Partea nti: MECANICA NEWTONIANA

4. ELEMENTE DE MECANIC ANALITIC

Mecanica analitic studiaz dinamica sistemelor de puncte materiale supuse forelor de legtur. n acest sens, se caut metode directe de determinare a ecuaiilor de micare n care s nu mai apar forele de legtur, dei aceste fore pot fi determinate prin aplicarea metodei multiplicatorilor lui Lagrange.

Problema fundamental a mecanicii analitice este urmtoarea: se consider un sistem de N puncte materiale de mase , avnd n raport cu un referenial dat vectorii de poziie . Se cere s se determine micarea sistemului ntr-un interval de timp , dac se cunoate poziia iniial i viteza iniial a sistemului ; asupra punctelor materiale acionnd forele active i forele de legtur (L fiind numrul de legturi la care este supus sistemul).

Se observ c obiectul de studiu al mecanicii analitice este acelai cu al mecanicii newtoniene, diferena ntre aceste dou capitole ale fizicii provenind numai din metodele de studiu.

Caracteristic mecanicii analitice este utilizarea coordonatelor generalizate care nlocuiesc coordonatele carteziene, sferice, cilindrice, etc. Coordonatele generalizate reprezint numrul gradelor de libertate ale unui sistem mecanic adic, numrul micrilor posibile independente ale acestuia. Numrul gradelor de libertate este egal cu numrul parametrilor independeni necesari determinrii complete a configuraiei sistemului adic, a poziiei tuturor punctelor sale n raport cu un referenial dat, fapt care implic luarea n considerare (n prealabil) a unor relaii de legtur sau de constrngare existente n sistemul studiat.

Prin gradul de abstractizare pe care l are mecanica analitic reprezint o metod general de abordare a unor probleme de micare din diverse domenii ale fizicii (teoria relativitii restrnse, mecanica mediilor continue, electromagnetismul).

4.1. Legturi. Deplasri

Sistemul de puncte materiale este supus la legturi dac micarea acestuia este limitat de condiii suplimentare de natur geometric sau cinematic. Legtura reprezint o restricie la poziie, la vitez sau/i la acceleraie pentru particulele care formeaz sistemul. n general, legturile introduc reaciuni de legtur, adic fore necunoscute n ecuaiile de micare. Ca un exemplu se consider un pendul gravitaional. Corpul ce reprezint un oscilator poate efectua o micare numai ntr-un plan vertical, traiectoria acestuia fiind un arc de cerc. nseamn c oscilatorul este supus la o legtur (geometric) iar aceast legtur introduce o for de legtur: tensiunea din fir. Din punct de vedere matematic, legturile sunt funcii discontinue de coordonatele poziiei punctelor materiale.

n general, legturile se pot exprima sub forma:

(4.1)

ce exprim existena unor relaii de legtur ntre coordonatele, vitezele i acceleraiile punctelor materiale din sistem.

Se numete legtur geometric (sau finit) o restricie la poziie i matematic se exprim printr-o relaie de legtur ntre coordonatele punctelor materiale din sistem:

(4.2)

Rezult c pentru un moment de timp fixat sistemul de puncte materiale nu poate ocupa orice poziie n spaiu, fiind posibile numai acele poziii pentru care se verific relaia (4.2).

Legtura cinematic (sau diferenial) reprezint o restricie la vitez avnd expresia:

(4.3)

care arat faptul c pentru un moment de timp fixat, configuraia i vitezele sistemului de puncte materiale sunt precizate.

Se consider, n continuare, numai legturile cinematice care se exprim liniar n raport cu timpul, adic numai legturile cinematice de forma:

(4.4)

n general, o legtur diferenial nu se poate pune sub form finit, dar cum se vede din relaia (4.4) ne limitm la legturi difereniale integrabile de forma:

(4.5)

Exist dou criterii de clasificare a legturilor ce apar n mecanica analitic.

Boltzman clasific legturile n:

(i) legturi reonome: dac expresia analitic a legturii conine explicit timpul;

(ii) legturi scleronome: dac expresia analitic a legturii nu conine explicit timpul.

Hertz clasific legturile astfel:

(i) legturi olonome: dac expresia analitic a legturii este funcie de timp i poziie:

(ii) legturi neolonome:

de spea a I-a: dac expresia analitic a legturii este funcie de timp, poziie i viteze:

(4.6)

de spea a II-a: dac expresia analitic a legturii este funcie de timp, poziie, viteze i acceleraii:

(4.7)

Se consider c asupra sistemului de N puncte materiale acioneaz un numr n1 de legturi geometrice:

(4.8)

i un numr n2 de legturi cinematice liniare n raport cu timpul:

(4.9)

Legturile geometrice (4.8), prin derivare n raport cu timpul, pot fi nlocuite prin legturi cinematice i se obine:

(4.10)

Avnd n vedere definiia legturilor cinematice considerate n mecanica analitic, (4.4), coeficienii sunt termeni liberi de clas C(1).

(4.11)

este o vitez posibil pentru un punct material al sistemului. La un moment oarecare de timp, t, ntr-o poziie oarecare a sistemului exist o infinitate de viteze posibile. Micarea real a sistemului se face cu una din aceste viteze, vitez determinat de forele ce acioneaz asupra particulelor.

O deplasare infinitezimal posibil a sistemului este o deplasare de forma:

(4.12)

Ecuaiile care definesc deplasrile posibile se obin din relaiile (4.9) i (4.10) prin nmulirea cu dt, adic:

(4.13)

i:

(4.14)

Deplasrile posibile sunt determinate de forele care acioneaz asupra particulelor dar trebuie s fie conforme cu legturile la care este supus sistemul.

Specific mecanicii analitice este utilizarea deplasrilor virtuale. Se numete deplasare virtual orice schimbare geometric infinit mic, compatibil cu legturile, a configuraiei sistemului, de la poziia de echilibru, obinut prin variaia coordonatelor punctelor sistemului fr intervenia forelor i variaia timpului. Se va defini deplasarea virtual ca diferena a dou deplasri posibile. Deoarece exist o infinitate de deplasri posibile ale sistemului, se alege pentru acelai moment de timp t i n aceeai poziie a sistemului dup deplasri posibile:

i

Deplasarea virtual va fi definit atunci prin relaia:

(4.15)

Cum deplasrile posibile i satisfac ecuaiile (4.13) i (4.14), deplasarea virtual satisface la rndul ei ecuaiile:

(4.16)

i:

(4.17)

Deplasrile virtuale se caracterizeaz prin faptul c toate punctele sistemului sufer o deplasare sincron i n consecin factorul timp nu intervine: . Aceasta nseamn c n cazul legturilor independente de timp (legturi scleronome), deplasrile virtuale i posibile se exprim prin aceeai relaie matematic.

n cadrul sistemelor olonome s considerm o deplasare virtual efectuat la momentul de timp t (fig.4.1), atunci cnd valoarea coordonatei este:

(4.18)

Fig.4.1Deplasarea virtual va conduce la o nou poziie a sistemului:

(4.19)

Ecuaiile:

(4.20)

reprezint o curb vecin curbei:

adic o traiectorie cinematic posibil pentru sistem. Deplasrii considerate i corespunde o variaie a vitezelor:

(4.21)

Pe de alt parte derivnd relaia (4.19) n raport cu timpul se obine:

(4.22)

adic:

(4.23)

Comparnd relaiile (4.21) i (4.23) rezult:

(4.24)

Cum timpul este un parametru care fixeaz poziia sistemului pentru care are loc deplasarea virtual (esenial independent de timp), din (4.24), rezult:

;

(4.25)

Relaiile (4.25) reprezint relaiile de permutabilitate i arat c pentru sistemele olonome variaiile d i sunt permutabile ntre ele (afirmaia nu este valabil n cazul sistemelor neolonome).

Se consider c asupra unui punct material al sistemului, acioneaz fora activ , care este rezultanta forelor externe i interne ce acioneaz asupra punctului material i, de asemenea, fora care exprim existena legturilor. Fora este apriori necunoscut.

Ecuaiile de micare pentru punctele materiale ce formeaz sistemul sunt:

(4.26)

Pentru a studia sistemul ce are 6N necunoscute (3N coordonate: x1,y1,z1,...,xN,yN,zN i 3N componente ale forelor de legtur: R1x,R1y,R1z,...,RNx,RNy,RNz) se dispune de 3N+n1+n2 ecuaii (ecuaiile (4.26) retranscrise scalar i ecuaiile (4.13), (4.14)). Mai sunt necesare:

6N-(3N+n1+n2)

adic:

3N-n1-n2

ecuaii pentru a se putea rezolva sistemul. Aceste ecuaii sunt date de axioma legturilor ideale.

Legturile ideale sunt legturile ce verific inecuaia:

(4.27)

oricare ar fi deplasarea virtual reversibil comparabil cu legturile. Fizic, relaia (4.27) exprim fixarea deplasrilor virtuale n raport cu forele de legtur.4.2. Principiile mecanicii analitice

Principiile mecanicii analitice pot fi clasificate n principii difereniale (ce caracterizeaz comportarea sistemului de puncte materiale cnd acesta sufer deplasri elementare-difereniale reale sau virtuale) i principii integrale (care studiaz comportarea sistemului lund n considerare variaiile sistemului n ansamblu).

a). Principiul lucrului mecanic virtual (Principiul deplasrilor virtuale).

Dac forele rezultante ce acioneaz asupra particulelor unui sistem de puncte materiale ndeplinesc condiia:

(4.28)

unde sunt forele aplicate (active) iar sunt forele de legtur, se spune c sistemul se afl n echilibru. La echilibru fiecare punct material al sistemului poate suferi o deplasare n mod arbitrar dar aceasta nu nseamn (ntotdeauna) o deplasare real a sistemului. Cum, conform axiomei legturilor ideale: pentru , n limita considerrii egalitii (forele de legtur nu pot efectua lucru mecanic ntr-o deplasare virtual), rezult, din relaia (4.28), c:

(4.29)

Relaia (4.29) exprim matematic principiul lucrului mecanic virtual (principiul deplasrilor virtuale): ntr-o stare de echilibru suma lucrurilor mecanice virtuale ale tuturor forelor active care acioneaz asupra sistemului de puncte materiale este nul oricare ar fi deplasrile virtuale compatibile cu legturile, dac acestea nu comport frecarea.b). Principiul lui DAlambert

Axioma legturilor ideale permite scrierea ecuaiei:

.

(4.30)

care este numit ecuaia lui DAlambert i Lagrange. Aici, vectorul reprezint fora de inerie i conform ecuaiei (4.30), micarea sistemului de puncte materiale se face astfel nct n orice moment i n orice poziie, comapatibil cu legturile, lucrul mecanic al tuturor forelor active i al forelor de inerie este nul pentru orice deplasare virtual a sistemului. Ecuaia DAlambert i Lagrange permite extinderea principiului lucrului mecanic virtual pentru sistemele de puncte materiale ce nu se afl n echilibru static. Notnd:

(4.31)

i numind vectorul DAlambert, din ecuaia (4.30) se obine:

(4.32)

ce permite enunarea urmtorului principiu numit principiul lui DAlambert: o poziie a sistemului de puncte materiale aflate n micare poate fi considerat o poziie de echilibru dac la forele active n aceast poziie se adaug forele de inerie.c). Spaiul configuraiilor (Spaiul configurativ)

Se consider c sistemul de puncte materiale este supus la n1+n2 legturi olonome, adic la n1 legturi finite (geometrice) i la n2 legturi difereniale (cinematice) integrabile. Legturile difereniale pot fi integrate transformndu-se n legturi finite astfel c legturile la care este supus sistemul se pot scrie sub forma implicit:

(4.33)

Se admite c legturile sunt independente, deci c pe domeniul lor de definiie, n matricea:

exist cel puin un determinant de ordinul n1+n2 diferit de zero. Atunci din relaia (4.33), conform teoremei funciilor implicite, se pot exprima cele n1+n2 coordonate n funcie de celelalte 3N-n1-n2 coordonatele care se vor nota qk , adic:

(4.34)sau pe componente:

(4.35)

Transformrile (4.34) i (4.35) admit i transformrile inverse:

(4.36)

sau:

(4.37)

unde variabilele se numesc coordonate generalizate, coordonatele lui Lagrange sau grade de libertate.

Mulimea valorilor pe care le pot parcurge coordonatele generalizate definete spaiul configuraiilor; un spaiu (n+1)-dimensional (fig.4.2). Unei succesiuni de poziii pe care le ocup sistemul de puncte materiale ntr-un interval de timp i corespunde n spaiul configuraiilor o succesiune de puncte de ecuaii:

qk=qk(t)

(4.38)

pentru i .

Fig. 4.2.

Unei deplasri posibile i va corespunde n spaiul configuraiilor deplasarea posibil: , unde este viteza generalizat. Analog unei deplasri virtuale (n spaiul fizic, i va corespunde n spaiul configuraiilor, deplasarea virtual:

.

Deoarece:

ntre deplasrile posibile i dqk exist relaia:

(4.39)

iar ntre deplasrile virtuale i , relaia:

(4.40)

d). Principiul lui Hamilton (Principiul minimei aciuni)

Se definete pentru un sistem de N puncte materiale avnd n grade de libertate funcia lui Lagrange:

(4.41)

funcie bine determinat prin:

, (4.42)

unde i sunt energia cinetic i, respectiv, energia potenial a sistemului n reprezentarea coordonatelor generalizate. Funcia lui Lagrange conine informaia maxim asupra sistemului de puncte materiale. Funcionala:

(4.43)

se numete integrala de aciune a sistemului. Se postuleaz, conform principiul lui Hamilton numit i principiul minimei aciuni, c aceast funcional are un extremum (o valoare minim, maxim sau staionar):

(4.44)

pentru traiectoria real a sistemului. Adic, din toate micrile posibile, compatibile cu legturile, micri care n spaiul configuraiilor pornesc dintr-un acelai punct la acelai moment t1 i ajung ntr-un acelai punct la acelai moment t2, micarea real este aceea pentru care: .

4.2. Formalismul lagrangeian al mecanicii analitice

Exist trei metode (formalisme) ce permit obinerea n mecanica analitic a ecuaiilor de micare pentru sistemul de puncte materiale. Primul dintre acestea a fost elaborat de Joseph Louis Lagrange n lucrare Mecanique analytique aprut n anul 1788.

n formalismul lagrangeian pentru sistemul de N puncte materiale avnd n grade de libertate se consider ca variabile coordonatele generalizate i timpul, funcia ce caracterizeaz sistemul fiind funcia lui Lagrange.

a). Ecuaiile lui Lagrange

Ecuaiile lui Lagrange reprezint ecuaiile de micare ale sistemului de puncte materiale n reprezentarea configurativ. Aceste ecuaii sunt echivalente ecuaiilor de micare din mecanica newtonian. O metod simpl de obinere a ecuaiilor lui Lagrange are la baz principiul lui Hamilton. n acest scop se va calcula extremul funciei de aciune:

(4.45)

pentru condiiile:

,

(4.46)

ntruct configuraiile au fost fixate, i

(4.47)

deoarece deplasrile virtuale se caracterizeaz prin deplasarea sincron a punctelor sistemului.

Relaia (4.45) poate fi scris sub forma:

(4.48)

dac se are n vedere condiia (4.47).

Primul termen din integrala (4.48) se poate integra prin pri, i dac se au n vedere relaiile de permutabilitate:

se obine succesiv:

(4.49)

innd cont de condiiile (4.46), primul termen din membrul drept se anuleaz:

(4.50)

astfel nct, nlocuind (4.49), (4.50) i (4.48), se obine:

(4.51)

Deoarece variaiile sunt arbitrare i independente, integrala (4.51) se anuleaz numai dac fiecare parantez dreapt se anuleaz, adic dac sunt verificate ecuaiile:

(4.52)

care sunt ecuaiile lui Lagrange.

Ecuaiile lui Lagrange formeaz un sistem de ecuaii difereniale de ordinul doi avnd ca necunoscute funciile:

qk=qk(t,C1,...,C2n)

(4.53)

unde cele 2n constante: C1,...,C2n se determin din condiiile iniiale ale micrii:

qk(t=t0)=qok;

(4.54)

b). Proprieti ale funciei lui Lagrange

Funcia lui Lagrange acumuleaz informaia maxim referitoare la sistemul de puncte materiale i are o serie de proprieti dintre care se amintesc urmtoarele.

a). Funcia lui Lagrange nu depinde dect de coordonate i viteze generalizate; derivate de ordin superior n raport cu timpul nu intervin. Aceast dependen este conform cu faptul c starea unui sistem este conoscut dac se cunosc coordonatele i viteza.

b). ntr-un sistem nchis funcia lui Lagrange nu depinde explicit de timp. Aceast afirmaie rezult din uniformitatea timpului, din faptul c dou momente de timp sunt absolut echivalente;

c). Funcia lui Lagrange este o funcie aditiv. Astfel c, dac se consider dou sisteme izolate A i B, aflate suficient de ndeprtate pentru ca ntre ele s nu se exercite interaciuni, caracterizate de funciile lui Lagrange LA i LB, atunci la punerea sistemelor n contact, dup stabilirea echilibrului, funcia lui Lagrange pentru sistemul reunit este:ceea ce arat c ecuaiile Lagrange de micare ale fiecreia din pri A i B ale sistemului nu interacioneaz cu celelalte;

d). Funcia lui Lagrange poate fi multiplicat printr-o constant arbitrar. Din (4.52) se observ pentru L i cL, (unde c=const.) ecuaiile de micare nu se modific. Operaia de multiplicare poate fi neleas ca o schimbare a unitilor de msur pentru L. innd cont de proprietatea de aditivitate, dac unul din termenii ce intervin n funcia lui Lagrange, a sistemului reunit este multiplicat cu o constant, atunci toi ceilali termeni se vor multiplica cu aceeai constant.

e). Funcia lui Lagrange este definit pn la derivata total n raport cu timpul a unei funcii arbitrare de coordonate generalizate i de timp . Aceasta nseamn c dac un sistem mecanic este descris de funcia atunci el este descris i de urmtoarea funcie Lagrange:

(4.55)

Funcia trebuie s verifice principiul lui Hamilton:

(4.56)

ntr-adevr, cum:

iar:

deoarece variaiile sunt izocrone, rezult:

ceea ce nseamn c ecuaiile de micare descrise cu funciile L i sunt aceleai.

De asemenea, se poate demonstra i caracterul intrinsec al ecuaiilor lui Lagrange (4.52), adic se poate arta c forma acestor ecuaii nu depinde de alegerea coordonatelor .

4.3. Formalismul hamiltonian al mecanicii analitice

n cadrul formalismului hamiltonian se urmrete reducerea sistemului de ecuaii Lagrange (ecuaii difereniale de ordinul doi) la un sistem de ecuaii difereniale de ordinul nti (ecuaiile canonice ale lui Hamilton). n acest sens se introduc impulsurile generalizate care permit definirea funciei lui Hamilton ce caracterizeaz, n acest formalismul, sistemul de puncte materiale.

a). Variabilele canonice. Spaiul fazelor.

Dup cum s-a stabilit n paragraful anterior, un sistem natural (olonom cu un numr finit de grade de libertate) este caracterizat de funcia lui Lagrange: , micarea sistemului fiind determinat de sistemul de ecuaii difereniale de ordinul doi:

numite ecuaiile lui Lagrange.

Conform teoriei ecuaiilor difereniale un sistem de ecuaii difereniale de ordinul doi poate fi redus printr-o infinitate de moduri, la un sistem de ecuaii de ordinul nti. Astfel s-ar putea reduce sistemul considernd ca necunoscute funciile temporale q1(t), q2(t),...,qn(t), sau s-ar putea considera necunoscute funciile q1(t), q2(t),...,qn(t) i n funcii independente obinute ca i combinaii liniare ale funciilor .

n formalismul hamiltonian se iau ca necunoscute funciile q1(t),q2(t),...,qn(t) i funciile pk(t), , definite prin relaiile:

(4.57)

Funciile pk se numesc impulsuri generalizate i aceast denumire a lor se poate justifica astfel. Din ecuaiile lui Lagrange (4.52) se constat c dac

(ceea ce comport anularea componentei forei generalizate), atunci , fapt ce implic existena unei mrimi care se conserv n decursul micrii i care are dimensiunile unui impuls. Cele n coordonate generalizate (q1,q2,...,qn) i cele n impulsuri generalizate (p1,p2,...,pn) formeaz ansamblul variabilelor canonice, fiecare pereche (qk,pk) numindu-se pereche de variabile conjugate canonic. n aceste condiii, starea dinamic a sistemului de N puncte materiale avnd n grade de libertate va fi caracterizat de 2n variabile: n coordonate generalizate i n impulsuri conjugate canonic. Mulimea valorilor pe care le pot lua variabilele canonice formeaz spaiul fazelor numit i spaiul Gibbs, (fig.4.3), un spaiu 2n-dimensional, n care starea la momentul de timp t a sistemului de puncte materiale este reprezentat printr-un punct, iar evoluia n timp a sistemului prin traiectoria sistemului n spaiul fazelor.

Fig. 4.3.

b). Ecuaiile canonice ale lui Hamilton

Din ecuaiile de micare Lagrange (4.52), avnd n vedere relaiile de definiie pentru impulsurile generalizate (4.57), rezult:

(4.58)

Cum:

(4.59)

ntruct , i innd seama de expresiile (4.57) i (4.58), se obine:

(4.60)

Deoarece:

(4.61)

relaia (4.60) devine:

de unde:

(4.62)

Conform relaiei (4.62) se observ c starea dinamic a sistemului de puncte materiale poate fi caracterizat i de o nou funcie:

(4.63)

numit funcia lui Hamilton.

Avnd n vedere variabilele acestei funcii, se poate scrie:

(4.64)

astfel c identificnd relaiile (9.7) i (9.9), rezult:

(4.65)

sau:

Ecuaiile (4.65) sunt ecuaiile canonice ale lui Hamilton i nlocuiesc, n formalismul hamiltonian, ecuaiile de micare ale lui Lagrange, descriind evoluia temporal a sistemului de puncte materiale. Ecuaiile canonice ale lui Hamilton formeaz un sistem de 2n ecuaii difereniale de ordinul nti, avnd soluiile:

qk=qk(t,C1,C2,...,Cn)

(4.66)

pk=pk(t,C1,C2,...,Cn)

Consatntele C1,C2,...,Cn sunt determinate de condiiile iniiale ale micrii:

qk(t=t0)=q0k

pk(t=t0)=p0k;

(4.67)

c). Semnificaia fizic a funciei lui Hamilton

Din teorema funciilor implicite se poate demonstra c:

Dac se consider un sistem conservativ (scleronom), energia potenial depinde numai de coordonate i atunci:

.

iar pentru funcia lui Hamilton se obine:

.

Se observ c atunci cnd sistemul este conservativ funcia lui Hamilton numit i hamiltonianul sistemului coincide cu energia total a acestuia.

Hamiltonianul unui sistem conservativ de N puncte materiale n interaciune va fi:

iar dac punctele materiale nu sunt n interaciune:

d). Parantezele clasice Poisson

Fie o funcie arbitrar F(q1,...,qn,p1,..,pn,t) cu derivate de ordinul doi continue. Derivata total a acesteia n raport cu timpul este:

(4.68)

innd cont de ecuaiile canonice ale lui Hamilton (4.65), relaia (4.68) devine:

(4.69)

Se noteaz:

(4.70)

paranteza numindu-se paranteza clasic Poisson pentru funciile H i F . Derivata total n raport cu timpul a funciei F se scrie, acum:

(4.71)

Parantezele clasice Poisson prezint o serie de proprieti importante. Astfel, pentru trei funcii arbitrare F1,F2,,F3 de variabile q1,...,qn,p1,...,pn,t, pentru care parantezele clasice Poisson au forma:

(4.72)

se poate demonstra c:

a)

b)

c)

d)

e)

(ultima proprietate poart numele de identitatea lui Jacobi)

Ecuaiile canonice ale lui Hamilton pot fi scrise cu ajutorul parantezelor clasice Poisson. n acest sens, dac n relaia (4.72) se fac nlocuirile se obine:

iar dac se fac nlocuirile , rezult:

Ecuaiile canonice ale lui Hamilton pot fi acum scrise:

Parantezele clasice Poisson sunt utilizate n studiul integralelor prime ale unui sistem de puncte materiale.

e). Integrale prime

n anumite cazuri se pot obine informaii despre evoluia sistemului de puncte materiale fr a se rezolva ecuaiile lui Lagrange sau ecuaiile canonice ale lui Hamilton.

Astfel, pentru un sistem olonom de N puncte materiale avnd n grade de libertate, descris de funcia lui Lagrange , o relaie de forma:

se numete integral prim a sistemului de ecuaii Lagrange (8.22) dac este identic satisfcut pentru orice soluie a sistemului.

Integralele prime numite i constante ale micrii sunt des utilizate n tratarea unor probleme deoarece conduc la ecuaii difereniale de ordinul nti relativ uor de rezolvat. De asemenea, n multe cazuri integralele prime exprim legi de conservare a unor mrimi fundamentale i ofer informaii legate de natura fizic i proprietile de simetrie ale sistemului.

Dac F(t,q,p) este o integral prim, atunci:

i, avnd n vedere relaia (4.71):

(4.73)

Dac, n plus, funcia F nu depinde explicit de timp, condiia (4.73) devine:

.

(4.74)

Dac se cunosc dou integrale prime F1 i F2 ale micrii unui sistem de puncte materiale, atunci conform teoremei lui Poisson se arat c i paranteza clasic Poisson a acestor funcii este o integral prim. Trebuie ns avut n vedere n cazul aplicrii teoremei lui Poissson c un sistem cu n grade de libertate are numai 2n-1 integrale prime.

4.4. Formalismul Hamilton-Jacobi al mecanicii analitice

Conform formalismului hamiltonian, sistemului de puncte materiale i se asociaz funcia lui Hamilton ce are ca variabile coordonatele generalizate i impulsurile conjugate canonic. Evoluia sistemului de N puncte materiale avnd n grade de libertate este descris de un sistem de ecuaii difereniale de ordinul nti, numite ecuaiile canonice ale lui Hamilton, (4.65). Rezolvarea acestui sistem conduce la obinerea soluiilor:

,

n care constantele C1,,C2n se determin din condiiile iniiale ale micrii. n aceste condiii, soluiile problemei de micare considerat se pot scrie sub forma:

(4.75)

. Relaiile (4.75) se numesc transformri de contact.

Studiind proprietile matematice ale acestor transformri de contact, Hamilton i Jacobi au stabilit o nou metod de rezolvare a problemei micrii unui sistem finit de puncte materiale. Aceast metod se dovedete deosebit de eficient n cazul forelor conservative i al cmpurilor centrale. Importana teoretic a metodei rezid din faptul c ea permite s se conceap mecanica clasic dintr-un punct de vedere nou, care permite stabilirea unei analogii ntre mecanica clasic i optica geometric.

a). Ecuaia Hamilton-Jacobi

Se consider un sistem de N puncte materiale ce au n grade de libertate i se caut o ecuaie pentru integrala de aciune S, ecuaie care s caracterizeze micarea sistemului pe traiectoria real din spaiul fazelor. Pornind de la variaia aciunii pentru sistem:

,

(4.76)

cum:

,

(4.77)

se obine:

,

(4.78)

de unde:

. (4.79)

Dac se au n vedere ecuaiile canonice ale lui Hamilton, (4.65), relaia (4.79) devine:

,

adic:

. (4.80)

Din aceast relaie rezult c:

.

(4.80)n raionament s-a avut n vedere c .

Cum din relaia (4.76) se rezult c:

,

(4.81)

n conformitate cu relaiile (4.80) i (4.81), se observ c funcia aciune depinde ca variabile de timp i de coordonatele generalizate:

.

Derivata total n raport cu timpul a funciei aciune este:

i dac se ine cont de relaiile(4.80) i (4.81), ecuaia anterioar se scrie:

adic:

(4.82)

Ecuaia (4.82) se numete ecuaia Hamilton-Jacobi. La fel ca ecuaiile lui Lagrange sau ecuaiile canonice ale lui Hamilton, ecuaia Hamilton-Jacobi constituie punctul de plecare al unei metode de integrare a ecuaiilor de micare.

Aceast ecuaie capt o form mai simpl n cazul sistemelor conservative pentru care aciunea sistemului poate fi scris sub forma:

(4.83)

adic, dac este posibil s se separe variabilele (coordonatele generalizate de timp). Funcia S0 depinde numai de coordonatele generalizate ale sistemului de puncte materiale i se numete aciune restrns a sistemului. Din ecuaia (4.82), introducnd expresia (4.83), rezult urmtoarea form independent de timp a ecuaiei Hamilton-Jacobi:

(4.84)

b). Integrarea ecuaiei Hamilton-Jacobi

Ecuaia Hamilton-Jacobi este o ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti, avnd ca variabile independente coordonatele generalizate q1,,qn i timpul t. Ca urmare ,pentru un sistem cu n grade de libertate, soluia ecuaiei va conine n+1 constante de integrare independente. Pe de alt parte, ntruct funcia S apare n ecuaia Hamilton-Jacobi numai prin intermediul derivatelor sale pariale, una din constantele arbitrare apare n integrala complet ca o mrime aditiv, astfel nct integrala complet a ecuaiei Hamilton-Jacobi este de forma:

(4.85)

unde constantele arbitrare sunt determinate de condiiile iniiale ale micrii.

4.5. Teoreme de conservare n mecanica analitic

Valoarea constant a integralelor prime depinde numai de condiiile iniiale ale sistemului. Dintre toate integralele prime posibile, cele mai importante sunt cele care sunt legate de proprietile fundamentale ale timpului i spaiului i anume, de invariana lagrangeianului fa de translaii i rotaii.

a). Transformri de simetrie. Teorema lui Noether.

Transformrile punctuale:

(4.86)

i

(4.87)

se numesc transformri de simetrie, dac ecuaiile lui Lagrange pstreaz aceeai form att n coordonatele (q,t) ct i n coordonatele Dac transformrile de simetrie sunt continue, atunci ele pot fi scrise astfel:

(4.88)

(4.89)

unde i sunt transformri infinitezimale care aplicate n mod repetat, genereaz transformrile (4.86) i (4.87).

Invariaia aciunii sistemului la transformrile de simetrie cere ca:

.

(4.90)

S-a artat c ecuaiile de micare rmn neschimbate dac funcia lui Lagrange se modific astfel:

,

unde este o funcie arbitrar ce depinde de q i t i nu depinde de . Deci, dup efectuarea transformrilor de simetrie este necesar s existe relaia:

(4.91)

nlocuind (4.91) n (4.90), rezult:

Sau, considernd cazul transformrilor de simetrie continue relaia anterioar devine:

Dezvoltnd n serie i reinnd numai termenii infinitezimali de ordin inferior, rezult:

(4.92)

Deci, pentru ca o transformare s fie transformare de simetrie este necesar ca:

(4.93)

Dac se au n vedere ecuaiile lui Lagrange, ecuaia (4.93) devine:

(4.94)

ceea ce reprezint forma uzual pentru o teorem de conservare, n parantez aflndu-se mrimea conservat. Ca atare:

const. (4.95)

Relaia (4.95) permite enunarea urmtoarei teoreme (teorema lui Noether): pentru fiecare transformare de simetrie infinitezimal continu, exist o lege de conservare.

b). Teorema conservrii impulsului mecanic total

Aceast teorem este rezultatul proprietii de omogenitate a spaiului i este reflectat prin invariaia funciei lui Lagrange la translaia spaial. Prin aceast omogenitate se ntelege c, ntr-un sistem izolat, proprietile mecanice ale sistemului rmn aceleai n urma unei translaii spaiale, adic funcia lui Lagrange nu se modific.

Se numete translaie, deplasarea spaial n care toate punctele sistemului se mic n acelai sens i n aceeai direcie cu acelai segment i cu aceeai vitez. O astfel de translaie se descrie prin relaiile:

,

(4.96)

vectorii de poziie fiind coordonatele generalizate ale sistemului (), iar fiind un vector elementar (infinitezimal), orientat n direcia deplasrii, acelai pentru toate punctele materiale ce formeaz sistemul, adic:

const.,

(4.97)

oricare ar fi .

Variaia funciei Lagrange la translaia spaial, utiliznd notaia colectiv , se scrie:

sau, dezvoltnd primul termen din membrul drept al relaiei n serie Taylor i reinnd numai termenii liniari:

,

adic:

.

(4.98)

Din invariana funciei lui Lagrange: , i innd cont de relaia (4.97), se obine n (4.98):

de unde:

(4.99)

Conform ecuaiilor lui Lagrange, ce au n cazul de fa expresia:

rezult:

,

astfel c, relaia (4.99) devine:

,

adic:

,

sau:

,

de unde:

const.

(4.100)

Avnd n vedere alegerea vectorilor de poziie ca i coordonate carteziene, impulsurile generalizate coincid cu impulsurile mecanice ale particulelor ce formeaz sistemul:

,

(4.101)

astfel nct relaiile (4.100) i (4.101) arat c pentru un sistem izolat impulsul total se conserv, adic este o integral prim a micrii.

c). Teorema conservrii momentului cinetic total

Teorema momentului cinetic (momentul cinetic total se definete prin: ) rezult din proprietatea de izotropie a spaiului care se reflect, n acest caz, prin invariana funciei lui Lagrange la rotaii, adic proprietile mecanice ale unui sistem nchis descris de funcia lui Lagrange, L, nu se modific n urma unei rotaii ntr-un spaiu izotrop. Se presupune c toate punctele sistemului sufer o rotaie infinitezimal de acelai unghi , n aceeai direcie i n acelai sens, n jurul unei axe definit prin versorul . Se definete vectorul elementar constant orientat dup axa de rotaie i avnd mrimea unghiului .

Din fig.4.4 rezult:

,

(4.102)

deci:

.

(4.103)

Relaia (4.103) arat c vectorul este perpendicular pe planul determinat de axa de rotaie i vectorul de poziie . Cum este un vector constant, derivnd relaia (11.38) n raport cu timpul, se obine:

(4.104)

sau:

unde este viteza punctului material, iar variaia elementar a vectorului vitez. Alegnd ca i coordonate generalizate vectorii de poziie ai particulelor sistemului (), invariaia funciei lui Lagrange la rotaie se scrie:

.

(4.105)

Dezvoltnd primul termen din membrul drept al egalitii (4.105) n serie Taylor i pstrnd numai termenii liniari, dup simplificri, se obine:

.

(4.106)

Cum:

i

(4.107)

i avnd n vedere relaiile (4.103) i (4.104), relaia (4.106) devine:

,

sau:

,

(4.108)

dac se ine seama de proprietatea produsului mixt a trei vectori (). Urmeaz apoi, din (4.108):

i:

,

astfel c:

deci:

=const.

(4.109)

ceea ce arat c prin rotirea unui sistem nchis, momentul cinetic total se conserv, adic este o integral prim a micrii.

d). Teorema conservrii energiei mecanice

Aceast teorem este o consecin a proprietii de uniformitate a timpului, adic a independenei legilor de micare ale sistemului de alegerea originii timpului ce determin invariana funciei lui Lagrange la translaia temporal. Translaia n timp este o transformare de simetrie n condiia n care funcia lui Lagrange nu depinde explicit de timp, adic:

.

(4.110)

Invariaia temporal a funciei lui Lagrange se scrie:

, (4.111)

sau:

,

(4.112)

dac primul termen din membrul drept al relaiei (4.111) se dezvolt n serie Taylor pstrndu-se numai termenii liniari i se ine seama de condiia (4.110). Derivnd, acum, funcia lui Lagrange (care n cazul sistemelor conservative-scleronome-considerate nu depinde explicit de timp), rezult:

Avnd n vedere ecuaiile lui Lagrange, relaia anterioar poate fi scris:

sau succesiv:

,

adic:

.

(4.113)

Cum:

,

n paranteza relaiei (4.113) se gsete tocmai funcia lui Hamilton, astfel c:

.

(4.114)

Deoarece sistemul considerat este scleronom, funcia lui Hamilton coincide cu energia total a sistemului:

i din relaia (4.114), rezult:

const.,

(4.115)

adic, energia total a sistemului scleronom se conserv.

Rezult c funcia lui Hamilton, ce coincide cu energia total a sistemului scleronom, este constant, adic:

const.

(4.116)

n spaiul fazelor orice ecuaie de forma (4.116) reprezint o hipersuprafa, adic o varietate cu 2n-1 dimensiuni. Cnd relaia (4.116) este valabil, numai 2n-1 din cele 2n variabile q1,...,qn,p1,...,pn sunt independente. Faptul c exist numai 2n-1 variabile independente rezult i din irul de egaliti:

, (4.117)

ce se obin eliminnd timpul dintre ecuaiile canonice ale lui Hamilton. n relaia (4.117) sunt numai 2n-1 egaliti independente, deci pentru funcia lui Hamilton rmn numai 2n-1 variabile independente. Teorema conservrii energiei mecanice afirm c sistemul conservativ evolueaz astfel nct traiectoria sa n spaiul fazelor este continu n hipersuprafaa de energie constant dat de ecuaia (4.116).x

y

z

O

A(t0)

B(t)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

q (n dimensiuni)

t (timp)

(q0,t0)

(q,t)

A(t0)

B(t)

p n - dimensiuni

n-dimensiuni

q

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(

EMBED Equation.3

Fig. 4.4

PAGE 83

_1035671732.unknown

_1035750637.unknown

_1040026138.unknown

_1040033706.unknown

_1040034748.unknown

_1040034998.unknown

_1040035205.unknown

_1041626303.unknown

_1041630259.unknown

_1173272422.unknown

_1041627573.unknown

_1041623994.unknown

_1041626254.unknown

_1040035166.unknown

_1040035183.unknown

_1040035092.unknown

_1040034966.unknown

_1040034988.unknown

_1040034943.unknown

_1040034351.unknown

_1040034466.unknown

_1040034740.unknown

_1040034359.unknown

_1040033917.unknown

_1040033931.unknown

_1040033822.unknown

_1040028446.unknown

_1040033291.unknown

_1040033447.unknown

_1040028562.unknown

_1040027895.unknown

_1040028401.unknown

_1040027828.unknown

_1036353832.unknown

_1036956011.unknown

_1036956515.unknown

_1036957248.unknown

_1036957326.unknown

_1036957420.unknown

_1036957805.unknown

_1036957830.unknown

_1036957538.unknown

_1036957351.unknown

_1036957280.unknown

_1036957186.unknown

_1036957235.unknown

_1036956882.unknown

_1036957145.unknown

_1036956920.unknown

_1036956812.unknown

_1036956853.unknown

_1036956776.unknown

_1036956179.unknown

_1036956300.unknown

_1036956110.unknown

_1036955722.unknown

_1036955881.unknown

_1036955944.unknown

_1036955832.unknown

_1036354033.unknown

_1036354072.unknown

_1036353886.unknown

_1036352562.unknown

_1036353661.unknown

_1036353741.unknown

_1036353802.unknown

_1036353717.unknown

_1036353030.unknown

_1036353069.unknown

_1036352620.unknown

_1035751049.unknown

_1036351804.unknown

_1036352019.unknown

_1035751082.unknown

_1035750964.unknown

_1035751031.unknown

_1035750676.unknown

_1035745801.unknown

_1035746427.unknown

_1035750299.unknown

_1035750544.unknown

_1035750597.unknown

_1035750458.unknown

_1035750219.unknown

_1035750240.unknown

_1035750191.unknown

_1035746225.unknown

_1035746312.unknown

_1035746370.unknown

_1035746279.unknown

_1035746176.unknown

_1035746200.unknown

_1035745824.unknown

_1035672275.unknown

_1035744974.unknown

_1035745719.unknown

_1035745741.unknown

_1035745655.unknown

_1035672885.unknown

_1035672945.unknown

_1035672571.unknown

_1035672729.unknown

_1035672599.unknown

_1035672495.unknown

_1035672053.unknown

_1035672214.unknown

_1035672239.unknown

_1035672201.unknown

_1035671995.unknown

_1035672032.unknown

_1035671956.unknown

_995018111.unknown

_995056008.unknown

_995085088.unknown

_995088835.unknown

_995094517.unknown

_1019588960.unknown

_1019635509.unknown

_1019635793.unknown

_1035671731.unknown

_1019637724.unknown

_1019635651.unknown

_1019634545.unknown

_1019634834.unknown

_1019589142.unknown

_1019584267.unknown

_1019588693.unknown

_995094871.unknown

_995095402.unknown

_995095447.unknown

_995095105.unknown

_995094597.unknown

_995094181.unknown

_995094385.unknown

_995094445.unknown

_995094309.unknown

_995090755.unknown

_995094039.unknown

_995089258.unknown

_995086731.unknown

_995087221.unknown

_995088253.unknown

_995088697.unknown

_995087887.unknown

_995086806.unknown

_995086946.unknown

_995086786.unknown

_995085996.unknown

_995086090.unknown

_995086573.unknown

_995086043.unknown

_995085602.unknown

_995085935.unknown

_995085181.unknown

_995084258.unknown

_995084708.unknown

_995084947.unknown

_995085022.unknown

_995084840.unknown

_995084493.unknown

_995084576.unknown

_995084440.unknown

_995058380.unknown

_995058474.unknown

_995058517.unknown

_995058415.unknown

_995057191.unknown

_995058345.unknown

_995056195.unknown

_995025600.unknown

_995054706.unknown

_995055627.unknown

_995055910.unknown

_995055965.unknown

_995055647.unknown

_995055503.unknown

_995055594.unknown

_995055164.unknown

_995027226.unknown

_995027470.unknown

_995051630.unknown

_995027361.unknown

_995026996.unknown

_995027154.unknown

_995026849.unknown

_995022506.unknown

_995024789.unknown

_995025036.unknown

_995025059.unknown

_995024935.unknown

_995024675.unknown

_995024772.unknown

_995022624.unknown

_995020000.unknown

_995022034.unknown

_995022401.unknown

_995021925.unknown

_995019166.unknown

_995019857.unknown

_995019121.unknown

_994916486.unknown

_995001948.unknown

_995002773.unknown

_995003442.unknown

_995015339.unknown

_995016759.unknown

_995004159.unknown

_995003003.unknown

_995003214.unknown

_995002984.unknown

_995002375.unknown

_995002445.unknown

_995002612.unknown

_995002404.unknown

_995002284.unknown

_995002312.unknown

_995002259.unknown

_994941179.unknown

_994985579.unknown

_995000863.unknown

_995001706.unknown

_995000524.unknown

_994985488.unknown

_994985527.unknown

_994985091.unknown

_994985481.unknown

_994916957.unknown

_994917715.unknown

_994941136.unknown

_994917567.unknown

_994916801.unknown

_994916919.unknown

_994916654.unknown

_994911995.unknown

_994914576.unknown

_994915797.unknown

_994916065.unknown

_994916335.unknown

_994915864.unknown

_994915101.unknown

_994915164.unknown

_994914626.unknown

_994914369.unknown

_994914478.unknown

_994914553.unknown

_994914417.unknown

_994912864.unknown

_994912946.unknown

_994912689.unknown

_994910483.unknown

_994911521.unknown

_994911740.unknown

_994911867.unknown

_994911633.unknown

_994910715.unknown

_994910894.unknown

_994910611.unknown

_994892878.unknown

_994909358.unknown

_994909546.unknown

_994909608.unknown

_994909459.unknown

_994909189.unknown

_994909312.unknown

_994892929.unknown

_994892988.unknown

_994909112.unknown

_994892958.unknown

_994892885.unknown

_994892822.unknown

_994892862.unknown

_994892871.unknown

_994892840.unknown

_994892707.unknown

_994892816.unknown

_994892757.unknown

_994892692.unknown