capitolul 6 funcłii -...
TRANSCRIPT
21
Capitolul 6 FUNCłII
1. Fie f: D → R, f(x) = 1xx
12 ++
, unde D este domeniul maxim de definiŃie.
a) Să se determine D. b) Să se determine a, b ∈ R ştiind că a < f(x) ≤ b, ∀ x ∈ D. c) Să se determine Imf. 2. Să se demonstreze că pentru orice funcŃie f: R → R există funcŃiile g, h: R → R, g funcŃie pară, h funcŃie impară, astfel încât f = g + h. 3. Să se demonstreze că nu există funcŃii f: R → R care să verifice separat una din relaŃiile: a) f(a – x) + f(a + x) = x, ∀ x ∈ R, unde a ∈ R*; b) f(x) – f(–x) = 2x2 – 3x + 1, ∀ x ∈ R.
4. Fie f: R* → R astfel încât f(x) + 2xx
1af =
, unde a ∈ R* – {±1}. Să se determi-
ne f(3) ⋅
3
1f .
5. Să se determine funcŃia f: R → R cu proprietatea 2f(x) – f(–x) = x2 – 6x, ∀ x ∈ R. 6. Fie a, b ∈ R cu a2 + b2 ≠ 0. Să se determine f: R → R ştiind că f(ax + b) ⋅ f(bx + + a) = x, ∀ x ∈ R. 7. Să se determine funcŃia f: R → R, cu proprietatea xf(x) + (2 – x)f(–x) = 2x, ∀ x ∈ ∈ R. 8. Să se determine funcŃia f: R → R, cu proprietatea xf(x) + (x – 1)f(–x) = 2x3 – x2 + + x, ∀ x ∈ R. 9. Să se determine f: R → R, cu proprietatea f(x) + f([x]) ⋅ f({x}) = x, ∀ x ∈ R.
10. Se consideră funcŃia impară f: R → R, cu proprietatea f(x – y) = )y(f)x(f1
)y(f)x(f
−
−,
∀ x, y ∈ R. Să se arate că Imf ⊂ (–1, 1). 11. Să se determine funcŃiile f: R → R, cu proprietatea f(x) + f([x]) + f({x}) = 2x, ∀ x ∈ R.
12. Să se determine funcŃiile f: R → R, cu proprietatea xf(2000y) + yf(x) = =2000
3
f(2000xy), ∀ x, y ∈ R. 13. Să se determine funcŃiile f: R → R, cu proprietatea 2f(x + y) + 3f(x – y) = 5f(x) – – 2y, ∀ x, y ∈ R. 14. Să se determine funcŃia f: R → R, cu proprietatea f(x2) + 2f(xy) + f(y2) = 3x2 + + 3y2 + 6xy + 4, ∀ x, y ∈ R.
22
15. Fie funcŃia f: R → R, astfel încât există a ∈ R pentru care f(x + y + a) – f(a) = = f(x) + f(y), ∀ x, y ∈ R. Să se demonstreze că funcŃia f este impară şi că f(x + y) = = f(x) + f(y), ∀ x, y ∈ R. 16. Să se determine funcŃia f: R → R, având proprietăŃile: a) f(x) ≤ x + 1, ∀ x ∈ R; b) f(x + y) + 1 ≤ f(x) + f(y), ∀ x, y ∈ R. 17. Să se determine funcŃiile f: R → R, cu proprietatea f(x)f(y) = f(xy – x + y), ∀ x, y ∈ R. 18. Să se determine funcŃiile f: R → R, cu proprietatea f(x) ⋅ f(y) = f(x – y), ∀ x, y ∈ ∈ R. 19. Să se determine funcŃiile f: R → R, cu proprietatea f2(x) + f2(y) = f(x – y), ∀ x, y ∈ R. 20. Să se determine funcŃiile f: R → R, cu proprietatea xf(y) – yf(x) = (x + y)f(x)f(y), ∀ x, y ∈ R. 21. Să se determine o funcŃie f: R → R, cu proprietatea |f(x) – f(y)| = 2000, ∀ x ∈ R – – Q, ∀ y ∈ Q. 22. Să se determine funcŃia f: R → R, cu proprietatea f(xy) + 9f(xz) ≥ f(x)f(yz) + 25, ∀ x, y, z ∈ R. 23. Să se determine a, b ∈ R ştiind că f(f(x)) = f(x), ∀ x ∈ R, unde f(x) = ax + b. 24. Să se determine funcŃiile f: R → R, ştiind că pentru orice x, y ∈ R avem f(x + y) – – f(y) = ax2 + 2axy + bx, f(1) – f(–1) = f(2) = 2, unde a, b ∈ R. 25. Să se determine funcŃia f: R → R, cu proprietăŃile: a) f(x) = 2, ∀ x ∈ [0, 1); b) f(x + m) = f(x) + m, ∀ x ∈ R, ∀ m ∈ Z.
26. Fie funcŃia f: R → R, f(x) = ax + p , unde a ∈ Q*, iar p este număr prim.
a) Să se demonstreze că există o infinitate de numere iraŃionale pentru care:
px
)p(f)x(f
−
−∈ Q*.
b) Să se demonstreze că există b ∈ R – Q astfel încât f(b) ∈ Q.
c) DemonstraŃi că există p astfel încât )pppa(f − ≥ 0 pentru orice a > 0.
27. Fie f: (0, ∞) → (0, ∞) cu proprietatea că f(x – y) + f(4x + y) = 20x + 4, ∀ x > 0,
∀ y > 0. Să se demonstreze că f(x) + f(y) – 2 ≥ )xy2(f , unde x > 0, y > 0.
28. Fie f: R → R şi f(x) = |x + 2| – |x – 2|. a) Să se demonstreze că f(x – 2) + f(2 – x) = f(0), ∀ x ∈ R. b) Să se rezolve ecuaŃia f(x) + f(–x) = m, unde m ∈ R. 29. a) Să se determine funcŃia f: R → R cu proprietatea 2f(x – 2) + x + f(2 – x) = xf(x – – 2) + 2, ∀ x ∈ R. b) Să se rezolve inecuaŃia f(x) ≥ x. 30. Să se determine funcŃia liniară f: R → R cu proprietatea f(x + 2) ⋅ f(x – 1) = f(x – – 2) ⋅ f(x + 1) + 4x – 2, ∀ x ∈ R.
23
Capitolul 7 PARTE ÎNTREAGĂ. PARTE FRACłIONARĂ
DefiniŃia 1. Se numeşte partea întreagă a unui număr real x cel mai mare număr întreg cel mult egal cu x.
[x] = n, n ∈ Z, unde n ≤ x < n + 1
DefiniŃia 2. Penru orice număr real x se numeşte partea fracŃionară a numărului x nu-mărul real {x} = x – [x].
ProprietăŃi
1. Pentru orice n ∈ Z avem x ∈ [n, n + 1) ⇔ [x] = n; 2. Pentru orice n ∈ Z, avem x, y ∈ [n, n + 1) ⇔ [x] = [y] = n; 3. a) x < 0 ⇔ [x] < 0; b) x ≥ 0 ⇔ [x] ≥ 0; 4. Pentru orice x ∈ R avem [[x]] = [x]; 5. Pentru orice x ∈ R avem: a) [x] ≤ x < [x] + 1; b) x – 1 < [x] ≤ x; c) {x} ∈ [0, 1); d) {x} = x ⇔ x ∈ [0, 1); e) [x] = x ⇔ x ∈ Z; f) {x} = 0 ⇔ x ∈ Z. 6. Pentru orice x ∈ R şi orice n ∈ Z avem: a) x < n ⇔ [x] < n; b) n ≤ x ⇔ n ≤ [x]; c) [n + x] = n + [x]; d) {n + x} = {x}.
Probleme propuse
1. Să se demonstreze proprietăŃile 1) – 6) date anterior. 2. FuncŃia parte întreagă este funcŃia f: R → Z, f(x) = [x]. FuncŃia parte fracŃionară este funcŃia g: R → [0, 1), g(x) = {x}. Să se traseze graficele celor două funcŃii. 3. a) Să se demonstreze că dacă x, y ∈ R, [x] = [y], atunci |x – y| < 1. b) Reciproca este adevărată? 4. Să se demonstreze că pentru orice x, y ∈ R avem {x} = {y} ⇔ x – y ∈ Z. 5. Să se demonstreze că pentru orice x ∈ R avem:
a) [–x] =
−∈−−
∈−
ZR
Z
x1,[x]
x],x[; b) {–x} =
−∈−
∈
ZR
Z
x},x{1
x,0;
c) [–x] ≤ –x ≤ – [x]; d) [–x] ≤ –[x]. 6. Să se demonstreze că pentru orice x ∈ R avem:
a) [x] + ]x2[2
1x =
+ ; b) ]x3[
3
2x
3
1x]x[ =
++
++ ;
c) Generalizare (identitatea lui Hermite).
24
7. Să se demonstreze că pentru orice x, y ∈ R avem: a) [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1; b) [x] – ]y] – 1 ≤ [x – y] ≤ [x] – [y]. 8. Fie x, y ∈ R. Să se demonstreze că: a) x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ [xy] ≥ [x] ⋅ ]y]; b) x ≤ 0, y ≤ 0 ⇒ [xy] ≤ [x] ⋅ [y].
9. Fie a ∈ R*. Să se demonstreze că [a] =
a
1⇔ a ∈ {±1}.
10. Să se determine n ∈ N* astfel încât pentru orice x ∈ R să avem:
]nx[]x)1n[(n
1x =−+
+ .
11. Să se dempnstreze că: [x] + [–x] = 0 ⇔ x ∈ Z. 12. Să se demonstreze că: a) {{x}} = {x}, ∀ x ∈ R; b) {–x} = 1 – {x}, ∀ x ∈ R – Z;
c) {1 – {x}} = 1 – {x}, ∀ x ∈ R – Z. 13. Să se calculeze partea întreagă a numerelor:
2)2n1n(a +++= , n ∈ N, n ≥ 1; )10nn(b ++= , n ∈ N, n ≥ 8.
14. Să se demonstreze că pentru orice n ∈ N* avem:
2
)1n(n])1n(n[...]32[]21[
+=+++⋅+⋅ .
15. Pentru n ∈ N, n ≥ 2, să e calculeze suma ]1n[...]3[]2[]1[S 2n −++++= .
Să se rezolve ecuaŃiile:
16. 4
1x
3
3x +=
−; 17.
2
1x2
3
1x2 −=
+;
18.
+=
−
2
1x3
2
1x3; 19.
+=
−
5
1x2
5
1x2;
20. 2x33
1x
6
1x −=
++
− ; 21. [|x|] = |[x]|;
22.
−=
+ 1x2
x
1x
x 2
2 ; 23. x1x
x22
2
=
+;
24. x]x3[ = ; 25. [x[x]] = 1;
26. 46
1x2
3
1x=
++
−; 27. 3
6
1x6
6
1x6
2
1x2=
++
−+
−;
28.
+=
+
2
2x3
3
3x2; 29. x2 – 4[x] + 3 = 0;
30. x = ]x[
}x{; 31. x ⋅ [x] = {x};
32. [x + |x|] = |x + [x]|; 33. [x] + [2x] + [3x] = 12;
25
34.
−4
1x ]x2[
4
1x =
++ ; 35. ]1x2[
3
1x]x[
3
1x +=
+++
− ;
36. 1x23
]3x2[
3
]2x2[
3
]1x2[+=
++
++
+; 37. [x2] = [x]2, x ≥ 0;
38. x2 – [x] = 2; 39. [–x2 + 1] = [2x2 – 2];
40. 1n1nn(2
12
−=
−−, n ∈ N*;
41. 2n 5 2n 1 2n 5 2n 1 3 + + + + + − + = ;
42. 28
4x
4
2x
2
1x=
++
++
+; 43. 2x – 1 = ]1x2[3 − .
44. Fie n ∈ N. Să se determine numărul de soluŃii întregi ale ecuaŃiei:
1n
1nx
2n
2n2nx 2
+
−+=
+
−++.
45. Fie expresia A =
+
⋅
+ 1b
b4
1a
a222
, unde a, b ∈ R.
a) Câte elemente are mulŃmea B = A ∩ Z? b) Să se determine numărul soluŃiilor ecuaŃiei A = 2. Să se rezolve ecuaŃiile:
46. [x]2 + 1 = |2x|; 47. |x|1x
x22
2
=
+;
48. x = }x{
1
]x[
1+ ; 49. x + 2
6
9x4
3
3x2=
++
+;
50. [x]n – {x} = (–1)n, n ∈ N*; 51. 2]x2[]x[2
1x 2 +=+
+ , x ≥ 0;
52. 1nn
]nx[...
n
]3x[
n
]2x[
n
]1x[+=
+++
++
++
+, n ∈ N, n ≥ 4;
53. |x|
1
}x{
1
]x[
1=+ ; 54.
}x{
1}x{
]x[
1]x[ −=− ;
55. [x]2 – [2x] = a –
+
2
1x , a ∈ R; 56. [x]2 – 2[x] = a –
+
2
1x , a ∈ R;
57. 3x3 – [x]2 – 2[x] = 4; 58. x2n+1 – [x] = 2n + 1, n ∈ N;
59. [xn ⋅ [x2n]] = 1, n ∈ N*; 60. 1]x3[]x[3
1x 2 −=+
+ .
26
Capitolul 8 ECUAłII ÎN Z
ECUAłII DIOFANTICE DefiniŃie. Se numeşte ecuaŃie diofantică de gradul întâi cu două necunoscute, o ecuaŃie de forma ax + by = c, unde a, b ∈ Z*, c ∈ Z. Se numeşte ecuaŃie diofantică de gradul întâi cu trei necunoscute, o ecuaŃie de for-ma ax + by + cz = d, unde a, b, c ∈ Z*, d ∈ Z. Perechea (x0, y0) respectiv (x0, y0, z0) se numeşte soluŃie particulară dacă: ax0 + by0 = c, respectiv ax0 + by0 + cz0 = d. Teorema 1. CondiŃia necesară şi suficientă ca ecuaŃia diofantică ax + by = c să admită soluŃii este ca d | c, unde d = (a, b). Teorema 2. Dacă ecuaŃia diofantică ax + by = c admite soluŃia generală particulară
(x0, y0) şi d = (a, b), atunci soluŃia generală a ecuaŃiei este dată de x = x0 + td
b, y =
= y0 – td
c, unde t ∈ Z.
ConsecinŃă. Dacă (x0, y0) este soluŃie a ecuaŃiei ax + by = c şi (a, b) = 1, atunci soluŃia generală a ecuaŃiei este dată de x = x0 + at, y = y0 – bt, t ∈ Z. Teorema 3. CondiŃia necesară şi suficientă ca ecuaŃia diofantică ax + by + cz = m să admită soluŃii este ca d | m, unde d este c.m.m.d.c. al numerelor a, b, c. Teorema 4. Rezolvarea unei ecuaŃii diofantice de gradul întâi cu 3 necunoscute se reduce la rezolvarea a două ecuaŃii de gradul întâi cu două necunoscute. Exemplu. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃia: 12x – 6y + 9z = 15. SoluŃie. c.m.m.d.c. al numerelor 12, –6, 9 este 3. ÎmpărŃind cu 3 avem 4x – 2y + 3z = 5. Notăm z = 2n + 1, n ∈ Z. ObŃinem ecuaŃia 2x – y = –3n + 1. Notăm x = m, m ∈ Z. EcuaŃia are soluŃia (m, 2m + 3n – 1, 2n + 1), m, n ∈ Z. DefiniŃie. Se numeşte ecuaŃie pitagorică ecuaŃia x2 + y2 = z2, unde x, y, z ∈ Z. ObservaŃie. SoluŃia ecuaŃiei este dată de S = {k(m2 – n2), 2kmn, k(m2 + n2) | k, m, n ∈ ∈ Z}. DefiniŃie. Se numeşte ecuaŃie diofantică o ecuaŃie de forma f(x1, x2, ..., xn) = 0, unde f este o funcŃie de n variabile şi n ∈ N, n ≥ 2.
Metode elementare de rezolvare a ecuaŃiei diofantice a) Metoda descompunerii Se scrie ecuaŃia f(x1, x2, ..., xn) = 0 sub forma: f1(x1, x2, ..., xn) ⋅ f2(x1, x2, ..., xn) ⋅ ... ⋅ ⋅ fn(x1, x2, ..., xn) = a, a ∈ Z. Se rezolvă sistemele fi(x1, x2, ..., xn) = di, unde di ∈ D(a) = = {d ∈ Z | d | a}, iar d1 ⋅ d2 ⋅ ... ⋅ dn = a.
27
Exemplu. EcuaŃia 6xy + 2x = 3y + 5 se scrie sub forma (2x – 1)(3y + 1) = 4. Atunci 2x – 1 şi 3y + 1 sunt elemente ale mulŃimii {±1, ±2, ±4}. Cum 2x – 1 este impar, avem cazurile: I) 2x – 1 = 1; 3y + 1 = 4 ⇒ soluŃia (1, 1); II) 2x – 1 = –1, 3y + 1 = –4 şi y ∉ ∉ Z; b) Metoda inegalităŃilor
Metoda constă în determinarea unor intervale în care se află necunoscutele. Exemplu. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃia: x3 = y3 + (x – y)2. SoluŃie. Orice pereche (a, a), a ∈ Z, este soluŃie a ecuaŃiei. Dacă x ≠ y, avem ecuaŃia x2 + xy + y2 = x – y, care este echivalentă cu ecuaŃia (x + y)2 + (x – 1)2 + (y + 1)2 = 2 = = a + 1 + 1. Rezultă că (x – 1)2 ≤ 1, (y + 1)2 ≤ 1 şi deci x ∈ {0, 1, 2}, y ∈ {–2, –1, 0}. Mai avem atunci soluŃiile (0, –1), (1, 0), (1, –2), (2, –1), (2, –2).
Probleme propuse
A. Să se rezolve în mulŃimea numerelor naturale ecuaŃiile: 1. m + n = (m – n)3, m, n prime; 2. ab ⋅ ba + ab + 2ba = 98; 3. a2 + b2 + c2 = 3 ⋅ 22n+1, n ∈ N; 4. x2 + 4x = y2 + p, p + 4 număr prim, p ≥ –1. 5. a2n+2 + b2n + c = 2 + 2n+1bn, n ∈ N, c ≠ 1; 6. a3 + b3 + c3 = 408; 7. (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 3abc; 8. a3 + b3 + c3 = 3abc + 7; 9. a2 + b2 + 6ab = a2b2 + 13; 10. a3 – b3 = ab + 5; 11. y2 = 2 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3); 12. xy + yz + zx = 105; 13. 1 + x + x2 + x3 = y3; 14. y2 = x(x + 2)(x + 4)(x + 6); 15. (x – 1)(x + 1)2m + 1 = x2m+1, m ∈ N;
16. n
cifren
aa...aaa =���
, a cifră, n ∈ N*;
17. 4(x2 + y2 + z2 + x – y – 3z) + 8 = 0;
18. y
1z
x
yx +=+ ;
19. x2 + x = y4 + y3 + y2 + y;
20. abbaaab= ;
21. 2
aadbaabc =+ ;
22. 32 cbaabc ++= ;
28
23. 2)cdab(abcd += ;
24. (a2 + b2)(c2 + d2) = 4(ac + bd)2; 25. a2 – 2b2 = 1, a, b numere prime;
26. p
1
y
1
x
1=+ , p număr prim;
27. pxy
1
y
1
x
1=++ , p număr prim;
28. 3a
bc
b
ac
c
ab=++ .
29. nab
c
ac
b
bc
a=++ , n ∈ N*;
30. x + y = x2 – xy + y2; 31. x22 + y22 = 2223; 32. nx(x + 1) = nx + 1;
33. 1n
1
a
11...
a
11
a
11
n21 +=
−⋅⋅
−
− , n ≥ 2, a1, a2, ..., an distincte;
34. 1n2
1n
a
11...
a
11
a
11
2n
22
21 +
+=
−⋅⋅
−
− , n ≥ 2, a1, a2, ..., an distincte;
35. x4 + 10x3 + 26x2 + 5x + 14 = y2 + y; 36. (x2 + x + 1)(y2 – y + 1) = 27 + 25 + 23 + 1; 37. p3 – p = x2(x2 + x + 1), p număr prim; 38. n(n + 1)x = n + 2 – 2(n + 1)y. 39. Să se determine x, y ∈ N dacă x + y = x2 + y2 = x4 + y4. 40. DeterminaŃi cel puŃin două soluŃii în numere naturale ale ecuaŃiei 3x + 13 = 2y. 41. Să se demonstreze că următoarele ecuaŃii au o infinitate de soluŃii în numere natu-rale: a) x3 – y3 = 3xy + 1; b) x2 + y3 = z4; c) x2 – 3y2 = 1. B. Să se rezolve în numere întregi ecuaŃiile: 42. x3y – xy3 = 2(x – y); 43. 3x + 2y + 1 = x(x + y); 44. a2 + b2 + 3(a – b) = 2; 45. x(y + 1) + y(x – 2) = 5; 46. x2 + y2 + xy + y + 1 = 2x; 47. 2x2 + 3y2 = 4xy + 3;
48. 1ny
n
1nx
1=
++
−+, n prim;
49. 9a + 4 ⋅ 3a + 19 ⋅ 2b+1 = 4b + 357; 50. x2 + 3x + |y – 1| = 4; 51. a3 + b3 = a2 + b2;
29
52. m2 = n! + 30; 53. x4 + 3x2 + 12 = y4; 54. a2 + b2 + c2 = 3(a + b + c); 55. (xy – 3)2 = x2 + y2; 56. a2 + b2 = abc; 57. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 6; 58. a(a2 – 2b – 1) = 2(b – 1); 59. a3 – 1 = 6b; 60. x2 + y2 + z2 + x2y2 + y2z2 + z2x2 = 6xyz; 61. (x2 – 3x + 2)(x2 – 9x + 20)(x2 + 3x + 2) = 80; 62. a3 + b3 = (a + b)2; 63. x2 + x + y = 2y2 + xy + 3; 64. (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 + (x + 4)2 + (x + 5)2 = y2;
65. 2 2
1 1 1
x y 576+ = ;
66. (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 8; 67. 2x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 1 = 2x + 4yz; 68. a3 = 6b + 2; 69. x4 – 4x + 3 = 0; 70. a2 + b2 = a + b; 71. 2x2 + 2y2 = a4 – b4; 72. a2 + b2 = 2abc; 73. a2 + b2 + c2 = a + b + c.
74. Să se rezolve în mulŃimea numerelor naturale ecuaŃia: 1 1 1
1 1 1a b c
+ + +
= 2.
75. Să se determine numărul soluŃiilor inecuaŃiei: 2 2 2 2
ab ba aa bb+ ≥ + . 76. Să se determine numărul soluŃiilor ecuaŃiei a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2a(c – 1) + 2b(c + 1 = d2, unde a, b, c, d ∈ N şi a2 + b2 + c2 ≤ 12.
30
Capitolul 9 SISTEME DE ECUAłII
9.1. Sisteme de ecuaŃii formate dintr-o ecuaŃie de gradul I şi o ecuaŃie de gradul al II-lea
Sunt sisteme de forma
=+++++
=++
0tryqxpynxymx
0cbyax22
, (1), unde coeficienŃii a,
b, c, m, n, p, q, r, t ∈ R, a ⋅ b ≠ 0. Se scoate x (sau y) în funcŃie de y (sau x) din prima ecuaŃie, se înlocuieşte în a doua ecuaŃie şi se obŃine o ecuaŃie de gradul al II-lea în y (sau x).
Exemplu.
=+−−−+
−=⇔
=+−+
=+
10x4)x21(x3)x21(2x
x21y
10x4xy3y2x
1yx22222
⇔
⇔
−=
=−−
x21y
08x7x15 2
⇒ soluŃiile (1, –1),
−15
31,
15
8.
9.2. Sisteme simetrice elementare
O ecuaŃie se numeşte simetrică dacă schimbând necunoscutele între ele, ecuaŃia nu se schimbă. Exemple: a) a(x + y) + b = 0; b) a(x + y) + bxy + c = 0; c) a(x2 + y2) + bxy + c(x + y) + d = 0. Un sistem este simetric dacă este format numai din ecuaŃii simetrice. Pentru rezolvarea sistemelor simetrice cu două necunoscute se notează x + y = S, xy = P şi atunci (x, y) este (t1, t2) sau (t2, t1), unde t1, t2 sunt rădăcinile ecuaŃiei t2 – St + + P = 0. ObservaŃii: x2 + y2 = S2 – 2P; x3 + y3 = S3 – 3PS; x4 + y4 = (S2 – 2P)2 – 2P2.
Exemplu. Notând cu S = x + y, P = xy, din sistemul
=+
=++
6xyyx
5xyyx22
rezultă
=
=+
6PS
5SP
⇔
−=
∈⇔
=−
−=
P5S
}3,2{P
6PP5
P5S2
. Pentru P = 2, S = 3 avem ecuaŃia ataşată t2 – 3t + 2 = 0
cu soluŃiile 1 şi 2. Sistemul dat are soluŃiile (1, 2) şi (2, 1). Pentru P = 3, S = 2 avem ecuaŃia ataşată t2 – 2t + 3 = 0, care nu are soluŃii reale.
47
Capitolul 4 Perpendicularitate în spaŃiu
1. Să se demonstreze că pentru orice două drepte necoplanare există o singură dreaptă perpendiculară pe cele două drepte şi care le intersectează. 2. Fie dreptele d1 ⊥ d2 şi d1 ∩ d2 = {O}. Fie un punct M ∈ (d1, d2) astfel încât MA =
= 3a, MB = 4a, OM = 2a3 , unde A şi B sunt proiecŃiile lui M pe d1 şi d2. Să se afle distanŃa de la punctul M la planul (d1d2). 3. Fiind dat un cub de latură a, să se calculeze distanŃa de la o diagonală a cubului la o diagonală a unei feŃe pe care nu o intersectează. 4. Fie tetraedrul ABCD şi fie M şi N mijloacele muchiilor AC şi BD. Să se demon-streze că: a) dacă tetraedrul este regulat, atunci AC ⊥ (MBD); b) dacă AB = BC = CD = DA, atunci MN ⊥ AC şi MN ⊥ BD. 5. Fie punctele necoplanare A, B, C, D.
Să se demonstreze că dacă DA
DB
DB
DA
CA
CB
CB
CA+++ ≤ 4, atunci AB ⊥ CD.
6. Fie punctele necoplanare A, B, C, D. Fie punctul E ∈ CD astfel încât suma AE + + EB este minimă. Fie F intersecŃia bisectoarei unghiului 'AEB cu AB. Să se demonstreze că EF ⊥ CD. 7. Fie tetraedrul ABCD astfel încât AB = BC = CD = DA = AD = BD. Fie H proiecŃia lui A pe planul (BCD), M şi N mijloacele segmentelor (BC) şi (AH), MN ∩ AD = = {P}. Să se demonstreze că DN ⊥ (BCP). 8. Pătratul ABCD şi rombul CDEF se află în plane perpendiculare. Fie AF ∩ BE = = {M}, CE ∩ DF = {N}. Să se demonstreze că MN ⊥ (CDE). 9. Fie ∆ABC dreptunghic în A. Fie D, E, F mijloacele laturilor (BC), (CA), (AB). Se îndoaie suprafaŃa triunghiului ABC după liniile mijlocii până când (AEF) ⊥ (DEF), (BFD) ⊥ (EFD) şi (CDE) ⊥ (FDE). Să se demonstreze că după îndoire planul determi-nat de A, B, C este perpendicular pe planul (DEF). 10. Fie ∆ABC şi D = prBCA, D ∈ (BC), M mijlocul lui (BC), N un punct pe perpendi-culara în M pe (ABC), E = prNBA şi F = prNCA.
Să se demonstreze că dacă BC = 2MN, atunci (ADE) ⊥ (ADF). 11. Să se demonstreze că locul geometric al punctelor egal depărtate de trei puncte A, B, C necoliniare este o dreaptă perpendiculară pe planul (ABC) în centrul cercului circumscris triunghiului ABC. 12. Fie D, E, F proiecŃiile unui punct O exterior planului (ABC) pe planurile (BC), (CA), (AB). Să se demonstreze că DB2 – DC2 + EC2 – EA2 + FA2 – FB2 = 0.
48
Capitolul 5 CENTRUL DE GREUTATE AL UNUI TETRAEDRU.
TETRAEDRE ECHIFACIALE. TETRAEDRUL ORTOCENTRIC.
TETRAEDRUL TRIDREPTUNGHIC
5.1. Centrul de greutate al unui tetraedru
DefiniŃii. Se numeşte bimediană a unui tetraedru dreapta determinată de mijloacele a două muchii opu-se. Se numeşte mediană a unui tetraedru dreapta care trece printr-un vârf al tetraedrului şi centrul de greuta-te al feŃei opuse. În figura 6 luăm tetraedrul ABCD, M, N, P, Q, R, S mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA, BD, respectiv AC. Dreptele MP, NQ, RS sunt bimediane. Notăm cu G1, G2, G3, G4 centrele de greutate ale feŃelor BCD, ABC, ACD, respectiv ABD. Dreptele AG1, DG2, BG3 şi CG4 sunt mediane. Teorema 1. Bimedianele unui tetraedru sunt concurente. DemonstraŃie. Deoarece (NP) şi (MQ) sunt linii mijlocii în triunghiurile BCD, respec-
tiv ABD, avem NP || BD, NP =2
BD, MQ || BD, MQ =
2
BDşi deci NP || MQ, NP =
MQ. Atunci MNPQ este paralelogram, iar (MP) şi (NQ) se intersectează într-un punct G care este mijlocul lor. Analog NRQS este paralelogram şi deci (NQ) şi (RS) se taie tot în mijlocul lor. Notăm MP ∩ NQ ∩ RS = {G}. Teorema 2. Medianele unui tetraedru sunt concurente. Punctele de concurenŃă al me-dianelor coincide cu punctul de concurenŃă al bimedianelor. DemonstraŃie. Avem MP ∩ NQ = {G} în planul (MNP). În planul (ABP) avem AG ∩ ∩ BP ≠ ∅. Deci dreptele MP, NQ şi AG1 se intersectează două câte două şi nu sunt coplanare. Cum planele (MNP) şi (ABP) au punctul P comun, ele au o dreaptă comu-nă. Rezultă că G ∈ AG1. Analog G ∈ DG2, G ∈ BG3, G ∈ CG4. DefiniŃie. Punctul de intersecŃie al medianelor unui tetraedru se numeşte centrul de greutate al tetraedrului.
C Fig.6
* *
*
* B D
N P
A
Q M
R
G G2
G1
S
49
Teorema 3. Centrul de greutate al unui tetraedru se află pe fiecare mediană a tetrae-
drului la 4
3de vârful tetraedrului şi la
4
1de faŃa opusă vârfului.
DemonstraŃie. Aplicând teorema lui Menelaus în ∆AG1D pentru transversala NGQ,
avem: 1GA
GG
NG
ND
QD
AQ 1
1
=⋅⋅ . Cum AQ = QD, ND = 3NG1 rezultă că GA = 3GG1 şi
deci 4
3
AG
AG,
4
1
AG
GG
11
1 == .
5.2. Tetraedrul echifacial
DefiniŃie. Se numeşte tetraedru echifacial un tetraedru care are feŃele de aceeaşi arie. Teorema 4. Un tetraedru este echifacial dacă şi numai dacă muchiile opuse sunt con-gruente. DemonstraŃie. Fie tetraedrul echifacial ABCD. Fie α un plan care conŃine BC şi este paralel cu AD (figura 7). Planul α este determinat de BC şi para-lela prin B la AD. Fie AN ⊥ α, DM ⊥ α, N ∈ ∈ α, M ∈ α. Deoarece AD || α avem AN = DM. Fie AP ⊥ BC, DQ ⊥ BC, unde P, Q ∈ BC. Din teorema celor trei perpendiculare avem NP ⊥ AP, QM ⊥ DM. Cum AABC = ADBC rezultă că avem AP = DQ. Atunci triunghiurile dreptunghice APN şi DMQ sunt congruente şi vom obŃine NP = QM. Fie MN ∩ BC = {O}. Din congruenŃa triunghiurilor dreptunghice NPQ şi MQO rezultă PO = QO, NO = MO. Patrulaterul ANMD fiind dreptunghi, re-zultă că O este proiecŃia punctului R (mijlocul lui (AD)) pe α. Fie planul β || α, AD ⊂ β. Fie O' proiecŃia lui O pe β. Fie B1 şi C1 proiecŃiile lui B şi C pe β. Din egali-tatea ariilor triunghiurilor ABD şi ACD rezultă O'B1 = O'C1. Reproiectând pe α se obŃine OB = OC, iar O1 = R. Patrulaterul NCMB este paralelogram. Deoarece NB = = CM, AN = DM, 'ANB ≡ 'DMC, rezultă că AB = CD. Din NC = MB, NA = MD, 'ANC ≡ 'DMB rezultă că AC = DB. Analog se arată că AD = BC. Teorema 5. Într-un tetraedru echifacial suma măsurilor unghiurilor din fiecare vârf este de 180° şi reciproc. DemonstraŃie. Deoarece într-un tetraedru echifacial, muchiile opuse sunt congruente, rezultă că feŃele sale sunt triunghiuri congruente. Avem 'ABC ≡ 'BCD, ' ABD ≡ ≡ 'BDC. Suma măsurilor unghiurilor din vârful B este m('ABC) + m('ABD) + + m('DBC) = m('BCD) + m('BDC) + m('DBC) = 180°.
α N C
M
D A R
O B P
Q
Fig.7
50
5.3. Tetraedrul ortocentric
DefiniŃie. Un tetraedru cu muchiile opuse perpendiculare se numeşte tetraedru orto-centric. Teorema 6. Un tetraedru cu două perechi de muchii opuse perpendiculare este orto-centric. DemonstraŃie. Presupunem AB ⊥ CD şi AC ⊥ BD (figura 9). Vom demonstra că AD ⊥ BC. Fie A1, B1, C1, D1 proiecŃiile lui A, B, C, D pe planele (BCD), (ACD), (ABD), respectiv (ABC). Din AA1 ⊥ CD şi AB ⊥ CD rezultă că CD ⊥ (AA1B) şi deci CD ⊥ A1B. Din AA1 ⊥ BD, AC ⊥ BD avem BD ⊥ ⊥ (AA1C) şi deci BD ⊥ A1C. Atunci BA1 şi CA1 sunt înălŃimi în ∆BCD şi deci DA1 ⊥ AC. Cum AA1 ⊥ BC rezultă că BC ⊥ ⊥ (AA1D) şi deci BC ⊥ AD. Teorema 7. Într-un tetraedru ortocentric, înălŃimile tetraedrului trec prin ortocentrele feŃelor. DemonstraŃie. Din demonstraŃia teoremei 6, punctul A1 este ortocentrul triunghiului BCD. Teorema 8. Într-un tetraedru ortocentric, înălŃimile tetraedrului sunt concurente. DemonstraŃie. Avem CD ⊥ (AA1B) şi CD ⊥ (BB1A). Cum (AA1B) ∩ (BB1A) = AB şi printr-un punct trece un singur plan perpendicular pe o dreaptă dată, rezultă că (AA1B) = (BB1A) şi deci AA1 ∩ BB1 ≠ ∅. Analog AA1 ∩ CC1 ≠ ∅, AA1 ∩ DD1 ≠ ∅, BB1 ∩ CC1 ≠ ∅, BB1 ∩ DD1 ≠ ∅ şi CC1 ∩ DD1 ≠ ∅. Atunci cele 4 înălŃimi sunt con-curente. DefiniŃie. Punctul H de concurenŃă al înălŃimilor unui tetraedru ortocentric se numeşte ortocentrul tetraedrului. Teorema 9. Într-un tetraedru ortocentric ABCD avem:
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2. DemonstraŃie. Fie M, N, P, Q, R, S mijloacele muchiilor (AB), (BC), (CD), (DA), (BD), respectiv (AC) (figura 6). Patrulaterul MNPQ este paralelogram (vezi demon-straŃia teoremei 1) . Deoarece AB ⊥ CD, BC ⊥ AD, AC ⊥ BD, cum MN || AC || || PQ, MQ || BD || NP, rezultă că MNPQ este dreptunghi. Avem MN2 + NP2 = MP2 = = NQ2 = RQ2 + RN2 şi deci AC2 + BD2 = CD2 + AB2 etc.
A
Fig.8
B D
C
B1
C1
D1
A1
51
5.4. Tetraedrul tridreptunghic
DefiniŃie. Numim tetraedrul tridreptunghic un tetraedru în care muchiile concurente într-un vârf sunt perpendiculare două câte două. În continuare vom considera tetraedrul tridreptunghic OABC pentru care OA ⊥ ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA (figura 9).
Teorema 10. În tetraedrul OABC tridreptunghic în O, vârful O se proiectează în orto-centrul H al feŃei opuse ABC. DemonstraŃie. Fie H proiecŃia vârfului O pe planul (ABC). Fie CH ∩ AB = {D}. Deoarece OC ⊥ OA şi OC ⊥ OB, re-zultă că OC ⊥ (OAB) şi deci OC ⊥ AB. Cum OH ⊥ (ABC) avem OH ⊥ AB. Deoarece AB ⊥ OC, AB ⊥ OH, D ∈ CH, rezultă că OH ⊥ (OCD) şi deci OC ⊥ CD, OC ⊥ OD. Cum CO ⊥ (OAB) rezultă că CH ⊥ AB. Analog avem AH ⊥ BC şi BH ⊥ AC şi deci H este ortocentrul triunghiului ABC. Teorema 11. În tetraedrul OABC tridreptunghic în O, iar H este ortocentrul triunghiu-
lui ABC avem: 2 2 2 2
1 1 1 1
OA OB OC OH+ + = .
DemonstraŃie. Deoarece OD ⊥ AB, OH ⊥ CD avem: 222 OD
1
OB
1
OA
1=+ , =2OH
1
22 OD
1
OC
1+= şi deci 2222 OC
1
OB
1
OA
1
OH
1++= .
Teorema 12. În tetraedrul OABC tridreptunghic în O cu H ortocentrul triunghiului ABC, avem: a) (AAOB)2 = AAHB ⋅ AABC; b) (AOAB)2 + (AOBC)2 + (AOCA)2 = (AABC)2. DemonstraŃie. În triunghiul dreptunghic COD avem OD2 = HD ⋅ CD. Atunci
=
⋅2
2
ABOD
2
ABCD
2
ABHD ⋅⋅
⋅şi rezultă a); b) Avem încă două relaŃii analoage cu
cea de la a). Rezultă: (AOAB)2 + (AOBC)2 + (AOCA)2 = AAHB ⋅ AABC + ABHC ⋅ AABC + + ACHA ⋅ AABC = (AAHB + ABHC + ACHA) ⋅ AABC = (AABC)2.
Teorema 13. Dacă α, β, γ sunt unghiurile pe care o dreaptă le face cu trei axe perpen-diculare două câte două, avem cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. DemonstraŃie. Notăm cu α, β, γ unghiurile pe care OH le face cu muchiile OA, OB,
OC. Avem cos γ = OC
OH, cos β =
OB
OH, cos α =
OA
OH. Conform teoremei 11, rezultă:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = OH2 ⋅ 1OH
1OH
OC
1
OB
1
OA
12
2222
=⋅=
++ .
C
A
D
B O H
Fig.9
115
Cum =++++=++ 1xx4x4x4)x1x2( 22222 3)1xx2( 22 +++ ≥ 3, atunci ++1x2 2
+ x ≥ 3 .
60. Avem 2A(x) = x2n + (x2n ± 2x2n–1 + x2n–2) + ... + (x2 ± 2x + 1) = x2n + (x – 1)2(x2n–2 + x2n–4 + + ... + x2 + 1) > 0.
61. x4 + y4 + axy + 2 = (x2 – y2)2 +
−+
+
8
a2
4
axy2
22
≥ 0.
62. Pentru x = 0 sau y = 0, inegalitatea este evidentă. Pentru y = 0 avem 1 + x2 + nx4 > 0, iar
pentru x = 0 avem 1 – y2 + ay4 ≥ )1a2(y2 − ≥ 0. Fie x ⋅ y ≠ 0. Avem de demonstrat că A =
−+
++= 1
y
1ay1
x
1ax
22
22 ≥ 4a – 1. Avem A ≥ 1a4)1a2)(1a2( −=−+ .
63. Folosind inegalitatea lui Minkowski, avem: 2222 b)ca(b)ca( +−+++ ≥
≥ =++−++ 22 )bb()caca( 22 ba2 + .
64. Fie x1 = b2a
cz;
a2c
by;
c2b
a11 +=
+=
+; )c2b(ax2 += ; )a2c(by2 += ; z3 =
)b2a(c += , din CBS avem: )]b2a(c)a2c(b)c2b(a[b2a
c
a2c
b
c2b
a+++++⋅
+
++
++
≥
≥ (a + b + c)2, de unde A ≥ 1)cabcab(3
)cabcab(3
)cabcab(3
)cba( 2
=++
++≥
++
++.
65. În CBS notăm c3b2a
ax1 ++
= , )c3b2a(ay1 ++= , etc. Avem A = [a(a + 2b + 3c) +
+ b(b + 2c + 3a) + c(c + 2a + 3b)] ≥ (a + b + c)2 ⇔ A ≥ 2
1
)cabcab(3)cba(
)cba(2
2
≥+++++
++.
66. Rezultă prin inegalitatea de la exerciŃiul 4. 67. Rezultă prin inegalitatea de la exerciŃiul 4.
68. Se însumează trei inegalităŃi de forma ca
acb
cb
bca 22
+
++
+
+≥ a + b.
69. Avem a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ≥ (a + b)(2ab – ab) = ab(a + b) şi deci a3 + b3 + abc ≥
≥ ab(a + b + c). Rezultă că =++
≤++ ∑∑ )cba(ab
1
abcba
133 abc
1
cba
c
abc
1=
++∑ .
70. Avem =
+
++
+
+
++ ba
d
dc
b
ad
c
cb
a
)ba)(dc(
)dc(d)ba(b
)ad)(cb(
)cb(c)ad(a
++
++++
++
+++≥
≥ =+++
++++
+++
+++2
22
2
22
)dcba(
)dcdbab(4
)dcba(
)cbcaad(4=
+++
+++++++2
2222
)dcba(
)dacdbcabdcba(4
2)dcba(
])db()ca()dcba[(22
222
≥+++
−+−++++⋅= . Avem „egalitate” pentru a = c, b = d.
116
GEOMETRIE
Capitolul 1 PUNCTE COLINIARE. PUNCTE COPLANARE
1. Deoarece AM || BN, AM ≠ BN, rezultă că AB ∩ MN = {D} (figura 1). Analog avem BC ∩ NP = {E} şi AC ∩ MP = {F}. Punctele D, E, F se află simultan în planele (ABC) şi (MNP) şi deci sunt coliniare. 2. Considerăm cazul în care AC şi A'C', respectiv BD şi B'D' nu sunt paralele. Dreapta A'C' şi B'D' determină un plan α. Fie AC ∩ ∩ A'C' = {E}, BD ∩ B'D' = {F}. Atunci α ∩ (ABC) = EF. Fie BC ∩ B'C' = {G}. Atunci G ∈ α ∩ (ABC) şi deci G ∈ EF etc. 3. Avem A ∈ d2 ⊂ β, A ∈ α şi B ∈ d1 ⊂ α, B ∈ β. Rezultă că α ∩ β = AB. Cum O ∈ α ∩ β, rezultă că O ∈ AB. 4. Dreptele d1, d2, d3 taie planele α, β, γ în punctele A1, B1, C1, respectiv A2, B2, C2, respectiv A3, B3, C3 (figura 2). a) Dacă nu s-ar forma triunghiurile A1B1C1, A2B2C2, atunci dreptele d1, d2, d3 ar fi coplanare (fals). Cum α || β || γ avem A1B1 || A2B2 || A3B3 şi analoagele. Atunci 'A1B1C1 ≡ ≡ 'A2B2C2 ≡ 'A3B3C3 şi analoagele. Deci triunghiurile sunt asemenea; b) Fie centrele de greutate G1, G2, G3 situate pe medianele A1D1, A2D2, respectiv A3D3. Din asemănarea triun-
ghiurilor vom avea: D1, D2, D3 coliniare şi cum =11
11
DA
GA
3
2
DA
GA
DA
GA
33
33
22
22 === şi atunci şi G1, G2, G3 sunt coliniare;
c) Fie O1, O2, O3 centrele cercurilor circumscrise celor trei
triunghiuri. Avem 33
33
22
22
11
11
AB
AO
AB
AO
AB
AO== . Cum A1, A2,
A3, respectiv B1, B2, B3 sunt coliniare, rezultă că O1, O2, O3 sunt coliniare.
5. Din 1QA
QD
PD
PC
NC
NB
MB
MA=⋅⋅⋅ rezultă QD = QA şi Q este
mijlocul lui (AD). 6. Fie VO ⊥ (A1A2A3), O ∈ α = (A1A2A3). Fie M1 mijlocul lui (A1A2), G1 centrul de greutate al ∆VA1A2. Fie N1 pro-
iecŃia lui G1 pe α. Avem N1 ∈ OM1 şi 1 1 1 1
1
G N G M 1
VO VM 3= = .
În mod analog avem: 2 2G N
VO 3
1
VO
NG...
VO
NG nn33 ==== şi
deci punctele G1, G2, ..., Gn sunt coplanare (figura 3).
A3 C3
O
A2
A1
C2
C1
B3
B2
B1
D3 G3
D2
D1
G2
G1
Fig.2
A' C'
A
B
D
F
E B'
C
M
P
N
Fig.1
V
An A4
A1
M1
A2
M2
A3
G1 G2
N1 N2
O
Fig.3
117
7. Avem OB
OA
MB
MA= şi analoagele (din teorema bisectoarei).
Rezultă că MA NB PC QD
MB NC PD QA⋅ ⋅ ⋅ 1
OA
OD
OD
OC
OC
OB
OB
OA=⋅⋅⋅= şi
deci M, N, P, Q sunt coplanare. 8. Dacă punctele A, M, N, P sunt coplanare, rezultă că AMNP este paralelogram. Fie O şi O' centrele paralelogramelor ABCD, respectiv AMNP (figura 4). Atunci (OO') este linie mijlocie în ∆OCN şi în trapezul BMPD. Avem 2OO' = CN = = BM + PD. Reciproc, presupunem că avem CN = BM + PD. Fie DD' ∩ MO' = {P'}, unde O' este mijlocul lui (AN). Atunci CN = BM + DP' şi deci P = P'.
9. Avem VQ
VD
VN
VB
VP
VC
VM
VA+=+ ⇔ +
+
MV
MAVM
++
=+
+NV
NBVN
PV
PCVP
QV
QDVQ +⇔ 1 + ++1
MV
MA
QV
QD1
NV
NB1
PV
PC+++=+ ⇔
QV
QD
NV
NB
PV
PC
MV
MA+=+ şi
relaŃiile sunt echivalente. Fie AC ∩ BD = {O} şi AC ∩ ∩ MP = {T}, BD ∩ NQ = {R} (figura 5). Fie VO ∩ ∩ (MNP) = {O'}. Aplicând teorema lui Menelaus pentru ∆VOA şi transversala TMO', respectiv pentru ∆VOC
şi transversala TPO', avem 1VA
VM
V'O
'OO
TO
TA=⋅⋅ ,
1'VO
'OO
PV
PC
TO
TC=⋅⋅ . Rezultă că
TA TC
TO
+
+⋅=
VC
VP
VM
VA
'OO
V'O. Cum OA = OC rezultă TA +
+ TC = 2 ⋅ TO şi deci V'O
'OO2
VC
VP
VM
VA⋅=+ . Analog avem
V'O
'OO2
VQ
VD
VN
VB⋅=+ şi deci
VQ
VD
VN
VB
VC
VP
VM
VA+=+ . Reciproc, presupunând că are loc relaŃia (b), iar dacă (MNP) ∩ (VD) =
= {S}, avem VA VP
VM VC+
VS
VD
VN
VB+= . Comparând cu relaŃia (b) rezultă Q = S şi deci M, N, P,
Q sunt coplanare. 10. Ca la exerciŃiul 9, se arată că relaŃiile sunt echivalente. Presupunem că G ∈ (MNP) şi fie G1 centrul de greutate al feŃei (BCD). Fie Q mijlocul lui (BC) şi VQ ∩ MN = {R}. Aplicând relaŃia lui Van Aubel în ∆VMD, avem: QG1 ⋅ ⋅
+VP
VC
VG
VGQC
VR
VQCG 1
1 ⋅=⋅ . Cum QC = 3QG1, G1C =
= 2MG1 şi VG1 = VG3
4, rezultă că 4
'VM
VM2
VP
VC=⋅+ .
A B
C D
V
O
P
M
T R
N
Q
O'
Fig.5
D' C'
A'
A B
C
N
P
B'
M
O
D O'
Fig.4
V
M P
A
Q
B
C G
G1
N R
Fig.6
118
Aplicând Van Aubel în ∆VAB, avem: 'VM
VM2
VN
VB
VM
VA⋅=+ şi atunci rezultă a). Presupunând
că are loc relaŃia din enunŃ, fie (MNG) ∩ VC = {P'}. Din a) şi 4'VP
VC
VN
VB
VM
VA=++ rezultă P = P'.
Capitolul 2 DREPTE CONCURENE. PLANE CONCURENTE
1. Fie (BB'), (CC'), (DD') bisectoare în ∆BCD şi I1 centrul cercului înscris în acest triunghi.
Avem: AC
AB
DC
BD
C'D
'BD== . Deci (AD') este bisectoare în ∆ABC. Deci centrul I4 al cercului
înscris în ∆ABC se află pe (AD'). Evident dreptele AI1 şi DI4 sunt concurente. Deci oricare două dintre dreptele AI1, BI2, CI3, DI4 sunt concurente şi nu toate coplanare. Deci cele patru drepte sunt concurente (figura 6). 2. Fie I proiecŃia lui V pe planul (ABC). Atunci triunghiurile VIA', VIB', VIC' sunt congruente şi IA' = IB' = IC'. Rezultă că I este centrul cercului înscris în ∆ABC, iar A', B', C' sunt punctele de tangenŃă ale laturilor triunghiului ABC cu cercul înscris (figura 7). Atunci dreptele AA', BB', CC' sunt concurente (teorema lui Gergonne). 3. Dreptele AN, BP, CM se taie în centrul de greutate al triunghiului ABC (figura 8). Atunci dreptele AN', BP', CM' taie pe AG într-un punct. 4. Fie O şi O' centrele bazelor ABCD şi A'B'C'D'. Diagonalele (AC') şi (A'C) se taie într-un
punct N ∈ (OO') astfel încât AC
'C'A
NO
N'O= . Diagonalele (BD') şi (B'D) se taie într-un punct P ∈
∈ (OO') astfel încât BD
'D'B
PO
P'O= . Cum diagonalele unui trapez se taie pe segmentul cu extre-
mităŃile în mijloacele bazelor şi BD
'D'B
AC
'C'A= , rezultă că N = P.
5. Dreptele VI1, VI2, VI3 sunt bisectoarele interioare ale unghiurilor din V ale triunghiurilor VBC, VCA, VAB. Notând intersecŃiile acestor bisectoare cu laturile (BC), (CA), (AB) cu A',
B', C', avem: VB
VA
B'C
'AC,
VA
VC
A'B
'CB,
VC
VB
C'A
'BA=== şi deci 1
B'C
'AC
A'B
'CB
C'A
'BA=⋅⋅ şi dreptele AA',
BB', CC' sunt concurente. Atunci planele (VAI1), (VBI2) şi (VCI3) au o dreaptă comună. 6. Fie AA' ∩ BB' ∩ CC' = {I}. Atunci planele (VAA'), (VBB'), (VCC') au dreapta comună VI.
A
B
C
B'
D
D'
C'
I1
I2
Fig.6
V
A
B N
C
M
N'
Fig.8
M' P'
P
V
A
B
A'
C
C'
B'
I
Fig.7
119
7. Dreptele AN, BP, CQ se taie în G, centrul de greutate al triunghiului ABC. Planele (MAN), (MBP), (MCQ) se taie după dreapta MG. 8. În locul medianelor se iau 3 drepte oarecare concurente. 9. Pentru fiecare punct A din spaŃiu care nu se află pe niciuna din cele trei drepte, există o dreaptă unică care trece prin A şi taie dreptele date. Aceasta este dreapta determinată de inter-secŃia planelor determinate de punctul A şi fiecare din dreptele date. 10. Dacă punctele A, B, C, D ar fi coplanare, din AB = BC = CD = DA, cu AC ∩ BD ≠ ∅, rezultă că ABCD este romb. Cum AC = BD, rezultă că ABCD este pătrat. Dar triunghiul ABC este echilateral şi avem m('ABC) = 60° şi m('ABC) = 90° simultan (contradicŃie). 11. Locul geometric este dreapta de intersecŃie a planului α cu planul (Ad). 12. Fie α ∩ d1 = {A} şi β ∩ d2 = {B}. Se consideră planele (Bd1) şi (Ad2). 13. Fie d ∩ (ABC) = {D}. Cele trei drepte trec prin D. 14. Punctul M este intersecŃia dreptei AB cu planul α.
Capitolul 3 PARALELISM ÎN SPAłIU
1. Fie M mijlocul lui (AB) (figura 9). Cum ME este mediană în ∆AEB dreptunghic în E, avem ME = MB. Deoarece 'MBE = 'MEB şi 'MBE = 'EBC, rezultă că 'MEB = 'EBC şi deci ME || BC. Analog se arată că MF || BD şi deci (MEF) || (BCD). Rezultă că EF || (BCD).
2. Avem MN = 2
BC, MN || BC (figura 10), MN || α. Fie β = (ME, NF). Avem α ∩ β = EF şi
deci EF || MN şi atunci MNFE este paralelogram. Rezultă că EF = 2
BC. Cum BC şi EF sunt
coplanare, rezultă că BE şi EF sunt concurente. 3. Fie D şi D1 mijloacele segmentelor (AC) şi (A1C1). Atunci G ∈ (BD), G1 ∈ (B1D1) şi
2GD
GB
DG
BG
11
11 == (figura 11). În trapezul ACC1D1, segmentul (DD1) este linie mijlocie şi avem
DD1 || CC1, =1DD 2
CCAA 11 += . Cum GG1 || BB1 rezultă că avem GG1 = GE + EG1 =
3
1⋅
⋅ BB1 + 3
CCBBAADD
3
2 1111
++= , unde E ∈ GG1 ∩ B1D1.
A
B
C
F
D
M
Fig.9
E
A
B C
M N E
F
Fig.10
A1
B1 C1
D1
B C
A
G D
E
G1
Fig.11
120
4. Fie BG ∩ CD = {M}, CE ∩ AM = {P} şi DG ∩ BC = {N} (figura 12). Cum 'MDG ≡ 'BDG şi DG ⊥ BM, avem DB = DM. Atunci AC = CD – DB = CD – DM = CM. Cum 'DCE ≡ 'ACE
şi 'BDN ≡ 'CDN avem: AE
DE
AC
DC= şi =
NC
NB
DC
DB. Aplicând
teorema lui Ceva în ∆BCD, rezultă că 1FB
FD
MD
MC
NC
NB=⋅⋅ . ObŃi-
nem =⋅=⋅=AC
DB
DB
DC
MC
MD
NB
NC
FB
FD DC DE
AC AE= şi deci EF || AB.
Rezultă că EF || AB. 5. Fie P şi Q mijloacele muchiilor (BD) şi (CD) (figura 13). Cum (MP) şi (NP) sunt linii mijlo-cii în ∆BCD şi ∆ABD, rezultă că NP || AB şi MP || CD. Atunci avem MP || α şi NP || || α şi deci (MNP) || α, de unde MN || α. Analog se arată că MN || β. 6. Fie M, N, P mijloacele laturilor (AB), (BC), (CA) (figura 14). Atunci G1 ∈ (VM), G2 ∈
(VN), G3 ∈ (VP) şi avem 3
2
VP
VG
VN
VG
VM
VG 321 === . Atunci G1G2 || MN, G2G3 || MP şi G1G3 ||
MP. Rezultă că G1G2 || (ABC) şi (G1G2G3) || (ABC). 7. Patrulaterul MBFD' este paralelogram (figura 15). Atunci MF = = BD' şi (MF) trece prin centrul O al cubului (intersecŃia diagona-lelor cubului). Deoarece EF || B'D', B'D' || BD, MN || BD şi MN =
= EF2
'D'B
2
BD== rezultă că MNFE este paralelogram, iar (MF)
şi (NE) se intersectează tot în O. Deducem că EF || MN. Analog patrulaterul CEA'N este paralelogram. Deducem că CE || A'N şi deci (A'MN) || (CEF). 8. a) Fie AB ∩ CD = {E}, AD ∩ BC = {F}, MN ∩ PQ = {E'}, QM ∩ PN = {F'} (figura 16). Avem (VAB) ∩ (VCD) = EE' şi (VAD) ∩ (VBC) = FF'. Patrulaterul MNPQ este paralelogram dacă VE || α, VF || α, adică α || (VEF); b) Avem (VED) ∩ α = MQ şi VE || α. Analog PQ || VF. Patrulate-rul este dreptunghi dacă m('MQP) = 90°, adică m('EVF) = 90°. Fie EF ∩ (VAC) = {G} şi EF ∩ (VBD) = {H}. Avem VG || MP şi AN || VH.
A
C
E P
M
N
B
F
D G
Fig.12
A
N
D B
C
Q
P M
Fig.13
V
B
A C
N M
G1 G1
G3
P
Fig.14
A B
C D
A' B'
C' D' F
E
M
N
Fig.15
V
Q
M N
P E'
D
A
B
E C
F
Fig.16
158
CUPRINS
ALGEBRĂ
Capitolul 1. NUMERE ÎNTREGI .................................................................................. 5
Capitolul 2. NUMERE REALE...................................................................................... 8
Capitolul 3. CALCUL ALGEBRIC ............................................................................. 11
Capitolul 4. ECUAłII. INECUAłII ............................................................................ 16
Capitolul 5. ECUAłII DE GRADUL al DOILEA ....................................................... 18
Capitolul 6. FUNCłII .................................................................................................. 21
Capitolul 7. PARTE ÎNTREAGĂ. PARTE FRACłIONARĂ .................................... 23
Capitolul 8. ECUAłII ÎN Z ECUAłII DIOFANTICE ................................................ 26
Capitolul 9. SISTEME DE ECUAłII .......................................................................... 30
9.1. Sisteme de ecuaŃii formate dintr-o ecuaŃie de gradul I şi o ecuaŃie de gradul al II-lea...................................................................................................................... 30
9.2. Sisteme simetrice elementare ............................................................................ 30
9.3. Sisteme omogene ............................................................................................... 31
9.4. Sisteme rezolvate cu ajutorul inegalităŃilor ....................................................... 32
Capitolul 10. INEGALITĂłI ....................................................................................... 35
GEOMETRIE
Capitolul 1. PUNCTE COLINIARE. PUNCTE COPLANARE .................................. 41
Capitolul 2. DREPTE CONCURENTE. PLANE CONCURENTE ............................. 44
Capitolul 3. PARALELISM ÎN SPAłIU ..................................................................... 46
Capitolul 4. Perpendicularitate în spaŃiu ....................................................................... 47
Capitolul 5. CENTRUL DE GREUTATE AL UNUI TETRAEDRU. TETRAEDRE ECHIFACIALE. TETRAEDRUL ORTOCENTRIC. TETRAEDRUL TRIDREPTUNGHIC .............................................................................................. 48
5.1. Centrul de greutate al unui tetraedru ................................................................. 48
5.2. Tetraedrul echifacial .......................................................................................... 49
5.3. Tetraedrul ortocentric ........................................................................................ 50
5.4. Tetraedrul tridreptunghic ................................................................................... 51
Capitolul 6. PIRAMIDA .............................................................................................. 54
Capitolul 7. PRISMA ................................................................................................... 57
159
Capitolul 8. CORPURI ROTUNDE ............................................................................. 59
Capitolul 9. POLIEDRE ŞI CORPURI ROTUNDE SFERA ÎNSCRISĂ. SFERA CIRCUMSCRISĂ ...................................................................................... 60
Capitolul 10. INEGALITĂłI GEOMETRICE ............................................................ 63
Capitolul 11. MAXIME ŞI MINIME GEOMETRICE ................................................ 65
SOLUłII
ALGEBRĂ
Capitolul 1. NUMERE ÎNTREGI ............................................................................ 67
Capitolul 2. NUMERE REALE ................................................................................ 71
Capitolul 3. CALCUL ALGEBRIC ......................................................................... 77
Capitolul 4. ECUAłII. INECUAłII ........................................................................ 84
Capitolul 5. ECUAłII DE GRADUL AL DOILEA ................................................ 86
Capitolul 6. FUNCłII .............................................................................................. 92
Capitolul 7. PARTE ÎNTREAGĂ. PARTE FRACłIONARĂ ................................ 94
Capitolul 8. ECUAłII ÎN Z. ECUAłII DIFANTICE .............................................. 99
Capitolul 9. SISTEME DE ECUAłII .................................................................... 104
Capitolul 10. INEGALITĂłI ................................................................................. 109
GEOMETRIE
Capitolul 1. PUNCTE COLINIARE. PUNCTE COPLANARE ............................ 116
Capitolul 2. DREPTE CONCURENE. PLANE CONCURENTE ......................... 118
Capitolul 3. PARALELISM ÎN SPAłIU ............................................................... 119
Capitolul 4. PERPENDICULARITATE ÎN SPAłIU ............................................ 121
Capitolul 5. CENTRUL DE GREUTATE AL UNUI TETRAEDRU. TETRAEDRE ECHIFACIALE. TETRAEDRUL ORTOCENTRIC. TETRAEDRUL TRIDREPTUNGHIC .................................................................. 123
Capitolul 6. PIRAMIDA ........................................................................................ 126
Capitolul 7. PRISMA ............................................................................................. 135
Capitolul 8. CORPURI ROTUNDE ....................................................................... 141
Capitolul 9. POLIEDRE ŞI CORPURI ROTUNDE. SFERA ÎNSCRISĂ. SFERA CIRCUMSCRISĂ ..................................................................................... 143
Capitolul 10. INEGALITĂłI GEOMETRICE ...................................................... 150
Capitolul 11. MAXIME ŞI MINIME GEOMETRICE .......................................... 154