1.3.4. REPREZENTAREA SISTEMELOR IN SPATIUL STARILOR.

Un alt tip de reprezentare a sistemelor il constituie reprezentarea in spatiul starilor,

sau reprezentarea prin intermediul unor modele de tipul intrare – stare – iesire.

Variabilele de stare pentru un sistem reprezinta un grup de marimi, care defi-nesc

complet starea acestuia la un moment dat; acestea indeplinesc rolul unor conditii initiale

pentru evolutia ulterioara a sistemului.

Pentru un sistem automat, a carui comportare este descrisa de o ecuatie diferentiala

de ordinul n, numarul variabilelor de stare necesar pentru definirea starii sistemul este

egal cu ordinul ecuatiei diferentiale. Starea sistemului poate fi considerata ca o informatie

minima asupra evolutiei anterioare, suficient pentru a determina influenta acestei evolutii

anterioare asupra evolutiei viitoare a sistemului.

Reprezentarea sistemelor intr-un spatiu n-dimensional al variabilelor de stare are la

baza modele matematice mai apropiate de realitate fiind incluse in modele mai multe

variabile de interes.

Alegerea variabilelor de stare pentru un sistem dat nu este unica. Starea unui sistem

descris de o ecuatie diferentiala de ordinul n putând fi complet definita de diferite grupuri

de n variabile de stare liniar independente.

Pentru a ilustra modul de obtinere a diverselor reprezentari matematice pentru un

sistem, consideram un motor de curent continuu cu excitatie indepen-denta conform

figurii 1.10.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com

Fig. 1.10.

Presupunând excitatia independenta cu un curent de excitatie ie = ct, ecua-tiile care

descriu functionarea motorului sunt:

u-e = Rai + La ⋅di

dt

e = Keω (1.27)

Cm = Kmi = J ⋅ +d

dtC r

ω

unde: u – tensiunea de comanda a motorului;

i – curentul din circuitul de alimentare;

La, Ra – parametrii circuitului indusului;

e – tensiunea contraelectromotoare;

ω – viteza unghiulara la axul motorului (marimea de iesire);

Ke, Km – constante de proportionalitate;

Cm – cuplul motor;

Cr – cuplul rezistent;

J – momentul de inertie al maselor de rotatie.

Daca consideram marimea de iesire a motorului ω si marimea de intrare u se obtine

ecuatia diferentiala a acestui sistem:

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com

u-Keω = Rai + La ⋅di

dt

i = J

K

d

dt

C

Km

r

m

⋅ +ω

sau, daca consideram Cr = ct. si dupa simplificari rezulta:

L J

K

d

dt

R J

K

d

dtK

R

KC ua

m

a

m

ea

m

r⋅ + ⋅ + = ⋅ +2

2

ω ωω (1.28)

unde Cr reprezinta o a doua marime de intrare in sistem, jucând rolul unei pertur-batii

aditive.

In domeniul complex, modelul matematic al motorului se obtine prin apli-carea

transformatei Laplace ecuatiei (1.28) sau direct ecuatiilor (1.27) (unde s-a presupus Cr =

0) si eliminând variabilele intermediare.

U(s) - E(s) = (Ra + Las) I(s)

E(s) = KeΩ(s) (1.29)

Cm(s) = Km I(s) = JsΩ(s)

Pe baza ecuatiilor (1.29) se poate obtine functia de transfer, direct, prin eliminarea

variabilelor complexe E(s) si I(s) sau alcatuind schema functionala din fig. 1.11.

Fig. 1.11

Functia de transfer a motorului este:

H(s) = Ω( )

( )

s

U s

K

L Js R Js K Km

a a e m

=+ +2

(1.30)

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com

Daca definim functia de transfer intre pozitia unghiulara θ(s) si tensiunea U(s) si

tinând seama ca Ω(s) = sθ(s) rezulta:

H ss

U s

K

s L Js R Js K Km

a a e m

( )( )

( ) ( )= =

+ +

θ2

(1.31)

Pentru reprezentarea in spatiul starilor se aleg trei variabile de stare si anume: x1 =

θ; x2 = θ& ; x3 = i(t)

Cu aceste variabile de stare ecuatiile 1.27 devin:&x1 = x2

&x2 = K

Jxm ⋅ 3

&x3 = 12

Lu

K

Lx

a

e

a

−

sau &x =

&

&

&

x

x

x

1

2

3

=

0 1 0

0 0

0

0

01

1

2

3

K

JK

L

R

L

x

x

xL

um

e

a

a

a

a− −

⋅

+

⋅ (1.32)

Caracterizarea structural functionala a sistemelor prezinta avantajul ca este

generala, iar utilizarea unor modele de tipul intrare-stare-iesire permit rezolvarea

eficienta cu ajutorul calculatorului a problemelor de analiza si sinteza atât pentru structuri

conventionale de sisteme automate, dar mai ales pentru sistemele opti-male adaptive.

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com