cap. 2 transferul de cǍldurǍ prin conducŢie

8/7/2019 CAP. 2 TRANSFERUL DE CLDUR PRIN CONDUCIE

1/84

CAP. 2 TRANSFERUL DE CLDURPRIN CONDUCIE

2.1. ECUAIILE DIFERENIALEALE CONDUCIEI TERMICE

2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier

Aceast ecuaie care caracterizeaz conducia termicunidirecional, n regim permanent prin corpuri omogene i izotrope, frsurse interioare de cldur, reprezint ecuaia fundamental a conduciei.

Ea a fost enunat n capitolul anterior i are forma:

dx

dTq

SP! [W/m2]. (2.1)

2.1.2. Ecuaia general a conduciei termice

Aceast ecuaie caracterizeaz conducia tridimensional, n regimnestaionar, prin corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite.

Ipotezele care stau la baza determinrii acestei ecuaii sunt:- corpul este omogen i izotrop, astfel nct conductivitatea termic

este constant i are aceleai valori n toate direciile:.;constzyx !P!P!P!P

- cldura specific pc i densitatea V sunt constante n intervalul de

temperatur considerat;

- n interiorul corpului exist surse de cldur uniform distribuite cudensitatea volumic (flux termic unitar volumic) qv [W/m3] = const.;- deformarea corpului prin dilataie datorit variaiei temperaturii

este neglijabil:Pentru determinarea acestei legi se consider un element cu volumul

dv dintr-un corp (figura 2.1), pentru care se va scrie bilanul termic [20].


2/84

Bazele transferului de cldur i mas10

Fig.2.1. Conducia termic printr-un element de volum

Ecuaia bilanului termic pentru elementul dv are forma:

cldura intrat i rmas n corp cldura generat de surseprin suprafeele lui exterioare (dQ1) interioare de cldur (dQ2)

cldura acumulatn corp (dQ3)

Cldura intrat n elementul dv prin conducie dup direcia Ox, sepoate scrie, utiliznd ecuaia legii lui Fourier:

Xx

xP!X! dydzd

x

dydzdqdQsx1 [J], (2.3)

unde: dxdzeste suprafaa de schimb de cldur prin care intr cldura dupdirecia Ox.

Cldura ieit din elementul dv dup aceeai direcie, innd seama

c temperatura feei A'B'C'D'a elementului dv este dxx

x

x , va fi:

X

dydzddxx

TT

xdQ x

x

x

x

x!2 [J]. (2.4)

Cldura rmas n elementul dv dup direcia Ox va fi atunci:

dQ 2

A'A

D

C

D'

C'

B B'

T

dQx1

dQz1

dQx2

dQ 1

dQz2

x

x dx

x

O

z

+ =

=


3/84

Transferul de cldur prin conducie 11

X

X

X

X

ddvx

Tdxdydzd

x

T

dydzddxx

TT

xdydzd

x

TdQdQdQ

xxx

x

x!

x

x!

!

x

x

x

x

x

x!!

2

2

2

2

21

[J]. (2.5)

n mod analog se poate scrie cantitatea de cldur rmas nelementul dv dup direciile Oyi Oz:

X

ddvy

TdQ

y 2

2

x

x! , (2.6)

.2

2

Xx

xP! ddvz

TdQz (2.7)Cantitatea total de cldur intrat prin suprafaa lateral a

elementului dv i rmas n aceasta va fi:

,22

2

2

2

2

2

1 XP!X

x

x

x

x

x

xP! dTdvddv

z

T

y

T

x

TdQ (2.8)

unde: T2 este laplacianul temperaturii.Cantitatea de cldur generat de sursele interioare de cldur

uniform distribuite este:XddvqdQ v !2 [J] . (2.9)

Cldura acumulat n corp se poate determina utiliznd relaia:

XXx

xV!XXx

x! dTdvcdTcmdQ pp3 [J] . (2.10)

nlocuind valorile lui 321 ,, dQdQdQ n ecuaia bilanului termic

(2.2), se obine:

X

XP!XXx

x ddvqTdvdddv

Tc vp

2 , (2.11)

sau:

.2cp

qT

cp

T v

V

V

P!

Xx

x(2.12)

Definind difuzivitatea termicpc

a

V

P! ecuaia general a

conduciei are forma:

P!

Xx

x vqTT

a

21 (2.13)


4/84


Difuzivitatea termic a reprezint o proprietate fizic a unuimaterial, ea caracteriznd capacitatea acestuia de transport conductiv alcldurii.

Ecuaia general a conduciei termice are o serie de cazuriparticulare, prezentate n tabelul 2.1

Tabelul2.1

Ecuaiile difereniale ale conduciei termice

Denumire Regimul Ecuaia

Ecuaia general a

conduciei

Regim tranzitoriu cusurse interioare de

cldur P!Xx

x vq

T

T

a

21

Ecuaia lui PoissonRegim constant cu surse

interioare de cldur02 !

P v

qT

Ecuaia lui FourierRegim tranzitoriu fr

surse interioare decldur

TT

a

21!

Xx

x

Ecuaia lui LaplaceRegim constant frsurse interioare de

cldur02 ! T

n cazul corpurilor neomogene i neizotrope :

,,,zyx

PPPP!P la

care )(TV!V i )(Tcc pp ! i care au surse interne de cldur discrete n

punctele xi, yi, zi, cu densitile ,,,, Xiiii zyxq ecuaia general a conducieise poate scrie [39] :

.,,,0 XP

PPX

V

ii

n

ii

iz

yxp

zyxqz

T

z

y

T

yx

TTTTc

!

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x!

x

x

(2.14)


5/84


2.1.3. Condiii de determinare univoca proceselor de conducie

Ecuaiile difereniale prezentate descriu o scar larg de procese deconducie termic. Pentru descrierea unui proces concret de transferconductiv, ecuaiilor difereniale trebuie s li se ataeze condiii dedeterminare univoca procesului.

Aceste condiii sunt de urmtoarele tipuri:Condiii geometrice, care dau forma i dimensiunile spaiului n

care se desfoar procesul de conducie.Condiii fizice, care dau proprietile fizice ale corpului:

pc,,VP i

variaia surselor interioare de cldur.Condiiile iniiale, care apar n cazul proceselor nestaionare i daude obicei, valorile cmpului de temperatur, la momentul iniial 0!X .

Condiiile limit sau de contur, care definesc legtura corpului cumediul ambiant i care se pot defini n mai multe forme [36] :

a) Condiiile la limit de ordinul I (condiii Dirichlet) se refer lacunoaterea cmpului de temperatur pe suprafaa corpului n orice momentde timp: .,,, XzyxTp

Un caz particular al acestui tip de condiii la limit este cel n caresuprafaa corpului este izoterm n timp: ctTp ! .

b) Condiiile limit de ordinul II (condiii Neumann), la care se

cunosc valorile fluxului termic unitar pe contur n orice moment de timp: X!

x

xP! ,,, zyxf

n

Tq

p

sp (2.15)

n acest caz exist dou cazuri particulare:- fluxul termic unitar pe suprafa este constant: .constqsp ! ;

- fluxul termic unitar la suprafa este nul (corp izolat termic,adiabat):

.0!

x

x

pn

T(2.16)

c) Condiiile la limit de ordinul III, la care se dau temperatura

fluidului care nconjoar corpul fT i legea de transfer de cldur ntrecorp i fluid.

n cazul n care transferul de cldur ntre corp i fluid se realizeazprin convecie, condiia la limit de ordinul III se scrie:


6/84


).( fpp

TTn

TE!

x

xP (2.17)

d) Condiiile limit de ordinul IV, care caracterizeaz condiiile detransfer la interfaa dintre dou corpuri solide de naturi diferite (figura 2.2)

Fig.2.2 Condiii la limit de ordinul IV

n cazul n care contactul ntre cele dou corpuri este perfect (nuexist rezistene termice de contact), fluxul termic unitar de suprafa fiind

acelai n ambele corpuri, condiiile la limit de ordinul IV se scriu:

.221

1pp dx

dT

dx

dT

P!

P (2.18)

La interfaa de contact pantele celor dou variaii ale temperaturilorndeplinesc condiia:

.1

2

2

1 consttg

tg!

P

P!

N

N(2.19)

2.1.4. Conductivitatea termic

Conductivitatea termic se definete din ecuaia legii lui Fourier:

Tgrand

qs!P [W/(mK)] . (2.20)

Solid 1 Solid 2

T

x

T

T1

N1

T2N2

P1 P2


7/84


Ea reprezint fluxul transmis prin conducie prin unitatea desuprafa izoterm la un gradient de temperatur de 1K/m.

Conductivitatea termic este o proprietate a corpurilor care depindede natura acesteia, temperatur i presiune. Ordinul de mrime alconductivitii termice pentru diferite materiale este prezentat n figura 2.3[39].

Fig. 2.3. Ordinul de mrime al conductivitii termicepentru diferite materiale [20]

Pentru corpurile solide influena presiunii asupra lui P esteneglijabil, variaia cu temperatura avnd forma:

TFsP!P 10 [W/(mK)] (2.21)Variaiile conductivitii termice pentru cteva solide, lichide sau gaze suntprezentate n figurile (2.4), (2.5) i (2.6) [20].


8/84


Fig.2.4. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru solide

Fig. 2.5. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru lichide


9/84


Fig.2.6. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru gaze

2.2. Conducia termic unidirecionaln regim constant

2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simplefr surse interioare de cldur

2.2.1.1. Peretele plan

Se consider un perete plan ci grosimea Hp, dintr-un material cuconductivitatea termic Pp, prin care se transmite cldura de la un fluid caldcu temperatura Tf1, la un fluid rece cu temperatura Tf2 (figura 2.7)

a) Conducia la limit de ordinul I

n acest caz mrimile cunoscute sunt: grosimea peretelui H, n m;conductivitatea termic Pp, n W/(mK); temperaturile celor doi perei Tp1 iTp2, suprafaa peretelui S, n m

2.


10/84


Se ce mrimile: cmpul de temperatur T(x), fluxul termic unitar qsi fluxul termic Q.

n acest caz conducia fiind unidirecional, n regim permanent, frsurse interioare de cldur se poate pleca de la ecuaia legii lui Fourier:

Fig. 2.7 Conducia termic printr-un perete plan

dx

dTqs

P! (2.22)

Prin separarea variabilelor i integrare se obine:

H

P!2

10

p

p

p T

T

ps dTdxq , (2.23)

sau: 21 pppps TTq P!H . (2.24)

Rezult:

Tp1

Fluid caldE1

Fluid receE2

Tf1

Tf2

Tp2

xx =Hp

Pp

Tf1Tf2

Rs1 Rs2 Rs3Tp1 Tp2

qs


11/84


p

p

pp

s

TTq

P

H

!

21[W/m3] . (2.25)

Comparnd ecuaia (2.25) cu ecuaia analogiei electrice (1.8), rezultc rezistena termic conductiv pentru un perete plan este:

p

p

sR

P

H! [(m2K)/W] (2.26)

Fluxul termic va fi:

Q = qsS [W] (2.27]

Pentru determinarea cmpului de temperatur ecuaia (2.22) se vaintegra de la 0 la x, respectiv de la Tp1 la T(x). Rezult:

qsx = P [Tp1T(x)] , (2.28)

de unde, nlocuind pe qs cu valoarea din (2.25), rezult:

xTT

TTp

pp

px H

!

211 . (2.29)

Rezult c variaia temperaturii prin perete este linear.n cazul n care conductivitatea termic nu este constant, ci variaz

liniar cu temperatura:

P = P0(1 + FT) [W/(mK)] , (2.30)

ecuaia legii lui Fouriei va fi:

dx

dTTq

s )1(0 FP! [W/m2] . (2.31)


2221210 2 pppppsTTTTq FP!H , (2.32)

sau:

21210

21 pp

pp

p

sTT

TTq

F

H

P! [W/m2] , (2.33)


12/84


21 ppms TTq HP

! [W/m2] . (2.34)

Rezult c n acest caz pentru determinarea fluxului termic unitar sepoate utiliza aceeai ecuaia ca pentru cazul P = ct., conductivitatea termiccalculndu-se la temperatura medie a peretelui Tm = 0,5 (Tp1 + Tp2).

n cazul n care P = P0 (1 + FT), cmpul de temperatur, determinatanalog ca pentru P = ct., are forma:

F

FP

F!

121)(

0

2

1

xqTxT sp . (2.35)

Variaia temperaturii prin perete n acest caz este prezentat n figura2.8.

Fig. 2.8 Distribuia temperaturii la conduciatermic printr-un perete plan omogen

b) Condiii la limit de ordinul III

n acest caz mrimile cunoscute sunt temperaturile celor dou fluideTf1 i Tf2, cei doi coeficieni de convecie E1 i E2, grosimea iconductivitatea termic a peretelui Hp i Pp, suprafaa de schimb de cldurS.

Tp1

Tp2

P = const.(F=0)

P=P0(1+Ft)

T(x)

T

H

F0


13/84


Se cere determinarea fluxului termic unitarqs, a fluxului termic i atemperaturilor peretelui Tp1 i Tp2.

Fluxul termic unitar de suprafa se poate scrie n acest caz:

22221111 fpppp

p

pfs TTTTTTq E!H

P!E! [W/m2] (2.36)

Din aceste egaliti vor rezulta:

E!

P

H!

E!

222

21

111

1

1

sfp

p

p

spp

spf

qTT

qTT

qTT

(2.37)

Prin nsumare se obine:

E

P

H

E!

2121

11

p

p

sffqTT . (2.38)

Rezult fluxul termic unitar de suprafa:

21

21

11

E

P

H

E

!

p

p

ff

s

TTq [W/m2] . (2.39)

La acelai rezultata se ajunge folosind analogia electric atransferului de cldur. n acest caz apar trei rezistene termice nseriate:

Rst = Rs1 + Rs2 + Rs3 [(m2K)/W] , (2.40)

unde: Rs1 este rezistena termic convectiv la transferul ntre fluidul caldi perete; Rs2 rezistena termic conductiv prin perete; Rs3 rezistenatermic convectiv de la perete la fluidul rece; Rst rezistena termic total.

Fluxul termic unitar la convecie este dat de relaia lui Newton:

s

pf

pfsR

TTTTTq

(!

E

!E!

1. (2.41)

Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui plan este:


14/84


E!

1scv

R [(m2K)/W] . (2.42)

Atunci fluxul termic unitar de suprafa va fi:

21

21

11

E

P

H

E

!

(!

p

p

ff

st

s

TT

R

Tq [W/m2] . (2.43]

Se definete coeficientul global de transfer de cldur Ks:

21

1111

E

P

H

E

!!

p

pst

sR

K [W/(m2K)] . (2.44)

Fluxul termic transmis va fi:

Q = KsS(Tf1Tf2) [W] . (2.45)

Temperaturile suprafeelor peretelui se stabilesc fie din ecuaiile(2.36 ), fie cu ajutorul rezistenelor termice.

n general temperatura ntr-un punct oarecare din perete se determin

cu relaia:

Tx = T0sqsRs, ox , (2.46)

unde:T0 este temperatura cunoscut ntr-un punct de referin;Rs,oxrezistena termic ntre punctul de referin i punctul cu Tx.Aplicnd relaia (2.46) rezult:

322111 sssfssfp RRqTRqTT !! ,

sau:

E

P

H!

E!

2111

112

p

p

sfsfp qTqTT ; (2.47)

i


15/84


322112 ssfsssfp RqTRRqTT !! ,

sau:

22

112

11

E!

P

H

E!

sf

p

p

sfpqTqTT . (2.48)

c) Rezistene termice de contact

Dac dou suprafee plane vin n contact una cu cealalt, contactulfizic direct, datorit rugozitii suprafeelor, se realizeaz pe o suprafa Sc,care reprezint o mic parte din suprafa total de contact S(figura 2.9)

Fig. 2.9 Rezistena termic de contact

Suprafaa efectiv de contact este funcie de rugozitatea suprafeelori de fora de strngere ntre acestea, ea reprezentnd ntre 1z8% dinsuprafaa total.

Deoarece conductivitatea termic a fluidului din interstiiile ntrecele dou suprafee este diferit de conductivitatea termic a celor dousuprafee, la suprafaa de contact apare o diferen de temperatur(Tc,datorit unei rezistene termice de contactRsc definit ca:

s

csc

q

TR

(! [(m2K)/W] . (2.49)

Mrimea invers rezistenei termice de contact este conductanatermic de contact:


16/84


scR

1* !E [W/(m2K)] . (2.50)

Rezistena termic de contact este compus din dou rezistenetermice legate n paralel: rezistena termic prin punctele solide de contactRss i rezistena termic prin fluidul din interstiii Rsf:

sfssscRRR

111*!!E [W/(m2K)] . (2.51)

Fluxul termic transmis n zona de contact va fi:

21*2121 TTSSR

TTSR

TTQ fsf

c

ss

E!! [W] . (2.52)

Dar:

2

2

1

1

P

H

P

H!

ssR , (2.53)

f

sfRP

H! . (2.54)

nlocuind valorile Rss i Rsf n ecuaia (2.52) i fcnd ipoteza: H1 =H2 = H/2, rezult:

P

PP

PP

H!E

f

fc

S

S

S

S

21

21* 21 , (2.55)

sau:

PP

H!E f

f

medc

S

S

S

S1* [W/(m2K)] , (2.56)

unde: Pmed este media armonic a conductivitii celor dou corpuri ncontact (P1 i P2).

Din relaia (2.56) rezult c rezistena termic de contact, respectivconducia termic de contact sunt dependente de:

presiunea de strngere a celor dou suprafee; rugozitatea suprafeelor;

rezistena la rupereWr a materialului cu duritate mai mic; conductivitatea termic a celor dou solide; conductivitatea termic a fluidului din interstiii.


17/84


18/84


Tabelul2.2

Caracteristicile suprafeelor n contact corespunztoarecurbelor de conductan termic din figura 2.10

Curbanr.

Perechea demateriale

Rugozitateasuprafeelor

Qm

Fluidul dininterstiiu

Temperaturamedie decontactrC

1 Aluminiu 1,221,65 Vid (10-2 Pa) 432 Aluminiu 1,65 Aer 93

3 Aluminiu

0,150,2

(neplane)

Foi de plumb

(0,2 mm) 434 Oel inoxidabil 1,081,52 Vid (10-2 Pa) 305 Oel inoxidabil 0,250,38 Vid (10-2 Pa) 306 Oel inoxidabil 2,54 Aer 937 Cupru 0,180,22 Vid (10-2 Pa) 46

8 Oel inoxidabilaluminiu

0,761,65 Aer 93

9 Magneziu0,20,41(oxidat)

Vid (10-2 Pa)30

10 Fieraluminiu Aer 27

d) Perete plan neomogen cu straturi perpendiculare

pe direcia de propagare a cldurii

Vom considera un perete plan format din 2 straturi cu rezistentermic de contact ntre ele, cu condiii la limit de ordinul III (figura 2.11).

Mrimile cunoscute n acest caz vor fi: temperaturile celor doufluide Tf1 i Tf2, coeficienii de convecie E1 i E2, grosimile celor doi pereiH1 i H2, conductivitile termice ale pereilor P1 i P2, conductana termicde contact E* i suprafaa de schimb de cldur S.

.


19/84


Fig. 2.11 Transferul cldurii ntre dou fluide printr-un perete omogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii:a distribuia temperaturii; b schema electric echivalent.

Se cer: fluxul termice unitar de suprafa qs, fluxul termic Q i temperaturilepereilorTp1, Tp2, Tp3, Tp4.

Vom porni de la schema electric echivalent care este format din 5rezistene termice nseriate. Rezult:

!

! 5

1

21

i

si

ff

s

R

TT

q [W/m2

] , (2.57)

sau, nlocuind valorile celor 5 rezistene:

(T

Tp11

11

1

E!!( ssps qRqT

*

1

E!!(

sscsc qRqT

2

222

P

H!!(

sspspqRqT

222

1

E!!( sss qRqT

1

111

P

H!!( sspsp qRqT

Tf2

Tf1

Tp2

Tp3

Tp4

H2H1

P2P1

E2

E1

qsS

a

11

1

E!sR

1

11

P

H!spR

*

1

E!

scR 2

22

P

H!spR

22

1

E!

sR

Tf1 Tf2Tp1 Tp2 Tp3 Tp4

qs

b)


20/84


22

2*

1

1

1

21

111

E

E

H

E

P

H

E

!

ff

s

TTq [W/m2] . (2.58)

Coeficientul global de transfer de cldur va fi:

22

2*

1

1

1

11111

E

P

H

E

P

H

E

!!st

sR

K [W/(m2K)] (2.59)

Fluxul termic transmis va fi:

Q = qsS= KsS(Tf1Tf2) [W] . (2.60)

Aplicnd regula dat de relaia (2.46) rezult:

11111

1

E!!

sfssfp qTRqTT ; (2.61)

P

H

E!!

1

1

112112

1sfsssfp

qTRRqTT ; (2.62)

E

PH

E!!

*1

1

1132113 11sfssssfp qTRRRqTT ; (2.63)

2224

1

E!! sfspsfp qTRqTT . (2.64)

e) Perete compozit

Pentru exemplificarea acestui caz vom considera faada unei cldiri(figura 2.12) constituit din beton cu conductivitatea termic P1 (haurat) iun material izolant (aer sau polistiren) cu conductivitatea termic P2 [1].


21/84


innd seama de simetria sistemului, acesta se poate descompune, nelemente de nlime identic b. Schema electric echivalent este compusdin 7 rezistene termice legate n serie i paralele.

Fig. 2.12 Perete compozit [1]

Rezistena termic total echivalent va fi:

76

543

21 1111

ss

sss

ssstRR

RRR

RRR

! . (2.65)

Pentru determinarea rezistenelor termice vom scrie fluxul termicunitar pe fiecare zon, considernd o lime a peretelui z, astfel ca zb=1m2.Vom obine pentru zonele omogene 1, 2, 4 i 5:

5241

12

1

111 TTTTqs (E!(H

P!(

H

P!(E! . (2.66)

H1

b3

b

b

(T3(T1 (T2 (T4 (T5

Rs2Rs1

Rs3

Rs4

Rs5

Rs6 Rs7Tf1 Tf2

Tf1 Tf2

E1 E2

b1

b2

H2 H1


22/84


Rezult:

27

1

16

1

12

11

1;;;

1

E!

P

H!

P

H!

E!

ssss RRRR [(m2K)/W] (2.67)

Pentru zona 3 care este neomogen fluxul termic unitar va fi:

332

22

2

11

2

2321 Tzbzbzbqqqq ssss (

H

P

H

P

H

P!! . (2.68)

Rezult:

12

2

12

2

2

123

1bb

zbzbR

sPH!

PH!

H

P! ; (2.69)

21

2

21

2

2

2114

1

b

b

zbzbR

sP

H!

P

H!

H

P! ; (2.70)

32

2

32

2

2

325

1

b

b

zbzbR

sP

H!

P

H!

H

P! . (2.71)

2.2.1.2. Peretele cilindric

Se consider un perete cilindric tubular cu raza interioar ri(diametrul di) i raza exterioar re (diametrul exterior de), alctuit dintr-unmaterial omogen cu conductivitatea termic P = const.

a) Condiii la limit de ordinul I

Se dau: diametrele di i de, conductivitatea termic P, lungimea l acilindrului i temperaturile pe cele dou fee Tp1 i Tp2.

Se cer: determinarea cmpului de temperatur, fluxului termic unitarlinear i fluxului termic.

n cazul peretelui cilindric suprafaa sa variaz n lungul razei i nconsecin i fluxul termic unitar de suprafa va fi variabil n funcie de


23/84


raz. Din aceste motive n acest caz se utilizeaz fluxul termic unitar linearql. Legtura ntre cele dou fluxuri unitare este:

dqqslT! [W/m] . (2.72)

Fig. 1.13 Transferul de cldur conductiv printr-un perete cilindric:a) variaia temperaturii; b) schema electric echivalent

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se pornete de laecuaia legii lui Fourier:

dr

dTSlqQ

lP!! . (2.73)

Suprafaa de schimb de cldur este: S= 2Trl. Rezult:

ri

re

di

de

Tp1

Tp2

Tf1

Tf2

drr

d

dT

l=1m

P=const.

T ql

a)

b)Tf2 Tf1Tp2 Tp1

Rl2 Rl1Rl3


24/84


dr

dTrql PT! 2 . (2.74)

Separnd variabilele i integrnd se obine:

r

drqdT

e

i

p

p

r

r

e

T

T

TP

! 22

1

, (2.75)

de unde:

i

e

pp

l

r

rTT

q

ln2

121

TP

! [W/m] . (2.76)

Din analogia electric va rezulta valoarea rezistenei termice lineare pentruperetele cilindric:

i

e

i

e

ld

d

r

rR ln

2

1ln

2

1

TPTP!! [(mK)/W] . (2.77)

Pentru determinarea ecuaiei cmpului de temperatur ecuaia (2.75)se va integra de la Tp1 la T(r), respectiv de la ri la r. Se obine:

i

lp

r

rqrTT ln

2)(1

TP! . (2.78)

nlocuind valoarea lui ql din (2.77), se obine:

)/(ln

)/(ln)( 211

ie

i

ppprr

rrTTTrT ! , (2.79)

relaie care arat c distribuia temperaturii n peretele cilindric este de tiplogaritmic.

n cazul n care conductivitatea termic este variabil linear cutemperatura: P = P0 (1+FT) ecuaia (2.74) devine:

dr

dTrTq

lTFP! 210 . (2.80)


25/84


Prin integrare ntre limitele r1 i r, respectiv Tp1 i T(r), rezult:

F

FTP

F!

1/ln1)(

0

1

2

1

rrqTrT lp . (2.81)

Distribuia temperaturii prin perete n funcie de semnul lui F esteprezentat n figura 2.14

b) Conducii la limit de ordinul III

n acest caz mrimile cunoscute vor fi: temperaturile celor doufluide Tf1 i Tf2, coeficienii de convecie Ei, Ee, diametrele i lungimeaperetelui: di, de, li conductivitatea termic P.

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se va utilizaanalogia electric a transferului termic pentru schema echivalent din figura2.13.

Fig. 2.14 Distribuia temperaturii la conduciatermic printr-un perete cilindric omogen

Fluxul termic unitar linear va fi:

d1

Pconst.(F=0)T(r)

F0

P=P0(1+TF)

Tp1

Tp2

T

d2

r

ql


26/84


321

21

lll

ff

lRRR

TTq

! [W/m] , (2.82)

unde: Rl1 i Rl3 sunt rezistene termice convective, n mK/W; Rl2 rezistena termic conductiv, n mK/W.

Pentru determinarea valorii rezistenei termice convective se pleacde la relaia legii lui Newton:

TrlTSQ (TE!(E! 2 [W] . (2.83)Rezult:

ET

(!!

d

T

l

Qql

1

[W/m] . (2.84)

Rezistena termic linear convectiv va fi:

ET!

dR cvl

1, [(mK)/W] . (2.85)

nlocuind n (2.82) valorile rezistenelor termice calculate cu (2.85)i (2.77), rezult:

eei

e

ii

ff

l

dd

d

d

TTq

ET

TP

ET

!

1ln

2

1121

[W/m] . 2.86)

Definind coeficientul global linear de transfer de cldur:

eei

e

ii

l

dd

d

d

K

ET

TP

ET

!1

ln2

111

[W/(mK)] , (2.87)

fluxul termic va fi: 21 ffl TTlKQ ! [W] . (2.88)

Pentru determinarea temperaturilor pereilor se va aplica relaia(2.46):

ei

lfllfp

d

qTRqTT

ET

!!1

1111 ; (2.89)


27/84


ee

lfllf

i

e

ii

lflllfp

dqTRqT

d

d

dqTRRqTT

ET

TPET

1

ln2

11

232

12112

!!

!

!!

. (2.90)

c) Perete cilindric neomogen cu straturi perpendicularepe direcia de propagare a cldurii

Se consider un perete cilindric format din dou straturi cu rezistentermic de contact ntre ele (figura 2.15).

Rezistena termic total este:

232

3

2*

21

2

111

2211

1ln

2

11ln

2

11

ET

TP

ET

TP

ET!

!!

dd

d

dd

d

d

RRRRRR llplclpllt

. (2.91)

Coeficientul global de schimb de cldur, fluxul termic unitar lineari fluxul termic se determin cu relaiile:

Fig. 2.15 Transferul cldurii printr-un perete cilindric neomogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii

232

3

2*

21

2

111

1ln

2

11ln

2

111

ET

TP

ET

TP

ET

!

dd

d

dd

d

d

Kl [W/(mK)];(2.92)

T1

(

T111

11

1

ET!!(

dqRqTlll

*2

1

ET!!( dqRqT llclc

2

3

222 ln2

1

d

dqRqT llplp

TP!!(

23

22

1

ET!!(

dqRqT lll

1

2

1

11 ln2

1

d

dqRqT llplp

TP!!(

T2

T2

TT4

PP

E

E

i

d1

d2

d3

E

*


28/84


11 pfll TTKq ! [W/m] . (2.93)

Temperaturile peretelui se determin analog ca n cazul anterior(relaia 2.46). Pentru exemplificare:

222

1113

lpllf

lclpllfp

RRqT

RRRqTT

!

!![rC] . (2.94)

2.2.1.3. Peretele sferic

a) Condiii la limit de ordinul I

Se consider un perete sferic (sfer goal la interior, (figura 2.16) curaza interioar r1 i cea exterioar r2, dintr-un material cu conductivitateatermic P. Se cunosc cele dou temperaturi pe suprafa Tp1 i Tp2.

Fig. 2.16 Transferul cldurii prin conducieprintr-un perete sferic omogen

T Tp1

Tp2

T(r)

r1

r2

r dr

dT

d1d2

0

P=const.


29/84


Fluxul termic, conform ecuaiei legii lui Fourier va fi:

dr

dTr

dr

dTSQ 24TP!P! [W] . (2.95)


TP!2

1

2

1

24

r

r

T

Tr

drQdT

p

p

, (2.96)

Rezult:

TP! 2121

11

4 rr

Q

TT pp . (2.97)

Fluxul termic va fi:

TP

!

TP!

21

21

21

21

11

2

111

4

dd

TT

rr

TTQ

pppp [W] . (2.98)

Rezult c rezistena termic conductiv n cazul sferic va fi:

TP! 21

11

2

1

ddRtcd [K/W] (2.99)

Prin integrarea relaiei (2.96) de la Tp1 la T(r), respectiv de la r1 la r,rezult ecuaia cmpului de temperatur:

21

1211

11 11

11

11

4)(

rr

rrTTT

rr

QTrT pppp

!

TP! (2.100)

Relaia (2.100) arat c variaia temperaturii prin perete este n acest

caz de tip hiperbolic.

b) Condiii la limit de ordinul III

Ecuaia fluxului termic convectiv n cazul sferei este:


30/84


ET

(!(ET!(E!

2

2

1

d

TTdTSQ [W] (2.101)

Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui sfericeste:

ET!

2

1

dRtcv [K/W] . (2.202)

Aplicnd analogia electric, n cazul condiiilor la limit de ordinulIII fluxul termic va fi:

222211

21

21

1

21

111

2

11

2

ET

TP

ET

!

!

!

dddd

TT

RRR

TTQ

ff

tcvtcdtcv

ff

[W] , (2.103)

sau: 21 ffsf TTKQ ! [W] . (2.104)

Rezult coeficientul global de schimb de cldur pentru peretelesferic:

222211

21

111

2

111

ET

TP

ET

!

dddd

Ksf [W/K] . (2.105)

2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simplecu surse interioare de cldur uniformdistribuite

2.2.2.1. Peretele plan

a) Perete rcit uniform pe ambele fee (fig.2.17a)Ecuaia diferenial care caracterizeaz conducia termic prin

corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite n regim permanenteste ecuaia lui Poisson, care scris pentru cmpul de temperaturunidirecional este:


31/84


32/84


01 !C i2

22H

P! v

p

qTC . (2.111)

Rezult:

HH

P!

22 1

2

xqTT vp . (2.112)

Temperatura maxim a peretelui va fi:

2

2H

P! vpm

qTT . (2.113)

Ecuaia cmpului de temperatur se poate scrie i pornind de latemperatura maxim, punnd condiia la limit:

y la x = 0 , T= Tm . (2.114)Rezult: C1 = 0; C2 = Tm i:

P!

2

2xqTT vm . (2.115)

n cazul condiiilor la limit de ordinul III, vom avea:

y la x = 0, 0!dx

dT;

y la x = H , fp

TTdx

dTE!P . (2.116)

Se obine: C1 = 0 i:

E

H! v

fp

qTT . (2.117)

nlocuind valoarea lui Tp n relaia (2.112), rezult:

HH

P

E

H!

22 1

2

xqqTT vvf . (2.118)

Fluxul termic transmis prin fiecare fa a peretelui cu suprafaa Svafi:

Hs!P!Hs!

Sqdx

dTSQ vx

2/1 [W] . (2.119)


33/84


b) Perete rcit neuniform pe cele dou fee (fig. 2.17.b)

n acest caz punnd condiiile la limit de ordinul I :y la x = 0 , T= Tp1 ;y la x = 2H , T= Tp2 ,

rezult:C2 = Tp1 i

P

H

H

! v

pp qTTC

212

1 . (2.120)

Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

112

2

22 pvppv Tx

qTTxqT

P

H

H

P! . (2.121)

Temperatura maxim se realizeaz la distana x = xm, care rezult din ecuaiadT/dx = 0 :

H

PH!

212 pp

v

m

TT

qx . (2.122)

nlocuind valoarea lui xm n ecuaia (2.121), rezult temperaturamaxim:

212

122

2

2

1

82 ppppv

v

m TTTTq

q

T H

P

P

H

! . (2.123)Fluxurile termice transmise prin cele dou fee, avnd suprafaa S

este:

P

H

H

P!! v

pp

mv

qTTSSxqQ

212

1 [W] , (2.124)

!!

HP

HPH

22 122

ppv

mv

TTqSxSqQ [W] . (2.125)

Condiiile la limit de ordinul III vor fi:

y la x = 0 , 111 fp TTdxdT

E!P ;

y la x = 2H , 22 fp TTdx

dTE!P .

Rezult temperaturile suprafeelor peretelui:


34/84


HP

E

E

E

P

H

EH

!1

2

1

212

11

21

12 vff

fp

qTT

TT ; (2.126)

H

P

E

E

E

P

H

EH

!2

1

2

121

22

21

12 vff

fp

qTT

TT . (2.127)

nlocuind aceste valori n ecuaia (2.121) se stabilete ecuaia cmpului detemperatur.

2.2.2.2. Peretele cilindric (fig. 2.18)

Ecuaia lui Poisson pentru conducia unidirecional n coordonatecilindrice are forma:

01

2

2

!P

vq

dr

dT

rdr

Td, (2.128)

cu soluia general:

21

2

ln4C

rC

rq

T

v

P! . (2.129)Punnd condiiile la limit:

y la r= 0 , 0!dr

dT;

y la r = 0 , T= Tm ,rezult: C1 = 0 i C2 = Tm. Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

P!

4

2rqTT vm . (2.130)

Temperatura peretelui se obine pentru r= R:

P

!

4

2Rq

TT vmp

. (1.131)

Fluxul termic generat n perete i transmis prin suprafaa acestuiaeste:

lTTlqRdr

dTSQ pmv

r

TP!T!P!!

42

0

[W] . (1.132)


35/84


Fig. 2.18 Perete cilindric cu surse interioarede cldur uniform distribuite

2.2.2.3. Perete cilindric tubular

n cazul transferului de cldur printr-un perete tubular, dac tubulcilindric are perei subiri (de/die 1,1) el poate fi tratat cu bun aproximaieca un perete plan. n cazul tuburilor cu perei groi (de/di > 1,1) se potntlni trei cazuri:

y tubul are suprafaa interioar izolat termic, fiind rcit numai laexterior (fig. 2.19.a);

y tubul are suprafaa exterioar izolat termic, fiind rcit numai lainterior (fig. 2.19.b);

y tubul termic este rcit pe ambele fee (fig. 1.19.c).Ecuaiile cmpului de temperatur, razei la care apare temperatura maximi fluxurile transmise prin cele dou fee sunt prezentate n tabelul 2.3

qv = const.

P = const.Tf Tf

Tp Tp

Tm

Qr+drQr

drrl

R

r0

E


36/84


Fig. 2.19. Perete tubular cu surse interioare de clduruniform distribuite:

a) rcit la exterior; b) rcit la interior; c) rcit pe ambele fee

qv=const

qv=const

qv=const

P=const.P=const.

P=const.

Suprafaizolat

termic

Suprafaizolat

termic

Fluid dercire

Fluid dercire

Fluid dercire

Fluid dercire

Re Re

Re

Ri Ri

Ri

Ti

Ti

Ti

Te

Te

Te

Tm

Rm

Qe

QeQi

Qi

a) b)

c)


37/84

Perete tubular cu surse interioare de cldur

Mrimea Rcit la exterior(fig.2.19.a)Rcit la interior

(fig.2.19.b)Rcit pe am

(fig.2.1

Cmpul detemperatur

P! 1ln2

4

22

ii

ivi

R

r

R

rRqTT

! 1ln2

4

22

ee

ev

eR

r

R

rRqTT

P

P

!

4

42

2

evei

ivi

RqTT

RrqTT

Raza la care

temperaturaeste maxim

Rm = Ri Rm = Ri

v

ie

m q

TT

R

2P

!

Fluxultransmisprin pereteleinterior

viei lqRRQ 22 T! 0 mi RQ 2 T!

Fluxultransmisprin pereteleexterior

0 viee lqRRQ 22 T! ee RQ 2 T!


38/84


2.2.3. Conducia termic prinsuprafee extinse

n cazul transferului de cldur ntre un fluid cald i unul rece, printr-o suprafa de schimb de cldur, coeficientul global de schimb decldur este mai mic dect cel mai mic coeficient de convecie (Ks 4.2.2.3.4. Transferul de cldur printr-un

perete nervurat

Dac se consider un perete plan nervurat pe una din pri cusuprafaa pe partea ne nervurat S1 i suprafaa pe partea nervurat St:

St = Sn + Snn [m2] (2.182)

unde: Sn, Snn sunt suprafa nervurilor, respectiv suprafaa din perete nenervurat (dintre nervuri).


51/84


Fig.2.27 Transferul de cldur printr-unperete plan nervurat.

Fluxul termic transmis pe partea nervurat va fi:

0022 UE!UEUE!! trednnnnnnn SSSQQQ [W] (2.183)Dar:

0UL!U nn , deci:

00202 UE!UEULE! trednnnn SSSQ [W] , (2.184)

de unde:

t

nnnn

redS

SS LE!E 2 [W/(m

2K)] . (2.185)

Fluxul termic transmis de la fluidul cald cu Tf1, ctre cel rece cutemperatura Tf2 va fi:

222111111 fptredpppf TTSTTSTTSQ E!HP

!E! [W] (2.186)Din acest ir de egaliti rezult:

red

tt

tff

tred

ff

S

S

S

S

STT

SSS

TTQ

E

P

H

E

!

E

P

H

E

!

11111

111

21

111

21[W] (2.187)


52/84


n cazul peretelui nervurat se pot defini doi coeficieni globali deschimb de cldur, dup cum acetia se refer la suprafaa nervurat sau nenervurat:

2122111 fftSffS TTSKTTSKQ !! [W] . (2.188)Rezult:

tred

S

S

SK

1

1

1 111

EP

H

E

! [W/(m2K)] , (2.189)

red

tt

S

S

S

S

SK

EP

H

E

111

111

2

! [W/(m2K)] . (2.190)

Raportul St/S1, poart denumirea de coeficient de nervurare:

1S

Sn t! . (2.191)

Din analiza relaiei (2.189), rezult ca prin nervurare (n ipotezaLn=1), coeficientul de convecie pe partea nervurat se mrete de n ori. Dinacest motiv n multe lucrri nervurarea este menionat ca o metod deintensificare a transferului de cldur convectiv.


53/84


2.3. Conducia termic bidirecionaln regim constant

Tratarea unidirecional a problemelor de conducie d rezultateacceptabile n cazul corpurilor cu grosimea mult mai mic fa de lungimealor, cum sunt evile, plcile subiri, cilindri cu diametru mic, la caretransferul de cldur are loc predominant transversal. Exist ns cazuri ncare corpurile au contururi neregulate sau la care temperaturile pe contur nusunt uniforme. n aceste situaii tratarea problemelor trebuie fcutbidirecional sau chiar tridimensional.

Rezolovarea problemelor de conducie bi sau tridimensional sepoate realiza prin metode analitice, grafice sau numerice.

2.3.1. Metoda separrii variabilelor

Pentru exemplificarea acestei metode vom considera o placrectangular la care trei laturi sunt meninute la o temperatur constant T1,iar cea dea patra fa este meninut la temperatura T2{T1 (figura 2.28).Scopul studiului va fi determinarea cmpului de temperatur T(x,y) n plac

Transferul de cldur conductiv va fi bidirecional, n regim staionarprintr-un corp omogen i izotrop, fr surse interioare de cldur. Ecuaiadiferenial care caracterizeaz procesul va fi:

02

2

2

2

!x

x

x

x

y

T

x

T. (2.192)

Pentru simplificarea soluiei vom face schimbarea de variabil:

12

1

TT

TT

!U , (2.193)

n acest caz ecuaia diferenial fiind:

02

2

2

2

!x

x

x

x

yx

UU, (2.194)

condiiile la limit fiind:

0,0 !U y i 00, !U x ; (2.195) 0, !U yL i 1, !U Wx . (2.196)


54/84


Fig. 2.28 Conducia termic bidirecionalprintr-o plac

Pentru rezolvarea ecuaiei se utilizeaz metoda separrii variabilelor,considernd funcia U ca un produs a dou funcii, una numai funcie de x,cealalt numai funcie de y:

yYxXyx !U , . (2.197)Ecuaia (2.194) devine:

2

2

2

2 11

dy

Yd

Ydx

d

! (2.198)

Pentru a avea aceast egalitate, fiecare membru al ei trebuie s fieegal cu aceeai constant. Pentru ca s se obin o soluie care s respectecondiiile la limit impuse, constanta trebuie s fie pozitiv 2P . Vom scrieatunci:

022

2

!P Xdx

Xd(2.199)

022

2

!P Ydy

Yd(2.200)

Soluiile generale ale ecuaiilor (2.199) i (2.200) sunt:

T(x,y)T1,U = 0 T1,U = 0

T1,U = 0

T2,U = 1

0L


55/84


xCxCX PP! sincos 21 ; (2.201)yy eCeCY

PP ! 43 . (2.202)

Soluia general a funciei U va fi:

yy eCeCxCxC PP PP!U 4321 sincos . (2.203)

Din condiia U (0, y) = 0 , rezult c C1 = 0Din condiia U (x, 0) = 0 , rezult:

0sin 432 !P CCxC (2.204)Deoarece C2 nu poate fi zero, pentru c n acest caz funcia U nu ar mai fivariabil cu x, rezult: C3 + C4 = 0, deci C3 = C4.Soluia general devine:

yy eexCC PP P!U sin42 (2.205)Din condiia 0, !U yL , se obine:

0sin42 !P PP yy eeLCC Aceast condiie se poate realiza numai dac constanta P va lua

valori pentru care 0sin !PL . Aceste valori sunt:

L

nT!P cu n = 1, 2, 3.... (2.206)

Atunci:

LynLyn eeL

xnCC

//

42

sin TT T

!U . (2.207)

Combinnd cele 2 constante C2 i C4 i trecnd la funcii hiperbolicese obine:

L

yn

L

xnC

n

n

TTU sinhsin

1g

!

! . (2.208)

Pentru determinarea lui Cn se pune ultima condiie la limit 1, !U Wx :

1sinhsin1

!g

! L

Wn

L

xnC

n

n

TT. (2.209)

Pentru determinarea lui Cn din ecuaia (2.209) vom folosi analogiacu dezvoltarea n serii a funciilor ortogonale [20]. Astfel un ir infinit defuncii g1(x), g2(x), ....., gn(x), .... va fi ortogonal n domeniul aexeb, dac:

!b

a

nmdxxgxg 0 , m{n . (2.210)


56/84


Orice funcie f(x) poate fi exprimat ca o sum infinit de funciiortogonale:

xgAxfn

n

ng

!

!1

(2.211)

Forma coeficientului An din aceast serie se poate determina prinmultiplicarea fiecrui membru al ecuaiei cu gn(x) i integrarea ntre limitelea i b:

dxxgAxgdxxgxf nn

n

b

a

n

b

a

n g

!

!1

. (2.212)

innd seama de condiia (2.210) rezult ca n membrul drept al

ecuaiei (2.212) va rmne din sum numai un singur termen pentru careintegrala nu este egal cu zero, deci:

dxxgAdxxgxfb

a

nnn

b

a

! 2 (2.213)

Rezult:

dxxg

dxxgxf

Ab

a

n

n

b

an

!

2

. (2.214)

Pentru determinarea lui Cn din ecuaia (2.209) vom alege f(x) = 1 i

Lxnxgn /sin T! . Se va obine:

n

dxL

xn

dxL

xn

A

n

L

L

n

112

sin

sin1

0

2

0

T!

T

T

!

. (2.215)

nlocuind An n ecuaia (2.211) avem:

1sin

1121

1

!T

T

g

!

L

xn

n

n

n

(2.216)

Comparnd ecuaia (2.216) cu (2.209), rezult:

? A LWnhnCn

n /sin112

1

TT!

, n= 1, 2, 3 ... (2.217)

Atunci ecuaia (2.208) devine:


57/84


LWnLyn

L

xn

nyx

n

n

/sinh

/sinhsin

112,

1

1

T

TT

TU

g

!

! (2.218)

Ecuaia (2.218) este o serie convergent, care permite calculul lui Upentru orice valoare x i y. n figura 2.29 sunt prezentate izotermele obinutepentru placa considerat [20].

Fig. 2.29 Izotermele pentru o placcu conducie bidirecional

2.3.2. Metoda grafic

Metoda grafic poate fi utilizat pentru problemele la care conturulcorpului studiat este izoterm i adiabat.

Metoda se bazeaz pe faptul c izotermele i liniile care indicdirecia fluxului termic sunt perpendiculare.

Obiectivul metodei este s construiasc o reea de izoterme i liniiale fluxului termic.

Procedura de construcie a reelei exemplificat pentru un canalptrat cu lungimea l(figura 2.30), are urmtoarele etape [1]:

0.75

0.50

0.25

0.1

U = 0

U = 1

W

L

U = 0 U = 0

0


58/84


59/84


Realizarea unei reele corecte se poate realiza numai prin iteraiisuccesive cu rbdare i sim artistic.

Dup obinerea reelei finale se dispune de o distribuie atemperaturii n corp i se poate calcula fluxul termic unitar.Astfel pentru celula din figura 2.30c avem:

x

Tly

x

TAQ

jj

ii(

((P!

(

(P! , (2.220)

Deoarece creterea de temperatur este aceeai pentru fiecare celul:

N

TT

j21(!( , (2.221)

unde: N este numrul de intervale (pai) de temperatur ntre feele cutemperaturile T1 i T2.

innd seama c avem M culoare paralele de flux termic i cyx (}( , fluxul termic total va fi:

21(P!! TN

MlMQQ i (2.222)

Raportul Ml/N=B depinde de forma geometric a corpului i poartnumele de factor de form. Atunci:

21(P! TSQ [W] . (2.223)


60/84

Factorul de form pentru cteva sisteme bidirecionaleNr. Sistemul Schema Restricii Factorul de f

1 2 3 4 5

1Sfer izoterm ntr-un mediusemi-infinit

z>D/2zD

D

4/1

2

T

2Cilindru orizontal izoterm culungimea L ntr-un mediu

semi-infinit

L >>DL >>Dz> 3D/2

DzL

zh

L

/4ln2

/2cos

21

T

T

3Cilindru vertical ntr-unmediu semi-infinit

L >>D DL

L

/4ln

2T

4Doi cilindri cu lungimea L nmediu infinit

L>>D1, D2L>>w

T

1

12

1

2

4cos

2

DD

Dwh

L

L

T1

D

T2

LDT1

z

T2

T1 D

z

T2

T

T

DD

w


61/84


62/84

1 2 3 4 5

5

Cilindru orizontal culungimea L ntre dou planeparalele cu aceeai lungime ilime infinit

z >> D/2L >> z Dz

L

T

T

/8ln

2

6Cilindru cu lungimea L ntr-un cub cu aceeai lungime

w>DL>>w Dw

L

/08.1ln

2T

7Cilindru excentric culungimea L, ntr-un cilindrucu aceeai lungime

D > sL >>D

T

D

dDh

L

2cos

222

1

T1

T2

T2

z

zD

gg

g

g

wT1

D

T2

D

d

z

T1

T2


63/84


64/84


65/84


2.3.3. Metode numerice

Pentru geometri complexe i condiii pe frontier de ordinul II,metoda analitic i grafic nu pot oferi soluii fiabile. n aceste cazuri ceamai bun alternativ o constituie utilizarea metodelornumerice, care sunt:metoda diferenelor finite, metoda elementelor finite i metodaelementelor de frontier [6,10,43] conductivitatea termic a celor dousolide;

Deoarece analiza acestor metode face obiectul altor discipline, nprezentul paragraf se va prezenta numai modul n care ecuaia lui Laplacepentru conducia bidirecional n regim permanent poate fi transformat

ntr-o ecuaie algebric.Spre deosebire de soluiile analitice, la care ecuaiile descriu cmpulde temperatur n orice punct, soluiile numerice permit determinareatemperaturii n puncte discrete. Prima etap a oricrei analize numericepresupune alegerea acestor puncte. Pentru aceasta corpul studiat se mparten mici regiuni, n centrul creia se ia un punct de referin (figura 2.31) carepoart numele de nod. Suma acestor noduri formeaz reeaua denoduri saugril. Fiecare nod reprezint o regiune i temperatura lui este temperaturamedie a regiunii. El este caracterizat de o schem numeric (figura 2.31a),coordonatele x i y fiind desenate de indicii m i n. Alegerea grilei dediscretizare se face innd seama de geometria corpului i de precizia pecare o dorim. Cu ct grila este mai fin, cu att precizia este mai mare, dar

numrul de ecuaii crete, crescnd timpul de calcul.

x

TT

x

T

x

TT

x

T

nmnm

nm

nmnm

nm

(

!

x

x

(

!

x

x

,,1

,2/1

,1,

,2/1

Fig. 2.31 Conducia bidirecional: a) Reeaua de nodurib) Aproximarea cu diferene finite

(x

(x

(y

x,m

,n

m1,n

m+1,n

m,n1

m,n+1

m,n

21m

21m

m+1

m1

m

(xx

T(x)

(a)

(b)


66/84


Pentru aproximarea ecuaiei (2.192) cu diferene finite se vorexprima derivatele de ordinul unu i doi ale temperaturii:

x

TT

x

T nmnm

nm (

}

x

x

,1,

,2/1

; (2.224)

x

TT

x

T nmnm

nm (

}

x

x

,,1

,2/1

; (2.225)

i

x

xT

xT

x

T nmnm

nm(

xx

xx

}x

x ,2/1,2/1

,

2

2

. (2.226)

Atunci:

2,,1,1

,

2

2 2

x

TTT

x

T nmnmnm

nm(

}

x

x . (2.227)

Similar:

2,1,1,

,

2

2 2

y

TTT

y

T nmnmnm

nm(

}

x

x . (2.228)

nlocuind n (2.192) i utiliznd o reea la care yx (!( , ecuaia luiLaplace scris cu elemente finite, caracteriznd conducia bidirecional princorpuri omogene, fr surse interioare de cldur, n regim staionar va fi:

04 ,,1,11,1, ! nmnmnmnmnm TTTTT (2.229)

Aceast ecuaie trebuie scris pentru fiecare nod al reelei, prinrezolvarea sistemului de ecuaii obinut se determin temperaturile dindiferite noduri.

Rezolvarea sistemelor de ecuaii se pot realiza prin diferite metode

[6,43]: metoda relaxrii, inversiunea matricelor, metoda Gauss-Seidel etc.


67/84


2.4. Conducia termicn regim tranzitoriu

n tehnic procesele termice tranzitorii pot apare n trei categorii deprocese:

y procese tranzitorii care n final ating regimul constant;y procese tranzitorii de scurt durat la care nu se atinge regimul

constant;y procese tranzitorii periodice, n care temperatura i fluxul termic

au variaii ciclice.

n prezentul capitol ne vom ocupa numai de prima categorie deprocese tranzitorii, care au o larg rspndire.Cel mai simplu proces de conducie tranzitorie este cele de nclzire

a unei piese ntr-un cuptor (figura 2.32a) n care temperatura este Tf [33].Corpul ncepe s se nclzeasc n timp de la suprafaa acestuia (Tp),temperatura n centrul corpului (T0) ncepnd s creasc dup o perioad detimp. Dup un interval de timp (teoretic infinit) corpul ajunge la echilibru cumediul din cuptor. Fluxul primit de corp (Q) descrete n timp ajungnd 0 laechilibru.

n cazul conduciei printr-un perete ntre un fluid cald cu Tf1 i unulrece cu Tf2 (figura 2.32b), dac printr-un salt de temperatur, temperaturafluidului cald crete de la 1fT la

"1fT , temperatura fluidului rece rmnnd

constant 2fT , temperaturile peretelui cresc n timp (figura 2.32b) cretereafiind simit nti pe partea fluidului cald, Tp1, apoi pe partea fluidului rece,Tp2 (figura 2.32c). Variaia fluxurilor termice cedate de fluidul cald Q1 iprimite de fluidul rece Q2 (figura 2.32d), evideniaz cldura acumulat nperete (suprafaa haurat) pentru a modifica entalpia acestuia.

La nclzirea sau rcirea n regim tranzitoriu a corpurilor seevideniaz dou tipuri de rezistene termice: rezistenele termiceinterioare, date de procesul de conducie i rezistenele termice desuprafa, datorate conveciei ntre corp i fluidul cu care vine n contact.


68/84


Fig. 2.32 Conducia termic n regim tranzitoriu

Tratarea analitic a proceselor de conducie tranzitorie se poate facen trei ipoteze:

y corpuri cu rezistene interne neglijabile;y corpuri cu rezistene de suprafa neglijabile;y corpuri cu rezistene interne i de suprafa finite.

X1 X2 X3

''1fT

1fT

2fT

2pT

2pT

1pT

1pT

H

0

T

x

b)a)

c) d)

X

T

T=f(X)

Tf

TpT0

0

Q=f(X)

X

Q

0

0 0

'1pT ''

2pT

Tp1

Tp2'2pT

''1pT

''pT(

pT(

QT

X X

Q1

Q2

Q

Q


69/84


2.4.1. Conducia tranzitorie prin corpuricu rezistene interne neglijabile

n acest caz temperatura n interiorul corpului va fi constant, eavariind numai n timp.

Fluxul de cldur schimbat de corp cu mediul ambiant prin convecieva fi egal cu fluxul acumulat n corp:

X

V!E!d

dTVcTTSQ

pf[W] , (2.230)

unde: S,Vsunt suprafaa de schimb de cldur, respectiv volumul corpului,

Tf, T temperatura fluidului, respectiv a corpului; E coeficientul deconvecie ntre corp i fluid; V, cp densitatea, respectiv cldura specific acorpului.

Separnd variabilele i integrnd ecuaia (2.230) devine:

X

XV

E!

00

dVc

S

TT

dT

p

TT

TT f

f

f

, (2.231)

unde T0 este temperatura corpului la momentul iniial.Rezult:

Vc

S

f

f peTT

TT VXE

!

0

. (2.232)

Relaia 2.232 este analog cu cea care caracterizeaz descrcareaunui condensator electric pe o rezisten electric:

X

! eeCR

eE

E1

0

, (2.233)

unde Re, Ce sunt rezistena, respectiv capacitatea electric. Din aceastanalogie se poate defini o rezisten i o capacitate termic:

pttVcC

SR V!

E! ;

1. (2.234)


70/84


Raportul SVc p EV / poate fi interpretat ca o constant de timp a

sistemului, ea fiind:

ttpt CRVc

S!V

E!X

1[s] , (2.235)

unde: Rt este rezistena termic convectiv, n K/W; Ct capacitateatermic, n J/K.

Creterea rezistenei i capacitii termice vor face ca rspunsulcorpului la modificarea temperaturii mediului nconjurtor s fie mai lent iechilibrul termic s se realizeze dup un timp mai mare (figura 2.33).

Fig. 2.33 Rspunsul termic tranzitoriu pentru corpuricu rezistene interne neglijabile

Ecuaia (2.232) poate fi generalizat pentru cteva forme geometricesimple prin utilizarea criteriilor adimensionale Biot i Fourier.

Criteriul lui Biot reprezint raportul dintre rezistena termic deconducie i rezisten termic convectiv:

P

E

E

P L

L

R

RBi

cv

cond !!!1

(2.236)

tt

p

t CRS

Vc!

E

V!X

X1 X2 X3 X4

f

f

TT

TT

!

U

U

00

1

0


71/84


Criteriul lui Fourier, care are semnificaia de timp relativ estedefinit de relaia:

2L

aFo

X! (2.237)

Lungimea caracteristic L pentru plci este egal cu jumtate dingrosime, iar pentru cilindri sau sfere cu raza.

n funcie de Bi i Fo, ecuaia (2.232) devine:

V

SL

L

aL

f

fe

TT

TT XP

E

!

2

0

; (2.238)

sau:

BiFoG

f

fe

TT

TT!

0

, (2.239)

unde:V

SLG ! este factorul geometric al corpului care are valorile: G =1

pentru plci infinite; G = 2 pentru cilindri infinii; G= 3 pentru sfere.Fluxul termic transferat la un timp oarecare X se determin cu relaia:

VcSff

peTTSTTSQVXE

E!E!/

0 [W] (2.240)

Cantitatea de cldur transferat n intervalul de timp de la X = 0 latimpul X este:

X

VXEX

E!X!(0

/

0

0VcS

f

peTTSQdQ ; (2.241)

? AXVEV!( )/(0 1 VcSfp peTTVcQ [J]. (2.242)

Ipoteza rezistenei interne neglijabile este valabil analitic numaidac Ppg, ceea ce n practic nu se poate realiza. Dac ns rezisteneleinterne sunt mult mai mici dect cele de suprafa ipoteza se poate utiliza cubun aproximaie. Aceasta se poate realiza pentru corpurile cu P mare igrosimea sau diametru mici, care primesc sau cedeaz cldur cu coeficienide convecie redui (convecie natural la gaze). Verificarea se face princalcularea criteriului Biot. Dac Bi < 0,1 ipoteza rezistenelor interneneglijabile se poate utiliza cu bune rezultate.


72/84


Influena lui Biot asupra distribuiei tranzitorii a temperaturii printr-oplac este prezentat n figura 2.34. Se observ c pentru Bi > 1, diferena ntretemperatura peretelui i a fluidului este neglijabil (rezistenele de suprafasunt neglijabile).

Fig. 2.34 Distribuia tranzitorie a temperaturii pentruvalori diferite ale criteriului Biot [20]

a) Bi

1

2.4.2. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene de suprafaneglijabile

n acest caz temperatura peretelui corpului este egal cu temperaturafluidului nconjurtor i este constant n timp. Ipoteza este valabil pentruvalori mari ale criteriului Biot (figura 2.34c).

Pentru o plac plan infinit (figura 2.35) ecuaia care caracterizeazprocesul este:

2

2

x

Ta

T

x

x!

Xx

x, (2.243)

cu urmtoarele condiii iniiale i la limit:

T(x,0)=T0 T(x,0)=T0

L L L L-L -L -L -L

T Tf Tf Tf

t

Bi1T=T(x,t)

Tf,E

Tf,E


73/84


74/84


Fig. 2.36 Variaia temperaturii centralepentru corpuri cu geometrii simple

2.4.3. Conducia tranzitorie prin corpuri curezistene interne i de suprafa finite

n acest caz, n special pentru forme geometrice i condiii iniiale ila limit complexe, tratarea analitic a problemei este practic imposibil deabordat, singura modalitate util de rezolvare a problemei fiind utilizareametodelor numerice.

Rezolvarea analitic a ecuaiei conduciei n acest caz se poate totuirealiza pentru forme geometrice simple.

2.4.3.1. Perete plan infinit

Se consider un perete plan infinit cu grosimea 2L, mult mai micdect limea i nlimea sa (figura 2.37), astfel nct ipoteza transferuluiconductiv unidirecional este apropiat de realitate.

p

p

cTT

TT

!U

0


75/84


Fig. 2.37 Perete plan infinit

Ecuaia care caracterizeaz conducia unidirecional tranzitorie va fidat de relaia (2.243), care cu schimbarea de variabil

fTT!U , devine:

2

2

xa

x

x!

x

x U

X

U, (2.245)

cu condiiile iniiale i la limit:y la X = 0 xFTxfTT ff !!!U 0 ;y la x = 0 0!

x

Ux

x;

y la x = L UP

E!

x

Ux

x.

Pentru rezolvarea ecuaiei se va utiliza ca i n paragraful 2.3.1metoda separrii variabilelor, scriind [21]:

xx ]XN!XU!U , (2.246)

Atunci ecuaia (2.245) devine:

XN

x

]x!]

Xx

XNx2

2

x

xax , (2.247)

T

x

Tf

T0

E

P

0

2 L


76/84


sau: X]!]X xax "' . (2.248)

Separnd variabilele se obine:

I!!]

]!

XN

XNconst

x

xa

"(2.249)

Deoarece o soluie ne banal pentru x] se obine numai pentru I < 0, vomalege: 2k!I , obinndu-se sistemul de ecuaii:

02

!XNXN ak ; (2.250) 0" 2 ! xkx ]] . (2.251)

Soluiile celor dou ecuaii difereniale sunt:

X!X2

1akeC ; (2.252)

kxCkxCx cossin 32 !] .(2.253)

Atunci:

? AkxCkxCeC ak cossin 3212

!U X (2.254)

Determinarea constantelorC1, C2, C3 i kse face utiliznd condiiileiniiale i la limit.

Din condiia 00

!

xUx

!xx, rezult:

? A 0sincos 03212

! !

x

ak kxCkxCkeC X (2.255)

Pentru a avea aceast egalitate rezult: C2 = 0. Soluia general devine:

kxAekxeCC akak coscos22

31XX !!U . (2.256)

Punnd cea de a doua condiie la limit rezult:

Lx

Lxx!

!

UP

E!

x

Ux, (2.257)

sau:

kLAekLkAe akak cossin22 XX

P

E!

De unde:


77/84


P

E!

L

kLkLctg (2.258)

Dar:P

E!

LBi i notm kL = Q. Rezult:

Bictg

Q!Q (2.259)

Fig. 2.38 Reprezentarea grafic a ecuaiei (2.259)

Reprezentarea grafic a ecuaiei (2.259) evideniaz faptul c vomavea pentru constanta Q un ir infinit de soluii. Primele patru soluii nfuncie de valoarea criteriului Biot sunt prezentate n tabelul 2.6.

3T

1=ctgQ1 1 1

Q1 Q2 Q3 Q4

QT 2T

0

2Bi

yQ

!


78/84


Tabelul2.6

Valorile constantelor Q n funcie de Bi

Bi Q1 Q2 Q3 Q4 Bi Q1 Q2 Q3 Q40 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,52930,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,58010,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,62960,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,72400,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,81190,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,89280,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,96670,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339

0,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,09490,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,15020,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,20030,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,38980,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,51170,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,65430,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,73340,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,78320,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,81720,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,86060,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,88710,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 g 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956

Rezult ca vom avea pentru fiecare valoare Qi o distribuie a temperaturii, de

tipul:

Q!U

Q!U

Q!U

XQ

XQ

XQ

22

222

221

cos

...........................

cos

cos

222

111

L

a

nnn

L

a

L

a

n

eL

xA

eL

xA

eL

xA

(2.260)

Soluia general va fi atunci suma irului de soluii:

g

!

XQ

Q!U

1

22

cosn

L

a

nn

n

eL

xA (2.261)

Constanta An se va determina din conducia iniial (X = 0):


79/84


Q!!U

g

! L

xAxF

n

n

n cos1

0 . (2.262)

Pentru determinarea lui An vom folosi proprietile funciilor ortogonale, nmod similar cu cele prezentate la studiul analitic al conduciei bidirecionale(vezi paragraful 2.3). n relaia (2.214) vom alege:

Q!

L

xxg

nncos , i

xFxf ! .Se va obine:

dxL

x

dxL

x

xFA

L

L

n

L

Ln

n

!

Q

Q

2cos

cos. (2.263)

innd seama c:

24

2sincos2

x

m

mxmxdx ! , (2.264)

n

nnn

n

n

L

L

L

Ln

nL

L

n

LL

L

x

L

L

x

L

x

Q

QQQ

Q

Q

Q

QQ

!!

!

!

cossin

2

2sin

24

2sin

cos 2

(2.265)

Atunci:

dx

L

xxF

LA

n

L

Lnnn

nn

Q

QQQ

Q!

coscossin

(2.266)

Soluia general a ecuaiei conduciei va fi:

2

2

coscoscossin1

L

a

n

L

L

n

n nnn

nn

eL

xdx

L

xxF

L

XQ

g

!

Q

Q

QQQ

Q!U .

(2.267)

Dac vom considera c la momentul iniial corpul are aceeaitemperatur n toat masa sa: F(x) = U0 = ct.,


80/84


n

n

L

L

n

n

L

L

n

L

L

xLdx

L

x

Q

QUQ

QUQU

sin2sincos 000 !

!

(2.268)

Atunci soluia general devine:

2

coscossin

sin2

10

L

a

n

n nnn

nn

eL

xX

Qg

!

QQQQ

Q!

U

U (2.269)

MrimileL

x

L

an

,,,2

0

XQ

U

Usunt adimensionale.

Dac vom nota:

0U

U!5 temperatura adimensional,

L

x! coordonata adimensional,

2L

aFo

X! criteriul lui Fourier, soluia general devine:

FoX nn

n

nnn

n 2

1

expcoscossin

sin2QQ

QQQ

Q!5

g

!

(2.270)

Analiza soluiei. irul Q1, Q2, Q3, Qn este rapid cresctor i cu ct estemai mare Qi cu att rolul elementului urmtor din ir este mai mic asupra luiU.

Studiile au artat c pentru procese tranzitorii care nu sunt foarterapide, Fo u 0,3 n ecuaia (2.270) este suficient s considerm numaiprimul termen al irului:

FoX 211111

1 expcoscossin

sin2QQ

QQQ

Q!5 (2.271)

Dar Q1 este numai funcie de criteriul Biot. De obicei intersecteaztemperatura n centrul plcii X=0 sau pe suprafaa sa X=1.

Atunci:

FoBiNX

21

00

exp)( Q!U

U

!

; (2.272)


81/84


FoBiPX

21

10

exp)( Q!U

U

!

. (2.273)

n figurile (2.39) i (2.40) sunt prezentate variaiile calculate curelaiile (2.272) i (2.273) pentru plci.

Soluiile obinute n paragrafele anterioare pentru cmpul detemperatur n cazul rezistenelor interne neglijabil (Bi < 0,1, Q1 p0) saurezistenelor de suprafa neglijabil (Bipg), pot rezulta i ca nite cazuriparticulare ale relaiei 2.270.

2.4.3.2. Discretizarea ecuaiei diferenialea conductei tranzitorii

Se va considera sistemul bidirecional din figura 2.31. n cazulconduciei tranzitorii bidirecionale fr sursa interioar de cldur ecuaiaeste:

2

2

2

21

y

T

x

TT

a x

x

x

x!

Xx

x. (2.274)

Fig.2.39 Variaia 5 =f(Fo,Bi) pentru centul plcii


82/84


83/84


2,1,1,

2

,,1,1,1

,

2

21

y

TTT

x

TTTTT

a

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm

(

(

!

X(

(2.277)

Considernd yx (!( , temperatura n nodul m, n la momentul p+1va fi:

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm

p

nm TFoTTTTFoT ,1,1,,1,11

, 41!

, (2.278)

unde: Fo este criteriul lui Fourier scris cu diferene finite:

2x

aFo

(

X(! (2.279)

Dac sistemul este unidirecional, ecuaia (2.278) devine:

pmpmpmpm TFoTTFoT 21111 ! . (2.280)

Calculele sunt cu att mai precise cu ct x( i X( sunt mai mici,bineneles ns timpul de calcul crete corespunztor.

Din pcate ecuaiile (2.278) i (2.280) pot deveni instabile, soluiiledevenind divergente i ne convergnd ctre o nou stare staionar. Pentru ase obine o stare stabil a sistemului, condiia de stabilitate este ca,coeficientul temperaturii p

nmT , s fie u 0:

y pentru conducia bidirecional: 41;041 eu FoFo ;

(2.281)y pentru condiia unidirecional:

21;021 eu FoFo .(2.282)

Din aceste condiii se determin care trebuie s fie intervalul X( , n

funcie de x( , pentru a se obine o soluie stabil.n cazul nodurilor situate pe suprafaa corpurilor (figura 2.41), relaia

care d variaia n timp a temperaturii pe suprafa se determin din bilanultermic al elementului cu grosimea 2/x( i suprafaa A:


84/84


acumcondconv QQQ ! , [W] (2.283)

unde Qconv este fluxul termic transmis de element prin convecie; Qcond fluxul termic transmis prin conducie; Qacum cldura acumulat n timp nelement.

Explicitnd valorile fluxurilor:

X(

(V!

(

PE

pp

p

ppp

f

TTxAcTT

xTTA 0

10

010 2(2.284)

Fig. 2.41 Transferul de cldur pentru un nodde suprafa (conducie unidirecional)

De unde:

0012010 22 TTTxcTTxcTpp

p

pf

p

p (V

X(P(V

X(E! . (2.285)

innd seama c: a = P/Vcp i :

BiFox

ax

xcp

222

2!

(

(

(!

(

( X

P

E

V

XE,

pfpp TBiFoFoBiTTFoT 0110 2212 ! (2.286)

C di i d bili i i 2 286

QconvQcond

Qac

Tf, E

(x2

x(

T0 T1 T2 T3

A

x

cap. 2 transferul de cǍldurǍ prin conducŢie

Documents