1

Seminar 4 – Cotarea și evaluarea obligațiunilor

Aplicații rezolvate

Aplicația 1. Fie o obligațiune cu valoarea nominală de 50 lei, scadența peste 3 ani și rambursare în

fine. Rata medie a dobânzii de piață pe parcursul celor 3 ani a fost estimată la 10%.

a) În situația unui cupon fix de 8% și a unei valori de rambursare VR = 56 lei stabiliți prima de

rambursare (PR) și prețul de cumpărare în bursă (P0);

b) În situația rambursării la paritate (al pari) și a unui cupon variabil de 7% în primul an, 7,5%

în al doilea an, respectiv 9% în al treilea an, stabiliți prețul de cumpărare în bursă (P0);

c) În situația unui cupon zero (nul) și a unei valori de rambursare VR = 68 lei stabiliți prima de

rambursare (PR) și prețul de cumpărare în bursă (P0);

d) Recalculați prețul obligațiunii de la punctul a știind că rata medie a dobânzii de piață este de

9% în primul an, de 10,5% în al doilea an și de 11,5% în ultimul an.

a) ceea ce înseamnă că obligațiunea se rambursează suprapari cu o primă de rambursare

egală cu .

Cuponul este fix (adică rata dobânzii este fixă), ceea ce înseamnă că în fiecare dintre cei 3 ani se va

încasa un cupon egal cu . Deoarece rambursarea se face în fine,

valoarea de rambursare VR va fi încasată la finalul celui de al treilea an. Rata medie a dobaânzii de

piață pe parcursul celor 3 ani indică valoarea ratei de actualizare k = 10%.

Întrucât avem un număr întreg de ani până la scadență, prețul de cumpărare în bursă este la piciorul

cuponului (clean price) așa că aplicâm următoarea formulă:

∑

( )

( )

( )

( )

( )

Deoarece cupoanele sunt constante (cupon fix) se poate apela și la formula anuităților constante:

( )

( )

( )

( )

Cotarea în bursă se face procentual în raport cu valoarea nominală a obligațiunii de unde rezultă că,

în contextul unei valori nominale de 50 lei, prețul în bursă va fi de 104,04%.

b) Deoarece rata dobânzii este variabilă, valoarea cuponului va fi diferită în fiecare an. Astfel, cele

trei cupoane vor avea următoarele valori: ;

și .

Conform enunțului, rambursarea se face acum la paritate (al pari) astfel că .

Prețul de cumpărare în bursă la piciorul cuponului (clean price) va fi egal cu:

∑

( )

( )

( )

( )

( )

Procentual, față de VN de 50 lei, acest curs este egal cu 94,46%.

c) O obligațiune cu cupon zero (cupon nul) nu plătește cupoane. Singura formă de remunerare a

investitorului este prima de rambursare PR (faptul că valoarea de rambursare VR este mai mare

2

decât valoarea nominală VN). În acest caz prima de rambursare este egală cu

.

În lipsa cupoanelor, prețul de cumpărare în bursă al obligațiunii zero cupon se va determina doar pe

baza valorii de rambursare astfel:

( )

( )

Procentual, față de VN de 50 lei, acest curs este egal cu 102,18%.

d) Se va proceda la reevaluarea obligațiunii de la punctul a (care generează cupoane anuale fixe de

4 lei și are o valoare de rambursare de 56 lei) în condițiile unor rate de actualizare variabile (rata

medie a dobânzii de piață variază în fiecare an astfel , și ).

În consecință, prețul de cumpărare în bursă va fi egal cu:

( )

( )( )

( )( )( )

( )

( )( )

( )( )( )

Procentual, față de VN de 50 lei, acest curs este egal cu 103,34%.

Aplicația 2. O obligațiune a fost emisă la data de 2 ianuarie 2006 la o valoare nominală de 2.000 lei,

cu o maturitate de 5 ani, un cupon fix de 10% și rambursare în fine la paritate. Un investitor dorește

să cumpere această obligațiune în bursă, la data de 8 august 2007, la o rată medie a dobânzii de

10,5%. Să se determine și să se comenteze:

a) Fracțiunea f de cupon cuvenit în momentul cumpărării și fracțiunea g de cupon rămas până

la detașare ( );

b) Prețul de cumpărare în bursă, inclusiv cuponul cuvenit în momentul cumpărării (P0 + Cf);

c) Cuponul cuvenit pro rata temporis (Cf) și prețul obligațiunii la piciorul cuponului (P0).

a) Din moment ce obligațiunea a fost emisă la 2 ianuarie 2006, prima plată a cuponului survine

după un an, adică la 2 ianuarie 2007. La momentul cumpărării obligațiunii (8 august 2007)

investitorul trebuie să platească atât valoarea obligațiunii la piciorul cuponului (P0), cât și cuponul

cuvenit vânzătorului (Cf) pentru fracțiunea de an dintre 2 ianuarie 2007 (plata ultimului cupon) și 8

august 2007 (momentul tranzacției).

Între aceste date, considerând inclusiv capetele de interval, sunt 219 zile (30 zile rămase din

ianuarie, 28 zile februarie, 31 de zile martie, 30 de zile aprilie, 31 zile mai, 30 zile iunie, 31 zile

iulie și 8 zile din august). Deci, fracțiunea de an scursă de la ultima plată a cuponului este egală cu:

Fracțiunea de an rămasă până la plata următorului cupon este egală cu .

b) Prețul de cumpărare în bursă, inclusiv cuponul cuvenit în momentul cumpărării (P0 + Cf - gross

price), se va calcula aplicând oricare dintre formulele:

∑

( )

( )

sau

3

( ) [∑

( )

( ) ]

unde n reprezintă numărul de ani rămași până la scadența obligațiunii (inclusiv anul cumpărării).

Din moment ce obligațiunea are o maturitate de 5 ani iar tranzacția are loc dupa 1,6 ani ( 1 an +

fracțiunea f) au mai rămas 3 ani întregi până la scadență + anul cumpărării. De aici, rezultă că n este

egal cu 4 ani.

Cuponul este fix și are o rată de 10% ceea ce înseamnă că în fiecare an se va încasa un cupon egal

cu .

Deoarece rambursarea se face în fine la paritate, valoarea de rambursare va fi încasată în ultimul an

și va fi egală cu valoarea nominală .

Rata medie a dobânzii de piață indică valoarea ratei de actualizare k = 10,5%.

Fracțiunea de an f a fost calculată la punctul anterior și este egală cu 0,6.

Având toate informațiile necesare, se poate înlocui în oricare dintre cele două formule de calcul ale

prețului de cumpărare în bursă (P0 + Cf - gross price):

∑

( )

( )

( )

( )

( )

( )

sau

( ) [∑

( )

( ) ]

( ) [

( )

( )

( )

( ) ]

Procentual, în raport cu VN de 2.000 lei, prețul de cumpărare în bursă este egal cu 104,51%.

d) Prețul de cumpărare în bursă ((P0 + Cf - gross price) cuprinde atât prețul la piciorul cuponului

(P0 - clean price) cât și cuponul cuvenit pro rata temporis (Cf).

Cuponul cuvenit pro rata temporis este egal cu .

Prin diferență se va determina prețul la piciorul cuponului (P0 - clean price) numit și prețul

obligațiunii nude ( ) .

Procentual, în raport cu VN de 2.000 lei, prețul la piciorul cuponului este egal cu 98,51%.