concurs matematica urziceni 2016

8/18/2019 Concurs matematica Urziceni 2016

1/4

Concursul de Matematică “Grigore Moisil”

Ediţia a X-a, Urziceni, 5 - 7 Februarie 2016

Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7. Timp de lucru: 3 ore.

CLASA A IX A

Subiectul 1 Triunghiurile și sunt circumscrise aceluiași cerc șisunt ȋnscrise ȋn discurile și . Demonstrați că, dacă ⊂ , atunci .

GM

Subiectul 2 Vom spune că o configurație formată din 4 puncte , , , ȋn plan este șocantă dacă sunt ȋndeplinite simultan următoarele două condiții:

a)

este triunghi nedegenerat și

este un punct ȋn interiorul său;

b) pentru toate posibilitățile de alegere ale indicilor , ,} 1,2,3}, unghiuldintre vectorii ⃗ și ⃗ ⃗ este mai mic sau egal cu 90.Dați exemplu de o configurație șocantă sau demonstrați că astfel de configurații

nu există, cu justificare riguroasă.

* * *

Subiectul 3

Fie , , … , ∈ ℕ∗ astfel ȋncât

⋯

1.

Demonstrați că: max, , … , } .* * *

Subiectul 4 Pentru fiecare număr natural nenul , notăm cu numărulsoluțiilor , ∈ ℕ∗ × ℕ∗ ale ecuației

⋅ ,

⋅

, (√ 1),

cu proprietatea că | | . Determinați sub forma unei funcții de .(, reprezintă cel mai mare divizor comun al numerelor naturale și , iar⌈⌉ este cel mai mic număr ȋntreg care este mai mare sau egal cu )

* * *


2/4




CLASA A X A

Subiectul 1 Fie

,

numere naturale. Demonstrați că:

4! 4!!! ! 2 2! ∈ ℕ.

GM

Subiectul 2 Se consideră un poligon … − ( 3) ȋnscris ȋntr -un cercde centru , care are centrul de greutate tot ȋn punctul . Demonstrați că, pentruorice puncte , cu proprietatea că ⃗ 1⃗ 0⃗ , avem:

∑ −

= ∑

−

=.

Nicolae Bourbăcuț și Leo Giugiuc

Subiectul 3 Fie

∈ ℝ,

< 1. Determinați toate funcțiile

: ℝ → ℝ cu

proprietatea că, pentru orice , ∈ ℝ, avem: sin sin . * * *

Subiectul 4 a) Fie funcția ∶ ℤ × ℤ → ℤ definită, pentru orice , ∈ ℤ × ℤ,cu formula , , unde , ∈ ℤ. Este posibil ca , să fie aleseastfel ȋncât să fie surjectivă?

b) Fie funcția ∶ ℤ × ℤ × ℤ → ℤ definită, pentru orice ,, ∈ ℤ × ℤ × ℤ, cuformula ,, , unde , , ∈ ℤ. Este posibil ca ,, să fie alese astfel ȋncât să fie surjectivă?

* * *


3/4




CLASA A XI A

Subiectul 1 Fie ≥, ≥ două șiruri de numere reale astfel ȋncât șirul ⋯ ≥ este convergent și pentru orice ∈ ℕ∗, avem:0 < +1 +.

Dați exemplu de un număr ∈ ℝ∗ pentru care șirul ≥ este convergent.GM

Subiectul 2 Ambientul a două numere raționale pozitive și , pe care ȋl vomnota , , se definește astfel: se scriu numerele ca fracții ireductibile / și /, unde , , , ∈ ℕ∗, apoi , / . Considerăm acum 4/7, 3/4 și pentru orice număr natural 2, definim −, −. Calculați: lim→ sau demonstrați că aceastălimită nu există.

* * *

Subiectul 3 Fie > 0 și funcția . Pentru ce valori ∈ ℝ, șirul ∑ []

=, ∈ ℕ∗,

este convergent? ( [] și [+] ∘ [], pentru orice ∈ ℕ)* * *

Subiectul 4

Pentru fiecare număr natural 2, definim matricea ()≤,≤ ∈ ℳℝ, unde {

, ă ,ă . Arătați că există > 0 astfel ȋncât |det| , oricare ar fi ∈ ℕ, 2.(mod ȋnseamnă restul pe care ȋl dă la ȋmpărțirea cu )

* * *


4/4




CLASA A XII A

Subiectul 1

Fie ∈ [1,∞. Considerăm două funcții , : [0, ] → [0,1], strict crescătoare și continuă. Calculați:

lim→ ∫

.

GM

Subiectul 2

Fie : [0,1] → ℝ o funcție derivabilă, cu ′ continuă, astfel ȋncât ∫

0.

Demonstrați că:

max∈[,] ∫

18 ⋅ max∈[,]| |. * * *

Subiectul 3 Dați exemplu de un grup finit, necomutativ, care admite unautomorfism cu proprietatea că, pentru orice ∈ \}, avem ≠ și() , sau demonstrați că un astfel de grup nu există.

* * *

Subiectul 4 Fie un grup finit și un subgrup al său. Presupunem că este osubmulțime nevidă a lui cu proprietatea că pentru orice ∈ , avem: ∉ .Demonstrați că există ⊂ astfel ȋncât || || și cu proprietatea că pentruorice , ∈ , avem: ∉ sau ∉ .

* * *

Notă: Dacă este o mulțime finită, atunci | | reprezintă numărul de elemente ale lui .

concurs matematica urziceni 2016

Documents