cap7deformaţii

Capitolul 7

DEFORMAŢIILE BARELOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

7.1 Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate

În urma solicitării de încovoiere bara dreaptă se deformează, axa acesteia devine o curbă continuă, având o anumită ecuaţie matematică, denumită fibră medie deformată.

Studiul deformaţiilor are drept scop, determinarea formei barelor după deformaţie şi implicit, a deplasărilor în dreptul unor secţiuni transversale ale barei. Pentru o funcţionare corectă, aceste deplasări trebuie să fie inferioare unor valori limită, stabilite pe baza experienţei.

Fig. 7.1 Mărimi ce caracterizează deformaţia

În Rezistenţa materialelor o bară se reprezintă prin axa sa, fibra medie. Studiul ecuaţiei fibrei medii deformate permite determinarea mărimilor ce caracterizează deformaţia.

În figura 7.1 este reprezentată o bară solicitată la încovoiere pură şi este indicată forma fibrei medii deformate. Solicitarea fiind de încovoiere plană pură, fibra medie deformată este cuprinsă în planul longitudinal de simetrie al barei.

Bara se raportează la sistemul de referinţă xOy faţă de care se va determina ecuaţia fibrei medii deformate.

Mărimile geometrice ce caracterizează starea deformată a barei sunt:

1. Deplasarea verticală, pe direcţia axei y, a unui punct de pe axa barei, reprezentând centrul de greutate al unei secţiuni transversale, deplasare notată cu v şi numită săgeată. Axa y este axă principală de inerţie a secţiunii transversale. Există şi deplasări orizontale după axa x, dar acestea fiind foarte mici se neglijează.

Deplasarea verticală variază în lungul barei şi rezultă din ecuaţia fibrei medii deformate ca fiind ordonata v corespunzătoare abscisei x:

. (7.1)Săgeata se consideră pozitivă în sensul pozitiv al axei y.

2. Înclinarea fibrei medii sau rotirea măsurată de unghiul tangentei la fibra medie deformată cu axa x .

137

ELEMENTE FUNDAMENTALE DE REZISTENŢA MATERIALELOR _

În cazul deformaţiilor mici se poate aproxima:

. (7.2)

Rotirea se consideră pozitivă când axa x se suprapune, pe drumul cel mai scurt, peste tangenta geometrică, printr-o rotaţie in sens orar.

3. Curbura fibrei medii deformate s-a demonstrat, în capitolul anterior, că este dată de expresia:

. (7.3)

Curbura se poate exprima (din geometria diferenţială), din ecuaţia curbei respective, prin relaţia aproximativă:

. (7.4)

Utilizând relaţiile (7.3) şi (7.4) se ajunge la:

. (7.5)

Ecuaţia (7.5), pentru sistemul de axe ales, respectând convenţia de semne pentru momentul încovoietor, conţine o necorespondenţă de semne.

Derivata de ordinul doi a ecuaţiei fibrei medii deformate este negativă, în timp ce momentul încovoietor este pozitiv, iar E şi Iz sunt constante pozitive.

Corectura necesară este un semn (-) iar ecuaţia devine:

(7.6)

Relaţia (7.6) poartă numele de ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate, iar produsul se numeşte rigiditate la încovoiere sau modul de rigiditate la încovoiere.Din ecuaţia determinată se observă că la încovoierea pură, caracterizată prin moment

încovoietor constant, curbura fibrei medii deformate este constantă:

. (7.7)

Rezultă că la încovoiere pură fibra medie deformată este un arc de cerc.Ecuaţia fibrei medii deformate este dedusă pentru solicitarea de încovoiere pură, ca şi formula

lui Navier, dar se utilizează şi la încovoiere simplă, deplasările produse de forţa tăietoare T fiind neglijabile în comparaţie cu cele produse de momentul încovoietor M.

Pornind de la ecuaţia diferenţială de ordinul II a fibrei medii deformate, pe baza relaţiilor diferenţiale între eforturi si sarcini se pot deduce, pentru barele cu rigiditate constantă, ecuaţiile diferenţiale de ordin superior ale fibrei medii deformate:

; (7.8)

; (7.9)

138

DEFORMAŢIILE BARELOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE Capitolul 7

. (7.10)

7

7.2.1 Grinda încastrată solicitată de o sarcină concentrată aplicată pe capătul liber

Funcţia momentului încovoietor (fig. 7.5) este aceeaşi pe toată lungimea grinzii:

. (7.11)

Se scrie ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate, grinda fiind de rigiditate constantă , şi se efectuează integrarea:

;

;

.

Constantele C1 şi C2 se determină din condiţiile de legătură din încastrare:

;

.Deci ecuaţiile fibrei medii deformate şi ale rotirii sunt:

; (7.12)

. (7.13)

Fig. 7.5 Grinda în consolă încărcată cu sarcină concentrată

139


Săgeata şi rotirea maximă se obţin pentru :

; (7.14)

. (7.15)

7.4. Metoda grinzii conjugate

Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate se poate scrie sub forma:

(7.44)

Dacă se consideră o grindă încărcată cu o sarcină fictivă:

(7.45)

şi se aplică, pentru această grindă, numită grindă conjugată sau grindă fictivă, ecuaţiile diferenţiale între eforturi şi încărcări, rezultă:

(7.46)

Din analogia formulelor (7.44) şi (7.46) se deduce că: (7.47)

Săgeata, pe grinda reală, este egală cu momentul încovoietor pe grinda conjugată iar rotirea, pe grinda reală, este egală cu forţa tăietoare pe grinda conjugată.

Momentele şi forţele tăietoare fictive trebuie, în dreptul legăturilor, să aibă valori egale cu deplasările, respectiv rotirile, pe care le permit legăturile de pe grinda reală. Pentru aceasta se stabilesc corespondenţe între legăturile grinzii reale şi ale grinzii conjugate date în figura 7.11.

Grinda reală Grinda conjugată

140


Fig. 7.11 Corespondenţa legăturilor între grinda reală şi grinda conjugată

Grinda conjugată se obţine din grinda reală făcând transformările necesare reazemelor şi având ca încărcare, sub forma unei forţe distribuite, diagrama de momente corespunzătoare grinzii reale. Valorile din această diagramă se împart cu rigiditatea barei

Exemple:

1. Fie consola încărcată cu sarcină concentrată din figura 7.12.Se construieşte diagrama momentelor încovoietoare. Momentul variază liniar, diagrama este

triunghiulară, deci aceeaşi formă va avea încărcarea de pe grinda fictivă sau conjugată.Pentru grinda conjugată încastrarea din punctul (1) devine capăt liber, iar capătul liber din

punctul (2) devine încastrare. Se încarcă grinda conjugată cu o forţă distribuită triunghiulară, ce acţionează de jos în sus, momentul încovoietor fiind negativ.

141


142

Forţa tăietoare pe grinda fictivă este:

,

egală cu rotirea pe grinda reală:

. (7.48)

Momentul încovoietor pe ginda fictivă:

este egal cu săgeata pe grinda reală:

. (7.49)

2. Fie grinda încărcată cu sarcină concentrată din figura 7.13.

Determinarea deplasării maxime şi a rotirilor pe reazeme, utilizînd metoda grinzii conjugate, este foarte rapidă în comparaţie cu metoda integrării directe a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate

Sarcina distribuită pe grinda conjugată, având suprafaţa de încărcare un triunghi de aceeaşi formă cu diagrama de momente , acţionează de sus în jos, momentul încovoietor fiind pozitiv

Reacţiunile pe grinda conjugată sunt:

.


Fig. 7.12 Grindă în consolă

Fig. 7.13 Grindă simplu rezematăRotirile pe reazeme sunt:

; (7.51)

. (7.52)

Săgeata maximă este egală cu momentul încovoietor la mijlocul grinzii fictive sau conjugate:

. (7.53

7.5. Metoda suprapunerii efectelor

143


În cazul încărcărilor complexe pe care le putem considera o suprapunere a mai multor încărcări simple, deplasarea din dreptul unei anumite secţiuni, se obţine prin însumarea deplasărilor corespunzătoare încărcărilor simple din dreptul aceleiaşi secţiuni.

Această metodă de calcul este foarte eficientă atunci cînd ecuaţiile fibrei medii deformate, expresiile rotirii şi săgeţii pentru încărcările simple sunt deja cunoscute din manuale sau din aplicaţii rezolvate anterior.

7.6.2. Rezumatul metodelor utilizate la calculul deformaţiilor

Mărimile ce caracterizează deformaţia barei sunt:

; ; .

Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate se scrie sub forma:

.

Efectuînd două integrări succesive ale ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate se obţin

expresiile deplasării verticale şi rotirii .

Integrarea se face separat pentru fiecare interval de pe bară pentru care expresia momentului,sau rigiditatea, este diferită.

Constantele de integrare se determină din:- condiţiile impuse de legături:

- reazem simplu ;- articulaţie ;

- încastrare ;- condiţiile de continuitate în dreptul unei secţiuni A de trecere de la un interval de integrare la altul:

;

.

Metoda parametrilor iniţiali utilizează pentru scrierea funcţiilor momentului încovoietor, rotirii şi deplasării următoarea modalitate de scriere:

Binoamele din ecuaţiile de mai sus se integrează sub forma:

.

Grinda conjugată are încărcarea egală cu sarcina distribuită fictivă:

144

Fie grinda din figura 7.14 încărcată cu:F –sarcină concentrată, aplicată la mijlocul grinzii;q – sarcină distribuită uniform, aplicată pe toată lungimea grinzii.


.

Grinda conjugată se obţine din grinda reală cu următoarele transformări ale reazemelor:

Grinda reală Grinda conjugată

Rotirea unei secţiuni oarecare, de pe grinda reală, este egală cu forţa tăietoare în secţiunea respectivă, pe grinda conjugată:

.Săgeata unei secţiuni de pe grinda reală este egală cu momentul încovoietor corespunzător

acelei secţiuni, pe grinda conjugată:.

145

cap7deformaţii

Documents