km de la suprafa i doar unele cutremure au focarele mai adnci, de maximum 15 kilometri.

Majoritatea cutremurelor medii i puternice de suprafa sunt urmate de post-ocuri, care se pot produce ntre cteva ore i cteva luni dup ocul principal. Cteodat, post-ocurile sunt suficient de puternice pentru a crea distrugeri construciilor slbite de cutremurul principal. Doar puine dintre cutremure sunt precedate de ante-ocuri provenind din zona hipocentral, sugerndu-se folosirea acestora pentru prezicerea ocurilor principale.

Regiunile afectate de cutremurele de pmnt cu focare intermediare i de adncime includ Romnia (sursa subcrustal Vrancea), marea Egee, Spania, Anzii din America de Sud, insulele Tonga, Samoa, Noile Hebride, marea Japoniei, Indonezia i insulele Caraibe.

1.3. Cauzele cutremurelor

1.3.1. Cutremure tectonice Majoritatea cutremurelor de pmnt pot fi explicate coerent de teoria plcilor tectonice. Conform acestei teorii, nveliul exterior al Pmntului (denumit litosfer, vezi Figura 1.4) este format din cteva masive imense de roc relativ stabile, denumite plci tectonice. Principalele plci tectonice sunt reprezentate n Figura 1.2 i Figura 1.5. Acestea au n medie o grosime de aproximativ 80 kilometri i sunt deplasate de micarea de convecie din manta, care la rndul su este creat de cldur generat n nucleu. Micarea relativ a plcilor tectonice este responsabil pentru o parte important a activitii seismice mondiale. Coliziunea dintre plcile litosferice, distrugerea marginilor plcilor tectonice n zonele de subducie (zone convergente) la alunecarea unei plci sub o alt plac, sau expansiunea n zona rifturilor oceanice (zone divergente) sunt toate mecanisme care produc tensiuni i fracturi semnificative n scoara terestr. Multe cutremure majore se datoreaz alunecrii de-a lungul faliilor transcurente. Cutremurele generate la marginile active ale plcilor tectonice poart denumirea de cutremure inter-plac. Cele mai puternice cutremure de suprafa din Chile, Peru, Caraibele de est, America Central, sudul Mexicului, California, Alaska de sud, insulele Aleute i Kurile, Japonia, Taiwan,

4

Filipinele, Indonezia, Noua Zeland, centura Alpi - Caucaz - Himalaia sunt de tipul cutremurelor intra-plac. Viteza medie de deplasare a plcilor tectonice este de 2-5 cm/an.

Scoar

Manta superioar

Manta

Nucleu exterior

Nucleu interior

scoar + manta superioar = litosfer

Figura 1.4. Structura intern a planetei pmnt (http://en.wikipedia.org/).

Figura 1.5. Principale plci tectonice, (USGS, n.d.)

5

zon convergent oceanic

zon transcurent

zon divergent oceanic

zon convergent zon divergent oceanic

Figura 1.6. Schi reprezentnd zonele convergente, divergente i transcurente ale plcilor tectonice (USGS, n.d.)

Pe lng cutremurele generate la marginile active ale plcilor tectonice, cteodat se produc cutremure devastatoare n interiorul plcilor tectonice. Acestea din urm poart denumirea de cutremure intra-plac. Astfel de cutremure de pmnt indic faptul c plcile litosferice nu sunt indeformabile i c n interiorul acestora se pot produce fracturi. Exemple ale unor astfel de cutremure sunt nord-estul Iranului, New Madrid (Missouri, SUA), Charleston (Carolina de Sud, SUA), nordul China.

1.3.2. Alte cauze ale cutremurelor Cu toate c activitatea tectonic este responsabil pentru marea majoritate a cutremurelor de pmnt, acestea pot fi generate i de tere cauze. Printre acestea se numr: Cutremurele de natur vulcanic. Cei mai muli vulcani sunt amplasai pe marginile active

ale plcilor tectonice. Exist i vulcani intra-plac, cum sunt de exemplu vulcanii din insulele Hawai. Cu toate acestea, majoritatea cutremurelor n zone vulcanice sunt de natur tectonic. Cutremurele de pmnt de natur vulcanic sunt relativ rare i de putere mic, i pot fi produse de exploziile vulcanice, de micarea magmei, sau de prbuirea magmei solidificate de pe coul vulcanului pe vatra acestuia.

Explozii. Cutremurele de pmnt pot fi produse de detonri subterane a unor dispozitive chimice sau nucleare. Exploziile nucleare subterane care au avut loc n trecut au fost cauza unor cutremure de pmnt cu magnitudini ajungnd la 6.

Cutremure de prbuire. Aceast categorie de cutremure de pmnt are intensiti mici i se datoreaz prbuirii tavanului unor mine i caverne. O alt modalitate de producere a acestor cutremure este prin desprindere exploziv a unor mase mari de roc de pe pereii minelor din cauza tensiunilor acumulate. Astfel de cutremure au fost observate in Canada i Africa de Sud. Alunecrile de teren masive pot cauza i ele cutremure minore.

Cutremure induse de rezervoare de ap masive. Au fost observate creteri ale activitii seismice n zone n care au fost construite baraje mari de ap. Calculele au demonstrat c tensiunile generate de ncrcarea din ap este prea mare pentru a conduce la fractura rocii de baz. Cea mai plauzibil explicaie const n faptul c roca din vecintatea barajelor de ap se

6

afl deja ntr-o stare de tensiune, gata s alunece. Umplerea rezervorului cu ap fie duce la creterea strii de tensiune i genereaz alunecarea, fie presiunea apei din fisuri micoreaz rezistena faliei, fie au loc ambele fenomene.

Impactul cu corpuri extraterestre. Cderea unor meteorii pot genera cutremure locale.

1.4. Tipurile de falii Observaiile n teren indic faptul c exist schimbri brute n structura rocilor. Aceste schimbri au loc la contactul (de-a lungul fisurii) dintre dou blocuri tectonice diferite i poart denumirea de falii. Acestea pot avea lungimi cuprinse ntre civa metri i sute de kilometri. Prezena faliilor indic faptul c la un moment dat n trecut au avut loc deplasri relative de-a lungul acestora. Aceste deplasri pot fi fie lunecri lente, care nu produc micri seismice, fie ruperi brute, care produc cutremure de pmnt. n majoritatea cutremurelor faliile nu ajung pn la suprafaa terenului i n consecin nu sunt vizibile. Un exemplu de falie cu efecte la suprafaa terenului este reprezentat n Figura 1.7.

Figura 1.7. Efectul unei falii transcurente la suprafaa terenului (USGS, n.d.)

falie invers falie normal falie transcurent falie oblic

Figura 1.8. Tipuri principale de falii (Oros, 2002)

Faliile sunt clasificate funcie de geometria acestora i de direcia de alunecare relativ. Principalele tipuri de falii sunt reprezentate n Figura 1.8. Panta unei falii este unghiul pe care l creeaz suprafaa faliei cu orizontala, iar direcia unei falii este direcia proieciei faliei pe suprafaa terenului fa de nord. O falie transcurent implic deplasarea blocurilor de roc paralel cu falia. Alunecarea la o falie normal are loc n plan vertical (paralel cu panta), placa superioar a faliei nclinate deplasndu-se n jos fa de placa inferioar (falierea produce o ntindere a crustei). Alunecarea la o falie invers are loc n plan vertical (paralel cu panta), placa superioar faliei nclinate deplasndu-se n sus fa de placa inferioar (falierea produce scurtarea crustei). Faliile cele mai des ntlnite n natur sunt faliile oblice, care reprezint o combinaie ntre micrile n plan orizontal i vertical.

7

1.5. Undele seismice Micarea seismic dintr-un amplasament date se datoreaz diverselor tipuri de unde generate de o alunecarea unei falii. Exist dou tipuri de baz de unde seismice: unde de volum i unde de suprafa. Undele P i S se numesc unde de volum deoarece acestea se pot propaga prin interiorul pmntului. Undele de suprafa se propag doar n apropiere suprafeei terenului, i se poate face distincie ntre unde Rayleigh i unde Love. Undele de suprafa rezult din interaciune undelor de volum cu suprafaa terenului.

Deformaiile produse de undele de volum:

undele P (a) i undele S polarizate vertical (b)

Deformaiile produse de undele de suprafa:

undele Rayleigh (a) i undele Love (b)

Figura 1.9. Reprezentarea schematic a undelor seismice de volum i de suprafa (Bolt, 2004).

(a) (b)

Figura 1.10. Reflectarea, refracia i transformarea undelor seismice (Bolt, 2001).

Cele patru tipuri de unde seismice sunt discutate pe scurt n cele ce urmeaz (vezi Figura 1.9): Undele P (de volum). Undele P sunt cunoscute i ca unde primare, de compresiune sau

longitudinale. Este o und seismic care genereaz o serie comprimri i dilatri ale materialului prin care se propag. Undele P au viteza cea mai mare i sunt primele care ajung ntr-un amplasament dat. Acest tip de unde se poate propaga att prin solide, ct i prin lichide. Deoarece terenul i rocile rezist relativ bine la ciclurile de compresiune-ntindere, de obicei impactul undelor P asupra micrii seismice dintr-un amplasament este cel mai mic.

Undele S (de volum). Undele S sunt cunoscute ca i unde secundare, de forfecare, sau transversale. Undele S genereaz deformaii de forfecare n materialul prin care se propag. Aceste unde se pot propaga doar prin materiale solide. Viteza de propagare a undelor S este mai mic dect a undelor P, n schimb efectul undelor asupra micrii seismice dintr-un amplasament este cel mai mare.

8

Undele Love (de suprafa). Acest tip de unde sunt similare undelor S, fiind unde transversale care se propag la suprafaa terenului, micarea particulelor terenului avnd loc n plan orizontal.

Undele Rayleigh (de suprafa). Acest tip de unde este similar undelor create de o piatr aruncat ntr-un vas cu ap. Micarea particulelor are loc ntr-un plan vertical.

Propagarea undelor P i S prin scoara terestr este nsoit de reflexii i refracii multiple la interfaa dintre roci de diferite tipuri (vezi Figura 1.10a). n plus, la fiecare interfa, are loc o transformare a undelor dintr-un tip n altul (vezi Figura 1.10b). Din punct de vedere al unui inginer constructor, nu este foarte important distincia ntre cele patru tipuri de unde. Efectul global al acestora, n termeni de intensitate a micrii seismice n amplasament este mai important. Cu toate acestea, este important s se recunoasc faptul c micarea seismic ntr-un amplasament va fi afectat n cea mai mare msur de undele S, iar n unele cazuri i de undele de suprafa.

1.6. Efectele cutremurelor Cutremurele distruge construciile inginereti n mai multe moduri, dintre care amintim aici: prin forele de inerie induse n structuri datorit micrii seismice incendiile induse de cutremurele de pmnt modificarea proprietilor fizice ale terenului de fundare (consolidri, tasri, lichefieri) deplasarea direct a faliei la nivelul terenului alunecri de teren schimbarea topografiei terenului valuri induse de cutremure, cum ar fi cele oceanice (unami) sau cele din bazine i lacuri

(seiche)

Dintre efectele cutremurelor de pmnt amintite mai sus, distrugerile cele mai semnificative i cele mai rspndite se datoreaz vibraiilor induse n construcii inginereti de micarea seismic (vezi Figura 1.11). Reducerea acestui hazard seismic face obiectul cursului e inginerie seismic.

(a)

(sursa: http://nisee.berkeley.edu/)

(b) (sursa: http://www.ngdc.noaa.gov/)

Figura 1.11. Colapsul parial al unei structuri din b.a. la Bucureti n timpul cutremurului din 4 martie 1977 din Vrancea (a); Distrugerea parial a parterului unei cldiri de birouri n timpul

cutremurului din 16 ianuarie 1995 de la Kobe, Japonia (b).

Incendiile care se pot declana ca urmare a unui cutremur reprezint un pericol major. Astfel, n timpul cutremurului din 1906 de la San Fransisco, doar 20% din pierderile totale s-au datorat

9

distrugerilor directe din cauza micrii seismice, restul de 80% datorndu-se incendiilor care au devastat oraul timp de trei zile i care mistuit 12 kilometri ptrai i 521 de blocuri din centrul oraului.

Distrugerile datorate comportrii terenului de fundare au creat mare probleme n cutremurele din trecut. Un exemplu clasic este cazul cutremurului din Niigata din 1964 (vezi Figura 1.13a), care nu a avut o intensitate important (o acceleraie maxim a terenului de 0,16 g), considernd nivelul pierderilor suferite. Dezvoltarea oraului a impus folosirea unor terenuri proaste din fosta albie a rului Shinano. Ca urmare a micrii seismice, multe cldiri s-au nclinat sau rsturnat ca urmare a lichefierii terenul de fundare. Un numr de 3018 cldiri au distruse i 9750 au suferit degradri medii pn la severe n prefectura Niigata, majoritatea datorndu-se tasrilor inegale i fisurilor aprute n terenul de fundare.

Deplasrile directe ale faliei la nivelul terenului sunt probabil cele mai cutremurtoare la nivel social. Cu toate c n trecut au fost observate distrugeri datorit deplasrilor directe ale faliei la nivelul terenului (vezi Figura 1.13b), acest fenomen este ntlnit relativ rar, iar distrugerile i suprafaa afectat sunt minore n comparaie cu cele datorate vibraiilor induse n construcii de micarea seismic.

(a) (sursa: http://nisee.berkeley.edu/)

(b)

(http://www.rekihaku.ac.jp/)

Figura 1.12. Incendii urmate de cutremurele din 1906 din San Francisco (a) i marele cutremur Kanto din 1923 (b).

(a) (sursa: http://nisee.berkeley.edu/)

(b) (sursa: http://www.eas.slu.edu/)

Figura 1.13. Rsturnarea unor blocuri de locuit la Kawagishi-Cho, Niigata, ca urmare a lichefierii terenului n timpul cutremurului din 1964 (a); ine de tramvai ndoite ca urmare a deplasrilor

terenului produse n timpul cutremurului din 1906 de la San Fransisco (b).

10

(a)

(sursa: USGS)

(b) (http://www.ngdc.noaa.gov/)

Figura 1.14. Alunecri de teren n La Conchita, California, 1995 (a); Partea de sud-est a golfului Izmit, inundat ca urmare a subsidenei n timpul cutremurului din 17 august 1999 din Izmit, Turcia.

(a) (sursa: USGS)

(b) (sursa: USGS)

Figura 1.15. Reprezentarea schematic a efectului unui unami (a) i unui seiche (b).

Alunecrile de teren induse de cutremure (vezi Figura 1.14a), cu toate c reprezint un pericol major, sunt din fericire relativ restrnse.

Schimbrile topografice datorate cutremurelor nu duc n mod direct la pierderi de viei omeneti. Cea mai important consecin a unor astfel de modificri o reprezint distrugerile pe care le pot avea astfel de structuri cum sunt podurile i barajele. n anumite cazuri pot avea loc inundaiei ale terenului, ca urmare a subsidenei unor terenuri aflate pe malul unor ape (vezi Figura 1.14b).

unami sunt valurile oceanice generate de cutremurele de pmnt subacvatice i care pot crea distrugeri nsemnate n localitile de coast (vezi Figura 1.15a). Oceanul Pacific este deseori scena unor astfel de evenimente. Pentru ca un cutremur s genereze un unami, acesta trebuie s fie asociat unei falii de tip invers sau normal, n timp ce faliile transcurente nu produc n general astfel de fenomene. La 15 iunie 1896 n regiunea Honshu Japoniei a fost devastat de un unami cu o nlime vizual a valului de 20 metri i care a necat n jur 26000 oameni. Timpul de propagare a unui unami de la coastele Chile pn la insulele Hawai este de 10 ore, iar de la Chile pn n Japonia de 20 ore. Astfel, schema de prevenire a pierderilor omeneti n Pacific din cauza unami o reprezint un sistem de monitorizare i alertare compus din cteva zeci de staii

11

amplasate n oceanul Pacific. Pe lng acest sistem, hazardul valurilor uriae poate fi redus prin construcii de coast specifice i evitarea amplasrii construciilor n zonele joase de pe coast.

Fenomenul "seiche" (vezi Figura 1.15b) reprezint revrsarea apei peste marginile bazinului sau malurile unui lac n urma micrii produse de un cutremur de pmnt.

1.7. Intensitatea i magnitudinea Analiza tiinific a cutremurelor necesit o cuantificarea a acestora. nainte de apariia aparatelor seismice moderne, efectele cutremurelor de pmnt erau estimate calitativ prin intermediul intensitii degradrilor, care difer de la un amplasament la altul. Cu apariia i utilizarea seismometrelor a devenit posibil definirea magnitudinii, a unui parametru unic pentru un eveniment seismic, care msoar cantitatea de energie eliberat de un cutremur. Cele dou modaliti de msurare a cutremurelor rmn cele mai utilizate n ziua de astzi, fiecare avnd cteva scri alternative.

1.7.1. Intensitatea seismic Intensitatea seismic reprezint cea mai veche msur a cutremurelor. Aceasta se bazeaz pe observaii calitative ale efectelor unui cutremur ntr-un amplasament dat, cum ar fi degradrile construciilor i reacia oamenilor la cutremur. Deoarece scrile de intensitate seismic nu depind de instrumente, aceasta poate fi determinat chiar i pentru cutremure istorice. Prima scar a intensitii seismice a fost dezvoltat de Rossi (Italia) i Forel (Elveia) n 1880, cu valori ale intensitii seismice ntre I i X. O scar mai exact a fost inventat de vulcanologul i seismologul italian Mercalli n 1902, avnd valori ale intensitii cuprinse ntre I i XII. Scrile de intensitate seismic cele mai utilizate astzi sunt Mercalli modificat (MMI), Ross-Forel (R-F), Medvedev-Sponheur-Karnik (MSK-64), Scara Macroseismic European (EMS-98) i scara ageniei meteorologice japoneze (JMA). n Romnia se utilizeaz scara MSK (descris n Tabel 1.1), iar zonarea intensitii seismice a Romniei conform SR 11100/1 din 1993 este prezentat n Figura 1.16. Exist relaii aproximative ntre intensitate seismic exprimat n grade i msuri inginereti, cum ar fi acceleraia maxim a terenului.

Figura 1.16. Zonarea seismic a Romniei conform SR 11100/1 din 1993 (Lungu et al., 2001).

12

Tabel 1.1. Scara intensitii seismice MSK (Dimoiu, 1999)

Descrierea efectelor asupra Gradul denumirea Vieuitoarelor i obiectelor mediului Lucrrilor de construcii

I imperceptibil

nregistrat numai de aparate

II abia simit

simit n case la etajele superioare de persoane foarte sensibile

III slab simit n cas, de cei mai muli oameni n repaus; obiectele suspendate se leagn uor; se produc vibraii asemenea acelor cauzate de trecerea unor vehicule uoare

IV puternic

obiectele suspendate penduleaz; vibraii cala trecerea unui vehicul greu; geamurile,uile, farfuriile zornie; paharele, oalele se ciocnesc; la etajele superioare tmplria i mobila trosnesc

V detepttor

simit i afar din cas; cei ce dorm se trezesc; lichidele din vaze se mic i uneori se var; obiectele uoare instabile se deplaseaz sau se rstoarn; tablourile i perdelele se mic; uile trepideaz, se nchid i se deschid

VI provoac spaima

apar crpturi n tencuiala slab i n zidrii din materiale slabe, fr mortar

VII provoac avarierea cldirilor

stabilitatea oamenilor este dificil; se simte chiar n vehicule aflate n micare; mobila se crap; apar valuri pe suprafaa lacurilor, sun clopotele grele; apar uoare alunecri i surpri la bancurile de nisip i pietri

se distrug zidriile fr mortar, apar crpturi n zidrii cu mortar; cade tencuiala, crmizi nefixate, igle, cornie parapei, calcane, obiecte ornamentale

VIII provoac avarii puternice

copacii se rup, vehiculele sunt greu de condus, se modific temperatura sau debitul izvoarelor sau sondelor; apar crpturi n terenuri umede i pe pante

apar avarii i la construciile bine executate; cele slab construite se drm parial; courile de fum, monumentele nalte se rsucesc pe soclu, se prbuesc; construciile se mic pe fundaii; ferestrele nefixate n perei sunt aruncate afar

IX provoac avarii foarte importante

panic general; apar crpturi n sol; n regiuni aluvionare nete nisip i ml; apar izvoare noi i cratere de nisip

zidriile slabe sunt distruse, cele cu mortar sunt puternic avariate; apar avarii la fundaii, se rup conducte

X distrugtor

alunecri masive de teren; apa este aruncat peste malurile rurilor, lacurilor, etc.; inele de cale ferat sunt uor ndoite

majoritatea cldirilor din zidrie sunt distruse, la scheletele din beton armat zidria de umplutur este aruncat afar, iar capetele stlpilor sunt mcinate, stlpii din oel se ndoaie; avarii serioase la taluze, diguri, baraje

XI catastrofal

traversele i inele de cale ferat sunt puternic ncovoiate; conductele ngropate sunt scoase din folosin

surparea tuturor construciilor din zidrie; avarii grave la construciile cu schelet din beton armat i oel

XII provoac modificarea reliefului

se modific liniile de nivel ale reliefului; deplasri i alunecri de maluri; rurile schimb cursul; apar cderi de ap; obiectele depe sol sunt aruncate n aer

13

1.7.2. Magnitudinea Magnitudinea este o msur a energiei eliberate de un cutremur, fiind o valoare unic pentru un eveniment seismic, spre deosebire de intensitate, care are valori diferite funcie de distana de la epicentru i condiiile locale de amplasament. Magnitudinea se bazeaz pe msurtori instumentate i astfel nu conine gradul de subiectivism pe care l are intensitatea seismic.

O msur strict cantitativ a cutremurelor a fost iniiat n 1931 de Wadati n Japonia i dezvoltat n 1935 de Charles Richter n California, SUA. Richter a definit magnitudinea local ML a unui cutremur ca i logaritmul cu baza zece a amplitudinii maxime n microni (10-3 mm) A nregistrat cu un seismograf Wood-Anderson amplasat la o distan de 100 km de epicentru:

0log logLM A A= (1.1) 0log A este o valoare standard funcie de distan, pentru instrumente aflate la alte distane dect

100 km, dar nu mai departe de 600 km de epicentru. Relaia (1.1) implic cretere de zece ori a amplitudinii deplasrilor nregistrate de seismograf la creterea magnitudinii cu o unitate. Pentru aceiai cretere a magnitudinii cu o unitate, cantitatea de energie seismic eliberat de un cutremur crete de aproximativ 30 de ori.

Scara de magnitudini locale (ML) a fost definit pentru California de sud, cutremure de suprafa, i distane epicentrale mai mici de 600 km. Ulterior au fost dezvoltate alte scri de magnitudini, descrise pe scurt n continuare.

Magnitudinea undelor de suprafa (Ms). Undele de suprafa cu o perioad de aproximativ 20 secunde domin adeseori nregistrrile seismografice ale cutremurelor ndeprtate (distane epicentrale mai mari de 2000 km). Pentru cuantificarea acestor cutremure, Guttenberg a definit scara de magnitudini a undelor de suprafa, care msoar amplitudinea undelor de suprafa cu perioada de 20 secunde.

Magnitudinea undelor de volum (mb). Cutremure de adncime sunt caracterizate de unde de suprafa nesemnificative. De aceea pentru acest tip de cutremure magnitudinea mb se determin pe baza amplitudinii undelor P, care nu sunt afectate de adncimea hipocentrului.

Magnitudinea moment (MW). Magnitudinile ML, mb i ntr-o msur mai mic Ms ntmpin dificulti n distingerea ntre cutremurele foarte puternice. Ca urmare a acestui fapt, a fost dezvoltat magnitudinea moment MW, care depinde de momentul seismic M0, la rndul su n relaie direct cu dimensiunea sursei seismice:

( )0log /1.5 10.7WM M= (1.2) unde M0 este momentul seismic n dyn-cm.

Fenomenul de saturaie se refer subestimarea energiei cutremurelor puternice i este caracteristic magnitudinilor ML, mb i ntr-o msur mai mic Ms. Magnitudinea moment MW nu sufer de acest dezavantaj i de aceea este preferat n zilele noastre.

1.8. nregistrarea micrii seismice Un seismograf este un instrument care msoar micarea suprafeei terenului din cauza undelor generate de un cutremur de pmnt, funcie de timp. n Figura 1.17a este prezentat schematic principiul de funcionare a unui seismograf. Seismograma, reprezentnd nregistrarea efectuat cu ajutorul seismografului ofer informaii despre natura cutremurului de pmnt. Conceptual, un seismograf este alctuit dintr-un de un pendul sau o mas ataat unui arc. n timpul unui cutremur, rola de hrtie fixat de baza seismografului se mic odat cu terenul n timp ce pendulul mpreun cu stiloul ataat acestuia rmn mai mult sau mai puin n repaus, datorit forelor de inerie, nregistrnd micarea seismic. Dup ncetarea micrii seismice pendulul va tinde s ajung n echilibru, efectund nregistrri false ale micrii. De aceea este necesar un mecanism de amortizare.

14

(a) (b)

Figura 1.17. Conceptul unui seismograf (a) i un accelerometru modern (b).

0 5 10 15 20 25 30 35 40

1

0

1

1.95

timp, s

acce

lera

tie, m

/s2

PSA01001.01 ROMANIA, VRANCEA, MARCH 04, 1977, INCERCBUCHAREST, NS, inr

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.71

timp, s

vite

za, m

/s


0 5 10 15 20 25 30 35 400.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4 0.42

timp, s

depl

asar

e, m


Figura 1.18. nregistrri pentru componentele nord-sud ale acceleraiei, vitezei i deplasrii

efectuate la staia INCERC-Bucureti n timpul cutremurului din 04 martie 1977 din Vrancea.

15

Instrumentele moderne de nregistrare a micrii seismice se numesc generic seismometre. Cele mai uzuale instrumente sunt accelerometrele (Figura 1.17b), care nregistreaz digital acceleraia terenului, cea mai util n ingineria seismic. Un astfel de instrument are de obicei trei senzori: doi pentru nregistrare componentelor orizontale (nord-sud i est-vest), i un al treilea pentru componenta vertical a micrii seismice. Acceleraia este uzual exprimat n cm/s2, fie n raport cu acceleraia gravitaional g=981 cm/s2. Valorile vitezei i cele ale deplasrii terenului n urma unei micri seismice se pot obine ulterior prin integrarea acceleraiei. n calitate de exemplu, Figura 1.18 prezint nregistrri pentru componentele nord-sud ale acceleraiei, vitezei i deplasrii efectuate la staia INCERC-Bucureti n timpul cutremurului din 04 martie 1977 din Vrancea. Valoarea maxim a acceleraiei nregistrate este uzual denumit valoarea de vrf a acceleraiei terenului. Pentru componenta nord-sud a micrii seismice menionate anterior aceasta are valoare absolut de 1.95 m/s2.

1.9. Seismicitatea Romniei Hazardul seismic din Romnia este datorat contribuiei a doi factori: (i) contribuia major a zonei seismice subcrustale Vrancea i (ii) alte contribuii provenind din zone seismogene de suprafa, distribuite pe ntreg teritoriul trii, vezi Figura 1.19 (Lungu et al, 2003).

Figura 1.19. Epicentrele cutremurelor ce au avut loc n Romnia n perioada 984 1999

(Lungu et al., 2003).

Zona seismogen Vrancea este situat la curbura Carpailor, avnd, dup datele din acest secol, un volum relativ redus: adncimea focarelor ntre 60 i 170 km i suprafaa epicentral de cca. 40x80 km2. Sursa Vrancea este capabil s produc mari distrugeri n peste 2/3 din teritoriul Romniei i n primul rnd n Bucureti: pagube de 1.4 Miliarde USD numai n Capital din totalul de peste 2 Miliarde USD n Romnia n 1977. Cutremurul Vrncean cel mai puternic este considerat a fi cel din 26 Octombrie 1802, magnitudinea Gutenberg-Richter, M apreciat de diferii autori pentru acest cutremur se situeaz ntre 7.5 i 7.7. Cutremurul Vrncean cu cea mai mare magnitudine din acest secol a fost cel din 10 Noiembrie 1940 avnd magnitudinea Gutenberg-Richter M=7.4 i adncimea de 140-150 km. Cutremurul Vrncean cu cele mai distrugtoare efecte asupra construciilor i primul cutremur puternic pentru care s-a obinut o accelerogram nregistrat n Romnia a fost cel din 4 Martie 1977: magnitudinea Gutenberg-Richter M=7.2, adncimea focarului h=109 km, distana epicentral fa de Bucureti 105 km. n Bucureti acest

16

cutremur a cauzat peste 1400 pierderi de viei omeneti i prbuirea a 23 construcii nalte din beton armat i 6 cldiri multietajate din zidrie realizate nainte de cel de al doilea rzboi mondial precum i a 3 cldiri nalte din beton armat construite n anii 60 - 70.

Banatul este o regiune foarte bogat n focare proprii, focare care se grupeaz n 2 regiuni distincte. O regiune o constituie partea de SE a Banatului (Moldova Nou), iar o alt mprejurimile oraului Timioara (I. Atanasiu, Cutremurele de pmnt din Romnia, 1959). Dup Constantinescu i Marza celor 2 zone seismogene principale din Banat li se pot aduga i urmtoarele zone: Snicolaul Mare, Arad i grania romn srb. Cel mai puternic cutremur Bnean din sursa Moldova Nou n secolul XX a fost cutremurul din 18 Iulie 1991, M=5.6, h = 12 km iar din sursa Timioara a fost cutremurul din 12 Iulie 1991, M =5.7, h = 11 km.

Figura 1.20. Poziionarea geografic a epicentrelor cutremurelor bnene n perioada 1794-2001

(Lungu et al, 2003).

Harta de zonare seismic a teritoriului Romniei n termeni de valori de vrf ale acceleraiei terenului pentru proiectare ag pentru cutremure avnd intervalul mediu de recurent IMR = 100 ani este prezentat n Figura 1.21.

17

Figura 1.21. Zonarea teritoriului Romniei in termeni de valori de vrf ale acceleraiei terenului

pentru proiectare ag pentru cutremure avnd intervalul mediu de recurent IMR = 100 ani, (P100 2006).

Sem. I 2006. Aceste note de curs sunt disponibile la http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/seism/

18

2. Dinamica structurilor: sisteme cu un grad de libertate dinamic

2.1. Ecuaii de micare, formularea problemei, metode de rezolvare Dinamica structurilor are ca obiectiv determinarea rspunsului (eforturilor i deplasrilor) structurilor supuse unor ncrcri dinamice. ncrcarea dinamic este o ncrcare a crei mrime, direcie, sens sau punct de aplicare variaz n timp.

2.1.1. Sisteme cu un singur grad de libertate dinamic Multe tipuri de structuri inginereti pot fi idealizate ca i structuri relativ simple, care faciliteaz determinarea rspunsului dinamic. Un exemplu este castelul de ap din Figura 2.1a. Aceast structur poate fi schematizat ca si o mas m fixat la captul superior al unei console fr mas, dar de rigiditate k (vezi Figura 2.1b). Obiectivul dinamicii structurilor este determinarea deplasrilor i eforturilor n acest pendul inversat atunci cnd asupra masei acioneaz o for dinamic lateral (orizontal), sau atunci cnd o micare seismic orizontal acioneaz la baza consolei. Sistemul structural din Figura 2.1b este un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (GLD).

k

m

(a) (b)

Figura 2.1. Un castel de ap (a), http://en.wikipedia.org/wiki/Water_tower i idealizarea acestuia sub forma unui pendul inversat (b).

Numrul de grade de libertate dinamic (GLD) necesare ntr-o analiz dinamic a unei structuri este numrul de deplasri independente necesare pentru definirea poziiei deplasate a maselor fa de poziia lor iniial.

Pe lng castelul de ap din Figura 2.1a, multe alte tipuri de structuri pot fi idealizate ca i structuri cu un singur grad de liberate dinamic (SGLD). Un exemplu este cadrul parter reprezentat n Figura 2.2, care poate fi idealizat ca i un sistem format dintr-o mas m concentrat la nivelul acoperiului, un cadru fr mas care ofer rigiditate sistemului i un amortizor care disipeaz energia de vibraie a sistemului. ntr-o structur real fiecare element structural (grinda i stlpii) contribuie la masa, rigiditatea i amortizarea structurii. n schema idealizat n schimb, fiecare dintre aceste proprieti este concentrat ntr-o component separat: componenta de mas, componenta de rigiditate i componenta de amortizare.

Este de menionat faptul c numrul de grade de libertate dinamice este n general diferit de gradul de nedeterminare geometric (sau gradele de libertate) folosit(e) la determinarea eforturilor n structur prin metoda deplasrilor (o problem de static). Astfel, cadrul din Figura 2.2 are un singur grad de libertate dinamic (deplasarea lateral a masei concentrate la nivelul acoperiului), n schimb gradul de nedeterminare static este egal cu trei (dou rotiri de noduri i o deplasare lateral).


19

Figura 2.2. Un sistem cu un singur grad de libertate dinamic sub aciunea unei fore dinamice p(t)

[a]; i a unei micri seismice la baz structurii [b].

Vor fi considerate dou tipuri de ncrcare dinamic: (1) o for dinamic p(t) dup direcia orizontal (vezi Figura 2.2a) i (2) o micare seismic orizontal ug(t) aplicat la baza structurii (vezi Figura 2.2b). n ambele cazuri u reprezint deplasarea lateral ntre mas i baza structurii.

2.1.2. Relaia for-deplasare S considerm structura din Figura 2.3a asupra creia acioneaz fora static fS pe direcia gradului de libertate u. Determinarea relaiei dintre fora fS i deplasarea u este o problem clasic de statica construciilor.

Figura 2.3. Relaii for-deplasare (Chopra, 2001).

n cazul unui sistem liniar elastic (vezi Figura 2.3d) materialul din care este compus structura are o comportare elastic, iar eforturile n structur se determin pe baza ipotezei deplasrilor mici, folosind un calcul de ordinul I. Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u este liniar:

Sf k u= (2.1) unde k este rigiditatea lateral a sistemului, unitile acesteia fiind for/lungime.

n cazul unor structuri reale, elementele structurale pot intra n curgere la deformaii mari, curba de descrcare i rencrcare diferind de curba de ncrcare iniial. Acest efect se datoreaz comportrii plastice a materialului, iar un sistemul corespunztor se numete inelastic (vezi Figura 2.3c). Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u nu mai este liniar i depinde de istoria i direcia de ncrcare:


20

( ),S Sf f u u= (2.2) unde u reprezint viteza sistemului (vitez pozitiv semnific creterea deformaiilor, iar viteza negativ scderea deformaiilor).

Rspunsul dinamic al sistemelor inelastice este important deoarece multe structuri au un comportament inelastic sub aciunea unor micri seismice puternice din cauza curgerii, fisurrii i a degradrii elementelor structurale.

2.1.3. Fora de amortizare ncercri pe sisteme simple cu un singur grad de libertate dinamic au artat c amplitudinea vibraiilor unui sistem care este lsat s vibreze liber scade cu timpul (vezi Figura 2.4). Acest fenomen se datoreaz amortizrii sistemului. n cazul unor structuri simple, amortizarea se datoreaz efectului termic al deformaiilor ciclice elastice a materialului i din cauza frecrii interioare a materialului. n cazul structurilor reale, exist multe alte mecanisme care contribuie la disiparea energiei. Printre acestea se numr frecarea n mbinrile metalice, deschiderea i nchiderea microfisurilor la elementele din beton armat, frecarea ntre elementele structurale i cele nestructurale (de exemplu pereii de compartimentare), etc. n mod practic, este imposibil descrierea matematic a tuturor acestor fenomene n cazul unor construcii reale. Ca urmare, amortizarea structurilor reale este reprezentat ntr-o manier mult simplificat, folosind o amortizare vscoas echivalent.

Figura 2.4. nregistrarea vibraiilor libere ale unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic

(Chopra, 2001).

Figura 2.5. Fora de amortizare (Chopra, 2001)

n Figura 2.5 este reprezentat un amortizor vscos liniar supus unei fore fD de-a lungul gradului de libertate u. Efortul din amortizor este egal i de sens invers cu fora exterioar fD (vezi Figura 2.5b). Relaia dintre fora fD i viteza de deformare a amortizorului u este dat de relaia (vezi Figura 2.5c):

Df c u= (2.3) unde constanta c este coeficientul de amortizare vscoas. Unitile acestuia sunt for x timp/lungime.


21

Coeficientul de amortizare vscoas pentru structuri reale poate fi determinat pe baza unor ncercri de vibraii libere sau forate ale unor construcii. Amortizarea vscoas echivalent este folosit pentru modelarea energiei disipate la deformaii ale structurii n domeniul elastic. n domeniul inelastic, datorit comportrii inelastice a elementelor structurale, se produce o disipare suplimentar de energie, care trebuie cuantificat n mod direct.

2.1.4. Ecuaia de micare n cazul unei fore externe n Figura 2.6 este reprezentat un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (SGLD) supus unei fore dinamice p(t) pe direcia gradului de libertate u. Att fora p(t), ct i deplasarea rezultat u(t) variaz cu timpul.

Ecuaia diferenial care stabilete deplasarea u(t) poate fi determinat prin dou metode: Folosind legea a 2-a a lui Newton Principiul de echilibru dinamic a lui D'Alambert

Legea a 2-a a lui Newton

Forele care acioneaz asupra masei m la un moment dat sunt: fora perturbatoare p(t), efortul elastic (sau inelastic) fS i fora de amortizare fD (vezi Figura 2.6b). Fora extern p(t), precum i deplasarea u(t), viteza ( )u t i acceleraia ( )u t sunt pozitive n direcia axei x pozitive. Forele fS i fD sunt artate n figur acionnd n sens invers, deoarece acestea sunt eforturi interioare care se opun deformaiei, respectiv vitezei.

Fora rezultant de-a lungul axei x este p - fS - fD, i folosind legea a 2-a a lui Newton obinem:

S Dp f f mu = (2.4) de unde:

S Dmu f f p+ + = (2.5) nlocuind n ecuaia (2.5) relaiile (2.1) i (2.3), aceast ecuaie devine:

( )mu cu ku p t+ + = (2.6) Aceasta este ecuaia de micare ce caracterizeaz deplasarea u(t) a sistemului idealizat din Figura 2.6a, presupus a fi liniar elastic, sub aciunea unei fore dinamice p(t).

Figura 2.6. Determinarea ecuaiei de micare pe baza unui sistem SGLD (Chopra, 2001).

Principiul lui D'Alambert

Principiul lui D'Alambert se bazeaz pe noiunea de for de inerie, care este egal cu produsul dintre mas i acceleraie i acioneaz n sens invers acceleraiei. Acesta afirm c un sistem dinamic poate fi considerat ca i un sistem static echivalent asupra cruia acioneaz forele externe i fora de inerie. Conform principiului lui D'Alambert, un sistem dinamic care include forele (i momentele) de inerie este n echilibru la orice moment. n Figura 2.6c este prezentat sistemul de fore care acioneaz asupra masei m, aceasta fiind nlocuit cu fora de inerie, reprezentat cu linie ntrerupt pentru a o distinge de forele reale. Scriind echilibrul forelor se obine ecuaia (2.5), care a fost obinut anterior folosind legea a 2-a a lui Newton.


22

Componentele de rigiditate, amortizare i mas

Ecuaia de micare a unui sistem dinamic poate fi formulat printr-o procedur alternativ. Sub aciunea forei exterioare p(t), starea sistemului este descris de deplasarea u(t), viteza ( )u t i acceleraia ( )u t , vezi Figura 2.7a. Acest sistem poate fi vizualizat ca i combinaia a trei componente pure: (1) componenta de rigiditate: cadrul fr mas i fr amortizare (vezi Figura 2.7b); (2) componenta de amortizare: cadrul amortizat, dar fr mas sau rigiditate (vezi Figura 2.7c); i (3) componenta de mas: masa concentrat la nivelul acoperiului, fr rigiditatea sau amortizarea cadrului (vezi Figura 2.7d).

Relaia dintre fora extern fS i deplasarea u este dat de ecuaia (2.1) n cazul unui sistem liniar elastic, cea ntre fora de amortizare fD i viteza u de relaia (2.3), iar fora de inerie fI care acioneaz asupra componentei de mas este dat de relaia If mu= . Astfel, fora exterioar p(t) poate fi considerat distribuit la cele trei componente ale structurii, iar S D If f f+ + trebuie s egaleze fora exterioar p(t), ceea ce conduce la ecuaia de micare formulat de relaia (2.5).

Figura 2.7. Sistemul (a), componenta de rigiditate (b), componenta de amortizare (c) i

componenta de mas (d), Chopra, 2001.

Sistemul cu un singur grad de libertate dinamic idealizat prin cadrul parter din Figura 2.6 este sugestiv n contextul ingineriei civile. n tratatele clasice de mecanic i fizic, comportarea sistemelor cu SGLD este n general analizat pe baza unui sistem format dintr-o mas, un arc i un amortizor (vezi Figura 2.8a). Folosind legea a 2-a a lui Newton (vezi Figura 2.8b) sau principiul lui D'Alambert (vezi Figura 2.8c) se obine aceiai ecuaie de micare (2.6) care a fost determinat anterior pentru cadrul parter.

Figura 2.8. Reprezentarea clasic a unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic, Chopra,

2001.

2.1.5. Ecuaia de micare n cazul micrii seismice n contextul ingineriei seismice, problema principal a dinamicii structurilor este determinarea rspunsului structural sub efectul micrii seismice care acioneaz la baza structurii. Notnd deplasarea terenului cu ug, deplasarea total (sau absolut) a masei cu ut i deplasarea relativ ntre teren i mas prin u (vezi Figura 2.9), n orice moment se poate scrie urmtoarea relaie:

( ) ( ) ( )t gu t u t u t= + (2.7) Att ut ct i ug se refer la acelai sistem inerial de referin, iar direciile lor pozitive coincid.


23

Ecuaia de micare pentru sistemul SGLD din Figura 2.9a poate fi determinat prin oricare dintre metodele descrise n capitolul 2.1.4. n continuare se va folosi principiul de echilibrului dinamic al lui D'Alambert. Pe baza echilibrului forelor care acioneaz asupra sistemului (vezi Figura 2.9b), inclusiv a forei de inerie fI se poate scrie:

0I S Df f f+ + = (2.8) Doar deplasarea relativ u ntre mas i baza structurii produce eforturi i fore de amortizare n structur (micarea de corp rigid nu produce eforturi n structur). Astfel, pentru un sistem liniar elastic relaiile (2.1) i (2.3) sunt valabile. Fora de inerie fI este proporional cu acceleraia total

tu a masei: tIf mu= (2.9) nlocuind ecuaiile (2.1), (2.3) i (2.9) n ecuaia (2.8) obinem:

0tmu cu ku+ + = (2.10) de unde, folosind relaie (2.7) obinem:

gmu cu ku mu+ + = (2.11) Comparnd ecuaiile (2.6) i (2.11) se poate observa c ecuaiile de micare pentru un sistem supus unei micri seismice la baz cu acceleraia ( )gu t este identic cu cea a unui sistem acionat de o for exterioar egal cu ( )gmu t . Astfel, micarea seismic la baza structurii poate fi nlocuit cu o for seismic efectiv (vezi Figura 2.10):

( ) ( )eff gp t mu t= (2.12)

Figura 2.9. Un sistem SGLD suspus micrii seismice la baz (Chopra, 2001).

Figura 2.10. Fora seismic echivalent (Chopra, 2001).

Fora seismic efectiv este egal cu produsul dintre mas i acceleraie terenului, acionnd n sens invers acceleraiei. Este important de observat c fora seismic efectiv depinde de doi factori: masa structurii construciile cu masa mai mare fiind supuse unor fore echivalente mai mari acceleraia terenului construciile amplasate n zone seismice puternice fiind supuse unor

fore efective mai mari

2.1.6. Formularea problemei i determinarea eforturilor Problema fundamental n dinamica structurilor este determinarea rspunsului unui sistem cu un grad de libertate dinamic (n cazul unui sistem liniar elastic definit de masa m, rigiditatea k i coeficientul de amortizare c) sub efectul unei aciuni dinamice, care poate fi o for dinamic


24

exterioar p(t) sau acceleraia terenului aplicat la baza structurii ( )gu t . Termenul de rspuns se refer ntr-un sens larg la orice cantitate care definete comportarea structurii, cum ar fi deplasarea, viteza, acceleraia masei, sau eforturi i tensiuni n elementele structurii. n cazul unei ncrcri seismice, att valorile totale (sau absolute), ct i cele relative ale deplasrii ( )u t , vitezei

( )u t i acceleraiei ( )u t pot fi necesare. Deplasarea relativ ( )u t asociat deformaiilor structurii sunt cele mai importante, deoarece eforturile n elementele structurii sunt n relaie direct aceasta.

Prin rezolvarea ecuaiei de micare a sistemului cu un grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul parter din exemplele anterioare), se obine variaia n timp a deformatei structurii ( )u t . Pe baza acestor valori, se pot determina eforturile din elementele structurale (momentele de ncovoiere, eforturile axiale i cele tietoare) printr-o analiz static a structurii n orice moment de timp dat. Aceast analiz static a structurii poate fi vizualizat n dou moduri: Structura poate fi analizat sub efectul deplasrii laterale impuse ( )u t . Folosind metoda

deplasrilor se pot determina rotirile de noduri, iar ulterior eforturile n elementele structurale. Cel de-al doilea mod const n folosirea unei fore statice echivalente, un concept central n

determinarea rspunsului seismic al structurilor. La orice moment de timp dat t, aceasta este o for static exterioar fS care produce deplasarea u determinat din analiza dinamic. Astfel: ( ) ( )sf t ku t= (2.13) unde k este rigiditatea lateral a structurii. Eforturile din elementele structurale (momentele de ncovoiere, eforturile axiale i cele tietoare) pot fi determinate n orice moment de timp dat printr-o analiz static a structurii sub efectul forelor fS determinate conform ecuaiei (2.13).

2.1.7. Combinarea rspunsului static cu cel dinamic n aplicaiile practice este necesar determinarea eforturilor ntr-o structur rezultate din combinarea ncrcrilor statice (de obicei gravitaionale) existente n structur nainte de aplicarea aciunii dinamice, cu cele rezultate din aciunea dinamic. n cazul sistemelor liniar elastice este valabil principiul suprapunerii efectelor, de aceea rspunsul total poate fi determinat prin suprapunerea rezultatelor a dou analize separate: (1) analiza static a structurii sub efectul ncrcrilor permanente, utile, variaiei de temperatur, etc. i (2) rspunsul dinamic al structurii.

n cazul sistemelor inelastice nu mai este valabil principiul suprapunerii efectelor. Rspunsul dinamic al unor astfel de sisteme trebuie s in cont de deformaiile i eforturile existente n structur nainte de aplicarea ncrcrii dinamice.

2.1.8. Metode de rezolvare a ecuaiei de micare Ecuaia de micare a uni sistem liniar elastic cu un singur grad de libertate dinamic este o ecuaie diferenial de ordinul doi, determinat anterior:

( )mu cu ku p t+ + = (2.14) Pentru a defini problema n mod complet trebuie specificate deplasarea iniial (0)u i viteza iniial (0)u . De obicei structura este n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, astfel nct cele dou valori sunt egale cu zero. n cele ce urmeaz sunt trecute n revist trei metode de rezolvare a ecuaiei de micare.

Soluia clasic

Soluia complet a unei ecuaii difereniale liniare de ordinul doi neomogene u(t) este compus din suma soluiei complementar uc(t) i a celei particulare up(t). Astfel, u(t) = uc(t) +up(t). Deoarece ecuaia diferenial este de ordinul doi, exist dou constante de integrare n soluia complementar, care pot fi determinate cunoscnd condiiile iniiale. Soluia clasic de rezolvare a ecuaiei de micare este deosebit de util n cazul vibraiilor libere i a celor forate la care fora dinamic este definit analitic.

Exemplu:

Ecuaia de micare n cazul unui sistem SGLD neamortizat (c=0), sub efectul unei fore de tip treapt p(t)=p0, t0 este:


25

0mu ku p+ = (a) Soluia particular a ecuaiei (a) este

0( )ppu tk

= (b) iar soluia complementar este:

( ) cos sinc n nu t A t B t = + (c) unde A i B sunt constante de integrare i n k m = . Soluia complet este dat de suma ecuaiilor (b) i (c):

0( ) cos sinn npu t A t B tk

= + + (d) Dac sistemul este n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, pentru t=0 avem

(0) 0u = i (0) 0u = . Pentru aceste condiii iniiale constantele A i B pot fi determinate a fi:

0 0pA Bk

= = (e) nlocuind ecuaiile (e) n ecuaia (d) rezult soluia ecuaiei de micare analizate:

0( ) (1 cos )npu t tk

=

Integrala Duhamel

O alt modalitate de a determina soluia unei ecuaii difereniale liniare se bazeaz pe reprezentarea ncrcrii seismice sub forma unei secvene de impulsuri infinitezimale. Rspunsul unui sistem sub efectul forei aplicate p(t) la timpul t se obine ca nsumnd rspunsul tuturor impulsurilor pn n acel moment. Pentru cazul unui sistem SGLD neamortizat aflat n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, rezult urmtoarea relaie:

0

1( ) ( )sin[ ( )]t

nn

u t p t dm

= (2.15) unde n k m = . Ecuaia (2.15) este cunoscut sub denumirea de integral Duhamel i reprezint o form special a integralei de convoluie. Ecuaia este valabil numai pentru condiii iniiale "de repaos". Integrala Duhamel reprezint o metod alternativ fa de metoda clasic de determinare a rspunsului dinamic dac fora p(t) este definit analitic i este suficient de simpl pentru evaluarea analitic a integralei. Pentru ncrcri dinamice definite numeric la valori de timp discrete, integrala Duhamel poate fi integrat numeric.

Exemplu:

S se determine rspunsul unui sistem SGLD neamortizat (c=0), sub efectul unei fore de tip treapt p(t)=p0, t0.

Pentru aceast ncrcare dinamic, ecuaia (2.15) rezult:

0 000 0

cos ( )1( ) sin[ ( )] (1 cos )tt

nn n

n n n

p t pu t p t d tm m k

=

=

= = = Acest rezultat este identic cu cel obinut prin metoda clasic.

Metode numerice

Metodele de rezolvare a ecuaiei de micare descrie anterior sunt aplicabile numai pentru sisteme liniar elastice i ncrcri dinamice definite analitic. Analiza rspunsului dinamic al sistemelor


26

inelastice i a celor la care ncrcarea dinamic este prea complicat pentru a fi definit analitic, poate fi efectuat prin metode numerice (calcul biografic). Esena unui calcul biografic const n discretizarea ncrcrii dinamice n pai mici de timp, i determinarea rspunsului dinamic n timp al sistemului SGLD prin considerarea unui rspuns liniar n cadrul unui pas de timp.

2.2. Vibraii libere Vibraiile libere ale unei structuri au loc atunci cnd structura este scoas din poziia de echilibru static i lsat s vibreze liber fr vre-o for dinamic perturbatoare.

2.2.1. Vibraii libere neamortizate Micarea unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul portal discutat anterior) sub aciunea unei fore dinamice p(t) este descris de ecuaia (2.6): ( )mu cu ku p t+ + = . n cazul vibraiilor libere neamortizate fora perturbatoare lipsete p(t)=0, la fel ca i amortizarea (c=0). Astfel, ecuaia de micare devine:

0mu ku+ = (2.16) Vibraiile libere apar ca urmare a scoaterii sistemului din echilibru static, prin aplicarea masei unei deplasri iniiale (0)u sau a unei viteze iniiale (0)u la timpul zero, definit ca i timpul n care este iniiat micarea:

(0) (0)u u u u= = (2.17) Folosind metoda clasic de rezolvare, soluia ecuaiei difereniale omogene (2.16) folosind condiiile iniiale (2.17) este:

(0)( ) (0)cos sinn nn

uu t u t t = +

(2.18)

unde s-a folosit notaia

n k m = (2.19) Ecuaia (2.18) este reprezentat n Figura 2.11, din care se poate observa c sistemul efectueaz o micare oscilatorie fa de poziia de echilibru static i c valoarea deplasrii este aceiai la fiecare 2 n secunde. Acest tip de micare poart denumirea de micare armonic simpl. Poriunea a-b-c-d-e a curbei deplasare-timp descrie un ciclu complet de micare armonic a sistemului. Din poziia de echilibru static la punctul a, masa se deplaseaz la stnga, atingnd deplasarea pozitiv maxim uo n punctul b, moment n care viteza este egal cu zero i deplasarea ncepe s scad, atingnd poziia de echilibru static n punctul c, cnd viteza devine maxim, astfel nct masa continu s se deplaseze spre stnga, atingnd deplasarea minim uo n punctul d, moment n care viteza este din nou egal cu zero iar deplasarea ncepe s scad din nou, pn cnd masa ajunge n poziia de echilibru static e.

Timpul n care un sistem cu un singur grad de libertate dinamic efectueaz un ciclu complet de oscilaii libere neamortizate se numete perioad proprie de vibraie, se noteaz cu Tn i se msoar n secunde. Relaia dintre aceasta i frecvena circular proprie (sau pulsaia proprie de vibraie), care se msoar n radiani pe secund este:

2nn

T = (2.20)

Frecvena proprie de vibraie fn reprezint numrul de oscilaii complete pe care le efectueaz sistemul ntr-o secund, se msoar n Hz i este dat de urmtoarele relaii:

1nn

fT

= (2.21)


27

2

nnf

= (2.22)

Proprietile de vibraie proprie n , nT i nf depind doar de masa i rigiditatea structurii, conform ecuaiilor (2.19) la (2.21). Odat cu cretere rigiditii unei structuri perioada proprie de vibraie va scdea, iar frecvena proprie de vibraie va crete. n mod similar, creterea masei unei structuri conduce la creterea perioadei proprii de vibraie i scderea frecvenei proprii de vibraie. Termenul de propriu folosit n definiiile n , nT i nf se refer la faptul c acestea sunt proprieti proprii ale sistemului,atunci cnd acesta este lsat s vibreze liber.

Figura 2.11. Vibraii libere neamortizate ale unui sistem liniar elastic SGLD (Chopra, 2001).

Frecvena circular proprie n , frecvena proprie de vibraie nf i perioada proprie de vibraie nT pot fi exprimate ntr-o form alternativ prin:

1 22

stn n n

st st

g gf Tg = = = (2.23)

unde st mg k = , iar g este acceleraia gravitaional. Valoarea st reprezint deformarea elastic a unui sistem SGLD atunci cnd asupra acestuia acioneaz o for static egal cu mg .

Deplasarea sistemului SGLD variaz ntre valoarea maxim 0u i cea minim 0u . Magnitudinea 0u pe care o au aceste oscilaii se numete amplitudinea micrii oscilatorii i este dat de:

( ) ( )2

20

00

n

uu u

= +

(2.24)

Amplitudinea oscilaiilor depinde de deplasarea iniial ( )0u i viteza iniial ( )0u , precum i de proprietile structurii ( n ). 2.2.2. Vibraii libere amortizate Micarea unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul portal discutat anterior) sub aciunea unei fore dinamice p(t) este descris de ecuaia (2.6): ( )mu cu ku p t+ + = . n cazul vibraiilor libere neamortizate fora perturbatoare lipsete p(t)=0, astfel nct ecuaia de micare (2.6) ( )mu cu ku p t+ + = devine: 0mu cu ku+ + = (2.25) mprind ecuaia (2.25) cu m obinem:


28

22 0n nu u u + + = (2.26) unde n k m = , conform definiiei anterioare i

2 n cr

c cm c

= = (2.27)

Ne vom referi la valoarea

22 2cr nn

kc m km = = = (2.28)

prin coeficientul de amortizare critic, iar este fraciunea din amortizare critic. Coeficientul de amortizare c este o msur a energie disipate de sistem ntr-un ciclu de oscilaii libere. Pe de alt parte, fraciunea de amortizare critic este o msur adimensional a amortizrii, proprie unui sistem i care depinde inclusiv de masa i rigiditatea sistemului.

Tipuri de micare

n Figura 2.12 sunt prezentate deformaiile u(t) ale unor sisteme SGLD supuse unei deplasri iniiale u(0) pentru trei valori ale . Dac c=ccr sau 1 = , sistemul revine la poziia de echilibru static fr a efectua vre-o oscilaie. Dac c>ccr sau 1 > , sistemul revine la poziia de echilibru static fr a efectua vre-o oscilaie, la fel ca n cazul 1 = , dar mai lent. Dac c


29

21D n = (2.30) Se poate observa c nlocuind 0 = n ecuaia (2.29) se reduce la ecuaia (2.18), ce caracterizeaz sisteme neamortizare.

Ecuaia (2.29) reprezentnd oscilaiile libere ale unui sistem SGLD cu o amortizare 0.05 = sau 5% este prezentat n Figura 2.13. Pentru comparaie este inclus i reprezentarea oscilaiilor unui sistem SGLD care efectueaz oscilaii libere neamortizate. Oscilaiile libere sunt iniiate de aceiai deplasare iniial (0)u i vitez iniial (0)u . Din ecuaia (2.29) i Figura 2.13 se poate observa c frecvena circular a oscilaiilor amortizate este D i c aceasta depinde de frecvena circular proprie a oscilaiilor libere neamortizate n prin intermediul relaiei (2.30). n mod similar, perioada vibraiilor forate 2D DT = depinde de perioada proprie a oscilaiilor neamortizate Tn prin relaia:

21

nD

TT = (2.31)

Figura 2.13. Comparaie ntre oscilaii libere amortizate i neamortizate (Chopra, 2001).

Figura 2.14. Efectul amortizrii asupra perioadei proprii de vibraie (Chopra, 2001).

n timp ce amplitudinea oscilaiilor neamortizate este aceiai n toate ciclurile, amplitudinea micrii amortizate scade cu fiecare ciclu de oscilaie. Ecuaia (2.29) indic faptul c amplitudinea micrii amortizate scade exponenial cu timpul. nfurtoarea micrii de oscilaii amortizate este

nte , unde:


30

( ) ( )2

2 0 (0)0 n

D

u uu

+ = +

(2.32)

Amortizarea are ca efect reducerea frecvenei circulare de la n la D i de lungire a perioadei de vibraie de la Tn la TD. Acest efect este neglijabil pentru fraciuni din amortizarea critic sub 20% (vezi Figura 2.14), domeniu care include majoritatea structurilor inginereti.

Efectul mai important al amortizrii este cel asupra ratei de atenuare a oscilaiilor libere, efect exemplificat n Figura 2.15.

Figura 2.15. Oscilaii libere pentru patru nivele ale amortizrii: 2%, 5%,10% 20%si =

Atenuarea micrii

n cele ce urmeaz este analizat relaia ntre raportul dintre dou vrfuri succesive ale micrii de oscilaie amortizat i fraciunea de amortizare critic. Raportul dintre valoarea deplasrii la timpul t i cea care este nregistrat dup o perioad TD este independent de t. Acest raport poate fi determinat din ecuaia (2.29):

( )( ) exp( ) n DD

u t Tu t T

=+ (2.33)

Folosind ecuaiile (2.31) i (2.20) obinem:

2

( ) 2exp( ) 1D

u tu t T

= + (2.34)

Ecuaiile (2.33) i (2.34) reprezint n acelai timp i raportul dintre vrfurile succesive ale micrii oscilatorii (vezi Figura 2.16) 1i iu u + , deoarece aceste vrfuri au loc la intervale de timp egale cu TD:

2

1

2exp1

i

i

uu

+

= (2.35)

Logaritmul natural al acestui raport este denumit decrementul logaritmic i este notat prin :

21

2ln1

i

i

uu

+= = (2.36)

Pentru valori mici ale fraciunii din amortizarea critic, 21 1 , ceea ce conduce la relaia aproximativ:

2 (2.37)


31

Figura 2.16. Vrfurile unei micri oscilatorii amortizate (Chopra, 2001).

n Figura 2.17 sunt indicate relaiile exacte i aproximative ntre decrementul logaritmic i fraciunea de amortizare critic . Se poate concluziona c relaia (2.37) este valabil pentru

0.2 < , caz care acoper majoritatea cazurilor practice. n cazurile n care atenuarea micrii are loc lent, datorit unei amortizri mici a structurii, este util determinarea decrementului logaritmic pe baza unor vrfuri aflate la cteva perioade. Pe durata a j oscilaii amplitudinea micrii se diminueaz de la u1 la u1+j. Acest raport este dat de:

31 1 21 2 3 4 1

j j

j j

uuu u u eu u u u u

+ +

= ="

De unde:

( ) ( )1 11 ln 2jj u u += (2.38)

Figura 2.17. Relaia exact i cea aproximativ ntre decrementul logaritmic i fraciunea de

amortizare critic, (Chopra, 2001).

ncercri libere amortizate

Determinarea analitic a fraciunii din amortizarea critic pentru structuri inginereti practice nu este posibil, de aceea aceast proprietate se terin experimental. ncercri experimentale de oscilaii libere amortizate pe structuri reale reprezint una dintre modalitile de determinare practic a amortizrii. Pentru sisteme cu o amortizare mic, fraciunea din amortizarea critic poate fi determinat din relaiile:

1 1ln ln2 2

i i

i j i j

u usauj u j u

+ += = (2.39)

Prima din aceste relaii este echivalent cu ecuaia (2.38), iar cea de-a doua este o relaie similar n termeni de acceleraie (care este mai uor de nregistrat dect deplasrile), i care poate fi demonstrat a fi adevrat pentru structuri slab amortizate.


32

2.3. Vibraii forate Forele dinamice care pot fi aplicate structuri inginereti au diverse forme. n acest capitol vor fi considerate dou clase de ncrcri dinamice. Prima intre acestea reprezint ncrcrile armonice i periodice, care pot proveni spre exemplu ca urmare a unor dispozitive rotative amplasate n cldiri. Cea de-a doua categorie de ncrcri dinamice sunt cele care variaz arbitrar n timp, cele de tip treapt i oc.

2.3.1. Vibraii armonice neamortizate ale sistemelor SGLD

O for armonic are forma 0( ) sinp t p t= sau 0( ) cosp t p t= , unde p0 reprezint amplitudinea forei perturbatoare, iar pulsaia acesteia, creia i corespunde perioada 2T = (vezi Figura 2.18a). n cele ce urmeaz se va prezenta rspunsul unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic sub efectul unei ncrcri de tip sinus, deoarece rspunsul la o ncrcare dinamic de tip cosinus este similar cu aceasta.

Folosind ecuaia de micare (2.6) pentru cazul unor vibraii neamortizate generate de o for perturbatoare 0( ) sinp t p t= obinem: 0 sinmu ku p t+ = (2.40) Deformaia u(t) a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.40) pentru condiiile iniiale:

(0) (0)u u u u= = (2.41) unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul n care este aplicat fora dinamic p(t). Soluia particular a ecuaiei (2.40) este:

( )0

2

1( ) sin1

p nn

pu t tk

= (2.42)

Soluia complementar a ecuaiei (2.40) este:

( ) cos sinc n nu t A t B t = + (2.43) soluia complet fiind suma soluiei particulare i a celei complementare:

( )0

2

1( ) cos sin sin1

n nn

pu t A t B t tk

= + + (2.44)

Folosind condiiile iniiale (2.41) se obine soluia final:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

2 2

0 / 1( ) 0 cos sin sin1 1

nn n

n n n

u p pu t u t t tk k

= + +

(2.45)

rspuns tranzitoriu rspuns staionar

Ecuaia (2.45) este reprezentat n Figura 2.18b pentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= cu linie continu. Termenul din ecuaia (2.45) care include sin t reprezint soluia particular a ecuaiei de micare (2.40) i este reprezentat cu linie ntrerupt.

Pe baza ecuaiei (2.45) i folosind Figura 2.18b se poate observa c deplasarea u(t) are dou componente distincte de vibraie: termenul coninnd sin t care definete o micare oscilatorie cu frecvena perturbatoare termenii coninnd cos nt i sin nt care definesc o micare oscilatorie la frecvena proprie de

vibraie a sistemului

Prim dintre aceste componente se numete rspuns staionar sau forat, deoarece acesta se datoreaz forei dinamice aplicate i nu este influenat de condiiile iniiale. Cea de-a doua component poart denumirea de rspuns tranzitoriu, care depinde de deplasarea i viteza


33

iniial, precum i de proprietile sistemului SGLD i fora perturbatoare. Rspunsul tranzitoriu exist chiar i pentru (0) (0) 0u u= = , caz n care ecuaia (2.45) devine:

( )0

2

1( ) sin sin1

nnn

pu t t tk

=

(2.46)

Figura 2.18. Fora armonic (a); rspunsul unui sistem SGLD sub aciunea unei fore armonice

pentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= (b), Chopra, 2001. Rspunsul tranzitoriu apare n Figura 2.18 ca deferena dintre rspunsul total i cel staionar. Acesta continu la infinit doar n cazul teoretic al vibraiilor neamortizate, amortizarea prezent n cazul structurilor reale ducnd la diminuarea acestuia cu timpul, motiv din care se numete tranzitoriu.

n cazul n care se neglijeaz efectul dinamic al sistemului SGLD, coninut n termenul de acceleraie din ecuaia (2.40), se obine deplasarea static a sistemului n orice moment de timp t dat:

( ) 0 sinst pu t tk = (2.47) Valoarea maxim a deplasrii statice este:

( ) 00st pu k= (2.48)


34

care reprezint deformaia maxim a sistemului sub aciunea unei fore statice cu valoarea p0 i care va fi denumit n continuare deformaia static. Folosind aceast ultim notaie, rspunsul staionar poate fi exprimat ca:

( ) ( )201( ) sin

1st

n

u t u t =

(2.49)

Factorul din paranteza ptrat a expresiei (2.49) este reprezentat n Figura 2.19 funcie de raportul dintre pulsaia perturbatoare i pulsaia proprie de vibraie a sistemului SGLD ( )n . Pentru

1n < sau n < acest factor este pozitiv, indicnd faptul c deplasarea u(t) i fora perturbatoare p(t) au acelai semn algebric (sistemul se deplaseaz n acelai sens n care acioneaz fora). n acest caz se spune c deplasarea este n faz cu fora perturbatoare. Pentru

1n > sau n > acest factor este negativ, indicnd faptul c deplasarea u(t) i fora perturbatoare p(t) au semne algebrice opuse (sistemul se deplaseaz n direcie opus sensului n care acioneaz fora). n acest caz deplasarea este defazat fa de fora perturbatoare.

Figura 2.19. Reprezentarea factorului ( )21

1 n funcie de raportul n (Chopra, 2001).

Noiunea de faz poate fi exprimat matematic prin exprimarea relaiei (2.49) n funcie de amplitudinea u0 a deplasrii u(t) i a unghiului de faz n urmtoarea form: ( ) ( ) ( )0 0( ) sin sinst du t u t u R t = = (2.50) unde

( ) ( )0

20

011801

nd

nst n

uR iu

(2.51)

Pentru n < unghiul de faz =0, indicnd faptul c deplasarea u(t) variaz proporional cu sin t , n faz cu fora perturbatoare p(t). Pentru n > unghiul de faz =180, indicnd faptul c deplasarea u(t) variaz proporional cu sin t , defazat fa de fora perturbatoare p(t). Variaia unghiului de faz funcie de raportul n este reprezentat n Figura 2.20.


35

Figura 2.20. Factorul dinamic pentru deplasare i unghiul de faz pentru un sistem neamortizat

excitat de o for armonic (Chopra, 2001).

Factorul dinamic pentru deplasare Rd este egal cu raportul dintre amplitudinea u0 a deplasrii dinamice (oscilatorii) i deplasarea static ( )0stu . Expresia factorului dinamic pentru deplasare din ecuaia (2.51) este prezentat grafic n Figura 2.20 funcie de raportul n i permite urmtoarele observaii: pentru valori mici ale raportului n (fora dinamic variaz "lent"), factorul dinamic pentru

deplasare Rd este doar cu puin mai mare dect 1, amplitudinea micrii dinamice fiind apropiat de deformaia static

pentru 2n > ( 2n > ), factorul dinamic pentru deplasare Rd < 1, amplitudinea micrii dinamice fiind mai mic dect deformaia static

odat cu creterea raportului n peste 2 factorul dinamic pentru deplasare Rd scade, ajungnd la valoarea 0 pentru n , ceea ce implic faptul c oscilaiile datorate unei variaii foarte rapide ale forei perturbatoare n comparaie cu pulsaia proprie a sistemului sunt mici

pentru 1n ( apropiat de n ), factorul dinamic pentru deplasare Rd este cu mult mai mare dect 1, ceea ce nseamn c amplitudinea micrii dinamice este mult mai mare dect deformaia static

Pulsaia rezonant reprezint pulsaia forei perturbatoare pentru care factorul dinamic Rd este maxim. n cazul unui sistem neamortizat pulsaia rezonant coincide cu pulsaia proprie de vibraie

n , iar factorul dinamic pentru deplasare Rd este infinit la aceast pulsaie. Totui, micarea de oscilaie nu devine infinit imediat, ci gradual, dup cum se va vedea din cele ce urmeaz.


36

Pentru n = soluia (2.46) a ecuaiei de micare nu mai este valabil, soluia particular (2.42) nefiind valabil deoarece este parte a soluiei complementare. n acest caz soluia particular are forma:

( ) 0 cos2p n n npu t t tk = = (2.52)

iar soluia complet pentru condiii iniiale de repaus (0) (0) 0u u= = devine:

( )01( ) cos sin2 n n n

pu t t t tk

= (2.53) sau

( )0( ) 1 2 2 2cos sin

2st n n n

u t t t tu T T T

= (2.54)

Aceast relaie este reprezentat grafic n Figura 2.21, de unde se poate observa c timpul n care are loc o oscilaie complet este egal cu Tn. Micarea oscilatorie u(t) are maxime locale pentru ( )1/ 2 nt j T= cu valori de ( )( )01/ 2 , 1,2,3...stj u j = , i minime locale pentru nt jT= cu valori de

( )0 , 1,2,3...stj u j = . n fiecare ciclu de oscilaie amplitudinea deplasrii crete cu valoarea: ( ) ( ) ( ) 01 0 01j j st st pu u u j j u k + = + = = (2.55) Amplitudinea deplasrii crete la infinit, dar aceasta devine infinit doar dup un timp infinit.

Figura 2.21. Rspunsul unui sistem neamortizat sub aciunea unei fore sinusoidale cu frecvena

n = , (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001). Creterea infinit a deformaiilor n cazul sistemelor neamortizate sub aciunea unei ncrcri armonice este teoretic din dou motive. n primul rnd structurile reale au amortizare intrinsec, care va limita amplificarea la infinit a deformaiilor. n cel de-al doilea rnd, structurile reale nu au un rspuns infinit elastic, astfel nct odat cu creterea deformaiilor peste o anumit valoare, structura fie va intra n curgere plastic, rigiditatea va scdea i pulsaia proprie nu va mai fi egal cu cea perturbatoare, fie va ceda ntr-un mod fragil.


37

2.3.2. Vibraii armonice amortizate ale sistemelor SGLD

Rspunsul staionar i tranzitoriu

Folosind ecuaia de micare (2.6) pentru cazul unor vibraii amortizate generate de o for perturbatoare 0( ) sinp t p t= obinem: 0 sinmu cu ku p t+ + = (2.56) Deformaia u(t) a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.56) pentru condiiile iniiale:

(0) (0)u u u u= = (2.57) unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul n care este aplicat fora dinamic p(t). Soluia particular a ecuaiei (2.56) este:

( ) sin cospu t C t D t = + (2.58) unde

( )( ) ( )

( )( ) ( )

20

2 22

02 22

1

1 2

2

1 2

n

n n

n

n n

pCk

pDk

= + = +

(2.59)

Soluia complementar a ecuaiei (2.56) este identic soluia care caracterizeaz oscilaiile libere amortizate:

( )( ) cos sinntc D Du t e A t B t = + (2.60) unde 21D n = . Soluia complet a ecuaiei (2.56) este: ( )( ) cos sin sin cosnt D Du t e A t B t C t D t = + + + (2.61) rspuns tranzitoriu rspuns staionar

Figura 2.22. Rspunsul unui sistem SGLD amortizat sub aciunea unei fore armonice pentru

0.2n = , 0.05 = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= (Chopra, 2001).


38

Constantele A i B de mai sus pot fi determinate folosind condiiile iniiale (0)u i (0)u . Similar vibraiilor forate neamortizate, rspunsul dinamic n cazul unor vibraii forate amortizate este compus din dou componente: rspunsul tranzitoriu i cel staionar sau forat.

Ecuaia (2.61) este reprezentat grafic n Figura 2.22 pentru 0.2n = , 0.05 = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= . Rspunsul total este indicat printr-o linie continu, iar cel staionar printr-o linie

ntrerupt. Diferena dintre rspunsul total i cel staionar este rspunsul tranzitoriu, care scade exponenial cu timpul cu o rat care depinde de n i . Dup un timp rspunsul unui sistem amortizat acionat de o for perturbatoare armonic este guvernat de componenta staionar. n mare parte din cele ce urmeaz se va studia doar componenta staionar a vibraiilor forate. Se va avea totui n vedere c este posibil ca deformaia maxim a sistemului s aib loc nainte ca sistemul s ating stadiul staionar.

Rspunsul pentru =n n continuare se va examina rolul amortizrii n reducerea vibraiilor tranzitorii i n limitarea vibraiilor staionare pentru cazul n care pulsaia forei perturbatoare este egal cu pulsaia proprie a sistemului. Pentru n = constantele C i D din ecuaia (2.59) devin C=0 i ( )0 2stD u = . Pentru n = i condiii iniiale de repaus, constantele A i B din ecuaia (2.61) pot fi determinate a fi ( )0 2stA u = i ( ) 20 2 1stB u = . nlocuind valorile constantelor A, B, C i D n ecuaia (2.61), aceasta devine:

( )0 21( ) cos sin cos2 1nt

st D D nu t u e t t t

= + (2.62)

Ecuaia (2.62) este reprezentat grafic n Figura 2.23 pentru fraciunea din amortizarea critic 0.05 = . Comparnd Figura 2.23 cu Figura 2.21 reprezentnd cazul vibraiilor neamortizate se

poate observa c amortizarea atenueaz micarea oscilatorie n fiecare ciclu, limitnd rspunsul la valoarea:

( )0

0 2stuu = (2.63)

Pentru sisteme cu o amortizare mic, termenul coninnd sinus din ecuaia (2.62) este neglijabil, iar D n , astfel nct ecuaia (2.62) se simplific la: ( ) ( )0 1( ) 1 cos2 ntst nu t u e t (2.64) funcia nfurtoare

Variaia n timp a deplasrii urmrete forma dat de funcia cos nt , amplitudinea acesteia fiind indicat n Figura 2.23 cu linie ntrerupt.

Amplitudinea micrii staionare sub aciunea unei fore perturbatoare cu pulsaia n = i rata cu care este atins starea de micare staionar depinde foarte mult de amortizarea sistemului. Acest fapt se poate observa n Figura 2.24, n care este reprezentat ecuaia (2.62) pentru trei valori ale : 0.01, 0.05 i 0.1. Cu ct este mai mic amortizarea, cu att este mai mare numrul de oscilaii necesare pentru a atinge o anumit proporie din amplitudinea micrii staionare u0. De exemplu, numrul de oscilaii complete necesare pentru a atinge 95% din u0 este egal cu 48 pentru = 0.01, 24 pentru = 0.02, 10 pentru = 0.05, 5 pentru = 0.1, 2 pentru = 0.2.


39

Figura 2.23. Rspunsul unui sistem amortizat cu 0.05 = sub aciunea unei fore perturbatoare

sinusoidale cu n = ; (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).

Figura 2.24. Rspunsul a trei sisteme amortizat cu = 0.01, 0.05 i 0.1 sub aciunea unei fore

perturbatoare sinusoidale cu n = ; (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001). Deformaia maxim i unghiul de faz

Deformaiile sistemului n stadiul de vibraii staionare sunt definite de ecuaiile (2.58) i (2.59), i pot fi rescrise sub urmtoare form:

( ) ( ) ( ) ( )0 0sin sinst du t u t u R t = = (2.65) unde 2 20u C D= + i ( )1tan D C = . nlocuind valorile C i D, rezult: ( ) ( ) ( )

02 220

1

1 / 2 /d

stn n

uRu

= = +

(2.66)

( )( )1

2

2 /tan

1 /n

n

= (2.67)

Ecuaia (2.65) este reprezentat grafic n Figura 2.25 pentru trei valori ale raportului / n i o valoare fix a amortizrii ( 0.2 = ). n aceast figur sunt indicate valorile Rd i , precum i variaia


40

n timp a deformaiei statice, care este proporional cu fora perturbatoare p(t). Micarea staionar are aceiai perioad ca i fora perturbatoare ( 2 /T = ), dar cu defazaj de / 2 .

Figura 2.25. Rspunsul staionar al unor sisteme amortizate ( 0.2 = ) sub aciunea unei fore

perturbatoare sinusoidale cu pulsaia: / n = 0.5 (a), / n = 1 (b), / n = 2 (c), Chopra, 2001.


41

Figura 2.26. Factorul dinamic pentru deplasri i unghiul de faz pentru un sistem amortizat excitat

de o for perturbatoare armonic (Chopra, 2001).

n Figura 2.26 este prezentat factorul dinamic pentru deplasare funcie de / n pentru cteva valori ale fraciunii din amortizarea critic . Comparnd o reprezentare similar a factorului dinamic pentru cazul vibraiilor neamortizate din Figura 2.20, se poate observa c amortizarea reduce factorul Rd, i n consecin i amplitudinea micrii pentru toate pulsaiile ale forei perturbatoare. Aceast reducere este ntr-o strns legtur cu pulsaia forei perturbatoare, fiind examinat mai jos pentru trei regiuni ale scrii de pulsaie: Pentru valori ale raportului 1n ( nT T , adic fora dinamic variaz "lent"), factorul

dinamic pentru deplasare Rd este doar cu puin mai mare dect 1, amplitudinea micrii dinamice fiind apropiat de deformaia static i fiind quasi-independent de valoarea amortizrii. Astfel,

( ) 00 0st pu u k = (2.68) Acest rezultat implic faptul c rspunsul dinamic este foarte apropiat de cel static i este guvernat de rigiditatea sistemului.


42

Pentru 1n ( nT T , adic fora dinamic variaz "repede"), factorul dinamic pentru deplasare Rd tinde ctre zero odat cu creterea raportului n i este puin afectat de valoarea amortizrii. Pentru valori ridicate ale raportului n , termenul ( )4n domin ecuaia (2.66), care poate fi aproximat cu:

( ) 2 00 2 20 nst pu u m = (2.69)

ceea ce implic faptul c rspunsul este controlat de masa sistemului. Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie de vibraie a

sistemului), factorul dinamic pentru deplasare Rd este sensibil la valoarea amortizrii, i pentru valori mici ale amortizrii poate fi mult mai mare dect 1, ceea ce nseamn c amplitudinea micrii dinamice poate fi mult mai mare dect deformaia static. Pentru 1n = ecuaia (2.66) devine:

( )0 0

0 2st

n

u puc = = (2.70)

ceea ce implic faptul c amplitudinea micrii este controlat de amortizarea sistemului.

Unghiul de faz , care indic defazajul n timpul dintre rspunsul sistemului i fora perturbatoare variaz cu raportul n i este reprezentat grafic n Figura 2.26. Valoarea acestuia este examinat mai jos pentru aceleai trei regiuni ale domeniul de valori n : Pentru valori ale raportului 1n (fora dinamic variaz "lent"), unghiul de faz este

apropiat de 0, deplasarea sistemului fiind aproximativ n faz cu fora perturbatoare, ca n Figura 2.25a. Deplasarea sistemului i fora perturbatoare au acelai sens.

Pentru 1n (fora dinamic variaz "repede"), unghiul de faz este apropiat de 180, deplasarea sistemului fiind n esen defazat de fora perturbatoare, ca n Figura 2.25c. Deplasarea sistemului i fora perturbatoare au sensuri opuse.

Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie de vibraie a sistemului), unghiul de faz are valoarea de 90 pentru orice valoare a lui , deplasarea sistemului avnd un maximum la trecerea forei prin valoarea 0, situaie exemplificat n Figura 2.25b.

Factorii dinamici

Ecuaia (2.65) reprezentnd rspunsul staionar al unui sistem amortizat sub aciunea unei fore perturbatoare armonice poate fi scris sub urmtoarea form:

( ) ( )0

sindu t

R tp k

= (2.71)

Factorul dinamic pentru deplasare Rd este egal cu raportul dintre amplitudinea u0 a deplasrii dinamice (oscilatorii) i deplasarea static ( )0stu i este dat de ecuaia (2.66). Derivnd ecuaia (2.71) n raport cu timpul obinem urmtoarea relaie:

( ) ( )0

cosvu t

R tp km

= (2.72)

unde Rv este factorul dinamic pentru vitez i care este raportat la Rd prin ecuaia:

v dn

R R= (2.73)

Derivnd ecuaia (2.72) n raport cu timpul obinem urmtoarea relaie:


43

( ) ( )0

sinau t

R tp m

= (2.74)

unde Ra este factorul dinamic pentru acceleraie i care este raportat la Rd prin ecuaia:

2

a dn

R R =

(2.75)

Figura 2.27. Factorii dinamic pentru deplasare, vitez i acceleraie pentru un sistem amortizat

excitat de o for armonic (Chopra, 2001).

Din ecuaia (2.74) se poate observa c Ra reprezint raportul dintre acceleraia sistemului dinamic i acceleraia indus de fora p0 asupra masei m.

Factorii dinamic Rd, Rv i Ra sunt reprezentai funcie de raportul n n Figura 2.27. Se pot observa urmtoarele: Factorul dinamic pentru deplasare Rd este egal cu 1 pentru 0n = , are valoarea maxim

pentru 1n < i tinde ctre zero pentru n Factorul dinamic pentru vitez Rv este egal cu 0 pentru 0n = , are valoarea maxim pentru

1n = i tinde ctre zero pentru n


44

Factorul dinamic pentru acceleraie Ra este egal cu 0 pentru 0n = , are valoarea maxim pentru 1n > i tinde ctre 1 pentru n

Pentru 1 2 > factorii Rd i Ra nu nregistreaz vrfuri. Relaia simpl ntre cei trei factori dinamici:

a v dn n

R R R = = (2.76)

permite reprezentarea celor trei factori pe un singur grafic logaritmic (vezi Figura 2.28). Astfel, relaia d nR este reprezentat n mod similar cu Figura 2.27b, dar folosind o scar logaritmic. Valorile Rd i Ra pot fi determinate de pe scrile logaritmice diagonale, diferite de scara vertical pentru Rv. Aceast reprezentare compact permite nlocuirea celor trei grafice din Figura 2.27 cu unul singur (Figura 2.28).

Figura 2.28. Reprezentare folosind un grafic combinat cu patru scri logaritmice a factorilor dinamici pentru deplasare, vitez i acceleraie pentru un sistem amortizat excitat de o for

armonic (Chopra, 2001).

Rspunsul la rezonan

Frecvena rezonant este definit ca i frecvena la care se nregistreaz amplitudinea maxim a rspunsului n termeni de deplasare, vitez sau accelerai

curs inginerie seismica - aurel stratan

Documents