anexa 1- notiuni de geometrie plana si in spatiu- 2014

Lindab SRL

Şos. de Centură, nr.8, Ştefăneştii de Jos, 077175 – Ilfov

Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

COMPETENTE CHEIE Anexa 1

NOŢIUNI DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI IN SPAŢIU

Competența matematică:

reprezintă capacitatea de a aplica gândirea matematică cu scopul de a rezolva

probleme apărute în situații obișnuite de muncă și viată;

urmărește lucrul cu elemente matematice de bază;

înseamnă capacitatea de a folosi o gândire matematică (de tip logic/ spațial) și

formule, modele, machete, grafice, scheme.

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

1. Calculul suprafeţelor figurilor geometrice

TRIUNGHIUL: figura geometrică formată prin reuniunea a trei segmente de dreaptă AB, BC și CA, unde A,B,C sunt puncte necoliniare.

Clasificarea triunghiurilor:

După laturi: echilateral; isoscel; oarecare

Triunghi echilateral (are toate laturile egale)

Triunghiul isoscel (are doua laturi egale)

Triunghiul oarecare (are laturile inegale)

După unghiuri : ascuțitunghic; dreptunghic;obtuzunghic

Triunghi ascuțitunghic

Triunghiul dreptunghic

Triunghiul obtuzunghic

Notă :

În triunghiul dreptunghic, laturile ce formează unghiul drept se numesc catete, iar latura ce se opune unghiului drept se numește ipotenuză. În cazul triunghiului dreptunghic, una dintre catete poate fi considerată baza, iar cealaltă catetă înaltime.

Înaltimea (h) într-un triunghi este segmentul de dreaptă coborât perpendicular dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă.

În triunghiul obtuzunghic, două dintre înalţimi întâlnesc laturile pe prelungirile lor.

Orice triunghi are suma unghiurilor interne egala cu 180 º

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

Bisectorea este segmentul de dreapta ce împarte un unghi al triunghiului în două părți egale.

Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

AB;BC;CA=laturile triunghiului BC=(b)= baza triunghiului AD=(h)= înălțimea triunghiului (perpendiculară pe bază) P= perimetrul triunghiului (suma lungimilor laturilor triunghiului); S= aria triunghiului.

P= AB+BC+CA

PARALELOGRAMUL este patrulaterul (poligon cu 4 laturi) ce are laturile opuse paralele.

Reprezentare grafica Notari Formule de calcul

AB;BC;CD;DA =laturile patrulaterului; BC=b1= baza paralelogramului; CD=b2= baza paralelogramului; AE; AF =h= înălțimea paralelogramului (perpendiculară pe bază) P= perimetrul paralelogramului (suma lungimilor laturilor paralelogramului); S= aria paralelogramului

P=AB+BC+CD+DA

DREPTUNGHIUL este paralelogramul cu toate unghiurile drepte și diagonale egale.


MN;NP; PQ;QA =laturile dreptunghiului; MN ║PQ; NP║QM laturi paralele două câte două; MN┴NP┴PQ┴QM : laturile dreptunghiului sunt perpendiculare consecutiv; (b) = baza dreptunghiului poate fi oricare latură; (h) înălțimea dreptunghiului poate fi oricare latură; P= perimetrul dreptunghiului (suma lungimilor laturilor dreptunghiului); S= aria dreptunghiului

P=MN+NP+PQ+QM

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

PĂTRATUL este dreptunghiul cu toate laturile egale.


AB;BC;CD;DA= laturile pătratului egale între ele (a); AB║DC; AD║BC laturi paralele două câte două; AB┴BC┴ CDP┴DA : laturile dreptunghiului sunt perpendiculare consecutiv; (d) = diagonala pătratului; P= perimetrul pătratului (suma lungimilor laturilor pătratului); S= aria pătratului.

P=AB+BC+CD+DA= 4a

d = 1,414 a

a = 0,707 d

ROMBUL este paralelogramul cu toate laturile egale, cu unghiurile opuse egale două câte două și cu diagonalele inegale.


AB;BC;CD;DA= laturile rombului, egale între ele (a); AB║DC; AD║BC laturi paralele două câte două; d1= diagonala mica a rombului; d2 =diagonala mare a rombului; P= perimetrul rombului (suma lungimilor laturilor rombului); S= aria rombului.

P=AB+BC+CD+DA= 4a

S =

TRAPEZUL este patrulaterul cu două laturi paralele și două neparalele.


AB;BC;CD;DA= laturile trapezului, AB║DC = laturile neparalele ale trapezului; (b) = baza mica a trapezului; (B) =baza mare a trapezului; (h) = înălțimea trapezului P= perimetrul trapezului (suma lungimilor laturilor trapezului); S= aria trapezului.

P=AB+BC+CD+DA

CERCUL este o curbă închisă, ale cărei puncte succesive sunt situate la aceeaşi distanţă, egală faţă de centru. Dacă se desfășoară cercul sub forma unei linii drepte, atunci lungimea acestei linii va fi egală, în toate cazurile, cu 3,14 diametre ale cercului desfăşurat. Rezultă că L

(lungimea cercului) va fi egală cu diametrul cercului înmulţit cu 3,14 (

2

22 d

aS

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]


(r) = raza cercului; (d) = diametrul cercului; L = lungimea cercului; S= aria cercului.

SEGMENTUL DE CERC Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

e – coarda;

h – înălţimea segmentului;

r – raza cercului;

S – aria segmentului de cerc;

l – lungimea arcului;

;

SECTOR DE INEL CIRCULAR Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

D – diametrul exterior;

R – raza exterioară;

unghiul la centru al sectorului de inel;

d – diametrul interior

r – raza interioară;

S – aria sectorului de inel

ELIPSA Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

a, b – semiaxele elipsei;

S – aria elipsei;

P – semiperimetrul.

hr2h2e

h8

h4cr

22 r01745,0l

r

l296,57 22 cr4

2

1rh

hrerl2

1S

22 rR360

S

22 rR00873,0

22 dD

3604

22 dD00218,0

ab1416,3abS

2 2 2

r d 785 , 0 4

d S

r 2 d 1416 , 3 d L

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

HEXAGONUL REGULAT


a – latura hexagonului;

R–raza cercului circumscris;

r – raza cercului înscris;

S – aria hexagonului:

R = a = 1,155 r

r = 0,866 a = 0,866 R

S=3R²√3/2

(S = 2,598 a2 = 2,598 R2 =

= 3,464 r2)

POLIGONUL REGULAT


a – latura poligonului;

R–raza cercului circumscris;

r – raza cercului înscris;

α – unghiul la centru;

β – unghiul poligonului;

n – numărul laturilor;

a – latura hexagonului;

S – aria hexagonului.

;

2. Calculul volumelor/suprațetelor câtorva corpuri geometrice

CILINDRU CIRCULAR DREPT Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

h – înălţimea cilindrului;

R – raza bazei;

D – diametrul;

Sl – aria laterală;

St– aria totală;

V– volumul cilindrului.

n

360

180

4

arR

22

4

aRr

22

22 rR2a

4

aRna

2

narS

22

Rh2Sl

hRR2St

hRV 2

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

CILINDRU CIRCULAR DREPT SECȚIONAT Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

R – raza bazei cilindrului;

G1, G2 – generatoarele (cea mai mare şi cea mai mică);

Sl– aria laterală a cilindrului;

St– aria totală a cilindrului

V – volumul cilindrului secţionat.

CONUL CIRCULAR DREPT Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

r – raza bazei circulare;

h –înălţimea conului;

G– generatoarea conului;

Sl – aria laterală a conului

St – aria totală a conului;

V– volumul conului.

TRUNCHI DE CON CIRCULAR DREPT Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

R – raza bazei inferioare;

r - raza bazei superioare;

h – înălţimea trunchiului de con;

G– generatoarea.

SFERA Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

r – raza;

d – diametrul;

S – aria sferei;

V– volumul sferei.

21l GGRS

RGGRS 21t

2

212

2

GGR

2

GGRV 212

22 hrG

22

l hrrrGS

GrrSt

hr3

1V 2

22 rRhG

rRGSl

rRGrRS 22

t

RrrRh3

V 22

222 dr57,12r4S

2d142,3

33 r189,4r3

4V

33

d524,06

d

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

SEGMENT SFERIC (CALOTĂ SFERICĂ) Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

r – raza sferei;

a – raza secţiunii plane;

h –înălţimea;

Sl – aria laterală;

St– aria totală;

V – volumul.

CUB Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

a – latura cubului;

d – diagonala cubului;

St – aria totală a cubului;

V – volumul cubului.

PRISMA DREAPTĂ Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

a, b, h – laturile prismei;

St – aria totală;

V – volumul;

V = abh

PIRAMIDA REGULATĂ Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

B – aria bazei;

h –înălţimea piramidei;

V – volumul piramidei;

S – aria totală a piramidei

S = suma ariilor triunghiurilor + aria bazei

hr2ha2

22

l harh2S

2

t arh2S

22 a2h

hr3h3

1V 2

a732,1a3d

3aV

2a6S

abbhah2S

Bh3

1V

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ Reprezentare grafică Notări Formule de calcul

b, B – ariile bazelor;

h – înălţimea;

V – volumul trunchiului;

S – aria totală.

S = suma ariilor trapezelor + ariile bazelor inferioară si superioară

BbbBh3

1V

3. Desfăşuratele figurilor geometrice în spaţiu

DESFĂȘURATA PIRAMIDEI

Se construieşte vederea laterală şi vederea de sus a piramidei cu muchia de lungime a.

Din punctul marcat cu O, situat în vederea de sus a piramidei, se descrie arcul de cerc EF. Ridicaţi o perpendiculară din punctul F până intersectează baza piramidei în punctul G. Alături desenaţi un arc de cerc cu raza OG, pe care se marchează lungimile laturilor bazei piramidei, obţinându-se punctele H, I, K, L, M. Uniţi punctul O cu punctele determinate anterior, obţinând astfel desfăşurata suprafeţei laterale a piramidei regulate OHIJKLM.

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

DESFĂȘURATA TRUNCHIULUI DE PIRAMIDĂ CU BAZE NEPARALELE

Se construiește vederea laterală şi vederea de sus a piramidei.

Din punctul marcat cu O, situat în vederea de sus a piramidei, se descrie arcul de cerc BE. Ridicaţi o perpendiculară din punctul E, până intersectează baza piramidei în

punctul F. Uniți punctul F cu vârful piramidei O. Alături, desenaţi un arc de cerc cu raza OF, pe care se marchează lungimile laturilor bazei piramidei b, obţinându-se punctele B, C, D, A, B. Uniţi punctul O cu punctele determinate anterior. Din

punctul O puneți măsurile OK=MB, respectiv OI=OL. Unind punctele

M,K,I,L,M se obține desfăşurata trunchiului de piramidă BCDABMLIKMB.

DESFĂȘURATA CONULUI

Se construiește vederea laterală şi vederea de sus a conului, ca în figura alăturată - a

Dintr-un punct oarecare O, se descrie un arc de cerc BC, cu raza R, și cu lungimea

egală cu D (figura alaturată - b).

Adăugând dimensiunea necesară pentru falț, se obține desfășurata suprafeței laterale a conului OC'B.

Lindab SRL


Tel.: 021 209 41 00 Fax: 021 209 41 24

[email protected]

DESFĂȘURATA TRUNCHIULUI DE CON

Se construieşte vederea laterală şi vederea de sus a conului OCD (ca în fig. alaturată – a), care se intersectează cu un plan, prin punctele B și A.

Alături, dintr-un punct oarecare O, se construiesc două arce de cerc concentrice DC si AB, unul cu raza mare D/2 si celălalt cu

raza mica d/2, şi cu lungimile egale cu D si

respectiv cu d (figura alaturată - b). Unim punctele D și C cu O .

Adăugând dimensiunea necesară pentru falţ, se obţine desfăşurata suprafeţei laterale a trunchiului de con A,D,C,B.

ELIPSA

Construcţia începe cu ridicarea a două axe perpendiculare în punctul O. Segmentele OA = OB şi OC = OD; acestea sunt egale, de asemenea, cu jumătate din axa mare şi respectiv cu jumătate din axa mică a elipsei. Cu o deschidere de compas egală cu segmentul OA, respectiv OC, se construiesc două cercuri ajutătoare, cu centrul în punctul O. Pentru o precizie ridicată în desenarea elipsei, se împart cele două cercuri concentrice într-un număr cât mai mare de părţi egale. În cazul de faţă, se împart cercurile concentrice în 12 părţi egale, apoi se duc raze prin punctele de diviziune determinate. Prin punctul de intersecţie al fiecărei raze cu cercul mare (punctele 1,2,3,…) se duce câte o paralelă la axa mică, iar prin punctul de intersecţie cu cercul mic, câte o paralelă la axa mare. Punctele de intersecţie ale acestor drepte paralele, cu axa mică şi axa mare, sunt punctele care desenează elipsa.

Realizat,

Expert Tehnic Lindab:

Gh. Volintiru

anexa 1- notiuni de geometrie plana si in spatiu- 2014

Documents