c12

ECONOMETRIE

CURS 12

IAŞI- 2012 -

IPOTEZE ALE MODELULUI DE REGRESIE ŞI PROBLEME ALE ÎNCĂLCĂRII LOR

Ipoteze asupra componentei aleatoare:1. Media variabilei reziduale este nulă2. Homoscedasticitatea 3. Normalitatea erorilor4. Autocorelarea erorilor

Ipoteze asupra componentei deterministe:1. Coliniaritatea

Testarea ipotezei de homoscedasticitate

Testarea homoscedaticitatii se poate face cu ajutorul testelor:

pentru modele simple: Testul Glejer Testul corelaţiei neparametrice dintre valoarea absolută a

erorilor estimate şi variabila independentă (Spearman) Testul Goldfeld-Quandt

pentru modele multiple: Testul Breusch-Pagan-Godfrey Testul White

Testul Breusch-Pagan-GodfreyPlecand de la ipoteza ca exista o legatura multipla liniara intre variabila

Y si variabilele X1 si X2 descrisa de relatia: Y=β0+β1X1+β2X2+ε, testarea homoscedasticitatii presupune parcurgerea urmatoarilor pasi:

estimarea parametrilor modelului de regresie liniara multipla: β0;β1 si β2

pe baza modelului estimat se obtin valorile erorii de modelare; construirea modelului auxiliar de regresie:

ei2=α0 +α1X1+ α2X2+u

se estimeaza raportul de determinatie a modelului auxiliar (Rα2). Pe baza

acestuia se caluleaza valoarea statisticii χ2 = n Rα2 care va fi comparata cu o

valoare teoretica χ2α, k-1, unde k reprezinta numarul parametrilor din modelul

auxiliar; prin compararea valorii teoretice cu cea calculata a statisticii χ2 se va accepta/

respinge ipoteza de homoscedasticitate a erorilor:

χ2 < χ2α, k-1=>AH0 respectiv χ2 ≥χ2

α, k-1=>RH0

Estimarea parametrilor modelului de baza

SAL – salariul curent anual ($) ->YSAL0 – salariul anual la angajare ($) -> X1

ED – nivelul educatie (ani de scoala)-> X2

Forma modelului liniar multiplu de estimat:SAL = β0+ β1*SAL0 + β2*ED+ε

Modelul estimat:SAL = -7808.71415718 +1.67263052172*SAL0 + 1020.3901421*ED+ε

Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey F-statistic 27.28751 Prob. F(2,471) 0.0000 Obs*R-squared 49.21954 Prob. Chi-Square(2) 0.0000 Scaled explained SS 245.2163 Prob. Chi-Square(2) 0.0000 Test Equation: Dependent Variable: ε^2 Method: Least Squares Date: 01/15/13 Time: 20:38 Sample: 1 474 Included observations: 474 Var. Coefficient Std. Error t-Statistic P β0 -1.31E+08 40991028-3.2033800.0015 SAL0 6150.668 1375.365 4.472026 0.0000 ED 6452228 3752366 1.719509 0.0862 R-sq. 0.103839 Mean dependent var 60401068 Adjusted R-sq. 0.100033 S.D. dependent var 1.92E+08 S.E. of reg. 1.82E+08 Akaike info criterion 40.88563 Sum sq. resid 1.56E+19 Schwarz criterion 40.91197 Log likelihood -9686.895 Hannan-Quinn criter. 40.89599 F-statistic 27.28751 Durbin-Watson stat 1.796592 Prob(F-statistic) 0.000000

Testul WhiteTestul White urmeaza acelasi algoritm ca

in cazul testului Breusch-Pagan-Godfrey, singura diferenta consta in faptul ca se utilizeaza o alta forma mult mai complexa a modelului auxiliar:

ei2=α0 +α1X1+ α2X2+α3X1X2+ α4X1

2+ α5X2 2+u

Calculul statisticii χ2 si luarea deciziei se realizeaza ca in cazul testului precedent.

Heteroskedasticity Test: WhiteF-statistic11.97360 Prob. F(5,468) 0.0000Obs*R-sq. 53.75859 Prob. Chi-Square(5) 0.0000Scaled expl. SS 267.8303 Prob. Chi-Square(5) 0.0000Test Equation:Dependent Variable: ε^2Method: Least SquaresDate: 01/15/13 Time: 23:19Sample: 1 474Included observations: 474Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. β0 -2.13E+08 1.67E+08 -1.275593 0.2027SAL0 13826.12 9771.187 1.414989 0.1577SAL0^2 -0.138886 0.082003 -1.693663 0.0910SAL0*ED 72.27410 765.1561 0.094457 0.9248ED 9214356. 26870194 0.342921 0.7318ED^2 -291287.7 1381016. -0.210923 0.8330R-sq. 0.113415 Mean dependent va 60401068Adj R-sq 0.103943 S.D. dependent var 1.92E+08S.E. of reg 1.82E+08 Akaike info criterion 40.88755Sum sq. res 1.55E+19 Schwarz criterion 40.94022Log likelihood -9684.348 Hannan-Quinn criter 40.90826F-statistic 11.97360 Durbin-Watson stat 1.799331Prob(F-statistic) 0.000000

TESTAREA COLINIARITĂŢII (1) Ipoteza de necoliniaritate presupune că între variabilele independente

ale unui model de regresie nu există o legătură de tip liniar Probleme:- identificarea gradului de coliniaritate,- stabilirea cauzelor încălcării ipotezei, - stabilirea efectelor coliniarităţii, - testarea ipotezei de coliniaritate şi -- corectarea modelului în cazul existenţei acesteia.Grade de coliniaritate:1. Coliniaritate perfectă dacă există p constante , nu toate nule, 2. Coliniaritate imperfectă dacă are loc relaţia:

unde u este o variabilă aleatoare care respectă ipotezele modelului clasic de regresie.

0X...XX pp2211

0uX...XX pp2211

TESTAREA COLINIARITĂŢII (2)Identificarea coliniarităţii Testarea coeficienţilor de regresie în cazul unui model cu un coeficient de determinaţie ridicat (de obicei peste 0.8). Dacă coeficienţii de regresie sunt nesemnificativ diferiţi de zero, atunci ipoteza de necoliniaritate este încălcată. Testarea coeficienţilor de corelaţie bivariaţi pentru variabilele independente din modelul de regresie Dacă aceşti coeficienţi au valori ridicate (de regulă, peste 0.8), atunci există posibilitatea coliniarităţii între variabilele independente. Estimarea şi testarea parametrilor modelelor de regresie auxiliară dintre variabilele independente . Ipoteza de necoliniaritate este încălcată dacă aceşti coeficienţi de regresie sunt semnificativ diferiţi de zero. Detectare a coliniarităţii pe baza a doi indicatori (utilizati în SPSS): - Tolerance - VIF (Variance Inflation Factor).

TESTAREA COLINIARITĂŢII (3)

10,008,006,004,002,000,00

X1

20,00

15,00

10,00

5,00

0,00

X2

R Sq Linear = 1

Figura 1. Reprezentarea grafică a coliniarităţii perfecte dintre două variabile independente, X1 şi

X2


14,0012,0010,008,006,004,002,000,00

X1

20,00

15,00

10,00

5,00

0,00

X2

R Sq Linear = 0,902

Figura 2. Reprezentarea grafică a coliniarităţii imperfecte dintre două variabile independente, X1 şi X2


Matricea corelaţiilor - arată valoarea coeficienţilor de corelaţie dintre variabile, considerate două câte două.

Valori ridicate ale coeficienţilor de corelaţie, mai mari de 0.8, arată existenţa coliniarităţii puternice între variabilele independente.

Exemplu: Correlations

1 ,161 -,213

,566 ,446

15 15 15

,161 1 -,494

,566 ,061

15 15 15

-,213 -,494 1

,446 ,061

15 15 15

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

X1

X2

X3

X1 X2 X3


Indicatorul Tolerance se defineşte prin relaţia:

este raportul de determinaţie din modelul de regresie auxiliar, construit pe baza variabilelor independente, în care variabila j este considerată variabila dependentă, iar celelalte variabile factoriale sunt considerate variabile independente.

Dacă TOL = 1, nu există coliniaritate, iar dacă TOL = 0 suntem în situaţia

extremă, de coliniaritate perfectă.

21 jj RTOL 2jR


Indicatorul VIF (Variation Inflation Factor) se defineşte prin relaţia:

Lipsa coliniarităţii dă o valoare VIF = 1 Existenţa coliniarităţii determină o valoare mare a indicatorului, în cazul unei

coliniarităţi perfecte avem relaţia

În practică, se consideră că o valoare VIF>10 (dupa alti autori VIF>5) indică prezenţa coliniarităţii.

2

1

(1 )jj

VIFR

2 1,jR VIF

Exemplu: În urma analizei legăturilor dintre variabilele independente ale unui model de regresie, s-au obţinut următoarele rezultate:


Coefficientsa

5.787 1.773 3.263 .001

2.459 .104 .558 23.623 .000 .904 1.106

-.059 .190 -.008 -.309 .757 .835 1.198

.115 .018 .154 6.263 .000 .831 1.203

(Constant)

Highest Year ofSchool Completed

Number of Children

Age of Respondent

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig. Tolerance VIF

Collinearity Statistics

Dependent Variable: R's Occupational Prestige Score (1980)a.

Exemple

Pentru ecuaţia Y = α0 + α1D1 + α2D2 sunt valabile următoarele afirmaţii: a) este ecuaţia corespunzatoare unui model

ANOVA b) este ecuatia corespunzătoare unui model

ANCOVA c) D1 şi D2 sunt variabile distribuite normal d) D1 şi D2 pot apare ca urmare a construirii

unui model de regresie între Y şi o variabilă nominală cu trei categorii

Testul Fisher poate fi utilizat pentru: Verificarea ipotezei de homoscedasticitate verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie verificarea ipotezei de multicoliniaritate a variabilelor independente verificarea corectitudinii modelului de regresie ales

Prin autocorelare înţelegem că variabilele independente Xi din model sunt corelate între ele erorile de modelare nu sunt independente erorile de modelare sunt corelate cu una sau mai multe variabile

independente

O agenţie imobiliară efectuează un studiu privind influenţa pe care o are Suprafaţa apartamentelor (X) şi a Vechimea apartamentelor (Apartamente noi, Apartamente vechi (D1) şi Apartamente foarte vechi (D2)) asupra Preţul de vânzare a apartamentelor.

Rezultatele modelării sunt prezentate în tabelul de mai sus. Se poate considera că:

modelul prezentat este un model de tip ANCOVA modelul prezentat este un model de tip ANOVA apartamentele vechi nu determină diferenţe semnificative de preţ faţă de

apartamentele noi Apartamentele vechi costa mai mult cu 8326.245 lei decat cele foarte vechi

Pentru un eşantion de 20 de angajaţi ai unei firme s-au înregistrat vechimea la locul actual de muncă (ani), sexul persoanei şi venitul familiei angajatului (mil.). În urma modelării celor trei variabile a rezultat tabelul de mai jos. Pe care dintre următoarele afirmaţii le consideraţi ca fiind corecte?

Vechimea angajaţilor de sex masculin este mai mare, în medie, decât cea a angajaţilor de sex feminin cu 0,493 ani

Vechimea medie a angajaţilor de sex feminin este de 6,335 ani, in conditiile unui venit nul

Între vechimea angajaţilor şi venitul familiei acestora există o legătură directă

Coefficientsa

6.335 .325 19.473 .000

-.493 .198 -.025 -2.489 .013

.072 .001 .579 56.829 .000

(Constant)

sexul persoanei

venitul familiei

Model1

B Std. Error


Beta


t Sig.

Dependent Variable: Vechimea la locul actual de muncaa.

În urma modelării Acceleraţiei autoturismelor în funcţie de Puterea motorului printr-un model compus a rezultat o eroare de modelare pentru care am obţinut următorii indicatori statistici descriptivi:

Pe baza datelor din tabel alegeţi afirmaţiile adevărate:

media nu diferă semnificativ de zero distribuţia erorilor nu este normală distribuţia seriei este autocorelată

Statistics

Unstandardized Residual1415

102

-.0030732

.29692224

11.16917

.005

.065

-.248

.130

Valid

Missing

N

Mean

Std. Error of Mean

Std. Deviation

Skewness

Std. Error of Skewness

Kurtosis

Std. Error of Kurtosis

În urma modelării Salariului în funcţie de Vechime, pentru verificarea ipotezelor de regresie s-a obtinut rezultatul de mai jos. Pentru un risc asumat de 5%, care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate?

Erorile sunt homoscedastice Variatia erorii de modelare este influentata semnificativ de

variatia variabilei Vechime Variantele erorii de modelare sunt egale si constante Modelul este heteroscedastic

Coefficientsa

65.656 1.429 45.931 .000

-2.034 .126 -.418 -16.126 .000

(Constant)

Vechime

Model1

B Std. Error


Beta


t Sig.

Dependent Variable: Erorile in valoare absolutaa.

c12

Documents