curs 4
DESCRIPTION
mecanicaTRANSCRIPT
Compunerea oscilatiilor armonice simple
a) doua oscilatii paralele si de aceiasi frecventa
- metoda fazorilor
)cos(2 122122
21
2 AAAAAAmplitudinea miscarii rezultante este maxima 21max AAA pentru
Fazorul : - vector rotitor - modul egal cu amplitudinea marimii sinusoidale - unghiul pe care-l face cu axele de coordonate este egal cu faza miscarii la orice moment de timp
)sin()sin(
222
111
tAytAy
)12(12 k
k212 oscilatiile componente sunt in faza
Amplitudinea miscarii rezultante este minima pentru
oscilatiile componente sunt in opozitiede faza
2211 sinsinsin AAA
2211 coscoscos AAA
2211
2211
coscossinsin
AAAA
tg
b) doua oscilatii paralele de frecvente diferite
Miscarile la care este supus simultan oscilatorul armonic sunt descrise de ecuatiile :
)sin()sin(
2222
1111
tAytAy
21min AAA
21
21 AA )cos(2 1221
22
21
2 ttAAAAA
])cos(1[2 1221
2 tAA 2cos1
2cos2
2)(
cos4 12221
2 tAA
Amplitudinea miscarii rezultante, este data de marimea vectorului rezultant:
2)(cos2 12
1tAA
t)( 12
Oscilatorul oscileaza cu semisuma celor doua frecvente si amplitudunea depinde de timp.
12
2
T
T - perioada de oscilatie a amplitudinii rezultante
2)(
2)( 1212
1ttt
2)(sin
2)(cos2 1212
1tAy
12 - frecventa bataiilor, frecventa de variatie a amplitudinii
Corpul va oscila cu o frecventa egala cu semisuma frecventelor, dar amplitudinea oscilatiei va varia foarte incet cu o frecventa egala cu diferenta celor doua frecvente.
221
Fenomenul de intarire si de atenuare periodica a oscilatiei se numeste fenomenul batailor.
Linia intrerupta arata modularea amplitudinii.
c) doua oscilatii care au loc in lungul a doua directii perpendiculare
)sin()sin(
22
11
tAytAx
- aceiasi pulsatie
(1)
Ecuatia (1) se poate scrie :
222
111
sincoscossin
sincoscossin
ttAy
ttAx
Inmultim pe rand cele doua ecuatii cu factorii , respectiv , si le scadem :
2sin 1sin2cos 1cos
Ridicam cele doua ecuatii la patrat si le adunam :
)(sin)cos(212
212
1122
2
21
2
AAxy
Ay
Ax
(2)
- ecuatia traiectoriei unui punct material supus la cele doua oscilatii perpendiculare
Ecuatia (2) reprezinta in general ecuatia unei elipse a carei parametrii depind de diferenta de faza .)( 12
)sin(coscoscos
)sin(sinsinsin
1212
21
1212
21
tAy
Ax
tAy
Ax
Cazuri particulare :
a) k212
xAA
y1
2 - ecuatia unei drepte 1
2
AA
tg
miscarea are loc in lungul unei drepte care trece prin origine si face unghiul cu axa OX.
Departarea punctului material fata de origine:
)sin(1 122
212
1
2222 tAAxAAyx
Corpul executa o miscare oscilatorie armonica cu amplitudinea 22
21 AA
b) )12(12 k
0221
2
2
2
1
Ay
Ax
Ay
Ax 0
2
21
Ay
Ax
0221
2
2
2
1
Ay
Ax
Ay
Ax 0
2
21
Ay
Ax
xAA
y1
2
1
2
AA
tg
c) 2)12(12 k
122
2
21
2
Ay
Ax
- ecuatia unei semielipse de axe A1 si A2
Daca A1 = A2 traiectoria unui cerc
d) pentru celelalte cazuri se obtin traiectorii eliptice inclinate.
Pentru pulsatii diferite traiectorii de forma complicata figurile lui Lissajous
- Traiectoria este stabila numai pentru rapoarte de numere intregi
Unde mecanice
Mediile continue (solide, lichide, gazoase) sunt formate din particule foarte mici intre care exista forte de interactiune.Daca o particula este pusa in oscilatie atunci si celelalte particule ale sistemului vor incepe sa oscileze datorita interactiunii care exista intre particule. Un astfel de mediu se numeste elastic si transmiterea perturbatiilor (oscilatiilor) din aproape in aproape se numeste unda mecanica (elastica).
Viteza de propagare a undei este finita.
c - viteza undei, viteza de propagare a perturbatieiv - viteza unei particule care oscileaza
Unda nu reprezintă transport de materie, ci numai transport de energie.
La o departare mare suprafata sferica se poate aproxima cu un plan unda plana progresiva.
Ecuatia undei plane progresive
),( to - elongatia la un moment t
Unda plana
Toate punctele unui mediu atins de o perturbatie formeaza frontul de unda; pentru mediul izotrop frontul de unda este o suprafata sferica.
După natura perturbaţiei şi modul de propagare al acesteia, putem clasifica undele în:
- unde longitudinale (direcţia de propagare a undei coincide cu direcţia de oscilaţie); - unde transversale (direcţia de propagare a undei este perpendiculară pe direcţia de oscilaţie).
Daca unda plana se propaga in directia versorului , elongatia particulei intr-un punct P de raza vectoare va fi aceiasi ca a particulei
n
rnrx
'
)(),(),( '
crntftxtr
Toate punctele vor reproduce miscarea oscilatorie a punctului din origine insa cu o intarziere. Dupa un timp necesar perturbatiei de a ajunge din origine in punctul respectiv: c
xt '
)(),0(),(cxtf
cxttx
- ecuatia undei plane progressive
Se observa ca este o functie de diferenta cand se propaga in sensul pozitiv axei Ox ; in sensul negativ.
cxt
cxt
)( '' xP