cap.3.transfgeom

8/2/2019 Cap.3.Transfgeom

1/20

CAPITOLUL 3

TRANSFORMRI GEOMETRICE

ALE FIGURILOR DIN PLAN I SPAIU

In urma parcurgerii acestui capitol: vei obine informaii generale despre transformri geometrice i despre predarea lor, vei reactualiza cunotine privind izometriile planului i spaiului: simetrii, rotaie,

translaie, vei nelege legtura ntre omotetie i transformarea prin asemnare, vei revedea exprimrile analitice ale unor transformri geometrice, vei dispune de demonstraii prin transformri geometrice a unor probleme

remarcabile de geometrie.

1. CONSIDERAII GENERALE

Istoria matematicii consemneaz c transformrile geometrice au fost folosite pentruobinerea primelor demonstraii ale unor teoreme de geometrie a planului i spaiului. Astfelse afirm c Thales din Milet a demonstrat prin suprapunerea figurilor, folosind ideea demicare, tradus astzi n aceea de transformare geometric, teoremele: unghiurile opuse lavrf sunt congruente; unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente; diametrulmparte cercul n dou pri congruente .a. Mai trziu, Aristotel a eliminat micarea din

geometrie i deci i transformrile geometrice, considernd obiectele matematicii ca entitiabstracte. Aceast concepie a fost concretizat de Euclid prin celebra sa carte Elementele,n care geometria este construit fr utilizarea ideii de micare pentru c aceasta nu poateexista, conform concepiei lui Platon, Aristotel, Euclid, n lumea formelor ideale. Pe aceeailinie s-a situat D. Hilbert n construcia sistemului cunoscut de axiome ale geometriei. El anlocuit ideea de micare cu ceea de figuri congruente. Predarea geometriei n spiritulaxiomaticii lui Hilbert sau a lui Birkhoff este implicat, indiscutabil, n diminuarea ponderiitransformrilor geometrice n unele programe analitice i manuale.

Intuiia asigur nelegerea de ctre elevi a noiunilor de micare, suprapunere,transformare a figurilor, ceea ce favorizeaz nelegerea ulterioar a unor conceptefundamentale din geometrie sau ofer o cale de a ptrunde n corpul teoremelor geometrice

fr supoziii complicate, greu de explicitat i de motivat. Acest fapt indic posibilitatea de aintroduce n geometrie transformrile geometrice, propus[ de A. N. Kolmogorov i folosite nrile din fosta Uniune Sovietic. Pe aceast cale numeroase teoreme de geometrie sedemonstreaz simplu.

Transformrile geometrice sunt n esen funcii. Studiul lor este calea principal pecare noiunea de funcie ptrunde n geometrie. Aadar transformrile geometrice suntelemente de unificare a matematicii colare.

Dei transformrile geometrice erau folosite de mult timp n rezolvarea unor problemede geometrie, ele nu au fost gndite ca funcii dect relativ recent, cnd figurile geometriceau fost concepute ca mulimi de puncte. Astfel, dac este un plan dat, o aplicaie :T se numete transformare geometric, n cazul cnd e compatibil, ntr-un sens bine precizat,cu o structur geometric din . Unei asemenea transformri geometrice i se poate asocia onou aplicaie. Dac prinFnotm mulimea tuturor prilor lui (figurilor din )iar pentru


2/20

Transformri geometrice ale figurilor din plan i spaiu 49

orice notmFf ( ) ( ){ fM:MTfT } = obinem o aplicaie ( )fTf,FF:T

numit asociat a transformrii T. T este bijectiv dac i numai dac este bijectiv.Aplicaiile Ti se noteaz n mod curent cu aceeai liter, ceea ce poate duce la confuzii,dar i la o mai mare uurin n exprimarea proprietilor lui Tprin . De exemplu, cnd

spunem cTaplic o dreapt ntr-o dreapt paralel cu ea avem n vedere aplicaia .Eailustreaz punctul de vedere mai vechi asupra transformrilor geometrice cnd planul eragndit ca o colecie de figuri pe care aciona . Punctul de vedere actual conduce laexprimri mai complicate, de exemplu aplicaia Ttransform punctele unei drepte n puncteale unei drepte paralele cu ea, dar este mai unificatori mai n spiritul matematicii moderne.

Ca orice alte funcii, transformrile geometrice se pot compune. Exist multesituaii n care mulimea transformrilor geometrice de un anumit tip este nchis lacompunere, formnd un grup. Amintim grupul translaiilor, grupul rotaiilor de acelai centru,grupul asemnrilor. Aadar transformrile geometrice furnizeaz exemple netriviale degrupuri, fapt ce faciliteaz nelegerea noiunii abstracte de grup la algebr, i care indicrolul integrator al transformrilor geometrice, de aceast dat cu algebra abstract. .

T

T

T

T

T

Primele obiective operaionale care se urmresc n predarea temei respective sunt:- construirea imaginii unui punct printr-o anume transformare geometric;- determinarea punctelor ce se corespund printr-o transformare care duce o figur ntr-

o alt figur (determinarea aplicaiei Tdin T);

- remarcarea elementelor care determin o transformare geometric: centrul simetriei,centrul i unghiul rotaiei. etc.;

- construirea imaginii unei figuri printr-o transformare geometric.Prin atingerea acestor obiective elevii capt deprinderea de a folosi transformrile

geometrice n rezolvarea problemelor. n funcie de timpul disponibil, se poate abordastructura grupal a transformrilor geometrice i teoreme de exprimare a unor transformri

geometrice ca o compunere de transformri mai simple. De exemplu, orice izometrie estecompunerea a cel mult trei simetrii axiale.O structur geometric suficient de simpli n acelai timp cu multe proprieti este

structura metric a planului (spaiului) dat de distana dintre dou puncte. Aceast structurare i un accentuat caracter intuitiv, ceea ce permite utilizarea ei n clasele a VI-a i a VII-a.Transformrile geometrice compatibile cu structura metric sunt interesante i bogate n pro-

prieti. Dou asemenea clase de transformri sunt studiate cu precdere: izometriile iasemnrile. Ne vom ocupa numai de aceste transformri.

Gndim spaiul fizic obinuit ca o mulime de elemente numite puncte, notat cu S.Noiunea de distan ce formalizeaz ntr-o aplicaie R SS:d , cuurmtoarele proprieti:

( ) ( B,AdB,A )

1. i egal cu zero daci numai dacA coincide cuB;( ) 0B,Ad2. ( ) ( )A,BdB,Ad = 3. ( ) ( ) ( B,CdC,AdB,Ad + ), oricarear fi puncteleA, B,C din S.Aplicaia se numete izometrie dacSS:T ( ) ( )B,AdTB,TAd = , adic pstreaz

distana ntre puncte, i se numete asemnare dac ( ) ( )B,AdkTB,TAd = , adic multiplicdistana cu un factor real strict pozitiv k.Orice izometrie este o asemnare particular (k = 1).Totui n mod obinuit, se face nti studiul detaliat al izometriilor apoi cel al asemnrilor.Aceast ordonare pe lng avantajul didactic evident de a se trece de la simplu la maicomplicat este dictat i de faptul c orice asemnare este compunerea unei izometrii cu o

omotetie (o asemnare particular) [13, p. 93]. Teoreme asemntoare pentru izometrii, deexemplu, orice izometrie a planului care pstreaz orientarea este sau o translaie, sau rotaie,


3/20

Capitolul 350

sau simetrie central, respectiv, orice izometrie este compunerea a cel mult trei simetrii axialene arat c e recomandabil mai nti studierea izometriei particulare (simetria, translaia,rotaia), apoi trecerea la stabilirea proprietilor generale ale izometriilor.

n urma analizei modalitilor de a concepe predarea transformrilor geometrice ndiferite programe i manuale se pot distinge dou puncte de vedere: sintetic i vectorial-

analitic. Conform primului, transformrile geometrice se definesc n mod direct, cu elementegeometrice simple: puncte, drepte, plane, unghiuri i proprietile lor se demonstreazgeometric pe baza axiomelori teoremelor simple de geometrie. Al doilea punct de vedere serefer la introducerea transformrilor geometrice pe baza noiunii de vector sau prinexpresiile lor analitice, proprietile obinndu-se prin combinarea elementelor de algebrvectorial cu elemente de geometrie analitic.

n cele ce urmeaz vom explora succesiv ambele puncte de vedere pentru fiecare dinizometriile remarcabile i apoi pentru asemnri.

2. SIMETRII

n mod natural trebuie s ncepem cu studiul simetriilor n plan, apoi s trecem laspaiu. Cerinele de simplitate ne ndeamn s procedm n ordinea: simetria fa de un punct,simetria fa de o dreapt, dei teoretic ultima este mai important.

A. Simetria fa de un punct n plan

Putem ncepe prin a cere elevilor (dasa a VI-a) s deseneze mai multe segmente careau acelai mijloc O. Ei deseneaz msurnd cu rigla sau eventual cu compasul (dac suntfamiliarizai cu acest instrument) o figur asemntoare cu fig. 1, care poate fi apoi prezentati pe o plan pregtit anterior.

Fig. 1

'A

'B

O

D

'D

C

'C

B

A

Cu notaiile introduse n fig. 1, vom spune cA'este simetricul punctuluiA fa de O,cB'este simetricul punctului B fa de O, la fel C'este simetricul lui Cfa de O .a.m.d.Subliniem c O este mijlocul pentru segmentele AA', BB', CC' etc, i repetm modul deconstructie a punctelorA', B' etc. Fixm apoi definiia formal: simetricul unui punct Mfade un punct O este un punct M', astfel c O este mijlocul segmentuluiMM'; simetricul lui Oeste O. Alternativ, pentru a pregti ideea de funcie putem spune c oricrui punctMdin plan

putem s-i asociem un punct M',simetricul su fa de O; lui O i se asociaz O nsui. Aicisau la o reluare ntr-o clas superioar aceast asociere o vom numi simetrie de centru O i ovom nota prin pentru a indica centrul de simetrie, scriindOS ( ) ( )BS'B,AS'A OO == , etc.

Revenind la fig. 1, din paralelogramul ABA'B' (diagonalele se njumtesc) constatm csegmentulA'B'este congruent cu segmentulAB, adic simetria fa de O (numiti simetrie


4/20


de centru O, sau simetrie central) este o izometrie. Spunem apoi c dreapta A'B' estesimetrica drepteiAB fa de punctul O' i subliniem c ea este paralel cu dreaptaAB. La feldreaptaAC'este simetrica drepteiACfa de O. Deci simetrica unei drepte fa de un punct Ose obine construind simetricele a dou puncte distincte ale ei i apoi unindu-le. Observm cdacM' este simetricul fa de O al punctului Matunci simetricul fa de O al punctului M'

este chiarM. Mai trziu vom scrie , undeIeste transformarea identic a planului ivom spune c este transformare involutiv. Fie acum do dreapt oarecare din plan. Dac

ea trece prin O, simetrica ei d'coincide cu ea ca mulime (nu punct cu punct). Cu alte cuvinte,simetricul oricrui punct de pe d se afl pe d. Vom spune c O situat pe d este centru desimetrie pentru figura format din dreapta d. Presupunem c O nu este situat pe d. Simetricadreptei d fa de O este o dreapt d'paralel cu d. Figura

ISO =2

OS

'ddF = are proprietatea csimetricul oricrui punct al ei fa de O este tot pe ea (fig. 2). Vom spune c O este centru desimetrie al figuriiF.Cele observate pot fi formulate astfel:

Spunem c o figurFadmite ca centru de simetrie un punct O, dac simetricul fa deO al oricrui punct al figuriiFse afl nF.Dup cum am vzut mai sus, oricare punct al unei

drepte este centru de simetrie pentru ea, adic dreapta are o infinitate de centre de simetrie.Figura format din dou drepte care se intersecteaz n O are ca centru de simetrie pe O inumai pe el.

'd

d

O

Fig. 2

Din fig. 2 rezult c figura format din reunirea a dou drepte paralele are o infinitatede centre de simetrie, situate pe o dreapt. Reunind aceste dou drepte cu alte dou drepte

paralele ntre ele, dar formnd un anumit unghi cu primele dou obinem o figur cu unsingur centru de simetrie (fig. 3). n particular, paralelogramul are un singur centru desimetrie. Unghiul, neles ca reuniunea a dou semidrepte cu originea comun, nu are centrude simetrie. Centrele de simetrie sunt importante n aplicaiile geometriei n practic.

C

' A B

D

O

d 'd

Fig. 3

Consideraiile de mai sus, de natur sintetic, pot fi restrnse numai la noiunile care


5/20

Capitolul 352

pot s ne ofere un limbaj mai comod n formularea unor probleme de geometrie i n acelaitimp pot fi extinse pn la aplicarea lor n soluionarea unor probleme de geometrie. Totuldepinde de ponderea acordat transformrilor geometrice prin programa analitic.

ntr-o abordare vectorial-analitic a geometriei, simetria fa de un punct O se poate

defini astfel: simetricul lui A fa de O este un punct A', astfel ca OA'OA = . Gndimsimetria fa de O direct ca aplicaie: , definit de relaia vectorial de mai sus. FieB'simetricul fa de O al unui punct B diferit de A. Egalitile vectoriale

'AA

ABOBOA'OA'OB'B'A === ne arat c simetria fa de O pstreaz coliniaritateapunctelor, duce o dreapt ntr-o dreapt paralel cu ea i c este izometrie. Remarcm crelaiile vectoriale au avantajul de a da informaii mai multe ntr-o form condensat.

Introducem un reper cartezian n plan. Cel mai simplu este s lum originea sa n O.Fie A de coordonate ( )y,x i .Relaia vectorial de definire a simetriei fa de Oconduce la

( 'y,'x'A )

)

(1) y'y,xx == Formulele (1) se numesc ecuaiile simetriei fa de origine. Rezult c o figur din

plan descris de o expresie algebricE(x,y) are originea ca centru de simetrie daci numaidac coincide cuE(x,y).Dac O are coordonate oarecare( y,xE ( )00 y,x , aceeai relaiede definire a simetriei fa de O conduce a formulele(2) .yy'y,xx'x == 00 22

Reciproc, formulele (2) pot fi luate ca definiie a simetriei centrale.

B. Simetria fa de o dreapt n plan

Pentru a introduce definiia acestei transformri geometrice la clasa a VI-a putemncepe cu urmtoarea semiexperien: n partea superioar a unei coli albe de hrtie se fac

trei - patru pete mici de cerneal, apoi coala se ndoaie. Petele de cerneal vor lsa urme pepartea inferioar a colii. Dezdoim coala i unim cu o linie colorat fiecare pat cu urma lsatde ea la ndoirea colii. Trasm cu o alt culoare linia de ndoire a colii. Dreptele duse anteriorvor intersecta linia de ndoire dup nite puncte. Cerem elevilor s msoare, pentru fiecare

pat n parte, distana de la ea i de la urma ei la dreapta de ndoire. Vor constata c acestedistane sunt aproximativ egale i c dreapta ce unete o pat cu imaginea ei (cu urma ei) este

perpendicular pe linia de ndoire a colii. Reprezentm coala cu care am lucrat ca n fig. 4,introducem notaii i afirmm c drepteleAA', BB', CC'iDD'sunt perpendiculare pe di c

,( ) ( )'PAAP ( ) ( )'QBBQ , ( ) ( )'RCCR , ( ) ( )'SDDS .

S

'D

D

R

'C

CA

'A

P Q

M

B

'M

d

Fig. 4

Vom spune cA'este simetricul luiA fa de dreapta di cB'este simetricul luiB


6/20


fa de dreapta d.a.m.d.Cum se mai poate construi A'? Ducem din A perpendiculara pe d i prelungim

segmentul (AP)cu un segment (PA')congruent cu el. Precizm apoi, dac e cazul, cum seefectueaz aceast construcie cu rigla i compasul. Se constat c simetricul oricrui punctfa de dreapta deste unic determinat; simetricul unui punct de pe dfa de deste el nsui.

Asociind unui punct din plan simetricul su fa de dreapta d,obinem o funcie care va finumit simetria fa de dreapta d,notnd-o prin . DacA'este simetricul luiA fa de d,

vom spune i c puncteleA idS

'A sunt simetrice fa de dreapta d ( ) ( )( )'ASA,AS'A dd == .Din fig. 4 rezult c dou puncte sunt simetrice fa de dreapta d dac d este mediatoareasegmentului ce le unete. Aceast observaie poate fi luat ca definiie. Completnd fig. 4 culinii punctate, din dou triunghiuri dreptunghice congruente constatm c 'B'AAB = .ntruct puncteleA iB sunt arbitrare deducem c simetria fa de o dreapt este o izometrie.

Ne ocupm apoi de imaginile printr-o simetrie fa de o dreapt dat (numit i simetrieaxial) a diferitelor figuri geometrice, n funcie de cunotinele elevilor la momentulrespectiv. Remarcm, unde este cazul, congruena elementelor ce se corespund prin simetrie

axial. Revenind la fig. 4, fixm atenia asupra trapezului isoscel B'B'AA .Punctele de pesegmentul (AB)sunt duse prin n puncte de pe A'B', iar punctele de pe segmentuldS 'AA

sunt duse prin n puncte de pe acelai segment. Similar pentru (BB').Aadar, orice punct

de pe trapez am lua, imaginea sa prin este tot pe trapez. Vom spune c trapezul n

discuie are o ax de simetrie: dreapta d.Fie un cerc de centru O iMNun diametru al su.Simetricul oricrui punct de pe cerc fa de MN este din nou pe cerc (diametrul estemediatoarea oricrei coarde perpendicular pe el). Vom spune c diametrulMNeste ax desimetrie a cercului dat. Orice diametru este astfel i deci cercul admite o infinitate de axe desimetrie. Situaiile prezentate impun urmtoarea definiie. O figur planFadmite o ax desimetrie d,dac simetricul oricrui punct din Ffa de deste n F.Cutm apoi alte figuri

plane care admit axe de simetrie. n aceast cutare ne poate ajuta urmtoarea observaie.DacF'este simetrica unei figuriFfa de o dreaptd,atunci figura obinut, reunindFcu

F',este o figur care are ca ax de simetrie pe d.De exemplu, fie o dreapta care face unanumit unghi (diferit de unghiul nul) cu di o intersecteaz n O. Notm cu a'simetrica eifa de d. Dac msoar 90, atunci a coincide cu a' i putem spune c d este ax desimetrie pentru a. Rezult deci c dreapta a are o infinitate de axe de simetrie:dreptele

perpendiculare pe ea. Un segment nenul are o singur ax de simetrie - mediatoarea sa; axade simetrie a unei semidrepte este perpendicular pe ea n originea ei (n baza observaiei demai sus). Dac msura lui a este diferit de 90, atunci este figura format din patruunghiuri opuse, dou cte dou, la vrf. Dreapta dapare ca ax de simetrie pentru dou dintreele, pentru care este i bisectoare. Rezult c orice unghi are o ax de simetrie: bisectoarea sa.

Dac presupunem acum c dreapta a este paralel cu d, atunci a' este i ea paralel cu d.Rezult c figura format din dou drepte paralele admite o ax de simetrie. Fie b i b'doudrepte paralele ntre ele i perpendiculare pe d.Axa lor de simetrie d'va fi perpendicular ped. Prin reunirea celor patru drepte a, a', b, b' obinem un dreptunghi completat cu nitesemidrepte. Rezult c figura are dou axe de simetrie di d'.Orice dreptunghi are dou axede simetrie perpendiculare ntre ele. n final, prezentarea unor plane cu figuri plane careadmit axe de simetrie poate fi util. Rezolvarea unor probleme de geometrie prin folosireasimetriei fa de o ax este pasul urmtor.

dS

dS

'aa

Simetria fa de o dreapt se preteaz, ca i simetria central, la o tratare vectorialianalitic. Definiia ei vectorial se poate da folosind vectorul de direcie al dreptei (axei desimetrie). Proprietile ei se demonstreaz n mod specific. Tratarea vectorial a simetrieiaxiale nu aduce simplificri. Dimpotriv, n multe locuri apare complicat i artificial. Eaeste recomandabil numai dac insistm s tratm unitar (vectorial n acest caz) toate


7/20

Capitolul 354

transformrile geometrice. Analitic, prin introducerea unui reper n plan, putem exprimacoordonatele simetricului unui punct dat de o dreaptdn funcie de coordonatele punctuluidat i de elementele care determin dreapta d. Formulele care se obin sunt n generalcomplicate i nu pot fi reinute. Excepie face situaia n care reperul se alege astfel nctdreapta d s fie una din axele de coordonate. Dac d coincide cu axa absciselor, ecuaiile

simetriei sunt: , iar dac d coincide cu axa ordonatelor obinem. Aceste ecuaii vor folosi la reprezentarea grafic a funciilor n studiul

simetriilor graficului.

dS y'y,x'x == y'y,x'x ==

C. Simetrii n spaiu

Studiul acestor simetrii n coala general nu poate fi prea extins. Credem c eletrebuie introduse n program pentru a descrie ntr-o terminologie mai simpl i precis

proprietile de simetrie ale corpurilor din spaiu. Se tie c asemenea proprieti de simetrieau o mare importan teoretic (au condus la teoria grupurilor finite) i practic n fizicichimie (studiul cristalelor), dari n alte domenii. Aadar, considerm c este suficient s sedea definiiile corespunztoare, s se demonstreze c simetriile spaiale sunt izometrii i s seidentifice figuri spaiale care au centre de simetrie, ax de simetrie i/sau plane de simetrie.Pentru obinerea definiiilor se va folosi analogia cu situaiile din plan discutate anterior.Acestea trebuie eventual reamintite.

1.Simetria central n spaiu. Fie un punct O n spaiu i un plan arbitrar care-lconine. Pentru fiecare punct din tim s construim simetricul su fa de O. Dar aceastconstrucie poate fi efectuat pentru orice punct din spaiu. Putem deci formula definiia:aplicaia cu'AA,SS:sO 'A definit de condiia c O este mijlocul segmentului

i se numete simetrie de centru O. Se observ apoi c i se

demonstreaz, absolut ca n plan, c este izometrie. Noiunea de centru de simetrie se

extinde n aceeai form la spaiu i notm c planul are o infinitate de centre de simetrie(toate punctele lui), figura format din dou plane paralele are de asemenea un plan de centrede simetrie, paralelipipedul are un singur centru de simetrie etc.

( 'AA ) ( ) OOsO

= IsO

=2

Os

2.Simetria fa de o dreapt n spaiu. Amintim construcia simetricului unui punct

fa de o dreapt n plan. Poate fi ea aplicat i unui punct n afara acelui plan? Da,considernd planul determinat de punct i dreapt i construind apoi simetricul ca n plan.

Notm c aceast construcie poate fi regndit astfel: printr-un punct A ducem planulperpendicular pe d,care o va intersecta n ;prelungim0A ( )0AA cu un segment congruent cuel i obinemA' n mod unic. Aceast modalitate de construcie a simetricului unui

punct fa de o dreapt sugereaz urmtoarea demonstraie a faptului c aceast simetrie esteo izometrie. Considerm o dreaptdi dou puncteA iB astfel ca aceste elemente s nu fien acelai plan. Desenm prinA iBplanele i respectiv perpendiculare pe d.Ele vor fi

paralele. Desenm apoi simetricele A'i B'ale punctelorA i respectiv B fa de dreapta d.Trebuie s demonstrm c

( 'AA0 )

'B'AAB = .Paralela prinA (A')la dreapta dintersecteaz planul n C(C'), fig. 5.


8/20


Fig. 5

A

'A

Bd

'B

'C

C

Rezult c i triunghiurile dreptunghice ABCi A'B'C'sunt congruente,de unde rezult

'C'BBC='B'AAB = .Noiunea de ax de simetrie pentru o figur din spaiu se

definete ca pentru figurile plane. n limita timpului disponibil identificm figuri n spaiu

care admit ax de simetrie: planul (orice dreapt a sa apare ca ax de simetrie), perechi deplane paralele, paralelipipedul, suprafaa cilindric circular etc.

3. Simetria fa de un plan. Definiia acestei transformri se obine uor prinanalogie cu simetria fa de o dreapt n plan. Echivalent puncteleA iA'sunt simetrice fade planul , dac este plan mediator al segmentului (AA').Proprietatea acestei simetrii de afi izometrie se demonstreaz uor prin reducere la o figur plan. Noiunea de plan desimetrie pentru o figur n spaiu este imediat. Figuri care admit plane de simetrie: dou

plane paralele, planul admite o infinitate de plane de simetrie, orice unghi diedru admite unplan de simetrie (planul bisector), paralelipipedul dreptunghic are trei plane de simetrie, sferaare o infinitate de plane de simetrie (plane diametrale) etc.

3. TRANSLAIA

Aceast transformare geometric este cu mult mai important dect simetriile, pentruc definirea i studiul ei impun conceptul de vector n forma sa riguroas: clas de segmenteorientate echipolente (de aceeai lungime, aceeai direcie i acelai sens). n [9] se face chiaro identificare translaie - vector. n general, n crile n care acest subiect se abordeaz, seintroduce izomorfismul ntre grupul translaiilor (cu operaia de compunere) i grupul aditival vectorilor. Cteva observaii se impun de la nceput.

Pentru noiunea de vector cadrul cel mai convenabil este spaiul i nu planul. nconsecin apare mai natural studiul translaiei ca transformare a spaiului. Vectorii dintr-unplan se vor identifica cu translaiile care duc planul n sine. Evident c aceast abordare esteposibil dup ce elevii au anumite cunotine de geometria spaiului.

Preocuparea pentru operaia de compunere a translaiilor trebuie s ocupe un loc maiimportant ca la simetrii pentru c ea va corespunde operaiei de adunare a vectorilor, operaiemai puin obinuit, care primete astfel o justificare foarte convingtoare.

Definirea intuitivi sintetic a translaiei se face mai uor prin intermediul aplicaieiintrodus n 1. ntr-adevr, intuitiv translaia n spaiu se definete ca o transformare prin

care toate punctele se deplaseaz n una i aceeai direcie, ntr-un sens dat, la aceeaidistan. Evident c este mai greu de sesizat deplasarea simultan a tuturor punctelor spaiului

dect a unei submulimi (figuri) a lui. n consecin este mai bine a ncepe prin a spune c ofigurF's-a obinut dintr-o figurFprintr-o translaie dac punctele ei s-au obinut din cele

T


9/20

Capitolul 356

ale luiFprin deplasare n una i aceeai direcie, ntr-un sens dat, la aceeai distan. Acesteaspecte intuitive se cer sprijinite de figuri variate. Credem c un scurt film de desene animate,

bine realizat, ar putea fi util n sprijinirea intuiiei elevilor. O prim formalizare aconsideraiilor intuitive se poate da astfel: figurileFiF'se corespund printr-o translaie dacoricare ar fi punctelePi Q distincte dinFlor le corespund n mod unic punctele P'i Q'din

F',astfel nct segmentele (PP')i (QQ')s fie congruente, paralele i de acelai sens. Aicisingurul element intuitiv rmne cel dat de sintagma acelai sens (fig. 6). Ca aplicaie aspaiului Spe el nsui, translaia poate fi definit dup cum urmeaz. O aplicaiese numete translaie, dac oricare ar fi punctele distincte P, Q din Si ,

SS: ( )P'P = ( )Q'Q = ,

segmentele (PP')i (QQ')sunt congruente, paralele i de acelai sens.

'P'Q

P

Fig. 6

DacR este un al treilea punct din S, diferit de P, Q i , rezult csegmentele (RR'), (PP') i (QQ'), sunt congruente ntre ele, paralele ntre ele i de acelaisens. Din definiia de mai sus rezult c i figura PP'Q'Q este un paralelogram, decisegmentele (P'Q')i (PQ) sunt de asemenea paralele i congruente. n concluzie, translaiaeste o izometrie. Din proprietile generale ale izometriilor urmeaz c dacdeste o dreapt,atunci este o dreaptd'.Pentru translaie d'este paralel cu dsau d'coincide cu d.Al

doilea caz se obine atunci i numai atunci cnd exist un punct

( )R'R =

( )ddA astfel ca .n

particular, un segment este aplicat prin translaie ntr-un segment paralel cu el sau n sine.Rezult de asemenea c translaia aplic un unghi ntr-un unghi congruent cu el, un triunghintr-un triunghi congruent cu el i un plan ntr-un plan paralel sau n sine.

( ) dA

Ne ocupm acum de compunerea a dou translaii i . Pentru dou punctedistincte P i Q din spaiu punem ( ) ( ) ( )'P"P,Q'Q,P'P === i ( )'Q"Q = .Corespondena PP" , Q Q" se bucur de proprietatea c segmentele ( ) i "PP ( )"QQ sunt congruente, paralele i de acelai sens. Acest fapt rezult uor n urma analizei maimultor cazuri, de exemplu fig. 7, n care "P'PP i "Q'QQ sunt congruente i au laturilerespectiv paralele.

Fig. 7

Cum punctelePi Q erau arbitrare, consideraiile de mai sus pot fi aplicate la oricare

Q 'R

R

F 'F

'P PP 'P "P "P 'P

"P

P'Q

Q 'Q "Q Q "Q 'Q

"Q

Q


10/20


alte perechi de puncte. Aadar, corespondena , etc. definete o translaie pecare o vom nota prin i o vom numi compunerea translaiilor i . Cu notaiile

precedente avem

"PP "QQ

( ) (( PP = )) pentru orice punctPdin spaiu. Fiind dat translaia ,definit de corespondena , etc., se constat uor c asocierea ,

etc. definete o translaie pe care o vom nota cu i o vom numi inversatranslaiei . Considernd aplicaia identic drept translaie particular suntem n poziia de a

pune n eviden grupul translaiilor spaiului. Rezumnd, putem spune c n mod direct,sintetic, am introdus noiunea de translaie (cu un singur element intuitiv: acelai sens pentrusegmente), am artat c translaia este izometrie i am vzut cum acioneaz ea asuprafigurilor din spaiu. De asemenea, am introdus structura grupal pe mulimea translaiilor.Studiul translaiilor este incomplet fr a stabili legtura lor cu noiunea de vector. nconsideraiile de mai sus avem suficiente motive pentru introducerea noiunii de vector.

'PP 'QQ P'P

Q'Q 1

n definirea unei translaii prin corespondena , etc. subnelegem csegmentele (PP'), (QQ'),(RR')etc. sunt perechi ordonate de puncte. Nu putem lua i (R'R).

Vom spune c segmentele n discuie sunt orientate, primul punct va fi numit origine i aldoilea extremitate a segmentului orientat. Recitind definiia translaiei constatm c otranslaie este caracterizat de ceea ce au n comun segmentele orientate (PP'), (QQ') etc.,adic lungime, direcie i sens. Convenim s numim vector o mulime de segmente orientate

care au aceeai lungime, aceeai direcie i acelai sens. Vom nota vectorul prin

'PP 'QQ

PP'i vom

spune c segmentul orientat (PP')este un reprezentant al vectorului PP'.Oricare alt segment

orientat din mulimea respectiv reprezint vectorul PP'.Uneori vectorii se noteaz cu litere

mici i se scriuv,u

'QQPP'u ==

etc. Aadar o translaie este caracterizat de un vector

PP'u =

i n continuare vom indica translaia prin vectorul ce o caracterizeaz, spunnd:

translaia de vector PP'. Este cu totul natural s spunem c doi vectori sunt egali dacmulimile de segmente orientate care i definesc sunt egale.

Considerm translaiile i definite respectiv de vectorii 'PP i "P'P . Compusa

lor este definit (caracterizat) de vectorul "PP . Avem astfel o posibilitate ca la doi

vectori 'PP i "P'P s asociem un al treilea vector "PP , numit suma vectorilor 'PP i

"P'P .Compunerea translaiilor (vezi i fig. 7) ne sugereaz c putem aduna doi vectori

oarecare i dup cum urmeaz. Considermu

v

ABu =

, alegem un reprezentant al

vectorului nctv

BCv =

i definim ACvu =+

. Demonstrm apoi c definiia nu depinde

de reprezentanii alei i artm c operaia astfel definit nzestreaz multimea vectorilor dinspaiu cu o structur de grup comutativ izomorf cu grupul translatiilor din spaiu. Amintim ceste posibil s folosim o alt cale pentru introducerea noiunii de vector, situaia n caretranslaia se definete astfel: Se numete translaie de vector u

o aplicaie ,

astfel ca

SS:uT

'PP u'PP

= . Se stabilesc apoi proprietile translaiei folosind proprieti alevectorilor. Caracterizarea translaiei printr-un vector conduce imediat la teorema: date fiinddou puncte distincteA i A'exist o translaie unic ce duceA n 'A .Aceasta este evident

translaia de vector 'AA .Consideraiile de mai sus pot fi repetate identic pentru un plan fixat. Obinem astfel

noiunea de translaie n plan, cea de vector n plan. Alternativ, avnd noiunile precedente n

spaiu putem s ne punem problema restriciei lor la un plan sau o dreapt. Astfel translaiilecare duc un plan n sine se vor numi translaii ale planului . Corespunztor, doi sau mai


11/20

Capitolul 358

multi vectori sunt coplanari dac exist reprezentani ai lor n acelai plan. Pentrureprezentarea translaiei n coordonate ne limitm la un plan fixat n care am introdus unsistem cartezian de coordonate. Orice vector este atunci caracterizat de o pereche de numerereale. Fie translaia de vector ( )b,au =

care aplic ( )y,xP n ( )'y,'x'P . Aadar, avem

u'PP

= sau uOP'OP

= , unde O este originea sistemului de coordonate. Ultima relaievectorial este echivalent cu relaiile n coordonate:

(3)

+=

+=

.by'y

,ax'x

Ecuaiile (3) se numesc ecuaiile translaiei de vector u

.Ele pot fi luate i ca definiiea translaiei n plan. Pe baza lor se pot deduce, prin calcule simple, proprietile principale aletranslaiilor n plan ([10]). Pentru probleme relative la translaie, rezolvate n maniersintetic, recomandm lucrarea [6].

4. ROTAIA N PLAN

Aceast transformare geometric, relativ uor de definit formal, are la baz un fond dereprezentri intuitive extrem de complex: cele care duc la ideea de cerc, cele referitoare launghiuri i msura unghiurilor, micarea de rotaie tratat la fizic.a. nainte de a introduceaceast tem trebuie s ne asigurm c elevii posed fondul necesar de reprezentri intuitive,ntrindu-l i orientndu-l spre abordarea temei n discuie. n acest caz este mai util caoricnd un film de 10-15 min., care prin imagini din via a cotidiani prin desene animate s

pregteasc terenul pentru nelegerea noiunii de unghi orientat i de rotaie n jurul unuipunct n plan sau n jurul unei drepte n spaiu. Absena unui asemenea film trebuie suplinitcu figuri convenabile i cu exemple simple de micri de rotaie n jurul unui punct ntlnite

curent de elevi (acele de ceasornic, roile de transmisie ...). Se pot de asemenea construimodele specifice care s reprezinte imaginile prin rotaie ale unor figuri simple. Ca i n cazultranslaiilor este mai convenabil s ncepem prin a considera rotaia de un unghi dat n jurulunui punct dat a unei figuri geometrice simple i nu a unui punct. Cel mai simplu pare a fi sconsiderm o semidreapt de origine O i s discutm despre rotaiile ei n jurul punctului O.Fie deci semidreapta (OA pe care s o rotim n poziia (OA'. nelegem pentru momentcuvntul rotim n sens cinematic pe baza unor reprezentri intuitive. La rotirea semidreptei(OApunctulA descrie un arc de cerc 'AA

,fig. 8.

y

A

'A M

'M

B

'B "A

O


12/20


Fig. 8

Un alt punctM, de pe semidreapta (OA,n urma aceleiai rotaii va ajunge nM'dup

ce descrie un arc de cerc 'MM

.Observm c unghiurile 'AOA i 'MOM sunt congruententre ele i congruente cu unghiul format de semidreptele (OA i ( 'OA . n plus, segmentele

(OA)i sunt congruente. La fel sunt i segmentele (OM)i (OM').Dac unghiul( 'OA ) 'AOA are msura (grade) vom spune cA'a fost obinut dinAprintr-o rotaie de unghi n jurul

punctului O. Similar s-a obinut M'din M.Semidreapta (OA este obinut la fel. Vom nota

asemenea transformare prin i vom scrie etc. Am obinut

astfel o definiie a rotaiei n jurul unui punct, dar pe o figur care are mai multeparticulariti. Astfel pentru a obine semidreapta

OR ( ) ( ) 'MMR,'AAR OO ==

( 'OA am rotit semidreapta (OA n sensinvers acelor de ceasornic. Acest sens este cel uzual numit i sens direct trigonometric.Puteam s fi rotit (OA i n sensul acelor de ceasornic n poziia (OA".Completm fig. 8 cu

linii punctate. Alegem noua poziie nct unghiurile 'AOA i "AOA s fie congruente. Ele auaceeai msur , fapt care genereaz confuzie dac lum ca definiie a rotaiei pe cea datmai sus. Trebuie ca n acea definiie s introducem elemente care s ne permit distingereacelor dou sensuri de rotaie. Se poate proceda astfel:

Spunem c unghiul 'AOA este orientat dac perechea de semidrepte (OA i este

ordonat. Deci unghiul orientat

( 'OA

'AOA este diferit de unghiul orientat AO'A . Vom spune c

unghiul orientat 'AOA este orientat pozitiv dac sensul de rotaie de la semidreapta (OA spresemidreapta este opus micrii acelor de ceasornic. Dac masura unghiului neorientat( 'OA

'AOA este vom spune c msura unghiului orientat 'AOA este sau , dup cum eleste orientat pozitiv sau negativ.

Amintim c mulimea de valori a funciei msur a unghiurilor este intervalul[0,180]. Prin procedeul de mai sus am extins acest interval la [-180, 180]. Rota iile nacelai sens cu acele de ceasornic vor fi descrise de unghiuri negativ orientate, deci de msurin intervalul [-180,0].

Revenim la fig. 8. Continund rotaia semidreptei (OA' dup poziia n sens

pozitiv ajungem n poziia (OB nct unghiul

( 'OA

BOA este alungit (are msura 180). Putemcontinua rotaia n acelai sens i ajungem, de exemplu, n poziia (OB'.Unghiul neorientatdintre (OA i (OB'este 180 . Dar pentru a descrie rotaia efectuat suntem obligai s

folosim unghiul orientat

BOA cruia este normal s-i asociem mrimea (msura) 180 + .

Deci putem considera ca mulime a valorilor pentru funcia-msur a unghiurilor orientateintervalul [-360, 360].Intuiia ne spune c obinem ( 'OA din (OAprintr-o rotaie de unghi

ca n fig. 8, dar i c aceeai semidreapt poate fi obinut dup ce (OA

efectueazn rotaii complete n jurul lui Oi apoi o rotaie de unghi

]1800[ , . n al doilea caz vom

spune c unghiul orientat 'AOA are msur , dac rotaiile sunt pozitive i are

msura ,dac rotaiile sunt negative. Putem aadar spune c msura unui unghi

orientat este sau

360+ n360 n

360+ k + k2 n radiani, unde k este un numr ntreg. Putemintroduce acum definiia formal a rotaiei n jurul unui punct din plan.

Rotaia de centru Oi unghi orientat a planului este o transformare a planului prin

care O se transform n el nsui i orice alt punct A se transform ntr-un punct 'A ,astfelnct ( ) i unghiurile i( 'OAOA ) 'AOA sunt congruente i au aceeai orientare.


13/20

Capitolul 360

Din punct de vedere cinematic este preferabil s indicm rotaia printr-un unghi de

forma cu pentru a citi cte rotaii s-au efectuat i n ce sens,informaii date de valoarea absoluti de semnul lui kdin Z. Geometric, rotaiile de unghi

cu kdin Z coincid i n continuare ele vor fi identificate cu rotaia de unghi

360+ k ]360360[ ,

360+ k .

Suntem astfel condui la ideea de a partiiona mulimea numerelor reale n submulimi cuproprietatea c dou numere reale aparin unei submulimi date dac difer printr-un multipluntreg de 2.Este acum uor s dovedim, folosind triunghiuri congruente, c orice rotaie n

plan este o izometrie. Rezult c rotaia duce o dreapt ntr-o dreapt. Din consideraiile demai sus rezult c o semidreapt este dus ntr-o semidreapt. Folosind definiia dat, putems construim imaginea oricrei figuri printr-o rotaie dat. Compusa a dou rotaii de acelai

centru i este rotaia . Identificarea rotaiilor oblig s considerm

suma modulo

OR

OR

+OR

+ kOR

2

+ 2 . Inversa rotaiei este rotaia . Se verific apoi c mulimea

rotaiilor de acelai centru formeaz un grup izomorf cu grupul claselor de resturi modulo 2 .

OR

OR

Introducem n fig. 8 un sistem cartezian de coordonate, nct unghiul ntre Ox i (OAs fie . Dac i ,notnd ( y,xA ) )( 'y,'x'A r'OAOA == , gsim = cosrx , = sinry i

, . Folosind formule uzuale de trigonometrie, obinem( )+= cosr'x ( += sinr'y )

(4)

+=

=

.cosysinx'y

,sinycosx'x

Formulele (4), numite i reprezentarea analitic a rotatiei ., pot fi luate ca definiie

a rotatiei .

OR

O

R

Rotaia n jurul unei drepte n spaiu. Stabilirea acestei transformri nu ridic multeprobleme pentru c se definete cu ajutorul rotaiei n plan.

Fie o dreaptdi un punctA nesituat pe d.Considerm planul prinAperpendicular pedi notm prin O intersecia lui cu d.n planul considerat asociem luiApunctul

cu unghi orientat dat. Spunem c

( )AR'A O=

'A este imaginea luiAprintr-o rotaie de unghi orientatn jurul dreptei d.Construcia de mai sus se poate efectua pentru orice punct cu excepia

celor de pe dreapta d.Convenim ca punctele de pe ds fie lsate pe loc. Obinem astfel oaplicaie a spaiului n el nsui, numit rotaie n jurul dreptei d.Pe o figur convenabil searat c o asemenea rotaie este izometrie.

5. PROPRIETI GENERALE ALE IZOMETRIILOR

n majoritatea programelor analitice de geometrie din nvmntul preuniversitar,dup parcurgerea izometriilor particulare menionate i de noi mai sus, nu se mai gsete timp

pentru noiunea general de izometrie i pentru cteva din proprietile ei. Considerm caceast situaie lipsete pe elevi de posibilitatea de a relua i aprofunda unele cunotinte de

baz din geometrie, de sinteza util n procesul de integrare a cunotinelor la nivelulgeometriei i cu alte discipline matematice studiate n coal. Este necesar ca n claseleterminale de liceu, cnd noiunea de funcie este pe deplin consolidat, s se rezerve unnumr de 4-6 ore pentru tratarea proprietilor generale ale izometriilor, ocazie cu care s sereaminteasc izometriile particulare ntlnite n clasele anterioare. Schim mai jos o

posibilitate de abordare a acestui subiect.Dup actualizarea funciei distan, definim noiunea de izometrie. Proprietile

generale pe care le avem n vedere pot fi tratate direct n spaiu. Am definit anterior izometria


14/20


ca aplicaie care pstreaz distana. Din definiie rezult c orice izometrie este bijectiv, darsurjectivitatea se demonstreaz greoi, nct este de preferat s o introducem n definiie.

Definiie.O aplicaie a spaiului n el nsui se numete izometrie, daceste surjectivi pstreaz distana, adic

SS:f

(5) d(f(A), f(B))=d(A,B) oricare ar fi punctele A, B din spaiul S.

Teorem. Orice izometrie a spaiului este bijectivi inversa ei este de asemeneaizometrie.

ntr-adevr,f(A) =f(B)implicd(A,B) = 0,de undeA = B,adic f este injectiv. Dac

f(A) = A' i f(B) =B', atunci , i (5) se rescrie( ) A'Af =1 ( ) B'Bf =1

( ) ( )( ) ( 'B,'Ad'Bf,'Afd = 11 ), deci este izometrie.1fDefiniia precedent se poate formula pentru un plan i orice izometrie a planului este

bijectiv, inversa ei fiind izometrie.Amintim acum c fiind date trei puncte distincteA, B, Cn spaiu se spune c punctul

B este ntre A i Cdaci numai dac ( ) ( ) ( )C,AdC,BdB,Ad =+ . Se mai spune cB este

interior segmentului (AC).Teorem.Fie o izometrie a spaiului. Dac punctul B este ntre A i C,atunci f(B) este ntre punctele f(A) i f(C) i reciproc.

SS:f

Ipotezele conduc imediat la relaia ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (( )Cf,AfdCf,BfdBf,Afd = )+ .Folosind aceast teorem, se demonstreaz c orice izometrie a spaiului transform:- orice segment (AB) n segmentul (f(A)f(B)), astfel nct se pstreaz ordinea

punctelor;- orice semidreapt (AB n semidreapta (f(A)f(B)) astfel nct se pstreaz ordinea

punctelor;- orice dreaptAB n dreaptaf(A)f(B) astfel nct se pstreaz ordinea punctelor;- orice plan n planul ; ( )f- orice semiplan nchis (deschis) de frontierAB ntr-un semiplan nchis (deschis) de

frontierf(A)f(B);

- orice unghi BOA n unghiul ( ) ( ) ( )BfOfAf/ congruent cu BOA ;- orice semispaiu nchis (deschis) de frontier n semispaiul nchis (deschis) de

frontier ;( )f

- orice unghi diedru d n unghiul diedru ( ) ( ) ( )/ fdff congruent cu d , , plane i ;=d

- orice cerc C(O, r) (orice discD(O, r))n cercul C(f(O), r) (n disculD(f(O), r));- orice sferS(O, r) n sfera S(f(O), r).

Demonstrarea acestor rezultate este o ocazie excelent de a reactualiza i aprofundanoiuni geometrice mai rar utilizate la nivel logic (semidreapt, semiplan, semispaiu etc.).Din proprietile de mai sus rezult c orice izometrie a spaiului pstreaz (invariaz):

- paralelismul i perpendicularitatea planelori dreptelor;- paralelismul i perpendicularitatea dintre drepte i plane.Teorem.Mulimea izometriilor spaiului S formeaz un grup n raport cu operatia

de compunere.

Apare aici ocazia de a repeta noiunea de grup, de compunere a aplicaiilor cuproprietatea ei de asociativitate.

Ne limitm acum la izometrii plane i enunmTeorema.Fie dou triunghiuri ABCi n planul'C'B'A , astfel c ,

,

( ) ( 'B'AAB )) )( ) ( 'C'BBC ( ) ( 'A'CCA . Atunci exist o unic izometrie astfel c:f


15/20

Capitolul 362

( ) 'AAf = , , .( ) 'BBf = ( ) 'CCf =Ideea de demonstraie este de a definifpentruA, B i Cca mai sus, de a o extinde mai

nti la drepteleAB iAC,apoi la ntreg planul. Unicitatea se demonstreaz prin reducere laabsurd. Detalii n [13, p. 19].

Aceast teorem combinat cu observaia c orice izometrie transform un triunghi

ntr-un triunghi congruent cu el ne conduce la concluzia: dou triunghiuri dintr-un plan datsunt congruente daci numai dac exist o izometrie a planului care transform un triunghin cellalt.

Pentru consideraii similare n spaiu, triunghiul se va nlocui cu tetraedrul [13, p.131].

Din consideraiile de mai sus rezult c, interpretat ca o aplicaie ntre vrfurile adou triunghiuri indicat prin (), congruena este restricia unei izometrii a planului. Avemaici o motivare a termenului de congruen folosit uneori pentru izometrie. Este acum naturals extindem termenul de congruen la figuri oarecare spunnd c figuraFeste congruent cufigura F' dac exist o izometrie f (a planului dac figurile sunt plane), astfel cf(F)=F'.Aceast definiie poate fi util n considerarea funciei arie pentru figuri plane mai complicatedect suprafeele poligonale.

6. ASEMNAREA N PLAN. PROPRIETI GENERALE

Elevii obin o idee despre figurile asemenea cu ocazia studiului temei Asemnareatriunghiurilor. Nu ne vom ocupa aici de predarea acestei teme. Facem numai observaia cntre multele variante de tratare a ei este de preferat una care pregtete terenul pentru

predarea asemnrii ca transformare geometric a planului (spaiului). Considerm c aceastdin urm tem se poate studia imediat dup studiul proprietilor generale ale izometriilor n

maniera descris de noi mai sus. Transformarea de asemnare poate fi introdus pringeneralizarea celei izometrice. Izometria este transformarea geometric ce pstreaz distana.Putem considera, teoretic vorbind, transformri geometrice care multiplic distana cu unfactor.Cum distanele se exprim prin numere reale pozitive, factorul de multiplicare trebuies fie n mod necesar un numr real strict pozitiv. Introducem definirea formal ce urmeaz.

Definiie.O aplicaie :ak a planului se numete asemnare de raport k, unde

k este un numrl real strict pozitiv dac este surjectivi pentru oricare dou puncte A i B

din avem(6) .( ) ( )( ) B,AdkBa,Aad kk = ( )

Numrul k trebuie luat strict pozitiv pentru c dac ar fi zero, din (6) ar rezultapentru oricare dou puncteA, B. Deci aplicaia este aplicaie o constant,

care nu este surjectiv.

( ) ( )BaAa 00 = 0a

Mulimea asemnrilor planului nu este vid, deoarece conine izometriile planului,obinute pentru k = l . Amnm pe mai trziu problema existenei unei asemnri proprii, deci

pentru .1kDin relaia (6) rezult c orice asemnare a planului este injectiv, iar fiind prin

definiie surjectiv, este bijectiv. Se demonstreaz uor c inversa unei asemnri de raport keste o asemnare de raport 1/ k.

Menionm c (6) asiguri surjectivitatea aplicaiei ,dar demonstratia acestui fapt

este anevoioas [13, p. 77]. Considernd aplicaia identic asemnare particular, se constatc mulimea asemnrilor planului formeaz un grup n raport cu compunerea aplicaiilor.

ka


16/20


Asocierea este un izomorfism al acestui grup cu grupul multiplicativ al numerelor

reale strict pozitive.

kak

Asemnrile au multe proprieti similare cu cele ale izometriilor. Astfel din (6)rezult

Teorema.Fie o asemnare de raport k, atunci punctul B se afl ntre A i C, dac

i numai dac punctul se afl ntrek

a

( )Bak ( )Aak i ( )Cak .Modul de transformare a figurilor din plan prin asemnare este identic cu cel descris

la izometrii, cu modificarea evident c un cerc C(O, r) respectiv un disc D(O, r) estetransformat prin ntr-un cerc C(O, kr)respectiv un discD(O, kr),adic raza se multiplic

cu factorul k.Adugm c orice asemnare transform drepte paralele n drepte paralele i casemnrile pstreaz raportul lungimilor segmentelor.

ka

Legtura cu asemnarea triunghiurilor se stabilete prinTeorema.Dac ABCi A'B'C' sunt dou triunghiuri oarecare n planul astfel

nct ,

( ) ( )B,Akd'B,'Ad = ( ) ( )C,Bkd'C,'Bd = , ( ) ( )A,Ckd'A,'Cd = unde k este un numr

real strict pozitiv, atunci exist o asemnare de raport k a planului , unic nct, , .

ka( ) 'AAak = ( ) 'BBak = ( ) 'CCak =

Pentru demonstraie se poate consulta [13, p. 80].Din observaia c orice triunghi este transformat printr-o asemnare ntr-un triunghi

asemenea cu el i teorema precedent rezult: dou triunghiuri sunt asemenea daci numaidac exist o asemnare care s transforme unul n cellalt.

O prim consecin a acestui fapt este aceea c, ntruct n planul euclidian existtriunghiuri asemenea necongruente, exist asemnri ale planului care nu sunt izometrii. Oalt consecin rezid n motivaia urmtoarei definiii:

Dou figuriFiF'ale planului se numesc asemenea cu coeficientul de asemnare k

dac exist o asemnare a planuluika , nct ( ) 'FFak = .

7. OMOTETIA N PLAN

Asemnarea particular cea mai important, lsnd la o parte izometria, este omotetiade centru dat i raport dat. Importana omotetiei deriv, n primul rnd, din

Teorema.Orice asemnare este produsul dintre o omotetiei o izometrie.

Demonstraia este simpl. Dac este o asemnare de raport k i este o

omotetie de raport 1 / k i centrul O un punct oarecare, atunci este o

asemnare de raport

kak/

Oh1

k/

Ok haf

1=

11

=k

k , deci este o izometrie. Relaia de mai sus conduce la

kOk hfa =

Pe de alt parte, omotetia este foarte util n rezolvarea problemelor de geometrie,fapt bine cunoscut i care se poate constata din numeroase culegeri de probleme degeometrie. Din acest motiv considerm c omotetia trebuie studiat naintea asemnrii ichiar naintea tratrii izometriei n general.

Definiia sintetic a omotetiei poate fi introdus foarte devreme n forma:Fie O un punct ntr-un plan i kun numr real strict pozitiv. Omotetia de centru O

i raport keste o transformare a planului care asociaz fiecrui punctMun punctM',astfelcO,MiM'sunt coliniare n ordinile O M M' sau O M' M i OM' = kOM.


17/20


18/20


n momentul n care elevii dispun de noiunea de vector se poate trata omotetia cumetode vectoriale. nsi definiia ei devine mai uoar pentru c noiunea de vector ne

permite s surprindem simultan situaiile de ordonare a punctelor ntlnite anterior.Definiie. Fie O un punct n planul i k un numr real nenul. Omotetia de

centru O i raport keste o transformare a planului care aplic un punctMntr-un punctM'dat

de formula OMk'OM = .n aceast definiie cuprindem omotetiile de ambele genuri (cele de gen 1 corespund

la kpozitiv, iar cele de gen 2 la knegativ). Demonstraiile proprietilor menionate mai susse simplific pentru c nu trebuie s mai distingem cele dou genuri de omotetie, dar ideilesunt n esen aceleai. n acest context vectorial putem s ne ocupm de urmtoarele dou

proprieti ale omotetiilor:- Mulimea omotetiilor de acelai centru formeaz un grup comutativ izomorf cu

grupul multiplicativ al numerelor reale nenule.

- Produsul a dou omotetii i este o omotetie avnd centrul coliniar cu O i

O', dac i este o translaie de vector

kO

h 'k'O

h

1'kk 'OO dac 1='kk . Ca aplicaie se poatedemonstra teorema lui Menelaus (a se vedea [14, p. 88]).

Omotetia n spaiu se poate prezenta similar. Definiia vectorial rmne practicaceeai. Proprietile citate rmn valabile. La ele se pot aduga urmtoarele:

- omotetia spaiului invariaz dreptele i planele care trec prin centrul omotetiei;- omotetia spaiului transform un plan care nu trece prin centru de omotetie ntr-un

plan paralel cu el;- omotetia spaiului de centru O i raport k transform o sfer ntr-o sfer( r,PS 0 )

( rk,PS 10 unde este omoteticul lui .10P 0PAplicaiile omotetiei n spaiu sunt analoage cu cele ale omotetiei plane.

Revenim la plan. Fie un punct fix O i oomotetie .Introducem n plan un repercartezian oarecare fa de care avem

kOh

( )00 y,xO , ( )y,xM i omoteticul su .

Condiia

( )'y,'x'M

OMk'OM = este echivalent cu

(7)( )

( )

+=

+=

.yyky'y

,xxkx'x

00

00

Ecuaiile (7) se numesc ecuaiile omotetiei n raport cu reperul cartezian ales. Ele

pot fi luate ca definiie a omotetiei n plan i utilizate pentru a demonstra proprietile esen-iale ale omotetiilor. Pentru a facilita asemenea demonstraii putem alege reperul cu originea

n O, deci i . De exemplu, dac M parcurge dreapta de ecuaie, atunci coordonatele lui M' satisfac ecuaia

kOh

00 =x 00 =y0=++ cbyax 0=++ ckbyax , deci M'

parcurge o dreapt paralel cu cea dat. Similar, dacM se afl pe cercul de ecuaie

coordonatele lui M' verific ecuaia .

DeciM'se afl pe cercul de razkri de centru omotetic cu centrul cercului dat. Analog sepot demonstra alte proprieti ale omotetiei. Generalizarea la spaiu a ecuaiilor (7) esteimediat.

( ) ( ) 222 rbyax =+ ( ) ( ) ( 222 krkbykax =+ )


19/20

Capitolul 366

BIBLIOGRAFIE

1.

Achiri 1. .a.,Metodica predrii matematicii, VoI. 1, Chiinu, Lumina, 1992.2. Anastasiei M.,Metodica predrii matematicii, Iai, Univ. Al. I. Cuza, 1985.3. Coa A. .a.,Matematic. Manual pentru clasa a IX-a, Geometrie i trigonometrie, Bucureti,

EDP, 1986.4. Coa A. .a.,Matematic. Manual pentru clasa a X-a. Geometrie i trigonometrie, Bucureti,

EDP, 1986.5. Cuculescu I. .a., Matematic. Manual pentru clasele VI-VIII. Geometrie, Bucureti, EDP,

1989.6. Duican L., Duican I., Transformri geometrice. Culegere de probleme, Bucureti, Ed. t. i

enciclopedic, 1987.7. Haimovici A., Grupuri de transformri, Bucureti, EDP, 1968.8. Haimovici A. .a., Lecii de geometrie elementar, Iai, Univ. Al. I. Cuza, 1975.9. Kolmogorov A.N. .a., Geometrie pentru clasele VI-VIII, Traducere din lb. Rus, Bucureti,EDP, 1979.10.Moise E., Floyd L., Downs Jr., Geometrie, Bucureti, EDP, 1983.11.Pogorelov A. V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 ale colii medii, Chiinu, Lumina,

1992.12.Popescu O., Radu V.,Metodica predrii geometriei n gimnaziu, Bucureti, EDP, 1983.13.Smaranda D., Soare N., Transformri geometrice, Bucureti, Ed. Academiei Romne,1988.14.iteica G.,Probleme de geometrie, Ediia a VI-a, Bucureti, Ed. Tehnic, 1981.15.Udrite C. .a., Matematic. Manual pentru clasa a XI-a.Geometrie analitic, Bucureti,

EDP, 1981.

REZUMAT

Dup un scurt istoric al transformrilor geometrice, se introduce definiia general a uneiasemenea transformri i se particularizeaz la transformri care pstreaz distana (izometrii) sau omultiplic cu un factor pozitiv nenul (asemnri). Se descriu pe rnd i se dau proprieti aleizometriilor: simetria central, simetria fa de o dreapt (plan), translaia, rotaia. Pentru fiecare sedau i exprimri analitice. Se continu cu proprieti ale asemnrii, se studiaz omotetia caasemnare particulari se arat c orice asemnare este produsul unei omotetii cu o izometrie. Seaplic transformrile geometrice n rezolvarea unor probleme de geometrie. Se pune n evidenstructura general a mulimii izometriilori a mulimii omotetiilor de acelai centru.

TEM DE CONTROL

1. Artai c simetricul unui cerc (unei sfere) fa de un punct (dreapta, plan) este uncerc (sfer).

2. Fie A, B dou puncte fixe. Deducei poziia unui punct M pe o dreapt d nctlungimea liniei poligonale AMB s fie minim.

3. Demonstrai c grupul translaiilor este izomorf cu grupul aditiv al vectorilor dinspaiu.

4. Exprimai analitic omotetia n spaiu.


20/20


5. Demonstrai existena cercului lui Euler folosind o omotetie cu centrul n ortocentrul

triunghiului. Generalizai la tetraedru.

cap.3.transfgeom

Documents