aplicatii rentab si risc de portofoliu

Rentabilitatea i riscul unui portofoliu de activefinanciare

Un portofoliu este definit drept un ansamblu de active financiare. Necesitateaconstruciei unui portofoliu format din mai multe active financiare este intuitiv1. n acestsens, se poate afirma c a realiza investiii n dou active, X i Y, este mai puin riscant decta investi ntr-unul singur (de exemplu, X): nregistrarea unor rezultate slabe de ctre activulX va avea un impact mai mic asupra performanei globale a portofoliului n primul cazcomparativ cu cel de-al doilea. Este adevrat c aceast reducere a riscului se realizeaz cupreul unei diminuri a rentabilitii globale a portofoliului.

Rentabilitatea i riscul portofoliilor n contextul gestiunii statice

Ipoteza de la care se pornete, de cele mai multe ori, ca principiu teoretic, n estimarearentabilitii i riscului portofoliului, este cea de distribuie normal a ratelor de rentabilitatecorespunztoare scenariilor privind viitorul2. Este cunoscut faptul c distribuia normaldepinde numai de media i dispersia distribuiei, n acest caz fiind vorba despre derentabilitatea anticipat a activului financiar, E(Ri) i dispersia (variana) acesteia, 2i:

)),R(E(N~R 2iiiDei media i dispersia se pot calcula pentru orice populaie statistic, este esenial ca

acestea s fie reprezentative. ntr-o distribuie normal media va fi egal cu modulul imediana.

O combinaie liniar de variabile aleatoare normal distribuite este tot o variabilaleatoare normal distribuit. Aadar, presupunnd c rentabilitatea activelor urmeaz odistribuie normal, i portofoliul va avea o rat de rentabilitate anticipat evolund dup olege de distribuie normal de medie E(Rp) i abatere medie ptratic p, respectiv:

)),R(E(N~R 2ppp .

Formulele analitice de calcul ale celor doi parametri ai distribuiei, ce poart idenumirea de ecuaiile portofoliului, sunt:

1 Din punct de vedere matematic, se poate considera c o investiie realizat exclusiv ntr-un activ financiarreprezint o investiie ntr-un portofoliu cu o structur de tipul 100% capital investit n activul respectiv.2 i n cazul acceptrii ipotezei statice forte, se pornete de la un principiu echivalent, presupunnd identitateadintre rentabilitatea anticipat i media rentabilitilor istorice i, respectiv, dintre riscul asociat acestei estimrii dispersia rentabilitilor istorice. Ca observaie, n cazul existenei unei baze de date relevante din punct devedere statistic, media rentabilitilor istorice va fi egal cu 0.

Capitolul 9

1

}])({[})]({[(

)()(

1

1 1

2

11

221

n

i i

n

i

n

j ijji

n

i iii

n

i ippp

n

i iip

x

xxRExRxERERE

RExRE

(9.2)

unde:xi = ponderea titlului i n portofoliu;E(Ri) = rentabilitatea medie anticipat a titlului i;

)R(E p = rentabilitatea medie anticipat a portofoliului p;

2p =

riscul portofoliului p exprimat ca varian (dispersie) arentabilitii acestuia;

ij =covariana dintre rentabilitile titlurilor i i j, cu observaia cii = i2;

n = numrul de titluri incluse n portofoliu.

Pentru a surprinde mai bine ct de corelate sunt dou titluri, i i j, se calculeaz

coeficientul de corelaieji

ijij

. Prin luarea n considerare a coeficienilor de corelaie,

ecuaiile portofoliului devin:

(6.5)

1x

xx

)R(Ex)R(E

n

1i i

n

1i

n

1j jiijji2p

n

1i iip

(9.5)

Se poate constata c:1. Dac jiij , respectiv 1ij pentru orice i, j ={1, 2, ... , n}, atunci riscul

portofoliului este suma ponderat a riscului titlurilor sau portofoliilor componente. Titlurilesunt strict pozitiv corelate ntre ele (vezi figura 9.1). Creterea rentabilitii unuia va finsoit i de creterea rentabilitii celuilalt. ns acest eveniment se ntmpl i n sensinvers. Prin urmare putem concluziona c modificarea rezultatelor nregistrate de aceste doutitluri este simultan i n acelai sens. Creterile au loc n acelai timp, dar i scderile.Riscul este foarte ridicat, maxim posibil.

Gestiunea portofoliului de valori mobiliareDoua titluri puternic pozitiv corelate, coeficient de corelatie 1

-5-4-3-2-101234

Ian.

01

Mar

.01

Mai.0

1

Iul.0

1

Sep.

01

Nov

.01

Ian.

02

Mar

.02

Mai.0

2

Iul.0

2

Sep.

02

Nov

.02

Ian.

03

Mar

.03

Mai.0

3

Ri,

Rj

Ri Rj

Fig. 9.1. Dou titluri cu rentabilitile perfect pozitiv corelate, coeficient de corelaie 1

2. Dac exist cel puin o valoare jiij , respectiv 1ij , cazul cel mai frecvent nrealitate, atunci riscul portofoliului este inferior sumei ponderate a riscului titlurilor sauportofoliilor componente. Fenomenul poart numele de diversificare. Cnd ij devinenegativ, diversificarea portofoliului este mai pronunat.

2.1. Un coeficient 0ij 0ij evideniaz c ponderea termenilor pozitivi odepete pe cea a termenilor negativi. Acest lucru este echivalent cu faptul c, n cele maimulte cazuri, titlurile i i j evolueaz n acelai sens (ambele cursuri bursiere cresc sau ambeledescresc) i mai puine sunt situaiile n care evolueaz n sens contrar (primul crete i aldoilea descrete), deci cele dou titluri sunt pozitiv corelate.

2.2. Un coeficient 0ij 0ij evideniaz c ponderea termenilor negativi odepete pe cea a termenilor pozitivi. Acest lucru este echivalent cu faptul c titlurile i i jevolueaz de cele mai multe ori n sens contrar (primul crete i al doilea descrete) dect nacelai sens (ambele cursuri cresc sau ambele descresc).

3. Un coeficient jiij 1ij evideniaz faptul c titlurile i i j evolueazntotdeauna n sens contrar (cursul primului titlu crete, n timp ce cursul celui de al doileadescrete). Titlurile sunt puternic negativ corelate (vezi figura 9.2).

Fig. 9.2. Evoluia cursurilor bursiere a dou titluri strict negativ corelate, coeficient de corelaie egal cu 1

Capitolul 9

Trebuie subliniat c aceste relaii de calcul i, n general, ntreaga filozofie de aplicare aacestora nu sunt valabile dect pentru portofoliile care i menin compoziia neschimbat peparcursul perioadei de analiz. Spre exemplu dorim s investim pentru o perioad de un anntr-un portofoliu optim a crui structur a fost stabilit la nceputul anului, din punct devedere structural i considerat stabil pe tot parcursul respectivului an. Ct timp se va gestionaportofoliul exclusiv pe baza datelor nregistrate n trecut (s presupunem folosirea datelorlunare), vom obine rezultate lunare estimate ale criteriilor de selecie, pe care le vom utilizapentru identificarea acestui portofoliu. Prin urmare, n contextul unei analize lunare,investitorul va fi nevoit s actualizeze datele i s aduc periodic modificri n structuraportofoliului prin operaiuni de vnzare respectiv cumprare astfel nct ponderile s semenin la nivelul celor stabilite apriori. Acest tip de strategie necesit rebalansareaperiodic a portofoliului i poate genera costuri de tranzacionare semnificative n cazulinvestitorilor mici i n cazul rebalansrii prea dese. La polul opus se afl stategiile de tipcumpr i pstreaz (engl., buy-and-hold), unde investitorul are un orizont de investirelung, cu costuri de tranzacionare mici n momentele stabilirii i apoi al lichidrii poziiei. nambele cazuri, msura performanei nu ine cont de faptul c n realitate pot aprea noiaporturi sau retrageri de numerar, funcie de strategia de investire a gestionarului deportofoliu, de faptul c n timp valoarea portofoliului, definit drept capitalizarea bursier aacestuia la un moment dat, se modific ca urmare a fluctuaiilor de pre de pe pia, de faptulc un investitor raional va urmri s modifice structura i componena portofoliului su astfelnct s maximizeze utilitatea averii personale. Modelul prezentat este un model rigid, carenu ine cont prioritar de obiectivele de rentabilitate i risc ale investitorului n diferitecontexte evolutive ale pieei financiare, ci de respectarea unei condiii de optim stabilit la unanumit moment dat n trecut. Cu toate acestea, el poate fi util pentru nelegerea fenomenului.n fapt, prin aplicarea unei suite de gestiuni statice, se poate modela gestiunea dinamic deportofoliu.

Rentabilitatea i riscul portofoliilor n context general

Metoda ratei interne de rentabilitate utilizeaz metodologia folosit pentru estimarearatei interne de rentabilitate pentru cazul proiectelor deinvestiii reale3. Rentabilitatea portofoliului va rezulta prin rezolvarea ecuaiei:

n

tn

p

nt

p

t

R

V

R

CFV

10

11(9.6)

unde:V0, Vn = valorile portofoliului la nceputul, respectiv la finele

perioadei;CFt = cash flow-ul aferent datei t, cu CFt pozitiv pentru un aport

nou i CFt negativ pentru o retragere de capitaluri;

3 Amenc, Nel; Le Sourd, Veronique, Theorie du Portefeuille et Analyse de sa Performance, Ed. Economica,Paris, 2002, pag. 43.

Gestiunea portofoliului de valori mobiliare

n = durata perioadei de analiz (n ani); aceast perioad estedivizat n n subperioade;

t = data la care apare cash flow-ului CFt.

Aceast metod evideniaz n modul cel mai adecvat performana portofoliului,ntruct ine cont de valoarea n timp a banilor. n ciuda faptului c modalitatea de calcul aindicatorului pare greoaie, ea devine facil prin utilizarea calculatorului (vezi, de exemplu,funcia IRR n Excel for Windows) sau chiar prin interpolare4.

Exemplu: S presupunem un portofoliu cu o valoare iniial (V0) egal cu 1000 u.m.La momentul 1, se realizeaz o retragere de capitaluri n sum de 100 u.m., urmat lamomentul 2 de un aport de capitaluri n sum de 200 u.m.. La finele perioadei de analiz,valoarea portofoliului analizat este de 1300 u.m.

Pe baza metodei ratei interne de rentabilitate, rentabilitatea portofoliului va rezultacomod (vezi Tabelul nr. 9.1).

Tabelul nr. 9.1: Calculul rentabilitii portofoliului pe baza metodei ratei interne de rentabilitateAni cash flow-uriA B

1 0 -10002 1 1003 2 -2004 3 1300

RIR relaia de calcul decalcul5 6%

Diversificarea portofoliului. Portofoliul de risc minim

1. Diversificarea portofoliului

Fenomenul de diversificare a portofoliului se poate defini drept efectul de diminuare ariscului portofoliului fa de riscul titlurilor componente, ca urmare a independenei nevoluie a preurilor titlurilor componente, independen cuantificat prin indicatorii decovarian i, respectiv, coeficient de corelaie. Pentru a nelege mai bine fenomenul, vomstudia comportamentul unui portofoliu format din dou titluri n funcie de corelaia dintrerentabilitile titlurilor.

Fie dou titluri, i i j, pentru care se cunosc rentabilitatea ateptat i riscul. Cu acestedou titluri se alctuiesc 11 portofolii cu structuri diferite. Se calculeaz pentru acesteportofolii rentabilitatea i riscul n cazurile n care titlurile i i j sunt puternic corelate, puincorelate sau necorelate (vezi tabelul 9.3). Pentru fiecare coeficient de corelaie n parte s-aureprezentat grafic riscul i rentabilitatea celor 11 combinaii alese (vezi figura 9.3). Fie:

E(Ri) = 10%, (Ri) = 20%;E(Rj) = 15%, (Rj) = 30%.

4 Pentru fundamentele teoretice ale acestei metode, vezi, de exemplu, Dragot, Victor; Ciobanu, Anamaria;Obreja, Laura; Dragot, Mihaela, Management financiar, Ed. Economic, Bucureti, 2003, capitolul 16.5 Funcia n Excel for Windows: IRR(B1:B4).

Capitolul 9

Se poate observa faptul c o reducere a coeficientului de corelaie implic un efect dediversificare mai pronunat. Spre exemplu, pentru portofoliul 7, cu o rentabilitate de 12%,obinut combinnd titlul i cu titlul j n proporie de 60%, respectiv 40%, riscul este din ce nce mai mic, pe msur ce coeficientul de corelaie scade, atingnd valoarea 0 pentru uncoeficient de corelaie de -1. Pentru portofoliile formate din combinaia titlului i cu titlul j, ncazul n care titlurile prezint o puternic corelaie negativ, care face ca nivelulcoeficientului de corelaie s fie -1, portofoliul format din 60% titlul i i 40% titlul j esteportofoliul cu varian (dispersie, risc) minim().

Evoluia rentabilitii i riscului n condiiile modificrii structurii portofoliului i a coeficientului decorelaie dintre rentabilitile activelor componente. Cazul a dou active financiare.

Portofoliu xi xj E(Rp)Riscul p

1ij 5.0ij 0ij 5.0ij 1ij1 0% 100% 15,00% 30,00% 30,00% 30,00% 30,00% 30,00%2 10% 90% 14,50% 29,00% 28,05% 27,07% 26,06% 25,00%3 20% 80% 14,00% 28,00% 26,23% 24,33% 22,27% 20,00%4 30% 70% 13,50% 27,00% 24,56% 21,84% 18,73% 15,00%5 40% 60% 13,00% 26,00% 23,07% 19,70% 15,62% 10,00%6 50% 50% 12,50% 25,00% 21,79% 18,03% 13,23% 5,00%7 60% 40% 12,00% 24,00% 20,78% 16,97% 12,00% 0,00%8 70% 30% 11,50% 23,00% 20,07% 16,64% 12,29% 5,00%9 80% 20% 11,00% 22,00% 19,70% 17,09% 14,00% 10,00%10 90% 10% 10,50% 21,00% 19,67% 18,25% 16,70% 15,00%11 100% 0% 10,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00% 20,00%

Rezultatele mai pot fi interpretate i n alt mod: alctuind un portofoliu cu ct mai multetitluri, mai mult sau mai puin corelate, pentru un nivel al rentabilitii medii ateptate, vomputea micora riscul din ce n ce mai mult.


Fig. 9.3. Relaia dintre rentabilitate i risc pentru diferiteportofolii n funcie de valorile coeficientului de corelaie

2. Portofoliul de risc minim i metode analitice de determinarea structurii lui

Att n figura 9.3, ct i n figura 9.4 se poate observa c ntre toate combinaiileposibile exist un portofoliu de risc minim (vezi figura 9.5). Acest portofoliu are proprietateac dintre toate portofoliile alctuite cu cele n titluri, acesta prezint cel mai redus nivel alriscului. Portofoliul mai poart numele de portofoliu cu varian minim absolut i este deobicei notat6 PVMA.

Fig. 9.5. Identificarea portofoliului de varian minim absolut

Riscul i rentabilitatea portofoliului cu risc minim pot fi calculate pornind de la riscul irentabilitatea titlurilor care formeaz portofoliul cu risc minim. Pentru demonstrarea relaiei

6 Stancu, Ion, Finane, Ed. Economic, Bucureti, 2002.

Capitolul 9

de calcul analitice se pornete de la ecuaiile (9.1) ale portofoliului i se identific structuraportofoliului, x1,... xn care minimizeaz riscul portofoliului:

1

)()(

1

1 1

21

n

i i

n

i

n

j jip

n

i iip

x

xx

RExRE

.

Se caut

n

2

1

x

x

x

pentru care 2p este minim.

Rezolvarea problemei de minim se face prin construirea unei funcii Lagrange, L, cares permit minimizarea riscului innd seama i de restricia 1x

i i . Problema se reduce

la minimizarea funciei L, respectiv7:

oarecarecu,12

1min)min( 11

i j i iijji xxxL

Pentru nceput, se va realiza derivarea funciei L n raport cu necunoscutele xi, i =1,2,, n i 1 i egalarea acestora cu 0:

211 12 1

21 212 2 2

21 2

1

1

011 0 01

1 01

11 1 1 0

n

j ij nji

i ni n n n

xL

x xx

Lx x

Nivelurile riscului (dispersiile), rentabilitilor i covarianelor pot fi calculate folosinddatele istorice sau realiznd anticipri privind evoluia titlurilor n diferite stri posibile alenaturii. Aadar, exist toate datele necesare calculului structurii PVMA:

7 Broquet Claude, Andr van den Berg, Gestion de portefeuille. Actions, obligations, options, De Boeck-Wesmael, Editions Universitaires, Paris, 1990.


...

...

...

][

)(

)(

)(

][)(

1

0

0

0

0111

1

1

1

2

1

221

22212

11221

21

2

1

21

2

1

1

221

22212

1122

1

1

2

1

PVMAnnnn

n

n

PVMAnPVMA

n

PVMAnPVMA

PVMAnnnn

n

n

n

x

x

x

xxx

RE

RE

RE

xxxRE

x

x

x

x

x

x

Aplicaii

1. Pentru rentabilitile anticipate caracteristice pentru dou titluri, E(R1) = 10%, E(R2)= 20%, este calculat un coeficient de corelaie = -1. Ce rentabilitate estimai pentruportofoliul cu risc minim ce se poate forma din cele dou titluri dac 1=10% i 2=12% ?

Rezolvare:Se cunosc ecuaiile care determin riscul i rentabilitatea unui portofoliu format din

dou titluri:

11

2

)E(Rx)E(R)(

21

1221

122122

22

21

21

2

2211

xx

xxxx

xRpE

P

Dac notm x1 cu x , pe x2 cu (1-x) i exprimm covariana n funcie de volatiliti icovarian, se obine pentru risc urmtoarea ecuaie:

22121

22

221

22 ])1([)1(2)1( xxxxxxp

Dup cum se poate observa, dispersia este un ptrat perfect care are valoarea minim 0.Aadar, se obine o valoare pentru x alias x1 i, ulterior, x2 i rentabilitatea portofoliului curisc minim:

Capitolul 9

%54,14)(

(45,46%)4546,01

%)54,54(5454,022

12

12

21

21

RpE

xx

x

sau:

%54,1420%

10%0,4545450,545455)(

45,4545%

54,5455%

19-1,48E-

0,454545

0,545455

1

0

0

011

10144,012,01,0)1(

112,01,0)1(01.0

1

0

0

0

0111

1

1

11

1

221

22212

1122

1

1

2

1

PVMA

PVMA

nnn

n

n

n

RE

x

x

x

x

2. Determinai rentabilitatea i riscul unui portofoliu format din trei titluri A, B i C,caracterizate prin:

Titlul Rentabilitatea anticipat Riscul (i) Ponderea n portofoliuA 10% 2% 30%B 12% 4% 40%C 14% 6% 30%

Coeficienii de corelaie ntre rentabilitile celor trei titluri: AB= 0,2; AC= 0,3;BC=0,4.

Rezolvare: Se aplic relaiile de determinare ale rentabilitii anticipate i a risculuiportofoliului i se obine:

%1212,014,03,012,04,01,03,03

1

ii

iP RExRE

0009496,04,006,004,03,04,023,006,002,03,03,022,004,002,04,03,02

0036,009,00016,016,00004,009,0xxR3

1iijji

3

1jP

2

Riscul msurat prin abaterea medie ptratic va fi: %08,30009496,02 pp RR

3. Fie un portofoliu format din dou titluri, caracterizate prin riscurile cuantificate prinabaterile medii ptratice ale rentabilitilor i=4% i, respectiv, j=5%. Coeficientul de


corelaie a acestora este ij = 0,3. Determinai structura portofoliului de risc minim (devarian minim).

Rezolvare: Fie x, respectiv (1 - x), ponderile asociate titlurilor i, respectiv, j.Ponderea x rezult din rezolvarea ecuaiei:

0dx

d 2p

, (1)

unde: ijji2j22i22p x1x2x1x . (2)

Din rezolvarea ecuaiei (1) rezult relaia de determinare a lui x:

%52,650029,00019,0

3,005,004,020025,00016,03,005,004,00025,0

2x

ijji2j

2i

ijji2j

Aadar, portofoliul de varian minim va avea n compoziie 65,52% titluri i i 34,48%titluri j.

4. O pia financiar este format din numai trei valori mobiliare caracterizate prinurmtorii indicatori de performan:

Titlul financiarRentabilitatea

anticipat E(Ri) Riscul (Ri)Capitalizarea

bursiera 12% 4% 1.000.000b 14% 8% 2.000.000c 16% 16% 1.000.000

Coeficienii de corelaie dintre rentabilitile celor trei titluri sunt: (Ra, Rb) = 0,3; (Ra, Rc) = 0,5; (Rb, Rc) = - 0,2. Determinai:

(a) rentabilitatea anticipat i riscul portofoliului pieei;(b) rentabilitatea anticipat i riscul portofoliului de varian minim;

Rezolvare: (a) Ct timp pe pia coteaz numai cele trei titluri, structura portofoliuluipieei este determinat de ponderile capitalizrilor bursiere ale fiecrui titlu n capitalizareapieei bursiere, deci de:

%2525,0000.000.1000.000.2000.000.1

000.000.1

ax ;

%;50000.000.4

000.000.2bx

%25000.000.4

000.000.1cx .

Pentru a determina rentabilitatea anticipat i riscul acestui portofoliu se vor aplicarelaiile de calcul ale acestora:

%1414,016,025,014,05,012,025,03

1

ii

iM RExRE

Capitolul 9

00402,0)2,0(16,008,025,025,02

5,016,004,05,025,023,008,004,05,025,02

0256,00625,00064,025,00016,00625,0xxR3

1iijji

3

1jM

2

(RM) = 6,34034%.

(b) Pentru a determina portofoliul de risc minim trebuie calculate derivatele pariale aledispersiei portofoliului n funcie de ponderile celor trei titluri, avnd n vedere c sumaponderilor trebuie s fie egal cu 100%. Se vor calcula derivatele funciei lui Lagrange:

3

1

2 1i

ip xL , n funcie de necunoscutele xi, cu i = a,b,c i .

Un calcul simplificat are n vedere c: bac xxx 1 , calculndu-se numai douderivate, n funcie de xa i xb. Din derivarea relaiei de calcul a riscului portofoliului nfuncie de xa i xb rezult un sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute:

0x2xx

2cac

2cacbcabb

2cac

2aa

a

2p

0x2xx

2cbc

2cacbcaba

2cbc

2bb

b

2p

nlocuind cu datele numerice ale problemei, rezult sistemul:

bac

ba

ba

xxx

xx

xx

1

02816,003712,002592,0

0224,000912,002976,0

Soluiile acestui sistem sunt:xa = 66,17528%xb = 29,67434%xc = 4,15038%.Rentabilitatea i riscul acestui portofoliu vor rezulta prin aplicarea relaiilor:

%75,121275949,0

16,00415038,014,02967434,012,06617528,0RExRE i3

1iipvma

0017931,0)2,0(16,008,00415,02974,02

5,016,004,00415,06617,023,008,004,02967,06617,02

0256,00017,00064,0088,00016,04356,0xxR3

1iijji

3

1jpvma

2

(Rpvma) = 4,2345%.


5. Un investitor dorete s i formeze un portofoliu de risc minim, n condiiileobinerii unui nivel minim al rentabilitii de 5%. El poate investi n trei tipuri de aciuni,caracterizate prin urmtoarele valori ale rentabilitii anticipate i ale riscului asociatacestora:

Aciuneai Rentabilitatea anticipat

Abaterea medie ptratic arentabilitii

A 2% 2%B 4% 3%C 7% 4%

Coeficienii de corelaie dintre rentabilitile celor trei titluri sunt: (A, B) = 0,3; (A,C) = 0,5; (B, C) = =- 0,1. Care va fi structura acestui portofoliu?

6. Un portofoliu este constituit la data de 10.04.N, n urmtoarele condiii:Aciune Numr aciuni

achiziionateCurs bursier de

cumprare/aciuneAAA 20.000 12 leiBBB 25.000 8 leiCCC 12.000 14 lei

La cumprare s-a folosit un intermediar care a solicitat un comision de 1,2% dinvolumul tranzaciei. Pe data de 10.08.N, dup o gestiune pasiv pe un interval de 4 luni, areloc lichidarea portofoliului, prin vnzarea titlurilor la cursurile bursiere de 13,5 lei/aciune(AAA), 7,7 lei/aciune (BBB) respectiv 17 lei/aciune (CCC). Intermediarul a cerut lavnzare un comision de 1,7% din volumul tranzaciei. S se calculeze rentabilitatea ntermeni reali a portofoliului, net de comisioane i impozite, tiind c rata inflaieinregistrat pentru anul respectiv a fost de 6%.

Rezolvare:Pentru a afla rentabilitatea portofoliului, folosim relaia de calcul:

n

iii RxRp

1

adic, n cazul nostru,

332211 RxRxRxRp unde: xi reprezint ponderea fiecrui titlu n portofoliu iar Ri rentabilitatea individual atitlurilor.

Pentru a afla ponderile fiecrui titlu n portofoliu, vom calcula capitalizarea bursier afiecruia i o vom raporta la ansamblul investiiei (care reprezint n fapt suma capitalizrilorbursiere individuale). Astfel vom afla ct din capitalul alocat investiiei totale a fost orientatctre fiecare dintre cele trei titluri, AAA, BBB sau CCC.

Deci: 100

1

n

iii

iii

CbN

CbNx , unde:

Ni reprezint numrul de titluri achiziionate dintr-o anumit categorie ; Cbi reprezint cursul bursier la care au fost achiziionate titlurile din componena

portofoliului.

Capitolul 9

%5,39395,014000.128000.2512000.20

12000.20

100

CCCCCCBBBBBBAAAAAA

AAAAAAAAA CBNCbNCbN

CbNx

Similar vom calcula i celelalte ponderi, respectiv: %9,32BBBx i %6,27CCCx .n ceea ce privete calculul rentabilitilor individuale, reale, nete de comisioane i

impozit, acesta este prezentat n continuare. Din valoarea tranzaciei la vnzare, vom scdeacomisionul de vnzare care trebuie pltit intermediarului, rezultatul reflectnd venitul dinoperaia respectiv care revine investitorului. La cursul de cumprare vom aduga comisionulpltit intermediarului la cumprare, suma acestora reflectnd efortul financiar pe care l faceinvestitorul pentru a intra n posesia titlului. Comisionul se calculeaz n raport cu volumultranzaciei (Cb comision% N).

Dac diferena dintre valoarea tranzaciei la vnzare minus comision de vnzare ivaloarea tranzaciei la cumprare inclusiv comisionul de cumprare este pozitiv, nseamnc s-a obinut un ctig de pe urma investiiei n titlurile vizate. Prin urmare va trebui pltitimpozit pe veniturile din capital. Acesta se pltete iniial anticipat, dup fiecare tranzaciecare aduce ctig, fiind 1% din volumul ctigului. Dac se nregistreaz pierdere, nu se vamai plti impozit. Ulterior, la sfritul anului, n funcie de intervalul de timp n care s-audeinut titlurile n portofoliu, mai mult sau mai puin de un an, vom calcula un ctig net(rezultate pozitive plus rezultate negative din tranzacii) cruia i se va aplica un impozitdifereniat, de 1% sau 16%. Diferena dintre impozitul pltit anticipat i cel bazat pectigurile nete anuale va reprezenta o sum de plat la bugetul de stat sau de recuperat (vezicapitolul 4).

innd cont de cele precizate mai sus, n contextul nregistrrii unor rezultatefavorabile din tranzacii, relaia de calcul a rentabilitii nete de comisioane i impozit (R*) vafi dup cum urmeaz:

)1()()(

*

cumpcump

cumpcumpvzvz

ComisionCb

ComisionCbComisionCbR

Cbvz este cursul bursier de vnzare iar Cbcump este cursul bursier de cumprare; desemneaz cota de impozit pe venitul din cretere de capital.

Dup cum se observ, nu am luat n considerare numrul de aciuni achiziionaterespectiv vndute, deoarece, trecute n formul, s-ar simplifica.

Rentabilitatea real, net de comisioane i impozit (R**) se calculeaz innd cont deinflaie. Va trebui sa folosim relaia de calcul a lui Fisher:

)1)(1()1( infmin latieirealaalano RRR .n cazul dat, rentabilitatea nominal este reprezentata de rentabilitatea net de

comisioane i impozit (R*).

11

1

inf

min**

latiei

alano

R

RR


Rezultatele sunt: %8,17%,5,6%,2,9 *3*

2*

1 RRR ( Pentru al doilea titlu, deoarecerentabilitatea net de comisioane a fost negativ nu am mai aplicat impozitul pe venitul dincapital.)

Pasul urmtor ar fi aflarea R**. ns, pentru aceasta, avem nevoie de rata inflaieipentru 4 luni, intervalul n care titlurile au fcut parte din portofoliu. n problem se dauinformaii n legtur cu rata inflaiei anual i atunci va trebui s calculm rata inflaiei pe 4luni. n acest sens vom folosi relaia de calcul de compunere a rentabilitilor:

ni

n

iiglobala RRR )1()1(1

1

unde:

iR reprezint rentabilitatea nregistrat ntr-o subperioad, parte a intervaluluiglobal;

iR este rentabilitatea medie aferent subperioadelor alese din intervalul global; n reprezint numrul de subperioade incluse n intervalul global.

44 )1(1 lunaraluni RR unde anualalunara RR 1)1(

12

Prin aplicarea relaiei de calcul lui Fisher, am ajuns la concluzia c rata inflaiei pe 4luni este de aproximativ 1,96%.

%5,15%,3,8%,1,7 **3**

2**

1 RRR

Pe baza acestor rezultate, vom calcula rentabilitatea portofoliului, dup cum urmeaz:%35,4%6,27%5,15%9,32%)3,8(%5,39%1,73

**32

**21

**1 XRXRXRR p

aplicatii rentab si risc de portofoliu

Documents