Cap 1 Obiectul identificării: Metode de identificare a Sistemelor

Problema centrală a analizei sistemelor o reprezintă studiul evoluției în timp a semnalului de ieșire, determinată atât de către variația semnalului de intrare (și/sau perturbație), cât și de proprietățile sistemului.

Problema dezvoltată de-a lungul întregului curs, deci problema IDENTIFICĂRII poate fi privită ca problemă inversă analizei sistemelor, și anume, fiind cunoscută evoluția în timp a semnalelor de intrare și ieșire, să se determine MM care descrie comportarea sistemului (poate fi ecuația diferențială, ecuație cu diferențe, funcția pondere sau secvența de pondere, funcția de transfer, etc).

DEF:(Zadeh): IDENTIFICAREA poate fi definită ca determinarea, pe baza intrării și ieșirii a unui sistem dintr-o clasă determinată de sisteme, față de care sistemul care se încearcă este echivalent.

Definiția implică explicarea problemelor:-clasă de sisteme-echivalență

Sistemul care se analizează îl vom numi sistem, proces tehnic sau simplu, proces, iar elementele clasei de sisteme se vor numi MODELE.

Echivalența se definește în funcție de un criteriu sau funcție de eroare, care este dependentă de ieșirea y a sistemului sau de ieșirea y M a modelului.Notam: J=J(y,y M)- criteriul

Doua modele:M 1, M 2 se spune că sunt echivalente dacă valoarea funcției criteriu (funcției de eroare) este aceași pentru ambele modele.Deci: : J(y,y M 1

¿=J(y,y M 2)Ex: de criteriu: e=y- y M - Criteriul erorii pătratice.

Valorile numerice ale parametrilor modelului trebuiesc determinate astfel încât comportarea modelului să fie cat mai apropiată de comportarea sistemului.

J=∫0

T

e ( t )dt → y ≠ ym

J(y,ym)=∫0

T

e2 ( t ) dt

Comportarea MM comparativ sistemului det:

Măsurarea acestei proprietăți Model-Sistem o reprezintă tocmai Criteriul de Eroare, care exprimă cantitativ ”distanța” dintre model și proces (sistem).

Definind spațiul parametric ca fiind spațiul parametrilor Ɵi de determinat, Modelul este reprezentat de un punct, iar sistemul de alt punct, Criteriul fiind construit din distanța celor 2 puncte.

Procedura de determinare a parametrilor este o procedură de Minimizare a acestei distanțe.

Exista mai multe posibilități de a definii distanța: ex: Distanța de ieșire, bazată pe diferența ieșirii modelului și a sistemului.

Clasificarea Metodelor de IDENTIFICAREIdentificarea: a)Parțială

b)Totalăa)Identificare Parțială: Structura modelului procesului se consideră cunoscută. Se pune problema determinării parametrilor lui.b)Identificare Totală: Procesul se consideră total necunoscut urmand să se determine atât structura, cât și parametrii. În acest caz, procesul este denumit BLACK BOX(cutie neagra).

Identificarea ca procedură (tehnică) de determinare a modelului presupune posibilitaea abordării pe cele 2 CĂI cunoscute deja:1. Ientificarea analitică.2. Ientificarea experimentală - care presupune determinarea Modelului pe baza unor măsurătorii ale intrarii și ieșirii, cu alte cuvinte pe baza unui experiment.

În general se merge pe ideea unei identificări mixte, care prsupune urmatoarea idee: dacă din cunoșterea parțială a funcționării procesului se poate dispune de o anumită cantitate de cunoștințe care să faciliteze fixarea Structurii modelului, ceea ce mai rămâne de facut este determinarea valorilor numerice ale parametrilor, deci practic problema identificării se reduce la Problema estimării parametilor.

Pp. Că se dispune de: -secvența de intrare u(t)-secvența de ieșire y(t)

Mai cunoaștem relația: y(t)=∫0

T

h ( t−τ )u ( τ ) dτ (1) (Integrala de CONVOLUȚIE)

Deci problema este că, din datele de intrare și ieșire masurate în intervalul de timp [t 0,t f ] se dorește determinarea funcției pondere: h (t−τ )OBS:{ t<t 0 cu cât (t f -t 0) este mai mare ....

Funcția pondere determinată cu rel.(1), aduce o serie de informații privind comportarea dinamică a procesului respectiv, dar, este funcția pondere oare modelul necesar într-o problemă de reglare optimală ?

criteriul

„Spațiul parametrilor θi de determinat”=

„Spațiul parametric”

Considerând eroarea sau distanță

e(i)= y M(i)-y(i)=>

cu parametri → J ¿e(i))=∑i=1

N

[ yM (i)− y (i)]2 N-numărul de puncte măsurate

Întrebarea sugerează faptul că identificarea trebuie abordată întotdeauna în raport cu scopul final, care ar putea fi:

a) analiza comportării dinamice a sistemului;b)conectarea unei bucle de reglare clasice;c)determinarea unei comenzi optimale (obținută prin exprimarea unui criteriu).

Este evident că în parcurgerea de la a) la c) modelul necesar este altul și alta este și precizia cerută asupra modelului.

Cunoașterea scopului final i se adaugă întotdeauna o informație apriorică întodeauna disponibilă.

Schematic, considerațile anterioare privind modul general de desfașurare a determinarii modelului unui proces pot fi surprinse de urmatoarea diagramă:

În diversele etape de succesiune ale acestui algoritm general de identificare de tipul celui din figură, pot să apară o serie de întrebări de tipul:1)Se poate aplica un semnal de test(de probă) sau este necesară observarea în funcționarea normală a procesului ?2)Dacă este posibilă(admisă) aplicarea semnalului de test care trebuie să fie amptitudinea maximă a acestui semnal, pentru a nu pertutrba prea mult procesul și/sau pentru a nu-l scoate din zona de funcționare liniară ?3)Ce semnal de test trebuie considerat pentru a obține o informație cât mai bogată despre proces?4)Procesul trebuie identificat în buclă închisă, sau o identificare în bucla deschisă e suficientă?5)Care clasa de modele care trebuie considerată în încercarea de a aproxima procesul? Se caută întotdeauna un compromis simplitate – precizie.6)în funcție de răspunsurile la întrebările de mai sus și de disponibilitațile hard-soft, care este metoda cea mai indicată?7)Este suficientă o variantă OFF-LINE sau se impune o variantă ON-LINE ?

Diferite Metode de IDENTIFICARE se pot clasifica după:1)-Tipul de semnal de intrare2)-Clasa de modele3)-Indicele de performanță privind aproximarea procesului de către model4)-Caracterul calculelor OFF sau ON LINE5)-Identificare: -parametrică;

-neparametrică;

6)-Identificare: -statică: Se urmarește determinarea unui model static (un model care să descrie funcționarea sistemului presupus stabil pentru intrări constante)

-dinamică: Presupune determinarea unui model dinamic (relații dintre evoluția în timp a ieșirilor și respectiv intrărilor). Evoluția în timp se consideră în jurul unui anumit punct de funcționare.

7)-Identificarea:-staționară- în cazul sistemelor invariante -adaptivă- în cazul sistemelor variante

8)-Identificarea:-în timp diferit=OFF-LINE-dacă prelucratea datelor se face în timp deconectat față de funcționarea procesului

-în timp real=ON-LINE -||- conectat.9)-Metode active de identificare –presupune aplicarea unor semnale de test(probă)

urmărindu-se determinarea(obținerea) unor informații care fară un efort de calcul deosebit să furnizeze modelul căutat.

În general, printr-o metodă activă se determină un model Neparametric.Schema ar fi:

O serie de probleme apar în acest caz, legate de generarea și caracteristicile semnalelor de probă.

Restricțile cele mai importante sunt legate de:-amptitudine – o identificare bună solicită o putere mare pentru semnalul de test, dar

procesul nu poate fi perturbat oricât.-durată – o identificare bună solicită timp de experimentare lung, dar din considerente

funcționale sau datorită variației lente în timp ale unor parametri, timpul de experiment este limitat.Avantaj:-Efortul de calcul este mic. Metodele active permit obținerea lejeră a modelelor neparametrice.

9)Alternativa o oferă Metodele pasive – ce utilizează variații aleatoare de număr de I și E ale procesului în funcționarea lui normală.

Metodele pasive nu mai sunt legate de metodele de generare ale semnalului de test.Metodele pasive conduc aproape întotdeauna la Modelele parametrice.

Model neparametric: -funcția pondere -răspuns indicial -caracteristica de frecvență

Model parametric (f.d.t. de ex).

Model parametric (f.d.t.).

Identificarea Neparametrică

Aceste metode se caracterizează prin faptul că modelele rezultate sunt curbe sau funcții pentru care nu este necesară o parametrizare printr-un vector finit dimensional al parametrilor.

Dintre aceste metode se disting ca fiind reprezentative urmatoarele:1-Metode de analiză tranzitorie:-pentru care semnalul de test este de tipul treaptă sau impuls

Dirac, iar modelul este constituit de înregistrarea ieșirii, deci de forma funcției indiciale sau funcția pondere.

2-Metodele analizei de frecvență, deci intrarea este una sinusoidală(o funcție armonică)MM=caracteristici de frecvență3-Metode de corelație

1-Metode de analiză tranzitorie:Identificarea grafo-analitică din răspunsul indicial-pentru sisteme PT1:-proporțional temporizarea de ord.IÎn domeniul timp este o ecuație: Tẏ(t)+y(t)=K·u(t)F.d.t. corespunzătoare: H(s)=K/(Ts+1)Răspuns indicial: y(t)= L−1 {H (s)· 1/s }=K ·[1−exp(−t /T )] (1)Graficul răspuns indicial:

OBS: În figură, raspunsul indicial experimental se reprezintă în forma normală: y(t)/y(ts) => dispare influența factorului K de amplificare (transfer)

y(ts)=K dacă: {y(0)=u(0)=0.Factorul de transfer K reprezintă raportul dintre valoarea staționară a ieșirii și

respectiv amptitudinea treptei de intrare:

K=y ( ts )− y (0)u ( ts )−u (0 )

Problema se pune de a determina coeficientul de transfer K din răspunsul indicial. Aceasta este o problemă directă.

Mai rămâne de determinat valoarea constantei de timp T.În expresia (1) facem: t=T

y(T) =K[1-e−1]=0,63·K => răspunsul indicial

Constanta de timp al unui sistem PT1 reprezintă timpul pentru care răspunsul indicial atinge 63% din valoarea lui staționară.

În expresia(1): dydt

∨¿t=0¿= KT

exp(−t /T )∨¿t=0¿= KT

} amptitudinea treptei de intrare

Interpretarea: tangenta în 0.

0,37

-Funcția pondere h(t)-Răspuns indicial-Caracteristica de frecvență

L=separatorul LaplaceL−1=transformata Laplace

Constanta de timp T poate fi obținută grafic și ca abscisă corespunzătoare punctului de intersecție dintre tangenta în origine și asimptota la caracteristica de răspuns(pt·t=∞).

Procesul pe care se merge este 63%.

SISTEME CU TIMP MORT

H(s)= KTs+1

e−sTm

-Expresia analitică a răspunsului la semnalul treaptă în acest caz este:y(t)= 0 , pentru t≤Tm

k{1−exp¿/T]} , pentru oricare t¿Tm

-Reprezentăm grafic forma unui raspuns indicial:

Factorul de transfer K și respectiv constanta de timp T se determină analog cazului precedent.

În determinarea timpului mort Tm este important să se țină cont de zona de insensibilitate și clasa de precizie a aparatelor de măsurat.

Valoarea Tm se determină ca fiind intervalul de timp măsurat din momentul aplicării semnalului de probă până când funcția indicială rămâne inferioră unei valori Ԑ, calculată în raport cu clasa de precizie a aparatului.

Y(Tm)=Ԑ Ԑ ≤(0,01 ÷ 0,02) · y (ts)

IDENTIFICAREA GRAFICĂ DIN FUNCȚIA PONDEREExpresia analitică a funcției pondere pentru sistemele de ordinul I se calculează:

y(t)=L−1 K/(Ts+1)=kL−1 1/(Ts+1)= kL−1

1T

s+ 1T

= kT

L−1 1

s+ 1T

= kT

e−tT

h(t)=L−1 H (s )=K /T · exp(−t /T )

Reprezentând grafic funcția pondere, vom obține:

Determinarea parametrilor K și respectiv T ai funcției de transfer se face grafic imediat.-amptitudinea inițială a funcției pondere: h(0)=K/T

Tm=timp mortApare din teoria deplasării interpretată ca întârziere

K=factor de amplificare =coeficient de transfer

Tm=timp mort

-pt cazul sistemelor stabile: (lucram în reprezentare normalizată)

-constanta de timp T= reprezintă timpul pentru care funcția pondere ajunge la valorea de 0,37 din valoarea inițială.h(T)=K/T· e−1=0,37·K/T

Problema? Cum demonstrăm că valoarea funcției pondere poate fi obținută și ca abscisă între dreapta de pantă inițială și axa absciselor?

Răspunsul la impuls real al unui sistem este forma (vezi graficul de mai sus)Timpul mort, în cazul în care (dacă există), se pune în evidență în mod similar

cazului precedent.

În cazul sustemelor periodice de ord II sunt descrise de PT2:

H(s)=K

T2 s2+2ξTs+1=

K

( sωn

)2

+2ξ ( sωn

)+1

Răspunsul indicial este reprezentat în acest caz de o familie de curbe după factorul de amortizare ξ. Forma răspunsului indicial:

-Se pune problema determinării {K; ωn; ξ.

Factorul de amortizare ξ se obține direct din suprareglajul σ al răspunsului indicial, avându-se în vedere că suprareglajul este determinat numai de ξ.Dependența dintre ca procentaj din răspunsul indicial

staționar este dată de grafice experimentale.

-Determinanta pulsației naturale: ωn=ω

√1−ξ2 , unde:{ω=2π /Tp

Unde: {Tp=perioada oscilaților amortizate sau nu din răspunsul indicial.-Factorul de amplificare K se deduce direct din valoarea mărimii de ieșire în reglaj staționar.-Pentru sistemele de ordin superior:

unde: ξ=Factorul de amortizareωn=1/T=Pulsația naturală a sistemului

neamortizat

K=coeficient de transfer.ξ=factor de amortizare.ωn=pulsația naturală a sistenului neamortizat.

suprareglajul σfactorul de amortizare ξ

suprareglajul în %

H(s)=1

(T1 s+1 ) (T 2s+1 ) …(T n s+1)≈1

(Ts+1)n Metoda lui Strejh !

A: DETERMINAREA UNEI CARACTERISTICI DE FRECVENȚĂ PORNIND DE LA FUNCȚIA PONDERE. METODE.

1.Aproximarea răspunsului în frecvență printr-o sumă fintă:Răspunsul în frecvență, notat: H(jω) se obține în general substituind în f.d.t. H(s) pe s cu jω

H(jω)=Y(jω)/U(jω)=∫0

∞

h(τ )e− jωτ dτ

{s=σ+ jω}-variabilă complexă, care duce la transformata Laplace.-Este vorba de Transformata Fourier, care se obține din Transformata Laplace,

înlocuind s->jω.Integrlala Fourier:

H(jω) =∫0

∞

h(τ )e− jωτ dτ (1), unde:{h=funcția pondere.

Pp. că se dispune de funcția pondere → obținută experimental, se consideră secvența reprezentată de valorile h(τ) obținută pentru abscisele: τ =iΔt , cu{i=0,1,...,∞ (la valori discrete) în care {Δt=interval de eșantionare

În acest caz, rel(1) poate fi rescrisă în varianta ei discretă, corespunzător secvenței pondere.-Integrala se transformă într-o sumă:

H(jω)≈Δ t ∑i=1

∞

h(iΔt )e− jω(iΔt ) (2) =relație discretă =aproximarea relației continue.

-vine de la dτCf. Relației lui Euler, exprimăm o funcție exponențială cu ajutorul funcților trigonometrice:e− jωiΔt=cos(iωΔt)-j sin(iωΔt) (3)

H(jω)=Δt∑i=1

∞

h(iΔt )cos(iωΔt )− j Δ t∑i=1

∞

h(iΔt )sin(iωΔt) (4)

Dacă sistemul este asimptotic stabil, h(t)0 (t∞), h(iΔt)=0, (i≥T)În acest caz rel(4) poate fi trunchiată:

H(jω)=Δt∑i=0

N−1

h(iΔt )cos (iωΔt)− j Δt ∑i=0

N −1

h(iΔt )sin(iωΔt)

Relația de calcul a răspunsului la frecvență.-Precizărireferitoare la respectarea Teoremei eșantionării:-Pentru a se obține o bună concordanță cu răspunsul în frecvență real, perioada de eșantionare trebuie să satisfacă Teorema eșantionării a lui SHANON:”Perioada de eșantionare trebuie să fie ≤ cu ½ din perioada coresp. frecvenței celei mai înalte conținute în spectrul semnalului”.

Pp. astfel, dacă frecvența de interes este ω¿ rad/sec, atunci cea mai mare perioadă de eșantionare care să asigure o concordanță satisfăcătoare este: Δt ¿=π/ω¿

Având în vedere că timpul (T=timpul de stabilizare) este cunoscut din relația:h(iΔt) =0=h(T) , valoarea minimă admisă pentru numărul de termeni din cadrul sumei este:N ¿=T / Δt ¿=T·ω¿/ π-O altă posibilitate de a obține reprezentarea răspunsului în frecvență se poate face rescriind rel(2) în forma vectorială: => Se va face o construcție grafică.-Elementul ce se poate interpreta acolo, orientându-l într-o altă direcție de dezvoltare este:

Fiecare termen al sumei din rel(2) este produsul dintre o mărime și o funcție exponențială. Una din formele de reprezentare a vectorilor este produsul dintre A·e jφ Deci:

{H(jω)=Δt∑i=0

N−1

h(iΔt )−ωi Δt=Δt[h(Δt)– ω Δt +h(2Δt)– 2 ω Δt+h(3Δt)–3 ω Δt +...]

2.Aproximarea răspunsului în frecvență printr-o serie infinităMetoda se bazează pe experimentarea funcției exponențiale printr-o Serie infinită.e− jωiΔt=1-(jωiΔt)+( jωiΔt)2·1/2!-( jωiΔt)3·1/3!+...și înlocuirea acestei exponențiale în rel(2), Rezultă:

{H(jω)≈Δt∑i=0

∞

h(iΔt )[1- jω(iΔt)- ω2

2 !(iΔt )2+ jω3

3 !(iΔt )3+...]

H(jω)=Δt∑i=0

∞

h(iΔt )- jωΔt∑i=0

∞

(iΔt )h(iΔt )- ω2

2 !Δt∑

i=0

∞

(iΔt )2h (iΔt )+...} (5)

Dacă ω este suficient de mic, astfel încât termenii de rang superior lui H(de ex.) pot fi neglijați, rel(5) poate fi trunchiată corespunzător putându-se rescrie în forma real-imaginar.H(jω)=Re+j Im

Dezavantajul metodei constă în faptul că singura zonă din spectrul care poate fi audiată cu succes este zona de joasă frecvență.

Metoda este o alternativă de exploatare a unor artificii matematice, care poate fi aplicată pentru obținerea unor performanțe.

B: Determinarea (identificarea) f.d.t. din caracteristicile de frecvență, în speță diagramele BODE.

Din reprezentările diagramelor Bode determinate experimental, se poate obține direct modelul matematic parametric, sub forma f.d.t.(funcției de transfer) parcurgând procedura inversă de construcție a acestor diagrame.

Se dispune doar de ipoteza stabilității sistemului considerat (liniar), această ipoteză fiind nu numai una teoretică, ci și practică, având în vedere că practic nu poate fi determinat răspunsul în frecvență a unui sistem instabil.

Această procedură inversă construcției diagramelor BODE constă în 2 pași:1.Aproximarea caracteristicii model-pulsație printr-o succesiune de linii drepte care reprezintă asimptotele la linile respective, aceste asimptote au pante standard.

amptitudine(modul)

fazăfază(defazaj)

j2=-1, j=i ∈ I

2.Localizarea frecvențelor de frângere corespunzătoare punctelor de intersecție între dreptele trasate.bn yn(t )+bn−1 y n−1(t )+…+b0y(t)=amum(t)+am−1um−1(t )+…+a0u(t)bn sn Y (s)+bn−1 sn−1Y (s)+…+b0Y(s)=am sm U ( t)+am−1 sm−1U (t)+…+a0U (s )(bn sn+bn−1 sn−1+…+b0)Y(s)=(am sm+am−1 sm−1+…+a0)U(s)H(s)=Y(s)/U(s)=>

H(s)=am sm+am−1 sm−1+…+a0

bn sn+bn−1 sn−1+…+b0

, cu:{m≤n

H(s)=K∏ (T i s+1 )∏ (T j

2 s2+2ξ jT j s+1)Sα∏ (T p s+1 )∏ (T η

2 s2+2ξηT η s+1) cu:{α>0 Integrator, α<0 Derivator

K-semnalul inițial de 10 => 20·lg(10)=20D-daca prima procedură crește cu 20 db/decI- daca prima procedură reduce cu 20 db/decPT1-dacă procedura reduce semnalul cu 20 db/decPD1-dacă procedura crește semnalul cu 20 db/decPT2-dacă procedura reduce semnalul cu 40 db/decPD2-dacă procedura crește semnalul cu 40 db/dec

ex:

PT1 PT2

PD1 PD2

KSα (T 3 s+1 ) (T 4

2 s2+2 ξ4 T 4 s+1)

(T 1 s+1 ) ( T5 s+1 ) (T6 s+1 )(T 22 s2+2 ξ2T 2 s+1)

T1 > T2 > T3 > T4 > T5 > T6

ωf 1=1T1

< ωf 2=1T2

<...

Cap. 2 IDENTIFICAREA SISTEMELOR UTILIZÂND METODE DE CORELAȚIE

A: Identificarea utilizând semnale de probă periodice

Avantajele prezentate de semnalele de probă periodice, față de cele aperiodice:1.Sistemul supus identificării, fiind adus în regim de oscilații forțate, permite filtrarea mai lejeră a influenței zgomotelor interne sau a diverselor perturbații, care se suprapun ca efect peste semnalul util din ieșire.2.Utilizarea unor semnale de test periodice de medie nulă permit utilizarea unor semnale cu amptitudini mari, comparativ cu cele ale semnalelor neperiodice.3.Permit obținerea direcă a răspunsului în frecvența:H(jω)

Demonstrație (Nu interesează)Morala Lucrurilor(Interesează)-Problema ar fi, ce formă are ieșirea unui proces în intrarea căruia se aplică un semnal sinusoidal ?

Răspuns: y(t) are ca expresie analitică:

y(t)=U0|H(jωk)|·sin[ωkt+φ(ω¿¿k )¿]=Y 0sin[ωkt+φ (ω¿¿ k)¿]

ωk-semnalul de o anumită pulsație:ωk

=>Răspunsul sistemului la o excitație sinusoidală este tot un semnal sinusoidal, de aceeași pulsație ca și intrarea, dar defazat, cu defazajul φ (ω¿¿ k)¿

Procedeul clasic de determinare a modelului neparametric(caracteristica de frecvență) prin raportarea amplitudinii semnalului din ieșire și respectiv intrare și măsurarea defazjului între ele nu este aplicabil decât în cazul restrictiv al desconsiderării influenței zgomotelor; în cele mai multe situații practice însă, semnalele de ieire sunt contaminate de zgomot.

Acey(t)=y0sin(ωkt+φ)+z(t)

În acest caz, cel real, este:

O rezolvare eficientă a zgomotelor aditive din ieșire chiar în cazul unor nivele ridicate, o oferă tehnicile de corelație.

Ne ocupăm de un sistem liniar perturbat, cu perturbția considerată aditivă în ieșire.

y0

u0 , y0-amplitudini

T mm…360°

φmm…x° ¿φ°

¿ H ( jω )∨¿=A(ω)=Y 0/U0

A(ω)¿db=20lg A(ω)

Im[H(jω)]

Re[H(jω)]

ω=0

ω=∞,

φ(ωk)

H(jωk)

ω=[-∞,0) ramura negativă

ω=[0,∞] ramura pozitivă Q(ωk)

P(ωk)

Hodograful

GS=generator de semnal. osciloscop

Avem acces numai la ieșirea perturbată.y(t)=uk |H(jωk)|sin[ωkt+φ (ω¿¿ k)¿]+z(t)

Metodele de corelație oferă posibilitatea filtrării eficiente a zgomotelor aditive în ieșire, chiar și în cazul unor nivele mai ridicate a zgomotului.

Identificarea cu Semnal de test Monofrecvențial Metoda presupune aplicarea în intrare a unui semnal de test de formula: {u(t)=uksinωk

t}, a cărui pulsație o modificăm continu în domeniull de interes.Zgomotul z(t) se consideră necorelat cu semnalul de test, aceasta fiind o situație reală

din practică.În aceste condiții, posibilitățile de a dezvolta pe y(t) în serie Fourier și a reține

fundamentala (armonică) ca singur efect în ieșire a intrării (celălalte armonici fiind atribuite efectului zgomotului) este preferată utilizrea tehnicilor de corelație deoarece acestea operează bine chiar și în cazul unor nivele ridicate ale zgomotelor.

Dezavantajul pe care-l conferă aceaste metode constituie faptul că pentru eliminuarea cât mai eficientă a unor zgomote, timpul de corelare trebuie să fie cât mai mare, cea ce mărește durata experimentului.

Considerând funcția de corelație între intrarea și ieșire pentru semnale periodice:

Ruy(0) == 1T ∫

0

T

u ( t ) y (t)dt = 1T (u ( t ), y (t))

(Ruy(τ)=E u(t)·y(t+τ)= 1T ∫

0

T

u ( t ) y (t+ τ)dt)

OBS: ∫0

T

u ( t ) y (t)dt=(u(t),y(t))→produsul scalar dintre u(t) și y(t), T=interval de corelare

Ruy(0)=1T (u0ksin(ωk t ),uk∨H ( j ωk)∨¿sin[ωk t+φ]+z(t))=

Datorită proprietății de liniaritate, putem defalca expresia în 2:

=1T (u0 ksin(ωk t ),u0k∨H ( j ωk)∨¿sin[ωk t+φ])+

1T (u0 ksin(ωk t ),z(t))=

Datorită ipotezei făcute și anume necorelarea semnalului de test => (u0ksin(ωk t ),z(t))≅ 0

= 1T

u0 k2∨H ( jωk)∨∫

0

T

sin(ωk t)· sin(ωk t+φ)dt=u0 k2

2∨H ( j ωk)∨¿ cosφ(ωk)

=uk sin(ωkt)=yksin[ωkt+φ (ω¿¿ k)¿]+z(t)

Def.

Δ

E

≅ 0

¿ T2 cosφ(ωk)

=Re H ( jω)

Im[H]

φ(ωk)

{Ruy(0)=u0k2

2 Re[H(jωk)] } (1)

În mod perfect similar se ajunge pentru corelația u,y pentru argumentul π

2ωk la :

{Ruy(π

2ωk)=u0 k

2

2 Im[H(jωk)] } (2)

Rezultă că efectul aplicării Tehnicilor de corelație este obținerea caracteristicilor de frecvență în coordonate carteziene neafectate de zgomot.

Rel(1) și (2) stau la baza funcționării unui aparat specializat numit TRANSFEROMETRU, a cărui schemă de principiu este:

Dezavantajul Metodei prezentate este timpul de experimentare lung, având în vedere că este necesară prospectarea succesivă a întregii benzi de frecvență ale procesului respectiv pentru a obține caracteristicile lor de frecvență în zona de interes.

Dezavantajul menționat poate fi înlăturat utilizând un semnal de test multifrecvențial obținut fie printr-o mulțime de sinusoide distincte generate de n generatoare distincte, fie direct, utilizând un Generator de funcții.

Identificarea cu semnal de test Multifrecvențial

Re[H]

0

φ(ωk)

H(jωk)

|H(jωk)|

P(ωk)= Re[H(jωk)]

Hodograful

=uk sin(ωkt)

GS= generator de semnal

Re[H(jωk)]

Im[H(jωk)]

Ruy

Multiplicator Integrator

Defazor

τ

Corelator Ruy(0)

Corelator → realizează Ruy(τ )

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.Nu se cere.............

Calculul Funcției de Corelație

În general nu poate fi calculată din funcția de densitate de probabilitate, avându-se în vedere că aceste funcții sunt rareori cunoscute în practică.

De asemenea, mediile pe ansamblu nu pot fi realizate avându-se în vedere că, în general se dispune de 1 segment de realizare din ansamblul de realizări.

Singura alternativă practică este de a calcula funcția de corelație temporală pe un interval de timp finit, în ipoteza că procesul este ERGOTIC.

Presupunem că dispunem de o realizare a unui proces Stohastic x(t) pe un interval de T secunde.

În acest caz funcția de autocorelație poate fi estimată printr-o relație de forma:

Ȓx(τ)=1

T−τ ∫0

T −τ

x (t) x (t+ τ)dt (1) , 0 ≤ τ ≤T

Timpul de mediere este (T-τ) deoarece această porțiune de timp este singura în care x(t), respectiv x(t+τ) sunt disponibile simultan.

Expresile de calcul ale funcților de corelație conțin deci în toate cazurile 3 operații specifice:

Dar în cele mai multe situații practice, integrala nu poate fi calculată, deoarece nu dipunem de expresia analitică a lui x(t).

Alternativa practică oferă utilizarea variantei discrete a rel.(1) utilizându-se în acest scop valorile eșantionate ale funcției x(t), care se introduc ca și date, deci în mod firesc se dispune de un sistem de achiziție.

Avem eșantioanele realizării respective. Înainte de a se trece la calculul efectiv, se procedează la efectuarea centrării.ẋ(n)=x(n)-mx

ẙ(n)=y(n)-m y

-Funcția de covarianță va fi:

C xy(k)= 1N−k ∑

n=1

N −k

x (n ) y (n+k ) (2)

Această relație se calculează pentru k=-m, ..., -1,0,1, ...mk - reprezintă decalajul dintre cele 2 secvențe în perioada de eșantionarem - valoarea maximă de decalaj

Dacă τ max=m Te = decalajul (întârziere) max, se recomandă în practică τ max ≤ N10 (3)

unde : {N=lungimea înregistrăriiApoi se calculează corelația propriu zisă:

Pentru situția în care rel(3) este satisfăcută, se pot utiliza cu relații de calcul expresii :

Ĉ xy(k)= 1N ∑

n=1

N −k

x ( n ) y (n+k )

aproximare, estimare, marcare:^Deci, calculul propriu-zis al covarianțelor sau corelaților constă în calculul produselor

de tip x(n)·y(n+k) pentru un k=dat și însumându-le pentru toate valorile lui n=ia valori întregi: n∈[1,N].

Efecuându-se calculele pentru toate valorile lui k se obțin covarianțele sub forma tabelată după indicele k.

Variabila n=care reprezintă variabila temporală t, timp discret, va dispărea în procesul de sumare (respectiv integrare) astfel încât covarianțele vor fi expresii doar de indicele k. (care reprezintă τ).

E

-deplasare-înmulțire-integrare

Variabile centrale media

n Te => perioada de eșiantionaret t

t t

t

t t

Funcția de covariație este defapt funcția de corelație pentru mărimi centrate

t/n - timp discretizat

Rxy(k)=C xy(k)+mx m y

R x(k)=C x(k)+mx2

t

t t

Metoda:II Funcția de Corelție poate fi calculată din funcția de densitate spectrală de putere, utilizând relațile: WIENER-HINCIN.

funcția de corelațiefuncția densitate spectrală

Utilizarea algoritmilor transformatei Fourier rapidă TFR conduce la reducerea efortului de calcul a acestor funcții în raport cu procedurile clasice de calcul.ETAPE:1.Se calculează Transformata Fourier X(k) a secvenței x(i) unde: {i,k=0,N-2

2.Se calculează spectrul brut al secvenței(serie)

3.Se calculează Transformata Fourier inversă pentru a obține funcția de corelație( sau de covarianță).

Calculul acestor transformate nu constituie nici un fel de probleme.

=Corelția și Convoluția=Precizări facute în paralel. Ca expresii analitice, ele sunt extrem de asemănătoare

Convoluția a 2 semnale:

(1) (=x(t)*y(t))

y(t)=∫−∞

+∞

h ( τ )u (t−τ )dτ

H(s)=Y (s)U (s)

→Y(s)=H(s)·U(s) , y(t)=L−1H(s)·U(s)=

Corelația-intercorelația: (2)

Corelația presupune ca etape de calcul care se impun:

Convoluția presupune:

Exemlu Justificativ:x(t)=e−2 t, y(t)=2 · e−t

Să evidențiem aceste Sau succesiunea de operații pentru calculul pentru τ=0,4

=perechi Fourier.

F Ru(τ)=Su(ω)F Ruy(τ)=Suy(ω)

F Ru(τ) Su(ω)

F Ruy(τ) Suy(ω)

F

F−1

i=componenta discretă a timpuluik= componenta discretă a pulsației

=densitatea spectrală de putere:Sx(k)=¿ X (k )∨¿2

N¿

¿N=N·Te) lungimea înregistrării

R x(i)=TFR−1 Sx(k)

H xy(τ)=∫−∞

+∞

x (t ) y (τ−t)dt

Produs de convoluție

τ t τ−t dt

R xy(τ)=∫−∞

+∞

x ( t ) y (τ+ t)dt-deplasare -înmulțire -integrare-deplasare

-inversare-înmulțire -integrare

ConvoluțiiCorelații R xy(τ)

H xy(τ)

Acest lucru se va face prin grafice:

Deplasarea:

Înmulțirea+Integrarea

Intercorelația:

Inversarea

Convoluția:Metode de identificare utilizând tehnici de corelație în cazul

semnalelor de test stohastice(aleatoare)

x(t): y(t):x(t) y(t)

1

1

2

0,5

0,2 0,4 0,6 0,4 0,8 1,2t t

e−2 t2 e−t

y(t+τ):y(t+τ) y(t-τ)

0,4-0,4

2 e−(t+0,4) 2 e−(t−0,4)

R xy(0,4)

y(t+τ)

x(t)

x(t)y(t+τ)

x(t)y(t+τ)

1

e−2 t·2 e−(t+0,4 )

0,40,2t

0,2 0,4-0,4 -0,2τ

R xy(τ)

grafic final

integrală

y(τ-t)

2 e−(0,4−t)

0,4

x(t)y(τ-t)

0,5

1 e−2 t·2e−(0,4−t)

0,2 0,4H xy(τ)

0,2 0,4τ

Înmulțirea+Integrarea

tot spațiul reprezintă punctul

tot spațiul reprezintă punctul

Utilizarea în scopul identificării a semnalelor stohastice se face posibilă prin utilizarea tehnicilor de corelatie, prin eliminarea eficientă a efectului perturbților asupra rezultatelor, necesitânduse un timp mai scurt de experimentare și calcule relativ simple în vederea determinării modelelor neparametrice(în general: funcția pondere). h(t)

Mai mult, semnalele aleatoare de medie nulă pot fi aplicate prin suprapunere peste mărimile curente care actionează asupra procesului, evitându-se necesitatea întreruperii din funcționarea normală a acestuia.

Ele prezintă astfel proprietăți care le recomandă atât în cadrul modelelor OFF-LINE, cât și în cele ON-LINE.

Stabilirea unei legături directe între regulatoarele obținute și modelul neparametric h(t) este posibilă numai prin considerarea unor anumite proprități statistice prestabilite semnalelor de probă.

RELAȚII DE BAZĂ Și în această situație, analiza în domeniul timp sau frecvență va conduce tot la o

relație unică între intrare și ieșire, dar care, din cauza naturii aleatoare a mărimilor care intervin, va fi în mod natural o relație între mărimile statstice care le descriu.

Modelul pe care dorim să-l determinăm este funcția pondere: h(t)=MM-Neparametric. Ca mărimi cunoscute sunt măsurătorile semnalelor aleatoare din intrare și ieșire. u(t)

și y(t) Zgomotul este definit numai prin prisma proprietaților lui statistice. Se va lucra în ipotezele de lucru următoare: atât u cât și z sunt procese aleatoare

staționare, gausiene și ergotice. Se admite de asemenea că marimile sunt centrate, deci E(.)=0 =>Media de ordin I.

ẋ(n)=x(n)-mx=0ẏ(n)=y(n)-my=0

Dacă această cerință nu este satisfăcută inițial, ea poate fi obținută prin extragerea componentelor continue din semnalul respectiv. Se pleacă de la relația:

{ y(t)=∫0

∞

u ( t−τ )h ( τ ) dτ+ z ( t )} (1) Integrala de convoluție

Integrala de convoluție (în care apare operația de inversare în plus.)Marimea de ieșire va fi de asemenea un proces aleator, staționar și ergotic.=>Funcția de intercorelație intrare-ieșire este o medie:

{Ruy ( t1 , t 2 )=E u¿= limT → ∞

1T ∫

0

T

u¿¿}

Înlocuind în rel(2) pe y dat de rel(1) se va obține:

Ruy ( τ )= limT →∞

1T∫

0

T

u (t )[∫0

∞

u (t+ τ−θ )h (θ )d θ]dt+ limT → ∞

1T∫

0

T

u (t ) z (t+ τ)dt

Mai introducem o ipoteză de lucru: Se acceptă ca zgomotul din ieșire și semnalul din intrare nu sunt corelate sau sunt foarte slab corelate, ceea ce permite să acceptăm că cea de-a II-a reacție se poate neglija.

funcția pondere

(2)Med. ansamblu

ergodicitatea τ=t 2-

Med.temporală

Ruz (τ )≈0

Apelăm la proprietățile de liniaritate ale integralelor:

Ruy ( τ )=∫0

∞

h (θ )[limT → ∞

1

T ∫0

t

u( t)u (t +τ−θ ) dt ]dθ

Deci am obținut:

Ruy ( τ )=∫0

∞

Ru (τ−θ ) h (θ ) dθ Schimbarea de notație a variabilei =>

Ruy (t )=∫0

∞

Ru ( t−τ )h ( τ )dτ (3) =>Ecuația WIENER-HOPF în domeniul timp

Aplicăm Transformata Fourier acestei relații:Suy ( jω )=H ( j ω)Su ( j ω ) (4) =>Ecuația WIENER-HOPF în domeniul frecvenței

Sy (ω )=¿ H ( j ω)∨¿2 Su ( j ω )¿ (5) =>Relația între densitățile spectrale

Relația (3) și respectiv (4) sunt similare cu cele care stabilesc legătura între mărimea de ieșire și cea de intrare la sisteme liniare, însă aici rolul mărimilor de intrare și respectiv ieșire îl au în domeniul timp, funcția de autocorelație a intrării și respectiv intercorelația intrare/ ieșire, iar în domeniul frecvență funcția de densitate spectrală a intrării, respectiv funcția de densitate intraspectrală.

Ne intereseza să determinăm modelul neparametric: -funcția pondere-caracteristicile de frecvența

Cunoscând: -funcția de corelație-funcția de densitate spectrală

se poate rezolva Ecuațile WIENER-HOPF în domeniul timp sau frecvența, existând 2 direcții de abordare:

1-Pe baza masurătorilor intrării și ieșirii se determină funcțile de corelație(inter -și auto-) și se rezolvă ecuația(3) în sensul determinării necunoscutei: Funcția pondere h (τ )

2-Consta în determinarea funcților de densitate spectrală și rezolvarea ecuației(4), obținând soluția în domeniul frecvențelor(caracteristica de frecvență) =>Din care se obține f.d.t., ș.a.m.d.

1METODA DE CONVOLUȚIESchema de principiu a metodei este următoarea:

Ru (τ−θ )

integrala de convoluție = transformata în domeniul timp a două funcții imagine

densitatea de putere interspectralădensitatea de putere spectrală

densitatea spectrală

{Ruy(τ)=∫0

Tr

h (t ) Ru(τ−t)dt} (1)

unde: Tr=durata regimului tranzitoriu al procesului sups integrării.Deci:{h(t)≈0 pentru t>Tr} (*)

Discretizând cu pas constant (ales astfel încât să fie respectată teoria lui Schannon)Ruy(τ) ≈ Ruy(kΔ) h(τ) ≈ h(kΔ)În aceste situații, rel(1) devine:

{Ruy(kΔ)=Δ∑i=0

N

h(iΔ) Ru[(k-i)Δ] pentru k=0,N } (2)

{NΔ=Tr} (**)Consecința rel(*) și (**) este că h(iΔ)≈0 pentru i¿N.Vom avea un sistem de (n+1) ecuații cu (n+1) necunoscute. Secvența de pondere: [h(0)...h(NΔ)]Forma acestui sistem de ecuație:Sistemul de ecuații reprezentat de rel(2) pote fi rescris în forma vectorial-matriceală:

Aducem la forma compactă {Φuy=ΔΦu ·H } (3) a formei matriciale-Dispunem de valorile funcților de -Necunoscut =H=?

După epuizarea regimului tranzitoriu, sistemul revine în regim staționar constant, după „timpul de stabilizare” (revenire)

excitația

0Tr

funcția pondere

pentru kΔ ≤ t ¿ (k+1)Δ

Ruy (0)Ruy (Δ)

Ruy (NΔ)

h (0)h( Δ)

h(NΔ)

Ru(0)Ru(Δ)

Ru(−Δ)Ru(0)

Ru(−NΔ)Ru [ (1−N ) Δ ]

Ru(NΔ) Ru [( N−1 ) Δ] Ru(0)

=Δ

- - - -

···

···

···

- - - -

- - - - ···

k=N

k=0

k=1

Φuy Φu H

–autocorelație–intercorelație

Ruy(kΔ)= 1N 1

∑i=0

N 1−1

u (iΔ)y[(k+i)Δ] , k=0,N

Ru(kΔ)= 1N 1

∑i=0

N −1

…

Relația de calcul ale funcților de corelație

Intervalul pe care se face corelarea N1>timpul de stabilizare al procesului(3)=>H=Δ−1 Φu

−1· Φuy (5)→Soluția equației vectoriale-matriciale de la care am plecat

Soluția: Elementele matriciei Φu=funcțile de autocorelație a intrării → Alegerea unei intrări anume poate duce la o simplificare a situației.

Utilizarea ca semnal de test (Semnal de intrare) a Zgomotului Alb

Evitarea complicților introduse de necesitatea inversării matricei Φu din rel(5) pot fi mult simplificate dacă ca semnal de test se utilizează un zgomot alb.

În cazul zgomotului alb: adică- funcția de autocorelație: {Ru(t−τ)=σ2 uδ(t−τ)) }

aproximează un impuls Dirac aplicat în matricea τ-Dispersia: {σ 2u=Eu2(t)}→ Media pătratică a lui u=> Ecuația Wienner-Hopf în domeniul timp devine:{Ruy (τ )=σ2u·h(τ ) } (6)Exploatăm proprietatea de eșantionare a impulsului Dirac.

Deci: în cazul zgomotului alb aplicat în intrare, măsurarea funcției de intercorelație intrare/ieșire duce la determinarea funcției pondere.În cazul discret: Ru(k-i)=

-Impulsul Dirac discret este de amptitudine 1.=>Φu=σ 2u·I (7) → Forma diagonală

h(i)=1

σ2 u Ruy(i) ,i=0,N (8)

Schema de principiu care permite determinarea unui punct a funcției pondere (al unui element al secvenței de ponderare) utilizând funcția de corelație este următoarea:

Filtru Trece Jos

(4)

Calculul inversei acestei matrici complică foarte mult lucrurile

dispersia impuls Dirac

σ 2u ,k=i0 ,k≠i

Autocorelația zgomotului alb discret.

z(t)y(t)h(t)zgomot alb

Dispozitiv de întârziere cu τ secunde

Multiplicator

u(t-τ)

u(t-τ)y(t)Filtru Trece Jos

σ 2u·h(τ)

-are ca efect de mediere în timp-ieșirea lui = componenta continuă a intrăriicu bandă

îngustă

Ipoteza de argodicitate: „Media în timp a unui semnal = intercorelația”Dacă zgomotul alb din intrare este zgomotul alb ideal deci {Ru(τ)=δ (τ )} atunci

componenta continuă a ieșirii filtrului trece jos este egală chiar cu funcția pondere evaluată pentru τ determinată de dispozitivul de întârziere.

-τ poate fi modificat într-un domeniu dorit, cea ce permite evaluarea funcției pondere pe acel domeniu.

Implicația zgomotului alb în domeniul frecvență: Aplicarea rel: {Ru(τ )=δ (τ )}=>{Su (ω )=1}Ecuația Wiener-Hopf în domeniul frecvență Suy(jω)=H(jω)

Suy(jω)=H(jω)Su(ω)