mecanica statica (2)

8/13/2019 Mecanica Statica (2)

1/71

. , , .. , , r , . , 'l , . ,. , - _

IOAN RADU

MECANICA

STATICA

Editura MIRTONTimigoara 2001


2/71

r.g.z. FruNcrprur- lcTruHrt roRTet

Forta care ac{ioneazi asupra unui corp ii imprimd acesluia oacceleratie dirijata dupd suportul sdu avdnd acelagi sens cu forta iar modululegal cu raportul dintre modulul fo(ei si masa corpului. Matematic putem scrie:

F

mExpresia vectorial6 a principiului acliuniifo(ei este:F=mE-

(1.1)

(1.2)

(1.4)

(1.5)

{

1.1. OBIECTUL MECANICII

Mecanica este o gtiinld a naturii care studiazd legile obiective aleechilibrului 9i migcdrii corpurilor materiate in scopul aplicdrii lor in activitateaproductivd a omului.

1.2. DlVlZluNlLE MECANICII

Din punct de vedere didactic mecanica se imparte in trei pdrtj:

1) statica - care studiazd echilibrul gorpurilor sub acliunea fo(elor;2) Cinematica - care studiazS migcarea corpurilor ldrd a line seama demasele gi fortele care actioneazd asupra corpurilor (studiazi geometriamigcdrii);3) Dinamica - care studiazd migcarel corpuriloflindnd seama de masele sifo(ele care aclioneazd asupra lor.

1.3. PRINCIPIILE MECANICII

1-3.1- PRINCIPIUL IT\iERTIEI

un corp tinde sd-gi pdstreze starea de repaus relativ sau de miscarerectilinie uniformd atdt timp c6t nu intervine o actiune mecanicd din exteriorcare si-i modifice aceaste stare.

1.3.3. PRINCIPIUL PARALELOGRAMULUI

Doui fortp care actioneazi simultan asupra unui corp au acelagi efectasupra corpului ca 9i o fo(a unicd avdnd mdrimea, direc{ia 9i sensuldiagonalei paralelogramului construit de cele doud fo(e (fig. 1.1.a).

n=E*E (1.3)Tn legdturd cu elementele paralelogramului OABC din geometrie sunt

cunoscute relaliile:R=

9i: tt_= = ,r== =_-Lsin < (R; F, ) sin < (R; Ft ) sin < (Fr; F, )Pentru suma fortelor E gi F, se mai poate folosi si regula triunghiului

(fig. 1.1.b). Astfel, la extemitatea fortpi E = oA se ataseazd fo4" E =Ee .Rezultanta R va avea originea in originea fo(ei F,, 9i extremitatea inextremitatea fo(ei F, (n = OC).

a)Fig. 1.1


3/71

Un sisJem de nedeformabilfald de care seraporteazd pozi{iile iul cu trei dimensiuni cel mai

frecvent sistem de r de referintd triortogonal drept(fig. 1.2.a).

Mecanica * Statica

Fig.2.1 Fig.2.2

Notalia vectorului se face printr-o literS cu barS deasupra (cu scopul de a

se deosebi de m6rimile scalare) sau cu un grup de doud litere cu bard deasupra'

2.1. CLASIFICAREA VECTORILOR I

, Mdrimile scalare gi mdrimile vectoriale fac parte din categoria mdrimilorfizice utilizate in mecanicd cu deosebitd importantd in tehnicS 9i practicd.

Mdrimile scatare - sunt acele merimi pentru a cdror determinare estesuficient sd se indice un numdr. Astfel putem enumeE aria unei suprafe{e,

temperatura,tura$a unui motor, etc.

Mdrimite vectoriate - sunt acele mirimi care sunt determinate deurmdtoarele elemente:- punct de aplica{ie;- directie;- sens;- modul (mdrime).

simbolul matematic atagat unei mdrimi vectoriale se numeste vector'conventional el fiind reprezentat geometric printr-ui segment de dreaptd orientat

(fis.2.1).

Fig.1.2

sistemul de referinld ine(ial este un sistem de referintd in repaus sau in

miscare de translatie r.""iilini"9i uniformd fa{d de _un alt sistem.dereferinld in

repaussauinmigcaredetranslalieuniformd.Convenlionalseadmitecasistem de referintp inerlial un sistem av6nd originea in soare si axeleorientate cdtre trei stele considerate fixe'

Migcarea raportata la un sistem de referinld considerat lix se numegte

absolutd, iar miscarea raportatd la un sistem de referintd mobil se numegte

migcare relativd.Parametrii geometrici independenti care determind pozitia unui sistem

materialinraportcuunsistemdereferintdsenumesccoordonategeneralizate.


4/71

Mmrnice r St*tic$De exernplu vetorul din figura 2.1 se psate ftota cu V o respctiv p$n AE

Conform defrni$ei. elernentele unui v'{or suni:- punctul de aplicalie - A {origineah- direclia - (a);

- sensul - (de la A sPre B);- modulut - V; lVl (valoarea numericd a segmentului AB).

Se definegte a versor sau yecfor unitate vectorul al cdrui modul esteegal cu unitatea. Oricdrei directii (A) i se poate atasa un vercor. in consecinli,notand cu E versorul direcliei (A) dupa care este dirijat vectorul v (fig. 2.2) sepoate scrie: {

lttecrricr o Stttistal vectori liberi (fig. 2.3) - sunt vec.{orii care pot evea pur}6tul de aplica$eoriErnde in cuprinsul unui sistern dal, dar igi pdstreazii modulul, direc$a 9l'sensul.

Exisilenla vectorilor liberi este o realitate materiaEl. Astfel considerSnd unsolid rigid in migcare de translalie in fiecare punct al sdu (A, 8...", E) viteza estedatd de un vec{or vitezd V, vec'torii virlezi al diferitelor puncte fiind paraleli, egalisi de acetagi sens, diferind numai prin punctul lor de aplicalie. lntreaga migcarede transla{ie a solidului rigid este complet determinatd de oricare dintre acestivectorivitezd V.b) veslaaJpsati - sunt vectorii ai cdror punct de aplicatie este fix. Un exemplude vector legat este vectorul fo(E aplicat unui punct material M (fig. 2' )'cl vectori alunecdtori - sunt vectorii la care punctul de aplicalie poate fi mutatoriunde pe suportul lor, directia, modulul si sensul rdmdndnd neschimbate.Exemplultipic al unui astfel de vector este forta aplicati asupra unui solid rigid(s), efectul ei fiind acelagi la deplasarea fo(ei pe dreapta suport (a) (fig. 2.5).

modul.O multime de vectori constituie un sistem de vectori. in functie de

caracterul acestora se disting sisteme de vectori liberi, legati, alunecdtori,fiecdruia fiindu-i specific un anumit mod de calcul. .

. 2.2. ALGEBRA VECTORILOR LIBERI2.2.1. ADUNAREA VECTORILOR.

Suma (rezuttanta)a doivectori liberi V. Ei %(ng. 2.6.a) este prin definitie

un vector V reprezentat in mirime, direbtje 9i sens prin diagonalaparalelogramului construit cu ceidoi vectori (regula paralelogramului) (fig. 2.6'bt.

Vectorul rezultant V poate fi oblinut 9i prin aplicarea regulei triunghiului careeste o variantd a regulei paralelogramului. in acest scop (fig. 2.6.c) seconstruiegte un vec{or echipolent cu V2 av6nd originea in exlremitateavectorului [,. UninO originea vectorului -\ cu extremitatea vectorului -\i se

V=V.a=lvl.cRezultd astfelcS:

U =-vOrice alt vector E avind aceeasi direciie cu (A) se poate exprima astfel:

E = a-E (2.3)unde a este modululvectorului d.in cazul in care vectorul d are acelagi sens cu versorul E, scalarul "a"

este pozitiv, iar dacd vectorul d este de sens opus versorului E, atunci scalarul"a" este negativ.

Realitatea fizicd conduce la identificarea a trei tipuri de vectori si anume:vectori liberi, legali gi alunec5tori.

(2.1)

(2.2)

F

M

n+v\*

Fig. 2.3 Fig.2.4


5/71

\4atx3iar,]tr* n };.lilhis'$ Vl $Uii,l nfi,u1ir *tc ;j"tl:r'ti':1,,',rrl

\lo'srtmrmrx i Mt$t[{-liir;iiiflr ri ,,$i idr[fl de,rnctr,s.r',m,lini /,r,,'s 5:r#{ .if'nln{ltr $ryf$btCe @Wnet*}lt$ a-

iii|lrltftiidr,$.i ./*{S#rftfu$'

a i,S$,r.Ilr4r$j'd{l#le'fi:

lV, " Vn i" V* ,, vn - ffo , tu ,{ ta-sjbi

cnn-rr.itativ,itate,a.

V,*4-4"q (2.6)Diferenla a doi vectori se obline adunand primul vector cu cel de-al doilea

vector luat cu semn schimbat (frg. 2.8).

2.2.2. iNMULTTREA UNU| VECTOR CU UN SCAI-AR

inmultirea unui vector V' cu un scalar "m'are ca rezultat oblinerea unuialt vector definit astfel:

V=rnVl (2.7)care are direc{ia lui Vr, acelasi sens sau de sens contrar dupd cum 'm' este

pozitiv (m > 0) sau negativ (m < 0), iar modulul sdu este egal cu valoareaabsolutd a scalarului "m" inmultitd cu modululvectorului -q 1ng- 2.S1.

v=q -q

I-Vzt

I Fig.2.8 Fig. 2.9

o

a)

b)

inmultirea unui vector cu un scalar are urmitoarele proprietdti:asociativitatea:

m(n[: mnVcomutativitatea:

mV=Vm

(2.8)

(2.e)

cd)tpre FB{.idul f'eJLdi'3till 'r' i.i+-r:ii V' ' iil '{.}r:i\-1,r?/ \r1Ltr S.flr C* t'I"ir:"biX',r",llul;;'*i3 [li,"ufr-Jl ir*, : i,iIA ii 85i{}

v? v." - v; " 2V,v, cos iV,:V, i

Modalitatea de calcul grafic al vectorului rezultant bazald pe regulatriunghiului poate li generalizatd pentru un numdr oarecare de vectori,construindu-se poligonul vectorilor echipolenti, astfel ca fiecare vector sd aibdoriginea in extremitatea vectorului precedent. Vectorul rezultiant V estesegmentul de inchidere al poligonului avdnd originea Tn originea primului vectorsi extremitatea in extremitatea ultimului vector (fig.2.7 -al.

Dacd in poligonul vectorilor echipolenli originea primului vector coincide cuextremitatea ultimului vector, vectorul rezultant este nul (fig. 2.7.b). Regula deinsumare a vectorilor este valabild atdt in plan c6t gi in spaliu.

O=An

Vn-t

An-t

v,Al

A"--'t

Fis.2.7


6/71

tr\{ecanice * Staticrc) distributivitatea fa.td de adunarea scalarilor si adunarea vectorilor:

(m+n)V=mV+nVL

m(Vr +Vr,l=mV1 +mV.

ab : Prr AB: Pro VSe constatd cd:

ab=PraV=VcosctAsadar, proiectia unui vector pe o axi reprezintd un scalar.relaliei (2.13) se constati urmdtoarele:

Proiectia vectorului V pe axa orientatd (A) de versor E, vectorul V si axa(A) fiind situate in acelasi plan, se obline proiectAnd originea 9i extremitateavectorului pe axa datd (fig.2.10).

Segmenfulab determinat pe axa (A) se noteazd:

Mccanica + Staticad) Proiec{ia este egald cu modulul vectorului dat atunci c6nd cr = 0

9i c, = n, respectiv c6nd vectorul este agezat pe axa orientatd sau este paralelcu ea. Semnul proiectiei este in aceste cazuri poziliv cdnd sensul vectoruluicoincide cu sensul axei (a=0) sau va fi negativ nd sensul vectorului estecontrar sensului axei (o = n ).

in cazul in care vectorul V gi axa orientatd (A) nu se afld in acelagi plan,proieclia vectorului V: AB pe axa orientatd (A) este segmentul ab de pe axaconsideratd cuprinsd intre punctele de interseclie a planelor [P"] 9i [P"]perpendiculare pe axa (A) trecSnd prin extremitSlile A 9i B ale vectorului(frg. 2.11). Aga cum rezultd din figura 2.1 1 mdrimea proiectiei se calculeazd totcu relatia (2.13) deoarece ab = AB'= Vcosa.

in cazul unui sistem de vectori se demonstreazd "teorema proiecliilor"care se enunte asffe| Proieclia vectorului rezultante De o axe este eoale cu

Pentru a demonstra teorema Se considerd un sistem de vectoriq,q,...,q $g.2.12). intre acegtivectori se poate scrie relalia:

R=q *% *...+-v.:iV,

An-tvn

An

(2.10)

(2.11\

(2.12',)

(2.13)Din examinarea

(2.14)

Fig. 2.10 Fig. 2.11

a) Proiectia vectorului este pozitivd atunci nd 0 < o .I deoarece este2

indreptati in sensulpozitiv al axei orientate;

b) Proiectia vectorului este negativd atunci nd 1< cr < 7r deoarece este2indreptati in sens contrar sensului pozitiv al axei orientate;

c) Proiectia este nuld atunci nd o =1 gi o ={, respectiv atunci cand2', 2'vectorul V este perpendiculat pe axa orientatd;

(a).o.i : I I I :a1 a2 a3 ?n-1 ?n

Fi1.2.12

Proiectdnd fiecare vector pe axa (A) oblinem valorile:


7/71

rrr[ilil[f,iltilIltrIlIrIMecanica * Statica Mecanica + Strtics

Pro(V.'): Oa'Pro (%) = ?1?z (2.15)

Pro(Vn):?n_r?nProiectdnd rezultanta R pe axa (A) avem:

Pro (R) = OdnDin construclia geometricd rezultd:

oan : oat + a1a2 +.-- + an-lansau:

Pro (n-) : Pto M) + Pro(V, ) + --- + Pro (V' )n_

Pro(R) = lPro(V')i=1

Rezulti, cd in cazul unui contur vectorial inchis, suma proieqilor vectorilorpe o axd este nuld.

2.2.4. DESGOMPUNEREA UNUI VECTOR

Operatia de descompunere a unui vector este inversul operaliei decompunere, re are labazd regula paralelogramului.

Se disting doud cazurisianume:

a) Descompunerea unuivector dupi doud direclii date

Fiind date directiile (Ar) gi (Ar) coplanare gi vectorul V, descompunereavectorului V Oupa aceste direclii presupune determinarea vectorilor V, Ei %

astfel inc6t (fig. 2.13):V=Vr+Vzin particular dacd (1.')= 9aOx siOy avem:

V,l =vr'i%:vr'j

unde:

Vz = Prov (V) : Vy = V sin ctAgadar, vectorul V are urmdtoarea expresie analiticd:

V= V.r'i+V,'J= v''i+V,'i

(2.24',)

(2.25)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.1s)

(2.20)

9i (Az)=Oy (fi9. 2-14) iar i si j suntversoriiaxelor

(2.21)(2.22)

(2.23)

b) Descompunerea unui vector dupi trei direcliiin spafiu

Fiind date direc$ile (ar), (AJ gi (Ae) in spatiu si vectorul V, componenteleacestuia de-a lunguldirecliilor menlionate sunt V.,,- ,% tng 2.15). Se observd

cd vectorul V este diagonala paralelipipedului oblic format cu Vr,Vr,V. astfelcd se poate scrie:

V=q*%*% (2.26)Dacd: (Ar)=Ox ; (Ar)=Oy ; (As)=Oz.; iar i,j,k sunt versorii axelor Ox, Oy, Oz,rezultd (fig.2.16):

V.l = V*iv, = vrj (2.27)% =v.x

unde:Vr:V, =Pro*(V)=VcosaVz:Vv =Proy(V):VcosP e'28)Vs =V. =Pro.(V)=VcosY

(a')

Fig.2.13

OixFig.2.14

rr (r,r\

V':Pro,(V)=V, =Vcosg


8/71

TI II II I L il [ [ il [ I I I I I I I I T I T

Mecanica t Static{ Mecanica + StsticrVr .V, = VrVz coscr (2.31)

Analiz6nd relalia (2.31)constatdm cd dacS:

0 < a.1 - produsulscalareste pozitiv;2

L. a


9/71

rre[ilililil[f,ilIrrrrrrrttMecanica * Statica Mecanica * Staticaaceea produsul vectorial al unui vector cu el insusi este nul (VxV:O).Produsul vectorial a doi vectori are urmdtoarele proprietiiti:a) asociativitatea:_\t(Vt

'-% )= .-V'

'V, = V' * .V,

-rVr , .r% = (mrm, {v-q " V, )b) anticomutativitatea:

q.% : -Fu, "V,,)c) distributivitatea fatd de adunarea vectorilor:

t_Vt x (V, +V.)= Vr "V, +V., xV. (2.42\)

2.2.5.3. PRODUSUL MIXT

Produsul mixt a trei vectori q,%,V. este produsur scarar ar unui vectorcu produsul vectorial al celorlalti doi si reprezintd un scalar avdnd valoareaegald cu volumul Vol al paralelipipedului construit cu cei trei vectori dati.Matematic putem scrie:

(2.3e)

(2.40)

(2.41)

v2u

o

Se considerd sistemul de referintd cartezian triortogonal drept (fig. 2.2O) lacare axele de coordonate Ox, Oy, Oz au versorii i,j,E. npticand proprietdtileprodusului scalar, vectorial si mixt intre versorii axelor se pot scrie urmdtoarelerelatii:

=t2:j2:i2 :tI. j:l.F= r.I=oi"j=[j'k:iF'i=J

(2.56)

si

Fig.2.18(2.54)

, (2.55)

{u'

jxi=-kk"J=-iirk=-j

(t

vr\"

q Fv, *-q): rvotFig.2j9

(2.43)

Fig.2.20 Fi1.2.21

(2.57)


10/71

- L I L IT U I I I I rUMecgnics * Statica

Mecanica * Statica(2.58)

fi.i E)=(E i I):[, r.])=-' (2.5e)

Dacd u este versorul vectorului v Ei v,,vy,v, sunt proiec(iile vectoruluiV pe axele Ox, Oy, Oz, iar .', P, T sunt unghiurile pe care vectorul V le face cuaxele sistemului de coordonate $g.2.21') atunci se pot scrie relatiile:

i=xI+ yj+zi (2.68)Modulul vectorului de pozitie are valoarea:

(2.6e)

Suportulsdu face cu axele Ox, OY, Ozunghiurile cr, P, Y, date de relatiile:

V: Vxi + Vri + V.k

xCOS(I : -rcosF = If

zcosY=-f

(2.7o1

(2.71)

(2.72) Fi1.2.22(2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

v,coscl=-= vx2.2.s. oPERATII CU VECTORI

a) Suma vectorilor

Fiind dalivectorii:V,, =Vr*i*VrrJ+Vr.k% =vr'i*vrrj+Vr'F

Vectorul sumd este dat de rela-tia:I

V=q +:vr=(vr, *vr*)i+(ur, *vrr)i*(vl.+vr.)FPentru un numdr de "n" vectori avem:

-n -n -nV=i;v" + jtvi" +klvol=1 i=f i--1

v,[wcos3=L=4 v Ju,. * vl +v::s"=Y=L v Jul*vl+vV: v.u

[ = cosa. i + cosp. j +cosY' k

i2 -- u2 : Gos2 o * cos2 p + cos2 y : 1

(2.73)

(2.74)

(2.7s)

(2.761

2.2.8. VEGTOR DE POZITIE

Vectorul de pozilie (raza vectoare) a unui punct oarecare M(x,y,z) dinspaliu in raport cu originea o a sistemului de referinld oxyz (fig. 2.22) estevectorul ? = OM cu originea in O si extremitatea in M a cdrui expresie analiticdeste:

inmultirea vectorului V' Oe1nit de relalia (2.731 cu un scalar "m" are carezultat obtinerea vectorului :

V=mL =mvr,i+mVrrl+mVr.F (2'77)

CARTEZIAN DREPT

LI


11/71

Iil'[tril'til , [ ' It -t

Mecanica + Statica Mc.canica t Strtica

c) Produsul scalar

Produsul scalar al vectorilor q qi % defini[i de relaflile (2.731 1i (2.7a)este scalarul:q V, =VrVz cosa (2.781sau:

q %:Vrrvz, *vrvvzv +vr.vr, (2.79)Din relaliile (2.78) gi (2.79) se poate determina unghiul "a'format de vectorii Vt

si V, astfel:

cos cr : vr'vz Vr*Vz,+ VrvVzv +YpY2.

(2.80)

(2.85)

Din paragraful (2.2.5.2) cunoastem ca:V=VrVzsina:F "Vrl

Rezultd unghiul "a" dintre cei doi vectori:

E"qlSlIl cr : . - 'vrv,

Dacd sincr=O, rezultii cd cei doi vectori sunt coliniari sau paraleli. Agadar,conditia ca doi vectori sd fie coliniari sau paraleli este ca produsul lor vectorialsd fie nul.

q "q =o=Vrllv-zCondi,tia de coliniaritate sau paralelism a celor doi veclori se poate

analitic astfel:vr^ _vr, _v.,'vz, vr, vz,e) Produsulmixt

Frrnd dati vectorii V' si V, definiti de relaliilevectorul V, oennit de relalia:

V3 = V3ri+ V3"i + V.=kprodusul mixt este un scalar definit de determinantul:

(2.73) respectiv (2.74) gi

(2.e0)

(2.e1)

"=lJ;: J;l =v,.v,, -v,,V,*

(2.86)

e.e7)

(2.88)exprima

(2.8e)

v.,v, lwM.w,in cazul in care coscr:0 rezultd ci veclorii V.l gi % sunt perpendiculari.Asadar, condilia ca doi vectori sd fie perpendiculari este ca produsul lor scalarsd fie nul.

Vr -v,:o=14rv,

d) Produsul vectorial

(2.81)

Produsul vectorial a vectorilor q Ei % definili de relatiile (2.73) respectiv(2.74) este vectorul V dat Oe determinantul:

IVtt

vz.Componentele scalare ale vectorului V sunt:

"= lJ;; Y;l=

v,vv,' -v,-vzv

l;'2l' tV=VrxVr=[Vr, Vr,lvr' Yr,

(2.82)

(2.83)

(2.84)

lu., vr, vr.lfq%%)= lur, Yr, vr,l

lut' vt, vt'l

", =-lY;: J;l=Vr.vz* V',tVr=


12/71

- c il r il il il il I I r I I l'l t r I I tMecanica * Statics

3. FORTA. SISTEME DE FORTE----t-

3.1. FORTA CA VEC'IQR

ln conceplia moderna fo(a este definiti ca o merime vectoriale cemdsoard interactiunea gitransmiterea migcdrii me@nice ?ntre corpuri (simbol

F,F,d,.--,etc.). Caracterulvectorialalforteieste evident prin faptulcS efectulacesteia depinde nu numai de intensitatea acesteia (modul) ci 9i deorientarea eiin spatiu, decide directia sisensulacesteia (fi9.3.1).

Fig.3.1

caracterul vectorial al fo(ei oferd avantajul de a putea analiza

matematic fenomenul de interactiunemecanicd intre corpuri prin utilizarea

cuno,stintelor de " calcul vectorial " .Pentru a putea opera corect cu aceastd mdrime mecanicd trebuie

retinute urmdtoarele aspecte:a) Fo(a aplicatd unui punct material are caracter de vector legat;b) Forla aplicatd unui solid rigid are caracter de vector alunecdtor.

Din figura 3.2 se intelege cd oriunde se plaseazd punctul de aplicafie al fo(eiF pe suportul (A) efectul mecanic asupra solidului rigid (S) este acelasi'Aceeasi concluzie se desprinde gi din figura 3.3 unde se presupune cdasupra solidului rigid (S) ac$oneazd doud forte egale side sens contrar (F si-F) situate pe acelagi suport (A). Efectul acestor fortp este nul indiferent

Mccanica + Statica

@nctele de aplicalie in A 9i B sau C si tind sd sedepirteze sau sd se aPropie.

Fig. 3.2

3.3. MASURAREA FORTELOR

Mdsurarea efectivi a forlelor se face cu ajutorul dinamometrelor avdndla bazd efectul static de ?ntindere sau de compresiune a unui resort la caredeformati ile sunt proportionale cu solicitdrile

Fo(a care aclioneazd asupra unui corp cu masa Iacestuia acceleratia de 1 m/s2 este denumitd newton siunitate de mdsurd a fortpiin Sistemul lntemational (S.l).

F:m.a=MLT-2 (3 1)

Notiunea de moment al unei forle in raport cu un punct a fost introdusdin mecanicd din doud motive gianume:

- o forli care ac$oneazd asupra unui solid rigid nu poate fi completdefinitd numai prin proiectiile sale pe axe (aga cum este cazul vectorilor liberi)deoarece este un vector alunec6tor;

- momentul exprimd capacitatea forlei de a roti solidul rigid in jurul uneiaxe care trece printr-un punct al solidului rigid.

kg 9i ii imprimdse utilizeazd ca


13/71

I I C If L il il il il f, il il I-I.T-I,I I I IMecanica * Stetica

- Momentul este un vector legat aplicat in punctul O avdnd directiaperpendiculard pe planul definit de vectorii i gi F;

- Sensul vectorului moment este acela pentru care vectorii i, F si-nl, (F) formeazd un triedru drept. Sensul vectorului moment mai poate fideterminat si cu regula burghiului;

- Modulul vectorului moment este egal cu produsul dintre modulul fortei9i distanla masuratd pe perpendiculara dusi din O pe suportulforlei.

l-r.qfi)l=E lrl "i'.'"MrF)= r-F.sincr

Dar:r.sinq:d

Se obtine:Mo (F): F .d

Mecanica * StaticaDin aceste motive in mecanicd un vector alunecdtor este caracterizat

prin proiectiile sale pe axele de coordonate 9i prin proiecliile momentului seuin raport cu originea O a axelor, pe aceleagi axe.

se numegte moment al uneifo(e F in raport cu un punct o numit pol,vectorul egal cu produsul vectorial dintre vectorul de pozitie i = OA al

punctutui de aplicalie alforlei fatS de punctul o si vectorul fo(d F(fig.

3.5) 9iare expresla:

_L\

Mo(F): Fx F (3.2) (3 3)(3.4)

(3.5)

(3.6)

iticeale

i=x.i+y.j+z.kF=F,.i+Fr-j*F,

li-/-\

I

Mo(FJ=1xf=lx

lr,

(3.7)(3.8)

(3.e)

(3.10)

(3.11)pe axele

(3.12\

Fig. 3.5

La definirea vectorului moment trebuie sd se precizeze forla si punctulin raport cu care se calculeazd momentul. Din acest motiv in notaliavectorului moment se indicd punctul in raport cu care se calculeazd (caindice), precum 9i fo(a al cdrui moment se calculeazd (in parantezd).

Elementele caracteristice ale momentului fortei in raport cu un punctrezultd din proprietdlile produsului vectorial:

M, F): (yr. - zr, ).i+ (=F, - xF.). j+ (*F, - yF,) ['Deoarece:

-r\nlt.fr)= M, -i+ M, . I + M. .Fdin relatiile (3.10) 9i (3.11) rezultd proiectiile vectorului moment

sistemului de coordonate ales:M*=y.F.-2.F,M, =='F -x'FMz=x'Fr-Y'F

Dacd fo(a F este situati in planul Ory atunci vectorul moment este dirijatdupd axa Oz deoarece z = 0 gi F. :0. in aceastd situa{ie rezultd urmdtoareleexpresii:

12

A(x,Y,z)


14/71

rrffifiil-il"rffif'"fMecanica + Staticn

Mecanica r StsticsMr :0Mv : o (3'13)Mz=x'Fy-Y'Fx

3.42. PROPRETAFLE MOMENTU =UI FoRTEI lN RAPORT CUUN

PUNCT

Se disting urmdtoarele propriete,ti :

a)MomentulforteiinraportGuunpfJnct(pol)estenuldacSF=0saudacdsuportul tortgi trece prin punct (pol) (i : 0 )'

b) Momentul fortpi in raport cu un punct (pol) nu se modificd dacdforta

alunecd pe propriul ei suport, adicd este un invariant fatd deoperalia de

deplasare a punctuluide aplicatie alfortpi pe propriul ei suport(fi9' 3'6)'

Fig. 3.6

Scriem expresia momentului fo(ei F cu originea in A si A1 de pesuportul (A) in raport cu punctul O' Avem:

- ,-\Mo(F)= Fx F-

,l--\Mo (F)= t'''F

dar:

1(x1, Y1,zr )

Fr =i+AArinlocuind relatia (3'16) in relatia (3'15) 9i efectuAnd calculele rezultd:

ilr'(F): ('-*M.,)' = ixF-il', ^FM' ap =0 (M' -coliniarcu F)

Obtinem:

fro'F)= -. F = Mr (F)c)Momentutfo(eiinraportcuunpunct(pol)nusemodificddac6punctuldereducere se deplasea i p" odreaptd paraleld cu suportul fortpi (fig' 3'7)'Prin polul O ducem o dreapti (41) // (A) pe care ludm un, nou pol O''

Calculind momentele fald de polulO si O' ob{inem:. - /-\ (3.20)Mo(F)=FxF

(3.16)

(3.14)

(3.15)

Fig.3.7

_L\Mo'FJ = F'x F

dar:i'=60+?

inlocuind relatia (3'22\in relatia (3'21) giefectuAnd calculele obtinem:

frr,(F) = p5 + ?)" F = ffi ^ F - i ^ F66'F = o too ll Fl

(3.17)

(3.18)

(3.1e)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24\

A(x,y,z)

(a,')tt1r1


15/71

r r r r r--'Mecanica + StaticaRezultd:

Mr,(-r)= ixF = M.F) (3.25)Momentul fortei este acelagi ca mdrime, directie si sens dar diferd ca punct de

aplicalie.

d) Momentul fortei in raport cu un punct (pol) se modifice odatd cuschimbarea punctului (polului) de reducere dupd legea (ftg' 3'8):

M.,F):fr,F).oo"FFatd de polulO avem momentul:

ilo(t)= t"FMutdm polul din O in O' fald de care avem momentul:

-4\Mo,[F) = i'x Fdar:

?':OE+iegale in modul 9i de sens opus formeazd un cuplu

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.2e)

Doud forle Paralelede fo(e (fig. 3.12).

lnlocuind relatia 3.29) in relatia (3.28) obtinem:

Mn [F) = to'o + i)x FEfectuind calculele oblinem:

m..F)=i^F*oo^FnanF)= Mo(FJ+o'ox F

(3.30)

(3 31)

(3.32)

Fig.3.12

Pentru a araclerizacomplet un cuplu de fo(e trebuie sd se cunoascS:

- planul cuplului [P] definit de suporturile fortelor;

- bratul cuplului - d (distanta intre suporturile forlelor);

- modululcuPlului;- sensul cupiului (sensulin care fo(ele au tendinla si roteascd)'

ConsiderAnd cuplul de fortp din figura 3'12 se observ6 c6:- suma oroiectiilor fo(elor pe o axd oarecare (A) de versor E este nuld:

ernfi)*'ern(- F)= F'E + | f )'u = o (3's0)- rezultanta cuPluluieste nuld:

I

xrYrz)


16/71

-u -_il -Illecanica * Statica

ModululcMo

Mecenica r Ststlcan:F+(-F)=F-F:o (3.s1)

- momentul cuplului in raport cu un punct oarecare O are valoarea:it =6E'F*il,,(-t)=F"-oo)"F=4s-"f (3.52)

ExaminAnd relalia momentului se observd cd acesta nu conline in expresialui punctul O in raport cu care se calculeazd momentul ci numai punctele A

;iB care reprezintd punctele de aplicatie a celor doud fortp.

RezultEi cd vectorul mornent al cuplului este acelagi ?n orice punct din spa{iu,adicd este un vector liber deoarece nu depinde de acest punct. Din acestmotiv momentul cuplului nu mai primeste indicele punctului fald de care secalculeazd.

(3.53)

a) Un cuplu de fortp poate fi rotit 9i deplasat oricum in planul sdu sauintr-un plan paralel cu planul sdu'deoarece efectul mecanic nu se schimbd

(fis.3.13).

Fig.3.13

b) Un cuplu de fo(e F,-F,O) poate fi inlocuit cu un alt cuplu de fortpcoplanare (tt, ,-E ,0., ) cu condilia sd aibd acelagi moment (r . o = F,, . d' ) giacelagi sens de rotalie. Cuplurile de forle care produc acelasi efect mecanic,au acelasi moment, sunt cupluri echivalente.

Staticaseocupdcustudiulforlelorsirezolviurmdtoarelecategoriideprobleme:

"in"Ju".r"a sistemelor de fo(e care


17/71

ffiffif,rl-il-iliffitMecanica + Steticl

A reduce un sistem de forte concurente inseamnd a determina inmdrime, direclie gi sens o fo(d unicd numitd rezultantd care sd produciacelasi efect mecanic ca 9i sistemul de fortp dat.

Rezultanta se poate determina prin metode grafice sau analitice.

4.1.r. REpUCEREA FORTELOR COJ.ICURENTE PRIN METODA@FrcA

Reducerea acestor fo(e se bazeazd pe principiul paralelogramului.

a) Gazul a doui fo4e concurente

Cunosc6nd fortple E gi E (fig. a.3) in mdrime, direclie si sens, precumsi unghiul "a" dintre supo(ii lor, se reprezintd grafic fo(ele la o scard l$ afo(elor arbitrar aleasd prin segmentele:

F. F2MA= ' :MB=-KF. KFRezultanta se obline construind paralelogramul fo(elor.

rezultanteiva fi:R: MG.KT

b) Cazul a "n" fo4e concurente

Cunosc6nd fortele E,E,...,-F" care actioneazd asupra punctului M se

construiegte poligonul fortelor (poligonul vectorilor echipolenli) la o scard Kp

a forlelor arbitrar aleasd (fig. a.a).

Mecenicr r Sbtic{Segmentul ce nnchide poligonul vectorilor echipolenli este rezultanta fortplorconcurente.

(4.3)

(4.1)

Modulul

(4.2)

R=MMn'KrRegula paralelogramului vectorilor echipolen[i nu introduce restriclii in privinta

suporturilor fortplor care pot fi oricum in spatiu. Dacd fortple concurente suntcoplanare poligonul fortelor rezultd in plan, iar dacd forlele concurente sunt inspa{iu poligonul fortelor este in spatiu-

Dacd poligonul forlelor nu se inchide rezultanta fortelor este completdeterminatd prin segmentulde inchidere al poligonului.

Dacd poligonul fortplor se inchide rezultanta fo(elor concurente estenuld iar punctul material este in echilibru.

4.r.2. REDUCEREA FORTELOR CONCURENTE PRIN lrEToDAANAL]TICA

se consideri un punct material M (fig. 4.5) asupra cdruia aclioneaza un

sistem de forte concurente E,E,...,F^. Atagdm in punctul M sistemul dereferintd Oxyz (O = M) pe axele c5ruia proiectdm fortple date cunosc6nd

unghiurile cr1, F1, T1 pe care acestea le formeazd cu axele sistemului:

Fig.4.5 Fig.4.6BFig.4.3

Mn

Fig.4.4

Fo(ele E,E,.--,-F. cunoscute in mdrime, directie si sens se reprezint6 lascara fortplor Kp astfel inc6t originea unui vector echipolent sd coincidd cuextremitatea vectorului echipolent precedent.

E : Fr'T + F.,, i + Fr. [ = Fl coscr',I + Fl cos p',j + F, coslrFFz =Fz'1+Fzri+Fz.i=F, coscrri+F, cosprj+ F, cosyrF

M1

E : F,,ri+Fn, i+F,.'k = Fn cosctnf +Fn cospni+Fn cosynR

(4.41


18/71

ILL[[ililililriltr[-frtltMecanica * Statica

4.1.3. CAZURI PARTIGUI.ARE

a) Doui forfe concurente de direc{ii oarecare(fi9' 4'7):

n=E*[email protected]'R.'t(" - Pt - -inP sin(n - ct)

Rezultanta R poate fi scrisd in functieastfel:

R=R''I+Ry'. +R''E(4'6)

Rezultd:

R, i+n, i+Rz-E:[it") t.[3'") i.[i") I $7\Din relatia (4.7) rezultd conform teoremei proiecliilor:

nR1 = )F*

i4n (4.8)

Rv = IFiyFln

Rz = tFizi=t

Modulul rezultantei va fi:

n=nffipnl (4'e)Unghiurilepecareleformeazdrezultantacuaxelesistemuluidecoordonateales sunt:

R- Rrcosr=E=ffiRv Ry (4.10)cosii=R=JRFE?=E'

R. Rzcosl=

*t=6Dacd fortete conculnte sunt coplanare (fig. 4.6) atunci proiecliite pe axa ozsunt nule tiro = 0; R' = 0)' iar relatiile de mai sus devin:

i=1n

Rx = IFiti=1n

R, = )Fiyi=1

(4.11)

(4.12\

b) Doud forle concurente perpendiculare(fig' 4'8):-'--i.=F.,'*F,

[13n=,[-rirlF" (4'1e)

tga =:rl ' directie siacelasisens (fig' 4'9):c) Doud fo(e concurente avind aceeasl I-' - - -: F, *F, t^:'),\

R = Fr +Fz*.22)tga=0

d) Doui torle concurente avind aceeagi direcfiedar sensuri opuse

(fig. a.10):_ g.231n =E *E (4.24)R = Fr - Fz (4.2S)tgo=0

_Rytgct = R;(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

Fig.4.7 Fig.4.8

Fr

CT

p

e) Trei forle concurente de direclii oarecarein spaliu (fi9' 4'1 1):

l


19/71

rrrrrr-tlttrrrMecanlca r Statlcsecanics t Strtica

R=Fr+Fr+F.R=

F^MRF. ^ - r-.

Fig.4.10

Pentru a solutiona aceastdsistemulde fortp dat cu un sistemorice punct al solidului rigid acelade fo(e initial. Conform teoremei de echivalen{d, doud sisteme de fortp careaclioneaze asupra unui Solid rigid 9i produc Tn orice punct al acestuia acelasiefect mecanic, sunt sisteme echivalente. Avdnd in vedere faptul cd fo(etecare actioneaze asupra unui solid rigid au caracter de vector alunecdtor'pentru obtinerea unor sisteme de fo(e echivalente se aplicd urmdtoareleoperalii numite operatii elementare de echivalenld:a) Se poate deplasa punctul de aplicalie al fortei pe propriul ei suport;

b) Se pot introduce sau Se pot suprima in acelagi punct doud forte avdndacelagi suport, acelasi modul dar sensuri opuse;

c) Se pot inlocui mai multe fo(e concurente cu rezultanta lor;d) se poate descompune o fo(d dupd doud sau trei direclii concurente.

4.2.1. REDUCEREA UNEI FORTE INTR-UN PUNCT AL UNUI SOLIDRIGID

Se considerd solidul rigid (S) actionat in punctul A de o forld F(fig.4.12.a). Se cere sd se determine efectul mecanic exercitat de fortp Favdnd punctul de aplicatie in A in raport cu un punct oarecare O apartin6nd

solidului rigid (S), sau altfel spus, sd se reducd fo(a F in raport cu punctul O.

punctul o doud fo(e egale gi de sens contrar care au suportul (Al ) // (A) 9i de

modulegalcu alfortpi F o"ta (fig.4.12.b)-Fo4a F cu punctul de aplicatie in A 9i fo(a - F cu punctul de aplicalie

in O formeazd un cuplu de fo(e al c6rui.moment este:lq

=oA*F=i"F=ilrtFl(4.28)

Prin urmare, fo(a data F se reduce mecanic echivalent in r4port cupunctul O arbitrar ales, apartjnAnd solidului rigid (S), la doud elementevectoriale care constau dintr-o fo(d F egald, paraleld 9i de acelagi sens cufo(a datd si un moment reprezentat prin momentul fortpi date in raport cupunctulO (fig. 4.12.c). ,

)rr1t

a) b) c)Fi1.4.12

Ansamblul celor doud elementemecanice vectoriale F

9iMo aplicate in

O se numegte torsor de reducere in raport cu punctul O al fo(ei F aplicatd

(4.23',)

(4.27\

F3

-l-E , Er- r1"I-r2-->rz

Fig. 4.11

in A 9i se noteazd simbolic:IF

t^{--lMo=?xF=oAxF (4.2s\

Se menlioneazd d momentul cuplului a fost notat cu indice, degi este unvector liber, deoarece punctul in care s-a fdcut reducerea determindelementele cuplului (planul cuplului, bralul cuplului, modulul cuplului, sensulcuplului).

18i

l il il f [ il [ if f


20/71

f t [ il il il f [ il [ if f rr - -Mrrrnlcu l}Slatlrt

;".-t"t"mul Ee tbrte c"ncursnt'o 9l sistenrut Oe

punctalsoliduluirigicldeofo4ecareactioneazdintr-unaltpunctalsoliduluirigid.

Torsoruldereducerereprezintdcelmaisimplusistemdefo(e.A9adar'prin reducerea unui sistem de fo(e oarecare se intelege inlocuirea

sistemului

de fortp cu torsorul sdu.

Dacdsefacereducereafo(eiintr-unaltpunctalsoliduluirigid,deexemplu O'(fig 4-12.b), torsorul de ieducere care se obtine va fi:

Se ?eOuc in raport cu O sistomul de fortevectorimomentconcurentirezultAndelementeletorsoru]uidereducerealsistemului de forte dat;ianume:n_

R=E+Fr+..'*Fn=IFil=1

Mo =Mo' +Mo, +"'+Mo. = iMo, = it-t: "El

(4.33)

(4.34)

fF

" imo,,r, = rvro (F) + 6o,. F(4.31)

4.2.2. REDUCEREA UNUI slsTEM pE-FORTE INTR-UN PUNCTAL

UNUI SOLID RIGID

(4.32)

Seconsiderdunsolidrigid(S)aclionatinpuncteleAr'Az'"''A'defortpte E,E,.--,( (fig. a'13'a)' Se cere sd se determine efectul

mecanic

produsdeacestefo(eintr-unpunctoarecareoapartindndsoliduluirigid,saualtfelspusseceresdsereducdsistemuldefortedatinraportcupunctuloaparlinAnd solidului rigid.

Adoptdm in puictul o un sistem de referintS convenabil ales oryz 9ireducem pe rand toate fortele sistemului in raport cu punctul o ob$n6ndu-se

in acest punct (fig.4.13'b) un sistem de "n" forte concurente F"F""''F'

(echipolentecuforteledate)giunsistemde'n"vectorimomentconcurenlilrr. tE l, l,l. tE ),..., lrto ( r" ), care au expresiile :

b)a)

Mo tE t = r,r-01 =6Tl *Fl = q "FlMo(Fr) =M-0, =6f2 ,F "--ir'F,rvro(E) =Mon =iln t F. = r" h

unde ir,ir,..-,in sunt vectorii de pozilie in raport cu punctul O ai fo(elor

initiale.

Fig.4.13

Sistemulmecanicastfeloblinut(fig.4.13.c)formatdinelementelevectorialesistemul de fo(a dat 9i se numegte

re

, dat in raPort cu Punctul O' notatsimbolic:

(4.35)


21/71

Expresia analiticd a rezultantei este:R- = Rri+ Rri+ RrE

Expresia analiticd a vec{orului moment rezultant va fi:

(4.3e)

(4.40)Mo : M,i+ Mri+ M.k= if, " Eli=1

,,li I kMri + Mri + Mrk = )l*' Yi zi

'oltn Fiy Fiat(4.41)

Dezvoltdnd determinantul dupi i,J,k giegal6nd membrul stAng cu membruldrept dupd i,j,F oblinem:

nM, : I(YiFi, -ziFiv)

i=1n

u, = i(z,Fn -x;F2) @'42)i=tn

M. = I(xrFry -YrFn )i='l

Modulul vectorului moment rezultant va fi:

Fig' 4'14

Fdc6nd reducerea in raport cu polul O'vectorul moment Mo. care are expresia:

n-Mo, = )iix F,

Fig.4.15

obtinem aceeagi rezultantd F si

(4.46)

I l


22/71

rI lr l l IMecanica tl Staticadar:

-ri'= O'O +-ri /4 47)inlocuind relatia $.afi in rela,tia (a.a6) 9i efectudnd calculul ob{inem:

Mccanicn + Stltica

Mo,=Mo=M (4.58)6) Locul geometric al punctelor de reducere in raport cu re momentulrezultant rdmine neschimbat cand R + 0 sunt drepte paralele cu rezultanta'Din relalia (4.44) pentru ca -tvto = M-o' este necesar ca:

II

n-

n fr-- \ -ln r--

-\1l r

-\o, = I t'' F, = I [(o'o + rr l" Fr l= | (o'o>< r, J * I (:r, " r, Jn_n,_Mo,:Ir,x[+O'OxlIi=1 i=1-tt., : -;4 + 65' n

(4.48)

(4.4e)

(4.50)

3) Produsul scalar dintre vectorul rezultant R gi vectorul moment rezultanlMo este o mdrime constantd gi se numegte trinom invariant.Se inmultegte relalia (4.44) scalar cu R-. Vom avea:

rq, .R-: (rq + oo,. R).R-Mo, . R- : lro . n * po" R). R

dar:

-_\_O'O" RJ.R = 0obtinem:-[ttr, .R-= -ltito .R = cst. (4.54)

Dacd scriem n $ nto in functie de componentele lor scalare fatd de unsistem de referintd avem:

R- = R,l + Rri + R.k (4.55)t,to : il,l + M"l + M.k (4.56)tt4o .R : R ._Mo : RrM, + RrM, +R.M. = 6s1. (4.57)

Dupd cum vedem membrul drept al relaliei (4.57) este compus din treitermeni ceea ce justificd denumirea de trinom invariant.Trinomul invariant se mai numeste si scalarul torsorului sistemului de fortedat.

4) Daca torsorul de reducere al sistemului de fortp dat fa 6 de un punct estenul atunci el este nul in raport cu orice alt punct de reducere. Din relatia (4-44)dacd R =O; Mo =0 rezulti d l%, =0.

Un asemenea sistem de fortp @rc are torsorul nul nu produce nici unefect mecanic asupra solidului rigid asupra cdruia actioneazi, solidul rigidfiind in echilibru.5) Dacd n:O; Mo *0, vectorul moment rezultant al sistemului de forte dateste un invariant fald de polul de reduc,ere si are caracter de vector liber. Dinrelatia (4. Qdacd R=0 rezultd:

(4.5e)

7) Proiectia momentului rezultant Mo pe suportul rezultantei R esteconstantd oricare ar fi pozilia polului de reducere (fig' a.15).

(4.60)

(4.61)

(4.62)

l4=m**lv\uunde:

il* - este componenta dupd directia rezultantei R;

in aceste relatii Me este proiectia vectorului 14 p" suportul rezultantei R, iaru* este versorul rezultantei.

4.2.2.2. TORSOR MINIMAL.AXA CENTRALA

Dupd cum s-a observat prin reducerea unui sistem de forte intr-un punct

se obline o fo(d rezultantd R gi un moment rezultant 4 "" inchid intredirecliile lor un unghi "a" (fig.4.16).

Dacd o=0 sau o=r vectorulrezultant R givectorul moment rezultant-lrrlo sunt coliniari. in acest caz torsorul de reducere poartd denumirea detorsor minimal sau rdsucitor.Denumirea lui este legatd de migcarea pe re o imprima corpului unasemenea torsor (translatie in lungul suportului rezultantei 9i rotalie datd demomentul rezultant in jurul axului comun), asemenea cu migcarea unui gurub.

Locul geometric al punctelor de reducere in raport cu care un sistem defo(e oarecare se reduce la un torsor minimal, se numeste axd centald.Descompunem vectorul moment rezultant astfel:

(4.51)

(4.52)

(4.53)

Prp(Mo) = Mo cosa = MR

Mn = Mo coscr, = -14 .U- = yb IM^ .R

M._ U -^RMrR, +MrR, +MrR.

{ffi = cst.

(4.63)

I I I T T T I I


23/71

. L f I L I I T T I I I I I I T T T I I

Mecanica * StaticaMecanica rr Statics

m _ *t" ".,"p"*^ta-dupeo direclie perpendiculard la R gicuprinsd in planul

determinat de Mo 9i R.Se constatd cd modificdrile veotorului n,lo ." datoresc numai componentei

fr* (O"o"r.ce ilR este un invariant). Din relatia (4.63) se observd c6valoarea

minimd a vectorului ilo se obline atunci cnd M* = 0 ' adic6:(4.64)

llr" -- etutlth) = mo cosc = Mo 'E*(4.66)

(4.67)

(4.68

Mmin = Mo 'uR =mo'F

fro.F -.,n =Mrnin'IR

=T-'u*

Fig' 4.16

in acest caz momentul minim este coliniar cu rezultanta F. Torsorul

n Ei ll.* se numegte torsor minimal si simbolic are expresia:ln =;E+ -l'''"l-n'b : M'"

alcdtuit din

(4.65)

Agadar:

[F='E

"'t-*"=E'uo*

Itlo = Lh =il..in

P(x,Y,z)

Fi1.4.17

(4.6e)

I I I I I I


24/71

r r r r r I I I-

I I I I I I I I I I I I

Mecanica + Statica Iltccanica * StaticaPentru a determina axa centrald presupunem capunct de pe axa centrale si indeplineste conditia:

wt" =f 'n

punctul C (fiS. 4.17) este un Notand:R.7R2

l(4.70)rezultanta R

(4.71\

(4.85)

(4.87)

F, dreapta

(4.e0)

(4.e1)

(4.s2)

unde fr este un scalar arbitrar, adicd momentul din punctul C sisunt coliniari. in acest caz putem scrie:

nrltl" =tt4"n:Oln baza relatiei (4.44) putem scrie:

t%=l't+cO*RCO=-OC=-r-t% =-tttt -ixR

MultiplicSm relatia (4.74) veclorial la st6nga cu R-. Vom avea:R^Mc -R^Mo-R*(i*R;

in baza relatiei(4.71) avem:Rt tt4o -Rx(7tR; =9

Descompunem dublul produs vectorialfolosind relatia lui Gibbs:R" Mo -(R.R).r-(R.a).Rl = 0nrttlo+(n.D.R-R2.r=O

Relatia (4.78) este o ecuatie vectoriala de gradul intdi care aratdgeometric al extremitdlii vectorului F este o dreaptd. Fie Codefinit depunct particular al acestei drepte care satisface conditia:

n to=O (R1to)Astfel relatia (4.78) devine:

n.mo -R'.%:0Scddem relatia (4.80) din relatia (a.78) 9i obtinem:

Rl *t, +1n.11.R-n2.i-(R" M0 -R'.h)=o1n.4.n-R2.(F-Fo)=o

R.i=Rt

n=r-l'o

obtinem: : (4.g6)F:io + LrR

Relatia(4.86)reprezintaecuatiavectorialdaaxeicentrale.seobservacdaxacentraldesteodreaptdparaleldcurezultantaR,dreaptdsituatdladistanlarode polul O. Din relalia (4-80)rezultd:

lR"Mrl R.Mosino Mosincr'o --R2 R2 R

Putem afirma cd axa centrald este o dreaptd paraleli cu rezultanta

situatd ta distanla ,o:"0tn" de potut o, distanla mdsuratd perpendicular pe

planul vectorilor F 9i Mo in sensul produsului vectorial n " l4

pentru a obtine ecualia axei centralesub formd analiticd considerdm un punct

curent P(x,y,z) apartindnd axei centrale' in acest punct momentulare expresia:

-- -Mr'-- M; - oP, n (4'BB)Ir j rlFG =I,I+M,l+M.k-l' -'I

(4'8e)

' lRx Ry P,l

(4.72)

(4.73)(4.74)

(4.75)

(4.76)

(4.77)

(4.78)cd locul

f :ro UII

(4,7e)

(4.80)

(4.81)(4.82)

(4.83)

(4.84)

tl, = tt'lr - (yR. - zR, )li + [Mv - (zR' - xR. )lj +

r [M, - (xRv - YR' )lkScriem condilia ca fit" 9i F sd fie coliniari' Vom avea:

M*=Mt'=M"tRx Ry 'Rz

Asadar:M' -(YR. -zRy) -

Mr ltR'41- Itlt' -(xR, -YR')R, Ry Rz

r:Hu..Reralia (4.e21 reprezint6 ecua.til JL"il*o': i:1".1':^::^:"^T::':,iltj:::i#i[.':""1;";il;. r^ ,Jlri" t+.e2) x, y, z sunt'coordonatere unui punctcurent al axei centrale, iar R, ,R, ,& gi M* M' M. se calculeazd cu

rela{iile

cunoscute.

l


25/71

frftftfrf rf rI f f f I I

Mecanica * Statica

Prin reducerea unui sistem de fo(e dat in raport cu un punct oarecare alsolidului rigid se poate obtine unul din urmdtoarele cazuri:

lI rI'tI'tI tI rI l- l--'

Mecanica + Staticrc) Gazul 3

[n*o'ot* = o (4'e6)

Daca R- + O 9i Mo = 0 sistemul de fo(e dat este echivalent cu o rezultantd unicdR- care are ca suport axa centrald, axd ce trece prin punctul(polul) O.

d) Gazul 4

ln+o"'t-* *o (4'e7)

Dacd R-+0 9i Mo+0, pot fi deosebite doud erzudr in funclie de invariantul scalarR-.[4-o astfel:

a) b)Fig.4.'19

1) R.Mo =O adicd Ff U-0.Cand R .Mo = 0 sistemul este echivalent cu o rezultantd unicd R in raport cupunctele axei centrale, axd ce nu trece prin pol. ln acest caz (fig. 4.19) axacentrald este situatd intr-un plan [P] perpendicular pe vectorul fro, plan ce trece

M^prin punctul O. Axa centrald este plasatd la distanta d: R de punctul O,distanli mdsurati in sensul produsului vectorial n * lq.

(4.s3)

Dacd F=O Ei l4 =0, sistemulde fo(e este echivalent cu zero, sau altfel spussolidul rigid asupra cdruia actioneazd sistemul de forle este in echilibru'

b) Gazul 2

(4.e4)

Fig.4.1B

Dacd R = O Ei l4 + 0 sistemul de fortp este echivalent cu un cuplu de forte

1F,-F,01 situat intr-un plan [P] perpendicular pe suportul vectorului -\, cupluce creazd un moment ce are aceeasi mdrime, aceeagi directie 9i acelagi sens cu

momentul lvto (ng. +.tg).Agadar:

Mo = F'd (4.ss) l*)

I t r r t r I r r r il l l il t il il


26/71

I t r r t r I r r r il-l-l-il--t--il--il -Mecanicr + Statica

Mecrnica + Staticf,

2) R.Mo+0 sistemul de fo(e dat este echivalent cu un torsor minimal (rdsucitor)

avand ca suport axa centrale (fig. 4.20)'

Fig.4.20

Este cazul cel mai general de reducere a unui sistem de fo(e dat' in acest caz

axa centrala este o dreaptd paraleld cu suportul rezultantei R plasatd laM^ sinq -- -,^-..rdistanla o = *to il"" , distant5 mdsuratd

perpendicular pe planul vectorilor R 9i

Mo in sensul produsului vectorial n " nno.

Reducerea sistemelor de fo(e prezentate pentru cazul general areelemente specifice si este mult mai simptd pentru cazurile particulare ale fortelor

coplanare 9i forlelor Paralele.

4.3.1.1. REDUCEREA STSTEMELOR DE FORTE COPLANARE PE CALE ANALITIC'

Se consider5 sistemul de forle coplanare E,E,...,F" care actioneazasupra suprafetei materiale [P] in punctele A1,A2,...,A,,. Se cere se se reducsistemul de forte dat in raport cu punctul O apartindnd pldcii tPl. in acest scolatagdm in punctul O sistemul de referinld Oxyz de versori i,j,F astfel orientainc6t planul Oxy sd coincidd cu placa tPl (ng. 4.21).

Fig.4.2'l

Particularizind rezultatele oblinute la cazul general al fo(elor spaliale tratate ircapitolulanterior, fdcdnd Fi, =0 9i z, =0 adicd:

b))

E =Fo'I*r,r'jfi =Xt'l+Yi'J

(4.e8)(4.ee)

si redund sistemul de fortp in raport cu punctul O, se obline o rezultantd Rdefinitd de expresia:

n_ n _ n _R : I Fi : (IF-, )i + (lFry)l (4.100)

i=l i=1 i=lsituatd in planul fortplor si un moment rezultant Mo definit de expresia:

M^ sinad---\

A,(x,,y,,0)

Problema poate fi solutionatd pe cale analitic6 sau pe cale graficd.

25

tt tt


27/71

'-il[ rrrrr rrrttrttrMecanica * Statica

(4.101)

perpendicular pe planul fo(elor deoarece momentul fiecdrei fo(e in raport cupunctul O este un vec'tor perpendicular pe planul Oxy.Asadar:

Mo = M. 'k (4.102)Torsorul de reducere va fi:

[n=n,.i+Rr.it^{- ' - (4.103)"Lnt=u".runde:

nnnR, : lF;.; Rr : )F1r; M. : l(x;F;, - YiFi* ) (4.1C/.)

i=t i=1 i=lFald de un punct G(x,y,O) apa(indnd axei centrale sistemul de forle

coplanare se reduce lao rezultanti

unicdR-

deoarece momentul minim este nulpentru ca llo f n .Exprimdnd analitic elementele torsorului de reducere in raport cu originea

O a sistemului cartezian Oxfz giav6nd in vedere d R. =0; Mr:0; Mv =0,ecualiile axei centrale (4.92) devin:

=*, = -zR, =M. -(xR, -VRr)

RrRy0sau:

M--(xRr-YR')=0 9i z=0ceea ce reprezintd o dreaptd in planul forlelor Oxy carecoordonate in punctele:

nt9.o.ot'Rv' '

ero.-L.or' Ry.-Axa centrald este o dreaptd paralel6 cu rezultanta dup6 cum aratd coeficientulunghiular:

= i*r = il" J il = ieo, -v,F,.) ki-1 '=tlto Fry ol i=' Prin sistem de forte paralele se intelege sistemul alcdtuit din forte care audirectia comund. Reducerea sistemelor de fo(e paralele se poate face analiticsau grafic.

4.3.2..I. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORTE PARALELE PE CALE ANALITCA

Se considerd un sistem de forte paralele E , E ,..., E ce actioneazd asupraunui solid rigid, fortele fiind paralele cu directia (A ) de versor u . se cere sd sereducd acest sistem de fo(e in raport cu un punct oarecare o apartinandsolidului rigid. in acest scop atasdm in punctul o sistemul de referinti oxyz(fis. a.2e).O fortd oareclre a sistemului F, se poate exprima prin relatia:

F,=F,'uunde F; este scalarulfo(ei.

(4.126)

CAnd F, > 0 forla are acelasi sens cu versorul r', iar c6nd F, < 0 forta aresens opus versorului E.

Efectu6nd reducerea sistemului de fo(e in raport c-u punctut o se oulineun torsor format din vectorul rezultant R avAnd directia comund cu a fortelordate si un vector moment rezultant fro Oenn4i de relaliile:

(4.127)

- Rezultanta R a sistemului de forte are aceeasi directie cu fortple date, iarmdrimea sa este datd de suma atgeoricd a scalarilor tuturor fortelorsistemului;- Momentul rezultant -lVlo este un vector perpendicular pe fiecare din fortele

^sistemului,fiind:gadar perpendicurar pe versorur u si pe rezurtanta R-.

intruc6t lrt, J- n se deduce cd trinomul invariant este nul (n .fvfo = O).

Mo

(4.105)

(4.106)

taie axele de

(4.1o7)

(4.108)

(- n_ n nlR = tq = IFi .u = uIF,

- ) il i=l i-lOl_ n _ n nI

Mo = Ir,'Fi = It'Fi.u = IG .Fi)" uI i-r i=1 i=l

Ry

Rxtgu = (4.10s)


28/71

M' =I(yiFa -zfiylM, =i(=,Fn -xiFr)

M. =l1x,r"-yiFi,)

(4.131)

Dacd se arege sistemur de referin,ta oxyz in asa fer int axa oz sd fiearalerd cu directia comund a fortpror, atunci vectorur rezurtant R va fi pararelcu axa oz, iar vectorur moment rezurtant ttro u" t "*rili'; pranur oxy.Proiectiire vectorutui rezurtant R- gi a vectorurui moment rezurtant 4 p"axele sistemului de coordonate in acest caz vor fi:

Fi1.4.29

Rezultanta R- a sistemuluide forte are urmdtoarea expresie analiticd:R = Rri+ Rrl+ R.F

Proiecliile vectorului rezultant R- pe axele sistemului oxlz ales vor fi:n

R, = IFLi=1

nRr : IFi"i=l '

n. = lroF-lVectorul moment rezurtant nlio are urmdtoarea expresie analiticd:t-

n _ "lij kl

Mo=IttE=Ilxi Vi =,1=1 =tlrn Fiy rolProiec$ile vectorurui moment rezurtant Mo p" axere sistemurui o4z ares vor Ifi:

,v,,,e,,r re.urra'r tytg pU axete SlSIemUlUl g).r_ q,vs yvrI Zl

]

(4.132)(4.12e)

nM, =Iy,Fi

i=1

(4.129) nM, =-)x,F, (4.133)- i=tMt =0

(4.130)

n

R, = )Fn :0i=ln

R, = IF," =0i=l 'nn

R. =IFi,:tF,i:'t i:l

II' At


29/71

II ,AtMccanica + Statica

n_Mo =IMi

i=1

(4.164)

unde cu wt, t-" notat momentul cuplului (E,-E,d,).se observa cd momentul rezultant al sistemului de cupluri este un

invariant (vector liber) deoarece fiecare vector moment M, este invariant fatd

de polul de reducere. Modulul momentului rezultant al sistemului de cuplurise poate calcula cu relatia:

(4.165)

Considerdnd un cuplu (F,-F,d) plasat intr-un plan peipendicular pevectorul ItIo, acesta Tnlocuieste mecanic echivalent momentul rezultant fr'o

dacd momentul sdu este egal cu Mo in sens si modul, deci dacd:F.d = Mo (4.166)

Din cele expuse rezultd ci un sistem de cupluri situate in plane diferitepoate fi inlocuit cu un cuplu unic numit si cuplu rezultant.

La reducerea sistemelor de cupluri se poate intalni 9i cazul c6nd-14 = O. Un asemenea sistem de cupluri este echivalent cu un torsor nul deci

este in echilibru.

lnteracliunile mecanice pot fi considerate ca.forte concentrate numai incazul in care domeniul de transmitere al fortei este foarte mic sau practicneglijabil. Dacd cel pulin una dintre cele trei dimensiuni ale regiunii unde estetransmisd forta nu poate fi neglijatd, sarcina se numegte "distribuitd" saucontinue. Putem avea agadar distribulii de sarcind liniard, superficiald sauvolumetricd dupd cum pot fi negtijate doud, una sau nici una din dimensiunilezoneide acliune.

Sarcinile distribuite pot fi inlocuite in . anumiteq?zun

pdn sarciniconcentrate echivalente (sarcini punctuale care au acelagi efect mecanic casarcina distribuitd inlocuitd). Acestea sunt componentele torsorului dereducere ale sarcinii distribuite.

4.5.1. FORTE COPI-A,NARE LINIARE

Se considerd o dreaptd AB de lungime "1" asupra cdreia ac[ioneazdfo(a q (N/m)distribuitd perpendicular pe dreapta AB (fig. a'36).

Fie un sistem de'n" cupluri de fo(e (Fi,-Fl,di) ce aclioneazd asupraunuisolid rigid (S) (fig. a.35). Se cere sd se reducd acest sistem de cupluriinraport cu un punct oarecare O apa(indnd solidului rigid. Pentru aceastaatagdm in punctulO sistemulde referinld Oryz.

Fig.4.35

Rezultanta sistemului de cupluri este nuld fiindcd rezultanta fiecdruicuplu in parte este nuld. Fiecare cuplu (Fi ,-Fi,di) creazd un moment care arecaracter de vector liber, adicd poate acliona in orice punct al solidului rigid'Plas6nd momentul fiecdrui cuplu in punctul o, vom obline un sistem de 'n'vectori moment concurenli. Momentul rezultant va fi egal cu suma vectoriald amomentelor cuplurilor date. Agadar:

28


30/71

-rIMecanica * Statica

Sarcina care revine unei portiuni elementare de lungime dx este e.dxRezultanta unice a fo(elor paralele coplanare q.dx care aclioneazd pelungimea "1" se determind cu relatia:

I

n:Jo.ax0

O=A

Fig.4.36

Cum valoarea vectorului q=E(x) este o funclie de pozitie, poate fireprezentatd intr-o diagrami la o anumitd scard, prin linia de incdrcare "ab".Rezultd:

C: -v. jRezultanta va fi:

ttR = -jlv.ox: -jJoa = -j.n

00Asadar, modulul forlei unice echivalentd cu sarcina distribuitd estereprezentat prin aria diagramei de incdrcare AabB. Suportul fortei rezultante

R (axa centrald) va fi paraleld cu directia sarcinii e gi trece prin centrulfo(elor paralele de abscisd:

Fig.4.37

Rezultanta acestui sistem de forle paralele este:n= je .Us

(s)Si in acest caz sarcina q poate fi scrisd:

E= -e.k = -z.k IRezultanta va fi:

n = J-X.z.ds = -[ Jz.ds = -k.W(s) (stunde W este volumuldelimitat.

Rezultanta R are ca suport axa centrald a fortelor paralele, axd ceintersecteazi planul Ory in punctul C de coordonate:

-Irf,lrrlI-IInlffflMecanica * Statica

4.5.2. FORTE DTSTTBU|TE SUPERF|C|AL

Fie o suprafatd pland de arie S 9i forla q.ds (elementard)perpendiculard pe o portiune de suprafatd "ds" (fig. a.37).

Jx-q'ds Jx-z.ds_- (s) (s)^.---- Jq'as Jz.ds(s) (s)i y'q'0" J y '= '0"

v _(s) _(s)' c Jq'0" Jz.ds

(4.166)

(4.167)

(4.168)

(4.16e)

(4.170)

(4.171)

(4.',t72)

(4.173\

(4.174)

cdteva cazuri particulare ale unor asemenea incdrcdri sunt prezentate inanexa 7.

(s) (s)CAteva cazuri de asemenea incdrcdri distribuite perpendicular pe o suprafatdpland sunt prezentate in anexa 2.


31/71

r r r r r r r


32/71

r . - - - - -r--r -r--r- r rMecanica * Statica Mecanica * Statica

inlocuind in relaliile (5.3)pi (5.4)pe G, cu expresia G, =gm' obtinem:nnnIt.., .g gIt'mi It'.': i-l i--1 - i-1'c n n n (55)I-' 's stm, I.,i=1 i:1 i=1

respectiv

Mr Qi Mz gi centrele de masi C1 si C2 ale celor douS subsisteme' atuncicentrul

de masd C corespunzdtor sistemului (S) se determind cu relalia:

' -M' '1' - M' '7"' (5 8)

" M, -M,Din rela{iile (5.7) gi (5.8) se pot obtin: coordonatele scalare ale centrului de

masdG

broiectAnd'relatiiie respective pe axele sistemului de referin 5 ales'

OARECARE

Fie un corp oarecare (s) reprezentand un continuum material rigid, si fie

lv, un-volum mic din acest'corp avand masa ami si centrul de masS C;deservit de vectorul de pozitie r, fatd de originea o a sistemului de referintdOxyz (fig. 5.2). Presupundnd cd numdrul volumelor AV, de masa Am, in care

s-a fractionat corpul este o mulfime num6rabild de "n" particule materiale finite'

pentru determinarea aproximativi a poziliei centrului de masd C se poate utiliza

relalia (5.5) scrisd sub forma:

I y, '., I =, '.,I., I*,i=1 i=1

n

I*' '-,Im,i='l

Rela{iile (5.5) gi (5.6) definesc o noliune mai generald 9i anume aceea decentrul maselor unui sistem de puncte materiale.

5.2.1. PROPRTETATILE CENTRULUI DE MASA

1.Pozi\ia centrului de masd al unui sistem de puncte materiale nu depinde deoriginea sistemului de referinld ales (vezi proprietSlile centrului forlelorparalele);2. Pozilia centrului de masd nu se modifici dacd masele sistemului dat seamplificd sau se micqoreazd in acelaqi raport. lmportanla practicd a acesteipropriet6li constd in faptul cd sistemele materiale identice din punct de vederegeometric, insd constituite din materiale diferite, dar omogene, au centrele demasd identice atunci cAnd sunt suprapuse;3. Dacd punctele materiale se gdsesc in interiorul unei suprafele convexe (o),atunci centrul de masi se gdsegte in interiorul acestei suprafele;4. Dacd punctele sistemului material sunt situate pe o dreaptd sau intr-un plan,atunci centrul de masi se gdsegte pe acea dreaptd sau in acel plan;5. Dacd sistemul de puncte materiale admite un plan, o axd sau un punct desimetrie, atunci centrul de masd se gdsegte in acel plan, pe acea axi sau inacel punct,

6. Dacd un sistem de puncte materiale (S) se compune dintr-un numdr "p" desubsisteme (51), (52), ..., (Sp)ale ciror mase Mr, M2, , Mo gi centrele demasd C1, C2, ..., Co se cunosc, atunci pozilia centrului de masd al sistemului(S) se determind cu relalia:

(5 6)

(5.7)cM., . r",, +Mz .L, +...+Mo .-Lo

M., + M, +...+ Mo7. Da,cd un sistem de puncte materiale (S) poate fi considerat ca rezult6nddintr-un sistem (Sr) din care lipsegte un sistem (Sr) Si daci se cunosc masele

Fig. 5,2


33/71

Mecanica {e Statica Mecanica * Statican

I l 'At,= i=1Ln

IAt'i=1

Cu cdt numirul volumelor AV' va fi mat maregi masele

Ami' 'med Ali- densitatea liniard:

,. Am, dmO, = lllTl -: = -l;-+0 Al, dl

- pentru pldci (suprafete):- densitatea superficialS medie:

Am'n :-r Smed AS,- densitatea superficiald:

'. Affi' dmo^ = ltm --=-S;-+o [$, dS: pentru volume (blocuri).

- densitatea volumetricd medie:Am.

^_lvmea -6y.

- densrtatea volumetricd:.. Atn, dmo.. = lllTl

aV;+o [ , dvMasa totald a unui corp omogen se calculeazd cu relalia.

M=Jdm

pozitia centrului de masd al corpului (S) determinat cu rela{ia (5.9) va fi maiapropiatd de pozi{ia reald. Determinarea exactd a pozi{iei centrului de masd Ca corpului (S) se va face trec6nd la limiti in cadrul rela(iei (5.9) prin fraclionareamasei corpului (S) intr-un numdr infint de mare de mase elementare "dm"deservite prin vectorii de pozilie F in raport cu originea O a sistemului cartezian

(5 15)

(5.16)

(5 17)

(5 18)

(5 1e)

(5 20)

Rela{ia (5.20) este o integralS liniarS, de suprafali sau de volum dup6cum corpul este unidimensional (bard), bidimensional (suprafatd) sautridimensional (volum). Masa unei po(iuni elementare se calculeazd cu rela{iile(5.15), (5.17) 9i (5.19). Corpurile care au aceiasi densitate sau masi specificd(liniard, superficiald, volumetricd) in orice punct al corpului se numesc corpuriomogene, adicd densitatea p este constantS.in cazul corpurilor neomogene densitatea este variabili adicd p=p(x, y, z).in cazul corpurilor omogene formulele pentru calculul centrului de masi C sesimplificd deoarece densitatea fiind constantd poate fi scoasd de sub semnul

(5 e)

Am, vor fi mai mici,

(5 10)

(5 1I)

(5 14)

(5 21)

Oxyz. Rezultd astfel cd:Ii.am

Io'iar coordonatele exacte a centrului de masd vor fi:

[x.dm [y'dm [z'dm*" =

J*, Yc =F, t" =ld,

AmiPmed = vi

Trec6nd la limitd c6nd AVidensitate:

..Am, dm

D -- llm' avl+o [ , dv

5.4. DETERMINAREA CENTRULUI DE MASA AL CORPURILOROMOGENE

Pentru studiul centrului de greutate al corpurilor omogene este necesarsd se introducd noliunea de densitate medie care se defineste astfel:

(5.12)

-+0 se ob{ine densitatea punctuald sau simplu

(5.13)

in mecanicd corpurile se impart in:a) Bare - barele sunt corpuri la care doud dimensiuni se pot neglija in raportcu a treia;b) Pldci (suprafele) - pldcile sunt corpuri la care o dimensiune se poate neglijain raport cu celelalte doud,c) Volume (blocuri) - volumele sunt corpuri la care nici o dimensiune nu sepoate neglija.inbaza acestei categorisiri putem defini:- pentru bare:

- densitatea liniard medie:

integralei. Atfel avem:a) Pentru bare omogene:

= I,,rdt ,l1r)iprdl ord,,iot l',rotIt'_ 1,od = *I,,fl=IflCoordonatele centrului de masd vor fi:

.. 1,,, l,,Ydl. - I,,=dl32

*" = Y" :i(Ddr

; t" : ir*(5.22)

[[[[[ITIIIIIITIIITTII


34/71

[[[[[ITIIIIIITIIITTII

Mecanica re Statica Mecanica tlt Staticab) Pentru pldci omogene:

= l,r,Fdt lr.riP"a" R" l.,ios I1.1Fo='c j,.,d. Irsl p"ds p" .[rrrd" j,r,o"Coordonatele centrului de masd vor fi:

1., xds .1,r, yo" l9 zdst" = 1*i Yc =1'*' t" =Ips

c) Pentru volume omogene:

= l,u,id- lu,Fo'ou o' du,iov iullo't''c l,u,o. IlvyPudv pu lrurdu l,u,duCoordonatele centrului de masd vor fi:

lu,xdv lu,Ydu lu,zdv'" = l,u*

I Yc =IF' '": i"f*

b) Arc de cerc. se considerd un arc de cerc de razd R (fig. 5.4) definit deunghiul la centru 2o (cr se exprimd in radiani). Din motive de simetrie centrul degreutate se gdseste pe bisectoare.tu6nd axelade coordonate ca in figura 5.4. si aplic6nd relalia (5'22) se obline:

l,,xdl J'Rcoso.Rdo

- f",cos0'd0A^=---c i,,d, IlFot J"oesin 01"

= pl -c = pslnoel" ot_din relatia de mai sus "x" reprezinti abscisaCoordonatele centrului de greutate C vor fi:

x" = RSiDc[ct

(5.23)

(5 24)

(5.25)

(5.26)

(5 27)

arcului elementelor "d1".

5.5. CENTRUL DE GREUTATE AL CORPURILOR OMOGENE UZUALE

5.5.1. BARE

a) Bard dreapt6. Din motive de simetrie centrul de greutate se gdses,te lamijlocul barei (fig. 5.3).

BFig.5.4

(5 28)

Yc =0Se atrage atentia cd x" calculat pentru arcul de cerc reprezintd de fapt distantaOG de la centrul cercului la centrul de greutate C. Coordonatele punctului C indiverse probleme depind de modul de alegere a sistemuluide coordonate.

5.5.2. PLACIa) Triunqhiul. Centrul de greuatate al triunghiului se gdseste ,la intersecliameOianetor care reprezintd segmentul de dreaptd ce unegte v6dul cu mijlocullaturii opuse.

b) Dreptunqhiul. Din motive de simetrie centrul de greutate se gdsegte lainterseclia diagonalelor.

siindltimea R, aplicdnd rela\ia (5.24) se obline:

2 ^ sin oli, 2 ^ sin cr= -Ia- = -i-\-3 el:" 3 crFig. 5.3

(s.2e)

T il[ ET'I r 'f"I' f r n r I I I I I I I r


35/71

T il[ ET'I r f I f r n rMecanica x Staticaln relatia de mai sus "x" reprezintd abscisa centrului de greutate al triunghiuluielementar de suprafatd "ds". Coordonatele centrului de greutate C vor fi:

I I I I I I I rMecanica x Statica

2-sinax_ =-R-"3d,Y" =0

(5 30)

inlocuind relalia (5.33)in relalia (5.31) se obtine:

Fig. 5.5

se atrage atentia cd xc calculat pentru sectorul de cerc reprezintddistan(a oc de la centrul cercului la centrul de greutate c. coordonatelepunctului c in diverse probleme depind de modul de alegere a sistemului decoordonate.

5.5.3. VOLUME

a) Conul. Considerdnd conul circular drept de razd R si indltime h, siraportdnd la sistemul de referin{d oxyz (fig. 5.6) prin aplicarea relatiei(5.26) se obline linAnd seama de simetria corpului fa{d de axa Oz..

Iyf 'n2'12'dz (5 31)l,u,t''rz 'dzin relatia (5.31)volumul elementar dv =nr2dz s-a ob{inut izol6nd un trunchi decon de indlfime "dz" care poate fi aproximat cu un cilindru de raza "r" si ?ndltime"d2". Din asemdnarea triunghiurilor OO'A' gi OO'A' rezulti:

(5.32)

(5.33)

Coordonatele centrului de greutate G vor fi:

xc =0Vc = 0 (5.35)

b) Semisfera. Se considerd o semisferd de razd R (fig. 5.7). Centrul degreutate se gdseste pe axa de simetrie, care se alege axa Oz. Asimil6ndvolumul elementar cu un cilindru de raz6 "r" gi indl{imile "dz" putem scrie:

z^ =3h"4

(5.34)

(5.36)

(5.37)(5 38)

zrhR

Rf =-Zh

dv = zr .r2 .dzDin triunghiul OO'A se deduce:

R2 =22 +r2r2 =R2 -22

Asadar:

Fig. 5.6 Fig. 5.7

34I

r tr r r r"r r r r r"r f rf- I I ID


36/71

r tr r r r r r- r r r r f rf- I I IDMecanica x Statica Mecanica {e Statica

dv = ur(R2 -22 1dzlntroducAnd aceastd relalie in rela{ia (5.26) avem:

RRRJzr(R2 - z2'ydz lzna2 az- [nz3 dz

i,u,du I'tn, -z2ydz0

RR[zazaz-lz3az00

00

RRlnRzaz- Jnzzdz00

'":+iyc=b) Pentru plSci compuse:

(5.3s)

(5 40)

Iyi'l'.Ir, ' -

It, 'l'z^ =-" Il' (5.43)

IvyzoY Izc

R{ R4 Iv, 's,- - I.,'s,Is' ' s Is,

(5.44)

(5 45)

(5 46)

(5.47\

RRJn2az- [z2az00

c) Pentru volume compuse:

Coordonatele centrului de masd C vor fi:

Xc =0Yc = 0 (5'41)z. =lR'g

5.6. GENTRUL DE GREUTATE AL CORPURILOR COMPUSE OMOGENE

Centrul de greutate al corpurilor compuse omogene se determind pebaza relaliilor (5.7)9i (5.8). Algoftimul de calcul este urmitorul:- se descompune corpul compus in mai multe corpuri simple ale cdror centrede greutate sunt cunoscute sau se pot dermina ugor;- se alege ca sistem de axe de coordonate acela care aduce simplificdri;

- se aplicd corpului compus rela(iile de mai jos cu precizdrile cd maselecorpurilor care se scot din componen 6 (goluri) se consideri negative, iarsemnele coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor componente sestabilesc in raport cu axele sistemului ales.Aceste relalii sunt:

a) Pentru bare compuse:

, $1"

(5.42)

, fl fr nr - r - 'I--'I' lf-'Ir 'Ir"n - - t Il n


37/71

, fl fr nr rMeceoicr r Staticu Mccrnicr r Sfrttca

Un sistem de fo{g aplicat punctului material A constitue un sistem defo(e concurente avAnd caracter de veclori legali concurenti. Acest sistem defo{e poate ft inlocuit mecanic echivalent cu o fo(d unici numitd rezultantA,notatd simbolic R, care are acelagi punct.de aplicalie ca 9i sistemulde forteconsiderat. D_acd exprimCm fortele sistemului astfel:

Fr =Frri+F,rj+Fokatunci rezultanta R a sistemului este:

R-= Rri +Rrj* nrr = iEl=1

(6.1)

(6.2). STATICA (ECHILIBRULI PUNCTULUI MATERIAL

6.1. STATICA (ECHILIBRULI PUNCTULUI MATERIAL LIBER

P_unctul material este un puqct_ggoqe_tlc g{ruia i se atribuie o anumitimas5. Este o no{iune fictivd a mecanicii, care poate fi extinsd gi asupra-corpurilor reale cu condi[ia ca acestea sd execute numai migcdri de translatie .- -9i ?ntreaga masi sd fie concentra'td in centrul de masd.

Punctul material liber poate ocupa orice pozitie in spafiu. Pozitia sa laun moment dat este perfect determinatC dacC se cunosc @ordonatele salescalare x,y,z (fig.6.1) in raport cu un.sistem de refednld Oxyz;adicd dacd .._,se cunosc cei trei parametrii scalari independenli care.i definesc pozi{ia.

Conditia necesard si suficenti pentru echilibrul punctului material esteca sistemul de fo(e f, sa ne echivalent cu zero, adicd:

R=IFr =0 (6.3)l=1

ProielitAnd rela$a (6.3) pg axele unui sistem de cnordonate convenabilales, ob{inem urmdtoarele ecua{iiscalare de echilibru:

nRr=lFn=0l=1n

R'=IFO=O , (6.4)tstn'

R.=lFo=OFt

Dacd toate fci(ele care actioneazd asupra punctului material sunt.situate in acola$ plan din ecua$ile definite de retatiile (6.4) se ob[in numaidoud eanalii scalare de echilibru, iar dacd fortele sistemului sunt coliniarerezulti o singurA ecualie de echilibru.

6.2.1. LEGATURILE STSTEMELOR MATERIALE. AXIOMALEGATURILOR

Legdtura este o restriclie geometricd impusS, care diminueazdlibertatea de migcare a unui punct material, sistem de puncte materiale, solidrigid sau sistem de solide rigide. Restriclia geometricii poate fi exprimatdmatematic printr-o relatie finitd sau diferentiald. Pe baza acestei definiliiexpresia matematjci a celei mai generale legdturi este o relatie de forma:

Fig:6.1

se poate afirma cd un punct material liber in spatiu are trei grade delibertate puse in eviden{d prin cele trei posibilitdti de migcare in lungut axelorde coordonate (trei transialii).


38/71

Mccrnhr r Strticr

l"^O^"_: l:_ynt-yd*"tete purrc_tutui, i, y,i sunt derivatete acestora inwerv g ll a:l?:TS,:T*:,.f':""_* l,Tl,r^,. lradg o resdturr oennitale reraga (6.5):::XlT* ry: * reatizar..Les'turite reate frecvent utitizate on,"*t"?",1""7conlin to[i aoefli paramehii.' cea mai frecventd legdturd intalnitd in practicd este legdtura de tiputbilatenald olonomd-scleronomd :

f(x;y;z) -0 (6.6)care poate fi materializatd printr-o suprafatd fixd 9i nddeformabild oarecare. .Tindnd seama {e proprietd[ile filce ale legdturilor,,, acestea se clqslficd in. 'a

- legdturi ideale sau lucii (fdri frecare); . i- legEfud reale sau aspre (cu frecare).Legdtlril se ob$n prac-tic obtigAnd suprafelele exterioare ale corpurilor

sd aibd 6'anumitl zon6 de contact. orice legiturd impusi unui corp reduqe.unulsau mai multe din gradele de libertate ale acestuia, dupd cirm legdturaesde simplil sau cornplexi. Din punct de vedere filc leg6tura,. sau zona becontiact, e transmit interac[iunile mecanice dintrecorpuri. cele doud corpuri iau nagtere fo(e deinterac{i de legdturi sau reactiuni ale legdturilorcare impiedicd. anunnite migcdri ale corpurilor. Experienla practicd confirmi ..urmdtoarea axiornd:

Direcg-a fortplor de legdturd este aceiagi cu direclia migcdrii interzise iarsensul lor este contrar migcdrii interzise. Axioma legdturilor sau prinbipiulfo(elor de legdturd std la baza staticii 9i dinamicii. .

Distribulia forlelor de legiturd (valoarea,.direclia, sensul) in fiecarepunci al zonei de contact depinde atat de forma geometricl a corpurilor,

calitatea gi qatura suprafelelor in contact, cdt 9i de fortele exterioare directaplicate care aclioneazd asupra corpului supus la legdturi.

Mecanica { Statice

6'2'2'srATlcA GcHlLlgRULl PgN,crulul MATERIAL suPus tIucArunr rAnA rnecenE-6.2.2.I.ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAT REZEMAT PE O SUPRAFATA

LUCIE

f(x,y,z) - 0 (6.7)

Fig. 6.2

sistemul de fo(e active Fr,Fr,...,Fn se inlocuieste mecanic echivarent curezultanta R avand ca efect tendinta de deplasare a punctului in lungulsuportului sdu. Putem scrie:

f(x,y,r.i,i,i,tl


39/71

rillr il rl 1r il lt ll ft- t 1l 1l il f I I

Mecrnicr r Sh$caRn - este dirijatd dupA rormala (n-n) la suprafafit ln punclul M;R, - este dirijatd dupd direc{ia (t-t) din pland tangont, direclie oblinuti prinintersectia planului targent an planul determinat de R 9i R,".Analizdm efectul acestor componente:F, - tinoe sd deplaseze punctul in ptanul tangent dup6 directia (t-t). Fiindcdnu existd frecare care sd so opuni acestel tendlnte, pentru echilibru trebulesd avem:

F, = o (6.10). Rn- tinde sd deplaseze punctul dupd direclia normalei (n-n). I se opune

reacliunea normald N. Pentru echilibru trebuie sd avem:n-n +N=O-Rezultd

agadar, cd migcaiea interzi#-


40/71

lntrqducend relalia (6.23) in ielalia (6,22) pbtinem:F+F= 0

care reprelnti ecua$a vecloriali de echilibru.A,gadar;, pgntru ca un punct materiat sd fie in echilibru pQ-g AuDd fixer,

tucie $ nedeformabildeste ne@sar

cirezultaqta

Fa sistem.ulul qe,,{g,(e,

activb sd fie con[inutii ln planul normal la curbd.

6.2.2.3. ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERIAL LEGAT PRINTR.O BARA R|GTDA

Fie punctul material M(x,y,z).(fig.6.a) supus a{iunii unui sistem de'forle active date F.,-F.,...,8 gi in acelasi timp legat de punctul fix O printro

bard dgidd sau un fir flexibil gi inextensibil de lungime "1" 9i de'greutateneglijabilil.

M(x,y.z) M(x,y,z)

Fig. 6.4

Sistemul de fo(e active poate fi inlocuit prin rezultanta:

Mccrillt:r t $lrtlcl(6.31)

Aceastd rezultantd poate fi descompusC intr+ componentd Rn dirijatdin lungulbarei sau firului si o componentd F, perpendiculard pe direcfia barei

sau firuluigi

conlinutd inplanul

determinat deR-

9iR-,. Putem scrie:

[=q+R1 (6.32)Actiunea componentei Rn este anihilatd de reacliunea barei sau a firului Tdenumitd tensiune, iar actiunea componentei F, are ca efect deplasareapunctului M spre o altd pozitie de pe suprafa[a sferei de razA "1". Pentru aexista echilibru este necesar ca:

R-" +T =OR, =o

in baza relatiei (6.34) rela(ia (O.bZ) Oevine:R=R"

care introdusd in relalia (6.33) determind relatia:R+T=0

care repreintd rela(ia vectoriald de echilibru.

n_n=IFrl=1

(6.241

(6.33)

(6.34)

(6.35)

(6.36)

Apdar, pentru ca un punct material legat printro bar6 rigidd Sau un firflexibil si inextensibil sd fie in echilibru sub actiunea sistemului de fortp dateste necesar ca rezqltanta sistemului de forle sd aibe suportul didjat in lungulbareisau firului, adicd sd beacd prin puncfulfix O.

ln caarl ln care legdtura se realizeazd printr-o, bard rigidd sensulrezultantei F este indiferent, bara putdnd prelua eforturi in ambele sensuri(intindere sau @mpresiune). Din acest motiv legdtura prin bari se numegtebilaterald $ poate fi exprimatd matematic prin relalia:

f(x,Y,z) =x2 +Y2 +22 -12 :O (6.37)care reprelnt2i eanalia unei sfere de razd'|" pe care este obligat sd sesitueze punctulM.

Dacd legitura este realizatd printr-un fir flexibil si inextensibil, echilibrulpunctului material M poate avea loc numai dacd rezultanta F a fortploractioneazd in lungul firului av6nd sensul de la O spre M, pentru a intinde. firul.intrucdt legdtura prin fir nu opune rezistentd det intr-un singur sens pedirec[ia OM, ea se mai numeste 9i legdturd unilateral5, putdnd fi exprimatdrnatematic pri n inegalitatea:

tlx,Y,zl = x2 +Y2 *22 - 12 < 0t39(6.38)

rr


41/71

ft(qcepicr r Strticr

6.2.3. ECHILIBRUL PUNCTULUI MATERTAL SUPUS I-A LEGATURICU FRECARE

0.2.3.r. ECHTLTBRUL PUNCTULUT MATERTAL RAZEMAT pE O SUPRAFATAASPRA

Se considerd un punct material M(x,,y, z) deservit de vectorul de p'oziltpF in raport cu originea O a sistemului de referin[d Oxyz supus acliuniisistemului de fortp active date E,E,...,F. gi obligat in acelasi timp sd rimAndin permanenld in contact cu o suprafald fixd, aspri 9i nedeformabiH (fig. 6.5)de ecuatie:

f(x,y,z) = g (6.3e)

Fig.6.5

Sistemul de fo{e active admite o rezultantd unicd R ce are ca efecttendinla de deplasare a punctului M in lungul suportului sdu. Conformprincipiului actiunii gi reactiunii, pentru a exista echilibru, rezultantei R- i seopune reacliunea F a suprafetei, care trebuie sd fie egald cu rezultanta R side sens opus. Altfel spus, sistemul de forte active date 9i sistemul de fo(e delegdturd trebuie sd se anuleze, adicd:

R-+A- = O (6.40)Proiect6nd relalia (6.40) pe axele unui sistem de coordonate cartezianconvenabil ales oblinem ecualiile scalare de echilibru:

- rrMecenlce r Shtlcr

R1 +Er =0R, +9l, =0R, +E. =0

Descompunem rezultiantia R in doue componente astfel:

R=F" *&unde: 'F. - este componenta dupd normala (n-n) la suprafald in punctul M;\ - este componenta dupd tangenta (t-t) din planul tangent la suprafa 5 inpunctul M, direclie oblinutd prin interseclia planului determinat de R- 9i n' cuplanultangent.Dupd acelea gl direc[ii desocimpu nemTl ieEc$unea_lt a suprafelei astfel :

(6.41)

E=N+Fr (6.43)ln baza relaliilor (6.42) 9i (6.a3)'rdh$a (6.a0) poate fi scrisd:

n-. *F, +N+f, =9 (6.44)AnalizAnd efectul fiecdrel componente Tn parte constat5m:R]"- tinOe sA deplaseze punctul dupd direc{ia normalei (n-n) la strprafafd inpuncful M. I se opune reacliunea normald N a suprafelei. Pentru.ecttitiUrrtlbebub sd avem:

dn+F=O : ,(6.4plntrucdt suprahta sd presupune nedeformabild (rigidd) reac[iunea I poqtetlua valori oricit de mari lnte 0 9i to, infucdt ea se opune tendinlei punctuluide a pSrIsi suprallap lntr+nul din ambete sensuri alu normalei (egdturdbilaterald) sau numaiintr-un sin$ur sens (legltUrd unilaterald). ,

q - mOe sd deplaseze punctul dupd direc[ia tangentei (t-t) din planul

tangent la suprafalA inpunctul M. I

seopune fo(a de frecare de alunecare

f.

Experimental s-a demonsfoat cA fo(a de frecare de alunecare -F, nu poatedepdgio anumitil rraloare maximd datd de relatia:- Frr*t = P'N . (6.46)unde p este coeficienful de frecare la alunecare.

Fo(a de frecare de atunecare -f, are direclia conlinutd in planul tangentla suprafald, sensul ei este contrar tendinlei de migcare, iar valoarea ei estecuprinsd in intervalul 0 3 Fr 3 pN. Pentru a existia echilibru este necesar ca:

R1+F; =pEchilibrul este posibil numai dacd:40r

(6.47)

I II E T I II I I TT I II I I I I'I


42/71

I II E T I II-

I I TT- - -

I II I I I I I

Mccrntce r Shtict

^ R,( Ftro.* - (Or4)

tn caz contrar apare tendinla de migcare a punctului dupd direclia (t-t)dinplanul tangent. Dupd cum fo(a de frecare f atinge sau nu rimita maximdputem vorbiechilibru la limitilsau sub limita de alunecare.

Pentru toate poziliile de echilibru la limitd (E = fr.*) c6nd rezultantaR variazd ca directie (modulul rdmdne constant) suportul (direclia) aceasteiava descrie un con cu doud panze avand vdrful in punctul M, axa de simetrienormala (n-n) la suprafatd in punctul M si semiunghiul la v6rf egal cuunghiul"g' numit unghi de frecare, definit de relatia:

u=+=tss (o.r=l) (6.4e)Conul astfel generat se numestd con de frecare (fig. 6.6).

Mcculcr r Sb$ct

cind suportul rezultantei @elor activo F so afl6 in interiorul conului defrecare (a < g; & < Ffr,,.r) ectrilibruleste posibil.

cdnd suportul rozuttantei F se afli dupd generatoareaconurui defrecare (o = q; Rt=Fr-.,) ectrilibruleste la limiti.

cand suportul rezurtantei R cade ,in afara conurui de frecare (a > rp;Rt> Fr-"r) echilibrul nu este posibil.

Reizultd cd pentru echilibrur punc{urui materiat M pe o suprafald asprdeste necesar ca unghiur asculit 'a' format de suportul rezurtantei 9i normara n-n) la suprafa[d in punctul M si fie mai mic sau egal cu unghiut de frecare'9:. adic6:

o


43/71

I I I 'I

Fig. 6.8

Dupd aceleasidirectiise descompune si reactiunea F a'curbei, astfel:fr:Nr Fr

inbaza relatiitor (6.6a) 9i (6.65)relatia (6.62) devine:n"*q+N+fr=O

frt r tr I Ir /I-

I-

I I I I II

llAocanicr ti Statica(6 64) Rt ( Fr-", (6.6e)

Mecanica * StaticaR=Rt+Rn

unde:

Rt - este componenta dupd tangenta (t-t) la curbd in punctul M;Rn - este componenta dupd normala (n-n) din planul normal la curbd inpunctul M, directie obtinutd prin intersectia planului determinat de R si R, cuplanul normal.

AnalizAnd efectul fi ecd re i componente constatdm :R.. - tinoe sd deplaseze punctul M dupa directia (n-n)din planulnormal. lseopune reactiunea N a curbei. Pentru echilibru trebuie sd avem:

Rn+N=0 (6 67)R, - tinde sd deplaseze punctut dupd directia tangentei (t-t) la curbd inpunctul M. I se opune forta de frecare de alunecare Fr. pentru echilibru estenecesar ca:

n, *E =oEchilibrul este posibil numai dacd:

Pentru toate pozitiile de echilibru la limitd c6nd rezultanta R- variazd cadirectie (modulul rdm6ne constant) suportul aceasteia va descrie un con cudoud panze av6nd varful in punctul iil, axa de simetrie tangentd la curbii inpunctul M si semiunghiul la varf egal cu i - q, numit con de frecare (fig. 6.9).

"2

(9_

Fig. 6.9

Daci se noteazd cu p unghiulformat de rezultanta R- cu tangenta (t-t) lacurbd rezultd:

B:1-''2Cdnd suportul rezultantei R cade in alara

G r;_9iRt < Fr.., ) atunci echilibrul este posibil.c6nd suportul rezultantei R cade dupd generatoarea conului de frecare

rc =;- etRt = Fr-", ) atunci echilibrul este la limitd de alunecare.CAnd suportul rezultantei R cade in interiorul conului de frecare

$.;-eiRt rFrr",) atunci echilibrul nu este posibil deoarece aparetendinta de miscare in lungul tangentei la curbd.

(6.65)

(6 66). (6.70)

conului de frecare

tr(x,Y,z) =

(6.68)

42


44/71

Mecsnice r Statica

7.1.1. SOLID Rlclp LIBER lN SPATIU

Pozilia unui solid rigid (S) liber in spatju se determind cunoscdnd coor-donatele a trei puncte necoliniare aparlindnd solidului rigid At{x,r,Y1,z1l,A2(k2, 2,2, ), A.(x3rYr'2. ) (fi9. 7.1)'

Fig.7.1 Fig.7.2

l


45/71

Mecanica + Strticr7.2. STATICA (ECHILIBRUL) SOLIDULUI RIGID LIBER.

un solid rigid este liber in spatiu dacd nu i se impune nici o restrictiegeometricS, adici poate sd ocupe orice pozitie ln spatiu dependentd numaide fo4ele care fl actioneaze. Fie un solid rigid (S) liber in spaliu supus acliuniiunui sistem de forle active date Fr,f,,...,-f". fend reducerea acestui sistemde forle active in raport cu un punct oarecare o apartindnd solidului rigidobtinem torsorul:

ln=lE"'tono l2',,.q (7'sl

conditia necesard pentru ca solidul rigid (s) si fie in echilibru sub actiuneasistemului de forle date Fr,-F2,...,-Fn este ca torsorul de reducere calculat inraport cu un puncl oarecare O apartinAnd solidului si fie egal cu zero, adicd:

Mecgnice + Strtic.

7.3. STATIGA (EGHILIBRUL) SOLIDULUI RIGID SUPUS LALEGATURI

Legitura este o restic$e geometricd ce reduce (diminueazd) numirulgradelor de libertate ale unuisolid rigid.

Studiul echilibrului unui solid rigid supus la legdturi se face aplicdndaxioma leqdturilor adid:"Oice legdturd ooate fi suorim#

in felul acesta solidul rigid devine liber sub acliunea fortelor active directaplicate si sub acliunea fo(elor de legiturS, iar echilibrul lui se studiazi cuecualiile itaOititr la solidul rigid tiber. Rezultii ci un solid rigid (S) supus lalegituri in urma suprimdrii iegdturilor este ac[ionat de urmdtoarele tipuri defo(e 9i cupluri (momente):

- fortp 9i cupluri active direct aplicate;- forte gi cupluri de legdturd.

Fig.7.5Pentru a stabili cond(iile de ectrilibru ale unui solid rigid supus la legdturi se

considerd un solid rlgiO (Sr) ac$onat de fortele exterioare Aate -Fr,Fr,---,F.,

fiind supus unei legdturi cg solidul (Si in punctul teoretic de contact O(fi9. 7.5) (tipul de legdturd nefiind precizat).

Fdcand reducerea sistemului de fortp active date F1,F2,^-,Fn in raportcu punctul O, ob$nern torsorul:

(7.4)

Ecuatiile vectoriale definite de relalia (7.4) conduc la gase earalii scalare deechilibru:R,, = I4r =0Ry=IFv=OR= = )Fo =gM, =I(yiFu-z;F;r)=0Mr= (z,Fn-x;F2)=0M.:l(x,Fr-y;Fn)=9

(7.s)

Da sistemul de fortp care aclioneazl asupra solidului rigid (S) este unsistem de fortp plan (Ory), atunci relatiile vectoriale definite de rela$a (7.4)conduc la trei ecuatii scalare de echilibru:

Rr=lFn=0R, =)F;, =0M.=)(x;F-n-yiFir)=0Cu ajutorul ecuatiilor definite de relatia (7.5) pot fi determinati cei gase

paramelri(coordonatele generalizate) care dau pozi[ia de echilibru a soliduluirigid liberin spaliu,

Ecuatiile (7.6) ne permit sd determindm numdrul parametrilor scalaricare determini pozitia unui solid rigid liber in plan (coordonatele unui punct siunghiulde rotatie).

IR:IF,=O'[n{-"lMo=E4*4=o

(7.6)

;i/--r__:

I oo


46/71

MecanieN + Statica

.^l-1= IE (7.7)'t ltt. = Ir, "EDatoriti deformabilitdlii corpurilor, in zona de contact corpurile se

delormeart iar contactul nu se produce punctiform ci pe o anumiti suprafa{a

unde apar forlele de legiturd p, avAnd o distribulie de obicei necunoscutd'

Reducind aceste fortp delegdturd

',in raport cu acelasi punct O apartindnd

legdturii oblinem lorsorul fortplor de legdturd:

Mccanica * Strtica

- IR = tE tz.10)-otmo= In "E

Seceresdsedeterminefort3careinlocuie$emecanicechivalentlegdfura.

(s')plan tangent

(sr)

Fig.7,6

ln acest scop se descompun elementele torsorului de reducere R

doui comPonente astfel:n=R" *&

unde:F"- este componenta dupi normala (n-n)' normald dusd in punctul

teoretic de contact O la cele doud suprafele;

R, - este componenta dupd direc$a (tr:tr) con$iutd in planul tangentdus la cele doud suprafete in punctul de contact o, direc$e debrminatd prininterseclia planului determinat de F 9i F" "' planultangent'

ilo = lVh *-lttunde:

-trln - este componenta Oupa normala (n-n);il. - este componenta dupd direclia (te -tz) din planuttangent' dire{e

determinatd din interseclia planului determinat de Mo 9i t{ cu plantrltangent.

(7.8)

condi{ia de echilibru se exprimd prin urmdterele ecuatii vectoriale:

E+fr= 0 g.9)ilo *-ul = o

care proiectate pe axele unui sistem de coordonate convenabil ales conduc la

b) aspectul mecanic actici determinarea tortplor care inlocuiescmecanic echivalent legdtura'

Reazemul simplu este legdfura prin care un solid rigid este obligat sd

r5m5nd in permanen 5 in contactcu o

suprafapsau o curbS dati.

a) Asoectul oeometric. simpla rezemare reduce solidului tigid ungrad de tiUettate (posibilitatea de deplagare in lungul normalei la suprafapLu curbi, normalS dusd in punctulteorelic de contact)- Rezulti un solidrigid simplu rezemat are in spa$u cinci grade de libertate iar in plan doud'

b) Aspectul mecanic. Fie solidul rigid (st) simplu rezemat peste

solidul rigid (sr) in punctul teoretic de contact o (fig. 7.6)' Asupra soliduluirigid (Sr) actioneazd sistemulde fo(e active date E,Fr,"',Fn care se reduce

in raport cu punctul O la torsorul:

gi Uo in

(7.11)

(7.121


47/71

Mccanica r Statics.------- t rte ln Parte si constat5m c5:

F" - tinOe sd deplaseze solidrrl rigid (Sr) peste solidul rigid (Sz) dupdoireclia 1n-n). conform prirrcipiuluiactiuniisi reactiunii i se opune

reactiunea

normali fr. Pentru echilibru irebuie s5 avem:F +N=0

R', - tlnOesd deplaseze solidul (S1) dupi direclia (tr -tr) din ptanul tangent;

-n4 - tinOe sd roteascd (n-n);M, - tinoe sd roteascd (tz -tz) din planul tangent'Neexistdnd frecare, op posibild numaidacS:

Mec.rnice + StaticaRr= F'=0R, +N:IF' +N=0 f.19)M, = (xiFry - ;F6.) = 0

Din relaliile (7.18) gi (7.19) se poate determina reacliunea normali N.

OBSERVAIIE;

a) Reazemul simp["r se reprezinti sctrematic printr-un triunghi echilateralastfel:

- reazemsimplu fi-:A - reazem sirnplu mobil: A77777777777727- ffi-

b) Sensul reac$unii normale pentru legdturile unilater,ale se stabilesteusurintd in situatiile in care tezematea se face pe suprafete (fig' 7.7)'

Fig.7.7

in cazul punctelor sirgulare avem situalia din figura 7.8.

Rt=i4=Mt=0Din relalia (7.11) rezultd:

R=R,in baza rela$ei(7.13)Putem scrie:

F+N=0Condilia de echilibru

mecanica statica (2)

Documents