cap2_sisteme_diferentiale

7/31/2019 Cap2_Sisteme_diferentiale

1/20

Capitolul 2

Cuprins

0.1. Sisteme de ecuatii diferentiale de ordinul ntai

0.1.1. Notiuni fundamentale

0.1.2. Sisteme diferentiale liniare cu coeficienti constanti

0.1.3. Integrale prime. Sisteme simetrice

0.1 Sisteme de ecuatii diferentiale de ordinul

ntai

In cazul unor fenomene mai complexe, ntalnite n diverse domenii, modelulmatematic nu mai este format doar dintr-o singura dependenta ntre o functienecunoscuta si derivatele acesteia pana la un anumit ordin, ci din mai multeastfel de dependente, cu mai multe functii necunoscute si cu derivatele lor deordinul ntai, sau mai general, de ordinul n. Aceste dependente au condus lanotiunea de sistem de ecuatii diferentiale.

0.1.1 Notiuni fundamentaleFie yi(x), i = 1, . . . , n, n functii de variabila independenta x I R siyi = y

i(x), i = 1, . . . , n, derivatele de ordinul ntai ale acestora.

Definitia 0.1.1. n relatii de forma

F1(x, y1(x),...,yn(x), y

1(x),...,y

n(x)) = 0F2(x, y1(x),...,yn(x), y

1(x),...,y

n(x)) = 0.............................................

Fn(x, y1(x),...,yn(x), y

1(x),...,y

n(x)) = 0

(0.1.1)

1


2/20

CAPITOLUL 2. Sisteme de ecuatii diferentiale 2

unde functiile Fi, i = 1, . . . , n , sunt definite pe domeniulD R2n+1, definesc

un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul ntai.

Sistemul (0.1.1) este forma generala a unui sistem de ecuatii diferentialede ordinul ntai. In plus, daca sistemul (0.1.1) se poate rezolva n raport cuyi = y

i(x), i = 1, . . . , n, adica

y1(x) = f1(x, y1(x),...,yn(x))y2(x) = f2(x, y1(x),...,yn(x))

...............................

yn(x) = fn(x, y1(x),...,yn(x))

(0.1.2)

unde functiile fi, i = 1, . . . , n , sunt definite pe domeniul Rn+1, atunci

sistemul (0.1.2) este forma normala a unui sistem diferential de ordinul ntai.

Definitia 0.1.2. Se numeste solutie a sistemului (0.1.1), un sistem formatdin n functii i = i(x), i = 1, . . . , n, definite si derivabile pe I R care,mpreun a cu derivatele i =

i(x), i = 1, . . . , n , verifica identic sistemul(0.1.1), adica

Fi(x, 1(x),...,n(x),

1(x),...,

n(x)) = 0, (0.1.3)

() x I si i = 1, . . . , n .

Definitia 0.1.3. Se numeste problema Cauchy relativa la sistemul (0.1.2)ansamblul format din sistemul (0.1.2) cu conditiile initiale:

y1(x0) = y01

y2(x0) = y02

............

yn(x0) = y0n

(0.1.4)

si const a n determinarea unei solutii particulare care verifica (0.1.2), undex0, y

0i , i = 1, . . . , n, sunt numere date.

Deci, problema Cauchy pentru sisteme diferentiale de ordinul ntai este

y1(x) = f1(x, y1(x),...,yn(x))y2(x) = f2(x, y1(x),...,yn(x))

...............................

yn(x) = fn(x, y1(x),...,yn(x))y1(x0) = y

01

y2(x0) = y02

.............

yn(x0) = y0n

(0.1.5)


3/20


Definitia 0.1.4. n functii

y1 = 1(x, c1,...,cn)y2 = 2(x, c1,...,cn)

......................

yn = n(x, c1,...,cn)

(0.1.6)

dau solutia generala a sistemului (0.1.2) daca 1, 2, ..., n este solutie asistemului (0.1.2), () c1, c2, . . . , cn R, iar problema Cauchy (0.1.5) admitesolutie unica.

Exemplul 0.1.1. Consideram sistemul diferential de ordinul ntai, sub formagenerala

F1(x, y1(x), y2(x), y1(x), y2(x)) = 0F2(x, y1(x), y2(x), y

1(x), y

2(x)) = 0,

n necunoscutele y1(x) si y2(x), unde F1(x, y1, y2, y

1, y

2) = 2y1 + y2 y

1 siF2(x, y1, y2, y

1, y

2) = y1 + 2y2 y

2 . Sau, scris sub forma normala,y1 = 2y1 + y2y2 = y1 + 2y2

1. Aratam ca

1(x) = e

x

2(x) = ex este o solutie a sistemului dat. Intr-

adevar,1(x) = ex

2(x) = ex

ex = 2ex ex

ex = ex 2ex

1(x) = 21(x) 2(x)2(x) = 1(x) 22(x)

.

2. Aratam ca

y1 = 1(x, c1, c2) = c1e

x + c2e3x

y2 = 2(x, c1, c2) = c1ex + c2e

3x este solutia generala

a sistemului dat. Din

1 = c1e

x + 3c2e3x

2 = c1ex + 3c2e

3x , rezultac1e

x + 3c2e3x = 2c1e

x + 2c2e3x c1e

x + c2e3x

c1ex + 3c2e

3x = c1ex + c2e

3x 2c1ex + 2c2e

3x , care arata ca

1(x) = 21(x) 2(x)2(x) = 1(x) 22(x)

, adica 1 si 2 este solutie a sistemului.

Ca sa fie solutie generala trebuie sa aratam si faptul ca problema Cauchy

y1 = 2y1 + y2y2 = y1 + 2y2

y1(0) = 1y2(0) = 1

admite solutie unica. Intr-adevar, conditiile

y1(0) = 1(0, c1, c2) = c1 + c2 = 1

y2(0) = 2(0, c1, c2) = c1 + c2 = 1dau solutia unicac1 = 1 sic2 =

0, i.e. unicitatea solutiei poblemei Cauchy. Deci, 1, 2 este solutie generalaa sistemului.


4/20


Consideram acum ecuatia diferentiala de ordinul n

y(n) = f(x,y,y, . . . , y(n1)). (0.1.7)

si introducem functiile necunoscute yi(x), i = 1, . . . , n, astfel ncat

y1(x) = y, y2(x) = y, . . . , yn(x) = y

(n1). (0.1.8)

Ecuatiile (0.1.7) si (0.1.8) conduc la sistemul de n ecuatii diferentiale deordinul ntai

y1 = y2y2 = y3..........

yn1 = ynyn = f(x, y1, y2, . . . , yn)

. (0.1.9)

Deci, studiul unei ecuatii diferentiale de ordinul n, sub forma normala sereduce la studiul unui sistem de n ecuatii diferentiale de ordinul ntai.

Invers, consideram sistemul (0.1.2) pe care o sa-l reducem la o ecuatiediferentiala de ordinul n, sub forma normala. Alegem, spre exemplu primaecuatie a sistemului (0.1.2)

y1(x) = f1(x, y1(x),...,yn(x))

pe care o derivam de (n 1) ori, n raport cu x:y1 =

f1x

+ f1y1

y1 + ... +f1yn

yn =f1x

+ f1y1

f1 + ... +f1yn

fn y1 = F2(x, y1,...,yn);y1 =

F2x

+ F2y1

y1 + ... +F2yn

yn =F2x

+ F2y1

f1 + ... +F2yn

fn y1 = F3(x, y1,...,yn);.......

y(n)1 =

Fn1x

+ Fn1y1

y1 + ... +Fn1yn

yn =Fn1x

+ Fn1y1

f1 + ... +Fn1yn

fn

y(n)1 = Fn(x, y1,...,yn);

Daca D(f1,F2,F3,...,Fn1)D(y2,...,yn)

= 0, din sistemul

y1 = f1(x, y1,...,yn)y1 = F2(x, y1,...,yn)

.......................

y(n1)1 = Fn1(x, y1,...,yn)

.

se pot afla y2,...,yn n functie de x, y1, y

1, ..., y(n1)1 . Inlocuind apoi pe y2,...,yn

n ecuatia y(n)1 = Fn(x, y1,...,yn) rezulta

y(n)1 = F(x, y1, y

1..., y(n1)1 ) (0.1.10)


5/20


adica o ecuatie diferentiala de ordinul n n necunoscuta y1(x).

Din modul cum a fost obtinut sistemul (0.1.9) se vede ca:1. daca y(x) este solutie a ecuatiei (0.1.7), atunci yi(x), i = 1, . . . , n, este

solutie a sistemului (0.1.9);2. si reciproc, daca yi(x), i = 1, . . . , n, este solutie a sistemului (0.1.1),

atunci y1(x) este solutie a ecuatiei (0.1.10). Deci, este adevarata urmatoareateorema:

Teorema 0.1.1. Rezolvarea unei ecuatii diferentiale de ordinul n, sub formanormala este echivalenta cu rezolvarea unui sistem de n ecuatii diferentialede ordinul ntai.

Observatia 0.1.1. In ipotezele date, n baza teoremei 0.1.1 si a teoremeide existent a si unicitate a solutiei problemei Cauchy, asociata unei ecuatiidiferentiale de ordinul n, este asigurata existenta si unicitatea solutiei prob-lemei Cauchy (0.1.5).

Exemplul 0.1.2. Reducem la o ecuatie diferentiala, sistemulxy1 y2 = 0xy2 y1 = 0

, x = 0.

Derivand prima ecuatie a sistemului, obtinem y1 + xy

1 y

2 = 0, iar din a

doua ecuatie avem y

2 =

y1

x . Rezult a x2

y

1 + xy

1 y1 = 0, adica o o ecuatiediferentiala de ordinul 2 n y1.

0.1.2 Sisteme diferentiale liniare cu coeficienti constanti

Definitia 0.1.5. Sistemul (0.1.2) se numeste sistem de ecuatii diferentialeliniare cu coeficienti constanti daca functiile fi , i = 1, . . . , n , sunt functiiliniare n necunoscutele sistemului, adica

y1 = a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn + g1(x)y2 = a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn + g2(x)

.........................................yn = an1y1 + an2y2 + ... + annyn + gn(x)

(0.1.11)

unde aij, (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n,) sunt constante reale date, iar gi(x),i = 1, . . . , n, sunt functii continue.

Daca exista cel putin un indice i {1, 2, . . . , n} a.. gi(x) = 0, ()x,(0.1.11) se numeste sistem diferential neomogen, iar daca gi(x) = 0, () x sii = 1, . . . , n, (0.1.11) se numeste sistem diferential omogen.

Aplicand teorema 0.1.1 sistemului (0.1.11), obtinem:


6/20


Teorema 0.1.2. Rezolvarea sistemului (0.1.11) este echivalenta cu rezolvarea

unei ecuatii diferentiale de odinul n cu coeficienti constanti.

Exista mai multe metode de rezolvare a sistemelor (0.1.11). Vom exem-plifica n continuare metoda reducerii care deriva din teorema 0.1.2 si constan reducerea sistemului (0.1.11) la o ecuatie diferentiala liniara de ordinul n,cu coeficienti constanti.

Exemplul 0.1.3. Rezolvam problema Cauchy

x = y + t

y = x + et

x(0) = y(0) = 0.

Este vorba de un sistem liniar cu coeficienti constanti neomogen, n ne-cunoscutele x(t) si y(t). Il reducem la o ecuatie diferentiala de ordinul 2,cu coeficienti constanti neomogena, o rezolvam, iar n final vom impuneconditiile initiale.

Avemx = y + t x = y + 1

y = x + et

ecuatia diferentiala de ordinul 2,

cu coeficienti constanti, neomogena x x = et + 1. Ecuatia omogena aso-ciata x x = 0 admite solutia generala xo(t) = c1e

t + c2et. Pentru ecuatia

neomogena cautam o solutie particulara de forma xp(t) = atet + b.

Atunci,xp(

t) =

a(1

t)

et, xp(

t) =

a(

t 2)

et. Inlocuite n ecuatianeomogena dau, 2aet b = et + 1 si de aici rezulta a = 1

2si b = 1.

Deci, xp(t) = 12

tet 1, iar solutia generala a ecuatiei neomogene estex(t) = c1e

t + c2et 1

2tet 1.

Din a prima ecuatie a sistemului, y = x t ceea ce implica y(t) =c1e

t c2et 1

2(1 t)et. Deci, solutia generala a sistemului este

x(t) = c1et + (c2

12

t)et 1y(t) = c1e

t (c2 +12

12

t)et.

Impunand conditiile x(0) = y(0) = 1 x(0) = c1 + c2 = 1y(0) =

c1

c2 =

1

2

c1 =34

si

c2 =14

. Asadar, solutia problemei Cauchy estex(t) = 3

4et + ( 1

4 1

2t)et 1

y(t) = 34

et (34

12

t)et.

Exemplul 0.1.4. Determinam solutia generala a sistemului

y1 = 3y1 y2 + y3y2 = y1 + 5y2 y3

y3 = y1 y2 + 3y3


7/20


n necunoscutele y1(x), y2(x), y3(x).

Alegem prima ecuatie. Rezult a,

y3 = y

1 3y1 + y2 (0.1.12)

si y1 = 3y

1 y

2 + y

3, relatie n care nlocuim pe y

2, y

3 si y3 cu expresiile dinecuatiile a doua, a treia si prima ale sistemului. Obtinem relatia,

y2 =1

2(y1 + 7y

1 10y1), (0.1.13)

pe care o derivam si nlocuim apoi pe y2 cu expresia din ecuatia a doua a sis-temului. Rezult a o ecuatie diferentiala de ordinul 3, cu coeficienti constanti,

omogena, n functia necunoscuta y1(x):

y1 11y

1 + 36y

1 36y1 = 0,

cu solutia generalay1(x) = c1e

2x + c2e3x + c3e

6x

care, nlocuita n (0.1.13) day2(x) = c2e3x2c3e

6x. Mai departe, din (0.1.12)rezulta y3(x) = c1e

2x + c2e3x + c3e

6x. Deci, solutia generala a sistemuluieste

y1(x) = c1e

2x + c2e3x + c3e

6x

y2(x) = c2e3x 2c3e

6x

y3(x) = c1e2x + c2e3

x + c3e6x

.

Operatiile de eliminare sunt destul de lungi, asa cum s-a putut observan exemplele de mai sus. Prezentam n continuare o alta metoda de rezolvarea sistemelor liniare cu coeficienti constanti, (metoda vectorilor si valorilorproprii).

Rezolvarea sistemului omogen

y1 = a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn

y2 = a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn..................................

yn = an1y1 + an2y2 + ... + annyn

. (0.1.14)

Notam cu A matricea asociata sistemului (0.1.14), A := (aij)i,j=1,...,n.Faptul ca metoda eliminarii conduce la o ecuatie diferentiala de ordinul n,liniara cu coeficienti constanti care admite solutii de forma erx, sugeraza ca,si pentru sistemul (0.1.14) sa se caute solutii de forma

y1 = 1erx, y2 = 2e

rx, ....., yn = nerx.


8/20


Derivandu-le si nlocuindu-le n sistemul (0.1.14), obtinem sistemul alge-

bric liniar omogen, n necunoscutele i, i = 1, . . ,n:

(a11 r)1 + a122 + ... + a1nn = 0a211 + (a22 r)2 + ... + a2nn = 0

..................................

an11 + an22 + ... + (ann r)n = 0

(0.1.15)

cu matricea asociata M(r) := A rIn =

a11 r a12 ... a1na21 a22 r ... a2n... ... ... ...

an1 an2 ... ann r

.

Sistemul (0.1.14) trebuie sa admita si solutii nenule, ceea ce implica

D(r) :=

a11 r a12 ... a1n

a21 a22 r ... a2n... ... ... ...

an1 an2 ... ann r

= 0 (sau, altfel scris D(r) :=

det(ArIn) = 0), numita ecuatia caracteristicaa sistemului (0.1.15). Solutiileecuatiei caracteristice sunt valorile proprii ale matricei A.

In functie de natura radacinilor ecuatiei caracteristice D(r) = 0 distingemurmatoarele cazuri:

Cazul 1. Daca ri, i = 1,...,n, sunt radacini reale si distincte ale ecuatiei

caracteristice, atunci nlocuite (pe rand) in sistemul algebric (0.1.15) con-duc de fiecare data la cate un sistem in necunoscutele i, i = 1, . . ,n, curangM(ri) = n 1. Necunoscutele i, i = 1, . . ,n, corespunzatoare fiecareiradacina ri se determina, n afara unui coeficient de proportionalitate care,se ia egal cu 1.

Asadar, obtinem n solutii liniar independente de forma

y1 = i1erix, y2 = i2e

rix, ....., yn = inerix, i = 1, ..., n,

pe care le scriem matricealYi =

erixi1i2

...in

,

i= 1

, . . ,n. Atunci, solutia

generala a sistemului (0.1.15) este

Y =

y1y2...

yn

= c1Y1 + c2Y2 + ... + cnYn.


9/20



y1 = y1 y2 + y3y2 = y1 + y2 y3

y3 = 2y1 y2


Matricea asociata sistemului este A =

1 1 11 1 1

2 1 0

, si rezolvam

ecuatia caracteristica

det(A rI3) = 0

1 r 1 1

1 1 r 12 1 r = 0 r3 2r2 r + 2 = 0

cu radacinile reale si distincte r1 = 1, r2 = 1 si r3 = 2. Corespunzatorfiecarei radacini a ecuatiei caracteristice vom determina solutiile nenule ale

sistemului algebric

(1 r)1 2 + 3 = 01 + (1 r)2 3 = 0

21 2 r3 = 0.

Pentru r1 = 1, sistemul este

2 + 3 = 01 3 = 0

21 2 3 = 0, iar 1 = 2 = 3 =

1 este o solutie a acestuia. Rezulta Y1 = ex 11

1

.Pentru r2 = 1, sistemul este

21 2 + 3 = 01 + 22 3 = 021 2 + 3 = 0

, si admite solutia

1 = 1, 2 = 3, 3 = 5. Rezulta Y2 = ex

13

5

.

Pentru r3 = 2, avem sistemul1 2 + 3 = 0

1 2 3 = 021 2 23 = 0

, cu o solutie 1 =

1, 2 = 0, 3 = 1 si deci, Y3 = e2x

10

1

.

Obtinem solutia generala a sistemului:

Y =

y1y2

y3

= c1Y1+c2Y2+c3Y3 = c1ex

11

1

+c2ex

13

5

+c3e2x

10

1

,


10/20


y1(x) = c1e

x

c2ex

+ c3e2x

y2(x) = c1ex + 3c2e

x

y3(x) = c1ex + 5c2e

x + c3e2x

.

Cazul 2. Daca ecuatia caracteristica D(r) = 0 admite radacina com-plexa simpla r1 = + i, atunci admite si radacina r2 = i, , R.

Corespunzator acestora vom avea solutiile Y1 = e(+i)x

1112...

1n

si Y2 =

e(i)x

21

22...

2n

, unde 1k si 2k, k = 1,..,n, sunt numere complexe conju-gate. Scriind 1k = u1k + iv1k si aplicand formula lui Euler obtinem:

Y1 = e(+i)x

1112...

1n

= ex(cos x + i sin x)

u11 + iv11u12 + iv12

...

u1n + iv1n

= ex

u11 cos x v11 sin xu12 cos x v12 sin x

...u1n cos x v1n sin x

+ iex

u11 sin x + v11 cos xu12 sin x + v12 cos x

...u1n sin x + v1n cos x

= Y1 + iY

2 , unde Y

1 si Y

2 sunt solutii liniar independente ale sistemului(0.1.14).


y1 = 2y1 + 2y2 + 2y3y2 = 10y1 + 6y2 + 8y3

y3 = 3y1 y2 2y3



2 2 210 6 8

3 1 2

, si rezolvam


det(ArI3) = 0

2 r 2 2

10 6 r 83 1 2 r

= 0 r32r2+2r = 0 curadacinile r1 = 0, r2 = 1 + i si r3 = 1 i. Corespunzator fiecarei radacini a


11/20


ecuatiei caracteristice vom determina solutiile nenule ale sistemului algebric:

(2 r)1 + 22 + 23 = 0101 + (6 r)2 + 83 = 0

31 2 + (2 r)3 = 0.

Pentru r1 = 0, sistemul este

21 + 22 + 23 = 0101 + 62 + 83 = 0

31 2 23 = 0, iar 1 = 1,

2 = 1, 3 = 2 este o solutie a acestuia. Rezulta Y1 =

112

.

Pentrur2 = 1+i, sistemul este

(3 i)1 + 22 + 23 = 0101 + (5 i)2 + 83 = 0

31 2 + (3 i)3 = 0. Admite

solutia 1 = 1 i, 2 = 2, 3 = i. Rezulta

Y2 = e(1+i)x

1 i2

i

= ex(cos x + i sin x)

1 i2

i

= ex

cos x + sin x

2cos xsin x

+ iex

cos x + sin x

2sin x cos x

.

Obtinem Y2 = ex

cos x + sin x2cos x

sin x

si Y3 = ex

cos x + sin x2sin x

cos x

.

Solutia generala a sistemului este

Y =

y1y2

y3

= c1Y1 + c2Y2 + c3Y3

= c11

1

2+ c2ex

cos x + sin x2cos x

sin x + c3ex

cos x + sin x2sin x

cos x

y1(x) = c1 + c2ex(cos x + sin x) + c3e

x( cos x + sin x)y2(x) = c1 + 2c2e

x cos x + 2c3ex sin x

y3(x) = 2c1 + c2ex sin x c3e

x cos x.

Cazul 3. Daca ecuatia caracteristica D(r) = 0 admite radacina r = multipla de ordinul k. Distingem doua situatii:


12/20


a) Daca rangM() n k, solutia corespunzatore se determina re-

zolvand sistemul algebric (0.1.15). Obtinem k solutii liniar independente

Yj = ex

j1j2...

jn

, j = 1, . . ,k.


y1 = y2 + y3y2 = y1 + y3y3 = y1 + y2



0 1 11 0 1

1 1 0

, si rezolv am ecuatia

caracteristica

det(A rI3) = 0

r 1 11 r 11 1 r

= 0 r3 3r 2 = 0 cu radaciniler1 = 2, r2 = r3 = 1.

Pentru r1 = 2, sistemul algebric

r1 + 2 + 3 = 0

1 r2 + 3 = 01 + 2 r3 = 0

este

21 + 2 + 3 = 01 22 + 3 = 01 + 2 23 = 0

, iar1 = 2 = 3 = 1 este o solutie a acestuia.

Rezulta Y1 = e2x

11

1

.

Deoarece r2 = r3 = 1 este radacina multipla (de ordinul 2), calculam

rangul matriceiM(1) = 1 1 1

1 1 11 1 1

. ObtinemrangM(1) = 1 sink =

1. Deci, pentru r2 = r3 = 1 rezolvam sistemul algebric se reduce la o

singura ecuatie

1 + 2 + 3 = 01 + 2 + 3 = 01 + 2 + 3 = 0

, cu solutiile independente 1 = 1,

2 = 1, 3 = 0 si 1 = 1, 2 = 0, 3 = 1. Deci, Y2 = ex

11

0

si


13/20


Y3 = e

x 1

01

. Solutia generala a sistemului este

Y =

y1y2

y3

= c1Y1 + c2Y2 + c3Y3

= c1e2x

11

1

+ c2ex

11

0

+ c3ex

10

1

y

1(x) = c1e2x c2e

x + c3e

x

y2(x) = c1e2x + c2e

x

y3(x) = c1e2x c3e

x

.

b) Daca rangM() > n k atunci solutia sistemului (0.1.14), core-

spunzatoare lui , va fi de forma Y = ex

P1(x)P2(x)

...

Pn(x)

, unde Pk(x), k =

1, . . ,n, sunt polinoame de grad cel mult k 1.


y1 = y1 + y2y2 = y2 + 4y3

y3 = y1 4y3



1 1 00 1 4

1 0 4

, si rezolvam


det(A rI3) = 0

1 r 1 00 1 r 41 0 4 r

= 0 r3 + 6r2 + 9r = 0cu radacinile r1 = 0, r2 = r3 = 3.

Pentru r1 = 0, rezolvam sistemul algebric

1 + 2 = 02 + 43 = 0

1 43 = 0si obtinem

solu-ia 1 = 2 = 4 si 3 = 1. Rezulta Y1 =

44

1

.


14/20


Deoarece r2 = r3 = 3 este radacina multipla (de ordinul 2), calculam

rangul matricei M(3) =

2 1 00 2 41 0 1

. Obtinem rangM(3) = 2 > n k = 1. Deci, corespuzator radacinilor r2 = r3 = 3 avem solutii de forma

Y3 = e3x

a1 + a2xb1 + b2x

c1 + c2x

, iar coeficientii a1, a2, b1, b2, c1, c2 se determina

prin identificare, din ecuatiile sistemului:2a1 + a2 = b1; b2 = 2a2 = 2c2

2b1 + b2 = 4c1; c1 + c2 = a1

a1 = 1, a2 = c2 = 1, b1 =

1, b2 = 2, c1 = 0. Deci, Y3 = e3x 1 + x1 2x

x

= e3x 110

+e3x

x2x

x

= Z2 + Z3.

Solutia generala a sistemului este

Y =

y1y2y3

= c1Y1 + c2Z2 + c3Z3

= c1

441

+ c2e3x 11

0

+ c3e3x x2x

x

y1(x) = 4c1 + c2e3x + c3xe

3x

y2(x) = 4c1 c2e3x 2c3xe

3x

y3(x) = c1 + c3xe3x

.

Rezolvarea sistemului liniar neomogen

Rezolvarea sistemului (0.1.11) consta n determinarea solutiei generale Yo asistemului liniar omogen asociat (0.1.14) si a unei solutii particulare Yp asistemului (0.1.11). Solutia generala a sitemului (0.1.11) va fi Y = Yo + Yp.

1. Prin metoda variatiei constantelor se poate determina solutia generalaa sistemului neomogen cautand solutii pentru acesta de aceeasi forma cu

solutia generala a sistemului omogen Yo =

y1y2...

yn

= c1Y1 + c2Y2 + ... + cnYn,


15/20


dar n care c1, . . . , cn sunt functii de care depind de variabila x, iar derivatele

lor sunt solutii ale sistemului:

c1(x)Y1 + c

2(x)Y2 + ... + c

n(x)Yn =

g1(x)g2(x)

...

gn(x)

.

2. Prin metoda coeficientilor nedeterminati se poate determina Yp.Daca gi(x) = e

xPi(x)cos x + exQi(x)sin x, i = 1, . . . , n , cu Pi(x),

Qi(x) polinoame de grad cel mult m, atunci se aplica aceleasi reguli ca ladeterminarea solutiei particulare a ecuatiilor liniare cu coeficienti constanti

de ordin superior.

0.1.3 Integrale prime

Consideram sistemul de ecuatii diferentiale de ordinul ntai sub forma nor-mala (0.1.2), unde functiile fi : R

n+1 R, i = 1, . . . , n , admit derivatepartiale de ordinul ntai fi

x, fi

yj, (i, j = 1,...,n) continue pe domeniul .

Solutia generala a acestuia este data n (0.1.6).

Definitia 0.1.6. Functia : Rn+1 R, = (x, y1,...,yn), cux ,

yi , i = 1, . . . , n , continue pe , se numeste integrala prima a sis-

temului (0.1.2) daca pentru orice solutie yi = i(x), i : I R R,i = 1, . . . , n , a sistemului (0.1.2), (x, 1,...,n) este constanta pe I, (i.e.,(x, 1,...,n) = c, unde c R).

Cand se cunoaste solutia generala (0.1.6), rezolvand sistemul (0.1.6) nraport cu constantele c1, c2, . . . , cn, se obtin integrale prime. In cazul n carenu se cunoaste solutia generala a sistemului (0.1.2), apar n mod naturalproblemele:

exista vre-un criteriu prin care putem verifica daca o functie este inte-

grala prima?

cum se pot determina integrale prime?

cate integrale prime dau solutia generala a sistemului (0.1.2)?

In continuare, vom gasi raspunsul la ntrebarile formulate.


16/20


Sisteme simetrice

Definitia 0.1.7. Se numeste sistem simetric un sistem de ecuatii diferentialede ordinul ntai, scris sub forma

dx1

g1(x1,...,xn)=

dx2

g2(x1,...,xn)= ... =

dxn

gn(x1,...,xn)(0.1.16)

unde functiile gi : D Rn R, i = 1, . . . , n , admit derivate partiale de

ordinul ntai continue pe D si nu se anuleaza simultan pe D, (i.e.,n

i=1

g2i (x1,...,xn) = 0, (x1,...,xn) D).

Vom arata ca sistemul (0.1.2) se poate scrie sub forma simetrica. Intr-

adevar,

(0.1.2)

dy1dx

= f1(x, y1(x),...,yn(x))dy2dx

= f2(x, y1(x),...,yn(x))............................

dyndx

= fn(x, y1(x),...,yn(x))

dy1f1(x,y1(x),...,yn(x))

= dx1

dy2f2(x,y1(x),...,yn(x))

= dx1

.....................dyn

fn(x,y1(x),...,yn(x))= dx

1

.

Rezulta,

dy1

f1(x, y1,...,yn)=

dy2

f2(x, y1,...,yn)= ... =

dyn

fn(x, y1,...,yn)=

dx

1. (0.1.17)

Deci, sistemul (0.1.2) se scrie sub forma unui sistem simetric cu ( n + 1)

rapoarte.

Exemplul 0.1.9. Scriem sistemul

y = zx

yz

z = xyyz

sub forma simetrica:dy

dx= zx

yzdzdx

= xyyz

dy

zx= dx

yzdzxy

= dxyz

dxyz

= dyzx

= dzxy

.

Invers, sistemul simetric (0.1.16) se poate scrie sub forma normala. Sefixeaza una dintre variabilele xi , i = 1, . . . , n , ca variabila independenta,spre exemplu xn , daca gn = 0 si avem

(0.1.16) dx1dxn

= g1gn

, dx2dxn

= g2gn

, ..., dxn1dxn

= gn1gn

x1 =g1gn

x

2 = g2gn.........

xn1 =gn1gn

, adica

un sistem normal de (n 1) ecuatii n necunoscutele xi(xn), i = 1, . . . , n 1.Mentionam ca scrierea sistemului (0.1.2) sub forma simetrica permite

determinarea integralelor prime. Insa, apare o alta problema si anume, cateintegrale prime admite sistemul (0.1.16)?

Urmatoarea teorema ne da un criteriu prin care putem verifica daca ofunctie este integrala prima a sistemului simetric (0.1.16).


17/20


Teorema 0.1.3. Conditia necesara si suficienta ca functia F : D Rn

R, F = F(x1, x2, . . . , xn), cu Fxi , i = 1, . . . , n , continue pe D, sa fie integralaprima a sistemului simetric (0.1.16) este

ni=1

gi(x1,...,xn)F

xi= 0, (x1,...,xn) D. (0.1.18)

Exemplul 0.1.10. Consideram sistemul simetric dxy

= dyx

= dzu

= duz

.

Verificam daca functiile F(x , y , z , u) = yz ux si G(x , y , z , u) = xy uzsunt integrale prime ale acestuia.

F(x , y , z , u) = yz ux este integrala prima y Fx

xFy

+uFz

z Fu

= 0

y(u) xz + yu z(x) = 0.G(x , y , z , u) = xy uz este integrala prima y G

xxG

y+uG

zz G

u= 0

y2 x2 u2 + z2 = 0, x, y, z, u, ceea ce este fals. Deci, doar functiaF(x , y , z , u) = yz ux este integrala prima.

Consideram k integrale prime ale sistemului (0.1.16), definite pe o vecinatatea punctului x = (x1, x

2,...,x

n) D:

F1(x1, x2, . . . , xn), F2(x1, x2, . . . , xn),..., Fk(x1, x2, . . . , xn), k 2. (0.1.19)

Definitia 0.1.8. Integralele prime (0.1.19) se numesc independente n punc-

tul x daca matricea iacobiana

Fj

xi(x)

j=1,...,ki=1,...,n

=

F1x1 ... F1xn... ... ...

Fkx1

... Fkxn

(x)

are rangul k.

Teorema 0.1.4. Sistemul simetric (0.1.16) admite (n 1) integrale primeindependente, iar orice alta integrala prima a sistemului se scrie sub forma

F = (F1, F2,...,Fn1),

unde este o functie arbitrara care admite derivate partiale de ordinul ntai,continue.

Demonstratie. Consideram n integrale prime ale sistemului simet-ric (0.1.16): F1(x1, x2, . . . , xn), F2(x1, x2, . . . , xn), ..., Fn1(x1, x2, . . . , xn) siF(x1, x2, . . . , xn). Aplicand teorema 0.1.3 obtinem sistemul algebric, liniar


18/20


19/20


are rangul 2, deoarece 2x 2y0 2y

= 4xy = 0 sau 2y 02y 2z

= 4yz = 0sau

2x 00 2z = 4xz = 0, (x, y, z nu pot fi simultan nule).

Dar, de cele mai multe ori, rapoartele sistemului simetric (0.1.16) nu sepot integra direct si atunci se aplica metoda combinatiilor integrabile.

Teorema 0.1.5. Fie functiile i : D Rn R, i = i(x1,...,xn), i =

1, . . . , n , continue pe D. Daca1. 1 g1 + 2 g2 +... + n gn = 0 pe D si2. 1 dx1 + 2 dx2 +... + n dxn = dF(x1,...,xn) pe D., atunci functia

F : D Rn

R este o integrala prima a sistemului (0.1.16)Functiile i, i = 1, . . . , n, se gasesc cu ajutorul sistemului simetric (0.1.16),

folosind regulile proportiilor:

dx1

g1=

dx2

g2= ... =

dxn

gn=

1dx1

1g1=

2dx2

2g2= ... =

ndxn

ngn

=1dx1 + 2dx2 + ... + ndxn

1g1 + 2g2 + ... + ngn=

dF

0,

ceea ce implica dF(x1,...,xn) = 0. Mai departe, rezulta ca F(x1,...,xn) = ccare este o integrala prima a sistemului simetric (0.1.16).

Exemplul 0.1.12. Determinam integralele prime ale sistemului

dx

x(y z)=

dy

y(z x)=

dz

z(x y)

prim metoda combinatiilor integrabile.dx

x(yz)= dy

y(zx)= dz

z(xy)= dx+dy+dz

xyxz+yzzx+zxzy= d(x+y+z)

0

d(x + y + z) = 0 x + y + z = c1 F1(x , y , z) = x + y + z.dx

x(yz)= dy

y(zx)= dz

z(xy)= yzdx+xzdy+xydz

xyz(yz+zx+xy)= d(xyz)

0

d(xyz ) = 0 xyz = c2 F2(x , y , z) = xyz.

Matricea iacobianaF1x

F1y

F1z

F2x

F2y

F2z

=

1 1 1

yz xz xy

are rangul 2, deoarece

1 1yz xz = z(xy) = 0 sau

1 1xz xy = x(yz) = 0

sau

1 1yz xy = y(x z) = 0, (z(x y), x(y z), x(y z) nu pot fi simultan

nule).


20/20


Exemplul 0.1.13. Fie sistemul dxy2z2

= dyz

= dzy

. Din ultimele doua

rapoarte rezulta imediat o integrala prima, dyz =dzy y2 + z2 = c1

F1(x , y , z) = y2 + z2. Pentru cea de-a doua integrala prima avem

dxy2z2

= dyz

= dzy

= zdy+ydz(y2z2)

= dx+zdy+ydzy2z2(y2z2)

= d(x+yz)0

d(x + yz) = 0

x + yz = c2 F2(x,y,z) = x + yz. Matricea iacobianaF1x

F1y

F1z

F2x

F2y

F2z

=

0 2y 2z1 z y

are rangul 2, deoarece 0 2y1 z = 2y = 0 sau

2y 2zz y = 2(y2 z2) = 0

sau

0 2z1 y = 2z = 0.

Subliniem faptul ca n acest exercitiu, doar pentru determinarea luiF2(x,y,z)am folosit metoda combinatiilor integrabile.

Exemplul 0.1.14. Rezolvam sistemul simetric

dx

x(x + y)=

dy

y(x + y)=

dz

(x y)(2x + 2y + z).

Trebuie sa determinam dou a integrale prime independente. Din primele douarapoarte

dxx(x+y)

= dyy(x+y)

dxx

= dyy

xy = c1 F1(x,y,z) = xy.Pe de alta parte,

dxx(x+y)

= dyy(x+y)

= dz(xy)(2x+2y+z)

= dx+dy+dz(xy)(x+y+z)

sidx

x(x+y)= dy

y(x+y)= dz

(xy)(2x+2y+z)= dx+dy

(xy)(x+y). Din ultimele doua siruri

de rapoarte rezultadx+dy+dz

(xy)(x+y+z)= dx+dy

(xy)(x+y) d(x+y+z)

x+y+z= d(x+y)

x+y (x + y)(x + y + z) = c2

F2(x,y,z) = (x + y)(x + y + z). Matricea iacobiana

F1x

F1

y

F1

zF2x

F2y

F2z

= y x 0

2x + 2y + z 2x + 2y + z x + y

are rangul 2, deoarece

y x2x + 2y + z 2x + 2y + z = (xy)(2x+2y+z) =

0 sau

x 02x + 2y + z x + y = x(x + y) = 0 sau

y 02x + 2y + z x + y =

y(x + y) = 0.

cap2_sisteme_diferentiale

Documents