curs 4. risc si rentabilitate_i

PIETE DE CAPITAL

CURS 4. RISCUL ŞI RENTABILITATEA INSTRUMENTELOR FINANCIARE

Asist. univ. drd. Alina GRIGORE

Catedra de MONEDĂ

Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori

CUPRINS(I) Riscul şi rentabilitatea unui activ financiar

Rentabilitatea instrumentelor financiare: Randamentul istoric şi randamentul anticipat; Testarea ipotezei de normalitate a randamentelor: Q-Q

plot, Kurtosis, Skewness, Testul Jarque-Bera; Factorii determinanţi ai randamentului anticipat:

randamentul real fără risc, rata inflaţiei aşteptate şi prima de risc

Riscul asociat instrumentelor financiare: Varianţa; Deviaţia standard; Coeficientul de variaţie; Semivarianţa.

(II) Riscul şi rentabilitatea unui portofoliu format din două active Determinarea mediei şi a varianţei unui portofoliu Diversificarea riscului unui portofoliu

RENTABILITATEA UNEI ACŢIUNI

I. Randamentul istoric:- Randamentul pe perioada de deţinere:

- Perioada de deţinere (intervalul de la momentul 0 la momentul T) poate fi oricât, de aceea pentru a putea compara randamentul unor acţiuni ce au fost deţinute pe perioade diferite, trebuie să ajustăm randamentele RPD, astfel încât intervalul de timp să fie acelaşi.

- Se impune determinarea unui randamentul anual:


Exemplul 1: Să presupunem că se cumpără o unitate de fond la fondul mutual F cu valoarea de 200 u.m. Dacă această unitate de fond este răscumpărată peste 2 ani cu 250 u.m., atunci:

Exemplul 2: Să presupunem că acţiunea ABC a fost achiziţionată la cursul de135 u.m. După 6 luni această acţiune acordă un dividend de 5 u.m., iar cursul său pe piaţă este 140 u.m. Dacă acţiunea ABC va fi vândută dupa acordarea dividendului atunci:

RENTABILITATEA UNEI ACŢIUNI Investitorul doreşte să cunoască performanţa medie a unui

titlu pe o perioadă de timp din trecut!

În practică se foloseşte atât media aritmetică, , cât şi media geometrică, , a randmentelor istorice:


Exemplul 3: Valoarea de piată a unui titlu creşte în primul an de la 50 u.m. la 100 u.m., după care scade din nou în anul doi la 50 u.m. Prin urmare, randamentul mediu anual este 25% conform mediei aritmetice, respectiv 0% conform mediei geometrice.

Evoluţia cursului, randamentul anual şi randamentul mediu calculat prin cele două metode sunt prezentate în tabelul alăturat:

t Pt Rt

0 50 -

1 100 100 %

2 50 -50 %

randamentul mediu anual

media aritmetică

0.25

media geometrică

0

Observaţii!Cele două medii sunt egale doar în cazul în care toate randamentele sunt egale.În rest, media aritmetică este mai mare decât media geometrică.


Observaţii! Randamentul mediu calculat după media aritmetică ia în

considerare evoluţia randamentelor anuale. Randamentul mediu calculat după media geometrică ţine cont

doar de valoarea iniţială (P0) şi valoarea finală (PT). – De demonstrat!

II. Randamentul anticipat Este un indicator subiectiv ce diferă de la un investitor la altul în

funcţie de aşteptările fiecăruia cu privire la evoluţia viitoare a valorii (preţului) instrumentului financiar.

Randamentul viitor este considerat o variabilă aleatoare cu o anumită distribuţie ce diferă între investitori.

RENTABILITATEA UNEI ACŢIUNIExemplul 4: Un investitor, în funcţie de evoluţia viitoare aşteptată a economiei, estimează un set de randamente posibile ale unei acţiuni pe care o deţine. Fiecărei stări ale economiei (recesiune, stagnare, avânt economic) posibile cu o anumită probabilitate (p i), i se asociază un randament estimat, astfel:

Conform distribuţiei presupuse randamentul anticipat va fi:

Starea economiei

pi (%) Ri (%)

recesiune 30 - 3

stagnare 50 2

avânt 20 6

Exemplul 5. Un investitor, I, consideră următoarea distribuţie a randamentelor viitoare pentru acţiunea Y:

Ri (%) -3 -1 2 3 4 6

pi (%) 5 10 20 30 25 10

-3 -1 2 3 4 60

5

10

15

20

25

30

Investitorul I, crede că randamentul acţiunii Y va fi -3 % cu o probabilitate de 5%, -1 % cu o probabilitate de 10 % ş.a.m.d. Conform acestei distribuţii avem şase randamente posibile, dar ne interesează care este cea mai probabilă valoare. În consecinţă se foloseşte media distribuţiei ca măsură a randamentului aşteptat:

Histograma randamentelor



Observaţii!

1.Un randament aşteptat de 2.65 %, NU reprezintă un randament cert de 2.65 %, investitorul respectiv poate realiza efectiv un randament mai mic sau mai mare decât această valoare. Cu alte cuvinte, el poate câştiga „în jur de” 2.65 %.2.Cu cât randamentele posibile se abat mai mult faţă de medie, cu atât incertitudinea investitorului asupra rezultatelor viitoare este mai mare. 3.În finanţe, se asociază această incertitudine cu riscul instrumentului financiar.

Distribuţia normală a randamentelor

Distribuţia normală are următoarea funcţie de densitate:

RENTABILITATE. DISTRIBUŢIA NORMALĂ

Distribuţia normală standard

Unde: μ =0, σ =1

FUNCŢIA DE DENSITATE A DISTRIBUŢIEI NORMALE

Dacă o variabilă aleatoare, z, urmează o distribuţie normală standard, atunci z ia valori cuprinse în intervalul : [-1.96; 1.96] cu o probabilitate de 95% [-1.645; 1.645] cu o probabilitate de 90%

O variabilă aleatoare, x, normal distribuită de medie şi deviaţie standard diferite de 0 respectiv 1, poate fi transformată într-o distribuţie normală standard, z, astfel:

În ipoteza unui randament normal distribuit, x, de medie μ şi deviaţie standard σ, se poate deduce că, acesta, se va afla în intervalul: [μ – 1.96σ; μ + 1.96σ] cu o probabilitate de 95% [μ – 1.645σ; μ + 1.645σ] cu o probabilitate de 90%,

RENTABILITATE. DISTRIBUŢIA NORMALĂ Exemplul 6: Dacă rentabilitatea acţiunii ABC este

normal distribuită cu un randament aşteptat (media distribuţiei) de 12% şi deviaţie standard de 8%, atunci:

Randamentul va varia cu o probabilitate de 95% în intervalul [-3.68%; 27.68%] şi cu o probabilitate de 90% în intervalul [-1.16%; 25.16%].

TESTAREA IPOTEZEI DISTRIBUŢIEI NORMALE A RANDAMENTELOR

Indicatori şi teste statistice:1. Reprezentare grafică de tip „cuantilă-cuantilă” („Q-Q

plot”);

2. Coeficientul de asimetrie („skewness”);

3. Coeficientul de aplatizare („kurtosis”);

4. Testul Jarque-Bera.


1. Reprezentare grafică de tip „cuantilă-cuantilă”- „Q-Q plot”a). seria1 (distribuţie normală) b). seria 2 (distribuţie

exponenţială)

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Standard Normal Quantiles

Quantile

s o

f In

put

Sam

ple

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Standard Normal Quantiles

Quantile

s o

f In

put

Sam

ple

QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal

Dacă randamentele provin dintr-o distribuţie normală atunci între seria cuantilelor empirice şi seria cuantilelor teoretice (ale distribuţiei normale) va exista o relaţie liniară Compară cuantila empirică cu cea teoretică. În ambele cazuri cuantilele teoretice aparţin distribuţiei normale standard şi sunt reprezentate pe axa Ox. Pe axa Oy sunt ordonate în cazul a) cuantilele calculate pentru seria 1 generată, iar în cazul b) cuantilele calculate pentru seria 2. Se observă o dependenţa neliniară dintre cuantilele empirice şi cele teoretice în cazul seriei 2, acest lucru indicând faptul că această serie nu provine dintr-o distribuţie normală( ceea ce este adevărat pentru că a fost generată după o distribuţie exponenţială !).

TESTAREA IPOTEZEI DISTRIBUŢIEI NORMALE A RANDAMENTELOR2. Coeficientul de asimetrie (Skewness) - are valoarea 0 dacă

distribuţia este simetrică. (Distribuţia normală este simetrică!)

a)asimetrie la dreapta b). simetrică c). asimetrie la stânga

Observaţie!

O distribuţie este asimetrică dacă una din cozi este mai lungă decât cealaltă.

În cazul în care coeficientul de asimetrie al distribuţiei empirice a randamentelor este semnificativ diferit de 0, distribuţia acestora nu poate fi considerată normală.

O valoare pozitivă a coeficientului în cazul cozii din partea dreaptă mai lungi şi o valoare negativă în caz contrar.


3. Coeficientul de aplatizare (kurtosis) Se poate arăta că distribuţia normală este o distribuţie

„mezocurtică”, adică are coeficientul de aplatizare de 3. Dacă pentru o distribuţie acest coeficient este mai mare de 3,

distribuţia este mai „înaltă” decât cea normală cozile mai „groase” (fat tails)


5. Testul Jarque-Bera ia in considerare atât coeficientul de asimetrie cât şi cel de aplatizare şi verifică în ce măsură distribuţia empirică poate fi apoximată cu o distribuţie normală.

Conform distribuţiei χ2 [2], valoarea critică a testului Jarque-Bera pentru un grad de semnificaţie statistică de 5% este 5.99, iar pentru 1% este de 9.21. Cu alte cuvinte, dacă statistica JB calculată pentru o serie de radamente este mai mare de 9.21 respingem ipoteza nulă.

Distribuţia asimptotică a testului Jarque-Bera (χ2 [2])

ESTE DISTRIBUŢIA NORMALĂ CEA MAI BUNĂ APROXIMARE A DISTRIBUŢIEI RANDAMENTELOR ? De obicei, NU. Chiar dacă, în urma aplicării testului Jarque-Bera, reiese că putem aproxima distribuţia

empirică a randamentelor printr-o distribuţie normală, nu înseamnă că această aproximare este cea mai bună.

Exemplul 7: Să considerăm randamentele lunare ale SIF1, SIF2, SIF3, SIF4 pe perioada 30 noiembrie 1999 – 3 martie 2008.

Indicator SIF1 SIF2 SIF3 SIF4

Coef. de asimetrie 0.1986 0.2787 0.3988 0.4502

Coef. de aplatizare 3.9764 3.3759 5.1961 3.6552

Testul Jarque-Bera

Statistica JB 4.5829 1.8645 22.5194 5.1150

p-value 0.0670 0.4054 0.0025 0.0555

H0* 0 0 1 0

OBS! dacă H0 = 1 respingem ipoteza nulă; dacă H0 = 0 NU respingem ipoteza nulă, pentru un grad de semnificaţie statistică de 5%.

Faptul că pentru toate seriile de timp, coeficientul de aplatizare este mai mare de 3, sugerează utilizarea unei distribuţii leptocurtice.

COMPARAŢIE ÎNTRE APROXIMAREA DISTRIBUŢIEI RANDAMENTELOR CU O DISTRIBUŢIE NORMALĂ ŞI O DISTRIBUŢIE STUDENT-T

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Data

Den

sity

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Data

Den

sity

a). SIF1 b). SIF2

Într-adevăr, dacă folosim o distribuţie pentru care probabilitatea valorilor din jurul mediei să fie mai mare decât pentru cea normală, obţinem o aproximare a distribuţiei randamentelor mai bună, chiar şi pentru seriile de timp unde nu am respins ipoteza distribuţiei normale (SIF1, SIF2, SIF4).

COMPARAŢIE ÎNTRE APROXIMAREA DISTRIBUŢIEI RANDAMENTELOR CU O DISTRIBUŢIE NORMALĂ ŞI O DISTRIBUŢIE STUDENT-T

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Data

Dens

ity

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Data

Den

sity

c).SIF3 d). SIF4

FACTORII DETERMINANŢI AI RANDAMENTULUI ANTICIPAT (CERUT) Randamentul real fără risc depinde de doi factori: preferinţa pentru

consumul actual, respectiv oportunităţile de investire din economie.

Unii indivizi renunţă la o parte din consumul actual în favoarea consumului viitor, cu alte cuvinte îşi amână consumul pentru viitor, realizând astăzi economii.

Alţii în schimb, doresc să consume mai mult în prezent, apelând la economiile celorlalţi atunci când venitul lor este insuficient.

Ajustând rentabilitate reală fară risc cu rata anticipată a inflaţiei (conform relaţiei lui Fisher) se determină randamentul nominal fără risc. La acesta din urmă, pentru a determina rentabilitatea cerută de investitor se mai adaugă şi o primă de risc.

Prima de risc depinde de riscul asociat domeniului de activitate, de riscul de finanţare, de riscul de lichiditate, de riscul valutar, de riscul de ţară.

RISCUL UNUI ACTIV FINANCIAR

Riscul determinat de principalii factori de influenţă la nivel macroeconomic (ciclurile economice şi creşterea PIB-ului, rata dobânzii, cursul de schimb, rata inflaţiei) Risc de piaţă, sistematic, nediversificabil.

Riscul specific activităţii firmei care poate fi redus prin diversificare (risc nesistematic, diversificabil).

a). Risc specific b). Risc specific şi risc de piaţă OBS! Pe măsură ce numărul de active este mai mare riscul scade!

Risc specific

Riscul de piaţă

n n


Riscul unui instrument financiar se referă la volatilitatea randamentelor acestuia şi la incertitudinea asupra rezultatelor viitoare creată de această volatilitate.

Pentru a cuantifica riscul se pot utiliza următorii indicatori statistici: Varianţa (σ2) Deviaţia standard (σ) Coeficientul de variaţie (CV) Semivarianţa (semiVar)

Primii doi indicatori sunt cei mai utilizaţi în literatură şi se calculează astfel:

Varianţa măsoară abaterea pătratică medie faţă de medie. Cu cât varianţa (deviaţia standard) este mai mare cu atât intervalul

de variaţie al randamentelor viitoare este mai mare, cu alte cuvinte creşte probabilitatea randamentelor din cozile distribuţiei.


Exemplul 8: Presupunem că o acţiune (ABC) are un randament anticipat de 12% şi o deviaţie standard de 8%.

Prin aproximarea distribuţiei randamentelor cu o distribuţie normală, s-a arătat că intervalul de variaţie al randamentelor viitoare este [-3.68%; 27.68% ] cu o probabilitate de 95%.

Dacă în loc de 8% deviaţia standard este de 10%, atunci intervalul de variaţie pentru o probabilitate de 95% devine [ -7.6%; 31.6%], iar pentru o deviaţie standard de 12 % intervalul creşte şi mai mult ajungând la [-11.52%; 35,52%].


Intervale de variaţie a randamentelor normal distribuite de medie 12% şi deviaţie standard 8% respectiv 12%

Pe măsură ce creşte abaterea faţă de medie a randamentelor, măsurată prin varianţă (deviaţie standard), creşte şi incertitudinea cu privire la randamentele viitoare (ele se pot îndepărta foarte mult faţă de randamentul anticipat). O varianţă (deviaţie standard) mai mare înseamnă un risc mai mare.


Coeficientul de variaţie se dovedeşte a fi o măsură a riscului superioară varianţei (deviaţiei standard) în cazul unei diferenţe semnificative dintre randamentele aşteptate.

CV măsoară riscul pe unitatea de randament anticipat.

Exemplul 9. Să presupunem două acţiuni X şi Y al căror risc calculat prin deviaţia standard este de 2.8% respectiv 4.5%.

Judecând riscul celor două acţiuni prin prisma deviaţiei standard spunem că Y este mai riscantă decât X.

Dacă, randamentul aşteptat pentru X este 7% şi pentru Y de 15%, atunci raţionamentul anterior este înşelător, întrucât riscul pe unitatea de randament este de 0.3 pentru Y şi de 0.4 pentru X (deci X este mai riscantă).


Un investitor ar putea să fie interesat doar de volatilitatea randamentelor aflate sub medie („downside risk”). În acest sens se calculează semivarianţa după formula:

Exemplul 10. Se consideră următorul scenariu (distribuţie discretă) pentru randamentul viitor al unei acţiuni:

Randamentul anticipat este:

Ri (%)

-11 -9 -7 -5 -3 -1 0 2 4 6 8

Pi (%) 1 2 4 7 10 12 14 17 15 11 7


-11 -9 -7 -5 -3 -1 0 2 4 6 80

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Randamente

Pro

babi

litat

iHistograma randamentelor


Varianţa este:

Semivarianţa este:

Deviaţia standard este:

Coeficientul de variaţie este:

?ÎNTREBĂRI?

1. Presupunem următoarele date:

Piaţă Bear Piaţă normală Piaţă Bull

Probabilitate 0.25 0.45 0.3

Acţiunea A -25% 18% 60%Acţiunea B -20% 20% 15%

•Care este rentabilitatea aşteptată pentru acţiunile A şi B?•Care este deviaţia standard a acţiunilor A şi B?

2. Pentru acţiunea Microsoft se cunosc:

Anul Preţul la început

an

Dividendul la sfârşitul anului

2004 110 $ 4 $2005 120 $ 4.5$2006 80 $ 4.5$2007 90 $ 3.5$Un investitor cumpără trei acţiuni la începutul anului 2004, cumpără

alte două acţiuni la începutul anului 2005, vinde o acţiune la începutul anului 2006, apoi le vinde pe toate 4 la începutul anului 2007. Care este rentabilitatea medie a investitorului (calculaţi prin 2 metode)?

curs 4. risc si rentabilitate_i

Documents