ARGUMENT

Revista de matematică a Colegiului Național de Informatică icircnsumează experiențe

multiple ce au avut loc icircn ultimii ani și icircn special icircn anul școlar 2008-2009 care s-au așternut pe

hacircrtie din dorința de a rămacircne drept fundament pentru activitățile ulterioare icircn scopul

perfectibilității

Paginile revistei se deschid cu un medalion bdquoVasile Țifuirdquo profesor de matematică de

prestigiu al Colegiului Național de Informatică a cărui nume personalizează icircncepacircnd cu acest

an școlar Concursul internațional de matematică bdquoMemorial Vasile Țifuirdquo

Și cum era firesc icircn fluxul continuu al unei reviste de matematică se regăsesc subiectele

și baremele de la acest concurs subiecte de la olimpiada de matematică etapa locală apoi mode-

lul de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a la Colegiul Național de Informatică modele de sub-

iecte pentru teza cu subiect unic la clasele a VII-a și a VIII-a precum și modele de subiecte pen-

tru examenul de bacalaureat 2009

Experiența avută la concursul bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediția LXII Chișinău es-

te concretizată prin subiectele care au fost date pe niveluri de clase icircn cele două etape ale

desfășurării sale Această paletă diversificată de subiecte vine icircn sprijinul elevului care

intenționează să se implice icircn diversele concursuri vizate icircn mod direct de către Colegiul

Național de Informatică

Continuacircnd parcursul demonstrativ al complexității conținutului revistei Mate++ ajun-

gem să scoatem icircn evidență preocupările membrilor catedrei de matematică din Colegiul

Național de Informatică privind perfecționarea metodică și științifică

bdquoPopas la izvoarele matematiciirdquo constituie o invitație adresată elevilor pentru a afla

mai multe despre teoreme celebre din matematica școlară și autorii lor

Rubrica bdquoProbleme propuserdquo icircndeamnă elevii cititori ai revistei să abordeze aceste sub-

iecte icircn vederea pregătirii lor pentru concursurile ce vor urma

bdquoCălătorii matematicerdquo prezintă opiniile elevilor din Colegiul Național de Informatică

icircn legătură cu participarea la diferite concursuri de matematică

Colectivul de redacție

In memoriam

VASILE ŢIFUI

prof Elena Roşu

2008 a fost un an jubiliar pentru Colegiul Naţional de Informatică S-au sărbătorit 40 de

ani de la icircnfiinţarea acestui aşezămacircnt de educaţie Parcursul celor 40 de ani a consolidat dorinţa de a deveni cei mai buni cei mai moderni

de a contribui la desăvacircrşirea unor idealuri dar mai presus de orice de a modela oameni Colegiul Naţional de Informatică a ajuns aici pentru că au existat slujitori ai acestui lăcaş

care şi-au pus experienţa timpul dorinţele și puterea de muncă icircn slujba acestui aşezămacircnt de educaţie au construit pas cu pas un brand care să-i reprezinte şi să reprezinte sistemul educaţional din zonă şi din ţară

Icircn asemenea momente se cuvine să-i omagiem pe cei care s-au dăruit cu pasiune idealurilor nobile icircnchinate şcolii muncii oferite cu generozitate instruirii si educării generaţiilor de elevi

Unul dintre aceştia a fost și profesorul de matematică Vasile Ţifui model de conştiinciozitate punctualitate și modestie respectat deopotrivă atacirct de colegi cacirct şi de elevi

S-a născut icircn ziua de 5121934 icircn comuna Ceahlău jud Neamţ fiul lui Gavril şi al Anei oameni de mare cinste din comună Urmează Şcoala gimnazială din comuna Hangu ndash Neamţ apoi cursurile liceale la Liceul ldquoPetru Rareşrdquo din Piatra Neamţ

Licenţiat al Facultăţii de matematică-fizică a Universităţii ldquoAl I Cuzardquo din Iaşi specializarea matematică (1958) face parte dintr-o generaţie de referinţă din istoria matematicii romacircneşti După terminarea facultăţii a funcţionat ca profesor la Liceul teoretic Bicaz-Neamţ (1958-1971) apoi la Liceul Energetic (actual Colegiul Naţional de Informatică) din Piatra-Neamţ (1971-1997)

A avut o rară și distinsă calitate pedagogică s-a aplecat cu aceeaşi infinită răbdare și dragoste și asupra elevului dotat căci mulţi dintre elevii domniei sale au obţinut rezultate deosebite la concursurile şcolare dar și asupra elevului modest

Activitatea ştiinţifică a distinsului profesor s-a concretizat icircn lucrări și cărţi de matematică realizate spre a fi de folos luminării minţii elevilor pe care i-a educat după chipul și asemănarea sa riguroşi icircmpătimiţi și oneşti Zeci de generaţii de aici şi de oriunde icircn lume duc cu ei ceea ce au primit de la profesorul Vasile Ţifui

A fost colaborator fidel la reviste specializate atacirct la cele de mare prestigiu Gazeta matematică seria B Bucureşti Cardinal-Craiova Caiete matematice Gazeta micilor matematicieni (CI Tiu Șt Țifui I Radu) Să icircnţelegem matematica (I Răducu D Bracircnzei Onucu Dracircmbe) reviste icircn care a publicat peste 80 de exerciţii și probleme și peste 10 articole metodice

Profesorul Vasile Ţifui icircmpreună cu profesorul universitar dr Popa Valeriu Universitatea Bacău au introdus pentru prima dată noţiunea de funcţie icircn şcoala gimnazială fiind receptată cu mult succes de elevii clasei experimentale din anii 1964-1965-1966-1971 fiind publicat și un articol cu tema Asupra predării noţiunii de funcţie icircn icircnvăţămacircntul gimnazial de 8 ani icircn GM seria A 1966

Rod al activităţii desfăşurate cu o clasă experimentală din icircnvăţămacircntul primar a fost Manual de matematică pentru clasa a II-a EDP Bucureşti 1979

De asemenea a iniţiat și condus experimentul Elemente de matematică modernă la clasele III-V rezultatele fiind publicate icircn lucrarea ldquoEducatorul și modernizarea icircnvăţămacircntuluirdquo Bucureşti 1971

De un deosebit succes s-au bucurat manualele Lecţii de matematică pentru clasa a XI-a Editura Policromia 1992 Lecţii de analiză matematică pentru clasa a XII-a icircn colaborare cu prof Gh Dumitreasa Editura Policromia 1994 Analiză matematică pentru clasa a XII-a (icircn colaborare cu prof Gh Dumitreasa și Ovidiu Cojocari Editura Paralela 45 1997) Probleme de matematică pentru clasele IV-X și observații metodologice Editura Plumb Bacău 1995

Icircn paralel cu activitatea profesională s-a dovedit și un bun artist cucerind cu echipa de teatru a Sindicatului din icircnvăţămacircnt Bicaz locul I pe ţară icircn cadrul festivalului de teatru pentru amatori ldquoI L Caragialerdquo icircn anii 1964 și 1965 Personal a jucat icircn mai multe piese printre care Catiheţii din Humulești de Ion Creangă și icircntr-o dramatizare a romanului Baltagul de Mihail Sadoveanu

Pentru merite deosebite icircn activitatea didactică icircn 1984 a primit titlul de ldquoProfesor evidenţiatrdquo

1

MATE ++

MEMORIALUL rdquoVASILE ȚIFUI ldquo COLEGIUL NAȚIONAL DE INFORMATICĂ PIATRA-NEAMȚ

18 decembrie 2008 Icircncepacircnd din anul şcolar 2004-2005 catedra de matematică a Colegiului Naţional de Informatică a organizat cu prilejul

zilelor colegiului un concurs de matematică adresat elevilor acestei școli La prima ediție au fost invitați să participe la concurs și elevi ai unor școli generale și licee din municipiul Piatra-Neamț

An de an concursul s-a icircmbunătățit calitativ sporind și numărul invitaților Icircncepacircnd cu ediția din 2007 concursul a căpătat caracter internațional prin participarea lotului olimpic al orașului

Chișinău Republica Moldova Ediția din decembrie 2008 a fost marcată de aniversarea a 40 de ani de existență a acestui lăcaș de educație Icircn semn de prețuire și respect catedra de matematică a propus ca icircncepacircnd cu ediția 2008 concursul de matematică să

poarte numele profesorului de excepție Vasile Țifui care a slujit cu devotament acest liceu icircn perioada 1971-1997 Ediția din acest an s-a bucurat de o largă participare fiind prezenți 289 de elevi din clasele IV-XII din Republica Mol-

dova Suceava Vaslui și Neamț Premianții Colegiului Național de Informatică la acest concurs sunt Tărniceru Vlad cls a V-a mențiune Stolniceanu

Paul cls a IX-a premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a mențiune Ungureanu Cătălin cls a X-a mențiune Mazilu Ancuța cls a XI-a mențiune Livadaru Rahela cls a XI-a mențiune Barcan Roxana cls a XI-a mențiune Bocancea Andreea cls a XI-a mențiune Brăduleț Oana cls a XII-a premiul III Tănăselea Andreea cls a XII-a premiul III Ciudin Ioana cls a XII-a mențiune Niță Gabriela cls a XII-a mențiune Ungureanu Andrada cls a XII-a mențiune

Subiecte Clasa a IV-a 1 a) Determinați valoarea lui ldquoardquo din expresia [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a) Puneți paranteze rotunde astfel icircncacirct să aveți m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) Suma a patru numere naturale este 164 Al doilea este cu 4 mai mare decacirct primul de două ori mai mic decacirct al treilea si de 3 ori mai mic decacirct al patrulea Care sunt numerele 3 a) Icircntr-o curte sunt icircn număr egal gacircşte cai curci şi găini Acestea au icircmpreună 400 de picioare Cacircte găini sunt b) Mama a cumpărat pentru copiii săi 3 căciuli un fular si două bluze plătind icircn total 954 lei Știind că un fular este mai scump cu 18 lei decacirct o căciulă iar o bluză costă cacirct un fular si două căciuli la un loc aflați cacirct a costat fiecare articol Clasa a V-a 1 Profesorul Vasile Ţifui s-a născut icircn anul 19ab a şi b cifre consecutive şi ba număr care are numai doi divizori Dacă a tră-it 74 de ani care a fost anul despărţirii de noi

Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Fie şi b cel mai mare număr care icircmpărţit la 2008 dă cacirctul egal cu restul 1 2 3 2008a = + + + +

a) Aflaţi b) Scrieţi numărul ( ca o sumă de 2009 numere naturale consecutive 2a bminus )20082a bminusVasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Determinaţi numerele naturale abcd icircn baza 10 astfel icircncacirct să fie verificată egalitatea ( )24abcd ab=

Gazeta Matematică Clasa a VI-a 1 a) Determinaţi a b c numere prime astfel icircncacirct a+2b+36c=222 b) Aflaţi x yisinN astfel icircncacirct ( ) ( )2 3 2 3 257

y xx y y y+ + + =

2 Să se afle măsura unui unghi ştiind că raportul dintre complementul şi suplementul său este egal cu cea mai mică fracţie de

forma 2xabc

unde 2x este număr prim care icircl divide pe abc cu x a b c cifre icircn baza zece

3 Fie unghiul AOB cu m( AOB)=a cu alt90deg BOC adiacent şi complementar cu AOB COD adiacent şi suplementar cu BOC Considerăm (OM şi (ON bisectoarele unghiurilor DOC respectiv AOD

a Să se arate că m( MON) nu depinde de valoarea lui a b Dacă (OD este bisectoarea MON arătaţi că (OB este bisectoarea AOC c Să se arate cel puţin unul din unghiurile formate icircn jurul punctului O are măsura mai mare de 65deg

Probleme selectate de prof George Timişescu prof Ciprian Neţa

Clasa a VII-a

I a) Arătaţi că ecuaţia 22 3 4x x xminus + = minus nu are soluţii icircn R b) Să se determine 1 2 2 1 3 1

x yx y N a icircx y

isin + = ++ +

lowastlowastlowast

II Se dau numerele raţionale astfel icircncacirct 1 2 3 2008 a a a a 1 2 3 20081 1 2 1 2 2

1 1 1 1 1 1 12 1 1 1

a a a aa a a a a a

= = minus = minus = minus007+ + +

2

Examene și concursuri

Să se arate că a) b) 1 2 3 2008 0a a a a gt 1 2 3 2008 1a a a a+ + + + lt lowastlowastlowast

III Fie xOy un unghi ascuţit punctele (B C Oyisin (A Oxisin D este mijlocul lui [ ]BC şi M un punct situat pe [ ]AD Da-

că OM AB Pcap = şi să se arate că OM AC Qcap = MP MQgt prof Ion Diaconu Clasa a VIII-a 1 Fie Aflaţi intervalul [ m n isin ]m n care conţine cel puţin opt numere icircntregi unde m şi n verifică relaţia

2 2 99 7 9 17m n m n m n+ + = minus + minus + prof Anca Rafailă

2 a) Fie astfel icircncacirct (x y isin )3 2 2x yminus isin Aflaţi valoarea raportului xy

b) Determinaţi mulţimea ( )( ) [ ] | 3 3 59M x a x x a b a b= isin + minus = isin isin minus cap prof Ion Diaconu

3 Fie cubul ABCDA B C D N proiecţia punctului B pe dreapta ArsquoC şi [ ]Q C Cisin astfel icircncacirct 2C Q CQ= sdot

a) Aflaţi valoarea raportului

NCA N

b) Determinaţi distanţa de la punctul A la dreapta BrsquoQ c) Determinaţi distanţa de la punctul Brsquo la dreapta de intersecţie a planelor ( )AB Q şi ( )ABC

prof Teodora Nechifor Clasa a IX-a

1 Fie triunghiul ABC cu centrul de greutate G Să se arate că 0a GA b GB c GC ABCsdot + sdot + sdot = hArr Δ este echilateral unde a=BC b=AC şi c=AB

prof Vasile Ţifui GM nr 81979 2 Arătaţi că pentru orice x Risin are loc identitatea

[ ]2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + + + + = minus⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦x

Prof dr Adrian Sandovici Colegiul Naţional bdquoPetru Rareşrdquo Piatra Neamţ

3 Determinaţi xisinR şi ygt0 zgt0 astfel icircncacirct 2 2 1 02 8

x zx y yz++ + minus + =

I Safta Piteşti GM12008 Clasa a X-a I Fie şi două numere complexe cu proprietatea 1z 2z 1 2 1 2z z z z+ = sdot a) Demonstraţi că cel puţin unul dintre numere are modulul mai mic sau egal cu 2 b) Daţi exemplu de numere complexe pentru care 1z zne 2 1 2 1 2z z z z+ = sdot

II Numerele verifică simultan inegalităţile a b Risin 5 2log (2 3) log (5 3)a b+ lt minus şi 8 5log (5 3) log (8 3)b a+ gt minus Să se compare a cu b

III Să se rezolve icircn ecuaţia 2R R R= times1

819 9 91

y xyx

x yxy

+ + =+ +

Clasa a XI-a

1 Fie şirul ( ) cu unde n nx isinalefsym 1( )( )n n nx x x x+ minus + = 1 0 (0 )x x isin infin Calculaţi lim n

n

xnrarrinfin

2 Fie abcisinreal şi 2 4b alt c 2 ( )X Misin real Sǎ se arate cǎ 2 22 2 det( ) 0O aX bX cI aX bX cI2= + + hArr + + =

3 Sǎ se calculeze a) 1 2 3 lim n

nn nrarrinfin

+ + + + b)

11

2 1

1 2 3 2lim log 1 2

nn

nn

+

+rarrinfin

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Subiecte selectate de prof Ștefan Gavril Costică Grigoriu și Elena Roșu Clasa a XII-a

1 a) Pentru orice număr natural prim p notăm cu pZ mulțimea claselor de resturi de numere icircntregi modulo p Pe mulțimea

p pZ Zlowast times se definește operația ( ) ( ) ( )x y x y x x x y yprime prime prime prime primeoplus = sdot sdot + Să se arate că ( )p pZ Zlowast times oplus este grup

prof Vasile Țifui b) Fie un grup și astfel icircncacirct Arătați că ( G sdot) a b Gisin 2008 2009 2008 2008a b b asdot = sdot 2008 2009 2008 2008b a a bsdot = sdot a b e= = unde

este elementul neutru al grupului e ( )G sdot

3

MATE ++

prof Adrian Sandovici 2 Să se determine o relație de recurență pentru cos sinn

nI x nxdx= sdotint n N lowastisin

3 Fie f R Rrarr o funcție continuă și fie F R Rrarr o primitivă a sa astfel icircncacirct ( ) ( )2008 2009f x F xsdot minus = pentru orice

x Risin a) Demonstrați că ( ) ( )2008F x F x csdot minus = pentru orice x Risin unde c este o constantă strict pozitivă b) Să se deter-mine toate funcțiile care satisfac condiția din enunț

prof Adrian Sandovici Bareme

Clasa a IV-a I 1 a) 3 puncte b) 4 puncte a) [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 =20 (06p) [10 + 10 x (a ndash 10)] = 20 x 10 = 200 (06p) 10 x (a ndash 10) = 200 ndash 10 = 190 (06p) a ndash 10 = 190 10 = 19 (06p) a = 19 + 10 = 29 (06p) b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 ndash 0 = 126 + 9 x a (1p) 18 x a ndash 18 x 5 ndash 17 = 126 + 9 x a (1p) 9 x a = 126 + 90 (05p) 9 x a = 216 (05p) a = 216 9 (05p) a = 24 (05p) II a) m = 3 x (5 1 ndash 2) = 9 (1p) n = (5 + 1) x 2 ndash 3 = 9 (1p) primul număr al doilea număr 4 al treilea număr 8 164 helliphellip (15p) al patrulea număr 12 164 - 24 = 140 (de 7 ori al primul număr) (1p) 140 7 = 20 (primul număr) (1p) 20 + 4 = 24 (al doilea număr) (05p) 2 x 20+8 = 48 (al treilea număr) (05p) 3 x 20+12 = 72 (al patrulea număr) (05p) III a) I a = numărul gacircștelor al cailor al curcilor sau al găinilor

2 x a + 4 x a + 2 x a + 2 x a =400 (05p) 10 x a = 400 (05p) a = 400 10 (05p) a = 40 găini (05p) II sau prin metoda figurativă Număr picioare gacircște Număr picioare cai Număr picioare curci 400 picioare Număr picioare găini Număr picioare gacircște = 400 10 2 = 80 Număr picioare cai = 40010 4 = 160 Număr picioare curci = 400 10 2 = 80 Număr picioare găini = 400 10 2 = 80 Subiectul al IV-lea prețul unui fular = f prețul unei căciuli = cprețul unei bluze = b (05p) f = 18 lei + c (1p) b = f + 2c (05p) b = 18 lei + 3c (05p) 3c + f +2 x (18 + 3c) = 3c + f + 36 + 6c = 954 (05p) 3c + (18 + c) + 36 + 6c = 954 (05p) c = 900 10 = 90 (05p) f = 108 (05p) b= 288 (05p) Clasa a V-a 1 ab poate fi 01 12 23 34 hellip 89 (2p) ba este 43 (3p) Anul naşterii 1934 (1p) Finalizare 2008 (1p)

2 2008 2009 1004 20092

a sdot= = sdot (1p) (1p) 2008 2007 rest 2007b = 2008 2007 2007b = sdot + (05p) (05p)

(1p)

2007 2009b = sdot

2 20a bminus = 09 ( ) ( ) ( )2008 2007 2007 2007 20072009 2009 1004 2009 1 2009 2009 1 = minus + + minus + + + + + ( )20072009 1004+ (3p)

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4 25ab ab= minuscd (2p) 25ab = şi c d 0= (2p) Numărul este 2500 (1p) =

CLASA a VI-a 1 a) 20b 36c şi 222 sunt divizibile cu 2 deci şi a (nr prim) este divizibil cu 2rArr a=2 (2p) Obţinem 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b şi 55 sunt divizibile cu 5 rArr 9c divizibil cu 5 (c nr prim) rArr c=5 (1p) Obţinem 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 este număr impar deci un termen al sumei este par şi unul impar (1p) Dacă primul termen este impar atunci y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) Dacă al doilea termen este impar atunci x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notacircnd cu y măsura unghiului avem 90 2180

yy abc

minus=

minusx (1p) 2x

abc cea mai mare fracţie deci 2x cel mai mare posibil şi abc cel

mai mic posibil (2p) 2x nr prim deci 29 (1p) abc cel mai mic multiplu de 29 deci 116 (1p) 24

xabc

=1 (1p) 90 1

180 4yy

minus=

minus de

unde obţinem y=60deg (1p) 3 a) Desen (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg deci constantă (nu depinde de a) (1p) b) (OD bisectoare rArr m(AOD)=m(COD) (1p) prin scădere din 180deg obţinem concluzia (1p) c) sunt 6 unghiuri icircn jurul punctului O Dacă din acestea icircnlăturăm AOB şi BOC care au icircmpreună 90deg rămacircn 4 unghiuri care au suma de 270deg rArr cel puţin unul dintre ele are măsura mai mare decacirct 2704=67deg30` deci mai mare şi de 65deg (2p) Clasa a VII-a I a) ecuaţia nu are soluţii (1p)4x lt 2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

4

Examene și concursuri

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 3

)

3 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus Deci (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIII Figura (1p) Construcţia ajutătoare

(2p) Construcţia ajutătoare (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

(MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Clasa a VIII-a 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) 2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = (1p) ( ) ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus =23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 sau 1 sau 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 sau 2 sau 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Construcţia perpendicularei cu teorema celor trei perpendiculare (1p) Calculul distanţei (1p) c) Determinarea dreptei de in-tersecţie a planelor (1p) Construcţia perpendicularei (1p) Calculul distanţei (1p) Clasa a IX-a 1 ldquolArrrdquo ΔABC echilateral hArr a=b=c Atunci ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

deoarece (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo Dacă I este centrul cercului icircnscris atunci oricare ar fi M un punct din planul triunghiului avem relaţia

(1 )MI a MA b MB c MCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) Pentru M=G obţinem ( )1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) şi ştiind că

rezultă că (1p) Deci G=I adică triunghiul este echilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 Aplicăm succesiv identitatea lui Hermite [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) pentru numerele 2 2008 2 2 2x x x x şi obţinem

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Sumacircnd membru cu membru identităţile de mai sus obţinem relaţia

[ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ (2p) care conduce la identitatea din enunţ

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

Deci 14

x = minus şi 14

y = (1p) Tripletele care verifică relaţia dată sunt 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ unde zgt0 este arbitrar (1p)

CLASA a X-a I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) pentru 1 0z = rezultă 2 0z = şi reciproc (1p)

pentru 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducere la absurd 1 2 2z z gt rArr contradicţie (1p)

b) ţinacircnd cont de a) alegem de ex şi rezolvăm ecuaţia 1 1z = 21 z z+ = 2

a

(3p)

II Presupunem că Atunci (1p) Fie a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minus 5log (2 3)aA = + şi şi 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a a AB = minus rArr + = 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

5

MATE ++

2 35 2 3 1 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

(2p) Analog obţinem 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b a+ ge + gt minus de unde rezultă 1a lt

contradicţie (1p) Deci a b lt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) Deci

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

Egalitatea are loc pentru 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p) Clasa a XI-a

1 Monotonia şirului (1p) lim nnx

rarrinfin= infin (2p) 1lim 1n

nn

xx

+

rarrinfin= (1p)

2

lim 2n

n

xnrarrinfin

= (2p) lim 2n

n

xnrarrinfin

= (1p)

2 (1p) detrArr 0alArr ne 22 0b cX X I

a a+ + = det(X- 2Iα )=0 sau 2det( ) 0X Iαminus = unde Cα α isin real rǎdǎcinile trinomu-

lui (1p) 2 ax bx c+ + 2det( )X Iαminus = 2det( ) 0X Iαminus = (1p) α α rǎdǎcinile polinomului caracteristic al matricii X (1p) Relaţiile lui Viete pentru polinomul caracteristic (1p) Finalizare (1p) 3 a) rezolvarea cerinţei(2p)b) aplicarea lemei Cesaro Stolz(1p)utilizarea rezultatului de la punctul a(2p)calculul limitei(2p) Clasa a XII-a 1 a) parte stabilă (1p) asociativitate (1p) element neutru (1p) element simetrizabil (1p) b) Compunerea cu a la dreapta icircn ambii membri ai primei relații și deducerea relației b a esdot = (1p) Compunerea cu b la dreapta icircn ambii membri ai celei de a doua relație și deducerea relației a b esdot = (1p) Finalizare (1p)

2 Integrarea prin părți folosind că cossin nxnxn

prime⎛= minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (3p) Adunarea lui nI icircn forma inițială cu forma obținută mai sus (2p)

Finalizare (2p)

3 a) Icircnlocuirea lui x cu 2008 xminus (1p) Obținerea relației ( ) ( )( )2008 0F x F xprime

sdot minus = (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus derivabilă cu

derivata 0 rezultă că este constantă (egală cu c) (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus nu se anulează și fiind continuă rezultă că are semn constant deci (1p) 0c gt

b) Din relațiile de la a) rezultă că ( )( )

2009f xF x c

= (1p) ( ) 2009ln F x xc

α= sdot + Rα isin (1p) ( ) nxf x m n e= sdot sdot cu

(1p) 2 2008 2009nm n esdot sdot =

ISSUES Grade IV 1 a) Discover the value of bdquoardquo in the expression [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a)Put parantheses so that to get m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) The sum of four natural numbers is 164The second number is 4 more than the first one two times less than the third one and three times less than the fourth one Find the numbers 3 a) In a yard there are in equal number geese horses hen turkeys and hens Together they sum up 400 feet How many hens are there b) Mother bought for her children 3 caps a muffler and two blouses paying on the whole 954 leiKnowing that a muffler is 18 lei more expensive than a cap and a blouse costs as much as a muffler and 2 caps together find the price of each item Grade V 1Teacher Vasile Ţifui was born in 19ab where a and b are consecutive figures cifre and ba is a number with only two divisors If he lived 74 years find the year when he left us Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Consider and b is the greatest number which divided by 2008 results in the quotient is equal with the remainder

1 2 3 2008a = + + + +

a) Calculate 2 b) Write the number ( as a sum of 2009 consecutive natural numbers a bminus )20082a bminus

Vasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Find the natural numbers abcd in base ten number system so that the following equality be true ( )24abcd ab=

Math Gazette

6

In memoriam

VASILE ŢIFUI

prof Elena Roşu

2008 a fost un an jubiliar pentru Colegiul Naţional de Informatică S-au sărbătorit 40 de

ani de la icircnfiinţarea acestui aşezămacircnt de educaţie Parcursul celor 40 de ani a consolidat dorinţa de a deveni cei mai buni cei mai moderni

de a contribui la desăvacircrşirea unor idealuri dar mai presus de orice de a modela oameni Colegiul Naţional de Informatică a ajuns aici pentru că au existat slujitori ai acestui lăcaş

care şi-au pus experienţa timpul dorinţele și puterea de muncă icircn slujba acestui aşezămacircnt de educaţie au construit pas cu pas un brand care să-i reprezinte şi să reprezinte sistemul educaţional din zonă şi din ţară

Icircn asemenea momente se cuvine să-i omagiem pe cei care s-au dăruit cu pasiune idealurilor nobile icircnchinate şcolii muncii oferite cu generozitate instruirii si educării generaţiilor de elevi

Unul dintre aceştia a fost și profesorul de matematică Vasile Ţifui model de conştiinciozitate punctualitate și modestie respectat deopotrivă atacirct de colegi cacirct şi de elevi

S-a născut icircn ziua de 5121934 icircn comuna Ceahlău jud Neamţ fiul lui Gavril şi al Anei oameni de mare cinste din comună Urmează Şcoala gimnazială din comuna Hangu ndash Neamţ apoi cursurile liceale la Liceul ldquoPetru Rareşrdquo din Piatra Neamţ

Licenţiat al Facultăţii de matematică-fizică a Universităţii ldquoAl I Cuzardquo din Iaşi specializarea matematică (1958) face parte dintr-o generaţie de referinţă din istoria matematicii romacircneşti După terminarea facultăţii a funcţionat ca profesor la Liceul teoretic Bicaz-Neamţ (1958-1971) apoi la Liceul Energetic (actual Colegiul Naţional de Informatică) din Piatra-Neamţ (1971-1997)

A avut o rară și distinsă calitate pedagogică s-a aplecat cu aceeaşi infinită răbdare și dragoste și asupra elevului dotat căci mulţi dintre elevii domniei sale au obţinut rezultate deosebite la concursurile şcolare dar și asupra elevului modest

Activitatea ştiinţifică a distinsului profesor s-a concretizat icircn lucrări și cărţi de matematică realizate spre a fi de folos luminării minţii elevilor pe care i-a educat după chipul și asemănarea sa riguroşi icircmpătimiţi și oneşti Zeci de generaţii de aici şi de oriunde icircn lume duc cu ei ceea ce au primit de la profesorul Vasile Ţifui

A fost colaborator fidel la reviste specializate atacirct la cele de mare prestigiu Gazeta matematică seria B Bucureşti Cardinal-Craiova Caiete matematice Gazeta micilor matematicieni (CI Tiu Șt Țifui I Radu) Să icircnţelegem matematica (I Răducu D Bracircnzei Onucu Dracircmbe) reviste icircn care a publicat peste 80 de exerciţii și probleme și peste 10 articole metodice

Profesorul Vasile Ţifui icircmpreună cu profesorul universitar dr Popa Valeriu Universitatea Bacău au introdus pentru prima dată noţiunea de funcţie icircn şcoala gimnazială fiind receptată cu mult succes de elevii clasei experimentale din anii 1964-1965-1966-1971 fiind publicat și un articol cu tema Asupra predării noţiunii de funcţie icircn icircnvăţămacircntul gimnazial de 8 ani icircn GM seria A 1966

Rod al activităţii desfăşurate cu o clasă experimentală din icircnvăţămacircntul primar a fost Manual de matematică pentru clasa a II-a EDP Bucureşti 1979

De asemenea a iniţiat și condus experimentul Elemente de matematică modernă la clasele III-V rezultatele fiind publicate icircn lucrarea ldquoEducatorul și modernizarea icircnvăţămacircntuluirdquo Bucureşti 1971

De un deosebit succes s-au bucurat manualele Lecţii de matematică pentru clasa a XI-a Editura Policromia 1992 Lecţii de analiză matematică pentru clasa a XII-a icircn colaborare cu prof Gh Dumitreasa Editura Policromia 1994 Analiză matematică pentru clasa a XII-a (icircn colaborare cu prof Gh Dumitreasa și Ovidiu Cojocari Editura Paralela 45 1997) Probleme de matematică pentru clasele IV-X și observații metodologice Editura Plumb Bacău 1995

Icircn paralel cu activitatea profesională s-a dovedit și un bun artist cucerind cu echipa de teatru a Sindicatului din icircnvăţămacircnt Bicaz locul I pe ţară icircn cadrul festivalului de teatru pentru amatori ldquoI L Caragialerdquo icircn anii 1964 și 1965 Personal a jucat icircn mai multe piese printre care Catiheţii din Humulești de Ion Creangă și icircntr-o dramatizare a romanului Baltagul de Mihail Sadoveanu

Pentru merite deosebite icircn activitatea didactică icircn 1984 a primit titlul de ldquoProfesor evidenţiatrdquo

1

MATE ++

MEMORIALUL rdquoVASILE ȚIFUI ldquo COLEGIUL NAȚIONAL DE INFORMATICĂ PIATRA-NEAMȚ

18 decembrie 2008 Icircncepacircnd din anul şcolar 2004-2005 catedra de matematică a Colegiului Naţional de Informatică a organizat cu prilejul

zilelor colegiului un concurs de matematică adresat elevilor acestei școli La prima ediție au fost invitați să participe la concurs și elevi ai unor școli generale și licee din municipiul Piatra-Neamț

An de an concursul s-a icircmbunătățit calitativ sporind și numărul invitaților Icircncepacircnd cu ediția din 2007 concursul a căpătat caracter internațional prin participarea lotului olimpic al orașului

Chișinău Republica Moldova Ediția din decembrie 2008 a fost marcată de aniversarea a 40 de ani de existență a acestui lăcaș de educație Icircn semn de prețuire și respect catedra de matematică a propus ca icircncepacircnd cu ediția 2008 concursul de matematică să

poarte numele profesorului de excepție Vasile Țifui care a slujit cu devotament acest liceu icircn perioada 1971-1997 Ediția din acest an s-a bucurat de o largă participare fiind prezenți 289 de elevi din clasele IV-XII din Republica Mol-

dova Suceava Vaslui și Neamț Premianții Colegiului Național de Informatică la acest concurs sunt Tărniceru Vlad cls a V-a mențiune Stolniceanu

Paul cls a IX-a premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a mențiune Ungureanu Cătălin cls a X-a mențiune Mazilu Ancuța cls a XI-a mențiune Livadaru Rahela cls a XI-a mențiune Barcan Roxana cls a XI-a mențiune Bocancea Andreea cls a XI-a mențiune Brăduleț Oana cls a XII-a premiul III Tănăselea Andreea cls a XII-a premiul III Ciudin Ioana cls a XII-a mențiune Niță Gabriela cls a XII-a mențiune Ungureanu Andrada cls a XII-a mențiune

Subiecte Clasa a IV-a 1 a) Determinați valoarea lui ldquoardquo din expresia [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a) Puneți paranteze rotunde astfel icircncacirct să aveți m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) Suma a patru numere naturale este 164 Al doilea este cu 4 mai mare decacirct primul de două ori mai mic decacirct al treilea si de 3 ori mai mic decacirct al patrulea Care sunt numerele 3 a) Icircntr-o curte sunt icircn număr egal gacircşte cai curci şi găini Acestea au icircmpreună 400 de picioare Cacircte găini sunt b) Mama a cumpărat pentru copiii săi 3 căciuli un fular si două bluze plătind icircn total 954 lei Știind că un fular este mai scump cu 18 lei decacirct o căciulă iar o bluză costă cacirct un fular si două căciuli la un loc aflați cacirct a costat fiecare articol Clasa a V-a 1 Profesorul Vasile Ţifui s-a născut icircn anul 19ab a şi b cifre consecutive şi ba număr care are numai doi divizori Dacă a tră-it 74 de ani care a fost anul despărţirii de noi

Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Fie şi b cel mai mare număr care icircmpărţit la 2008 dă cacirctul egal cu restul 1 2 3 2008a = + + + +

a) Aflaţi b) Scrieţi numărul ( ca o sumă de 2009 numere naturale consecutive 2a bminus )20082a bminusVasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Determinaţi numerele naturale abcd icircn baza 10 astfel icircncacirct să fie verificată egalitatea ( )24abcd ab=

Gazeta Matematică Clasa a VI-a 1 a) Determinaţi a b c numere prime astfel icircncacirct a+2b+36c=222 b) Aflaţi x yisinN astfel icircncacirct ( ) ( )2 3 2 3 257

y xx y y y+ + + =

2 Să se afle măsura unui unghi ştiind că raportul dintre complementul şi suplementul său este egal cu cea mai mică fracţie de

forma 2xabc

unde 2x este număr prim care icircl divide pe abc cu x a b c cifre icircn baza zece

3 Fie unghiul AOB cu m( AOB)=a cu alt90deg BOC adiacent şi complementar cu AOB COD adiacent şi suplementar cu BOC Considerăm (OM şi (ON bisectoarele unghiurilor DOC respectiv AOD

a Să se arate că m( MON) nu depinde de valoarea lui a b Dacă (OD este bisectoarea MON arătaţi că (OB este bisectoarea AOC c Să se arate cel puţin unul din unghiurile formate icircn jurul punctului O are măsura mai mare de 65deg

Probleme selectate de prof George Timişescu prof Ciprian Neţa

Clasa a VII-a

I a) Arătaţi că ecuaţia 22 3 4x x xminus + = minus nu are soluţii icircn R b) Să se determine 1 2 2 1 3 1

x yx y N a icircx y

isin + = ++ +

lowastlowastlowast

II Se dau numerele raţionale astfel icircncacirct 1 2 3 2008 a a a a 1 2 3 20081 1 2 1 2 2

1 1 1 1 1 1 12 1 1 1

a a a aa a a a a a

= = minus = minus = minus007+ + +

2

Examene și concursuri

Să se arate că a) b) 1 2 3 2008 0a a a a gt 1 2 3 2008 1a a a a+ + + + lt lowastlowastlowast

III Fie xOy un unghi ascuţit punctele (B C Oyisin (A Oxisin D este mijlocul lui [ ]BC şi M un punct situat pe [ ]AD Da-

că OM AB Pcap = şi să se arate că OM AC Qcap = MP MQgt prof Ion Diaconu Clasa a VIII-a 1 Fie Aflaţi intervalul [ m n isin ]m n care conţine cel puţin opt numere icircntregi unde m şi n verifică relaţia

2 2 99 7 9 17m n m n m n+ + = minus + minus + prof Anca Rafailă

2 a) Fie astfel icircncacirct (x y isin )3 2 2x yminus isin Aflaţi valoarea raportului xy

b) Determinaţi mulţimea ( )( ) [ ] | 3 3 59M x a x x a b a b= isin + minus = isin isin minus cap prof Ion Diaconu

3 Fie cubul ABCDA B C D N proiecţia punctului B pe dreapta ArsquoC şi [ ]Q C Cisin astfel icircncacirct 2C Q CQ= sdot

a) Aflaţi valoarea raportului

NCA N

b) Determinaţi distanţa de la punctul A la dreapta BrsquoQ c) Determinaţi distanţa de la punctul Brsquo la dreapta de intersecţie a planelor ( )AB Q şi ( )ABC

prof Teodora Nechifor Clasa a IX-a

1 Fie triunghiul ABC cu centrul de greutate G Să se arate că 0a GA b GB c GC ABCsdot + sdot + sdot = hArr Δ este echilateral unde a=BC b=AC şi c=AB

prof Vasile Ţifui GM nr 81979 2 Arătaţi că pentru orice x Risin are loc identitatea

[ ]2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + + + + = minus⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦x

Prof dr Adrian Sandovici Colegiul Naţional bdquoPetru Rareşrdquo Piatra Neamţ

3 Determinaţi xisinR şi ygt0 zgt0 astfel icircncacirct 2 2 1 02 8

x zx y yz++ + minus + =

I Safta Piteşti GM12008 Clasa a X-a I Fie şi două numere complexe cu proprietatea 1z 2z 1 2 1 2z z z z+ = sdot a) Demonstraţi că cel puţin unul dintre numere are modulul mai mic sau egal cu 2 b) Daţi exemplu de numere complexe pentru care 1z zne 2 1 2 1 2z z z z+ = sdot

II Numerele verifică simultan inegalităţile a b Risin 5 2log (2 3) log (5 3)a b+ lt minus şi 8 5log (5 3) log (8 3)b a+ gt minus Să se compare a cu b

III Să se rezolve icircn ecuaţia 2R R R= times1

819 9 91

y xyx

x yxy

+ + =+ +

Clasa a XI-a

1 Fie şirul ( ) cu unde n nx isinalefsym 1( )( )n n nx x x x+ minus + = 1 0 (0 )x x isin infin Calculaţi lim n

n

xnrarrinfin

2 Fie abcisinreal şi 2 4b alt c 2 ( )X Misin real Sǎ se arate cǎ 2 22 2 det( ) 0O aX bX cI aX bX cI2= + + hArr + + =

3 Sǎ se calculeze a) 1 2 3 lim n

nn nrarrinfin

+ + + + b)

11

2 1

1 2 3 2lim log 1 2

nn

nn

+

+rarrinfin

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Subiecte selectate de prof Ștefan Gavril Costică Grigoriu și Elena Roșu Clasa a XII-a

1 a) Pentru orice număr natural prim p notăm cu pZ mulțimea claselor de resturi de numere icircntregi modulo p Pe mulțimea

p pZ Zlowast times se definește operația ( ) ( ) ( )x y x y x x x y yprime prime prime prime primeoplus = sdot sdot + Să se arate că ( )p pZ Zlowast times oplus este grup

prof Vasile Țifui b) Fie un grup și astfel icircncacirct Arătați că ( G sdot) a b Gisin 2008 2009 2008 2008a b b asdot = sdot 2008 2009 2008 2008b a a bsdot = sdot a b e= = unde

este elementul neutru al grupului e ( )G sdot

3

MATE ++

prof Adrian Sandovici 2 Să se determine o relație de recurență pentru cos sinn

nI x nxdx= sdotint n N lowastisin

3 Fie f R Rrarr o funcție continuă și fie F R Rrarr o primitivă a sa astfel icircncacirct ( ) ( )2008 2009f x F xsdot minus = pentru orice

x Risin a) Demonstrați că ( ) ( )2008F x F x csdot minus = pentru orice x Risin unde c este o constantă strict pozitivă b) Să se deter-mine toate funcțiile care satisfac condiția din enunț

prof Adrian Sandovici Bareme

Clasa a IV-a I 1 a) 3 puncte b) 4 puncte a) [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 =20 (06p) [10 + 10 x (a ndash 10)] = 20 x 10 = 200 (06p) 10 x (a ndash 10) = 200 ndash 10 = 190 (06p) a ndash 10 = 190 10 = 19 (06p) a = 19 + 10 = 29 (06p) b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 ndash 0 = 126 + 9 x a (1p) 18 x a ndash 18 x 5 ndash 17 = 126 + 9 x a (1p) 9 x a = 126 + 90 (05p) 9 x a = 216 (05p) a = 216 9 (05p) a = 24 (05p) II a) m = 3 x (5 1 ndash 2) = 9 (1p) n = (5 + 1) x 2 ndash 3 = 9 (1p) primul număr al doilea număr 4 al treilea număr 8 164 helliphellip (15p) al patrulea număr 12 164 - 24 = 140 (de 7 ori al primul număr) (1p) 140 7 = 20 (primul număr) (1p) 20 + 4 = 24 (al doilea număr) (05p) 2 x 20+8 = 48 (al treilea număr) (05p) 3 x 20+12 = 72 (al patrulea număr) (05p) III a) I a = numărul gacircștelor al cailor al curcilor sau al găinilor

2 x a + 4 x a + 2 x a + 2 x a =400 (05p) 10 x a = 400 (05p) a = 400 10 (05p) a = 40 găini (05p) II sau prin metoda figurativă Număr picioare gacircște Număr picioare cai Număr picioare curci 400 picioare Număr picioare găini Număr picioare gacircște = 400 10 2 = 80 Număr picioare cai = 40010 4 = 160 Număr picioare curci = 400 10 2 = 80 Număr picioare găini = 400 10 2 = 80 Subiectul al IV-lea prețul unui fular = f prețul unei căciuli = cprețul unei bluze = b (05p) f = 18 lei + c (1p) b = f + 2c (05p) b = 18 lei + 3c (05p) 3c + f +2 x (18 + 3c) = 3c + f + 36 + 6c = 954 (05p) 3c + (18 + c) + 36 + 6c = 954 (05p) c = 900 10 = 90 (05p) f = 108 (05p) b= 288 (05p) Clasa a V-a 1 ab poate fi 01 12 23 34 hellip 89 (2p) ba este 43 (3p) Anul naşterii 1934 (1p) Finalizare 2008 (1p)

2 2008 2009 1004 20092

a sdot= = sdot (1p) (1p) 2008 2007 rest 2007b = 2008 2007 2007b = sdot + (05p) (05p)

(1p)

2007 2009b = sdot

2 20a bminus = 09 ( ) ( ) ( )2008 2007 2007 2007 20072009 2009 1004 2009 1 2009 2009 1 = minus + + minus + + + + + ( )20072009 1004+ (3p)

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4 25ab ab= minuscd (2p) 25ab = şi c d 0= (2p) Numărul este 2500 (1p) =

CLASA a VI-a 1 a) 20b 36c şi 222 sunt divizibile cu 2 deci şi a (nr prim) este divizibil cu 2rArr a=2 (2p) Obţinem 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b şi 55 sunt divizibile cu 5 rArr 9c divizibil cu 5 (c nr prim) rArr c=5 (1p) Obţinem 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 este număr impar deci un termen al sumei este par şi unul impar (1p) Dacă primul termen este impar atunci y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) Dacă al doilea termen este impar atunci x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notacircnd cu y măsura unghiului avem 90 2180

yy abc

minus=

minusx (1p) 2x

abc cea mai mare fracţie deci 2x cel mai mare posibil şi abc cel

mai mic posibil (2p) 2x nr prim deci 29 (1p) abc cel mai mic multiplu de 29 deci 116 (1p) 24

xabc

=1 (1p) 90 1

180 4yy

minus=

minus de

unde obţinem y=60deg (1p) 3 a) Desen (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg deci constantă (nu depinde de a) (1p) b) (OD bisectoare rArr m(AOD)=m(COD) (1p) prin scădere din 180deg obţinem concluzia (1p) c) sunt 6 unghiuri icircn jurul punctului O Dacă din acestea icircnlăturăm AOB şi BOC care au icircmpreună 90deg rămacircn 4 unghiuri care au suma de 270deg rArr cel puţin unul dintre ele are măsura mai mare decacirct 2704=67deg30` deci mai mare şi de 65deg (2p) Clasa a VII-a I a) ecuaţia nu are soluţii (1p)4x lt 2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

4

Examene și concursuri

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 3

)

3 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus Deci (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIII Figura (1p) Construcţia ajutătoare

(2p) Construcţia ajutătoare (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

(MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Clasa a VIII-a 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) 2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = (1p) ( ) ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus =23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 sau 1 sau 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 sau 2 sau 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Construcţia perpendicularei cu teorema celor trei perpendiculare (1p) Calculul distanţei (1p) c) Determinarea dreptei de in-tersecţie a planelor (1p) Construcţia perpendicularei (1p) Calculul distanţei (1p) Clasa a IX-a 1 ldquolArrrdquo ΔABC echilateral hArr a=b=c Atunci ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

deoarece (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo Dacă I este centrul cercului icircnscris atunci oricare ar fi M un punct din planul triunghiului avem relaţia

(1 )MI a MA b MB c MCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) Pentru M=G obţinem ( )1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) şi ştiind că

rezultă că (1p) Deci G=I adică triunghiul este echilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 Aplicăm succesiv identitatea lui Hermite [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) pentru numerele 2 2008 2 2 2x x x x şi obţinem

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Sumacircnd membru cu membru identităţile de mai sus obţinem relaţia

[ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ (2p) care conduce la identitatea din enunţ

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

Deci 14

x = minus şi 14

y = (1p) Tripletele care verifică relaţia dată sunt 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ unde zgt0 este arbitrar (1p)

CLASA a X-a I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) pentru 1 0z = rezultă 2 0z = şi reciproc (1p)

pentru 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducere la absurd 1 2 2z z gt rArr contradicţie (1p)

b) ţinacircnd cont de a) alegem de ex şi rezolvăm ecuaţia 1 1z = 21 z z+ = 2

a

(3p)

II Presupunem că Atunci (1p) Fie a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minus 5log (2 3)aA = + şi şi 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a a AB = minus rArr + = 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

5

MATE ++

2 35 2 3 1 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

(2p) Analog obţinem 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b a+ ge + gt minus de unde rezultă 1a lt

contradicţie (1p) Deci a b lt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) Deci

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

Egalitatea are loc pentru 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p) Clasa a XI-a

1 Monotonia şirului (1p) lim nnx

rarrinfin= infin (2p) 1lim 1n

nn

xx

+

rarrinfin= (1p)

2

lim 2n

n

xnrarrinfin

= (2p) lim 2n

n

xnrarrinfin

= (1p)

2 (1p) detrArr 0alArr ne 22 0b cX X I

a a+ + = det(X- 2Iα )=0 sau 2det( ) 0X Iαminus = unde Cα α isin real rǎdǎcinile trinomu-

lui (1p) 2 ax bx c+ + 2det( )X Iαminus = 2det( ) 0X Iαminus = (1p) α α rǎdǎcinile polinomului caracteristic al matricii X (1p) Relaţiile lui Viete pentru polinomul caracteristic (1p) Finalizare (1p) 3 a) rezolvarea cerinţei(2p)b) aplicarea lemei Cesaro Stolz(1p)utilizarea rezultatului de la punctul a(2p)calculul limitei(2p) Clasa a XII-a 1 a) parte stabilă (1p) asociativitate (1p) element neutru (1p) element simetrizabil (1p) b) Compunerea cu a la dreapta icircn ambii membri ai primei relații și deducerea relației b a esdot = (1p) Compunerea cu b la dreapta icircn ambii membri ai celei de a doua relație și deducerea relației a b esdot = (1p) Finalizare (1p)

2 Integrarea prin părți folosind că cossin nxnxn

prime⎛= minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (3p) Adunarea lui nI icircn forma inițială cu forma obținută mai sus (2p)

Finalizare (2p)

3 a) Icircnlocuirea lui x cu 2008 xminus (1p) Obținerea relației ( ) ( )( )2008 0F x F xprime

sdot minus = (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus derivabilă cu

derivata 0 rezultă că este constantă (egală cu c) (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus nu se anulează și fiind continuă rezultă că are semn constant deci (1p) 0c gt

b) Din relațiile de la a) rezultă că ( )( )

2009f xF x c

= (1p) ( ) 2009ln F x xc

α= sdot + Rα isin (1p) ( ) nxf x m n e= sdot sdot cu

(1p) 2 2008 2009nm n esdot sdot =

ISSUES Grade IV 1 a) Discover the value of bdquoardquo in the expression [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a)Put parantheses so that to get m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) The sum of four natural numbers is 164The second number is 4 more than the first one two times less than the third one and three times less than the fourth one Find the numbers 3 a) In a yard there are in equal number geese horses hen turkeys and hens Together they sum up 400 feet How many hens are there b) Mother bought for her children 3 caps a muffler and two blouses paying on the whole 954 leiKnowing that a muffler is 18 lei more expensive than a cap and a blouse costs as much as a muffler and 2 caps together find the price of each item Grade V 1Teacher Vasile Ţifui was born in 19ab where a and b are consecutive figures cifre and ba is a number with only two divisors If he lived 74 years find the year when he left us Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Consider and b is the greatest number which divided by 2008 results in the quotient is equal with the remainder

1 2 3 2008a = + + + +

a) Calculate 2 b) Write the number ( as a sum of 2009 consecutive natural numbers a bminus )20082a bminus

Vasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Find the natural numbers abcd in base ten number system so that the following equality be true ( )24abcd ab=

Math Gazette

6

MATE ++

MEMORIALUL rdquoVASILE ȚIFUI ldquo COLEGIUL NAȚIONAL DE INFORMATICĂ PIATRA-NEAMȚ

18 decembrie 2008 Icircncepacircnd din anul şcolar 2004-2005 catedra de matematică a Colegiului Naţional de Informatică a organizat cu prilejul

zilelor colegiului un concurs de matematică adresat elevilor acestei școli La prima ediție au fost invitați să participe la concurs și elevi ai unor școli generale și licee din municipiul Piatra-Neamț

An de an concursul s-a icircmbunătățit calitativ sporind și numărul invitaților Icircncepacircnd cu ediția din 2007 concursul a căpătat caracter internațional prin participarea lotului olimpic al orașului

Chișinău Republica Moldova Ediția din decembrie 2008 a fost marcată de aniversarea a 40 de ani de existență a acestui lăcaș de educație Icircn semn de prețuire și respect catedra de matematică a propus ca icircncepacircnd cu ediția 2008 concursul de matematică să

poarte numele profesorului de excepție Vasile Țifui care a slujit cu devotament acest liceu icircn perioada 1971-1997 Ediția din acest an s-a bucurat de o largă participare fiind prezenți 289 de elevi din clasele IV-XII din Republica Mol-

dova Suceava Vaslui și Neamț Premianții Colegiului Național de Informatică la acest concurs sunt Tărniceru Vlad cls a V-a mențiune Stolniceanu

Paul cls a IX-a premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a mențiune Ungureanu Cătălin cls a X-a mențiune Mazilu Ancuța cls a XI-a mențiune Livadaru Rahela cls a XI-a mențiune Barcan Roxana cls a XI-a mențiune Bocancea Andreea cls a XI-a mențiune Brăduleț Oana cls a XII-a premiul III Tănăselea Andreea cls a XII-a premiul III Ciudin Ioana cls a XII-a mențiune Niță Gabriela cls a XII-a mențiune Ungureanu Andrada cls a XII-a mențiune

Subiecte Clasa a IV-a 1 a) Determinați valoarea lui ldquoardquo din expresia [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a) Puneți paranteze rotunde astfel icircncacirct să aveți m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) Suma a patru numere naturale este 164 Al doilea este cu 4 mai mare decacirct primul de două ori mai mic decacirct al treilea si de 3 ori mai mic decacirct al patrulea Care sunt numerele 3 a) Icircntr-o curte sunt icircn număr egal gacircşte cai curci şi găini Acestea au icircmpreună 400 de picioare Cacircte găini sunt b) Mama a cumpărat pentru copiii săi 3 căciuli un fular si două bluze plătind icircn total 954 lei Știind că un fular este mai scump cu 18 lei decacirct o căciulă iar o bluză costă cacirct un fular si două căciuli la un loc aflați cacirct a costat fiecare articol Clasa a V-a 1 Profesorul Vasile Ţifui s-a născut icircn anul 19ab a şi b cifre consecutive şi ba număr care are numai doi divizori Dacă a tră-it 74 de ani care a fost anul despărţirii de noi

Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Fie şi b cel mai mare număr care icircmpărţit la 2008 dă cacirctul egal cu restul 1 2 3 2008a = + + + +

a) Aflaţi b) Scrieţi numărul ( ca o sumă de 2009 numere naturale consecutive 2a bminus )20082a bminusVasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Determinaţi numerele naturale abcd icircn baza 10 astfel icircncacirct să fie verificată egalitatea ( )24abcd ab=

Gazeta Matematică Clasa a VI-a 1 a) Determinaţi a b c numere prime astfel icircncacirct a+2b+36c=222 b) Aflaţi x yisinN astfel icircncacirct ( ) ( )2 3 2 3 257

y xx y y y+ + + =

2 Să se afle măsura unui unghi ştiind că raportul dintre complementul şi suplementul său este egal cu cea mai mică fracţie de

forma 2xabc

unde 2x este număr prim care icircl divide pe abc cu x a b c cifre icircn baza zece

3 Fie unghiul AOB cu m( AOB)=a cu alt90deg BOC adiacent şi complementar cu AOB COD adiacent şi suplementar cu BOC Considerăm (OM şi (ON bisectoarele unghiurilor DOC respectiv AOD

a Să se arate că m( MON) nu depinde de valoarea lui a b Dacă (OD este bisectoarea MON arătaţi că (OB este bisectoarea AOC c Să se arate cel puţin unul din unghiurile formate icircn jurul punctului O are măsura mai mare de 65deg

Probleme selectate de prof George Timişescu prof Ciprian Neţa

Clasa a VII-a

I a) Arătaţi că ecuaţia 22 3 4x x xminus + = minus nu are soluţii icircn R b) Să se determine 1 2 2 1 3 1

x yx y N a icircx y

isin + = ++ +

lowastlowastlowast

II Se dau numerele raţionale astfel icircncacirct 1 2 3 2008 a a a a 1 2 3 20081 1 2 1 2 2

1 1 1 1 1 1 12 1 1 1

a a a aa a a a a a

= = minus = minus = minus007+ + +

2

Examene și concursuri

Să se arate că a) b) 1 2 3 2008 0a a a a gt 1 2 3 2008 1a a a a+ + + + lt lowastlowastlowast

III Fie xOy un unghi ascuţit punctele (B C Oyisin (A Oxisin D este mijlocul lui [ ]BC şi M un punct situat pe [ ]AD Da-

că OM AB Pcap = şi să se arate că OM AC Qcap = MP MQgt prof Ion Diaconu Clasa a VIII-a 1 Fie Aflaţi intervalul [ m n isin ]m n care conţine cel puţin opt numere icircntregi unde m şi n verifică relaţia

2 2 99 7 9 17m n m n m n+ + = minus + minus + prof Anca Rafailă

2 a) Fie astfel icircncacirct (x y isin )3 2 2x yminus isin Aflaţi valoarea raportului xy

b) Determinaţi mulţimea ( )( ) [ ] | 3 3 59M x a x x a b a b= isin + minus = isin isin minus cap prof Ion Diaconu

3 Fie cubul ABCDA B C D N proiecţia punctului B pe dreapta ArsquoC şi [ ]Q C Cisin astfel icircncacirct 2C Q CQ= sdot

a) Aflaţi valoarea raportului

NCA N

b) Determinaţi distanţa de la punctul A la dreapta BrsquoQ c) Determinaţi distanţa de la punctul Brsquo la dreapta de intersecţie a planelor ( )AB Q şi ( )ABC

prof Teodora Nechifor Clasa a IX-a

1 Fie triunghiul ABC cu centrul de greutate G Să se arate că 0a GA b GB c GC ABCsdot + sdot + sdot = hArr Δ este echilateral unde a=BC b=AC şi c=AB

prof Vasile Ţifui GM nr 81979 2 Arătaţi că pentru orice x Risin are loc identitatea

[ ]2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + + + + = minus⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦x

Prof dr Adrian Sandovici Colegiul Naţional bdquoPetru Rareşrdquo Piatra Neamţ

3 Determinaţi xisinR şi ygt0 zgt0 astfel icircncacirct 2 2 1 02 8

x zx y yz++ + minus + =

I Safta Piteşti GM12008 Clasa a X-a I Fie şi două numere complexe cu proprietatea 1z 2z 1 2 1 2z z z z+ = sdot a) Demonstraţi că cel puţin unul dintre numere are modulul mai mic sau egal cu 2 b) Daţi exemplu de numere complexe pentru care 1z zne 2 1 2 1 2z z z z+ = sdot

II Numerele verifică simultan inegalităţile a b Risin 5 2log (2 3) log (5 3)a b+ lt minus şi 8 5log (5 3) log (8 3)b a+ gt minus Să se compare a cu b

III Să se rezolve icircn ecuaţia 2R R R= times1

819 9 91

y xyx

x yxy

+ + =+ +

Clasa a XI-a

1 Fie şirul ( ) cu unde n nx isinalefsym 1( )( )n n nx x x x+ minus + = 1 0 (0 )x x isin infin Calculaţi lim n

n

xnrarrinfin

2 Fie abcisinreal şi 2 4b alt c 2 ( )X Misin real Sǎ se arate cǎ 2 22 2 det( ) 0O aX bX cI aX bX cI2= + + hArr + + =

3 Sǎ se calculeze a) 1 2 3 lim n

nn nrarrinfin

+ + + + b)

11

2 1

1 2 3 2lim log 1 2

nn

nn

+

+rarrinfin

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Subiecte selectate de prof Ștefan Gavril Costică Grigoriu și Elena Roșu Clasa a XII-a

1 a) Pentru orice număr natural prim p notăm cu pZ mulțimea claselor de resturi de numere icircntregi modulo p Pe mulțimea

p pZ Zlowast times se definește operația ( ) ( ) ( )x y x y x x x y yprime prime prime prime primeoplus = sdot sdot + Să se arate că ( )p pZ Zlowast times oplus este grup

prof Vasile Țifui b) Fie un grup și astfel icircncacirct Arătați că ( G sdot) a b Gisin 2008 2009 2008 2008a b b asdot = sdot 2008 2009 2008 2008b a a bsdot = sdot a b e= = unde

este elementul neutru al grupului e ( )G sdot

3

MATE ++

prof Adrian Sandovici 2 Să se determine o relație de recurență pentru cos sinn

nI x nxdx= sdotint n N lowastisin

3 Fie f R Rrarr o funcție continuă și fie F R Rrarr o primitivă a sa astfel icircncacirct ( ) ( )2008 2009f x F xsdot minus = pentru orice

x Risin a) Demonstrați că ( ) ( )2008F x F x csdot minus = pentru orice x Risin unde c este o constantă strict pozitivă b) Să se deter-mine toate funcțiile care satisfac condiția din enunț

prof Adrian Sandovici Bareme

Clasa a IV-a I 1 a) 3 puncte b) 4 puncte a) [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 =20 (06p) [10 + 10 x (a ndash 10)] = 20 x 10 = 200 (06p) 10 x (a ndash 10) = 200 ndash 10 = 190 (06p) a ndash 10 = 190 10 = 19 (06p) a = 19 + 10 = 29 (06p) b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 ndash 0 = 126 + 9 x a (1p) 18 x a ndash 18 x 5 ndash 17 = 126 + 9 x a (1p) 9 x a = 126 + 90 (05p) 9 x a = 216 (05p) a = 216 9 (05p) a = 24 (05p) II a) m = 3 x (5 1 ndash 2) = 9 (1p) n = (5 + 1) x 2 ndash 3 = 9 (1p) primul număr al doilea număr 4 al treilea număr 8 164 helliphellip (15p) al patrulea număr 12 164 - 24 = 140 (de 7 ori al primul număr) (1p) 140 7 = 20 (primul număr) (1p) 20 + 4 = 24 (al doilea număr) (05p) 2 x 20+8 = 48 (al treilea număr) (05p) 3 x 20+12 = 72 (al patrulea număr) (05p) III a) I a = numărul gacircștelor al cailor al curcilor sau al găinilor

2 x a + 4 x a + 2 x a + 2 x a =400 (05p) 10 x a = 400 (05p) a = 400 10 (05p) a = 40 găini (05p) II sau prin metoda figurativă Număr picioare gacircște Număr picioare cai Număr picioare curci 400 picioare Număr picioare găini Număr picioare gacircște = 400 10 2 = 80 Număr picioare cai = 40010 4 = 160 Număr picioare curci = 400 10 2 = 80 Număr picioare găini = 400 10 2 = 80 Subiectul al IV-lea prețul unui fular = f prețul unei căciuli = cprețul unei bluze = b (05p) f = 18 lei + c (1p) b = f + 2c (05p) b = 18 lei + 3c (05p) 3c + f +2 x (18 + 3c) = 3c + f + 36 + 6c = 954 (05p) 3c + (18 + c) + 36 + 6c = 954 (05p) c = 900 10 = 90 (05p) f = 108 (05p) b= 288 (05p) Clasa a V-a 1 ab poate fi 01 12 23 34 hellip 89 (2p) ba este 43 (3p) Anul naşterii 1934 (1p) Finalizare 2008 (1p)

2 2008 2009 1004 20092

a sdot= = sdot (1p) (1p) 2008 2007 rest 2007b = 2008 2007 2007b = sdot + (05p) (05p)

(1p)

2007 2009b = sdot

2 20a bminus = 09 ( ) ( ) ( )2008 2007 2007 2007 20072009 2009 1004 2009 1 2009 2009 1 = minus + + minus + + + + + ( )20072009 1004+ (3p)

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4 25ab ab= minuscd (2p) 25ab = şi c d 0= (2p) Numărul este 2500 (1p) =

CLASA a VI-a 1 a) 20b 36c şi 222 sunt divizibile cu 2 deci şi a (nr prim) este divizibil cu 2rArr a=2 (2p) Obţinem 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b şi 55 sunt divizibile cu 5 rArr 9c divizibil cu 5 (c nr prim) rArr c=5 (1p) Obţinem 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 este număr impar deci un termen al sumei este par şi unul impar (1p) Dacă primul termen este impar atunci y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) Dacă al doilea termen este impar atunci x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notacircnd cu y măsura unghiului avem 90 2180

yy abc

minus=

minusx (1p) 2x

abc cea mai mare fracţie deci 2x cel mai mare posibil şi abc cel

mai mic posibil (2p) 2x nr prim deci 29 (1p) abc cel mai mic multiplu de 29 deci 116 (1p) 24

xabc

=1 (1p) 90 1

180 4yy

minus=

minus de

unde obţinem y=60deg (1p) 3 a) Desen (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg deci constantă (nu depinde de a) (1p) b) (OD bisectoare rArr m(AOD)=m(COD) (1p) prin scădere din 180deg obţinem concluzia (1p) c) sunt 6 unghiuri icircn jurul punctului O Dacă din acestea icircnlăturăm AOB şi BOC care au icircmpreună 90deg rămacircn 4 unghiuri care au suma de 270deg rArr cel puţin unul dintre ele are măsura mai mare decacirct 2704=67deg30` deci mai mare şi de 65deg (2p) Clasa a VII-a I a) ecuaţia nu are soluţii (1p)4x lt 2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

4

Examene și concursuri

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 3

)

3 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus Deci (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIII Figura (1p) Construcţia ajutătoare

(2p) Construcţia ajutătoare (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

(MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Clasa a VIII-a 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) 2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = (1p) ( ) ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus =23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 sau 1 sau 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 sau 2 sau 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Construcţia perpendicularei cu teorema celor trei perpendiculare (1p) Calculul distanţei (1p) c) Determinarea dreptei de in-tersecţie a planelor (1p) Construcţia perpendicularei (1p) Calculul distanţei (1p) Clasa a IX-a 1 ldquolArrrdquo ΔABC echilateral hArr a=b=c Atunci ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

deoarece (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo Dacă I este centrul cercului icircnscris atunci oricare ar fi M un punct din planul triunghiului avem relaţia

(1 )MI a MA b MB c MCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) Pentru M=G obţinem ( )1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) şi ştiind că

rezultă că (1p) Deci G=I adică triunghiul este echilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 Aplicăm succesiv identitatea lui Hermite [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) pentru numerele 2 2008 2 2 2x x x x şi obţinem

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Sumacircnd membru cu membru identităţile de mai sus obţinem relaţia

[ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ (2p) care conduce la identitatea din enunţ

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

Deci 14

x = minus şi 14

y = (1p) Tripletele care verifică relaţia dată sunt 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ unde zgt0 este arbitrar (1p)

CLASA a X-a I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) pentru 1 0z = rezultă 2 0z = şi reciproc (1p)

pentru 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducere la absurd 1 2 2z z gt rArr contradicţie (1p)

b) ţinacircnd cont de a) alegem de ex şi rezolvăm ecuaţia 1 1z = 21 z z+ = 2

a

(3p)

II Presupunem că Atunci (1p) Fie a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minus 5log (2 3)aA = + şi şi 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a a AB = minus rArr + = 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

5

MATE ++

2 35 2 3 1 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

(2p) Analog obţinem 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b a+ ge + gt minus de unde rezultă 1a lt

contradicţie (1p) Deci a b lt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) Deci

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

Egalitatea are loc pentru 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p) Clasa a XI-a

1 Monotonia şirului (1p) lim nnx

rarrinfin= infin (2p) 1lim 1n

nn

xx

+

rarrinfin= (1p)

2

lim 2n

n

xnrarrinfin

= (2p) lim 2n

n

xnrarrinfin

= (1p)

2 (1p) detrArr 0alArr ne 22 0b cX X I

a a+ + = det(X- 2Iα )=0 sau 2det( ) 0X Iαminus = unde Cα α isin real rǎdǎcinile trinomu-

lui (1p) 2 ax bx c+ + 2det( )X Iαminus = 2det( ) 0X Iαminus = (1p) α α rǎdǎcinile polinomului caracteristic al matricii X (1p) Relaţiile lui Viete pentru polinomul caracteristic (1p) Finalizare (1p) 3 a) rezolvarea cerinţei(2p)b) aplicarea lemei Cesaro Stolz(1p)utilizarea rezultatului de la punctul a(2p)calculul limitei(2p) Clasa a XII-a 1 a) parte stabilă (1p) asociativitate (1p) element neutru (1p) element simetrizabil (1p) b) Compunerea cu a la dreapta icircn ambii membri ai primei relații și deducerea relației b a esdot = (1p) Compunerea cu b la dreapta icircn ambii membri ai celei de a doua relație și deducerea relației a b esdot = (1p) Finalizare (1p)

2 Integrarea prin părți folosind că cossin nxnxn

prime⎛= minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (3p) Adunarea lui nI icircn forma inițială cu forma obținută mai sus (2p)

Finalizare (2p)

3 a) Icircnlocuirea lui x cu 2008 xminus (1p) Obținerea relației ( ) ( )( )2008 0F x F xprime

sdot minus = (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus derivabilă cu

derivata 0 rezultă că este constantă (egală cu c) (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus nu se anulează și fiind continuă rezultă că are semn constant deci (1p) 0c gt

b) Din relațiile de la a) rezultă că ( )( )

2009f xF x c

= (1p) ( ) 2009ln F x xc

α= sdot + Rα isin (1p) ( ) nxf x m n e= sdot sdot cu

(1p) 2 2008 2009nm n esdot sdot =

ISSUES Grade IV 1 a) Discover the value of bdquoardquo in the expression [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a)Put parantheses so that to get m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) The sum of four natural numbers is 164The second number is 4 more than the first one two times less than the third one and three times less than the fourth one Find the numbers 3 a) In a yard there are in equal number geese horses hen turkeys and hens Together they sum up 400 feet How many hens are there b) Mother bought for her children 3 caps a muffler and two blouses paying on the whole 954 leiKnowing that a muffler is 18 lei more expensive than a cap and a blouse costs as much as a muffler and 2 caps together find the price of each item Grade V 1Teacher Vasile Ţifui was born in 19ab where a and b are consecutive figures cifre and ba is a number with only two divisors If he lived 74 years find the year when he left us Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Consider and b is the greatest number which divided by 2008 results in the quotient is equal with the remainder

1 2 3 2008a = + + + +

a) Calculate 2 b) Write the number ( as a sum of 2009 consecutive natural numbers a bminus )20082a bminus

Vasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Find the natural numbers abcd in base ten number system so that the following equality be true ( )24abcd ab=

Math Gazette

6

Examene și concursuri

Să se arate că a) b) 1 2 3 2008 0a a a a gt 1 2 3 2008 1a a a a+ + + + lt lowastlowastlowast

III Fie xOy un unghi ascuţit punctele (B C Oyisin (A Oxisin D este mijlocul lui [ ]BC şi M un punct situat pe [ ]AD Da-

că OM AB Pcap = şi să se arate că OM AC Qcap = MP MQgt prof Ion Diaconu Clasa a VIII-a 1 Fie Aflaţi intervalul [ m n isin ]m n care conţine cel puţin opt numere icircntregi unde m şi n verifică relaţia

2 2 99 7 9 17m n m n m n+ + = minus + minus + prof Anca Rafailă

2 a) Fie astfel icircncacirct (x y isin )3 2 2x yminus isin Aflaţi valoarea raportului xy

b) Determinaţi mulţimea ( )( ) [ ] | 3 3 59M x a x x a b a b= isin + minus = isin isin minus cap prof Ion Diaconu

3 Fie cubul ABCDA B C D N proiecţia punctului B pe dreapta ArsquoC şi [ ]Q C Cisin astfel icircncacirct 2C Q CQ= sdot

a) Aflaţi valoarea raportului

NCA N

b) Determinaţi distanţa de la punctul A la dreapta BrsquoQ c) Determinaţi distanţa de la punctul Brsquo la dreapta de intersecţie a planelor ( )AB Q şi ( )ABC

prof Teodora Nechifor Clasa a IX-a

1 Fie triunghiul ABC cu centrul de greutate G Să se arate că 0a GA b GB c GC ABCsdot + sdot + sdot = hArr Δ este echilateral unde a=BC b=AC şi c=AB

prof Vasile Ţifui GM nr 81979 2 Arătaţi că pentru orice x Risin are loc identitatea

[ ]2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + + + + = minus⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦x

Prof dr Adrian Sandovici Colegiul Naţional bdquoPetru Rareşrdquo Piatra Neamţ

3 Determinaţi xisinR şi ygt0 zgt0 astfel icircncacirct 2 2 1 02 8

x zx y yz++ + minus + =

I Safta Piteşti GM12008 Clasa a X-a I Fie şi două numere complexe cu proprietatea 1z 2z 1 2 1 2z z z z+ = sdot a) Demonstraţi că cel puţin unul dintre numere are modulul mai mic sau egal cu 2 b) Daţi exemplu de numere complexe pentru care 1z zne 2 1 2 1 2z z z z+ = sdot

II Numerele verifică simultan inegalităţile a b Risin 5 2log (2 3) log (5 3)a b+ lt minus şi 8 5log (5 3) log (8 3)b a+ gt minus Să se compare a cu b

III Să se rezolve icircn ecuaţia 2R R R= times1

819 9 91

y xyx

x yxy

+ + =+ +

Clasa a XI-a

1 Fie şirul ( ) cu unde n nx isinalefsym 1( )( )n n nx x x x+ minus + = 1 0 (0 )x x isin infin Calculaţi lim n

n

xnrarrinfin

2 Fie abcisinreal şi 2 4b alt c 2 ( )X Misin real Sǎ se arate cǎ 2 22 2 det( ) 0O aX bX cI aX bX cI2= + + hArr + + =

3 Sǎ se calculeze a) 1 2 3 lim n

nn nrarrinfin

+ + + + b)

11

2 1

1 2 3 2lim log 1 2

nn

nn

+

+rarrinfin

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Subiecte selectate de prof Ștefan Gavril Costică Grigoriu și Elena Roșu Clasa a XII-a

1 a) Pentru orice număr natural prim p notăm cu pZ mulțimea claselor de resturi de numere icircntregi modulo p Pe mulțimea

p pZ Zlowast times se definește operația ( ) ( ) ( )x y x y x x x y yprime prime prime prime primeoplus = sdot sdot + Să se arate că ( )p pZ Zlowast times oplus este grup

prof Vasile Țifui b) Fie un grup și astfel icircncacirct Arătați că ( G sdot) a b Gisin 2008 2009 2008 2008a b b asdot = sdot 2008 2009 2008 2008b a a bsdot = sdot a b e= = unde

este elementul neutru al grupului e ( )G sdot

3

MATE ++

prof Adrian Sandovici 2 Să se determine o relație de recurență pentru cos sinn

nI x nxdx= sdotint n N lowastisin

3 Fie f R Rrarr o funcție continuă și fie F R Rrarr o primitivă a sa astfel icircncacirct ( ) ( )2008 2009f x F xsdot minus = pentru orice

x Risin a) Demonstrați că ( ) ( )2008F x F x csdot minus = pentru orice x Risin unde c este o constantă strict pozitivă b) Să se deter-mine toate funcțiile care satisfac condiția din enunț

prof Adrian Sandovici Bareme

Clasa a IV-a I 1 a) 3 puncte b) 4 puncte a) [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 =20 (06p) [10 + 10 x (a ndash 10)] = 20 x 10 = 200 (06p) 10 x (a ndash 10) = 200 ndash 10 = 190 (06p) a ndash 10 = 190 10 = 19 (06p) a = 19 + 10 = 29 (06p) b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 ndash 0 = 126 + 9 x a (1p) 18 x a ndash 18 x 5 ndash 17 = 126 + 9 x a (1p) 9 x a = 126 + 90 (05p) 9 x a = 216 (05p) a = 216 9 (05p) a = 24 (05p) II a) m = 3 x (5 1 ndash 2) = 9 (1p) n = (5 + 1) x 2 ndash 3 = 9 (1p) primul număr al doilea număr 4 al treilea număr 8 164 helliphellip (15p) al patrulea număr 12 164 - 24 = 140 (de 7 ori al primul număr) (1p) 140 7 = 20 (primul număr) (1p) 20 + 4 = 24 (al doilea număr) (05p) 2 x 20+8 = 48 (al treilea număr) (05p) 3 x 20+12 = 72 (al patrulea număr) (05p) III a) I a = numărul gacircștelor al cailor al curcilor sau al găinilor

2 x a + 4 x a + 2 x a + 2 x a =400 (05p) 10 x a = 400 (05p) a = 400 10 (05p) a = 40 găini (05p) II sau prin metoda figurativă Număr picioare gacircște Număr picioare cai Număr picioare curci 400 picioare Număr picioare găini Număr picioare gacircște = 400 10 2 = 80 Număr picioare cai = 40010 4 = 160 Număr picioare curci = 400 10 2 = 80 Număr picioare găini = 400 10 2 = 80 Subiectul al IV-lea prețul unui fular = f prețul unei căciuli = cprețul unei bluze = b (05p) f = 18 lei + c (1p) b = f + 2c (05p) b = 18 lei + 3c (05p) 3c + f +2 x (18 + 3c) = 3c + f + 36 + 6c = 954 (05p) 3c + (18 + c) + 36 + 6c = 954 (05p) c = 900 10 = 90 (05p) f = 108 (05p) b= 288 (05p) Clasa a V-a 1 ab poate fi 01 12 23 34 hellip 89 (2p) ba este 43 (3p) Anul naşterii 1934 (1p) Finalizare 2008 (1p)

2 2008 2009 1004 20092

a sdot= = sdot (1p) (1p) 2008 2007 rest 2007b = 2008 2007 2007b = sdot + (05p) (05p)

(1p)

2007 2009b = sdot

2 20a bminus = 09 ( ) ( ) ( )2008 2007 2007 2007 20072009 2009 1004 2009 1 2009 2009 1 = minus + + minus + + + + + ( )20072009 1004+ (3p)

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4 25ab ab= minuscd (2p) 25ab = şi c d 0= (2p) Numărul este 2500 (1p) =

CLASA a VI-a 1 a) 20b 36c şi 222 sunt divizibile cu 2 deci şi a (nr prim) este divizibil cu 2rArr a=2 (2p) Obţinem 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b şi 55 sunt divizibile cu 5 rArr 9c divizibil cu 5 (c nr prim) rArr c=5 (1p) Obţinem 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 este număr impar deci un termen al sumei este par şi unul impar (1p) Dacă primul termen este impar atunci y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) Dacă al doilea termen este impar atunci x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notacircnd cu y măsura unghiului avem 90 2180

yy abc

minus=

minusx (1p) 2x

abc cea mai mare fracţie deci 2x cel mai mare posibil şi abc cel

mai mic posibil (2p) 2x nr prim deci 29 (1p) abc cel mai mic multiplu de 29 deci 116 (1p) 24

xabc

=1 (1p) 90 1

180 4yy

minus=

minus de

unde obţinem y=60deg (1p) 3 a) Desen (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg deci constantă (nu depinde de a) (1p) b) (OD bisectoare rArr m(AOD)=m(COD) (1p) prin scădere din 180deg obţinem concluzia (1p) c) sunt 6 unghiuri icircn jurul punctului O Dacă din acestea icircnlăturăm AOB şi BOC care au icircmpreună 90deg rămacircn 4 unghiuri care au suma de 270deg rArr cel puţin unul dintre ele are măsura mai mare decacirct 2704=67deg30` deci mai mare şi de 65deg (2p) Clasa a VII-a I a) ecuaţia nu are soluţii (1p)4x lt 2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

4

Examene și concursuri

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 3

)

3 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus Deci (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIII Figura (1p) Construcţia ajutătoare

(2p) Construcţia ajutătoare (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

(MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Clasa a VIII-a 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) 2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = (1p) ( ) ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus =23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 sau 1 sau 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 sau 2 sau 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Construcţia perpendicularei cu teorema celor trei perpendiculare (1p) Calculul distanţei (1p) c) Determinarea dreptei de in-tersecţie a planelor (1p) Construcţia perpendicularei (1p) Calculul distanţei (1p) Clasa a IX-a 1 ldquolArrrdquo ΔABC echilateral hArr a=b=c Atunci ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

deoarece (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo Dacă I este centrul cercului icircnscris atunci oricare ar fi M un punct din planul triunghiului avem relaţia

(1 )MI a MA b MB c MCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) Pentru M=G obţinem ( )1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) şi ştiind că

rezultă că (1p) Deci G=I adică triunghiul este echilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 Aplicăm succesiv identitatea lui Hermite [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) pentru numerele 2 2008 2 2 2x x x x şi obţinem

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Sumacircnd membru cu membru identităţile de mai sus obţinem relaţia

[ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ (2p) care conduce la identitatea din enunţ

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

Deci 14

x = minus şi 14

y = (1p) Tripletele care verifică relaţia dată sunt 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ unde zgt0 este arbitrar (1p)

CLASA a X-a I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) pentru 1 0z = rezultă 2 0z = şi reciproc (1p)

pentru 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducere la absurd 1 2 2z z gt rArr contradicţie (1p)

b) ţinacircnd cont de a) alegem de ex şi rezolvăm ecuaţia 1 1z = 21 z z+ = 2

a

(3p)

II Presupunem că Atunci (1p) Fie a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minus 5log (2 3)aA = + şi şi 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a a AB = minus rArr + = 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

5

MATE ++

2 35 2 3 1 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

(2p) Analog obţinem 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b a+ ge + gt minus de unde rezultă 1a lt

contradicţie (1p) Deci a b lt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) Deci

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

Egalitatea are loc pentru 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p) Clasa a XI-a

1 Monotonia şirului (1p) lim nnx

rarrinfin= infin (2p) 1lim 1n

nn

xx

+

rarrinfin= (1p)

2

lim 2n

n

xnrarrinfin

= (2p) lim 2n

n

xnrarrinfin

= (1p)

2 (1p) detrArr 0alArr ne 22 0b cX X I

a a+ + = det(X- 2Iα )=0 sau 2det( ) 0X Iαminus = unde Cα α isin real rǎdǎcinile trinomu-

lui (1p) 2 ax bx c+ + 2det( )X Iαminus = 2det( ) 0X Iαminus = (1p) α α rǎdǎcinile polinomului caracteristic al matricii X (1p) Relaţiile lui Viete pentru polinomul caracteristic (1p) Finalizare (1p) 3 a) rezolvarea cerinţei(2p)b) aplicarea lemei Cesaro Stolz(1p)utilizarea rezultatului de la punctul a(2p)calculul limitei(2p) Clasa a XII-a 1 a) parte stabilă (1p) asociativitate (1p) element neutru (1p) element simetrizabil (1p) b) Compunerea cu a la dreapta icircn ambii membri ai primei relații și deducerea relației b a esdot = (1p) Compunerea cu b la dreapta icircn ambii membri ai celei de a doua relație și deducerea relației a b esdot = (1p) Finalizare (1p)

2 Integrarea prin părți folosind că cossin nxnxn

prime⎛= minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (3p) Adunarea lui nI icircn forma inițială cu forma obținută mai sus (2p)

Finalizare (2p)

3 a) Icircnlocuirea lui x cu 2008 xminus (1p) Obținerea relației ( ) ( )( )2008 0F x F xprime

sdot minus = (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus derivabilă cu

derivata 0 rezultă că este constantă (egală cu c) (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus nu se anulează și fiind continuă rezultă că are semn constant deci (1p) 0c gt

b) Din relațiile de la a) rezultă că ( )( )

2009f xF x c

= (1p) ( ) 2009ln F x xc

α= sdot + Rα isin (1p) ( ) nxf x m n e= sdot sdot cu

(1p) 2 2008 2009nm n esdot sdot =

ISSUES Grade IV 1 a) Discover the value of bdquoardquo in the expression [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a)Put parantheses so that to get m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) The sum of four natural numbers is 164The second number is 4 more than the first one two times less than the third one and three times less than the fourth one Find the numbers 3 a) In a yard there are in equal number geese horses hen turkeys and hens Together they sum up 400 feet How many hens are there b) Mother bought for her children 3 caps a muffler and two blouses paying on the whole 954 leiKnowing that a muffler is 18 lei more expensive than a cap and a blouse costs as much as a muffler and 2 caps together find the price of each item Grade V 1Teacher Vasile Ţifui was born in 19ab where a and b are consecutive figures cifre and ba is a number with only two divisors If he lived 74 years find the year when he left us Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Consider and b is the greatest number which divided by 2008 results in the quotient is equal with the remainder

1 2 3 2008a = + + + +

a) Calculate 2 b) Write the number ( as a sum of 2009 consecutive natural numbers a bminus )20082a bminus

Vasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Find the natural numbers abcd in base ten number system so that the following equality be true ( )24abcd ab=

Math Gazette

6

MATE ++

prof Adrian Sandovici 2 Să se determine o relație de recurență pentru cos sinn

nI x nxdx= sdotint n N lowastisin

3 Fie f R Rrarr o funcție continuă și fie F R Rrarr o primitivă a sa astfel icircncacirct ( ) ( )2008 2009f x F xsdot minus = pentru orice

x Risin a) Demonstrați că ( ) ( )2008F x F x csdot minus = pentru orice x Risin unde c este o constantă strict pozitivă b) Să se deter-mine toate funcțiile care satisfac condiția din enunț

prof Adrian Sandovici Bareme

Clasa a IV-a I 1 a) 3 puncte b) 4 puncte a) [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 =20 (06p) [10 + 10 x (a ndash 10)] = 20 x 10 = 200 (06p) 10 x (a ndash 10) = 200 ndash 10 = 190 (06p) a ndash 10 = 190 10 = 19 (06p) a = 19 + 10 = 29 (06p) b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 ndash 0 = 126 + 9 x a (1p) 18 x a ndash 18 x 5 ndash 17 = 126 + 9 x a (1p) 9 x a = 126 + 90 (05p) 9 x a = 216 (05p) a = 216 9 (05p) a = 24 (05p) II a) m = 3 x (5 1 ndash 2) = 9 (1p) n = (5 + 1) x 2 ndash 3 = 9 (1p) primul număr al doilea număr 4 al treilea număr 8 164 helliphellip (15p) al patrulea număr 12 164 - 24 = 140 (de 7 ori al primul număr) (1p) 140 7 = 20 (primul număr) (1p) 20 + 4 = 24 (al doilea număr) (05p) 2 x 20+8 = 48 (al treilea număr) (05p) 3 x 20+12 = 72 (al patrulea număr) (05p) III a) I a = numărul gacircștelor al cailor al curcilor sau al găinilor

2 x a + 4 x a + 2 x a + 2 x a =400 (05p) 10 x a = 400 (05p) a = 400 10 (05p) a = 40 găini (05p) II sau prin metoda figurativă Număr picioare gacircște Număr picioare cai Număr picioare curci 400 picioare Număr picioare găini Număr picioare gacircște = 400 10 2 = 80 Număr picioare cai = 40010 4 = 160 Număr picioare curci = 400 10 2 = 80 Număr picioare găini = 400 10 2 = 80 Subiectul al IV-lea prețul unui fular = f prețul unei căciuli = cprețul unei bluze = b (05p) f = 18 lei + c (1p) b = f + 2c (05p) b = 18 lei + 3c (05p) 3c + f +2 x (18 + 3c) = 3c + f + 36 + 6c = 954 (05p) 3c + (18 + c) + 36 + 6c = 954 (05p) c = 900 10 = 90 (05p) f = 108 (05p) b= 288 (05p) Clasa a V-a 1 ab poate fi 01 12 23 34 hellip 89 (2p) ba este 43 (3p) Anul naşterii 1934 (1p) Finalizare 2008 (1p)

2 2008 2009 1004 20092

a sdot= = sdot (1p) (1p) 2008 2007 rest 2007b = 2008 2007 2007b = sdot + (05p) (05p)

(1p)

2007 2009b = sdot

2 20a bminus = 09 ( ) ( ) ( )2008 2007 2007 2007 20072009 2009 1004 2009 1 2009 2009 1 = minus + + minus + + + + + ( )20072009 1004+ (3p)

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4 25ab ab= minuscd (2p) 25ab = şi c d 0= (2p) Numărul este 2500 (1p) =

CLASA a VI-a 1 a) 20b 36c şi 222 sunt divizibile cu 2 deci şi a (nr prim) este divizibil cu 2rArr a=2 (2p) Obţinem 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b şi 55 sunt divizibile cu 5 rArr 9c divizibil cu 5 (c nr prim) rArr c=5 (1p) Obţinem 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 este număr impar deci un termen al sumei este par şi unul impar (1p) Dacă primul termen este impar atunci y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) Dacă al doilea termen este impar atunci x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notacircnd cu y măsura unghiului avem 90 2180

yy abc

minus=

minusx (1p) 2x

abc cea mai mare fracţie deci 2x cel mai mare posibil şi abc cel

mai mic posibil (2p) 2x nr prim deci 29 (1p) abc cel mai mic multiplu de 29 deci 116 (1p) 24

xabc

=1 (1p) 90 1

180 4yy

minus=

minus de

unde obţinem y=60deg (1p) 3 a) Desen (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg deci constantă (nu depinde de a) (1p) b) (OD bisectoare rArr m(AOD)=m(COD) (1p) prin scădere din 180deg obţinem concluzia (1p) c) sunt 6 unghiuri icircn jurul punctului O Dacă din acestea icircnlăturăm AOB şi BOC care au icircmpreună 90deg rămacircn 4 unghiuri care au suma de 270deg rArr cel puţin unul dintre ele are măsura mai mare decacirct 2704=67deg30` deci mai mare şi de 65deg (2p) Clasa a VII-a I a) ecuaţia nu are soluţii (1p)4x lt 2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

4

Examene și concursuri

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 3

)

3 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus Deci (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIII Figura (1p) Construcţia ajutătoare

(2p) Construcţia ajutătoare (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

(MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Clasa a VIII-a 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) 2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = (1p) ( ) ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus =23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 sau 1 sau 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 sau 2 sau 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Construcţia perpendicularei cu teorema celor trei perpendiculare (1p) Calculul distanţei (1p) c) Determinarea dreptei de in-tersecţie a planelor (1p) Construcţia perpendicularei (1p) Calculul distanţei (1p) Clasa a IX-a 1 ldquolArrrdquo ΔABC echilateral hArr a=b=c Atunci ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

deoarece (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo Dacă I este centrul cercului icircnscris atunci oricare ar fi M un punct din planul triunghiului avem relaţia

(1 )MI a MA b MB c MCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) Pentru M=G obţinem ( )1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) şi ştiind că

rezultă că (1p) Deci G=I adică triunghiul este echilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 Aplicăm succesiv identitatea lui Hermite [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) pentru numerele 2 2008 2 2 2x x x x şi obţinem

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Sumacircnd membru cu membru identităţile de mai sus obţinem relaţia

[ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ (2p) care conduce la identitatea din enunţ

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

Deci 14

x = minus şi 14

y = (1p) Tripletele care verifică relaţia dată sunt 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ unde zgt0 este arbitrar (1p)

CLASA a X-a I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) pentru 1 0z = rezultă 2 0z = şi reciproc (1p)

pentru 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducere la absurd 1 2 2z z gt rArr contradicţie (1p)

b) ţinacircnd cont de a) alegem de ex şi rezolvăm ecuaţia 1 1z = 21 z z+ = 2

a

(3p)

II Presupunem că Atunci (1p) Fie a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minus 5log (2 3)aA = + şi şi 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a a AB = minus rArr + = 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

5

MATE ++

2 35 2 3 1 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

(2p) Analog obţinem 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b a+ ge + gt minus de unde rezultă 1a lt

contradicţie (1p) Deci a b lt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) Deci

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

Egalitatea are loc pentru 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p) Clasa a XI-a

1 Monotonia şirului (1p) lim nnx

rarrinfin= infin (2p) 1lim 1n

nn

xx

+

rarrinfin= (1p)

2

lim 2n

n

xnrarrinfin

= (2p) lim 2n

n

xnrarrinfin

= (1p)

2 (1p) detrArr 0alArr ne 22 0b cX X I

a a+ + = det(X- 2Iα )=0 sau 2det( ) 0X Iαminus = unde Cα α isin real rǎdǎcinile trinomu-

lui (1p) 2 ax bx c+ + 2det( )X Iαminus = 2det( ) 0X Iαminus = (1p) α α rǎdǎcinile polinomului caracteristic al matricii X (1p) Relaţiile lui Viete pentru polinomul caracteristic (1p) Finalizare (1p) 3 a) rezolvarea cerinţei(2p)b) aplicarea lemei Cesaro Stolz(1p)utilizarea rezultatului de la punctul a(2p)calculul limitei(2p) Clasa a XII-a 1 a) parte stabilă (1p) asociativitate (1p) element neutru (1p) element simetrizabil (1p) b) Compunerea cu a la dreapta icircn ambii membri ai primei relații și deducerea relației b a esdot = (1p) Compunerea cu b la dreapta icircn ambii membri ai celei de a doua relație și deducerea relației a b esdot = (1p) Finalizare (1p)

2 Integrarea prin părți folosind că cossin nxnxn

prime⎛= minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (3p) Adunarea lui nI icircn forma inițială cu forma obținută mai sus (2p)

Finalizare (2p)

3 a) Icircnlocuirea lui x cu 2008 xminus (1p) Obținerea relației ( ) ( )( )2008 0F x F xprime

sdot minus = (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus derivabilă cu

derivata 0 rezultă că este constantă (egală cu c) (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus nu se anulează și fiind continuă rezultă că are semn constant deci (1p) 0c gt

b) Din relațiile de la a) rezultă că ( )( )

2009f xF x c

= (1p) ( ) 2009ln F x xc

α= sdot + Rα isin (1p) ( ) nxf x m n e= sdot sdot cu

(1p) 2 2008 2009nm n esdot sdot =

ISSUES Grade IV 1 a) Discover the value of bdquoardquo in the expression [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a)Put parantheses so that to get m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) The sum of four natural numbers is 164The second number is 4 more than the first one two times less than the third one and three times less than the fourth one Find the numbers 3 a) In a yard there are in equal number geese horses hen turkeys and hens Together they sum up 400 feet How many hens are there b) Mother bought for her children 3 caps a muffler and two blouses paying on the whole 954 leiKnowing that a muffler is 18 lei more expensive than a cap and a blouse costs as much as a muffler and 2 caps together find the price of each item Grade V 1Teacher Vasile Ţifui was born in 19ab where a and b are consecutive figures cifre and ba is a number with only two divisors If he lived 74 years find the year when he left us Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Consider and b is the greatest number which divided by 2008 results in the quotient is equal with the remainder

1 2 3 2008a = + + + +

a) Calculate 2 b) Write the number ( as a sum of 2009 consecutive natural numbers a bminus )20082a bminus

Vasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Find the natural numbers abcd in base ten number system so that the following equality be true ( )24abcd ab=

Math Gazette

6

Examene și concursuri

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 3

)

3 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus Deci (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIII Figura (1p) Construcţia ajutătoare

(2p) Construcţia ajutătoare (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

(MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Clasa a VIII-a 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) 2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = (1p) ( ) ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus =23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 sau 1 sau 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 sau 2 sau 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Construcţia perpendicularei cu teorema celor trei perpendiculare (1p) Calculul distanţei (1p) c) Determinarea dreptei de in-tersecţie a planelor (1p) Construcţia perpendicularei (1p) Calculul distanţei (1p) Clasa a IX-a 1 ldquolArrrdquo ΔABC echilateral hArr a=b=c Atunci ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

deoarece (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo Dacă I este centrul cercului icircnscris atunci oricare ar fi M un punct din planul triunghiului avem relaţia

(1 )MI a MA b MB c MCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) Pentru M=G obţinem ( )1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

(1p) şi ştiind că

rezultă că (1p) Deci G=I adică triunghiul este echilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 Aplicăm succesiv identitatea lui Hermite [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) pentru numerele 2 2008 2 2 2x x x x şi obţinem

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Sumacircnd membru cu membru identităţile de mai sus obţinem relaţia

[ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ (2p) care conduce la identitatea din enunţ

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

Deci 14

x = minus şi 14

y = (1p) Tripletele care verifică relaţia dată sunt 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ unde zgt0 este arbitrar (1p)

CLASA a X-a I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) pentru 1 0z = rezultă 2 0z = şi reciproc (1p)

pentru 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducere la absurd 1 2 2z z gt rArr contradicţie (1p)

b) ţinacircnd cont de a) alegem de ex şi rezolvăm ecuaţia 1 1z = 21 z z+ = 2

a

(3p)

II Presupunem că Atunci (1p) Fie a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minus 5log (2 3)aA = + şi şi 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a a AB = minus rArr + = 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

5

MATE ++

2 35 2 3 1 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

(2p) Analog obţinem 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b a+ ge + gt minus de unde rezultă 1a lt

contradicţie (1p) Deci a b lt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) Deci

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

Egalitatea are loc pentru 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p) Clasa a XI-a

1 Monotonia şirului (1p) lim nnx

rarrinfin= infin (2p) 1lim 1n

nn

xx

+

rarrinfin= (1p)

2

lim 2n

n

xnrarrinfin

= (2p) lim 2n

n

xnrarrinfin

= (1p)

2 (1p) detrArr 0alArr ne 22 0b cX X I

a a+ + = det(X- 2Iα )=0 sau 2det( ) 0X Iαminus = unde Cα α isin real rǎdǎcinile trinomu-

lui (1p) 2 ax bx c+ + 2det( )X Iαminus = 2det( ) 0X Iαminus = (1p) α α rǎdǎcinile polinomului caracteristic al matricii X (1p) Relaţiile lui Viete pentru polinomul caracteristic (1p) Finalizare (1p) 3 a) rezolvarea cerinţei(2p)b) aplicarea lemei Cesaro Stolz(1p)utilizarea rezultatului de la punctul a(2p)calculul limitei(2p) Clasa a XII-a 1 a) parte stabilă (1p) asociativitate (1p) element neutru (1p) element simetrizabil (1p) b) Compunerea cu a la dreapta icircn ambii membri ai primei relații și deducerea relației b a esdot = (1p) Compunerea cu b la dreapta icircn ambii membri ai celei de a doua relație și deducerea relației a b esdot = (1p) Finalizare (1p)

2 Integrarea prin părți folosind că cossin nxnxn

prime⎛= minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (3p) Adunarea lui nI icircn forma inițială cu forma obținută mai sus (2p)

Finalizare (2p)

3 a) Icircnlocuirea lui x cu 2008 xminus (1p) Obținerea relației ( ) ( )( )2008 0F x F xprime

sdot minus = (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus derivabilă cu

derivata 0 rezultă că este constantă (egală cu c) (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus nu se anulează și fiind continuă rezultă că are semn constant deci (1p) 0c gt

b) Din relațiile de la a) rezultă că ( )( )

2009f xF x c

= (1p) ( ) 2009ln F x xc

α= sdot + Rα isin (1p) ( ) nxf x m n e= sdot sdot cu

(1p) 2 2008 2009nm n esdot sdot =

ISSUES Grade IV 1 a) Discover the value of bdquoardquo in the expression [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a)Put parantheses so that to get m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) The sum of four natural numbers is 164The second number is 4 more than the first one two times less than the third one and three times less than the fourth one Find the numbers 3 a) In a yard there are in equal number geese horses hen turkeys and hens Together they sum up 400 feet How many hens are there b) Mother bought for her children 3 caps a muffler and two blouses paying on the whole 954 leiKnowing that a muffler is 18 lei more expensive than a cap and a blouse costs as much as a muffler and 2 caps together find the price of each item Grade V 1Teacher Vasile Ţifui was born in 19ab where a and b are consecutive figures cifre and ba is a number with only two divisors If he lived 74 years find the year when he left us Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Consider and b is the greatest number which divided by 2008 results in the quotient is equal with the remainder

1 2 3 2008a = + + + +

a) Calculate 2 b) Write the number ( as a sum of 2009 consecutive natural numbers a bminus )20082a bminus

Vasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Find the natural numbers abcd in base ten number system so that the following equality be true ( )24abcd ab=

Math Gazette

6

MATE ++

2 35 2 3 1 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

(2p) Analog obţinem 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b a+ ge + gt minus de unde rezultă 1a lt

contradicţie (1p) Deci a b lt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) Deci

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

Egalitatea are loc pentru 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p) Clasa a XI-a

1 Monotonia şirului (1p) lim nnx

rarrinfin= infin (2p) 1lim 1n

nn

xx

+

rarrinfin= (1p)

2

lim 2n

n

xnrarrinfin

= (2p) lim 2n

n

xnrarrinfin

= (1p)

2 (1p) detrArr 0alArr ne 22 0b cX X I

a a+ + = det(X- 2Iα )=0 sau 2det( ) 0X Iαminus = unde Cα α isin real rǎdǎcinile trinomu-

lui (1p) 2 ax bx c+ + 2det( )X Iαminus = 2det( ) 0X Iαminus = (1p) α α rǎdǎcinile polinomului caracteristic al matricii X (1p) Relaţiile lui Viete pentru polinomul caracteristic (1p) Finalizare (1p) 3 a) rezolvarea cerinţei(2p)b) aplicarea lemei Cesaro Stolz(1p)utilizarea rezultatului de la punctul a(2p)calculul limitei(2p) Clasa a XII-a 1 a) parte stabilă (1p) asociativitate (1p) element neutru (1p) element simetrizabil (1p) b) Compunerea cu a la dreapta icircn ambii membri ai primei relații și deducerea relației b a esdot = (1p) Compunerea cu b la dreapta icircn ambii membri ai celei de a doua relație și deducerea relației a b esdot = (1p) Finalizare (1p)

2 Integrarea prin părți folosind că cossin nxnxn

prime⎛= minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (3p) Adunarea lui nI icircn forma inițială cu forma obținută mai sus (2p)

Finalizare (2p)

3 a) Icircnlocuirea lui x cu 2008 xminus (1p) Obținerea relației ( ) ( )( )2008 0F x F xprime

sdot minus = (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus derivabilă cu

derivata 0 rezultă că este constantă (egală cu c) (1p) ( ) ( )2008F x F xsdot minus nu se anulează și fiind continuă rezultă că are semn constant deci (1p) 0c gt

b) Din relațiile de la a) rezultă că ( )( )

2009f xF x c

= (1p) ( ) 2009ln F x xc

α= sdot + Rα isin (1p) ( ) nxf x m n e= sdot sdot cu

(1p) 2 2008 2009nm n esdot sdot =

ISSUES Grade IV 1 a) Discover the value of bdquoardquo in the expression [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 ndash 10 =10 b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 x [0 x (a x 7 + 9 x 6)]=126 + 9 x a 2 a)Put parantheses so that to get m = n m = 3 x 5 1 ndash 2 n = 5 + 1 x 2 ndash 3 b) The sum of four natural numbers is 164The second number is 4 more than the first one two times less than the third one and three times less than the fourth one Find the numbers 3 a) In a yard there are in equal number geese horses hen turkeys and hens Together they sum up 400 feet How many hens are there b) Mother bought for her children 3 caps a muffler and two blouses paying on the whole 954 leiKnowing that a muffler is 18 lei more expensive than a cap and a blouse costs as much as a muffler and 2 caps together find the price of each item Grade V 1Teacher Vasile Ţifui was born in 19ab where a and b are consecutive figures cifre and ba is a number with only two divisors If he lived 74 years find the year when he left us Ştefan Ţifui Grinţieş ndash Neamţ 2 Consider and b is the greatest number which divided by 2008 results in the quotient is equal with the remainder

1 2 3 2008a = + + + +

a) Calculate 2 b) Write the number ( as a sum of 2009 consecutive natural numbers a bminus )20082a bminus

Vasile Ţăruş Piatra Neamţ

3 Find the natural numbers abcd in base ten number system so that the following equality be true ( )24abcd ab=

Math Gazette

6

Examene și concursuri

Grade VI 1 a) Find the prime numbers a b c so that a+2b+36c=222 b) Find x yisinN so that ( ) ( )2 3 2 3 257

y xx y y y+ + + = 2Calculate the value of an angle knowing that the rate between its complement and suplement is equal with the least fraction 2xabc

where 2x is prime number that divides abc by x a b cwhich are digits in ten base system

3 Be the angle lt AOB with m(lt AOB)=a with alt90deg lt BOC is adjacent and complementary with lt AOB lt COD is adjacent and suplementary with ltBOC Consider (OM and (ON bisectors of the angle lt DOC respectively lt AOD

d Prove that m(lt MON) does not depend on the value of a e If (OD is the bisector of lt MON demonstrate that (OB is the bisector of lt AOC f Prove that at least one of the angles formed around point O measures more than 65deg

Problems selected by prof George Timişescu

prof Ciprian Neţa Grade VII I a) Prove that 22 3 4x x xminus + = minus does not have solutions in R

b) Find 1 2 so 2 1 3 1

x yx y Nx y

isin + = ++ +

lowastlowastlowast

II There are the rational numbers so that 1 2 3 2008 a a a a 1 2 3 20081 1 2 1 2 2007

1 1 1 1 1 1 12 1 1

a a a aa a a a a a

= = minus = minus = minus1+ + +

Prove that a) b) 1 2 3 2008 0a a a a gt 1 2 3 2008 1a a a a+ + + + lt lowastlowastlowast

III Be lt xOy an acute angle the points (B C Oyisin (A Oxisin D is the midpoint of [ ]BC and M a point on [ ]AD If

OM AB Pcap = and demonstrate that OM AC Qcap = MP MQgt prof Ion Diaconu Grade VIII 1 Be Find the interval [m n isin ]m n which contains at least eight whole numbers where m and n verify the expression

2 2 99 7 9 17m n m n m n+ + = minus + minus + prof Anca Rafailă

2 a) Be so that x y isin ( )3 2 2x yminus isin Find the value of xy

b) Find the field ( )( ) [ ] | 3 3 59M x a x x a b a b= isin + minus = isin isin minus cap

prof Ion Diaconu

3 Be the cube the projection of the point B on ArsquoC and A B C D A B C D N [ ]Q C Cisin so that 2C Q CQ= sdot

a) Find the value of

NCA N

b) Find the distance from point A to the line BrsquoQ c) Find the distance from point Brsquo to the intersection line between the planes ( )AB Q and ( )ABC

prof Teodora Nechifor Grade IX 1 In triangle ABC G is the mass center Prove that 0a GA b GB c GC ABCsdot + sdot + sdot = hArr Δ is equilateral

where a=BC b=AC and c=AB prof Vasile Ţifui GM nr 81979

2 Prove that for any x Risin the following expresion is true

[ ]2 2008 20091 1 1 12 2 2 22 2 2 2

x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + + + + + = minus⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦x

Prof dr Adrian Sandovici Colegiul Naţional bdquoPetru Rareşrdquo Piatra Neamţ

3 Find xisinR and ygt0 zgt0 so that 2 2 1 02 8

x zx y yz++ + minus + =

I Safta Piteşti GM12008 Grade X I Be and two complex numbers with the property 1z 2z 1 2 1 2z z z z+ = sdot a) Demonstrate that at least one of the numbers has its module equal or less than 2 b) Give examples of complex numbers for which1z zne 2 1 2 1 2z z z z+ = sdot

II The numbers verify simultaneously the inequalities a b Risin 5 2log (2 3) log (5 3)a b+ lt minus and 8 5log (5 3) log (8 3)b a+ gt minus

7

MATE ++

Compare a with b

III Calculate in 2R R R= times the following equation 1

819 9 91

y xyx

x yxy

+ + =+ +

Grade XI

1 Let the series cu ( )n nx isinalefsym 1( )( )n n nx x x x+ 1minus + = where 0 (0 )x x isin infin Calculate lim n

n

xnrarrinfin

2 Let abcisinreal şi 2 4b alt c 2 ( )X Misin real Prove that 2 22 2 det( ) 0O aX bX cI aX bX cI2= + + hArr + + =

3 Calculate a) 1 2 3 lim n

nn nrarrinfin

+ + + + b)

11

2 1

1 2 3 2lim log 1 2

nn

nn

+

+rarrinfin

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Grade XII 1 a) For any natural prime number p we notate pZ the field of the classes of remaindersof integers modulo p On the field

p pZ Zlowast times is defined the operation ( ) ( ) ( ) x y x y x x x y yprime prime prime prime primeoplus = sdot sdot + Prove that ( )p pZ Zlowast times oplus is a group

prof Vasile Țifui b) Let ( be a group and a b so that b a Prove that ) Gisin a bsdot = sdot a b eG sdot 2008 2009 2008 2008a b b asdot = sdot 2008 2009 2008 2008 = =

) where

is the neuter element of the group ( prof Adrian Sandovici e G sdot

2 Determine a recurrent relation for cos sinnnI x nxdx= sdotint n N lowastisin

3 Let f R Rrarr be a continuous function and let F R Rrarr a primitive of it so that ( ) ( )2008 2009f x F xsdot minus = for any

x Risin a) Prove that ( ) ( )2008F x F x csdot minus = for any x Risin when is a strictly positive constant b) Determine all the functions that satisfy the condition given prof Adrian Sandovici

c

Marking schemes Grade IV I 1 a) 3 points b) 4 points a) [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 =20 (06p) [10 + 10 x (a ndash 10)] = 20 x 10 = 200 (06p) 10 x (a ndash 10) = 200 ndash 10 = 190 (06p) a ndash 10 = 190 10 = 19 (06p) a = 19 + 10 = 29 (06p) b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 ndash 0 = 126 + 9 x a (1p) 18 x a ndash 18 x 5 ndash 17 = 126 + 9 x a (1p) 9 x a = 126 + 90 (05p) 9 x a = 216 (05p) a = 216 9 (05p) a = 24 (05p) II a) m = 3 x (5 1 ndash 2) = 9 (1p) n = (5 + 1) x 2 ndash 3 = 9 (1p) the 1st number the 2nd number 4 the 3rd number 8 164 helliphellip (15p) the 4th number 12 164 ndash 24 = 140 (7 times the first number) (1p) 140 7 = 20 (1st number) (1p) 20 + 4 = 24 (2nd number) (05p) 2 x 20+8 = 48 (3rd number) (05p) 3 x 20+12 = 72 (4th number) (05p) III a) I a = number of geese horses hen turkeys or hens

2 x a + 4 x a + 2 x a + 2 x a =400 (05p) 10 x a = 400 (05p) a = 400 10 (05p) a = 40 hens (05p) II or through the graphic method number of geesersquos feet Number of horsesrsquo feet Number of hen turkeysrsquo feet 400 feet Number of hensrsquo feet number of geesersquos feet= 400 10 2 = 80 Number of horsesrsquo feet= 40010 4 = 160 Number of hen turkeysrsquo feet = 400 10 2 = 80 Number of hensrsquo feet = 400 10 2 = 80 Topic IV Price of a muffler = f price of a cap = cprice of a blouse = b (05p) f = 18 lei + c (1p) b = f + 2c (05p) b = 18 lei + 3c (05p) 3c + f +2 x (18 + 3c) = 3c + f + 36 + 6c = 954 (05p) 3c + (18 + c) + 36 + 6c = 954 (05p) c = 900 10 = 90 (05p) f = 108 (05p) b= 288 (05p) Grade V 1 ab may be 01 12 23 34 hellip 89 (2p) ba is 43 (3p) Year of birth 1934 (1p) Final 2008 (1p)

2 2008 2009 1004 20092

a sdot= = sdot (1p) b (1p) 2008 2007 rest 2007= 2008 2007 2007b = sdot + (05p) b (05p)

(1p)

2007 2009= sdot

2 2009a bminus = ( ) ( ) ( )2008 2007 2007 2007 20072009 2009 1004 2009 1 2009 2009 1 = minus + + minus + + + + + ( )20072009 1004+ (3p)

8

Examene și concursuri

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4cd ab ab= minus 25 (2p) 25ab = şi 0c d= = (2p) The number is 2500 (1p)

Grade VI 1 a) 20b 36c and 222 are divisible by 2 so a (prime number) is divisible by 2rArr a=2 (2p) We get 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b and 55 are divisible by 5 rArr 9c divisible by 5 (c prime number) rArr c=5 (1p) We get 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 is odd number so one of the terms of the sum is even and the other one is odd (1p) if the first term is odd then y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) If the second term is odd then x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notating y the measure of the angle we get 90 2180

y xy abc

minus=

minus(1p) 2x

abc the greatest fraction so 2x is the greatest possible and

abc the least possible (2p) 2x prime number so it is 29 (1p) abc the least multiple of 29 which is 116 (1p) 2 14

xabc

=

(1p) 90 1180 4

yy

minus=

minus and we get y=60deg (1p)

3 a) Figure (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg so it is constant (it does not depend on a) (1p) b) (OD bisector rArr m(AOD)=m(COD) (1p) subtracting from 180deg we get the conclusion (1p) c) there are 6 angles around point O If we remove AOB and BOC which sum up 90deg then it will remain 4 angles that sum up 270deg rArr at least one of them measures more than 2704=67deg30` so it is greater than 65deg (2p) Grade VII I a) the equation does not have solutions

(1p)4x lt

2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 33 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus So (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIV Figure (1p) Supporting figure (2p) Supporting figure (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

( )MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Grade VIII 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) (1p) ( )2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus = 23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 or 1 or 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 or 2 or 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Constructing the perpendicular according to the Theorem of the 3 perpendiculars (1p) Calculating the distance (1p) c) Determining the intersection line of the planes (1p) Constructing the perpendicular (1p) Calculating the distance (1p) Grade IX 1 ldquolArrrdquo ΔABC is equilateral hArr a=b=c So ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

because (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo If I is the centre of the circle within the triangle then any point M on the plane of the triangle verifies

(1 )MI a MA b MB ca b c

= sdot + sdot + sdot+ +

MC (1p) If M=G we get (1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

) (1p) and knowing that

then (1p) So G=I which means that the triangle is equilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 We apply successively Hermitersquos identity [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) for numbers 2 2008 2 2 2x x x x and we get

9

MATE ++

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

If we sum up the above identities we get the expression [ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 2

2 2 2 2x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2p) which leads to the identity given

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

So 14

x = minus şi 14

y = (1p) The triplet that verifies the given expression 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ in which zgt0 is arbitrary (1p)

GRADE X I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) for 1 0z = then 2 0z = and reciprocal (1p)

for 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducing to absurd 1 2 2z z gt rArr contradiction (1p)

b) taking into account a) we choose for instance 1 1z = and we resolve the equation 2 21 z z+ = (3p)

II Supposing that then (1p) Be a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minusa5log (2 3)aA = + and

and 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a aB = minus rArr + = A 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

2 35 2 3 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

1 a (2p) Analogously we get 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b+ ge + gt minus resulting that 1a lt

contradiction (1p)So a blt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) So

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

The equality is true for 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p)

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ etapa locală

24 IANUARIE 2009 Clasa a IX-a

1 Dacă atunci 0a b c gt 2 2 2 2 2 2

1 1 1 a b b c c aa b ca b b c c a

+ + ++ + le + +

+ + +

2 Să se rezolve icircn real ecuaţia [ ] 25 5 10 25 13x x x x+ + + + + + = unde [ ]a este partea icircntreagă a numărului a Vasile Tarciniu Odobeşti Vrancea GM 92007

3 Arătaţi că şirul ( ) 1n na

ge este o progresie aritmetică de raţie 0r ne dacă şi numai dacă

1 2 2 3 1 1

1 1 1 n n n

na a a a a a a aminus

1minus+ + + = oricare ar fi n isinalefsym

4 Icircn triunghiul ABC fie icircnălţimea CD mediana ( ) D ABisin ( )AM M BCisin şi bisectoarea ( ) BE E ACisin

Dacă 1BD BDBA BC

+ = arătaţi că dreptele CD AM şi BE sunt concurente

Clasa a X-a

1 Arătaţi că a) 1n + ndash n lt 12 n

lt n ndash 1n minus 1nforall ge

b) 1 1 11 882 3 2000

⎡+ + + + =⎢

⎣ ⎦

⎤⎥ [ ]a reprezintă partea icircntreagă

2 a) Rezolvaţi ecuaţia 3 1 7x xminus + + = 2

10

Examene și concursuri

b) Să se arate că log ( ) log ( ) log ( ) 3 12 2 2x y z

y z x z x y x y z+ + ++ + ge forall gt

c) Să se arate că dacă abcgt1 abc=100 atunci 195lg 2 5lg 2 5lg 22

a b c+ + + + + lt

prof Roșu Elena

3 Dacă a şi R z C n Nisin isin isin1 2coszz

+ = a calculaţi 1nnz

z+

4 Fie C astfel icircncacirct 1 2 3 z z z isin 1 2 36 8 10z z z= = = şi 1 2 3 0z z z+ + = Să se arate că 2 21 264 36 0z z+ =

Clasa a XI-a

1 Fie agt0 astfel icircncacirct 0x isin real 30x age Considerăm şirul definit prin 0( )n nx ge 1 2

1 23n n

n

ax xx+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ nforall isinalefsym

Demonstraţi că este convergent şi că 0( )n nx ge3lim nn

x ararrinfin

=

2 Să se determine mulţimea A= ( ) 2lim 1 3x

a x ax xrarrinfin

isinreal exist + minus + + iar pentru a=1 să se calculeze l= ( )2lim 1 3 x

x x xrarrinfin

+ minus + +

3 Fie 2 ( )A B M Risin cu proprietatea că astfel icircncacirct n Nexist isin 2( )nAB BA Iminus =

Să se demonstreze că

a) 42( )AB BA Iminus = b) n este par

4 Fie Arătaţi că 2 2 2 1a b c

A c a b a b c a b cb c a

⎛ ⎞⎜ ⎟= isin real +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = det( ) 1A le

Clasa a XII-a

1 a) Să se calculeze 2

4 2

13 1

x dxx x

minus+ +int xgt0 b) Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru

( 1)

nx

n x n

eI dxe

=+int n xisinalefsym isin real

2 Să se determine toate funcţiile care admit primitive şi cu proprietatea că există o primitivă F real rarr astfel incacirct 2 F(x) = x

f real rarr real real3 2( ( ) )f x x xminus minus x isinreal

3 a) Determinaţi grupul (G ) ştiind că funcţia f (0 infin ) G f(x)= 11

xx

minus+

realizează un izomorfism icircntre grupurile ( +real sdot ) si

(G ) b) Icircn grupul (G ) calculaţi 2

1 1 17 17 2 1n minus

cu n isinalefsym n 2ge

4 Fie (G bull) grup si a G Dacă 3 3a x x abull = bull x Gforall isin să se arate ca grupul este comutativ

MODEL DE SUBIECT pentru admiterea icircn clasa a V-a

prof Elena Roşu 1 Efectuaţi

a) 30 + 32 8 + 5 times [8 times (20 2 ndash 70 10)] 2 b) 7 + 0 ndash 5 times 0 + 10 1

2 a) Se dă exerciţiul 5 times 4 2 + 8 ndash 2 Aşezați corespunzător parantezele pentru a obţine rezultatul zero b) Aflaţi termenul necunoscut a din egalitatea 10 times a ndash 10 times [362 ndash 10 times (24 + 24 4)] = 100

3 Icircntr-o zi 12 băieţi și 6 fete din clasa a IV-a au cules 150 kg cireşe A doua zi 24 de băieţi și 13 fete au cules 305 kg cireşe Cacircte kilograme de cireşe culege icircn medie o fată pe zi și cacircte un băiat

PROBA SCRISĂ pentru admiterea icircn clasa a V-a

24 mai 2008 prof Sergiu Nistor

Subiecte (30p) 1 Calculați știind că ( ) ( )1 1y x+ + ( )4 2 6 3 20xsdot + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ și ( )80 45 9 2 63yminus minus minus sdot =⎡ ⎤⎣ ⎦ (30p) 2 Din 2008 se scade un număr și se obține triplul numărului scăzut Găsiți numărul (30p) 3 Două persoane au fiecare cacircte 540 lei Prima persoană cheltuiește 6 lei pe zi iar a doua persoană cheltuiește 9 lei pe zi După cacircte zile suma pe care o are prima persoană este dublul sumei pe care o are a doua persoană Bareme 1 (3p) (3p) (3p) ( )2 6 3 5x+ + = ( )6 3x+ = 3 96 x+ = 3x = (3p) ( )45 9 2 17yminus minus sdot = (3p) (3p) ( )9 2 28y minus sdot =

9 14y minus = (3p) (3p) (3p) 23y = 1 24 1 4y x+ = + = ( ) ( )1 1 6y x+ + = (3p) 2 2008 3x xminus = sdot (10p) 2008 4x= (10p) (10p) 502x =

11

MATE ++

3 ( )540 6 2 540 9x xminus sdot = sdot minus sdot (10p) 540 5 1080 18x xminus sdot = minus sdot (5p) 540 12 x= sdot (10p) 45x = (5p)

MODELE DE TEZĂ CU SUBIECT UNIC LA DISCIPLINA MATEMATICĂ Clasa a VII-a semestrul II

prof Sergiu Nistor SUBIECTUL I (50 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele 4p 1 a) Rezultatul calculului 3( ) x x x+ este 4p b) Soluţia ecuaţiei este 2 ( 3) 2( 1)x x xminus + = + +4p c) Se dă ecuaţia Valoarea lui m pentru care ecuaţia nu are soluţii este ( 8) 6 9 m x m R xminus + = isin isin R

4p 2 a) Dacă 2 5x y+ = + şi 5 1z w+ = + atunci xw yw xz yz+ + + =

4p b) Dacă x Risin astfel icircncacirct 1 8xx

+ = atunci 22

1xx

+ =

4p c) Dacă x Risin atunci cea mai mică valoare a numărului 2 2 3x x+ + este 4p 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD 5p b) Dacă triunghiul dreptunghic ABC are catetele 5AB cm= şi 3AC cm= atunci lungimea icircnălţimii din A este egală cu 5p c) O catetă a unui triunghi dreptunghic isoscel este de lungime 8 cm Icircnălţimea dusă din unghiul drept are lungimea 4p 4 a) Fie rombul ABCD Dacă 8AC cm= 6BD cm= atunci AB cm= 4p b) Fie dreptunghiul ABCD icircn care Distanţa de la B la AC este decm 16 cos( ) 08AB cm BAC= =

0

4p c) Dacă laturile unui triunghi au lungimile de 12cm 16cm şi 20cm atunci triunghiul este SUBIECTUL II (40 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete 5p 1 a) Aflaţi numerele reale x şi y dacă 2 24 4 6 10x y x y+ + minus + =

5p b) Demonstraţi identitatea 3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + minus = + + + + minus minus minus x y z Risin

5p c) Dacă x y z Zisin şi demonstraţi că 0x y z+ + = 3 3 3x y z+ + se divide cu 3

5p 2 a) Dacă demonstraţi că 0 0x ygt gt2

x y xy+ge C

A B

D 5p b) Determinaţi a b astfel icircncacirct 0 0gt gt1 4b aab

a b ab+ + + =

5p 3 Icircn figura alăturată ABC este triunghi dreptunghic AD BCperp iar

( )D BCisin40AB c= m

Ştiind că 34

CDAD

= se cere

5p a) Să se arate că 2

2 AB BDDCAC

=

5p b) Să se calculeze sin( )ABC lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Clasa a VIII-a semestrul II prof Ciprian Neţa

SUBIECTUL I ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele (50 puncte) 1 4p a) Soluţia ecuaţiei 2(x+3)+5=7 este x= hellip 4p b) Soluţia ecuaţiei (x+2)3=12 este x=hellip 4p c) Valoarea numărului a pentru care ecuaţia (a+2)x+3=11 are soluţia x=4 este hellip 2 Fie funcţia fRrarrR f(x)= ndash3x+7 4p a) Valoarea funcţiei pentru x= ndash1 este hellip 4p b) Rezultatul calculului f( 3 )middotf(ndash 3 ) este hellip 4p c) Dacă punctul A este intersecţia graficului funcţiei cu axa Ox atunci suma coordonatelor acestuia este hellip 3 Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB = 8 cm ArsquoBrsquo=4 cm şi AArsquo=6cm 4p a) Lungimea icircnălţimii trunchiului este hellip cm 4p b) Suma tuturor muchiilor trunchiului este hellip cm 4p c) Lungimea segmentului AV unde V este intersecţia muchiilor laterale este = hellip cm 4 Paralelipipedul dreptunghic ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB=4 cm AD=6 cm şi AArsquo=8 cm 4p a) Aria totală a paralelipipedului este hellip

4p b) Volumul paralelipipedului este 4p c) Lungimea diagonalei paralelipipedului este

12

Examene și concursuri

Subiectul II ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete (40 puncte) 1 Fie funcţia fRrarrR f(x)=ax+2(andash1) unde a este un parametru real

5p a) Determinaţi aisinR pentru care punctul A(210) se află pe reprezentarea grafică a funcţiei 5p b) Pentru a=3 reprezentaţi grafic funcţia icircntr-un sistem de axe perpendiculare xOy 5p c) Calculaţi raportul dintre ariile triunghiurilor ΔABC şi ΔCOD unde B este proiecţia punctului A pe axa Oy iar D şi C

sunt intersecţiile graficului funcţiei f cu axele Ox şi respectiv Oy 2 Dintre cei 25 de elevi din clasa a VIII-a din Colegiul Naţional de Informatică au participat la teza cu subiect unic

disciplina matematică din semestrul II doar 24 de elevi unul fiind bolnav Media aritmetica a notelor obţinute de că-tre cei 24 de elevi a fost 825 Ce notă a luat la teză icircn sesiunea specială cel de-al 25-lea elev ştiind că media aritme-tică a notelor tuturor cei 25 de elevi a fost 829

3 Piramida triunghiulară regulată ABCD are latura bazei ABC AB=8 cm şi muchia laterală de 6 cm 5p a) Realizaţi un desen corespunzător ipotezei pe care icircl completaţi cu apotema DM Misin(BC) 5p b) Determinaţi volumul piramidei 5p c) Calculaţi tangenta unghiului format de AM cu planul (DAC) lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat M1

prof Laurențiu Borcea Subiectul I (30p) 5p 1 Să se calculeze ( )162 2i+

5p 2 Să se rezolve ecuaţia 3 8 0z iminus =

5p 3 Să se rezolve ecuaţia 1 235 125

xx⎛ ⎞ sdot =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

5p 4 Pentru ce valori ale lui x al treilea termen al dezvoltării9

lg

7 2

1 xxx

⎛ ⎞+⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ este 36000

5p 5 Se dau punctele A(ndash13) B(57) şi C(08) Scrieţi ecuaţia icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC 5p 6 Să se calculeze 2 cos10 cos 40 cos50sdot sdot minus Subiectul II (30p)

1 Se consideră sistemul 2 0

0 2 2 0

x y zx y z Rx y z

αα α

α

+ + =⎧⎪ + + = isin⎨⎪ + + =⎩

5p a) Pentru ce valori ale lui α sistemul are soluţie unică 5p b) Să se discute soluţiile sistemului icircn funcţie de valorile parametrului Rα isin 5p c) Pentru 1α = să se rezolve sistemul

2 Se consideră matricea ( )3 8

ˆ ˆ ˆ2 1 4ˆ ˆ ˆ3 2 1ˆ ˆ ˆ6 4 5

A M Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= isin⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5p a) Să se calculeze det A 5p b) Să se arate că A este inversabilă şi să se calculeze 1Aminus

5p c) Să se rezolve icircn 8Z sistemul

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ3 2 4ˆ ˆ ˆˆ6 4 5 1

x y z

x y z

x y

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

2

Subiectul III (30p) 1 Se consideră funcţia 2 ( ) ( ) xf R R f x x mx e m Rminusrarr = + sdot isin 5p a) Calculaţi ( )f x 5p b) Arătaţi că funcţia f admite două puncte de extrem şi doua puncte de inflexiune m Rforall isin

5p c) Calculaţi ( ) ( )0 nf n isin N

2 Se consideră funcţia ( )2

3

2

1 ln 1 ( ) 2 1 1

1

x x xf R R f x x x x

x

⎧ + sdot ge⎪rarr = ⎨ minus +

lt⎪+⎩

13

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

Compare a with b

III Calculate in 2R R R= times the following equation 1

819 9 91

y xyx

x yxy

+ + =+ +

Grade XI

1 Let the series cu ( )n nx isinalefsym 1( )( )n n nx x x x+ 1minus + = where 0 (0 )x x isin infin Calculate lim n

n

xnrarrinfin

2 Let abcisinreal şi 2 4b alt c 2 ( )X Misin real Prove that 2 22 2 det( ) 0O aX bX cI aX bX cI2= + + hArr + + =

3 Calculate a) 1 2 3 lim n

nn nrarrinfin

+ + + + b)

11

2 1

1 2 3 2lim log 1 2

nn

nn

+

+rarrinfin

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Grade XII 1 a) For any natural prime number p we notate pZ the field of the classes of remaindersof integers modulo p On the field

p pZ Zlowast times is defined the operation ( ) ( ) ( ) x y x y x x x y yprime prime prime prime primeoplus = sdot sdot + Prove that ( )p pZ Zlowast times oplus is a group

prof Vasile Țifui b) Let ( be a group and a b so that b a Prove that ) Gisin a bsdot = sdot a b eG sdot 2008 2009 2008 2008a b b asdot = sdot 2008 2009 2008 2008 = =

) where

is the neuter element of the group ( prof Adrian Sandovici e G sdot

2 Determine a recurrent relation for cos sinnnI x nxdx= sdotint n N lowastisin

3 Let f R Rrarr be a continuous function and let F R Rrarr a primitive of it so that ( ) ( )2008 2009f x F xsdot minus = for any

x Risin a) Prove that ( ) ( )2008F x F x csdot minus = for any x Risin when is a strictly positive constant b) Determine all the functions that satisfy the condition given prof Adrian Sandovici

c

Marking schemes Grade IV I 1 a) 3 points b) 4 points a) [10 + 10 x (a ndash 10)] 10 =20 (06p) [10 + 10 x (a ndash 10)] = 20 x 10 = 200 (06p) 10 x (a ndash 10) = 200 ndash 10 = 190 (06p) a ndash 10 = 190 10 = 19 (06p) a = 19 + 10 = 29 (06p) b) 18 x (a ndash 5) ndash 17 ndash 0 = 126 + 9 x a (1p) 18 x a ndash 18 x 5 ndash 17 = 126 + 9 x a (1p) 9 x a = 126 + 90 (05p) 9 x a = 216 (05p) a = 216 9 (05p) a = 24 (05p) II a) m = 3 x (5 1 ndash 2) = 9 (1p) n = (5 + 1) x 2 ndash 3 = 9 (1p) the 1st number the 2nd number 4 the 3rd number 8 164 helliphellip (15p) the 4th number 12 164 ndash 24 = 140 (7 times the first number) (1p) 140 7 = 20 (1st number) (1p) 20 + 4 = 24 (2nd number) (05p) 2 x 20+8 = 48 (3rd number) (05p) 3 x 20+12 = 72 (4th number) (05p) III a) I a = number of geese horses hen turkeys or hens

2 x a + 4 x a + 2 x a + 2 x a =400 (05p) 10 x a = 400 (05p) a = 400 10 (05p) a = 40 hens (05p) II or through the graphic method number of geesersquos feet Number of horsesrsquo feet Number of hen turkeysrsquo feet 400 feet Number of hensrsquo feet number of geesersquos feet= 400 10 2 = 80 Number of horsesrsquo feet= 40010 4 = 160 Number of hen turkeysrsquo feet = 400 10 2 = 80 Number of hensrsquo feet = 400 10 2 = 80 Topic IV Price of a muffler = f price of a cap = cprice of a blouse = b (05p) f = 18 lei + c (1p) b = f + 2c (05p) b = 18 lei + 3c (05p) 3c + f +2 x (18 + 3c) = 3c + f + 36 + 6c = 954 (05p) 3c + (18 + c) + 36 + 6c = 954 (05p) c = 900 10 = 90 (05p) f = 108 (05p) b= 288 (05p) Grade V 1 ab may be 01 12 23 34 hellip 89 (2p) ba is 43 (3p) Year of birth 1934 (1p) Final 2008 (1p)

2 2008 2009 1004 20092

a sdot= = sdot (1p) b (1p) 2008 2007 rest 2007= 2008 2007 2007b = sdot + (05p) b (05p)

(1p)

2007 2009= sdot

2 2009a bminus = ( ) ( ) ( )2008 2007 2007 2007 20072009 2009 1004 2009 1 2009 2009 1 = minus + + minus + + + + + ( )20072009 1004+ (3p)

8

Examene și concursuri

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4cd ab ab= minus 25 (2p) 25ab = şi 0c d= = (2p) The number is 2500 (1p)

Grade VI 1 a) 20b 36c and 222 are divisible by 2 so a (prime number) is divisible by 2rArr a=2 (2p) We get 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b and 55 are divisible by 5 rArr 9c divisible by 5 (c prime number) rArr c=5 (1p) We get 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 is odd number so one of the terms of the sum is even and the other one is odd (1p) if the first term is odd then y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) If the second term is odd then x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notating y the measure of the angle we get 90 2180

y xy abc

minus=

minus(1p) 2x

abc the greatest fraction so 2x is the greatest possible and

abc the least possible (2p) 2x prime number so it is 29 (1p) abc the least multiple of 29 which is 116 (1p) 2 14

xabc

=

(1p) 90 1180 4

yy

minus=

minus and we get y=60deg (1p)

3 a) Figure (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg so it is constant (it does not depend on a) (1p) b) (OD bisector rArr m(AOD)=m(COD) (1p) subtracting from 180deg we get the conclusion (1p) c) there are 6 angles around point O If we remove AOB and BOC which sum up 90deg then it will remain 4 angles that sum up 270deg rArr at least one of them measures more than 2704=67deg30` so it is greater than 65deg (2p) Grade VII I a) the equation does not have solutions

(1p)4x lt

2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 33 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus So (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIV Figure (1p) Supporting figure (2p) Supporting figure (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

( )MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Grade VIII 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) (1p) ( )2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus = 23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 or 1 or 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 or 2 or 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Constructing the perpendicular according to the Theorem of the 3 perpendiculars (1p) Calculating the distance (1p) c) Determining the intersection line of the planes (1p) Constructing the perpendicular (1p) Calculating the distance (1p) Grade IX 1 ldquolArrrdquo ΔABC is equilateral hArr a=b=c So ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

because (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo If I is the centre of the circle within the triangle then any point M on the plane of the triangle verifies

(1 )MI a MA b MB ca b c

= sdot + sdot + sdot+ +

MC (1p) If M=G we get (1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

) (1p) and knowing that

then (1p) So G=I which means that the triangle is equilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 We apply successively Hermitersquos identity [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) for numbers 2 2008 2 2 2x x x x and we get

9

MATE ++

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

If we sum up the above identities we get the expression [ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 2

2 2 2 2x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2p) which leads to the identity given

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

So 14

x = minus şi 14

y = (1p) The triplet that verifies the given expression 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ in which zgt0 is arbitrary (1p)

GRADE X I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) for 1 0z = then 2 0z = and reciprocal (1p)

for 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducing to absurd 1 2 2z z gt rArr contradiction (1p)

b) taking into account a) we choose for instance 1 1z = and we resolve the equation 2 21 z z+ = (3p)

II Supposing that then (1p) Be a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minusa5log (2 3)aA = + and

and 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a aB = minus rArr + = A 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

2 35 2 3 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

1 a (2p) Analogously we get 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b+ ge + gt minus resulting that 1a lt

contradiction (1p)So a blt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) So

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

The equality is true for 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p)

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ etapa locală

24 IANUARIE 2009 Clasa a IX-a

1 Dacă atunci 0a b c gt 2 2 2 2 2 2

1 1 1 a b b c c aa b ca b b c c a

+ + ++ + le + +

+ + +

2 Să se rezolve icircn real ecuaţia [ ] 25 5 10 25 13x x x x+ + + + + + = unde [ ]a este partea icircntreagă a numărului a Vasile Tarciniu Odobeşti Vrancea GM 92007

3 Arătaţi că şirul ( ) 1n na

ge este o progresie aritmetică de raţie 0r ne dacă şi numai dacă

1 2 2 3 1 1

1 1 1 n n n

na a a a a a a aminus

1minus+ + + = oricare ar fi n isinalefsym

4 Icircn triunghiul ABC fie icircnălţimea CD mediana ( ) D ABisin ( )AM M BCisin şi bisectoarea ( ) BE E ACisin

Dacă 1BD BDBA BC

+ = arătaţi că dreptele CD AM şi BE sunt concurente

Clasa a X-a

1 Arătaţi că a) 1n + ndash n lt 12 n

lt n ndash 1n minus 1nforall ge

b) 1 1 11 882 3 2000

⎡+ + + + =⎢

⎣ ⎦

⎤⎥ [ ]a reprezintă partea icircntreagă

2 a) Rezolvaţi ecuaţia 3 1 7x xminus + + = 2

10

Examene și concursuri

b) Să se arate că log ( ) log ( ) log ( ) 3 12 2 2x y z

y z x z x y x y z+ + ++ + ge forall gt

c) Să se arate că dacă abcgt1 abc=100 atunci 195lg 2 5lg 2 5lg 22

a b c+ + + + + lt

prof Roșu Elena

3 Dacă a şi R z C n Nisin isin isin1 2coszz

+ = a calculaţi 1nnz

z+

4 Fie C astfel icircncacirct 1 2 3 z z z isin 1 2 36 8 10z z z= = = şi 1 2 3 0z z z+ + = Să se arate că 2 21 264 36 0z z+ =

Clasa a XI-a

1 Fie agt0 astfel icircncacirct 0x isin real 30x age Considerăm şirul definit prin 0( )n nx ge 1 2

1 23n n

n

ax xx+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ nforall isinalefsym

Demonstraţi că este convergent şi că 0( )n nx ge3lim nn

x ararrinfin

=

2 Să se determine mulţimea A= ( ) 2lim 1 3x

a x ax xrarrinfin

isinreal exist + minus + + iar pentru a=1 să se calculeze l= ( )2lim 1 3 x

x x xrarrinfin

+ minus + +

3 Fie 2 ( )A B M Risin cu proprietatea că astfel icircncacirct n Nexist isin 2( )nAB BA Iminus =

Să se demonstreze că

a) 42( )AB BA Iminus = b) n este par

4 Fie Arătaţi că 2 2 2 1a b c

A c a b a b c a b cb c a

⎛ ⎞⎜ ⎟= isin real +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = det( ) 1A le

Clasa a XII-a

1 a) Să se calculeze 2

4 2

13 1

x dxx x

minus+ +int xgt0 b) Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru

( 1)

nx

n x n

eI dxe

=+int n xisinalefsym isin real

2 Să se determine toate funcţiile care admit primitive şi cu proprietatea că există o primitivă F real rarr astfel incacirct 2 F(x) = x

f real rarr real real3 2( ( ) )f x x xminus minus x isinreal

3 a) Determinaţi grupul (G ) ştiind că funcţia f (0 infin ) G f(x)= 11

xx

minus+

realizează un izomorfism icircntre grupurile ( +real sdot ) si

(G ) b) Icircn grupul (G ) calculaţi 2

1 1 17 17 2 1n minus

cu n isinalefsym n 2ge

4 Fie (G bull) grup si a G Dacă 3 3a x x abull = bull x Gforall isin să se arate ca grupul este comutativ

MODEL DE SUBIECT pentru admiterea icircn clasa a V-a

prof Elena Roşu 1 Efectuaţi

a) 30 + 32 8 + 5 times [8 times (20 2 ndash 70 10)] 2 b) 7 + 0 ndash 5 times 0 + 10 1

2 a) Se dă exerciţiul 5 times 4 2 + 8 ndash 2 Aşezați corespunzător parantezele pentru a obţine rezultatul zero b) Aflaţi termenul necunoscut a din egalitatea 10 times a ndash 10 times [362 ndash 10 times (24 + 24 4)] = 100

3 Icircntr-o zi 12 băieţi și 6 fete din clasa a IV-a au cules 150 kg cireşe A doua zi 24 de băieţi și 13 fete au cules 305 kg cireşe Cacircte kilograme de cireşe culege icircn medie o fată pe zi și cacircte un băiat

PROBA SCRISĂ pentru admiterea icircn clasa a V-a

24 mai 2008 prof Sergiu Nistor

Subiecte (30p) 1 Calculați știind că ( ) ( )1 1y x+ + ( )4 2 6 3 20xsdot + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ și ( )80 45 9 2 63yminus minus minus sdot =⎡ ⎤⎣ ⎦ (30p) 2 Din 2008 se scade un număr și se obține triplul numărului scăzut Găsiți numărul (30p) 3 Două persoane au fiecare cacircte 540 lei Prima persoană cheltuiește 6 lei pe zi iar a doua persoană cheltuiește 9 lei pe zi După cacircte zile suma pe care o are prima persoană este dublul sumei pe care o are a doua persoană Bareme 1 (3p) (3p) (3p) ( )2 6 3 5x+ + = ( )6 3x+ = 3 96 x+ = 3x = (3p) ( )45 9 2 17yminus minus sdot = (3p) (3p) ( )9 2 28y minus sdot =

9 14y minus = (3p) (3p) (3p) 23y = 1 24 1 4y x+ = + = ( ) ( )1 1 6y x+ + = (3p) 2 2008 3x xminus = sdot (10p) 2008 4x= (10p) (10p) 502x =

11

MATE ++

3 ( )540 6 2 540 9x xminus sdot = sdot minus sdot (10p) 540 5 1080 18x xminus sdot = minus sdot (5p) 540 12 x= sdot (10p) 45x = (5p)

MODELE DE TEZĂ CU SUBIECT UNIC LA DISCIPLINA MATEMATICĂ Clasa a VII-a semestrul II

prof Sergiu Nistor SUBIECTUL I (50 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele 4p 1 a) Rezultatul calculului 3( ) x x x+ este 4p b) Soluţia ecuaţiei este 2 ( 3) 2( 1)x x xminus + = + +4p c) Se dă ecuaţia Valoarea lui m pentru care ecuaţia nu are soluţii este ( 8) 6 9 m x m R xminus + = isin isin R

4p 2 a) Dacă 2 5x y+ = + şi 5 1z w+ = + atunci xw yw xz yz+ + + =

4p b) Dacă x Risin astfel icircncacirct 1 8xx

+ = atunci 22

1xx

+ =

4p c) Dacă x Risin atunci cea mai mică valoare a numărului 2 2 3x x+ + este 4p 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD 5p b) Dacă triunghiul dreptunghic ABC are catetele 5AB cm= şi 3AC cm= atunci lungimea icircnălţimii din A este egală cu 5p c) O catetă a unui triunghi dreptunghic isoscel este de lungime 8 cm Icircnălţimea dusă din unghiul drept are lungimea 4p 4 a) Fie rombul ABCD Dacă 8AC cm= 6BD cm= atunci AB cm= 4p b) Fie dreptunghiul ABCD icircn care Distanţa de la B la AC este decm 16 cos( ) 08AB cm BAC= =

0

4p c) Dacă laturile unui triunghi au lungimile de 12cm 16cm şi 20cm atunci triunghiul este SUBIECTUL II (40 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete 5p 1 a) Aflaţi numerele reale x şi y dacă 2 24 4 6 10x y x y+ + minus + =

5p b) Demonstraţi identitatea 3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + minus = + + + + minus minus minus x y z Risin

5p c) Dacă x y z Zisin şi demonstraţi că 0x y z+ + = 3 3 3x y z+ + se divide cu 3

5p 2 a) Dacă demonstraţi că 0 0x ygt gt2

x y xy+ge C

A B

D 5p b) Determinaţi a b astfel icircncacirct 0 0gt gt1 4b aab

a b ab+ + + =

5p 3 Icircn figura alăturată ABC este triunghi dreptunghic AD BCperp iar

( )D BCisin40AB c= m

Ştiind că 34

CDAD

= se cere

5p a) Să se arate că 2

2 AB BDDCAC

=

5p b) Să se calculeze sin( )ABC lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Clasa a VIII-a semestrul II prof Ciprian Neţa

SUBIECTUL I ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele (50 puncte) 1 4p a) Soluţia ecuaţiei 2(x+3)+5=7 este x= hellip 4p b) Soluţia ecuaţiei (x+2)3=12 este x=hellip 4p c) Valoarea numărului a pentru care ecuaţia (a+2)x+3=11 are soluţia x=4 este hellip 2 Fie funcţia fRrarrR f(x)= ndash3x+7 4p a) Valoarea funcţiei pentru x= ndash1 este hellip 4p b) Rezultatul calculului f( 3 )middotf(ndash 3 ) este hellip 4p c) Dacă punctul A este intersecţia graficului funcţiei cu axa Ox atunci suma coordonatelor acestuia este hellip 3 Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB = 8 cm ArsquoBrsquo=4 cm şi AArsquo=6cm 4p a) Lungimea icircnălţimii trunchiului este hellip cm 4p b) Suma tuturor muchiilor trunchiului este hellip cm 4p c) Lungimea segmentului AV unde V este intersecţia muchiilor laterale este = hellip cm 4 Paralelipipedul dreptunghic ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB=4 cm AD=6 cm şi AArsquo=8 cm 4p a) Aria totală a paralelipipedului este hellip

4p b) Volumul paralelipipedului este 4p c) Lungimea diagonalei paralelipipedului este

12

Examene și concursuri

Subiectul II ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete (40 puncte) 1 Fie funcţia fRrarrR f(x)=ax+2(andash1) unde a este un parametru real

5p a) Determinaţi aisinR pentru care punctul A(210) se află pe reprezentarea grafică a funcţiei 5p b) Pentru a=3 reprezentaţi grafic funcţia icircntr-un sistem de axe perpendiculare xOy 5p c) Calculaţi raportul dintre ariile triunghiurilor ΔABC şi ΔCOD unde B este proiecţia punctului A pe axa Oy iar D şi C

sunt intersecţiile graficului funcţiei f cu axele Ox şi respectiv Oy 2 Dintre cei 25 de elevi din clasa a VIII-a din Colegiul Naţional de Informatică au participat la teza cu subiect unic

disciplina matematică din semestrul II doar 24 de elevi unul fiind bolnav Media aritmetica a notelor obţinute de că-tre cei 24 de elevi a fost 825 Ce notă a luat la teză icircn sesiunea specială cel de-al 25-lea elev ştiind că media aritme-tică a notelor tuturor cei 25 de elevi a fost 829

3 Piramida triunghiulară regulată ABCD are latura bazei ABC AB=8 cm şi muchia laterală de 6 cm 5p a) Realizaţi un desen corespunzător ipotezei pe care icircl completaţi cu apotema DM Misin(BC) 5p b) Determinaţi volumul piramidei 5p c) Calculaţi tangenta unghiului format de AM cu planul (DAC) lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat M1

prof Laurențiu Borcea Subiectul I (30p) 5p 1 Să se calculeze ( )162 2i+

5p 2 Să se rezolve ecuaţia 3 8 0z iminus =

5p 3 Să se rezolve ecuaţia 1 235 125

xx⎛ ⎞ sdot =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

5p 4 Pentru ce valori ale lui x al treilea termen al dezvoltării9

lg

7 2

1 xxx

⎛ ⎞+⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ este 36000

5p 5 Se dau punctele A(ndash13) B(57) şi C(08) Scrieţi ecuaţia icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC 5p 6 Să se calculeze 2 cos10 cos 40 cos50sdot sdot minus Subiectul II (30p)

1 Se consideră sistemul 2 0

0 2 2 0

x y zx y z Rx y z

αα α

α

+ + =⎧⎪ + + = isin⎨⎪ + + =⎩

5p a) Pentru ce valori ale lui α sistemul are soluţie unică 5p b) Să se discute soluţiile sistemului icircn funcţie de valorile parametrului Rα isin 5p c) Pentru 1α = să se rezolve sistemul

2 Se consideră matricea ( )3 8

ˆ ˆ ˆ2 1 4ˆ ˆ ˆ3 2 1ˆ ˆ ˆ6 4 5

A M Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= isin⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5p a) Să se calculeze det A 5p b) Să se arate că A este inversabilă şi să se calculeze 1Aminus

5p c) Să se rezolve icircn 8Z sistemul

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ3 2 4ˆ ˆ ˆˆ6 4 5 1

x y z

x y z

x y

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

2

Subiectul III (30p) 1 Se consideră funcţia 2 ( ) ( ) xf R R f x x mx e m Rminusrarr = + sdot isin 5p a) Calculaţi ( )f x 5p b) Arătaţi că funcţia f admite două puncte de extrem şi doua puncte de inflexiune m Rforall isin

5p c) Calculaţi ( ) ( )0 nf n isin N

2 Se consideră funcţia ( )2

3

2

1 ln 1 ( ) 2 1 1

1

x x xf R R f x x x x

x

⎧ + sdot ge⎪rarr = ⎨ minus +

lt⎪+⎩

13

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Examene și concursuri

3 2

100 4ab cd ab+ = (1p) ( )4cd ab ab= minus 25 (2p) 25ab = şi 0c d= = (2p) The number is 2500 (1p)

Grade VI 1 a) 20b 36c and 222 are divisible by 2 so a (prime number) is divisible by 2rArr a=2 (2p) We get 20b+36c=220 rArr 5b+9c=55 5b and 55 are divisible by 5 rArr 9c divisible by 5 (c prime number) rArr c=5 (1p) We get 5b+45=55 rArr b=2 (1p) b) 257 is odd number so one of the terms of the sum is even and the other one is odd (1p) if the first term is odd then y=0 rArr 1+2x=257 rArr x=8 (1p) If the second term is odd then x=0 rArr 2y +1=257 rArr y=8 (1p)

2 Notating y the measure of the angle we get 90 2180

y xy abc

minus=

minus(1p) 2x

abc the greatest fraction so 2x is the greatest possible and

abc the least possible (2p) 2x prime number so it is 29 (1p) abc the least multiple of 29 which is 116 (1p) 2 14

xabc

=

(1p) 90 1180 4

yy

minus=

minus and we get y=60deg (1p)

3 a) Figure (1p) m(AOD)+m(COD)=270deg (1p) m(MOD)+m(NOD)=135deg so it is constant (it does not depend on a) (1p) b) (OD bisector rArr m(AOD)=m(COD) (1p) subtracting from 180deg we get the conclusion (1p) c) there are 6 angles around point O If we remove AOB and BOC which sum up 90deg then it will remain 4 angles that sum up 270deg rArr at least one of them measures more than 2704=67deg30` so it is greater than 65deg (2p) Grade VII I a) the equation does not have solutions

(1p)4x lt

2 2 24 2 3 4 2 3 4 2 3 4 0x x x x x x x x xgt rArr minus + = minus hArr minus + = minus hArr = minus lt hArr isinempty (2p)

b) 1 2 352 1 3 1 7

x y yx y x

+ = + hArr = minus+ + +

6 (2p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 36 29 58 117 296x y x y+ sdot minus = hArr isin (2p)

II a) 12

1 1

11 01 1

aa

a a= minus = gt

+ + (2p) 1 2

31 2

01

a aa

a a= gt

+ 1 2 2007

20081 2 2007

0

1a a a

aa a a

= gt+

(2p)

b) (1p) helliphelliphelliphellip (1p) 2 1 1a a a a= minus 2 33 1 2 1 2a a a a a a= minus 2008 1 2 2007 1 2 2008 a a a a a a a= minus So (1p) 1 2 2008 1 2 2008 1 1a a a a a a+ + + = minus ltIV Figure (1p) Supporting figure (2p) Supporting figure (2p)

GH BC G AB H ACisin isin GI AC I PQisin

( )MGI MHQ ULUΔ equiv Δ (2p) MQ MI MP= lt (1p) Grade VIII 1 (1p) 7n mminus ge 7 7m n n mminus + = minus minus (2p) (1p) ( )2 2 10 18 106 0m n m n+ + minus + = ( )2 25 9m n 0+ + minus = (2p)

[ ] [ ] 5m n = minus 9 (1p)

2 a) (1p) 3 2 0x yminus = 23

xy

= (1p)

b) ( ) ( )2 2 3 2x a ax bminus + minus minus = 0x

(1p) 2b a

x a= minus⎧

⎨ = plusmn⎩ (1p) (15p)

21 or 1 or 0

b axI x x

x a= minus⎧

rArr = = minus =⎨ =⎩x

21 or 2 or 0

b axII x x x

x a= minus⎧

rArr = plusmn = plusmn =⎨ = minus⎩ (15p)

3 a) 1 2

NCA N

= (2p)

b) Constructing the perpendicular according to the Theorem of the 3 perpendiculars (1p) Calculating the distance (1p) c) Determining the intersection line of the planes (1p) Constructing the perpendicular (1p) Calculating the distance (1p) Grade IX 1 ldquolArrrdquo ΔABC is equilateral hArr a=b=c So ( ) 0a GA b GB c GC a GA GB GC asdot + sdot + sdot = + + = sdot (1p)

because (2p) 0GA GB GC+ + =ldquorArrrdquo If I is the centre of the circle within the triangle then any point M on the plane of the triangle verifies

(1 )MI a MA b MB ca b c

= sdot + sdot + sdot+ +

MC (1p) If M=G we get (1GI a GA b GB c GCa b c

= sdot + sdot + sdot+ +

) (1p) and knowing that

then (1p) So G=I which means that the triangle is equilateral (1p) 0a GA b GB c GCsdot + sdot + sdot = 0GI =

2 We apply successively Hermitersquos identity [ ] [ ]1 22

x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦x (2p) for numbers 2 2008 2 2 2x x x x and we get

9

MATE ++

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

If we sum up the above identities we get the expression [ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 2

2 2 2 2x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2p) which leads to the identity given

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

So 14

x = minus şi 14

y = (1p) The triplet that verifies the given expression 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ in which zgt0 is arbitrary (1p)

GRADE X I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) for 1 0z = then 2 0z = and reciprocal (1p)

for 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducing to absurd 1 2 2z z gt rArr contradiction (1p)

b) taking into account a) we choose for instance 1 1z = and we resolve the equation 2 21 z z+ = (3p)

II Supposing that then (1p) Be a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minusa5log (2 3)aA = + and

and 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a aB = minus rArr + = A 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

2 35 2 3 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

1 a (2p) Analogously we get 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b+ ge + gt minus resulting that 1a lt

contradiction (1p)So a blt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) So

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

The equality is true for 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p)

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ etapa locală

24 IANUARIE 2009 Clasa a IX-a

1 Dacă atunci 0a b c gt 2 2 2 2 2 2

1 1 1 a b b c c aa b ca b b c c a

+ + ++ + le + +

+ + +

2 Să se rezolve icircn real ecuaţia [ ] 25 5 10 25 13x x x x+ + + + + + = unde [ ]a este partea icircntreagă a numărului a Vasile Tarciniu Odobeşti Vrancea GM 92007

3 Arătaţi că şirul ( ) 1n na

ge este o progresie aritmetică de raţie 0r ne dacă şi numai dacă

1 2 2 3 1 1

1 1 1 n n n

na a a a a a a aminus

1minus+ + + = oricare ar fi n isinalefsym

4 Icircn triunghiul ABC fie icircnălţimea CD mediana ( ) D ABisin ( )AM M BCisin şi bisectoarea ( ) BE E ACisin

Dacă 1BD BDBA BC

+ = arătaţi că dreptele CD AM şi BE sunt concurente

Clasa a X-a

1 Arătaţi că a) 1n + ndash n lt 12 n

lt n ndash 1n minus 1nforall ge

b) 1 1 11 882 3 2000

⎡+ + + + =⎢

⎣ ⎦

⎤⎥ [ ]a reprezintă partea icircntreagă

2 a) Rezolvaţi ecuaţia 3 1 7x xminus + + = 2

10

Examene și concursuri

b) Să se arate că log ( ) log ( ) log ( ) 3 12 2 2x y z

y z x z x y x y z+ + ++ + ge forall gt

c) Să se arate că dacă abcgt1 abc=100 atunci 195lg 2 5lg 2 5lg 22

a b c+ + + + + lt

prof Roșu Elena

3 Dacă a şi R z C n Nisin isin isin1 2coszz

+ = a calculaţi 1nnz

z+

4 Fie C astfel icircncacirct 1 2 3 z z z isin 1 2 36 8 10z z z= = = şi 1 2 3 0z z z+ + = Să se arate că 2 21 264 36 0z z+ =

Clasa a XI-a

1 Fie agt0 astfel icircncacirct 0x isin real 30x age Considerăm şirul definit prin 0( )n nx ge 1 2

1 23n n

n

ax xx+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ nforall isinalefsym

Demonstraţi că este convergent şi că 0( )n nx ge3lim nn

x ararrinfin

=

2 Să se determine mulţimea A= ( ) 2lim 1 3x

a x ax xrarrinfin

isinreal exist + minus + + iar pentru a=1 să se calculeze l= ( )2lim 1 3 x

x x xrarrinfin

+ minus + +

3 Fie 2 ( )A B M Risin cu proprietatea că astfel icircncacirct n Nexist isin 2( )nAB BA Iminus =

Să se demonstreze că

a) 42( )AB BA Iminus = b) n este par

4 Fie Arătaţi că 2 2 2 1a b c

A c a b a b c a b cb c a

⎛ ⎞⎜ ⎟= isin real +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = det( ) 1A le

Clasa a XII-a

1 a) Să se calculeze 2

4 2

13 1

x dxx x

minus+ +int xgt0 b) Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru

( 1)

nx

n x n

eI dxe

=+int n xisinalefsym isin real

2 Să se determine toate funcţiile care admit primitive şi cu proprietatea că există o primitivă F real rarr astfel incacirct 2 F(x) = x

f real rarr real real3 2( ( ) )f x x xminus minus x isinreal

3 a) Determinaţi grupul (G ) ştiind că funcţia f (0 infin ) G f(x)= 11

xx

minus+

realizează un izomorfism icircntre grupurile ( +real sdot ) si

(G ) b) Icircn grupul (G ) calculaţi 2

1 1 17 17 2 1n minus

cu n isinalefsym n 2ge

4 Fie (G bull) grup si a G Dacă 3 3a x x abull = bull x Gforall isin să se arate ca grupul este comutativ

MODEL DE SUBIECT pentru admiterea icircn clasa a V-a

prof Elena Roşu 1 Efectuaţi

a) 30 + 32 8 + 5 times [8 times (20 2 ndash 70 10)] 2 b) 7 + 0 ndash 5 times 0 + 10 1

2 a) Se dă exerciţiul 5 times 4 2 + 8 ndash 2 Aşezați corespunzător parantezele pentru a obţine rezultatul zero b) Aflaţi termenul necunoscut a din egalitatea 10 times a ndash 10 times [362 ndash 10 times (24 + 24 4)] = 100

3 Icircntr-o zi 12 băieţi și 6 fete din clasa a IV-a au cules 150 kg cireşe A doua zi 24 de băieţi și 13 fete au cules 305 kg cireşe Cacircte kilograme de cireşe culege icircn medie o fată pe zi și cacircte un băiat

PROBA SCRISĂ pentru admiterea icircn clasa a V-a

24 mai 2008 prof Sergiu Nistor

Subiecte (30p) 1 Calculați știind că ( ) ( )1 1y x+ + ( )4 2 6 3 20xsdot + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ și ( )80 45 9 2 63yminus minus minus sdot =⎡ ⎤⎣ ⎦ (30p) 2 Din 2008 se scade un număr și se obține triplul numărului scăzut Găsiți numărul (30p) 3 Două persoane au fiecare cacircte 540 lei Prima persoană cheltuiește 6 lei pe zi iar a doua persoană cheltuiește 9 lei pe zi După cacircte zile suma pe care o are prima persoană este dublul sumei pe care o are a doua persoană Bareme 1 (3p) (3p) (3p) ( )2 6 3 5x+ + = ( )6 3x+ = 3 96 x+ = 3x = (3p) ( )45 9 2 17yminus minus sdot = (3p) (3p) ( )9 2 28y minus sdot =

9 14y minus = (3p) (3p) (3p) 23y = 1 24 1 4y x+ = + = ( ) ( )1 1 6y x+ + = (3p) 2 2008 3x xminus = sdot (10p) 2008 4x= (10p) (10p) 502x =

11

MATE ++

3 ( )540 6 2 540 9x xminus sdot = sdot minus sdot (10p) 540 5 1080 18x xminus sdot = minus sdot (5p) 540 12 x= sdot (10p) 45x = (5p)

MODELE DE TEZĂ CU SUBIECT UNIC LA DISCIPLINA MATEMATICĂ Clasa a VII-a semestrul II

prof Sergiu Nistor SUBIECTUL I (50 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele 4p 1 a) Rezultatul calculului 3( ) x x x+ este 4p b) Soluţia ecuaţiei este 2 ( 3) 2( 1)x x xminus + = + +4p c) Se dă ecuaţia Valoarea lui m pentru care ecuaţia nu are soluţii este ( 8) 6 9 m x m R xminus + = isin isin R

4p 2 a) Dacă 2 5x y+ = + şi 5 1z w+ = + atunci xw yw xz yz+ + + =

4p b) Dacă x Risin astfel icircncacirct 1 8xx

+ = atunci 22

1xx

+ =

4p c) Dacă x Risin atunci cea mai mică valoare a numărului 2 2 3x x+ + este 4p 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD 5p b) Dacă triunghiul dreptunghic ABC are catetele 5AB cm= şi 3AC cm= atunci lungimea icircnălţimii din A este egală cu 5p c) O catetă a unui triunghi dreptunghic isoscel este de lungime 8 cm Icircnălţimea dusă din unghiul drept are lungimea 4p 4 a) Fie rombul ABCD Dacă 8AC cm= 6BD cm= atunci AB cm= 4p b) Fie dreptunghiul ABCD icircn care Distanţa de la B la AC este decm 16 cos( ) 08AB cm BAC= =

0

4p c) Dacă laturile unui triunghi au lungimile de 12cm 16cm şi 20cm atunci triunghiul este SUBIECTUL II (40 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete 5p 1 a) Aflaţi numerele reale x şi y dacă 2 24 4 6 10x y x y+ + minus + =

5p b) Demonstraţi identitatea 3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + minus = + + + + minus minus minus x y z Risin

5p c) Dacă x y z Zisin şi demonstraţi că 0x y z+ + = 3 3 3x y z+ + se divide cu 3

5p 2 a) Dacă demonstraţi că 0 0x ygt gt2

x y xy+ge C

A B

D 5p b) Determinaţi a b astfel icircncacirct 0 0gt gt1 4b aab

a b ab+ + + =

5p 3 Icircn figura alăturată ABC este triunghi dreptunghic AD BCperp iar

( )D BCisin40AB c= m

Ştiind că 34

CDAD

= se cere

5p a) Să se arate că 2

2 AB BDDCAC

=

5p b) Să se calculeze sin( )ABC lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Clasa a VIII-a semestrul II prof Ciprian Neţa

SUBIECTUL I ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele (50 puncte) 1 4p a) Soluţia ecuaţiei 2(x+3)+5=7 este x= hellip 4p b) Soluţia ecuaţiei (x+2)3=12 este x=hellip 4p c) Valoarea numărului a pentru care ecuaţia (a+2)x+3=11 are soluţia x=4 este hellip 2 Fie funcţia fRrarrR f(x)= ndash3x+7 4p a) Valoarea funcţiei pentru x= ndash1 este hellip 4p b) Rezultatul calculului f( 3 )middotf(ndash 3 ) este hellip 4p c) Dacă punctul A este intersecţia graficului funcţiei cu axa Ox atunci suma coordonatelor acestuia este hellip 3 Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB = 8 cm ArsquoBrsquo=4 cm şi AArsquo=6cm 4p a) Lungimea icircnălţimii trunchiului este hellip cm 4p b) Suma tuturor muchiilor trunchiului este hellip cm 4p c) Lungimea segmentului AV unde V este intersecţia muchiilor laterale este = hellip cm 4 Paralelipipedul dreptunghic ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB=4 cm AD=6 cm şi AArsquo=8 cm 4p a) Aria totală a paralelipipedului este hellip

4p b) Volumul paralelipipedului este 4p c) Lungimea diagonalei paralelipipedului este

12

Examene și concursuri

Subiectul II ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete (40 puncte) 1 Fie funcţia fRrarrR f(x)=ax+2(andash1) unde a este un parametru real

5p a) Determinaţi aisinR pentru care punctul A(210) se află pe reprezentarea grafică a funcţiei 5p b) Pentru a=3 reprezentaţi grafic funcţia icircntr-un sistem de axe perpendiculare xOy 5p c) Calculaţi raportul dintre ariile triunghiurilor ΔABC şi ΔCOD unde B este proiecţia punctului A pe axa Oy iar D şi C

sunt intersecţiile graficului funcţiei f cu axele Ox şi respectiv Oy 2 Dintre cei 25 de elevi din clasa a VIII-a din Colegiul Naţional de Informatică au participat la teza cu subiect unic

disciplina matematică din semestrul II doar 24 de elevi unul fiind bolnav Media aritmetica a notelor obţinute de că-tre cei 24 de elevi a fost 825 Ce notă a luat la teză icircn sesiunea specială cel de-al 25-lea elev ştiind că media aritme-tică a notelor tuturor cei 25 de elevi a fost 829

3 Piramida triunghiulară regulată ABCD are latura bazei ABC AB=8 cm şi muchia laterală de 6 cm 5p a) Realizaţi un desen corespunzător ipotezei pe care icircl completaţi cu apotema DM Misin(BC) 5p b) Determinaţi volumul piramidei 5p c) Calculaţi tangenta unghiului format de AM cu planul (DAC) lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat M1

prof Laurențiu Borcea Subiectul I (30p) 5p 1 Să se calculeze ( )162 2i+

5p 2 Să se rezolve ecuaţia 3 8 0z iminus =

5p 3 Să se rezolve ecuaţia 1 235 125

xx⎛ ⎞ sdot =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

5p 4 Pentru ce valori ale lui x al treilea termen al dezvoltării9

lg

7 2

1 xxx

⎛ ⎞+⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ este 36000

5p 5 Se dau punctele A(ndash13) B(57) şi C(08) Scrieţi ecuaţia icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC 5p 6 Să se calculeze 2 cos10 cos 40 cos50sdot sdot minus Subiectul II (30p)

1 Se consideră sistemul 2 0

0 2 2 0

x y zx y z Rx y z

αα α

α

+ + =⎧⎪ + + = isin⎨⎪ + + =⎩

5p a) Pentru ce valori ale lui α sistemul are soluţie unică 5p b) Să se discute soluţiile sistemului icircn funcţie de valorile parametrului Rα isin 5p c) Pentru 1α = să se rezolve sistemul

2 Se consideră matricea ( )3 8

ˆ ˆ ˆ2 1 4ˆ ˆ ˆ3 2 1ˆ ˆ ˆ6 4 5

A M Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= isin⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5p a) Să se calculeze det A 5p b) Să se arate că A este inversabilă şi să se calculeze 1Aminus

5p c) Să se rezolve icircn 8Z sistemul

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ3 2 4ˆ ˆ ˆˆ6 4 5 1

x y z

x y z

x y

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

2

Subiectul III (30p) 1 Se consideră funcţia 2 ( ) ( ) xf R R f x x mx e m Rminusrarr = + sdot isin 5p a) Calculaţi ( )f x 5p b) Arătaţi că funcţia f admite două puncte de extrem şi doua puncte de inflexiune m Rforall isin

5p c) Calculaţi ( ) ( )0 nf n isin N

2 Se consideră funcţia ( )2

3

2

1 ln 1 ( ) 2 1 1

1

x x xf R R f x x x x

x

⎧ + sdot ge⎪rarr = ⎨ minus +

lt⎪+⎩

13

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

[ ] [ ]1 22

x x x⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 212 2 2

2x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2 2 312 2 22

x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ (3p) 2008 2008 200912 2 2

2x x x⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡+ + = ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

If we sum up the above identities we get the expression [ ] 2 2008 20091 1 1 12 2 2 2

2 2 2 2x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x⎡ ⎤+ + + + + + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2p) which leads to the identity given

3 2

y zyz +le (2p) 2 2 1

2 8 2x z yx y z+ +

+ + + le (1p)

2 2

2 2 2 21 1 1 10 02 2 8 2 16 2 16 4 4x y x yx y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + minus + le hArr + + + minus + le hArr + + minus le⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 0 (2p)

So 14

x = minus şi 14

y = (1p) The triplet that verifies the given expression 1 1 4 4

z⎛ minus⎜⎝ ⎠

⎞⎟ in which zgt0 is arbitrary (1p)

GRADE X I a) 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z zsdot = sdot = + le + (1p) for 1 0z = then 2 0z = and reciprocal (1p)

for 1 2 0z z ne1 2

1 1 1z z

+ ge (1p) reducing to absurd 1 2 2z z gt rArr contradiction (1p)

b) taking into account a) we choose for instance 1 1z = and we resolve the equation 2 21 z z+ = (3p)

II Supposing that then (1p) Be a bge 5 2 2log (2 3) log (5 3) log (5 3)a b+ lt minus le minusa5log (2 3)aA = + and

and 5 3 (1p) 2log (5 3) 2 3 5a aB = minus rArr + = A 2a Bminus = 2 5 5 2 5 2a a A B A A a A+ = + gt + rArr gt (1p) (1p) 5log (2 3)aa gt +

2 35 2 3 15 5

aa a

a a⎛ ⎞gt + hArr gt + hArr gt⎜ ⎟⎝ ⎠

1 a (2p) Analogously we get 8 8 5log (5 3) log (5 3) log (8 3)a b+ ge + gt minus resulting that 1a lt

contradiction (1p)So a blt

III 31 1 0 3x y x y x yxy xy

gt rArr + + ge sdot sdot sdot = 3 (2p) 81 81 271 3x yxy

le =+ +

(1p)

1 13 3 39 9 9 3 9 9 9 3 9 2y xy y xyx x+ + ge sdot sdot sdot ge sdot = 7 (2p) So

1819 9 9 2

1y xyx

x yxy

+ + = =+ +

7 (1p)

The equality is true for 1

9 9 9y xyx x y= = rArr = = 1 (1p)

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ etapa locală

24 IANUARIE 2009 Clasa a IX-a

1 Dacă atunci 0a b c gt 2 2 2 2 2 2

1 1 1 a b b c c aa b ca b b c c a

+ + ++ + le + +

+ + +

2 Să se rezolve icircn real ecuaţia [ ] 25 5 10 25 13x x x x+ + + + + + = unde [ ]a este partea icircntreagă a numărului a Vasile Tarciniu Odobeşti Vrancea GM 92007

3 Arătaţi că şirul ( ) 1n na

ge este o progresie aritmetică de raţie 0r ne dacă şi numai dacă

1 2 2 3 1 1

1 1 1 n n n

na a a a a a a aminus

1minus+ + + = oricare ar fi n isinalefsym

4 Icircn triunghiul ABC fie icircnălţimea CD mediana ( ) D ABisin ( )AM M BCisin şi bisectoarea ( ) BE E ACisin

Dacă 1BD BDBA BC

+ = arătaţi că dreptele CD AM şi BE sunt concurente

Clasa a X-a

1 Arătaţi că a) 1n + ndash n lt 12 n

lt n ndash 1n minus 1nforall ge

b) 1 1 11 882 3 2000

⎡+ + + + =⎢

⎣ ⎦

⎤⎥ [ ]a reprezintă partea icircntreagă

2 a) Rezolvaţi ecuaţia 3 1 7x xminus + + = 2

10

Examene și concursuri

b) Să se arate că log ( ) log ( ) log ( ) 3 12 2 2x y z

y z x z x y x y z+ + ++ + ge forall gt

c) Să se arate că dacă abcgt1 abc=100 atunci 195lg 2 5lg 2 5lg 22

a b c+ + + + + lt

prof Roșu Elena

3 Dacă a şi R z C n Nisin isin isin1 2coszz

+ = a calculaţi 1nnz

z+

4 Fie C astfel icircncacirct 1 2 3 z z z isin 1 2 36 8 10z z z= = = şi 1 2 3 0z z z+ + = Să se arate că 2 21 264 36 0z z+ =

Clasa a XI-a

1 Fie agt0 astfel icircncacirct 0x isin real 30x age Considerăm şirul definit prin 0( )n nx ge 1 2

1 23n n

n

ax xx+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ nforall isinalefsym

Demonstraţi că este convergent şi că 0( )n nx ge3lim nn

x ararrinfin

=

2 Să se determine mulţimea A= ( ) 2lim 1 3x

a x ax xrarrinfin

isinreal exist + minus + + iar pentru a=1 să se calculeze l= ( )2lim 1 3 x

x x xrarrinfin

+ minus + +

3 Fie 2 ( )A B M Risin cu proprietatea că astfel icircncacirct n Nexist isin 2( )nAB BA Iminus =

Să se demonstreze că

a) 42( )AB BA Iminus = b) n este par

4 Fie Arătaţi că 2 2 2 1a b c

A c a b a b c a b cb c a

⎛ ⎞⎜ ⎟= isin real +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = det( ) 1A le

Clasa a XII-a

1 a) Să se calculeze 2

4 2

13 1

x dxx x

minus+ +int xgt0 b) Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru

( 1)

nx

n x n

eI dxe

=+int n xisinalefsym isin real

2 Să se determine toate funcţiile care admit primitive şi cu proprietatea că există o primitivă F real rarr astfel incacirct 2 F(x) = x

f real rarr real real3 2( ( ) )f x x xminus minus x isinreal

3 a) Determinaţi grupul (G ) ştiind că funcţia f (0 infin ) G f(x)= 11

xx

minus+

realizează un izomorfism icircntre grupurile ( +real sdot ) si

(G ) b) Icircn grupul (G ) calculaţi 2

1 1 17 17 2 1n minus

cu n isinalefsym n 2ge

4 Fie (G bull) grup si a G Dacă 3 3a x x abull = bull x Gforall isin să se arate ca grupul este comutativ

MODEL DE SUBIECT pentru admiterea icircn clasa a V-a

prof Elena Roşu 1 Efectuaţi

a) 30 + 32 8 + 5 times [8 times (20 2 ndash 70 10)] 2 b) 7 + 0 ndash 5 times 0 + 10 1

2 a) Se dă exerciţiul 5 times 4 2 + 8 ndash 2 Aşezați corespunzător parantezele pentru a obţine rezultatul zero b) Aflaţi termenul necunoscut a din egalitatea 10 times a ndash 10 times [362 ndash 10 times (24 + 24 4)] = 100

3 Icircntr-o zi 12 băieţi și 6 fete din clasa a IV-a au cules 150 kg cireşe A doua zi 24 de băieţi și 13 fete au cules 305 kg cireşe Cacircte kilograme de cireşe culege icircn medie o fată pe zi și cacircte un băiat

PROBA SCRISĂ pentru admiterea icircn clasa a V-a

24 mai 2008 prof Sergiu Nistor

Subiecte (30p) 1 Calculați știind că ( ) ( )1 1y x+ + ( )4 2 6 3 20xsdot + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ și ( )80 45 9 2 63yminus minus minus sdot =⎡ ⎤⎣ ⎦ (30p) 2 Din 2008 se scade un număr și se obține triplul numărului scăzut Găsiți numărul (30p) 3 Două persoane au fiecare cacircte 540 lei Prima persoană cheltuiește 6 lei pe zi iar a doua persoană cheltuiește 9 lei pe zi După cacircte zile suma pe care o are prima persoană este dublul sumei pe care o are a doua persoană Bareme 1 (3p) (3p) (3p) ( )2 6 3 5x+ + = ( )6 3x+ = 3 96 x+ = 3x = (3p) ( )45 9 2 17yminus minus sdot = (3p) (3p) ( )9 2 28y minus sdot =

9 14y minus = (3p) (3p) (3p) 23y = 1 24 1 4y x+ = + = ( ) ( )1 1 6y x+ + = (3p) 2 2008 3x xminus = sdot (10p) 2008 4x= (10p) (10p) 502x =

11

MATE ++

3 ( )540 6 2 540 9x xminus sdot = sdot minus sdot (10p) 540 5 1080 18x xminus sdot = minus sdot (5p) 540 12 x= sdot (10p) 45x = (5p)

MODELE DE TEZĂ CU SUBIECT UNIC LA DISCIPLINA MATEMATICĂ Clasa a VII-a semestrul II

prof Sergiu Nistor SUBIECTUL I (50 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele 4p 1 a) Rezultatul calculului 3( ) x x x+ este 4p b) Soluţia ecuaţiei este 2 ( 3) 2( 1)x x xminus + = + +4p c) Se dă ecuaţia Valoarea lui m pentru care ecuaţia nu are soluţii este ( 8) 6 9 m x m R xminus + = isin isin R

4p 2 a) Dacă 2 5x y+ = + şi 5 1z w+ = + atunci xw yw xz yz+ + + =

4p b) Dacă x Risin astfel icircncacirct 1 8xx

+ = atunci 22

1xx

+ =

4p c) Dacă x Risin atunci cea mai mică valoare a numărului 2 2 3x x+ + este 4p 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD 5p b) Dacă triunghiul dreptunghic ABC are catetele 5AB cm= şi 3AC cm= atunci lungimea icircnălţimii din A este egală cu 5p c) O catetă a unui triunghi dreptunghic isoscel este de lungime 8 cm Icircnălţimea dusă din unghiul drept are lungimea 4p 4 a) Fie rombul ABCD Dacă 8AC cm= 6BD cm= atunci AB cm= 4p b) Fie dreptunghiul ABCD icircn care Distanţa de la B la AC este decm 16 cos( ) 08AB cm BAC= =

0

4p c) Dacă laturile unui triunghi au lungimile de 12cm 16cm şi 20cm atunci triunghiul este SUBIECTUL II (40 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete 5p 1 a) Aflaţi numerele reale x şi y dacă 2 24 4 6 10x y x y+ + minus + =

5p b) Demonstraţi identitatea 3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + minus = + + + + minus minus minus x y z Risin

5p c) Dacă x y z Zisin şi demonstraţi că 0x y z+ + = 3 3 3x y z+ + se divide cu 3

5p 2 a) Dacă demonstraţi că 0 0x ygt gt2

x y xy+ge C

A B

D 5p b) Determinaţi a b astfel icircncacirct 0 0gt gt1 4b aab

a b ab+ + + =

5p 3 Icircn figura alăturată ABC este triunghi dreptunghic AD BCperp iar

( )D BCisin40AB c= m

Ştiind că 34

CDAD

= se cere

5p a) Să se arate că 2

2 AB BDDCAC

=

5p b) Să se calculeze sin( )ABC lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Clasa a VIII-a semestrul II prof Ciprian Neţa

SUBIECTUL I ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele (50 puncte) 1 4p a) Soluţia ecuaţiei 2(x+3)+5=7 este x= hellip 4p b) Soluţia ecuaţiei (x+2)3=12 este x=hellip 4p c) Valoarea numărului a pentru care ecuaţia (a+2)x+3=11 are soluţia x=4 este hellip 2 Fie funcţia fRrarrR f(x)= ndash3x+7 4p a) Valoarea funcţiei pentru x= ndash1 este hellip 4p b) Rezultatul calculului f( 3 )middotf(ndash 3 ) este hellip 4p c) Dacă punctul A este intersecţia graficului funcţiei cu axa Ox atunci suma coordonatelor acestuia este hellip 3 Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB = 8 cm ArsquoBrsquo=4 cm şi AArsquo=6cm 4p a) Lungimea icircnălţimii trunchiului este hellip cm 4p b) Suma tuturor muchiilor trunchiului este hellip cm 4p c) Lungimea segmentului AV unde V este intersecţia muchiilor laterale este = hellip cm 4 Paralelipipedul dreptunghic ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB=4 cm AD=6 cm şi AArsquo=8 cm 4p a) Aria totală a paralelipipedului este hellip

4p b) Volumul paralelipipedului este 4p c) Lungimea diagonalei paralelipipedului este

12

Examene și concursuri

Subiectul II ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete (40 puncte) 1 Fie funcţia fRrarrR f(x)=ax+2(andash1) unde a este un parametru real

5p a) Determinaţi aisinR pentru care punctul A(210) se află pe reprezentarea grafică a funcţiei 5p b) Pentru a=3 reprezentaţi grafic funcţia icircntr-un sistem de axe perpendiculare xOy 5p c) Calculaţi raportul dintre ariile triunghiurilor ΔABC şi ΔCOD unde B este proiecţia punctului A pe axa Oy iar D şi C

sunt intersecţiile graficului funcţiei f cu axele Ox şi respectiv Oy 2 Dintre cei 25 de elevi din clasa a VIII-a din Colegiul Naţional de Informatică au participat la teza cu subiect unic

disciplina matematică din semestrul II doar 24 de elevi unul fiind bolnav Media aritmetica a notelor obţinute de că-tre cei 24 de elevi a fost 825 Ce notă a luat la teză icircn sesiunea specială cel de-al 25-lea elev ştiind că media aritme-tică a notelor tuturor cei 25 de elevi a fost 829

3 Piramida triunghiulară regulată ABCD are latura bazei ABC AB=8 cm şi muchia laterală de 6 cm 5p a) Realizaţi un desen corespunzător ipotezei pe care icircl completaţi cu apotema DM Misin(BC) 5p b) Determinaţi volumul piramidei 5p c) Calculaţi tangenta unghiului format de AM cu planul (DAC) lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat M1

prof Laurențiu Borcea Subiectul I (30p) 5p 1 Să se calculeze ( )162 2i+

5p 2 Să se rezolve ecuaţia 3 8 0z iminus =

5p 3 Să se rezolve ecuaţia 1 235 125

xx⎛ ⎞ sdot =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

5p 4 Pentru ce valori ale lui x al treilea termen al dezvoltării9

lg

7 2

1 xxx

⎛ ⎞+⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ este 36000

5p 5 Se dau punctele A(ndash13) B(57) şi C(08) Scrieţi ecuaţia icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC 5p 6 Să se calculeze 2 cos10 cos 40 cos50sdot sdot minus Subiectul II (30p)

1 Se consideră sistemul 2 0

0 2 2 0

x y zx y z Rx y z

αα α

α

+ + =⎧⎪ + + = isin⎨⎪ + + =⎩

5p a) Pentru ce valori ale lui α sistemul are soluţie unică 5p b) Să se discute soluţiile sistemului icircn funcţie de valorile parametrului Rα isin 5p c) Pentru 1α = să se rezolve sistemul

2 Se consideră matricea ( )3 8

ˆ ˆ ˆ2 1 4ˆ ˆ ˆ3 2 1ˆ ˆ ˆ6 4 5

A M Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= isin⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5p a) Să se calculeze det A 5p b) Să se arate că A este inversabilă şi să se calculeze 1Aminus

5p c) Să se rezolve icircn 8Z sistemul

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ3 2 4ˆ ˆ ˆˆ6 4 5 1

x y z

x y z

x y

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

2

Subiectul III (30p) 1 Se consideră funcţia 2 ( ) ( ) xf R R f x x mx e m Rminusrarr = + sdot isin 5p a) Calculaţi ( )f x 5p b) Arătaţi că funcţia f admite două puncte de extrem şi doua puncte de inflexiune m Rforall isin

5p c) Calculaţi ( ) ( )0 nf n isin N

2 Se consideră funcţia ( )2

3

2

1 ln 1 ( ) 2 1 1

1

x x xf R R f x x x x

x

⎧ + sdot ge⎪rarr = ⎨ minus +

lt⎪+⎩

13

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Examene și concursuri

b) Să se arate că log ( ) log ( ) log ( ) 3 12 2 2x y z

y z x z x y x y z+ + ++ + ge forall gt

c) Să se arate că dacă abcgt1 abc=100 atunci 195lg 2 5lg 2 5lg 22

a b c+ + + + + lt

prof Roșu Elena

3 Dacă a şi R z C n Nisin isin isin1 2coszz

+ = a calculaţi 1nnz

z+

4 Fie C astfel icircncacirct 1 2 3 z z z isin 1 2 36 8 10z z z= = = şi 1 2 3 0z z z+ + = Să se arate că 2 21 264 36 0z z+ =

Clasa a XI-a

1 Fie agt0 astfel icircncacirct 0x isin real 30x age Considerăm şirul definit prin 0( )n nx ge 1 2

1 23n n

n

ax xx+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ nforall isinalefsym

Demonstraţi că este convergent şi că 0( )n nx ge3lim nn

x ararrinfin

=

2 Să se determine mulţimea A= ( ) 2lim 1 3x

a x ax xrarrinfin

isinreal exist + minus + + iar pentru a=1 să se calculeze l= ( )2lim 1 3 x

x x xrarrinfin

+ minus + +

3 Fie 2 ( )A B M Risin cu proprietatea că astfel icircncacirct n Nexist isin 2( )nAB BA Iminus =

Să se demonstreze că

a) 42( )AB BA Iminus = b) n este par

4 Fie Arătaţi că 2 2 2 1a b c

A c a b a b c a b cb c a

⎛ ⎞⎜ ⎟= isin real +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = det( ) 1A le

Clasa a XII-a

1 a) Să se calculeze 2

4 2

13 1

x dxx x

minus+ +int xgt0 b) Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru

( 1)

nx

n x n

eI dxe

=+int n xisinalefsym isin real

2 Să se determine toate funcţiile care admit primitive şi cu proprietatea că există o primitivă F real rarr astfel incacirct 2 F(x) = x

f real rarr real real3 2( ( ) )f x x xminus minus x isinreal

3 a) Determinaţi grupul (G ) ştiind că funcţia f (0 infin ) G f(x)= 11

xx

minus+

realizează un izomorfism icircntre grupurile ( +real sdot ) si

(G ) b) Icircn grupul (G ) calculaţi 2

1 1 17 17 2 1n minus

cu n isinalefsym n 2ge

4 Fie (G bull) grup si a G Dacă 3 3a x x abull = bull x Gforall isin să se arate ca grupul este comutativ

MODEL DE SUBIECT pentru admiterea icircn clasa a V-a

prof Elena Roşu 1 Efectuaţi

a) 30 + 32 8 + 5 times [8 times (20 2 ndash 70 10)] 2 b) 7 + 0 ndash 5 times 0 + 10 1

2 a) Se dă exerciţiul 5 times 4 2 + 8 ndash 2 Aşezați corespunzător parantezele pentru a obţine rezultatul zero b) Aflaţi termenul necunoscut a din egalitatea 10 times a ndash 10 times [362 ndash 10 times (24 + 24 4)] = 100

3 Icircntr-o zi 12 băieţi și 6 fete din clasa a IV-a au cules 150 kg cireşe A doua zi 24 de băieţi și 13 fete au cules 305 kg cireşe Cacircte kilograme de cireşe culege icircn medie o fată pe zi și cacircte un băiat

PROBA SCRISĂ pentru admiterea icircn clasa a V-a

24 mai 2008 prof Sergiu Nistor

Subiecte (30p) 1 Calculați știind că ( ) ( )1 1y x+ + ( )4 2 6 3 20xsdot + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ și ( )80 45 9 2 63yminus minus minus sdot =⎡ ⎤⎣ ⎦ (30p) 2 Din 2008 se scade un număr și se obține triplul numărului scăzut Găsiți numărul (30p) 3 Două persoane au fiecare cacircte 540 lei Prima persoană cheltuiește 6 lei pe zi iar a doua persoană cheltuiește 9 lei pe zi După cacircte zile suma pe care o are prima persoană este dublul sumei pe care o are a doua persoană Bareme 1 (3p) (3p) (3p) ( )2 6 3 5x+ + = ( )6 3x+ = 3 96 x+ = 3x = (3p) ( )45 9 2 17yminus minus sdot = (3p) (3p) ( )9 2 28y minus sdot =

9 14y minus = (3p) (3p) (3p) 23y = 1 24 1 4y x+ = + = ( ) ( )1 1 6y x+ + = (3p) 2 2008 3x xminus = sdot (10p) 2008 4x= (10p) (10p) 502x =

11

MATE ++

3 ( )540 6 2 540 9x xminus sdot = sdot minus sdot (10p) 540 5 1080 18x xminus sdot = minus sdot (5p) 540 12 x= sdot (10p) 45x = (5p)

MODELE DE TEZĂ CU SUBIECT UNIC LA DISCIPLINA MATEMATICĂ Clasa a VII-a semestrul II

prof Sergiu Nistor SUBIECTUL I (50 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele 4p 1 a) Rezultatul calculului 3( ) x x x+ este 4p b) Soluţia ecuaţiei este 2 ( 3) 2( 1)x x xminus + = + +4p c) Se dă ecuaţia Valoarea lui m pentru care ecuaţia nu are soluţii este ( 8) 6 9 m x m R xminus + = isin isin R

4p 2 a) Dacă 2 5x y+ = + şi 5 1z w+ = + atunci xw yw xz yz+ + + =

4p b) Dacă x Risin astfel icircncacirct 1 8xx

+ = atunci 22

1xx

+ =

4p c) Dacă x Risin atunci cea mai mică valoare a numărului 2 2 3x x+ + este 4p 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD 5p b) Dacă triunghiul dreptunghic ABC are catetele 5AB cm= şi 3AC cm= atunci lungimea icircnălţimii din A este egală cu 5p c) O catetă a unui triunghi dreptunghic isoscel este de lungime 8 cm Icircnălţimea dusă din unghiul drept are lungimea 4p 4 a) Fie rombul ABCD Dacă 8AC cm= 6BD cm= atunci AB cm= 4p b) Fie dreptunghiul ABCD icircn care Distanţa de la B la AC este decm 16 cos( ) 08AB cm BAC= =

0

4p c) Dacă laturile unui triunghi au lungimile de 12cm 16cm şi 20cm atunci triunghiul este SUBIECTUL II (40 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete 5p 1 a) Aflaţi numerele reale x şi y dacă 2 24 4 6 10x y x y+ + minus + =

5p b) Demonstraţi identitatea 3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + minus = + + + + minus minus minus x y z Risin

5p c) Dacă x y z Zisin şi demonstraţi că 0x y z+ + = 3 3 3x y z+ + se divide cu 3

5p 2 a) Dacă demonstraţi că 0 0x ygt gt2

x y xy+ge C

A B

D 5p b) Determinaţi a b astfel icircncacirct 0 0gt gt1 4b aab

a b ab+ + + =

5p 3 Icircn figura alăturată ABC este triunghi dreptunghic AD BCperp iar

( )D BCisin40AB c= m

Ştiind că 34

CDAD

= se cere

5p a) Să se arate că 2

2 AB BDDCAC

=

5p b) Să se calculeze sin( )ABC lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Clasa a VIII-a semestrul II prof Ciprian Neţa

SUBIECTUL I ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele (50 puncte) 1 4p a) Soluţia ecuaţiei 2(x+3)+5=7 este x= hellip 4p b) Soluţia ecuaţiei (x+2)3=12 este x=hellip 4p c) Valoarea numărului a pentru care ecuaţia (a+2)x+3=11 are soluţia x=4 este hellip 2 Fie funcţia fRrarrR f(x)= ndash3x+7 4p a) Valoarea funcţiei pentru x= ndash1 este hellip 4p b) Rezultatul calculului f( 3 )middotf(ndash 3 ) este hellip 4p c) Dacă punctul A este intersecţia graficului funcţiei cu axa Ox atunci suma coordonatelor acestuia este hellip 3 Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB = 8 cm ArsquoBrsquo=4 cm şi AArsquo=6cm 4p a) Lungimea icircnălţimii trunchiului este hellip cm 4p b) Suma tuturor muchiilor trunchiului este hellip cm 4p c) Lungimea segmentului AV unde V este intersecţia muchiilor laterale este = hellip cm 4 Paralelipipedul dreptunghic ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB=4 cm AD=6 cm şi AArsquo=8 cm 4p a) Aria totală a paralelipipedului este hellip

4p b) Volumul paralelipipedului este 4p c) Lungimea diagonalei paralelipipedului este

12

Examene și concursuri

Subiectul II ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete (40 puncte) 1 Fie funcţia fRrarrR f(x)=ax+2(andash1) unde a este un parametru real

5p a) Determinaţi aisinR pentru care punctul A(210) se află pe reprezentarea grafică a funcţiei 5p b) Pentru a=3 reprezentaţi grafic funcţia icircntr-un sistem de axe perpendiculare xOy 5p c) Calculaţi raportul dintre ariile triunghiurilor ΔABC şi ΔCOD unde B este proiecţia punctului A pe axa Oy iar D şi C

sunt intersecţiile graficului funcţiei f cu axele Ox şi respectiv Oy 2 Dintre cei 25 de elevi din clasa a VIII-a din Colegiul Naţional de Informatică au participat la teza cu subiect unic

disciplina matematică din semestrul II doar 24 de elevi unul fiind bolnav Media aritmetica a notelor obţinute de că-tre cei 24 de elevi a fost 825 Ce notă a luat la teză icircn sesiunea specială cel de-al 25-lea elev ştiind că media aritme-tică a notelor tuturor cei 25 de elevi a fost 829

3 Piramida triunghiulară regulată ABCD are latura bazei ABC AB=8 cm şi muchia laterală de 6 cm 5p a) Realizaţi un desen corespunzător ipotezei pe care icircl completaţi cu apotema DM Misin(BC) 5p b) Determinaţi volumul piramidei 5p c) Calculaţi tangenta unghiului format de AM cu planul (DAC) lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat M1

prof Laurențiu Borcea Subiectul I (30p) 5p 1 Să se calculeze ( )162 2i+

5p 2 Să se rezolve ecuaţia 3 8 0z iminus =

5p 3 Să se rezolve ecuaţia 1 235 125

xx⎛ ⎞ sdot =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

5p 4 Pentru ce valori ale lui x al treilea termen al dezvoltării9

lg

7 2

1 xxx

⎛ ⎞+⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ este 36000

5p 5 Se dau punctele A(ndash13) B(57) şi C(08) Scrieţi ecuaţia icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC 5p 6 Să se calculeze 2 cos10 cos 40 cos50sdot sdot minus Subiectul II (30p)

1 Se consideră sistemul 2 0

0 2 2 0

x y zx y z Rx y z

αα α

α

+ + =⎧⎪ + + = isin⎨⎪ + + =⎩

5p a) Pentru ce valori ale lui α sistemul are soluţie unică 5p b) Să se discute soluţiile sistemului icircn funcţie de valorile parametrului Rα isin 5p c) Pentru 1α = să se rezolve sistemul

2 Se consideră matricea ( )3 8

ˆ ˆ ˆ2 1 4ˆ ˆ ˆ3 2 1ˆ ˆ ˆ6 4 5

A M Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= isin⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5p a) Să se calculeze det A 5p b) Să se arate că A este inversabilă şi să se calculeze 1Aminus

5p c) Să se rezolve icircn 8Z sistemul

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ3 2 4ˆ ˆ ˆˆ6 4 5 1

x y z

x y z

x y

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

2

Subiectul III (30p) 1 Se consideră funcţia 2 ( ) ( ) xf R R f x x mx e m Rminusrarr = + sdot isin 5p a) Calculaţi ( )f x 5p b) Arătaţi că funcţia f admite două puncte de extrem şi doua puncte de inflexiune m Rforall isin

5p c) Calculaţi ( ) ( )0 nf n isin N

2 Se consideră funcţia ( )2

3

2

1 ln 1 ( ) 2 1 1

1

x x xf R R f x x x x

x

⎧ + sdot ge⎪rarr = ⎨ minus +

lt⎪+⎩

13

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

3 ( )540 6 2 540 9x xminus sdot = sdot minus sdot (10p) 540 5 1080 18x xminus sdot = minus sdot (5p) 540 12 x= sdot (10p) 45x = (5p)

MODELE DE TEZĂ CU SUBIECT UNIC LA DISCIPLINA MATEMATICĂ Clasa a VII-a semestrul II

prof Sergiu Nistor SUBIECTUL I (50 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele 4p 1 a) Rezultatul calculului 3( ) x x x+ este 4p b) Soluţia ecuaţiei este 2 ( 3) 2( 1)x x xminus + = + +4p c) Se dă ecuaţia Valoarea lui m pentru care ecuaţia nu are soluţii este ( 8) 6 9 m x m R xminus + = isin isin R

4p 2 a) Dacă 2 5x y+ = + şi 5 1z w+ = + atunci xw yw xz yz+ + + =

4p b) Dacă x Risin astfel icircncacirct 1 8xx

+ = atunci 22

1xx

+ =

4p c) Dacă x Risin atunci cea mai mică valoare a numărului 2 2 3x x+ + este 4p 3 a) Desenaţi un trapez isoscel ABCD 5p b) Dacă triunghiul dreptunghic ABC are catetele 5AB cm= şi 3AC cm= atunci lungimea icircnălţimii din A este egală cu 5p c) O catetă a unui triunghi dreptunghic isoscel este de lungime 8 cm Icircnălţimea dusă din unghiul drept are lungimea 4p 4 a) Fie rombul ABCD Dacă 8AC cm= 6BD cm= atunci AB cm= 4p b) Fie dreptunghiul ABCD icircn care Distanţa de la B la AC este decm 16 cos( ) 08AB cm BAC= =

0

4p c) Dacă laturile unui triunghi au lungimile de 12cm 16cm şi 20cm atunci triunghiul este SUBIECTUL II (40 puncte) ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete 5p 1 a) Aflaţi numerele reale x şi y dacă 2 24 4 6 10x y x y+ + minus + =

5p b) Demonstraţi identitatea 3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy xz yz+ + minus = + + + + minus minus minus x y z Risin

5p c) Dacă x y z Zisin şi demonstraţi că 0x y z+ + = 3 3 3x y z+ + se divide cu 3

5p 2 a) Dacă demonstraţi că 0 0x ygt gt2

x y xy+ge C

A B

D 5p b) Determinaţi a b astfel icircncacirct 0 0gt gt1 4b aab

a b ab+ + + =

5p 3 Icircn figura alăturată ABC este triunghi dreptunghic AD BCperp iar

( )D BCisin40AB c= m

Ştiind că 34

CDAD

= se cere

5p a) Să se arate că 2

2 AB BDDCAC

=

5p b) Să se calculeze sin( )ABC lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Clasa a VIII-a semestrul II prof Ciprian Neţa

SUBIECTUL I ndash Pe foaia de teză se trec numai rezultatele (50 puncte) 1 4p a) Soluţia ecuaţiei 2(x+3)+5=7 este x= hellip 4p b) Soluţia ecuaţiei (x+2)3=12 este x=hellip 4p c) Valoarea numărului a pentru care ecuaţia (a+2)x+3=11 are soluţia x=4 este hellip 2 Fie funcţia fRrarrR f(x)= ndash3x+7 4p a) Valoarea funcţiei pentru x= ndash1 este hellip 4p b) Rezultatul calculului f( 3 )middotf(ndash 3 ) este hellip 4p c) Dacă punctul A este intersecţia graficului funcţiei cu axa Ox atunci suma coordonatelor acestuia este hellip 3 Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB = 8 cm ArsquoBrsquo=4 cm şi AArsquo=6cm 4p a) Lungimea icircnălţimii trunchiului este hellip cm 4p b) Suma tuturor muchiilor trunchiului este hellip cm 4p c) Lungimea segmentului AV unde V este intersecţia muchiilor laterale este = hellip cm 4 Paralelipipedul dreptunghic ABCDArsquoBrsquoCrsquoDrsquo are AB=4 cm AD=6 cm şi AArsquo=8 cm 4p a) Aria totală a paralelipipedului este hellip

4p b) Volumul paralelipipedului este 4p c) Lungimea diagonalei paralelipipedului este

12

Examene și concursuri

Subiectul II ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete (40 puncte) 1 Fie funcţia fRrarrR f(x)=ax+2(andash1) unde a este un parametru real

5p a) Determinaţi aisinR pentru care punctul A(210) se află pe reprezentarea grafică a funcţiei 5p b) Pentru a=3 reprezentaţi grafic funcţia icircntr-un sistem de axe perpendiculare xOy 5p c) Calculaţi raportul dintre ariile triunghiurilor ΔABC şi ΔCOD unde B este proiecţia punctului A pe axa Oy iar D şi C

sunt intersecţiile graficului funcţiei f cu axele Ox şi respectiv Oy 2 Dintre cei 25 de elevi din clasa a VIII-a din Colegiul Naţional de Informatică au participat la teza cu subiect unic

disciplina matematică din semestrul II doar 24 de elevi unul fiind bolnav Media aritmetica a notelor obţinute de că-tre cei 24 de elevi a fost 825 Ce notă a luat la teză icircn sesiunea specială cel de-al 25-lea elev ştiind că media aritme-tică a notelor tuturor cei 25 de elevi a fost 829

3 Piramida triunghiulară regulată ABCD are latura bazei ABC AB=8 cm şi muchia laterală de 6 cm 5p a) Realizaţi un desen corespunzător ipotezei pe care icircl completaţi cu apotema DM Misin(BC) 5p b) Determinaţi volumul piramidei 5p c) Calculaţi tangenta unghiului format de AM cu planul (DAC) lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat M1

prof Laurențiu Borcea Subiectul I (30p) 5p 1 Să se calculeze ( )162 2i+

5p 2 Să se rezolve ecuaţia 3 8 0z iminus =

5p 3 Să se rezolve ecuaţia 1 235 125

xx⎛ ⎞ sdot =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

5p 4 Pentru ce valori ale lui x al treilea termen al dezvoltării9

lg

7 2

1 xxx

⎛ ⎞+⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ este 36000

5p 5 Se dau punctele A(ndash13) B(57) şi C(08) Scrieţi ecuaţia icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC 5p 6 Să se calculeze 2 cos10 cos 40 cos50sdot sdot minus Subiectul II (30p)

1 Se consideră sistemul 2 0

0 2 2 0

x y zx y z Rx y z

αα α

α

+ + =⎧⎪ + + = isin⎨⎪ + + =⎩

5p a) Pentru ce valori ale lui α sistemul are soluţie unică 5p b) Să se discute soluţiile sistemului icircn funcţie de valorile parametrului Rα isin 5p c) Pentru 1α = să se rezolve sistemul

2 Se consideră matricea ( )3 8

ˆ ˆ ˆ2 1 4ˆ ˆ ˆ3 2 1ˆ ˆ ˆ6 4 5

A M Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= isin⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5p a) Să se calculeze det A 5p b) Să se arate că A este inversabilă şi să se calculeze 1Aminus

5p c) Să se rezolve icircn 8Z sistemul

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ3 2 4ˆ ˆ ˆˆ6 4 5 1

x y z

x y z

x y

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

2

Subiectul III (30p) 1 Se consideră funcţia 2 ( ) ( ) xf R R f x x mx e m Rminusrarr = + sdot isin 5p a) Calculaţi ( )f x 5p b) Arătaţi că funcţia f admite două puncte de extrem şi doua puncte de inflexiune m Rforall isin

5p c) Calculaţi ( ) ( )0 nf n isin N

2 Se consideră funcţia ( )2

3

2

1 ln 1 ( ) 2 1 1

1

x x xf R R f x x x x

x

⎧ + sdot ge⎪rarr = ⎨ minus +

lt⎪+⎩

13

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Examene și concursuri

Subiectul II ndash Pe foaia de teză se trec rezolvările complete (40 puncte) 1 Fie funcţia fRrarrR f(x)=ax+2(andash1) unde a este un parametru real

5p a) Determinaţi aisinR pentru care punctul A(210) se află pe reprezentarea grafică a funcţiei 5p b) Pentru a=3 reprezentaţi grafic funcţia icircntr-un sistem de axe perpendiculare xOy 5p c) Calculaţi raportul dintre ariile triunghiurilor ΔABC şi ΔCOD unde B este proiecţia punctului A pe axa Oy iar D şi C

sunt intersecţiile graficului funcţiei f cu axele Ox şi respectiv Oy 2 Dintre cei 25 de elevi din clasa a VIII-a din Colegiul Naţional de Informatică au participat la teza cu subiect unic

disciplina matematică din semestrul II doar 24 de elevi unul fiind bolnav Media aritmetica a notelor obţinute de că-tre cei 24 de elevi a fost 825 Ce notă a luat la teză icircn sesiunea specială cel de-al 25-lea elev ştiind că media aritme-tică a notelor tuturor cei 25 de elevi a fost 829

3 Piramida triunghiulară regulată ABCD are latura bazei ABC AB=8 cm şi muchia laterală de 6 cm 5p a) Realizaţi un desen corespunzător ipotezei pe care icircl completaţi cu apotema DM Misin(BC) 5p b) Determinaţi volumul piramidei 5p c) Calculaţi tangenta unghiului format de AM cu planul (DAC) lowast Toate subiectele sunt obligatorii Timpul efectiv de lucru este de 2 ore Se acordă 10 puncte din oficiu

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat M1

prof Laurențiu Borcea Subiectul I (30p) 5p 1 Să se calculeze ( )162 2i+

5p 2 Să se rezolve ecuaţia 3 8 0z iminus =

5p 3 Să se rezolve ecuaţia 1 235 125

xx⎛ ⎞ sdot =⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

5p 4 Pentru ce valori ale lui x al treilea termen al dezvoltării9

lg

7 2

1 xxx

⎛ ⎞+⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ este 36000

5p 5 Se dau punctele A(ndash13) B(57) şi C(08) Scrieţi ecuaţia icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC 5p 6 Să se calculeze 2 cos10 cos 40 cos50sdot sdot minus Subiectul II (30p)

1 Se consideră sistemul 2 0

0 2 2 0

x y zx y z Rx y z

αα α

α

+ + =⎧⎪ + + = isin⎨⎪ + + =⎩

5p a) Pentru ce valori ale lui α sistemul are soluţie unică 5p b) Să se discute soluţiile sistemului icircn funcţie de valorile parametrului Rα isin 5p c) Pentru 1α = să se rezolve sistemul

2 Se consideră matricea ( )3 8

ˆ ˆ ˆ2 1 4ˆ ˆ ˆ3 2 1ˆ ˆ ˆ6 4 5

A M Z

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= isin⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

5p a) Să se calculeze det A 5p b) Să se arate că A este inversabilă şi să se calculeze 1Aminus

5p c) Să se rezolve icircn 8Z sistemul

ˆ ˆ2 4ˆ ˆ ˆ3 2 4ˆ ˆ ˆˆ6 4 5 1

x y z

x y z

x y

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩

2

Subiectul III (30p) 1 Se consideră funcţia 2 ( ) ( ) xf R R f x x mx e m Rminusrarr = + sdot isin 5p a) Calculaţi ( )f x 5p b) Arătaţi că funcţia f admite două puncte de extrem şi doua puncte de inflexiune m Rforall isin

5p c) Calculaţi ( ) ( )0 nf n isin N

2 Se consideră funcţia ( )2

3

2

1 ln 1 ( ) 2 1 1

1

x x xf R R f x x x x

x

⎧ + sdot ge⎪rarr = ⎨ minus +

lt⎪+⎩

13

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

5p a) Să se calculeze 2

0

( )f x dxint

5p b) Să se calculeze 2 1 2

24

2

lim1

n

nn

xn dx

+

rarrinfin +int x

5p c) Să se determine punctele de extrem ale funcţiei cos

2

sin

( ) 1x

x

F D R F x t drarr = +int t

Model de subiect pentru examenul de bacalaureat

M1 prof Elena Roşu

SUBIECTUL I (30p) 1 (5p) Să se rezolve icircn mulţimea numerelor complexe ecuaţia x6 ndash 9x3 + 8=0 2 (5p) Să se determine cel mai mic număr real a pentru care funcţia f R rarr R f(x)= x2 ndash 4x + 10 este strict crescătoare pe in-tervalul [a+infin)

3 (5p) Dacă 127

= 0 a1 a2 a3 a4 a5 an să se calculeze a2009

4 (5p) Să se precizeze care din numerele următoare este mai mare cos5π sau sin

5π

5 (5p) Să se afle lungimea icircnălţimii din A icircn triunghiul ABC cu vacircrfurile A(2 2) B(3 3) C(0 1) 6 (5p) Să se calculeze ( )AB AC BCsdot + știind că A(ndash2 3) B(3 ndash2) și C(12)

SUBIECTUL II (30p)

1 Se consideră matricele 1 2 1 3

2 3 2 2

K L⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

și mulţimea ( ) 22 U X M X X= isin =

a) (5p) Să se verifice că matricele și sunt din mulţimea U a bforall isin ⎟00 1

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0 01b

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

b) (5p) Să se arate că dacă matricea a b

A Uc d

⎛ ⎞= isin⎜ ⎟

⎝ ⎠atunci 012 a d+ isin

c) (5p) Să se scrie L ca o sumă finită de matrice din mulţimea U și să se arate că matricea K nu se poate scrie ca o sumă finită de matrice din mulţimea U

2 Se consideră polinomul ( ) ( )20 20f X i X i= + + minus avacircnd forma algebrică 20 1920 19 1 0 f a X a X a X a= + + + +

a) (5p) Să se calculeze f(0) b) (5p) Să se arate că polinomul f are toţi coeficienţii numere reale c) (5p) Să se arate că dacă z isin este o rădăcină a lui f atunci |z + i|=|z ndash i|

SUBIECTUL III (30p)

1 Se consideră funcţia ( ) ( )455 0

4f f x x+infin rarr = sdot şi şirurile ( ) ( )1 1 5 5 5

1 1 1 1 2n n nn n

a b ange ge

= + + + ( ) n nb a f n= minus

nforall isin

a) (5p) Să se arate că ( ) ( ) ( )5 5

1 11 1

f k f k kk k

0 lt + minus lt forall isin infin+

b) (5p) Să se arate că şirul ( ) 1n nb

ge este convergent

c) (5p) Să se calculeze lim nna

rarrinfin

2 Se consideră şirul ( ) definit prin n nI

isin

1

0 0

13 2

I dxx

=+int și

1

0

3 2

n

nxI dx nx

= isin+int

a) (5p) Să se calculeze I0 și I1

b) (5p) Să se arate că 1

13 2 1n nI I n

n+ + = forall isin+

c) (5p) Să se calculeze lim nnnI

rarrinfin

14

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Examene și concursuri

Concursul Memorial de Matematică bdquoConstantin Spătarurdquo Ediţia a LXII-a Chișinău 2009

Icircn perioada 26 februarie-1 martie 2009 s-a deplasat la Chişinău un lot de 24 de elevi ai Colegiului Naţional de Infor-matică Piatra-Neamţ icircnsoţit de profesori de specialitate din colegiu pentru a participa la concursul de matematică ldquoMemorial Constantin Spătarurdquo ediţia a LXII-a organizat de Direcţia Generală de EducaţieTineret şi Sport şi Primăria municipiului Chi-şinău Concursul s-a desfăşurat pe 28 februarie şi s-a bucurat de o largă participare din racircndul elevilor din Chişinău Rezulta-tele obţinute de elevii colegiului nostru au fost Stolniceanu Paul cls a IX-a A premiul III Cucuruz Ioana cls a IX-a A pre-miul III Neamţu Ioana cls a IX-a B premiul III Dascălu Ruxandra Georgiana cls a IX-a E menţiune Jbanca Roxana cls a IX-a E menţiune Lazăr Dragoş cls a IX-a E menţiune Sfermaş Andrada cls a IX-a F mențiune Ilisei Andreea cls a X-a C menţiune Popescu Dragoş cls a XI-a menţiune Creţu Georgeta cls a XI-a D menţiune Brăduleţ Oana cls A XII-a A men-ţiune Ungureanu Andrada cls a XII-a menţiune Prima etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo şi-a desfăşurat activităţile icircn zilele de 24-25 ianuarie antrenicircnd 1123 de elevi ai claselor a V-a ndash a IX-a din Chişinău Doamna Tamara Curtescu inspector școlar icircn cadrul Direcției Generale de Educație Tineret și Sport din Chișinău a avut amabilitatea de a ne furniza subiectele de la cele două etape ale concursului și acceptul de a le populariza icircn revista noas-tră

etapa a I-a 24-25 ianuarie 2009

Clasa a V-a

1 Calculează suma 1 1 2 1 2 3 1 4 1 2 78 2 3 3 4 4 4 5 5 79 79 79

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + + + + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

2 Determină numărul de forma xy dacă 3 114xy yx+ = 3 Fie a=1111 demonstrează că 9a

nori

2+2a= 2

1111nori

4 Află numărul natural a ştiind că dacă-l icircmpărţim la 31 obţinem cacirctul c şi restul 6 iar dacă-l icircmpărţim la 16 obţinem un cacirct de două ori mai mare ca precedentul cacirct şi un rest cu 3 mai mic decacirct restul precedent Clasa a VI-a

1 Se consideră numărul icircntreg n = 2009 3 ndash 2009 2 middot2008 ndash2009 middot2008+2009 Află x din proporţia 20094

x

= 5n

2 Trei numere naturale icircnmulţite respectiv cu 5 cu 7 şi cu 9 dau acelaşi rezultat Identifică care sunt cele trei numere dacă produsul lor este 793800

3 Determină cea mai mică şi cea mai mare fracţie de forma 1 23 4x ya b

care se simplifică cu 45

4 Din cele două clase a VI-a ale unei şcoli participă la olimpiada de matematică 13 elevi astfel 13 (3 ) din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoArdquo şi 30 din totalul elevilor clasei a VI-a bdquoBrdquo Află numărul total de elevi din clasele a VI-a ale şcolii date da-că acest număr nu depăşeşte 72 Clasa a VII-a 1 Capacitatea totală a trei vase este egală cu 120 l Dacă primul vas se umple cu apă şi se toarnă icircn celelalte atunci sau vasul al treilea se va umple şi al doilea vas se va acoperi pe jumătate sau al doilea se va umple şi al treilea vas se va acoperi icircn mărime

de 13

din volumul său Determină capacitatea fiecărui vas

2 Un pătrat a fost tăiat icircn 25 de pătrăţele dintre care numai unu are latura de lungime diferită de 1 (fiecare din celelalte are la-tura cu lungimea 1) Identifică aria pătratului iniţial

3 Fie 2 2 2( ) 2 10 16 2 26E x x x y z z= + + + + + minus + Determină valorile reale ale variabilelor x y z ştiind că ( ) 12E x y z le

4 Un număr de forma 2 2n n+ n N n 4isin ge are cifra unităţilor 4 Află penultima cifră a unui astfel de număr Clasa a VIII-a 1 Rezolvă icircn N ecuaţia (x+1)(y+2) =2xy

2 Determină valorile lui a (aisinZ) pentru care expresia E= 28 10 3 5 2 6 18 8 22a

minus + minus + +minus

este un număr icircntreg

3 Prin vacircrful A al paralelogramului ABCD este construită o secantă care intersectează diagonala BD icircn punctul N latura DC icircn

15

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

punctul M şi prelungirea laturii BC icircn punctul P Demonstrează că AN2 = NPmiddotNM 4 Află numerele reale a b c astfel icircncacirct b=3ndashcndasha şi 2abndashc2 = 9 Clasa a IX-a

1 Calculează 7 21 7 21

2 Descompune polinomul ( ) ( )( ) ( )( )1 3 5 7P X X X X X 15= + + + + + icircn factori ireductibili

3 Demonstrează că dacă şi atunci x y isin 2 2 2 14 46 0x y x y+ minus + + = [ ]10 2 x y+ isin minus minus 4 Un cerc cu raza de 13cm este tangent la două laturi consecutive ale pătratului cu latura de 18cm Află lungimea segmentelor icircn care cercul icircmparte fiecare din cele două laturi rămase

La cea de-a doua etapă a Concursului Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo au participat 575 de elevi ai cla-

selor a V-a ndash a XII-a din Chişinău şi 25 de elevi de la Colegiul Naţional de Informatică din Piatra-Neamţ Romacircnia Lotul de elevi nemţeni participă la concurs al doilea an consecutiv şi a fost icircnsoţit de doamna Elena-Genoveva Irimia director al CNI şi un grup de profesori de la Colegiu

etapa a II-a

21-22 februarie 2009 Clasa a V-a

1 Traseul unei excursii a fost parcurs icircn patru etape icircn felul următor icircn prima etapă 27

din icircntregul drum icircn etapa a doua 14

din ceea ce a rămas de parcurs icircn etapa a treia 13

din noul rest al drumului iar icircn ultima etapă ndash 200 km Determină ce lungi-

me avea icircntregul traseu 2 Suma dintre triplul unui număr şi dublul altui număr icircmpărţită la 13 dă cacirctul 20 şi restul 10 iar cacirctul dintre triplul primului

număr şi dublul celuilalt este egal cu 45

Află numerele

3 Identifică elementele mulţimilor A B şi C care verifică simultan următoarele condiţii 1 23 45A B C =cup cup ( ) 4A B C =cap cap A 13C = AB= 12 ( )5 A B =cap cup Oslash

4 Un tată are trei fii Vacircrsta tatălui este cu un an mai mare decacirct triplul vacircrstei fiului mai mare iar diferenţa dintre vacircrsta fiului al doilea şi vacircrsta mezinului este un an Fiul mai mare are atacircţia ani cacircţi au ceilalţi doi fraţi icircmpreună Ştiind că peste 7 ani tatăl va avea vacircrsta egală cu suma vacircrstelor fiilor săi precizează cacircţi ani are tatăl şi care sunt vacircrstele fiilor săi Clasa a VI-a 1 Tatăl are cu 5 ani mai puţin decacirct mama şi fiul la un loc Peste 7 ani fiul va avea a treia parte din vacircrsta mamei şi toţi trei vor avea icircmpreună 108 ani Ce vacircrstă are fiecare acum 2 Un număr de patru cifre are primele două cifre identice iar cifra unităţilor 5 Acest număr se icircmparte la un număr de două cifre şi se obţine restul 98 Află deicircmpărţitul icircmpărţitorul şi cacirctul 3 Determină numărul abc ştiind că 2 + 4 + 6 + + abc = 00abc 4 Identifică numărul meselor şi persoanelor dintr-o icircncăpere ştiind că dacă aşezăm cacircte două persoane la masă rămacircn icircn pi-cioare un procent de 20 iar dacă aşezăm cacircte trei persoane la masă va rămacircne o masă cu doar două persoane şi icircncă un pro-cent de 14(285714) mese libere

Clasa a VII-a 1 Oricare două pătrate vecine de pe tabla de şah (alb-negru) de mărimea 12x12 sunt colorate icircn felul următor cele negre ndash icircn culoare verde cele verzi ndash icircn culoare albă iar cele albe ndash icircn negru Precizează care este numărul minim de astfel de operaţii pentru a obţine tabla de şah bdquoopusărdquo celei iniţiale (negru-alb)

( )2009

2010 2 2009 2010 2 2009 1 1minus minus minus + =2 Demonstrează că

3 Icircn triunghiul ABC avem m( B)=105ordm m( C)=30ordm Disin (BC) Eisin (BC) astfel icircncacirct [DB]equiv[DC] şi BAEequiv CAE Află măsura unghiului DAE

4 Fie x y z ndash numere reale Arată că a) x2+y2+z2 ge xy+xz+yz b) dacă x+y+z = 1 atunci x2+y2+z2 ge 1 3

Clasa a VIII-a

1 Determină numerele reale a şi b ştiind că a(1ndasha) + b(andashb) ge 13

2 Identifică funcţia 2 dacă 3 0 2 1 5f R R f (x) - f( ) (x - )f( ) xrarr + = +3 Icircn triunghiul ascuţitunghic ABC se ia punctul M pe icircnălţimea din B și N pe icircnălţimea din C astfel icircncacirct m( AMC)=m( ANB)= 90o Arată că ∆AMN este isoscel

16

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Examene și concursuri

4 Fie x y zisinQ astfel icircncacirct 1 1 1 x y zx y z

+ + = sdot sdot Demonstrează că produsul (x2y2 +1)middot(y2z2 +1)middot(x2z2+1) este pătratul unui

număr raţional

Clasa a IX-a 1 Să se determine polinomul de gradul trei dacă icircmpărţit la ( )P X ( )P X 2 2X Xminus dă restul iar icircmpărţit la 2 1X + ( )P X

2 1X minus dă restul X 2 Să se rezolve icircn ecuaţia 2 3 2 3 2( 3 4) (2 5 3) (3 2 1)x x x x x x+ minus + minus + = minus minus 33 Icircn paralelogramul ABCD AB=BD Un cerc circumscris ABDΔ intersectează diagonala AC icircn E De determinat laturile para-lelogramului dacă AE=65cm EC=16cm 4Funcţia satisface condiţia oricare ar fi f rarr 22 ( ) (1 ) 2f x f x x+ minus = minus x isin Să se determine valoarea minimă şi ma-ximă a funcţiei pe segmentul [ ]52 minus

Clasa a X-a

1 Determină valorile parametrului real a pentru care ecuaţia 2

21 1

2

12 21

x x a aa

minus minus + ++ =

+ admite soluţii numere icircntregi

2 Demonstrează inegalitatea pentru orice 2 3log 3 log 4 log ( 1)n n+ + + + gt n 5n N nisin ge 3 Icircn triunghiul ABC Determină măsurile unghiurilor triunghiului ABC dacă 0( ) 36m A =

2 22 sin sin sin sinABCA ab A B A BΔ = + + sdot 4 E posibil oare ca mulţimea numerelor naturale de la 1 pacircnă la 2009 să se icircmpartă icircn submulţimi disjuncte astfel icircncacirct icircn fie-care submulţime suma dintre numărul cel mai mare şi numărul cel mai mic să fie egală cu suma celorlalte numere din submul-ţime

Clasa a XI-a

1 Să se calculeze suma S=( )

sin1 sin1 sin1 sin1cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cosn n

+ + + +sdot sdot sdot minus sdot

2 Pentru ce valori ale parametrului real p inegalitatea 8xndashp ne 22x+1ndash2x este adevărată pentru orice [ 12)x isin minus

3 Fie (xn)n 1 ge xn =2 2

1 2

n

k

a kak=

⎡ ⎤+⎢⎣ ⎦

sum ⎥ agt0 şi (un)n ge 1 un= 2

nxn

([t] ndash partea icircntreagă a numărului real t)

Să se arate că şi să se calculeze lim nnx

rarrinfin= infin lim nn

urarrinfin

4 Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu a b c iar măsurile unghiurilor opuse lor sunt α β γ respectiv Să se arate

că ( ) ( ) ( )2 2 22 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 04 4

a bc b ac c abα βα β γminus sdot sdot + minus sdot sdot + minus sdot sdot le4γ

Clasa a XII-a 1 Determină valorile parametrului real m pentru care polinomul ( ) ( )4 2 2 2P X X mX m X m 3= + + + + + are o singură ră-

dăcină dublă 2 Fie mulţimea curbelor din planul xOy determinate de ecuaţiile ( )2 1 5 3y ax a x= + minus minus a Risin a) Demonstrează că există două puncte fixe M şi N prin care trece fiecare dintre aceste curbe b) Pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= minus determină un punct P astfel ca perimetrul triunghiului MNP să fie minim

3 Arată că valoarea integralei ( ) ( )2009 20091

20

1 11

x xdx

x+ + minus

+int este un număr iraţional

4 Icircn piramida pe laturile bazei se iau punctele SABCD M ABisin N BCisin P CDisin Q ADisin astfel icircncacirct 3AM CPBM DP

= =

4BN DQCN AQ

= = Un plan paralel cu baza piramidei icircmparte muchia icircn raportul 21 consideracircnd de la vacircrful piramidei

Acest plan intersectează icircn punctul

SA

SM 1M icircn icircn şi icircn Consideracircnd un punct al bazei SN 1N SP 1P SQ 1Q 1S ABCD află raportul dintre volumul piramidei şi volumul piramidei date 1 1 1 1 1S M N PQ

17

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

PROBLEME DE LOC GEOMETRIC

REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

prof Ștefan Gavril 1 Să se afle locul geometric al punctului M imaginea geometrică a numărului complex z cu condiţia ca imaginile numerelor complexe i z şi zi să fie coliniare Soluţia 1 Imaginile numerelor i z şi iz sunt coliniare dacă şi numai dacă ( ) texist isin astfel icircncacirct ( )iz i t z iminus = minus După

eliminarea parametrului t se obţine 1 1 2 2 2 2

z i⎛ ⎞minus + =⎜ ⎟⎝ ⎠

aşa că locul geometric este cercul de centru 1 12 2

Q ⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi raza 2

2

Soluţia 2 Punctele ( ) ( ) ( ) ( ) A i B x iy C iz C y ix+ = minus + sunt coliniare dacă şi numai dacă

0 1 11 01

x yy x

=minus

şi obţinem 2 2 0x y x y+ minus minus =

2 Se consideră două cercuri de centre şi 1O ( )2 1 2O O One şi de raze şi Fie un punct A situat pe primul cerc şi 1R 2 Run punct B situat pe al doilea cerc astfel icircncacirct să fie paralelă cu Să se afle locul geometric al punctului C pentru ca-1O A 2 O Bre triunghiul ABC este echilateral Soluţie Axa reală va fi aleasă dreapta cu origi-nea icircn Fie Notăm afixele punctelor A B C cu a b c

1 2 O O

1O 1 2 0O O d= gt

( )1 cos sin a R iα α= + ( )2 cos sin b d R iα α= + + AB

x

y

O1 O2

Condiţia necesară şi suficientă ca triunghiul ABC să fie echilate-ral este sau icircn funcţie de ori-entarea triunghiului unde şi

2 0c a bε ε+ + = 2 0c a bε ε+ + =3 1ε = 1ε ne

I Dacă atunci 2 0c a bε ε+ + =( ) ( )2 2

1 2cos sin cos sin 0c R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + =

) şi o

de unde bţinem ( )(21 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + + 2

1 2 c d R Rε ε+ = +

Notăm cu E punctul de afix 2dεminus şi locul geometric căutat este cercul de centru E şi rază 1 2 R Rε+

II Dacă c a atunci 2 0bε ε+ + = ( ) ( )21 2cos sin cos sinc R i d R iε α α ε ε α α+ + + + + 0=

1 2cos sinc d i R Rε ε α α ε+ = minus + +

şi obţinem

( )( ) cu 1 2 c d R Rε ε+ = + Notăm cu F punctul de afix dεminus şi locul geometric este cercul

de centru F şi raza 1 2 R Rε + Observăm că 3EF d= şi 1 2 1 2 R R R Rε ε+ = + Deci locul geometric este format din cele

două cercuri care au razele egale şi distanţa centrelor 3EF d= (3 Fie A B M puncte distincte pe cercul ) 4 RC O şi triunghiurile echilaterale BMN MAP la fel orientate ca

AOMΔ a) Pentru M variabil şi A B fixe să se arate că mijlocul Q al segmentului NP parcurge un cerc cu excepţia a ( 2C L R)

două puncte b) Considerăm A fix şi B variabil să se arate că L parcurge un cerc ( ) 2C S R cu excepţia unui punct c) Să se determine locul geometric al lui S cacircnd A este variabil Soluţie a) Considerăm sistemul de axe cu originea icircn centru O al cerculu

respunzătoare şi

i Notăm afixele punctelor cu litere mici co-

cos sin 3 3

iπ πδ = + Triunghiurile AOM BMN

răm orientate pozitiv Icircn această situaţie condiţia necesară şi suficientă ca BMN

MAP le conside-

Δ să fie echilateral este ( )1 n m bδ δ= + minus Pentru MAP ( )1 p a mδ δ= + minus

( )1 mδminus +

2 2a bn pq

δ ++= = Numărul ( )1c a bδ δ= + minus este afixul unui punct

unic C astfel icircncacirct este echilateral BACΔ

Obţinem 2 2

n p mq + +c= = şi Q este locul geome-

tric al segmentului

deci CPMN este paralelogram

[ ]MC cu C fix şi M variabil pe cerc 4 m a b R= = =

2c m+

2 2c mq = deci q minus =

18

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Preocupări didactice

2c [ ]OC Cu aceste notaţii obţinem 2 q l Rminus =l= afi i xul punctulu L mijlocul segmentului Notăm deci Q se găseşte pe cer-

cul ( ) Dacă 2C L R M B= atunci B M N= = deci BMNΔ este degenerat şi P C= Icircn acest Q E= mijlocul segmen-

[caz

tului ]AC deci locul geometric al punctului Q este ( ) 2 C L R E F Dacă M A= atunci jlocul segmentului Q F= mi

[ ]AC ocul geo al punct Deci l metric ului Q este ( ) 2 C L F

b) Da x şi B variabil există punctul U astfel icircncacirct

R E

că A fi ( )1 0u a u aδ δ δ= hArr = + minus nstatăm U este echilateral cu şi co că Δ OA

( ) 4 U C O Risin ( )1 12

c a bδ δ= + minus = deci c ( ) ( )1 1c a b c u bδ δminus hArr minus = minus şδminus = i 4 R=

Fie S mijlocul segmentului

CU c u b= minus =

[ ]OU [ ]SL este linie mijlocie icircn OUCΔ aşa că SL 2R= ş

Dacă atunci deci este degenerat şi

i ( ) 2 L C S Risin

[ ]UA B A= B A C= = BACΔ L H= mijlocul entului segm deci locul geometric al

punctului L este ( ) 2C S R minus H

este echilateral cu Rc) OΔ ( )Oisin şi 4 AU 4U C AU R= Dacă urge cercul atunci U pa e cercul şi 2OS RA parc rcurg = deci

locul geometric a e l punctului S est

nghi ABC şi o dreaptă var( ) 2 C O R

4 Considerăm un triu iabilă care trece prin centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC Proiectăm vacircrfurile A B C icircn A1 B1 C dreapta d Perpendicularele din A1 B1 C1 pe laturile opuse sunt concurente 1 pe icircntr-un punct P Să se determine locul geometric al punctului P Soluţie Luăm originea icircn centrul O al cercului circumscris şi determinăm dreapta d prin punctele ( ) ( )1M m M mminus icircn care intersectează cercul

A

d1

1 0

z z

m = adică Ecuaţia dreptei d este

1

m

m mminus minus

0mz mzminus = care are coeficientul unghiular

complex mm

deci coeficientul unghiular complex al perpendicularei pe d este m

culara din pe d are ecuaţia

mminus Perpendi-

A ( ) 0mz a z a mz mz am mam

minus = minus minus hArr + minus minus =

0d mz mzminus = şi prin adunare obţinem ( )11 12 notăm A Amz am ma z a= + =

12 maa am

= + cu 2ra

a= şi

2rmm

= deci ( )2

1 12 ma a A aa

= + 1

Similar se obţine ( )1 m b 2

1 12 b b Bb

= + ( )2

1 1 1 mc c C cc

= +

Ecuaţia dreptei BC

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1

1 0 0 0

1

z z

b b b c z c b z bc cb r c b z bc c b z r b c b c

c c

= hArr minus + minus + minus = hArr minus + minus + minus + = deci

2 0bcz z b cr

+ minus minus = care are coeficientul unghiular complex 2

bcr

minus şi obţinem coeficientul unghiular complex al perpendicula-

rei 2 bcr

Ecuaţia perpendicularei din A1 pe BC este ( )1 12 bcz a ar

minus = z minus

2 2

2 2 2

1 22m bc m bc bz a z a z⎡ ⎤ 2

2

1 02 2

bc m a cz aa a ar r r ma

⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ minus + minus + =⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥minus + = minus + hArr minus⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ a

Ecuaţia perpendicularei din B1 pe AC este 2

2 22 2 0ac ac m abcz z bb br r m

minus minus + minus + =2 b Obţinem

22 2

2 2 22 2 0abc a bcaz z a bc mr r m

minus minus + minus + = 2

2 22 2 22 0abc ab cz b ac m

r r mminus minus + minus + = d2bz eci

( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 0

abc a ba b z a b a b c a b

r mminus

minus minus minus + minus minus + = 2 22 0pabcz a b c

r mminus minus minus + = notăm pz p= deci

2 2 2 2

a b c abcpr m

+ +minus = minus p verifică şi ecuaţia perpend ularei din C pe AB deci ce rpendic oncurente icircn P ic le trei pe ulare sunt c

2 2

2 2a b c abcp

r m+ +

minus = minus 2

1 2 2 4

a b c a b cp pr

⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞minus minus =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎜ ⎟ 1 2 2

a b cpr

+ +minus =

B

C

A1

B1

C1O

19

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

2a b cE + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

şi de rază 1 2r

Locul geometric este un cerc cu centrul icircn E este centrul cercului celor 9 puncte

ie

1 Dorin Andrica Nicolae Bişboacă Numere complexe Editura Millenium 2 Marian Dincă Marcel Chirilă Numere com ică de liceu Editura All Educational 3 Colecţia Gazeta Matematică

r

prof Ștefan Gavril

Icircn abordarea la clasă a unei probleme avem icircn vedere dezvoltarea la elevi a creativităţii spiritului de observaţie aimaginaţiei a rigorii icircn rezolvarea şi redactarea soluţiei a capacităţii de analiză şi generalizare Se va scoateţea unor rezultate pentru a dezvolta interesul pentru studiul matematicii

Bibliograf

plexe icircn matemat

4 Olimpiadele şi concursurile de matematică IX-XII 2004 Editura Birchi 5 Constantin Perju Romeo Perju Probleme de matematică pentru admitere icircn icircnvăţămacircntul superio

PROBLEME CU PROBLEME

icircn evidenţă frumu-

se Propun spre rezolvare următoarea problemă (numită problema lui Prouhet propusă icircn anul 1844) Fiind dat un poligon plan cu un număr impar de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A A + să se construiască un alt poligon

1 2 2 2 1p pB B B B + astfel icircncacirct mijloacele laturilor lui să fie vacircrfurile 1 2 2 2 1 p pA A A A + Cerem elevilor să reformuleze problema Fiind dat un poligon r de vacircrfuri 1 2 2 2 1 p pA A A Acu un număr impa + să se

1+ puncte 1 2 2 2 1 p pB B B B + astfel icircncacirct 1 ( )2 1 1 pB B+ 2Aarate că există p A să fie m entului ijlocul segm 2 să fie mijlocul

gmentse ului ( )1 2 B B 2 1pA + să fie mijlocul segmentului ( )2 2 1 p pB B + Se pot ne şi alte f ie de nivelul clasei şi de obiectivele propuse Solu sideră lanul complex şi notăm cu 1 2 a afixele punctelo

propu ormulări icircn funcţţie Con m p pa a + r 2 1 C2pndash1

p

C2p+1 C0 C1

1 2 2 1 pA A A + Fie un punct oarecare 0C de afix 0z şi determinăm 1z afixul punctului 1C A A2p 2

astfel icircncacirct 1A să fie mijlocul segmentului ( )0 1 C C Apoi 2 afixul punctului

2

determinăm z

2C astfel icircncacirct A să fie mijlocul segm ntului ( )2C C şi continuăm pacircnă găsim numă complex 2 1z afixul punctului 2 1pC + astfel icircncacirct 2 1pA

e 1C2rul

p+ + să fie mi cul segmentului

)2 2 1 p pC +

jlo

(C

A2p+1

A1

Din relaţiile 2 2 10 1 1 2 p pz zz z z z +1 2 2 1

2 2 2 pa a a +

++ += = = obţinem

20 2 1

ppz z ++ 2 1

1 12

p

k kk k

z a+

= =

+ =sum sum şi deci 2

21 1

2 p p

k kk k

z a= =

=sum sum0 2 1

2p

2 1 20 1

p p

k kk k

z za a+

+minussum (1) Notăm +

= =

= sum 0 2 1

2pz z

c ++= afixul C mijlocul segmentului + Punctul C

fix fiind determinat numai ctelor A A

punctului 0C C⎡ ⎤⎣ ⎦ este

de poziţia pun 2 1 pA

2 1 p

1 2 + Notăm 1 3 2 11

pzp

+=+

afi lui Grsquo care este

centrul de greutate al poligonului 1 3 2 1 pA A A + ş

a a a+ + +xul punctu

i 2 4 2 p

pentrul de greutate al poligonu-

2 4 2 p

a a az

+ + += afixul punctului Grdquo c

lui A A Din relaţia (1) deducem ( ) ( )1 c p z pz c z p z z= + minus hArr minus = minus A (2) deci tul C se găseşte pe dreapta

CG p G= sdot Observa

2 Icircn cazul re poligonul pA A A

punc

G G şi mai mult ( ) G G Cisin cu G ţii 1 Dacă G G= atunci

icircn ca

C G G= =

1 2 2 1 este regulat atunci C G G= =+ este centrul cercului circum-ris pol

ultat int resa r care poate emă Se dau pu p+ e că oricare a plan pentru

sc igonului tragem e A atenţia elevilor asupra acestui rez nt şi chiar surprinzăto fi formulat astfel

bdquoL nctele A A A Să se arat r fi un punct C din care construim simetricul său 1 2 2 1 0

1C icircn raport cu 1A apoi simetricul acestuia 2C icircn raport cu 2A şi aşa mai departe pacircnă la 2 1pC + simetricul punctului 2 pC icircn

segmentului ⎡⎣ eraport cu 2 1pA + mijlocul 0 2 1 pC C + ⎤⎦ este un punct fix C situat p semidreapta [ G G unde G este centrul de

utate al poligonului 1 3 2 pgre A A A iar G e e centrul de gr tate al poligonului 2 4 st eu 2 pA A A Dacă 0C = unci 0 2 1pC C C += = No 2 1 1 1pC B C+tăm pB +C at 2 1 = = etc deci soluţia problemei ligonul 1 2 2 1 pB Beste po B + Ne punem icircntre icircntacircm lă dacă poligonul are un număr par de vacircbarea bdquoCe se p rfurirdquo

20

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Preocupări didactice

punctele ( )2Fie ( ) ( )1 1 2 2 2p pA z A z z şi reluăm proce ix şi determ

ăm

A deul din prima parte Fie un punct 0C de af i- 0z

n afixul punctului C astfel icircncacirct 1z 1 1A s locul segmentului ă fie mij ( )C C şi aşa mai 0 1

departe Există relaţiile 2 1 20 1 1 2

1 2 2 2

p p2

2 p

z zz z z za a aminus ++ +

= = din care obţinem =

2 1 2

0 2

1 12

p pp

k kk k

z zz a

minus

= =

++ =sum sum ş

1 1

2p p

k kk k

z aminus minus

= =

= +sum sum

eci

i 2 1 1

2 2 1pz minus

D 1minus

0 22 1 2 2 2 1

1 12

p pp

k k p pk k

z za a a zminus minus

= =

+= minus + minussum sum (3) sunt 2 1p + puncte şi treb

ma să aibă soluţie trebuie ca să existe e 0p p z

0 1 2 pC C C uie să avem 2 p puncte Pentru ca

proble galitatea 0 2C C z2 = hArr

Din relaţia (3) ţinem 0 2 1 2 2 2 11 1

k k p pk k

z a a a z

=

obp pminus1

minus minus= =

= minus + minussum sum deci 1

0 2 1 2 1 21 1

p k kk k

z z a aminus

minus minus= =

+ = minussum sum 2 p p

pa+

) devine p şi obţi 1Ultima dintre relaţiile (3 nem 2 1 0 22pz z aminus + = 1

2 21 1

p p

k kk k

z zminus

minus= =

=sum sum (5)

ă ca problema s ul icircn car gonul are 2n vacircrfuri Este relaţia (5) o con-Relaţia (5) este o condiţie necesar ă aibă soluţie icircn caz e polidiţie suficientă

Presupunem icircndeplinită relaţia (5) icircnlocuim icircn (4) şi obţinem 0 22 2 12 p

p p

z za z

2 minus

+= minus Din ultima dintre relaţiile (3)

2 2 1 22 p p pa z zminus= + deci 0 22 12

pp

z zz minus

+= 2 2 1p pz z minus+ minus 0 2 pz zhArr = Af le coincid 2 0pC C= deci problema

erăm 1 1b z

ixele fiind egale puncte

2 0pB C= de afix 2 0 1 1pb z B C= = de afixare soluţie Consid = Nu trebuie să avem 0 2 pC A= 1 sau 0C A= pentru că bţinem ă şi suficientă ca problema să aibă solu tru un poligon

cu 2n vacircrfuri este

icircn această situaţie o numai puncte Condiţia necesar ţie pen2 1p minus

2 1 21 1

p p

k kp pk

z zz z

minus= == hArr =2 1 2

1 1

kk k

k k p pminus= =

sum sumpminus psum sum ceea ce icircnseamnă că poligoanele A A A şi 1 3 2 1 2 4 2A A A au

acelaşi centru de greutate Soluţie a problemei este orice punc din plan diferit de t 0 2 pC B= 2 pA şi de 1A Icircn general 1 2i jB A i jne = Concluzie Pentru n impar problema are soluţie unică Pentru n par problema are o infinitate de soluţii dacă şi numai dacă afixele punctelor 1 2 2 pA A A icircndepline ţia (5) Dacă nu este icirc eplinită laţia (5) prob ţie sc condi nd re lema nu are solu

P

prof Elena-Genoveva Irimia

1 Proprietatea optică a elipsei Dacă suprafaţa interioară a elipsei este reflectoare orice rază de lumină din sursa plasa

rin Frsquo

isectoa

ROPRIETĂȚI OPTICE ALE CONICELOR

tă F după reflexie va trece p

Cu alte cuvinte proprietatea optică a elipsei se reformulează astfel i) Tangenta la elipsă este egal icircnclinată pe razele vectoare MF MFrsquo sau ii) Normala la elipsă icircn M este b rea unghiului FMFrsquo Proprietatea optică a elipsei are la bază Legea reflexiei luminii O rază de lumină se propagă pe acea traiectorie pe care o parcurge icircn timpul cel mai scurt sau altfel spus Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie i=r Din aceste considerente este suficient să demonstrăm că normala la elipsă icircn M este bisectoarea unghiului FMFrsquo Demonstraţie Fie M E A A B Bisin Notăm cu T intersecţia normalei cu Ox

C

C2pndash1

C2p C0 C1

2pndash2

Fie [ )cos

02sin

x a tE t

y b tπ

=⎧isin⎨ =⎩

( ) ( )cos 3 0 2 sin 2 2

MM M

M

x ax y E A A B B

y bα

M π πα π πα

=⎧ ⎧ ⎫isin rArr isin⎨ ⎨ ⎬= ⎩ ⎭⎩

Ecuaţia tangentei icircn M este ctgsin

b by xa

αα

⎛ ⎞= minus +⎜ ⎟⎝ ⎠

deoarece din 2 2

2 2 1x yEa b

+ = rArr tangenta icircn M la E este

2 2

cos1M Mx x y y αsdot sdot sin 1x ya ba b

α+ = + sdot = EcuaţiahArr sdot normalei MT ( )tg 1mtg MTMT mperp rArr sdot = minus

A2pndash1

A2

2C

A2p A1

21

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

( ) (sin tg cosa x ab

)1 ctg

M MMT y y x x MT y bba

α α= minus αα

minus = minus hArr minus Dar 0 sinT MT Ox by α= rArr = rArr minus =cap

( ) ( )2c2 2 2 2cos coscos cos

cos cosa axtg x a b a a b a x xb a

α αα α αα α

= minus rArr minus = minus rArr minus = sdot rArr = Deci 2 cos 0 cT

aα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 0cos cos 1

c a

Tc cx c T

a aα α

lt lt

= le le le rArr isin FF

Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos 1 cos cos M F M FMF x x y y a c b a c a c a cα α α α α= minus + minus = minus + = minus + minus minus = minus

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 cMF os 1 cos cos M F M Fx x y y a c a c a cα α α= minus + minus == + + minus minus = +

Deci ( )2 2 2 coscos cos cos T F

c c ac c c cTF x x c c a c MFa a a a a

αα α αminus= minus = minus = minus = = minus =

( )2

TF = cos cos T Fc c cx x c a c MFa a a

α αminus = + = + = Astfel icircn FMFΔ avem ( )T FFisin şi

TF TF MF TFMF MF MF TF

= hArr =

Conform reciprocei teoremei bisectoarei (MFrArr bisect F qe Observaţie Pentru

oarea FM d M A A B Bisin demonstraţia este simplă (se formează triunghiuri isoscele cu MO bisectoare)

ică a hiperbolei Orice rază care pleacă din sursa luminoasă plasată icircn F va crea impresia după reflexie că are drept sursă Frsquo (bdquomas-

rea su

sh

2 Proprietatea opt ca rseirdquo) Demonstraţie Icircn baza legii reflexiei luminii va trebui să arătăm că normala la hiperbolă icircn M este bisectoarea unghiului format de razele focale Sau va trebui să arătăm că tangenta la hiperbolă icircn punctul M este

isectoarea unghiului FMFrsquo b

Fie ecuaţiile parametrice ale hiperbolei H ch

x a t= minus⎧

⎨ unde y b t= minus⎩

cht te et

minus+=

2

sh2

t te etminusminus

= Se cunoaşte

Deoarece

tisin 2 2ch sh 1t tminus =

astfel icircncacirct ch

sh

M

M

x ay b

θθ

= minusMisinH ( )θrArr exist isin

⎧⎨ =⎩

Tangenta

rbola va avea eicircn M la hipe cuaţia H 2 2Mxxminus =

Deci tg

1Myya b

ch sh1sh sh

b ba b

θ chsh

bx y y xa

θ θ θ θ θ

+ = + Cum

y = ş

= sdot rArr

0TT MT Oxisin rArrcap i chTax

t= minus

( )1 chTax T F

t= lt rArr isin Deci F ( )( MT Isub nt F MF ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2ch shM F M FMF x x y y a c bθ θminus + minus = minus minus + = =

( )( )2 2 2 2 2sh θ +2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch 2 ch ch 1a ac c b a ac c c aθ θ θ θ θ= + + + = + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a a c aθ θ θ θ θ= + + + minus minus + = + = + θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ch sh ch 2 ch ch 1M F M FMF x x y y a c b a ac c c aθ θ θ θ θ= minus + minus = minus + + = minus + + minus minus =

( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ch 2 ch ch ch ch ch a ac c c c a a c a c aθ θ θ θ θ θ= minus + + minus minus + = minus = minus

ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus minus = + ch chT F

a aTF x x c cθ θ

= minus = minus + = minus

ch ch

TF a c MFTF c a MF

θθ

+= =

minus de unde con orm reciprocei teoremei bisectoarei icircnf (F MF MTrArr bisectoarea F MFΔ qed

3 Proprietatea optică a parabolei

22

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Preocupări didactice

bdquoDacă o sursă de paralele cu axa oglinzii parabolicerdquo sau invers bdquoRazele de lumin icircn focarrdquo

arcul

lumină este aşezată icircn focar atunci razele reflectate sunt ă paralele cu axa unei oglinzi parabolice sunt reflectate

OM O oglindă parabolică se obţine rotind icircn jurul axei de simetrie

abol

Oglinda parabolică este singura care asigură focalizarea punctuală a unui fascicul de lumină paralel indiferent de dimensiunile acestuia Pentru a demonstra proprietatea optică a par ei vom demonstra Teoremă Fie P o parabolă de focar F axă Ox şi M Pisin cu 0M ne Tangenta şi normala icircn M la P sunt bisectoarele unghiului format de raza focală MF cu paralela prin M la Ox Demonstraţie

Notăm ( )2 0 p q F q= 2t⎧

4x

tqy t

=⎪Ecuaţiile parametrice ale parabolei P sunt isin⎨⎪ =⎩

Din ( ) ( ) 0M x y P tisin rArr exist ne astfel icircncacirct 0 0

2

0

0

4txq

y t

⎧=⎪

⎨⎪ =⎩

Tang are ecuaţia 2

24t ty qq

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ enta d la parabola P icircn M d x

2

Ecuaţia normalei n este 2

y p xq

minus = minus minus⎜⎝ 4

p tq

⎛ ⎞⎟⎠

a Ox icircn punctul 2

2 04tN qq

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ Normala intersectează ax +

2

4N FNF x x q

q= minus = + ( ) ( )

22 2

4t

MMF x= minus F M Ftx y y qq

+ minus = +

Deci isoscel NF MF MFN= rArr Δ FMN MNFrArr equiv Dar MNF NMQequiv (unghiuri alterne interne) Rezultă (FMN NMQ MNequiv rArr bisectoarea FMQ qed

PROBL

REZOL U VECTORIAL

prof Otilia Meicu

Locuri geometrice fundamenta1 Sfera A(abc) fix M(xyz) variabil lg M cu MA= r gt0

EME DE LOC GEOMETRIC IcircN PLAN (SPAŢIU) VATE ANALITIC SA

le hArr 2 2 2( ) ( ) ( ) 2x a y b z c rminus + minus + minus =

2 Planul mediator al segmentului [AB] A(abc) B ) fixe lg M(xyz) cu MA=MB( a b c hArr

P2 ( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = cu 2n AB BA P= rArr perp şi

2a a b b c cO P

⎛ ⎞+ + +2 2⎝ ⎠

b+ +

isin⎜ ⎟⎜ ⎟

3 Planul bisector al unghiului diedru format de două plane secante

y c z d+ = cu 1P 1 1 1 1 0a x b y c z d+ + + = 2P 2 2 2 2 0a x2 2 2

1a 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 20

b a c b ca b a c b c

+ + ne

(xyz) cu d(M ) = ( P ) lg M M 2 1P hArr 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a x b y c z d+ + + a x b y c z d

a b c a b c

+ + +

+ + + +

ecuaţii ce reprezintă cele două plane bisectoare ale unghiurilor diedre determinate t re icircntre ele

4 Dacă A B sunt puncte fixe din plan (spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (spaţiu)

= plusmn

de 1P şi 2P şi care sun perpendicula

care satisfac relaţia a) 2 2MA MB = constant minusb) 2 2MA MB+ = constant c) MA MBsdot = constant

entru plan AMd) pMB

= k gt 0 (cercul lui Apolonius)

Rezolvare a)

23

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

Fie MA gt MB 2 2MA Mminus = 2k 2 2

Bicircn plan MA MBminus = 2k hArr d ( )a aminus + + c = 0 cu x ( )y b bminus 1d ABm msdot = minus

icircn spaţiu 2 2MA MBminus = cu 2k hArr P 2( ) 2( ) 2( ) 0a a x b b y c c z dminus + minus + minus + = AB = 2 n P ABsdot hArr perp Soluţie v i ul luiă fie O m jloc [AB] ectorial

2 2MA MBminus = 2k hArr 2 2 2 2( )( )MA MB k MA MB MA MB kminus = hArr minus + = 22

2kBA O MM k AB OhArr sdot = hArr sdot = lg M este

icircn spaţiu un plan P AB deoarece produsul

hArr

minus icircn plan o dreapta dperp AB AB OMsdot minus perp este constant dacă proiecţia lui M pe AB este fixă

Rezolvare c) ndash soluţie vectorială cosMA MO OA MB MO= + = +OB OA OB OA OB OA OBπsdot = sdot sdot = minus sdot

2 ( )MA MB k MO O OA OB OA OBsdot = hArr + + minus sdot 2M k= MO OA OB khArr minus sdot =2

2 4

ABMO khArr = + pentru 2

4ABk + gt0

2

4ABMO khArr = + hArr lg M lan este p ndash

2C 0

4ABk

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

spaţiu ndash2

0 4

ABS k⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Pentru k=0 lg M este 0 2

AB⎛ ⎞ respective C ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 2

ABS ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Generalizare punctului 4 (b) xe A B din ) şi constan

kα β SSe consideră punctele fi plan (spaţiu tele ă se determ iu) ine lg al punctelor M din plan (spaţ2 2care satisfac relaţia MA M

Rezolvare Bα β+ = )k ( 0α β+ ne

Fie C ABisin ACCB

β= tα

= 1

MA tMB++

MCt

= 2 2 22

22(1 )

MA t B tMA MBMC sdotsdot

MMC MCt

+ += =

+

cosMA MA MMB MB A Bsdot = sdot sdot2 2

2

2MA MB AB+ minus=

2 2 2 22

2(1 ) ( )

(1 )t MA t t MB tABMC

t

++ + + minus=

+ sau

2 22

21 (1 )

2MA tMB tABMCt t

+= minus

+ +Se obţine cu t β

α=

sau2 2 2

22( )

MA MB ABMC conα β αβα β α β+

= minus =+ +

st r=

Rezultă că 2

2 2 22( )

k ABMA MB k MC αβα βα β α β

+ = hArr = minus+ +

r=

şi pentru rgt0 lg M este ndashicircn plan ( )C C r ndashicircn spaţiu ( )S C r 5 Dacă A B ă C sunt trei puncte fixe necoliniare icircn plan (spaţiu) s se determine lg al punctelor M icircn plan (spaţiu) care satisfac re-laţia

nt

are a)-metoda analitică ntru plan 3 3( ) ( )

a) 2 2 2MA MB MC+ + = constab) 0 0MA MB kMA MC ksdot + sdot = gt

Rezolvminus pe 2 2 ( )1 1A a b C a b şB a b i AB c AC b BC a= = =

2 2 2 2 (MA MB MC k x+ + = hArr 2 21 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

) ( )3 3

1 1( ) ( ) ( ) [3 ( )]9 3 9G G

a a b b by

a b c x x y y k a b c

+ + + +minus + minus +

+ + + = hArr minus + minus = minus + +

cu

3a

22 2k

G( )G Gx y centrul de greutate pentru ABCΔ

lg M icircn plan este minus 2 2 2 21( 3 ( ) )hArr3

C G k a b cminus + +

icircn spaţiu esteminus 2 21 2 2( 3 ( ) )3

S G k a b cminus + + pt 3k a b cgt +

Rezolvare b)

ie ]isin

2 2 2 2+

F C cu [P B 11 1

BP kPC

= rArrkMP MB MC

k k= +

+ +

24

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Preocupări didactice

1MBMrArr

MA k MC MAP MAk

sdot + sdot sdotsdot =

+

0 0MA MB k MA MC MP MA MP MAsdot + sdot = hArr sdot = hArr perp

hArr2

mAMB π= hArr lg Mndash icircn plan este ( )

2APC O ( )

2APS O ndash icircn ţiu este spa cu O mijlocul lui [AP]

6 Dacă ABCD sunt patru p icircn plan ( paţiu) care sa-tisfac relaţia

uncte fixe necoliniare spaţiu) să se determine lg al punctelor M din plan (s

a) 2 2 2 2MA MB MC MD+ = + b) MA MB MC MDsdot = sdot

Rezolvare b) ijloc [AB] Q-mijloc[CD] R-mijloc[EF] P-m

2 MA MP PA MB MP PB PA PB PA PB PA= + = + sdot = minus sdot = minus sau 2 2MA B M Pminus M P Asdot =analog 2 2MC MD MQ QCsdot = minus

22 2 2

2 2 2 2

MA Psdot =MB MC MD M PA MQ QC

PA MQ QC

sdot hArr minus = minus

= minus =

lg M ndash icircn plan este o dreaptă ndashicircn spa plan (conform problemei 4(a))

Completare e puncte necoliniare din spaţiu să se determine lg al punctelor M din spaţiu care satisfac

MP consthArr minushArr d PQperp ţiu este un

P PQperp

Dacă ABCDEF sunt şasrelaţia MA sdotMB MC MD ME MF= sdot = sdot Rezolvare

2 2 2 2MA MB Qsdot MC MD MP PA M QC const= sdot hArr minus = minus = lg M este 1P PQperp 2 2 2 2MA MB ME MF MP MR PA RE constsdot hArr minus = minus = lg M este sdot = 2P PRperp 2 2 2 2MC MD ME MF MQ MR QC RE const lg M este sdot = sdot hArr minus = minus =

3 deoarece punctele de pe dreaptă verific anului P lucru care se verifică scăzacircnd primele două relaţii lg este dreapta Dacă AB=CD=E ]

(P ris

3P QRperp

1 2P P d P= subcap ă ecuaţia pl 3 rArr ( )d PQRperp

F atunci 1 2 3 P P P sunt planele mediatoare a segmentelor [PQ [QR][RP] iar lg M este perpendiculara pe planul QR) icircn centrul cercu sclui circum PQRΔ

7 Se consideră punctele ABC necoliniare şi [ ] [ ]M AB N ACisin isin cu AM CN kMB NA

= = Dacă P este un punct fix să se deter-

mine lg al centrului de greutate al MNPΔ cacircRezolvare Prsquo mijlocul lui [MN] G centrul de gre al

nd k este o mărime variabilă

utate MNPΔ 2 2

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

11 11

1 1

PM PN PM PN

kPM PA PBk k

kPN PC PAk k

+ +

= ++ +

= ++ +

Rezultă că

3 3 2 3

PG PP= = =3 3 2 3

PG PP= = =

(1 )3

k PA PC k PBPG + + +=

sau 1PG =

Fie Q C

3 3(1 )PC k PBPA

k+

++

Bisin cu [ ] 11 1

CQ kk PQ PC PBQC k k

= rArr = ++ +

Rezultă că 1 13 3

PG PA PQ= +

isin cu

Dacă exist BC u Rα= rArr BQ uα= sdot ş ui PQ PB BQ PB α= + se obţine = + sdot1 1 13 3 3

PG PA PB uα= + + sdot cu PA PB u vec-

nstanţi şi tori co Rα isin varia a a alenţa bil Icircn urm cestor calcule are loc echiv 2 3 3

PA PB u3

PP PG +PG α= hArr = sdot+ nde

rezultă ca lg G est dreaptă de vector director

de u

e o 3u deci este paralelă cu BC

25

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

8 Se consideră două cercuri 21 CC situate in dou plane paralele Să se determă ine lg al mijlocului segmentului

atunci cacircnd parcurge cerc parcurge cercul

g X ijlo ]

][ 21MM

1 2Rezolvare T ndash mijlocul se mentului 1 2[ ]O O ndash m cul segmentului [

M ul 1C şi 2M C

1 2M M

1 1 1O M R O= 2 2 2

1 1 2

2 2

M R

O M M

=

1 2 1 2 2 2 1 1 2TM TM TO TO O M O M OTX + + + + += = =

Dacă este vectorul normal pentru şi rezulta că h 1P 2P 1 1 0h O Msdot = şi 2 2 0h O Msdot =

Rezultă că cu ş 0h TX X Psdot = rArr isin 1||P P i 2||P P

2 2 21 ( 2R Rsdot = + +1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2

)4

cos

1 1( 2 ) ( 24 4

O

O M O M R R O M O M R R R R O M O M R R

R R R R R R O M O M

λ

= sdot

sdot = sdot sdot rArr sdot le sdot hArr minus sdot le sdot le sdot

hArr + minus le + + sdot

1 2TX TX TX O M M

2 21 2 1 2

1 22 2 2 1 21 2 1 2

1) ( 2 )4

1 1( ) ( )4 4 2 2

R R R R

R R R RR R TX R R TX

le + +

minus +hArr minus le le + hArr le le

lg X este coroana circulară determinată de cercurile 1 2( )2

R RC T

+ şi 1 2( )

2R R

C Tminus

E PENTRU NCŢII VECTORIALE

prof Sergiu Nistor

1 Funcţii com Fie funcţia

TEOREMA DE MEDI FU

plexe derivabile de o variabilă reală [ ] ( ) ( ) ( )f a b f t αrarr = t i tβ+ sdot

( ) ( )Notăm ( )

00 lim

t t

0

0

f t f tminus dacă ex ă Deci ) ( ) ( ) [ ](ff t

rarr= t t

t tminus limita ist i t t a bα β= + sdot forall isin Existenţa lui frsquo este echivalen-

istenţa simultană a derivattă cu ex elor α şi β

[ ] [ ]a b [ ]bisinşi ( ) 0f t = f a este derivabilă pe b rarr t a Teorema 1 Dacă pentru orice (derivabilă la dreapta icircn

a şi derivabilă la stacircnga icircn b) atunci f es o co stante n tă pe [ ]a b

Icircntr-adevăr ( ) ( ) [( ) ] 0 0 f t t t t a bβ = forall isin ă α= hArr = ceea ce implic ( ) ( t cα β )1 2t c= = pentru orice [ ]t a bisin

Deci ( ) [ ]1 2f t c ic= + (o constantă complexă) pentru orice bt aisin Teorema creşterilor finite a lui Lagrang pentru toate funcţiil variabi

ă Observaţia 1 e nu este adevărată e complexe de o -lă real Exemplu ( ) [ ]2 3 f t t i t f a b a b= + sdot rarr lt

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 3 2 3 2 2f b minus 3 f a f c b a b ib a ia c c i b a= minus hArr + minus minus = + minus

galacircnd părţile reale şi imaginare obţinem ⎪⎨minus = minus⎪⎩

( )( )

2 2

3 3 2

2

3

b a c b a

b a c b a

⎧ minus = minusE

( )2

22 2 3 a ba ab b ⎛+ + = sdot hArr⎜Eliminacircnd pe c obţinem 02

a b a b+ ⎞ hArr minus = =⎟⎝ ⎠

ceea ce contrazice ipoteza

Totuşi există două variante mai slabe pentru teorema creşterilor finite a lui Lagrange date icircn teorema următoare

a blt

Teorema 2 Dacă [ ]a b este un interval din şi f o funcţie complexă pe [ ]a b continuă pe [ ]a b derivabilă pe

( ) a b atunci există un punct ( )c a bisin cu 1σ leşi un număr com lex p σ astfel icircncacirct

(1) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a c b aminus le sdot minus şi (2) f ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus

erăm funDemonstraţie Consid cţia reală [ ] a bϕ rarr defi n ( ) ( ) ( )t m tβ+ sdot unde t lϕ α= sdot nită pri

( ) ( ) ( ) ( )Re Rl f b α= minus =⎡ Im e Im f a m f b f a f fβ= minus =⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ Funcţia ⎣ ⎦ ϕ este continuă pe [ ]a b şi derivabilă pe ( ) a b

( )c a bisin Aplicacircnd teorema creşterilor finite rezultă că există astfel icircncacirct ( ) ( ) ( ) ( )ϕ b a b a cϕ ϕminus = minus sdot

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b a l b a m b aϕ ϕ α α β βminus = minus + minus⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ ( ) ( ) ( ) (a m b aα α β βminus = minus ţinem )l b= ob⎣ ⎦ ⎣ iar

26

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Preocupări didactice

( ) ( ) ( ) ( ) 2b a f b f aϕ ϕminus = minus Icircntrucacirct ( ) ( ) ( ) c l cϕ α β= sdot sdot aplicacircnd in chc m+ egalitatea Cauchy-S warz deducem că

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )22 2 c l m c c f b f a f cϕ ϕ βle + sdot + = minus sdot

Deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 f b f a b a b a c b a f b f a f cϕ ϕ ϕminus = minus = minus sdot le minus sdot minus sdot de unde prin simplificare cu

( ) ( ) 0f b f aminus gt obţinem inegalitatea (1) Icircn cazul ( ) ( ) f a f= inegalitatea (1) rămacircne valabilă

) obţinem

b

Din (1( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )1 11f b f aminus

sdot le1f c b aminus

Notăm b a

f b f af c

τ τminus

= sdot isin le

( ) ( )minus

Atunci ( ) ( )1 cos si

f b f ai

b an

f cτ θ

minussdot = +

minus

Dacă notăm

θ

( )cos siniσ τ θ θ= + obţinem ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b aσminus = sdot sdot minus cu 1σ σ τ isin = le

toTeorema de medie pentru funcţii vec riale ( ) 1n mf D n msub rarr ge ge 1

rema 21 Fie f D e D este un deschis din Teo mrarr und ( ) 1 p1 n n mge ge diferenţiabilă e D Dacă există 0M gt

aşa icircncacirct ( ) df x Mle pentru orice x Cisin unde C e icircn ste o mulţime conexă inclusă D atunci pentru orice două puncte

a b Cisin are loc inegalitatea ( )( ) f b b aminusf a Mminus le sdot

Demonstraţie Fie f definită prin ( ) ( )( ) g t f a t b a= + minus [ ]01 tforall isin sub[ ] 01 mg rarruncţia auxiliară Avem

)1( ) arbitrar Notăm [ ] ( ) ( ) 01 0 A t g t g M t b a tε ε= isin minus le sdot sdot minus + + (g f a= şi ( ) ( )0 g f b= Fie 0ε gt

erea a două fu ile este o funcţie diferenţiabilă deci catunci A este ţime icircnchisă ea A

Deoarece g este obţinută prin compun ncţii diferenţiab ontinuă mul Mulţim este nevidă ( )Aisin şi mărginită Deci A este mulţime compactă 0

Fie sup Aβ = Cum A este compactă şi β este un punct aderent mulţimii A rezultă că Aβ isin

Funcţia g este continuă icircn 0 deci 0δexist gt astfel icircncacirct ( ) ( )0 g t Mt b a tg ε ε εminus lt le minus + + pentru t δlt Deci el puţin un punct 0t gt astfel icircncacirct t A există c isin Deci 0β gt Arătăm că Presupunem că 1β lt Rezultă 1β =

( ) ( ) [ ] a b a a b a b a bβ+ minus isin = f este difere nţiabilă icirc Cum nţiabilă pe D că g este difere n rezultă β de unde deducem că

pentru 0 t δlt lt are loc inegalitate ( )a ( ) ( )g t g dg t Mt b a t tβ β β ε+ minus minus + ici obţinem εle + le De a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0g t g g t g 0g g Mt b a t M b aβ β β+ minus le + minus β ε β εβ ε+ minus le minus + + minus + +

( ) ( ) M a tt bβ β ε ε= minus + + sdot + De+ sdot ci t Aβ + isin A ceea ce contrazice faptul că sup= Deci 1β = Aβ tunci ţinacircnd seama

că 1 ( ) ( )1 0 2g g M b aAβ = isin avem εminus le sdot minus + Cum ε este arbitrar obţinem ( ) ( ) f b f a Mminus le b aminus

Corolar Fie D este u mf D rarr unde n deschis din ( )1 1n n mge ge bilă pe acă a b D diferenţia D D isin astfel icircn-

cacirct l [segmentu ]a b sub ( ) ( ) (D( )

)

atunci are loc inegalitatea sup x a b

f b f a b a dle minus sdot f xisin

minus

Generalizar uncţii f rarr-un exem i teoretice

Observaţia 1 ea teoremei lui Rolle pentru f 2 nu este adevărată Icircnainte de a justifica acest fapt printr plu amintim cacircteva chestiun

2

Fie 2 2f rarr definită prin ( ) ( ) f x y u v= unde ( )( )

1 2

u f x

v

=⎧⎪ rarr⎨=⎪⎩

1 22

yf f

f x y

Deci ( ) ( ) ( )( )1 ( ) 2x y isin2x y f x y f x y= Spunem că f este diferenţiabilă icircn dacă funcţiile 1f şi 2ff sunt diferenţiabile

icircn ( ) x y Derivata lui f icircn punctul ( )x y este dată de matricea

( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 2

f x y f x yx y⎜ ⎟

f x y f x yx y

part part⎛ ⎞part part

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

c ⎜ ⎟ şi notată u ) (f x y Această ma-

este

( ) ( )

trice se mai numeşte jacobianul funcţiei ( ) f x y Jacobianul lui ( )f x y icircn punctul ( ) 2n l isin( ) ( )

1 1

2 2

f n lx y

f n l f n lx y

⎜ ⎟part part⎜ ⎟

⎜ ⎟part part⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

f n lpart part⎛ ⎞

Vom nota ( ) ( ) )( 2 D x y x y y y r= isin minus le b centrul icirc ( )0 0 0 0r x xminus ila cu n 0 0x y ă r iar

( ) ( ) ( )

şi de raz cu

20 0 0 0 rB x y x y x x y y r= isin minus minus lt bila deschisă Fie ( ) ( ) ( ) 2

0 0 0 0 rS x y x y x x y y r= isin minus minus =

27

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

Fie funcţia f )2 3 2 2 rarr definită prin 3 2 ( ) (f x y x xy x= + minus

abilă pe

yx y y+ minus Evident f este continuă pe ( )1 00D şi diferenţi-

( )1 00 B ( ) ( ) ( )0 1 0 0f x y x y S= forall isin

a lui Rolle a r trebui ca derivata lui f să fie nulă icircnDacă teorem r fi adevărată a tr-un punct din ( )1 00 B

Icircnsă ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

2 2

2 22 3 2 3

0 03 1 2

0 02 3 1x y

x xy x x xy x

x y

yx y y yx y y

x y

⎛ ⎞+ minus part + minus⎜ ⎟

xyf x y

xy x y

part

part part ⎛ ⎞+ minus ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ne⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + minuspart + minus part + minus ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟part part⎝ ⎠

Observaţia 2 Dacă este olomorfă pe D (convexă deschisă) se poate da o generalizare a teoremei lui Rolle Amintim că o funcţ eşte olomorfă pe G dacă f este derivabilă icircn fiecare punct din mulţimea des-chisă G

D rarr o fun

f D sub rarrie complexă f se num 0z

Teorema 22 Fie f cţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Dacă

a b D a bisin ne astfel icircncacirct ( ) ( ) 0f a f b= = atunci există 1 2z z pe segmentul ( )a b astfel icircncacirct ( )( )1Re 0f z = şi

(( f ))2Im 0z =

Demonstraţie Fie ( )( ) ( ) ( )1 1m Re Ima a b b b= = şi 2 2Re I a a b= = ( ) ( )( ) u z f z ( )Re= ( )( )Im v z f z=

Definim funcţia ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]1 1 2 2 01t b a u a t b a b a v a t b a tφ = minus sdot + minus + minus sdot + minus forall isin [ ] 01 rarr astfel φ

inD ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0u a u b v a v b= = = = Deci ( ) ( )1 a lui (f a f b= obţinem 0 0 φ φ= = Aplicăm teorem Rolle funcţiei φ p

[e

]01 şi obţinem 1 ( ) ( )1 1 0 0t tφ = isin Fie ( )1 1 z a t b a= + minus Obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 2 0

u z v zb b a a

x ypart part part ⎤

minus sdot + minus sdot =⎥part part⎣

( )

11 1 1 2 2 2 2 2

u z v za b a b a b a b

y xpart⎡ ⎤ ⎡

minus minus sdot + minus sdot sdot + minus⎢ ⎥ ⎢part part⎦ ⎣ ⎦

Folosind relaţiile Cauchy-Riemann ( )u z v z

x ypart part

=part part

şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21

1 1 2 2 0u z

b a b ax

part ⎡ ⎤minus + minus =⎣ ⎦part

u zy x

part part= minus

v zpart

rezultă că part

Astfel

( ) ( )( )1xpart0 Re 0

u zf z

part= hArr = Folosind acelaşi raţionament pentru funcţia g if= minus există astfel ca ( )2 z a bisin

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 20 Re Im

v z u zg z f z

x ypartpart part

= = = minus =part

Observaţia 3 Folosind teorema III22 e poate stabili o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru acelaşi tip de funcţii ca icircn teorema precedentă adică Teorema 23 Fie o funcţie olomorfă pe D unde D este o submulţime deschisă conexă a lui Fie f D rarr

a b D a bisin ne Atunci există ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1Re Re

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟ şi ( )( )

b aminus⎝ ⎠2Im Im

f b f af z

minus⎛ ⎞= ⎜ ⎟

b aminus⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( ) ( )Demonstraţie Fie f b f a

g z f z z a z D= minus minus sdot minus forall isinminus

Evident şi deci aplicacircnd teorema III22 funcţiei g există

f ab aminus

( ) ( ) 0g a g b= = ( )1 2 z z a bisin astfel icircncacirct ( )( )1Re 0g z = şi

( 2Im g z( ( ) ( ) ( ))) 0= ( ) f b f a

zb aminus

minusminus

pentru orice g z f= z Disin

( ) ( )Obţinem deci ( )( ) ( )( )1 10 Re Re Ref b f a

b aminus⎛ ⎞minus⎝

(g z f z= = minus ⎜ ⎟ şi ) ( )

⎠( )( ) ( )( )2 20 Im Im Im

f b f⎛ ag z f z

b aminus ⎞

= = minus ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

28

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

MOTTO bdquoBanii reprezintă un instrument pe care dacă icircl foloseşti cu icircnţelepciune te va ajuta să ai viaţa pe care o doreştirdquo

Prezentarea manualului bdquoBanii şi Bugetulrdquo din cadrul Programului de Educaţie Financiară Junior Achievement

prof Dorina Mormocea

Sunt mulţi adulţi care deşi au un loc de munca nu ştiu cum să icircşi administreze resursele financiare care nu ştiu să cumpere ceea ce au nevoie cacircnd au nevoie Există adulţi care pierd bani icircn investiţii neperformante sau icircn faţa escrocilor adulţi care nu reuşesc să icircşi dea seama cum să trăiască cu banii pe care icirci au Ideea că administrarea banilor este un lucru care se icircnvaţă de la sine odată cu icircnaintarea icircn vacircrstă este un mit Nu e deloc aşa Banii şi bugetul se icircnvaţă la fel ca şi mersul pe bicicletă sau ca şi condusul maşinii Nu trebuie să fii mecanic auto ca să conduci o maşină şi nu trebuie să fii bancher ca să ştii cum sa icircţi controlezi situaţia financiară[2]

Cursul rdquoBanii şi bugetulrdquo şi-a propus ca scop acela de a ajuta tinerii liceeni să facă cele mai bune alegeri şi să deţină controlul asupra proprie lor situaţii financiare Elevilor li se oferă posibilitatea de a icircnvăţa cum să-şi administreze banii indiferent dacă situaţia lor materială este precară medie sau bună Manualul bdquoBanii şi Bugetulrdquo este structurat pe 8 capitole 1 Introducere icircn Program 2 Cheltuieli şi bugete 3 Economisirea 4 Economia Globală 5 Investiţiile 6 Icircmprumutul 7 Asigurări 8 Strategii de viaţă Fiecare capitol al manualului este icircmpărţit icircn mai multe secţiuniintroducere discuţie icircn clasă

probleme şi activităţi practice Noţiunile teoretice sunt introduse cu ajutorul unor probleme de matematici financiare care au la bază noţiunea de şir progresie geometrică şi aritmetică lecturi de grafice capitole din programa de algebră de clasa a IX-a Astfel pentru calculul sumei depuse la o banca icircntr-o perioda de t ani folosim formula de calcul a termenului general pentru o progresie geometrică FV=PV (1+r)^t un-de PV-valoarea principală sau suma depusa iniţial r rata dobacircnzii t numărul de ani icircn care se face depunerea şi FV valoarea viitoare sau suma care o avem dupa t ani Iată căteva exemple de probleme rezolvate in EX-CEL icircn care am folosit diverse valute pentru ca elevii să se obişnuiască cu practica schimbului valutar 1 Calculaţi valoarea viitoare a 1000 de franci elveţieni cu o dobacircndă anuală de

Problema 1 a 5 ani la 7 b 5 ani la 10 c 10 ani la 7 REZOLVARE FV=PV (1+r)^t

2 Guvernul a icircmprumutat bani care vor genera beneficii de 1000 USD icircn 25 de ani Rata dobacircnzii la obligaţiuni este de 10 Nu vor fi efectuate plăţi mai devreme de termenul de 25 de ani Care este preţul actual (valoarea celor 1000USD care vor fi plătiţi peste 25 de ani)

REZOLVARE FV=PV (1+r)^t rArrPV=FV (1+r)^t

3 Calculaţi valoarea prezentă a următoarelor sume pentru o dobacircn-dă de 10 a 650 de baht peste 2 ani

Problema 2

29

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

b 350 de euro peste 1 an c 16000 de yeni peste 8 ani

30

REZOLVARE

FV=PV

(1+r)^t

4 Banca ta oferă un cont care icircţi va dubla banii icircn 9 ani Calculează care este rata dobacircnzii REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+r)^9 (1+r)^9=2 rArr rArr rArr 1+r=2^(19) 5 Dacă obţii 6 la n depozit bancar icircn t timp contul u icirc u cacirc tă şi va dubla valoarea REZOLVARE FV=PV (1+r)^t 2PV=PV(1+006)^n (106)^n=2 =1log2(106) rArr rArr rArr log2(106)^n=1rArr n

6 Ai prefera sa primeşti 1000 de lire sterline acum sau 2000 peste 10 ani dacă dobacircnda este de 8 De ce

7 Să presupunem că astăzi pui 1000 de coroane daneze icircntr-un cont şi cacircte 1000 icircn fiecare an icircn următorii 4 ani Dacă dobacircnda este de 8 cacirct vei avea după 7 ani

8- Tocmai ai cacircştigat la loto Trebuie să alegi icircntre 3600 de yeni astăzi sau 1000 de yeni astăzi şi cacircte 1000 de yeni pe an vreme de 3 ani (deci un total de 4 plăţi) Rata dobacircnzii este de 8 Ce alegi şi de ce

Problema 3 Problema 4

Problema 8

Problema 7

Problema 5

Problema 6

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate

9 Mătuşa ta are un magazin de

31

vacircnzări auto Ţi-a promis 3170 USD pentru maşină peste un an cacircnd vei absolvi Colegul tău icircţi oferă chiar acum 2800USD pen-tru maşină Presupunacircnd că nu ai vrea să conduci maşina icircn acest timp că dobacircnda medie este de 12 vei accepta oferta colegului

10 Trebuie să alegi icircntre 2 mo-dalităţi de a cumpăra o haină noua care costă 75USD

a) Să economiseşti 75USD cacircte 10USD pe lună icircntr-un cont la care vei obţine 6 din economiile tale b) Să cumperi haina cu cacircrdul de credit şi să plăteşti cacircte 5USD pe lună icircn condiţiile unei Rate Proc

Problema 10

Problema 9

entuale Anuale (RPA) de 24

persoana icircnchiriază o casă şi propune chirie două tipuri de contract A şi B 240 lei şi creşte icircn fiecare lună cu 3 lei (din cauza inflaţiei)

11 Contracte de icircnchiriere OA Chiria este icircn prima lună de B Chiria este icircn prima jumătate de lună de 115 lei şi creşte cu 1 leu la fiecare jumătate de lună Care dintre contractele A B este mai avantajos pentru chiriaş

Problema nr11

12 Amortizarea investiţiilor

iniţial al unei investiţii(de exemplu o instalaţie) egal cu c upă intrarea icircn funcţiune acest cost se micşorează treptat deoarece icircn calcule economi-

ce se fac

Să presupunem costul

De convenţia că o parte din cost se transferă produselor obţinute cu ajutorul acelei

instalaţii Se notează cu cn costul corespunzător al acelei instalaţii după n ani (c0=c) Pre-supunem ca există 0ltαlt1 astfel icircncacirct cn+1= cn(1-α) pentru orice alefsymisinn (α este numit coe-ficient de amortizare al investiţiei) Icircn cazul cacircnd c=80000RON iar după 4 ani costul a devenit (bdquo s-a amortizatrdquo ) 20000RON să se determine α şi să se upă cacircţi ani costul coboară sub 8000RON

afle d

Exerciţiul BigMac este un exemplu ilustrativ pentru modul icircn care elevii pot utiliza resursele on-line pentru ca să studieze preţurile şi cum variază puterea de cum-părare icircn lume O cale de a ilustra acest lucru este alegerea unui produs obişnuit standardi-zat - aşa cum este BigMac - şi compararea preţurilor acestui produs peste tot icircn lume Indicele anual al The Economist Big Mac este una dintre cele mai citate unităţi de masurare a valutelor icircnca din 1986 este bazat pe teoria controversata a puterii de cumparare (purchasing power party - PPP) Indicele se bazează pe ideea că preţul unei valute trebuie să reflecte puterea sa de cumpărare Potrivit ultimului indice lansat un Big Problema 12

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

Mac costa 341 dolari icircn SUA icircn timp ce media icircn zona euro pentru acelaşi hamburger este de 414 dolari Dintre cele 10 noi state membre care au aderat la Uniunea Europeana Ungaria continuă să aibă cel mai scump Big Mac (33 dolari) urmata de Slovenia (249 dolari) şi Lituania (261 dolari) Nici Romania nu este departe De pilda un Big Mac costa

economistcom

67 de lei adica 282 dolari Acelaşi hamburger costă icircn jur de 145 dolari icircn China şi 154 dolari icircn Hong Kong potrivit Indicelui Big Mac al The Economist-iulie 2007-www Ca parte a exerciţiului elevii vor cerceta care este preţul produsului icircn oraşul lor icircn ţara lor icircn RON şi apoi realizează convertirea de preţ icircn alte monede pentru a putea face comparaţia cu alte ţari Elevii vor trebui să compare preţurile icircn diferite momente icircn timp fapt de natură să deschidă o discuţie despre inflaţie Iată cum un exemplu simplu un hamburger poate fi utilizat pentru a ilus-tra mai multe concepte importante şi dificile ca inflaţie putere de cumpărare comparaţie icircntre monezile diferitor ţări Ideea este de a ajuta elevii să icircnţeleagă faptul că nu doar valutele sunt diferite dar şi că preţurile şi puterea de cumpărare variază de Ia o ţară la al-ta Motivele care accentuează aceste diferenţe nu sunt icircntotdeauna clare icircnsă diferenţele determină decizii diferite icircn privinţa cum-părării economisirii plasării investiţiilor etc

Dacă elevii au acces la Internet vor găsi multe programe de convertire pe care le pot utiliza Unul foarte interesant este cel de la wwwoandacom care are deopotrivă şi un convertor dar şi un joc referitor la conversie Elevii se pot juca folosind 100000 de dolari (bani virtuali) şi un cont găzduit de site Jocul permite participanţilor să converteas-că monedă icircn baza unor informaţii parvenite icircn timp real prin exprimarea proprietăţilor funcţiei ce reprezintă rata de schimb va-lutar pe baza lecturii grafice Prin identificarea unor puncte semnificative de pe graficul funcţiei din Fig13site-ul dă elevi-lor ocazia de a se distra şi de a icircnvăţa cum să tranzacţioneze valuta fără riscul de a pierde bani adevăraţi

Ultimul capitol Elaborarea unei strategii de viaţă icirci ajută pe elevii să aplice icircn viaţă conceptele financiare de bază La fina-lul acestui capitol vor trebui utilizate toate conceptele financiare corelate economisirea bugetarea investiţiile icircmprumutul şi asigurarea - pentru a elabora un plan personal care icirci va ajuta ca pe viitor visele să devină realitate Participarea la Programul de Educaţie Financiară bdquoBanii şi Bugetulrdquo va forma la elevi obişnuinţa de a recurge la concep-te şi metode matematice icircn abordarea unor situaţii cotidiene pentru rezolvarea unor probleme practice de matematici financiare

Bibliografie

şi formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

1 Ghidul profesorului Banii şi Bugetul personal 2 Manualul elevului Banii şi Bugetul personal 3 Programa Banii şi Bugetul personal

Setul complet de materialele a fost pus la dispoziţie gratuit de către J A Romacircnia

32

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Curiozități matematice

Popas la izvoarele matematicii

PITAGORA ȘI CELEBRA SA TEOREMĂ

prof Elena Roşu

Nu-i poate fi dat omului nimic mai presus şi mai măreţ decacirct cercetarea icircn care frumuseţea şi importanţa descoperirilor icircl icircncurajează şi dă o anumită desfătare

(Lomanosov)

Pitagora (584-497 icircen) matematician și filozof grec A studiat cu Anaximandru (sec 6 icircen) a călătorit și s-a in-struit icircn Egipt și Chaldeea Către anul 530 icircen s-a stabilit icircn Cretona (sudul Italiei) unde a icircnființat o școală filozofică ce reu-nea icircn racircndurile ei peste 300 de ldquopitagorenirdquo unde era icircntronată o disciplină severă de viață și muncă aveau și o emblemă pentagonul stelat Această școală a existat pacircnă icircn jurul anului 350 icircen Importanța pe care o are Pitagora și școala sa icircn dez-voltarea matematicii este pe deplin recunoscută Din studiul numerelor pitagorenii au conceput numerele figurative numerele perfecte numerele amiabile au definit numerele pare și impare

Icircn școala lui Pitagora au fost studiate media aritmetică geometrică și armonică Denumirea de medie armonică a fost dată de Pitagora fiindcă el a folosit această mărime icircn studiul său asupra armoniei muzicale Din cele trei medii Pitagora a fă-

cut o proporție 22

A CAAC C

A C

+

=

+

numită de acesta proporția perfectă sau proporția muzicală fiindcă ea leagă icircntre ele cele 4

intervale care despart sunetele fundamentale din gama diatonică numită și gama lui Pitagora Pitagorenii au studiat printre numerele iraționale și numărul de aur deși nu i s-a atribuit acest nume Acestora le era

cunoscută și existența celor cinci poliedre regulate Acestea au fost numite și figuri cosmice din cauză că Pitagora și apoi Pla-ton au asociat imaginea lor de cea a elementelor primordiale din care considerau că s-a format universul Astfel tetraedrul este simbolul focului cubul simbolul pămacircntului octaedrul simbolul aerului ldquoisosaedrulrdquo avacircnd ca fețe 20 de triunghiuri echilate-rale este simbolul apei iar dodecaedrul simbol al Cosmosului cu tot ce cuprinde el fiind singurul poliedru regulat cu fețe for-mate din pentagoane in numar de 12

Icircn astronomie ideea că pămacircntul se află icircn mișcare icircn jurul unui ldquofoc centralrdquo apare pentru prima dată icircn istoria gacircn-dirii umane tot in cadrul școlii lui PitagoraTot ei au admis pluralitatea lumilor faptul că viteza corpurilor cerești depinde de distanța la care se află de centrul orbitei lor

Icircn matematica școlară numele lui Pitagora este legat de celebra teoremă care-i poartă numele despre care unii istorici ai matematicii antice Plutarh Iamblic Proclus(412-485 icircen) au transmis legenda că Pitagora ca mulțumire pentru izbacircnda stabilirii acestei teoreme a adus jertfă zeilor 100 de bivoli

Străvechea teoremă a lui Pitagora ldquoIcircntr-un triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pă-tratul lungimii ipotenuzeirdquo a fost numită de-a lungul istoriei icircn cele mai diverse feluri

Teorema căsătoriei (măritatului) au numit-o vechii eleni Scaunul soţilor i-au spus hinduşii Figura nevestei o considerau persanii Invenţie demnă de o hecacombă sau stăpacircna matematicii au caracterizat-o icircnvăţaţii din Evul Mediu Puntea măgarului a fost poreclită de liceenii de odinioară

Dar celebra teoremă a fost descoperită cu mult icircnaintea lui Pitagora (sec 4 icircen) care doar a extins-o la orice triunghi dreptunghic (icircn afara acelora cu măsurile laturilor numere naturale pentru care teorema a fost considerată iniţial) fără a pose-da o justificare satisfăcătoare Teorema referitoare la triunghiuri cu laturile exprimate prin numerele 345 era cunoscută icircn Egipt şi icircn China cu peste 1500 de ani icircnaintea presupusului ei descoperitor Descoperiri recente au făcut cunoscut faptul că la Tel-Dibae (lacircngă Bagdad) cu ocazia unor săpături s-au găsit nişte tăbliţe datacircnd din prima civilizaţie babiloneană care stabi-lesc ca matematicienii vechiului Irak cunoşteau demonstraţia teoremei icircn urmă cu vreo 4000 de ani

Teorema lui Pitagora este cunoscută ca fiind prima teoremă care face legătura icircntre o proprietate geometrică a fi tri-unghi dreptunghic (cel mai frumos triunghi după Plutarh) şi o proprietate algebrică suma pătratelor a două numere este egală cu pătratul unui al treilea număr

Fascinaţia teoremei lui Pitagora asupra matematicienilor dar şi asupra unor persoane cu cele mai variate ocupaţii i-a determinat un număr impresionant de demonstraţii inedite peste 500 Matematiciana Elisha S Loomis icircn cartea The Pythagorean Proposition (1940) prezintă 365 demonstraţii diferite utilizacircnd echivalenţa figurilor transpoziţia elementelor sau relaţiilor metrice

Și matematicienii romacircni i-au acordat o importanţă deosebită acestei teoreme Savantul Octav Onicescu remarcă ldquomăsurătorile care se fac potrivit teoremei lui Pitagora au constituit unul dintre fundamentele civilizaţiei europenerdquo Noi de-monstraţii ale celebrei teoreme au dat I Ionescu (1895) A Iliovici (1896) GG Longinescu (1898) C Mateescu (1912) M Ghermănescu (1926) O Sacter (1964) NO Zaharia (1966) M Popescu-Slatina (1966) M Pavelescu (1967) şa

Redescoperirea oricărei demonstraţii a teoremei lui Pitagora unele surprinzătoare prin ingeniozitatea şi simplitatea lor aduce un plus de uimire icircn faţa inventivităţii minţii umane

De la vechii egipteni şi pacircnă icircn zilele noastre teorema lui Pitagora şi-a dovedit icircn permanenţă utilitatea icircn rezolvări practice

ldquoPrietenul care ne ascunde defectele ne slujește mai rău decacirct dușmanul care ni le reproșeazărdquo (Pitagora)

33

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

PROBLEME PROPUSE

Clasa a IX-a 1 Dacă 1 1 1 A B C sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC D piciorul icircnălțimii din A 1H ortocentrul triunghiului 1 1A B D iar 2H ortocentrul triunghiului 1 1A C D să se arate că patrulaterul 1 2 1 1H H C B este paralelogram

prof Otilia Meicu 2 Fie funcțiile cu proprietațile a) f g rarr ( )( ) 2 3 4f g x x x= minus + b) ( )( )2g f 2= Demonstrați că ( ) ( )2 2f g 2= =

prof Elena Roșu

3 Aflați numărul funcțiilor injective care satisfac relația f rarr ( ) ( )2 23 12 9

f x f xminus ge xforall isin

prof Elena Roșu

4 Să se demonstreze că dacă ( ) 0x yisin +infin și 14

xy = atunci ( ) ( )2 26 1 1 4x x y xy+ + times + + ge

prof Elena Roșu 5 Fie cu proprietatea

1 2 na a a +isin 1 2 1na a a+ + =

Demonstrați că 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1 2n n na a a a a a a aminus+ + + + + + + + ge

prof Elena Roșu Clasa a X-a 1 Să se rezolve ecuaţia 2 3 3 5 5 2 2 2 2 3 2 5x x x x x x x x x x x+ + + + + = sdot + sdot + sdot x

prof Elena Roșu

2 Să se rezolve sistemul 4 4

2 2

log

12

ayx yx

x x y y

⎧ minus =⎪⎨⎪ + sdot + =⎩

prof Elena Roșu

3 Să se arate că are loc inegalitatea 20082011lg 2 lg3 lg 2009 lg

2⎛ ⎞sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot le ⎜ ⎟⎝ ⎠

prof Otilia Meicu 4 Să se rezolve ecuaţia 2lg(10 1) lg(10 1)x x xminus sdot + =

prof Otilia Meicu 5 Să se determine care verifică relația xisin ( )22lg 1 2 4 3 2 3 0x xx⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ minus sdot minus sdot + =⎣ ⎦⎣ ⎦ unde [ ]x reprezintă partea icircntreagă a

numărului x prof Otilia Meicu

6 i) Să se determine pentru care ecuația k isin ( ) 2

2

1log 1 loga x x

x x a+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ k+ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦=

1

are soluții reale unde

și [ 0x a a aisin isin gt ne ]t este partea icircntreagă a numărului t ii) Pentru k determinat la punctul i) să se rezolve ecuația prof Ştefan Gavril

7 Să se rezolve icircn ecuația 3 33 2 3 25 8 8 5 8 8n n n n n n⎡ ⎤+ + + = + + +

⎣ ⎦ unde [ ]t este partea icircntreagă a numărului t

prof Ştefan Gavril

34

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

Probleme propuse

Clasa a XI-a

1 Fie ( )na și ( )nb două șiruri de numere raționale astfel icircncacirct ( )3 5 5n

n na b n lowast+ = + isin

a) Arătați că și b a1 3 5n n na a b+ = + 1 3 n n nb n lowast+ = + forall isin b) Demonstrați că lim 5n

xn

abrarrinfin

=

prof Elena Roșu

2 Calculați ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2

2 lim x

tg x tg x tg nxarctgx arctgnx arctgnxrarrinfin

+ + +

+ + + 2

prof Elena Roșu

3 Fie funcția continuă [ ] 13f rarr Arătați că există ( )13cisin astfel icircncacirct ( ) 1 1 1 3

f cc c

= +minus minus

prof Elena Roșu Clasa a XII-a 1 Fie [ ] [ ] 01 01f rarr continuă Să se arate că ecuaţia ( ) 2

03

xf t dt x 5= minus +int are soluţie unică icircn [01]

prof Elena Roșu

2 Să se arate că ecuaţia 2 c are soluţie unică xos 2 0x x nminus minus = n pentru fiecare și să se calculeze nisin lim n

n

xnrarrinfin

prof Elena Roșu

3 Fie continuă și convexă cu f(0)=0 Să se arate că a) f rarr( )

3 3

f xxf x⎛ ⎞ le forall isin⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 3

0 18 f x dx f x dxleint int

prof Elena Roșu

4 Dacă 2 3

( ) 1 2 3

n

nx xf x x

n= + + + + +

x să se calculeze nI = 10 2 ( )

x n

n

e x dxf x+

int n Nisin

prof Otilia Meicu 5 Dacă să se calculeze ( ) arctg f t t t t= sdot isin ( ) ( )2 1

0lim

x n

xf t dt+

rarrinfin int nisin unde ( )nf reprezintă derivata de ordin a funcției n f

prof Otilia Meicu

35

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

MATE ++

CĂLĂTORII MATEMATICE

Am rămas destul de impresionată de călătoria la Chişinău ba chiar mai mult mi s-au depăşit aşteptările Am descope-

rit locuri foarte frumoase prin simplitatea lor şi oameni foarte amabili şi dornici de a icircmpărtăşi cu tine atacirct cunoştinţele despre oraşul lor şi nu numai dar şi trăirile proprii

Am realizat că moldovenii sunt foarte informaţi icircn ceea ce priveşte ţara şi tradiţiile lor aşa cum ne-a dovedit domnul Cubreacov Vlad preşedinte al Partidului Popular Creştin Democrat icircn cadrul vizitei noastre la Parlamentul Republicii Moldo-va La icircntrebările puse de public a avut răspunsuri foarte complete dovedind că icircntr-adevăr icircşi merită funcţia este un bun pa-triot şi de asemenea este interesat de soarta ţării sale O altă persoană care m-a uimit prin cunoştinţele sale şi prin dorinţa de a icircmpărtăşi cu alţii ceea ce ştie a fost coordonatoarea din partea elevilor şi anume domnişoara Ana Băbălău elevă a Liceului Mi-nerva Ea a reuşit să ne facă să pătrundem icircn sufletul său şi să ne determine să privim cu ochii mai călduroşi frumuseţile Chişi-năului putacircnd astfel să ne transmită bucuria de a trăi icircntr-un astfel de colţ al lumii

Scopul plecării noastre la Chişinău a fost Concur-sul Memorial de Matematică ldquoConstantin Spătarurdquo S-a dovedit a fi mai mult decacirct un simplu concurs pentru mine a reprezentat o cale de a de a-mi testa cunoştinţele pentru a şti la ce prag mă aflu şi mai mult decacirct atacirct am putut con-cura cu elevii de la clasele paralele putacircnd mai apoi să purtăm discuţii serioase pe tema problemelor de concurs Cei mai buni elevi au fost premiaţi icircn cadrul festivităţii de la liceul bdquoOnisifor Ghiburdquo unde organizatorii ne-au icircntacircm-pinat cu un spectacol susţinut de elevii moldoveni Cei din urmă şi-au demonstrat abilităţile de cacircntăreţi şi dansatori surprinzacircndu-ne prin profesionalismul lor

Pe lacircngă buna pregătire a celor care ne-au coor-donat aceştia au dat dovadă şi de bună organizare putacircnd să icircşi icircndeplinească fiecare obiectiv din cadrul programu-lui Chiar dacă am avut de susţinut un concurs am putut să cunoaştem oraşul Chişinău ba chiar să facem şi cumpără-turi să socializăm cu oamenii de acolo să legăm prietenii să descoperim că nu sunt deloc diferiţi de noi cei din Romacircnia ci sunt foarte bucuroşi să ne primească asemenea fraţilor de sacircnge

Icircn final a fost una din cele mai frumoase experienţe de unde am avut multe de icircnvăţat Mi-am dat seama că cei de peste Prut sunt foarte prietenoşi respectoşi şi amabili icircn ciuda tuturor zvonurilor că oricacirct de precară ar fi situaţia lor materia-lă ei icircşi păstrează zacircmbetul pe buze şi sunt oricacircnd dispuşi a ne găzdui

Consider că orice icircntacirclnire cu cei din afara graniţelor Romacircniei este una bine venită icircn viaţa oricărui romacircn făcacircndu-l pe acesta pe de o parte să preţuiască ceea ce are şi pe de altă parte să dorească să icircşi construiască o viaţa mai bună

Andreea Rusu clasa a XI-a D

Icircntr-o dimineaţă rece de februarie un grup de elevi din co-legiul nostru alături de cacircţiva profesori aşteptam nerăbdători auto-carul spre Chişinău Este al doilea an cacircnd această excursie are loc şi de această dată ne-am putut bucura mai mulţi de o recreere de sfacircrşit de săptămacircnă icircn Republica Moldova Am plecat pe 27 febru-arie entuziasmaţi de locurile interesante pe care le vom vedea şi icircn jurul pracircnzului am ajuns la Chişinău

Am fost icircntacircmpinaţi cu multă bucurie şi după ce am văzut unde va locui fiecare pentru următoarele două zile (la gazdă sau la internat) am vizitat Parlamentul Republicii Moldova unde am avut onoarea să stăm chiar pe scaunele parlamentarilor

Sacircmbătă dimineaţă toţi participanţii de la Concursul de ma-tematică bdquoMemorial Constantin Spătarurdquo am mers la Liceul Mihai Viteazul unde am demonstrat că buna dispoziţie poate fi icircmbinată foarte bine cu ştiinţa şi rezultatele au fost icircmbucurătoare pentru că

am obţinut premii şi menţiuni Icircn aceeaşi zi alături de colegii mei am interpretat Șezătoarea Moldovenească pentru că ne macircndrim cu tradiţiile noastre şi am considerat că este cel mai interesant mod de a exprima identitatea comună a romacircnilor de aici cu a celor de peste Prut Cu părere de rău duminică a trebuit să ne despărţim de gazdele noastre care ne-au primit cu bra-ţele deschise icircn familiile lor şi după o scurtă oprire la mănăstirea Hancu icircntemeiată cu cacircteva secole icircn urmă ne-am continuat puţin melancolici drumul spre casă

Icircn numele colegilor mei vreau să mulţumesc domnilor profesori şi gazdelor noastre şi cred că orice amintire legată de Chişinău va fi icircnsoţită şi de un zacircmbet pe chipurile noastre

Ioana Cucuruz clasa a IX-a A

36

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf

CUPRINS

Argument helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 In memoriam helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1

Elena Roșu ndash Vasile Țifui helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 1 Examene și concursuri helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

Concursul internațional de matematică ldquoMemorial Vasile Țifuirdquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2 Olimpiada de matematică ndash etapa locală helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10 Model de subiect pentru admitere icircn clasa a V-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Model de subiect pentru teza cu subiect unic clasa a VIII-a helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12 Modele de subiecte pentru examenul de bacalaureat M1 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13 Concursul memorial de matematică ldquoConstantin Spătarurdquo Chișinău helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15

Preocupări didactice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18 Ștefan Gavril ndash Probleme de loc geometric rezolvate cu ajutorul numerelor complexe hellip 18 Ștefan Gavril ndash Proprietăți cu probleme helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20 Elena-Genoveva Irimia ndash Proprietăți optice ale conicelor helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21 Otilia Meicu ndash Probleme de loc geometric icircn plan (spațiu) rezolvate analitic sau

vectorial helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23

Sergiu Nistor ndash Teorema de medie pentru funcții vectoriale helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26 Interferențe ale matematicii cu alte domenii de activitate helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

Dorina Mormocea ndash Prezentarea manualului Banii și bugetul din cadrul Programului de Educație Financiară Junior Achievement helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

29

Curiozități matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33 Elena Roșu ndash Pitagora și celebra sa teoremă helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 33

Probleme propuse helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 34 Călătorii matematice helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

COLECTIVUL DE REDACŢIE

MATE ++ ISSN 2065 ndash 8192 Editor Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț

Profesorii Laurențiu Borcea Ștefan Gavril Elena-Genoveva Irimia Otilia Meicu

Dorina Mormocea Ciprian-Constantin Neța Sergiu Nistor Elena Roșu

Traducere prof Alina Jilavu Coperta

elevii Iulian Vracircnceanu Ionuț Anisia Alexandru Păduraru clasa a XI-a E Tehnoredactare computerizată

Daniel Dorobanțu Ovidiu Nechita

Adresa redacției Colegiul Național de Informatică Piatra-Neamț Str Mihai Viteazu nr 12 Telfax 0233-227510 e-mail cni_pnyahoocom

• COP2pdf
• 1 In memoriampdf
• 2 Examene si concursuripdf
• • 2 Descompune polinomul icircn factori ireductibili
  • • 3 Preocupari didacticepdf
    • 4 interferentepdf
    • 5 curiozitatipdf
    • 6 probleme propusepdf
    • 7 calatoriipdf
    • COP3pdf