- 1 -

Capitolul 3

3. ANALIZA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT LINIARE I CONTINUE

3.1. Generaliti privind sistemele automate

Ansamblul format din procesul supus automatizrii i mijloacele tehnice care asigur automatizarea acestuia constituie un sistem automat. O reprezentare funcional a unui sistem automat este artat n figura 3.1.

Fig. 3.1. Sistem automat. Reprezentare funcional. Procesul condus, reprezentat ca un sistem cu intrrile u i pi i ieirea y, este supus aciunii comenzii u generate de echipamentul de automatizare i aciunii mrimilor exogene pi,, care reprezint perturbaii. Perturbaiile care acioneaz asupra proceselor pot fi aditive sau parametrice. Aciunea perturbaiilor aditive se cumuleaz la ieire cu aciunea comenzii u, pe cnd perturbaiile parametrice se concretizeaz n modificri structurale ale procesului. Sistemul automat i ndeplinete cu succes sarcinile impuse dac abaterea sau eroarea de reglare , definit ca fiind diferena dintre referina r i ieirea msurat yr conform relaiei: )()()( tytrt r= (3.1)

Proces condus

r u y yr

p1 p2 pn

Echipament de automatizare (Regulator)

- 2 -

atinge valoarea nul n regimul staionar, indiferent de aciunea mrimilor exogene care acioneaz asupra procesului condus. Aceast condiie se exprim matematic astfel: 0)(lim = tt (3.2) Un astfel de sistem poart denumirea de sistem de reglare automat (SRA).

3.2. Structuri de sisteme de reglare automat

Orice sistem automat conine o reacie negativ stabilizatoare, prin intermediul creia se realizeaz un control permanent al efectelor aciunilor de comand. Principiul reaciei este fundamental pentru nelegerea funcionrii sistemelor automate i evidenierea lui a constituit actul de natere al automaticii. 3.2.1. Structura clasic cu un regulator Sistemul funcioneaz pe principiul minimizrii abaterii sau erorii de reglare . Structura de reglare (fig. 3.2) este cea mai simpl i este utilizat acolo unde procesele supuse automatizrii nu ridic probleme deosebite n atingerea performaelor impuse sistemului automat.

Fig. 3.2. Structura de reglare clasic.

P

T

p2

r u R

m E

y

yr

C

p1 pn

+

-

- 3 -

Semnificaia blocurilor componente i a mrimilor ce apar n figur este urmtoarea: C - comparator, R regulator automat, E element de execuie, P proces (instalaie tehnologic), T traductor, r referin, yr reacie (mrimea msurat), - abaterea, u comanda regulatorului, m mrimea cu care elementul de execuie acioneaz asupra procesului, p1, p2,..,pn perturbaiile, y ieirea reglat. Valoarea mrimii reglate y se stabilete cu ajutorul referinei r. Aducerea valorii lui y la valoarea impus prin r se asigur de ctre regulatorul R, care elaboreaz o comand n tensiune u, aplicat elementului de execuie E. Elementul de execuie, prin mrimea m (de obicei de natur mecanic), acioneaz asupra procesului modificnd mrimea reglat y n sensul dorit. Valoarea lui y este msurat cu ajutorul traductorului T i convertit n semnalul electric yr , care prin calea de reacie negativ este adus la intrarea sistemului n comparatorul C. Diferena dintre referina r i msura yr este abaterea , un semnal electric care se aplic regulatorului R. Dac 0 ( >0 sau

- 4 -

n figur, referina r se modific sub forma unei trepte unitare care produce un regim tranzitoriu cu durata finit pentru mrimea reglat y. Dup restabilirea regimului staionar, la momentul de timp t, sistemul este supus aciunii perturbaiei p de tipul aditiv. Efectul apariiei perturbaiei este declanarea unui nou regim tranzitoriu. Sistemul automat rejecteaz efectul perturbaiei i mrimea reglat y revine la valoarea impus prin referina r, dup epuizarea regimului tranzitoriu provocat de perturbaie. 3.2.2. Structura de reglare n cascad O structur de sistem de reglare automat cu larg aplicabilitate este structura de reglare n cascad. Este utilizat att n cazul proceselor rapide, ct i n cazul proceselor lente cu timp mort. Prezena unui numr mare de constante de timp n funcia de transfer a procesului face dificil utilizarea unor algoritmi de reglare tipizai. Pentru procesele tehnologice la care se pot evidenia mrimi intermediare msurabile, iar funcia de transfer a procesului poate fi scris ca un produs de funcii de transfer care nu conin mai mult de dou constate de timp, se recomand reglarea n cascad. Admind c procesul condus este decompozabil n subprocese interconectate cauzal, cu variabile intermediare accesibile msurrii i cu dinamic descresctoare de la intrare spre ieire, se poate alctui o structur de reglare n cascad folosind un numr de regulatoare egal cu numrul variabilelor msurate din proces.

n cazul reglrii n cascad are loc o reglare simultan a mai multor mrimi din cadrul procesului, ceea ce determin o reducere nsemnat a duratei procesului tranzitoriu, mai ales dac mrimile intermediare sunt alese astfel nct s rspund mai repede dect mrimea de ieire la perturbaiile care acioneaz asupra procesului.

Fig. 3.3. Structura de reglare n cascad

n figura 3.3. este prezentat o structur de reglare n cascad cu dou variabile y1 i y2. Sistemul este format din dou sisteme simple de reglare n serie (sau n cascad).

HE(s)

HT2(s)

HT1(s)

P2(s) P1(s)

Y1(s) E1(s) U1(s) E2(s)

HR2(s)

U2(s) Y2(s)

HP1(s)HP2(s)

Yr1(s)

HR1(s)

Yr2(s)

R(s) +

_ _

- 5 -

Bucla de reglare exterioar este bucla principal (controleaz mrimea reglat) i bucla de reglare interioar este bucla secundar (controleaz variabila intermediar).

Cele dou subprocese sunt conectate cauzal i mrimea de execuie determin cauzal evoluia variabilei intermediare y2, care la rndul ei determin cauzal evoluia variabilei de ieire y1 din proces. Regulatorul automat secundar, cu funcia de transfer HR2(s), este destinat reglrii variabilei y2 i compensrii aciunii perturbaiei p2, iar regulatorul principal cu funcia de transfer HR1(s) are rolul de a asigura realizarea funciei de reglare n raport cu referina r. De asemenea furnizeaz referina pentru regulatorul secundar. Cele dou regulatoare din cadrul acestei structuri funcioneaz n regim de urmrire (masterslave), adic mrimea de comand a regulatorului principal este mrimea de referin pentru regulatorul secundar. Se recomand ca bucla interioar s aib o vitez de rspuns mai mare dect bucla principal.

Acordarea regulatoarelor n cadrul structurilor de reglare n cascad se iniiaz cu bucla interioar, deconectnd regulatorul principal i se continu cu regulatorul principal, folosind procedurile de acordare specifice. Exemplul 1: Sistem de reglare automat a turaiei unui motor de curent continuu (fig. 3.4).

Fig. 3.4. Schema general de reglare n cascad a turaiei unui motor de c. c.

Motorul de c.c. (procesul) este cu excitaie independent i este comandat pe indus. Elementul de execuie este o punte cu tiristoare i este un redresor comandat. Regulatorul principal este un regulator de tensiune care controleaz tensiunea aplicat indusului motorului, iar regulatorul secundar este un regulator de curent care

Tahogenerator

U Uc

Reg

ulat

or

de c

uren

t

IA

Reg

ulat

or

de tu

raie

Elem

ent p

entru

pr

escr

iere

a tu

raie

i

Mn

+-

+-

Transformator de curent

Blo

c de

com

and

pe

gril

a ti

risto

arel

or

- 6 -

controleaz intensitatea curentului prin indus. Traductorul principal este un tahogenerator care furnizeaz o tensiune proporional cu turaia motorului, iar traductorul secundar este un transformator de curent care msoar curentul prin indus.

Mrimea de referin pentru turaie U este furnizat de un element de prescriere i este comparat cu valoarea efectiv a turaiei, care este msurat i transmis prin calea de reacie de un generator tahometric. Mrimea de ieire a regulatorului de turaie reprezint valoarea prescris pentru regulatorul de curent rotoric. Valoarea efectiv a acestei mrimi reglate auxiliare IA este sesizat de traductorul pentru curentul rotoric i este transmis la intrarea regulatorului de curent. Regulatorul curentului rotoric produce o tensiune continu de comand Uc , care prin intermediul unui echipament de emitere a impulsurilor pentru aprinderea tiristoarelor comand redresorul i modific prin acesta tensiunea de alimentare a motorului de curent continuu. Procesul supus automatizrii n acest caz este motorul electric, a crui funcie de transfer HP(s) este descompus n HP1(s) i HP2(s) pentru reglarea n cascad.

Exemplul 2 Reglarea n cascad a temperaturii interioare dintr-o cldire cu ajutorul centralei de tratare a aerului

Structura de reglare automat n cascad se poate utiliza pentru controlul temperaturii interioare dintr-o cldire folosind o central de tratare a aerului (CTA), care nclzete sau rcete aerul introdus n spaiile interioare din cldire. Pentru aceasta se utilizeaz schimbtoarele de cldur ale CTA, prin care circul ap nclzit de un cazan sau ap rcit de un chiller. Schema tehnologic a instalaiei pentru reglarea temperaturii interioare dintr-o cldire care utilizeaz o CTA este urmtoarea:

- 7 -

Sistemul automat regleaz temperatura interioar din cldire, controlnd temperatura agentului care circul prin schimbtoarele de cldur, cu ajutorul unor robinete de reglare cu trei ci (un robinet pentru nclzire i alt robinet pentru rcire).

Structura de reglare automat n cascad folosit n acest caz este urmtoarea:

Particulariti ale sistemului de reglare n cascad a temperaturii interioare dintr-o

cldire cu ajutorul centralei de tratare a aerului Regulatorul temperaturii interioare din incinta cldirii va genera un semnal de

reglare u1(t) (spre exemplu un semnal unificat n tensiune 0 ... 10Vc.c.), variabil ntre 0 i 100%. Semnalul u1(t), care reprezint comanda regulatorului principal, devine semnal de referin pentru regulatorul secundar (regulatorul temperaturii aerului introdus n incinta cldirii).

Referina temper. interioare

Traductor temperatur aer introdus

Traductor temperatur interioar

Temper. interioar din incint

u1(t)

Temper. aerului introdus

Incinta din

cldire

CTA +

_ _

Regulator temperatur interioar

u2(t) Regulator temperatur aer introdus

Servomotor robinet de reglare cu

trei ci

- 8 -

La ieirea regulatorului principal se va prevedea un bloc special pentru prelucrarea semnalului u1(t), n sensul corectrii referinei regulatorului secundar. Corectarea presupune fixarea valorilor limit superioar i inferioar pentru referina temperaturii aerului introdus i ajustarea valorilor referinei temperaturii la variaii pentru comanda u1(t) n domeniul 0% ... 100%. Corectarea valorii referinei regulatorului secundar se face conform graficului urmtor.

Corecia este necesar pentru a nu se ajunge la situaii n care aerul suflat de

CTA n incinta cldirii s aib temperaturi prea mici (sau prea mari) i astfel ar putea crea disconfort sau mbolnviri pentru ocupanii cldirii.

Spre exemplu, n sezonul var, dac la pornirea CTA, temperatura n incinta cldirii este de 280C, atunci regulatorul principal va genera o comand u1(t) pentru reducerea temperaturii interioare, care n anumite perioade din timpul tranzitoriu va comanda rcirea maxim a aerului introdus n incint. Regulatorul principal acioneaz pentru a rci ct mai repede incinta i acest lucru are ca efect suflarea aerului cu temperatur prea sczut pentru ocupanii cldirii.

Exemplul 3 Reglarea automat a debitului la un transportor cu band folosete structura de

reglare n cascad.

3.2.3. Structura de reglare dup perturbaie Spre deosebire de structura convenional de reglare dup abatere, reglarea dup perturbaie prezint avantajul c aciunea de compensare a efectului perturbaiei se elaboreaz nainte de apariia unei abateri ntre valoarea dorit a mrimii de ieire i valoarea real a acesteia. Reglarea este cu anticipaie, adic abaterea care ar putea s

0% 100%

Referina temp. aer introdus

[0C]

Limita max. temp. aer introdus

Limita min. temp. aer introdus

u1 (t) Comanda regulatorului

principal

- 9 -

apar ca efect al perturbaiei este anulat prin aciunea de compensare, aplicat chiar din momentul apariiei perturbaiei. Pentru determinarea precis a algoritmului de reglare dup perturbaie trebuie cunoscut cu precizie modelul matematic al procesului, precum i funcia de transfer care stabilete corespondena ntre ieire i perturbaie. De asemenea, mrimea perturbatoare trebuie s fie accesibil msurrii. Pe de alt parte, reglarea dup perturbaie nu poate nlocui reglarea dup eroare, deci nu se poate renuna la reacia principal, deoarece nu este posibil instalarea unor regulatoare de perturbaie pentru toate perturbaiile care acioneaz asupra sistemului, ntruct o asemenea soluie ar fi neeconomic, iar unele perturbaii nu pot fi bine cunoscute.

3.2.4. Structura de reglare combinat

Avantajele reglrii dup perturbaie, combinate cu avantajele reglrii dup abatere conduc la o structur de sistem de reglare combinat (fig. 3.5).

Fig. 3.5. Structura de reglare combinat. Prin introducerea regulatorului Rp este compensat efectul perturbaiei p care trebuie s reprezinte perturbaia cea mai intens iar prin acordarea optim a regulatorului R este asigurat obinerea unor performane bune ale rspunsului la semnalele de intrare r i a unei comportri optime n raport cu alte perturbaii care mai acioneaz asupra sistemului. Regulatorul Rp primete la intrare perturbaia p i asigur la ieire o comand up, astfel nct prin aplicarea acesteia la intrarea prii fixate a sistemului s rezulte compensarea influenei exercitate de perturbaia p asupra mrimii de ieire y. n acest scop, ntruct perturbaia este considerat cu semnul plus, este

P r u m E y

yr

p

+

-

Rp

-

up

+R

- 10 -

necesar ca mrimea up sumat algebric n cel de-al doilea sumator cu mrimea de ieire u a regulatorului R (care realizeaz reglarea dup eroare) s fie aplicat sumatorului cu semnul minus. Aplicaii ale reglrii combinate Reglarea combinat este mult folosit n conducerea instalaiilor de nclzire a cldirilor, unde aportul de cldur asigurat de corpurile de nclzire trebuie s in seama, printre altele n primul rnd, de temperatura exterioar, care reprezint perturbaia principal. Dac reglarea s-ar efectua numai n funcie de temperatura interioar din cldire, atunci cnd temperatura exterioar variaz, evident se modific i temperatura interioar dup un timp dat de constantele de timp ale cldirii (care au valori importante de ordinul orelor) i n mai mic msur de timpul mort de ordinul minutelor necesar agentului termic pentru circulaia prin instalaia de nclzire. Eroarea staionar a sistemului automat (diferena dintre temperatura interioar dorit n cldire i temperatura interioar reglat) va fi cea mai mare parte a timpului diferit de zero i este posibil s ating valori importante care creaz disconfort pentru ocupanii cldirii. De asemenea, performana cea mai important a sistemului automat, stabilitatea, poate fi mult diminuat.

Acest tip de reglare care ine seama de temperatura exterioar (perturbaia) este o reglare cu anticipaie, care modific cantitatea de cldur produs de instalaia de nclzire funcie de valoarea temperaturii exterioare, fr s se atepte modificrile nedorite ale temperaturii interioare. Sistemele de reglare automat a temperaturii apei din piscin utilizeaz de asemenea reglarea combinat. 3.3. Problema stabilitii Scopul analizei unui SRA este determinarea performanelor sistemului avnd ca date iniiale structura i parametrii elementelor componente ale sistemului. O apreciere obiectiv a performanelor sistemului i deci a comportrii sale, se poate obine prin determinarea variaiei n timp a mrimii de ieire y ca urmare a unei variaii a mrimii de referin r, sau ca urmare a variaiei unei perturbaii p. Cunoscnd astfel rspunsul sistemului la variaiile mrimilor de intrare, pot fi msurai indicii de calitate ai regimului staionar i tranzitoriu, respectiv pot fi determinate performaele staionare i tranzitorii, stabilindu-se n consecin dac sistemul analizat poate fi sau nu poate fi utilizat n cazul concret dat.

- 11 -

O condiie necesar, dar nu suficient, pentru ca un sistem automat s poat fi utilizat n practic este stabilitatea sistemului, respectiv proprietatea sistemului de a restabili, prin aciunea sa, un nou regim staionar, atunci cnd datorit variaiei mrimilor de intrare a fost scos dintr-un regim staionar anterior. Astfel, regimul tranzitoriu al unui sistem automat stabil are o durat limitat. Un sistem este stabil dac n urma aplicrii unei intrri mrginite, ieirea din sistem rmne mrginit. Un sistem instabil nu este utilizabil, deoarece nu poate ndeplini scopul pentru care este creat, acela de a realiza pe cale automat o anumit lege de dependen ntre mrimea de ieire i cea de intrare. La sistemele instabile, mrimea de ieire are variaii necontrolate, deoarece un nou regim staionar nu mai este restabilit dup ieirea dintr-un regim staionar anterior. Determinarea performanelor unui sistem are deci sens numai n cazul cnd sistemul este stabil i, de aceea, analiza comportrii sistemelor cuprinde o verificare prealabil a stabilitii. Pentru sistemele liniare invariabile n timp (sistemele descrise prin ecuaii difereniale liniare ordinare cu coeficieni constani) stabilitatea este determinat de

polii funciei de transfer a sistemului )()()(

sLsMsH = , adic de rdcinile numitorului

0)( =sL . Polii trebuie s fie situai n semiplanul stng al planului complex, deci trebuie s aib partea real negativ. Analiza stabilitii sistemelor automate se face cu ajutorul criteriilor de stabilitate, care exprim condiiile necesare i suficiente de stabilitate. Exist dou tipuri de criterii de stabilitate:

- criterii algebrice, care lucreaz cu coeficienii polinomului )(sL sau cu rdcinile acestuia;

- criterii frecveniale de stabilitate care lucreaz cu caracteristicile de frecven ale sistemului.

Criterii algebrice de stabilitate

O condiie de stabilitate a polinomului )(sL este ca toi coeficienii polinomului s aib acelai semn i s nu lipsesc nici un coeficient (toi coeficienii s fie 0 ). Spre exemplu, polinomul 64)( 2 += sssL este un polinom instabil. Criteriile algebrice de stabilitate utilizate pentru sistemele automate sunt criteriul Hurwitz i criteriul Routh.

- 12 -

Criteriile algebrice sunt sensibile deoarece se bazeaz pe coeficienii funciei de transfer a sistemului automat. Valorile acestor coeficieni trebuiesc determinate, operaie care, de cele mai multe ori, este dificil i are un anumit grad de imprecizie.

Criterii frecveniale de stabilitate Criteriile frecveniale determin stabilitatea sistemelor pe baza formei

caracteristicilor de frecven. Caracteristicile de frecven pot fi determinate i prin metode experimentale.

Criteriul Nyquist poate fi utilizat pentru analiza stabilitii sistemelor numai prin interpretarea formei caracteristicilor de frecven fr alte reprezentri matematice.

3.4. Performanele sistemelor automate determinate pe baza rspunsului indicial

Un sistem de reglare automat (SRA) trebuie conceput astfel nct s fie ndeplinite simultan proprietile de stabilitate i de reglare. n afar de aceste dou proprieti fundamentale, n aplicaiile concrete se impun sistemelor de reglare automat proprieti suplimentare, care determin ceea ce se numee calitatea procesului de reglare. Calitatea procesului de reglare este descris convenional printr-o clas de indici sintetici care definesc performanele SRA.

3.4.1. Performanele unui sistem de ordinul nti Un sistem de ordinul nti are funcia de transfer

sT

ksH += 1)( (3.3) obinut n capitolul 2. Aplicnd la intrare un semnal treapt unitar r1(t)=1(t) (n

complex s1 ), ieirea Y(s) se calculeaz astfel:

)1(1

1)(sTs

ksT

ks

sY +=+= Rspunsul indicial al sistemului se obine aplicnd transformata Laplace invers

Y(s) R(s) H(s)

- 13 -

=)(1 ty -1

+ )1( sTsk

Descompunem n fracii simple:

)1(1)1( sTssBsATA

sTB

sA

sTsk

+++=++=+

kTB

BkTBAT

kABATsAk

==+=+

=++=00

)(

Ts

ksk

sT

T

kTsk

sTkT

sk

sTsk

111)1( +=

+=+=+

=)(1 ty -1

==

+ T

tTt

ekektk

Ts

ksk 1)(1

1 pentru t 0

= T

t

ekty 1)(1 (3.4)

Rspunsul indicial (3.4) are dou componente: componenta permanent; componenta tranzitorie.

Componenta permanent se determin folosind teorema valorii limit finale:

ksTs

ksssYtyssp

=+== )1(lim)(lim)( 00 pentru t 0 (3.5)

Componenta tranzitorie a rspunsului indicial este:

Tt

t ekty=)( (3.6)

- 14 -

De remarcat c panta maxim a rpsunsului indicial este dat de derivata n origine a rspunsului indicial:

Tke

Tkek

dtd

dttdy

tTt

tTt

t =

=

= ++ =

=

+= 0001 101()( (3.7)

unde Tk este unghiul cu abscisa al tangentei de pant maxim.

Fig. 3.6. Rspunsul indicial al sistemului de ordinul nti. Rspunsul indicial al sistemului de ordinul nti este trasat n figura 3.6, unde

s-au folosit urmtoarele notaii: T constanta de timp a procesului; tt durata procesului tranzitoriu.

Constanta de timp definete viteza de rspuns sau ineria sistemului. Tangenta n origine intersecteaz rspunsul staionar dup un timp egal cu

constanta de timp a sistemului. Timpul tranzitoriu reprezint timpul necesar pentru ca rspunsul tranzitoriu al

sistemului s intre n banda (10,05) yst , fr a o mai prsi ulterior.

t T

ttr

rst

r1,

1

k

y1

- 15 -

05,0ln05,0lnln

95,01

195,0

===

=

==

Tt

e

e

ekk

kyy

tTt

Tt

Tt

pst

t

t

t

TTtt 305,0ln = (3.8)

Eroarea staionar a sistemului se definete ca diferena dintre mrimea de

intrare (referina) i valoarea staionar a mrimii de ieire a sistemului:

ktytr stst == 1)()( (3.9)

Performanele sistemului de ordinul nti sunt timpul tranzitoriu i eroarea staionar.

3.4.2. Performanele unui sistem de ordinul doi

Ecuaia diferenial a unui sistem de ordinul doi dedus n capitolul 2 este:

)()()(2)( 2222

tutydt

tdydt

tydnnn =++ (3.10)

Ecuaia caracteristic a ecuaiei difereniale se rezolv i se obin soluiile p1 i p2 care se reprezint n planul complex (fig. 3.7).

2

2,1

22

1

02

==++

nn

nn

jp

pp (3.11)

- 16 -

Fig. 3.7. Reprezentarea soluiilor ecuaiei caracteristice n planul complex.

Funcia de transfer a sistemului de ordinul doi obinut prin aplicarea transformatei Laplace ecuaiei difereniale (3.10) este:

222

2)(

nn

n

sssH

++= (3.12)

Rspunsul unui sistem de ordinul doi la o intrare treapt unitar (rspunsul indicial) se determin conform celor prezentate n continuare.

Fig. 3.8. Schema bloc a unui sistem se ordinul doi.

Treapta unitar aplicat la intrarea sistemului este

s

sUsR 1)()( == (3.13) Se calculeaz rspunsul sistemului n complex

sss

sUsHsYnn

n 12

)()()( 222

++==

(3.14)

Y(s) R(s) H(s)

21 n

j

p1

p2 21 n

-n

n

=

=cos

1sin 2

- 17 -

de unde prin aplicarea transformatei Laplace inverse se poate ajunge din nou n domeniul timp.

++= sssty nnn 1

2 )( 22

21 1-

(3.15)

Descompunem n fracii simple expresia din parantez:

22222

2)2( nnnnn

ssCBs

sA

sss

++++=++

nn

nn

nnn

nnn

CCA

ABBA

AA

ACAsBAsCsBsAsAAs

220

10

1:

)2()(

2

22

222

2222

=+=

==+=

==++++=

++++=

Revenim n expresia (3.14) i nlocuim coeficienii A, B i C:

++

++++=

=

++++++=

=+++=

=++++=++

+=

222

2

2222

222222

222

22222222

)1()(1

1)1()(1

)1()()1()(1

)1()(21

221

221)(

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnnn

n

nn

n

sss

s

sss

s

ss

s

sss

ssss

ssY

Folosim tabelul (2.1) cu transformate Laplace i aplicm transformata Laplace

invers fraciilor din interiorul parantezei drepte:

- 18 -

te

nnsn

te

nnsns

nt

nt

n

n

2

2

1sin2)21(2)(

211-

1cos 2)21(2)(

1-

++

=++

+

=

Prin scoaterea factorului comun i aplicnd transformata Laplace invers se

ajunge la rspunsul indicial al sistemului:

[ ]ttety nntn 22221 1sin1cos111)(

+=

Notm conform figurii (3.7)

==

cos1sin 2 (3.16)

i se obine:

)1sin(1

1)( 22

1

+=

tety ntn

(3.17)

rspunsul indicial al sistemului de ordinul doi la intrare treapt unitar. Rspunsul indicial are o component sinusoidal amortizat conform unei exponeniale negative. Rspunsul indicial are o component staionar i una tranzitorie. Componenta staionar este egal cu 1, adic este egal cu referina aplicat la intrarea sistemului. Deci, n regim staionar eroarea 0== stst yr . Componenta tranzitorie (sinusoida amortizat) are o form determinat de i n .

- 19 -

Pentru diverse valori ale factorului de amortizare , rspunsul sistemului are forme diferite (fig. 3.9).

Fig. 3.9. Rspunsul indicial al unui sistem de ordinul doi pentru diverse valori ale factorului de amortizare .

= 0 rspunsul este neamortizat (sistemul este instabil); = 1 rspunsul sistemului este amortizat critic; > 1 rspunsul sistemului este supraamortizat; 0 < < 1 rspunsul sistemului este oscilant amortizat (cazul cel mai general).

Pentru cazul cnd 0

- 20 -

Eroarea staionar este nul 0== stst yr , styr = .

Fig. 3.11. Rspunsul indicial al sistemului de ordinul doi. Eroarea staionar este nenul.

Eroarea staionar este diferit de zero 0= stst yr , styr .

Performana regimului staionar Eroarea staionar impus unui sistem de reglare poate fi 0=st , sau poate fi

de forma impusstst

(exprimat n procente, prin raportare la valoarea yst). Permite aprecierea calitii regimului staionar al sistemului automat, sau cu alte cuvinte caracterizeaz precizia sistemului de reglare:

100[%] ==st

stststst y

yryr (3.18)

Performanele regimului tranzitoriu Suprareglarea (abaterea dinamic maxim) reprezint depirea maxim de

ctre mrimea de ieire y a valorii de regim staionar yst. Se noteaz cu i conform figurii (3.11) = 1 .

ymax

yst

1

y1,w1

12

3st

t

w

y1 r1

r1

tt

- 21 -

100[%] maxmax ==st

stst y

yyyy (3.19) Factorul de amortizare are o influen hotrtoare asupra amortizrii

regimului tranzitoriu, ceea ce a determinat i denumirea acordat acestui factor. Suprareglarea este determinat numai de factorul . Se anuleaz derivata de ordinul

nti a rspunsului indicial n raport cu timpul 0)(1

=dt

tdy , determinndu-se momentele

de maxim i minim ale rspunsului indicial, printre care i tmax, timpul la care apare suprareglarea . nlocuind tmax n (3.17) se obine ymax i considernd yst = 1, din (3.19) rezult expresia pentru calculul suprareglrii sistemului de ordinul doi:

21

= e (3.20) confirmndu-se faptul c suprareglarea sistemului de ordinul doi depinde numai de i nu depinde de pulsaia natural n . Pentru o calitate bun o regimului tranzitoriu, care s asigure o rezerv suficient de stabilitate sistemului de reglare i s evite suprasolicitri ale instalaiei tehnologice prin depiri importante ale valorii prescrise n cursul variaiei mrimii reglate, performana impus suprareglrii este de forma:

imp. (3.21)

Durata regimului tranzitoriu (tt) denumit i timp de rspuns reprezint intervalul de timp dintre nceputul procesului tranzitoriu i momentul n care valoarea absolut a diferenei y yst scade sub o anumit limit fixat, fr a mai depi ulterior aceast limit.

styy - limita fixat (3.22) De cele mai multe ori n practic se adopt = 0,05yst , deci un domeniu de 5% n jurul valorii staionare. Astfel, tt se calculeaz punnd aceast condiie n (3.17)

- 22 -

95,0)1sin(1

1 22

=+

tn

t

tetn

(3.23)

considernd cazul cel mai defavorabil atunci cnd

1)1sin( 2 =+ tn t (3.24)

i rezolvnd ecuaia (3.23) se obine

n

tt

= )105,0ln(

2

(3.25)

sau aproximativ

n

tt 4

(3.26)

n scopul asigurrii rapiditii necesare desfurrii procesului de reglare

automat, pentru timpul tranzitoriu se impune o performan de forma: impust tt (3.27) Gradul de amortizare () se exprim prin raportul ntre dou pulsuri de acelai semn ale regimului tranzitoriu

impus

== 31

3 (3.28)

Gradul de amortizare exprim descreterea abaterilor la un sistem oscilant amortizat. Timpul de ntrziere este definit ca timpul necesar mrimii de ieire s creasc de la zero la 0,5yst . Timpul de cretere reprezint timpul necesar evoluiei rspunsului n domeniul (0,1 0,9)yst .

- 23 -

Performanele sistemului de ordinul doi pentru rspunsul la o variaie

treapt a unei perturbaii

Un sistem de ordinul doi poate avea structura de reglare clasic cu un singur regulator ca n figura 3.12, n care perturbaia p reprezint o mrime de intrare. Referina r se consider constant la valoarea impus, iar perturbaia p variaz sub forma unei trepte unitare.

Fig. 3.12. Sistem de ordinul doi supus aciunii perturbaiei.

Spre deosebire de reprezentrile rspunsurilor indiciale pentru variaii treapt

ale referinei r, aici mrimile de intrare i de ieire nu mai sunt nule pentru t < 0. Dac s-ar considera intrarea i ieirea nule pentru t < 0, aceasta ar atrage yst = 0 i performanele regimului tranzitoriu nu ar mai putea fi exprimate n procente.

Fig. 3.13. Rspunsuri ale sistemului de ordinul doi pentru intrri treapt ale

perturbaiei. Eroarea staionar este nul, respectiv nenul.

p +

_ yr

R E P

T

r + y C

u m y + R E P

vv

y y

1 1

w,yst

yst yst

stw yst

t t

p p

rr,yst

- 24 -

Performana regimului staionar. Eroarea staionar stst yr = poate fi de forma

0=st (3.29) fie de forma

impusst (3.30)

Performanele regimului tranzitoriu cele mai importante sunt abaterea maxim i durata regimului tranzitoriu.

Abaterea maxim () reprezint depirea maxim a valorii staionare de ctre mrimea de ieire

=ymax - yst (3.31) sau n procente

[ ] 100% max =st

st

yyy (3.32)

Condiia impus este de forma

impus (3.33) Durata regimului tranzitoriu (tt) se definete ca i n cazul rspunsului la o variaie treapt a mrimii de referin r, iar condiia impus este timpust tt (3.34)

3.5. Algebra funciilor de transfer

Algebra funciilor de transfer cuprinde un grup de reguli care permit ca avnd funciile de transfer ale mai multor elemente componente s se determine funcia de transfer a ansamblului, respectiv a unui element echivalent cu ntregul ansamblu. Echivalena const n faptul c pentru acelai semnal aplicat la intrarea ansamblului i la intrarea elementului echivalent, rspunsurile ansamblului i elementului echivalent vor fi identice.

- 25 -

3.5.1. Conexiunea serie (cascad)

Mai multe elemente sunt legate n serie dac semnalul de ieire al fiecruia este

aplicat la intrarea elementului urmtor. Pentru uurina echivalrii se consider exemplul a trei elemente legate n serie (fig. 3.14).

Fig. 3.14. Grup de trei elemente legate n serie echivalate cu un singur element.

Se cunosc funciile de transfer ale elementelor componente A, B, C

)()()(

)()(

)()()()(

3

4

2

3

1

2

sXsXsH

sXsX

sHsXsXsH CBA === (3.35)

Se caut funcia de transfer a ntregului ansamblu definit prin

)()()(

1

4

sXsXsH = (3.36)

Din funciile de transfer (3.35) ale elementelor componente rezult: )()()()()()()()()()( 1234 sXsHsHsHsXsHsHsXsHsX ABCBCC === (3.37) nlocuind X4(s) n funcia de transfer (3.34) a ntregului ansamblu H(s) se obine:

)()()()(

)()()()()(

1

1 sHsHsHsX

sXsHsHsHsH CBAABC == (3.38)

HB(s) HC(s) X4(s) X3(s) X2(s) X1(s)

HA(s)

H(s) X1(s) X4(s)

- 26 -

Funcia de transfer a unui ansamblu de trei elemente legate n serie este deci egal cu produsul funciilor de transfer ale elementelor respective. n cazul general, cnd sunt conectate n serie n elemente, funcia de transfer a elementului echivalent conexiunii serie este urmtoarea:

=

=n

ii sHsH

1

)()( (3.39)

Condiia de unidirecionalitate care trebuie s fie respectat este urmtoarea: pentru ca mai multe elemente s fie considerate legate n serie, este necesar ca fenomenele care au loc ntr-un element s nu exercite nici o influen asupra elementului precedent, ci numai asupra elementului urmtor.

3.5.2. Conexiunea paralel

Mai multe elemente sunt legate n paralel dac primesc acelai semnal de intrare, iar semnalele de ieire se sumeaz. Pentru uurina echivalrii se consider exemplul a trei elemente legate n paralel (fig. 3.15).

Fig. 3.15. Grup de trei elemente legate n paralel echivalate cu un singur element.

Xi(s) X5(s)=X2(s)+X3(s)+X4(s)

HA(s)

HB(s)

X4(s)

X1(s)

X1(s)

X1(s)

X2(s)

X3(s)

HC(s)

H(s) X1(s) X5(s)

++

+

- 27 -

Cunoscnd funciile de transfer ale elementelor componente A, B, C

)()(

)()()(

)()()(

)(1

4

1

3

1

2

sXsXsH

sXsX

sHsXsXsH CBA === (3.40)

se caut funcia de transfer H(s) a ntregului ansamblu

)()(

)(1

5

sXsX

sH = (3.41)

nlocuind pe X5(s) n expresia lui H(s):

)(

)()()()()()()(

)()()()(

1

111

1

432

sXsXsHsXsHsXsH

sXsXsXsXsH CBA ++=++=

)()()()( sHsHsHsH CBA ++= (3.42) Funcia de transfer a unui ansamblu de trei elemente legate n paralel este egal cu suma funciilor de transfer ale elementelor respective.

n cazul general, cnd sunt conectate n paralel n elemente, funcia de transfer a elementului echivalent conexiunii paralel este urmtoarea:

)()(1

sHsHn

ii

== (3.43)

3.5.3. Conexiunea cu reacie

n cazul conexiunii cu reacie (fig. 3.16), semnalul de la ieirea elementului

HA(s) este adus pe o cale invers de transmitere napoi spre intrarea elementului, direct sau prin intermediul unui alt element B. Reacia poate fi pozitiv sau negativ dup cum semnalul adus napoi la intrare se sumeaz sau se scade cu semnalul de intrare aplicat din exterior.

- 28 -

)()(

)()()(

)(3

4

2

3

sXsX

sHsXsX

sH BA == (3.44)

Fig. 3.16. Sistem n conexiune cu reacie. Din relaia lui HB(s) se obine X4(s)=HB(s) X3(s) (3.45) Comparatorul din conexiunea cu reacie realizeaz diferena X2(s)=X1(s)X4(s), din care se obine X1(s)=X2(s)+X4(s) (3.46) Funcia de transfer a ntregului ansamblu este definit:

)()(

)(1

30 sX

sXsH = (3.47)

Numitorul funciei de transfer H0(s) se nlocuiete din relaia (3.46), apoi X4(s) se nlocuiete din relaia (3.45), se ine seama de relaiile (3.44) i se obine:

HA(s)

HB(s) X3(s)

X1(s)

X4(s)

X2(s) X3(s) X3(s)

H0(s) X3(s) X1(s)

+

_

)()(1

)()(

)()()(

)()(

)()()()(

2

4

2

3

2

42

2

3

42

30

sXsX

sXsX

sXsXsX

sXsX

sXsXsXsH

+=+=+=

- 29 -

)()(1

)(

)()()(1

)()(

)(

2

3

2

3

0 sHsHsH

sXsXsH

sXsX

sHBA

A

B +=+=

expresia funciei de transfer a sistemului n circuit nchis, conexiune cu reacie negativ. Pentru cazul unei reacii pozitive se obine:

)()(1

)()(0 sHsHsHsH

BA

A

= (3.49)

n cazul unui sistem (fig. 3.17) n conexiune cu reacie negativ direct, HB(s)=1, rezult:

)(1

)()(0 sHsHsH

A

A

+= (3.50)

Fig. 3.17. Sistem n conexiune cu reacie negativ unitar (direct).

3.5.4. Funcia de transfer a sistemului n circuit deschis i a sistemului n circuit nchis

Fie urmtorul sistem automat (fig. 3.18) pentru care s-a adoptat structura de reglare clasic cu un singur regulator, unde traductorul se consider ideal HT(s)=1.

Sistemul este n circuit deschis (n bucl deschis) dac lipsete reacia. Funcia de transfer a cii directe (sistemul n circuit deschis) se definete

(3.48)

X1(s) X2(s) X3(s) X3(s)

X3(s)

HA(s) +

-

- 30 -

)()()(

sEsYsH d = (3.51)

Fig. 3.18. Sistem automat n circuit nchis.

iar funcia de transfer a sistemului n circuit nchis se definete

)()()(0 sR

sYsH = (3.52) Funcia de transfer a regulatorului, a elementului de execuie i a procesului sunt:

)()()(;

)()()(;

)()()(

sMsYsH

sUsMsH

sEsUsH pER === (3.53)

Funcia de transfer a cii directe (sistem n circuit deschis) se obine sub forma: )()()()( sHsHsHsH pERd = (3.54) fiind o structur de elemente conectate n serie (cascad). Structura sistemului automat poate fi reprezentat ca n figura 3.19.

Fig. 3.19. Sistem automat la care se evideniaz funcia de transfer a cii directe.

Se va calcula acum funcia de transfer a sistemului n circuit nchis cu reacie unitar (traductor cu funcia de transfer HT(s)=1).

R(s) Y(s) M(s) HE(s) Hp(s) U(s)HR(s)

E(s) +

-

Hd(s) Y(s) R(s) E(s) +

-

- 31 -

)(1

)(

)()(1

)()(

)()()(

)()()(0 sH

sH

sEsY

sEsY

sYsEsY

sRsYsH

d

d+=+

=+== (3.55)

n cazul n care pe calea de reacie exist un traductor a crui funcie de transfer este HT(s)1, reacia nu mai este unitar (fig. 3.20).

Fig. 3.20. Sistem automat cu reacie neunitar. Funcia de transfer a sistemului n circuit nchis devine:

)()(1)(

)()(1

)()(

)()()()(

)()()(

)()()(

sHsHsH

sEsYH

sEsY

sYsHsEsY

sYsEsY

sRsYsH

Td

d

T

Tr

+=+=

=+=+==

(3.56)

Yr(s)

R(s) Y(s)M(s) HE(s) Hp(s) U(s)HR(s)

E(s)

HT(s)

+

-