72

CAPITOLUL 1

CONCEPTE DE BAZĂ ÎN TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE

1.1. SEMNALE ELECTRICE

Semnalele electrice sunt elemente de bază ale teoriei circuitelor electrice, purtătoare de

energie şi informaţie. O caracteristică importantă a unui semnal electric este modul de variaţie a

acestuia în timp. Notând cu x ts( ) valoarea instantanee a unui semnal (valoarea semnalului la

momentul t), vom face o clasificare a celor mai utilizate semnale electrice în aplicaţiile tehnice,

în funcţie de modul cum variază în timp această mărime.

1. Semnale continue (semnale de curent continuu)

Semnalele continue se caracterizează prin faptul că valoarea lor rămâne constantă în timp

(fig.1.1,a), deci:

x t Xs s( ) , (1.1)

unde Xs poate fi pozitiv sau negativ. Pentru a putea fi identificate cu uşurinţă, mărimile

electrice caracteristice acestor semnale se notează cu litere mari: U, V, I.

2. Funcţia treaptă

Valoarea instantanee a acestui semnal satisface următoarele relaţii:

0,pentru t ,)(

0,<pentru t ,0)(

ms

s

Xtx

tx (1.2)

unde Xm este amplitudinea treptei (fig. 1.1,b).

Fig. 1.1. Tipuri de semnale.

3. Impulsul

Dacă în cazul anterior, la momentul t Ti semnalul se anulează, adică:

is

ims

s

t>Ttx

TtXtx

t<tx

pentru ,0)(

0pentru ,)(

0pentru ,0)(

, (1.3)

se obţine semnalul de tip impuls, reprezentat în figura 1.1,c.

Xm se numeşte amplitudinea impulsului, iar Ti - durata impulsului.

O secvenţă de impulsuri repetate periodic (fig.1.1, d) se numeşte tren de impulsuri.

73

4. Semnale periodice

Un semnal a cărui succesiune de valori se reproduce, în aceeaşi ordine, la fiecare T secunde

se numeşte semnal periodic cu perioada T. Valoarea semnalului satisface ecuaţia:

x t x t nTs s( ) ( ) , (1.4)

pentru orice t şi n = 1,2,3,... .

Din această categorie fac parte semnalele sinusoidale (fig.1.2,a), rectangulare (fig.1.2,b),

triunghiulare (fig.1.2,c), dinţi de fierăstrău (fig.1.2,d).

Fig. 1.2. Tipuri de semnale periodice.

Numărul de cicluri de oscilaţii efectuate într-o secundă se numeşte frecvenţă şi se măsoară

în hertzi [Hz]. Prin definiţie deci:

fT

1

. (1.5)

Din relaţia (1.5) rezultă că un semnal de curent continuu poate fi privit ca un semnal

periodic cu T , adică f 0.

În cazul semnalelor periodice se defineşte valoarea medie pe o perioadă a semnalului:

,d)(1 1

1

Tt

t

smed ttxT

X (1.6)

care este independentă de t1.

5. Semnale sinusoidale (semnale de curent alternativ)

Un semnal periodic a cărui valoare medie pe o perioadă este nulă se numeşte semnal

alternativ. Un semnal alternativ a cărui expresie instantanee se reprezintă cu ajutorul funcţiei

sinus se numeşte semnal sinusoidal sau semnal de curent alternativ. Un astfel de semnal

este cel din figura 1.2,a, care alternează sinusoidal între valorile extreme Xm şi Xm, iar

valoarea Xm se numeşte amplitudine sau valoare de vârf (valoarea instantanee maximă pe o

perioadă) a undei sinusoidale. Din punct de vedere energetic, semnalul se caracterizează prin

mărimea numită valoare efectivă, definită prin relaţia:

74

X Xm / 2 . (1.7)

Un semnal de curent alternativ se reprezintă sub forma:

x t X ft X ts m( ) sin sin 2 2 , (1.8)

unde 2 f se numeşte pulsaţie a mărimii alternative şi se măsoară în rad/s.

6. Semnale analogice şi digitale

Un semnal care variază continuu în timp într-o anumită plajă (fig.1.3) se numeşte semnal

continuu sau analogic. Sistemele electrice care operează în domeniul generării sau procesării

acestor semnale formează clasa circuitelor analogice.

Fig.1.3. Semnal analogic continuu.

Prin contrast, semnalele care pot lua numai

un set limitat de valori se numesc semnale

discrete sau digitale (numerice).

Semnalele cu două valori (0 sau Xm), de

tipul trenului de impulsuri, se numesc semnale

binare.

Sistemele electrice care operează cu astfel

de semnale se numesc circuite digitale. În

cadrul acestei clase de circuite un rol de primă

importanţă îl au calculatoarele electronice.

Avantajul major al reprezentării informaţiei în formă discretă (în particular binară) constă în

faptul că semnalele digitale sunt mult mai uşor de generat, procesat, transmis şi stocat decât

semnalele analogice.

1.2. ELEMENTE DE CIRCUIT

1.2.1. Aproximaţiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentraţi

Regimurile circuitelor electrice se pot studia cu ajutorul ecuaţiilor cu derivate parţiale ale

câmpului electromagnetic (ecuaţiile lui Maxwell) în condiţii date. Prin utilizarea elementelor de

circuit cu parametri concentraţi studiul circuitelor electrice se simplifică; în locul ecuaţiilor cu

derivate parţiale intervin ecuaţii diferenţiale, mai simplu de rezolvat.

Teoria circuitelor electrice cu parametri concentraţi se elaborează prin particularizare din

teoria câmpului electromagnetic, în următoarele condiţii de aproximare:

1. Caracterul cvasistaţionar al regimului, care presupune neglijarea curentului de

deplasare i it

q

tD D (d

d

d

d

) peste tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor (asigurând

astfel închiderea circuitului). Regimul cvasistaţionar este astfel caracterizat prin existenţa

curentului de conducţie în conductoare şi a celui de deplasare în condensatoarele cu dielectric

perfect izolant.

2. Localizarea energiei câmpului magnetic numai în bobine şi a energiei câmpului

electric numai în condensatoare (deşi iD stabileşte câmp magnetic în dielectricul

condensatoarelor şi câmpul magnetic variabil în timp din bobine produce câmp electric, acestea

se vor neglija).

3. Se admite că intensitatea curentului care iese dintr-o bornă a unui element de circuit este

egală cu intensitatea curentului care intră prin cealaltă bornă. Această condiţie presupune că

cea mai mare dintre dimensiunile l ale elementului de circuit este mult mai mică decât lungimea

de undă cea mai mică, , care intervine în semnalul electric. Astfel în circuitele electrice cu

parametri concentraţi curentul electric se stabileşte instantaneu, efectul de propagare fiind

neglijabil. Considerând un conductor de lungime l parcurs de curentul

75

c

xtfItxi m 2sin),( , (1.9)

unde x este variabila spaţială, c este viteza de propagare a undei electromagnetice (egală cu

viteza luminii), iar f - frecvenţa, dacă

2 1fxc , adică

x l 1 1 , cu

cf

, (1.10)

intensitatea i x t( , ) se poate aproxima cu expresia:

i t I ftm( ) sin 2 , (1.11)

valabilă pentru frecvenţe joase.

Observaţie: Pentru frecvenţe ridicate sau pentru circuite extinse în spaţii mari (dimensiunea

l este comparabilă cu lungimea de undă a semnalului), propagarea energiei nemaifiind

instantanee nu se mai poate neglija variabila spaţială. În această situaţie, în reprezentarea

circuitului se utilizează elemente infinit mici repartizate pe toată lungimea acestuia. Se ajunge

astfel la circuite cu parametri repartizaţi (distribuiţi).

4. Caracterul filiform al conductoarelor, care presupune ca secţiunea transversală pe

liniile de curent să fie suficient de mică pentru ca intensitatea curentului să fie repartizată

practic uniform pe această secţiune. Această ipoteză implică neglijarea repartiţiei neuniforme a

curentului variabil în timp pe secţiunea conductorului (efectul pelicular). În acest sens, teoria

circuitelor electrice este exclusiv o teorie a elementelor de circuit filiforme.

În regim variabil, satisfacerea condiţiei caracterului filiform al conductoarelor se reduce la

verificarea condiţiei:

af

1, (1.12)

unde: a este dimensiunea liniară cea mai mică a secţiunii transversale a conductorului (dacă

este circular, raza acestuia), iar este adâncimea de pătrundere a undelor electromagnetice în

mediul conductor caracterizat prin conductivitatea şi permeabilitatea .

1.2.2. Mărimi şi relaţii fundamentale pentru teoria circuitelor electrice

În acest paragraf se vor prezenta relaţii ale teoriei câmpului electromagnetic pentru regimul

cvasistaţionar, utilizate în teoria circuitelor electrice:

- tensiunea electrică sEuC

d , cu formele particulare:

tensiunea în lungul firului u f - când curba C pe care se face integrarea este luată în lungul

axei unui fir conductor;

tensiunea la borne ub - când curba C este luată între două borne de acces;

tensiunea condensatorului uC - când curba C este luată între armături, prin dielectric.

Sensul de referinţă al tensiunii coincide cu sensul elementului de arc ds .

- tensiunea electromotoare de contur

sEEe i d)( , cu formele particulare:

t.e.m. imprimată ei - când E 0;

t.e.m. indusă e - când Ei 0

Sensul de referinţă al t.e.m. coincide cu sensul elementului de arc ds.

- intensitatea curentului de conducţie AnJi S

S

d .

Sensul de referinţă al curentului coincide cu sensul versorului normalei nS .

- sarcina electrică q a armăturii condensatorului de la care porneşte curba C pe care este

definită uC ;

76

- fluxul magnetic al bobinei, , calculat pe o suprafaţă sprijinită pe conturul ce trece prin

axul firului bobinei şi se închide prin linia tensiunii la borne, printr-o regiune cu câmp magnetic

neglijabil.

Sensul versorului normalei la suprafaţa S este asociat cu sensul de parcurgere al firului

bobinei după regula burghiului drept.

- legea inducţiei electromagnetice et

S

d

d

;

- legea conducţiei electrice u e Rif i ;

- legea conservării sarcinii electrice iq

t

d

d;

- teorema continuităţii curentului de conducţie i 0;

- teorema capacităţii electrice q CuC ;

- relaţiile lui Maxwell referitoare la inductivităţi k k k kj j

j k

L i L i

;

- teorema energiei electrice W que C12

;

- teorema energiei magnetice W im k k

k

1

2 ;

- legea transformării energiei electromagnetice în procesul de conducţie P u iJ f .

1.2.3. Clasificarea elementelor de circuit

Elementele de circuit sunt modele idealizate (prin selectarea numai a uneia dintre

proprietăţile lor electrice sau magnetice, considerată esenţială, şi neglijarea celorlalte), precis

definite, cu ajutorul cărora putem reprezenta (modela) dispozitivele electrice şi electronice,

care sunt obiecte fizice reale.

Dacă notăm cu x t( ) valoarea instantanee a semnalului de intrare aplicat elementului de

circuit şi cu y t( ) valoarea instantanee a semnalului de ieşire, relaţia dintre cele două mărimi,

care în cazul cel mai general se poate scrie sub forma

ttxyty ),()( , (1.13)

se numeşte ecuaţie caracteristică a elementului de circuit.

După tipul ecuaţiei (1.13), elementele de circuit se clasifică în:

elemente liniare invariabile în timp:

y t Kx t( ) ( ) , (1.14)

unde K este o constantă.

elemente liniare variabile în timp (parametrice):

y t K t x t( ) ( ) ( ) . (1.15)

elemente neliniare invariabile în timp:

0)(),( tytxf . (1.16)

elemente neliniare variabile în timp:

0),(),( ttytxg . (1.17)

Un element de circuit este caracterizat printr-o relaţie între curentul şi tensiunea la bornele

sale. Independent de natura perechii de mărimi ( , )x y , tensiunea u t( ) şi intensitatea curentului

i t( ) sunt univoc determinate la bornele elementului de circuit şi produsul lor:

)()()( titutp (1.18)

se numeşte putere instantanee, iar integrala în raport cu timpul a puterii instantanee pe

intervalul ( , )t t1 2 se numeşte energie electrică

77

ttpW

t

t

d)(2

1

. (1.19)

Din punctul de vedere al valorilor puterii instantanee, elementele de circuit pot fi clasificate

în două categorii:

elemente de circuit pasive, pentru care în orice punct al caracteristicii de funcţionare

p 0, ceea ce înseamnă că elementul de circuit primeşte putere pe la borne;

elemente de circuit active (sau surse), pentru care cel puţin într-un punct al caracteristicii

de funcţionare p < 0 , ceea ce înseamnă că elementul de circuit cedează putere pe la borne.

1.2.4. Elemente de circuit pasive

1.2.4.1. Rezistorul

Este un element de circuit a cărui ecuaţie de funcţionare este de forma (1.20) şi se numeşte

caracteristică tensiune-curent, sau de forma (1.21) şi se numeşte caracteristică curent-

tensiune:

ttiutu ),(=)( , (1.20)

sau

ttuiti ),(=)( . (1.21)

Fig.1.4. Un conductor filiform de lungime finită.

Ecuaţia caracteristică a rezistorului se

determină plecând de la teoria câmpului

electromagnetic, în următoarele ipoteze (care

selectează proprietatea esenţială): rezistorul

este un fir conductor, care fiind parcurs de un

curent electric de conducţie degajă căldură

datorită efectului electrocaloric ( R 0), nu

produce câmp magnetic ( 0), nu

acumulează sarcină electrică (q 0) şi nu

conţine surse de câmp electric imprimat

(ei 0).

Aplicând legea inducţiei electromagnetice pe curba (fig.1.4) şi legea conducţiei electrice,

ţinând seama de ipotezele asumate, se obţine succesiv:

0d

dd t

uusEeS

bf

, (1.22)

din care rezultă

u uf b (1.23)

şi

u e u Rif i f . (1.24)

Din ecuaţiile (1.23) şi (1.24) rezultă că

u u Rib R . (1.25)

a) Rezistorul liniar invariabil în timp. Acest element de circuit, reprezentat simbolic în

figura 1.5,a, are ecuaţia caracteristică (numită şi ecuaţie constitutivă)

u t Ri t( ) ( ) (1.26)

sau

i t Gu t( ) ( ) , (1.27)

78

unde R 0 este rezistenţa elementului măsurată în ohmi şi G 0 este conductanţa

acestuia, măsurată în siemens S .

Fig. 1.5. Simbolurile rezistoarelor.

Ecuaţiile (1.25) şi (1.26) reprezintă în planul (u,i) o dreaptă ce trece prin origine (fig.1.6,a);

ca urmare, tensiunea şi curentul au aceeaşi formă de variaţie în timp. Înmulţind ecuaţia (1.25)

cu i(t) sau (1.26) cu u(t) se obţine puterea instantanee primită pe la borne de rezistor:

p t u t i t Ri t Gu t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2. (1.28)

Indiferent de sensul de referinţă al tensiunii sau curentului, p 0 şi corespunde efectului

electrocaloric de transformare ireversibilă a energiei electrice în căldură.

Dacă R = 0 (G ) ecuaţia (1.26) devine:

u t( ) 0 (1.29)

şi elementul se numeşte scurtcircuit (fig. 1.6,b).

Dacă R (G = 0) ecuaţia (1.27) devine:

i t( ) 0 (1.30)

şi elementul se numeşte circuit deschis sau latură în gol (fig.1.6,c).

Fig.1.6. Caracteristicile (u,i) ale rezistoarelor liniare.

b) Rezistorul liniar variabil în timp (parametric), are ecuaţia caracteristică

u t R t i t( ) ( ) ( ) , (1.31)

unde R(t) se numeşte rezistenţă parametrică. Simbolul lui este reprezentat în figura 1.5,b.

Un exemplu de astfel de element de circuit este potenţiometrul.

Caracteristicile (1.31) reprezintă în planul (u, i) o familie de drepte ce trec prin origine

(fig.1.7), deci forma de variaţie în timp a tensiunii este diferită de cea a curentului. Acest tip de

element poate fi folosit la modelarea unui contactor real (fig.1.8), cu ajutorul unui contactor

ideal şi a două rezistoare liniare şi invariabile în timp, R1 de valoare foarte mare şi R2 de valoare

foarte mică.

c) Rezistorul neliniar

Ecuaţia caracteristică a rezistorului neliniar invariabil în timp este:

,0)(),( tituf (1.32)

79

iar a celui variabil în timp

,0),(),( ttitug (1.33)

simbolul fiind prezentat în figura 1.5,c.

Fig. 1.7. Caracteristica (u,i) a rezistorului parametric.

Fig. 1.8. Modelul contactorului real.

După forma ecuaţiei caracteristice, aceste elemente pot fi simetrice sau nesimetrice în raport

cu originea. Din punct de vedere al mărimii care fixează univoc poziţia punctului de

funcţionare pe curba caracteristică, rezistoarele neliniare se clasifică în:

rezistoare neliniare controlate în tensiune, având ecuaţia caracteristică (fig.1.9,a) de forma

)()( tuiti sau )(ˆ uii ; (1.34)

rezistoare neliniare controlate în curent, având ecuaţia caracteristică (fig.1.9,b) de forma

)()( tiutu sau )(ˆ iuu . (1.35)

Un rezistor neliniar caracterizat de faptul că pentru orice tensiune u dată (curent i dat)

curentul i (tensiunea u) este unic specificat (specificată) se numeşte rezistor neliniar controlat

în tensiune (curent).

(a)

(b) Fig. 1.9. Caracteristicile rezistoarelor neliniare:

a) Rezistorul neliniar controlat în tensiune (c.u.); b) Rezistorul neliniar controlat în curent (c.i.).

Din categoria rezistoarelor neliniare simetrice fac parte: tubul cu fir incandescent şi

termistorul, a căror rezistenţă variază cu temperatura, varistorul a cărui caracteristică este

controlată în tensiune şi dioda cu gaz, având caracteristica controlată în curent.

Dioda cu joncţiune, dioda Zener şi dioda tunel sunt rezistoare neliniare nesimetrice cu

caracteristică controlată în tensiune. Un alt exemplu este arcul electric în curent continuu şi în

curent alternativ, care poate fi modelat printr-un rezistor neliniar variabil în timp.

1.2.4.2. Bobina

80

Bobina necuplată magnetic are ecuaţia de funcţionare de forma

ttit ,)()( , (1.36)

numită caracteristică flux-curent.

Fig. 1.10. Simbolul bobinei liniare.

Ecuaţia caracteristică explicită se obţine pe

baza relaţiilor din teoria câmpului

electromagnetic şi a următoarelor ipoteze care

selectează proprietatea esenţială: bobina este

realizată dintr-un fir conductor care, fiind

parcurs de un curent electric produce câmp

magnetic ( 0), dar în el nu se transformă

energie prin efect electrocaloric ( R 0), nu

acumulează sarcină electrică (q 0) şi nu are

surse de câmp electric imprimat (ei 0).

Aplicând legea inducţiei electromagnetice şi legea conducţiei electrice elementului

reprezentat în figura 1.10, în ipotezele enunţate se obţine:

t

uusEe bfd

dd

, (1.37)

respectiv

u e Ri uf i f 0. (1.38)

Din ecuaţiile (1.36) şi (1.37) rezultă

u ut

b L d

d

, (1.39)

numită ecuaţia de evoluţie a bobinei, din care, prin integrare pe intervalul (0, t) se obţine

)d()0( ;)d()0()(0

0

uutt

; (1.40)

Fig. 1.11. Circuitul echivalent al bobinei liniare reale.

Relaţia (1.40) numită şi ecuaţie de

ereditate a bobinei, arată că fluxul magnetic

la momentul t depinde de valorile anterioare

ale tensiunii, deci bobina este un element cu

memorie. De asemenea rezultă că în

intervalul ( , ) fluxul magnetic în bobină

este o funcţie absolut continuă în timp.

Se spune că fluxul are un caracter conservativ.

Dacă rezistenţa bobinei este nenulă ( )R 0 , ecuaţia (1.38) pentru bobina reală (fig.1.11)

capătă forma:

u ut

Rit

u ub f R L d

d

d

d

, (1.41)

unde uR se numeşte cădere de tensiune rezistivă, iar uL- cădere de tensiune inductivă.

Fig. 1.12. Simbolurile bobinelor.

81

a) Bobina liniară, invariabilă în timp şi necuplată magnetic, cu simbolul din figura

1.12,a, are ecuaţia caracteristică

tLit , (1.42)

unde L 0 este inductivitatea măsurată în henry [H], constantă pentru o anumită bobină.

Fig. 1.13. Caracteristica (,i) a bobinei liniare.

În planul (,i) caracteristica (1.42) este o

dreaptă ce trece prin origine (fig.1.13); în

consecinţă, fluxul magnetic şi curentul au

aceeaşi formă de variaţie în timp.

Ţinând seama de ecuaţia (1.42), din (1.39)

se obţine ecuaţia caracteristică :

u t Lit

( ) dd

, (1.43)

din care, prin integrare pe intervalul (0,t) rezultă

.d)(1

)0( ;d)(1

)0()(0

0

uL

iuL

itit

(1.44)

Integrând ecuaţia (1.43) pe intervalul ( , )0 t td şi scăzând apoi membru cu membru ecuaţia

(1.44), se obţine:

.d)(1

)()d(d

tt

t

uL

titti (1.45)

Dacă tensiunea este mărginită, u t U( ) în intervalul 0,T , atunci integrala din (1.45) tinde

către zero când dt 0, şi deci se anulează şi membrul stâng al acestei ecuaţii. Altfel spus, în

aceste circumstanţe curentul prin bobină este uniform continuu în intervalul (0,T). El nu poate

avea un salt brusc de la o valoare finită la o altă valoare finită.

Bobina liniară invariabilă în timp şi necuplată magnetic este complet caracterizată de

inductivitatea proprie L şi de intensitatea curentului în momentul iniţial i( )0 . Proprietăţile de

continuitate ale fluxului magnetic şi curentului electric prin bobină vor fi utilizate în studiul

regimului tranzitoriu.

Înmulţind ecuaţia (1.43) cu di şi integrând pe intervalul ( , )0 t în condiţia i( )0 0 , se

obţine energia Wm acumulată în câmpul magnetic al bobinei:

L

ttittLiiiLiuW

it

m

22

00 2

1

2

1'd'd

, (1.46)

a cărei valoare este pozitivă.

b) Bobina liniară, variabilă în timp (parametrică) şi necuplată magnetic, are simbolul

din figura 1.12,b şi ecuaţia caracteristică

titLt , (1.47)

unde L(t) se numeşte inductivitate parametrică.

Ţinând seama de ecuaţia (1.47), ecuaţia (1.39) conduce la

u t L tit

i tLt

( ) ( ) ( ) dd

dd

. (1.48)

Primul termen din membrul drept se numeşte cădere de tensiune inductivă prin pulsaţie, iar

al doilea - cădere de tensiune inductivă parametrică.

În planul (,i) ecuaţia (1.48) reprezintă o familie de drepte ce trec prin origine; ca urmare,

fluxul magnetic şi curentul au forme diferite de variaţie.

Un exemplu de inductor parametric îl constituie un solenoid în interiorul căruia miezul

magnetic se deplasează alternativ.

82

c) Bobina neliniară este o bobină cu miez feromagnetic ce intră în componenţa releelor,

electromagneţilor, transformatoarelor şi maşinilor electrice. Caracteristica ei flux-curent,

numită caracteristică de magnetizare, este de forma:

.0,, ttitg (1.49)

În funcţie de materialul feromagnetic din care este confecţionat miezul bobinei,

caracteristica de magnetizare poate avea forma din figura 1.14,a (corespunzătoare materialelor

magnetice moi) sau din figura 1.14,b (corespunzătoare materialelor magnetice dure).

(a)

(b)

Fig. 1.14. Caracteristicile (,i) ale bobinelor neliniare:

a) Materiale magnetice moi; b) Materiale magnetice dure.

Pe porţiunea 1-2 a caracteristicii din figura 1.14,a, bobina poate fi considerată liniară, iar

fluxul magnetic şi curentul au aceeaşi formă de variaţie în timp, spre deosebire de porţiunea 2-

3, care este neliniară şi corespunde unor forme diferite de variaţie în timp ale fluxului magnetic

şi curentului. Peste punctul 3, fluxul rămâne practic constant, iar bobina devine saturată

magnetic. Caracteristica din figura 1.14,b se numeşte curbă de histerezis.

Bobinele cu miez de fier pot fi modelate ca elemente de circuit, aproximând corespunzător

forma caracteristicii, de exemplu prin segmente de dreaptă.

d) Bobine cuplate magnetic

Se spune că o bobină s parcursă de curentul is este cuplată magnetic cu alte (l-1) bobine

dacă fluxul magnetic s este funcţie şi de intensităţile curenţilor ce parcurg aceste bobine,

ecuaţia caracteristică a bobinei s fiind

ttitititi lss ,,...,,...,, 21 . (1.50)

Dacă bobinele sunt liniare şi invariabile în timp, ţinând seama de relaţiile lui Maxwell pentru

inductivităţi, ecuaţia caracteristică (1.50) devine

s sk k

k

l

L i

1

(1.51)

în care mărimea

L Li

ss s

ds

s

i k sk

0, > 0, (1.52)

se numeşte inductivitate proprie, iar mărimea

L Li

sk ks

ds

k

i s ks

0, , (1.53)

putând fi pozitivă sau negativă, se numeşte inductivitate mutuală.

Pentru a stabili ce semn se ia în consideraţie în calculele din teoria circuitelor pentru

inductivitatea mutuală, în schemele electrice se evidenţiază cu * bornele polarizate ale

83

bobinelor cuplate magnetic. Dacă sensurile de referinţă ale curenţilor is şi ik faţă de bornele

polarizate sunt identice (ambii intră sau ies din aceste borne), inductivitatea mutuală este

pozitivă. În caz contrar, este negativă.

Tensiunea us la bornele bobinei cuplate magnetic se calculează înlocuind relaţia (1.51) în

(1.39). Se obţine astfel

u Li

tL

i

tL

i

ts sk

k

lk

ss

sk

kk s

lk

1 1

d

d

d

d

d

d, (1.54)

unde primul termen din membrul drept se numeşte cădere de tensiune inductivă proprie, iar al

doilea - cădere de tensiune inductivă mutuală.

Înmulţind ecuaţia (1.54) cu dsi şi integrând pe intervalul (0, t) în ipoteza i(0) = 0, se

obţine expresia energiei magnetice înmagazinate în bobina s:

t l

skk

i

ksskssssms iiLiLiuW0 1 0

''2 d 2

1d . (1.55)

Primul termen din membrul drept se numeşte energie magnetică proprie şi este strict

pozitiv, iar al doilea se numeşte energie magnetică mutuală şi poate fi pozitiv sau negativ.

Energia magnetică totală a sistemului de l bobine cuplate magnetic are expresia

i

ks

l

sk

skm iiLW0

''

1,

d . (1.56)

În cazul particular a două bobine cuplate magnetic, se obţine

W Li L i L i im 12

121 1

22 2

212 1 2 , (1.57)

unde primul şi al doilea termen reprezintă energia magnetică înmagazinată în prima, respectiv a

doua bobină, iar ultimul termen reprezintă energia magnetică de interacţiune.

1.2.4.3. Condensatorul

Are ecuaţia caracteristică sarcină-tensiune sau tensiune-sarcină

ttuqtq ),()( , (1.58)

respectiv

ttqutu ),()( . (1.59)

La fel ca şi în cazul celor două elemente de circuit, prezentate mai sus, condensatorul ideal

poate fi studiat cu ajutorul legilor câmpului electromagnetic şi al ipotezelor de idealizare

potrivit cărora condensatorul este un sistem de conductoare, care fiind parcurs de un curent

electric de conducţie poate acumula sarcină electrică ( )q 0 , dar nu degajă căldură ( )R 0 ,

nu produce câmp magnetic ( ) 0 şi nu conţine surse de câmp electric imprimat ( )ei 0 .

Fig. 1.15. Shema de principiu a unui condensator.

Aplicând legea inducţiei electromagnetice

pe curba (fig.1.15) în ipotezele asumate se

obţine

e u u ut

f C b d

d

0, (1.60)

iar legea conducţiei electrice aplicată

conductoarelor (fire şi armături) conduce la

u e u Rif i f 0. (1.61)

Din relaţiile (1.60) şi (1.61) rezultă

u ub C . (1.62)

84

Considerând dielectricul condensatorului perfect izolant, legea conservării sarcinii electrice

conduce la i i , şi cum q q , se obţine relaţia dintre intensitatea curentului electric de

conducţie şi sarcina electrică sub forma ecuaţiei de evoluţie

iq

t

d

d. (1.63)

Integrată pe intervalul (0, t), ecuaţia (1.63) conduce la

.d)()0( ;d)()0()(0

0

iqiqtqt

(1.64)

Relaţia (1.64) numită ecuaţia de ereditate a condensatorului, arată că sarcina electrică la

momentul t, depinde de valorile anterioare ale curentului; prin urmare, condensatorul este un

element cu memorie.

Rezultă de asemenea că în intervalul ( , ) sarcina electrică este o funcţie absolut

continuă în timp; altfel spus, sarcina electrică nu variază discontinuu (are caracter conservativ).

Fig. 1.16. Simbolurile condensatoarelor.

a) Condensatorul liniar invariabil în timp, al cărui simbol este reprezentat în figura

1.16,a, are ecuaţia caracteristică (constitutivă)

q t Cu t( ) ( ) , (1.65)

sau

u t Sq t( ) ( ) , (1.66)

unde C > 0 se numeşte capacitate şi se măsoară în farazi [F], iar S = 1/C se numeşte elastanţă

şi se măsoară în [F]-1.

Fig. 1.17. Caracteristica (q,u) a unui condensator

liniar.

În planul (q, u) ecuaţia (1.65) reprezintă o

dreaptă ce trece prin origine (fig.1.17), deci

sarcina electrică şi tensiunea au aceeaşi formă de

variaţie în timp.

Ţinând seama de (1.65), ecuaţia (1.63)

devine

i t Cut

( ) dd

, (1.67)

care prin integrare pe intervalul (0, t) conduce la

.d)(1

=)0( ;d)(1

)0()(0

0

iC

uiC

utut

(1.68)

Condensatorul liniar şi invariabil în timp este complet determinat de capacitatea C şi de

tensiunea iniţială u(0).

Înmulţind ecuaţia (1.67) cu du ' şi integrând pe intervalul (0, t) în ipoteza u(0) = 0, se

obţine energia acumulată în câmpul electric al condensatorului în acest interval

),()(2

1)(

2

1)(

2

1'd'd)()( 22

00

tutqtqC

tCuuuCiuWut

e (1.69)

a cărei valoare este pozitivă.

85

Printr-o demonstraţie similară celei pentru curentul prin bobină, se poate arăta că dacă

intensitatea curentului prin condensator este mărginită, i(t) < I în intervalul [0,T], atunci

tensiunea electrică la bornele condensatorului variază continuu în intervalul (0,T). Altfel

spus, tensiunea la bornele unui condensator liniar invariabil în timp nu poate varia brusc de la o

valoare finită la o altă valoare finită.

Proprietatea de continuitate a sarcinii electrice şi a tensiunii la bornele condensatorului va fi

folosită în studiul regimului tranzitoriu.

b) Condensatorul liniar variabil în timp (parametric) are ecuaţia caracteristică

q t C t u t( ) ( ) ( ) , (1.70)

unde C(t) se numeşte capacitate parametrică. Simbolul grafic al acestui element de circuit este

prezentat în figura 1.16,b.

Din relaţia (1.63), ţinând seama de (1.70), se obţine

t

Ctu

t

utCti

d

d

d

d . (1.71)

Primul termen din membrul drept se numeşte componentă de pulsaţie a curentului, iar al

doilea - componentă parametrică.

În planul (q, u) ecuaţia (1.69) defineşte o familie de drepte ce trec prin origine, deci curbele

de variaţie ale tensiunii şi sarcinii electrice sunt diferite.

Un exemplu de condensator liniar variabil în timp este condensatorul cu armătură vibrantă.

c) Condensatorul neliniar

Fig. 1.18. Caracteristica (q,u) a unui condensator

neliniar.

Condensatoarele reale au caracteristica q(u)

neliniară (în general variabilă în timp), de forma

0),(),( ttutqf , (1.72)

reprezentată printr-o curbă de histerezis (fig.

1.18).

Ca şi la bobina cu miez feromagnetic,

condensatorul neliniar poate fi modelat ca

element de circuit, aproximând caracteristica

sarcină-tensiune prin segmente de dreaptă.

1.2.5. Elemente de circuit active

1.2.5.1. Surse independente

Sursele independente sunt elemente de circuit care modelează generatoarele de semnal. Ele

se numesc independente pentru că mărimea care le caracterizează (t.e.m. sau intensitatea

curentului electric) este independentă de mărimile electrice din restul circuitului. În continuare

vom introduce cele două tipuri de surse independente din teoria circuitelor electrice: sursa

independentă de tensiune şi sursa independentă de curent.

1. Sursa ideală independentă de tensiune este un element activ având simbolul din figura

1.19,a şi următoarea ecuaţie caracteristică (scrisă pentru sensurile de referinţă adoptate):

u t e t i( ) ( ), . (1.73)

Ecuaţia (1.73) poate fi dedusă pe baza teoriei câmpului electromagnetic. Astfel, în ipotezele

de idealizare, sursa ideală de tensiune este un element care, fiind parcurs de un curent electric

de conducţie, transformă energia electromagnetică în alte forme decât energie electrică

86

Fig. 1.19. Simbolul şi caracteristica (u,i) a unei surse ideale

independente de tensiune.

sau magnetică ( )ei 0 , nu degajă

căldură ( )R 0 , nu produce câmp

magnetic ( ) 0 şi nu acumulează

sarcină electrică ( )q 0 .

Aplicând relaţia de definiţie a

t.e.m. de contur (Fig.1.20), se obţine:

ibfii euudsEdsEdsEEee

. (1.74)

Cum legea conducţiei electrice în acest caz conduce la

u e Rif i 0, (1.75)

înlocuind în relaţia (1.73), se obţine:

e u ub , (1.76)

adică relaţia (1.73).

În planul (u, i) caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă cu axa curentului

(Fig.1.19,b). Din ecuaţia (1.73) rezultă că sursa independentă de tensiune este un caz particular

de rezistor neliniar controlat în curent, caracterizată de faptul că pentru orice curent dat,

tensiunea este unic specificată.

Fig. 1.20. Schema de principiu a unei surse

independente de tensiune.

Dacă e t( ) 0, caracteristica (1.73) ia forma

(1.29) şi sursa ideală independentă de tensiune

devine un scurtcircuit ( )R 0 , proprietate

importantă în cadrul teoriei circuitelor electrice,

folosită pentru pasivizarea acestor surse.

Semnificaţia fizică a definiţiei sursei ideale

independente de tensiune este că circuitul

conectat la bornele sursei nu influenţează forma

de undă a tensiunii ei, ci numai curentul care

circulă prin sursă.

Cu sensurile de referinţă din figura 1.19,a, puterea cedată de sursă circuitului extern este:

p t u t i t e t i t( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (1.77)

Dacă elementul de circuit degajă căldură prin efect electrocaloric )0( r , reprezentarea lui

este cea din figura 1.21,a, iar ecuaţia de funcţionare este:

Fig. 1.21. Simbolul şi caracteristica (u,i) a unei surse reale independente de tensiune.

rieu . (1.78)

87

Un astfel de element se numeşte sursă reală de tensiune. Caracteristica de funcţionare

(1.78) este o dreaptă care nu trece prin origine (fig. 1.21,b).

Înmulţind relaţia (1.78) cu i t( ) , se obţine puterea electrică cedată la borne de sursă

.)()()()()()( 2 trititetitutp (1.79)

Relaţia (1.73) arată că nu putem conecta în paralel (între aceleaşi borne) surse ideale de

tensiune cu valori diferite ale tensiunilor electromotoare.

2. Sursa ideală independentă de curent

O sursă de energie electromagnetică având proprietatea de a debita un curent j t( )

independent de reţeaua conectată la bornele ei, se numeşte generator ideal de curent.

Semnificaţia fizică a definiţiei sursei ideale independente de curent este că, de data

aceasta, este prescrisă curba de variaţie a curentului sursei. Ea nu este influenţată de tensiunea

la borne determinată de circuitul extern, astfel încât ecuaţia caracteristică a elementului este:

i t j t u( ) ( ), , (1.80)

iar simbolul este cel din figura 1.22,a.

Fig.1.22. Simbolul şi caracteristica (i,u) a unei surse

ideale independente de curent.

În planul (i,u) caracteristica este o

dreaptă paralelă cu axa tensiunii (fig.

1.22,b).

Sursa independentă de curent este un

caz particular de rezistor neliniar controlat

în tensiune, deoarece, conform ecuaţiei

caracteristice, pentru orice tensiune

curentul este unic specificat.

Dacă j t( ) 0, caracteristica se reprezintă pe axa tensiunii şi sursa ideală independentă de

curent devine o latură deschisă ( )R , proprietate de asemenea importantă în cadrul teoriei

circuitelor electrice, legată de pasivizarea acestor surse.

Pentru sensurile de referinţă adoptate în figura 1.22,a, puterea cedată de sursă circuitului

extern este

p t u t i t u t j t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . (1.81)

Schema echivalentă a unei surse reale de curent este prezentată în figura 1.23,a, iar ecuaţia

de funcţionare este:

).()()( tgutjti (1.82)

Fig. 1.23. Simbolul şi caracteristica (i,u) a unei surse reale independente de curent.

Caracteristica de funcţionare este o dreaptă care nu trece prin origine (Fig. 1.23,b).

Înmulţind relaţia (1.82) cu u(t) se obţine puterea electrică cedată la borne de sursă:

).()()()()()( 2 tgutjtutitutp (1.83)

88

Relaţia (1.80) arată că nu putem conecta în serie (pe aceeaşi latură) surse de curent cu

valori diferite ale curenţilor injectaţi.

1.2.5.2. Surse comandate

Spre deosebire de sursele independente prezentate mai sus, care sunt folosite ca mărimi de

intrare (excitaţie) ale unui circuit, sursele comandate sunt utilizate pentru modelarea unor

dispozitive electrice de putere sau electronice, de interes practic deosebit.

O sursă comandată este un element de circuit constituit din două laturi: o latură de

comandă (C’C”), (care în schema de modelare este fie un scurtcircuit, fie o latură deschisă), şi

o latură comandată (c’c”) (care este fie o sursă de tensiune, fie o sursă de curent).

Forma undei de tensiune sau de curent a sursei este comandată de curentul sau tensiunea de

comandă.

Există patru tipuri de surse comandate, care se pot clasifica în două categorii:

- surse neomogene:

Sursa de tensiune comandată în curent Ec(IC) ;

Sursa de curent comandată în tensiune Jc(UC).

- surse omogene:

Sursa de tensiune comandată în tensiune Ec(UC) ;

Sursa de curent comandată în curent Jc(IC).

Fiecare sursă comandată este caracterizată cu două ecuaţii corespunzătoare celor două

laturi. În figura 1.24 sunt prezentate schemele echivalente ale celor patru tipuri de surse

comandate de c.c.

Sursa de tensiune comandată în curent Ec(IC)

cCcCcc

CC

IIREU

IU

,

,0

Sursa de tensiune comandată în tensiune Ec(UC)

cCcCcc

CC

IUAEU

UI

,

,0

Sursa de curent comandată în curent Jc(IC)

cCcCc

CC

UIBJ

IU

,

,0

Sursa de curent comandată în tensiune Jc(UC)

cCcCc

CC

UUYJ

UI

,

,0

Fig. 1.24. Surse comandate.

89

Toate aceste tipuri de surse comandate pot fi realizate fizic, cu o bună aproximaţie, cu

ajutorul amplificatoarelor operaţionale.

Semnificaţia mărimilor din ecuaţiile de comandă este:

RcC reprezintă rezistenţa de transfer;

GcC este conductanţa de transfer;

AcC este factorul de amplificare (amplificarea) în tensiune;

BcC este factorul de amplificare (amplificarea) în curent;

O sursă comandată nu poate genera ea însăşi curent şi tensiune într-un circuit, pentru

aceasta fiind necesară o sursă independentă care să creeze semnalul de comandă, care va

determina apariţia semnalului comandat.

Observaţie:

Analiza circuitelor cu surse comandate utilizează aceleaşi metode ca şi a celor cu surse

independente, diferenţa constând în faptul că în acest caz, la ecuaţiile corespunzătoare metodei

de analiză aplicate se adaugă ecuaţiile de comandă exprimate în raport cu variabilele metodei

1.3. CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE

Circuitele sau reţelele electrice sunt ansambluri de elemente de circuit conectate în diverse

moduri prin suprapunerea bornelor acestora. Se obţine astfel o structură cu un număr n de

borne (poli sau terminale) de acces. Fiecare bornă se caracterizează prin curentul ik şi

potenţialul vk , iar diferenţa potenţialelor a două borne se numeşte tensiune la borne.

Fig. 1.25. Circuit n-pol.

Fig. 1.26. Circuit dipol (bipol).

Un circuit cu n borne de acces se numeşte multipol electric sau n-pol electric (Fig. 1.25). În

particular, dacă n 2, circuitul se numeşte dipol, dacă n 3 - tripol şi dacă n 4 - cuadripol

electric. Întâlnită şi în reprezentarea elementelor de circuit pasive, structura de tip dipol (bipol)

a circuitelor electrice (Fig. 1.26), se caracterizează prin intensitatea curentului absorbit printr-o

bornă şi prin tensiunea între cele două borne. Relaţia u f i ( ) sau i g u ( ) se numeşte

caracteristica dipolului. Pentru sensurile de referinţă ale curentului şi tensiunii la borne din

figură reprezentând convenţia de la receptoare, puterea absorbită pe la borne de dipol,

p ui 0, iar dipolul se numeşte receptor. Pentru un sens invers al tensiunii la borne-

convenţia de la generatoare, puterea la bornele dipolului p ui 0, iar dipolul se numeşte

generator.

Prin definiţie circuitele ideale n - pol satisfac următoarele condiţii:

- în fiecare moment suma algebrică a intensităţilor curenţilor bornelor de acces este nulă;

- în fiecare moment puterea electromagnetică totală primită din exterior de circuitul n - pol

se exprimă conform teoremei puterii electromagnetice prin relaţia:

90

p v ik

k

n

k

1

. (1.84)

Asocierea a două borne ai căror curenţi sunt egali în valoare absolută şi opuşi ca semn

constituie o poartă. Un multipol ale cărui borne sunt grupate astfel încât să constituie n porţi se

numeşte multiport sau n - port (Fig.1.27). El se caracterizează prin tensiunile porţilor şi prin

intensităţile curenţilor acestora. Cuadripolul, având bornele grupate în două porţi, este un

diport (Fig. 1.28).

Fig. 1.27. Circuit n-port.

Fig. 1.28. Circuit diport (cuadripol).

1.4. REGIMURILE DE FUNCŢIONARE ALE CIRCUITELOR ELECTRICE

După natura funcţiilor care exprimă variaţia în timp a intensităţilor curenţilor şi tensiunilor,

regimurile de funcţionare ale circuitelor electrice se clasifică în:

a) regim de curent continuu - în care mărimile de excitaţie, intensităţile curenţilor,

tensiunile şi potenţialele electrice sunt constante în timp;

b) regim variabil - în care mărimile de excitaţie, intensităţile curenţilor, tensiunile şi

potenţialele electrice sunt funcţii oarecare de timp;

c) regim periodic - în care mărimile de excitaţie, intensităţile curenţilor, tensiunile şi

potenţialele electrice sunt funcţii periodice de timp.

Un regim periodic particular foarte important în practică este regimul sinusoidal.

Regimurile variabile prin care se face trecerea de la unele regimuri de curent continuu sau

regimuri periodice la alte regimuri de curent continuu sau periodice se numesc regimuri

tranzitorii.

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii ce descriu funcţionarea circuitelor electrice în unul din

regimurile de mai sus prezintă particularităţi specifice fiecărui regim, ceea ce determină

abordarea de tehnici de analiză specifice. Acestea se grupează în trei mari categorii:

1. Analiza regimurilor de curent continuu, cuprinzând metode de analiză ce conduc la

rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice care descriu funcţionarea circuitului. Efortul de

calcul este determinat exclusiv de numărul de ecuaţii ale sistemului. Cele mai utilizate metode

matematice în acest caz sunt algebra matriceală şi metodele numerice de rezolvare a sistemelor

de ecuaţii algebrice;

2. Analiza regimurilor sinusoidale, cu ajutorul metodei simbolice a reprezentării în

complex. Prin intermediul acestei tehnici, numită şi metoda simbolică, sistemul de ecuaţii

diferenţiale ce descriu funcţionarea circuitului în regim sinusoidal se transformă într-un sistem

de ecuaţii algebrice, satisfăcute de valorile complexe ale necunoscutelor, a cărui rezolvare este

mult mai simplă. Analiza se încheie prin revenirea din domeniul complex în domeniul real,

91

obţinându-se astfel valorile instantanee ale mărimilor electrice calculate - curenţi, tensiuni,

potenţiale electrice;

3. Analiza regimurilor variabile oarecare, prin metoda operaţională. Tehnica cea mai

utilizată de analiză folosită în acest caz se bazează pe transformata Laplace şi permite

transformarea ecuaţiilor diferenţiale ale circuitului în ecuaţii algebrice, satisfăcute de

transformatele Laplace ale necunoscutelor. Metoda este similară celei simbolice folosite în

analiza regimurilor sinusoidale. După obţinerea soluţiilor sub forma transformatelor Laplace

(numite funcţii imagine), se aplică transformata Laplace inversă pentru a se obţine valorile

instantanee ale necunoscutelor (numite funcţii original). Pentru rezolvarea acestor regimuri

există însă şi alte metode, care se bazează pe utilizarea altor transformate, sau pe alte principii.

Evident, metoda operaţională nu se aplică la circuitele neliniare.

1.5. TEOREMELE GENERALE ALE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE

1.5.1. Teoremele lui Kirchhoff

a) În regim cvasistaţionar legea conservării sarcinii electrice pentru o suprafată închisă

care înconjoară un nod oarecare ( )n j al circuitului, intersectează toate conductoarele laturilor

l nk j( ) şi nu trece prin dielectricii condensatoarelor (Fig.1.29), conduce la relaţia

Fig. 1.29. O buclă de circuit.

iq

t

d

d0. (1.85)

Dacă se atribuie semnul (+) curenţilor

care ies din nodul ( )n j (au sensul de referinţă

acelaşi cu al normalei n) şi semnul (-) celor

care intră în nod, relaţia (1.85) conduce la

( )

( )

A k

l n

i

k j

0 . (1.86)

Relaţia (1.86) reprezintă prima teoremă a lui Kirchhoff, care se enunţă astfel: suma

algebrică a intensităţilor curenţilor din laturile lk incidente în nodul ( )n j al unui circuit este

nulă.

b) Aplicând legea inducţiei electromagnetice pe conturul , în ipoteza localizării câmpului

magnetic numai în bobine (având o valoare nulă în afara elementelor de circuit) se obţine

.0d

d

tdsEe

S (1.87)

Descompunând curba închisă într-o sumă de curbe deschise ce urmăresc liniile tensiunilor

la bornele laturilor lk ce formează bucla ( )bh a circuitului, relaţia (1.87) conduce la

( )

( )

A k

l b

u

k h

0, (1.88)

relaţie ce reprezintă teorema a doua a lui Kirchhoff: suma algebrică a tensiunilor la bornele

laturilor lk aparţinând buclei ( )bh a unui circuit este nulă.

Din modul de deducere al ecuaţiei (1.88) rezultă că semnul (+) se atribuie tensiunilor la

borne al căror sens de referinţă coincide cu cel al curbei şi semnul (-) celorlalte.

92

Observaţie

Teoremele lui Kirchhoff obţinute sub formele (1.86) şi (1.88) sunt independente de natura

elementelor de circuit şi de modul de variaţie în timp a tensiunilor şi curenţilor. Ele sunt

consecinţe ale structurii topologice (derivând din modul de interconexiune a elementelor de

circuit) a reţelei.

1.5.2 Teorema lui Tellegen

Aceasta este o teoremă generală, reprezentând o consecinţă directă a teoremelor lui

Kirchhoff.

Fiind date două regimuri oarecare de funcţionare ale unui circuit electric, notate cu (')

respectiv (''), curenţii şi tensiunile corespunzătoare, care verifică independent cele două

teoreme ale lui Kirchhoff, satisfac următoarele relaţii:

0ll iu

t (1.89)

şi

0llll iuiu

tt, (1.90)

unde ul este vectorul tensiunilor laturilor (porţilor) circuitului, iar il este vectorul intensităţilor

curenţilor laturilor (porţilor) circuitului.

Demonstrarea celor două relaţii se bazează pe proprietatea de ortogonalitate a matricelor de

incidenţă laturi-secţiuni şi laturi-bucle, ceea ce le conferă valabilitate atât pentru regimuri

diferite, produse de excitaţii sau condiţii iniţiale diferite, într-un acelaşi circuit, cât şi pentru

regimuri diferite ale unor circuite diferite, dar având aceeaşi structură topologică (acelaşi graf).

1.5.3. Teorema conservării puterilor

Pentru cazul particular când cele două regimuri se confundă, teorema lui Tellegen conduce

la următoarea relaţie între tensiunile şi curenţii porţilor, corespunzătoare unui regim oarecare al

unui circuit:

.t0 ll iu (1.91)

Relaţia (1.91) reprezintă teorema conservării puterilor instantanee. Dacă numărul total al

porţilor (elementelor) circuitului este np , relaţia (1.91) poate fi exprimată în forma:

,1 1

t

p pn

k

n

k

kkkll piuiu (1.92)

unde p u ik k k , reprezintă puterea instantanee primită prin poarta k a (elementului) circuitului,

când sensurile curentului şi tensiunii la bornele porţii sunt asociate după convenţia de la

receptoare.

Din (1.91) şi (1.92) rezultă expresia

u i pk k

k

n

k

k

np p

1 1

0, (1.93)

cu enunţul: suma algebrică a puterilor instantanee primite la porţile (bornele elementelor)

unui circuit este în fiecare moment nulă.

1.5.4. Teorema surselor ideale cu acţiune nulă (Vaschy)

a) Teorema surselor ideale de tensiune cu acţiune nulă: dacă se introduc în serie cu

fiecare element conectat într-un nod al unui circuit surse ideale de tensiune, având aceeaşi

93

t.e.m. şi orientate la fel faţă de nod (fig.1.30), tensiunile şi curenţii prin elementele circuitului

nu se modifică.

Demonstraţia teoremei este evidentă, căci introducerea surselor de tensiune nu schimbă

ecuaţiile lui Kirchhoff: prima nu se modifică, iar în a doua termenii noi care apar (e), se

anulează reciproc.

Aplicaţii ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea tensiunii iniţiale

a unui condensator (echivalentă cu o sursă de t.e.m.), anularea fluxului magnetic iniţial,

respectiv a curentului iniţial al unei bobine (condiţia iniţială nenulă fiind reprezentată printr-o

sursă echivalentă de tensiune).

Fig. 1.30. Referitor la teorema surselor ideale

independente de tensiune cu acţiune nulă.

Fig. 1.31. Referitor la teorema surselor ideale

independente de curent cu acţiune nulă.

b) Teorema surselor ideale de curent cu acţiune nulă: dacă în paralel cu fiecare element

(latură) de circuit ce formează un contur închis (bucla bh) se conectează câte o sursă ideală

de curent, orientată în sensul buclei şi având aceeaşi intensitate (fig.1.31), tensiunile şi

curenţii prin elementele circuitului nu se modifică.

Validitatea teoremei este evidentă, căci introducerea surselor de curent nu schimbă ecuaţiile

Kirchhoff: în prima termenii noi ( j ) care apar se anulează reciproc, iar a doua nu se modifică.

Aplicaţii ale teoremei: pasivizarea unei laturi (element) din circuit, anularea sarcinii electrice

iniţiale, respectiv a tensiunii iniţiale a unui condensator (condiţia iniţială nenulă fiind

reprezentată printr-o sursă echivalentă de curent), anularea curentului iniţial al unei bobine

(echivalent cu o sursă de curent).

94

CAPITOLUL 2

ANALIZA ASISTATĂ DE CALCULATOR A CIRCUITELOR ELECTRICE

2.1. NOŢIUNI DE TOPOLOGIA CIRCUITELOR ELECTRICE

Tensiunile şi curenţii laturilor oricărui circuit electric cu parametri concentraţi satisfac, în

principal, trei relaţii de bază: prima teoremă a lui Kirchhoff, a doua teoremă a lui Kirchhoff şi

relaţia caracteristică (constitutivă) a fiecărui element de circuit.

Teoremele lui Kirchhoff sunt relaţii algebrice liniare între tensiunile sau curenţii laturilor,

independente de caracteristicile elementelor de circuit, care depind în exclusivitate de modul de

interconectare a laturilor.

Analiza topologică a circuitelor electrice (sau pe scurt topologia circuitelor) se ocupă cu

acele proprietăţi ale circuitelor electrice liniare sau neliniare cu parametri concentraţi, care

depind numai de interconexiunea laturilor. Majoritatea circuitelor electrice cu parametri

concentraţi, liniare sau neliniare, pot fi modelate printr-o interconectare de elemente dipolare

cu caracteristici specificate. O descriere completă a unui model de circuit trebuie să conţină

următoarele informaţii:

a) modul în care sunt conectate laturile;

b) sensurile de referinţă ale curenţilor şi tensiunilor laturilor;

c) caracteristicile laturilor.

Un mod simplu şi natural de a obţine primele două informaţii, menţionate mai sus, este acela

prin care circuitului analizat i se asociază un graf orientat G (numit şi graf de conexiune al

circuitului) după următoarea regulă: fiecare element dipolar din circuit se înlocuieşte printr-un

arc de curbă, orientat în acelaşi sens cu sensul intensităţii curentului prin latură. În cele ce

urmează vom presupune că sensurile de referinţă ale tensiunilor laturilor circuitului coincid cu

cele ale intensităţilor curenţilor (regula de asociere a sensurilor de referinţă de la receptoare).

De exemplu, în figura 2.1,b se reprezintă graful orientat G, asociat circuitului electric din figura

2.1,a.

Fig. 2.1

În reprezentarea grafului mulţimea nodurilor circuitului este o mulţime de puncte, iar

mulţimea laturilor este o mulţime de arce de curbă. Prin conectarea arcelor la noduri se indică

relaţia binară a grafului.

Definiţia 2.1.1. Se numeşte graf orientat tripletul fNNLG ,, în care funcţia

f L N N: face ca fiecărui element din mulţimea L (L N) să-i corespundă o pereche şi

95

numai una din mulţimea perechilor ordonate N N de elemente ale unei mulţimi N (N N).

Mulţimea N (L) se numeşte mulţimea nodurilor (laturilor) grafului G. Elementele mulţimii N

(L) se numesc noduri (laturi) ale grafului.

Definiţia 2.1.2. Orice triplet G'n = (L', N, f1), cu L' L şi f f L1 ' , se numeşte subgraf

al grafului Gn = (L, N, f).

Definiţia 2.1.3. Punctele terminale ale unei laturi se numesc nodurile terminale ale laturii

respective.

Definiţia 2.1.4. Orice nod al unui graf care nu este nod terminal pentru nici o latură a

grafului se numeşte nod izolat al grafului (nodul n5 din fig.2.2).

Definiţia 2.1.5. O latură l care are ca nod terminal un nod n se numeşte latură incidentă

la nodul n. Latura l1 (fig.2.2) este incidentă la nodurile n1 şi n4.

Fig. 2.2

Definiţia 2.1.6. Numărul de laturi

incidente la un nod se numeşte gradul

nodului respectiv. De exemplu, nodul n2

(fig.2.2) are gradul 3. Un nod de grad 1 se

numeşte nod suspendat (n6), iar latura care

are un nod terminal poartă numele de

latură suspendată (l7).

Definiţia 2.1.7. Tripletul

fNNLS S ,, se numeşte subgraf al

grafului G dacă mulţimea laturilor sale LS

este conţinută în mulţimea L a grafului G.

Orice graf G este propriul său subgraf. În figura 2.3 sunt prezentate trei exemple de

subgrafuri S1, S2, S3 care sunt subgrafuri ale grafului din figura 2.2.

Fig. 2.3

Un subgraf S al unui graf G poate conţine numai o parte din nodurile grafului G; altfel spus

un subgraf S al unui graf G rămâne subgraf al lui G şi după ce se elimină nodurile sale izolate.

Definiţia 2.1.8. Două subgrafuri S1, S2 ale aceluiaşi graf G se numesc complementare (unul

altuia) dacă:

a) nu au nici o latură comună;

b) împreună conţin toate laturile şi toate nodurile grafului G.

Subgrafurile S1 şi S3 din figura 2.3 sunt subgrafuri complementare în graful G din figura 2.2.

Definiţia 2.1.9. Subgraful care conţine două noduri de gradul întâi, iar celelalte noduri ale

sale au toate gradul al doilea se numeşte cale (C). Nodurile de gradul întâi se numesc noduri

96

terminale ale căii. În cazul când toate laturile căii au acelaşi sens (în lungul căii) calea se

numeşte cale orientată.

Trebuie remarcat faptul că o cale este o curbă deschisă (un arc de curbă) care uneşte

nodurile ei terminale, fără să treacă de mai multe ori prin acelaşi nod al căii.

Definiţia 2.1.10. Un graf G care conţine cel puţin o cale între oricare două noduri ale sale

se numeşte graf conex. Un graf neconex conţine mai multe subgrafuri separate (care nu au

nici laturi şi nici noduri comune).

De exemplu graful reprezentat în figura 2.1,b este un graf conex. Graful din figura 2.4 este

un graf neconex cu două subgrafuri separate.

Fig. 2.4

Definiţia 2.1.11. Un subgraf conex care are

toate nodurile de gradul al doilea se numeşte

buclă. De exemplu, în graful din figura 2.2

subgraful 241 ,, lll formează o buclă cu trei

laturi. În cazul în care toate laturile unei

bucle au acelaşi sens în lungul buclei,

aceasta se numeşte buclă orientată

(subgraful 32 , ll din fig.2.2 formează o

buclă orientată).

O buclă care conţine o singură latură poartă numele de buclă proprie. În figura 2.2 latura l6

formează o buclă proprie.

Fig. 2.5

Trebuie remarcat faptul că o buclă este o curbă închisă alcătuită din laturi ale grafului, care

are proprietatea că poate fi parcursă trecând o singură dată prin fiecare nod al ei.

Definiţia 2.1.12. Un graf conex ce nu conţine nici o buclă se numeşte arbore. Un graf are

mai mulţi arbori. În figura 2.5 sunt prezentaţi trei arbori A1, A2 şi A3. Arborele A1 este un

arbore radial, iar arborele A2 este o cale. Laturile unui arbore se numesc ramuri.

Definiţia 2.1.13. Un arbore A se numeşte arbore al unui graf G (arbore de acoperire al

grafului G) dacă conţine toate nodurile grafului G. În cazul unui graf neconex se defineşte câte

un arbore pentru fiecare subgraf conex, iar reuniunea acestora numită pădure, caracterizează

graful neconex.

Se pot demonstra simplu următoarele teoreme:

Teorema 2.1.1. Orice arbore al unui graf G cu n noduri are n 1 laturi.

Teorema 2.1.2. Un graf G cu n noduri este arbore dacă şi numai dacă este satisfăcută una

din cele şase condiţii echivalente de mai jos:

a) G este conex şi nu conţine nici o buclă;

b) G are n 1 laturi şi nu conţine nici o buclă;

c) G este conex şi conţine n 1 laturi;

d) G este conex şi eliminând o latură a sa nu mai este conex;

97

e) Între oricare pereche de noduri graful G conţine o cale şi numai una;

f) G nu conţine nici o buclă şi adăugând o latură la G se generează o buclă şi numai una.

Definiţia 2.1.14. Un subgraf complementar C al unui arbore A al unui graf G se numeşte

coarbore al grafului G. Laturile unui coarbore se numesc coarde.

De exemplu, arborele 3211 ,, lllA al grafului G din figura 2.1,b are coarborele

6541 ,, lllC .

Notând cu r numărul de laturi ale unui arbore şi cu c numărul de laturi ale coarborelui său,

ţinând seama de teorema 2.1.1 şi de definiţia 2.1.8 rezultă relaţia:

r c l , (2.1)

în care

1 nr , (2.2)

deci

1 nlc . (2.3)

unde l este numărul de laturi ale grafului.

Definiţia 2.1.15. Fie un graf G şi un arbore A al acestuia. Suprafaţa de secţiune care

intersectează ramura rk a arborelui şi în rest numai coarde, se numeşte secţiunea ramurii rk şi

se notează kr

sau k . Sensul secţiunii este dat de sensul ramurii.

Definiţia 2.1.16. Sistemul de secţiuni rrrr ,...,,

21 corespunzătoare ramurilor rrrr ,...,, 21

ale unui arbore dintr-un graf se numeşte sistem fundamental de secţiuni ataşat arborelui A.

Definiţia 2.1.17. Fie un graf G şi un arbore A al acestuia. Bucla formată dintr-o coardă ck a

coarborelui complementar C şi în rest numai din ramuri se numeşte bucla coardei ck şi se

notează bck sau bk.. Sensul buclei este dat de sensul coardei.

Definiţia 2.1.18. Sistemul de bucle b b bc c cc1 2, , . . . , corespunzătoare coardelor c c cc1 2, , . . . ,

ale unui coarbore dintr-un graf se numeşte sistem fundamental de bucle ataşat coarborelui C.

În formularea pe calculator a ecuaţiilor corespunzătoare anumitor regimuri de funcţionare a

circuitelor electrice, un rol important îl are selectarea unui arbore în graful orientat G asociat

circuitului studiat, care să conţină anumite tipuri de elemente de circuit, numit arbore normal

(AN) sau de referinţă (AR) (pădure normală (PN) sau de referinţă (PR), pentru circuitele

neconexe).

2.2. MATRICELE DE INCIDENŢĂ ASOCIATE GRAFURILOR ORIENTATE

2.2.1. Matricea de incidenţă laturi-noduri

Un graf conex, orientat şi fără bucle proprii poate fi complet caracterizat prin matricea de

incidenţă laturi-noduri ljni

lnc jia

1;1A ale cărei elemente sunt coeficienţii de incidenţă ai

laturilor la noduri care, prin definiţie, au următoarele valori:

ji

j i

ji

l laturii al iesire) (de ialţini nodul este n nodul dacă 1,

l laturii al nod estenu n nodul dacă 0,

l laturii al intrare) (de terminalnodul este n nodul dacă 1,

jilna . (2.4)

Proprietatea 2.2.1. Coeficienţii oricărei linii ni (corespunzătoare nodului ni) a unei matrice

de incidenţă laturi-noduri pot fi deduşi din coeficienţii celorlalte linii ale matricei, deoarece

98

a an l n l

kk i

n

i j k j

1

, (2.5)

unde n - este numărul de noduri ale grafului conex. Această proprietate rezultă din faptul că, în

grafurile conexe şi fără bucle proprii, fiecare latură orientată este conectată la două noduri, cu

un coeficient de incidenţă +1 şi altul 1.

În consecinţă, suma coeficienţilor de incidenţă de pe fiecare coloană corespunzătoare unei

laturi lj oarecare este nulă:

an l

i

n

i j

1

0. (2.6)

În conformitate cu proprietatea 2.2.1 a matricei de incidenţă laturi-noduri, caracterizarea

completă a structurii unui graf conex, orientat şi fără bucle proprii, poate fi obţinută prin

matricea redusă de incidenţă laturi-noduri A, care prin definiţie se obţine din matricea de

incidenţă laturi-noduri Ac, eliminând linia corespunzătoare nodului n.

Matricele Ac şi A ale grafului conex, orientat şi fără bucle proprii G din figura 2.1,b au

următoarele structuri:

110 0 0 1

0 1 1 10 0

0 0 0 1 1 1

1 0 10 10

4

3

2

1

654321

n

n

n

n

llllll

cA,

0 1 1 10 0

0 0 0 1 1 1

1 0 10 10

3

2

1

654321

n

n

n

A

llllll

(2.7)

Proprietatea 2.2.2. Numărul de arbori na (egal cu numărul de coarbori nc ) al unui graf

conex G este dat de relaţia

tAA detca nn . (2.8)

Observaţia 2.2.1. Numărul arborilor na (egal cu numărul de coarbori nc ) dintr-un graf

conex G se poate determina şi cu relaţia

Edetan , (2.9)

unde matricea 1111

njnknn jk

eE are elementele diagonale, en nk k, egale cu numărul laturilor

incidente (conectate) la nodul nk şi cele nediagonale, e en n n nk j j k , egale cu () numărul

laturilor conectate între laturile nk şi nj (pentru kj). Se poate arăta uşor că t

AAE .

Teorema 2.2.1. Pentru un graf conex G, toate liniile matricei reduse de incidenţă laturi-

noduri, A, sunt liniar independente.

Corolarul 2.2.1. Ecuaţiile independente rezultate din aplicarea primei teoreme a lui

Kirchhoff în nodurile unui circuit conex C pot fi exprimate în următoarea formă matriceală:

0lAi , (2.10)

unde il reprezintă vectorul curenţilor laturilor circuitului C.

2.2.2. Matricea de incidenţă laturi-secţiuni

Fie un graf conex şi orientat G, un arbore A al acestuia şi un sistem de suprafeţe (de

secţiune) închise (fig.2.6), fiecare având sensul ramurii căreia îi este ataşată.

Matricea de incidenţă laturi-secţiuni se notează

99

ljnkl j

Q

1

11kq= (2.11)

şi are ca elemente coeficienţii de incidenţă ai laturilor la secţiuni, cu valorile

sens acelasi are si sectiune la incidenta este l latura daca 1,

sectiune la incidenta estenu l latura daca 0,

invers sens are si sectiune la incidenta este l latura daca 1,

j

j

j

jklq

Ca exemplu, se prezintă matricea de incidenţă laturi-secţiuni a grafului conex din figura 2.6,

în care laturile arborelui (ramurile) s-au desenat cu linie îngroşată:

Fig. 2.6

11 0 0 0 110

10 1 1 0 0 0 0

0 0 10 1 10 0

0 0 0 0 0 1 1 1

7

5

4

1

87654321

Q

llllllll

Trebuie remarcat faptul că dacă laturile grafului se numerotează în ordinea ramuri, coarde,

atunci prima parte a matricei (alcătuită din primele r coloane corespunzătoare ramurilor) este o

matrice unitate. Deci, utilizând această convenţie de notare, orice matrice de incidenţă laturi-

secţiuni poate fi adusă la forma normală

DQ rr1 , (2.12)

unde prima parte rr1 (matricea unitate de dimensiunea rr ) este partea neesenţială a

matricei Q, iar a doua parte, esenţială, numită matricea incidenţelor esenţiale coarde-ramuri

(matricea de incidenţă a coardelor la suprafeţele de secţiune ataşate ramurilor), se notează cu

D. Pentru graful orientat din figura 2.6 avem:

Ramuri

7541 llll Coarde

8632 llll Coarde

8632 llll

10 111000

11 0 0 0100

0 110 0010

0 0 1 1 0001

7

5

4

1

Q ;

10 11

11 0 0

0 110

0 0 1 1

7

5

4

1

D . (2.13)

Proprietatea 2.2.5. Numărul de arbori na (egal cu numărul de coarbori nc ) dintr-un graf

conex G este dat de relaţia

tQQnn ca det . (2.14)

Observaţia 2.2.2. Numărul arborilor na (egal cu numărul de coarbori nc ) dintr-un graf

conex G se poate determina şi cu relaţia

100

Hna det , (2.15)

unde matricea 1111

njnkjk

hH are elementele diagonale hk k egale cu numărul laturilor

ce intersectează suprafaţa de secţiune k şi elementele nediagonale, egale cu numărul laturilor

,1

,0

,1

jki

jki

jki

l

l

l

l

c i

jk

Fig. 2.7

comune celor două suprafeţe

jki

i

kjkjjkl

lchh (pentru k j),

iar coeficienţii ck j

il au valorile 1, 0, 1, conform

figurii 2.7.

Se poate arăta că tQQH .

Corolarul 2.2.2. Ecuaţiile independente rezultate din aplicarea primei teoreme a lui

Kirchhoff generalizată pe un set de n1 secţiuni independente ale grafului de conexiune G

asociat unui circuit electric conex oarecare C, se pot exprima în următoarea formă matriceală

0.liQ (2.16)

2.2.3. Matricea de incidenţă laturi-bucle

Matricea de incidenţă laturi-bucle a unui graf conex G se notează

ljbhlb jh

bB

11 (2.17)

şi are ca elemente coeficienţii de incidenţă a laturilor grafului la buclele unui sistem

fundamental de bucle al grafului.

Coeficienţii de incidenţă a laturilor la bucle se notează bb lh j şi au valorile: 1, 0, +1, după

cum latura l j aparţine buclei bh şi are sensul de referinţă opus sensului de referinţă al buclei; nu

aparţine buclei bh; respectiv aparţine buclei bh şi are sensul de referinţă orientat în sensul de

referinţă al buclei.

De exemplu, în figura 2.8 se prezintă un graf conex G, un arbore (l1, l3, l6), coarborele

complementar al acestuia (l2, l4, l5, l7, l8) şi buclele ataşate coardelor (b2, b4, b5, b7, b8).

Fig. 2.8

Matricea de incidenţă laturi-bucle

corespunzătoare sistemului fundamental de

bucle ataşat coarborelui este

1 0 1 0 0 1 0 0

0 1 10 0 0 0 0

0 0 11 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1

8

7

5

4

2

87654321

l

l

l

l

l

b

b

b

b

b

B

llllllll

101

Prin partiţionarea laturilor grafului în ordinea coarde - ramuri, prima parte a matricei de

incidenţă laturi-bucle este matricea unitate (partea neesenţială a matricei B), iar a doua parte

(cea esenţială) este transpusa cu semn schimbat a matricei incidenţelor esenţiale.

Ca exemplu se foloseşte graful din figura 2.6, al cărui sistem de bucle ataşate coardelor este

prezentat în figura 2.9. Se obţine următoarea matrice laturi – bucle:

Fig. 2.9

1 1 0 0 1 0 0 0

0 1- 1 0 0 1 0 0

1 0 1 1- 0 0 1 0

1 0 0 1-0 0 0 1

8

6

3

2

75418632

b

b

b

b

B

llllllll

Dacă se compară partea esenţială a matricei B cu matricea D din relaţia (2.13) se rezultă că:

. t

DB cc 1 . (2.18)

Proprietatea 2.2.7. Numărul de coarbori nc (egal cu numărul de arbori na) dintr-un graf

conex G este dat de relaţia

tBBnn ac det . (2.19)

Observaţia 2.2.3. Numărul coarborilor nc (egal cu numărul de arbori na) dintr-un graf

conex G se poate determina şi cu relaţia

Fnn ac det , (2.20)

,1

,0

,1

hjk

hjk

hjk

l

bb

bbl

bbl

bbl

c k

hj

Fig. 2.10

unde matricea bhbjbb hj

fF

11 are elementele

diagonale fb bj j egale cu numărul laturilor ce

formează bucla bj şi elementele nediagonale egale cu

numărul laturilor comune buclelor bj şi bh

hjk

k

hjjhhjbbl

l

bbbbbb cff (pentru jh).

Coeficienţii cb bl

j h

k au valorile -1, 0, 1 conform figurii

2.10. Se poate arăta că t

BBF .

Ecuaţiile independente obţinute cu teorema a doua a lui Kirchhoff aplicată pe un set

fundamental de bucle din graful de conexiune G al unui circuit electric oarecare C, se pot scrie

în următoarea formă compactă:

0luB . (2.21)

2.3. RELAŢII ÎNTRE MATRICELE DE INCIDENŢĂ

Proprietatea 2.3.1. Proprietatea de bază a matricelor de incidenţă laturi-bucle şi laturi-

secţiuni ale unui graf conex G dat, este aceea că aceste matrice satisfac relaţiile:

0 tBQ , (2.22)

102

0 tQB . (2.23)

Proprietatea 2.3.1 (numită şi proprietatea fundamentală a matricelor de incidenţă laturi-

bucle şi laturi-secţiuni) este valabilă indiferent de sistemul de secţiuni fundamentale şi oricare ar

fi sistemul fundamental de bucle ale unui graf conex.

Proprietatea 2.3.2. Matricele de incidenţă laturi-noduri şi laturi-bucle ale unui graf conex G

dat satisfac relaţiile:

0 tBA , (2.24)

0 tAB . (2.25)

Matricele care satisfac relaţiile (2.22), (2.23), respectiv (2.24) şi (2.25) se numesc matrice

ortogonale, iar proprietatea respectivă - proprietatea de ortogonalitate.

2.4. FORMULAREA MATRICEALĂ A ECUAŢIILOR CIRCUITULUI

2.4.1. Metoda curenţilor coardelor şi metoda tensiunilor ramurilor

Teoremele lui Kirchhoff impun restricţii asupra curenţilor şi tensiunilor laturilor unui circuit

electric cu parametri concentraţi. Datorită acestor restricţii, numărul curenţilor independenţi ai

laturilor circuitului şi numărul tensiunilor independente ale laturilor circuitului sunt mai mici. În

cele ce urmează se vor prezenta câteva relaţii de bază între variabilele de latură.

Fie un circuit electric conex C cu n noduri şi l laturi. Se selectează un arbore A şi coarborele

său complementar C şi se ordonează laturile circuitului C în ordinea: ramuri - coarde.

Din prima teoremă a lui Kirchhoff, rezultă:

crcr

c

r

rr DiiDiii

iDQi

01l , (2.26)

ceea ce arată că între curenţii ramurilor şi cei ai coardelor există o dependenţă liniară.

Dacă laturile circuitului se partiţionează în ordinea coarde – ramuri, a doua teoremă a lui

Kirchhoff conduce la relaţia:

rcrc

r

ccc uDuuDu

u

uDBu

t

tt 01l (2.27)

adică tensiunile coardelor se pot exprima, printr-o dependenţă liniară, în funcţie de tensiunile

ramurilor.

Observaţii:

1. Notând cu ib vectorul (b1) al curenţilor de buclă asociaţi celor b bucle independente, b =

ln+1, curenţii laturilor circuitului se pot exprima în funcţie de curenţii de bucle cu relaţia

bl iBit (2.28)

2. Dacă se alege potenţialul electric al nodului nn ca potenţial de referinţă ( 0nv ) şi

celorlalte noduri li se atribuie, în ordine, potenţialele 1121 ,...,, nn vvvvt

, atunci tensiunile

laturilor se pot exprima în funcţie de aceste potenţiale cu relaţia:

1 nl vAut . (2.29)

103

2.4.2. Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Pentru circuitele reciproce (fără surse comandate), luând în considerare structura laturii

standard prezentată în figura 2.11, formularea matriceală a teoremelor lui Kirchhoff şi a

ecuaţiilor caracteristice (constitutive) ale laturilor conduce la ecuaţiile

Fig. 2.11

0liA (2.30)

0luB (2.31)

lllll ejiRu )( (2.32)

sau

lllll jeuGi )( . (2.33)

Cele 2l ecuaţii (2.30), (2.31) şi (2.32) (sau

(2.33)) determină în mod univoc curenţii şi

tensiunile laturilor circuitului, dacă se dau valorile

rezistenţelor laturilor, ale t.e.m. ale surselor de

tensiune şi ale intensităţilor curenţilor surselor de

curent.

Înlocuind relaţia (2.32) în (2.31) şi cuplând apoi cu (2.30) se obţine forma matriceală a

ecuaţiilor circuitului în curenţii laturilor:

lll

l

l jBRBEi

RB

A 0, (2.34)

unde A (B) este matricea (n-1)l (bl) de incidenţă redusă laturi - noduri (laturi - bucle), il

(ul) este vectorul (l1) al curenţilor (tensiunilor) laturilor circuitului, Rl este matricea diagonală

(ll) a rezistenţelor laturilor circuitului, iar el (jl) este vectorul (l1) al t.e.m. (curenţilor)

surselor independente de tensiune (curent).

Sistemul de ecuaţii (2.34) se rezolvă în raport cu vectorul curenţilor laturilor il, apoi cu

ecuaţiile (2.32) se determină tensiunile la bornele laturilor.

2.4.3. Metoda curenţilor de buclă

Metoda introduce ca variabile independente curenţii de bucle, în număr de ln+1. Aceste

variabile sunt introduse în condiţia satisfacerii primei teoreme a lui Kirchhoff şi sunt calculate

cu ajutorul celei de-a doua teoreme. Pentru latura reprezentată în figura 2.11, plecând de la

(2.31), folosind (2.32) şi apoi (2.28) rezultă:

)( )( tlllbllllll jReBiBBRBejiBRuB 0 0 , (2.35)

sau

,bbb eiR (2.36)

cu

tBBRR lb (2.37)

şi

),( lllb jReBe (2.38)

unde matricea Rb de dimensiune (bb) este matricea rezistenţelor proprii ale buclelor, iar eb de

dimensiune (b1), este vectorul t.e.m. ale buclelor.

104

Rezolvând ecuaţia matriceală a curenţilor de buclă (2.36) se obţine vectorul

necunoscutelor curenţi de bucle, cu ajutorul cărora, aplicând relaţia (2.28), se determină

curenţii din laturile circuitului.

Pentru o latură fără sursă de curent, ecuaţia matriceală capătă forma

,tlbl eBiBRB (2.39)

unde

bl eeB . (2.40)

Utilizând apoi relaţia (2.32) se poate calcula vectorul necunoscutelor tensiuni la bornele

laturilor circuitului.

2.4.4. Metoda potenţialelor nodurilor

Pentru formularea matriceală a metodei potenţialelor nodurilor în cazul circuitelor

reciproce, folosind latura standard din figura 2.11, se alege un nod de referinţă cu potenţial

zero, iar celorlalte n1 noduri li se atribuie potenţialele necunoscute V1, V2, ...,Vn-1. Acestea

sunt noile variabile independente ale metodei. Ele se introduc astfel încât să satisfacă teorema a

doua a lui Kirchhoff şi se calculează aplicând prima teoremă. Pentru latura reprezentată în

figura 2.11, plecând de la (2.30), folosind (2.33) şi apoi (2.29) rezultă:

)( )( 1t

lllnllllll jeGAvAAGAjeuAGiA 0 0 , (2.41)

sau

,111 nnn jvG (2.42)

unde

t1 AAGG ln (2.43)

este matricea admitanţelor nodale, de ordin (n1)(n1) ( 1 ll RG - reprezintă matricea

pătrată (ll) a conductanţelor laturilor (se presupune Rl nesingulară)),şi

)(1 llln jeGAj (2.44)

este vectorul curenţilor injectaţi în noduri de sursele din laturile incidente în aceste noduri.

Rezolvând ecuaţia matriceală a potenţialelor nodurilor (2.42) se obţine vectorul

necunoscutelor potenţiale ale nodurilor, cu ajutorul cărora, aplicând relaţia (2.29), se determină

tensiunile laturilor circuitului.

Vectorul curenţilor laturilor se pot determina apoi din relaţia (2.33).

Sub forma prezentată mai sus, metoda nu permite rezolvarea matriceală a circuitelor cu

laturi alcătuite din surse ideale independente de tensiune, pentru care Rl = 0, deci produsul

Glel, reprezentând curentul de scurtcircuit al sursei, este infinit. Limitele metodei sunt depăşite

în această situaţie de metoda nodală modificată.

105

CAPITOLUL 3

CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

3.1. INTRODUCERE

Circuitele de curent continuu (c.c.) sunt circuite care conţin rezistoare dipol, multipol (n -

pol), rezistoare multiport (n -port) şi surse independente de tensiune şi de curent constante în

timp. În categoria rezistoarelor multipol şi multiport sunt incluse elemente ideale de circuit

precum gyratoarele, sursele comandate, tranzistoarele şi amplificatoarele operaţionale

modelate prin circuite de c.c.

Un circuit de c.c. este liniar dacă, după pasivizarea surselor independente, el conţine numai

rezistoare dipol, multipol şi/sau multiport liniare (având relaţia între tensiunile şi curenţii

bornelor sau porţilor exprimată prin ecuaţii liniare) şi este neliniar dacă, după pasivizarea

surselor independente, conţine cel puţin un rezistor neliniar.

În teoria circuitelor electrice, circuitele de c.c. au un rol fundamental, deoarece:

- sunt utilizate în modelarea multor probleme inginereşti;

- analiza circuitelor nerezistive - invariabile sau variabile în timp (parametrice) - în regim

dinamic se reduce, după substituirea tuturor bobinelor şi condensatoarelor cu modele discrete

de circuit asociate unui algoritm implicit de integrare, la analiza, la fiecare pas de timp, a unui

şir de circuite rezistive (liniare sau neliniare) asociate algoritmului ales.

Observaţii

1. Un circuit rezistiv (în care sursele independente pot fi variabile în timp) poate fi complet

rezolvat, având soluţie unică, dacă teoremele lui Kirchhoff şi ecuaţiile constitutive ale laturilor

sunt simultan satisfăcute de un set unic de tensiuni la bornele laturilor tutu l,...,1 şi un set

unic de curenţi de laturi titi l,...,1 , pentru orice t, cu condiţia ca circuitul să nu conţină bucle

formate numai din surse ideale de tensiune şi/sau secţiuni alcătuite numai din surse ideale de

curent (numită condiţia de existenţă şi unicitate a soluţiei unui circuit electric).

2. Circuitele electrice rezistive pot fi studiate atât în regim de curent continuu, cât şi în

regimuri variabile (cazul particular sinusoidal). Un circuit care conţine toate tipurile de

elemente de circuit pasive, dar ale cărui mărimi de excitaţie (surse de tensiune şi/sau surse de

curent) sunt invariabile în timp, este un circuit rezistiv, deoarece bobinele şi condensatoarele în

curent continuu nu intervin prin parametrii lor caracteristici, având un comportament

particular:

- dacă curentul ce parcurge bobina este continuu (constant) i IL pentru t ,

ecuaţia caracteristică a bobinei devine u L i tL L d d/ 0, deci bobina se comportă în curent

continuu ca un scurtcircuit ( );R 0

- dacă tensiunea la bornele condesatorului este continuă (constantă) u UC pentru

t , ecuaţia caracteristică a condensatorului devine i C u tC C d d/ 0, deci

condensatorul se comportă ca o latură deschisă ( ).R

3. În regim de curent continuu bobina şi condensatorul acumulează însă energie:

- din ecuaţia i t I ctL( ) . rezultă că bobina parcursă de curentul I acumulează energia

magnetică constantă în timp W LIm 2 2/ ;

- din ecuaţia u t U ctC( ) . rezultă că sub tensiune constantă la borne condensatorul

acumulează energie electrică constantă în timp W CUe 2 2/ .

106

3.2. RELAŢII DE BAZĂ ALE CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE LINIARE

O categorie importantă de circuite electrice sunt circuitele rezistive liniare care funcţionează

în regim de curent continuu. Ele sunt importante atât pentru aplicaţiile tehnice în care intervin

cât şi pentru facilităţile pe care le oferă introducerii metodelor de analiză ale teoriei circuitelor

electrice.

Studiul circuitelor rezistive liniare în curent continuu oferă posibilitatea introducerii

conceptelor de echivalenţă şi modelare, care vor fi apoi utilizate pentru simplificarea analizei

circuitelor complexe.

În continuare sunt prezentate cele mai importante relaţii şi teoreme ale circuitelor de curent

continuu.

3.2.1. Legea lui Ohm generalizată

Forma integrală a legii conducţiei electrice pentru o porţiune neramificată de conductor, a

cărei reprezentare cu parametri concentraţi este dată în figura 3.1, este

Fig. 3.1

U E RI , (3.1)

unde U este tensiunea la bornele laturii, I

curentul care o parcurge, R rezistenţa

electrică a laturii, iar E - t.e.m. a sursei

independente de tensiune din latură.

După cum se observă, sensurile de referinţă ale tensiunii la borne şi curentului sunt asociate

după convenţia de la receptoare.

Relaţia (3.1) poate fi scrisă sub forma:

U RI E , (3.2)

sau

I GU GE , (3.3)

cunoscute sub numele de ecuaţiile caracteristice U I( ) respectiv I U( ) ale laturii.

3.2.2. Teoremele lui Kirchhoff

Rezolvarea circuitelor electrice de curent continuu constă în determinarea valorilor

intensităţilor curenţilor din laturi şi a tensiunilor la bornele acestora, când se cunosc rezistenţele

laturilor, t.e.m. ale surselor independente de tensiune sau intensităţile surselor independente de

curent şi parametrii surselor comandate. Cum între tensiunea şi curentul unei laturi există

relaţia (3.2) - excepţie fac laturile cu sursă de curent - rezolvarea acestor circuite revine, în

ultimă instanţă, la rezolvarea unui sistem de l ecuaţii pentru determinarea curenţilor din laturile

circuitului, aleşi ca necunoscute fundamentale.

Pentru un circuit cu l laturi, conţinând numai rezistoare, surse de tensiune independente şi

surse de tensiune comandate (ambele tipuri putând fi ideale sau nu), deci un circuit de tipul (R,

E, Ec), numărul de necunoscute curenţi de laturi este egal cu l.

Pentru circuite conţinînd în plus faţă de elementele de mai sus, surse independente şi

comandate de curent (care impun curentul în latură), deci în cazul general, pentru circuite de

tipul (R, E, Ec, J, Jc), numărul minim de necunoscute reprezentând curenţi de laturi, este

l l lJ Jc , unde lJ şi lJc reprezintă numărul laturilor cu surse independente, respectiv

comandate de curent.

Prima teoremă a lui Kirchhoff. Legea conservării sarcinii electrice în curent continuu

capătă forma

107

.1-,1= ,0)(

)( njI

jnkl

kA

(3.4)

Pentru un circuit cu un număr total n de noduri, se pot scrie n1 ecuaţii independente, de

forma relaţiei (3.4), în tot atâtea noduri.

A doua teoremă a lui Kirchhoff are forma

( )

( )

, ,A k

lk bh

U h b

0 1 = , (3.5)

numită forma în tensiuni a teoremei a doua a lui Kirchhoff. Această relaţie poate fi aplicată în

b = ln+1 bucle independente ale circuitului.

Cu ajutorul ecuaţiei caracteristice a laturii sub forma (3.2), ecuaţia (3.5) poate fi scrisă ca

( )

( )

( )

( )

, , ,A k k

lk bh

A k

lk bh

R I E h b

1 (3.6)

numită forma în curenţi a teoremei a doua a lui Kirchhoff şi având enunţul:

Suma algebrică a căderilor de tensiune pe laturile lk aparţinând buclei bh a unui circuit

este egală cu suma algebrică a t.e.m. din laturile buclei.

Se consideră pozitivi termenii R Ik k şi Ek în cazul când sensul curentului Ik, respectiv al

t.e.m. Ek, coincide cu sensul convenţional de parcurgere a buclei.

Relaţiile (3.4) şi (3.6) conduc la un sistem de ecuaţii în necunoscute curenţi de laturi.

Prelucrând relaţia (3.4) în funcţie de relaţia (3.3), se obţine forma în tensiuni a primei

teoreme a lui Kirchhoff

( )

( )

( )

( )

A

lk n j

k k A k k

lk n j

G U G E

. (3.7)

Termenii pozitivi din sumele algebrice corespund tensiunilor Uk respectiv surselor Ek ce

''ies'' din nodul (nj).

Relaţiile (3.5) împreună cu relaţiile (3.7), formează un sistem de ecuaţii în care

necunoscutele sunt tensiunile la bornele laturilor.

Dacă circuitul conţine şi surse de tensiune comandate, relaţia (3.6) devine

1 ,,1 ,)()()(

)()()(

nlbbhEEIRhkhkhk bl

ck

bl

k

bl

kk AAA , (3.8)

iar t.e.m. ale surselor comandate (Eck) se exprimă prin ecuaţiile de comandă prelucrate în

funcţie de necunoscutele curenţi de laturi. În cazul circuitelor care conţin şi surse de curent

independente şi/sau comandate, numărul de necunoscute curenţi de laturi este llJ. Acestea se

obţin prin rezolvarea unui sistem de ecuaţii obţinut prin aplicarea primei teoreme a lui

Kirchhoff în n1noduri independente şi a celei de-a doua ecuaţii într-un număr de bucle

independente redus la br= ln+1 (lJ+lJc), unde lJ reprezintă numărul de laturi cu surse de

curent independente, iar lJc reprezintă numărul de laturi cu surse de curent comandate. Acestui

sistem i se adaugă ecuaţiile de comandă ale surselor comandate prelucrate în funcţie de

necunoscutele curenţi de laturi.

Observaţii

1. Pentru a se obţine numărul de bucle br, deci pentru a se obţine un număr redus de ecuaţii

ale sistemului, este necesară o alegere corespunzătoare a buclelor independente, astfel încât

nici una din ele să nu treacă prin laturi cu surse independente şi/sau comandate de curent. În

caz contrar, numărul de necunoscute ale sistemului va fi l lJc , din care l lJ vor fi

108

necunoscute curenţi de laturi, iar restul de l lJ Jc vor fi necunoscutele tensiuni la bornele

surselor independente şi/sau comandate de curent, ecuaţia generală, corespunzătoare celei de-a

doua teoreme a lui Kirchhoff fiind exprimată cu relaţia:

.,1= , + + )()()()()(

)()()()()( bhEEUUIR ck

hb

kl

k

hb

kl

ckJ

hb

kl

kJ

hb

kl

kk

hb

kl

AAAAA

(3.9)

2. Este evident că alegerea unui număr redus de bucle br prezintă avantajul obţinerii unui

sistem redus de ecuaţii, deci a reducerii efortului de calcul; pe de altă parte relaţia (3.9) permite

scrierea sistematică a sistemului de ecuaţii;

3. Odată calculaţi curenţii din laturi, tensiunile la bornele laturilor se pot determina în modul

următor:

- pentru laturile fără surse de curent se aplică ecuaţia caracteristică (2.2) sau teorema a doua

a lui Kirchhoff;

- pentru laturile formate din surse independente sau comandate de curent, numai cu ajutorul

teoremei a doua a lui Kirchhoff;

4. Dacă circuitul conţine şi surse de curent, atunci ecuaţia (3.7) devine:

( )

( )

,A k k n

l n

G U Jj

k j

(3.10)

unde

J I I G E Jn A

lk n j

scE

A

lk n j

scJ

A

lk n j

k k A

lk n j

kj

k k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(3.11)

este curentul de scurtcircuit injectat în nodul n j .

Algoritmul de aplicare al metodei teoremelor lui Kirchhoff

Pasul 1. Se determină numărul nodurilor şi al laturilor circuitului;

Pasul 2. Se aleg sensuri de referinţă şi se ataşează simboluri pentru intensităţile curenţilor

din laturi;

Pasul 3. Se calculează numărul redus de bucle ale circuitului şi se aleg aceste bucle

stabilindu-se un sens de parcurgere pentru fiecare;

Pasul 4. Se scriu ecuaţiile corespunzătoare primei teoreme a lui Kirchhoff în (n1) noduri

independente şi ecuaţiile corespunzătoare celei de-a doua teoreme pe cele JcJr llnlb 1

bucle independente;

Pasul 5. Se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut prin completarea celui de la pasul 4 cu

ecuaţiile de comandă ale surselor de curent şi de tensiune comandate, prelucrate în funcţie de

curenţii laturilor, determinându-se intensităţile curenţilor din laturi;

Pasul 6. Se validează rezultatul cu ajutorul bilanţului puterilor.

3.2.3. Metoda curenţilor de buclă

Pentru circuitele de mari dimensiuni, sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea teoremelor lui

Kirchhoff, fie în varianta hibridă cu l necunoscute, fie în varianta cu număr redus la llJ

necunoscute, poate fi de dimensiuni prea mari. Apare deci necesitatea utilizării unor metode

alternative de analiză a circuitelor electrice, care să reducă numărul ecuaţiilor ce descriu

funcţionarea circuitului, respectiv numărul variabilelor independente.

Una din aceste metode este metoda curenţilor de buclă, care asociază circuitului un nou set

de necunoscute - curenţii de bucle Ib, în număr de ln+1, introduse astfel încât să verifice

prima teoremă a lui Kirchhoff. Prin urmare, curenţii laturilor se exprimă ca sumă algebrică a

109

curenţilor de buclă ce trec prin latura respectivă (Fig. 3.2):

Fig. 3.2

I Ik A bg

b lg k

( )

( )

. (3.12)

Noile necunoscute se determină cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff sub forma

obţinută prin prelucrarea relaţiei (3.6), în funcţie de (3.12). Se obţine forma compactă a

ecuaţiilor circuitului în necunoscute curenţi de bucle:

,,1 ş ,1 ,1

)( bhnlbEIRb

g

bhbghgA

i (3.13)

unde:

- R Rhh k

l bk h

reprezintă rezistenţa proprie a buclei h, egală cu suma rezistenţelor Rk ale

laturilor ce compun bucla, Rhh > 0;

- R Rhg k

lk bh bg

( )

reprezintă rezistenţa mutuală dintre bucla h (în care se scrie teorema a

doua a lui Kirchhoff) şi bucla g, egală cu suma algebrică a rezistenţelor laturilor comune celor

două bucle; ea este pozitivă sau negativă, după cum sensurile celor două bucle coincid sau nu

prin laturile comune;

- E Ebh A k

l bk h

( ) reprezintă t.e.m. a buclei bh, egală cu suma algebrică a t.e.m. ale surselor

independente şi/sau comandate de tensiune din laturile buclei (Ek are semnul (+) dacă sensul ei

coincide cu cel al buclei bh).

Dacă în circuit există surse de tensiune şi/sau de curent comandate, sistemul de ecuaţii

(3.13) se completează cu ecuaţiile de comandă exprimate în funcţie de necunoscutele metodei,

Ibg.

Numărul de variabile independente introdus de metoda curenţilor de buclă este b =

ln+1. Pentru circuitele fără surse de curent aceste necunoscute se determină prin rezolvarea

sistemului (3.13).

În cazul când circuitul conţine surse de curent independente şi/sau comandate, unor

variabile li se pot atribui valorile curenţilor acestor surse. Pentru aceasta, asocierea variabilelor

Ib cu cele ln+1 bucle independente ale circuitului se face astfel încât prin fiecare latură cu

sursă de curent J sau Jc să treacă un singur curent de buclă şi numai unul; vom numi aceste

bucle – bucle de curent. Conform relaţiei (3.12) acest curent de buclă va avea valoarea

curentului sursei:

,= , Jkbk lkJI 1 şi/sau ,= , Jccjbj ljJI 1 . (3.14)

Pentru restul variabilelor, în număr de JcJ llnl 1 , se aplică relaţia (3.13) într-un

număr redus de bucle, deci .,1 rbh Sistemului obţinut din ecuaţiile (3.13) şi (3.14) i se

adaugă ecuaţiile de comandă ale surselor comandate, exprimate în funcţie de necunoscutele

metodei, Ibg.

110

Observaţie

Pentru circuitele care conţin surse de curent independente J şi/sau comandate Jc, metoda

curenţilor de buclă permite o reducere a numărului de ecuaţii ale sistemului (3.13) cu numărul

total al acestor surse de curent, în condiţiile alegerii corespunzătoare a buclelor de curent.

Algoritmul de aplicare al metodei curenţilor de buclă

Pasul 1. Se determină numărul de noduri, numărul de laturi şi numărul surselor de curent ;

Pasul 2. Se determină numărul variabilelor independente introduse de metodă: ln+1;

Pasul 3. Se aleg (lJ+lJc) bucle de curent care să conţină câte o singură sursă de curent

independentă sau comandată şi li se ataşează câte un curent de buclă al cărui sens va fi acelaşi

cu al sursei de curent; curenţii acestor bucle vor fi exprimaţi cu relaţiile (3.14);

Pasul 4. Pentru restul de bucle independente, în număr redus la JcJr llnlb 1 , se

atribuie tot atâtea variabile curenţi de buclă cu sensuri oarecare, fiecare reprezentând şi sensul

de parcurgere al buclei respective;

Pasul 5. Se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff în aceste bucle, ţinând seama că în

membrul stâng al ecuaţiei (3.13) pot apare căderi de tensiune determinate de variabile

exprimate cu relaţiile (3.14);

Pasul 6. Se ataşează sistemului obţinut cu ecuaţiile (3.13) şi (3.14) ecuaţiile de comandă ale

surselor comandate, exprimate în funcţie de variabilele metodei;

Pasul 7. Se rezolvă sistemul astfel obţinut în variabile curenţi de buclă;

Pasul 8. Se determină curenţii laturilor cu ecuaţia (3.12);

Pasul 9. Tensiunile la bornele laturilor se determină cu ecuaţia caracteristică U(I).

Pasul 10. Se verifică bilanţul puterilor.

3.2.4. Metoda potenţialelor nodurilor

Această metodă asociază circuitului setul de necunoscute potenţiale ale nodurilor, Vn-1, în

număr de n1, introduse astfel încât să satisfacă a doua teoremă a lui Kirchhoff. Prin urmare,

tensiunile laturilor se exprimă ca sumă algebrică a potenţialelor adiacente laturii respective (fig.

3.3) :

Fig. 3.3

U Vk A j

n lj k

( ) .( )

(3.15)

Unul din cele n noduri ale circuitului este

ales ca nod de referinţă, având potenţialul nul.

Noile necunoscute se determină cu ajutorul

primei teoreme a lui Kirchhoff sub forma

obţinută prin substituirea relaţiei (3.15)

în (3.7), reprezentând forma compactă a ecuaţiilor circuitului în variabile potenţiale la

noduri:

1,1 , 1

1

niJVG ni

n

j

jij , (3.16)

unde:

- G Gii k

lk ni

reprezintă conductanţa proprie a nodului ni (în care se scrie prima teoremă a

lui Kirchhoff), egală cu suma conductanţelor laturilor incidente în acest nod, Gii> 0;

111

- G Gij k

lk n ni j

( )

reprezintă conductanţa mutuală dintre nodurile ni şi nj, egală cu suma cu

semn schimbat a conductanţelor laturilor conectate în paralel între cele două noduri,Gij< 0;

- J Jni A

l n

sck

k i

( ) reprezintă curentul de scurtcircuit injectat în nodul ni, egal cu suma

algebrică a curenţilor de scurtcircuit ai surselor din laturile incidente în acest nod: pentru

sursele de tensiune Jsck = EkGk, iar pentru sursele de curent Jsck = Jk. În suma algebrică se iau cu

semnul (+) curenţii Jsck ai surselor ce ''ies'' din nod şi cu () ai celor ce ''intră''.

Dacă circuitul conţine surse de tensiune şi/sau de curent comandate, sistemul de ecuaţii

(3.16) se completează cu ecuaţiile de comandă exprimate în funcţie de necunoscutele metodei,

Vj.

Numărul de variabile independente introdus de această metodă este n1.

Pentru circuitele fără surse ideale de tensiune independente sau comandate Ei, respectiv Eci ,

necunoscutele potenţiale la noduri se determină rezolvând sistemul (3.16) format din n1

ecuaţii independente.

În cazul circuitelor care conţin surse ideale de tensiune, potenţialele nodurilor i şi j la care

este conectată o astfel de latură (Fig. 3.4,a şi 3.4,b), se exprimă cu relaţia (3.17), respectiv

(3.18) – laturi necompatibile cu metoda nodală.

Fig. 3.4

U V V Ek i ji (3.17)

U V V Ek i j ci , (3.18)

de unde:

V E Vji

i (3.19)

V E Vj ci

i . (3.20)

Rezultă deci că pentru ( )l lE Ei

ci necunoscute se pot formula ecuaţii de tipul

; ,1 ,)()( iEki

i

kkj lkVEV .,1 , )()( icEpi

i

cppj lpVEV (3.21)

Pentru restul necunoscutelor ar trebui să se aplice ecuaţiile (3.16) într-un număr redus de

noduri, nr = n1( )l lE Ei

ci , deci i nr 1, .

Observaţii

1. Ecuaţia (3.16) nu se poate aplica într-un nod în care este incidentă o latură cu sursă

ideală de tensiune, deoarece curentul de scurtcircuit al acestei surse este infinit (rezistenţa ei

internă este zero). În acest caz se poate recurge la următoarea tehnică: se alege o suprafaţă

închisă , care să cuprindă în interior latura ij ce conţine sursa ideală de tensiune, sau, dacă

este cazul, toate laturile conectate în paralel între nodurile i şi j, pe care se scrie apoi prima

112

teoremă a lui Kirchhoff. Se aplică apoi sistemul (3.16) în nr = n1( )l lE Ei

ci noduri şi

suprafeţe , adică pentru i nr 1, .

2. Rezultă că pentru circuitele care conţin surse ideale de tensiune independente şi/sau

comandate, (Ei şi/sau Eci ), metoda potenţialelor nodurilor permite o reducere a numărului de

ecuaţii de forma (3.16) cu numărul total al acestor surse de tensiune.

Algoritmul de aplicare al metodei potenţialelor nodurilor

Pasul 1. Se determină numărul de noduri ale circuitului;

Pasul 2. Se alege un nod j de referinţă al cărui potenţial se consideră nul, Vj = 0;

Pasul 3. Se scriu ( )l lE Ei

ci ecuaţii de tipul (3.21) pentru potenţialele nodurilor adiacente

surselor ideale de tensiune;

Pasul 4. Se aplică relaţiile (3.16) în nr = n1( )l lE Ei

ci noduri şi suprafeţe , adică pentru

i nr 1, , ţinând seama de faptul că în termenii din partea stângă ai relaţiilor pot interveni şi

potenţiale pentru care s-au scris ecuaţiile de la pasul 3;

Pasul 5. Sistemului obţinut cu relaţiile (3.16) şi (3.21) i se adaugă ecuaţiile de comandă ale

surselor comandate, exprimate în funcţie de variabilele metodei;

Pasul 6. Se rezolvă sistemul de la pasul 5 şi se obţin valorile celor n1 variabile potenţiale

ale nodurilor;

Pasul 7. Cu relaţia (3.15) se calculează apoi tensiunile la bornele laturilor circuitului;

Pasul 8. Se determină curenţii din laturile circuitului cu ecuaţia caracteristică a laturii pentru

laturile care conţin rezistenţe şi eventual surse de tensiune înseriate cu acestea, sau cu prima

teoremă a lui Kirchhoff pentru cele formate din surse ideale de tensiune;

Pasul 9. Se verifică bilanţul puterilor.

O altă variantă de aplicare a metodei constă în introducerea ca necunoscute în sistemul de

ecuaţii a curenţilor prin laturile cu surse ideale de tensiune. Deşi are un număr mai mare de

ecuaţii, această metodă cu necunoscute hibride, numită metoda nodală modificată, permite

scrierea sistematică a sistemului de ecuaţii.

3.2.5. Teorema conservării puterilor

Teorema lui Telegen pentru circuitele de c.c. are forma

U Ik k

k

l

01

. (3.22)

Folosind ecuaţia caracteristică a laturii (3.2), relaţia (3.8) devine

E I R Ik k k k

k

l

k

l

2

11

, (3.23)

numită ecuaţia de bilanţ al puterilor. Semnificaţia relaţiei (3.23) este următoarea:

Suma puterilor electromagnetice generate de sursele de tensiune este egală cu suma

puterilor consumate în rezistoarele circuitului, prin efect Joule-Lenz.

Dacă circuitul conţine şi surse comandate, adică este de tipul (R, E, Ec, J, Jc), ecuaţia

bilanţului de puteri este:

E I E I U J U J R Ik k

k

l

ck k

k

l

Jk k Jck ck

k

l

k

k

l

k

k

l

1 1 1 1

2

1

+ . (3.24)

113

Exemplul 3.1: Să se rezolve circuitul din figura 3.5 folosind:

a) teoremele lui Kirchhoff,

b) metoda curenţilor de buclă,

c) metoda potenţialelor nodurilor,

Se cunosc următoarele valori:

Fig. 3.5

R1= 4, R2= 1, R4= 2,

R5= 5, R6= 4,

E1= 5 V, E2= 5 V, E4= 22 V,

E5= 10 V, J3= 3 A.

a) Numărul necunoscutelor curenţi

de laturi este l-lJ = 5. Pentru a obţine un

sistem cu 5 ecuaţii în aceste

necunoscute, se aplică prima teoremă a

lui Kirchhoff în n-1= 3 noduri ş teorema

a doua în (l-lJ)-n+1 =2 bucle.

Se obţin astfel următoarele ecuaţii

Kirchhoff în curenţi:

(n1): 0521 III ; (n2): 342 JII ; (n3): 0654 III ;

5425544221 : EEEIRIRIRb ; 421664422112 : EEEIRIRIRIRb .

Substituind valorile parametrilor şi apoi rezolvînd sistemul de ecuaţii astfel obţinut, rezultă:

A.4 A,1 A,5 A,2 A,1 65421 IIIII

Tensiunile laturilor se determină cu relaţiile:

16V. 15V, V,12

V,4 V,3 V,1

66655554444

21322221111

IRUEIRUEIRU

UUUEIRUEIRU

Tensiunea U3 s-a calculat folosind teorema a doua a lui Kirchhoff pe bucla b3.

Sistemul de ecuaţii Kirchhoff în tensiuni are forma:

5522115522111 : EGEGEGUGUGUGn ;

4432244222 : EGJEGUGUGn ;

55446655443 : EGEGUGUGUGn ;

0 : 5421 UUUb ; 0 : 64212 UUUUb .

După înlocuirea valorilor numerice ale parametrilor se rezolvă sistemul algebric astfel

rezultat şi se obţin valorile necunoscutelor U1, U2, U4, U5 şi U6:

16V. şi 15V V,12 V,3 V,1 65421 UUUUU

Tensiunea U3 se calculează cu teorema a doua a lui Kirchhoff:

U3= U1+U2 = – 1 – 3 = – 4V sau U3= –U4 – U6 = 12 – 16 = – 4V.

114

Puterile generate, respectiv consumate în circuit sunt:

.

,

W1276455044

W1271210110105

266

255

244

222

211

3355442211

IRIRIRIRIRP

JUIEIEIEIEP

c

g

b) Prin metoda curenţilor de buclă, numărul de variabile este l-n+1 = 3, iar numărul minim

de necunoscute este (l-lJ)-n+1 = 2. Acestea se calculează aplicând teorema a doua a lui

Kirchhoff în buclele independente reduse (b1) şi (b

2). Se obţine

I Jb3 3

(b1) I R R R I R R I R E E Eb b b1 2 32 4 5 2 4 2 2 4 5( ) ( )

(b2) I R R R R I R R I R R E E Eb b b2 1 31 2 4 6 2 4 1 2 1 2 4( ) ( ) ( ) ,

Rezolvând acest sistem de ecuaţii se obţine:

3215113 ;17338 A;321213

bbbbb IIIII ,

cu soluţiile: Ib11 A şi Ib2

4 A.

Valorile curenţilor din laturile circuitului sunt:

I I I I I I I I Jb b b b b1 2 3 32 3 1 2 31 2 3 A A A; ; ;

I I I I I I Ib b b b4 5 62 1 1 25 1 4 A A A; ; .

c) Sistemul de ecuaţii obţinut prin metoda potenţialelor nodurilor, dacă se alege nodul 4 ca

nod de referinţă, este:

V4 0

(n1) V G G G V G V G G E G E G E1 1 2 5 2 2 3 5 1 1 2 2 5 5( )

(n2) V G G VG V G G E J G E2 2 4 1 2 3 4 2 2 3 4 4( )

(n3) V G G G VG V G G E G E3 4 5 6 1 5 2 4 4 4 5 5( ) .

Înlocuind numeric şi rezolvând sistemul se obţin valorile potenţialelor nodurilor

V16V V,4 V,1 321 VV .

Tensiunile la bornele laturilor se calculează în funcţie de aceste potenţiale astfel:

,V160 ,V15161 ,V12164

,V40 ,V341 ,V10

36315324

2321211

VUVVUVVU

VUVVUVU

iar curenţii laturilor se calculează din legea lui Ohm cu relaţiile:

A1)51(4

1)( 1111 EUGI , A2)53(1)( 2222 EUGI ,

A5)2212(2

1)( 4444 EUGI , A1)1015(

5

1)( 5555 EUGI ,

A4164

1666 UGI .

115

3.2.6. Teorema superpoziţiei

Într-un circuit electric liniar cu n surse independente, din care nE surse de tensiune şi nJ

surse de curent, intensitatea curentului electric din orice latură este suma algebrică a

intensităţilor curenţilor pe care i-ar stabili în acea latură fiecare dintre surse, dacă s-ar afla

singură în reţea, celelalte surse independente fiind pasivizate.

Demonstraţia teoremei se bazează pe caracterul liniar al ecuaţiilor obţinute prin aplicarea

teoremelor lui Kirchhoff. Fie matricele de incidenţă a laturilor la noduri, A, şi a laturilor la

bucle, B, obţinute din graful unui circuit având nE şi nJ surse de tensiune, respectiv de curent.

Curenţii şi tensiunile la bornele laturilor circuitului satisfac ecuaţiile lui Kirchhoff:

0lAI , 0lBU . (3.25)

Presupunând că în circuit acţionează o singură sursă de tensiune, celelalte surse fiind

pasivizate - cele de tensiune, dacă sunt ideale prin scurtcircuitare şi dacă sunt reale prin

substituirea cu rezistenţa lor internă, iar cele de curent, dacă sunt ideale prin deconectare şi

dacă sunt reale prin înlocuirea cu conductanţa lor internă - ecuaţiile lui Kirchhoff iau forma:

0kEAI , 0

kEBU . (3.26)

Dacă circuitul conţine o singură sursă de curent, toate celelalte surse fiind pasivizate, se

obţin ecuaţiile:

0kJAI , 0

kJBU . (3.27)

Dacă circuitul conţine toate cele n surse, vectorii curenţilor din laturi şi ale tensiunilor la

bornele acestora sunt

J

k

E

k

n

k

J

n

k

El

11

'III ,

J

k

E

k

n

k

J

n

k

El

11

'UUU . (3.28)

Aceşti vectori satisfac teoremele lui Kirchhoff. Ţinând seama de ecuaţiile (3.26) ÷ (3.28) se

obţine

0

'

1111

l

n

k

J

n

k

E

n

k

J

n

k

E

J

k

E

k

J

k

E

kAIIIAAIAI ,

(3.29)

0

'

1111

l

n

k

J

n

k

E

n

k

J

n

k

E

J

k

E

k

J

k

E

kBUUUBBUBU .

Ecuaţiile (3.25) şi (3.29) fiind identice, rezultă ll II ' şi ll UU ' .

O demonstraţie alternativă pleacă de la cele două teoreme ale lui Kirchhoff scrise sub forma

(3.4), respectiv (3.6). Rezolvând sistemul de ecuaţii obţinut prin regula lui Cramer, rezultă

pentru curentul din latura i o expresie de forma:

I G E G E G E G E Ii i ij j il l ij j ij

j

l

j

l

1 1

11

... ... , (3.30)

unde Gij se numeşte conductanţă de transfer de la latura j la latura i şi, pentru circuitele

reciproce satisface condiţia:

G Gij ji , (3.31)

iar

I Iij i E Ej i 0 0; cu i j (3.32)

reprezintă curentul din latura i când toate t.e.m. ale surselor de tensiune din circuit sunt nule în

afară de E j .

116

3.2.7. Teorema reciprocităţii

Curentul dintr-o latură h a unui circuit liniar pasiv produs de o sursă ideală independentă

de tensiune plasată în latura j este egal cu curentul pe care l-ar stabili în latura j aceeaşi

sursă conectată în latura h.

Fie circuitul liniar pasiv din figura 3.6, la care se pun în evidenţă laturile j şi h.

Considerăm două regimuri distincte (') şi (''), caracterizate prin prezenţa sursei de tensiune

E în primul regim în latura j şi în al doilea regim în latura h, adică: E E Ej h' ', , 0 respectiv

E E Ej h'' '', . 0

Fig. 3.6

Demonstraţia se bazează pe teorema lui Tellegen conform căreia se poate scrie:

U I E Ik k j j

k

l' '' ' '' ,

01

(3.33)

respectiv

U I E Ik k h h

k

l'' ' '' ' ,

01

(3.34)

unde

E E Ej h' '' ; U R Ik k k

' ' ; U R Ik k k'' '' . (3.35)

Ţinând seama de relaţiile (3.35) din (3.33) şi (3.34) rezultă

I Ih j' '' . (3.36)

O demonstraţie alternativă se bazează pe relaţiile (3.30) şi (3.31). Notând cu Ghj

conductanţa de transfer între laturile j şi h, deoarece

G Ghj jh , (3.37)

înmulţind ambii membri cu E E Ej h se obţine, conform relaţiei (3.30):

I Ih j . (3.38)

Dacă în locul sursei ideale independente de tensiune se foloseşte o sursă ideală independentă

de curent (Fig.3.7) se poate demonstra similar că

U Uh j' '' , (3.39)

adică

Tensiunea la bornele unei laturi h a unui circuit liniar pasiv, datorată unei surse de curent

plasată în paralel cu latura j, este egală cu tensiunea la bornele laturii j, dacă aceeaşi sursă

de curent este plasată în paralel cu latura h.

Fig. 3.7

117

Un circuit care satisface proprietăţile exprimate prin relaţiile (3.36) şi (3.39) se numeşte

circuit reciproc. Un astfel de circuit nu poate conţine surse comandate şi/sau gyratoare.

3.2.8. Teorema compensaţiei

Înlocuirea unui rezistor Rp având tensiunea la borne U R Ip p p , printr-o sursă ideală de

tensiune cu t.e.m. E R Ip p p , corespunzătoare aceleiaşi tensiuni la borne, nu modifică

intensităţile curenţilor din circuit.

Demonstraţia teoremei urmăreşte echivalenţa sistemelor de ecuaţii ale celor două circuite.

Curenţii circuitului din figura 3.8,a satisfac ecuaţiile lui Kirchhoff:

Fig. 3.8

I j nk

l nk j

( )

, , ,0 1 1 (3.40)

( )

( )

( )

( )

, , ,A k k

l b

A k

l b

R I E h b

k h k h

1 (3.41)

iar curenţii circuitului din figura 3.8,b satisfac aceleaşi ecuaţii, în care termenul R Ip p trece din

membrul stâng al ecuaţiei (3.41) în membrul drept, cu semn schimbat, corespunzător sursei

ideale de tensiune Ep . Pentru ca sursa să compenseze efectul rezistorului este deci necesar ca

E Up p , (3.42)

adică sensul sursei să fie cel din figura 3.8,b, opus sensului de referinţă al curentului.

O altă variantă a teoremei constă în înlocuirea rezistorului printr-o sursă ideală de curent Jp

(fig. 3.8,c), care satisface relaţia

J Ip p , (3.43)

şi implicit nu modifică tensiunile (şi evident nici curenţii) din circuit.

Demonstraţia este evidentă, curentul prin latura p fiind acelaşi cu cel prin rezistor, în timp

ce tensiunea U p , impusă de circuitul extern laturii p, se aplică sursei de curent fără nici o

restricţie.

3.2.9. Teoremele de transfigurare a circuitelor electrice

3.2.9.1. Echivalenţa circuitelor

În analiza modelelor sistemelor fizice, conceptul de echivalenţă joacă un rol foarte

important, determinând modificări topologice ale modelului, de natură să reducă gradul de

complexitate al acestuia.

Un sistem complet de relaţii independente între curenţii şi tensiunile (sau potenţialele)

bornelor de acces ale unui multipol se numeşte sistem de ecuaţii ale multipolului (circuitului).

Doi multipoli descrişi de sisteme echivalente de ecuaţii se numesc multipoli echivalenţi sau

circuite electrice echivalente. În particular, doi dipoli care, sub aceeaşi tensiune la borne,

118

absorb (sau injectează) acelaşi curent, se numesc dipoli echivalenţi. Pentru ca două sisteme de

ecuaţii să fie echivalente este necesar ca ele să conţină aceleaşi variabile (necunoscute), prin

urmare o condiţie necesară pentru echivalenţa multipolilor (circuitelor) este să aibe acelaşi

număr de borne.

Substituirea unui multipol (circuit) dat printr-un multipol (circuit) echivalent se numeşte

transfigurare electrică. Transfigurarea electrică conservă relaţiile dintre curenţii şi tensiunile

bornelor de acces şi prin urmare curenţii şi tensiunile în circuitul exterior celui transfigurat nu

se modifică.

3.2.9.2. Echivalenţa surselor reale

O sursă reală de energie electrică admite două scheme echivalente: una ca sursă de tensiune

şi alta ca sursă de curent (Fig.3.9).

Fig. 3.9

Caracteristica I(U) a laturii cu sursă de tensiune este:

.GEGUI (3.44)

Relaţia (3.44) poate fi scrisă sub forma

,JII G (3.45)

unde GUIG şi GEJ şi corespunde schemei derivaţie cu sursă de curent. Cele două

scheme sunt deci echivalente dacă sunt satisfăcute relaţiile

JER

şi GR

1

. (3.46)

Latura generalizată de circuit (fig. 3.10,a) admite două scheme echivalente: una cu sursă de

tensiune (b) şi alta cu sursă de curent (c).

Fig. 3.10

Cele două transfigurări se obţin pe baza următoarelor relaţii rezultate prin prelucrarea

ecuaţiilor caracteristice ale laturilor:

U RI E R I J E RI RJ E RI RJ EE ( ) ( ), (3.47)

respectiv

I I J GU GE JE ( ). (3.48)

119

3.2.9.3. Transfigurarea serie

Fie n laturi active conectate în serie (astfel încât să fie parcurse de acelaşi curent),

reprezentate în figura 2.11,a.

Fig. 3.11

Ecuaţiile de funcţionare ale circuitului serie sunt:

IIII nk ......1 , (3.49)

.......1

1

n

k

knk UUUUU (3.50)

Folosind ecuaţia caracteristică a laturii pentru a exprima tensiunea Uk , se obţine:

.11111

n

k

k

n

k

k

n

k

k

n

k

kk

n

k

k EIREIRUU (3.51)

Ecuaţia (3.51) se poate exprima sub forma:

,eses EIRU (3.52)

care corespunde circuitului echivalent din figura 3.11,b.

Deci circuitele din figurile 3.11,a şi b sunt echivalente dacă sunt satisfăcute relaţiile:

R Res k

k

n

1

şi .1

n

k

kes EE (3.53)

Dacă laturile din figura 3.11,a sunt reprezentate prin scheme echivalente cu sursă de curent

se obţine schema de conexiune serie din figura 3.12,a.

Fig. 3.12

Pe baza ecuaţiei (3.50) se obţine:

.1

11 111

n

k es

es

esk

kn

k

n

k kk

kn

k k

Gn

k

kG

J

G

I

G

JI

GG

JI

G

IUU k (3.54)

Relaţia (3.54) corespunde schemei echivalente din figura 3.12,b.

Condiţiile de echivalenţă a celor două scheme sunt, conform relaţiei (3.54):

120

n

k kes GG 1

11 şi .

11

1

1

n

kn

k k

n

k k

k

k

keses

G

G

J

G

JGJ (3.55)

3.2.9.4. Transfigurarea paralel

Când n laturi active se conectează între aceleaşi două noduri astfel încât să aibă aceeaşi

tensiune la borne, se obţine o conexiune paralel (Fig. 3.13,a).

Fig. 3.13

Ecuaţiile de funcţionare ale circuitului sunt:

U U U Uk n1 ... ... , (3.56)

I I I I Ik n k

k

n

1

1

... ... . (3.57)

Folosind ecuaţia caracteristică a laturii pentru a exprima curentul Ik , se obţine:

.11111

n

k

kk

n

k

k

n

k

kk

n

k

kk

n

k

k EGUGEGUGII (3.58)

Ecuaţia (3.58) se poate pune sub forma:

I G U G Eep ep ep , (3.59)

care corespunde circuitului echivalent din figura 3.13,b.

Condiţiile de echivalenţă a celor două circuite sunt:

G Gep k

k

n

1

, respectiv 1 1

1R Rep kk

n

şi .

1

11

n

kk

n

kkk

ep

n

kkk

ep

G

EG

G

EG

E (3.60)

Dacă laturile din figura 3.13,a sunt reprezentate prin scheme cu surse de curent (Fig.

3.14,a), din relaţia (3.58) se obţine:

.)(1111

UGJUGJUGJII epep

n

k

k

n

k

k

n

k

kkk

n

k

k

(3.61)

Relaţia (3.61) corespunde schemei echivalente din figura 3.14,b.

Condiţiile de echivalenţă a celor două scheme rezultă din ultima ecuaţie:

J Jep k

k

n

1

şi G Gep k

k

n

1

. (3.62)

121

Fig. 3.14

3.2.9.5. Transfigurarea stea-poligon complet

Conectarea a n laturi într-un nod comun (fig. 3.15,a) formează un circuit în stea. Nodul 0 se

numeşte punct neutru.

Curentul I j care intră în borna de acces j a circuitului stea, poate fi exprimat cu legea lui

Ohm:

.,1= , njEGUGI jjjjj (3.63)

Exprimând tensiunea U j ca diferenţă de potenţiale, se obţine:

.0 jjjjjj EGVGVGI (3.64)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul 0 rezultă:

,011

0

11

j

n

j

j

n

j

jj

n

j

j

n

j

j EGGVVGI (3.65)

din care se determină potenţialul punctului neutru:

V

G V G E

G

j j

j

n

j j

j

n

j

j

n01 1

1

. (3.66)

Fig. 3.15

Substituind relaţia (3.66) în (3.64) şi modificând notaţia indicelui în raport cu care se face

însumarea se obţine:

122

I G V

G V G E

G

G G Ej j j

k k

k

n

k k

k

n

k

k

n j j j

1 1

1

n

k

kk

n

k

kjn

k

k

jVGGV

G

G

11

1

n

k

n

k

kjkk GEEG1 1

.,1= ,)(11

1

njEEGUG

G

G n

k

kjk

n

k

jkkn

k

k

j

(3.67)

Se poate găsi totdeauna un circuit în poligon complet (Fig. 3.15,b) echivalent unui circuit în

stea dat.

Curentul din latura jk, Ijk, se determină cu ajutorul legii lui Ohm:

I G U G Ejk jk jk jk jk , (3.68)

iar curentul Ij care intră în borna de acces j, se determină cu ajutorul primei teoreme a lui

Kirchhoff, în funcţie de curenţii laturilor poligonului:

.,1 ,11

njEGUGIn

jkk

jkjk

n

jkk

jkjkj

(3.69)

Comparând relaţiile (3.67) şi (3.69), se obţine

GG G

G

jkj k

k

k

n

1

, pentru j k n, , 1 şi j k (3.70)

G EG G

G

E Ejk jk

k

nj k

k

k

nk

n

j k

1

1

1

( ), pentru j n 1, şi k j . (3.71)

Deoarece, pentru circuitele reciproce, G Gjk kj , numărul relaţiilor independente de forma

(3.70) este

nn n

G ( )

.1

2 (3.72)

Aceste ecuaţii permit calculul tuturor conductanţelor poligonului complet. Numărul de

ecuaţii independente de tipul (3.71) este

n nE 1. (3.73)

Fig. 3.16

123

Cum în cazul general numărul de surse de tensiune este egal cu cel al conductanţelor şi cum

n nE G , rezultă că sistemul de ecuaţii (3.71) este nedeterminat. Relaţiile de tip (3.71) sunt

satisfăcute dacă

E E Ejk j k , pentru j k n, , 1 . (3.74)

În consecinţă, relaţiile de transfigurare a unui circuit cu conexiune stea într-un circuit cu

conexiune poligon complet sunt (3.70) şi (3.74).

În general, transfigurarea inversă (din poligon complet în stea) nu este posibilă deoarece

numărul n al conductanţelor necunoscute Gk este mai mic decât numărul ecuaţiilor de tip

(3.70), cu excepţia cazului n = 3.

Relaţiile pentru transfigurarea în ambele sensuri (Fig. 3. 16) sunt date mai jos.

- transfigurarea stea-triunghi:

RR R R R R R

R121 2 1 3 2 3

3

; R

R R R R R RR23

1 2 1 3 2 3

1

; R

R R R R R RR31

1 2 1 3 2 3

2

;

E E E12 1 2 ; E E E23 2 3 ; E E E31 3 1 ,

(3.75)

- transfigurarea triunghi-stea:

RR R

R R R131 12

12 23 31

; RR R

R R R212 23

12 23 31

; RR R

R R R323 31

12 23 31

;

EG E G E

G G G12 12 3 13

1 2 3

; E

G E G E

G G G23 23 1 21

1 2 3

; E

G E G E

G G G31 31 2 31

1 2 3

.

(3.76)

Din punctul de vedere al analizei circuitelor electrice, transfigurarea stea-poligon complet

prezintă o mare importanţă, deoarece eliminarea punctului neutru reduce cu o unitate numărul

nodurilor circuitului. Prin transfigurări succesive se pot elimina toate nodurile interioare ale

unui multipol.

Exemplul 3.2: Să se calculeze curentul I5 din circuitul reprezentat în figura 3.17,a.

Fig. 3.17,a

R1= R2= R3= R4= R5= 10, R6= 5,

E1= 135 V, E2= 25 V,

E3= 85 V; E4= 75 V.

Se transfigurează circuitul ca în figura 3.15,b, obţinându-se:

124

Fig. 3.17,b

EE G E G

G G121 1 2 2

1 2

1351

1025

110

110

110

1102

55

V;

RG G12

1 2

1 102

5

,

EE G E G

G G343 3 4 4

3 4

851

1075

110

110

110

102

5

V; RG G34

3 4

1 102

5

.

Curentul I5 se calculează cu relaţia:

IE E

R R R R512 34

12 5 34 6

55 55 10 5 5

5025

2

A.

3.2.10. Teoremele divizoarelor de tensiune şi de curent

Teorema divizorului de tensiune stabileşte modul în care se distribuie tensiunea

Fig. 3.18

aplicată unei conexiuni serie de rezistoare (Fig. 3.18).

Fiind date valorile rezistenţelor Rj, j n 1, şi

valoarea tensiunii aplicate, U, se cere tensiunea Uj.

Aplicând legea lui Ohm şi ţinând seama de relaţiile

(3.53) pentru laturi pasive, se obţine:

U R I RUR

R

R

Uj j jes

j

k

k

n

1

. (3.77)

Teorema divizorului de curent stabileşte modul în care se distribuie curentul în

Fig. 3.19

rezistoarele unei conexiuni paralel (Fig. 3.19).

Se cunosc valorile rezistenţelor Rj, j n 1, şi

valoarea curentului total I şi se cere curentul Ij.

Aplicând legea lui Ohm şi ţinând seama de

relaţiile (3.60) pentru laturi pasive, se obţine:

IUR

R I

RR

R

Ijj

ep

j

jkk

n

1

1

1

. (3.78)

125

3.2.11. Teoremele generatoarelor echivalente

Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thévenin)

Orice dipol liniar activ (Fig. 3.20,a) admite, în raport cu oricare două borne de acces A şi B,

o schemă echivalentă serie (Fig. 3.20,b), formată dintr-o sursă ideală independentă de tensiune

cu t.e.m. Ee egală cu tensiunea la bornele circuitului în regim de mers în gol (Fig. 3.21,a) şi o

rezistenţă Re egală cu rezistenţa echivalentă a circuitului pasivizat în raport cu bornele de acces

(Fig. 3.21,b).

Fig. 3.20

Fig. 3.21

Schema echivalentă din figura 3.20,b, care

poate fi obţinută prin oricare din metodele de

transfigurare a circuitelor electrice, permite

calculul curentului din latura AB cu relaţia:

IU E

R RABAB AB

AB AB

0

0

, (3.79)

obţinută prin aplicarea teoremei a doua a lui

Kirchhoff.

Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton)

Orice dipol liniar activ (Fig. 3.22,a) admite, în raport cu oricare două borne de acces A şi B,

o schemă echivalentă derivaţie (Fig. 3.22,b), formată dintr-o sursă ideală independentă de

curent Je, al cărei curent este egal cu intensitatea curentului debitat de circuit în regim de

scurtcircuit la bornele A şi B (Fig. 3.23), şi o conductanţă Ge egală cu conductanţa echivalentă

a circuitului pasivizat în raport cu bornele de acces (egală cu inversul lui RAB0).

Fig. 3.22

126

Fig. 3.23

Schema echivalentă din figura 3.22,b, care poate fi

obţinută prin metode de transfigurare, permite calculul

tensiunii la bornele laturii AB. Pentru aceasta se aplică

prima teoremă a lui Kirchhoff şi se obţine:

J G U J G Ue e AB AB AB AB 0, (3.80)

din care rezultă:

UI J

G GABABsc AB

AB AB

0

. (3.81)

3.2.12. Teorema transferului maxim de putere

Fie un circuit dipolar liniar activ. Să se determine condiţiile pe care trebuie să le satisfacă

elementul de circuit care, conectat între bornele A şi B, să permită un transfer maxim de putere

pe la aceste borne.

Se pot studia trei situaţii:

a) La bornele dipolului se conectează un rezistor de rezistenţă RAB (Fig. 3.24).

Fig. 3.24

Puterea debitată de dipol la bornele A,B,

egală cu cea absorbită de rezistor, este:

P U I R I G Uc AB AB AB AB AB AB 2 2 . (3.82)

Reprezentând dipolul cu schema echivalentă

serie (Fig. 3.20,b) se exprimă curentul cu relaţia

IU

R RABAB

AB AB

0

0

(3.83)

şi înlocuind în (3.82) se obţine:

P R I RU

R Rc AB AB AB

AB

AB AB

2 02

02( )

. (3.84)

Dacă se reprezintă dipolul cu schema echivalentă paralel (Fig. 3.22,b) se exprimă tensiunea

cu relaţia

UI

G GAB

ABsc

AB AB

0

(3.85)

şi înlocuind în (3.82), se obţine

P G U GI

G Gc AB AB AB

ABsc

AB AB

22

02( )

. (3.86)

Relaţiile (3.84) şi (3.86) sunt echivalente. Din condiţia de maxim a funcţiei

P R P R Rc AB c AB AB( ), ( ) / ) , (d d 0 rezultă

R RAB AB 0, (3.87)

reprezentând valoarea rezistenţei rezistorului care, conectat între bornele A şi B, permite un

transfer maxim de putere pe la aceste borne.

În cazul adoptării schemei echivalente serie, puterea totală debitată de sursă este

127

P E I UU

R R

U

R Rg e AB ABAB

AB AB

AB

AB AB

0

0

0

02

0

. (3.88)

În figura 3.25,a sunt reprezentate funcţiile Pc(RAB) şi Pg(RAB), corespunzătoare relaţiilor

(3.84) şi, respectiv, (3.88).

Randamentul transferului de putere este

P

P

R

R Rc

g

AB

AB AB0

, (3.89)

cu valoarea = 0,5 la transfer maxim de putere (Fig. 3.26,a).

Calculând puterea totală generată de sursă în cazul schemei paralel se obţine

P U JI

G GI

I

G Gg AB eABsc

AB ABABsc

ABsc

AB AB

0

2

0

. (3.90)

Reprezentând funcţiile Pc(RAB) şi Pg(RAB) corespunzătoare relaţiilor (3.86) şi, respectiv,

(3.90), se obţin caracteristicile din figura 3.25,b.

Fig. 3.25

Fig. 3.26

Randamentul transferului de putere este în acest caz

P

P

G

G G

R

R Rc

g

AB

AB AB

AB

AB AB0

0

0

, (3.91)

cu valoarea = 0,5 la transfer maxim de putere (Fig. 3.26,b).

128

b) La bornele dipolului se conectează o sursă ideală independentă de tensiune (Fig. 3.27,a).

Fig. 3.27

Puterea debitată de dipol, egală cu cea absorbită de sursa E, este:

P U I EIc AB AB AB . (3.92)

Luând în considerare schema echivalentă serie, se exprimă curentul cu relaţia

IU E

RABAB

AB

0

0

(3.93)

şi, înlocuind în (3.92), se obţine:

P EI EU E

Rc ABAB

AB

0

0

. (3.94)

Aplicând condiţia de maxim funcţiei Pc(E), rezultă:

E UAB 0 2/ . (3.95)

Deci, pentru ca pe la bornele A, B ale acestui circuit să aibe loc un transfer maxim de

putere, este necesar ca sursa independentă de tensiune să aibe valoarea t.e.m. dată de relaţia

(3.95) şi sensul din figură.

Reprezentarea funcţiei Pc(E) este dată în figura 3.27,b.

c) La bornele dipolului se conectează o sursă ideală de curent (Fig.3.28,a).

Puterea debitată de dipol, egală cu cea absorbită de sursa de curent, este:

JUIUP ABABABc . (3.96)

Considerând schema echivalentă paralel (Fig. 3.22,b), exprimând tensiunea la borne cu

relaţia

UI J

GABABsc

AB

0

(3.97)

şi înlocuind în (3.96), se obţine:

P U J JI J

Gc ABABsc

AB

0

. (3.98)

Maximul funcţiei Pc(J) se obţine pentru

J IABsc / 2. (3.99)

129

Fig. 3.28

Pentru a avea deci transfer maxim de putere pe la bornele circuitului din figura 3.28,a, este

necesar ca sursa ideală independentă de curent să aibe valoarea curentului dată de relaţia (3.99)

şi sensul din figură.

Variaţia funcţiei Pc(J) este reprezentată în figura 3.28,b.

Puterea maximă transferată de dipol pe la borne poate fi exprimată cu una din expresiile:

444

0

0

2

0

20

maxABscAB

AB

ABsc

AB

AB IU

G

I

R

UP , (3.100)

între mărimile din (3.100) existând relaţiile

IU

RABscAB

AB

0

0

, (3.101)

G RAB AB0 01 / . (3.102)

O sarcină care satisface condiţia de transfer maxim de putere se numeşte sarcină adaptată.

Exemplul 3.3: Pentru circuitul din figura 3.29,a, în care se cunosc:

Fig. 3.29,a

R1= 3, R2=R3= 6,

E1= 36 V, E2= 16 V,

Se cer:

a) generatoarele echivalente Thévenin şi Norton la

bornele A, B;

b) valoarea t.e.m. şi sensul unei surse de tensiune

care, conectată între bornele A şi B, ar absorbi puterea

maximă debitată de dipol.

a) Se transfigurează circuitul ca în figurile 3.29,b,c,d, în care:

V24

6

3

12

6

1

3

13

136

21

1112

GG

GEE şi R

G G121 2

1 63

2

,

130

Fig. 3.29,b,c,d

apoi:

E E Ee' 12 2 24 16 40V; R Re

' 12 2

şi în final:

E UG E

G Ge ABe e

e

0

3

4012

12

16

2046

30' '

',V

respectiv

R RG Ge AB

e

03

1 64

32'

.

Evident, parametrii circuitului echivalent Norton au valorile:

A.20 S;3

21

0

0

0

0 AB

ABABsce

ABABe

R

UIJ

RGG

b) Puterea debitată de dipol se exprimă cu relaţia:

P U I EE E

Rg AB ABe

e

33-

.

Condiţia de transfer maxim de putere la bornele A,B, dPdE3

0 , conduce la relaţia

Ee - 2E3= 0, de unde se obţine valoarea t.e.m. a sursei de tensiune care satisface această

condiţie:

EE Ue AB

30

2 215= = = V.

Sensul sursei este cel din figură.

131

CAPITOLUL 4

CIRCUITE ELECTRICE ÎN REGIM SINUSOIDAL

4.1. INTRODUCERE

În regim dinamic circuitele electrice liniare sunt descrise de ecuaţii integro-diferenţiale.

Tensiunile şi curenţii laturilor, potenţialele nodurilor, tensiunile electromotoare şi curenţii

surselor independente sunt, în general, funcţii de timp de o clasă largă. Dificultăţile de

rezolvare a ecuaţiilor integro-diferenţiale cresc odată cu ordinul sistemului şi depind de modul

de variaţie în timp al mărimilor de excitaţie. Soluţiile ecuaţiilor circuitelor electrice în regim

dinamic conţin două componente: una datorată mărimilor de excitaţie (componenta

permanentă sau forţată) şi cealaltă datorată stării iniţiale (componenta tranzitorie sau liberă).

După trecerea unui interval de timp componentele libere se pot neglija şi se stabileşte regimul

permanent.

Dacă tensiunile şi curenţii nu variază în timp, regimul permanent este staţionar (numit şi

de curent continuu, şi studiat în Capitolul 3), iar dacă mărimile sunt variabile în timp regimul

permanent este variabil. Pentru numeroase aplicaţii tehnice prezintă importanţă regimul

periodic, în care tensiunile şi curenţii prin elementele de circuit variază periodic în raport cu

timpul. În intervalul de timp de trecere de la un regim permanent la alt regim permanent,

tensiunile şi curenţii laturilor circuitului conţin şi componente tranzitorii. În ansamblu, acest

regim de funcţionare al circuitului se numeşte tranzitoriu.

O clasă simplă de funcţii de timp de mare importanţă în studiul regimurilor circuitelor

electrice o constituie funcţiile sinus şi cosinus, denumite generic funcţii sinusoidale

(armonice). Dacă mărimile de excitaţie (t.e.m. şi curenţii surselor independente de tensiune

şi, respectiv, de curent şi tensiunile de la bornele reţelelor de alimentare) variază sinusoidal în

timp, atunci curenţii şi tensiunile laturilor circuitului liniar sunt de aceeaşi formă şi frecvenţă.

Regimul permanent sinusoidal reprezintă o importanţă deosebită, teoretică şi practică şi

intervine atât în producerea, transmisia şi utilizarea energiei electrice, cât şi în

telecomunicaţii, semnalizări şi automatizări. Semnalele purtătoare de informaţii sunt

suprapuneri de semnale sinusoidale, iar transmisia la distanţă a energiei electromagnetice se

face pe linii parcurse de curenţi alternativi (variind periodic cu valori medii nule).

În acest capitol se prezintă regimul sinusoidal denumit şi regim permanent armonic al

circuitelor electrice liniare, care se mai numesc şi circuite electrice de curent alternativ.

4.2. MĂRIMI SINUSOIDALE

O funcţie f : A B este periodică dacă există un T A astfel încât

A tTtftf pentru . (4.1)

Cea mai mică valoarea a lui T pentru care este valabilă relaţia (4.1) se numeşte perioadă

principală. Altfel spus, perioada principală a unei funcţii de timp este intervalul minim după

care funcţia îşi repetă valorile în acelaşi sens de variaţie (fig. 4.1, a şi b).

O mărime periodică y este complet caracterizată atunci când se cunoaşte variaţia sa în timp

pe durata unei perioade. Acest lucru se poate realiza fie prin expresia analitică a funcţiei ty ,

fie prin reprezentarea ei grafică, fie prin tabelarea numerică. O mărime periodică se

caracterizează prin:

- valoarea de vârf (amplitudinea) maxˆ YY , care este valoarea maximă pe care o poate lua

mărimea periodică în decursul unei perioade (fig. 4.1, a şi b);

- valoarea medie Ymed, este media pe o perioadă a valorilor instantanee

132

,1 0

0

d

dttyT

YTt

tmed

(4.2)

momentul t0 putând fi oarecare. O mărime periodică de valoare medie nulă se numeşte

mărime alternativă;

- valoarea efectivă sau eficace (notată cu litera mare a simbolului convenit pentru mărimea

respectivă Y), care este rădăcina pătrată a valorii medii pe o perioadă a pătratului funcţiei

Tt

t

o

dttyT

Y

0

2d 1

. (4.3)

În cazul în care mărimea y este un curent sinusoidal, valoarea sa efectivă poate fi

interpretată ca fiind valoarea curentului continuu care produce acelaşi efect Joule-Lentz pe un

număr întreg de perioade.

Din clasa funcţiilor periodice alternative, în ingineria electrică un interes deosebit îl

reprezintă funcţiile (mărimile) sinusoidale.

Prin definiţie, o mărime sinusoidală este mărimea a cărei variaţie în timp are expresia:

tYty sinmax , (4.4)

unde Ymax, valoare întotdeauna pozitivă, reprezintă amplitudinea mărimii y, - este

pulsaţia (sau frecvenţa unghiulară), ( t + ) - reprezintă faza (unghiul de fază) la un

moment oarecare t, şi - faza iniţială (la t = 0) a mărimii (Fig. 4.2). Între pulsaţia, frecvenţa

şi perioada mărimii există relaţia:

22

fT

. (4.5)

(a) (b) Fig. 4.1

La schimbarea originii timpului, t t t' 0, nu se modifică nici valoarea, nici faza mărimii:

,'sin' 0max ttYty (4.6)

ci numai faza sa iniţială, care devine 0' t .

Aceasta arată că alegerea originii timpului nu reprezintă nici o importanţă practică pentru

analiza fenomenelor din sistem (în ipoteza că toate mărimile care descriu aceste fenomene

sunt variabile în timp sinusoidal, cu aceeaşi pulsaţie ω), ceea ce contează fiind diferenţele de

fază dintre aceste mărimi.

133

Fig. 4.2

Pentru mărimile variabile în timp

sinusoidal avem

2

sin1 max22

max

0

0

YdttY

TY

Tt

t

y

. (4.7)

În electroenergetică mărimile variabile în

timp sinusoidal se scriu sub forma:

tYy sin2 . (4.8)

Dacă se consideră două mărimi sinusoidale de aceeaşi pulsaţie

sin2111 tYy şi

2sin2 22 tYy , (4.9)

se defineşte defazajul mărimii y2 în urma mărimii y1 ca diferenţa fazelor celor două mărimi

într-o ordine dată

2121

d

12 tt , (4.10)

egal cu diferenţa fazelor iniţiale ale mărimilor, în aceeaşi ordine, fiind astfel independent de

timp. Dacă 012 , y1 este defazată înaintea lui y2, iar dacă 012 , mărimea y1 este defazată

în urma mărimii y2. Mărimile 21, yy sunt în fază când 12 0 . Dacă 12 , atunci

mărimile 21, yy sunt în opoziţie de fază (în antifază). Mărimile 21, yy cu un defazaj egal

cu / 2 se spune că sunt în cuadratură. Eliminând periodicitatea multiplă de 2π a funcţiilor

sinusoidale, se convine ca în general să se considere 12 , .

O mărime sinusoidală este complet determinată de valoarea efectivă, frecvenţă şi faza

iniţială. În regim permanent sinusoidal, frecvenţa tensiunilor şi curenţilor laturilor circuitelor

electrice liniare este frecvenţa surselor de alimentare şi în acest caz mărimile sinusoidale sunt

caracterizate numai de valoarea efectivă şi faza iniţială.

Operaţii cu mărimi sinusoidale. Operaţiile cu mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă

care intervin în analiza circuitelor electrice sunt: multiplicarea cu scalari, adunarea, derivarea,

integrarea în raport cu timpul şi produsul.

Multiplicarea cu un scalar a mărimii sinusoidale tYy sin2 este mărimea

sinusoidală

tYy sin2 'sin2 tY , (4.11)

care are valoarea efectivă de ori mai mare şi are faza iniţială identică cu a lui y ' ,

când > 0 şi ' dacă < 0. Mărimile y şi y sunt sinfazice (în opoziţie de fază)

pentru > 0 ( < 0).

Adunarea mărimilor sinusoidale 21

sin2 şi sin2 2211 tYytYy este o

mărime sinusoidală y de forma:

tYtYtYyyy sin2sin2sin221 2121 , (4.12)

având aceeaşi frecvenţă, cu valoarea efectivă şi faza iniţială date de relaţiile

134

21

21

21 coscos

sinsin ;cos2

21

21

212

22

1

YY

YYarctgYYYYY

. (4.13)

Derivata în raport cu timpul a mărimii sinusoidale tYy sin2 este mărimea

sinusoidală de aceeaşi frecvenţă, valoarea efectivă de ω ori mai mare şi defazată cu π/2 (în

cuadratură) înainte,

2sin2

d

d tY

t

y. (4.14)

Integrala în raport cu timpul a mărimii sinusoidale tYy sin2 este mărimea

sinusoidală de aceeaşi frecvenţă, valoarea efectivă de ω ori mai mică şi defazată cu π/2 (în

cuadratură) în urmă,

2sin2d

t

Yty . (4.15)

Suma a două mărimi sinusoidale y1 şi y2 având frecvenţe diferite nu este o mărime

sinusoidală

21 221121 sin2sin2 tYtYyyy . (4.16)

În cazul în care , 0021 21 YYY şi pulsaţiile sunt puţin diferite

1 2 2 , atunci mărimea sumă

0

21021

2sincos2

ttYyyy , (4.17)

poate fi considerată sinusoidală de pulsaţie 1 2

2

, cu amplitudinea tY cos2 0 lent

variabilă în timp (Fig. 4.3, când 3/ şi Hz 50 Hz, 55 ,10 0110 ffY ).

Fig. 4.3

Mărimile de forma (4.17) se

numesc sinusoidale cu

înfăşurătoare sinusoidală şi

descriu fenomene de bătaie a

oscilaţiilor. Oscilaţii de acest

fel intervin la conectarea în

paralel a două generatoare.

Produsul p a două mărimi

sinusoidale y1 şi y2 de aceeaşi

frecvenţă este:

21

sinsin2 2121 ttYYyyp

= 2121

2coscos 2121 tYYYY . (4.18)

Observaţie

La efectuarea unor operaţii neliniare cu mărimi sinusoidale cu aceeaşi frecvenţă rezultatele

nu mai sunt mărimi sinusoidale.

135

4.3. BAZELE METODEI SIMBOLICE DE REPREZENTARE ÎN COMPLEX A

MĂRIMILOR SINUSOIDALE

Mărimile de excitaţie sinusoidale de aceeaşi frecvenţă determină într-un circuit electric

liniar cu parametri concentraţi un regim permanent sinusoidal. Calculul curenţilor din acest

regim corespunde determinării soluţiei particulare a sistemului de ecuaţii integro-diferenţiale,

obţinut cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff şi al ecuaţiilor caracteristice ale laturilor. În cazul

unui circuit electric complex, metoda substituţiei devine oneroasă. Calculul regimului

permanent sinusoidal se poate simplifica substanţial, când mărimile sinusoidale cu care se

lucrează sunt de aceeaşi frecvenţă, dacă se utilizează metoda simbolică a reprezentării în

complex a mărimilor sinusoidale.

Această metodă constă în stabilirea unei reguli care asociază fiecărei mărimi sinusoidale un

simbol sau o imagine, care să satisfacă următoarele condiţii:

- reprezentarea trebuie să fie biunivocă, fiecărei mărimi sinusoidale să-i corespundă o

singură imagine şi fiecărei imagine să-i corespundă o singură mărime sinusoidală;

- operaţiilor de multiplicare cu scalari şi de adunare a mărimilor sinusoidale să le

corespundă multiplicarea cu scalari şi adunarea imaginilor;

- operaţiilor de derivare şi integrare a mărimilor sinusoidale să le corespundă operaţii

simple cu imagini;

- transformarea directă de la mărimea sinusoidală la imagine şi transformarea inversă de la

imagine la mărimea sinusoidală să fie simplă, uşor de efectuat.

Fie F spaţiul funcţiilor sinusoidale de aceeaşi frecvenţă şi C corpul numerelor complexe.

Operatorul complex C este definit astfel

CF:C . (4.19)

Prin definiţie complexul unei mărimi sinusoidale exprimată sub forma

tYy sin2 , (4.20)

este un număr complex, notat Yy sau C , care are ca modul valoarea efectivă a mărimii

sinusoidale şi ca argument faza iniţială a acestei mărimi

jd

YeYty C , (4.21)

unde s-a notat: j 1. Relaţia (4.21) defineşte în planul complex un vector caracterizat

prin modulul Y şi prin faza . Prin urmare, reprezentarea în complex conduce la diagrame

vectoriale care se pot construi prin alegerea arbitrară a originii de fază (adică a mărimii

complexe cu faza iniţială nulă).

Fig. 4.4

Schimbarea originii de fază corespunde

rotirii diagramei vectoriale din planul complex.

Diagramele vectoriale se mai numesc şi

diagrame fazoriale, iar vectorii respectivi-

fazori.

Deoarece corespondenţa (4.21) este

biunivocă, odată cunoscut complexul Y al

mărimii sinusoidale, valoarea instantanee a

mărimii y se obţine cu relaţia

tjeYty 2Im . (4.22)

136

Exemplul 4.1. O tensiune sinusoidală

4100sin2220

tu V, are o reprezentare

complexă 121104

sin4

cos220220 4 jjeUj

.

Exemplul 4.2. Ştiind că unui curent sinusoidal de frecvenţă 50 Hz îi corespunde

complexul I j 3 4 A, se deduce valoarea instantanee a curentului

A 3

4100sin5252Im2Im 3

4

arctgteeeIi tjjarctg

tj .

4.3.1. Teorema combinaţiilor liniare. Complexul unei combinaţii liniare de mărimi

sinusoidale având aceeaşi frecvenţă se obţine prin substituirea mărimilor sinusoidale cu

reprezentările lor în complex

n

kkk

n

kkk Yy

11

C , (4.23)

unde k, k n 1, , sunt mărimi constante reale, iar funcţiile sinusoidale

k

tYy kk sin2 (4.24)

pentru k n 1, au toate aceeaşi pulsaţie .

Demonstraţie. Deoarece tjkk eYy 2Im , membrul stâng al relaţiei (4.23) se poate

scrie sub forma:

tjn

kkk

tjk

n

kk

n

kkk eYeYy

111

2Im2Im . (4.25)

Notând:

n

kkk

d

YY1

(4.26)

şi

jYeY , (4.27)

din relaţia (4.25) rezultă:

n

k

tjkk Yey

1

2Im (4.28)

şi prin urmare:

n

kkk ytYy

1

sin2 . (4.29)

Relaţia (4.29) arată că o combinaţie liniară de mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă este

tot o mărime sinusoidală cu aceeaşi frecvenţă.

Relaţiile (4.26), (4.27) şi (4.25) conduc la relaţia

n

kkk

n

kkk Yyy

11

= CC (4.30)

ceea ce demonstrează teorema (4.3.1).

În cazul particular, pentru k k n 1 1, , , se obţine teorema sumei

n

kk

n

kk Yy

11

= C . (4.31)

137

Determinarea vectorului sumă pentru n = 3 este prezentată în figura 4.5.

Fig. 4.5

Fig. 4.6

Exemplul 4.3: Suma tensiunilor sinusoidale tu 100sin22201 V şi

2100sin22202

tu V este o tensiune sinusoidală de aceeaşi frecvenţă f = 50 Hz

având complexul (Fig. 4.6)

2220220220 421

j

ejUUU .

Valoarea instantanee a tensiunii sumă este

V 4

100sin4404

100sin22220

ttu .

4.3.2. Teorema derivatei. Complexul derivatei de ordinul n în raport cu timpul al unei

mărimi sinusoidale este egal cu complexul mărimii sinusoidale multiplicată cu nj

Yjt

y n

n

n

d

dC . (4.32)

Demonstraţie. Fie tYy sin2 . Complexul derivatei de ordinul întâi este

2sin2cos2

d

d tYtY

t

yCCC

YjYeeYe jjj

22. (4.33)

Fig. 4.7

Din relaţia (4.33) rezultă că derivatei în

raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale

îi corespunde în domeniul reprezentărilor

în complex înmulţirea cu j (ceea ce

revine majorării argumentului cu /2 şi

creşterii modulului de ori). În planul

complex, derivării îi corespunde deci

rotirea cu /2 în sens pozitiv (sensul

trigonometric) şi multiplicarea vectorului

de ori (Fig. 4.7).

Aplicând relaţia (4.33) de n ori succesiv, se obţine teorema (4.3.2).

4.3.3. Teorema integralei. Complexul integralei nedefinite în raport cu timpul (acea

primitivă a integralei care este o mărime sinusoidală) a unei mărimi sinusoidale este egal cu

complexul mărimii sinusoidale împărţit la j:

138

Yj

ty

1d C . (4.34)

Demonstraţie. Conform cu definiţia reprezentării în complex rezultă:

tY

ttYty cos2

dsin2d CCC

Yj

Ye

e

YetY j

j

j

111

2sin

2

2

2

C . (4.35)

Fig. 4.8

Din relaţia (4.35) rezultă că integrării în

raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale îi

corespunde în domeniul reprezentării în

complex împărţirea cu j (ceea ce este

echivalent cu micşorarea argumentului cu /2

şi împărţirea modulului cu ). În planul

complex, integrării în raport cu timpul îi

corespunde rotirea vectorului Y cu /2 în sens

negativ (orar) şi reducerea vectorului de ori

(Fig. 4.8).

Utilizând teoremele de mai sus se arată că metoda simbolică reduce problema determinării

soluţiei particulare sinusoidale a unei ecuaţii diferenţiale liniare (la care termenul liber variază

în timp sinusoidal), la rezolvarea unei ecuaţii algebrice.

De exemplul, o ecuaţie diferenţială liniară de forma

yt

xa

k

kn

kk

d

d

1 (4.36)

unde tYy sin2 , are ca soluţie particulară o funcţie sinusoidală de forma:

tXx sin2 . (4.37)

Determinarea acestei soluţii particulare care satisface ecuaţia

tYt

xa

k

kn

kk sin2

d

d

1, (4.38)

se poate efectua observând că reprezentarea în complex X a soluţiei particulare satisface

următoarea ecuaţie algebrică:

jn

k

kk YeYYXja

careîn ,1

, (4.39)

de unde rezultă complexul soluţiei particulare căutate

n

k

kk ja

YX

1

. (4.40)

Posibilitatea reducerii problemei determinării soluţiilor particulare sinusoidale la

rezolvarea unor ecuaţii algebrice se poate extinde la sistemele de ecuaţii diferenţiale liniare.

139

4.4. ECUAŢIILE LUI KIRCHHOFF ÎN FORMĂ SIMBOLICĂ

Pentru circuitele electrice liniare formate exclusiv din rezistoare, bobine, condensatoare şi

surse ideale independente de tensiune, ecuaţiile lui Kirchhoff în valori instantanee au

expresiile:

1,1 0;

)(

)(

njik

jnkl

A (4.41)

şi

bhetiCt

iL

t

iLiR

hkhbkl

A

bl

kAk

k

l

kpp

p

kpk

kkk ,1 d1

d

d

d

d;

)(

)(

,1)(

)(

; 1 nlb (4.42)

şi constituie un sistem complet de ecuaţii independente.

Ţinând seama de teoremele (4.3.1), (4.3.2) şi (4.3.3), se obţin formele în complex ale

acestor ecuaţii:

1,1 0;

)(

)(

njI k

jnkl

A (4.43)

1 ;,1 1

;

)(

)(

,1)(

nlbbhEICj

ILjILjIR

hkhbkl

A

bl

kAk

k

l

kpp

pkpkkkk

(4.44)

în care ,,1 , şi lkIE kk sunt reprezentările în complex ale t.e.m., respectiv curenţilor laturilor.

Dacă circuitul electric liniar analizat conţine şi surse ideale independente de curent şi surse

comandate, atunci ecuaţiile (4.43) şi (4.44) devin:

1,1 ;

)(

)(

)(

)(

njJI kk

jnkl

A

jnkl

A (4.45)

)(

)(

,1

1

)(

)(

hk

khbkl

A

bl

jAkk

l

kpp

pkpkkkk UICj

ILjILjIR

1 ;,1 ;

)(

)(

)()(

)( )(

nlbbhEEU

hkhk

A

hk

ckbl

kA

bl

ck

bl

jA , (4.46)

unde ckjjk EUUJckk

şi ,, sunt reprezentările în complex ale curenţilor, tensiunilor şi t.e.m.

ale surselor independente de curent, ale surselor de curent comandate şi, respectiv, ale

surselor de tensiune comandate. Pentru a obţine un sistem complet de ecuaţii independente, la

ecuaţiile (4.45) şi (4.46) trebuie adăugate ecuaţiile de definiţie ale surselor comandate.

Prima teoremă a lui Kirchhoff în formă complexă are enunţul: suma algebrică a

reprezentărilor în complex ale curenţilor laturilor conectate într-un nod este egală cu zero.

A doua teoremă a lui Kirchhoff în formă complexă are enunţul: suma algebrică a

reprezentărilor în complex ale căderilor de tensiune rezistive kk IR , inductive

l

kpp

pkpkk ILjILj,1

, capacitive

k

k

ICj

1, de la bornele surselor ideale

independente de curent kj

U şi cele de la bornele surselor de curent comandate ckjU , este

egală, de-a lungul fiecărei bucle independente (bh), cu suma algebrică a reprezentărilor în

complex ale t.e.m. kE ale surselor independente de tensiune şi ale t.e.m. ckE ale surselor

de tensiune comandate.

140

Căderile de tensiune rezistive, inductive şi capacitive se reprezintă în complex sub forma

comună Z Ik k , în care impedanţa complexă Z k are, pentru diferite elemente de circuit,

expresiile:

k

CkpmkLkRCj

ZLjZLjZRZkkpkk

1

şi ; ; (4.47)

după cum elementul de circuit respectiv corespunde unui rezistor de rezistenţă Rk, unei bobine

ideale de inductivitate Lk, unui cuplaj magnetic cu inductivitate mutuală Lkp sau unui

condensator de capacitate Ck. Inductivitatea mutuală Lkp este pozitivă (negativă) după cum

curenţii pk II , au sensuri identice (contrare) faţă de bornele polarizate ale celor două bobine

cuplate magnetic.

Cu această convenţie, a doua teoremă a lui Kirchhoff se exprimă în forma:

bhEIZIZ

hk

A

hbkl

A

bl

k

l

kpp

pkpkk ,1 ;

)(,1)(

, (4.48)

pentru circuitele fără surse comandate, şi

b,hE

EUUIZIZ

hk

A

hk

A

hk

ckA

hk

kA

hbkl

A

bl

k

bl

ck

bl

j

bl

j

l

kp,p

pkpkk

1 ;)(

)()()(1

)(

)()()(

)(

)(

(4.49)

pentru cele cu surse comandate, unde

kkk

d

kC

LjRZ

1

(4.50)

reprezintă impedanţa complexă a laturii lk.

Analogia formală între ecuaţiile circuitelor de curent continuu şi ecuaţiile în complex

permite extinderea metodelor de analiză şi a teoremelor circuitelor în curent continuu şi

pentru circuitele în regim sinusoidal. Mărimile corespondente sunt:

I I U U E E J J R Z ; ; ; ; . (4.51)

Unele deosebiri apar la circuitele electrice cu cuplaje magnetice, datorită impedanţelor

complexe kpmZ , corespunzătoare inductivităţilor mutuale.

4.5. TEOREMA LUI JOUBERT (LEGEA LUI OHM IN COMPLEX)

Pentru o latură de circuit cu structura din figura 4.9,a, ecuaţia tensiunii la borne în valori

instantanee este:

t

kk

l

kpp

p

kpk

kkkk tedttiCdt

tdiL

dt

tdiLtiRtu

0,1

)()(1)()(

)()( . (4.52)

În complex această relaţie devine

l

kpp

pmkk

l

kpp

pkpkk

kkkk IZIZILjIC

jLjREU

pk,1,1

, (4.53)

şi reprezintă legea lui Ohm în complex (teorema lui Joubert), cu schemele echivalente

complexe din figurile 4.9,b, şi 4.9,c.

141

Dacă circuitul nu are cuplaje magnetice ( 0pkmZ ), ecuaţia (4.53) capătă forma

kkkk IZEU , (4.54)

căreia îi corespunde schema echivalentă din figura 4.9,d.

(a) (b)

(c)

(d)

Fig. 4.9

4.6. ALGORITMUL DE APLICARE A ECUAŢIILOR LUI KIRCHHOFF

Algoritmul de aplicare a ecuaţiilor lui Kirchhoff la analiza circuitelor electrice liniare în

regim sinusoidal, comportă următorii paşi:

P1. Se exprimă mărimile de excitaţie în complex şi se calculează impedanţele complexe

ale laturilor circuitului.

P2. Se construieşte schema echivalentă în complex a circuitului. Se identifică nodurile şi

buclele independente ale circuitului şi se alege pentru fiecare latură sensul curentului I k .

Observaţia 4.1. Dacă circuitul analizat conţine surse independente sau comandate de

curent, cele b bucle independente ale circuitului se aleg în aşa fel încât prin fiecare sursă de

curent să treacă o singură buclă şi sensul buclei să coincidă cu sensul curentului sursei

respective.

P3. Se scriu teoremele lui Kirchhoff în cele n-1 noduri şi pe cele b bucle independente.

P4. Dacă circuitul studiat conţine surse comandate, se scriu ecuaţiile de definiţie în

complex ale acestor surse, exprimând, cu ajutorul legii conducţiei electrice în complex

(teorema lui Joubert) sau cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff, mărimile de comandă în

funcţie de curenţii laturilor.

P5. Se rezolvă ecuaţiile circuitului în raport cu complexele mărimilor necunoscute (curenţii

I k , tensiunile U jk şi U jck

şi t.e.m. Eck ).

P6. Se determină valorile instantanee, corespunzătoare complexelor calculate la pasul

precedent.

142

Exemplul 4.4: Fie circuitul de c.a. din figura 4.10,a. Se cunosc parametrii: R1 = R2 = R3

= 3

21

1

CLL

11;

22

1

1

C

; V 100sin22021 te şi A 100cos2024 tj

jZIZE 111 , 1_311_33 . Se cer valorile complexe şi instantanee ale curenţilor

laturilor, tensiunii u4 şi t.e.m. e3.

Reprezentările în complex ale mărimilor de excitaţie au expresiile:

, 2020 şi 220220 24

01

0

jeJeEj

j

iar impedanţele complexe ale laturilor sunt:

jLjRZjjC

LjRZ

111 , 111221111

1222

1

111

şi . 1113

33 jC

jRZ

În figura 4.10,b se reprezintă schema echivalentă în complex a circuitului din figura 4.10,a.

Prima teoremă a lui Kirchhoff în formă complexă în nodul n1 are expresia

43211 JIIIn .

Pentru buclele (b1), (b2) şi (b3) a doua teoremă a lui Kirchhoff în formă complexă, folosind

sensurile de parcurs indicate în figura 4.10,b, este

122111 EIZIZb

(a) (b)

Fig. 4.10

0 333222 EIZIZb

.0 34333 EUIZb

Înlocuind numeric rezultă:

jIIIn 20 3211 ; 220111-111 211 IjIjb ;

0111111 3322 EIjIjb ; 0111 3433 EUIjb .

.111 133 IjEl

Rezolvând acest sistem de ecuaţii algebrice liniare, se obţine:

143

; 210110 ; 0 ; 210110 432

41

jj

ejIIejI

. 220220 şi 0 234

j

ejEU

Valorile instantanee ale curenţilor, tensiunii u4 şi t.e.m. e3 sunt:

=4

100sin2102 A; 0 A; 4

100sin20=4

100sin2102 321

tiitti

V 0u A; 4

100sin20 4

t şi V. 2

100sin22023

te

În figura 4.11 sunt reprezentate diagramele vectoriale ale curenţilor (ecuaţia (n1)) şi ale

tensiunilor (ecuaţia (b1)).

Fig. 4.11

4.7. CARACTERIZAREA CIRCUITULUI DIPOLAR PASIV ÎN COMPLEX

Fie un dipol liniar pasiv, aflat în regim sinusoidal (Fig. 4.12). Tensiunea şi curentul la

bornele circuitului, asociate după regula de la receptoare, sunt mărimi sinusoidale de aceeaşi

frecvenţă exprimate cu relaţiile

Fig. 4.12

utUu sin2

itIi sin2 . (4.55)

În complex cele două mărimi au expresiile:

iu jjIeIUeU

şi . (4.56)

Circuitul dipolar liniar, pasiv şi fără cuplaje magnetice cu exteriorul se caracterizează în

complex prin impedanţa complexă Z , definită prin relaţia

I

UZ

d

, (4.57)

care poate fi prelucrată succesiv în următoarele forme

144

jXRjZZeeI

Ue

I

U

I

UZ jjj iu

sincos

)(d

. (4.58)

În relaţia (4.58) s-a notat cu defazajul curentului i în urma tensiunii u, definit cu relaţia

iu d

, (4.59)

numit argumentul impedanţei complexe, Zargd

, şi cu Z modulul (valoarea) impedanţei,

ZU

Id

. (4.60)

Diagrama vectorială a mărimilor complexe este reprezentată în figura 4.13.

Relaţia (4.60) se poate scrie şi sub forma:

U Z I (4.61)

Fig. 4.13

analogă formal cu legea lui Ohm, U = RI,

valabilă pentru circuitele de curent continuu.

Relaţia (4.61) este numită, datorită acestei

analogii formale, legea lui Ohm în complex.

Părţile reală şi imaginară ale impedanţei

complexe se definesc ca fiind rezistenţa şi,

respectiv, reactanţa dipolului

cosRed

ZZR , sinImd

ZZX , (4.62)

mărimi care, în cazul general, depind de toţi parametrii circuitului (R, L, C, M), precum şi de

pulsaţie. Prin urmare, definiţia rezistenţei, în acest caz, este esenţial diferită de cea rezultată în

cadrul legii conducţiei electrice.

Dacă se cunosc R şi X, se pot calcula modulul şi argumentul impedanţei complexe

Z R X tgX

R 2 2 , . (4.63)

Impedanţa, rezistenţa şi reactanţa se măsoară în ohmi [].

Valoarea inversă a impedanţei complexe se numeşte admitanţă complexă şi se defineşte

cu una din relaţiile:

jBGjYYeeU

I

U

I

ZY jj

d

sincos1

, (4.64)

unde Y = 1/Z = I/U este modulul (valoarea) admitanţei, iar argumentul este egal cu cel al

impedanţei complexe, cu semn schimbat ().

Părţile reală şi imaginară cu semn schimbat ale admitanţei complexe se definesc ca fiind

conductanţa şi, respectiv, susceptanţa dipolului considerat

cosRed

YYG , sinImd

YYB . (4.65)

Admitanţa, conductanţa şi susceptanţa se măsoară în siemens [S].

145

4.8. RELAŢII ÎNTRE PARAMETRII DIPOLULUI

Plecând de la relaţia:

Y

Z1

(4.66)

se obţine

22

22

22 rezulta ndidentifica si

1

BG

BX

BG

GR

BG

jBG

jBGjXR . (4.67)

Plecând de la relaţia:

Z

Y1

(4.68)

se obţine

22

22

22 rezulta ndidentifica si

1

XR

XB

XR

RG

XR

jXR

jXRjBG . (4.69)

Scriind relaţia dintre cele două mărimi complexe sub forma:

111 RBGXjBXRGjBGjXRYZ (4.70)

şi identificând părţile reale şi cele imaginare din cei doi membri, rezultă relaţiile:

X

B

R

GBXRG şi 1 . (4.71)

În particular, elementele ideale de circuit: rezistorul (Fig. 4.14,a), bobina (Fig. 4.14,b) şi

condensatorul (Fig. 4.14,c) sunt circuite dipolare.

În figura 4.14,d s-a considerat un dipol oarecare de impedanţă complexă Z .

4.9. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUIT ÎN COMPLEX

Relaţiile caracteristice în valori instantanee ale celor trei elemente pasive de circuit sunt:

t

uCi

t

iLuRiu C

LRd

d ,

d

d , (4.72)

Aplicând operatorul complex (4.21) şi ţinând seama de teorema combinaţiilor liniare, a

derivatei şi, respectiv integralei, aceste ecuaţii devin:

.1

, , ICj

UILjUIRU CLR

(4.73)

Comparând aceste relaţii cu relaţia (4.61), rezultă că impedanţele complexe ale

elementelor de circuit au expresiile:

Z R Z j L Zj

CR L C , ,

, (4.74)

iar admitanţele lor complexe sunt:

. , ,1

CjYL

jY

RY CLR

(4.75)

Rezistenţele, reactanţele, conductanţele şi susceptanţele corespunzătoare sunt:

146

,0 ,1

,0 , RRRR BR

GXRR

;1

,0 , ,0 L

BGLXR LLLL

(4.76)

CcondCCcondC BCBGXC

XR

,0 ,1

,0 .

În figura 4.14 sunt reprezentate diagramele vectoriale ale tensiunilor şi curenţilor la

bornele rezistorului ideal (a), bobinei ideale (b), condensatorului ideal (c) şi ale unui circuit

inductiv (circuit general de tip industrial). În coloana a treia din figura 4.14 sunt reprezentate

grafic variaţiile în timp ale valorilor instantanee ale curenţilor şi tensiunilor la bornele acestor

elemente.

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 4.14

Din relaţiile (4.74) rezultă argumentele impedanţelor complexe egale cu defazajele

corespunzătoare

,0R adică intensitatea curentului prin rezistorul ideal este în fază cu tensiunea la borne;

, 2

L adică în cazul bobinei ideale intensitatea curentului este defazată cu 2, în urma

tensiunii la borne (ceea ce corespunde unui defazaj în timp de T/4);

,2

C adică la condensatorul ideal, intensitatea curentului este defazată cu 2,

înaintea tensiunii la borne (respectiv cu 2, în urma tensiunii la borne).

147

Aceste defazaje sunt vizibile în diagramele vectoriale şi în diagramele valorilor instantanee

indicate în figura 4.14.

Cazul general al reţelelor electrice, modelate printr-un circuit liniar pasiv de impedanţă

complexă Z se reprezintă ca în figura 3.14,d.

Observaţie: Diagramele vectoriale, reprezentând valorile efective ale celor două mărimi

electrice şi defazajul , sunt mult mai sugestive decât diagramele valorilor instantanee.

4.10. PUTERI ÎN REGIM SINUSOIDAL

4.10.1. Puterea instantanee

Un circuit dipolar liniar pasiv sau activ în regim sinusoidal (Fig. 4.15) primeşte pe la borne,

conform legii transformării energiei electromagnetice în procesul conducţiei electrice, puterea

instantanee

iu ttUIuip sinsin2 . (4.77)

Substituind produsul celor două sinusuri, expresia devine:

Fig. 4.15

iutUIUIp 2coscos , (4.78)

în care este defazajul u i .

În figura 4.16 este reprezentată variaţia în

timp a puterii instantanee pentru diferite valori

ale defazajului . Se observă că puterea

instantanee schimbă semnul în fiecare

perioadă, fiind negativă într-un interval de timp

corespunzător unghiului de fază egal cu .

Valoarea medie pe o perioadă a puterii instantanee la U şi I daţi, depinde de defazajul ,

fiind nulă pentru = şi maximă pentru = 0. În intervalele de timp t

, în care

puterea instantanee este negativă, energia primită de dipol este negativă. Deci, în aceste

intervale de timp dipolul cedează energie (electrică) şi nu primeşte. Astfel, în regim sinusoidal

transmiterea de energie, la 0, nu se face într-un singur sens.

Un circuit este prin definiţie un circuit receptor, dacă în medie pe o perioadă primeşte mai

multă energie decât cedează. Circuitul generator este prin definiţie cel care, în medie pe o

perioadă, cedează energie.

(a) (b) (c)

Fig. 4.16

148

4.10.2. Puterea activă. Valoarea medie pe o perioadă (în orice regim periodic):

T

tpT

P0

d

d1

(4.79)

se numeşte putere activă. Puterea activă primită pe la borne de un dipol corespunde sensurilor

de referinţă de la receptoare (Fig. 4.15). Unitatea de putere activă în sistemul internaţional de

unităţi SI este wattul (W) cu multipli: kilowattul (1 kW = 103 W), megawattul (1 MW = 10

6

W) şi gigawattul (1 GW = 109 W).

Pentru cazul particular al regimului sinusoidal,

P UI cos. (4.80)

Expresia (4.80) rezultă din faptul că puterea fluctuantă - iutUI 2cos , care

constituie termenul al doilea al puterii instantanee (4.78), are valoarea medie nulă pe o

perioadă de timp /2T .

Puterea activă a unui dipol pasiv se poate exprima în formele:

P RI GU 2 2. (4.81)

Puterea activă P corespunzătoare pierderilor prin efect Joule-Lenz pJ = Ri2, într-un rezistor

liniar de rezistenţă R parcurs de un curent de intensitate i, este proporţională cu pătratul valorii

efective I a intensităţii

TT

JJ RItiT

RtpT

P

0

22

0

d1

d1

. (4.82)

Evident, un receptor are o puterea activă (primită) pozitivă, iar un generator are o putere

activă (primită) negativă.

Elementele ideale dipolare pasive de circuit au puterile active

0 ;0 ;22 CLR PPGURIP . (4.83)

4.10.3. Puterea reactivă. Puterea reactivă primită de un dipol cu tensiunea u şi curentul i

sinusoidale este, prin definiţie

Q UId

sin, (4.84)

unde este defazajul curentului în urma tensiunii. Puterea reactivă se măsoară în sistemul

internaţional de unităţi SI în var (prescurtarea expresiei volt-amper-reactiv) cu multiplii:

kilovar (1 kvar = 103 var), megavar (1 Mvar = 10

6 var) şi gigavar (1 Gvar = 10

9 var).

Unitatea de măsură a fost propusă de acad. prof. ing. C. I. Budeanu (1886-1959) şi

adoptată în anul 1930 de Comisia Electrotehnică Internaţională (CEI).

Dacă defazajul este inductiv 02

, puterea reactivă rezultă pozitivă, prin urmare este

primită de dipolul receptor şi cedată de dipolul generator; dacă defazajul este capacitiv

2

0, puterea reactivă rezultă negativă, prin urmare este cedată de dipolul receptor şi

este primită de dipolul generator.

Puterea reactivă se poate exprima şi sub formele:

Q XI BU 2 2. (4.85)

Puterea reactivă (primită) pe la borne de elementele ideale pasive de circuit este:

149

Q Q LIL

U QC

I CUR L C 01 1

2 2 2 2, ,

. (4.86)

4.10.4. Puterea aparentă. Puterea aparentă S a unui dipol este, prin definiţie, produsul

dintre valoarea efectivă a tensiunii U şi valoarea efectivă I a intensităţii curentului electric la

bornele acestuia

UISd

. (4.87)

În funcţie de impedanţă sau de admitanţă, puterea aparentă are expresiile:

S ZI YU 2 2 . (4.88)

În cazul particular al elementelor ideale dipolare pasive de circuit, puterea aparentă se

poate exprima în formele:

222222 1 şi

1 ; CUI

CUISU

LLIUISGURIUIS CLR

. (4.89)

Observaţie: Puterea instantanee p şi puterea aparentă S au aceeaşi unitate de măsură în

sistemul internaţional de unităţi SI, denumită volt-amper (VA) cu multipli: kilovolt-amper (1

kVA = 103 VA), megavolt-amper (1 MVA = 10

6 VA) şi gigavolt-amper (1 GVA = 10

9 VA).

4.10.5. Puterea aparentă complexă. Produsul dintre complexul tensiunii şi complexul

conjugat al curentului de la bornele unui dipol

S U Id

*, (4.90)

este, prin definiţie, puterea aparentă complexă.

Ţinând seama de relaţiile (4.56), rezultă:

sincossincos jSjUIUIeUIeS jj iu

(4.91)

adică

S P jQ . (4.92)

Din relaţia (4.92) se constată că puterea activă este partea reală a puterii aparente

complexe, iar puterea reactivă este partea imaginară a acesteia

SQSP Im ;Re . (4.93)

Modulul puterii complexe este egal cu puterea aparentă

S U I S *

. (4.94)

Puterea complexă se poate reprezenta printr-un vector ca în figura 4.18. Orientarea

vectorului S , determinată de valoarea unghiului , şi semnele puterilor active şi reactive sunt

indicate (prin inegalităţi) în figură.

În cazul în care sensurile de referinţă sunt asociate după regula de la receptoare (Fig. 4.15)

puterile definite mai sus sunt puteri primite, în caz contrar (Fig. 4.19) ele sunt puteri cedate.

Termenul primit sau cedat se referă la sensul de referinţă al puterilor p, P, Q şi S, care au

valori algebrice.

4.10.6. Relaţii între puterile active, reactive şi aparente ale unui dipol. Relaţiile de

definiţie ale puterilor activă P , reactivă Q şi aparentă S conduc la:

S P QQ

Ptg 2 2 ; (4.95)

şi

P S Q S cos sin ; , (4.96)

în care este defazajul dintre tensiunea şi curentul la bornele dipolului căruia îi corespund.

150

Fig. 4.18 Fig. 4.19

Raportul dintre puterea activă şi puterea aparentă se numeşte factor de putere (al

dipolului)

cos22

d

QP

P

S

PkP . (4.97)

Notă:

În transportul energiei electrice se urmăreşte ameliorarea factorului de putere, în sensul

creşterii valorii acestuia cât mai aproape de valoarea sa maximă, care este egală cu unitatea.

Importanţa acestei probleme derivă din faptul că pierderile de putere, prin efect Joule- Lenz

Fig. 4.17

pe o linie bifilară (cu două conductoare)

(Fig. 4.17) sunt invers proporţionale cu

pătratul factorului de putere cos, la o

linie cu rezistenţa Rl dată, intensitate

(valoare efectivă) I, tensiune (valoare

efectivă) U şi putere transmisă P, date:

22

22

cosU

PRIRP llJ . (4.98)

Observaţii:

Pentru o asociere a sensurilor de referinţă ca în figura 4.15:

1. Bobina ideală se caracterizează printr-o putere reactivă primită pozitivă. În consecinţă,

bobina este un receptor de putere reactivă.

2. Condensatorul ideal se caracterizează printr-o putere reactivă primită negativă. Prin

urmare, condensatorul este un generator de putere reactivă.

Pentru un dipol pasiv, utilizând legea lui Ohm în complex, rezultă:

; 2***2**UYUYUIUSIZIIZIUS , (4.99)

de unde

P RI GU Q XI BU 2 2 2 2; . (4.100)

151

4.11. CIRCUITE ELECTRICE FĂRĂ CUPLAJE MAGNETICE ÎN REGIM

SINUSOIDAL

4.11.1. Circuite serie

Un circuit serie este, prin definiţie, format din elemente dipolare de circuit, parcurse de

acelaşi curent. Fie n dipoli liniari activi caracterizaţi de ,,1 ,, nkZE kk conectaţi în serie ca

în figura 4.20,a. Dacă aceste elemente nu au cuplaje magnetice între ele şi cu exteriorul,

tensiunea la bornele lor este, conform relaţiei (4.54)

U Z I E k nk k k ; 1, . (4.101)

(a)

(b)

Fig. 4.20

Deoarece tensiunea electrică nu depinde de drum (teorema tensiunilor la borne) rezultă:

n

kkUU

1

. (4.102)

Substituind relaţia (4.101) în relaţia (4.102), se obţine:

n

kk

n

kk EIZU

11

. (4.103)

Această relaţie corespunde unui dipol activ (Fig. 4.20,b), pentru care

U Z I Ees es . (4.104)

Din relaţiile (4.103) şi (4.104) rezultă:

n

kkes EE

1

(4.105)

şi

n

kkes ZZ

1

. (4.106)

Relaţia (4.105) exprimă faptul că valoarea complexă a t.e.m. echivalente a circuitului serie

este egală cu suma reprezentărilor în complex ale t.e.m. ale elementelor înseriate.

Din relaţia (4.106) rezultă că impedanţa complexă a unui circuit serie este egală cu suma

impedanţelor complexe componente.

Relaţiile (4.105) şi (4.106) sunt formal identice cu cele obţinute la circuitele de curent

continuu. Plecând de la analogia formală dintre circuitele electrice de c.a. în complex şi

circuitele de c.c. se poate arăta simplu că n dipoli activi caracterizaţi de parametrii

,,1 ,, nkYJ kk conectaţi în serie se pot echivala cu un dipol echivalent ai cărui parametri

au expresiile:

152

.11

;1 1

1

1

n

k kesn

k k

n

k k

k

esYY

Y

Y

J

J (4.107)

Impedanţa complexă echivalentă serie, ca şi impedanţele complexe ale dipolilor înseriaţi,

au ca parte reală o rezistenţă electrică şi ca parte imaginară o reactanţă

Z R jX Z R jXes es es k k k ; . (4.108)

Egalând părţile reale şi, respectiv, părţile imaginare din cei doi membri ai relaţiei (4.107),

rezultă:

n

kkes

n

kkes XXRR

11

; . (4.109)

Adică, rezistenţa (reactanţa) echivalentă a unui circuit serie este egală cu suma

rezistenţelor (reactanţelor) elementelor înseriate.

4.11.2. Regula divizorului de tensiune

În cazul particular, când cei n dipoli conectaţi în serie sunt pasivi ( E k nk 0 1, , ),

tensiunea complexă U k de la bornele impedanţei complexe Z k are expresia:

nk

Z

ZUU

n

kk

kk ,1 ,

1

. (4.110)

Relaţia (4.110) reprezintă regula divizorului de tensiune, care exprimă modul de

distribuţie al tensiunii aplicate unei conexiuni serie de dipoli, caracterizaţi prin impedanţe

.

Fig. 4.21

La un circuit compus din doi dipoli

conectaţi în serie (Fig. 4.21,a), tensiunea

complexă U aplicată la bornele circuitului se

divide în tensiunile complexe şi 21 UU la

bornele celor doi dipoli, după relaţiile:

21

22

21

11

ZZ

ZUU

ZZ

ZUU

(4.111)

În general, tensiunea efectivă U1 sau U2 poate fi mai mică sau mai mare decât tensiunea

efectivă U aplicată divizorului (Fig. 4.21,b). Pentru măsurarea tensiunilor înalte U, tensiunea

U2 fiind mai mică, se aleg dipoli astfel încât, fie

021 (4.112)

şi divizorul este potenţiometric, fie

1 22

, (4.113)

şi divizorul este capacitiv.

153

4.11.3. Circuitul serie R, L, C şi rezonanţa de tensiune

Ecuaţia de funcţionare a circuitului din figura 4.22 este:

CLR UUUU , (4.114)

unde

IC

jI

CjUILjUIRU CLR

1 , , . (4.115)

Se spune că circuitul este la rezonanţă când

0 CL UU , (4.116)

cele două tensiuni având în acest moment valoare maximă, UL0, respectiv UC0, (oricât de

mare, mai mare decât a tensiunii aplicate U ), ceea ce dă numele fenomenului de rezonanţă

de tensiune.

Fig. 4.22

Ţinând seama de relaţiile (4.115), relaţia (4.116)

conduce la condiţia

CL XXC

L 1

, (4.117)

numită condiţie de rezonanţă.

Din această relaţie rezultă valoarea pulsaţiei de

rezonanţă

LC

10 , (4.118)

satisfăcută pentru frecvenţa tensiunii aplicate

, (4.119)

numită frecvenţă de rezonanţă.

Impedanţa complexă a laturii este

CLjRZ

1, (4.120)

cu un argument

R

CL

arctg

1

, (4.121)

iar curentul prin latură are valoarea efectivă

2

2 1

CLR

U

Z

UI

. (4.122)

Consecinţe ale rezonanţei de tensiune:

1. Tensiunea aplicată circuitului se regăseşte în totalitate la bornele rezistenţei –

consecinţă a relaţiilor (4.114) şi (4.116).

2. Valoarea impedanţei circuitului este minimă, RZ - conform relaţiei (4.120).

3. Valoarea curentului prin circuit este maximă, I IU

Rmax 0 , conform relaţiei (4.122).

154

4. Valoarea argumentului impedanţei complexe, , reprezentând defazajul dintre curent şi

tensiune, este zero – conform relaţiei (4.121).

5. Puterea reactivă absorbită de circuit, sinUIQ este nulă.

În figura 4.23 sunt reprezentate diagramele vectoriale la rezonanţă, înainte şi după

rezonanţă.

(a)

(b)

(c) Fig. 4.23

Sub aspect energetic, rezonanţa de tensiune se caracterizează prin faptul că întreaga putere

instantanee primită de circuit se transformă prin efect Joule-Lenz ireversibil în căldură

p ui u u u i u i RiR L C R ( ) 2 . (4.123)

Energia electromagnetică se transformă oscilând din formă electrică în formă magnetică, şi

invers, astfel încât suma dintre energia înmagazinată în condensator şi energia înmagazinată

în bobină este constantă şi egală cu valoarea maximă a energiei electrice a condensatorului,

respectiv a energiei magnetice a bobinei:

2222

2222LmCmLC

me

LICULiCuWW . (4.124)

În relaţia (4.124) s-au notat cu indicele m valorile maxime II Lm 2 , respectiv

U UCm C 2 .

Legat de acest fenomen, se defineşte factorul de calitate Qc al circuitului

QU

U

U

U

L

R CR

R

Rc

L C d

0 0 0

0

01

, (4.125)

unde s-a notat cu R0, parametrul de dimensiunea unei rezistenţe

RL

C0 . (4.126)

Expresia valorii efective a curentului I raportată la valoarea curentului la rezonanţă I0 poate

fi exprimată sub forma:

2

0

0

20

1

1

cQI

I. (4.127)

Defazajul al curentului în raport cu tensiunea aplicată este dat de expresia:

155

0

0

1

carctgQR

CL

arctg . (4.128)

În figurile 4.24,a şi, respectiv, b sunt reprezentate caracteristicile de frecvenţă

00

fI

I şi, respectiv,

0

g , indicându-se influenţa factorului de calitate Qc asupra

curbelor.

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.24

Variaţiile tensiunilor

00

şi gU

Uf

U

U CL prezintă de asemenea interes. Relaţiile

care determină aceste mărimi sunt:

156

2

0

0

2

0

2

0

0

2

00

0

11

c

cL

c

cL

Q

QU

U

Q

UQRIR

LLIU

(4.129)

şi, respectiv

.

11

11

2

0

0

2

0

2

0

0

2

0

0

0

c

cC

c

cC

Q

QU

U

Q

UQRICR

IC

U

(4.130)

Valorile maxime pentru mărimile UL şi UC se obţin pentru pulsaţiile:

02

0

12

2

c

cL

Q

Q (4.131)

şi, respectiv

0

2

02

12

c

cC

Q

Q (4.132)

prin anularea derivatelor de ordinul întâi ale celor două funcţii.

Valorile maxime ale mărimilor UL şi UC au expresiile

00

14

2

2max,max, CLc

c

ccCL UUUQ

Q

QUQUU

. (4.133)

Reprezentarea grafică a celor două tensiuni raportate la tensiunea de alimentare, în funcţie

de pulsaţie raportată la pulsaţia de rezonanţă, se prezintă în figura 4.24,c, unde

122

1

2000

cc

CL

QQ. (4.134)

După scopul urmărit în circuitele respective, fenomenul de rezonanţă în circuitul RLC serie

poate fi apreciat în mod diferit, după cum urmează:

- ca un fenomen periculos în sistemul electroenergetic, deoarece pot apare supratensiuni

periculoase care pot avea ca efect străpungerea izolaţiilor, putând fi deci o sursă de avarii, dar

şi ca fenomen util, când este folosit pentru filtrarea armonicilor superioare de curent şi

tensiune cu ajutorul filtrelor rezonante pe armonica ce urmează a fi eliminată;

- ca fenomen util în circuitele de curenţi slabi, unde caracteristicile de frecvenţă exprimă

banda de trecere pentru I I/ /0 1 2 (Fig. 4.24,a). În consecinţă

1212

1 0

0

2

0

0

2

0

cc QQ

I

I (4.135)

sau

157

.1

;1

1

0

0

1

2

0

0

2

cc QQ

(4.136)

Din relaţia (4.136) rezultă:

1 2 0

2 2 1

0 0

1

;

Qc

. (4.137)

Circuitul este cu atât mai selectiv cu cât este mai mic, deci cu cât factorul de calitate Qc

este mai mare.

La variaţii mici r = /0, ale pulsaţiei relative în jurul pulsaţiei de rezonanţă r = /0

= 1 corespund variaţii Ir = I/I0, ale valorii relative a intensităţii curentului, care se pot

aproxima prin relaţia

222 rcr QI . (4.138)

4.11.4. Circuite derivaţie

Circuitele formate din elemente de circuit dipolare conectate între aceleaşi două borne se

numesc circuite derivaţie sau circuite paralel. Toate elementele de circuit dipolare legate în

derivaţie au aceeaşi tensiune la borne u. Fie n dipoli liniari activi caracterizaţi de

,,1 ,, nkZE kk conectaţi în paralel ca în figura 4.25,a.

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în unul din nodurile circuitului derivaţie, rezultă

complexul intensităţii curentului (total) la bornele circuitului derivaţie

I I k

k

n

1

. (4.139)

(a)

(b)

Fig. 4.25

Din teorema lui Joubert (4.54) rezultă complexul intensităţii curentului:

IZ

UE

ZY U Y E k nk

k

k

k

k k k 1

1, , , (4.140)

unde Y Z k nk k 1 1/ ,, .

Substituind relaţia (4.140) în relaţia (4.139), rezultă:

n

k k

kn

k k Z

EU

ZI

11

1 (4.141)

sau

158

n

k

kk

n

k

k EYUYI11

. (4.142)

Relaţiile (4.141) şi (4.142) corespund unui circuit format dintr-o sursă ideală de tensiune şi

un dipol pasiv conectate în serie (Fig. 4.25,b):

ededed

ed

EUYEUZ

I 1

, (4.143)

cu o impedanţă complexă

1 1

1Z Zed kk

n

(4.144)

şi, respectiv o admitanţă complexă

Y Yed k

k

n

1

. (4.145)

Complexul t.e.m. echivalente este

E

E

Z

Z

Y E

Y

ed

k

kk

n

kk

n

k k

k

n

k

k

n

1

1

1

1

1. (4.146)

Circuitele din figurile 4.25,a şi 4.25,b, sunt deci echivalente.

Inversul impedanţei complexe echivalente (admitanţa complexă echivalentă) a circuitului

derivaţie eded YZ /1 este egal cu suma inverselor impedanţelor complexe (cu suma

admitanţelor complexe) ale elementelor dipolare conectate în derivaţie (4.144) ((4.145)).

Tensiunea electromotoare echivalentă a unui circuit derivaţie Eed se exprimă în funcţie de

impedanţele complexe Z k sau admitanţele complexe Y k şi complexele t.e.m. E k ale dipolilor

componenţi, conectaţi în derivaţie, prin relaţia (4.146).

Între conductanţele şi susceptanţele admitanţelor complexe ale dipolilor componenţi şi cele

ale dipolului echivalent rezultă, din relaţia (4.145), relaţiile:

G Ged k

k

n

1

(4.147)

şi, respectiv

B Bed k

k

n

1

. (4.148)

Aceste relaţii arată că circuitul derivaţie are o conductanţă (susceptanţă) echivalentă egală

cu suma conductanţelor (susceptanţelor) dipolilor legaţi în derivaţie.

Relaţiilor (4.139) şi (4.145) le corespund diagrame vectoriale de curenţi, respectiv de

admitanţe, în planul complex. Aceste diagrame arată că vectorii corespunzători curentului

total I şi admitanţei complexe echivalente Yed se obţin prin însumarea vectorială a vectorilor

corespunzători curenţilor I k , respectiv admitanţelor complexe Y k .

Relaţiile (4.144) şi (4.145) sunt formal identice cu cele obţinute la circuitele de curent

continuu. Plecând de la analogia formală dintre circuitele electrice de c.a. în complex şi

circuitele de c.c. se poate arăta simplu că n dipoli activi caracterizaţi de parametrii

,,1 ,, nkYJ kk conectaţi în paralel se pot echivala cu un dipol echivalent ai cărui parametri

au expresiile:

159

J J Y Yed k

k

n

es k

k

n

1 1

; . (4.149)

În cazul particular, când cei n dipoli conectaţi în derivaţie sunt pasivi ( E k nk 0 1, , ),

curentul complex I k prin admitanţa complexă Y k , conform relaţiilor (4.140) şi (4.142) are

expresia:

I IY

Y

k nkk

k

k

n

1

1, , . (4.150)

Relaţia (4.150) reprezintă regula divizorului de curent.

Pentru n = 2, ea capătă forma:

21

22

21

11 respectiv, şi,

YY

YII

YY

YII

, (4.151)

iar relaţiile (4.144) şi, respectiv (4.145) devin:

21

21

21 respectiv, şi, YYYZZ

ZZZ eded

. (4.152)

4.11.5. Circuitul R, L, C derivaţie şi rezonanţa de curent

Se consideră circuitul RLC derivaţie cu bobină ideală, reprezentat în figura 4.26.

Ecuaţia de funcţionare a circuitului este:

CLR IIII , (4.153)

unde

UjBUCj

C

j

UIUjB

Lj

UIUG

R

UI CCLLR

, , . (4.154)

Se spune că circuitul este la rezonanţă când

0 CL II , (4.155)

cei doi curenţi având în acest moment valoare maximă, IL0, respectiv IC0, (oricât de mare, mai

mare decât a curentului total absorbit de circuit pe la borne), ceea ce dă numele fenomenului

de rezonanţă de curent.

Ţinând seama de relaţiile (4.154), relaţia (4.155) conduce la condiţia

CL BBCL

1

, (4.156)

numită condiţie de rezonanţă.

Din această relaţie rezultă expresii ale pulsaţiei şi, respectiv, frecvenţei de rezonanţă,

similare cu cele obţinute la rezonanţa circuitului RLC serie.

Admitanţa complexă a laturii este

C

Lj

RY

11, (4.157)

cu un argument

160

R

CLarctg

/1

1

, (4.158)

iar curentul total absorbit de circuit are valoarea efectivă

2

2

11

C

LRUYUI

. (4.159)

Consecinţe ale rezonanţei de tensiune:

1. Curentul total absorbit de circuit pe la borne, la rezonanţă, se regăseşte în totalitate prin

latura rezistivă – consecinţă a relaţiilor (4.153) şi (4.155).

2. Valoarea admitanţei circuitului este minimă, GY - conform relaţiei (4.157).

3. Valoarea curentului absorbit de circuit pe la borne este minimă,

RUYUII /0min , conform relaţiei (4.159).

4. Valoarea argumentului impedanţei complexe, , reprezentând defazajul dintre curent şi

tensiune, este zero – conform relaţiei (4.161).

5. Puterea reactivă absorbită de circuit, sinUIQ , este nulă.

În figura 4.26 sunt reprezentate diagramele vectoriale ale curenţilor pentru: < 0 (Fig.

4.26,b), = 0 (Fig. 4.26,c) şi > 0 (Fig. 4.26,d).

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 4.26

Factorul de calitate al circuitului are expresia:

QI

I

I

I

U

L

R

U

R

L

R

Rc

dL C

0 0

0 0 0 0 0 , (4.160)

unde

161

RL

C0 , (4.161)

Expresia valorii efective a curentului I raportată la valoarea curentului la rezonanţă I0 este:

2

0

02

0

1

cQ

I

I. (4.162)

Defazajul al curentului în raport cu tensiunea aplicată este dat de expresia:

0

0

/1

1

carctgQR

CLarctg

G

Barctg . (4.163)

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.27

În figurile 4.27,a şi b sunt reprezentate caracteristicile de frecvenţă

00

fI

I şi,

respectiv,

0

g , indicându-se influenţa factorului de calitate Qc asupra curbelor. În

figura 4.27,c s-a reprezentat grafic variaţia modulului impedanţei complexe echivalente a

circuitului raportată la modulul de la rezonanţă Z0 = R

162

2

0

020

1

1

cQZ

Z, (4.164)

pe care se defineşte banda de trecere

Z

Z0

1

2 . (4.165)

Din ultimele două relaţii se obţine:

cc

cQQ

Q1

;1

2

11

2

0

0

2

0

1

1

0

2

0

02

. (4.166)

Ca şi în cazul circuitului RLC serie, rezultă:

cQ

1 ;

00

122021

. (4.167)

Se observă că la rezonanţă curenţii prin bobină şi prin condensator satisfac relaţia:

000IQII cCL , (4.168)

deci, aceşti curenţi pot depăşi de Qc ori curentul total de la bornele circuitului.

În cazul circuitelor reale, bobinele au rezistenţă nenulă, şi schemele corespunzătoare serie,

respectiv paralel sunt cele din figura 4.28a, respectiv b.

(a) (b)

Fig. 4.28

Analizând circuitele din figura 4.28 se obţin următoarele relaţii de echivalenţă

R j LR j L

R j Ls s

p p

p p

, (4.169)

din care rezultă:

RR L

RX

R L

Lp

s s

s

ps s

s

2 2 2 2 2 2

; . (4.170)

Factorul de calitate este

QR

X

X

Rc

p

p

s

s

0

0. (4.171)

La rezonanţă sunt valabile relaţiile:

163

s

s

s

Cs

s

spcscs

s

sspp

CR

L

R

XX

R

XZQRQR

R

XRRZ 00

20

022

20

0 ;1 . (4.172)

Relaţia

1

0

0

202 2

0

CX

R L

Lp

s s

s

, (4.173)

se poate scrie în două moduri

L

CR L

L C

CR

L

ss s

s

s

s

202 2

0

211 (4.174)

şi

1 1 1

10

0

2

2 0 2

CL

Q

Q L C

Q

Qs

c

c s

c

c

. (4.175)

Din cele de mai sus rezultă următoarele concluzii:

1) Pulsaţia reală de rezonanţă este mai mică decât cea ideală (calculată cu valorile Ls şi C)

0 0

1, ,real ideal

sL C ; (4.176)

2) Pulsaţia reală de rezonanţă depinde de rezistenţa din circuit Rs;

3) Dacă

CR

L

s

s

2

1 (4.177)

nu există frecvenţă de rezonanţă;

4) Dacă factorul de calitate Qc are o valoare suficient de mare (de exemplu Qc > 10), atunci

se poate lua cu o aproximaţie suficient de bună

CLs

real

1,0 ; (4.178)

5) Deoarece Rp este funcţie de , impedanţa circuitului paralel real este maximă la o

pulsaţie diferită de pulsaţia de rezonanţă şi anume

' 1

11

4 2L C Qs c

. (4.179)

Prin urmare

0

1 '

L Cs, (4.180)

ultima relaţie fiind valabilă pentru Qc 1

3.

164

Fig. 4.29

Valoarea Qc = 1/2 se numeşte amortisment critic şi se

traduce prin lipsa frecvenţelor la care impedanţa să fie maximă.

Acest caz se aplică la eliminarea oscilaţiilor dispozitivelor

mobile ale voltmetrelor, la circuitele TV pentru frecvenţe

definite de inductivităţile şi capacităţile repartizate;

6) O aplicaţie importantă, unde apare rezonanţa paralel,

este circuitul din figura 4.29 în care se utilizează o rezistenţă

reglabilă pentru modificarea frecvenţei de rezonanţă f0, în

scopul compensării eventualelor influenţe ale unei sarcini dintr-

un circuit complex asupra acestei frecvenţe.

Proprietăţile circuitului RLC real paralel se pot folosi la obţinerea controlului automat al

frecvenţei (CAF), utilizat la radioreceptoarele de clasă în banda de modulaţie în frecvenţă.

4.12. CIRCUITE CU CONEXIUNE MIXTĂ UTILIZATE ÎN TEHNICĂ

4.12.1. Circuite care debitează un curent sinusoidal independent de sarcină

Se consideră circuitul electric din figura 4.30,a.

Complexul curentului prin impedanţa de sarcină sZ se calculează cu regula divizorului de

curent

2121

2

2

21

ZZZZZ

ZU

ZZ

ZII

ss

s

. (4.181)

Dacă

021 ZZ , (4.182)

atunci curentul de sarcină este independent de impedanţa laturii, iar circuitul este un generator

de curent constant numit şi circuit Boucherot.

Satisfacerea condiţiei (4.182) implică relaţiile:

0 şi 0 2121 XXRR . (4.183)

Deoarece rezistenţele nu pot fi negative, rezultă:

2121 şi 0 XXRR , (4.184)

adică circuitul trebuie realizat cu elemente pur reactive în variantele din figura 4.30,b sau c, în

care bobina şi condensatorul trebuie să satisfacă condiţia de rezonanţă

C

L

1

. (4.185)

(a)

165

(b)

(c)

Fig. 4.30

Realizarea practică a unui astfel de circuit, elementele de circuit nefiind ideale, impune

satisfacerea condiţiei

21

21

RR

ZZZ s

. (4.186)

Curentul debitat de generator va fi

UL

CjI s , (4.187)

sensul minus corespunzând schemei din figura 4.30,b, iar semnul plus celei din figura 4.30,c.

Valoarea efectivă a acestui curent este deci

UL

CI s , (4.188)

iar defazajul în raport cu tensiunea la borne

2

. (4.189)

Se observă că la o valoare efectivă constantă a tensiunii la borne, puterea activă primită de

circuit P R Is s 2 este proporţională cu rezistenţa sarcinii ss ZR Re . La un astfel de circuit

nu este periculos scurtcircuitul (Rs = 0), cu Psc = 0, ci mersul în gol (Rs ), pentru care

puterea activă P, tensiunile UL, UC şi curenţii IL, IC devin infiniţi. Trebuie deci evitată

deconectarea sarcinii la circuitele Boucherot, pentru a nu se produce tensiuni şi curenţi foarte

mari în bobină şi în condensator, valori ce ar putea distruge circuitul şi ar periclita securitatea

persoanelor care utilizează aceste circuite. În practică, bobina are întotdeauna o rezistenţă care

produce o oarecare variaţie a curentului de sarcină în funcţie de impedanţa acesteia.

În circuitul reprezentat în figura 4.31, curentul I 5 este independent de impedanţa complexă

Z5, dacă este satisfăcută una din condiţiile:

0sau 0 4321 ZZZZ . (4.190)

Demonstrarea relaţiei (4.190) se face simplu folosind teorema lui Thévenin

IU

Z Z

AB

AB

50

5 0

, (4.191)

unde:

4321

4132

21

1

43

30ZZZZ

ZZZZU

ZZ

UZ

ZZ

UZU AB

(4.192)

şi

43

43

21

210

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZ AB

. (4.193)

166

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.31

Introducând relaţiile (4.192) şi (4.193) în relaţia (4.191) rezultă:

2143432143215

41325

ZZZZZZZZZZZZZ

ZZZZUI

, (4.194)

de unde se observă că dacă este satisfăcută condiţia (4.190), curentul I 5 este independent de

impedanţa complexă Z5. Dacă: Z j L Z j C Z j C Z j L1 1 2 2 1 1 2 21 1 ; sau ; / / şi

44334433 ;/1sau /1 ; LjZCjZCjZLjZ figura 4.31,b şi, respectiv, figura 4.31,c,

condiţia (4.193) este îndeplinită.

4.12.2. Circuite dipolare complet rezistive

Circuitele dipolare complet rezistive sunt circuite a căror impedanţă complexă este

independentă de frecvenţă, deşi conţin în structura lor elemente de circuit reactive. Impedanţa

echivalentă complexă a circuitul dipolar pasiv din figura 4.32,a are expresia

CLjR

C

LR

CLjR

C

L

R

C

jR

C

jR

LjR

LjRZ e

1

12

2

. (4.195)

Dacă

RL

C (4.196)

impedanţa echivalentă complexă a dipolului devine

Z Re . (4.197)

Analog, circuitul reprezentat în figura 4.32,b are impedanţa complexă echivalentă

Z Re k

k

n

1

(4.198)

dacă sunt îndeplinite condiţiile

RL

Cj nk

k

k

, , 1 . (4.199)

167

(a)

(b)

Fig. 4.32

Circuitul dipolar pasiv din figura 4.33,a este de asemenea un circuit complet rezistiv cu

impedanţa complexă echivalentă dată de relaţia (4.197), dacă este satisfăcută relaţia (4.196),

iar circuitul reprezentat în figura 4.33,b are impedanţa (4.198) dacă sunt îndeplinite condiţiile

(4.199).

(a)

(b)

Fig. 4.33

4.13. TEOREMELE CIRCUITELOR ELECTRICE ÎN REGIM SINUSOIDAL

4.13.1. Teorema transferului maxim de putere activă

Fie un generator real de curent alternativ care are t.e.m. complexă E şi impedanţa

complexă internă Z R jXi i i , care alimentează un receptor de impedanţă complexă

sss jXRZ (Fig. 4.34).

Teorema transferului maxim de putere activă stabileşte condiţiile necesare şi suficiente în

care generatorul debitează o putere activă maximă pe receptorul de impedanţă complexă sZ .

168

Fig. 4.34

Enunţ. Un generator de t.e.m. E şi impedanţă complexă

internă Z R jXi i i date debitează în regim sinusoidal o

putere activă maximă

PE

Ri

max 2

4, (4.200)

atunci când impedanţa complexă de sarcină sZ are o

rezistenţă Rs egală cu rezistenţa internă a generatorului şi o

reactanţă Xs, egală în valoare absolută şi de semn contrar

cu reactanţa internă a generatorului.

Demonstraţie. Conform teoremei a doua a lui Kirchhoff în complex avem

EIZIZ si , (4.201)

de unde

si ZZ

EI

. (4.202)

Substituind impedanţele complexe în funcţie de rezistenţe şi reactanţe, rezultă:

sisi XXjRR

EI

. (4.203)

Valoarea efectivă a curentului absorbit de impedanţa de sarcină este

22 )()( sisi XXRR

EI

, (4.204)

iar puterea activă primită de receptor este

2

22

2 EXXRR

RIRP

sisi

ss

. (4.205)

La Rs, Ri, Xi şi E daţi, puterea activă (4.205) este maximă în raport cu Xs pentru

issi XXXX 0 , (4.206)

Puterea activă primită de un receptor care satisface relaţia (4.206) este

2

2E

RR

RP

i . (4.207)

Condiţia de maxim al acestei puteri se obtine anulând derivata ei în raport cu rezistenţa de

sarcină. Derivând în raport cu rezistenţa Rs expresia puterii active (4.207), se obţine:

2

3

2

4

22

ERR

RRE

RR

RRRRR

R

P

si

si

si

ssisi

s

, (4.208)

care se anulează pentru

is RR . (4.209)

Ţinând seama de relaţiile (4.206) şi (4.209) rezultă că pentru transfer maxim de putere

activă pe rezistenţa de sarcină este necesară satisfacerea condiţiei

169

iiis ZjXRZ . (4.210)

Maximul puterii debitate de generator în condiţiile stabilite este:

PE

Ri

max 2

4. (4.211)

Consecinţe

a) Randamentul corespunzător debitării puterii active maxime este

2

12

2max

si

s

si

s

total RR

R

IRR

IR

P

P . (4.212)

b) Intensitatea curentului corespunzător puterii maxime rezultă din relaţia (4.203)

iR

EI

2 . (4.213)

c) Tensiunea complexă la borne, la putere activă maximă, are expresia

Ee

ER

jXRU

j

s

ss

cos2

1

2

, (4.214)

unde cos este factorul de putere al sarcinii care primeşte puterea activă maximă, egal cu

factorul de putere intern al sursei cos ii

i

R

Z .

d) În practică, realizarea condiţiilor (4.206) şi (4.209), numită adaptarea receptorului la

generator, se realizează (aproximativ) prin intercalarea între generator şi receptor a unui

transformator electric (cât mai apropiat de un transformator electric ideal), cu un raport de

transformare k adecvat, care “transformă” impedanţa în raportul necesar.

Fig. 4.35

Faţă de primar, o impedanţă din secundar se

reflectă înmulţită cu k2. În figura 4.35 se prezintă

un exemplu de adaptare, unde sursa poate fi

considerată etajul final al unui receptor, iar sarcina

un difuzor. În acest caz este necesar un

transformator de adaptare cu raportul de

transformare

.1010010

10002 kR

Rk

s

i (4.215)

4.13.2. Teoremele de conservare a puterilor

Puterea complexă primită pe la borne în regim sinusoidal de o latură completă de circuit

are expresia

*

kkk IUS , (4.216)

în care U k , I k* sunt respectiv complexul tensiunii la borne şi complexul conjugat al intensităţii

curentului la borne, exprimate faţă de sensurile de referinţă corespunzătoare convenţiei pentru

receptoare.

170

Fie U l şi I l* vectorul tensiunilor complexe ale laturilor circuitului şi, respectiv, vectorul

curenţilor complex conjugaţi ai laturilor circuitului. Puterea complexă primită de un circuit

electric în regim sinusoidal, izolat de exterior, pe la bornele celor l laturi este

S U Ik k

k

l

l k

* *

1

U It

. (4.217)

Vectorul U l se poate exprima în funcţie de vectorul potenţialelor electrice complexe V n1,

atribuite celor n 1 noduri independente ale circuitului (V n d

0), prin relaţia (vezi Cap. 2)

U A Vl n t

1, (4.218)

unde A este matricea redusă de incidenţă laturi-noduri, de dimensiune (n 1) l.

Vectorul I l* se poate exprima în funcţie de vectorul I b

* al curenţilor de buclă complex

conjugaţi, asociaţi celor b bucle independente ale circuitului, prin relaţia (vezi Cap. 2)

I B Il b* * t , (4.219)

în care B este matricea de incidenţă laturi-bucle având dimensiunea b l .

Din ultimele trei relaţii şi ţinând seama de proprietatea de ortogonalitate a matricelor A şi

B (vezi Cap. 2), se obţine prima formă a teoremei conservării puterilor complexe

0*tt

1

*tt

1t*t

1

*

bnbnkl

l

k

kk IUS IABVIBVAIU . (4.220)

Separând părţile reale şi cele imaginare, rezultă prima formă a teoremelor de conservare a

puterilor active şi reactive

0sin ,0cos1111

l

k

k

l

k

kkk

l

k

k

l

k

kkk QIUQPIUP . (4.221)

Această primă formă a teoremelor are enunţul: suma puterilor complexe (active, reactive)

primite de laturile unui circuit electric în regim sinusoidal, izolat de exterior, este nulă.

O cale alternativă de obţinere a relaţiei (4.220) este următoarea: aplicând complexul

conjugat primei teoreme a lui Kirchhoff, se obţine

0*

)(

k

nl

A I

jk

. (4.222)

Înmulţind la stânga cu potenţialul complex al nodului nj, V j , apoi făcând suma după j de la

1 la n şi ţinând seama că tensiunea complexă de la bornele laturii lk, U k , este diferenţa dintre

potenţialul complex al nodului de unde pleacă (iese) sensul de referinţă al laturii lk şi cel al

nodului unde ajunge (intră) sensul laturii lk, se obţine relaţia (4.220).

Dacă în relaţia (4.220) se înlocuieşte tensiunea complexa U k cu expresia

U Z I j L I Ek k k kp p

p p k

l

k

1,

, (4.223)

rezultată din legea lui Ohm în complex se obţine:

l

k

k

l

kpp

pkpkk

l

k

kk IILjIZIE1

*

,11

* . (4.224)

171

Mărimea

l

k

kkG IES1

*d

, (4.225)

numită puterea complexă cedată (debitată) de sursele circuitului, are, pentru circuite ce

conţine şi surse independente de curent şi surse de curent şi de tensiune comandate, expresia

ec j jc

ckk

e n

k

n

k

n

k

ckjkjckck

n

k

kkG JUJUIEIES1 1 1

***

1

*d

(4.226)

şi

l

k

kp

l

kpp

kp

nl

k

kkcZ IILjIZSS1

*

,11

2d

, (4.227)

numită putere complexă consumată în impedanţele circuitului. Astfel relaţia (3.224) devine

ZG SS . (4.228)

Membrul drept al relaţiei (4.227) se poate scrie şi sub forma:

l

k

l

k k kp

iipkkpkk

kk

l

k

kk pkIILjI

CjILjIR

1 1

22

1

2 cos21

, (4.229)

unde s-a ţinut seama de relaţia

l

k k kp k kp

iipkkppkpkkpk

l

kpp

pkp pkIILjIIIILjIILj

1

***

,1

cos2

(4.230)

Din analiza relaţiilor de mai sus rezultă:

RG PP şi XG QQ , (4.231)

unde:

ec jc

ckck

j

kk

e n

k

n

k

jckj

n

k

jkjckckck

n

k

kkkG JUJUIEIEP1 111

coscoscoscos (4.232)

P R IR k k

k

l

2

1

(4.233)

ec jc

ckck

j

kk

e n

k

n

k

jckj

n

k

jkjckckck

n

k

kkkG JUJUIEIEQ1 111

sinsinsinsin (4.234)

k kp

l

k

k

k

iipkkp

l

k

kkCLX IC

IILILQQQpk

1

2

1

2 1cos2 (4.235)

k kp

iipkkp

l

k

kkL pkIILILQ cos2

1

2, Q

CI C UC

k

k

k

l

k C

k

l

k

1

2

1

2

1 (4.236)

172

Relaţiile (4.228) şi (4.231)-(4.236) constituie a doua formă a teoremei conservării puterilor

care are enunţul: la un circuit electric în regim sinusoidal, izolat de exterior, suma puterilor

complexe (active, reactive) cedate de sursele circuitului este egală cu suma puterilor

complexe (active, reactive) consumate în impedanţele (rezistoarele, bobinele şi

condensatoarele) circuitului.

PR este puterea activă disipată în rezistoarele circuitului şi QL, respectiv QC sunt puterile

reactive absorbite de bobinele, respectiv condensatoarele circuitului.

În ecuaţiile (4.236) puse sub forma:

eCmL WQWQ 2 ,2 (4.237)

puterile reactive QL şi QC sunt proporţionale cu energiile medii acumulate în câmpul magnetic

al bobinelor, respectiv în câmpul electric al condensatoarelor circuitului,

k kp

iipkpk

l

k

kkLm pkIILILWW cos

2

1

1

2, (4.238)

W W C Ue C k k

k

l

1

22

1

. (4.239)

4.13.3. Compensarea puterii reactive. Îmbunătăţirea factorului de putere

Conductoarele liniilor de distribuţie a energiei electrice se dimensionează din punctul de

vedere al izolaţiei în funcţie de valoarea efectivă a tensiunii U, iar secţiunea conductoarelor se

alege în funcţie de valoarea efectivă a curentului I. Reţelele de transport şi distribuţie a

energiei electrice sunt utilizate în condiţii optime dacă puterile active sunt maxime şi egale cu

puterile aparente S = P = UI. În realitate, din cauza defazajului dintre tensiune şi curent,

puterea activă este mai mică decât puterea aparentă şi reţeaua este utilizată în condiţii cu atât

mai dezavantajoase cu cât factorul de putere este mai mic. Transferul de putere reactivă prin

reţea conduce nu numai la reducerea capacităţii de transmisie a puterii active, ci şi la pierderi

suplimentare de putere activă pe liniile reţelei. Pe de altă parte, deoarece sursa unică de putere

activă în sistemul electroenergetic sunt generatoarele din centrale, în timp ce puterea reactivă

poate fi obţinută şi din surse alternative, este necesară utilizarea generatoarelor din centrale cu

precădere pentru producerea de putere activă.

În general, în reţelele electrice de distribuţie a energiei electrice, puterea reactivă este de

natură inductivă datorită principalilor consumatori inductivi: motoare asincrone,

transformatoare etc., dar ea poate fi capacitivă în reţelele cu pondere mare de cabluri (reţele

urbane) astfel încât în anumite situaţii este necesară injectarea de putere reactivă (în reţelele

inductive), iar în altele este necesară consumarea ei (în reţelele capacitive).

Această compensare a puterii reactive se poate face la nivelul sistemului electroenergetic,

cu ajutorul compensatoarelor sincrone (maşini sincrone funcţionând în regim supraexcitat sau

subexcitat) sau a compensatoarelor statice (dispozitive alcătuite din bobine şi condensatoare

comandate cu punţi cu tiristoare).

Îmbunătăţirea factorului de putere la nivelul unui receptor se poate realiza principial (Fig.

4.36,a) conectând la bornele receptorului un condensator de capacitate C.

173

(a) (b)

Fig. 4.36

Capacitatea necesară obţinerii unui factor de putere impus ecos , superior factorului de

putere cos sub care receptorul absoarbe puterea activă P şi puterea reactivă Q la o tensiune

de alimentare care are valoarea efectivă U şi pulsaţia , se obţine simplu din teoremele de

conservare a puterilor

CeCe QQQPPP şi . (4.240)

Puterile activă şi reactivă absorbite de condensator fiind

22 ;0 CUUBQP CCC , (4.241)

şi exprimând puterile reactive cu relaţiile

PtgQPtgtgPQ eeee ; , (4.242)

rezultă:

2U

tgtgPC e

. (4.243)

În figura 4.36,b s-a reprezentat diagrama vectorială a curenţilor corespunzătoare relaţiei

complexe

I I Ie C (4.244)

cu

UCjI C (4.245)

şi presupunând u 0.

Realizarea unui factor de putere unitar ( 0), corespunzătoare rezonanţei, necesită o

capacitate

2U

PtgC

. (4.246)

4.13.4. Transfigurarea stea-poligon complet

Conectarea a n laturi într-un nod comun (Fig. 4.37,a) formează un circuit în stea. Nodul 0

se numeşte punct neutru.

Curentul complex jI care intră în borna de acces j a circuitului stea, poate fi exprimat cu

teorema lui Joubert (3.52)

174

.,1= , njEYUYI jjjjj (4.247)

Fig. 4.37

Exprimând tensiunea complexă jU ca diferenţă de potenţiale, se obţine:

.0 jjjjjj EYVYVYI (4.248)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul 0 rezultă:

,011

0

11

j

n

j

j

n

j

jj

n

j

j

n

j

j EGGVVGI (4.249)

din care se determină potenţialul complex al punctului neutru:

.

1

11

0

n

j

j

n

j

jj

n

jjj

Y

EYVY

V (4.250)

Substituind relaţia (3.250) în (3.248) şi modificând notaţia indicelui în raport cu care se

face însumarea în (3.250), se obţine:

jjjn

k

k

n

k

kk

n

k

kk

jjj EYY

Y

EYVY

VYI

1

11

n

k

n

k

n

k

n

k

kjkkkkkjn

k

k

jYEEYVYYV

Y

Y

1 1 1 1

1

(4.251)

.,1= ,)(11

1

njEEYUY

Y

Y n

k

kjk

n

kjkkn

k

k

j

175

Se poate găsi totdeauna un circuit în poligon complet (Fig.4.37,b) echivalent unui circuit în

stea dat.

Valoarea complexă a curentului din latura jk, jkI , se determină cu ajutorul teoremei lui

Joubert:

,jkjkjkjkjk EYUYI (4.252)

iar curentul jI care intră în borna de acces j, se determină cu ajutorul primei teoreme a lui

Kirchhoff, în funcţie de curenţii laturilor poligonului

.,1 ,,1,1

njEYUYIn

jkk

jkjk

n

jkkjkjkj

(4.253)

Comparând relaţiile (3.251) şi (3.253), se obţine:

,

1

n

k

k

kj

jk

Y

YYY pentru j k n, ,1 şi j k (4.254)

şi

),(1

1

1

kj

n

kn

k

k

kjn

k

jkjk EE

Y

YYEY

pentru j n 1, şi k j . (4.255)

Deoarece, pentru circuitele reciproce, ,kjjk YY numărul relaţiilor independente de forma

(4.255) este

2

1

nnnY . (4.256)

Aceste ecuaţii permit calculul tuturor admitanţelor complexe ale poligonului complet.

Numărul de ecuaţii independente de tipul (4.255) este

n nE 1.. (4.257)

Cum în cazul general numărul de surse de tensiune este egal cu cel al admitanţelor şi cum

n nE Y rezultă că sistemul de ecuaţii (4.258) este nedeterminat. Relaţiile de acest tip sunt

satisfăcute dacă

,kjjk EEE pentru nkj ,1, (4.258)

În consecinţă, relaţiile de transfigurare a unui circuit cu conexiune stea într-un circuit cu

conexiune poligon complet sunt (3.254) şi (3.258).

În general, transfigurarea inversă (din poligon complet în stea) nu este posibilă deoarece

numărul n al admitanţelor complexe necunoscute kY este mai mic decât numărul ecuaţiilor

de tip (3.254), cu excepţia cazului n = 3.

Relaţiile pentru transfigurarea în ambele sensuri (Fig. 4.38) sunt date mai jos.

Transfigurarea stea - triunghi Transfigurarea triunghi - stea

2

13322131

1

13322123

3

13322112

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

Z

ZZZZZZZ

;

ZZ Z

Z Z Z

ZZ Z

Z Z Z

ZZ Z

Z Z Z

112 31

12 23 31

223 12

12 23 31

331 23

12 23 31

(4.259)

176

Fig. 4.38

şi

1331

3223

2112

EEE

EEE

EEE

;

321

3223113

321

2112332

321

1331221

YYY

EYEYE

YYY

EYEYE

YYY

EYEYE

(4.260)

Din punctul de vedere al analizei circuitelor electrice, transfigurarea stea-poligon complet

prezintă o mare importanţă, deoarece eliminarea punctului neutru reduce cu o unitate numărul

nodurilor circuitului. Prin transfigurări succesive se pot elimina toate nodurile interioare ale

unui multipol.

4.13.5. Teoremele generatoarelor echivalente

4.13.5.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thévenin)

Dacă între bornele A şi B ale unui circuit electric liniar aflat în regim sinusoidal se

conectează o nouă latură cu impedanţa complexă ABZ şi t.e.m. complexă ABE (Fig. 4.39),

valoarea complexă a intensităţii curentului prin această latura este

0

0

ABAB

ABABAB

ZZ

EUI

, (4.261)

în care: 0ABU - este valoarea complexă a tensiunii între bornele A şi B la mers în gol (adică

înainte de conectarea laturii considerate), (Fig. 4.40,a); 0ABZ - reprezintă impedanţa complexă

echivalentă a circuitului pasivizat (Fig. 4.40,b) în raport cu bornele A şi B, înainte de

conectarea laturii considerate.

Demonstraţie. Conform teoremei superpoziţie (pasivizând pe rând latura A, B, respectiv

dipolul), valoarea complexă a intensităţii curentului din latura conectată la bornele A, B ale

circuitului (Fig. 4.39) are expresia

ABAB

ABiAB

ZZ

EII

0

, (4.262)

177

Fig. 4.39

unde:

iI - este valoarea complexă a curentului

determinat de sursele interne ale circuitului

(când 0ABE );

0ABZ - reprezintă impedanţa complexă a

dipolului cu toate sursele independente

interne pasivizate.

Relaţia (4.262) este valabilă pentru orice valoare a lui ABI , inclusiv pentru 0ABI . În

acest caz se obţine:

ABAB

ABi

ZZ

EI

0

. (4.263)

Pe de altă parte, valoarea complexă a curentului prin latura (A, B) se poate exprima şi cu

teorema lui Joubert:

AB

ABABAB

Z

EUI

0 , (4.264)

care în cazul particular studiat conduce la relaţia

0ABAB UE , (4.265)

unde 0ABU este tensiunea la bornele A, B la mersul în gol (curentul prin latură este nul).

(a)

(b)

Fig. 4.40

Substituind ultima relaţie în (4.263) se obţine valoarea complexă a curentului dat de sursele

interne

ABAB

ABi

ZZ

UI

0

0 , (4.266)

care înlocuită în ecuaţia (4.262) conduce la relaţia (4.261), ceea ce demonstrează teorema.

178

Fig. 4.41

Teorema lui Thévenin se numeşte şi

teorema generatorului echivalent de tensiune,

deoarece conform relaţiei (4.261) dipolul liniar

activ este echivalent la bornele A, B cu un

generator de t.e.m. 0ABe UE şi impedanţă

complexă internă 0ABe ZZ (Fig. 4.41).

În cazul particular când latura externă (A,

B) este pasivă ( E AB 0) relaţia (4.261)

conduce la forma uzuală a teoremei lui

Thévenin:

0

0

ABAB

ABAB

UZ

UI

. (4.267)

Mărimile 0ABU şi 0ABZ se pot calcula rezolvând separat circuitele din figura 4.40,a,

respectiv b, sau, mai convenabil, transfigurând dipolul liniar activ succesiv, până la latura

echivalentă cu ee ZE şi ce satisfac relaţiile de mai sus.

4.13.5.2. Teorema lui Norton (teorema generatorului echivalent de curent)

Fie A, B două borne de acces ale unui circuit electric liniar aflat în regim sinusoidal

permanent (Fig. 4.42,a). Conectând între aceste două borne un receptor de admitanţă

complexă Y AB în paralel cu o sursă ideală independentă de curent de intensitate ABJ , se

realizează o tensiune complexă

0ABAB

ABABscAB

YY

JIU

,

(4.268)

unde:

I ABsc - este valoarea complexă a curentului prin latura (A, B) când bornele A şi B sunt

scurtcircuitate în absenţa sursei ABJ (Fig. 4.42,b);

Y AB0 - admitanţa complexă echivalentă în raport cu bornele A şi B (Fig. 4.42,c),

când circuitul este pasivizat şi receptorul nu este conectat.

(a)

(b) (c)

Fig. 4.42

Demonstraţie. Tensiunea complexă de la bornele A, B are expresia

ABABABAB JIZU . (4.269)

179

După ce se substituie generatorul real de curent ABAB YJ , cu generatorul echivalent real

de tensiune ABAB ZE , , cu ABABABABAB YJEYZ / şi /1 , curentul ABI se poate calcula

cu teorema lui Thévenin (4.264)

ABAB

ABABABAB

ZZ

JZUI

0

0 . (4.270)

Prin urmare

0

00

0

0

ABAB

ABABABABABAB

ABAB

ABABABABAB

ZZ

JZZUZJ

ZZ

JZUZU

. (4.271)

Curentul de scurtcircuit prin latura (A, B) (Z AB 0, 0ABJ ) este

IU

ZABsc

AB

AB

0

0

. (4.272)

Prin definiţie, admitanţa complexă de intrare este

1

0

d

0

ABABi ZYY (4.273)

şi deci, înmulţind cu produsul Y YAB AB0 numărătorul şi numitorul din (4.271) se obţine

teorema lui Norton.

Relaţia (4.268) arată că dipolul liniar activ poate fi echivalat cu un generator de curent

(Fig. 4.43) format dintr-o sursă ideală de curent J Ie ABsc , conectată în paralel cu o

admitanţă complexă Y Ye AB 0. Din această cauză, teorema lui Norton se mai numeşte şi

teorema generatorului echivalent de curent.

Dacă latura (A, B) este pasivă ( 0ABJ ), teorema Norton capătă forma:

Fig. 4.43

0ABAB

ABscAB

YY

IU

. (4.274)

Mărimile 0 şi ABABsc YI pot fi determinate rezolvând circuitele din figura 4.42,a, respectiv

b, sau prin transfigurarea dipolului în raport cu bornele A şi B până la un generator echivalent

de curent cu eJ în paralel cu admitanţa complexă eY .

4.13.5.3. Eliminarea cuplajelor magnetice

Două bobine ideale conectate în serie şi cuplate magnetic (Fig. 4.44, a, pentru cuplaj

pozitiv şi, respectiv Fig. 4.45,a, pentru cuplaj negativ) sunt echivalente cu circuitele din figura

4.44,b şi, respectiv, figura 4.45,b, unde cuplajele sunt eliminate.

Schemele echivalente se obtin prin prelucrarea ecuaţiilor tensiunii la bornele laturilor.

Pentru cuplajul pozitiv relaţia este:

dt

diML

dt

diML

dt

diM

dt

diL

dt

diM

dt

diLuuu )()( 212121

, (4.275)

180

Fig. 4.44

Fig. 4.45

iar pentru cuplajul negativ

dt

diML

dt

diML

dt

diM

dt

diL

dt

diM

dt

diLuuu )()( 212121

. (4.276)

În cazul în care într-un circuit electric laturile care conţin bobine cuplate magnetic au un

nod comun şi în acel nod comun sunt conectate numai trei laturi, cuplajele magnetice ale

bobinelor din aceste laturi se pot elimina (Fig. 4.46,a), valorile curenţilor laturilor rămânând

neschimbate. Eliminarea cuplajelor se face în funcţie de poziţia bornelor polarizate ale celor

două bobine cuplate magnetic, în raport cu nodul comun astfel: dacă bornele polarizate au

aceeaşi poziţie (au poziţii diferite) faţă de nodul comun se scade (se adună) modulul

inductivităţii mutuale din inductivităţile proprii ale celor două bobine, iar în a treia latură se

introduce în serie o bobină suplimentară care are inductivitatea proprie egală cu plus

(minus) modulul inductivităţii mutuale (Fig. 4.46,b). Această regulă derivă din prelucrarea

ecuaţiilor obţinute cu teoremele lui Kirchhoff. Ca urmare, eliminarea cuplajelor magnetice cu

această procedură nu modifică valorile intensităţilor curenţilor din laturile circuitului, însă

tensiunile de la bornele laturilor afectate de eliminarea cuplajelor se vor modifica.

Fig. 4.46

În principiu este posibilă eliminarea cuplajelor magnetice şi în cazul când gradul nodului

comun acestor bobine este mai mare de trei. În acest caz se introduc noduri suplimentare, ceea

ce determină creşterea complexităţii circuitului analizat.

181

4.14. ANALIZA CIRCUITELOR LINIARE ÎN REGIM SINUSOIDAL - METODE

ŞI ALGORITMI DE CALCUL

4.14.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff în formă complexă

Pentru un circuit liniar, complet, invariabil în timp, cu l laturi, conţinând rezistoare, bobine

cuplate sau nu magnetic şi surse independente de tensiune, şi n noduri, funcţionând în regim

sinusoidal, aplicarea celor două teoreme ale lui Kirchhoff în formă simbolică conduce la

obţinerea unui sistem complet de l ecuaţii, din care n1 ecuaţii cu prima teoremă şi ln+1

ecuaţii cu teorema a doua, în l necunoscute, curenţii complecşi ai laturilor.

Dacă circuitul conţine şi surse de tensiune comandate, relaţia (4.43) devine

hkhkhk bl

kA

bl

ckA

bl

n

kpp

pkpkkA nlbbhEEILjIZ 1 ,,1 ,,1

(4.277)

iar t.e.m. complexe ale surselor comandate ( ckE ) se exprimă prin ecuaţiile de comandă

prelucrate în funcţie de necunoscutele curenţii complecşi ai laturilor.

În cazul circuitelor care conţin şi surse de curent independente şi/sau comandate, numărul

de necunoscute curenţi de laturi este llJ. Acestea se obţin prin rezolvarea unui sistem de

ecuaţii obţinut prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff în n1 noduri independente şi a

celei de-a doua ecuaţii într-un număr de bucle independente redus la br= ln+1 (lJ+lJc),

unde lJ reprezintă numărul de laturi cu surse de curent independente, iar lJc reprezintă

numărul de laturi cu surse de curent comandate.

Acestui sistem i se adaugă ecuaţiile de comandă ale surselor comandate prelucrate în

funcţie de necunoscutele curenţi de laturi.

Observaţii

1. Pentru a se obţine numărul de bucle br, deci pentru a se obţine un număr redus de ecuaţii

ale sistemului, este necesară o alegere corespunzătoare a buclelor independente, astfel încât

nici una din ele să nu treacă prin laturi cu surse independente şi/sau comandate de curent. În

caz contrar, numărul de necunoscute ale sistemului va fi l lJc , din care l lJ vor fi

necunoscute curenţi de laturi, iar restul de l lJ Jc vor fi necunoscutele tensiuni la bornele

surselor independente şi/sau comandate de curent, ecuaţia generală, corespunzătoare celei de-

a doua teoreme a lui Kirchhoff fiind exprimată cu relaţia (4.46);

2. Este evident că alegerea unui număr redus de bucle br prezintă avantajul obţinerii unui

sistem redus de ecuaţii, deci a reducerii efortului de calcul; pe de altă parte relaţia (4.46)

permite scrierea sistematică a sistemului de ecuaţii;

3. Odată calculaţi curenţii complecşi din laturi, tensiunile complexe la bornele laturilor se

pot determina în modul următor:

- pentru laturile fără surse de curent se aplică ecuaţia caracteristică (4.53) sau teorema a

doua a lui Kirchhoff;

- pentru laturile formate din surse independente sau comandate de curent, numai cu

ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff.

Algoritmul de aplicare al metodei teoremelor lui Kirchhoff

Pasul 1. Se determină numărul nodurilor şi al laturilor circuitului;

Pasul 2. Se determină schema echivalentă în complex a circuitului şi se elimină toate

cuplajele magnetice conform celor prezentate în § 4.13.5.3;

Pasul 3. Se aleg sensuri de referinţă şi se ataşează simboluri pentru intensităţile curenţilor

din laturi;

182

Pasul 4. Se calculează numărul redus de bucle ale circuitului şi se aleg aceste bucle

stabilindu-se un sens de parcurgere pentru fiecare;

Pasul 5. Se scriu ecuaţiile în complex corespunzătoare primei teoreme a lui Kirchhoff în

(n1) noduri independente şi ecuaţiile corespunzătoare celei de-a doua teoreme pe cele

JcJr llnlb 1 bucle independente;

Pasul 6. Se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut prin completarea celui de la pasul 5 cu

ecuaţiile de comandă ale surselor de curent şi de tensiune comandate, prelucrate în funcţie de

curenţii laturilor, determinându-se valorile complexe ale intensităţile curenţilor din laturi şi

apoi valorile lor instantanee;

Pasul 7. Se validează rezultatul cu ajutorul bilanţului puterilor active şi reactive. Se

determină mai întâi puterile complexe debitate de sursele circuitului şi apoi puterile active şi

reactive consumate în rezistoarele şi, respectiv, în bobinele şi condensatoarele circuitului.

Analiza asistată de calculator a circuitelor electrice necesită formularea matriceală a

ecuaţiilor circuitului. Pentru circuite reciproce, luând în considerare structura laturii

standard prezentată în figura 4.9,d, formularea matriceală a teoremelor lui Kirchhoff în formă

simbolică şi a ecuaţiilor caracteristice (constitutive) ale laturilor conduce la ecuaţiile

AI l 0 (4.278)

BU l 0 (4.279)

U Z I El l l l - . (4.280)

Cele 2l ecuaţii (4.278)-(4.280) determină în mod univoc curenţii complecşi şi tensiunile

complexe ale laturilor circuitului, dacă se dau valorile rezistenţelor, inductivităţilor proprii şi

mutuale, capacităţilor laturilor, valorile complexe ale t.e.m. ale surselor independente de

tensiune şi frecvenţa acestor t.e.m.

Înlocuind relaţia (4.280) în (4.279) şi cuplând apoi cu (4.278) se obţine forma matriceală

în complex a ecuaţiilor circuitului în curenţii laturilor:

ll

l EBI

ZB

A 0, (4.281)

unde A (B) este matricea (n-1)l (bl) de incidenţă redusă laturi - noduri (laturi - bucle),

ll UI este vectorul (l1) al valorilor complexe ale curenţilor (tensiunilor) laturilor

circuitului, Z l este matricea (ll) a impedanţelor complexe ale laturilor circuitului, iar El

este vectorul (l1) al t.e.m. complexe ale surselor independente de tensiune.

Sistemul de ecuaţii (4.281) se rezolvă în raport cu vectorul curenţilor complecşi ai laturilor

I l , apoi cu ecuaţiile (4.280) se determină valorile complexe ale tensiunilor la bornele laturilor.

4.14.2. Metoda curenţilor de buclă

Metoda curenţilor de buclă asociază circuitului un nou set de necunoscute - curenţii

complecşi de bucle I b , în număr de b = ln+1, introduse astfel încât să verifice prima

teoremă a lui Kirchhoff. Prin urmare, curenţii laturilor se exprimă ca sumă algebrică a

curenţilor de buclă ce trec prin latura respectivă (Fig. 4.47):

183

Fig. 4.47

kh

hlb

bAk II . (4.282)

Noile necunoscute se determină cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff în care

imaginile complexe ale curenţilor de laturi sunt exprimate în raport cu cele ale curenţilor de

buclă, pe baza relaţiei (4.282). Se obţine forma compactă a ecuaţiilor circuitului în

necunoscute imagini complexe ale curenţilor de bucle:

Z I E h b b l nhg b b

g

b

g h

, , = , ; = - +1 11

(4.283)

unde:

-Zhh reprezintă impedanţa complexă proprie a buclei h, egală cu suma impedanţelor

complexe ale laturilor ce compun bucla, la care se adaugă şi contribuţiile de forma

2 2Z jMm kpkp , datorate cuplajelor magnetice dintre perechile de bobine ce aparţin aceleiaşi

bucle h, cu semnul plus (minus) dacă curentul de buclă complex Ibh are acelaşi sens (sens

invers) în raport cu bornele polarizate ale celor două bobine cuplate magnetic;

-Zhg reprezintă impedanţa mutuală (de cuplaj) dintre bucla h (în care se scrie teorema a

doua a lui Kirchhoff) şi bucla g, egală cu suma impedanţelor complexe ale laturilor comune

celor două bucle (luate cu semnul sau , după cum curenţii de buclă gh bb II şi au sau nu

acelaşi sens în aceste laturi), la care se adaugă suma impedanţelor mutuale dintre perechile de

bobine aparţinând câte una fiecărei bucle (semnele lor rezultă din modul cum se asociază

sensul fiecărui curent de buclă cu borna polarizată a bobinei corespunzătoare, conform figurii

4.48). Dacă circuitul este reciproc Z Zhg gh ;

Fig. 4.48

-

kh

hlb

kAb EE reprezintă t.e.m.

complexă a buclei bh, egală cu suma

algebrică a t.e.m. complexe ale surselor

independente şi/sau comandate de tensiune

din laturile buclei ( E k are semnul (+) dacă

sensul ei coincide cu cel al buclei bh).

Dacă în circuit există surse de tensiune

şi/sau de curent comandate, sistemul de

ecuaţii (4.283) se completează cu ecuaţiile de comandă exprimate în funcţie de necunoscutele

metodei, Ibg.

Numărul de variabile independente introdus de metoda curenţilor de buclă este b = ln+1.

Pentru circuitele fără surse de curent aceste necunoscute se determină prin rezolvarea

sistemului (4.283).

În cazul când circuitul conţine surse de curent independente şi/sau comandate, unor

variabile li se pot atribui valorile curenţilor acestor surse. Pentru aceasta, asocierea

variabilelor I b cu cele ln+1 bucle independente ale circuitului se face astfel încât prin fiecare

184

latură cu sursă de curent J sau J c să treacă un singur curent de buclă şi numai unul. Conform

relaţiei (4.282) acest curent de buclă va avea valoarea curentului sursei:

JccpbJkb lpJIlkJIpk

,1 ,]i/sau ,1 , . (4.284)

Pentru restul variabilelor, în număr de JcJ llnl 1 , se aplică relaţia (4.283) într-un

număr redus de bucle, deci h br 1, . Sistemului obţinut din ecuaţiile (4.283) şi (4.284) i se

adaugă ecuaţiile de comandă ale surselor comandate, exprimate în funcţie de necunoscutele

metodei, Ibg .

Observaţie

Pentru circuitele care conţin surse de curent independente J şi/sau comandate J c , metoda

curenţilor de buclă permite o reducere a numărului de ecuaţii ale sistemului (4.283) cu

numărul total al acestor surse de curent, în condiţiile alegerii corespunzătoare a buclelor.

Algoritmul de aplicare al metodei curenţilor de buclă

Pasul 1. Se determină numărul de noduri, numărul de laturi şi numărul surselor de curent ;

Pasul 2. Se determină numărul variabilelor independente introduse de metodă b = ln+1;

Pasul 3. Se aleg (lJ+lJc) bucle care să conţină câte o singură sursă de curent independentă

sau comandată şi li se ataşează câte un curent de buclă al cărui sens va fi acelaşi cu al sursei

de curent; curenţii acestor bucle vor fi exprimaţi cu relaţiile (4.284);

Pasul 4. Pentru restul de bucle independente, în număr redus la JcJr llnlb 1 se

atribuie tot atâtea variabile curenţi de buclă cu sensuri oarecare, fiecare reprezentând şi sensul

de parcurgere al buclei respective. Ecuaţiile curenţilor de buclă asociate acestor bucle se pot

obţine mai simplu prin utilizarea teoremei a doua a lui Kirchhoff (pe buclele respective)

substituind curenţii de latura cu relaţia (4.282) în funcţie de curenţii de buclă;

Pasul 5. Se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff în formă simbolică pe aceste bucle,

ţinând seama că în membrul stâng al ecuaţiei (4.283) pot apare căderi de tensiune determinate

de variabile exprimate cu relaţiile (4.284);

Pasul 6. Se ataşează sistemului obţinut cu ecuaţiile (4.283) şi (4.284) ecuaţiile de comandă

ale surselor comandate, exprimate în funcţie de variabilele independente ale metodei;

Pasul 7. Se rezolvă sistemul astfel obţinut în variabile curenţi complecşi de buclă;

Pasul 8. Se determină curenţii complecşi ai laturilor cu ecuaţia (4.282);

Pasul 9. Tensiunile complexe la bornele laturilor se determină ca în cazul metodei

teoremelor lui Kirchhoff.

Pasul 10. Se verifică bilanţul puterilor active şi reactive.

Formularea matriceală a metodei curenţilor de buclă în cazul circuitelor reciproce se face

astfel:

Notând cu bI vectorul (b1) al curenţilor de buclă asociaţi celor b bucle independente, b =

=ln+1, curenţii laturilor circuitului se pot exprima în funcţie de curenţii de bucle cu

relaţia

bl IBIt

(4.285)

Ecuaţia matriceală a curenţilor de buclă în complex capătă forma

,tlbl EBIBZB (4.286)

sau

,bbb EIZ (4.287)

185

cu

tBZBZ lb (4.288)

şi

,lb EBE (4.289)

unde matricea bZ de dimensiune (bb) este matricea impedanţelor complexe proprii ale

buclelor, iar bE de dimensiune (b1), este vectorul t.e.m. complexe ale buclelor.

Rezolvând ecuaţia (4.286) se obţine vectorul necunoscutelor curenţi de bucle, cu ajutorul

cărora, aplicând relaţia (4.285), se determină imaginile în complex ale curenţilor din laturile

circuitului.

În cazul când circuitul conţine şi laturi tip lJ, se poate reduce sistemul (4.286) la un număr

de ecuaţii corespunzător unui număr redus de bucle br = ln+1lJ.

Pentru aceasta, toate sursele de curent din graful circuitului vor fi introduse în coarbore.

Cum sistemul buclelor fundamentale (în număr de ln+1) se formează cu laturi ale arborelui

şi cu câte o coardă, fiecare curent de buclă va fi asociat unei coarde având acelaşi sens cu

sensul ei de orientare. Se asigură astfel condiţia ca fiecare buclă să conţină cel mult o sursă de

curent. Procedura de obţinere a ecuaţiilor matriceale este formal identică cu cea de la

circuitele electrice rezistive.

4.14.3. Metoda potenţialelor nodurilor

Această metodă asociază circuitului setul de necunoscute format din potenţialele complexe

ale nodurilor, 1nV , în număr de n1, introduse astfel încât să satisfacă a doua teoremă a lui

Kirchhoff. Ca urmare, tensiunile laturilor se exprimă ca sumă algebrică a potenţialelor

adiacente laturii respective (Fig. 4.49):

Fig. 4.49

hjk VVU (4.290)

Unul din cele n noduri ale circuitului este

ales ca nod de referinţă, având potenţialul nul.

Pentru circuitele electrice în regim sinusoidal pentru care impedanţa complexă a fiecărei

laturii este nenulă şi care nu conţin cuplaje magnetice, legea lui Ohm în complex se poate

scrie şi sub forma

kkhjkk EYVVYI , (4.291)

unde s-a ţinut seama şi de relaţia (4.290) şi unde kk ZY /1 reprezintă admitanţa complexă a

laturii kl .

Noile necunoscute se determină cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff sub forma

obţinută prin substituirea relaţiei (4.291) în ecuaţia (4.43), reprezentând forma compactă a

ecuaţiilor circuitului în variabile potenţiale la noduri în complex, pentru circuitele de curent

alternativ care nu conţin cuplaje magnetice şi la care fiecare latură are impedanţa complexă

nenulă:

1,1 , 1

1

niJVYni

n

j

jij (4.292)

unde:

186

-

ik nl

kii YY reprezintă admitanţa nodală complexă proprie nodului ni (în care se scrie

prima teoremă a lui Kirchhoff), egală cu suma admitanţelor complexe ale laturilor incidente în

acest nod;

-

jik nnl

kij YY este admitanţa complexă nodală mutuală (comună) dintre nodurile ni şi

nj, egală cu suma cu semn schimbat a admitanţelor complexe ale laturilor conectate în paralel

între cele două noduri. Dacă circuitul analizat este reciproc Y Yij ji ;

-

ik nl

sciAni IJ reprezintă curentul complex de scurtcircuit injectat în nodul ni, egal

cu suma algebrică a curenţilor complecşi de scurtcircuit ai surselor din laturile incidente în

acest nod: pentru sursele de tensiune I Y Esck k k , iar pentru sursele de curent I Jsck k . În

suma algebrică se iau cu semnul (+) curenţii I sck ai surselor ce ''ies'' din nod şi cu () ai celor

ce ''intră''.

Dacă circuitul conţine surse de tensiune şi/sau de curent comandate, sistemul de ecuaţii

(4.292) se completează cu ecuaţiile de comandă exprimate în funcţie de necunoscutele

metodei, V j .

Numărul de variabile independente introdus de această metodă este n1.

Pentru circuitele fără surse ideale de tensiune independente sau comandate Ei, respectiv

E ci, necunoscutele potenţiale complexe la noduri se determină rezolvând sistemul (4.292)

format din n1 ecuaţii independente.

În cazul circuitelor care conţin surse ideale de tensiune, potenţialele nodurilor j şi h la care

este conectată o astfel de latură (Fig. 4.50,a şi 4.50,b), se exprimă cu relaţiile (4.293).

Fig. 4.50

U V V Ek j h ki

, U V V Ek j h kci

, (4.293)

de unde:

V V Eh j ki

, V V Eh j kci

. (4.294)

Rezultă deci că pentru )( ic

i EEll necunoscute se pot formula ecuaţii de tipul

ikkE

ikjh lkEVV ,1 , (4.295)

şi/sau

ic

kkE

ikcjh lkEVV ,1 , . (4.296)

Pentru restul necunoscutelor ar trebui să se aplice ecuaţiile (4.292) într-un număr redus de

noduri, nr = n1 )( ic

i EEll , deci i nr 1, .

187

Observaţii

1. Ecuaţia (4.292) nu se poate aplica într-un nod în care este incidenţă o latură cu sursă

ideală de tensiune, deoarece curentul de scurtcircuit al acestei surse este infinit (impedanţa

complexă internă a ei este zero). În acest caz se poate recurge la următoarea tehnică: se alege

o suprafaţă închisă , care să cuprindă în interior latura jh ce conţine sursa ideală de

tensiune, sau, dacă este cazul, toate laturile conectate în paralel între nodurile j şi h, pe care se

scrie apoi prima teoremă a lui Kirchhoff în formă simbolică. Se aplică apoi sistemul (4.292) în

nr = n1( )l lE Ei

ci noduri şi suprafeţe , adică pentru i nr 1, .

2. Rezultă că pentru circuitele care conţin surse ideale de tensiune independente şi/sau

comandate, (Ei şi/sau Eci ), metoda potenţialelor nodurilor permite o reducere a numărului de

ecuaţii de forma (4.292) cu numărul total al acestor surse de tensiune.

Algoritmul de aplicare al metodei potenţialelor nodurilor

Pasul 1. Se determină numărul de noduri ale circuitului;

Pasul 2. Se alege un nod n de referinţă al cărui potenţial complex se consideră nul,

V n 0;

Pasul 3. Se scriu ( )l lE Ei

ci ecuaţii de tipul (4.296) pentru potenţialele nodurilor adiacente

surselor ideale de tensiune;

Pasul 4. Se aplică relaţiile (4.292) în nr = n1( )l lE Ei

ci noduri şi suprafeţe , adică

pentru i nr 1, , ţinând seama de faptul că în termenii din partea stângă ai relaţiilor pot

interveni şi potenţiale pentru care s-au scris ecuaţiile de la pasul 3;

Pasul 5. Sistemului obţinut cu relaţiile (4.292) şi (4.296) i se adaugă ecuaţiile de comandă

ale surselor comandate, exprimate în funcţie de variabilele independente ale metodei;

Pasul 6. Se rezolvă sistemul de la pasul 5 şi se obţin valorile complexe ale celor n1

variabile potenţiale ale nodurilor;

Pasul 7. Cu relaţia (4.290) se calculează apoi tensiunile complexe la bornele laturilor

circuitului;

Pasul 8. Se determină curenţii complecşi din laturile circuitului cu ecuaţia caracteristică a

laturii pentru laturile care conţin impedanţe complexe şi eventual surse de tensiune înseriate

cu acestea, sau cu prima teoremă a lui Kirchhoff pentru cele formate din surse ideale de

tensiune;

Pasul 9. Se verifică bilanţul puterilor active şi reactive sau bilanţul puterilor complexe.

Observaţii:

1. În cazul în care circuitul analizat conţine cuplaje magnetice metoda potenţialelor la

noduri nu se poate aplica direct.

2. O altă variantă de aplicare a metodei constă în introducerea ca necunoscute în sistemul

de ecuaţii a curenţilor complecşi prin laturile cu surse ideale de tensiune şi prin bobinele

cuplate magnetic (în general, a tuturor elementelor de circuit necompatibile cu metoda nodală

clasică). Deşi are un număr mai mare de ecuaţii, această metodă cu necunoscute hibride,

numită metoda nodală modificată, permite scrierea sistematică a sistemului de ecuaţii.

Pentru formularea matriceală a metodei potenţialelor nodurilor în cazul circuitelor

reciproce, fără cuplaje magnetice, se adoptă latura standard din figura 4.49, în care se

consideră conectată în paralel şi o sursă ideală independentă de curent având curentul

complex J k . Din cele n noduri ale circuitului se alege un nod de referinţă, cu potenţial zero,

iar celorlalte n1 noduri li se atribuie potenţialele necunoscute V V V n1 2 1, , . . . , .

188

Tensiunile complexe ale laturilor se pot exprima în funcţie de potenţialele complexe ale

nodurilor cu relaţia

U A Vl n t

1. (4.297)

Considerând ecuaţia caracteristică a laturii

lllll JEUYI , (4.298)

unde Y Zl l1

reprezintă matricea pătrată (ll) a admitanţelor complexe ale laturilor (se

presupune Z l nesingulară), substituind relaţia (4.297) în (4.298) şi ecuaţia astfel obţinută în

(4.278), se obţine forma matriceală în complex a ecuaţiilor circuitului în potenţialele

nodurilor:

lllnt

l JEYAVAYA 1 . (4.299)

Ecuaţia (4.299) se poate pune sub forma

Y V Jn n n 1 1 1, (4.300)

unde

Y AY An n 1 1t (4.301)

este matricea admitanţelor complexe nodale, de ordin (n1)(n1) şi

llln JEYAJ 1 (4.302)

este vectorul curenţilor injectaţi în noduri de sursele din laturile incidente în aceste noduri.

Relaţia (4.300) permite implementarea simplă pe calculator a ecuaţiilor circuitului.

Rezolvând sistemul (4.300) se obţine vectorul potenţialelor complexe necunoscute ale

celor n1 noduri, apoi cu relaţia (4.297) se calculează vectorul tensiunilor la bornele laturilor

Ul. Cu relaţia (4.298) se obţine în cele din urmă vectorul curenţilor complecşi ai laturilor.

Observaţie:

În cazul când circuitul electric analizat conţine laturi formate numai din surse ideale

independente de tensiune şi dacă aceste laturi formează un arbore se poate aplica metoda

nodală, ţinând seama evident de analogia formală dintre circuitele de c.c. şi circuitele electrice

de c.a. fără cuplaje magnetice în complex.

4.15. FUNCŢII DE CIRCUIT

4.15.1. Definiţia funcţiei de circuit

Se numeşte funcţie de transfer de la latura j la latura k, pentru un circuit liniar pasiv cu

condiţii iniţiale de zero, raportul dintre mărimea de ieşire din latura k, ekm (sau transformata

Laplace a acesteia) şi mărimea de intrare (de excitaţie) din latura j, ijm (sau transformata

Laplace a acestei mărimi):

ij

ek

ij

ek

kjmL

m

m

mF)s(H

L

Ld

, (4.303)

unde mke poate fi o tensiune sau un curent, iar m j

i poate fi o sursă de t.e.m. sau o sursă de

curent (Fig. 4.51).

189

Dacă mărimea de excitaţie (tensiune sau curent, după funcţia de circuit ce urmează a fi

determinată) are imaginea Laplace egală cu unitatea, atunci mărimea de ieşire reprezintă chiar

funcţia de circuit dorită.

În funcţie de natura mărimilor de la cele două porţi, se obţin diferite funcţii de circuit ce

pot fi clasificate în două categorii: funcţii de intrare (impedanţe şi admitanţe denumite generic

imitanţe) şi funcţii de transfer (impedanţe, admitanţe, amplificări în tensiune şi, respectiv, în

curent).

Cele patru funcţii de transfer se definesc în operaţional cu relaţiile:

. şi

0

d

0

d

0

d

0

d

seUi

eei

seIi

eei

seUi

eei

seIi

eei

sJ

sIB

sE

sUA,

sE

sIY,

sJ

sUZ (4.304)

Pentru definirea admitanţei (impedanţei) de intrare, structura diportului intrare-ieşire

este reprezentată în figura 4.52,a (Fig.4.52,b). Analog se defineşte şi structura diportului

intrare-ieşire pentru calculul admitanţei de ieşire (respectiv impedanţei de ieşire).

Cele patru funcţii de circuit (reţea) în regim sinusoidal în raport cu cele două porţi de acces

se definesc cu schemele echivalente din figura 4.53.

Fig. 4.51. Schemă echivalentă pentru calculul funcţiilor de circuit.

(a) (b)

Fig. 4.52. Schemă echivalentă pentru calculul imitanţelor de intrare.

190

Fig. 4.53. Schemele echivalente pentru calculul funcţiilor de transfer.

Tipul funcţie de circuit Relaţia de definiţie

Impedanţa complexă de transfer, eiZ

0;

d

eii IJIi

eei

J

UZ

Admitanţa complexă de transfer, eiY

0;

d

eii UEUi

eei

E

IY

Factorul de transfer (amplificare) în tensiune,

eiA 0;

d

eii IEUi

eei

E

UA

Factorul de transfer (amplificare) în curent,

eiB 0;

d

eii UJIi

eei

J

IB

Pentru un circuit liniar care conţine numai rezistoare, bobine, cuplaje magnetice,

condensatoare şi surse independente (circuit reciproc), sunt satisfăcute relaţiile: Ykj = Yjk,

Zkj = Zjk, Akj = Akj, Bkj = Bkj, iar pentru j = k (cele două porţi coincid), se obţin funcţiile

proprii de reţea (de intrare sau de ieşire).

Fiind dat un circuit liniar invariabil în timp, alcătuit din rezistoare, bobine cuplate magnetic

sau nu, condensatoare şi orice tip de surse independente sau comandate, semnalul aplicat x(t)

şi răspunsul circuitului y(t), sunt, în general, legate printr-o ecuaţie diferenţială liniară de

forma:

xat

xa...

t

xayb

t

yb...

t

yb

m

m

mn

n

n 0101d

d

d

d

d

d

d

d , (4.305)

unde ma,...,a0 şi nb,...,b0 sunt coeficienţi (numerici – reali, sau simbolici) ale căror expresii

depind de parametrii circuitului.

În domeniul Laplace ecuaţia (4.305) ia forma:

X)s(NY)s(D , (4.306)

unde D(s) şi N(s) sunt polinoame în s de gradul n, respectiv m, n > m; X şi Y sunt imaginile, în

condiţii iniţiale de zero, ale mărimii de intrare (excitaţie) şi, respectiv, ale răspunsului

circuitului.

Mărimea

01

01d

bsb...sb

asa...sa

)s(D

)s(N

X

Y)s(H

nn

mm

(4.307)

191

este funcţia de circuit (de reţea sau de transfer).

Cunoaşterea funcţiei de circuit permite determinarea răspunsului circuitului în raport cu un

semnal aplicat:

X)s(HY , (4.308)

Trecând apoi din domeniul variabilei complexe în domeniul real, se obţine răspunsul în

domeniul timp al circuitului.

De asemenea, dacă în funcţia de circuit se înlocuieşte s cu j, se obţine variaţia răspunsului

cu frecvenţa (răspunsul în frecvenţă al circuitului), care se poate vizualiza reprezentând

)( jH şi arg )( jH în funcţie de . Aceste reprezentări în scară semilogaritmică, în care

)( jH se exprimă în decibeli, arg )( jH în grade şi în rad/s, se numesc diagrame

Bode.

Observaţii:

1. Utilizarea funcţiilor de circuit reprezintă o metodă unitară de studiu a răspunsurilor

naturale, forţate, tranzitorii, de regim permanent, a răspunsului complet, precum şi a

răspunsului în frecvenţă al circuitului.

2. Calculul funcţiei de circuit reprezintă primul pas în proiectarea asistată de calculator a

circuitelor electronice, următorii paşi constând în determinarea senzitivităţilor funcţiei

în raport cu diferiţi parametri ai circuitului precum şi determinarea valorilor polilor şi

zerourilor.

3. Forma simbolică a funcţiilor de circuit este utilă pentru generarea de modele analitice

şi evaluări repetate ale caracteristicilor. În acest scop, cu ajutorul senzitivităţilor

funcţiilor de circuit în raport cu diferiţi parametri, se pot studia performanţele

circuitului la variaţia valorilor acestor parametri, fără ca pentru aceasta să fie necesară

recalcularea de fiecare dată a circuitului.

4.15.2. Polii şi zerourile funcţiei de circuit

Valorile lui s care satisfac ecuaţia D(s) = 0 se numesc polii lui )(sH şi se notează cu

np,...,p1 , iar valorile lui s pentru care N(s) = 0 se numesc zerourile lui )(sH şi se notează cu

mz,...,z1 . Atunci relaţia (4.307) se poate scrie sub forma:

)ps)...(ps(

)zs)...(zs(k)s(H

n

m

1

1 . (4.309)

Polii şi zerourile funcţiei de circuit se numesc generic frecvenţele naturale (sau frecvenţe

critice) ale circuitului. Acestea depind numai de structura circuitului şi de valorile

parametrilor acestuia, fiind independente de natura semnalului aplicat sau de energia

acumulată în elementele de circuit reactive.

Ecuaţia (4.309) arată că odată cunoscute zerourile şi polii, funcţia de circuit )(sH este

determinată.

Frecvenţele naturale exprimate în valori numerice pot fi reale sau complexe. Deoarece

coeficienţii lui N(s) şi D(s) sunt reali, rezultă că atunci când rădăcinile sunt complexe, ele vor

apărea totdeauna în perechi conjugate:

js . (4.310)

Frecvenţele naturale ale funcţiei de circuit sunt în mod convenţional vizualizate ca puncte

în planul complex sau în planul s.

Prin locaţia lor în semiplanul stâng (drept) al planului complex s, polii determină

stabilitatea (instabilitatea) circuitului, în timp ce dispunerea zerourilor în planul s determină

variaţia răspunsului în frecvenţă al circuitului.

192

Observaţie:

1. Orice pol al unei funcţii de transfer este o frecvenţă naturală a circuitului. Inversa însă

nu este totdeauna adevărată. Numai frecvenţele naturale observabile şi controlabile ale

unui circuit pot fi poli ai unei funcţii de transfer a acestuia.

2. Valorile proprii ale matricei de stare a circuitului reprezintă toate frecvenţele naturale

ale acestuia. Cu alte cuvinte mulţimea polilor unei funcţii de transfer a circuitului este

inclusă în mulţimea valorilor proprii ale matricei sale de stare. Aceasta justifică

importanţa pe care o are matricea de stare în analiza calitativă a circuitelor electronice.

3. Simpla substituire a lui s cu jω reprezintă o metodă rapidă de evaluare a răspunsului în

frecvenţă al circuitului.

4.15.3. Determinarea răspunsului natural al circuitului cu ajutorul funcţiei de circuit

Dacă circuitului nu i se aplică nici un semnal, adică

0)t(x , (4.311)

ecuaţia diferenţială (4.305) capătă forma

0d

d

d

d01 yb

t

yb...

t

yb

n

n

n . (4.312)

Pentru un circuit în care 0)t(y , ecuaţia caracteristică asociată cu această ecuaţie

diferenţială este

D(s) = 0. (4.313)

Cum soluţiile ecuaţiei (4.313) reprezintă polii np,...,p1 ai lui )(sH , rezultă că funcţia de

circuit conţine toate informaţiile necesare pentru a prezice forma de variaţie a răspunsului

natural al circuitului.

Dacă polii np,...,p1 au valori distincte, răspunsul circuitului este reprezentat printr-o

funcţie de forma

y t Ae A ep tn

p tn( ) ... 11 , (4.314)

unde A An1,..., sunt coeficienţi constanţi, care reflectă condiţiile iniţiale ale circuitului.

Se identifică următoarele cazuri:

1. Poli reali

Dacă un pol pk este real,

0jp kk , (4.315)

contribuţia sa la răspunsul natural este

y t A ek ktk( ) . (4.316)

Dacă polul este negativ, relaţia (4.316) reprezintă o exponenţială descrescătoare; dacă este

pozitiv reprezintă o exponenţială crescătoare şi, dacă polul este chiar în originea planului s, o

funcţie constantă.

În fiecare caz, Ak este real pentru că yk este real.

2. Perechi de poli complex-conjugaţi

Pentru ca perechea conjugată să aibă o contribuţie reală yk la răspunsul natural al

circuitului, coeficienţii termenilor exponenţiali corespunzători trebuie să fie de asemenea

complex-conjugaţi. Aceasta înseamnă că polul

193

kkk jp (4.317)

va conduce la termenul exponenţial complex tp

kkeA , cu kj

kk eAA

, iar polul conjugat

kkk jp (4.318)

va conduce la termenul tpk

*keA* , cu kj

kk eAA

* .

Contribuţia perechii de poli conjugaţi va fi atunci

*tp

ktp

ktp*

ktp

kkkk

*kk eAeAeAeA)t(y t)j(

ktp

kkkk eAReeARe

22

sau

)tcos(eA)t(y kkt

kkk

2 . (4.319)

Relaţia (4.319) reprezintă:

- o funcţie sinusoidală amortizată, dacă partea reală a lui pk, k < 0 ;

- o funcţie sinusoidală crescătoare, dacă k > 0 ;

- o funcţie periodic sinusoidală, dacă k = 0 .

În toate cazurile frecvenţa de oscilaţie este k , partea imaginară a lui pk.

3. Poli multipli

Dacă polul pk este o rădăcină cu ordin de multiplicitate rk, contribuţia lui la răspunsul

natural este de forma:

y t A A t A t ek k k k rr p t

k

k k( ) ..., , ,

0 1 11 . (4.320)

În figura 4.54 se prezintă corespondenţa dintre localizarea unui pol în planul s şi forma

răspunsului natural al circuitului.

Se constată că:

1. Polii din semiplanul stâng determină componente amortizate; polii din semiplanul drept

determină componente divergente;

2. Polii reali determină componente neoscilatorii; perechile de poli complex-conjugaţi

determină componente oscilatorii;

3. Un pol în origine conduce la o componentă continuă; o pereche de poli de pe axa

imaginară determină o componentă alternativă.

Fig. 4.54. Răspunsul natural al circuitului pentru diferite locaţii ale polilor

funcţiei de transfer.

194

Observaţii

1. Polul unui circuit de ordinul întâi este totdeauna real. Dacă circuitul nu conţine elemente

active, cum este cazul unui amplificator, polul se află pe axa reală negativă şi răspunsul este o

exponenţială descrescătoare. Includerea de elemente active face posibilă deplasarea polului pe

axa reală pozitivă, unde răspunsul diverge. Un pol situat în origine corespunde unui răspuns

constant. În acest caz circuitul este un integrator şi funcţia pe care o îndeplineşte în lipsa

oricărui semnal de intrare este o funcţie de memorie.

2. Polii unui circuit de ordinul doi pot fi distincţi, pot coincide sau pot fi complex-

conjugaţi. În absenţa elementelor active, polii se află în jumătatea stângă a planului s. O dată

cu includerea de elemente active, polii se pot deplasa în jumătatea dreaptă. Dacă polii sunt

localizaţi chiar pe axa imaginară, circuitul este un oscilator.

195

CAPITOLUL 5

CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE

5.1. INTRODUCERE

Cel mai simplu sistem de transmisie a energiei electrice este constituit dintr-un generator

care furnizează o t.e.m. alternativă )sin(2)( tEte şi un receptor reprezentat printr-o

impedanţă de sarcină. În acest caz transmiterea energiei electromagnetice de la sursă la

consumator se face printr-o linie electrică realizată cu două conductoare de secţiuni egale.

Dacă Un şi In sunt valorile nominale ale tensiunii, respectiv curentului (valori impuse de izolaţia

liniei, respectiv de pierderile de putere în conductoare) puterea activă maximă pe care o poate

transmite linia (la factor de putere unitar) este

,)1(max nnn IUPP (5.1)

ceea ce înseamnă o putere specifică pe conductor egală cu

2

)1(

nncondn

IUP . (5.2)

Dacă sursa de producere a energiei electromagnetice este un generator care produce un

sistem de trei t.e.m. alternative, linia de transmisie este alcătuită din trei conductoare de fază

având aceeaşi secţiune, eventual şi un conductor neutru de secţiune mai mică, iar receptorul are

impedanţele de fază conectate în stea sau triunghi, sistemul de producere, transmisie şi

distribuţie a energiei electromagnetice se numeşte sistem trifazat.

Dacă conductoarele liniei trifazate sunt dimensionate pentru intensitatea In egală cu a

curentului liniei monofazate şi pentru aceeaşi tensiune Un între două conductoare, se poate

demonstra [1] că puterea maximă (la factor de putere unitar) ce revine fiecărui conductor este,

indiferent de tipul conexiunii (stea sau triunghi), .3/nn IU

Rezultă deci că linia trifazată are o capacitate de transmisie a puterii active de 3/2 ori mai

mare decât a liniei monofazate.

Comparativ cu sistemul monofazat, sistemul trifazat (ce caracterizează tehnica actuală de

producere, transmisie şi distribuţie a energiei electromagnetice) are următoarele avantaje:

- o transmisie de energie mai ieftină, costul liniei de transport fiind mai mic la aceeaşi putere

tranzitată;

- posibilitatea de a dispune la consumator de două tensiuni diferite - cea de fază (între

oricare fază şi neutru) şi cea de linie (dintre faze);

- posibilitatea de a produce câmpuri magnetice învârtitoare care permit realizarea

motoarelor asincrone care sunt cele mai simple şi economice motoare electrice;

- producerea unui sistem trifazat de t.e.m. este principial la fel de simplă ca şi aceea a unei

singure t.e.m.

5.2. SISTEME DE MĂRIMI TRIFAZATE

Un ansamblu de trei mărimi sinusoidale ordonate, de aceeaşi frecvenţă, defazate între ele, se

numeşte sistem trifazat şi poate fi exprimat cu relaţia:

.3,1 ),(sin2 ktVv kkk (5.3)

Dacă valorile efective ale mărimilor sistemului sunt egale

VVVV 321 (5.4)

196

şi defazajele între două mărimi consecutive sunt

,3

23221

(5.5)

sistemul se numeşte trifazat simetric.

Dacă 1 sistemul se numeşte de succesiune directă, iar vectorii V V V1 2 3, , (reprezentând

imaginile complexe ale celor trei mărimi sinusoidale) sunt ordonaţi în sens orar. Dacă 1

sistemul se numeşte de succesiune inversă, iar cei trei vectori sunt ordonaţi în sens

trigonometric. Valoarea = 0 corespunde sistemului de succesiune homopolară, pentru care

cei trei vectori sunt în fază.

a) Fie sistemul trifazat simetric direct format din mărimile

),3

2(sin2)

3

4(sin2

)3

2(sin2

)(sin2

3

2

1

tVtVv

tVv

tVv

(5.6)

mărimea v2 fiind defazată în urma mărimii v1, iar mărimea v3 în urma mărimii v2, ca în figura

5.1.

Fig. 5.1

Fig. 5.2

Reprezentarea în complex a mărimilor sistemului (5.6) conduce la relaţiile

V Ve V

V Ve Ve a V

V Ve Ve aV

j

j j

j j

1

2

23

23 2

3

23

23

( )

( ),

(5.7)

a căror reprezentare în planul complex este dată în figura 5.2.

În relaţiile (5.7) s-a introdus operatorul complex de rotaţie

,2

3

2

13

2

jeaj

(5.8)

care roteşte vectorul pe care-l înmulţeşte cu 3

2 în sens trigonometric.

197

Înmulţirea cu a2 roteşte vectorul în sens orar cu

3

2.

Operatorul a are următoarele proprietăţi:

,)( ,)( ,1 *2*2 aaaaa (5.9)

;1 , , 3632352134 nnn aaaaaaaaa 1 02 a a .

b) Un sistem trifazat simetric invers este compus din mărimile:

),3

2(sin2)

3

4(sin2

)3

2(sin2

)(sin2

3

2

1

tVtVv

tVv

tVv

(5.10)

mărimea v2 fiind defazată înaintea mărimii v1, iar mărimea v3 înaintea mărimii v2, ca în figura

5.3.

Reprezentarea în complex a celor trei mărimi sinusoidale conduce la sistemul

V Ve V

V Ve Ve aV

V Ve Ve a V

j

j j

j j

1

2

23

23

3

23

23 2

( )

( ),

(5.11)

iar diagrama vectorială este dată în figura 5.4.

Fig. 5.3

Fig. 5.4

Teorema 5.2.1. Suma mărimilor unui sistem trifazat simetric de succesiune directă sau

inversă este nulă atât în valori complexe cât şi în valori instantanee.

Pentru demonstrarea teoremei în valori complexe se utilizează ultima relaţie (5.9)

,0)1( 2321 aaVVVV (5.12)

iar forma în valori instantanee a teoremei,

0321 vvv (5.13)

se demonstrează pe baza proprietăţilor funcţiilor trigonometrice.

198

Teorema 5.2.2. Fie sistemul trifazat simetric de succesiune directă sau inversă .,, 321 VVV

Sistemul format din mărimile diferenţă a câte două mărimi consecutive ale acestuia este tot un

sistem trifazat simetric de aceeaşi succesiune ca şi mărimile .,, 321 VVV

Demonstraţie. Fie sistemul 321 ,, VVV de succesiune directă. Sistemul mărimilor diferenţă

este compus din mărimile

.3)1(

3)(

3)1(

6

5

1331

2223223

6222112

j

j

j

eVaVVVaVVV

eVaaVVaVaVVV

eVaVVaVVVV

(5.14)

După cum se observă, valoarea efectivă a mărimilor diferenţă este aceeaşi şi de 3 ori mai

mare decât valoarea efectivă V, mărimile complexe 312312 ,, VVV sunt defazate cu 6

înainte

faţă de mărimile 321 ,, VVV , iar defazajele între două mărimi consecutive ale noului sistem sunt

3

2. Să reţinem deci pentru mărimea 12V relaţiile

Fig. 5.5

VV 312 (5.15)

.6

argarg12

VV (5.16)

Reprezentarea vectorială a celor două sisteme

de importanţă practică deosebită, este dată în

figura 5.5.

O demonstraţie similară se poate face

considerând sistemul 321 ,, VVV de succesiune

inversă.

În acest caz se obţin relaţiile

.3)1(

3)(

3)1(

6

5

221331

2223223

62112

j

j

j

eVaVVVaVVV

eVaaVVaVaVVV

eVaVVaVVVV

(5.17)

Observaţie

Se numeşte regim (trifazat) simetric, regimul în care mărimile electrice (curenţii şi

tensiunile) formează sisteme trifazate simetrice de succesiune directă sau inversă.

c) Un sistem homopolar este format din trei mărimi sinusoidale cu valori efective egale şi

în fază

),sin(2321 tVvvv (5.18)

199

adică în reprezentare complexă

jVeVVVV 321 . (5.19)

Evident, diferenţa a două mărimi consecutive este nulă, iar suma tuturor este

.33321jVeVVVV (5.20)

5.3. CONEXIUNILE CIRCUITELOR TRIFAZATE

Sistemele trifazate pot funcţiona în una din următoarele conexiuni:

- în conexiune stea, obţinută prin legarea sfârşitului celor trei faze la un acelaşi punct numit

neutru sau nul;

- în conexiune triunghi, realizată prin legarea sfârşitului fiecărei faze la începutul fazei

următoare.

5.3.1. Conexiunea stea în regim simetric

În figura 5.6. este reprezentat un sistem trifazat compus din generator, linie de transmisie şi

receptor, elementele terminale fiind conectate în stea. Considerăm (pentru moment) că

impedanţele pe faze ale celor trei componente ale sistemului sunt egale, adică

gj

gggg eZZZZ

321 etc.

Fig. 5.6

Punctul comun la care se conectează bornele fazelor generatorului, notat cu 0, se numeşte

neutrul (nulul) generatorului, în timp ce punctul comun la care se conectează bornele

impedanţelor de fază ale receptorului, notat cu N, se numeşte neutrul (nulul) receptorului.

Conexiunea stea având trei conductoare de fază - poate fi completată cu un conductor conectat

200

între cele două neutre şi numit conductor neutru sau fir de nul. Între tensiunile de fază ale

generatorului (tensiunile între fiecare din bornele 1,2,3 şi neutrul 0), notate cu 321 ,, uuu şi

tensiunile de linie (între fazele corespunzătoare) la borne, notate cu ,,, 312312 uuu pentru

sensurile de referinţă din figura 5.6, se pot scrie cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff

relaţiile

, , , 133132232112 uuuuuuuuu (5.21)

respectiv

. , , 133132232112 UUUUUUUUU (5.22)

Sistemul tensiunilor fiind simetric, conform relaţiei (5.17) rezultă

,3 fglg UU (5.23)

unde s-a notat cu Ul valoarea efectivă a tensiunilor de linie, respectiv cu U f valoarea efectivă

a tensiunilor de fază.

Similar între tensiunile de fază ale receptorului (tensiunile între fiecare din bornele 1',2',3' şi

neutrul N), notate cu NNN uuu 321 ,, şi tensiunile de linie la bornele receptorului, notate cu

'1'3'3'2'2'1 ,, uuu există relaţia

.3 frlr UU (5.24)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în punctul N, pentru circuitul cu fir neutru rezultă:

.0321 iiii (5.25)

Cum regimul este simetric, conform relaţiei (5.13), avem

,00 i (5.26)

relaţie valabilă indiferent dacă există fir de nul sau nu.

Rezultă că indiferent de valoarea impedanţei firului neutru )0( 0 Z căderea de tensiune

0Nu este nulă.

Pentru sistemul trifazat din figura 5.6 curenţii în fazele generatorului, liniei şi receptorului

sunt egali, adică

.frlfg III (5.27)

5.3.2. Conexiunea triunghi în regim simetric

Dacă într-un sistem trifazat alcătuit din generator, linie de transmisie şi receptor, elementele

terminale sunt conectate în triunghi, se obţine schema din figura 5.7.

Notând cu 312312 ,, iii şi ,,, '1'3'3'2'2'1 iii curenţii din fazele generatorului, respectiv ale

receptorului, şi cu 321 ,, iii curenţii de linie, aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff se obţin

relaţiile

, , , '3'2'1'323313'2'1'3'212232'1'3'2'131121 iiiiiiiiiiiiiii (5.28)

respectiv

. , , '3'2'1'323313'2'1'3'212232'1'3'2'131121 IIIIIIIIIIIIIII (5.29)

201

Regimul fiind simetric, conform cu relaţia (4.15), între valoarea efectivă a curenţilor de linie

şi cea a curenţilor de fază ai generatorului, respectiv receptorului, există relaţia

.33 frfgl III (5.30)

Fig. 5.7

În cazul conexiunii triunghi, tensiunile de fază ale generatorului, respectiv receptorului, sunt

egale cu tensiunile de linie la bornele acestora, adică între valorile efective ale acestor tensiuni

există relaţiile

lgfg UU , respectiv .lrfr UU (5.31)

Observaţii

1. În regim simetric, în oricare conexiune suma curenţilor de linie şi suma tensiunilor de linie

este nulă atât în valori instantanee cât şi complexe.

2. În afara conexiunilor prezentate în figurile 5.6 şi 5.7 există, desigur, încă două variante

mixte: generator în stea şi receptor în triunghi şi invers. Relaţiile pentru aceste conexiuni pot fi

deduse pe baza celor de mai sus.

5.4. CIRCUITE TRIFAZATE CU CUPLAJE MAGNETICE

5.4.1. Receptor trifazat în conexiune stea cu cuplaje magnetice

Considerăm un receptor în conexiune stea având impedanţe egale pe faze

ZZZZ 321 fără conductor neutru, care prezintă cuplaje magnetice statice între faze

(Fig. 5.8,a).

Fig. 5.8

202

Teorema a doua a lui Kirchhoff aplicată pe buclele b1 şi b2 conduce la ecuaţiile

33122112 IZIZIZIZIZIZU MMMM

,11233223 IZIZIZIZIZIZU MMMM (5.32)

din care se obţin relaţiile

2112 )()( IZZIZZU MM ; ,)()( 3223 IZZIZZU MM (5.33)

ce corespund schemei echivalente fără cuplaje magnetice din figura 5.8,b.

5.4.2. Receptor trifazat în conexiune triunghi cu cuplaje magnetice

Fie un receptor echilibrat în conexiune triunghi având cuplaje magnetice între faze (Fig.

5.9,a)

Fig. 5.9

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff pe cele trei bucle obţinem

)( 31231223311212 IIZIZIZIZIZU MMM

)( 31122331122323 IIZIZIZIZIZU MMM (5.34)

).( 23123123123131 IIZIZIZIZIZU MMM

Adunând cele trei ecuaţii şi ţinând seama că suma tensiunilor de linie este nulă, rezultă

.0))(2( 312312 IIIZZ M (5.35)

Cum primul termen este diferit de zero datorită rezistenţelor pozitive ale laturilor, rezultă

relaţia

.0312312 III (5.36)

Ţinând seama de ecuaţia (5.36), sistemul (5.34) devine

,)( ,)( ,)( 313123231212 IZZUIZZUIZZU MMM (5.37)

corespunzând schemei echivalente fără cuplaje magnetice din figura 5.9,b.

5.4.3. Linie trifazată cu cuplaje magnetice între conductoarele fazelor

Pentru linia trifazată reprezentată în figura 5.10,a, se calculează căderea de tensiune pe

impedanţa fazei 1:

).( 3213211 IIZIZIZIZIZU MlMMl (5.38)

Dacă sistemul curenţilor de linie este simetric,

203

.0321 III (5.39)

ecuaţia (5.38) devine

11 )( IZZU Ml (5.40)

şi corespunde schemei echivalente din figura 5.10,b, fazele liniei fiind identice.

Fig. 5.10

Exemplul 5.1. Să se determine schema echivalentă în conexiune stea a receptorului trifazat

din figura 5.11,a.

Aplicând succesiv regula de eliminare a cuplajelor mutuale prezentată în paragraful 4.13.5.3,

se obţin schemele echivalente din figura 5.11,b şi c.

Fig. 5.11

Exemplul 5.2. Circuitul din figura 5.12,a este alimentat cu un sistem de tensiuni sinusoidale

de succesiune directă. Fiind date ,/1 , , CLR se cer:

a) reactanţa de cuplaj M pentru ca cei trei curenţi de fază să formeze un sistem simetric

de succesiune directă;

b) expresiile curenţilor.

Fig. 5.12

204

Se elimină cuplajul magnetic, obţinându-se schema echivalentă din figura 5.12,b.

a) Considerând sistemul trifazat simetric al curenţilor, se scriu ecuaţiile corespunzătoare

teoremei a doua a lui Kirchhoff pe cele două bucle:

.)()(

)(1

223

212

MLjRIaMLjRIaU

MLjRIaC

MjRIU

Împărţind ecuaţiile se obţine:

)1()(

)(1

1

2

2

aMLjRa

MLjRaC

MjR

a

,

din care rezultă relaţia:

CLM

1

2

1,

reprezentând condiţia cerută de problemă.

b) Cu valoarea reactanţei mutuale astfel obţinută, impedanţele din schema echivalentă fără

cuplajul magnetic sunt:

.1

2

1321

CLjRZZZ

Curentul din prima fază este:

,1

2

11

1

1

11

CLjR

U

Z

U

Z

UI

fN

iar din celelalte două . , 1312

2 IaIIaI

5.5. ANALIZA CIRCUITELOR TRIFAZATE

5.5.1. Introducere

Circuitele (receptoarele) trifazate (indiferent de conexiune) pot avea impedanţele de fază

egale în modul şi argument, adică

,j

321

ZeZZZZ fff (5.41)

caz în care se numesc circuite (receptoare) echilibrate.

Dacă cel puţin una din ecuaţiile care derivă din relaţia (5.41) nu este satisfăcută, circuitul

(receptorul) se numeşte dezechilibrat.

Calculul acestor circuite (receptoare) presupune în general determinarea curenţilor de fază şi

de linie atunci când se cunosc tensiunile lor de alimentare şi impedanţele fazelor.

Reţelele trifazate sunt concepute ca sisteme echilibrate funcţionând în regim simetric de

tensiuni şi curenţi. Pentru aceasta generatoarele se construiesc astfel ca tensiunile lor

electromotoare să fie simetrice, liniile electrice aeriene sau în cablu au impedanţele egale pe

faze, iar consumatorii se distribuie echilibrat pe cele trei faze.

În exploatarea sistemelor electroenergetice apar însă dezechilibrări şi nesimetrii datorate fie

conectărilor şi deconectărilor în regim normal de funcţionare a consumatorilor monofazaţi,

205

conducând la încărcarea inegală a fazelor, fie regimurilor de avarie (scurtcircuite, întreruperi de

faze etc.) ce se produc accidental în reţelele sistemului.

Calculul circuitelor trifazate (echilibrate sau dezechilibrate) funcţionând în regim simetric

sau nesimetric se poate efectua prin oricare din metodele de analiză prezentate în Capitolul 3.

O astfel de abordare se numeşte metoda directă de calcul şi se bazează pe teoremele lui

Kirchhoff şi pe legea lui Ohm, lucrând simultan cu cele trei faze.

În regim nesimetric, însă, în timp ce rezistoarele, bobinele şi condensatoarele, denumite

elemente statice, nu sunt influenţate de modul în care se succed tensiunile sau curenţii, maşinile

electrice, denumite elemente dinamice, se caracterizează prin faptul că impedanţele

înfăşurărilor lor sunt diferite pentru succesiuni diferite ale tensiunilor şi curenţilor.

Totodată, analiza circuitelor (reţelelor) trifazate dezechilibrate funcţionând în regim

nesimetric, prin metoda directă, are dezavantajul că nu pune în evidenţă abaterea de la regimul

simetric.

Pentru a elimina aceste inconveniente şi pentru a utiliza în sistemele trifazate dezechilibrate

simetria, care conduce la efectuarea studiului acestora numai pe o singură fază, luată ca fază de

referinţă, extinzându-se apoi rezultatele la celelalte faze, s-a dezvoltat teoria componentelor

simetrice. Metoda componentelor simetrice se foloseşte pentru calculul circuitelor trifazate

dezechilibrate, în regim normal sau de avarie.

5.5.2. Analiza unor receptoare trifazate simple alimentate cu tensiuni simetrice

5.5.2.1. Receptor dezechilibrat în conexiune stea

Pentru a cuprinde toate variantele de funcţionare ale conexiunii stea vom folosi schema din

figura 5.13.

Fig. 5.13

Regimul fiind simetric, sistemul tensiunilor de alimentare poate fi pus sub forma

. , , 131

2

21 UaUUaUeUU j

f (5.42)

a) Când întrerupătorul K este închis pe poziţia a, receptorul are conexiune stea cu

conductor neutru de impedanţă .00 Z Curenţii de fază, aceeaşi cu cei de linie, se exprimă cu

legea lui Ohm în complex, prelucrată cu ajutorul teoremei a doua a lui Kirchhoff, prin relaţiile

),( ,)( ,)( 033

3

33022

2

22011

1

11 N

NN

NN

N UUYZ

UIUUY

Z

UIUUY

Z

UI (5.43)

206

iar curentul din conductorul neutru, în mod similar

.00

0

00 N

N UYZ

UI (5.44)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodul N, rezultă:

,0321 IIII (5.45)

şi ţinând seama de relaţiile (5.43) şi (5.44) se obţine

.0)( 03210332211 YYYYUUYUYUY N (5.46)

Relaţia (5.46) permite calculul tensiunii 0NU numită tensiunea de deplasare a neutrului,

sau simplu - deplasarea neutrului:

.0321

33221100

YYYY

UYUYUYVVU NN

(5.47)

Odată calculată tensiunea ,0NU curenţii se determină cu relaţiile (5.43) şi (5.44).

b) Dacă întrerupătorul K se închide pe poziţia b, receptorul este conectat în stea cu

conductor neutru de impedanţă .00 Z În acest caz deplasarea neutrului este nulă, adică

,VVU NN 000 (5.48)

potenţialele celor două neutre fiind egale ).( 0VV N

Curenţii de fază (egali cu cei de linie) se calculează cu relaţiile

, , ,333222111 UYIUYIUYI (5.49)

iar

.3210 IIII (5.50)

Diagramele fazoriale ale tensiunilor şi curenţilor pentru conexiunile de la punctele a şi b sunt

prezentate în figurile 5.14,a, respectiv 5.14,b

Fig. 5.14

c) În cazul în care întrerupătorul K rămâne deschis, receptorul este conectat în stea fără

conductor neutru (cu neutrul izolat), ceea ce echivalează cu relaţia .0 Z

În această situaţie prima teoremă a lui Kirchhoff conduce la relaţia

207

,0321 III (5.51)

din care, ţinând seama de ecuaţiile (5.43), obţinem

.321

33221100

YYY

UYUYUYVVU NN

(5.52)

Acelaşi rezultat se obţine dacă în relaţia (5.47) se înlocuieşte .0/1 00 ZY

După calculul tensiunii 0NU cu relaţia (5.52), curenţii fazelor receptorului se determină cu

relaţiile (5.43). Diagrama fazorială a tensiunilor este similară celei din figura 5.12.

Dacă nu se cunosc (sau nu se pot determina prin măsurare pentru că neutrul reţelei nu este

accesibil) tensiunile de fază, dar se cunosc sau se pot măsura tensiunile de linie (între faze),

curenţii se exprimă cu relaţiile

).( , ,)( 22333332222121111 NNNNN UUYUYIUYIUUYUYI (5.53)

Substituind aceste relaţii în (5.51) se determină tensiunea pe faza a doua a receptorului

.321

1212332

YYY

UYUYU N

(5.54)

Cum tensiunile de linie satisfac relaţia

,0312312 UUU (5.55)

se obţin expresiile curenţilor sub forma

Fig. 5.15

321

31312211

YYY

UYUYYI

321

12123322

YYY

UYUYYI

(5.56)

.321

232311333

YYY

UYUYYI

Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor este

în acest caz cea din figura 5.15.

Exemplul 5.3. Receptorul trifazat din figura 5.16,a este alimentat cu un sistem simetric de

tensiuni cu tensiunea fazei 1 .1201 U Să se calculeze intensităţile curenţilor fazelor şi a

curentului din firul de nul când se cunosc următoarele valori ale parametrilor:

.310X ,3/10X ,10 2L21L032 CC XXRR

Soluţie: Se calculează impedanţele receptorului în conexiune stea cu conductor neutru:

.3

10Z ,10

,10 ,3

10

0033

222211

jjXRZ

jXjXRZjjXZ

L

CLC

Receptorul fiind dezechilibrat se calculează deplasarea neutrului:

208

,120

10

3

10

1

10

1

10

3

10

1

10

1

10

3120

3

2

3

2

3

2

0321

3322110

j

jj

N e

jj

eej

YYYY

YUYUYUU

Fig. 5.16

apoi tensiunile fazelor

.0120120

3120120120

3120120120

3

2

3

2

033

23

2

3

2

022

63

2

011

jj

NN

jjj

NN

jj

NN

eeUUU

eeeUUU

eeUUU

Curenţii fazelor se calculează cu legea lui Ohm:

,0 ,31210

3120 ,36

3

10

31203

22

2

22

36

1

11

Iee

Z

UIe

j

e

Z

UI

jj

Nj

j

N

iar curentul din firul de nul cu prima teoremă a lui Kirchhoff:

.31231236 6233210

jjj

eeeIIII

În figura 5.16,b s-a reprezentat diagrama fazorială a curenţilor şi tensiunilor.

5.5.2.2. Receptor echilibrat în conexiune stea

Pentru acest tip de receptor este satisfăcută relaţia (5.41), ceea ce conduce la egalitatea

admitanţelor

.321

jYeYYYY (5.57)

209

Tensiunile aplicate receptorului fiind definite de sistemul (5.42) şi ţinând seama de relaţia

(5.57), ecuaţia (5.46) devine

.0)3()( 00321 YYUUUUY N (5.58)

Deoarece ,0321 UUU rezultă

,0)3( 00 YYU N (5.59)

relaţie valabilă atât pentru conexiunea stea cu conductor neutru de impedanţă ,00 Z cât şi

pentru conexiunea stea cu neutrul izolat ).( 0 Z

În ambele cazuri soluţia ecuaţiei (5.59) este

,000 VVU NN (5.60)

deoarece în reţelele disipative părţile reale (rezistenţe, respectiv conductanţe) ale impedanţelor

şi admitanţelor sunt pozitive şi nenule.

Evident relaţia (5.60) este valabilă şi pentru conexiunea stea cu conductor neutru de

impedanţă ).( 000 VVZ N

Rezultă deci că în cazul receptorului echilibrat în conexiune stea, indiferent de variantă,

deplasarea neutrului este nulă. În această situaţie este evident că tensiunile de fază ale

receptorului sunt egale cu tensiunile de fază ale reţelei, adică:

. , ,332211

UUUUUU NNN (5.61)

Aplicând legea lui Ohm în complex se obţin curenţii de fază (egali cu cei de linie)

. , , 113312

1

2

2211 IaUYaUYIIaUYaUYIUYI (5.62)

Relaţiile (5.62) arată că în cazul unui receptor echilibrat, în oricare din variantele conexiunii

stea, alimentat cu un sistem simetric direct de tensiuni, curenţii absorbiţi formează un sistem

simetric direct cu valorile efective

.321Z

UIII

f (5.63)

Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor este prezentată în figura 5.17.

Fig. 5.17

Dacă în cazul conexiunii stea cu neutrul

izolat se cunosc tensiunile de linie care

conform teoremei 5.2.2 satisfac relaţiile

,

3

121331

12

2

3223

612112

UaUUU

UaUUU

eUUUUj

(5.64)

din prima ecuaţie a sistemului (5.64), ţinând

seama de (5.61), se obţine:

.3

16

1211

j

N eUUU (5.65)

Curenţii se exprimă cu relaţiile (5.64) prelucrate sub forma

210

. , ,3

1131

22

61211 IaIIaIeUYUYI

j

(5.66)

În acest caz valorile efective ale curenţilor sunt

.3

321Z

UIII l (5.67)

5.5.2.3. Receptor dezechilibrat în conexiune triunghi

Dacă receptorul are fazele conectate în triunghi, şi linia de alimentare este fără pierderi,

tensiunile de linie ale reţelei de alimentare se aplică direct fazelor receptorului ca în figura

5.18,a. Aceste tensiuni formează sistemul trifazat simetric direct

. , , 1231122

2312 UaUUaUeUU jl (5.68)

Fig. 5.18,a

Fig. 5.18,b

Exprimând curenţii fazelor cu legea lui Ohm, se obţin relaţiile

31

3131

23

2323

12

1212 , ,

Z

UI

Z

UI

Z

UI (5.69)

şi aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în nodurile 1',2' şi 3', se obţin curenţii de linie

. , , 233131223231121 IIIIIIIII (5.70)

Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor este prezentată în figura 5.18,b.

Exemplul 5.4. Se dă receptorul trifazat în conexiune triunghi din figura 5.19,a pentru care

se cunosc valorile parametrilor .310 ,10 ,20 321 CL XXRRR Ştiind că

sistemul tensiunilor de alimentare este simetric de secvenţă directă, să se calculeze curenţii de

fază şi de linie şi să se reprezinte diagrama fazorială corespunzătoare.

Impedanţele fazelor receptorului au valorile:

.20 ,20 ,20 3331

3223112

j

L

j

C ejXRZejXRZRZ

211

Cu ajutorul legii lui Ohm se calculează curenţii de fază:

,10

20

200 ,10

20

200 ,10

20

2003

3

3

2

31

3131

3

3

3

2

23

2323

12

1212

j

j

jj

j

j

e

e

e

Z

UIe

e

e

Z

UI

Z

UI

Fig. 5.19,a

Fig. 5.19,b

iar cu prima teoremă a lui Kirchhoff se determină curenţii de linie:

.3101010

101010

101010

23323313

3

2

312232

3331121

jjj

jj

jj

eeeIII

eeIII

eeIII

Diagrama fazorială este reprezentată în figura 5.19,b.

5.5.2.4. Receptor echilibrat în conexiune triunghi

În acest caz impedanţele fazelor receptorului satisfac relaţia

.312312jZeZZZZ (5.71)

iar curenţii de fază se exprimă cu relaţiile (5.71) obţinându-se

. , , 121231

3112212

223

2312

12 IaZ

Ua

Z

UIIa

Z

Ua

Z

UI

Z

UI (5.72)

Relaţiile (5.72) arată că la alimentarea receptorului echilibrat în conexiune triunghi cu

tensiuni simetrice, ca şi la cel în stea, curenţii absorbiţi pe faze formează un sistem simetric cu

valorile efective

.312312Z

UIII l (5.73)

Curenţii de linie se determină cu relaţiile (5.70) şi conform teoremei 5.2.2, vor forma la

rândul lor un sistem simetric direct

212

, , ,3)1( 1312

26

121231121 IaIIaIeIaIIIIj

(5.74)

Fig. 5.20

cu valorile efective

.3

321Z

UIII l (5.75)

Diagrama fazorială a tensiunilor şi

curenţilor este reprezentată în figura 5.20.

Observaţii

1. În cazul mai multor circuite (receptoare) conectate în serie sau în paralel şi în conexiuni

diferite, se pot face transfigurări succesive, pentru a obţine un receptor echivalent în stea sau în

triunghi.

2. În cazul mai multor circuite (receptoare) dezechilibrate în stea, cu neutrele izolate,

potenţialele acestor neutre nu coincid şi stelele nu pot fi conectate cu laturile omoloage în

paralel. În acest caz se impune transfigurarea stelelor în triunghiuri, laturile omoloage ale

acestor triunghiuri fiind conectate în paralel, ceea ce permite obţinerea unui receptor echivalent

în triunghi.

3. Dacă un circuit (receptor) în conexiune triunghi este alimentat printr-o linie având

impedanţe nenule pe faze, pentru a determina tensiunile aplicate fazelor receptorului trebuie să

se ţină seama de căderile de tensiune pe linie. Pentru aceasta circuitul (receptorul) în triunghi se

transfigurează în stea şi apoi, prin înserierea impedanţelor de fază ale stelei obţinute cu

impedanţele liniei, rezultă circuitul echivalent în stea. Rezolvarea acestuia furnizează curenţii

prin linie care vor determina căderile de tensiune căutate.

4. Pentru circuitele (receptoarele) echilibrate, conform relaţiilor de transfigurare stea-

triunghi prezentate în capitolul 1, sunt valabile relaţiile

.3 YZZ (5.76)

5. În regim simetric, curenţii de linie sunt defazaţi faţă de tensiunile stelate ale generatorului

(tensiuni de fază când acesta este conectat în stea) sau ale receptorului cu argumentul

)/( RXarctg al impedanţelor de sarcină jXRZ şi au valoarea efectivă

.3

33

Z

U

Z

U

Z

U

Z

UI l

Y

lf

Y

f

l (5.77)

6. În cazul circuitelor (reţelelor) trifazate echilibrate în stea, curenţii fazelor formează un

sistem trifazat simetric şi prin conductorul neutru nu trece curent. Acest conductor ar putea fi

deci suprimat. În practică însă, în reţelele de distribuţie la joasă tensiune, nu se renunţă la el

datorită numărului mare de consumatori cu receptoare monofazate care fac imposibilă o

echilibrare perfectă. Acest conductor neutru, cu secţiune mai mică decât a conductoarelor de

fază, are rolul de a stabiliza potenţialul punctului neutru al receptorului, astfel încât fiecărei

faze să i se aplice practic aceeaşi tensiune efectivă.

213

Exemplul 5.5. Să se determine condiţia pe care trebuie să o satisfacă impedanţele inegale

321 ,, ZZZ ale unui receptor în conexiune stea fără conductor neutru, pentru ca la alimentare cu

tensiuni de linie simetrice, să absoarbă curenţi simetrici.

Soluţie: Folosind relaţiile (5.56) şi ţinând seama că tensiunile de alimentare fiind simetrice,

satisfac relaţiile 122

23 UaU şi ,1231 UaU rezultă:

.)(

;)(

321

13122

22321

321211

YYY

YaYUaYI

YYY

YaYUYI

Cum ,213 III condiţia necesară şi suficientă pentru ca cei trei curenţi să formeze un

sistem trifazat simetric este ca .12

2 IaI Ţinând seama de relaţiile de mai sus rezultă:

),()( 132321 YaYYYaYY

adică

,03231212 YYYYaYYa

sau în impedanţe

.01232 ZZaZa

Această condiţie este evident satisfăcută dacă ,321 ZZZ deoarece .0)1( 2 aa

Rezultă că pentru a absorbi un sistem simetric de curenţi sub tensiuni de alimentare

simetrice, sarcina trebuie să fie echilibrată. Condiţia poate fi însă satisfăcută şi pentru un set de

impedanţe inegale si anume: .3

1 ,

3 , 321

RjLj

CjZ

RjLjZRZ

În acest caz deplasarea neutrului este

1

321

0 211

11

U

CjLjR

CjULj

UR

U

U N

şi curenţii fazelor au valorile:

./3 ,/3 ,/3 11312

12

211 IaRUaIIaRUaIRUI

Observaţie

Deşi curenţii pe fazele receptorului sunt simetrici, tensiunile de fază ale acestuia nu sunt

simetrice, având valorile

.33)2(

33)2(

3

311033

2122

1022

1011

UjUajaUUUU

UjUajaUUUU

UUUU

NN

NN

NN

214

Exemplul 5.6. Circuitul din figura 5.21,a, compus din două receptoare dezechilibrate în

conexiune stea, este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni. Să se exprime curenţii din

fazele liniei de alimentare.

Cele două receptoare fiind dezechilibrate, potenţialele neutrelor lor N’ şi N” sunt diferite,

deci conexiunile stea nu se pot considera în paralel. În această situaţie se transfigurează

conexiunile stea în triunghi şi se obţin impedanţele echivalente pe fază:

, ,3,1, ,1

''

3

1

'

'

'jiji

YY

Y

YZ

ji

kk

ij

ij

respectiv

. ,3,1, ,1

''''

3

1

''

''

''jiji

YY

Y

YZ

ji

kk

ij

ij

(a)

(b) (c)

Fig. 5.21

Receptorul echivalent în triunghi are impedanţele (Fig. 5.21,b)

. ,3,1, ,11

'''jiji

YYYZ

ijijij

ij

Acest receptor se transfigurează apoi într-un receptor în conexiune stea, cu impedanţele pe

fază

215

. , ,312312

23313

312312

12232

312312

31121

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

La acest pas, schema echivalentă a circuitului este cea reprezentată în figura 5.21,c.

Deplasarea neutrului se calculează cu relaţia

,321

3322110

eee

eeeN

YYY

YUYUYUU

unde .3,1 ,1

kZZ

Yk

ek

Tensiunile aplicate fazelor receptorului echivalent sunt:

,3,1 ,0 kUUU NkkN

iar curenţii fazelor, egali cu cei din linia de alimentare, sunt:

.3,1 , kYUI ekkNk

5.5.3. Metoda schemei monofazate

Într-o reţea trifazată echilibrată în regim simetric, tensiunile şi curenţii sunt simetrici, iar

conductoarele neutre nu sunt parcurse de curent şi căderile de tensiune pe neutre sunt nule. Ca

urmare, punerea în scurtcircuit a tuturor punctelor neutre nu schimbă nici curenţii, nici

tensiunile reţelei, regimul de funcţionare rămânând simetric. În consecinţă putem calcula

mărimile fazei 1 utilizând o schemă monofazată constituită din elemente ale fazei 1 şi un

conductor neutru de impedanţă .00 Z Pentru a obţine schema monofazată de calcul se

procedează astfel:

- se elimină cuplajele mutuale, dacă este cazul;

- se transfigurează toate conexiunile triunghi în conexiuni stea cu relaţia .3/ZZY

5.5.4. Analiza unor receptoare trifazate simple alimentate cu tensiuni nesimetrice,

prin metoda directă

În cazul regimului nesimetric, dacă neutrul reţelei de alimentare e accesibil şi se dau

tensiunile nesimetrice, acestea pot fi scrise sub forma

321332211 , ,

jjjeUUeUUeUU (5.78)

cu proprietatea evidentă

.0321 UUU (5.79)

Tensiunile de linie

, , , 133132232112 UUUUUUUUU (5.80)

sunt de asemenea nesimetrice, dar satisfac relaţia (5.57).

Dacă neutrul reţelei de alimentare nu este accesibil, se dau tensiunile de linie

312312313123231212 , ,

jjjeUUeUUeUU , (5.81)

care satisfac de asemenea relaţia (5.55).

Calculul receptoarelor dezechilibrate în conexiune stea sau triunghi, alimentate cu tensiuni

nesimetrice, se poate face similar ca în cazul tensiunilor simetrice, aplicând metoda directă,

216

ţinând seama de relaţiile (5.78) şi (5.81). În diagramele fazoriale steaua formată din tensiunile

,,, 321 UUU nu mai are braţe egale, iar triunghiul format de 312312 ,, UUU nu mai este

echilateral.

5.5.5. Metoda componentelor simetrice

5.5.5.1. Componentele simetrice ale sistemelor de mărimi trifazate nesimetrice

Un sistem trifazat nesimetric ordonat poate fi descompus în trei sisteme simetrice: un sistem

direct, un sistem invers şi un sistem homopolar (figura 5.22). Descompunerea este unică şi

mereu posibilă (teorema lui Fortescue), fiind exprimată cu relaţiile:

idhidhidh VaVaVVVaVaVVVVVV 23

221 , , (5.82)

Fig. 5.22

unde a este operatorul complex de rotaţie.

Rezolvând sistemul (5.86) în raport cu componentele simetrice, se obţine

).(3

1),(

3

1),(

3

132

213

221321 VaVaVVVaVaVVVVVV idh (5.83)

Aceste componente formează sistemele de succesiune homopolară ),,,( hhh VVV directă

),,( 2ddd VaVaV şi inversă ).,,( 2

iii VaVaV

Se poate demonstra simplu că valorile efective ale componentelor simetrice de tensiune şi de

curent satisfac următoarele relaţii:

,3 ,3 filifdld UUUU (5.84)

respectiv

.3 ,3 filifdld IIII (5.85)

Prima ecuaţie din sistemul (5.83) şi relaţiile (5.84) şi (5.85) au următoarele consecinţe:

1. Într-un circuit trifazat fără conductor neutru (în conexiune stea sau triunghi), deoarece

suma curenţilor de linie este totdeauna nulă )0( 321 III , componenta lor homopolară

este nulă pentru orice nesimetrie.

2. Dacă curenţii de fază ai receptorului conectat în triunghi au o componentă homopolară,

aceasta se închide în interiorul triunghiului (consecinţă a punctului anterior).

3. Dacă există un conductor neutru şi este parcurs de curent, acest curent este egal cu triplul

componentei homopolare a curenţilor de linie ).3( 3210 hIIIII

217

4. Suma tensiunilor de linie a unui sistem trifazat este nulă )0( 312312 UUU în orice

regim, drept urmare componenta homopolară a tensiunilor de linie este nulă.

5. Tensiunile de fază ale unui receptor echilibrat în conexiune stea fără conductor neutru nu

au componentă homopolară (conform punctului 1, curenţii fazelor receptorului nu au

componentă homopolară).

6. Tensiunile de fază ale diferiţilor consumatori în conexiune stea, conectaţi în paralel la o

aceeaşi linie trifazată (la aceleaşi tensiuni de linie), pot diferi numai prin componentele

homopolare (conform relaţiei (5.84) componentele directă şi inversă sunt aceleaşi, oricare ar fi

punctul neutru la care se raportează).

Cunoscând valorile componentelor simetrice de curent şi de tensiune se poate aprecia

abaterea regimului nesimetric studiat faţă de regimul simetric prin definirea a două mărimi

caracteristice - gradul de disimetrie şi gradul de asimetrie.

Gradul de disimetrie se defineşte ca raportul dintre valoarea efectivă a componentei inverse

şi valoarea efectivă a componentei directe

.d

id

V

V (5.86)

Gradul de asimetrie este definit ca raportul dintre valoarea efectivă a componentei

homopolare şi valoarea efectivă a componentei directe

.d

ha

V

V (5.87)

În practică, un sistem de tensiuni sau de curenţi se consideră simetric dacă atât d cât şi a

sunt mai mici ca 0,05.

5.5.5.2. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate

În cazul unui circuit trifazat dezechilibrat, relaţiile dintre componentele simetrice de

succesiuni diferite ale căderilor de tensiune pe faze sunt mai complicate decât în cazul

circuitelor echilibrate şi nu se mai pot construi schemele monofazate directă, inversă şi

homopolară ca în cazul circuitelor echilibrate. În general, însă, dezechilibrul reţelelor nu este

total, fiind posibilă separarea părţilor echilibrate şi dezechilibrate.

Calculul regimurilor nesimetrice se face pe baza teoremei compensaţiei, prin înlocuirea

impedanţelor elementelor dezechilibrate (care produc nesimetria) prin tensiuni echivalente

nesimetrice, care se descompun în componente simetrice; aceste componente împreună cu cele

ale curenţilor alcătuiesc necunoscutele auxiliare ale problemei.

a) Reţea echilibrată care alimentează un receptor trifazat static dezechilibrat

Înlocuind pe baza teoremei compensaţiei impedanţele de fază (necuplate magnetic) ale

receptorului dezechilibrat - ,,, 321 ZZZ prin surse ideale cu tensiunile la borne

, , , 333222111 IZUIZUIZU (5.88)

se obţine circuitul din figura 5.23. Acesta este un circuit trifazat echilibrat alimentat cu t.e.m.

nesimetrice care reprezintă necunoscutele auxiliare.

218

Înlocuind în relaţiile (5.88) tensiunile şi curenţii în funcţie de componentele lor simetrice

(rel.5.87) se obţin relaţiile între componentele simetrice ale tensiunilor şi curenţilor la bornele

fazelor receptorului dezechilibrat

.

,,

hhiddihh

hiihddiihdiidhdd

IIIUE

IIIUEIIIUE

(5.89)

Se remarcă faptul că spre deosebire de receptorul echilibrat, la care fiecare componentă

simetrică a tensiunii depinde numai de componenta simetrică corespunzătoare a curentului, la

receptorul dezechilibrat fiecare componentă simetrică a tensiunii depinde de toate

componentele simetrice ale curentului. În consecinţă, pentru receptoarele dezechilibrate,

efortul de calcul antrenat de metoda componentelor simetrice este mult mai mare decât în cazul

receptoarelor echilibrate.

Fig. 5.23

Fig. 5.24

În relaţiile (5.89) s-au făcut următoarele notaţii:

.3

1

3

1

3

1

322

1

32

21

321

ZaZaZ

ZaZaZ

ZZZ

i

d

h

(5.90)

Aceste mărimi, de natura unor impedanţe complexe, se numesc impedanţe de calcul.

Studiul reţelei din figura 5.24 se poate face acum cu ajutorul schemelor de succesiune

directă, inversă şi homopolară Rd, Ri, Rh, reprezentate în figura 5.25.

Fig. 5.25

219

Aceste scheme se rezolvă cu oricare din metodele cunoscute din analiza circuitelor electrice

de curent alternativ. Echivalând reţelele Rd, Ri, Rh prin dipoli Thévenin sau Norton se obţin

schemele din figurile 5.26, respectiv 5.27, care permit scrierea următoarelor relaţii:

, , ,000

h

hhh

i

iii

d

ddd

Z

UEI

Z

UEI

Z

UEI

(5.91)

respectiv

. , ,h

hhg

h

i

iig

i

d

ddg

dY

IIU

Y

IIU

Y

IIU

(5.92)

Fig. 5.26

Fig. 5.27

Mărimile ,,,,,, hidhoiodo ZZZEEE respectiv ,,, hgigdg III se calculează evident în funcţie

de parametrii din partea echilibrată a circuitului. Sistemul de ecuaţii obţinut cu relaţiile (5.89) şi

(5.91) sau (5.92) permite calculul componentelor simetrice ale tensiunilor şi curenţilor, cu

ajutorul cărora, utilizând relaţiile (5.83), se calculează apoi curenţii şi tensiunile la bornele

receptorului dezechilibrat din figura 5.23.

De asemenea, cunoscând componentele simetrice ale tensiunilor la bornele schemelor Rd, Ri,

Rh, se pot determina componentele simetrice ale curenţilor şi tensiunilor din laturile reţelei

echilibrate R prin rezolvarea separată a acestor scheme (paragraful anterior).

b) Regimuri de avarie în reţelele trifazate

În reţelele trifazate pot apare regimuri de funcţionare nesimetrică determinate de

întreruperea uneia sau a două dintre faze, sau de diferite tipuri de scurtcircuite. Calculul unor

astfel de regimuri prezintă importanţă deosebită pentru dimensionarea şi protecţia acestor

reţele. Nesimetria generată de întreruperi şi scurtcircuite este echivalentă cu situaţia prezentată

la punctul anterior, dar particularizată pentru receptoare simple, ceea ce permite scrierea unor

ecuaţii mult mai simple pentru curenţii şi tensiunile de fază, respectiv pentru componentele

simetrice ale acestora.

1. Scurtcircuit pe faza 1, cu întreruperea fazelor 2 şi 3

220

Situaţia prezentată în figura 5.28 este echivalentă cu o reţea trifazată echilibrată

alimentând un receptor trifazat dezechilibrat ale cărui impedanţe de fază satisfac relaţiile

Fig. 5.28

. , , 321 ZZZZ (5.93)

Ca urmare

0.= = , 3211 IIIZU (5.94)

Din relaţiile (5.82) şi (5.83) rezultă

,31 didh IZUUUU (5.95)

.3

11IIII idh (5.96)

Relaţia ( 5.96) arată că cele trei scheme de

succesiune directă, inversă şi homopolară se înseriază ca în figura 5.29, care asigură de

asemenea şi satisfacerea relaţiei (5.95).

Rezolvând această schemă se obţin componentele simetrice ale curenţilor şi tensiunilor.

Dacă scurtcircuitul este net (direct), ,01 Z iar dacă este prin arc electric, Z 1 este impedanţa

arcului.

Fig. 5.29

2. Scurtcircuit pe fazele 2 şi 3 şi întreruperea fazei 1

Fig. 5.30

Ecuaţiile satisfăcute de acest receptor

dezechilibrat sunt:

.0 ,0 321 UUI (5.97)

Pe baza relaţiilor (5.82) şi (5.83) se obţin

următoarele relaţii între componentele simetrice

ale curenţilor şi tensiunilor:

,0 idh III (5.98)

.idh UUU (5.99)

221

Satisfacerea acestor relaţii impune conectarea celor trei reţele Rd, Ri, Rh în paralel, ca în

figura 5.31. Prin rezolvarea schemei interconectate se obţin componentele simetrice ale

regimului nesimetric studiat.

Fig. 5.31

Exemplul 4.7. Fie reţeaua trifazată simetrică din figura 5.32,a. Să se determine expresia

curentului de scurtcircuit şi expresiile tensiunilor la o punere la pământ a primei faze prin arc

electric de impedanţă .AZ

Fig. 5.32

Ecuaţiile la locul defectului sunt

, ,0'

1

'

1

'

3

'

2 IZUII A

care exprimate în funcţie de componentele simetrice devin:

).'('

0''

''''

'2'''2

idhAidh

idhidh

IIIZUUU

IaIaIIaIaI

Prelucrând acest sistem obţinem:

.3

''''

'''

dAidh

hid

IZUUU

III

Ecuaţia de curenţi impune înserierea celor trei reţele monofazate de secvenţă directă,

inversă şi homopolară. Ţinând seama că ,0 ,1 hid EEEE schema echivalentă a

defectului este cea din figura 5.31,b , în care hid ZZZ ,, reprezintă impedanţele echivalente

directă, inversă şi homopolară ale circuitului, calculate în raport cu locul defectului.

Rezolvând schema defectului se obţine

222

. , ,

3

'''''1

'

1'''

hhhiiiddd

Ahid

hid

IZUIZUIZEU

ZZZZ

EIII

Cu valorile astfel calculate ale componentelor simetrice determinăm curenţii şi tensiunile pe

faze la locul defectului:

. ,

,3

3

,0 ,3

3

'2'''

3

''2''

2

11

''''

1

'3

'2

1''''1

idhidh

Ahid

AAidh

Ahididh

UaUaUUUaUaUU

ZZZZ

EZIZUUUU

IIZZZZ

EIIII

Observaţie:

Dacă punerea la pământ este directă (fără arc electric) ,0AZ iar ecuaţiile la locul

defectului devin ,0 ,0'

1

'

3

'

2 UII respectiv ,0 ,'''''' idhhid UUUIII iar în

schema echivalentă a defectului dispare impedanţa .3 AZ

Exemplul 4.8. Să se studieze scurtcircuitul bifazat cu arc electric produs într-o reţea

trifazată simetrică.

Fig. 5.33

Ecuaţiile la locul defectului sunt:

'

2

'

3

'

2

'

3

'

2

'

1 ,0 ,0 IZUUIII A

şi exprimând în funcţie de componentele simetrice rezultă:

223

).()()(

0)()(

0

''2''2''''2'

'2''''2'

'''

idhAidhidh

idhidh

idh

IaIaIZUaUaUUaUaU

IaIaIIaIaI

III

Prelucrând acest sistem se obţine

. ,0 ,0''''''

dAididh IZUUIII

Folosind schemele monofazate pe cele trei secvenţe (Fig. 5.33,b) scriem următoarele ecuaţii:

.0 , ,'''''

1

' hhhiiiddd IZUIZUIZEU

Pe baza ecuaţiilor de mai sus se poate reprezenta schema echivalentă a defectului ca în

figura 5.33,c.

Rezolvând sistemul de ecuaţii de mai sus se obţin componentele simetrice de curent şi

tensiune

,0 , ,)(

0 ,

'1'1'

'1''

hAid

ii

Aid

Aid

h

Aid

id

UZZZ

ZEU

ZZZ

ZZEU

IZZZ

EII

cu ajutorul cărora apoi se determină mărimile care interesează:

).( ,0 21'

3

'

2

''''

1 aaZZZ

EIIIIII

Aid

idh

Observaţie:

Dacă scurtcircuitul este fără arc electric ,0AZ iar ecuaţiile defectului se obţin înlocuind

această valoare în ecuaţiile de mai sus. Rezultă deci

, ,0 ,0'

3

'

2

'

3

'

2

'

1 UUIII

sau în componente simetrice

. ,0 ,0'''''

ididh UUIII

Exemplul 4.9. Să se studieze scurtcircuitul bifazat cu punere la pământ prin arc (Fig.

5.34,a).

Fig. 5.34

224

Scriind ecuaţiile la locul defectului se obţine sistemul:

, , ,0'

3

'

2

''

3

'

2

'

1 IIIIZUUI AAA

sau în componente simetrice

.3, , ,0''''''''

hAdhididh IZUUUUIII

Cu ajutorul schemelor monofazate pe cele trei secvenţe se calculează curenţii de scurtcircuit

şi respectiv tensiunile de fază. Schema echivalentă a defectului obţinută pe baza ecuaţiilor în

componente simetrice este cea din figura 5.34,b.

Observaţie:

Dacă scurtcircuitul bifazat este cu punere la pământ netă, ,0AZ şi ecuaţiile de mai sus se

modifică în mod corespunzător. De asemenea şi schema echivalentă a defectului.

Exemplul 4.10. Într-o reţea trifazată simetrică are loc un scurtcircuit trifazat direct la

pământ (Fig. 5. 35,a). Să se determine curenţii la locul defectului.

Fig. 5.35

Din ecuaţiile la locul defectului ,0'

3

'

2

'

1 UUU respectiv ,0''' idh UUU rezultă

schema echivalentă a defectului (Fig. 5.35,b). Scriind ecuaţiile în schemele echivalente pe

secvenţe şi ţinând seama de ultima relaţie de mai sus, se obţine:

,0

0

'''

'''

'''1

hhhhh

iiiii

ddddd

IZUIZ

IZUIZ

IZUIZE

din care rezultă componentele simetrice ale curenţilor

.0 ,0 ,''1' hi

d

d IIZ

EI

Cu ajutorul acestora se calculează apoi curenţii de scurtcircuit:

. , ,''

3

'2'

2

''

1 ddd IaIIaIII

5.6. PUTERI ÎN SISTEMELE TRIFAZATE

225

5.6.1. Puteri în sistemele trifazate funcţionând în regim nesimetric

Un circuit (receptor) trifazat poate fi considerat ca un multipol cu 4 sau 3 borne de acces,

după cum este sau nu prevăzut cu conductor neutru (Fig. 5.36). Dacă neutrul 0 al reţelei de

alimentare este accesibil şi se consideră că sistemul tensiunilor de fază ale generatorului

(reţelei) este nesimetric, sunt valabile relaţiile (5.82). Dacă neutrul nu este accesibil, se dau

tensiunile de linie sub forma (5.85).

Puterea complexă trifazată transmisă pe la

borne receptorului reprezentat în figura 5.36, se

poate exprima în funcţie de potenţialele şi curenţii

asociaţi bornelor, cu relaţia

).( 00332211

IVIVIVIVS g (5.100)

Cum ,3210 IIII substituind această

relaţie în (5.100) se obţine

Fig. 5.36

.)()()( 332211303202101

IUIUIUIVVIVVIVVS g (5.101)

Circuitul fiind dezechilibrat, rezultă că sistemul curenţilor este oarecare, deci

. , , 321332211

jjjeIIeIIeII (5.102)

Prelucrând relaţia (5.101) în funcţie de relaţiile (5.78) şi (5.102) se obţine

,321332211

jjjg eIUeIUeIUS (5.103)

unde 3,1 , jj se defineşte cu relaţia

.jjj (5.104)

Partea reală a puterii complexe reprezintă puterea activă trifazată furnizată receptorului

).,cos(),cos(),cos(Re 333322221111 IUIUIUIUIUIUSP gg (5.105)

Puterea reactivă trifazată furnizată la borne este partea imaginară a puterii complexe

).,sin(),sin(),sin(Im 333322221111 IUIUIUIUIUIUSQ gg (5.106)

Dacă neutrul reţelei nu este accesibil (reţea fără conductor neutru), este satisfăcută relaţia

0321 III şi dacă se ia ca referinţă pentru potenţiale borna (faza) 3, relaţia (5.101)

devine

.)()( 223113232131

IUIUIUUIUUS g (5.107)

În consecinţă, puterea activă este

),,cos(),cos(Re 223223113113 IUIUIUIUSP gg (5.108)

iar puterea reactivă

).,sin(),sin(Im 223223113113 IUIUIUIUSQ gg (5.109)

226

În afara acestor puteri definite la bornele receptorului, se mai pot exprima puterile

consumate în elementele rezistive şi reactive ale circuitului. Astfel puterea complexă consumată

de receptorul trifazat în conexiune stea se calculează cu relaţia

,3

0

23

0

2200

233

222

211

k

kk

k

kkc IXjIRIZIZIZIZS (5.110)

din care rezultă puterile activă şi reactivă consumate de receptor

,Re3

0

2

k

kkcc IRSP (5.111)

respectiv

.)(Im3

0

23

0

2

k

kCL

k

kkcc IXXIXSQkk

(5.112)

Evident, conform teoremei de conservare a puterilor în curent alternativ, puterile calculate

cu relaţiile (5.105) sau (5.108) şi (5.111), respectiv (5.106) sau (5.109) şi (5.112) trebuie să fie

identice, ceea ce constituie verificarea rezolvării circuitului cu metoda bilanţului de puteri.

5.6.2. Puteri în sistemele trifazate funcţionând în regim simetric

Dacă sistemul tensiunilor de alimentare ale unui receptor echilibrat în conexiune stea cu

conductor neutru este simetric de succesiune directă, adică, în valori instantanee

,3

2sin2

,3

2sin2

),sin(2

3

2

1

tUu

tUu

tUu

f

f

f

(5.113)

sistemul curenţilor va fi de asemenea simetric direct

.3

2sin2

,3

2sin2

),sin(2

3

2

1

tIi

tIi

tIi

f

f

f

(5.114)

Reprezentarea în complex a celor două sisteme conduce la relaţiile

, , , 1312

21 UaUUaUeUU jf

(5.115)

respectiv

. , , 1312

21 IaIIaIeII jf

(5.116)

Puterea instantanee totală furnizată unei sarcini trifazate în regim simetric este

.332211 iuiuiup (5.117)

Substituind relaţiile (5.113) şi (5.114) în (5.117) se obţine

227

,cos3 ff IUp (5.118)

unde

, (5.119)

este defazajul între tensiunea şi curentul de fază.

Din relaţia (5.118) rezultă că în regim simetric puterea instantanee trifazată este constantă,

adică energia se transmite uniform. Această proprietate este deosebit de importantă în cazul

când sarcina este un motor electric trifazat al cărui cuplu mecanic va fi constant (nepulsatoriu),

eliminând vibraţiile.

Puterea complexă trifazată transmisă receptorului în cazul reţelelor cu conductor neutru se

exprimă cu relaţia (5.101) care se prelucrează în funcţie de relaţiile (5.115) şi (5.116), obţinând

.33*11

*33

*22

*11

jffg eIUIUIUIUIUS (5.120)

Dacă receptorul este conectat în stea, fl UU 3 şi ,fl II iar dacă este conectat în

triunghi fl UU şi fl II 3 . În oricare dintre situaţii puterea complexă poate fi exprimată

în funcţie de mărimile de linie cu relaţia

.3 jllg eIUS (5.121)

Din ultimele două relaţii se exprimă puterea activă sub formele

cos3Re ffgg IUSP (5.122)

şi

,cos3Re llgg IUSP (5.123)

respectiv puterea reactivă

sin3Im ffgg IUSQ (5.124)

şi

sin3Im llgg IUSQ . (5.125)

Puterea aparentă totală se exprimă în funcţie de mărimile de fază sau de linie cu relaţiile

.33 llffg IUIUS (5.126)

Circuitul fiind echilibrat, impedanţele pe faze sunt egale ,321 ZZZZ iar sistemul

curenţilor fiind simetric, .00 I În acest caz puterea complexă consumată de receptor obţinută

din prelucrarea relaţiei (5.110) este

).3(33 21

21

21 XIjRIIZS c (5.127)

Puterile activă şi reactivă consumate sunt

,3Re 21RISP cc (5.128)

respectiv

.)(33Im 21

21 IXXXISQ CLcc (5.129)

Bilanţul puterilor se verifică între relaţiile (5.122) sau (5.123) şi (5.128), pe de o parte, şi

între (5.124) sau (5.125) şi (5.129).

Factorul de putere într-un circuit trifazat în regim simetric se defineşte cu relaţia

.cosg

g

PS

Pk (5.130)

228

5.6.3. Calculul puterilor cu ajutorul componentelor simetrice

a) Puterea instantanee a unui sistem trifazat în regim nesimetric

Fie o reţea trifazată alimentată cu sistemul trifazat nesimetric de tensiuni de fază

),sin(2)(),sin(2)(),sin(2)( 333222111 tUtutUtutUtu (5.131)

care se pot descompune conform teoremei Fortescue în funcţie de componentele simetrice

astfel:

).()()()(),()()()(),()()()( 333322221111 tutututututututututututu hidhidhid

(5.132)

Cele trei sisteme trifazate simetrice se exprimă cu următoarele relaţii:

- sistemul de succesiune directă

),3

2sin(2)(

);3

2sin(2)();sin(2)(

3

21

ddd

dddddd

tUtu

tUtutUtu

(5.133)

- sistemul de succesiune inversă

),3

2sin(2)(

)3

2sin(2)();sin(2)(

3

21

iii

iiiiii

tUtu

tUtutUtu

(5.134)

- sistemul de succesiune homopolară

).sin(2)()()( 321 hhhhh tUtututu (5.135)

Curenţii absorbiţi de reţea formează de asemenea un sistem trifazat nesimetric

),sin(2)();sin(2)();sin(2)( 333222111 tItitItitIti (5.136)

iar descompunerea lor în componente simetrice se face după relaţii similare cu cele de mai sus

pentru tensiuni.

Exprimând puterea instantanee trifazată în regim nesimetric

)()()()()()()( 332211 titutitutitutp (5.137)

şi înlocuind curenţii şi tensiunile cu expresiile în funcţie de componentele lor simetrice, se

obţine o expresie de forma:

)()()()()()()()()()( ,,,,,, tptptptptptptptptptp ihhidhhddiidhid . (5.138)

Primii trei termeni din această relaţie reprezintă componentele instantanee de succesiune

directă, inversă şi homopolară, iar următorii termeni reprezintă puteri instantanee încrucişate

corespunzătoare produselor diferitelor secvenţe de tensiune şi de curent (Tabelul 5.1).

Tabel 5.1

id ii ih

ud pd pd,i pd,h

229

ui pi,d pi pi,h

uh ph,d ph,i ph

Componenta instantanee de succesiune directă se exprimă ca suma puterilor de succesiune

directă corespunzătoare celor trei faze

),()()()( 321 tptptptp dddd (5.139)

expresiile dezvoltate ale acestor componente de fază fiind

)22sin(sin)22cos(1cos)(1 ddddddddd tIUtIUtp

3

222sinsin

3

222cos1cos)(2

ddddddddd tIUtIUtp (5.140)

.3

222sinsin

3

222cos1cos)(3

ddddddddd tIUtIUtp

Substituind aceste relaţii în relaţia (5.139), se obţine:

.cos3)( ddddd PIUtp (5.141)

Componenta instantanee de putere de succesiune inversă se exprimă cu relaţia

),()()()( 321 tptptptp iiii (5.142)

în care

)22sin(sin)22cos(1cos)(1 iiiiiiiii tIUtIUtp

3

222sinsin

3

222cos1cos)(2

iiiiiiiii tIUtIUtp (5.143)

.3

222sinsin

3

222cos1cos)(3

iiiiiiiii tIUtIUtp

Substituind aceste relaţii în relaţia (5.142) se obţine

.cos3)( iiiii PIUtp (5.144)

În mod similar se determină componenta instantanee de putere de succesiune homopolară

),()()()( 321 tptptptp hhhh (5.145)

iar componentele ei pe faze sunt

).22sin(sin)22cos(1cos)()()( 321 hhhhhhhhhhh tIUtIUtptptp (5.146)

Înlocuind ultima relaţie în cea anterioară rezultă:

)22sin(sin3)22cos(1cos3)( hhhhhhhhh tIUtIUtp (5.147)

adică

),22sin()22cos(1)( hhhhh tQtPtp (5.148)

cu

hhhh IUP cos3 (5.149)

şi

.sin3 hhhh IUQ (5.150)

230

După cum se observă din relaţiile (5.140) şi (5.143), puterile instantanee de secvenţă directă

şi inversă ale celor trei faze conţin câte o componentă activă constantă şi una oscilatorie de

frecvenţă dublă şi câte o componentă reactivă oscilatorie de frecvenţă dublă. În expresia

puterilor instantanee totale pd(t) şi pi(t), însă, componentele oscilatorii dispar, rămânând numai

componentele corespunzătoare puterilor active pe secvenţa respectivă (relaţiile (5.141),

(5.144)).

Puterea instantanee totală de secvenţă homopolară ph(t), spre deosebire de celelalte două

secvenţe, conţine pe lângă componenta constantă corespunzătoare puterii active, două

componente oscilatorii - una de putere activă şi una de putere reactivă - de frecvenţă dublă.

Calculând celelalte componente ale puterii instantanee, se obţin expresiile:

),2cos(3)( 33221, 1 ididididiid tIUiuiuiutpd

),2cos(3)( 33221, 1 dididididdi tIUiuiuiutpi

(5.151)

,0)()( 3322133221,, 11 dhdhdhdhdhdhhd iuiuiuiuiuiutptp

hd

0)()( 332211332211,, ihihihhihihiihhi iuiuiuiuiuiutptp

b) Puterea complexă a unui sistem trifazat în regim nesimetric

În cazul unei reţele trifazate alimentate cu tensiuni nesimetrice, puterea complexă se

exprimă cu relaţia

.332211

IUIUIUS (5.152)

Prelucrând această expresie în funcţie de relaţiile (5.82) şi ţinând seama că a* = a2, iar a

2* =

a, rezultă

,333

iiddhh IUIUIUS (5.153)

ceilalţi termeni dispărând ca fiind factori comuni pe lângă suma (1+a+a2).

S-a obţinut astfel o expresie a puterii complexe în funcţie de componentele simetrice ale

tensiunilor şi curenţilor de fază.

Dacă se noteazã cu h d i, , defazajele dintre componentele simetrice de acelaşi nume ale

tensiunilor şi curenţilor, din relaţia (5.153) se obţin expresiile pentru puterea activă, respectiv

pentru puterea reactivă:

P S U I U I U I h h h d d d i i i Re cos cos cos , 3 3 3

(5.154)

iiidddhhh IUIUIUSQ sin3sin3sin3}Im{ , (5.155)

sau exprimând sub forma unor componente de succesiune directă, inversă şi homopolară

corespunzătoare celor trei faze

idh PPPP (5.156)

respectiv

idh QQQQ . (5.157)

Observaţii

1. Componentele oscilatorii corespunzătoare puterii reactive ce apar pe faze în expresiile

pd(t) şi pi(t), nu contribuie la transferul energiei electromagnetice de la sursă la receptor. Ele

reprezintă oscilaţii de energie electromagnetică între fazele sistemului trifazat şi se reflectă în

pierderile pe liniile de transmisie a puterii. De asemenea toate componentele oscilatorii care se

regăsesc în expresiile puterii instantanee homopolară ph(t), respectiv în puterile instantanee

încrucişate pd,i(t) şi pi,d (t) contribuie la creşterea pierderilor pe liniile de transport.

231

2. Dezvoltând expresiile componentelor constante ale secvenţelor inverse şi homopolare, se

constată că acestea sunt negative, ceea ce corespunde unui defazaj mai mare de 900 între

secvenţele inverse de tensiune şi curent, respectiv homopolare de tensiune şi curent.

Acestă observaţie permite anumite interpretări legate de circulaţia puterilor în reţele în regim

nesimetric.

5.6.4. Efectele energetice ale regimului nesimetric

Impactul regimului nesimetric determinat de un receptor trifazat dezechilibrat asupra reţelei

de alimentare poate fi studiat pe cazul simplu al unui receptor pur rezistiv [9], alimentat printr-

o linie echilibrată pur rezistivă (Fig. 5.37). Se consideră sistemul de alimentare de putere

infinită – modelat printr-un generator trifazat ideal cu impedanţe nule – menţinând tensiunea

constantă la borne.

Generatorul fiind perfect simetric, tensiunile la bornele sale sunt egale cu EaEaE , , 2 şi au

componentele simetrice .0 ,0 , hid EEEE Aplicând metoda directă de analiză se obţin

curenţii din fazele receptorului

. , , 33

332

2

2

221

1

11 YEa

rR

UIYEa

rR

UIYE

rR

UI

(5.158)

Fig. 5. 37

Componentele simetrice ale curenţilor se determină cu relaţiile (5.82), obţinând

. ,2

)(3

23 ),(

3

*32321321 ihid II

YYj

YYY

EIYYY

EI

(5.159)

Tensiunile la bornele receptorului sunt date de relaţiile:

),1(

);1();1(

333

2

2

2

2

2111

YrEaIrEaU

YrEaIrEaUYrEIrEU

N

NN

(5.160)

iar componentele lor simetrice, determinate cu relaţiile (5.86) au expresiile

. ;)(2

3

23 ;)(

31

*32

321321 ihid UUYYj

YYY

rEUYYY

rEU

(5.161)

Calculând puterile active pe cele trei componente se obţin următoarele relaţii:

232

.3Re3Re

)(3)(3

3Re

)(3

)(3Re

**

3132212

3212*

2321321

2*

iiihhh

iii

ddd

PIUIUP

YYYYYYYYYEr

IUP

YYYr

YYYEIUP

(5.162)

Puterea activă totală la bornele receptorului este egală cu suma puterilor pe componentele

simetrice

23

22

21321

2 YYYrYYYEPPPP hidt (5.163)

Pe de altă parte, puterea consumată în fazele receptorului, egală cu puterea primită la

borne, este

.)( 2

32

22

13212

*33

*22

*11

233

222

211

YYYrYYYE

IUIUIUIRIRIRP NNNc

(5.164)

Se observă că această valoare este egală cu valoarea Pt.

Să mai evidenţiem faptul că generatorul debitează putere numai pe componenta directă:

3212*

3Re YYYEIEPP ddgdg (5.165)

şi pierderile în reţeaua echivalentă directă sunt

.3

32

321

22 YYY

rErIP dl (5.166)

Bilanţul de putere activă al sistemului poate fi descris după cum urmează.

Generatorul debitează putere activă pe componenta directă gdP din care o parte este livrată

la bornele receptorului pe componenta directă dP , iar restul acoperă pierderile în reţeaua

echivalentă directă, adică:

ldgdd PPPP . (5.167)

Receptorul reţine din puterea dP pentru consumul propriu cP egală cu tP , iar restul de putere

hitd PPPP , reprezentând o parte din puterea activă primită de receptor pe

componenta directă este disimetrizată şi returnată în reţea, unde se regăseşte sub formă de

pierderi Joule suplimentare lsP . Ecuaţia de bilanţ al puterilor este deci:

,lthig PPPPP (5.168)

sau

lsltg PPPP (5.169)

Prin urmare, receptorul dezechilibrat alimentat de un sistem simetric direct printr-o reţea

echilibrată este cauza apariţiei regimului nesimetric. Acesta se caracterizează prin apariţia în

reţea, pe lângă componenta directă a puterii active, furnizată de generator, a componentelor

inversă şi homopolară “generate” de receptorul dezechilibrat.

Puterea de nesimetrie returnată în reţea se regăseşte sub formă de pierderi suplimentare în

liniile de alimentare, dar nu numai.

În cazul receptoarelor trifazate dinamice (motoarele şi generatoarele electrice),

componentele inverse de curent datorate nesimetriei produc cupluri de frânare şi pierderi

suplimentare în înfăşurări, reducând randamentul maşinii.

Observaţii

233

1. Descompunerea regimului nesimetric real al unei reţele trifazate în regimuri simetrice

componente are un rol pur metodologic, pentru a pune în evidenţă efectele energetice

defavorabile ale regimului nesimetric în comparaţie cu regimul simetric.

2. În general, puterile absorbite de receptoarele unui sistem nu sunt independente între ele,

interdependenţa fiind generată de obligativitatea ca tensiunile şi curenţii să satisfacă sistemul

ecuaţiilor lui Kirchhoff pentru schema respectivă.

3. Puterea de nesimetrie debitată de un receptor dezechilibrat este dependentă de puterile de

nesimetrie debitate de celelalte receptoare dezechilibrate.

4. Un receptor dezechilibrat alimentat cu tensiuni nesimetrice alese astfel încât receptorul să

absoarbă un sistem simetric de curenţi, nu produce puteri de nesimetrie.

5.6.5. Factorul de putere în sistemele trifazate dezechilibrate

Gradul de dezechilibru al unui receptor dezechilibrat trebuie apreciat prin gradul de

nesimetrie pe care-l produce în sistem. Deoarece în cazul unui receptor dezechilibrat alimentat

cu un sistem nesimetric de tensiuni nesimetria curenţilor absorbiţi se datorează atât

dezechilibrului receptorului, cât şi nesimetriei tensiunilor, pentru a putea caracteriza

dezechilibrul unui receptor îl vom considera alimentat cu tensiuni simetrice de succesiune

directă (situaţia normală).

Problema poate fi abordată plecând de la cazul unui receptor trifazat echilibrat alimentat

printr-o linie trifazată echilibrată, de rezistenţă r pe fază. Dacă receptorul absoarbe curentul de

valoare efectivă I sub un factor de putere cos cunoscut, atunci pierderile de putere activă în

linie sunt:

,33 22dl rIrIP (5.170)

ţinând seama că puterea se transmite numai pe componenta directă.

În cazul unei compensări totale a puterii reactive, receptorul ar absorbi aceeaşi putere

activă, sub aceleaşi tensiuni la borne, dar curentul pe linie ar fi mai mic, şi anume

.cos respectiv ,cos' 'ddd IIII În această situaţie pierderile pe linie ar fi:

,coscos3 22'dlddl PIrP (5.171)

de unde rezultă:

.cos'

l

ld

P

P (5.172)

Dacă receptorul echilibrat se înlocuieşte cu unul dezechilibrat echivalent (care absoarbe

aceeaşi putere activă şi reactivă sub aceleaşi tensiuni la borne), acesta va absorbi un sistem

nesimetric de curenţi de componente simetrice hid III şi , . În această situaţie, pierderile totale

de putere pe linie vor fi

222'' 3 hidl IIIrP . (5.173)

Ţinând seama de relaţiile de mai sus, se poate defini un factor de putere de nesimetrie cu

relaţia:

,

1

1

22''

d

h

d

il

lpn

I

I

I

IP

Pk (5.174)

234

în care intervin coeficienţii de nesimetrie şi anume de disimetrie, respectiv de asimetrie.

Acest factor de putere permite aprecierea cantitativă a gradului de dezechilibru al unui

receptor.

Pentru P, Q şi U date, pierderile pe linie vor fi minime când factorul de putere de nesimetrie

este unitar ( 0 ad kk ), în condiţiile compensării lui Q. Plecând de la această constatare se

poate defini un factor de putere global în funcţie de raportul dintre pierderile minime absorbite

pe linie, care se obţin când receptorul este echilibrat şi compensat, şi pierderile corespunzătoare

receptorului dezechilibrat echivalent şi necompensat, adică

.cos1

1cos

22

'

''''

'

d

ad

dpnl

l

l

l

l

lp k

P

P

P

P

P

Pk

(5.175)

Relaţia (5.175) arată că ameliorarea factorului de putere global presupune atât echilibrarea

receptorului, cât şi compensarea puterii reactive absorbită de acesta în regim simetric. Dacă se

raportează pierderile suplimentare datorate nesimetriei la pierderile minime, se obţine:

,1

2

2

'

''

''

'''

'

'''

p

p

l

l

l

ll

l

lls

k

k

P

P

P

PP

P

PPk

(5.176)

care ne arată că, de exemplu pentru un 5,0pk , pierderile suplimentare reprezintă 300% din

pierderile minime, dar chiar pentru 9,0pk ele reprezintă încă 25,5% din acestea.

235

CAPITOLUL 6

CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

6.1. CAUZELE REGIMULUI PERIODIC NESINUSOIDAL

Analiza regimurilor de funcţionare a circuitelor electrice în care curenţii şi tensiunile sunt

funcţii periodice oarecare (nu sinusoidale) prezintă o importanţă practică şi teoretică deosebită.

Dacă în numeroase instalaţii de telecomunicaţii şi automatizări astfel de regimuri sunt

realizate intenţionat (neliniaritatea unor elemente de circuit - bobine cu miez de fier saturat,

condensatoare neliniare - este utilizată la realizarea unor aparate electrice cum sunt:

amplificatoarele magnetice, stabilizatoarele feromagnetice de tensiune, multiplicatoarele de

frecvenţă etc.), în circuitele electrice destinate producerii, transportului şi distribuţiei energiei

electrice, forma de variaţie în timp a tensiunilor şi curenţilor, alta decât cea riguros sinusoidală,

este un factor care afectează negativ calitatea energiei electrice furnizate consumatorilor.

Abaterea undei faţă de forma sinusoidală se numeşte distorsiune sau deformare, iar

regimul se numeşte nesinusoidal sau deformant. Forma nesinusoidală a undelor se datorează

apariţiei în reţea (circuit), pe lângă unda sinusoidală (de tensiune sau curent) de frecvenţă 50

Hz, numită fundamentală, a altor unde de frecvenţe superioare, numite armonici superioare,

eventual a unei componente continui, care se compun dând forma finală distorsionată a undei.

Cauzele prezenţei armonicilor superioare sunt, după clasificarea făcută de C. I. Budeanu, asa-

numitele:

elemente deformante de prima categorie – care produc armonici superioare de

tensiune sau curent şi includ:

o maşinile rotative – generatoare şi motoare electrice,

o circuitele magnetice saturate - transformatoarele electrice,

care produc armonici impare de tensiune,

o instalaţiile electronicii de putere – redresoare, invertoare – care produc

armonici superioare de curent atât pe partea de c.c. cât şi pe cea de c.a.,

o aparate care funcţionează cu arc electric – cuptoare cu arc, instalaţii de

sudură, iluminat fluorescent,

o linii de înaltă tensiune,

care produc armonici impare de curent;

elemente deformante de categoria a doua – care fiind alimentate cu unde

nesinusoidale de tensiune, accentuează deformarea acestora, incluzând toate

instalaţiile care au reactanţă capacitivă: condensatoare, linii electrice aeriene, linii

electrice în cablu.

Aspectele actuale legate de dezvoltarea sistemelor energetice în general şi anume:

extinderea transportului în curent continuu şi al proceselor electrochimice;

extinderea utilizării tiristoarelor în reglarea turaţiei motoarelor asincrone;

extinderea utilizării cuptoarelor electrice cu arc pentru producerea oţelurilor de calitate

superioară;

contribuie în prezent la accentuarea fenomenului poluării cu armonici superioare a undelor de

tensiune şi curent din reţea.

Efectele armonicilor superioare se manifestă pe mai multe direcţii:

1. Suprasolicitarea termică a elementelor parcurse de curent prin creşterea pierderilor

Joule în conductoare ca urmare a creşterii valorii efective a curentului circuitelor;

2. Degradarea izolaţiei prin funcţionarea echipamentelor la temperaturi superioare decât

cele corespunzătoare regimului normal, ca urmare atât a creşterii pierderilor Joule

236

(proporţionale cu pătratul valorii efective a curentului), dar şi a pierderilor în dielectric

(proporţionale cu pătratul valorii efective a tensiunii);

3. Funcţionarea anormală a unor instalaţii;

4. Factorul de putere scade;

5. Compensarea puterii reactive cu condensatoare nu este în general posibilă;

6. Apar rezonanţe care produc supratensiuni sau supracurenţi etc.

Modul de apariţie a efectelor regimului deformant:

- instantaneu – asupra electronicii de putere şi a releelor de protecţie;

- în timp, prin efectul cumulativ al suprasolicitărilor termice.

Observaţie:

Condensatorul liniar sub tensiune sinusoidală absoarbe un curent sinusoidal, însă

sub tensiune nesinusoidală curentul rezultă nesinusoidal, cu un grad de deformare

mai pronunţat;

Bobina liniară străbătută de curent sinusoidal stabileşte la borne o tensiune

sinusoidală, însă la curent nesinusoidal tensiunea este nesinusoidală cu un grad de

deformare mai accentuat.

Bobina neliniară (modelând înfăşurarea primară a unui transformator cu înfăşurarea

secundară în gol, sau o fază a înfăşurării unei maşini electrice trifazate – elemente de

bază ale sistemului electroenergetic) alimentată cu tensiune sinusoidală absoarbe un

curent nesinusoidal, puternic deformat, cu un maxim ascuţit, corespunzător

maximului fluxului .

6.2. MĂRIMI PERIODICE

Orice mărime variabilă în timp ale cărei valori se repetă periodic, adică satisfac relaţia

Ttyty (6.1)

pentru T constant şi orice valoare a timpului t, se numeşte mărime periodică în timp.

Valoarea cea mai mică (pozitivă) a lui T, care satisface relaţia (6.1), se numeşte perioada

mărimii (perioada principală a mărimii).

Valoarea medie pe un interval (t1, t2), a unei mărimi periodice y, notată cu Ymed

se defineşte

prin relaţia

2

1

d1

12

dt

t

med ttytt

Y , (6.2)

iar valoarea medie pe o perioadă (egală cu valoarea medie pe un număr întreg oarecare de

perioade) se defineşte prin relaţia

Tt

t

med ttyT

Y

0

0

d1d

. (6.3)

valabilă pentru orice t0. Se poate arăta uşor că valoarea integralei (6.3) nu depinde de t0 şi deci

se poate considera

T

med ttyT

Y

0

d

d1

. (6.4)

237

6.3. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER

Orice funcţie periodică y(t) care satisface condiţiile lui Dirichlet (perioada ei poate fi

împărţită într-un număr finit de intervale, astfel încât în fiecare din ele funcţia să fie continuă şi

monotonă) se poate dezvolta (descompune) în serie Fourier, sub forma:

1

0 cossink

kmkm tkBtkAAty , (6.5)

unde este pulsaţia fundamentală corespunzătoare perioadei T a funcţiei y

,22

fT

(6.6)

iar f este frecvenţa fundamentală.

Celelalte mărimi care intervin în relaţia (6.5) sunt:

componenta continuă egală cu valoarea medie a funcţiei y, pe o perioadă

medYA 0 , (6.7)

amplitudinile armonicilor de ordinul k, în sinus şi, respectiv, în cosinus.

Relaţia (6.7) este consecinţă a faptului că funcţiile sin k t şi cos k t au o valoare medie

nulă pe o perioadă T.

Relaţiile practice de calcul al coeficienţilor seriei Fourier sunt:

T

ttyT

A

0

0 d1

,

T

km ttktyT

B0

dcos2

,

T

km ttktyT

A0

dsin2

,

(6.8)

6.3.1. Forme ale dezvoltării în serie Fourier utilizate în ingineria electrică

Termenii de aceeaşi frecvenţă (pulsaţie) din dezvoltarea (6.5) a seriei Fourier pot fi strânşi

într-un singur termen obţinându-se astfel forma restrânsă a seriei Fourier

1

0 cosk

kkm tkCAty , (6.9)

unde Ckm

se numeşte amplitudinea armonicei de ordinul k şi are expresia:

22kmkmkm BAC , (6.10)

iar:

22

sin

kmkm

kmk

BA

A

,

22cos

kmkm

kmk

BA

B

. (6.11)

Evident, pe lângă această formă restrânsă în cosinus se poate realiza şi o formă restrânsă în

sinus.

Fiecare armonică de ordin k din dezvoltarea (6.9) poate fi scrisă sub forma:

kkm

kkm

kkm tkC

tkC

tkC cos2

cos2

cos . (6.12)

Dacă notăm:

kkkmkmkm DD

C şi ==

2 (6.13)

238

atunci, din relaţia (6.11) se obţine forma restrânsă cu pulsaţii (frecvenţe) negative a seriei

Fourier

k

kkm tkDty cos (6.14)

în care s-a considerat 0 şi 000 AD m .

Mărimile Dkm

se numesc amplitudini spectrale ale armonicilor de ordinul k.

Acest procedeu formal de introducere a pulsaţiilor negative k , cu k < 0, este util la

stabilirea formelor complexe ale seriilor.

6.3.2. Funcţii periodice particulare. Dacă în raport cu punctul situat la mijlocul perioadei

(Fig. 6.4), funcţia este simetrică

tpentru ,2

Ttyty , (6.15)

introducând în relaţia (6.15) expresiile (6.5) şi (6.9) ale dezvoltării în serie Fourier, se obţin

următoarele valori pentru o parte din coeficienţii seriei:

,...2,1,0 ;0 ;0 ;0 12,12,12, kCBA kmkmkm (6.16)

Prin urmare, funcţia simetrică (6.15) are următoarea dezvoltare în serie:

1

22,0

1

2,2,0 2cos2cos2sink

kkm

k

kmkm tkCAtkBtkAAty . (6.17)

Deoarece seria (6.17) conţine numai armonici de ordin par, se numeşte funcţie pară.

Fig. 6.4 Fig. 6.5

În cazul în care în raport cu punctul situat la mijlocul perioadei (Fig.6.5), funcţia este

antisimetrică (sau alternativ simetrică)

tpentru ,2

Ttyty , (6.18)

introducând în relaţia (6.18) expresiile (6.5) şi (6.9), se obţin pentru o parte din coeficienţi

valorile

,...2,1 ;0 ;0 2,2,2,0 kCBAA kmkmkm (6.19)

În consecinţă, funcţia antisimetrică (6.18) are următoarea dezvoltare în serie Fourier:

1

1212,

1

12,12, 12cos1212sink

kkm

k

kmkm tkCtkBtkAty , (6.20)

care are numai armonici de ordin impar şi se numeşte funcţie impară.

239

Notă: Tensiunile electromotoare ale generatoarelor sunt funcţii antisimetrice în raport cu

mijlocul perioadei, datorită polilor nord şi sud care se succed alternativ.

Dacă funcţia periodică y(t) satisface relaţia

ttTyty pentru , , (6.21)

un calcul analog arată că funcţia conţine numai armonici în cosinus (Fig. 6.6)

1

0

1

02

sin2cos

k

k

k

km tkYYtkBAty

, (6.22)

unde:2

şi 00km

k

BYAY .

În cazul în care funcţia periodică satisface relaţia

ttTyty pentru , , (6.23)

seria Fourier a acestei funcţii are expresia

11

sin2sin

k

k

k

km tkYtkAty , (6.24)

conţinând numai armonici în sinus (Fig. 6.7).

Fig. 6.6

Fig. 6.7

Dacă funcţia periodică y(t) satisface condiţiile impuse în origine pentru a putea fi dezvoltată

în serie Fourier, atunci dezvoltarea integralei este egală cu integrala dezvoltării. Dezvoltarea în

serie Fourier a derivatei unei funcţii periodice y(t) nu este totdeauna egală cu derivata

dezvoltării, chiar dacă funcţia este derivabilă şi seria derivatelor este uniform convergentă.

6.4. PROPRIETĂŢI ALE MĂRIMILOR PERIODICE

a. Valoarea medie a produsului a două funcţii periodice. Se consideră două funcţii

periodice nesinusoidale titu şi cu o aceeaşi perioadă. Dezvoltarea în serie Fourier, forma

restrânsă, a acestor funcţii este

11

00 sin2

k

k

k

kk tuUtkUUtu (6.25)

şi

1

0

1

0 sin2

k

k

k

kk tiItkIIti . (6.26)

Produsul celor două funcţii periodice este

240

nkk n

nk

k

k

k

k

k

kk iuuIiUiuIUtitu

1 11

0

1

0

1

00 .

(6.27)

Valoarea medie pe o perioadă a produsului armonicilor titu nm şi este

T

nmnmnm

T

mmnm

T

nmmednm

ttnmtnmT

IU

ttntmIUT

tiuT

titu

0

00

.dcoscos

dsinsin1

d1

(6.28)

Dacă armonicele sunt de acelaşi ordin, m = n, valoarea medie a produsului lor este

nnnnmednn IUtitu cos (6.29)

şi este nulă pentru nm .

Prin urmare, valoarea medie pe o perioadă a produsului celor două funcţii periodice

nesinusoidale are expresia

1

00 cos

k

kkkkmed IUIUtitu (6.30)

Relaţia (6.30) exprimă faptul că: valoarea medie pe o perioadă a produsului a două mărimi

periodice nesinusoidale de o aceeaşi perioadă este egală cu produsul componentelor lor

continue plus suma produselor valorilor efective ale armonicelor de acelaşi ordin prin

cosinusul defazajului lor.

b. Valoarea efectivă a unei mărimi periodice se defineşte prin relaţia

T

0

2d

d1

ttyT

Yef . (6.31)

Înlocuind funcţia y(t) cu dezvoltarea sa în serie Fourier, rezultă:

1 11

02

0

0 0 1 111

0

0

20

1

0

0 1

02

.2

d1

dd1

d1

k jmedjk

kmedk

T T

k j

jk

j

j

k

k

T

j

j

T

k

kef

yyyYY

ttytyT

ttytyYtYT

ttyYtyYT

Y

(6.32)

Ţinând seamă că:

1 1 1

2

1

2

1

;0

k j kkef

kmedkmedjk

kmedk Yyyyy (6.33)

rezultă:

221

20

222

21

20 ...... dkef YYYYYYYY , (6.34)

unde s-a notat cu Yd2 reziduul deformant, egal cu valoarea efectivă a armonicilor superioare

Y Y Y Y Yd k d

22

32

42 2. . . . . . (6.35)

241

Valorile efective ale tensiunii şi curentului exprimate sub forma:

sin2 ;sin2

1

0

1

0

k

kk

k

kk tkIItitkUUtu (6.36)

sunt

221

20

221

20 ; defdef IIIIUUUU , (6.37)

în care s-au notat cu Ud şi I

d reziduurile deformante ale tensiunii, şi, respectiv curentului

...... ;...... 223

22

223

22 kdkd IIIIUUUU (6.38)

Caracterizarea formei mărimilor variabile în timp periodic se face prin coeficienţi

(factori) definiţi după cum urmează.

a. Coeficientul (factorul) de vârf (denumit şi coeficient de amplitudine)

ef

vY

Yk max

d

(6.39)

unde Ymax

este valoarea absolută maximă (amplitudinea), iar Yef este valoarea efectivă a funcţiei

y(t). Pentru o funcţie sinusoidală, 2vk .

b. Coeficientul (factorul) de formă

rmed

fY

Yk

,

d

, (6.40)

în care Ymed,r este valoarea medie redresată a funcţiei y(t) (valoarea medie pe o perioadă a

modulului funcţiei)

medrmed tyY

d

, . (6.41)

Pentru o funcţie sinusoidală, k f 1 11, .

c. Coeficientul de distorsiune

2

02

21

20

2d

YY

YYYk

ef

d

ef

. (6.42)

unde 0Y şi 1Y sunt valorile efective ale armonicilor de ordinul 0 şi 1. În electroenergetică o

mărime se consideră sinusoidală dacă are un coeficient de distorsiune %5dk .

PE143/94 în conformitate cu normele CEI 1000-2-2, defineşte coeficientul de distorsiune al

unei curbe nesinusoidale ca raportul, exprimat în procente, dintre reziduul deformant Yd

(valoarea efectivă corespunzătoare armonicilor superioare) şi valoarea efectivă a curbei

fundamentale Y1. Rezultă deci:

1001001

2

2

1

Y

Y

Y

Yk

N

n

n

dd [%] (6.43)

242

Literatura de specialitate europeană de limbă engleză denumeşte coeficientul de distorsiune

al tensiunii drept “Total distortion factor” şi îl notează cu D; în S.U.A. el se numeşte “Total

harmonic distortion” şi se notează cu THD (literatura franceză notează coeficientul de

distorsiune cu ). Ca sinonime pentru THD apar “harmonic factor - HF” sau “distortion factor

- DF”. Tot standardele americane introduc noţiunea de “total demand distortion” sau TDD

pentru coeficientul de distorsiune al curentului; în acest caz, la numitorul relaţiei apare valoarea

curentului absorbit în regimul cel mai solicitant I1max.

Normele CEI introduc coeficientul de distorsiune ponderat al undei de tensiune care ia în

considerare ponderea armonicilor individuale introduse de aplicaţia specifică. În cazul

alimentării condensatoarelor cu o tensiune nesinusoidală (cazul cel mai defavorabil), expresia

acestui coeficient este:

1

2

22

U

Un

D

N

n

n

w

(6.44)

unde:

- n este rangul armonicii;- Un - valoarea maximă a armonicii n;- N = 40;

- U1 - valoarea maximă a fundamentalei.

Mărimea Dw este proporţională cu valoarea efectivă a curentului prin condensatorul cuplat

la o tensiune nesinusoidală; se poate arăta că pentru o suprasarcină de 30% (Ic = 1,3Inom)

coeficientul de distorsiune ponderat poate avea valoarea Dw = 0,83 în cazul alimentării la

tensiune nominală sau Dw= 0,63 în cazul alimentării la 110% din tensiunea nominală a

condensatorului.

d. Factorul (coeficientul) armonic FA

Factorul armonic al unei unde nesinusoidale se calculează cu relaţia:

2

2

1

1

n

n

nY

YFA (6.45)

semnificaţia mărimilor fiind aceeaşi ca şi în relaţia (6.43).

Coeficienţii definiţi mai sus caracterizează anumite proprietăţi ale mărimilor periodice, fără a

caracteriza sub toate aspectele forma acestor mărimi. Faptul că în ei nu intervin defazajele

dintre armonice poate conduce, printre altele, ca unor mărimi cu forme diferite să le

corespundă aceleaşi valori ale coeficienţilor definiţi mai sus.

Exemplul 6.1. Presupunem că valoarea instantanee a unei tensiuni are expresia

V 2sin50sin80100 tttu .

Valoarea efectivă a acestei tensiuni este:

V 208,1202

50

2

80100

22

2

U .

Coeficientul de distorsiune kd are valoarea

5299,0

2

50

2

80

2

50

22

2

dk .

243

6.5. ELEMENTE IDEALE DE CIRCUIT ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

Dându-se o tensiune nesinusoidală sub forma

1

sin2

k

kk tkUtu (6.46)

să se determine curentul de forma

1

sin2

k

kk tkIti (6.47)

absorbit de elementele ideale de circuit.

a) Rezistorul liniar alimentat cu tensiune nesinusoidală.

Cum ecuaţia caracteristică a rezistorului liniar este )()( tRitu , rezultă

1

sin21

)(1

)(

k

kk tkUR

tuR

ti . (6.48)

Identificând termenii relaţiilor (6.47) şi (6.48) se obţine valoarea efectivă a curentului pe

armonica de ordin k şi argumentul acestuia:

kk UR

I1

, respectiv kk , adică 0k . (6.49)

Calculând coeficientul de distorsiune al curbei de curent se obţine:

duef

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

ef

k

k

di kU

U

UR

UR

I

I

I

I

k

2

2

1

22

2

22

1

2

2

2

2

2

1

1

, (6.50)

adică cele două curbe – a curentului şi a tensiunii – au aceeaşi formă de variaţie în timp.

b) Bobina liniară alimentată cu tensiune nesinusoidală.

Plecând de la ecuaţia caracteristică a bobinei liniare, t

iLtu

d

d)( , prin integrare se obţine

11 002

sin2dsin21

d)(1

)(

k

kk

k

t

kk

t

tkLk

UttkU

Lttu

Lti

. (6.51)

Identificând termenii relaţiilor (6.47) şi (6.51), rezultă:

,Lk

UI k

k

de unde LkX Lk şi 2

k . (6.52)

Coeficienţii de distorsiune ai celor două curbe sunt:

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

k

k

k

k

k

k

k

k

ef

k

k

di

Uk

U

Uk

I

I

I

I

k , (6.53)

244

2

22

2

2

1

2

2

2

2

2

1

k

k

k

k

k

k

k

k

ef

k

k

du

UU

U

U

U

U

U

k , (6.54)

deci au valori diferite, prin urmare curbele de variaţie în timp ale celor două mărimi electrice

sunt diferite şi ţinând seama de valoarea efectivă a curentului pe armonica de ordin k, (6.52), şi

deoarece dudi kk , rezultă că armonicile superioare ale curentului sunt mai atenuate, deci

curba curentului este netezită.

c) Condensatorul liniar alimentat cu tensiune nesinusoidală.

Ecuaţia caracteristică a condensatorului liniar fiind t

uCti

d

d)( şi ţinând seama de (6.46)

rezultă:

112

sin22

sin2)(

k

kk

k

kk tkCUktkUkCti

, (6.55)

prin urmare

kk CUkI , Ck

X Ck

1 şi

2

k . (6.56)

Calculând coeficienţii de distorsiune ai curbelor de curent şi tensiune se obţine:

2

222

2

22

1

2

2

2

2

2

1

k

k

k

k

k

k

k

k

ef

k

k

di

UkU

Uk

I

I

I

I

k , (6.57)

2

22

2

2

1

2

2

2

2

2

1

k

k

k

k

k

k

k

k

ef

k

k

du

UU

U

U

U

U

U

k . (6.58)

Din ultimele două relaţii rezultă un coeficient de distorsiune al curbei curentului mai mare

decât al curbei tensiunii. Din această observaţie sau din relaţia (6.56) de calcul a valorii efective

a armonicii de curent, rezultă că în cazul condensatorului alimentat cu tensiune nesinusoidală,

armonicile superioare ale curentului sunt accentuate, deci curba curentului este mai

distorsionată.

245

6.6. PUTERI ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

Fie dipolul liniar din figura 6.8 alimentat la o tensiune periodică nesinusoidală de forma

1

0 sin2

k

kk tkUUtu . (6.59)

Fig. 6.8

Datorită liniarităţii dipolului, intensitatea

curentului are expresia

1

0 sin2

k

kk tkIIti . (6.60)

Puterea instantanee p la bornele dipolului (Fig. 6.8) se exprimă ca:

uipd

. (6.61)

Puterea activă P la bornele acestui dipol liniar este definită, pentru regimul periodic

nesinusoidal, cu relaţia:

T

med ttpT

pP

0

d

d1

(6.62)

şi ţinând seama de variaţiile (6.59) şi (6.60) ale tensiunii la borne, respectiv, curentului şi de

relaţia (6.30), se obţine:

P U I U Ik k k

k

0 0

1

cos , (6.63)

în care U0, I0 sunt componentele continue, Uk, Ik valorile efective ale armonicilor de ordinul k

ale tensiunii şi curentului, iar k reprezintă defazajul dintre aceste armonici.

Deci, puterea activă în regim periodic nesinusoidal este egală cu suma puterilor active

corespunzătoare fiecărei armonici şi a componentelor continui. Trebuie remarcat faptul că

puterea diferită de zero corespunde numai armonicilor care apar atât în curba de variaţie a

curentului, cât şi în cea a tensiunii.

Puterea reactivă Q în regim periodic nesinusoidal se defineşte prin analogie cu puterea

activă şi este egală cu suma puterilor reactive corespunzătoare armonicilor:

Q U Ik k k

k

d

sin1

. (6.64)

Puterea aparentă S are aceeaşi definiţie ca şi în regim sinusoidal

efef IUSd

, (6.65)

unde Uef şi Ief sunt valorile efective ale tensiunii şi curentului la bornele dipolului liniar

considerat (calculate cu relaţia (6.34)).

Puterea instantanee p şi puterea aparentă S se măsoară în volt-amperi (cu simbolul VA),

puterea activă P în waţi (cu simbolul W) şi puterea reactivă Q în volt-amper-reactivi (cu

simbolul var).

În regim periodic nesinusoidal se defineşte încă o putere, numită putere deformantă

D S P Q d

2 2 2 . (6.66)

246

Această mărime a fost introdusă de profesorului C. I. Budeanu. Unitatea de măsură a puterii

deformante este volt-amper-deformant şi se notează vad. Înlocuind în relaţia (6.66) expresiile

S, P şi Q din (6.65), (6.64) şi (6.63), după câteva calcule simple, se obţine:

kj

kj

kjkjjkkj IIUUIUIUD1

22

2sin4

. (6.67)

Puterea deformantă se anulează dacă sunt satisfăcute condiţiile:

....... şi ....... 21

2

2

1

1 constconstI

U

I

U

I

Uk

k

k (6.68)

Factorul de putere kP în regim periodic nesinusoidal se defineşte la fel ca în regim sinusoidal

prin raportul dintre puterea activă P şi puterea aparentă S

222

d

DQP

P

S

PkP

, (6.69)

şi poate fi subunitar chiar când puterea reactivă este nulă. Deci, anularea puterii reactive nu

îmbunătăţeşte factorul de putere la valoarea unu ca în regim sinusoidal. Se poate întâmpla

chiar, ca prin reducerea puterii reactive să crească şi mai mult puterea deformantă şi în

consecinţă factorul de putere kP rezultă înrăutăţit. Prin urmare, în regim periodic nesinusoidal

introducerea de condensatoare poate înrăutăţi factorul de putere.

Puterea complementară Pc se defineşte prin relaţia

22d

DQPc . (6.70)

Factorul de putere kP se poate exprima şi în funcţie de puterea complementară Pc cu relaţia:

22

c

P

PP

Pk

. (6.71)

Se observă că pentru îmbunătăţirea factorului de putere este necesară reducerea puterii

complementare. În regim sinusoidal puterea complementară este identică cu puterea reactivă.

6.7. FILTRAREA ARMONICILOR SUPERIOARE DE CURENT ŞI DE TENSIUNE

În scopul reducerii armonicilor din curba tensiunii sau a curentului absorbit de un receptor,

se folosesc circuite de filtrare (filtre electrice) realizate cu bobine şi condensatoare conectate în

serie sau paralel şi rezonante pe frecvenţa care se doreşte a fi eliminată.

Fig. 6.9 Fig. 6.10

247

În cazul filtrelor paralel (Fig. 6.9), condiţia de rezonanţă Ck

Lk

1

determină o

impedanţă infinită a filtrului pe armonica respectivă kZ , deci curentul acestei

armonici nu trece în receptor, 0kI . Pe celelalte armonici, însă, filtrul va prezenta o

impedanţă diferită de zero, care va atentua valorile curenţilor corespunzători. Mai

multe filtre paralel, rezonante pe câte o armonică şi conectate în serie, pot elimina tot

atâtea armonici din curba curentului.

La filtrele serie (Fig. 6.10), condiţia de rezonanţă Ck

Lk

1

determină o valoare

nulă a impedanţei pe armonica respectivă 0kZ , ceea ce echivalează cu un

scurtcircuit şi deci 0kU . Mai multe filtre serie, rezonante pe câte o armonică şi

conectate în paralel cu receptorul pot elimina tot atâtea armonici din curba tensiunii.

Această metodă se aplică receptoarelor care, alimentate cu tensiuni sinusoidale, absorb

curenţi nesinusoidali. Curenţii armonicilor filtrate sunt scurtcircuitaţi prin filtru şi nu

mai pătrund în receptor.

6.8. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE PE BAZA DEZVOLTĂRII

ÎN SERIE FOURIER

La circuitele electrice liniare fiind valabilă teorema superpoziţiei, descompunerea în serie

Fourier rezolvă problema analizei circuitelor respective în regim periodic nesinusoidal.

Algoritmul de analiză a circuitelor electrice liniare în regim periodic nesinusoidal comportă

următorii paşii.

1. Se descompun în serie Fourier mărimile de excitaţie (intrare) ale circuitului, t.e.m. ale

surselor independente de tensiune, curenţii surselor independente de curent şi eventualele

tensiuni cunoscute aplicate la borne, reţinându-se primele N armonice ( N 10). Evident,

aceste mărimi satisfac condiţiile Dirichlet.

2. Se consideră numai componentele continue ale mărimilor de excitaţie obţinându-se astfel

un circuit de curent continuu în care bobinele ideale sunt scurtcircuitate, iar condensatoarele

sunt întrerupte (lăsate în gol). Utilizând o metodă adecvată de analiză a circuitelor electrice de

c.c. se obţin componentele continue ale curenţilor şi tensiunilor laturilor lpUI pp ,1 , şi 00 .

3. Pentru fiecare armonică de ordin k k N, , 1 , a mărimilor de excitaţie, se rezolvă un

circuit în c.a. (cu metoda reprezentării în complex) ţinând seama de faptul că reactanţele

bobinelor şi condensatoarelor au valorile p

kCpkLCk

XLkXpp

1

respectiv, , ,, . În acest

mod se obţin, pentru fiecare armonică de ordin k, valorile complexe ale curenţilor şi tensiunilor

laturilor lpUI kpkp ,1 , şi ,, şi apoi valorile lor instantanee sin2,,, kpikpkp tkIi şi

lptkUukpukpkp ,1 , sin2

,,, .

4. Utilizând teorema superpoziţiei se determină valorile instantanee ale curenţilor şi

tensiunilor laturilor circuitului

248

N

k

ukppp

N

k

ikppp

lptkUUtu

tkIIti

kp

kp

1

,0

1

.0

.,1 , sin2

;sin2

,

.

(6.72)

5. Se verifică bilanţul puterilor active şi reactive. Puterea activă dată de surse (independente

şi comandate) se calculează cu relaţia:

cj

kcpkcpcp

ce

j

kpkpp

e

n

p

N

k

jkcpjcpoj

n

p

N

k

kcpkcpkcpcpocp

n

p

N

k

jkpjpoj

n

p

N

k

kpkpkppopg

JUJUIEIE

JUJUIEIEP

1 1

,

1 1

,,,0

1 1

,

1 1

,,,0

,.0

,.0

coscos

coscos

,

(6.73)

unde, de exemplu, kcpkp ,. este defazajul curentului sursei de tensiune independente

(comandate) din latura lp faţă de t.e.m. a aceleaşi laturii, pe armonica de ordinul k.

Puterea activă consumată în rezistoarele circuitului se determină cu următoarea relaţie:

l

p

Npppp

l

p

ppR IIIRIRP1

2,

21,

20

1

2 ... . (6.74)

Puterea reactivă cedată de sursele circuitului se determină cu relaţia:

cj

kcpkcp

ce

j

kpkp

e

n

p

jkcpj

n

p

kcpkcpkcp

N

k

n

p

jkpj

n

p

kpkpkpg

JUIE

JUIEQ

1

,

1

,,,

1 1

,

1

,,,

,.

,.

sinsin

sinsin

,

(6.75)

iar puterea reactivă consumată în elementele reactive de circuit are expresia:

N

k P q

iikqkppqkp

l

p p

pX kqkpIILkI

CkLkQ

1

,,2

,

1,,

cos21

.

(6.76)

Bilanţul puterilor cere să fie satisfăcute identităţile

XgRg QQPP şi . (6.77)

Exemplul 6.2. Fie circuitul electric reprezentat în figura 6.10,a, care are următoarele valori

ale parametrilor:

.k 3 pF, 125 mH, 2 mH, 3 pF, 250 mH, 4 ,k 3 5443221 RCLLCLR

T.e.m. 1e are expresia

2102sin12

410sin12212 66

1

ttte V.

Se cer: a) să se calculeze valorile instantanee ale curenţilor laturilor circuitului; b) să se

verifice bilanţul puterilor active şi reactive; c) să se determine puterile activă, reactivă, aparentă

şi deformantă de la bornele sursei ideale independente de tensiune.

a) În figura 6.10,b este reprezentată schema echivalentă în curent continuu a circuitului.

249

Valorile componentelor continue ale curenţilor sunt:

mA. 0 mA; 233

120,40,2

51

0,1

0,50,30,1

IIRR

EIII

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 6.9

Pentru armonica de ordinul 1, k = 1, schema echivalentă în complex a circuitului este

desenată în figura 6.9,c. Impedanţa complexă echivalentă 1,45eZ a laturilor l4 şi l5 conectate în

paralel are expresia

k 21

6

823

823

1

1

4

45

4

45

1,45j

j

j

j

CLjR

CLjR

Z e

,

iar impedanţa complexă echivalentă în raport cu bornele sursei ideale independente de tensiune

1e , corespunzătoare armonicii fundamentale, are expresia

k 3

4421

63

4421

63

3

2

21,453

2

21,453

11,

jjj

jj

jjj

jj

L

jLjZLj

L

jLjZLj

RZ

e

e

e

.

Acelaşi rezultat se obţinea direct, dacă se observă că latura l2 este la rezonanţă pe armonica

fundamentală.

Prin urmarea, valoarea complexă a intensităţii curentului din latura 1, corespunzătoare

fundamentalei este

250

mA 4

10sin42 43

12 61,1

4/4/

1,

1,1

1,1

ttiee

Z

EI j

j

e

.

Ceilalţi curenţi au expresiile

mA 4/10sin42 4 62,1

4/1,11,2 ttieII j ;

mA 0 0 1514131,51,41,3 tititiIII ,,, .

Pentru armonica de ordinul doi, k = 2, schema echivalentă în complex a circuitului este

desenată în figura 6.9, d. Impedanţa complexă echivalentă 2,45eZ a laturilor l4 şi l5 conectate în

paralel are expresia

0443

443

2

12

2

12

4

45

4

45

2,45

j

j

CLjR

CLjR

Z e

,

iar impedanţa complexă echivalentă în raport cu bornele sursei ideale independente de tensiune

1e , corespunzătoare armonicii de ordinul doi este

33286

2863

222

222

2

22,453

2

22,453

12, jjjj

jjj

L

jLjZLj

L

jLjZLj

RZ

e

e

e

.

Acelaşi rezultat se obţinea direct, dacă se observa că latura l4 este la rezonanţă pe armonica

a doua.

Prin urmarea, valoarea complexă a intensităţii curentului din latura l1, corespunzătoare

armonicii de ordinul doi este

mA 4

102sin22 223

26 62,1

4/

4

2/

2,

2,1

2,1

ttiee

e

Z

EI j

j

j

e

.

Conform regulii divizorului de curent rezultă:

mA 1

2

2

286

62

222

2 4/4/

4/

2

22,453

2,453

2,12,2

jj

ee

jjj

je

C

jLjZLj

ZLjII j

e

e

mA. 4/102sin2 62,2 ti

Din prima teoremă a lui Kirchhoff în complex aplicată în nodul 1 (fig.5.11,d), se obţine:

mA 4/102sin2 mA 1 623

4/2,22,12,3 ttieIII ,

j.

Deoarece în latura l4 este rezonanţă pe armonica doi, avem

mA 4/102sin2

mA 1 mA; 0 i mA 0

624

4/2,32,45,22,5

tti

eIItI

,

j

251

Aplicând teorema superpoziţiei se obţin curenţii laturilor:

mA; 4

102sin224

10sin422)( 662,11,10,11

tttitiIti

mA; 4

102sin24

10sin42)( 662,21,20,22

tttitiIti

mA; 4

102sin22)( 62,31,30,33

ttitiIti

mA; 4

102sin2)( 62,41,40,44

ttitiIti

mA. 2)( 2,511,50,55 titiIti

b) Puterea activă cedată de sursa independentă de tensiune e1 este

mW 842

22261412212coscos 2,12,12,11,11,11,10,10,1 IEIEIEPg ,

iar puterea reactivă cedată de această sursă are expresia

mvar 122

22260412sinsin 2,12,12,11,11,11,1 IEIEQg .

Puterea activă consumată în rezistoarele circuitului este

mW 841272004341643255

211 IRIRPR ,

iar puterea reactivă consumată de elementele reactive ale circuitului are expresia

mvar. 12101616082031602

122

2

12

11

22,4

4

42

2,33

22,2

2

22

1,4

4

42

1,332

1,2

2

2

IC

LIL

IC

LIC

LILIC

LQX

Deci: mW 84 Rg PP şi var12mQQ Xg .

c) mvar; 12 mW; 8411

gege QQPP

mVA; 1524242621212 222222111

IESe

mvad 83412841524 222222

1111 eeee QPSD .

6.9. ANALIZA REGIMURILOR PERIODICE PRIN METODA REGIMURILOR

TRANZITORII REPETATE

Metoda regimurilor tranzitorii repetate de calcul a circuitelor electrice în regim permanent

periodic se bazează pe faptul că soluţiile căutate verifică ecuaţiile circuitului şi prin urmare se

pot obţine prin particularizarea soluţiilor generale ale acestor ecuaţii. Metoda constă în

determinarea condiţiilor iniţiale ale soluţiilor căutate pe baza ecuaţiilor care exprimă repetarea

periodică a acestor condiţii iniţiale. Considerând numai circuitele electrice liniare formate din

elemente ideale de circuit, care redau corect variaţia continuă a tensiunilor condensatoarelor şi

a curenţilor prin bobinele din circuitele reale (în care aceste mărimi nu pot varia discontinuu),

aceste ecuaţii exprimă:

a) repetarea valorii tensiunii la bornele fiecărui condensator la interval de o perioadă, adică

Ttutu CC 00 ; (6.78)

252

b) repetarea valorii intensităţii curentului fiecărei bobine la interval de o perioadă, adică

Ttiti LL 00 . (6.79)

De obicei se consideră t0 = 0.

În cazul în care mărimea de excitaţie a circuitului are expresii analitice diferite în

subintervale ale perioadei, condiţiile de continuitate (6.78) şi (6.79) se scriu la fiecare punct

comun a două astfel de subintervale.

Exemplul 6.3. Circuitului R, C serie din figura 6.11,a i se aplică la borne o tensiune

periodică dreptunghiulară de forma cele reprezentate în figura 6.11,b. Să se determine variaţia

curentului prin circuit în regim periodic nesinusoidal.

Fig. 6.11

Pe intervalul 0 2 t T / se aplică circuitului o tensiune de valoare constantă U. Ecuaţia

de funcţionare a circuitului în regim dinamic este

UuRi C ,

cu

t

uCi C

d

d .

Introducând expresia curentului în prima ecuaţie, se obţine:

Uut

uRC C

C d

d,

care are soluţia:

UAetu RC

t

C

.

Din condiţia iniţială 000 CC uu rezultă A = U şi soluţia devine

RC

t

C eUtu 1 .

Intensitatea curentului din circuit are expresia

i Cu

t

U

ReC

t

RC d

d.

Pe intervalul T t T/ 2 circuitului i se aplică o tensiune constantă de valoare U. În

acest caz, ecuaţia circuitului este

RCu

tu UC

C

d

d ,

cu soluţia

253

UAetu RC

t

C

.

Punând condiţia de continuitate pentru tensiunea de la bornele condensatorului la

momentul t = T/2, rezultă:

.2102/02/ 22

RC

T

RC

T

CC eUBUBeUTuTu

Soluţia corespunzătoare intervalului T t T/ 2 este:

.2,12

2/2/

RC

t

RC

Tt

RC

t

RC

Tt

C eeR

Ut ieeUtu

Evident, obţinerea soluţiei exacte a problemei sub formă compactă prezintă o serie de

avantaje (faţă de obţinerea soluţiei sub formă de serie). Partea mai dificilă în metoda

regimurilor tranzitorii repetate constă în rezolvarea ecuaţiei caracteristice a sistemului.

Trebuie remarcat că exemplul considerat evidenţiază faptul că soluţia de regim permanent

nesinusoidal nu coincide cu soluţia particulară a sistemului.

6.10. CIRCUITE TRIFAZATE ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

Între regimul periodic nesinusoidal simetric al reţelelor electrice trifazate şi regimul

sinusoidal simetric al acestora există deosebiri esenţiale. Aceste deosebiri provin din faptul că

armonicele fazelor formează sisteme trifazate cu succesiuni diferite în funcţie de ordinul

armonicilor.

Un sistem trifazat simetric de mărimi periodice nesinusoidale de succesiune directă sau

inversă are forma:

,3

2

1

tyty

tyty

tyty

(6.80)

cu 3

2 , respectiv

3

2

Dezvoltările în serie Fourier ale mărimilor y1, y2 şi y3

1

03

1

02

1

01

,3

2sin2

;3

2sin2

;sin2

k

kk

k

kk

k

kk

ktkYYty

ktkYYty

tkYYty

(6.81)

pun în evidenţă următoarele proprietăţi:

- armonicele de ordin k = 3n =0, 3, 6, 9, 12, 15,…,

254

,3sin23

233sin2

;3sin23

233sin2

;3sin2

33333,3

33333,2

333,1

nnnnn

nnnnn

nnn

tYntYy

tYntYy

tYy

(6.82)

sunt în fază şi alcătuiesc sisteme homopolare;

- armonicele de ordin k = 3n +1= 1, 4, 7, 10, 13, 16,…,

,3

213sin2

3

21313sin2

;3

213sin2

3

21313sin2

;13sin2

1313131313,3

1313131313,2

131313,1

nnnnn

nnnnn

nnn

tnYntnYy

tnYntnYy

tnYy

(6.83)

alcătuiesc sisteme trifazate simetrice de succesiune directă;

- armonicele de ordin k = 3n +2= 2, 5, 8, 11, 14, 17,...,

,3

223sin2

3

22323sin2

;3

223sin2

3

22323sin2

;23sin2

2323232323,3

2323232323,2

232323,1

nnnnn

nnnnn

nnn

tnYntnYy

tnYntnYy

tnYy

(6.84)

alcătuiesc sisteme trifazate simetrice de succesiune inversă.

Observaţie:

În marea majoritate a aplicaţiilor tehnice, mărimile nesinusoidale sunt alternate simetric,

deci seriile Fourier conţin numai armonici impare.

Consecinţe:

1) Suma valorilor instantanee ale sistemelor de mărimi nesinusoidale simetrice nu este nulă

(spre deosebire de cazul sistemelor sinusoidale simetrice):

,...9,3

321 sin23k

kk tkYyyy . (6.85)

Prin urmare, în regim periodic nesinusoidal simetric în conductorul neutru apare un

curent, respectiv între punctele neutre apare o tensiune dată de armonicele de ordinul 3, 9,

15,… ale mărimilor de fază.

Valoarea efectivă a curentului din conductorul neutru are expresia

...3 215

29

23, IIII nef , (6.86)

2) Relaţia (6.85) arată că în circuitele cu conexiune triunghi (ale transformatoarelor,

generatoarelor etc.) t.e.m. au, în regim periodic nesinusoidal simetric, o sumă diferită de zero,

255

produsă de armonicele de ordinul 3,9,15,…. În felul acesta se produce un curent de circulaţie

în înfăşurarea triunghi, conţinând numai armonici de ordin 3n.

3 ) Suma tensiunilor de linie fiind întotdeauna nulă rezultă că tensiunile de linie nu conţin, în

acest regim, armonice de ordin multiplu de trei.

4) Diferenţa a două mărimi de fază nu conţine armonicele de ordinul ,...15,9,3k , care fiind

componente homopolare, se reduc.

.3

2sin2sin2

3

2sin2sin2

,..9,31

1

0

1

02112

kk

kkkk

k

k

kk

k

k

ktkYtkY

ktkYYtkYYyyy

(6.87)

Deci la circuitele cu conexiune în stea, în regim periodic nesinusoidal simetric, tensiunile de

linie au o valoare efectivă

...3 27

25

21, UUUU lef (6.88)

mai mică decât de 3 ori tensiunea de fază

1

2

k

kf UU . (6.89)

5) Similar, curenţii de linie la circuitele trifazate cu conexiune triunghi nu conţin armonice

de ordin multiplu de trei şi au prin urmare valori efective mai mici de 3 ori curenţii de fază

...3 27

25

21 fffl IIII . (6.90)

Datorită faptului că t.e.m. ale circuitelor electrice trifazate sunt mărimi alternativ simetrice,

armonicele de ordin par practic nu apar în curenţii şi tensiunile acestor circuite.

6) Armonicele de ordin 3n + 1 ale curenţilor produc în maşinile electrice trifazate câmpuri

magnetice învârtitoare care se rotesc invers faţă de sensul câmpurilor magnetice învârtitoare

produse de armonicele 3n + 2. Din acest motiv distorsiunea tensiunilor de alimentare, respectiv

a curenţilor (faţă de forma de undă sinusoidală) scade cuplul activ al acestor maşini, ceea ce

conduce la înrăutăţirea condiţiilor lor de exploatare.

Exemplul 6.4. Circuitul serie R – L din figura 6.12, cu R = 3 şi ωL = 4 , este alimentat

la o reţea cu tensiunea ttu 100sin4018 V. Intensitatea curentului prin circuit şi căderile

de tensiune la bornele rezistorului şi ale bobinei sunt măsurate cu aparate de tip

magnetoelectric şi apoi de tip electromagnetic. Să se determine indicaţiile aparatelor de măsură

în cele două cazuri şi să se precizeze dacă aceste indicaţii sunt suficiente pentru determinarea

puterii active. Aparatele de măsură se presupun ideale ( 0AZ şi VZ ).

Soluţie: Intensitatea curentului prin circuit are expresia

A. 53100sin86sin 0

222

10

t

R

Larctgt

LR

U

R

Uti m

Valorile instantanee ale tensiunilor tuR şi tuL sunt:

V; 53100sin2418sin 0

22210

t

R

Larctt

LR

RUUtRitu mR

256

V. 47100sin3290sind

d 00

2221

t

R

Larctt

LR

LU

t

iLtu mL

Fig. 6.12

Aparatele de tip magnetoelectric indică valorile medii

V 18V A, 6A 010 RUI şi V, 0V 02 LU

iar cele electromagnetice valorile efective

A; 25,82

86A

2

221

20

III

V; 75,242

2418V

2

221

201

RRR UUU

V. 7,222

320V

2

221

202

LLL UUU

Puterea activă este dată de una din următoarele expresii:

W;2046832 RIP

W;2049610853cos8402

1618cos

2

1 011100 mmIUIUP

W;204683

182

0

0 II

UP R

W.20425,875,24 IUP R

Prin urmare, pentru măsurarea puterii active, conform ultimelor relaţii, sunt suficiente

măsurările de curent cu ampermetrele magnetoelectric şi electromagnetic şi măsurarea tensiunii

la bornele rezistorului cu voltmetrul magnetoelectric, sau numai măsurările de curent şi de

tensiune la bornele rezistorului cu aparatele electromagnetice.

258

CAPITOLUL 7

CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU

7.1. CARACTERIZAREA REGIMULUI TRANZITORIU

7.1.1. Elemente dinamice de circuit. Regimul tranzitoriu

Rezistoarele liniare neparametrice sunt elemente statice de circuit, a căror caracteristică

u(i) este independentă de timp şi, deoarece puterea primită 02 Riuip în orice punct al

caracteristicii indiferent de modul de variaţie în timp al mărimilor, elementele sunt pasive,

transformă energia electromagnetică în căldură, proprietate care le defineşte ca elemente

disipative de circuit. Ecuaţiile de funcţionare ale circuitelor rezistive liniare invariabile în timp

sunt ecuaţii algebrice. Spre deosebire de rezistoare, bobinele şi condensatoarele liniare au

ecuaţii caracteristice dependente de timp de forma ),d/d( tiLu respectiv ),d/d( tuCi fapt

pentru care sunt denumite elemente dinamice de circuit. Ecuaţiile de funcţionare ale

circuitelor ce conţin elemente dinamice, obţinute pe baza teoremelor lui Kirchhoff şi a

ecuaţiilor caracteristice ale elementelor, sunt ecuaţii integro-diferenţiale, liniare, neomogene,

cu coeficienţi constanţi. Proprietatea fundamentală a celor două elemente dinamice este de a

acumula energie şi anume (în conformitate cu aproximaţiile teoriei circuitelor electrice cu

parametri concentraţi – par. 1.2.1.), energie magnetică în bobine, respectiv energie electrică în

condensatoare.

Corelat cu proprietăţile de transformare ireversibilă (disipare), respectiv de acumulare a

energiei electromagnetice, se impune următoarea observaţie: în timp ce funcţionarea

circuitelor rezistive este condiţionată de existenţa a cel puţin o sursă independentă care să

furnizeze semnalul de excitaţie, circuitele cu bobine şi condensatoare, care au acumulat

energie, pot funcţiona şi în absenţa unui generator de semnal.

Un circuit electric are elemente în exces de prima speţă (categorie) dacă conţine:

bucle formate numai din condensatoare (C) sau/şi din C şi surse ideale independente

de tensiune (E) sau/şi din C şi surse ideale de tensiune comandate (Ec) sau/şi din C, E

şi Ec - toate aceste bucle numite generic bucle de tipul C-E şi

secţiuni independente intersectate numai de bobine (L) sau/şi de L şi surse ideale

independente de curent (J) sau/şi de L şi surse ideale de curent comandate (Jc) sau/şi

de L, J şi Jc - toate aceste secţiuni numite generic secţiuni de tipul L-J.

Un circuit electric conţine elemente în exces de speţa (categorie) a doua dacă are:

bucle formate numai din bobine (L) sau/şi din L şi surse ideale independente de

tensiune (E) sau/şi din L şi surse ideale de tensiune comandate (Ec) sau/şi din L, E şi

Ec - toate aceste bucle numite generic bucle de tipul L-E şi

secţiuni independente intersectate numai de condensatoare (C) sau/şi de C şi surse

ideale independente de curent (J) sau/şi de C şi surse ideale de curent comandate (Jc)

sau/şi de C, J şi Jc - toate aceste secţiuni numite generic secţiuni de tipul C-J. Fiecare

elemente în exces de speţa a doua introduce câte o valoare proprie nulă.

Comportarea unui circuit electric liniar fără elemente în exces (circuit nedegenerat) este

complet descrisă de sistemul de ecuaţii obţinut prin aplicarea celor două teoreme ale lui

Kirchhoff, prelucrate în funcţie de ecuaţiile caracteristice ale laturilor, respectiv ale

elementelor de circuit. Prin eliminări succesive, sistemul de ecuaţii integro-diferenţiale liniare,

neomogene, cu coeficienţi constanţi, se poate reduce la o singură ecuaţie diferenţială de ordin

n, CL nnn , deoarece bobinele şi condensatoarele introduc câte un element diferenţial.

Soluţia ecuaţiei diferenţiale echivalente de ordinul n este de forma

),()()( txtxtx tp (7.1)

259

unde:

)(tx p - reprezintă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Forma ei este impusă de

funcţia de timp ce reprezintă termenul liber al ecuaţiei, corespunzător mărimilor de excitaţie

care întreţin această componentă, de unde şi denumirea ei de componentă forţată sau,

deoarece este soluţia de regim permanent a circuitului, componentă permanentă;

)(txt - este soluţia generală a ecuaţiei omogene (corespunzătoare pasivizării surselor) şi

conţine un număr de constante de integrare egal cu ordinul ecuaţiei. Aceste constante se

determină pe baza condiţiilor iniţiale (valorilor la momentul 0t ) pe care trebuie să le satisfacă

soluţia completă.

Componenta tranzitorie se poate scrie sub forma

,),()(t

k

kktkemtPtx

(7.2)

în care k este o rădăcină multiplă de ordinul mk a ecuaţiei caracteristice asociate ecuaţiei

diferenţiale, iar Pk(t,mk) un polinom de gradul (mk-1) în variabila t, cu coeficienţi constanţi

(reali sau complecşi). Deoarece în circuitele reale se constată că, în absenţa surselor de

excitaţie, mărimile electrice (curenţi şi tensiuni) se anulează după un anumit interval de timp,

rezultă că rădăcinile ecuaţiei caracteristice trebuie să satisfacă relaţia

.0Re k (7.3)

Nefiind întreţinută din exterior (sursele de excitaţie sunt pasivizate), această componentă se

datorează exclusiv acumulării de energie electromagnetică în elementele dinamice ale

circuitului şi, în consecinţă, durata ei corespunde intervalului necesar transformării

ireversibile a acestei energii în elementele disipative ale circuitului. Deoarece este

independentă de sursele de excitaţie şi durata ei este limitată, această componentă se numeşte

componentă liberă (naturală) sau componentă tranzitorie.

Pe baza observaţiilor de mai sus se pot formula următoarele definiţii:

Definiţia 7.1.1. Se numeşte regim permanent, regimul de funcţionare al circuitului în care

componenta liberă (naturală) a soluţiei este neglijabilă în raport cu cea forţată.

Definiţia 7.1.2. Se numeşte regim tranzitoriu, regimul de funcţionare al circuitului în care

soluţia liberă (naturală) are valori importante în raport cu cele ale soluţiei forţate. Acest regim,

care apare la momentul t0, este influenţat de condiţiile de funcţionare ale circuitului, anterior

acestui moment.

Formularea problemei condiţiilor iniţiale este necesară pentru determinarea celor n

constante de integrare ale componentei tranzitorii (respectiv ale soluţiei generale). Aceste

constante se determină pe baza valorilor la momentul t0 ale unora dintre mărimile

caracteristice ale circuitului, valori ce constituie condiţiile iniţiale ale regimului tranzitoriu.

Deoarece, aşa cum s-a arătat mai sus, elementele dinamice ale circuitului sunt cele care

determină natura integro-diferenţială a ecuaţiilor circuitului, şi cum curenţii prin bobine,

respectiv tensiunile la bornele condensatoarelor, în cazul circuitelor liniare, se pot exprima cu

relaţiile

),('d)'(1

d)(1

)( 0

0

tittuL

ttuL

ti L

t

t

LLL (7.4)

respectiv

),('d)'(1

d)(1

)( 0

0

tuttiC

ttiC

tu C

t

t

CCC (7.5)

260

rezultă că aceste condiţii iniţiale se referă la valorile iniţiale ale intensităţilor curenţilor prin

bobine şi respectiv ale tensiunilor la bornele condensatoarelor. Prin urmare dispunem de un

număr total de CL nn condiţii, necesare determinării celor n constante de integrare.

În cazul general al circuitelor reale, valorile ),( 0tiL respectiv )( 0tuC se obţin din condiţia

ca intensităţile curenţilor prin bobine şi ale tensiunilor la bornele condensatoarelor să varieze

în mod continuu în momentul 0t :

),()( 00 titi LL (7.6)

respectiv

).()( 00 tutu CC (7.7)

Dacă aceste condiţii nu ar fi respectate, conform caracteristicilor u(i), respectiv i(u) ale

celor două elemente ar trebui ca la momentul 0t în circuit să apară variaţii infinite ale

tensiunilor la bornele bobinelor şi respectiv ale curenţilor prin condensatoare, fapt care

contrazice realitatea.

Valorile )( 0tiL respectiv )( 0

tuC se calculează din regimul permanent anterior declanşării

regimului tranzitoriu. Regimul permanent la 0t poate fi un regim de curent continuu, caz în

care analiza circuitului va ţine seama de faptul că bobinele ideale se modelează prin

scurtcircuite, iar condensatoarele prin întreruperi, sau poate fi un regim periodic sinusoidal

care se va rezolva cu metoda simbolică de reprezentare în complex a mărimilor. Dacă regimul

permanent este nesinusoidal, atunci, circuitele fiind liniare, se aplică metoda superpoziţiei,

rezolvând circuitul pentru fiecare componentă a mărimilor de excitaţie. Soluţia obţinută în

oricare din situaţiile de mai sus se particularizează apoi pentru 0tt şi se aplică ecuaţiile de

continuitate.

Observaţie:

În cazul unor circuite idealizate cu energie finită, care urmăresc să evidenţieze numai unele

aspecte mai importante ale comportării acestor circuite (cu elemente în exces), pot fi

imaginate şi comutări ideale care să producă variaţii bruşte ale mărimilor Li şi Cu , deci

variaţii infinite ale tensiunii la bornele bobinelor, respectiv a intensităţii curentului prin

condensatoare. În această situaţie condiţiile iniţiale se determină pe baza teoremei mai

generale de conservare a fluxului magnetic total pentru fiecare buclă care nu conţine nici o

sursă de curent şi a conservării sarcinii electrice totale pentru fiecare suprafaţă de secţiune

care nu conţine nici o sursă ideală de tensiune:

,',1 ,)()()()(1

00

)(

)(

1

00

)(

)( bhtiLtiLtiLtiLl

kss

skskk

bl

A

l

kss

skskk

bl

A

hkhk

(7.8)

respectiv

.',1 ),()( 0

)(

)(0

)(

)( njtuCtuC Ckk

l

ACkk

l

A

jkjk

(7.9)

Aceste relaţii decurg din condiţia ca energia magnetică (energia electrică) acumulată în

câmpul magnetic al bobinelor (în câmpul electric al condensatoarelor) să aibe numai variaţii

finite.

Regimul permanent de funcţionare al unui circuit este regimul în care circuitul atinge o

anumită stare de echilibru şi răspunsul său are aceeaşi formă de variaţie în timp cu a

mărimilor de excitaţie aplicate. În circuitele care conţin elemente dinamice, regimul

261

permanent nu se stabileşte instantaneu, deoarece aceasta ar presupune un transfer de energie

finită (acumulată în bobine sau/şi în condensatoare) într-un timp nul, printr-o putere infinită,

lucru evident imposibil de realizat. În consecinţă, între un regim de repaus şi un regim

permanent sau între două regimuri permanente există o perioadă de timp în care circuitul

funcţionează în regim tranzitoriu. Modificările regimului de funcţionare al unui circuit şi

implicit apariţia regimului tranzitoriu pot avea mai multe cauze: modificarea structurii

topologice a circuitului, modificarea valorilor parametrilor circuitului, modificarea valorilor

mărimilor de excitaţie.

Metodele de analiză a comportării circuitelor electrice în regim tranzitoriu se clasifică în

trei categorii:

metoda elementară, constând în integrarea directă a sistemului de ecuaţii integro-

diferenţiale obţinute prin aplicarea celor două teoreme ale lui Kirchhoff. Fiind foarte

laborioasă, această metodă de analiză se aplică numai în cazul circuitelor simple cu un

număr redus de elemente dinamice (de regulă o bobină sau un condensator);

metode simbolice (operaţionale), care, prin aplicarea unor transformări operaţionale

(transformata Laplace, transformata Fourier, transformata Z), simplifică în mod

considerabil rezolvarea sistemului de ecuaţii integro-diferenţiale ale circuitului.

Principiul de bază al acestor metode constă în a asocia în mod biunivoc fiecărei funcţii

de timp o funcţie de variabilă complexă, transformând sistemul de ecuaţii integro-

diferenţiale într-un sistem de ecuaţii algebrice;

metoda variabilelor de stare, care operează cu un sistem de ecuaţii ale circuitului

având ca variabile numai mărimile legate direct de comportarea elementelor dinamice.

Această metodă prezintă avantajul unei remarcabile sistematizări în modul de scriere a

ecuaţiilor, fiind, în esenţă, o metodă matriceală şi pretându-se cel mai bine pentru

analiza calitativă asistată de calculator a circuitelor electrice. Pentru circuitele electrice

cu grad ridicat de complexitate, formularea ecuaţiilor de stare în formă normală

necesită însă un efort foarte mare de calcul.

7.2. METODA ELEMENTARA

7.2.1. Cuplarea unei bobine reale la o sursă de tensiune

Fig. 7.1

La momentul 0t întreruptorul K din figura 7.1 se

închide. Teorema a doua a lui Kirchhoff pe buclă are

forma:

)(teuu LR , (7.10)

respectiv

)(d

dte

t

iLRi L

L . (7.11)

Soluţia generală a ecuaţiei (7.11) este de forma

)()()( tititi LpLtL . (7.12)

I) Calculul componentei tranzitorii a soluţiei.

Ecuaţia omogenă este 0d

d L

L Rit

iL , iar cea caracteristică 0 RLr , are soluţia

L

Rr .

262

În consecinţă, soluţia generală a ecuaţiei omogene, deci componenta tranzitorie din (7.12)

este

t

L

R

Lt Aeti

)( , (7.13)

unde A este constanta de integrare.

II) Calculul componentei permanente a soluţiei.

II.1) Fie 0)( Ete .

Ecuaţia diferenţială neomogenă este 0d

dERi

t

iL L

L , având soluţia egală cu componenta

permanentă din (7.12)

R

EIi LLp

00 . (7.14)

Soluţia generală (7.12) poate fi astfel scrisă sub forma:

R

EAeti

tL

R

L0)(

. (7.15)

III) Determinarea constantei de integrare.

Condiţia iniţială pentru intensitatea curentului prin bobină pe care trebuie s-o satisfacă

soluţia (7.15) este – înainte de comutare 0)0( Li , după comutare R

EAiL

0)0( şi

conform condiţiei (7.6), rezultă R

EA 0 .

Cu această valoare, soluţia de regim tranzitoriu a circuitului devine

t

L eR

Eti 1)( 0 , (7.16)

unde RL / este contanta de timp a circuitului, reprezentând intervalul de timp în care

valorile mărimilor variabile în timp ar atinge valorile de regim permanent dacă ar varia liniar

cu viteza din momentul iniţial. Ea reprezintă subtangenta la curba de variaţie, în origine.

Teoretic regimul tranzitoriu durează , practic (4-5) .

Fig. 7.2

Tensiunea la bornele bobinei variază după

relaţia

tt

L

R

L eEeL

R

R

EL

t

iLtu

00

d

d)( . (7.17)

Variaţia în timp a celor două mărimi şi

semnificaţia constantei de timp sunt

prezentate în figura 7.2.

II.2) Dacă tEte sin2)( , componenta permanentă este de aceeaşi formă

tIti pLp sin2)( (7.18)

263

şi pentru a o determina se rezolvă circuitul de curent alternativ în complex. Se obţine

R

Larctgt

LR

EtiLp

sin2)(

222, (7.19)

astfel încât soluţia de regim tranzitoriu este

R

Larctgt

LR

EAeti

tL

R

L

sin2)(

222. (7.20)

Această soluţie trebuie să satisfacă condiţia iniţială (7.6), de unde rezultă

R

Larctg

LR

EAii LL

sin20 0)0()0(

222, (7.21)

relaţie din care se calculează constanta de integrare, astfel încât soluţia regimului tranzitoriu

este

tL

R

L eR

Larctg

R

Larctgt

LR

Eti

sinsin2)(

222. (7.22)

7.2.2. Conectarea unui condensator iniţial descărcat la o sursă de tensiune

Fig. 7.3

La momentul 0t întreruptorul K din figura 7.3 se

închide, astfel încât, condensatorul, iniţial neîncărcat,

se conectează la sursa de tensiune prin intermediul unei

rezistenţe necesare pentru reducerea valorii curentului.

Teorema a doua a lui Kirchhoff pe buclă are forma:

)(teuu CR . (7.23)

Cum

t

uCi C

Cd

d , (7.24)

)(d

dteu

t

uRC C

C . (7.25)

Soluţia generală a ecuaţiei (7.25) este de forma

)()()( tututu CpCtC . (7.26)

II) Calculul componentei tranzitorii a soluţiei.

Ecuaţia omogenă este 0d

d C

C ut

uRC , iar cea caracteristică 01RCr , are soluţia

RCr

1 .

Rezultă că soluţia generală a ecuaţiei omogene, deci componenta tranzitorie din (7.12) este

RC

t

Ct Aetu

)( , (7.27)

unde A este constanta de integrare.

II) Calculul componentei permanente a soluţiei.

II.1) Fie 0)( Ete .

264

Ecuaţia diferenţială neomogenă este 0d

dEu

t

uRC C

C , având soluţia egală cu

componenta permanentă din (7.12)

00 EUu CCp . (7.28)

Soluţia generală (7.12) poate fi astfel scrisă sub forma:

0)( EAetu RC

t

C

. (7.29)

III) Determinarea constantei de integrare.

Condiţia iniţială pentru tensiunea la bornele condensatorului iniţial neîncărcat, pe care

trebuie s-o satisfacă soluţia (7.29) este – înainte de comutare 0)0( Cu , după comutare

0)0( EAuC şi conform condiţiei (7.6), rezultă 0EA .

Cu această valoare, soluţia de regim tranzitoriu a circuitului devine

t

C eEtu 1)( 0 , (7.30)

unde RC este contanta de timp a circuitului.

Fig. 7.4

Curentul prin condensator variază după relaţia

t

RC

t

CC e

R

Ee

RCCE

t

uCti

00

1

d

d)( . (7.31)

Variaţia în timp a celor două mărimi şi semnificaţia

constantei de timp sunt prezentate în figura 7.4.

II.2) Dacă tEte sin2)( , componenta permanentă a tensiunii este de aceeaşi formă

tUtu pCp sin2)( (7.32)

şi pentru a o determina se rezolvă circuitul de curent alternativ în complex şi se continuă în

acelaşi mod ca la bobină.

7.3. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE

7.3.1. Transformata Laplace

Fiind dată o funcţie de timp f(t), se defineşte transformata Laplace a acestei funcţii cu

relaţia

,d)()( tetfsF st (7.33)

unde js este frecvenţa complexă.

Relaţia (7.33), numită transformata Laplace bilaterală, efectuează transformarea unei

funcţii reale de timp într-o funcţie de frecvenţă complexă, ).()( sFtf

Sistemele fizice pe care le studiem sunt sisteme cauzale, adică sisteme în care efectul nu

precede niciodată cauza, fiind definite prin funcţii de timp de tipul

f(t) = 0 pentru t < 0 şi

f(t) 0 pentru .0t

265

Fie funcţia f(t) care satisface următoarele condiţii:

- este nulă în intervalul 0t ;

- este mărginită şi în orice interval finit [t1,t2], 0 < t1 < t2, are un număr finit de maxime,

minime şi de discontinuităţi de speţa întâi;

- este absolut integrabilă în origine, adică

0

0

d ;t)t(f

- există trei mărimi reale 0, t0 şi A > 0 astfel încât ;t,Ae)t(ft

0tpentru 0

Funcţia f(t) care satisface aceste condiţii se numeşte funcţie original şi are o imagine

Laplace definită de transformata Laplace unilaterală

0

.d)()()( tetftfsF stL (7.34)

Funcţia F(s) există pentru orice ,Re 0s unde 0 este valoarea minimă pentru care este

satisfăcută ultima condiţie. Valoarea min ,Re 0cs pentru care integrala din (7.34) există, se

numeşte abscisă de convergenţă.

Relaţia (7.34) este biunivocă, deoarece odată cunoscută funcţia F(s), aplicând transformata

inversă se poate obţine funcţia original .)()( 1 sFtf L

Limita inferioară de integrare permite aplicarea transformatei Laplace şi funcţiilor original

cu salt în origine, cum sunt funcţia treaptă şi impulsul Dirac. Starea circuitului înainte de 0-

este luată în considerare prin condiţiile iniţiale, care sunt memorate de circuit în energia

stocată în elementele dinamice.

Exemple

Aplicând definiţia imaginii Laplace să se calculeze:

1. Imaginea funcţiei treaptă unitate ).(1)()( tttf

.11

d)(1d)()(000

se

stettetsF ststst

(7.35)

2. Imaginea funcţiei treaptă ).(1)( tAtf

.1

d)(1)(00

s

Ae

sAtetAsF stst

(7.36)

3. Imaginea funcţiei treaptă retardată ).(1)( tAtf

Deoarece 0)(1 t pentru t şi cu schimbarea de variabilă t rezultă:

.ddd)(

00

)(

ssssst es

AeAeeAtAesF

(7.37)

4. Imaginea funcţiei impuls Dirac ).()( ttf

.11

limd)(1)(11

limd)()(0

00

0

s

etetttetsF

sstst (7.38)

266

7.3.2. Teoremele transformatei Laplace

Transformata Laplace afectează atât funcţiile original cât şi operaţiile cu aceste funcţii.

Corespondenţa dintre operaţiile în domeniul t şi operaţiile în domeniul s este descrisă de

următoarele teoreme:

1. Teorema combinaţiilor liniare: transformata Laplace a unei combinaţii liniare este

combinaţia liniară a transformatelor individuale

)()( 2211 tfctfcL ).()( 2211 sFcsFc (7.39)

Demonstraţie: folosind definiţia transformatei Laplace se obţine

tetfctetfctetfctfctfctfc ststst d)(d)(d)()()()(

0

22

0

11

0

22112211L

)()()()( 22112211 sFcsFctfctfc LL ,

unde c1 şi c2 sunt constante reale sau complexe.

2. Teorema derivatei unei funcţii original: dacă )()( tfsF L , atunci

).0()(d

)(d

fssFt

tfL (7.40)

Demonstraţie: integrând prin părţi rezultă

).0()(d)()(dd

d

d

)(d

00

0

fssFtetfsetftet

f

t

tf stststL

Ca şi în cazul fazorilor, operaţia de derivare este schimbată în operaţie algebrică. În plus

însă, transformata Laplace ia în considerare valoarea iniţială a funcţiei.

Pentru derivata de ordin n se obţine:

).0(...)0()0()(d

)(d )1()1(21

nnnn

n

n

ffsfssFst

tfL

(7.41)

Observaţie: Mai sus s-a demonstrat că s

t1

)( L şi dacă aplicăm teorema derivării

obţinem 1)0(1

d

)(d

ss

t

tL . Cum s-a demonstrat că 1)( tL , rezultă că

.d

)(d)(

t

tt

Se poate demonstra simplu că

.d

)(d n

n

n

st

t

L (7.42)

3. Teorema integrării unei funcţii original: dacă )()( tfsF L , atunci

.)(

d)(

0s

sFf

t

L (7.43)

Demonstraţie: notând cu

t

ft

tf0

d)(d

d)( şi aplicând teorema derivării obţinem

267

.d)(d)(d)(d

d)()(

0

000

ffsf

ttfsF

tt

LLL

Cum ultima integrală este nulă, rezultă demonstraţia teoremei.

4. Teorema retardării: pentru orice 0

).() sFef(t s L (7.44)

Demonstraţie: aplicând schimbarea de variabilă )dd( tt se obţine

.d)(d)()-f(t

0

ssst eeftetf

L

Deoarece f este o funcţie original, 0)()( ftf pentru 0)( t şi deci

).(d)()-f(t

0

sFeefe sss

L

5. Teorema translaţiei variabilei complexe: dacă )()( tfsF L , atunci

.)()( tfeasF at L (7.45)

Demonstraţie: aplicând definiţia transformatei Laplace se obţine

).(d)(d)( )(

00

asFtetftetfe tasstat

6. Teorema convoluţiei în domeniul timpului: convoluţia în domeniul t corespunde

multiplicării în domeniul s, adică

),()()()( 2121 sFsFtftf L (7.46)

unde relaţia

,d)()()()(

0

21

d

21

t

tfftftf (7.47)

defineşte produsul de convoluţie a două funcţii original f1(t) şi f2(t).

Demonstraţie: Vom efectua produsul imaginilor celor două funcţii sub forma

.d)()()(d)()()(

0

212

0

121

sFefsFefsFsF ss

Folosind teorema retardării, relaţia devine

.dd)()(d)()()()(

0 0

21

0

2121

tetfftffsFsF st

L

Ţinând seama că funcţia 0)(2 tf pentru ,t putem reduce limita superioară a

integralei a doua de la la t şi schimbând ordinea de integrare se obţine

268

.)()(d)()(dd)()()()( 21

0

21

0 0

2121 tftftetftftetffsFsF ststt

L

7. Teorema asemănării: dacă a este o constantă adimensională, există relaţia

.1

)(

a

sF

aatfL (7.48)

Demonstraţie: efectuând schimbarea de variabilă ,at de unde rezultă at / şi

,/dd at obţinem

.1

d)(1

d)()(

00

a

sF

aef

ateatfatf a

s

st

L

8. Teorema valorii iniţiale: dacă )()( tfsF L , atunci

).0()(lim

fssFs

(7.49)

Demonstraţie: folosind teorema derivării şi definiţia transformatei Laplace obţinem

,)0()(limd

)(dlim

fssFt

tf

ssL

respectiv

.dd

d)0()0(limd

d

dlim

d

)(dlim

00

tet

fffte

t

f

t

tf st

s

st

ssL

Din cele două relaţii rezultă

),0()0(lim)0(dd

dlim)(lim

0

ffftet

fssF

s

st

ss

deoarece f(0+) este independentă de s.

9. Teorema valorii finale: dacă )()( tfsF L , atunci

).()(lim0

fssFs

(7.50)

Demonstraţie: procedând ca mai sus, dar schimbând limita, se obţine

).0()(dd

dd

d

dlim)0()(lim

0000

fftt

fte

t

ffssF st

ss

Cum )0()0(lim0

ffs

, deoarece f(0-) este independentă de s, teorema este demonstrată.

Teoremele de mai sus arată că transformarea Laplace asigură reprezentarea ecuaţiilor

diferenţiale ale circuitelor prin ecuaţii algebrice. Ea înlocuieşte rezolvarea sistemului de

ecuaţii integro-diferenţiale, satisfăcut de funcţiile original tf k , cu rezolvarea unui sistem de

ecuaţii algebrice satisfăcut de funcţiile imagine sFk . Soluţiile de regim tranzitoriu tf k se

obţin apoi din imaginile lor, sFk , prin transformări inverse.

269

7.3.3. Ecuaţiile şi schemele operaţionale ale circuitelor electrice

Pentru a formula ecuaţiile circuitului direct în formă algebrică, evitând formularea

ecuaţiilor integro-diferenţiale, vom analiza modul în care transformata Laplace afectează

ecuaţiile constitutive ale elementelor de circuit.

În cazul rezistorului această ecuaţie este ).()( tRitu Aplicând transformata Laplace

ambilor termeni se obţine relaţia

).()( sRIsU (7.51)

care corespunde modelului operaţional din figura 7.5,a.

Ecuaţia constitutivă a bobinei este t

tiLtu

d

)(d)( şi aplicând teorema derivării rezultă

),0()()( LLissLIsU (7.52)

sugerând un model în domeniul s constând într-o impedanţă sL în serie cu o sursă de tensiune

de valoare )0( LLi conectate ca în figura 7.5,b. Prelucrând relaţia în funcţie de curent se

obţine relaţia

,)0()(

)(s

i

sL

sUsI L

L (7.53)

care sugerează modelul alternativ cu sursă de curent siL /)0( în paralel cu impedanţa sL.

Pentru condensator, ecuaţia constitutivă fiind t

tuCti

d

)(d)( , se obţine ecuaţia

),0()()( CC CussCUsI (7.54)

corespunzând modelului operaţional din figura 7.5,c, cu sursa de curent )0( CCu în paralel

cu impedanţa 1/sC . În funcţie de tensiune, ecuaţia (7.54) devine

,)0()(

)(s

u

sC

sIsU C

C (7.55)

sugerând modelul alternativ cu sursă de tensiune suC /)0( în serie cu impedanţa 1/sC.

Pentru două bobine cuplate magnetic (cuplaj pozitiv), ecuaţiile constitutive sunt

t

tiM

t

tiLtu

d

)(d

d

)(d)( 21

11 ,

t

tiM

t

tiLtu

d

)(d

d

)(d)( 12

22 . (7.56)

Aplicând transformata Laplace ele capătă forma

)0()0()()()( 2112111 MiiLssMIsIsLsU

)0()0()()()( 1221222 MiiLssMIsIsLsU , (7.57)

conducând la modelul operaţional din figura 7.5, d.

270

Fig. 7.5.

În consecinţă în modelele operaţionale ale elementelor de circuit intervin impedanţele

operaţionale ale acestora în forma

sC

sZsLsZRsZ CLR

1)( ,)( ,)( (7.58)

şi termenii

,)0(

)( ),0()( ),0()(s

usEMisELisE C

CLMLL

(7.59)

sau

),0()( ,)0(

)( CC

LL CusJ

s

isJ (7.60)

reprezentând surse fictive de tensiune, respectiv de curent corespunzătoare valorilor iniţiale

nenule ale elementelor dinamice de circuit.

Funcţiile imagine (s) şi )( ),( CML JsEsE corespund unor funcţii original de forma unor

impulsuri Dirac:

)()0()()( 1 tLisEte LLL L ;

271

)()0()()( 1 tMisEte MM L ; (7.61)

),()0()()( 1 tCusJtj CCC L

care modelează salturile bruşte ale tensiunilor la bornele bobinelor, respectiv ale curenţilor

prin condensatoare, în timp ce funcţiile imagine )( şi )( sJsE LC corespund unor funcţii

original de forma unui semnal treaptă:

)()0()()( 1 tusEte CCC L ,

).()0()()( 1 tisJtj LLL L (7.62)

După cum se observă, în metoda operaţională de analiză a circuitelor electrice, ca şi în

metoda simbolică utilizată în studiul regimului sinusoidal, elementelor de circuit li se asociază

scheme echivalente în care elementele de circuit se caracterizează prin impedanţele

operaţionale Z(s). Dacă se înlocuieşte s cu j , se obţin impedanţele complexe ).( jZ

Prin urmare ecuaţiile operaţionale ale circuitelor electrice sunt perfect analoge ecuaţiilor

complexe şi deci metodele prezentate în cadrul metodei simbolice se extind şi pentru metoda

operaţională.

Pentru o latură de circuit cu structura reprezentată în figura 7.6, schema echivalentă

operaţională este cea din figura 7.7, iar ecuaţia caracteristică a laturii are forma:

s

uiLiLsEsIsLsI

sCsLRsU Ck

l

kpp

pkpkkpk

l

kpp

pkpk

k

kkk

)0()0()0()(

1

,1,1

-

l

kpp

C

pkpkkks

uiLiLsE k

,1

000 . (7.63)

Fig. 7.6

Aplicând transformata Laplace ecuaţiilor lui Kirchhoff în valori instantanee, şi ţinând

seama de proprietăţile acestei transformate sau aplicând direct teoremele lui Kirchhoff în

schema echivalentă operaţională a circuitului, se obţine următoarea formă operaţională a

acestor ecuaţii:

TK I

)(

1,1 ,0)(

jk nl

k njsI (7.64)

TK II

)( 1

)()()()()(1

hk

kckkbl

l

kpp

Cjjpkpk

k

kk sEsUsUsIsLsIsC

sLR

(7.65)

272

.,1 ,)0(

)0()0()()( 1

bhs

uiLiLsE

hk

k

bl

l

kpp

C

pkpkkk

Mărimile )( şi )( ),( ),( sEsUsUsI ckjjk ckk reprezintă imaginile Laplace ale curenţilor de

laturi, tensiunilor surselor independente de curent, tensiunilor surselor de curent comandate şi

respectiv, tensiunilor electromotoare ale surselor de tensiune comandate.

Mărimea

k

kk

d

ksC

sLRsZ1

)( (7.66)

este impedanţa operaţională a laturii.

Fig. 7.7

Observaţie

Toate metodele de analiză prezentate la circuitele de c.a. în complex se pot aplica, ţinând

seama de schemele echivalente în operaţional ale elementelor de circuit (Fig. 7.5), şi la

calculul circuitelor electrice în operaţional şi anume:

Metoda teoremelor lui Kirchhoff în operaţional;

Metoda curenţilor de buclă în operaţional;

Metoda nodală („clasică”) în operaţional;

Metoda nodală modificată în operaţional.

7.3.4. Transformarea inversă

Trecerea din domeniul funcţiilor imagine sFk în domeniul funcţiilor original )(tf k se

poate face fie pe bază de tabele de corespondenţă (Tab. 7.1) completate cu utilizarea

teoremelor satisfăcute de transformata Laplace, fie cu ajutorul unor formule de inversiune.

Tabelul 7.1

Funcţia original f(t) Imaginea Laplace )()( tfsF L

ate

as

1

atte

21

as

273

btat eeab

1

bsas

1

atbt e

ae

babab

1111

bsass

1

atbt aebeab

1

bsas

s

tsin

22

s

tcos

22 s

s

sh at

22 as

a

ch at

22 as

s

tsin

cossin1

22s

s

tcos

sincos1

22s

s

te at sin

222

as

te at cos

222

as

as

tt sin

222

2

as

s

tt cos

222

22

as

s

atn et

n

1

!1

1

nas

1

(t - T) sTe

(t - T) sTes

1

TtaeTt sTeas

1

t2sin

4

22 ss

t2cos

4

22

2

ss

s

ata

tsin

2

222

2

as

s

att

sin1

s

aarctg

274

atatata

cossin2

1

222

2

as

s

0,1

4

2

aet

t

a

saes

1

0,2

1

a

t

aerf , unde erf este funcţia

erorilor:

xt

d

texerf

0

d2 2

saes

1

112

taerfe ta

ass

1

t

aerf

2 sae

s

11

atJ0

unde

0

dsincos1

xnxJd

n este

funcţia Bessel de prima speţă şi ordinul n.

22

1

as

nsasas

22

22

1

1. Formula Mellin-Fourier

Această metodă de inversiune este folosită în cazul general când F(s) este dată în

semiplanul Re{s} c0:

jc

jc

st sesFj

tf0

0

,d2

1

(7.67)

integrala făcându-se de-a lungul dreptei Re{s} = c0 care lasă la stânga ei toate singularităţile

funcţiei F(s).

2. Formulele lui Heaviside

Cunoscând funcţia imagine F(s), se determină funcţia original aplicând transformata

inversă )()( 1 sFtf L . F(s) este o funcţie raţională de s care poate fi pusă sub forma

raportului a două polinoame. Dacă coeficienţii polinomului de la numitor sunt 0, atunci

rădăcinile lui, numite poli ai lui F(s) se vor găsi în jumătatea stângă a planului s sau, cel mult

pe axa imaginară (nu şi în jumătatea dreaptă). Aceşti poli pot fi reali sau complecşi, distincţi

sau multipli. Tehnicile de determinare a inversei transformatei Laplace depind de tipul polilor

lui F(s).

Fie funcţia imagine

sN

sMsF . (7.68)

Cele două polinoame nu au divizori comuni ),( kss iar gradul polinomului M(s) este mai

mic decât gradul lui N(s).

- prima formulă a lui Heaviside (când N(s) are n rădăcini simple diferite nenule)este

275

;

1'

1- tsn

k k

k kesN

sM

sN

sMtf

L (7.69)

- a doua formulă Heaviside (în cazul în care numitorul funcţiei F(s) are un pol în origine şi

1n rădăcini simple nenule) are expresia:

;

0

0 1

1'111

1- tsn

k kk

k kesNs

sM

N

M

ssN

sMtf

L (7.70)

- formula generală a lui Heaviside - când polinomul N(s) are m rădăcini, fiecare rădăcină sk

având ordinul de multiplicitate mk:

,!11

1

1

1- tsm

k

jm

j

kjk

k

ej

ta

sN

sMtf

L (7.71)

unde:

.d

d

!

1

k

k

k

k

ss

mk

jm

jm

k

kjsN

sMss

sjma

(7.72)

Algoritmul de aplicare al metodei operaţionale generale

1. Se calculează regimul permanent anterior declanşării regimului tranzitoriu (t < t0). Se obţin

astfel soluţiile: )0( kLi şi )0( kCu . Dacă momentul iniţial t0 este diferit de zero, atunci se

efectuează o schimbare a originii timpului t’= t–t0, deoarece transformata Laplace unilaterală

este definită pentru t 0.

2. Se construieşte schema operaţională a circuitului, corespunzătoare structurii acestuia la

momentul 0+ care va conţine impedanţele operaţionale ale elementelor pasive de circuit,

imaginile Laplace ale surselor independente de tensiune şi de curent şi sursele “fictive”

corespunzătoare condiţiilor iniţiale nenule )0( kLi şi )0( kCu .

3. Se selectează, în funcţie de structura şi complexitatea schemei operaţionale echivalente

obţinută la pasul 2, metoda de analiză cea mai adecvată si cea mai eficientă (cum ar fi:

utilizarea ecuaţiilor Kirchhoff în operaţional, metoda curenţilor de buclă în operaţional,

metoda nodală clasică sau metoda nodală modificată în operaţional, teorema superpoziţiei,

metoda transfigurărilor, metode de tip tablou etc.) pentru determinarea imaginilor Laplace ale

funcţiilor necunoscute (de regulă variabilele de stare ale circuitului: )(sIkL şi )(sU

kC ).

4. Se determină funcţiile original necunoscute cu una din metodele de transformare inversă.

276

Exemplul 7.2. Circuitul din figura 7.8,a funcţionează în regim permanent cu întrerupătorul

K deschis. La momentul 00 t , K se închide. Ştiind că:

,V8şi mF1 ,mH4 ,2 ECLR să se determine variaţia curentului prin bobină şi a

tensiunii la bornele condensatorului în regimul tranzitoriu care apare.

(a) (b)

Fig. 7.8

Se calculează regimul permanent la 00 t (ţinând seama că în c.c. bobina reprezintă un

scurtcircuit iar condensatorul o întrerupere) şi se obţine A22/ REIL , respectiv

V4 LC RIU . Deci condiţiile iniţiale sunt:

A2)0()0( LL ii , V4)0()0( CC uu ,

iar schema echivalentă operaţională a circuitului este cea reprezentată în figura 7.8,b.

Aplicând metoda potenţialelor nodurilor se obţine ecuaţia:

)/1(

)0()0(

/1

1111)(1

sCRs

u

sLR

Li

sR

E

sCRsLRRRsV CL

,

din care, prin înlocuirea valorilor numerice, rezultă ssV 3/8)(1 .

Se calculează apoi curentul prin bobină:

)500(3

2

3

4

1042

108)3/8()0()(

3

321

sss

s

sLR

LiVVsI L

L .

Pentru calculul tensiunii la bornele condensatorului se determină succesiv:

)500(3

2

/1

/)0()( 21

ssCR

suVVsI C

C ,

respectiv

)500(3

4

3

8)0(1)()(

sss

u

sCsIsU C

CC .

Aplicând transformarea inversă Laplace, se obţine:

(t)e3

2(t)

3

4(t)i 500t

L şi (t)e3

4(t)

3

8(t)u 500t

C .

Observaţie (consecinţă a teoremei valorii iniţiale, respectiv finale):

1. Pentru t = 0 relaţiile de mai sus verifică valorile condiţiilor iniţiale;

2. Pentru t se obţin valorile de regim permanent ale curentului prin bobină şi tensiunii

la bornele condensatorului.

277

7.3.5. Metoda separării componentelor tranzitorii şi permanente

Metoda separării componentelor tranzitorii şi permanente este o variantă a metodei

operaţionale de mai sus, din care derivă pe baza teoremei superpoziţiei. Deoarece componenta

permanentă se calculează uşor din regimul permanent, se poate opta pentru separarea

calculului celor două componente. Pe de altă parte această separare este foarte convenabilă în

cazul analizei regimurilor tranzitorii în circuitele electrice liniare care conţin surse

independente de tensiune sau/şi de curent variabile în timp sinusoidal, a căror prezenţă

complică rezolvarea schemelor echivalente operaţionale (imaginea Laplace a funcţiei sinus

are numitorul de gradul doi).

Astfel componenta permanentă a soluţiei generale, care este determinată de sursele reale

independente ale circuitului, se obţine prin rezolvarea schemei corespunzătoare regimului

permanent pentru .0tt Componenta tranzitorie se determină cu ajutorul calculului

operaţional pe o schemă operaţională echivalentă în care sursele independente reale ale

circuitului sunt pasivizate, rămânând doar sursele independente “fictive” corespunzătoare

condiţiilor iniţiale ale acestei componente:

000 LpLLt iii ,

.000 CpCCt uuu (7.73)

În ecuaţiile de mai sus s-a făcut schimbarea de variabilă 0' ttt .

Algoritmul de aplicare al metodei este:

1. Se rezolvă regimul permanent pentru ,0tt obţinând soluţiile )0( kLi şi )0( kCu

pentru toate bobinele şi condensatoarele din circuit. În conformitate cu teoremele de

continuitate se determină valorile )0( kLi şi ).0( kCu

2. Se rezolvă regimul permanent pentru 0tt . Se obţin astfel, componentele permanente

ale soluţiei generale )( şi )( tuti CpLp pentru toate bobinele şi toate condensatoarele circuitului.

3. Se determină cu relaţiile (7.72), condiţiile iniţiale ale componentelor tranzitorii, unde

)0( şi )(0 CpLp ui se obţin prin particularizarea valorilor rezultate la pasul 2.

4. Se realizează schema echivalentă operaţională pentru componentele tranzitorii. Aceasta

va conţine impedanţele operaţionale ale elementelor pasive de circuit şi sursele fictive

corespunzătoare condiţiilor iniţiale de la pasul 3, sursele independente reale ale circuitului

fiind pasivizate.

5. Se analizează, printr-o metodă de analiză adecvată, schema operaţională de la pasul 4 şi

se obţin imaginile Laplace ale componentelor tranzitorii )(sI Lt şi )(sUCt .

6. Utilizând o metodă de inversiune convenabilă se obţin funcţiile original )( şi (t) tui CtLt ,

apoi prin aplicarea teoremei superpoziţiei rezultă soluţiile generale ale regimului tranzitoriu

analizat:

)()()( tititi LtLpL ,

)()()( tututu CtCpC (7.74)

unde componentele )( şi (t) tui CpLp sunt cele determinate la pasul 2.

278

Exemplul 7.3. După ce circuitul din figura 7.9,a, a funcţionat un timp îndelungat cu

comutatorul K deschis, acesta se închide la un moment 00 t . Cunoscând valorile

parametrilor 10CL XXR şi ale surselor ttj cos224)( A, respectiv

2/sin21010)( tte V, 310 rad/s, se cere variaţia curentului prin bobină şi a

tensiunii la bornele condensatorului pentru 0tt .

Fig. 7.9,a

Se studiază regimul de

funcţionare al circuitului la t < 0.

Se obţine în c.c.:

22/00 JIL A

202/00 RJUC V,

iar în c.a.:

41

2

1

2

j

L eLjR

RJI

şi 411

251

j

CC eIC

jU

.

Soluţia regimului permanent va fi deci:

4sin2)()( 10

ttiIti LLL A şi

4sin1020)()( 10

ttuUtu CCC V.

La momentul 00 tt , valorile acestor mărimi sunt:

2

22)0()0( LL ii A şi

2

21020)0()0( CC uu V.

Pentru analiza regimului tranzitoriu care apare la 00 t , vom folosi metoda separării

componentelor tranzitorii de cele permanente. Vom calcula regimul permanent al circuitului

după comutare, observând că este un regim nesinusoidal.

Fig. 7.10,b

Rezolvând schema în c.c. din figura

7.10,b, pe baza teoremei superpoziţiei, se

obţine:

133

00

0

0

0

0000 R

EJIII

JLpELpLp A,

1000 LpCp RIU V.

279

Fig. 7.10,c.

Pentru a rezolva regimul de c.a. se foloseşte schema din figura 7.10,c şi metoda

superpoziţiei:

2/11

0

110

11

11

3311

jJE

eR

EJIII

.

Cu regula divizorului de curent se obţine:

)10(1

10/211

1

je

LjR

RII j

Lp

/4

/4

/2

2

1

e2

j

j

j

ee

.

4/3

4/

2/2/1

11

2

1

2)1(10

10

1

j

j

jj

Cp ee

e

je

CjR

RII

,

4/11

2

101

jCpCp e

CjIU

.

Soluţia regimului nesinusoidal este:

4/sin1)()( 10 ttiIti LpLpLp A, 4/sin1010)()( 10 ttuUtu CpCpCp V.

Condiţiile iniţiale pentru componentele tranzitorii sunt:

1)0()0()0( LpLLt iii A, 10)0()0()0( CpCCt uuu V,

iar schema operaţională pentru calculul componentelor tranzitorii este prezentată în

figura.7.10,d.

280

Fig. 7.10,d

Aplicând metoda curenţilor de buclă se obţine sistemul:

)0(31 LtLiRIsLRI

s

uRI

sCRI Ct )0(1

32

02/2 213 RIRIRRI .

Înlocuind numeric şi rezolvând rezultă:

60012

35

1012

47

10

2500)()(

3231

ssssIsI bLt ,

232

2

10103

30107)()(

2

s

ssIsI bCt .

Imaginea componentei tranzitorii a tensiunii la bornele condensatorului este:

323

5

10

10

103

10)0(1)()(

sss

u

sCsIsU Ct

CtCt .

Aplicând transformata Laplace inversă se obţine:

tttLt eeteti 6001010

12

35

12

472500

33 )( şi tt

Ct etetu33 1010

5

103

10)( .

Răspunsul de regim tranzitoriu al circuitului este deci:

tttLtLpL eetettititi 6001010

12

35

12

472500

4sin1)()()(

33

,

ttCtCpC etettututu

33 10105

103

10

4sin1010)()()(

.

281

BIBLIOGRAFIE

1. A.Timotin, V.Hortopan, A.Ifrim, M.Preda, Lecţii de bazele electrotehnicii, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970.

2. I.S.Antoniu si colectiv, Calculul circuitelor electrice în regimuri normale şi anormale de

funcţionare. Probleme din energetică, electrotehnică şi automatică. Editura Tehnică,

Bucureşti, 1975.

3. C.I.Mocanu, Teoria circuitelor electrice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.

4. M.Preda, P.Cristea, F. Spinei, Bazele electrotehnicii, vol. I şi II, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1980.

5. C.I.Mocanu, Teoria câmpului electromagnetic, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1981.

6. R.Radulet, Bazele electrotehnicii. Probleme, vol.Isi II, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981.

7. M.Preda, Bazele electrotehnicii, vol.I şi II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.

8. A.Moraru, Bazele electrotehnicii – vol. 1, Teoria câmpului electromagnetic. vol. 2, Teoria

circuitelor electrice, 2002, 2003.

9. Lucia Dumitriu, M. Iordache, Teoria modernă a circuitelor electrice- Fundamentare

teoretică, aplicaţii, algoritmi şi programe de calcul. vol. 1, şi 2 Editura All, 1998, 2000.