curs de fizica partea i idd-iei.doc

CAPITOLUL I

https://www.youtube.com/watch?v=3-JyeuAYPlM

MECANICA PUNCTULUI MATERIAL SI A SISTEMELOR DE

PUNCTE MATERIALE

1.1. Spaţiul şi timpul în mecanica clasică.

Nu poate fi descrisă starea mecanică a unui corp sau a unui sistem de corpuri,

decât dacă o racordăm la spaţiu şi timp. In general materia care ne înconjoară este

într-un continuu proces de mişcare, iar mişcarea ca mod de existenţă a materiei se

realizează în spaţiu şi timp.

Din punct de vedere al mecanicii clasice atât spaţiul cât şi timpul au un

caracter absolut. Aceasta înseamnă că indiferent de locul nostru în univers,

dimensiunile unui anumit obiect şi durata unui anumit proces fizic sunt aceleaşi.

Spaţiul este omogen şi izotrop, adică proprietăţile lui nu se modifică la translaţia ori

rotaţia unui sistem fizic. In ceea ce priveşte timpul, acesta este omogen, ceea ce

înseamnă că pe axa unidimensională a timpului duratele de timp se scurg la fel,

indiferent de momentele de timp între care se face măsurătoarea, evident

respectându-se cauzalitatea, care cere ca evenimentele să se producă într-o succesiune

determinată şi anume de la trecut spre viitor.

Pentru a descrie mişcarea sau repausul este nevoie de un reper spaţial şi un

reper temporal. Reperul spaţial este constituit din sistemul de obiecte fizice în raport

cu care este specificată poziţia oricărui punct material, sau în general, a oricărui

obiect fizic.

Fiecărui reper spaţial îi vom asocia, de regulă, un sistem de axe de coordonate cu

ajutorul cărora putem preciza coordonatele spaţiale ale obiectului. Reperul temporal

este constituit dintr-un “ceasornic”, asociat reperului spaţial. Prin “ceasornic”

înţelegem un proces fizic (în general un proces de mare regularitate), ale cărui

Nicolae Creţu-Fizică generală_______________________________________________________ Capitolul I

evenimente sunt luate drept reper pentru definirea succesiunii ce caracterizează orice

altă mulţime de evenimente.

Ansamblul format din reperul spaţial şi reperul temporal poartă numele de sistem de

referinţă sau referenţial.

Revenind la reperul spaţial, deoarece în mecanica clasică spaţiul este plat, euclidian şi

tridimensional, rezultă că acestui reper trebuie să i se ataşeze trei axe de coordonate,

deoarece în virtutea tridimensionalităţii spaţiului sunt suficiente trei mărimi

independente pentru a caracteriza complet poziţia spaţială a unui corp, acestea fiind

chiar coordonatele spaţiale corespunzătoare.

Cele trei axe de coordonate pot fi linii drepte sau curbe, iar direcţia şi sensul acestora

este indicat prin trei vectori unitari, numiţi versori. Dacă cele trei axe sunt linii drepte,

atunci sistemul nostru de coordonate se numeşte sistem de coordonate rectiliniu, iar

dacă cel puţin o axă nu este linie dreaptă sistemul se numeşte sistem de coordonate

curbiliniu. Dacă cei trei versori ataşaţi axelor sunt mutual perpendiculari, atunci

spunem că avem de-a face cu un sistem de coordonate ortogonale.

Cel mai utilizat sistem de coordonate este sitemul de coordonate carteziene,

care este un sistem de coordonate rectilinii ortogonale.Se poate vedea din figura 1.1

că în acest caz coordonatele unui punct material se obţin prin proiecţia poziţiei

acestuia pe cele trei axe de coordonate, coordonatele fiind

Figura 1.1 Sistemul de coordonate carteziene

Poziţia punctului material M, dacă se ţine cont de versorii poate fi descrisă şi

cu ajutorul vectorului de poziţie (sau razei vectoare) astfel ;

2


(1)

Alte sisteme de coordonate folosite des în fizică mai sunt sistemul de coordonate

cilindrice, polare în plan şi sferice, acestea fiind ilustrate în figurile 1.2 , 1.3 şi 1.4,

ele făcând parte din clasa sistemelor de coordonate curbilinii ortogonale.

Figura 1.2. Sistemul de coordonate cilindrice ( )

( )

Figura 1.3. Sistemul de coordonate polare în plan

( )

3


Figura 1.4. Sistemul de coordonate polare sferice

( )

Dacă mobilul a cărui mişcare dorim să o descriem se mişcă pe traiectorie, astfel că

într-un timp dt ( timp infinitezimal) ajunge din M în M’ atunci raza vectoare a lui

M’ va fi conform figurii 1.5.

Figura 1.5. Vectorul

(1.2)

cu

(1.3)

Într-un alt sistem de coordonate, de exemplu în coordonate curbilinii

ortogonale (fie acestea ), acelaşi vector va putea fi scris astfel :

(1.4)

aici fiind nişte coeficienţi care se determină din condiţia ca să fie un

invariant şi care poartă numele de coeficienţi Lamé.

In mod corespunzător, în coordonate carteziene definim volumul infinitezimal :

4


(1.5)

sau :

(1.6)

acelaşi element exprimat în coordonate curbilinii ortogonale. Putem de asemenea

defini elementul de suprafaţă infinitezimală, de exemplu

(1.7)

sau

(1.8)

în coordonate curbilinii ortogonale.

Sistemele de referinţă faţă de care studiem mişcarea corpurilor se clasifică în

referenţiale inerţiale şi referenţiale neinerţiale. In cazul sistemelor de referinţă

inerţiale, acestea se mişcă rectiliniu şi uniform unele faţă de celelalte. Sistemele de

referinţă neinerţiale sunt acelea care nu se mişcă rectiliniu şi uniform unele faţă de

celelalte.

1.2. Cinematica punctului material

Mecanica are ca părţi importante cinematica, dinamica şi statica.

Cinematica se ocupă cu studiul mişcării corpurilor, fără să ţină cont de

interacţiunile acestora cu exteriorul. Dacă distanţele pe care se mişcă corpul sunt mult

mai mari decât dimensiunile acestuia, atunci putem considera corpul ca un punct

material. Punctul material reprezintă un model în fizică, acest model presupunând că

un corp se mişcă asemeni unui punct material în care este concentrată toată masa

acestuia.

Fie deci un punct material M care efectuează o mişcare după curba C şi care

în timpul infinitezimal dt parcurge pe curba (C ) distanţa ds, căreia îi corespunde o

variaţie a lui egală cu , ca în figura 1.6.

5


Figura 1.6 Parcursul ds şi variaţia lui

Curba (C ) reprezintă traiectoria punctului material M.

Scopul cinematicii este precizarea poziţiei şi vitezei punctului material în orice

moment de timp. Starea mecanică a unui corp este complet determinată dacă se

cunosc aceste mărimi. Pentru a determina acestă stare, cinematica foloseşte ecuaţii de

mişcare, care exprimă dependenţa de timp a coordonatelor, a componentelor vitezei

corpului sau a acceleraţiei. In aceste ecuaţii de mişcare sunt implicate deci vectorul

de poziţie, vectorul viteză şi vectorul acceleraţie. Aceste mărimi sunt definite astfel :

- vectorul de poziţie

(1.9)

- vectorul viteză

(1.10)

- vectorul acceleraţie

(1.11)

Pentru vectorul viteză, dacă ţinem cont de parcursul elementar ds pe traiectorie,

avem :

(1.12)

unde reprezintă un vector tangent la traiectorie şi care are modulul egal cu 1,

adică este un versor. Acesta poartă numele de versor tangent. Faptul că viteza ca

6


vector poate fi scrisă ca în (1.12) cu ajutorul versorului ne arată că viteza este un

vector totdeauna tangent la traiectorie.

Pentru acceleraţie, urmând un raţionament similar vom scrie

(1.13)

Aici în (1.13) am folosit relaţia :

(1.14)

unde , cu care se numeşte versor normal iar R raza de curbură în punctul

respectiv a traiectoriei. Din (1.13) putem observa că acceleraţia este un vector care

are două componente, o componentă tangenţială , numită aşa pentru că ea este

tangentă la traiectorie şi o componentă normală la curbă , a cărei orientare este

descrisă de versorul numit versor normal.

Pentru a demonstra orientarea vectorilor viteză şi acceleraţie s-au folosit versorii şi

. Se poate introduce şi un al treilea versor, numit versor binormal , definit astfel

(1.15)

Cei trei versori formează un triedru drept numit triedrul lui Frenet.

In funcţie de valorile vectorului viteză şi acceleraţie putem avea :

a) Mişcări uniforme : = constant

b) Mişcări uniform variate : = constant

c) Mişcări variate: = variabil

iar în funcţie de forma curbei (C ) , deci a traiectoriei putem avea

a) mişcări rectilinii

b) mişcări curbilinii

1.3. Dinamica punctului material

7


Dinamica este acea parte a mecanicii care studiază mişcarea corpurilor ţinând

cont de interacţiunile acestora cu exteriorul, adică ţinând cont de forţele care

acţionează asupra acestora.

La baza dinamicii mişcării corpurilor stau trei principii, enunţate de către Newton,

care au următoarele exprimări :

Principiul I al dinamicii sau principiul inerţiei : Un corp se mişcă rectiliniu şi

uniform, sau se află în repaus relativ, atâta timp cât asupra lui nu acţionează forţe din

exterior Principiul II al dinamicii sau principiul forţei : Dacă asupra unui corp cu

masa m acţionează o forţă aceasta imprimă corpului o acceleraţie direct

proporţională cu forţa şi invers proporţională cu masa corpului

(1.16)

Pricipiul III al dinamicii sau principiul egalităţii acţiunii şi reacţiunii: Dacă un corp

acţionează asupra altui corp cu o forţă numită acţiune, cel de-al doilea corp

acţionează cu o forţă egală şi de semn contrar, numită reacţiune, asupra primului.

Acţiunea şi reacţiunea sunt întodeauna egale în modul şi acţionează asupra unor

corpuri diferite.

Ecuaţia (1.16) reprezintă legea fundamentală a dinamicii şi dacă ţinem cont că:

(1.16’)

atunci se poate vedea că (1.16) devine o ecuaţie diferenţială a cărei soluţie ne permite

găsirea legilor de variaţie a vitezei respectiv a coordonatelor în raport cu timpul şi

anume:

1.17)

` (1.18)

Constantele de integrare C1….6 se determină din condiţiile iniţiale, care înseamnă

cunoaşterea poziţiei şi vitezei la momentul t0.

(1.19)

(1.20)

Din legea fundamentală a mecanicii rezultă trei teoreme:

8


a) Teorema impulsului

Definim mărimea fizică vectorială numită impuls (sau cantitatea de mişcare),

egală cu produsul dintre masa corpului şi viteza acestuia.

(1.21)

Matematic mai putem scrie

(1.22)

şi deci

(1.23)

Mărimea

(1.24)

se numeşte impulsul forţei rezultante aplicate punctului material şi este egală cu

variaţia impulsului punctului material.

Enunţul de mai sus constituie teorema impulsului şi se poate observa din (1.23)

că un punct material nu-şi poate schimba de la sine impulsul său, numai dacă asupra

lui acţionează o forţă.

b) Teorema momentului cinetic

Considerăm un corp rigid de data aceasta, care se poate roti în jurul unei axe,

sub acţiunea forţei

Fig. 1.7 Momentul forţei

Efectul de rotaţie al corpului este determinat de forţa şi de distanţa suportului său

până la polul O, aflat pe axa de rotaţie. Definim atunci mărimea :

9


(1.25)

numită momentul forţei faţă de punctul O.

Definim de asemenea mărimea

(1.26)

numită moment cinetic (vezi figura 1.8)

Fig. 1.8 Momentul cinetic

Prin derivare obţinem :

(1.27)

adică

(1.28)

de unde

(1.29)

Relaţia (1.29) ne arată că momentul forţei aplicate unui punct material este egal cu

variaţia momentului cinetic al punctului material. Enunţul de mai sus constituie

teorema momentului cinetic.

c) Teorema energiei cinetice

Forţele pot produce deplasări ale corpurilor pe o direcţie, în funcţie de

orientarea acestora. O măsură a efectului acţiunii unei forţe, este exprimată de către

lucrul mecanic. Prin definiţie lucrul mecanic elementar este dat de:

(1.30)

Dacă forţa este constantă atunci:

10


(1.31)

Dacă forţa nu este onstantă atunci integrarea depinde de expresia de dependenţă a

forţei. Din (1.30) se mai obţine:

(1.32)

unde reprezintă energia cinetică a corpului supus acţiunii forţei . Prin

integrare rezultă

(1.33)

adică:

Lucrul mecanic efectuat de o forţă rezultantă aplicată punctului material, este egal

cu variaţia energiei cinetice a punctului material.

Este evident că, dacă rezultanta forţelor aplicate este permanent nulă, energia cinetică

a punctului material se conservă.

1.4 Forţe conservative şi neconservative

Există o categorie specială de forţe care au proprietatea că lucrul mecanic

efectuat de acestea asupra punctului material, nu depinde de traiectorie sau viteza

punctului, ci numai de poziţia iniţială şi finală. Aceste forţe se numesc forţe

conservative şi exemple de astfel de forţe avem: forţa gravitaţională, forţa electrică,

forţa elastică, etc.

Pentru forţa gravitaţională

(1.34)

de exemplu dacă vom calcula lucrul mecanic efectuat de aceasta între două puncte

aflate la distanţele h1 respectiv h2 faţă de suprafaţa Pământului, (vezi figura 1.9) vom

avea:

(1.35)

11


Dacă ţinem cont că greutatea corpului cu masa m la suprafaţa Pământului este egală

chiar cu forţa gravitaţională:

(1.36)

şi dacă h1 şi h2 sunt mici în comparaţie cu raza R0 a Pământului, (1.35) se poate scrie

şi astfel:

(1.37)

Introducând energia potenţială gravitaţională

(1.38)

se poate vedea că în acest caz putem scrie

(1.39)

Figura 1.9 Lucrul mecanic al forţei gravitaţionale

Un calcul similar se poate face şi pentru cazul forţei electrostatice, la deplasarea între

două puncte din câmpul electrostatic produs de o sarcină punctiformă a unei sarcini

de probă .

Pentru cazul forţelor elastice, presupunem de exemplu o mişcare fără frecare a unui

corp, fixat de un resort care a fost întins pe un plan orizontal ca în fig. 1.10. Vom

avea pentru cazul destinderii resortului:

(1.40)

12


Figura 1.10 Forţa elastică

(1.41)

Ştim că energia potenţială elastică are formula:

(1.42)

deci scriind încă o dată (1.41) vom avea:

(1.43)

În cazul forţelor conservative lucrul mecanic al acestora este egal cu variaţia energiei

potenţiale luată cu semn schimbat. Evident, pentru deplasări mici ale corpurilor în

câmpuri de forţe conservative:

(1.44)

1.5 Energia mecanică şi conservarea acesteia

Energia mecanică a unui corp poate fi de două feluri: cinetică şi potenţială. Am

dedus mai înainte că dacă asupra unui corp acţionează mai multe forţe, atunci lucrul

mecanic al forţei rezultante este egal cu variaţia energiei cinetice a corpului.

(1.45)

Aceste forţe care dau rezultanta pot fi unele conservative,altele neconservative.

Dacă notăm cu F

c forţele conservative şi cu F

N forţele neconservative ce acţionează

asupra punctului material în (1.45) vom avea expresia:

(1.46)

şi deci

13


Dar reprezintă energia mecanică totală a corpului şi deci

(1.47)

sau integrând:

(1.48)

adică variaţia energiei mecanice a unui corp este egală cu lucrul mecanic al forţelor

neconservative. Evident, dacă asupra unui corp nu acţionează nici un fel de forţe sau

acţionează numai forţe conservative, atunci energia mecanică a corpului nu se

modifică (se conservă Efinal = Einiţial). Afirmaţia de mai sus reprezintă legea (teorema)

conservării energiei mecanice.

1.6 Exemple de aplicare ale teoremelor de variaţie sau conservare a energiei

Să considerăm cazul unui corp de masă care este tras în jos pe un plan

înclinat de unghi α şi lungime ℓ de o forţă externă paralelă cu planul. Figura 1.11

ilustrează fenomenul ce urmează a fi analizat şi forţele care acţionează. Se cere să se

determine viteza la baza planului, considerând un coeficient de frecare pe plan diferit

de zero şi egal cu . Vom considera că viteza iniţială în vârful planului este zero.

Figura 1.11 Mişcarea unui corp pe un plan înclinat

Înălţimea planului este:

(1.49)

În vârful planului energia mecanică a corpului este:

(1.50)

iar la baza planului

14


(1.51)

Aplicând teorema variaţiei energiei mecanice avem că:

(1.52)

Aici WFf este lucrul mecanic al forţei de frecare iar WF este lucrul mecanic al forţei

externe care trage corpul pe plan.

(1.53)

(1.54)

Aplicând (1.52) vom avea deci

şi deci

(1.55)

Putem aborda aceeaşi problemă folosind de exemplu teorema variaţiei energiei

cinetice. Conform cu acesta :

(1.56)

Aici:

WF – lucrul mecanic al forţei externe

WFf – lucrul mecanic al forţei de frecare

WN – lucrul mecanic al reacţiunii planului

WG – lucrul mecanic al greutăţii

Se vede că:

şi deci

de unde se observă că se va obţinre acelaşi rezultat ca şi cel din (1.55).

15


Putem trata mişcarea aceasta folosind legea fundamntală a dinamicii, care ne spune

că

de unde

(1.57)

Aplicând ecuaţia lui Galilei:

se obţine:

rezultatul identic din nou cu cel din (1.55).

Din cele discutate mai sus se poate vedea că indiferent de modul de abordare a unei

probleme, rezultatele sunt aceleaşi dacă se aplică corect teoremele de variaţie şi

conservare a energiei. Abordarea din punct de vedere energetic a problemelor din

mecanică este recomandată mai ales atunci când avem de-a face cu forţe care nu sunt

constante (depind de distanţă, de timp, de viteză, etc).

1.7 Dinamica sistemelor de puncte materiale

Un sistem de puncte materiale reprezintă un sistem fizic format din mai multe

corpuri care formează un întreg, mai mult sau mai puţin deformabil, aceste corpuri

aflându-se în interacţiune între ele şi sunt deci supuse la legături reciproce şi pot fi

aproximate prin puncte materiale. Exemple de astfel de sisteme sunt: un corp

considerat ca un ansamblu de particule (molecule, ioni), o maşină ale cărei părţi pot fi

aproximate ca puncte materiale, sistemul solar , etc.

Asupra fiecărui punct material din sistem vor acţiona forţe interne, din partea

celorlalte puncte materiale şi forţe externe din partea corpurilor externe şi care nu fac

16


parte din sistem. Este important de menţionat că forţele interne sunt forţe de

interacţiune dintre particule şi se supun principiului al III-lea al dinamicii.

Pentru punctul material k din sistem, care are masa mk putem scrie legea a II-a a

dinamicii.

(1.58)

unde este forţa externă iar sunt forţele interne, cu care celelalte particule din

sistem acţionează asupra particulei k.

Pentru întreg sistemul:

(1.59)

şi deci

(1.60)

deoarece conform cu cele spuse mai sus.

Intrucât mk nu depinde de timp:

(1.61)

cu rezultanta forţelor externe.

Definim aici mărimea

(1.62)

numită raza vectoare (vectorul de poziţie) a centrului de masă. Având definită ,

(1.61) se mai poate scrie:

(1.63)

17


Am notat şi aceasta reprezintă masa totală a sistemului. Se observă că dacă

introducem centrul de masă al unui sistem de puncte materiale se poate spune că:

Centrul de masă al sistemului se mişcă la fel ca un punct material cu masa egală cu

masa sistemului şi asupra căruia acţionează numai forţele externe ale sistemului.

Se defineşte şi viteza centrului de masă astfel:

(1.64)

Subliniem încă o dată că forţele interne nu pot modifica mişcarea centrului de masă.

Ca un exemplu, dacă un obuz este lansat pe oblică de la sol şi acesta explodează în

aer, centrul de masă al schijelor din obuzul respectiv va continua să se mişte

neperturbat pe o parabolă ca şi cum nimic nu s-ar fi întâmplat, până când prima schijă

loveşte solul.

1.8 MIŞCĂRI SELECTATE DIN MECANICĂ

1.8.1. Ciocnirea corpurilor

Ciocnirea reprezintă un proces mecanic în care interacţia dintre corpurile care

se ciocnesc durează un timp foarte scurt (finit).

În momentul atingerii corpurilor care se ciocnesc, viteza lor relativă se reduce la zero,

iar energia cinetică relativă se transformă în energie de deformare sau alte forme de

energie. După ciocnire, deformaţiile corpurilor se reduc, viteza relativă creşte şi

energia cinetică relativă se restituie parţial.

Dacă deformaţiile de după ciocnire dispar şi energia cinetică relativă se

restituie integral, fără a se transforma în alte forme de energie, ciocnirea se numeşte

elastică. Dacă deformaţiile nu se anulează şi energia cinetică relativă nu se restituie

integral corpurilor, atunci ciocnirea este neelastică. Dacă în procesul de ciocnire

corpurile fuzionează, atunci ciocnirea este total neelastică şi evident în acest caz

corpurile se vor mişca împreună după ciocnire.

18


Fie două corpuri nepunctiforme care se coicnesc şi fie TT´ planul tangent (de contact)

al acestora. Direcţia NN´ perpendiculară pe

planul de contact se numeşte direcţie sau

linie de ciocnire.

Dacă linia de ciocnire NN´ trece în

momentul ciocnirii prin centrele de masă ale

celor două corpuri, ciocnirea se numeşte

centrică, în caz contrar ciocnirea se numeşte

necentrică.

Dacă înainte de ciocnire corpurile se mişcau după linia de ciocnire NN´ ciocnirea se

numeşte frontală, în caz contrar ea se numeşte oblică. Se poate spune că dacă

corpurile sunt sfere omogene, ciocnirea acestora este totdeauna centrică dar în

general oblică.

Dacă şi sunt vitezele corpurilor faţă de Pământ înainte de ciocnire, atunci

viteza relativă de ciocnire (viteza corpului 1 faţă de corpul 2) va fi:

(1.65)

Descompunem viteza relativă după două direcţii perpendiculare, după direcţia

liniei de ciocnire şi după o direcţie perpendiculară pe această conţinută în planul de

contact:

(1.66)

După ciocnire componenta îşi schimbă semnul, deoarece înainte de

ciocnire corpurile se apropie, iar după ciocnire acestea se îndepărtează. Componenta

vitezei relative din planul de contact, în cazul unei ciocniri perfect elastice, nu se

modifică.

În general însă, prin ciocnire, deoarece corpurile nu sunt nici perfect elastice şi

nici absolut netede, cele două componente ale vitezei relative se modifică. Astfel,

componenta normală a vitezei relative de după ciocnire este în modul mai mică

decât , deoarece corpurile nu sunt perfect elastice. În ceea ce priveşte componenta

19

Figura 1.12 Planul de contact şi linia de ciocnire


vitezei din planul de contact, aceasta se micşorează din cauza frecării, astfel că după

ciocnire . (vezi figura 1.12)

În procesul de ciocnire se exercită forţe de interacţiune între corpuri, deci forţe

interne, dar acestea nu pot schimba impulsul total şi momentul cinetic total ale

sistemului mecanic. În intervalul de timp foarte scurt cât durează ciocnirea, variaţia

de impuls şi variaţia de moment cinetic produse de eventuale forţe externe, se pot

neglija în comparaţie cu variaţiile de impuls şi de moment cinetic produse de forţele

interne, care deşi durează puţin, sunt mult mai mari decât forţele obişnuite externe.

De aceea impulsul şi momentul cinetic ale sistemului de corpuri care se ciocnesc se

conservă în procesul de ciocnire.

1.8.1.1 Ciocnirea plastică

Ciocnirea plastică este o ciocnire total neelastică a două corpuri care se

cuplează, şi care se deplasează cu aceeaşi viteză după ciocnire.

Fie m1 şi m2 masele corpurilor şi , vitezele înainte de ciocnire. Atunci din legea

conservării impulsului rezultă:

(1.67)

de unde obţinem viteza după ciocnire a corpurilor

(1.68)

Energia cinetică pierdută, transformată în alte forme de energie (de obicei sub formă

de căldură) va fi:

(1.69)

unde:

(1.70)

se numeşte masă redusă a celor două corpuri, iar

(1.71)20


este viteza relativă de ciocnire.

1.8.1.2 Ciocnirea perfect elastică

În acest caz se conservă pe lângă impulsul total şi energia cinetică totală.

Considerând ciocnirea centrică şi centrală vom avea:

(1.72)

de unde:

(1.73)

unde

(1.74)

1.8.1.3 Ciocnirea cu un perete

În cazul ciocnirii centrice, perfect elastice şi frontale, considerând peretele ca un corp

cu masă foarte mare (m2 >> m1) atunci din (1.74) avem:

(1.75))

Considerăm un perete în repaus adică şi în acest caz din (1.75) avem că ,

, adică corpul 1 se va întoarce înapoi cu aceeaşi viteză (în modul).

Pentru o ciocnire oblică , perfect elastică, cu un perete în repaus, ca în figura 1.13,

vom avea:

Figura 1.13 Ciocnirea oblică

(1.76)

21


şi deci

(1.77)

În acelaşi timp se mai poate spune că adică unghiul de incidenţă este

egal cu unghiul de reflexie.

1.8.2 Mişcarea unui corp cu masă variabilă

Ca un exemplu de corp a cărui masă variază în timpul mişcării, considerăm aici

o rachetă care expulzează continuu gaze de ardere şi a cărei mase totale scade în

timp. La fel de bine putem considera un corp care câştigă masă în timp. Deoarece

forţele de expulzare (sau de alipire) sunt forţe interne , acestea nu modifică impulsul

total al sistemului.

Fie m masa corpului şi viteza acestuia la un moment de timp . După trecerea unui

timp infinitezimal , masa s-a modificat cu . Fie viteza cu care se mişcă

. Atunci din legea conservării impulsului avem :

adică :

Deoarece şi sunt cantităţi infinitezimale, produsul lor este o mărime neglijabilă

şi atunci

Impărţind prin ecuaţia de mai sus devine :

(1.78)

Mărimea este viteza relativă de expulzare sau alipire iar este debitul

masic de expulzare sau alipire. Mărimea

(1.79)

are dimensiunile unei forţe şi se numeşte forţă reactivă.

22


Dacă asupra corpului acţionează şi o forţă exterioară atunci :

şi obţinem o ecuaţie mai generală, care include şi contribuţia forţelor externe şi a

forţei reactive, dată de ecuaţia de mai jos

(1.80)

care se mai numeşte şi ecuaţia lui I.V.Meşcerski. Dacă avem expulzare de

masă iar dacă avem alipire.

Dacă de exemplu studiem mişcarea unei rachete lansată de pe Pământ, neglijând

frecarea cu aerul, forţa externă este , astfel că (1.80) devine :

(1.81)

Separând variabilele pentru a putea integra :

de unde :

(1.82)

cu masa iniţială a corpului (rachetei).

Pentru o lansare pe verticală, plecând din repaus, este îndreptat în jos

spre Pământ, la fel şi , aşa că scrisă scalar după o direcţie Oz perpendiculară pe

suprafaţa Pământului (1.82) va fi :

(1.83)

Aceasta este legea de variaţie a vitezei corpului cu timpul. Pentru ca racheta să se

desprindă de Pământ trebuie ca forţa reactivă să fie mai mare decât greutatea ei,

adică debitul masic de expulzare a gazelor să satisfacă condiţia :

(1.84)

23


1.8.3 Mişcarea oscilatorie a punctului material

Mişcarea oscilatorie este mişcarea pe care o efectuează un corp de o parte şi

de alta a unei poziţii, care de obicei este poziţia de echilibru. Orice poziţie de

echilibru se caracterizează prin aceea că aici energia potenţială a corpului este

minimă.

Fie o mişcare oscilatorie liniară, adică o mişcare oscilatorie care se face după o

singură direcţie şi fie x această direcţie. Considerăm că poziţia de echilibru a

corpului este în punctul xo = 0 şi că în jurul acestei poziţii, corpul efectuează

oscilaţii mici. Notăm cu U( x ) energia potenţială a corpului aflat în acest câmp de

forţe, care fac ca el să oscileze de o parte şi de alta a poziţiei de echilibru. Pentru

deplasări x mici faţă de poziţia de echilibru putem dezvolta funcţia U(x) în serie

Taylor astfel :

(1.85)

Deoarece în poziţia de echilibru avem un minim al energiei potenţiale, avem că

De obicei, ne interesează variaţia energiei potenţiale, deoarece aceasta produce efecte

mecanice, aşa că putem să etalonăm energia potenţială astfel că U(x=xo) = 0 şi deci :

(1.86)

Forţa corespunzătoare acestei energii potenţiale va fi :

(1.87)

Relaţiile (1.87) şi (1.86) ne spun că în cazul unor oscilaţii liniare mici, forţele care

acţionează sunt forţe elastice, iar în acest câmp de forţe, energia potenţială este o

energie potenţială de tip elastic. Forţele elastice sunt forţe conservative, de aceea ele

derivă din potenţial.

1.8.3.1 Cazul oscilaţiilor liniare libere.

24


Oscilaţiile liniare libere sunt oscilaţiile care se fac după o singură direcţie, iar

asupra corpului acţionează numai forţe elastice. Ecuaţia de mişcare, conform cu legea

a doua a dinamicii va fi :

(1.88)

Pentru o scriere simplificată, notăm şi deci

(1.89)

Ecuaţia (1.89) este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi cu coeficienţi constanţi.

Soluţia unei astfel de ecuaţii diferenţiale se caută sub forma astfel că:

(1.90)

Această ecuaţie se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale, rădăcinile

ecuaţiei caracteristice fiind în funcţie de acestea soluţia ecuaţiei diferenţiale

fiind :

(1.91)

unde şi sunt constante complexe

Mărimea

(1.92)

se numeşte pulsaţie proprie a oscilatorului iar mărimea

(1.93)

poartă numele de perioadă proprie a oscilatorului, şi reprezintă timpul în care

oscilatorul efectuează o oscilaţie completă. Conform cu (1.91):

(1.94)

Deoarece x este o mărime reală, trebuie să avem ( este complex conjugata

lui ) şi deci .

adică

Luăm aceste constante complexe de forma:

25


cu şi de data aceasta mărimi reale.

Rezultă în continuare conform cu (1.94) că :

(1.95)

Ecuaţia (1.95) este ecuaţia unei oscilaţii armonice liniare libere. Mărimile

caracteristice ale acestei ecuaţii sunt :

elongaţia mişcării

amplitudinea mişcării

pulsaţia proprie

faza iniţială a oscilaţiei

1.8.3.2 Oscilaţii liniare amortizate.

De obicei asupra corpurilor care oscilează, în afară de forţa elastică acţionează

şi forţe de frecare. Experienţa arată că forţele de frecare care apar aici sunt

proporţionale cu viteza de oscilaţie. Legea de mişcare va fi deci :

(1.96)

Mărimea reprezintă forţa de frecare, iar se numeşte coeficientul forţei de

frecare. Notăm şi aici :

şi ecuaţia diferenţială a mişcării este :

(1.97)

iar ecuaţia caracteristică :

(1.98)

Soluţiile ecuaţiei caracteristice sunt :

(1.99)

a.Cazul amortizărilor mici :

Dacă forţa de frecare este mică, adică avem :26


(1.100)

iar soluţia ecuaţiei (1.97) va fi

(1.101)

unde iar se numeşte timp de relaxare.

Ecuaţia (1.101) descrie o oscilaţie armonică, cu amplitudinea care scade exponenţial

în timp. De asemenea , deci pulsaţia acestei mişcări oscilatorii este

diferită de pulsaţia proprie.

O oscilaţie descrisă de (1.101) poartă numele de oscilaţie armonică amortizată,

graficul elongaţiei acesteia fiind reprezentat în figura 1.14.

x(t)=10[exp(-0.1t)] cos (t+/4)

0 7 14 21 28 3510

6

2

2

6

10

t(s)

x(t

)

Figura 1.14 Oscilaţie amortizată

Pentru a caracteriza astfel de oscilaţii, se foloseşte decrementul logaritmic, care este

definit ca logaritmul natural al raportului a două amplitudini consecutive.

(1.102)

Este evident că vom avea amortizări din ce în ce mai mari cu cât decrementul

logaritmic creşte.

27


b. Cazul amortizărilor mari

In acest caz forţa de frecare este relativ mare astfel că :

Atunci din (1.99)

De data aceasta :

(1.103)

ecuaţia noastră reprezintă o mişcare amortizată aperiodică.

1.8.3.3 Oscilaţii forţate ale punctului material

Deşi în realitate am văzut că asupra oscilatorului acţionează pe lângă forţa elastică

forţe de frecare (nu există în natură mişcare fără frecare), care duc la amortizarea

oscilaţiilor corpului, totuşi în natură se cunosc mişcări oscilatorii care se menţin timp

îndelungat (de exemplu oscilatiile unui pendul de ceas).

Este posibil să obţinem oscilaţii care se întreţin dacă din exterior acţionăm cu forţe,

cedând deci oscilatorului energie pentru a suplini pierderile datorită frecărilor.

Forţa care acţionează din exterior şi care ajută la întreţinerea oscilaţiilor este o forţă

periodică, cu pulsaţia , în general diferită de pulsaţia proprie a oscilatorului. Fie

deci forţa excitatoare din exterior de forma

(1.104)

Vom avea acum ecuaţia de mişcare :

(1.105)

De aici :

(1.106)

Presupunem pentru (1.106) o soluţie de forma : . . Atunci

care înlocuite în (1.106) şi identificând termenii :

28


(1.107)

(1.108)

Deci ecuaţia mişcării va fi după un timp :

(1.109)

Se observă din (1.109) că oscilatorul va oscila cu pulsaţia forţei externe, dar defazat

faţă de aceasta cu un unghi de fază . Amplitudinea a oscilaţiei întreţinute,

(forţate) depinde de pulsaţia forţei excitatoare. Amplitudinea devine maximă când

(condiţia de extremum)

de unde rezultă că pulsaţia forţei externe pentru care amplitudinea este maximă este

(1.110)

Valoarea maximă a amplitudinii o găsim uşor înlocuind (1.110) în (1.107) :

(1.111)

Fenomenul de apariţie a unui maxim al amplitudinii poartă numele de rezonanţă. Din

(1.111) se vede că maximul amplitudinii este cu atât mai mare cu cât coeficientul de

amortizare este mai mic, acesta tinzând la infinit când tinde la zero. De

asemenea cu cât este mai mic cu atât pulsaţia de rezonanţă a amplitudinii se

apropie de pulsaţia proprie

Fenomenul de rezonanţă are multiple aplicaţii în fizică şi în tehnică. Astfel, pe acest

fenomen se bazează funcţionarea diferitelor instrumente muzicale, radioreceptoare,

instrumente de măsură etc. In fizică prin rezonanţă se pot determina anumite mărimi

29


microscopice, caracteristice atomilor sau moleculelor, deci rezonanţa este o cale de

explorat proprietăţile materiei.

In tehnică, de exemplu în construcţia de maşini, pentru a evita efectele distructive

produse la rezonanţa amplitudinii, este indicat ca frecvenţa proprie a oscilaţiilor

instalaţiilor, să fie diferită de cea a vibraţiilor care apar în timpul funcţionării

acestora.

1.8.4 Analogia mecano-electrică

Vom arăta în cele ce urmează că ecuaţiile diferenţiale ale diferitelor mişcări

oscilatorii se aplică şi la circuitele oscilante electrice, în care apar oscilaţii ale sarcinii

electrice. Astfel, dacă considerăm la început un circuit oscilant simplu, format dintr-

un condensator de capacitate şi o bobină de inductanţă ca în figura 1.15 , făcând

bilanţul tensiunilor pe ochiul de circuit avem:

(1.112)

deoarece şi deci ecuaţia diferenţială a evoluţiei sarcinii în circuit este

(1.113)

soluţia acesteia fiind de forma:

(1.114)

adică sarcina din circuit variază armonic, oscilaţiile acesteia fiind oscilaţii armonice

libere cu pulsaţia proprie .

30


Figura 1.15 Circuit oscilant simplu

In realitate, deoarece nu există elemente ideale de circuit, un circuit oscilant

trebuie să conţină şi o rezistenţa electrică în care sunt incluse contribuţiile rezistenţei

conductorului bobinei reale şi rezistenţei dielectricului condensatorului real, ca în

figura 1.16.

Figura 1.16 Circuit oscilant RLC

Bilanţul tensiunilor pe circuit este acum dat de:

(1.115)

Introducând din nou sarcina electrică :

Făcând notaţiile standard : avem ecuaţia diferenţială:

(1.116)

care pentru cazul unor rezistenţe mici are ca soluţie o oscilaţie amortizată a sarcinii în

circuit, adică

(1.117)

31


Pentru a întreţine oscilaţiile sarcinii din circuit, este necesar evident un aport

energetic din exterior, ceea ce inseamnă aplicarea la bornele circuitului a unei

tensiuni alternative de o anumită pulsaţie ca în figura 1.17.

Figura 1.17 Circuit oscilant RLC cu oscilaţii electrice forţate

Luând pentru , obţinem

(1.118)

Avem în acest caz evident de-a face după trecerea timpului de relaxare cu oscilaţii

forţate ale sarcinii în circuit, a căror ecuaţie matematică este:

(1.119)

1.8.5 Analiza Fourier a mişcării oscilatorii

Mişcările oscilatorii ale căror ecuaţii de mişcare sunt descrise cu ajutorul

funcţiilor sinus sau cosinus se numesc mişcări oscilatorii armonice. Numele acestora

le este dat de către aceste funcţii, care se numesc funcţii armonice.

Există însă în natură mişcări care deşi nu sunt armonice , sunt totuşi periodice.

Un exemplu de astfel de mişcare este cea din figura 1.18.

32


Figura 1.18 Semnal periodic nearmonic

Un semnal periodic de perioadǎ are urmǎtoarea proprietate :

(1.120)

Dacǎ funcţia este periodicǎ şi continuǎ atunci ea poate fi scrisǎ astfel:

(1.121)

Expresia de mai sus poartǎ numele de serie Fourier trigonometricǎ (SFT),

coeficienţii şi numindu-se coeficienţi Forier, iar este legat de perioada

funcţiei prin relaţia:

(1.122)

Dacǎ se cunoaşte perioada semnalului care trebuie analizat, determinarea

coeficienţilor Fourier se poate face ţinând cont de ortogonalitatea funcţiilor şi

. Conform acestei proprietǎţi:

(1.123)

şi atunci rezultǎ:

33


(1.124)

Seria Fourier poate fi scrisǎ şi în formǎ complexǎ. Astfel, dacǎ ţinem cont de

formulele lui Euler:

(1.125)

atunci:

şi înlocuind coeficienţii şi cu :

(1.126)

rezultǎ :

(1.127)

Expresia (1.127) poartǎ numele de serie Fourier exponenţialǎ (SFE), determinarea

coeficienţilor din dezvoltarea în serie bazându-se de asemenea pe proprietatea de

ortogonalitate a sistemului de funcţii de tipul . Aceastǎ proprietate, pentru acest

sistem de funcţii ne spune cǎ:

(1.128)

Este uşor de vǎzut cǎ în acest caz:

(1.129)

1.8.5.1 Seria Fourier a unui semnal dreptunghiular

34


Ca un exemplu la cele expuse mai sus, sǎ deteminǎm coeficienţii Fourier la un

semnal periodic dreptunghiular, ilustrat în figura 1.19.

Figura 1.19 Semnal dreptunghiular

Calculǎm coeficienţii:

Prin urmare semnalul dreptunghiular va putea fi obţinut dintr-o serie Fourier

trigonometricǎ astfel:

(1.130)

Fǎrǎ prea mari eforturi se pot gǎsi şi coeficienţii din seria Fourier exponenţială.

Desigur se pune problema câti termeni trebuie luaţi în considerare în seria

Fourier. Rǎspunsul depinde de eroarea cu care dorim sǎ aproximǎm semnalul.

Evident nu întotdeauna luarea în considerare a unui numǎr mare de componente

Fourier ne asigurǎ cea mai micǎ eroare.

35


In figura 1.20 este reprezentată transformata Fourier a unui semnal sinusoidal cu

frecvenţa de 5 KHz achiziţionat cu o placă de achiziţie la o frecvenţă de achiziţie de

40000Hz.

Figura 1.20 Transformata Fourier a unui semnal de 5 KHz.

36


Probleme de verificare la capitolul I

1. Exprimati in coordonate polare sferice vectorii viteza si acceleratie stiind ca in coordonate carteziene acestia au urmatoarele expresii:

2. Energia potentiala de interactiune dintre doi nucleoni se poate exprima printr-o relatie de tip Yukava, data de:

Sa se calculeze expresia fortei de interactiune dintre cei doi nucleoni, considerand ca aceasta forta este o forta conservativa.

3.Un pendul cu perioada proprie executa oscilatii intretinute ca urmare a actiunii asupra lui a unei forte perturbatoare de tip armonic. Stiind ca rezonanta miscarii are loc la o pulsatie a fortei egala cu , sa se calculeze decrementul logaritmic al miscarii oscilatorii.

3. Sa se calculeze seria Fourier a unui semnal periodic dat de figura de mai jos :

37

curs de fizica partea i idd-iei.doc

Documents