Anexa 1: INTERACIUNI FUNDAMENTALE EXISTENTE N NATUR

ANEXE

Anexa 1: Interaciuni fundamentale existente n natur

InteraciuneaParticulele ntre care se exercitParticulele purttoare de interaciuneTria (raportat la interaciunea gravitaional)Raza de aciune

GravitaionalToate particuleleGravitoni1Mic

SlabLeptoni i quarciBosoni vectoriali (W+, W-, Z0)1030Mic

ElectromagneticToate particulele cu sarcin electric sau/i cu moment magneticFotoni1037Mare

Tare (nuclear)QuarciGluoni1039Mic

Obsevaie: ntre particule identice, interaciunea gravitaional se manifest prin fore atractive, n timp ce pentru celelalte tipuri de interaciuni, forele dintre particulele identice sunt repulsive.

Anexa 2: Mrimi i uniti fundamentale n Sistemul Internaional

Conferina General de Msuri i Greuti, Paris (1960) a fixat urmtoarele uniti fundamentale:

1. Unitatea de lungime: metrul (m): lungimea drumului parcurs de lumin n vid timp de (2,99792458(108)-1 secunde; (1983).

2. Unitatea de mas: kilogramul (kg): masa prototipului internaional al kilogramului (pstrat la Biroul Internaional); (1889).

3. Unitatea de timp: secunda (s): durata a 9 192 631 770 perioade ale radiaiei care corespunde tranziiei ntre cele dou nivele de energie hiperfine ale strii fundamentale ale atomului de cesiu 133; (1967).

4.Unitatea de curent electric: amperul (A): intensitatea curentului electric constant, meninut n doi conductori paraleli, rectilinii, cu lungimea infinit i de seciune neglijabil, aezai n vid la distana de un metru unul de altul, care ar produce, ntre conductori, o for de 2(10-7 newtoni pe o lungime de un metru; (1948).

5.Unitatea de temperatur absolut: Kelvinul (K): a 273,17-a parte din temperatura termodinamic a punctului triplu al apei; (1967).

Temperatura Celsius este definit prin relaia:

t=T-T0=T-273,16

6.Unitatea de cantitate de substan: kilomolul (kmol): cantitatea de substan a unui sistem care conine tot attea entiti elementare cte exist n 12 kilograme de carbon 12; (1971).

7. Unitatea de intensitate luminoas: candela (cd): intensitatea luminoas, ntr-o direcie dat, a unei surse care emite o radiaie monocromatic cu frecvena de 540(1012 Hz i a crei intensitate energetic, n acea direcie este 683-1W/Sr; (1979).

Anexa 3: Constante fiziceViteza luminii n vid:

c=2,9979(108m/s.

Sarcina electronului:

e=-1,604(10-19 C

Masa de repaus a electronului:

me=9,1(10-31 kg=

=5,486(10-4 u.a.m.

(Unitatea atomic de mas reprezint a 12-a parte din masa izotopului de C12, 1 u.a.m.=1,66(10-27kg)

Sarcina specific a electronului:

=1,759(1011 C/kg

Constanta lui Planck:

h=6,626(10-34 J/s

Constanta lui Boltzmann:

kB=1,381(10-23 J/KNumrul lui Avogadro:

NA=6,023(1026 kmol-1Constanta universal (general) a gazelor:

R=8314 J/kmol K

Presiunea atmosferic (standard):

p0=1,013(105 N/m2.Volumul gazului ideal la T=273K i p0=1atm:V0=22,415(103 m3/kmol.

Temperatura de zero absolut:

T0=0K=-273,150C.

Acceleraia gravitaional la nivelul mrii,

la ecuator:

g=9,78049 m/s2Constanta atraciei universale:

k=6,673(10-11 Nm2/kg2Masa Pmntului:

MP=5,975(1024 kgRaza Pmntului la ecuator:

RP=6,378(106 m

Distana medie Pmnt-Lun:

dPL=3,84(108 m

Diametrul Soarelui:

D=1,39(109 m

Masa Soarelui:

MS=1,99(1030 kg

Masa protonului:

mp=1,007277 u.a.m.

Masa neutronului:

mn=1,008665 u.a.m.

Raportul dintre masa protonului i

masa electronului:

=1836,1Permitivitatea electric absolut (constanta

dielectric a vidului):

(0=8,85(10-12 C2/N(m2Permeabilitatea magnetic absolut a vidului:(0=1,26(10-6 H/m

Constanta (numrul) lui Faraday:

F=96487(103 C/kmol

Constanta lui Wien:

b=2,898 mK

Anexa 4: Complemente de matematic

A.4.1. Gradientul unei funcii scalare

Fie o funcie scalar oarecare de coordonate, continu i difereniabil.

Cu ajutorul derivatelor ei pariale:

(A.4.1)

se poate construi n fiecare punct din spaiul de definiie, un vector ale crui componente sunt derivatele pariale respective. Acest vector se numete gradientul lui f i se noteaz:

(A.4.2)

unde:

(A.4.3)

este operatorul vectorial diferenial nabla, iar i versorii axelor Ox, Oy i respectiv, Oz.

Gradientul unei funcii ntr-un punct este vectorul a crui direcie coincide cu direcia de cea mai mare curbur (raza este minim) i a crui mrime este egal cu panta msurat n aceast direcie. Direcia vectorului gradf ntr-un punct oarecare este direcia care pornind de la acest punct permite creterea cea mai rapid a funciei f.

Produsul scalar dintre gradf i vectorul deplasare infinitezimal:

(A.4.4)

este difereniala funciei f:

(A.4.5)

A.4.2. Divergena unei funcii vectoriale

Fie o funcie vectorial oarecare n spaiul tridimensional; are n fiecare punct din spaiu o direcie i o mrime bine definit.

Se consider un volum finit (V() de form oarecare, a crui suprafa se noteaz cu (().

Fluxul total al funciei vectoriale prin suprafaa (() este:

(A.4.6)

unde este un vector infinitezimal a crui mrime este egal cu aria unui element al suprafeei ((), iar direcia coincide cu normala exterioar la acest element de suprafa (fig. A.4.1).

Fig.A.4.1.Se divizeaz volumul (V() ntr-un numr mare de poriuni de volume: cu suprafeele care le delimiteaz . Indiferent de numrul poriunilor:

,

(A.4.7)

deoarece suprafeele comune pentru dou poriuni vecine (alturate) au contribuii egale la flux dar de semn opus. Pentru a demonstra aceasta, se consider c volumul (V() este delimitat n dou poriuni de volume i , cu:

(A.4.8)

i fie (D) suprafaa de separaie a celor dou poriuni (fig.A.4.2).

Fig.A.4.2.ntruct:

rezult:

(A.4.9)

i atunci:

. (A.4.10)

La limit, cnd n((, vrem s gsim ce este caracteristic pentru o poriune foarte mic i, n final, pentru vecintatea unui punct. n acest sens se consider raportul:

(A.4.11)

i se observ c pe msur ce are loc divizarea n mai multe pri a volumului , care implic divizarea integralei n mai muli termeni, raportul (A.4.11) tinde ctre o limit. Aceast limit este o proprietate caracteristic a funciei vectoriale n vecintatea punctului coninut n volumul , numit divergena lui , adic:

(A.4.12)

unde ((k) este suprafaa ce delimiteaz volumul i pe care se ia integrala de suprafa.

Din (A.4.12), este fluxul funciei vectoriale pe unitatea de volum prin suprafaa ((k) ce mrginete volumul , pentru infinit de mic. Aceasta este o mrime scalar de coordonate.

Trebuie introdus ns, condiia ca limita din relaia (A.4.12) s existe i s fie independent de modul de divizare.

Se demonstreaz, n continuare, c n coordonate carteziene, divergena funciei are expresia:

(A.4.13)

Se presupune o funcie vectorial care este exprimat n coordonate carteziene x, y i z. Exist, deci, trei funcii scalare Fx(x,y,z); Fy(x,y,z) i Fz(x,y,z) astfel nct:

(A.4.14)Se consider un volum (Vk) de forma unui paralelipiped cu unul din coluri n punctul de coordonate (x,y,z) i cu laturile de lungime (x, (y i (z (fig.A.4.3). Considerm dou fee opuse ale paralelipipedului, de exemplu cele din planul z=const. Fluxul prin aceste suprafee se datoreaz numai componentei Fz a funciei pe direcia z i contribuia final depinde doar de diferena ntre valoarea medie a lui Fz pe suprafaa superioar i valoarea medie a lui Fz pe suprafaa inferioar. Pentru a obine aceast diferen se are n vedere faptul c valorile medii pe cele dou suprafee (n prima aproximaie) sunt valorile funciilor n centrul suprafeelor (fig. A.4.4) i se folosete aproximaia liniar a dezvoltrii n serie Taylor:

Fig. A.4.3.

(A.4.15)

Fig.A.4.4.

Valoarea medie a lui Fz pe suprafaa inferioar este:

,

iar pe suprafaa superioar:

.

Fluxul total ce iese din paralelipiped prin cele dou suprafee a cror arie este xy este egal cu:

(fluxul ce iese prin suprafaa superioar)

(fluxul ce intr prin suprafaa inferioar)

.

Aplicnd acelai raionament i pentru celelalte fee i nsumnd rezultatele, se obine expresia fluxului total prin paralelipiped, pentru funcia :

(A.4.13)

A.4.3. Rotorul unei funcii vectoriale

Se analizeaz integrala de linie pe un contur nchis (C) a unei funcii vectoriale definit n spaiul tridimensional. Curba nchis (C) mrginete o infinitate de suprafee i se alege o suprafa oarecare dintre acestea (fig.A.4.5.).

Denumirea intergalei de linie este circulaia funciei vectoriale i se noteaz:

(A.4.17)

unde este elementul de drum (un vector infinitezimal tangent la curba (C) n punctul respectiv).

Fig.A.4.5.

Exist dou sensuri de parcurgere a curbei (C); pentru a determina direcia i sensul lui , se alege unul din ele. Se traverseaz suprafaa ((C) pe drumul (B) formnd dou bucle (C1) i (C2), ambele cuprinznd drumul (B) (fig.A.4.6.). Se observ c:

(=(1+ (2

(A.4.18)

deoarece:

(A.4.19)

Fig. A.4.6.

Dac se continu divizarea n bucle mai mici: C1, C2, . . . , Ck, . . ., Cn suma integralelor nu se schimb:

,

adic:

.

(A.4.20)

Se poate continua subdivizarea cu scopul ca la limit s se obin o caracteristic cantitativ local a funciei vectoriale. Micornd buclele, se micoreaz circulaia, dar i aria suprafeelor delimitate de bucle, astfel nct se va considera raportul dintre circulaia unei bucle i aria buclei.

Alegnd versorul suprafeei , limita (limita trebuie s existe i s fie independent de modul de divizare):

,

(A.4.21)

reprezint o mrime scalar asociat punctului P aflat pe suprafaa n funcia vectorial i direciei . Alegnd trei direcii independente se obin trei numere diferite. Acestea pot fi considerate componentele unui vector numit rotor :

(A.4.22)

Se observ c este o funcie vectorial de coordonate. Direcia vectorului rot n orice punct, este normal la planul ce trece prin acel punct pentru care mrimea circulaiei este maxim.

Mrimea rotorului este egal cu valoarea limit a circulaiei pe unitatea de arie a planului din jurul punctului ales.

n coordonate carteziene, expresia rotorului funciei este:

, (A.4.23)

ce poate fi scris i sub forma:

.

(A.4.24)

Pentru demonstrarea relaiilor (A.4.23) i (A.4.24) se calculeaz, pentru nceput, rot cnd funcia vectorial (x,y,z) este dat explicit pentru drumul ce delimiteaz un element de suprafa dreptunghiular, paralel cu planul xOy; n acest caz (fig.A.4.7 a, b). Integrala de linie a funciei pe un asemenea drum depinde de variaia lui Fx cu y i de variaia lui Fy cu x.

n aproximaia de ordinul nti, diferena dintre valoarea medie a lui Fx pe segmentul de sus pentru y+(y i valoarea medie pe segmentul de jos pentru y este:

,

deoarece la mijlocul segmentului inferior:

;

iar la mijlocul segmentului superior:

Fig.A.4.7.a

Fig.A.4.7.b.

Contribuia final la circulaie este dat de produsul dintre diferena valorilor medii i lungimea elementului de drum x. Aceast contribuie este egal cu ; semnul minus aprnd ntruct integrarea se face de la dreapta la stnga pe latura de sus a dreptunghiului i, dac componenta pozitiv Fx este mai mare sus, ea d o contribuie negativ n circulaie. Contribuia celorlalte laturi este , semnul fiind plus deoarece componenta Fy este mai mare pe latura din dreapta; contribuia acestor laturi n circulaie fiind deci pozitiv.

Pentru suprafaa dreptunghiular considerat, circulaia funciei va fi:

(A.4.25)

Cum (x((y este aria dreptunghiului, conform definiiei (A.4.22), avem:

; cnd

(A.4.26)

Analog, pentru i se obine:

; cnd

(A.4.27)

i respectiv:

pentru

(A.4.28)

Cumulnd relaiile (A.4.26), (A.4.27), (A.4.28), n cazul general, se obine, n final:

(A.4.29)

A.4.4. Relaii din analiza vectorial

Produsul scalar a doi vectori:

Produsul vectorial a doi vectori:

;

Produsul mixt a trei vectori:

Produsul vectorial a trei vectori:

-Rezultatul aplicrii operatorului lui Laplace, , egal cu produsul scalar a doi operatori nabla asupra unei funcii scalare f, este scalarul:

(n coordonate carteziene).

-Rezultatul aplicrii operatorului Laplace, (, asupra unui vector , conduce la trei ecuaii scalare:

(n coordonate carteziene).

Teorema lui Gauss:

Teorema lui Stokes:

Rotorul gradientului oricrei funcii scalare este nul:

Divergena rotorului oricrui vector este nul:

Gradientul unei sume:

Gradientul unui produs:

Divergena sumei a doi vectori:

Divergena produsului unui scalar cu un vector:

Divergena produsului vectorial a doi vectori:

Rotorul sumei a doi vectori:

Rotorul produsului unui scalar cu un vector:

Rotorul rotorului unui vector:

A.4.5. Funcii de clas C(n) i D(n)

Definiii: Vom spune c funcia f este difereniabil de n ori n a (n(2) dac exist o vecintate deschis V a lui a, V(X astfel nct n orice punct din V exist toate funciile derivate parial de ordinul (n-1) i toate funciile derivate parial de ordinul (n-1) definite pe V sunt difereniabile n a.

O funcie este de clas C(k) (I) dac admite derivate pariale pn la ordinul k continue (I(Rn).

O funcie este de clas D(k) dac admite derivate pariale pn la ordinul k difereniabile pe I.

Observaie: Dac funcia f are derivate pariale ntr-o vecintate V a unui punct (a,b) i aceste derivate pariale sunt continue n (a,b), atunci f este difereniabil n (a,b). Reciproca nu este adevrat.

Orice funcie difereniabil n punctul (a,b) este continu n acel punct.

A.4.6. Sisteme de funcii implicite

Se consider sistemul de funcii implicite:

(A.4.30)

unde Fi(x1,x2, . . . ,xm, y1, y2, . . . ,yn), , sunt funcii reale de (m+n) variabile definite pe o mulime E(Rm+n .

Definiie: Spunem c un sistem de n funcii reale de m variabile:

(A.4.31)

definite pe mulimea A(Rm este o soluie a sistemului (A.4.30) n raport cu variabilele y1, y2, . . . , yn pe mulimea A dac avem:

oricare ar fi i =1,2,. . . ,n, pentru (x1, x2, . . . , xm)(A.

n cazul cnd sistemul (A.4.30) are o singur soluie pe A spunem c funciile f1,f2, . . . ,fn sunt definite implicit pe sistemul de ecuaii (A.4.30).

S presupunem c funciile F1, F2, . . . , Fn au derivate pariale n raport cu variabilele y1, y2, . . . , yn pe mulimea E.

Vom nota:

Dac mai notm: F=(F1,F2, . . ,Fn) atunci F este o funcie vectorial definit pe E cu valori n Rn , iar sistemul (A.4.30) se scrie:

F(x,z)=0

(A.4.32)

De asemenea, dac notm f=(f1,f2, . . . ,fn), atunci f este o funcie vectorial definit pe A(Rm cu valori n Rn, iar sistemul (A.4.31) se scrie:

y=f(x).

(A.4.33)

A spune c sistemul (A.4.31) este o soluie a sistemului (A.4.30) este echivalent cu:

F(x,f(x))=0

(A.4.34)

pentru orice x(A.

Teorem: Fie E(Rm+n i ; fie funcia vectorial F=(F1,F2, . . . ,Fn):E(Rn.

Dac:

1) F(x0,y0)=0;

2) Funciile reale Fi(i=1,2,. . . ,n) au derivate pariale continue ntr-o vecintate U0(V0 a punctului (x0,y0);

3) Iacobianul:

n punctul (x0,y0).

Atunci:

a)Exist o vecintate U0(V0 a punctului (x0,y0), (U0(Rm,V0(Rn) i o funcie vectorial unic f(x)=(f1(x), . . . , fn(x)):U0(V0, astfel nct y0=f(x0) i F(x,f(x))=0 pentru orice x(U0.

b)Funciile reale f1(x),f2(x), . . . , fn(x) au derivate pariale continue pe U0 i:

c)Dac funciile F1,F2, . . . , Fn au derivate pariale de ordinul k continue pe U(V, atunci funciile f1(x), f2(x), . . . , fn(x) au derivate pariale de ordinul k continue pe U0.A.4.7. Funcii omogene

Fie E(Rn, f:E(R, f(x)=f(x1, . . . , xn) .

Spunem c funcia f este omogen de grad k dac pentru orice numr t(0 i oricare ar fi x(E, avem:

f(tx)=tkf(x)

adic:

f(tx1,tx2, . . . ,txn)=tkf(x1, . . . ,xn).

Teorema lui Euler:

Dac funcia f(x) este omogen de grad k i difereniabil ntr-un punct a=(a1, . . . ,an), atunci

.

Corolar:

Dac funcia f este omogen de grad k i difereniabil n orice punct x(0 din E rezult:

(are loc i teorema reciproc).

(V()

(()

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(D)

((1)

((2)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

O

EMBED Equation.3

(y

(z

(x

x

y

z

(x,y,z)

(x,y,z)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

(C)

((C)

(C1)

(C2)

(B)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x

z

y

O

O

(x,y)

(x+(x,y+(y)

x

y

1349

_1041724628.unknown

_1041842248.unknown

_1041845033.unknown

_1041846756.unknown

_1041847381.unknown

_1041852343.unknown

_1041853897.unknown

_1042298867.unknown

_1042300630.unknown

_1041854696.unknown

_1041854727.unknown

_1041854745.unknown

_1041854125.unknown

_1041854657.unknown

_1041853081.unknown

_1041853421.unknown

_1041852599.unknown

_1041848628.unknown

_1041851588.unknown

_1041851989.unknown

_1041848961.unknown

_1041847518.unknown

_1041848108.unknown

_1041847446.unknown

_1041847104.unknown

_1041847224.unknown

_1041847295.unknown

_1041847151.unknown

_1041847016.unknown

_1041847062.unknown

_1041846969.unknown

_1041845804.unknown

_1041846197.unknown

_1041846381.unknown

_1041846642.unknown

_1041846340.unknown

_1041845984.unknown

_1041846092.unknown

_1041845844.unknown

_1041845299.unknown

_1041845643.unknown

_1041845765.unknown

_1041845530.unknown

_1041845074.unknown

_1041845196.unknown

_1041844300.unknown

_1041844972.unknown

_1041845013.unknown

_1041844627.unknown

_1041844896.unknown

_1041844336.unknown

_1041843745.unknown

_1041843978.unknown

_1041844086.unknown

_1041843914.unknown

_1041843036.unknown

_1041843266.unknown

_1041842845.unknown

_1041838779.unknown

_1041839866.unknown

_1041840419.unknown

_1041841945.unknown

_1041842175.unknown

_1041840627.unknown

_1041840601.unknown

_1041840371.unknown

_1041839520.unknown

_1041839603.unknown

_1041839375.unknown

_1041839394.unknown

_1041838993.unknown

_1041838164.unknown

_1041838437.unknown

_1041838606.unknown

_1041838282.unknown

_1041832536.unknown

_1041833906.unknown

_1041834976.unknown

_1041835103.unknown

_1041833149.unknown

_1041832506.unknown

_1041721783.unknown

_1041724160.unknown

_1041724358.unknown

_1041724413.unknown

_1041724427.unknown

_1041724261.unknown

_1041722994.unknown

_1041723817.unknown

_1041723916.unknown

_1041723627.unknown

_1041723714.unknown

_1041723773.unknown

_1041723682.unknown

_1041723602.unknown

_1041722945.unknown

_1041722969.unknown

_1041721861.unknown

_1041720551.unknown

_1041720956.unknown

_1041721138.unknown

_1041721526.unknown

_1041721668.unknown

_1041721509.unknown

_1041721080.unknown

_1041720816.unknown

_1041720920.unknown

_1041720753.unknown

_1041719998.unknown

_1041720448.unknown

_1041720527.unknown

_1041720349.unknown

_1041718739.unknown

_1041719911.unknown

_1041718107.unknown