Cercul lui Apollonius

Teorema 8: Locul geometric al punctelor ale căror distanţe la două puncte fixe sunt într-un raport constant este un cerc (Cercul lui Apollonius).

Demonstraţie: Fie A, B puncte fixe şi k>1; atunci orice punct P al locului geometric este situat în semiplanul (dB, unde d este mediatoarea lui [AB].

Dacă C si D sunt intersecţiile lui AB cu bisectoarea interioară şi cea exterioară a lui

, atunci, în conformitatea cu teorema bisectoarei unui unghi, , deci,

punctele fixe C, D aparţin locului geometric. Pe de altă parte , deci P se află pe un cerc C de diametru .

Reciproc, orice punct C aparţine locului geometric. Într-adevăr, notând

avem deci >1. Din ceea ce-am arătat mai sus rezultă că N se află pe un cerc C1 de

diamteru , unde . Dacă >k punctele sunt mai

aproape de B decât C, respectiv D, deci C1 Int C, în contradicţie cu N C C1 . Dacă k> , atunci C Int C1, şi iarăşi am ajuns la contradicţie. Aşadar singurul caz probabil este k= şi deci N aparţine locului geometric.

Dacă k<1, se schimbă rolul lui A şi B şi se obţine un cerc în semiplanul (dA.

În cazul k = 1, locul geometric este mediatoarea d.

#include<graphics.h>#include<math.h>#include<iostream.h>#include<conio.h>#include<stdio.h>#include<dos.h>using namespace std;

typedef struct{float x,y;

}punct;

punct A,B,C,D,Q;float k;float r;

void citire(){

cout<<"Introduceti coordontale punctului A:";cin>>A.x>>A.y;cout<<"Introduceti coordonatele punctului B:";cin>>B.x>>B.y;do{cout<<"Introduceti numarul k diferit de 1:";cin>>k;}while(k==1);

}

void cerc(){

C.x=(A.x+k*B.x)/(k+1);C.y=(A.y+k*B.y)/(k+1);D.x=(k*B.x-A.x)/(k-1);D.y=(k*B.y-A.y)/(k-1);Q.x=(C.x+D.x)/2;Q.y=(C.y+D.y)/2;r=sqrt((C.x-D.x)*(C.x-D.x)+(C.y-D.y)*(C.y-D.y))/2;

}

void desen_cerc(){

setcolor(BLUE);line(A.x,A.y,B.x,B.y);setcolor(RED);outtextxy(A.x,A.y,"A");outtextxy(B.x,B.y,"B");outtextxy(C.x,C.y,"C");outtextxy(D.x,D.y,"D");

setcolor(GREEN);circle(Q.x,Q.y,r);

}

int main(){

int gd=DETECT,gm;initgraph(&gd,&gm,"c:\\BC31\\BGI");initwindow(900,900);citire();cerc();desen_cerc();getch();closegraph();return 0;

}