ascs

Curs 3: Sisteme (filtre) elementare (2 / 3)

Cuprins - Sisteme (filtre) elementare 1. Introducere 2. Sistemul ideal cu aciune proporional (amplificatorul ideal) 3. Linia de ntrziere 3.1 Linia de ntrziere cu timp continuu 3.2 Linia de ntrziere cu timp discret

4. Integratorul 4.1 Integratorul cu timp continuu 4.2 Integratorul cu timp discret 5. Derivatorul ideal 5.1 Derivatorul ideal cu timp continuu 5.2 Derivatorul cu timp discret 6. Filtrul de ordinul unu 6.1 Filtrul de ordinul unu cu timp continuu 6.2 Filtrul de ordinul unu cu timp discret

7. Filtrul de ordinul doi 7.1 Filtrul de ordinul doi cu timp continuu 7.2 Filtrul de ordinul doi cu timp discret 8. Derivatorul la limit cauzal i derivatorul cauzal 9. Sistemul defazor de ordinul unu 9.1 Sistemul defazor de ordinul unu cu timp continuu

9.2 Sistemul defazor de ordinul unu cu timp discret 10. Filtrul trece jos ideal 11. Analiza filtrelor FIR 12. Sisteme de faz minim

Concluzii

1. Filtrul de ordinul unu.

Filtrul de ordinul unu se mai numete sistem cu aciune proporional de ordinul unu sau element aperiodic (denumirea de element aperiodic este valabil numai n cazul timpului continuu).

4. 1. Filtrul de ordinul 1 cu timp continuu. Ecuaia intrare-ieire :

d ( )

dy t

T y t Ku tt

(1) unde : K coeficientul static de amplificare ; T constanta de timp. Funcia de transfer se obtine din aplicarea transformatei Laplace ecuatiei (1), in conditii initiale nule, si este

1)(

)()( TsK

sUsYsH (2)

la care corespunde polul p = 1/T n planul complex. Rspunsul la impuls se obine ca transformat Laplace invers a funciei de transfer:

2 Analiza si sinteza sistemelor si circuitelor

1 1 e1 1/

tTK K / T Kh t L L

Ts s T T (3)

fiind reprezentat n fig. 1.a. Pentru t=T, se obine :

1e 0.37K Kh TT T

; 20

d ( ) tgd t

h t Kt T

(4)

Aceste relaii dau dou metode de determinare grafic a parametrului T, ilustrate n fig. 1.a. In fig. 1.b este prezentat forma rspunsului la impuls pentru diferite poziii n planul complex ale polului p = - 1/T. Evident, elementul aperiodic are T >0, polul fiind situat ntotdeauna n semiplanul stng. Regimul dinamic este cu att mai prelungit, cu ct polul se afl mai aproape de origine. Cnd distana fa de origine este mai mare (adic, constanta de timp este mai mic), cu att regimul dinamic se stinge mai rapid.

Figura 1. (a) Rspunsul la impuls al elementului aperiodic; (b) Forma rspunsului la impuls

n funcie de poziia polului Rspunsul indicial este

10 0

( ) e 1 ett t

T TKh ( t ) h d d KT

(5)

avnd reprezentarea grafic din fig. 2.a. Aici sunt ilustrate procedurile grafice pentru determinarea constantei de timp T . Aceste proceduri au la baz relaiile :

11 10

d1 e 0,63K; tg

dt

h t Kh T Kt T

(6)

Rspunsul la frecven este

1KH jj T

(8) i conduce la urmtoarele expresii ale amplificrii i defazajului

2( ) ; ( ) arctg( )

( ) 1

KA TT

(9)

Sisteme (Filtre) elementare 3

Figura 2: Rspunsul la treapt al elementului aperiodic (filtrul de ordinul unu)

Caracteristica Nyquist este forma unui cerc cu raza K/2 i cu centrul n punctul de coordonate (K/2,j.0). Atunci cnd variaz de la 0 la + , este parcurs semicercul situat sub axa real. (fig.3).

Figura 3: Caracteristica Nyquist pentru elementul aperiodic

Caracteristicile Bode se pot trasa punct cu punct, calculnd amplificarea n dB, pornind de la relaia (9) :

2 22

20log =20logK 20log 1( ) 1

dBKA T

T

(10)

si defazajul, ( ) arctg( )T , obinndu-se caracteristicile exacte. Este ns posibil s se utilizeze o reprezentare aproximativ a caracteristicii de amplificare, prin asimptotele acestei caracteristici. Aceasta este caracteristica asimptotic, format din : dreapt orizontal pentru c , cnd KAdB lg20 ; dreapt cu panta de 20 dB/dec, pentru c . Intr-adevr, la frecvene mari, adic

atunci cnd T/1 avem

lg20lg20lg201lg20lg20 22 TKTKAdB Frecvena 1t T la care caracteristica Bode se frnge se numete frecven de frngere (uneori, ea este denumit frecven de tiere).


Figura 4 : Caracteristicile Bode pentru un sistem de ordinul unu

Caracteristica asimptotic este un model frecvenial parametric, deoarece el definete

filtrul prin doi parametri : coeficientul static de amplificare n dB i frecvena de frngere. Distana maxim dintre caracteristica asimptoptic i cea real este de 3dB, la pulsaia t , i de 1dB, la 0,5t i 2t. Caracteristicile de amplificare i de defazaj, reale i aproximative, sunt reprezentate n fig. 4. Observaii. 1). Filtrul de ordinul 1 (elementul aperiodic) poate avea funciuni distincte de procesare a semnalului de intrare, n funcie de banda caracterisicii spectrale a acestui semnal.

Figura 5 : Funciuni ale elementului aperiodic n raport cu domeniul spectral al intrrii

Pentru trei benzi de frecven, B1, B2 si B3, date n a fig.5, sistemul se poate comporta:

- ca un amplificator, pentru semnalul cu banda B1 ; - ca un integrator, n raport cu semnalul avnd banda B2 ; - ca un filtru trece jos, n raport cu semnalul cu banda B3.

2). Circuitul a se circuitul pasiv RC are funcia de transfer de forma (2), n care K=1 i T=RC.

sRCSCRsI sCsI

sUsYsH

11

/1)(

1)(

)()()(


5.2. Filtrul de ordinul 1 cu timp discret

Considerand ecuatia filtrului de ordinul unu in timp continuu se obtine prin discretizare

d ( )dy t

T y t Ku tt

)()()1()(

eee

ee kTKukTyT

TkykTyT

sau, prin prelucrare adecvata:

)()()1()( kKukykykyTT

e

)()1(1)( kKukyTT

TTky

ee

sau, intr-o forma mai condensata :

)()1(1

)( 1 kukyTTky T

eKT

)()1()( 11 kubkyaky ceea ce reprezinta un sistem la limita cauzal (din cauza lui u(k) si y(k), deci la acelasi moment de timp). Functia de transfer in z :

1

11

1

1

1)(

azzb

zabzH

Raspunsul in frecventa este

eeTejTej

TjaTab

eabeH

sincos11

)(11

1

1

1

cu

2111

21

21

1

cos21sincos1)()(

aTa

b

TaTa

beHAeee

Tej

e

eTa

Taarctg

cos1

sin)(

1

1

Doua cazuri sunt importante de discutat, dupa cum coeficientul a1 este pozitiv sau negativ. Limitele raspunsului la frecventa sunt :

1

1211

1121

)0(0a

b

aa

bA

1

1211

11)cos(21

)(2/a

b

aa

bA ses

, deci )()0( sAA (FTJ)


Daca a1 este negativ se obtine )()0( sAA (FTS). De retinut deci ca filtrele in timp discret sunt doar o aproximarea a filtrelor in timp continuu si, in functie de valorile parametrilor, pot sa-si schimbe radical comportamentul in domeniile timp si frecventa.

Sistemul de ordinul unu cu timp discret cauzal are ecuaia intrare-ieire

1 11 1y k a y k b u k (1) la care corespunde funcia de transfer

11 11 111b z bH z

z aa z

(2)

n care polul pz a se consider a fi n cercul unitar din planul z. Pornind de la expresia rapunsului la frecven,

1 1

11e

cos( )+jsin( )e

j Te

ej T e e

b bHT T aa

, (3) se obin caracteristicile de frecven

12

1 1

1

1 2 cos

sinarctgcos

e

e

e

bAa a T

TT a

; (4)

Fie cazul cnd polul p 1z = a este situat n semicercul drept (0


Observatie : O1). Este important relevarea proprietilor dinamice ale filtrului prin intermediul rspunsului sistemului, pentru diferite poziii ale polului n planul complex.

Pentru aceasta vom considera c semnalul de intrare este nul n ecuaia (1), u(k-1) = 0, iar condiia iniial a sistemului este nenul, de exemplu y(0) = 1. Vom examina evoluia mrimii de ieire, y(k), sub aciunea condiiei iniiale nenule. Ecuaia ieirii sistemului este

( ) . ( 1); (0) 1; 1,2,...y k a y k y k

Fie un pol aflat n semicercul drept, n apropierea cercului unitar, de exemplu: a = 0.9. Succesiunea valorilor mrimii de ieire, ( )y k , pentru k=0, 1, 2, 3, .., este:

1, 0.9, 0.81, 0.729,...

adic evoluia ieirii este lent, cu att mai lent, cu ct polul a este mai apropiat de cercul unitar (cazul polului 1 din fig. 8). Dac a este mic (cazul polului 2 din fig. 8), de ex. a = 0.1, succesiunea valorilor mrimii de ieire, ( )y k , pentru k=0, 1, 2, 3, .., este:

1, 0.1, 0.01, 0.001,...

adic ieirea filtrului se stinge foarte rapid. Deci, atunci cnd polul este apropiat de cercul unitar, dinamica filtului este lent (adic, proprietile de filtrare sunt puternice) iar atunci cnd polul este apropiat de origine, dinamica filtrului este rapid, (adic, proprietile de fitrare sunt reduse).

Figura 8 : Rspunsul la impuls al unui sistem de ordinul unu cu timp discret,

n funcie de poziia polului

Dac polul se afl pe cercul unitar, a = 1, (polul 3 din fig. 8) rspunsul este o treapt unitar, filtrul fiind, de fapt, un integrator. Pentru a > 1 (polul 4 din fig. 8), ieirea ( )y k crete nedefinit (de ex., pentru a=2, se obin valorile: 1, 2, 4, 8,...), sistemul fiind instabil. In mod similar se poate analiza rspunsul sistemului atunci cnd polul este situat n semiplanul stng (polii 5,6,7 i 8). Se observ c atunci cnd polul este n cerul unitar (polii 5 i 6), rspunsul ( )y k este oscilant. El se stinge cu att mai rapid, cu ct polul este mai aproape


de origine. Pentru a = -1 rspunsul este o oscilaie permanent 1 1 1 ... , iar pentru a


tsheKth ntnn 11

)( 22

2). Daca 1 avem un regim critic, (amortizare critica) iar alura rspunsului este similar celei din cazul anterior. Exista un pol dublu la pulsatia naturala.

Figura 1 : Rspunsuri indiciale ale sistemului de ordinul doi,

pentru diferite valori ale lui coeficientului de amortizare 3). Daca 1 avem regim oscilant (amortizare subcritica). Acest regim intereseaz efectiv, deoarece n cazurile anterioare sistemul de ordinul 2 se poate descompune n dou sisteme de ordinul unu nseriate (trinomul de la numitorul funciei de transfer (2) se factorizeaz ca produs de dou binoame). Polii sistemului sunt :

2

2,1 1 nn jp Se constat c modulul polilor este egal cu pulsaia natural n , iar unghiul este cu att mai mare, cu ct coeficientul de amortizare este mai mic, asa cum se prezinta in figura 2.

Figura 2: Polii filtrului de ordinul 2


Rspunsul indicial al filtrului este

tteKta nntn 222 1sin

11cos1)(

Raspunsul la impuls este

teKth ntnn 22 1sin1

)(

Pentru cazul de interes, cnd 1 , se pot distinge dou situaii:

a) 1 > 12

0.7, caz n care rspunsul indicial are o depire (suprareglare) diferit de zero, ns n ansamblu rspunsul este fr oscilaii. Valoarea maxim a depirii se obine la 1 2 0,707 i este s = 0.043 K (sau 4,3%).

b) < 1 0,72 , caz n care rspunsul indicial are oscilaii amortizate.

In fig. 3 este prezentat rspunsul indicial pentru un coeficient de amortizare 21 , care caracterizeaz aa numitul regim pseudo-periodic. Rspunsul evolueaz intre dou curbe, 1 i 2, de ecuaii

211 e

1ntK

i 2

11 e1

ntK

, (5)

care sunt trasate cu linie ntrerupt n fig. 3. Pseudo-perioada oscilaiei amortizate este numit perioad proprie, fiind dat de expresia:

22 2

1p

p n

T

(6)

unde 21p n este pulsaia proprie. Cnd sistemul nu are amortizare (=0), perioada oscilaiilor neamortizate p este egal cu pulsaia natural n: p=n.

Figura 3 : Regimul pseudo-periodic

Depirea s depinde numai de coeficientul de amortizare, fiind exprimat prin relaia:


2

% 100exp1

s

(7)

Durata regimului tranzitoriu, definit ca timpul necesar stabilizrii la valoarea staionar, cu o toleran de 5% , este

21 ln 0,05 1tn

t (8)

Rspunsul la frecven al filtrului este

22 2 2n

n nH j K

j 2

2

1

1 2nn

Kj

(9)

Caracteristica Nyquist este prezentat n fig.4. Pentru 1 2 0,7 , amplificarea A H j trece printr-un maxim, care se obine la pulsaia r, numit pulsaie de

rezonan. Aceast pulsaie depinde de pulsaia natural i de coeficientul de amortizare :

21 2r n (11) Atunci cnd descrete, pornind de la valoarea 21 , se obine pentru fiecare valoare a parametrului - cte o valoare a pulsaiei de rezonan, r, la care corespunde punctul de pe locul de transfer, corespunztor lui rH j . Locul geometric al vrfului vectorului rH j n planul complex este indicat n Fig.4.

Figura 4 : Caracteristica Nyquist a sistemului de ordinul doi

Caracteristica Bode. Din relaia (10) se constat c : 1). pentru < n, rspunsul la frecven este practic egal cu K. Amplificarea n dB se aproximeaz prin constanta 20log 20 logdBA H j K , care determin o dreapt orizontal ce reprezint asimptota caracteristicii atunci cnd tinde spre zero ;


2) pentru >n rspunsul la frecven se poate aproxima prin 22 2 nK KH j T j , adic rspunsul la frecven al unei conexiuni formate

din dou integratoare nseriate. Amplificarea n dB este aproximat de ecuaia

20log 40log 20log 40log 40logdB nn

A K K care reprezint o relaie liniar n raport cu log. Rezult c asimptota caracteristicii, atunci cnd tinde spre infinit, este o dreapt cu panta de 40dB/dec. Caracteristica asimptotic, definit prin cele dou asimptote, are frecvena de frngere

1f n T . Figura 5 prezint caracteristicile Bode pentru diferite valori ale . Caracteristica de amplificare dBA prezint un maxim atunci cnd 1 2 0,7 , ceea ce semnific existena rezonanei. Acest maxim este cu att mai pronunat, cu ct coeficientul de amortizare este mai mic.

Amplificarea la rezonan are expresia

max 22 1rKA A K Q

, (12)

n care

2

1

2 1rAQ

K

(13)

se numete factor de rezonan. Caracteristica de faz

2 22arg arctg nn

H j (14) depinde, de asemenea, de factorul de amortizare, aa cum se remarc n fig.5.


Figura 5 : Caracteristicile Bode ale sistemului de ordinul 2

2.2. Filtrul de ordinul 2 cu timp discret Ecuatia diferentiala ordinara de ordinul doi

)()()(2)(22

2 tKutydt

tdykTdt

tydT Poate fi convertita in ecuatie in diferente prin doua metode: 1). Se tine seama de relatiile

22

2

)()1()(2)1(

tkykyky

dtyd

si

tkyky

dttdy

)1()()(

Si se obtine

)()()1()(2)1()(2)1( 22 kKuky

TekykykT

TkykykyT

e

Sau, ca expresie generala,

)()1()()1( 121 kubkyakyaky Prin transformata in z rezulta

)()()()( 11

21 zUbzYzazYazzY Rbaa

azazzb

zaazb

zUzYzH 121212

11

21

1 ,,,)()()(

In mod sigur comportarea sistemului discret in timp descris prin ecuatia de mai sus

este o aproximare a sistemului in timp continuu. Relatia de mai sus este prea generala si arata existenta unui zero in origine si a doi poli.

Pentru studiu, se va considera o clasa de sisteme discrete cu functia de transfer mai simpla, fara zero si numai cu poli complecsi, de forma :


212

2)(azaz

bzH (2)

Fie

1,2j

pz e (17)

polii sistemului, reprezentai n fig.6:

Figura 6: Polii filtrului de ordinul 2

Funcia de transfer se poate pune sub forma :

1 22

21 11 1p p

b zH zz z z z

22

1 11 1j jb z

e z e z

(18)

Rspunsul la frecven este:

221 cos sin 1 cos sinee j Tj T e e e eb eH e T j T T j T

(19)

i rezult caracteristicile de amplificare i de faz :

2

2 21 2 cos 1 2 cose e

bAT T

(20)

sin sinarctg arctg

1 cos 1 cose e

ee e

T TT

T T (21)

Amplificarea A() are valoarea maxim la Te = , adic la / eT :

2

max 21 1 2 cos 2e

bA AT

(22)


Figura 7 : Caracteristica de frecven a unui sistem de ordinul 2 cu timp discret

Caracteristica de amplificare este reprezentat n fig.7. Se constat c pe msur ce se

apropie de valoarea unitar, adic polii se apropie de cercul unitar, caracteristica de frecven devine mai selectiv n jurul frecvenei eT (aici este argumentul lui 1pz - (fig.7).


Concluzii Elemente ideale Timp continuu Timp discret *

Filtrul de ordinul unu

Relatia intrare-iesire: d ( )

dy t

T y t Ku tt

)()1()( 11 kubkyaky

Raspunsul la impuls Tt

eTKth

)(

Raspunsul la treapta

T

t

eKta 1)(

Functia de transfer 1

KH sTs

111

1)( za

bzH

Raspunsul la frecventa 1

KH jj T

Caracteristica amplitudine -

frecventa 221lg20lg20

)(

TK

AdB

Caracteristica faza -

frecventa )()( Tarctg Filtrul de ordinul doi

Relatia intrare-iesire: 22 2d d2 dd

y t y tT T y t K u t

tt

Raspunsul la impuls

Raspunsul la treapta 1 22

e1 sin 11

ntnh t K t

Functia de transfer 2

2 2 22 1 2n

n

KH s KT s Ts s s

1 21 21 21 21

b z b zH za z a z

Raspunsul la frecventa 22 2 2n

n nH j K

j

Caracteristica amplitudine -

frecventa

20log 40log 20logdBn

A K K

Caracteristica faza - frecventa

2 22arg arctg nn

H j

aproximari ale sistemului in timp continuu !


% in timp continuu % parametrii modelului (sistemului) K = 1; T = 0.1; f = 1 /T; % parametrii de simulare: Te = T /10; N = 100; t = (0:N-1).*Te; num = [K]; den = [T 1]; sys = tf(num,den); h = impulse(sys, t); a = step(sys,t); subplot(221), plot(t,h);title('raspuns la impuls (pondere)' ); subplot(222), plot(t,a); title('raspuns la treapta (indicial)'); subplot(223), nyquist(sys); subplot(224), bode(sys); grid; % in timp discret; sys_dis = c2d(sys, Te); hd = impulse(sys_dis, t); ad = step(sys_dis, t); subplot(221), stem(t,hd); title('raspuns la impuls (pondere)' ); subplot(222), stem(t,ad); title('raspuns la treapta (indicial)'); subplot(223), nyquist(sys_dis); subplot(224), bode(sys_dis); subplot(221), pzmap(sys); title('timp continuu'); zpk(sys) % display the zero-poles ... subplot(222), pzmap(sys_dis); title('timp discret'); zpk(sys_dis) % display the zero-poles ...

Modelare si Simulare MS #1 : Filtrul de ordinul unu


MS #2 : Filtrul de ordinul doi

% in timp continuu % parametrii modelului (sistemului) K = 1; T = 0.1; f = 1 /T; omegan = 2*pi*f; csi = 0.1; % parametrii de simulare: Te = T /10; N = 100; t = (0:N-1).*Te; num = [K * omegan^2]; den = [1 2*csi*omegan omegan^2]; sys = tf(num,den); h = impulse(sys, t); a = step(sys,t); figure(1) subplot(221), plot(t,h);title('raspuns la impuls (pondere)' ); subplot(222), plot(t,a); title('raspuns la treapta (indicial)'); subplot(223), nyquist(sys); subplot(224), bode(sys); grid; sys_dis = c2d(sys, Te,tustin); % in timp discret; hd = impulse(sys_dis, t); ad = step(sys_dis, t); figure(2) subplot(221), stem(t,hd); title('raspuns la impuls (pondere)' ); subplot(222), stem(t,ad); title('raspuns la treapta (indicial)'); subplot(223), nyquist(sys_dis); subplot(224), bode(sys_dis); grid; figure(3) subplot(221), pzmap(sys); title('timp continuu'); zpk(sys) % display the zero-poles ... subplot(222), pzmap(sys_dis); title('timp discret'); zpk(sys_dis) % display the zero-poles ...


Tema pentru acasa # 2 : Fie circuitul din figura. Sa se calculeze si dupa caz sa se reprezinte grafic: 1). Functia de transfer; 2). Raspunsul la impuls; 3). Raspunsul la semnal treapta; 4). Modelul poli-zero-castig; 5). Diagramele Nyquist si Bode. 6). Sa se calculeze raspunsul la frecventa (amplitudine si faza) pentru urmatoarele valori ale frecventei unghiulare: f 2,...,2.1,1.1,0.1,9.0...,,2.0,1.0 . 6). Cerintele de la punctele (1) la (6) pentru sistemul cu timp discret, daca perioada de esantionare este Te = T/10. (sistemul in timp discret H(z) se obtine din H(s) inlocuind s cu

112

zz

Te)

Parametrii individuali sunt: R = (lungime nume + lungime prenume) kOhmi; C = (suma cifrelor din data nasterii DD.LL.YYYY : (D+D+L+L+Y+Y+Y+Y) uF Rezultatele se tiparesc si se predau la inceputul cursului urmator. Precizia calculelor este de 3 zecimale, fara aproximare (rotunjire sau trunchiere).

ascs

Documents