câmpul electrostatic În vid

8/19/2019 Câmpul Electrostatic În Vid

1/18

1

Câmpul electric în vid

1. Legea lui Coulomb. Intensitatea câmpului electric. Principiul

superpoziiei

Se numete sarcin electric punctiform corpul încrcat, forma i dimensiunile cruia pot fi

neglijate în problema considerat.

Legea lui Coulomb:

Legea lui Coulomb poate fi scris sub form scalar 1 2

2

q qF k

r (1.1)

i vectorial

1 2 1212 2

q q r F k

r r

, 21 12F F

(1.2)

Aici 12F

este for a care acioneaz asupra sarcinii 1q din partea

sarcinii 2q , iar 21F

– for a cu care sarcina 1q acioneaz asupra sarcinii 2q . 12r

este vectorul de poziie ce

unete sarcina 2q cu sarcina 1q , 12r r

( fig.1). Unitatea de sarcin electric în SI este coulombul (C).

Coeficientul de propor ionalitate0

1

4k

în SI, dup cum a fost stabilit experimental, este egal cu

29

29 10

N m

C

, iar 120 8,85 10 F m

(Farad pe metru). Constanta 0 este numit constant electric.

Caracteristica cantitativ a aciunii câmpului electric asupra sarcinilor electrice i a corpuriloreste mrimea vectorial , numit intensitate a câmpului electric.

Din legea lui Coulomb 02

( )q q r

F k r r

rezult, c vectorul intensitii câmpului electric este:

20 0

1,

4

F q r E

q r r

(1.3)

iar modulul vectorului E

:

20

1

4

q E

r (1.4)

Din formula (1.4) se observ, c unitatea de intensitate a câmpului electric în SI este : N C=V m.

Fora de interaciune electrostatic dintre dou sarcini electrice punctiforme fixe este direct

proporional cu mrimea fiecreia din ele, invers proporional cu ptratul distanei dintre

ele i orientat de-a lungul dreptei care le unete.

Intensitatea câmpului electrostatic într-un punct dat al câmpului este egal cu fora ce

acioneaz asupra unei sarcini unitare pozitive situate în punctul considerat.

Fig. 1


2/18

2

Fig.4

Fig. 3

Direcia i sensul vectorului E

coincide cu direcia i sensul vectorului F

.

În calitate de sens pozitiv al liniei de câmp se ia sensul

vectorului E

. Liniile de câmp sunt mai apropiate una de alta înlocurile unde câmpul este mai puternic i mai îndeprtate în locurileunde câmpul este mai slab. De aceea dup densitatea liniilor decâmp se poate judeca despre mrimea intensitii câmpului electric.( fig. 2).

Liniile câmpului electric încep în sarcinile pozitive i setermin în cele negative. În figura 3 sunt reprezentate liniile de câmp

ale unei sarcini punctiforme pozitive i, respectiv, negative, iar în figura 4 sunt reprezentate liniile de câmp ale unui sistem din dou sarcini punctiforme egale ca mrime i de semn diferit.

Dac câmpul este omogen (vectorul E

în orice punct este acelai ca modul i direcie), atunciliniile de câmp reprezint nite linii paralele.

Vom cerceta câmpul electrostatic al unui sistem arbitrar de sarcini punctiforme fixe 1 2 3, , ... nq q q q

situate în vid. Experimental a fost demonstrat c for a rezultant F

, ce acioneaz asupra sarcinii de prob q în orice punct al câmpului este egal cu suma geometric a for elor aplicate asupra sarcinii din

partea fiecrei sarcinii

q

1

n

i

i

F F

. (1.5)

Din (1.3) rezult c F qE

ii iF qE

, unde E

este intensitatea câmpului sistemului de sarcini,

iar i E – intensitatea câmpului unei sarcini iq . Substituind aceste expresii în (1.5), obinem:

1

n

i

i

E E

(1.6)

Ecuaia (1.6) exprim principiul superpoziiei câmpurilor electrice:

Linie de câmp se numete linia trasat în câmpul electric astfel, încât direcia tangentei la ea

în orice punct s coincid cu direcia vectorului intensitii câmpului.

Intensitatea câmpului electric a unui sistem de sarcini punctiforme este egal cu suma vecto-

rial a intensitilor câmpurilor electrice create de fiecare sarcin aparte.

Fig. 2


3/18

3

2. Teorema lui Gauss

Se numete flux elementar al intensitii câmpului electric printr-o suprafa elementar rimea

cos n E

d E dS E dS E dS

, (2.1)

unde E

– vectorul intensitii câmpului electric; dS dS n

– vectorul dS

este perpendicular pe suprafaa elementar dS , adic este orientat în direcia i

sensul vectorului unitar al normalei n

la suprafaa dS , – unghiul dintre

vectorii E

i n

; cosn E E – proiecia vectorului E

pe direcia normalei n

( figura 5).

Fluxul intensitii câmpului electric printr-o suprafa închis arbitrar

n E

S S

E dS E dS

. (2.2)

Întrucât valoarea vectorului E

este propor ional cu densitatea liniilor

de câmp, adic cu numrul de linii ce str bat o unitate de arie a suprafeei planesituate perpendicular pe liniile de câmp, fluxul intensitii câmpului electric

E

poate fi interpretat ca numrul liniilor de câmp ce intersecteaz suprafaaconsiderat S .

Pentru a calcula intensitatea câmpului electric creat de un sistem desarcini se utilizeaz principiul superpoziiei. Îns, principiul superpoziieideseori duce la calcule matematice complicate. Aceste calcule, în cazulsistemelor de sarcini simetrice, pot fi simplificate considerabil aplicând teoremalui Gauss.

Pentru a obine aceast teorem vom calcula fluxul vectorului E al intensitii câmpului electric creat de o sarcin punctiform printr-o suprafa închis.

Fie c sarcina q se afl în centrul unei suprafee sferice S de raz r ( figura 6 ). În conformitate

cu formula (1.3) intensitatea câmpului electric al sarcinii punctiforme în punctele de pe suprafaa S sedetermin cu expresia

20

1,

4

q r E

r r

Fluxul vectorului E

printr-un element dS

al suprafeei este

20

1cos cos

4 E q

d E dS E dS dS r

În cazul considerat, în orice punct de pe suprafaa sferic vectorul E are aceai valoare i este orientat

dup normala la suprafa. De aceea 0 i cos 1 , iar fluxul elementar

20

1

4 E q

d dS r

Integr m aceast expresie inând seama c pe suprafaa sferic mrimea2

0

1

4

q E const

r :

2 20 0

1 1.

4 4 E S

q qdS S

r r

dS

Fig. 5

S

Fig.6


4/18

4

unde 24S r este aria suprafeei sferice. De aceea pentru

fluxul vectorului E

al unei sarcini punctiforme printr-o suprafa sferic se obine

0 E

q

Acest rezultat este valabil nu numai pentru o suprafa sferic ci, i pentru orice suprafa închis. demonstr m aceast afirmaie. Selectm un element dS al unei

suprafee arbitrare închise cu normala exterioar n

. Fluxul

elementar al vectorului E

prin elementul dS :

cos E

d E dS E dS EdS

unde dS este proiecia elementului dS pe planul perpendicular vectorului de poziie r

( figura 7 ).

Utilizând relaia pentru intensitatea câmpului electric al sarcinii punctiforme obinem:

204

E

dS q

d r

rimea2

dS

r

reprezint unghiul solid d sub care se vede elementul dS i, prin urmare, dS din

punctul, în care se afl sarcina q ( figura 7 ). Se numete unghi solid por iunea de spaiu mrginit de osuprafa conic închis. Unitatea de msur este 1 sr ( sterradian). Unghiul solid ce corespunde unei

suprafee sferice este egal cu 4 sr . Dac elementul dS este orientat spre sarcina q cu parteainterioar atunci unghiul solid se consider pozitiv i negativ în caz contrar. Prin urmare

0

4 E q

d d

.

Integrând expresia de mai sus dup unghiul sub care se vede

suprafaa S obinem fluxul vectorului E

prin toat suprafaa S :

04 E

q

Dac suprafaa este închis ( figura 8 ) , atunci deosebim dou cazuri.1. Sarcina q se afl în interiorul suprafeei închise S. În acest caz

4 i prin urmare

0 0

4

4 E

q q

.

Acest rezultat nu depinde de numrul de intersecii cu suprafaa S ale

semidreptei ce are originea în sarcina q. Într-adevr, presupunem c numrul de intersecii este impar (spreexemplu: 3 intersecii) ( figura 9). Valoarile absolute ale unghiurilor

solide sub care se vd elementele 1 2,dS dS i 3dS ale suprafeei S sunt

egale, adic 1 2 3d d d d . Îns elementele 2dS i 3dS

sunt orientate în raport cu sarcina q cu pile interioar i, respectiv,

exterioar . Din aceast cauz 3 2

d d , iar unghiul solid total sub

care se vd aceste trei elemente este egal cu

Fig.7

S

Fig. 8

S

Fig. 9


5/18

5

1 2 3 1d d d d d

mâne numai unghiul d sub care se vede elementul 1dS .

2. Sarcina q se afl în exteriorul suprafeei închise S. În acest caz,semidreapta cu originea în sarcina q intersecteaz suprafaa închis deun numr par de ori, sau n-o intersecteaz deloc ( figura 10). Prinurmare, unghiul solid 0 i 0

E

.

Dac în interiorul suprafeei închise S se afl N sarcini

punctiforme, atunci conform principiului superpoziiei, pentru fluxulintensitii câmpului electric creat de un sistem de sarcini se obineurmtoarea relaie fundamental:

1 10

1 N N i E E

i ii

q

,

sau

10

1 N i E

iS

E dS q

. (2.3)

care se numete teorema electrostatic a lui Gauss. S formulm acest teorem:

Suprafaa închis prin care se calculeaz fluxul vectorului intensitii E

se numete suprafa

Gauss. Relaia (2.3) exprim teorema lui Gauss sub form integral pentru o distribuie discret a

sarcinii în spaiu. Iar pentru o distribuie continu a sarcinii în spaiu cu densitatea (volumic) de sarcin

q V teorema lui Gauss ia forma:

0

1,

S V

E dS dV

(2.4)

undeV

q dV . Îns, deseori, este mai comod s utilizm forma diferenial a acestei teoreme în

problemele aplicative. Pentru a obine teorema lui Gauss sub form diferenial este necesar s definim

noiunea de divergen:

0 0lim lim S AV V

AdS div A

V V

. (2.5)

Divergena vectorului A în coordonate carteziene se exprim în felul urmtor:

Se numete divergen a vectorului într-un punct oarecareM al câmpului limita raportului

dintre fluxul vectorului printr-o suprafa infinit mic închis S , în interiorul creia se afl

punctulM i volumul infinit mic V al câmpului mrginit de suprafaa S , atunci când .

Fluxul vectorului intensitii câmpului electric prin orice suprafa închis este egal cu suma

algebric a tuturor sarcinilor aflate în interiorul acestei suprafee împit la constanta

electric .

S

Fig. 10


6/18

6

y x z A A A

div A A x y z

, (2.6)

unde i j k x y z

este operatorul Hamilton (sau operatorul nabla); , , x y z A A A

– componentele

vectorului A

în sistemul de coordonate cartezian. Observm c dac operatorul

se aplic unei mrimi

scalare atunci acest operator se numete gradient, iar dac se aplic unei mrimi vectoriale, atunci estenumit divergen. Iar produsul vectorial dintre

i o mrime vectorial se numete rotor. exprimm sarcin q inclus în interiorul suprafeei închise S de volum V prin valoarea medie a

densitii de sarcin: q V . Substituind acest expresie în teorema lui Gauss sub form integral i

împind ambele pi ale acestei egaliti la V obinem:

0

1.

S

E dS V

(2.7)

La micorarea volumului V al câmpului, mrginit de suprafaa S, pân la un punct, adic cnd 0V ,

valoarea medie tinde la valoarea mrimii în punctul considerat al câmpului. Iar limita expresiei

1

S

E dS V

, atunci când 0V reprezint divergena vectorului E

în punctul dat al câmpului:

0

1limV

S

div E E dS V

.

Deci, trecând la limit în egalitatea (2.7) vom avea:

0

div E

. (2.8)

Relaia (2.8) exprim teorema lui Gauss sub form diferenial.

Divergena vectorului E

are sensul fluxului vectorului intensitii câmpului electric ce provinedin unitatea de volum a corpului încrcat. Cu alte cuvinte, divergena caracterizeaz puterea sursei

vectorului E

.

3. Aplicarea teoremei lui Gauss la calculul câmpului electric

1. Câmpul electric al unui plan infinit încrcat uniform cu sarcin de densitatea .

Densitatea superficial a sarcinii este mrimea egal cu sarcina care se conine pe o unitate desuprafa dq dS .

Fie c avem un plan infinit încrcat uniform cu sarcin pozitiv, densitatea superficial a creia este

. Pentru a calcula intensitatea câmpului electric E

creat de acest plan vom considera drept suprafa Gauss o suprafa cilindric cu generatoarea perpendicular planului i bazele paralele lui ( figura 11).

Notm prin S aria suprafeei unei baze a suprafeei cilindrice. În orice punct de pe suprafaa lateral a

cilindrului Gauss vectorii E

i n

(vectorul unitar al normalei la suprafa) sunt reciproc perpendiculari,

adic 2 i cos 0 , unde – unghiul dintre vectorii E

i n

. Prin urmare, fluxul vectorului

intensitii câmpului electric prin suprafaa lateral (S. lat.) a cilindrului Gauss este egal cu zero:


7/18

7

. .

. .

cos 0S lat E

S lat

EdS .

Atunci fluxul vectorului intensitii câmpuluielectric prin toat suprafaa cilindric Gauss este

egal cu fluxul vectorului E

doar prin bazelecilindrului:

2 cos E E S

În orice punct de pe bazele cilindrului Gauss

vectorii E

i n

sunt orientai la fel ( 0 i

cos 1 ). Din ultima relaie rezult, c fluxul

vectorului E

prin toat suprafaa cilindric închis:

2 E

E S . (3.1)

Pe de alt parte, în conformitate cu teorema lui

Gauss, pentru fluxul vectorului E

printr-o

suprafa închis avem :

10 0

1 1 N i E

i

q S

, (3.2)

unde1

N

i

i

q S

.

Egalând relaiile (3.1) i (3.2) obinem:

0

2 S

E S

.

De unde rezult:

02 E

. (3.3)

Relaia (3.3) reprezint intensitatea câmpului electric creat de un plan infinit.

Din rezultatul obinut se observ c intensitatea câmpului unui plan infinit încrcat uniform nudepinde de distana pân la acesta i are una i aceai valoare în orice punct al spaiului. Îns, planulinfinit este o idealizare. Planul poate fi considerat infinit, dac distana pân la el este neglijabil încomparaie cu dimensiunile sale. Numai în acest caz formula (3.3) este valabil. La distane mariformula (3.3) nu mai este corect, iar la distane mult mai mari decât dimensiunile planului încrcat,

acesta se comport ca o sarcin punctiform i intensitatea câmpului descrete invers propor ional cudistana pân la el.

2. Câmpul electric a dou plane paralele infinite încrcate uniform cu sarcini de semne contrare

Conform principiului superpoziiei câmpurilor, intensitatea câmpului rezultant

1 2 E E E

.

În orice punct din spaiul dintre planele paralele, vectorii 1 E

i 2 E

ai intensitilor câmpurilor

electrice create de primul i al doilea plan sunt orientai în acelai sens i sunt egali ca modul ( 1 2 E E

),

Fig. 11


8/18

8

deoarece densitile superficiale ale sarcinilor de pe

ambele plane sunt egale ca mrime, adic 1 2

( figura 12). Prin urmare, intensitatea câmpului rezultant

1 2

0 0 02 2 E E E

. (3.4)

În spaiul exterior planelor, sensurile intensitilorcâmpurilor sunt opuse i câmpul rezultant este nul:

1 2

0 0

02 2

E E E

.

3. Câmpul electric al unei sfere încrcate uniform pe suprafa.

Fie c avem o suprafa sferic de raz R încrcat uniform cu sarcina q (sau cu sarcin dedensitate superficial ). S determinm intensitatea câmpului electric creat de aceast suprafa sferic într-un punct situat la distana r de centrul sferei. Deosebim dou cazuri:

a)

Vom considera drept suprafa închis Gauss o suprafa sferic deraz r concentric cu sfera încarcat ( figura 13, ). În interiorul suprafeeiGauss sarcin electric nu exist:

0ii

q . Atunci, conform teoremei

lui Gauss:

0 E

S

E dS

. Din

aceast relaie rezult c i intensitateacâmpului electric este egal cu zero

0. E

Prin urmare, în interiorul sferei

încrcate, câmpul electrostatic nu trunde. Acest rezultat este utilizat pentru protecia electrostatic a aparatelor de msur .

b) La fel vom considera drept suprafa Gauss o suprafa sferic de raz r concentric cu sfera

încarcat, îns r R ( figura 13, ). b

Fluxul elementar al vectorului intensitii câmpului electrostatic printr-o suprafa infinit mic dS este:

cos E

d E dS E dS

. Datorit simetriei sferice, în orice punct de pe suprafaa Gauss vectorii E

i

n

sunt la fel orientai, adic 0 i cos 1 . R mâne c E

d E dS . Atunci fluxul prin toat

suprafaa Gauss va fi: E

S

E dS . Graie aceleiai simetrii sferice, modulul vectorului E

depinde

numai de distana r . Prin urmare, modulul vectorului E

în orice punct al suprafeei Gauss are aceaivaloare ( E const ). Din ultima relaie rezult:

24 E

S S

E dS E dS E S E r . (3.5)

Egalând (3.5) cu (2.3) obinem:

()

S

r

S

r

Fig. 13

(b)

= 0 = 0

+ –

Fig. 12


9/18

9

2

10 0

14

N

i

i

q E r q

,

sau

204

q E

r . (3.6)

Relaia (3.6) reprezint intensitatea câmpului electric creat de o suprafa sferic încrcat într-

un punct aflat la distana r ( r R ) de la centrul ei.

Din (3.6) vedem, intensitatea câmpului creat de o suprafa sferic nu depinde de raza acesteisuprafee i are aceai valoare ca i în cazul unei sarcini punctiforme. Deci, suprafaa sferic încrcat secomport la fel ca o sarcin punctiform care s-ar afla în centrul suprafeei sferice.Rezultatele obinute pot fi reunite într-o singur expresie:

20

0, ,

, .4

r R

E qr R

r

Exprimând q prin ( 24q R ), obinem înc o relaie pentru intensitatea câmpului creat

de sfera încrcat uniform pe suprafa:2

20

R E

r

, r R . (3.7)

4.

Câmpul electric al unei sfere încrcate uniform dup volum.

Consider m o sfer de raz R , în vid, încrcat cu sarcina q distribuit uniform în volumul ei cu

densitatea de volum3

3

4

q q

V R

. S determinm intensitatea câmpului electric creat de aceast

sfer într-un punct situat la distana r de centrul ei. S alegem astfel de suprafa închis Gauss, încât în

orice punct al ei vectorii E

i n

s fie la fel orientai, adic 0 i cos 1 . Ca i în exemplul precedent, acestei condiii satisface o suprafa sferic de raz r concentric cu sfera încarcat de raz R.

În conformitate cu teorema lui Gauss, pentru fluxul vectorului E

printr-o suprafa închis avem:

2

0

4S

q EdS E r

incl

unde qincl este sarcina inclus în suprafaa sferic închis Gauss de arie24S r .

a) Dac , atunci q qincl i formula intensitii câmpului unei sfere încrcate dup volum va

coincide cu formula (3.6) din exemplul precedent:

204

q E

r .

În particular, pe suprafaa sferei, adic atunci când r R intensitatea câmpului elctrostatic va fi:

204

q E

R . (3.8)

Sau, exprimând în (3.8) sarcina q prin densitatea de sarcin ( 343

q R ) obinem înc o relaie:

03

R E

. (3.9)


10/18

10

b) Dac , atunci în interiorul suprafeei Gauss de raz r este

inclus sarcina 34

3q r incl , adic numai o parte din sarcina

total q ( figura 14 ). Aplicând teorema lui Gauss se obine:

2 3

0 0

1 44

3S

q EdS E r r

incl .

inând seama de valoarea densitii de sarcin (3

34

q

R

) vom

avea:3 3

23 3

0 0

4 34

3 4

r q q r E r

R R

.

Din ultima relaie rezult c

304

q E r

R , unde r R . (3.10)

Relaia (3.10) reprezint intensitatea câmpului electric creat de o sfer (bil) încrcat cu sarcina

q distribuit uniform în volumul ei într-un punct aflat în interior, la distana r de centrul sferei.

Exprimând în (3.10) sarcina q prin densitatea de sarcin 34( )3

q R obinem înc o relaie

pentru intensitatea câmpului electric din interiorul unei sfere încrcate uniform dup volum:

03

r E

, ( r R ). (3.11)

Câmpul electric, atât din interiorul, cât i din exteriorul unei sfere încrcate uniform dup volum estedescris de urmtorul sistem:

20

30

, .4

, ,4

q

r Rr E

qr r R

R

5. Câmpul unui fir rectiliniu infinit i a unui cilindru infinit încrcate uniform.

Fie c avem o suprafa cilindric de raz R încrcat uniform cu sarcin pozitiv cu densitatealiniar a sarcinii . Densitatea liniar a sarcinii este mrimea egal cu cantitatea de sarcin care se

conine pe o unitate de lungime . Vom considera suprafaa cilindric încrcat infinit de

lung, adic cu raza R mult mai mic decât generatoarea sa L ( ).Din considerente de simetrie putem spune c liniile de câmp ale cilindrului (sau firului) rectiliniu

infinit încrcat uniform sunt orientate radial, adic reprezint nite linii drepte. Ele sunt orintate spre fir,dac sarcina este negativ i de la fir, dac sarcina este pozitiv. ( figura 15). S alegem în calitate desuprafa închis Gauss o suprafa cilindric de raz r i lungime l, coaxial cu cilindrul (firul)încrcat ( figura 15). Vom deosebi dou cazuri:

a)

În acest caz, în interiorul suprafeei cilindrice Gauss nu exist sarcin electric ( 0ii

q ). În acord

cu teorema lui Gauss putem scrie: 10

1 0 N

i E iS

E dS q

. Deunde rezult c 0 E . Deci, în

r

Fig. 14


11/18

11

interiorul unei suprafee cilindrice infinit lungi câmpulelectric nu ptrunde. Rezultatul acesta este utilizat

pentru protecia electrostatic a cablurilor electrice.

b)

În orice punct de pe bazele cilindrului Gauss

vectorii E

i n

sunt orientai reciproc perpendicular

sau, altfel spus, bazele cilindrului Gauss nu suntintersectate de ctre liniile de câmp. Deci, unghiul

dintre vectorii E

i n

este 2 i cos 0 .Atunci, fluxul intensitii câmpului electric prin bazelecilindrului Gauss este egal cu zero. Prin urmare, fluxul

vectorului E

prin toat suprafaa cilindric Gauss se

reduce la fluxul prin suprafaa lateral: . .S lat E E

.

În conformitate cu simetria problemei, în oricare

punct de pe aceast suprafa lateral a cilindruluiGauss vectorii E

i n

sunt la fel orientai, adic 0

i cos 1 , iar modulul vectorului E

mâne constant ( E const ). Atunci fluxul prin suprafaa lateral

este

cos 2 , E

S S S

EdS EdS E dS ES E r l 2S r l fiind aria suprafeei laterale a

cilindrului Gauss.Comparând egalitatea obinut cu relaia ce exprim teorema lui Gauss sub form integral vom avea:

02

q

E r l

unde q este sarcina electric inclus în interiorul suprafeei cilindrice Gauss. Dac densitatea liniar a

sarcinii este const atunci q l . Substituind aceast expresie în formula precedent, obinem

02 E

r

. (3.12)

Relaia (3.12) reprezint intensitatea câmpului electric creat de un cilindru infinit lung într-un

punct situat la distana r de axa cilindrului, dac r R .

Din relaia (3.12) se vede c intensitatea câmpului electric creat de un cilindru infinit lung nu

depinde de raza acestui cilindru R. Prin urmare, relaia (3.12) este valabil i pentru un cilindru de o raz infinit mic, adic pentru un fir încrcat.

Generalizând cele dou cazuri de mai sus putem scrie:

0

0, ,

, .2

r R

E r R

r

exprimm intensitatea câmpului creat de cilindrul infinit (gol) prin densitatea superficial de

sarcin . Din egalitatea 2q l Rl se obine 2 R . Substituind aceast expresie în

formula (3.12) vom avea:

0

R E r

. (3.13)

Fig. 15


12/18

12

Analogic se pot obine relaiile pentru intensitatea câmpului electric a unui cilindru infinit plin deraz R încrcat uniform dup volum:

0

2

0

, ,2

, .2

r r R

E R

r Rr

unde este densitatea sarcinii.

4. Lucrul forelor câmpului electrostatic la deplasarea sarcinii electrice.

Circulaia vectorului intensitate a câmpului electrostatic.

Condiia de potenialitate a câmpului electrostatic în form integr i

diferenial.

Dac în câmpul electrostatic al sarcinii puncti-forme q din punctul 1 în punctul 2, se deplaseaz o alt

sarcin punctiform 0q pe o traiectorie arbitrar (vezi

figura 16 ), atunci lucrul elementar efectuat de for ele

câmpului electrostatic F

pe o por iune elmentar atraiectoriei dl :

02

0

1cos cos .

4

qqdL Fdl Fdl dl

r

Deoarece cosdl dr , atunci

02

0

1.

4

qqdL dr

r

Lucrul for elor câmpului electric F

, la deplasarea

sarcinii 0q din punctul 1 în punctul 2 este

2 2

1 1

0 012 2

0 0 1 2

1 1

4 4

r r

r r

qq qqdr L dL

r r r

sau

012

0 2 11 1 .4

qq Lr r

(4.1)

Lucrul 12 L nu depinde de forma traiectoriei, dar depinde numai de poziia iniial 1r i cea final 2r a

sarcinii 0q . Prin urmare câmpul electrostatic este un câmp potenial, iar forele electrostatice sunt

conservative (poteniale).

Lucrul for elor câmpului electrostatic la deplasarea sarcinii 0q pe o traiectorie închis este nul

deoarece câmpul electrostatic este potenial:

0. L

dL

Dac în calitate de sarcin ce se deplaseaz 0q se ia o sarcin unitar pozitiv, atunci lucrul

elementar va fi:

1

2

Fig. 16


13/18

13

0 ,ldL Fdl q Edl Edl E dl

unde cosl E E – proiecia vectorului E

pe direcia dl

. Prin urmare, lucrul

câmpului electrostatic pe o traiectorie închis:

0. L

Edl

(4.2)

Relaia (8) reprezint condiia de potenialitate a câmpului electrostatic (înform integral).

Integralal

L L

Edl E dl

se numete circulaie a vectorului E

de-a

lungul conturului închis L. Deci, circulaia vectorului intensitii câmpului

electrostatic E

de-a lungul unui contur închis L este egal cu zero. Orice câmp ce posed proprietatea(4.2) se numete câmp potenial.

Condiia de potenialitate deasemenea poate fi reprezentat sub form diferenial:

0rot E

(4.3)

rimea rot E

este numit rotor (sau vârtej, turbion) al vectorului E

.

Pentru a defini rotorul vectorului A

în careva punct P al câmpului (caracterizat de vectorul A

)

consider m o direcie oarecare caracterizat de vectorul unitar n

. În planul perpendicular vectorului n

alegem o suprafa S mrginit de un contur foarte mic L. ( figura 17 )

Se numete rotor al vectorului A

în careva punct P al câmpului (caracterizat de vectorul A

)

vectorul rot A

, proiecia cruianrot A

pe direcia normalei n

la suprafaa S se determin prin

relaia:

0

1lim ,

nS

L

rot A AdlS

(4.4)

unde L

Adl

– este circulaia vectorului A

de-a lungul conturului închis L. Atunci când conturul L se

micoreaz tinzând la zero, suprafaa S devine un punct (punctul P), deacea în relaia (4.4) putem

substitui 0S prin S P . Valoarea expresiei (4.4) depinde nu numai de proprietile câmpului (caracterizat de vectorul A

)

în punctul considerat P, dar i de orientarea conturului închis L în spaiu, adic de orientarea normalei

n la contur. Calculând limita din expresia (4.4) în acelai punct P, dar pentru diferite orientri ale

normalei n

vom obine valori diferite i vom constata c pentru sensuri opuse ale aceleai direcii

valorile expresiei (4.4) difer doar dup semn. Prin urmare, partea dreapt a egalitii (4.4) reprezint orime scalar , care se comport ca proiecia unui oarecare vector pe direcia normalei la suprafaa S a

conturului L de-a lungul cruia se calculeaz circulaia. Direcia i sensul vectorului rot A

coincide cu

astfel de direcie i sens a normalei n

la suprafaa S , pentru care valoarea expresiei (4.4) este maxim.

Aceast valoare maxim, în acelai timp este i modulul vectorului rot A

.

Rotorul caracterizeaz intensitatea vârtejului (sau vârtejuirii) vectorului (câmpului), ceea ce estereflectat i în denumirea sa.

S

Fig. 17


14/18

14

Exemplu 1: Fie c vectorul A

este egal cu viteza

v a punctelor unui corp solid, care se rotete

cu viteza unghiular în jurul axei coliniare cu vectorul n

. S calculm nrot

v pentru punctele ce

apar in axei de rotaie. În calitate de contur închis s alegem un cerc de raz r , planul cruia este

perpendicular axei de rotaie, iar centrul cercului apar inând ei. Vom avea: v = r , 2 S = r i

A d l = v d l , unde d l – un element al cercului. În conformitate cu (4.4) obinem:

2 20 0

2lim lim 2 ,n

r r L

r r r rot dlr r

v

unde 2 L

r d l = – lungimea cercului. Se poate demonstra c acest rezultat 2nrot

v este valabil

nu numai pentru punctele de pe axa de rotaie, dar i pentru toate punctele corpului solid.În practic, pentru calcularea rotorului, este mai comod de a folosi reprezentarea sa în coordonate

carteziene decât relaia (4.4). Vectorul rot A

în coordonate carteziene se exprim în felul urmtor:

rot A A , y y x x z z

x y z

i j k

A A A A A Ai j k x y z y z z x x y

A A A

(4.5)

unde i j k x y z

este operatorul Hamilton (sau operatorul

nabla).

În conformitate cu teorema lui Stokes:

L S

E dl rot E dS

i

deoarece 0 L

E dl

, rezult c 0rot E

.

Am obinut condiia de potenialitate a câmpului electrostatic (în form diferenial).

Exemplu 2: S ne imaginm un rotor cu pale de greutate neglijabil i dimensiuni foarte mici ( figura 18 ) plasat într-un punct arbitar O , îninteriorul unui fluid (lichid sau gaz) viteza de curgere a crui este v . În

acele puncte (regiuni) în care vectorul 0rot

v , rotorul cu palete se va

roti în jurul axei ce trece prin punctul O i este perpendicular planului

figurii. Dac proiecia vectorului rot v pe axa O (adic nrot

v ) va crete,

atunci rotorul cu pale se va roti cu vitez (acceleraie) mai mare. Exemplu 3: ne imaginm un sistem simetric de sarcini electrice

identice legate rigid între ele (adic un „rotor” electric – o analogie arotorului cu pale din exemplul 2), de forma reprezentat în figura 19 i dedimensiuni extrem de mici. Sistemul este plasat în câmp electric de

intensitate E

i se poate roti liber în jurul axei ce trece prin punctul O (perpendicular planului figurii 19).

Sistemul de sarcini identice se va roti, dac 0rot E

, adic dac câmpul electric este turbionar (nu este potenial) în punctul considerat

Fig. 19

Fig.18


15/18

15

(punctul O). Odat cu creterea modulului vectorului rot E

sau, altfel spus, dac vârtejul câmpului E

în

punctul O se intensific, sistemul de sarcini identice se va roti cu acceleraie mai mare. Dac 0rot E

,

adic dac câmpul electric în punctul considerat nu este turbionar (n-are vârtej), atunci sistemul nu se varoti. În cazul câmpului electrostatic (care este potenial i nu este turbionar) un astfel de sistem de sarciniidentice imaginat nu se va roti pentru orice orientare a axei sale.

Din condiia de potenialitate rezult c liniile câmpului electrostatic creat de sarcini imobile nu pot fi închise i câmpul electrostatic staionar ( E const

) nu este turbionar (adic este f vârtejuri).

5. Potenialul câmpului electrostatic. Legtura dintre intensitatea i

potenialul câmpului electrostatic în form diferenial i integral.

Din mecanic se tie c lucrul efectuat de ctre o for conservativ la deplasarea unui corp esteegal cu variaia energiei poteniale a corpului luat cu semnul „–”:

pdL dW sau

2 112( )

p p p L W W W . (5.1)

Lucrul for elor electrostatice la deplasarea sarcinii 0q din punctul 1 în punctul 2 al traiectoriei

poate fi reprezentat ca o diferen de valori ale unei funcii ce depinde de configuraia sistemului, adic depinde numai de poziia sarcinilor r

fa de sistemul de referin i nu depinde de modul de trecere a

sistemului de la configuraia initial 1 la cea final 2:

0 012

0 1 0 2

1 1

4 4

qq qq L

r r

.

Comparând ultimele dou relaii obinem:

1 2

0 012

0 1 0 2

1 1

4 4 p pqq qq

L W W r r

Prin urmare, energia potenial este o funcie de forma:

0

0

1

4 pqq

W r

.

Considerând, c la infinit, energia potenial a sarcinii q este nul ( ( ) 0 p

W r ), vom putea

înltura din expresia obinut pentru energia potenial constanta C , deoarece ea devine egal cu zero.Energia potenial a sarcinii 0q plasat în câmpul sarcinii q la distana r de ea:

0

0

1( )

4 pqq

W r r

. (5.2)

0 014

pW qq r

. (5.3)

Se numete potenial al câmpului electrostatic întru-un punct al câmpului mrimea fizic

egal cu energia potenial a unei sarcini unitare pozitive situate în punctul considerat.


16/18

16

Relaia (5.3) reprezint potenialul câmpului electric creat de o sarcin punctiform q într-un punct aflat

la distana r de la ea. Potenialul unui sistem de N sarcini punctiforme situate în vid, adic la o

distribuie discret a sarcinii în spaiu:

1 1 0

1

4

N N i

i

i i i

q

r

. (5.4)

Pentru o distribuie continu a sarcinii în spaiu:

0( ) 4q

dq

r

. (5.5)

Din definiia putenialului rezult: 0 pdW q d sau 0 pW q . Prin urmare, lucrul efectuat de

for ele electrostatice la deplasarea sarcinii 0q din punctul 1 (cu potenialul 1 ) în punctul 2 (cu

potenialul 2 ) este

12 0 0 2 1 0 1 2( ) ( ) p L W q q q . (5.6)

Pe de alt parte, în conformitate cu definiia lucrului unei for e la deplasarea unui corp din poziia 1 în

poziia 2 a traiectoriei avem 2 2 2 2

12 0 0 0

1 1 1 1

cos ,l L F dl q E dl q E dl q E dl

(5.7)

unde cosl E E este proiecia vectorului E

pe direcia dl

. Egalând expresiile (5.6) i (5.7) obinem: 2 2

1 2

1 1

l E dl E dl

. (5.8)

Am obinut astfel relaia dintre potenialul (sau diferena de potenial) i intensitatea câmpuluielectric (sub form integral).

Între for a conservativ i energia potenial exist relaia (aceast relaie se deduce în cursul demecanic):

pF grad W

. (5.9)

Vectorul p p p p

W W W grad W i j k

x y z

se numete gradient al mrimii scalare

pW . O alt notaie

a gradientul este pW

, unde i j k x y z

este operatorul Hamilton (sau operatorul nabla).

Substituind în (5.9) relaiile 0F q E

i 0 pW q vom avea: 0 0( )q E grad q

. Din ultima relaie

rezult : E grad

, (5.10)

unde

grad i j k x y z

Am obinut relaia dintre potenialul i intensitatea câmpului electric (sub form diferenial).

Proieciile vectorului x y z

E E i E j E k

pe axele de coordonate carteziene se exprim prin

derivatele par iale de la potenial:

x E x

; y E y

;

z E z

.


17/18

17

Simbolul derivatei par iale sublinieaz faptul c diferenierea funciei , , x y z se efectuiaz

doar în raport cu una din cele trei variabile (celelalte dou variabile considerîndu-se constante).Distribuia potenialului câmpului electrostatic în spaiu se reprezin grafic cu ajutorul

suprafeelor echipoteniale – suprafee, în toate punctele creia potenialul câmpului electric are

aceeai valoare. Potenialul se poate modifica numai la trecerea de la o suprafa la alta. clarificm sensul geometric al gradientului. Alegem pe o

suprafa echipotenial const un punct arbitrarO care coincide cu

originea unui sistem de coordonate ( figura 20), a crui ax Oz este

orientat dup normala n

la aceast suprafa în sensul creterii potenialului . Este evident c în acest caz planul xOy este tangent la

suprafaa echipotenial const . Atunci în punctul O : 0 x y

,

iar z n

deoarece vectorul unitar al axei Oz k n

. Am obinut:

grad nn

. Deci vectorii grad i n sunt la fel orientai. Funcia

, , x y z crete cel mai rapid în sensul normalei n

, prin urmare:

Din cele spuse reese c vectorul grad este perpendicular suprafeei echipoteniale. Conformformulei (5.10) vectorul E

este orientat în sens opus vectorului grad . Prin urmare, liniile de câmp

sunt perpendiculare suprafeelor echipoteniale.Relaia dintre potenialul i intensitatea câmpului electric ne permite s aflm diferena de

potenial dintre dou puncte arbitrare ale câmpului electric, fiind cunoscut intensitatea lui. Consider mîn calitate de exemplu calculul potenialului câmpului unui fir rectiliniu infinit încrcat uniform cusarcin electric de densitate liniar .

Utiliznd formula pentru intensitatea câmpului electric creat de un fir rectiliniu infinit la distan ar de fir:

02

E r r

i scriind relaia (5.10) sub forma :

d

E r d r

obinem

0

.2

d r d E r d r

r

Integrând aceast ecuaie vom avea

0

ln ,2

r r C

Gradientul funciei (,,) este un vector orientat în sensul creterii maxime a acestei

funcii, iar valoarea sa este egal cu derivata funciei (,,) dup aceast direcie.

Fig. 20


18/18

18

unde C este o constant de integrare. Prin urmare, diferena de potenial dintre dou puncte ale câmpului

situate la distanele 1r i 2r de la firul încrcat este

21 2

0 1

ln .2

r

r

(5.11)

câmpul electrostatic În vid

Documents