analiza complexa - uvteugeniat/ecc/cursuri/notitecurs...analiza complexa 2 1 2 z si 1 2 z i (7.39)...

25
Analiza Complexa 1 7.3 Derivabilitate. Relatiile Cauchy-Riemann-continuare Definiţie: O funcţie w f z este analitică într-un punct z 0 , dacă este diferenţiabilă în z 0 şi pe o vecinătate a lui z 0 . Cu alte cuvinte, f z este analitica in z 0 daca exista o vecinatate 0 z z in care f z exista in fiecare punct. O funcţie w f z diferenţiabilă în fiecare punct al unui domeniu D se numeşte funcţie analitică pe domeniu. O functie poate sa fie analitica pe un domeniu cu exceptia unui numar finit de puncte sau infinit, caz in care spunem ca este analitica cu exceptia acestor puncte care se numesc singularitati ale functiei f z . Exemplu: Aratati ca functia 1 1 f z z is analitica peste tot cu exceptia lui 1 z . 0 lim z f z z f z f z z 0 1 1 1 lim 1 1 z z z z z 2 0 1 1 lim 1 1 1 z z z z z Independent de modul in care 0 z , cu conditia 1 z . Atunci f z este analitica peste tot cu exceptia singularitatii 1 z . Pentru orice funcţie analitică f z au loc urmatoarele relaţii de derivare ca urmare a relatiei deduse (7.29) si apoi a valabilitatii relatiilor Cauchy-Riemann: u v v u u u v v f z i i i i x x y y x y y x (7.38) Deoarece z x iy si z x iy , x si y pot fi exprimati in functie de z si complexul sau conjugat z prin:

Upload: others

Post on 03-Feb-2021

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • Analiza Complexa

    1

    7.3 Derivabilitate. Relatiile Cauchy-Riemann-continuare

    Definiţie: O funcţie w f z este analitică într-un punct z0, dacă este diferenţiabilă

    în z0 şi pe o vecinătate a lui z0. Cu alte cuvinte, f z este analitica in z0 daca exista

    o vecinatate 0z z in care f z exista in fiecare punct.

    O funcţie w f z diferenţiabilă în fiecare punct al unui domeniu D se

    numeşte funcţie analitică pe domeniu. O functie poate sa fie analitica pe un domeniu

    cu exceptia unui numar finit de puncte sau infinit, caz in care spunem ca este

    analitica cu exceptia acestor puncte care se numesc singularitati ale functiei f z .

    Exemplu: Aratati ca functia 1

    1f z

    z

    is analitica peste tot cu exceptia lui 1z .

    0limz

    f z z f zf z

    z

    0

    1 1 1lim

    1 1z z z z z

    20

    1 1lim

    1 1 1z z z z z

    Independent de modul in care 0z , cu conditia 1z . Atunci f z este analitica

    peste tot cu exceptia singularitatii 1z .

    Pentru orice funcţie analitică f z au loc urmatoarele relaţii de derivare ca

    urmare a relatiei deduse (7.29) si apoi a valabilitatii relatiilor Cauchy-Riemann:

    u v v u u u v v

    f z i i i ix x y y x y y x

    (7.38)

    Deoarece z x iy si z x iy , x si y pot fi exprimati in functie de z si complexul

    sau conjugat z prin:

  • Analiza Complexa

    2

    1

    2x z z si

    1

    2y z z

    i (7.39)

    Putem privi functia complexa f u iv ca o functie de z si z si nu de x si y. Daca

    facem asta si examinam /f z obtinem:

    f f x f y

    z x z y z

    (7.40)

    1 1

    2 2

    u v u vi i

    x x y y i

    1

    2 2

    u v i v u

    x y x y

    Daca f este analitica, atunci conditiile Cauchy-Riemann (3.37) trebuie sa fie

    satisfacute si acestea ne conduc imediat la / 0f z . Concludem ca, daca f este

    analitica atunci f nu poate fi o functie de z .

    Exerciţii:

    1. Verificaţi dacă funcţia 2 2w z z x y este analitică în cel puţin un punct.

    2 2,u x y x y , , 0v x y

    Ecuaţiile Cauchy-Riemann vor fi:

    u v

    x y

    2 0x 0x

    u v

    y x

    2 0y 0y

    Acestea sunt satisfăcute numai în punctul 0,0 . Astfel funcţia w z z este

    diferenţiabilă numai în 0z şi nu este analitică. Cum functia depinde de z , conform

    calculului precedent functia nu poate fi analitica.

  • Analiza Complexa

    3

    2. Arătaţi că funcţia:

    cos sinz x iy xw f z e e e y i y

    este analitică pe întreg planul complex.

    Funcţiile:

    , cosxu x y e y , , sinxv x y e y

    ca funcţii de variabile reale sunt funcţii diferenţiabile în orice punct ,x y . Derivatele

    acestora verifică condiţiile Cauchy-Riemann (7.37):

    cos cosx xu ve y e y

    x y

    şi

    sin sinx xu ve y e y

    y x

    Cu formula (7.38), calculăm derivata funcţiei:

    cos sin

    cos sin cos sin

    x x

    x xe y e y

    f z e y i y i e y i y f zx x

    Practic: z ze e (7.41)

    Unele proprietati ale functiilor analitice sunt de mare importanta in fizica teoretica.

    Definiţie: O funcţie se numeşte armonică pe un domeniu D, dacă este cu derivate

    parţiale continue până la ordinul doi pe D şi dacă verifică ecuaţia lui Laplace:

    2 2

    2 20

    x y

    (7.42)

    Observaţie: Dacă o funcţie , ,f z u x y i v x y este analitică pe un domeniu

    D, atunci partea sa reală ,u x y şi partea sa imaginară ,v x y sunt funcţii armonice

    pe D.

  • Analiza Complexa

    4

    Într-adevăr, diferenţiind prima ecuaţie Cauchy-Riemann în raport cu x şi a doua în

    raport cu y obţinem:

    2 2

    2

    u v

    x y x

    2 2

    2

    u v

    y x y

    Cum derivatele mixte sunt egale, prin adunare, obţinem:

    2 2

    2 20

    u u

    x y

    Urmatorul rezultat se refera la doua familii de curbe , constantu x y si

    , constantv x y , unde u si v sunt partea reala si imaginara a oricarei functii analitice

    f u iv . Asa cum stim, vectorul normal la cuba , constantu x y este:

    u u

    u i jx y

    (7.43)

    O expresie similara exista pentru v , normala la curba , constantv x y . Calculam

    produsul scalar al celor doi vectori normali la curbe:

    0u v u v u u u u

    u vx x y y x y y x

    In ultima linie am folosit conditiile Cauchy-Riemann pentru a rescrie derivatele

    partiale. Deoarece produsul scalar este zero, vectorii normali la curbe trebuie sa fie

    ortogonali si curbele trebuie sa se intersecteze in unghiuri drepte.

    Exemplu: Consideram functia 2f z z analitica.

    Avem 2 2,u x y x y si , 2v x y xy Curbele cu u si v constant sunt hiperbole care

    sunt perpendiculare in fiecare punct in care se intersecteaza.

  • Analiza Complexa

    5

    Figura 7.11

    Proprietate: O transformare w f z este conformă pe domeniul D dacă f z este

    injectivă şi analitică pe D, şi 0f z , z D . Transformarea păstrează unghiurile.

    Dacă două curbe 1 , 2 trec prin a şi au un unghi între ele, atunci funcţia transformă

    curbele în alte două curbe ce se intersectează în f a şi au acelaşi unghi între ele.

    Exemple de transformari conforme: i) w z b translatie cu numarul complex

    b, ii) iw z e rotatie cu unghiul ϕ, iii) w az , a real, contractie sau dilatare in directie

    radiala, iv)transformarea inversa 1/w z care transforma interiorul cercului unitate

    in exteriorul sau si invers.

    Exerciţii

    1. Determinaţi partea reală şi partea imaginară a funcţiei 2w z iz .

    Cum z x iy , atunci 2

    w x iy i x iy

    2 22w x iy i x ixy y

  • Analiza Complexa

    6

    2 22w x iy ix xy iy

    2 22w x xy i y y x

    2 2, 2 ,u x y x xy v x y y y x

    2. Arătaţi cum transformă funcţia z x iyf z e e diverse drepte din planul

    complex.

    2z iy 2 2 cos siniye e y i y cerc cu raza 2e

    3

    z x i

    3 cos sin3 3

    x ixe e i

    dreapta

    Figura 7.12

    Rotatia if z e z

    Figura 7.13

  • Analiza Complexa

    7

    3. Cu condiţiile Cauchy-Riemann determinaţi dacă funcţiile următoare sunt

    analitice.

    a) 2w z z

    Cum z x iy , atunci 2

    w x iy x iy

    2 22w x ixy y x iy

    3 2 2 3 2 22 2w x ix y y x iy x yi xy

    3 2 3 2w x xy i y x y

    3 2 3 2, ,u x y x xy v x y y x y

    2 23u

    x yx

    , 2 23

    vy x

    y

    2 2 2 23 3x y y x , 2 22 2x y , 2 2 0y x

    y x

    2u

    xyy

    , 2

    vxy

    x

    2 2xy xy , 4 0xy , 0xy

    0y sau 0x

    Funcţia este diferenţiabilă numai în 0z , şi nu este analitică în nici un punct din

    planul complex.

    b) zw ze

    Cum z x iy , atunci x iyw x iy e

    cos sinxw x iy e y i y

    cos sin cos sinxw e x y ix y iy y y y

    cos sin sin cosxw e x y y y i x y y y

    , cos sinxu x y e x y y y

    , sin cosxv x y e x y y y

    cos sin cosx xu

    e x y y y e yx

    cos cos sinxv

    e x y y y yy

    egale z

    sin sin cosxu

    e x y y y yy

  • Analiza Complexa

    8

    sin cos sinx xv

    e x y y y e yx

    egale z

    Funcţia este diferenţiabilă şi analitică pe tot palanul complex.

    4. Aratati ca daca punctul z0 se afla in jumatatea superioara a planului z atunci

    transformarea

    0

    0

    i z zw ez z

    transforma jumatatea superioara a planului z in interiorul cercului unitate din

    planul w.

    Calculam modulul lui w:

    00 0 0

    0 0 0 0

    i iz zz z z z z z

    w e ez z z z z z z z

    Deoarece

    0z este reflexia lui z0 in axa reala, daca z si z0 sunt in jumatatea

    superioara a planului z atunci 0 0z z z z si astfel 1w cum este necesar.

    Axa reala este transformata in frontira cercului, iar z0 in 0w .

    7.4 Funcţii elementare de variabilă complexă

    Funcţia liniară de variabilă complexă z are forma:

    w az b (7.44)

  • Analiza Complexa

    9

    unde 0a şi b sunt numere complexe fixate.

    Funcţia liniară este definită pe tot planul complex, este injectivă şi admite funcţie

    inversă:

    1 b

    z wa a

    Funcţia este analitică pe întreg planul complex şi deoarece 0dw

    adz

    transformarea

    este una conformă pe tot planul complex.

    Funcţia liniară fracţionară de variabilă complexă z are forma:

    az b

    wcz d

    (7.45)

    unde a, b, c şi d sunt numere complexe fixate, astfel încât 0a b

    c d

    Funcţia liniară fracţionară este definită pentru orice z cu excepţia punctului /z d c

    Are funcţie inversă:

    dw b

    zcw a

    Este injectivă pe întreg planul complex cu excepţia punctului /z d c . În acest

    domeniu, funcţia (7.45) este analitică, şi deoarece

    20

    dw ad bc

    dz cz d

    transformarea este conformă.

    Funcţia putere are forma:

    nzw , n (7.46)

    Funcţia este analitică pe întreg planul complex şi derivata sa este:

    1 nnz

    dz

    dw pentru 1n (7.47)

    şi este nenulă 0z .

  • Analiza Complexa

    10

    Dacă în relaţia (7.46) reprezentăm z în formă exponenţială:

    iz re n n inz r e

    Se observă că pentru două numere complexe diferite 1z şi 2z astfel încât:

    1 2r r 2 1

    2k

    n

    1

    2 1 1 1

    2

    2

    2 2 1 1 1 1 1cos 2 sin 2in k

    in in in inn n n n i k n n nnz r e r e r e e r e k i k r e z

    unde k este un număr întreg, acestea sunt transformate în acelaşi număr imagine w

    de către funcţia putere. Acest lucru ne arată că pentru 1n transformarea (7.46) nu

    este injectivă în planul z.

    Cel mai simplu exemplu de domeniu pe care transformareanzw este injectivă este

    sectorul:

    2

    arg zn

    , (7.48)

    Pe domeniul (7.48) transformarea (7.46) este conformă.

    Exemplu: Transformarea nzw , 1n , transformă sectorul 0 arg /z n din

    planul complex z în semiplanul superior complex w figura 7.14. Transformarea

    măreşte unghiul sectorului de n ori.

    Figura 7.14

  • Analiza Complexa

    11

    Funcţia rădăcină de ordinul n este:

    nw z (7.49)

    Aceasta este o functie multivaloare, care asociază la fiecare număr complex

    0iz re , n numere complexe diferite:

    2ki

    n nkw r e

    , 0,1,2, , 1k n (7.50)

    astfel încât a n-a putere a acestora este z, adică n

    kw z .

    Manipularea functiilor complexe multivaloare este mai pretentioasa. In cazul

    acestora trebuie sa identificam asa numitele branch points. Daca z variaza in

    diagrama Argand pe o curba inchisa care ocoleste un branch point, in general f z

    nu se va intoarce la valoarea sa originala. Drept exemplu, sa consideram functia

    multivaloare 1/2f z z si exprimam z in forma iz re . Pentru orice contur C care

    ocoleste originea, dupa un circuit 2 . Pentru functia 1/2f z z , dupa un

    circuit obtinem:

    2 /21/2 /2 1/2 1/2 /2 1/2 /2ii i i ir e r e r e e r e

    Figura 7.15

  • Analiza Complexa

    12

    Valoarea functiei f z se modifica dupa parcurgerea oricarei curbe inchise care

    ocoleste originea. In exemplul ales f z f z . Deci 0z este un branch point

    pentru 1/2f z z .

    Observam ca daca orice contur inchis care ocoleste originea este parcurs de doua ori

    atunci functia 1/2f z z revine la valoarea originala. Numarul de bucle in jurul unui

    branch point necesare pentru functia f z pentru a reveni la valoarea initiala

    depinde de functie, si pentru unele functii (ex. Lnz care are un branch point in

    origine) valoarea initiala nu se mai atinge. Pentru a trata functia f z ca pe o functie

    univaloare, se poate defini un branch cut in diagrama Argand. Un branch cut este o

    linie sau o curba in planul complex si poate fi privita ca o bariera artificiala care nu

    trebuie sa o trecem. Aceste linii branch cuts sunt pozitionate astfel incat sa fim

    impiedicati sa facem un circuit complet in jurul oricarui branch point, si astfel

    functia ramane univaloare.

    Pentru functia 1/2f z z putem alege ca branch cut orice curba care incepe la

    originea 0z si se intinde pana la z in orice directie, deoarece orice astfel de

    curba va preveni un circuit complet in jurul branch point-ului din origine. Se

    obisnuieste alegerea unui branch point pe axa reala sau imaginara. In figura 17.15 b)

    luam branch cut pe axa reala. Cu aceasta alegere restrictionam θ la intervalul

    0 2 si pastram f z univaloare.

    Funcţia polinomială de gradu n de variabilă complexă z este funcţia:

    1

    0 1 1

    n n

    n nw a z a z a z a

    (7.51)

    unde 0 1, , , na a a sunt numere complexe fixate, iar 0 0a . Un polinom de orice

    grad este o funcţie analitică pe tot planul complex.

    Funcţia raţională are forma:

    P zw

    Q z (7.52)

  • Analiza Complexa

    13

    unde P z şi Q z sunt polinoame de variabilă complexă z. Această funcţie este

    analitică pe tot planul complex, cu excepţia punctelor în care 0Q z .

    Funcţia exponenţială

    Pentru o mai buna intelegere a functiei exponentiale, vom discuta mai intai despre

    serii de puteri in variabila complexa.

    0

    n

    n

    n

    f z c z

    (7.53)

    unde z este o variabila complexa si coeficientii cn sunt in general numere complexe.

    Seria de puteri complexe (7.53) este o dezvoltare in jurul originii 0 0z . O

    dezvoltare in serie de puteri in jurul unui alt punct 0 0z poate fi obtinuta prin

    inlocuirea lui z cu 0z z . Daca scriem z in forma exponentiala

    iz re , expresia (7.53)

    devine

    0

    n in

    n

    n

    f z c r e

    (7.54)

    Aceasta serie este absolut convergenta daca suma

    0 0 0

    n in n in n

    n n n

    n n n

    c r e c r e c r

    (7.55)

    care este o serie cu termeni reali pozitivi, este convergenta. Cu tehnicile de la serii

    de puteri reale determinam raza de convergenta a seriei, R. Seria complexa (7.53) va

    fi absolut convergenta daca z R si divergenta daca z R . Daca z R nu se poate

    trage nici o concluzie, cazul trebuie analizat separat.

    Un cerc cu raza R centrat in origine se numeste cerc de convergenta pentru

    seria 0

    n

    n

    n

    c z

    . Cazul 0R corespunde la convergenta doar in origine, iar cazul R

    corespunde la convergenta peste tot. Pentru cazul R finit convergenta apare intr-o

    parte restrictionata a planului z (diagrama Argand). Pentru o serie de puteri in jurul

    lui z0 cercul de convergenta este centrat in z0.

  • Analiza Complexa

    14

    Exemple: Determinati multimile din planul complex in care seriile urmatoare sunt

    convergente.

    1. 0 !

    n

    n

    z

    n

    Scriem z in forma exponentiala iz re , seria devine: 0 !

    n in

    n

    r e

    n

    Aceasta este absolut convergenta daca 0 !

    n in

    n

    r e

    n

    este convergenta. Adica

    studiem convergenta seriei: 0 !

    n

    n

    r

    n

    care este serie de puteri reala!

    1

    11 !!lim lim lim lim 1

    1 !

    1 !

    n

    n n n nn

    c nnR nc n

    n

    Seria este convergenta z

    2. 0

    ! n

    n

    n z

    Scriem z in forma exponentiala iz re , seria devine: 0

    ! n in

    n

    n r e

    Aceasta este absolut convergenta daca 0

    ! n in

    n

    n r e

    este convergenta. Adica

    studiem convergenta seriei reale: 0

    ! n

    n

    n r

    1

    ! 1lim lim lim 0

    1 ! 1

    n

    n n nn

    c nR

    c n n

    Seria este convergenta numai in 0z

  • Analiza Complexa

    15

    3. 0

    n

    n

    z

    n

    Scriem z in forma exponentiala iz re , seria devine: 0

    n in

    n

    r e

    n

    Aceasta este absolut convergenta daca 0

    n in

    n

    r e

    n

    este convergenta. Adica

    studiem convergenta seriei reale: 0

    n

    n

    r

    n

    1

    1

    1lim lim lim 1

    1

    1

    n

    n n nn

    c nnRc n

    n

    Seria este absolut convergenta daca 1z

    Rezultat important: Seria de puteri 0

    n

    n

    n

    c z

    are suma o functie analitica de z in

    interiorul cercului de convergenta! Daca 0

    n

    n

    n

    f z c z

    atunci in interiorul cercului

    de convergenta al seriei exista derivata si derivatele de orice ordin.

    10

    n

    n

    n

    f z nc z

    In primul exemplu de serie complexa am aratat ca functia ze definita cu

    0 !

    ndefz

    n

    ze

    n

    (7.56)

    este convergenta si conform ultimului rezultat enuntat mai sus, este functie analitica

    pe intreg planul complex. Ca si partenera sa reala, se numeste functie exponentiala

    si este egala cu propria sa derivata.

    Produsul a doua exponentiale este tot o exponentiala:

  • Analiza Complexa

    16

    1 2 1 2z z z ze e e (7.57)

    Demonstratie:

    1 10 !

    nz

    n

    ze

    n

    2 20 !

    nz

    n

    ze

    n

    coeficientul lui 1 2r sz z este

    1

    ! !r s

    1 2 1 2

    0 !

    n

    z z

    n

    z ze

    n

    termenul

    1 2

    !

    r sz z

    r s

    se scrie:

    1 2 0 1 11 1 2 1 2 2

    1

    ! !

    r s

    r s r s s r s r s r s

    r s r s r s r s

    z zC z C z z C z z C z

    r s r s

    coeficientul lui 1 2r sz z este

    !1 1! ! ! ! !

    r s

    r s r s r s

    Coeficientii termenilor corespunzatori din cele doua parti sunt egali.

    Putem extinde definitia exponentialei pentru a real, 0a

    lnz z aa e (7.58)

    Daca in 0 !

    nz

    n

    ze

    n

    consideram z iy , obtinem formula Euler:

    cos siniye y i y (7.59)

    Cum z x iy obtinem imediat relaţia:

    cos sindef

    z x iy xw e e e y i y (7.60)

    Funcţia exponenţială are următoarele proprietăţi:

    1. Pentru z real definiţia de mai sus coincide cu exponenţiala obişnuită.

    2. Funcţia este analitică pe tot planul complex şi se derivează cu formula:

  • Analiza Complexa

    17

    z ze e (vezi paragraful precedent)

    3. Funcţia verifică regula de inmultire: 1 2 1 2z z z ze e e

    4. Pentru doua valori a lui z care difera prin 2 ki , cu orice k intreg, functia ze

    are aceeasi valoare. Deci, funcţia este periodică şi are perioadă imaginară

    2 i .

    Într-adevăr, k întreg

    2 2z ki z i k ze e e e ,

    deoarece 2 cos 2 sin 2 1i ke k i k .

    Banda 0 2y din planul complex nu conţine nici o pereche de puncte z1, z2 care

    difera prin 2 ki , ceea ce ne sugerează că transformarea zw e este injectivă în

    această bandă. Şi deoarece derivata funcţiei este nenulă, 0z xe e , atunci

    transformarea este şi conformă. Este de remarcat că funcţia zw e este injectiva în

    orice bandă 2y .

    Funcţia logaritmică

    Functia inversa exponentialei este data de w, solutia ecuatiei

    wz e (7.61)

    Daca exprimam iz re unde r este real, modulul numarului, si θ este argumentul

    sau . Atunci, inmultind z cu 2ike cu k intreg, va rezulta acelasi numar

    complex z. Astfel putem scrie:

    2i kz re

    Notam w in (7.61) cu:

    ln 2w Lnz r i k (7.62)

  • Analiza Complexa

    18

    ln ln arg 2w z i Arg z z i z k , k (7.63)

    Această funcţie este funcţia logaritmică şi asociază la un z mai multe numere

    complexe. Notaţie:

    z ln rgnot

    Ln z iA z (7.64)

    Cantitatea ln argz i z se numeşte valoare principală a logaritmului. Notaţie:

    ln =ln argz z i z (7.65)

    Atunci,

    ln 2Ln z z i k , k (7.66)

    Acum ca am definit logaritmul complex puem calcula:

    nz zL tt e (7.67)

    cu t 0t si z ambele complexe.

    Exerciţii: Calculaţi logaritmul următoarelor numere complexe.

    1) Ln e z e z e arg 0z

    ln ln arg ln 0 1e z i z e i

    e ln 2 1 2Ln z i k i k

    2) Ln i z i 1z arg2

    z

    ln ln arg ln12 2

    i z i z i i

    1

    ln 2 2 22 2

    Ln i z i k i i k i k

  • Analiza Complexa

    19

    3) Ln i z i 1z arg2

    z

    ln ln arg ln12 2

    i z i z i i

    1

    ln 2 2 22 2

    Ln i z i k i i k i k

    4) 1 Ln i 1z i 2z

    3

    arg 14 4

    yz arctg arctg

    x

    3 3

    ln 1 ln arg ln 2 ln 24 4

    i z i z i i

    3 3

    1 ln 2 ln 2 2 ln 2 24 4

    Ln i z i k i i k i k

    Funcţii trigonometrice şi hiperbolice

    Din formula Euler avem:

    cos siniye y i y cos sin

    iye y i y

    sin2

    iy iye ey

    i

    cos

    2

    iy iye ey

    Definim funcţiile trigonometrice sin z şi cos z pentru orice argument complex z cu:

    sin2

    iz izdef e ez

    i

    cos

    2

    iz izdef e ez

    (7.68)

    Proprietăţi ale funcţiilor sin z şi cos z :

    1. Pentru z x real cele două funcţii coincid cu sinusul şi cosinusul obişnuit.

    2. Funcţiile sunt analitice pe întreg planul complex.

    3. Formulele de derivare sunt cele cunoscute:

    sin cosz z cos sinz z

  • Analiza Complexa

    20

    4. Sunt funcţii periodice cu perioada 2 .

    5. sin z este funcţie impară şi cos z este funcţie pară.

    6. Verifică relaţiile trigonometrice obişnuite.

    Funcţiile tg z şi ctg z în planul complex se definesc cu formulele:

    sin

    cos

    def ztg z

    z

    cos

    sin

    def zctg z

    z (7.69)

    Funcţiile hiperbolice în planul complex se definesc cu formulele:

    2

    z ze esh z

    2

    z ze ech z

    (7.70)

    s

    c

    def h zth z

    h z

    c

    s

    def h zcth z

    h z (7.71)

    Funcţiile hiperbolice sunt strâns legate de funcţiile trigonometrice. Conexiunea este

    dată de următoarele relaţii:

    cosch z iz sinsh z i iz (7.72)

    cos cz h iz sin sz i h iz (7.73)

    Precizare: Modulul funcţiilor sin z şi cos z în planul complex ia valori arbitrar de

    mari.

    Exerciţii:

    1) Arătaţi că: cos ln 5 2 6 5i

    ln 5 2 6 ln 5 2 61cos ln 5 2 6 ln 5 2 6 2i ch e e

    ln 5 2 6 ln 5 2 61 1 5 2 6 5 2 6 52 2e e

  • Analiza Complexa

    21

    2) Determinaţi modulul şi argumentul principal al funcţiei date în punctul z0 .

    a) cosw z , 0 ln 22

    z i

    cos2

    iz izdef e ew z

    ln 2 ln 2

    ln 2 ln 22 2 2 20

    1 1cos

    2 2

    i i i i i i

    z e e e e e e

    2 201 1 1 1

    cos 2 cos sin 2 cos sin2 2 2 2 2 2 2 2

    i i

    z e e i i

    0

    1 1 1 3cos 2 1

    2 2 4 4z i i i i

    03

    cos4

    z 0arg cos2

    z

    b) w sh z , 0 12

    z i

    1

    sin2 2

    iiz iizz ze ew sh z i iz i e e

    i

    1 1

    2 2 2 20

    1 1 1

    2 2

    i i i i

    sh z e e e e ee

    0

    1 cos sin cos sin

    2 2 2 2 2 2

    esh z i i

    e

    01 1

    2 2 2

    e ish z i i e

    e e

    01 1

    2

    sh z ee

    0

    2arg sh z

    7.4 Integrarea funcţiilor complexe. Teorema Cauchy

    Integrarea unei funcţii de variabilă complexă

    O curbă în planul complex este o transformare de forma:

    : ,a b , t x t iy t , ,t a b (7.74)

  • Analiza Complexa

    22

    a reprezintă punctul iniţial al curbei şi b punctul final. Curba este netedă

    dacă

    d dx dy

    idt dt dt

    (7.75)

    există şi este nenulă ,t a b .

    Fie o curbă orientată netedă pe porţiuni, în planul complex. Presupunem că

    o funcţie f z de variabilă complexă este definită pe curba sau pe un domeniu care

    include curba . Împărţim curba în n arce parţiale cu ajutorul punctelor:

    0z a , z1, z2, ..., nz b (7.76)

    alese arbitrar, cu a şi b extremităţile curbei.

    Figura 7.16

    Pe fiecare arc partial, care se intinde de la 1kz la kz ( 1, ,k n ), alegem un punct k

    si notam:

    1k k kz z z

    Formăm suma:

    1

    n

    k k

    k

    f z

    (7.77)

    numită sumă integrală complexă, unde k este un punct arbitrar din arcul parţial

    1,k kz z . Dacă pentru max 0kk

    z există limita sumei (7.77) independent de partiţia

  • Analiza Complexa

    23

    curbei în arce parţiale şi de alegerea punctelor k , atunci această limită se numeşte

    integrala lui f z pe curba .

    max 0

    1

    limk

    ndef

    k kz

    k

    f z dz f z

    (7.78)

    O functie f z care are integrala complexa pe curba se numeste integrabila pe

    curba. Daca f z este analitica pe curba, atunci f z este sigur integrabila pe

    curba.

    Exista o conexiune intre integrala functiei complexe pe o curba si integralele

    unor functii vectoriale reale pe o curba. Astfel, considerăm:

    , ,f z u x y i v x y

    k k kz x iy 1k k kx x x 1k k ky y y

    k k ki ,k k ku u ,k k kv v

    Cu aceste notaţii putem rescrie suma integrală complexă:

    1 1

    n n

    k k k k k k

    k k

    f z u i v x i y

    1

    n

    k k k k k k k k

    k

    u x iu y iv x v y

    1 1

    n n

    k k k k k k k k

    k k

    u x v y i v x u y

    (7.79)

    Patea reală şi partea imaginară din această relaţie sunt sume integrale pentru

    integralele curbilinii de al doilea tip:

  • Analiza Complexa

    24

    udx vdy

    şi vdx udy

    (7.80)

    Aceste integrale reprezintă integralele funcţiilor vectoriale 1A ui vj şi 2A vi uj

    pe curba . Astfel existenţa integralei f z dz

    depinde de existenţa integralelor

    curbilinii ale funcţiilor cu variabile reale. Pentru ca acestea să existe este suficient

    ca funcţiile u şi v de variabile reale x şi y să fie continue pe porţiuni.

    Dacă curba este netedă pe porţiuni şi f z este funcţie mărginită şi continuă

    pe porţiuni pe , atunci integrala (7.78) există şi are loc formula:

    f z dz udx vdy i vdx udy

    (7.81)

    Această formulă se reţine mai uşor în forma:

    f z dz u iv dx idy

    (7.82)

    Integralele funcţiilor de variabilă complexă păstrează proprietăţile de bază ale

    integralelor curbilinii de al doilea tip:

    1) 1 2 1 2f z dz f z dz f z f z dz

    Figura 7.17

  • Analiza Complexa

    25

    2) cf z dz c f z dz

    unde c este o constantă complexă.

    3) f z dz f z dz

    , unde şi au orientări opuse.

    4) 1 2 1 2

    f z dz f z dz f z dz

    5) Fie maxz

    M f z

    şi l lungimea curbei . Atunci,

    f z dz f z dz M dz Ml

    (7.83)

    Calcularea integralei unei funcţii de variabilă complexă

    Considerăm curba netedă în reprezentare parametrică:

    z z t x t iy t , ,t

    Atunci:

    f z dz f z t z t dt

    (7.84)

    Într-adevăr,

    f z dz udx vdy i vdx udy

    , , , ,u x t y t x t v x t y t y t dt i v x t y t x t u x t y t y t dt

    , ,u x t y t iv x t y t x t iy t dt f z t z t dt