Matematica 1 (Analiza)Notit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: Mircea Olteanu

15 decembrie 2018

Cuprins

1 Serii de numere reale 31.1 Generalitat, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Seria geometrica s, i seria armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Serii oarecare. Aproximat, ii 92.1 Convergent, a absoluta s, i semiconvergent, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Aproximarea sumelor seriilor convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 S, iruri s, i serii de funct, ii 133.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Transferul proprietat, ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Serii de funct, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Polinomul Taylor s, i seria Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Serii Taylor 214.1 Exercit, ii suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Derivate part, iale 255.1 Funct, ii de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Operatori diferent, iali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Diferent, iala totala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Recapitulare part, ial 296.1 Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Model 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 Model 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7 Probleme de extrem 337.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Extreme cu legaturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.2.1 Cazul compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8 Metoda celor mai mici patrate. Integrale improprii 398.1 Regresie liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.3 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.3.1 Integrale improprii cu parametri. Funct, iile lui Euler . . . . . . . . . . . . . 408.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9 Integrale duble s, i triple 439.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.2 Indicat, ii teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10 Integrale curbilinii. Formule integrale 1 4710.1 Integrala curbilinie de prima spet, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.2 Integrala curbilinie de spet, a a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.3 Formula Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10.3.1 Forme diferent, iale ınchise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

11 Integrale de suprafat, a. Formule integrale 2 5311.1 Integrale de suprafat, a de spet, a ıntıi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.2 Integrale de suprafat, a de spet, a a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.3 Formula Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.4 Parametrizari uzuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.6 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711.7 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

12 Modele recapitulative 5912.1 Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.2 Model 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.3 Model 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Index 62

Bibliogra�e 64

1

2

SEMINAR 1

SERII DE NUMERE REALE

1.1 Generalitat, iO serie, ınt, eleasa informal ca o suma in�nita, este de�nita formal de doua elemente:

• s, irul termenilor generali;

• s, irul sumelor part, iale.

Astfel, de exemplu, daca luam seria ∑n≥0

2n

n!, avem:

• s, irul termenilor generali este xn =2n

n!;

• s, irul sumelor part, iale este sp =p

∑k=0

2k

k!.

Seria se numes, te convergenta daca s, irul sumelor part, iale este convergent, iar limita acestui s, irse numes, te suma seriei. In caz contrar, seria se numes, te divergenta, adica s, irul sumelor part, ialenu are limita sau aceasta este in�nita. Cınd vorbim despre natura seriei, ne referim daca aceastaeste convergenta sau divergenta.

Spre deosebire de cazul s, irurilor din liceu, ın cazul seriilor trebuie mai multa atent, ie cınd dis-cutam convergent, a. Aceasta deoarece seriile au o natura cumulativa, adica tot, i termenii anterioridin s, irul sumelor part, iale ıs, i aduc contribut, ia. Mai precis, avem o recurent, a de forma:

sp+1 = sp + xp+1.

De aceea, urmatoarele proprietat, i sınt speci�ce seriilor:

3

(a) Daca ıntr-o serie schimbam ordinea unui numar �nit de termeni, obt, inem o serie noua, careare aceeas, i natura cu cea init, iala. Daca exista, suma seriei nu se schimba.

(b) Daca eliminam un numar �nit de termeni dintr-o serie, se obt, ine o serie noua, cu aceeas, inatura. Daca exista, suma seriei poate sa se schimbe.

(c) Daca o serie este convergenta, atunci ea are s, irul sumelor part, iale marginit.

(d) Daca o serie este convergenta, atunci s, irul termenilor sai generali tinde catre zero. Reciprocaeste, ın general, falsa (contraexemplu ∑ 1

n ).Aceasta proprietate ne permite sa formulam o condit, ie necesara de convergent, a:

(e) Daca s, irul termenilor generali ai unei serii nu este convergent catre zero, atunci seria estedivergenta.

1.2 Serii cu termeni pozitiviIn cazul seriilor care au s, irul termenilor generali alcatuit numai din numere pozitive, avem urmatoareleproprietat, i, dintre care unele rezulta prin particularizarea celor de mai sus:

(a) S, irul sumelor part, iale al unei serii cu termeni pozitivi este strict crescator.

(b) O serie cu termeni pozitivi are ıntotdeauna suma (�nita sau nu).

(c) O serie cu termeni pozitivi este convergenta daca s, i numai daca s, irul sumelor part, iale estemarginit.

(d) Criteriul de comparat, ie termen cu termen: O serie care are termeni mai mari (doi cıtedoi) decıt o serie divergenta este divergenta. O serie care are termeni mai mici (doi cıte doi)decıt o serie convergenta este convergenta.

(e) Criteriul de comparat, ie la limita, termen cu termen: Fie ∑n xn s, i ∑n yn doua serii cutermeni pozitivi. Presupunem ca xn+1

xn≤yn+1yn

. Atunci:

• Daca seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria ∑ xn este convergenta;• Daca seria ∑n xn este divergenta, atunci s, i seria ∑n yn este divergenta.

(f) Criteriul de comparat, ie la limita: Fie ∑n xn s, i ∑n yn doua serii cu termeni pozitivi, astfelıncıt lim

n→∞

xnyn

= � .

• Daca 0 < � < ∞, atunci cele doua serii au aceeas, i natura;

4

• Daca � = 0, iar seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria ∑n xn este convergenta;• Daca � = ∞, iar seria ∑n yn este divergenta, atunci s, i seria ∑n xn este divergenta.

(g) Criteriul radical: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitiv, astfel ıncıt limn→∞

n√xn = � . Atunci:

• Daca � < 1, seria este convergenta;• Daca � > 1, seria este divergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(h) Criteriul raportului: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i �e � = limn→∞

xn+1xn

. Atunci:

• Daca � < 1, seria este convergenta;• Daca � > 1, seria este divergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(i) Criteriul lui Raabe-Duhamel: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i �e:

� = limn→∞

n ⋅ (xnxn+1

− 1).

Atunci:

• Daca � < 1, seria este divergenta;• Daca � > 1, seria este convergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(j) Criteriul logaritmic: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i presupunem ca exista limita:

� = limn→∞

ln 1xn

ln n.

Atunci:

• Daca � < 1, seria este divergenta;• Daca � > 1, seria este convergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(k) Criteriul integral: Fie f ∶ (0,∞) → [0,∞) o funct, ie crescatoare s, i s, irul an = ∫n

1f (t)dt .

Atunci seria ∑n f (n) este convergenta daca s, i numai daca s, irul (an) este convergent.

(l) Criteriul condensarii: Fie (xn) un s, ir astfel ıncıt xn ≥ xn+1 ≥ 0, ∀n. Atunci seriile ∑n xn s, i∑n 2nx2n au aceeas, i natura.

5

1.3 Seria geometrica s, i seria armonicaDoua serii foarte importante pe care le putem folosi ın comparat, ii sınt urmatoarele.

Seria geometrica: Fie a ∈ ℝ s, i q ∈ ℝ. Consideram progresia geometrica de prim termen a s, irat, ie q, care de�nes, te seria ∑n aqn, pe care o numim seria geometrica de rat, ie q.

Suma part, iala de rang n se poate calcula cu formula cunoscuta din liceu:

Sn = a + aq +⋯ + aqn−1 =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a ⋅1 − qn

1 − q, q ≠ 1

na, q = 1

Pentru convergent, a, sa remarcam ca daca |q| < 1, atunci:

limn→∞

sn =a

1 − q,

deci seria este convergenta s, i are suma a1 − q

.Daca |q| ≥ 1, se poate veri�ca us, or, folosind criteriul necesar, ca seria geometrica este diver-

genta.Un alt exemplu important este seria armonica generalizata (Riemann), de�nita prin∑

n

1n�

,

pentru � inℝ. Se poate observa ca:

• Daca � ≤ 0, termenul general al seriei nu converge catre zero, deci seria este divergenta,conform criteriului necesar;

• Daca � > 0, termenii seriei formeaza un s, ir descrescator de numere pozitive. Seria esteconvergenta pentru � > 1 s, i divergenta pentru � ≤ 1.

In cazul particular � = 1, seria se numes, te simplu seria armonica.

1.4 Exercit, iiStudiat, i natura urmatoarelor serii cu termeni pozitivi, de�nite de s, irul termenilor generali (xn),cu:

(a) xn = (3n

3n + 1)n

(D, necesar);

(b) xn =1n!

(C, comparat, ie);

(c) xn =1

n√n + 1

(C, comparat, ie);

(d) xn =n!n2n

(C, raport);

(e) xn = n!(an)

n, a ∈ ℝ (discut, ie, raport);

6

(f) xn =(n!)2

(2n)!(C, raport);

(g) xn =n!

(a + 1)(a + 2)⋯ (a + n), a > −1 (discu-

t, ie, Raabe);

(h) xn =1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ 2n

(D, Raabe);

(i) xn = (1 −3 ln n2n )

n(C, logaritmic);

(j) xn = (n + 13n + 1)

n(C, radacina);

(k) xn = (1ln n)

ln(ln n)(D, logaritmic);

(l) xn =1

n ln n(D, integral);

(m) xn =1

n ln2 n(C, integral);

(n) xn =n√(n + 1)(n + 2)⋯ (n + n)

n(D, necesar +

Cauchy);

(o) xn =1

7n + 3n(C, comparat, ie);

(p) xn =1

n n√n

(D, comparat, ie);

(q) xn =√n4 + 2n + 1 − n2 (D, comparat, ie);

(r) xn = n2e−√n (C, logaritmic);

(s) xn =ln nn2

(C, comparat, ie)

7

8

SEMINAR 2

SERII OARECARE. APROXIMAT, II

2.1 Convergent, a absoluta s, i semiconvergent, aDaca lucram cu serii care pot avea s, i termeni negativi, studiul convergent, ei trebuie facut maiatent. Astfel, avem nevoie de urmatoarele:

De�nitie 2.1: O serie ∑n xn se numes, te alternata daca produsul xn ⋅ xn+1 < 0, pentru orice indicen ∈ ℕ.

Pentru asemenea serii, avem la dispozit, ie un singur criteriu, anume:

Teorema 2.1 (Criteriul lui Leibniz): Fie ∑n(−1)nxn o serie alternata.Daca s, irul (xn) este descrescator s, i converge catre zero, atunci seria este convergenta.

Pentru serii alternate, avem urmatoarele not, iuni suplimentare:

De�nitie 2.2: O serie ∑n xn se numes, te absolut convergenta daca seria modulelor ∑n |xn| esteconvergenta s, i semiconvergenta daca are seria modulelor divergenta.

Se poate constata imediat ca orice serie absolut convergenta este convergenta, deoarece pentruorice numar natural x , avem x ≤ |x |. In plus, daca seria init, iala este divergenta, atunci s, i seriamodulelor va � divergenta, din acelas, i motiv.

Pentru studiul convergent, ei seriilor generale, adica avınd s, i termeni pozitivi, s, i negativi, avemun criteriu important.

Teorema 2.2 (Criteriul Abel-Dirichlet): Presupunem ca seria∑n xn se poate scrie sub forma∑n �nyn,cu (�n) un s, ir monoton s, i marginit. Daca seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria init, iala esteconvergenta.

Alternativ, uneori criteriul este formulat astfel: Daca (�n) este un s, ir monoton care tinde catrezero, iar s, irul cu termenul general Yn = y1+⋯+yn este marginit, atunci seria init, iala este convergenta.

9

De exemplu, sa studiem seria ∑n

(−1)n

n. Fiind o serie alternata, constatam:

• Seria modulelor este ∑n

(−1)n

n, care este seria armonica, deci divergenta;

• Pentru seria init, iala, putem aplica criteriul lui Leibniz. S, irul xn =1n

este evident des-crescator catre zero, deci seria este convergenta.

Concluzia este ca seria este semiconvergenta.

2.2 Aproximarea sumelor seriilor convergentePutem calcula numeric sumele unor serii convergente, cu aproximat, ii oricıt de bune. Urmatoareledoua rezultate sınt fundamentale:

Teorema 2.3 (Aproximarea sumelor seriilor cu termeni pozitivi): Fie xn ≥ 0 s, i k ≥ 0, astfel ıncıtsa avem: xn+1

xn< k < 1, ∀n ∈ ℕ.

Daca S este suma seriei convergente ∑n xn, iar sn este suma primilor n termeni, atunci avemaproximat, ia:

|S − sn| <k

1 − kxn.

Teorema 2.4 (Aproximarea sumelor seriilor alternate): Fie ∑n(−1)nxn o serie alternata, conver-genta s, i �e S suma sa.

Daca Sn este suma primilor n termeni, atunci avem:

|S − sn| ≤ xn+1.

Cu alte cuvinte, eroarea aproximat, iei are ordinul de marime al primului termen neglijat.

2.3 Exercit, ii1. Studiat, i natura (AC/SC/D) urmatoarelor serii, de�nite de s, irul xn:

(a) xn = (−1)n;

(b) xn =1

n + i;

(c) xn =1

(n + i)√n

;

10

(d) xn = (−1)nloga nn

, a > 1.

2. Sa se aproximeze cu o eroare mai mica decıt " sumele seriilor de�nite de s, irul xn:

(a) xn =(−1)n

n!, " = 10−3 (n = 7);

(b) xn =(−1)n

n3√n, " = 10−2 (n = 4).

11

12

SEMINAR 3

S, IRURI S, I SERII DE FUNCT, II

3.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniformaDe�nitie 3.1: Fie (X, d) un spat, iu metric s, i fn ∶ X → ℝ termenul general al unui s, ir de funct, ii.

Fie f ∶ X → ℝ o funct, ie arbitrara.Spunem ca s, irul (fn) converge punctual (simplu) la f daca are loc:

limn→∞

fn(x) = f (x), ∀x ∈ X.

Notam acest lucru cu fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f s, i numim f limita punctuala a s, irului (fn).

Celalalt tip de convergent, a care ne va interesa este de�nit mai jos:

De�nitie 3.2: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, spunem ca s, irul (fn) este uniform convergentla f daca:

∀" > 0, ∃N" > 0 a.ı. |fn(x) − f (x)| < ", ∀n ≥ N" , ∀x ∈ X.

Vom nota aceasta situat, ie cu fnUC←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ f .

In exercit, ii se va folosi mai mult caracterizarea:

Propozitie 3.1: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, s, irul (fn) converge uniform la f daca s, i numaidaca:

limn→∞

supx∈X

|fn(x) − f (x)| = 0.

Legatura ıntre cele doua tipuri de convergent, a este data de:

Teorema 3.1: Orice s, ir de funct, ii uniform convergent pe un interval este punctual convergent peacelas, i interval.

13

Reciproca este falsa, dupa cum arata contraexemplul: �e [a, b] = [0, 1] s, i de�nim s, irul defunct, ii fn(x) = xn, n ≥ 1.

Pentru orice x ∈ [a, b], avem:

limn→∞

fn(x) =

{0, x ∈ [0, 1)1, x = 1

Rezulta ca fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f , unde f este funct, ia de�nita pe cazuri de limita de mai sus. Dar se poate

vedea imediat calimn→∞

supx∈X

|fn(x) − f (x)| = 1 ≠ 0,

deci s, irul este doar punctual convergent, nu uniform convergent.

3.2 Transferul proprietat, ilorUnele dintre proprietat, ile funct, iilor sınt transferate de la termenii s, irurilor la funct, ia-limita, iaraltele nu, aceasta oferindu-ne uneori metode de calcul, iar alteori, metode de demonstrat, ie.

Teorema 3.2 (Transfer de continuitate): Daca fn sınt funct, ii continue, iar s, irul fn converge uniformla f , atunci funct, ia f este continua.

Rezulta de aici ca avem o metoda de a demonstra ca nu are loc continuitatea uniforma: dacafn sınt funct, ii continue, iar f , obt, inuta din convergent, a punctuala, nu este continua, rezulta ca fnnu tinde uniform la f .

Teorema 3.3 (Integrare termen cu termen): Fie fn, f ∶ [a, b] → ℝ funct, ii continue. Daca fnconverge uniform la f , atunci are loc proprietatea de integrare termen cu termen, adica:

limn→∞ ∫

b

afn(x)dx = ∫

b

af (x)dx.

Teorema 3.4 (Derivare termen cu termen): Presupunem ca funct, iile fn sınt derivabile, pentru oricen ∈ ℕ. Daca s, irul fn converge punctual la f s, i daca exista funct, ia g ∶ [a, b] → ℝ astfel ıncıt f ′nconverge uniform la g, atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

3.3 Serii de funct, iiPentru convergent, a seriilor de funct, ii, avem un singur criteriu de utilizat:

Teorema 3.5 (Weierstrass): Daca exista un s, ir cu termeni pozitivi an astfel ıncıt |un(x)| ≤ an pentruorice x ∈ X , iar seria ∑ an converge, atunci seria ∑ un converge uniform.

14

Pentru proprietat, ile de transfer, avem:

Teorema 3.6: • Transfer de continuitate: Daca un sınt funct, ii continue, iar seria ∑ un convergeuniform la f , atunci funct, ia f este continua.

• Integrare termen cu termen: Daca seria ∑ un converge uniform la f , atunci f este integrabilas, i avem:

∫b

a∑nun(x)dx = ∑

n∫

b

aun(x)dx.

• Derivare termen cu termen: Presupunem ca toate funct, iile un sınt derivabile. Daca seria ∑ unconverge punctual la f s, i daca exista g ∶ [a, b]→ ℝ astfel ıncıt ∑n u′n converge uniform la g,atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

3.4 Polinomul Taylor s, i seria TaylorOrice funct, ie cu anumite proprietat, i poate � aproximata cu un polinom:

De�nitie 3.3: Fie I ⊆ ℝ un interval deschis s, i f ∶ I → ℝ o funct, ie de clasa Cm(I ). Pentru oricea ∈ I , de�nim polinomul Taylor de gradul n ≤ m asociat funct, iei f ın punctual a prin:

Tn,f ,a(x) =n

∑k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k .

Restul (eroarea de aproximare) este de�nit prin:

Rn,f ,a = f (x) − Tn,f ,a(x).

Acest polinom poate � mai departe utilizat pentru a studia seria Taylor asociata unei funct, ii.

Teorema 3.7: Fie a < b s, i f ∈ C∞([a, b]) astfel ıncıt sa existe M > 0 cu proprietatea ca ∀n ∈ ℕ s, ix ∈ [a, b], avem |f (n)(x)| ≤ M .

Atunci pentru orice x0 ∈ (a, b), seria Taylor a lui f ın jurul punctului x0 este uniform convergentape [a, b] s, i suma ei este funct, ia f , adica avem:

f (x) = ∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n, ∀x ∈ [a, b].

Pentru cazul particular x0 = 0, seria se numes, te Maclaurin.

15

3.5 Serii de puteriSeriile de puteri sınt un caz particular al seriilor de funct, ii, luınd doar funct, ii de tip polinomial.

De�nitie 3.4: Fie (an) un s, ir de numere reale s, i �e a ∈ ℝ.Seria ∑n≥0 an(x − a)n se numes, te seria de puteri centrata ın a, de�nita de s, irul an.

Toate rezultatele privitoare la serii de funct, ii sınt valabile s, i pentru serii de puteri. Rezultatelespeci�ce urmeaza.

Teorema 3.8 (Abel): Pentru orice serie de puteri ∑ anxn exista un numar 0 ≤ R ≤ ∞ astfel ıncıt:

• Seria este absolut convergenta pe intervalul (−R, R);

• Seria este divergenta pentru orice |x | > R;

• Seria este uniform convergenta pe [−r , r], unde 0 < r < R.

Numarul R se numes, te raza de convergent, a a seriei, iar intervalul (−R, R) se numes, te intervalulde convergent, a.

Calculul razei de convergent, a se poate face cu unul dintre urmatoarele criterii:

Teorema 3.9 (Cauchy-Hadamard): Fie ∑ anxn o serie de puteri, R raza sa de convergent, a s, i de�nim:

! = lim sup n√|an|.

Atunci:

• R = !−1 daca 0 < ! < ∞;

• R = 0 daca ! = ∞;

• R = ∞ daca ! = 0.

Teorema 3.10: Raza de convergent, a se poate calcula cu formula:

R = limn→∞

|an||an+1|

.

Observatie 3.1: Din natura seriilor de puteri, teoremele de derivare s, i integrare termen cu termensınt automate. As, adar, daca ∑ an(x − a)n este o serie de puteri iar S(x) este suma sa, atunci:

• Seria derivatelor, ∑ nan(x −a)n−1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iar sumasa este S′(x);

• Seria primitivelor, ∑ an(x − a)n+1

n + 1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iar suma

sa este o primitiva a lui S.

16

3.6 Exercit, ii1. Sa se studieze convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irurilor de funct, ii:

(a) fn ∶ (0, 1)→ ℝ, fn(x) =1

nx + 1, n ≥ 0;

(b) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn − x2n, n ≥ 0;

(c) fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =√x2 +

1n2, n > 0;

(d) fn ∶ [−1, 1]→ ℝ, fn(x) =x

1 + nx2;

(e) fn ∶ (−1, 1)→ ℝ, fn(x) =1 − xn

1 − x;

(f) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) =2nx

1 + n2x2;

(g) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x + n

x + n + 1;

(h) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2.

2. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =1narctan xn

converge uniform pe ℝ, dar:

( limn→∞

fn(x))′

x=1≠ lim

n→∞f ′n (1).

Rezultatele difera deoarece s, irul derivatelor nu converge uniform pe ℝ.

3. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = nxe−nx2

este convergent, dar:

limn→∞ ∫

1

0fn(x)dx ≠ ∫

1

0limn→∞

fn(x)dx.

17

Rezultatul se explica prin faptul ca s, irul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru xn =1n

,avem fn(xn)→ 1, dar, ın general, fn(x)→ 0.

4. Sa se dezvolte urmatoarele funct, ii ın serie Maclaurin, precizınd s, i domeniul de convergent, a:

(a) f (x) = ex ;

(b) f (x) = sin x ;

(c) f (x) = cos x ;

(d) f (x) = (1 + x)� , � ∈ ℝ;

(e) f (x) = 11 + x

;

(f) f (x) = ln(1 + x);

(g) f (x) = arctan x ;

(h) f (x) = ln(1 + 5x);

(i) f (x) = 3 ln(2 + 3x).

5. Sa se calculeze raza de convergent, a s, i mult, imea de convergent, a pentru urmatoarele seriide puteri:

(a) ∑n≥0 xn;

(b) ∑n≥1 nnxn;

(c) ∑n≥1(−1)n+1xn

n;

(d) ∑n≥1nnxn

n!;

(e) ∑(x − 1)2n

n ⋅ 9n;

(f) ∑(x + 3)n

n2.

18

6. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

∑n≥0(−1)n

x2n+1

2n + 1.

Indicat, ie: Se deriveaza termen cu termen s, i rezulta seria geometrica de raza −x2, careia i se poatecalcula suma, care apoi se integreaza.

7. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decıt 10−3 integralele:

(a) ∫

12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫

12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫1

0e−x

2dx .

8. Sa se calculeze polinomul Taylor de grad 3 ın jurul originii pentru funct, iile:

(a) f (x) = 3 ln(2 + x);

(b) f (x) = arctan x ;

(c) f (x) =√1 + 2x .

19

20

SEMINAR 4

SERII TAYLOR

4.1 Exercit, ii suplimentare1. Gasit, i aproximarea liniara s, i patratica a funct, iilor:

(a) f (x) = 3√x ;

(b) f (x) = sin(cos x);

(c) f (x) = esin x ;

(d) f (x) = arcsin x .

2. Folosind seria Taylor, aproximat, i cu o eroare mai mica decıt 10−3 numerele:

(a) 3√65;

(b) sin 32;

(c) arctan 12

;

(d) e−0,2;

(e) ln 1, 1;

(f) ln 4;

(g) ln 5.

21

Indicat, ie: Atent, ie la domeniile de convergent, a!

3. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decıt 10−3 integralele:

(a) ∫

12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫

12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫

13

0

arctan xx

dx ;

(d) ∫1

0e−x

2dx .

4. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

sumn≥0(−1)nx2n+1

2n + 1.

Indicat, ie: R = 1 (raport), iar suma se poate a�a derivınd termen cu termen. Rezulta (prinderivare) seria geometrica de raza −x2, cu suma 1

x2 + 1, valabila pentru x ∈ (−1, 1).

Rezulta f (x) = arctan x + c.

5. Aratat, i ca seriile numerice de mai jos sınt convergente s, i calculat, i sumele lor, folosind seriide puteri:

(a) ∑n≥0

(−1)n

3n + 1;

(b) ∑n≥0

(n + 1)2

n!;

(c) ∑n≥1

n2(3n − 2n)6n

.

Indicat, ii:

22

(a) Seria satisface criteriul lui Leibniz, deci este convergenta.

Pentru a gasi suma, pornim cu seria de puteri ∑(−1)nx3n+1

3n + 1.

Intervalul de convergent, a este (−1, 1), iar pentru x = 1, avem seria data.Fie f suma acestei serii de puteri ın intervalul (−1, 1). Derivam termen cu termen s, i obt, inem:

f ′(x) = ∑(−1)nx3n =1

1 + x3,

pentru |x | < 1, ca suma unei serii geometrice alternate.Rezulta:

f (x) = ∫dx1 + x3

=16ln

(x + 1)2

x2 − x + 1+1√3arctan 2x − 1

√3 + c,

pentru |x | < 1. Calculınd f (0), gasim c =�6√3

.

(b) Se foloses, te seria pentru ex , din care obt, inem seria pentru (x+x2)ex , pe care o derivam termencu termen.Pentru x = 1, se obt, ine seria ceruta, cu suma 5e.

(c) Descompunem seria ın doua, apoi folosim seria de puteri ∑ n2xn, pe care o derivam termencu termen, pentru a obt, ine seria pentru nxn−1, apoi seria pentru nxn.

23

24

SEMINAR 5

DERIVATE PART, IALE

5.1 Funct, ii de mai multe variabileIn general, putem lucra cu funct, ii de forma f ∶ ℝn → ℝ, funct, ii care accepta n variabile, decif (x1,… , xn) = y ∈ ℝ.

Cazurile pe care le vom folosi cel mai des sınt n = 2 s, i n = 3.Daca f ∶ ℝ2 → ℝ este o funct, ie de doua variabile, ın loc de f (x, y), putem gındi ca avem o

funct, ie de forma fx (y), pentru orice x ∈ ℝ.Evident, putem avea inclusiv f ∶ ℝn → ℝm, adica funct, ii de mai multe variabile, care retur-

neaza mai multe variabile.

5.2 Operatori diferent, ialiIn cele ce urmeaza, presupunem ca lucram cu f ∶ ℝ3 → ℝ, f = f (x, y, z).

Putem de�ni derivata part, iala a lui f dupa variabila x ca �ind derivata obt, inuta prin tratarealui y s, i z drept parametri. Notat, ia este )f

)xsau fx sau )xf .

Similar se pot de�ni s, i celelalte derivate part, iale. De exemplu:

f (x, y, z) = 3x2y + 5xey + sin(yz).

Avem:fx = 6xy + 5ey , fy = 3x2 + 5xey + z cos(yz), fz = y cos yz.

Pentru asemenea funct, ii, se de�nesc urmatorii operatori diferent, iali:

• gradient, notat gradf = ∇f = (fx , fy , fz). Observat, ie: Gradientul transforma o funct, ie ıntr-unvector de funct, ii.

25

• divergent, a, notata divf = ∇ ⋅ f = fx + fy + fz ;

• laplacianul, notat Δf = )2f)x2

+)2f)y2

+)2f)z2

.

O funct, ie se numes, te armonica, daca Δf = 0.

Fiecare dintre aces, ti operatori poate � ınt, eles privind operatorul nabla, ∇ ca �ind:

∇ = ())x

,))y

,))z)

.

Atunci, gradientul reprezinta aplicarea lui ∇ pe f , iar divergent, a reprezinta produsul scalar dintre∇ s, i vectorul (f , f , f ). De asemenea, laplacianul poate � ınt, eles ca produsul scalar ∇ ⋅ ∇, aplicatapoi lui f .

5.3 Diferent, iala totalaData o funct, ie de mai multe variabile, pe lınga derivatele part, iale, se poate de�ni s, i o diferent, ialatotala, care cont, ine toate informat, iile din derivatele part, iale.

Pentru o funct, ie f = f (x, y, z), aceasta se de�nes, te prin:

df = fxdx + fydy + fzdz

De asemenea, avem s, i diferent, iala totala de ordinul 2:

d2f =)2f)x2

dx2 +)2f)y2

+ 2)2f)x)y

dxdy.

5.4 Exercit, ii1. Pentru urmatoarele funct, ii f ∶ ℝ3 → ℝ, calculat, i gradientul, divergent, a s, i diferent, iala totalaın punctele (1, 1, 1) s, i (1, 2, 3):

(a) f (x, y, z) = 3x2y + x sin z + z cos y;

(b) f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2;

(c) f (x, y, z) = ln(xy) + ln(xz) + ln(yz);

(d) f (x, y, z) = ex+y+z ;

(e) f (x, y, z) = x + yz

+y + zx

+x + zy

;

26

(f) f (x, y, z) = arctan xy+ arctan

yz+ arctan

zx

.

2. Veri�cat, i daca urmatoarele funct, ii sınt armonice:

(a) f (x, y) = ln(x2 + y2);

(b) f (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2);

(c) f (x, y) =√x2 + y2;

(d) f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2;

(e) f (x, y) = (x2 + y2)−1;

(f) f (x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1.

27

28

SEMINAR 6

RECAPITULARE PART, IAL

6.1 Model 11. Sa se studieze natura seriilor:

(a) ∑2n ⋅ n!nn

;

(b) ∑(√n + 1 −

√n).

2. Studiat, i convergent, a uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [3,∞)→ ℝ, fn(x) =n

x(x2 + n), n ≥ 1.

3. Calculat, i, cu o eroare de maxim 10−2 integrala:

∫

12

0

ln(1 + x)x

dx.

4. Sa se dezvolte ın serie Taylor ın jurul lui x0 = 0 funct, ia:

f (x) = ln(2 + 3x).

29

Gasit, i domeniul de convergent, a al dezvoltarii.

5.

(a) Sa se aproximeze, folosind polinomul Taylor de gradul 2 ın jurul originii, funct, ia f (x) =3√x + 1;

(b) Sa se calculeze, folosind aproximat, ia de mai sus, 3√28.

(c) Estimat, i eroarea aproximat, iei de mai sus.

(*) Veri�cat, i daca funct, ia f (x, y) = arctanxy

este armonica.

6.2 Model 21. Studiat, i convergent, a seriilor:

∑n≥1(√n4 + 2n + 1 − n2), ∑

n≥1

ann!nn

, a > 0.

2. Studiat, i convergent, a uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [1,∞)→ ℝ, fn(x) =√1 + nx −

√nx, n ≥ 1.

3. Gasit, i domeniul de convergent, a pentru seria de puteri:

∑n≥0

(−1)n

3n + 1x3n+1.

Calculat, i suma seriei numerice ∑n≥0

(−1)n

3n + 1folosind aceasta serie de puteri.

4. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decıt 10−2 integrala:

∫

12

0

arctan xx

dx.

30

5. Scriet, i polinomul Taylor de gradul 3 pentru funct, ia f (x) = ex s, i, folosindu-l, aproximat, i e√2.

Estimat, ie eroarea aproximat, iei.

(*) Fie funct, ia f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2. Calculat, i Δf .

6.3 Model 31. Studiat, i convergent, a seriilor:

∑n≥1

3√n3 + n2 − n

n2, ∑

n≥2

(−1)n

ln n.

2. Studiat, i convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn − xn+1.

3. Determinat, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

∑n≥0(−1)n

x2n+1

2n + 1.

4. Calculat, i, cu o eroare de maxim 10−3 integrala:

∫1

0

cos xx2

dx.

5. Aproximat, i, folosind polinomul Taylor de gradul 3, funct, ia f (x) = arctan 2x s, i calculat, i,folosind aceasta aproximat, ie, arctan 1

2. Estimat, i eroarea.

(*) Calculat, i laplacianul funct, iei f (x, y, z) = ln(x + y + z) ın punctul A(1, 2, 1).

31

32

SEMINAR 7

PROBLEME DE EXTREM

7.1 Extreme libereData o funct, ie de doua sau trei variabile (as, a cum vom folosi ın majoritatea cazurilor), se puneproblema studiului punctelor de extrem. Vom ımpart, i aceasta ın doua: extreme libere, ın caredomeniul de de�nit, ie este ℝ2 sau ℝ3, fara constrıngeri suplimentare s, i cazul extremelor cu legaturi,cınd domeniul este �e un dreptunghi (respectiv, paralelipiped), �e este dat de o anumita ecuat, ie.

Cazul extremelor libere este foarte simplu s, i se aseamana cu studiul punctelor de extrempentru funct, ii de o variabila. Astfel, avem de parcurs urmatorii pas, i (vom presupune, pentrusimplitate, ca lucram cu o funct, ie de doua variabile, f ∶ ℝ2 → ℝ):

(1) Se rezolva sistemul de ecuat, ii dat de anularea derivatelor part, iale de ordinul ıntıi, pentru aa�a punctele critice (puncte care este posibil sa �e de extrem):

{)f)x = 0)f)y = 0

(2) Pentru �ecare dintre aceste puncte, se alcatuies, te matricea hessiana a funct, iei, alcatuita dinderivatele de ordinul al doilea, s, i se evalueaza matricea ın punctele critice:

Hf = (fxxx fxyfyx fyy)

(3) Fie A(xA, yA) un punct critic. Alcatuim matricea Hf (A) s, i ıi calculam valorile proprii, �1 s, i �2.

• Daca �1 s, i �2 sınt ambele pozitive, atunci punctul A este punct de minim local;

33

• Daca �1 s, i �2 sınt ambele negative, atunci punctul A este punct de maxim local;• Daca �1 s, i �2 au semne contrare, atunci punctul A nu este de extrem.

(4) Se repeta procedura pentru �ecare dintre punctele critice.

Observatie 7.1: Daca una dintre valorile proprii ale unei matrice hessiene este 0, metoda nudecide s, i se aplica tehnici speci�ce, care sınt dincolo de scopul acestui seminar.

7.2 Extreme cu legaturiIn cazul ın care domeniul de de�nit, ie este speci�cat cu o ecuat, ie sau este dat de un produs deintervale, se aplica o metoda speci�ca, numita, ın general, metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Astfel, �e funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ ca mai sus, careia vrem sa ıi determinam extremele s, ipresupunem ca vrem sa o facem numai ıntr-un domeniu dat de:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 = 4}.

Atunci, ecuat, ia x2 + y2 = 4 se numes, te legatura s, i o scriem sub forma unei funct, ii g(x, y) =x2 + y2 − 4, pentru ca legatura sa devina g(x, y) = 0.

Cu aceasta, metoda multiplicatorilor lui Lagrange ınseamna sa alcatuim funct, ia lui Lagrange1:

F (x, y) = f (x, y) − �g(x, y), � ∈ ℝ.

Cu aceasta, singura modi�care care trebuie aplicata metodei de mai sus este ca sistemul pentrugasirea punctelor critice devine:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

fx = 0fy = 0g = 0

⟹ (x, y, �).

Pentru punctele critice, ne putem dispensa de �, iar rezolvarea funct, ioneaza ca mai devreme.

Observatie 7.2: Nu ıntotdeauna este nevoie sa ne complicam cu funct, ia lui Lagrange. Daca, deexemplu, legatura era x +y = 3, putem sa o scriem ca y = 3−x , iar funct, ia init, iala devine o funct, iede o variabila, f (x, 3 − x), careia ıi studiem extremele ca ın liceu.

Observatie 7.3: Daca legaturile sınt multiple, de exemplu, g1, g2, g3,… , gk , funct, ia lui Lagrangecorespunzatoare este:

F (x, y) = f (x, y) −∑ �igi(x, y),

iar sistemul de rezolvat este dat de anularea derivatelor part, iale s, i a tuturor legaturilor.1Detalii s, i explicat, ii geometrice sınt date, de exemplu, foarte clar ın aceasta lect, ie video

34

7.2.1 Cazul compactDaca domeniul de de�nit, ie este un spat, iu compact — ceea ce, ın esent, a, pentru uzul acestui semi-nar ınseamna un produs de intervale (semi)ınchise sau legaturi date de inegalitat, i —, problema sestudiaza ın doua etape:

• In interiorul domeniului, caz ın care legatura este inexistenta;

• Pe frontiera, caz ın care legatura este data de egalitate.

De exemplu, pentru domeniile:

D1 = [3, 4] × [1, 5], D2 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 3x + 2y ≤ 2}

• Interiorul ınseamna:

– pentru D1, IntD1 = (3, 4) × (1, 5), caz ın care avem doar de veri�cat ca punctele criticese gasesc ın intervalele date;

– pentru D2, avem legatura 3x + 2y < 2, caz ın care, din nou, veri�cam daca punctelecritice satisfac inegalitatea stricta

• Frontierele ınseamna:

– pentru D1, cazurile separate x = 3, y ∈ [1, 5], apoi x = 4, y ∈ [1, 5] s, i invers;– pentru D2, legatura devine 3x + 2y = 2, pe care o putem rezolva cu Lagrange sau cu

metoda simpli�cata din observat, ia 7.2.

7.3 Exercit, ii1. Fie funct, ia:

f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln y + 3.

Determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte.

2. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + y3 − 6xy .

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 5}, determinat, i valoarea minima s, i maxima afunct, iei.

35

Indicat, ie (b): Considerat, i funct, iile g1(x) = f (x, 0), g2 = f (0, y) s, i apoi funct, ia g3 = f (x, 5 − x),carora le gasit, i punctele de extrem.

3. Fie f ∶ D → ℝ2, f (x, y) = 3xy2 − x3 − 15x − 36y + 9.(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = [−4, 4] × [−3, 3] determinat, i valoarea minima s, i valoarea maxima a funct, iei.Indicat, ie (b): Considerat, i funct, iile f (x, −3), f (4, y), f (x, 3), f (−4, y).

4. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = 4xy − x4 − y4.(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = [−1, 2] × [0, 2], determinat, i valoarea minima s, i maxima a funct, iei.

5. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + 3x2y − 15x − 12y.(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, 3y + x ≤ 3} determinat, i valoarea minima s, i valoareamaxima a funct, iei.

6. Determinat, i valorile extreme pentru funct, iile f , de�nite pe domeniile D, unde:(a) f (x, y) = x3 + y3 − 6xy, D = ℝ2;

(b) f (x, y) = xy(1 − x − y), D = [0, 1] × [0, 1];

(c) f (x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, D = (−∞, 0) × (0,∞);

(d) f (x, y) = x3 + 8y3 − 2xy, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x, y ≥ 0, y + 2x ≤ 2};

(e) f (x, y) = x4 + y3 − 4x3 − 3y2 + 3y, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 < 4}.

7*. Dintre toate paralelipipedele dreptunghice cu volum constant 1, determinat, i pe cel cu ariatotala minima.

8. Fie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + y3 − 6xy .

36

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x, y ≥ 0, x +y ≤ 5} determinat, i valoarea minima s, i valoarea maximaa funct, iei.

9. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = 4xy − x4 − y4.

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte;

(b) Pentru D = [−1, 2] × [0, 2], determinat, i valoarea minima s, i valoarea maxima a funct, iei.

10. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x4 + y3 − 4x3 = 3y2 + 3y. Pentru domeniul de de�nit, ie:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 < 4},

determinat, i punctele de extrem ale funct, iei.

37

38

SEMINAR 8

METODA CELOR MAI MICI PATRATE.INTEGRALE IMPROPRII

8.1 Regresie liniaraProblema regresiei liniare se adreseaza unor cazuri de tip statistic, atunci cınd avem la dispozit, ieo serie de date experimentale s, i vrem sa le corelam cu un model teoretic liniar, adica dat de ofunct, ie de gradul ıntıi.

As, adar, data o serie de perechi de forma (xi , yi), care reprezinta datele colectate ıntr-un ex-periment s, i care veri�ca o teorie bazata pe ecuat, ii liniare, ne punem problema gasirii celei maipotrivite drepte care sa reprezinte o abatere minima fat, a de punctele colectate (eng. “best �t” ).

Fie, as, adar, dreapta y = f (x) = ax + b modelul teoretic pe care ıl urmarim. Daca (xi , yi)reprezinta colect, ia de puncte experimentale, vom impune condit, ia minimizarii abaterii acestorpuncte de la funct, ia f folosind metoda celor mai mici patrate. Aceasta cere ca suma patratelorabaterilor sa �e minima, motivat, ia �ind, pe de o parte de a se lua ın calcul atıt abateri pozitive, cıts, i negative, cu aceeas, i pondere, dar s, i de ampli�care a abaterilor mari s, i minimizare a celor mici(prin ridicare la patrat).

As, adar, putem privi funct, ia y = f (x) = ax + b ca pe o funct, ie de doua variabile a s, i b, pe carevrem sa le determinam. Expresia corespunzatoare sumei patratelor abaterilor este:

S(a, b) = ∑(f (xi) − yi)2.

Aceasta funct, ie se dores, te minimizata, deci problema revine la gasirea punctelor ei de minim,folosind metoda cunoscuta pentru extreme libere.

In �ne, gasind punctul (sau punctele) de minim (a, b), obt, inem dreapta (sau dreptele) de regresieliniara y = ax + b.

39

8.2 Exercit, iiGasit, i dreapta de regresie liniara care mediaza ıntre punctele:

(a) M1(1, 2), M2(2, 0), M3(3, 1);

(b) M1(−1, 0), M2(1, 1), M3(2, 1), M4(3, 2);

(c) M1(−2, 1), M2(0, 2), M3(1, 3), M4(2, 4).

8.3 Integrale impropriiIn cazul ın care funct, ia integrata pe un interval [a, b] nu este marginita ın cel put, in unul dintrecapete, integrala se numes, te improprie. De exemplu:

• ∫1

0

ln xxdx , improprie ın x = 0;

• ∫∞

0

ln xxdx , improprie ın ambele capete;

Calculul acestor integrale se poate face prin trecere la limita. Daca integrala pe [a, b] esteimproprie ın b, de exemplu, avem:

∫b

af (x)dx = lim

t→b ∫t

af (x)dx.

Daca valoarea limitei de mai sus este �nita, integrala se numes, te convergenta, iar valoarealimitei este valoarea integralei. In caz contrar, integrala se numes, te divergenta.

8.3.1 Integrale improprii cu parametri. Funct, iile lui EulerFie f ∶ [a, b) × A→ ℝ o funct, ie astfel ıncıt pentru orice y ∈ A, aplicat, ia [a, b) ∋ x ↦ f (x, y) ∈ ℝ

are proprietatea ca integrala ∫b

af (x, y)dx converge.

Atunci putem de�ni funct, ia:

F (x, y) = ∫b

af (x, y)dx,

care se numes, te integrala improprie cu parametru. Un exemplu simplu este:

I (m) = ∫

�2

0ln(cos2 x +m2 sin2 x)dx,m > 0.

40

Dintre acestea, vom studia doar un exemplu particular, cunoscute sub numele de funct, iile luiEuler, B s, i Γ. Ele se de�nesc astfel:

Γ(t) = ∫∞

0x t−1e−xdx, t > 0

B(p, q) = ∫1

0xp−1(1 − x)q−1dx, p > 0, q > 0.

Proprietat, ile lor, pe care le vom folosi ın calcule, sınt:

(1) B(p, q) = B(q, p), ∀p, q > 0;

(2) B(p, q) = Γ(p) ⋅ Γ(q)Γ(p + q)

;

(3) B(p, q) = ∫∞

0

yp−1

(1 + y)p+qdy;

(4) Γ(1) = 1;

(5) Γ(t + 1) = t ⋅ Γ(t), ∀t > 0;

(6) Γ(n) = (n − 1)!, ∀n ∈ ℕ∗.

8.4 Exercit, iiCalculat, i, folosind funct, iile B s, i Γ, integralele:

(a) ∫∞

0e−x

pdx, p > 0;

(b) ∫∞

0

x 14

(x + 1)2dx ;

(c) ∫∞

0

dxx3 + 1

dx ;

(d) ∫

�2

0sinp x cosq xdx, p > −1, q > −1;

(e) ∫1

0xp+1(1 − xm)q−1dx, p, q, m > 0;

(f) ∫∞

0xpe−x

qdx, p > −1, q > 0;

41

(g) ∫1

0lnp x−1dx, p > −1;

(h) ∫1

0

dx(1 − xn) 1n

, n ∈ ℕ;

(i) ∫e

1

1xln3 x ⋅ (1 − ln x)4dx ;

(j) ∫1

0

√ln1xdx ;

(k) ∫∞

0

x2

(1 + x4)2dx ;

(l) ∫∞

−1e−x

2−2x+3dx .

42

SEMINAR 9

INTEGRALE DUBLE S, I TRIPLE

9.1 Exercit, ii1. Reprezentat, i gra�c domeniile date de urmatoarele (in)ecuat, ii:

(a) D1 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = x2, y2 = x};

(b) D2 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x = 2, y = x, xy = 1};

(c) D3 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2y};

(d) D4 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ x, y ≥ 0};

(e) D5 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = 0, x + y − 6 = 0, y2 = 8x};

(f) D6 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2x + 2y − 1}.

2. Calculat, i ∬Df (x, y)dxdy ın urmatoarele cazuri:

(a) D = [0, 1] × [2, 3], iar f (x, y) = xy2;

(b) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ x2 + 1}, iar f (x, y) = x ;

(c) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = x, y = x2}, iar f (x, y) = 3x − y + 2;

(d) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 1}, iar f (x, y) = ex2+y2 ;

43

(e) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0}, iar f (x, y) = e−2(x2+y2);

(f) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ x, y ≥ 0}, iar f (x, y) = xy.

3. Calculat, i ariile domeniilor de mai sus.

4. Calculat, i aria domeniului:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x + y ≥ 0}.

5. Calculat, i volumul corpului marginit de suprafet, ele de ecuat, ii date:

(a) z = x2 + y2 (paraboloid), z = x + y (plan);

(b) z = x2 + y2 − 1, z = 2 − x2 − y2;

(c) x2 + y2 + z2 = 1 (sfera), x2 + y2 = 12

(cilindru).

9.2 Indicat, ii teoreticePentru un domeniu D, marginit de (in)ecuat, ii date, aria domeniului se calculeaza cu integraladubla:

A(D) = ∬Ddxdy.

Similar, volumul corpului Ω ınchis de suprafet, e date se calculeaza cu integrala tripla:

V (Ω) = ∭Ωdxdydz.

Atunci cınd domeniul plan este de natura circulara, este de preferat sa se foloseasca trecereala coordonate polare (r , �). Astfel, pentru coordonate carteziene (x, y), trecerea la coordonatelepolare se face cu formula: {

x = r cos �y = r sin �

,

domeniul �ind, ın general, r ∈ [0,∞), iar � ∈ [0, 2�], daca nu exista restrict, ii suplimentare.Similar, pentru cazul tridimensional, pot � necesare urmatoarele sisteme de coordonate, des-

crise ımpreuna cu trecerea de la coordonatele carteziene (x, y, z):

44

• Coordonate sferice (r , �, '):⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r sin � cos 'y = r sin � sin 'z = r cos �

,

cu domeniul, respectiv, [0,∞) × [0, 2�] × [0, �];

• Coordonate cilindrice (r , �, z):⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r cos �y = r sin �z = z

,

cu domeniul, respectiv, [0,∞) × [0, 2�] × ℝ.

Ca ın cazul 1-dimensional, atunci cınd se face schimbarea de coordonate, trebuie calculata s, imodi�carea diferent, ialei. Aceasta se face cu ajutorul matricei jacobiene, al carui determinant senumes, te jacobianul transformarii.

Daca ' este, ın general, funct, ia care da schimbarea de coordonate, matricea jacobiana sede�nes, te prin derivatele part, iale ale vechilor coordonate ın raport cu noile coordonate.

De exemplu, pentru coordonatele polare, avem:

J'(r , �) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

)x)r

)x)�

)y)r

)y)�

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

⇒ det J =||||cos � −r sin �sin � r cos �

||||= r .

Similar, pentru coordonatele cilindrice, |J'(r , �, z)| = r sin � , iar pentru coordonatele sferice,|J'(r , �, ')| = r2 sin � .

O notat, ie alternativa, care pune ın evident, a s, i coordonatele, este:

J'(r , �) =)(x, y))(r , �)

s, i celelalte.

Observatie 9.1: Pentru resurse electronice suplimentare, putet, i folosi:

• GeoGebra®— pentru reprezentari gra�ce;

• Lect, iile online ale Prof. Travis Kowalski u(ın special sect, iunea Calculus 3, ıncepınd culect, ia 17 pentru integrale duble).

45

46

SEMINAR 10

INTEGRALE CURBILINII. FORMULEINTEGRALE 1

10.1 Integrala curbilinie de prima spet, aFie ∶ [a, b]→ ℝ3 un drum neted, adica dat de o funct, ie de clasa C1 s, i �e f ∶ D → ℝ o funct, iecontinua, cu proprietatea ca D ⊇ ([a, b]).

Se de�nes, te integrala curbilinie de spet, a ıntıi a funct, iei f ın lungul drumului prin:

∫ f (x, y, z)ds = ∫

b

af (x(t), y(t), z(t)) ⋅

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt,

unde (x(t), y(t), z(t)) este o parametrizare a drumului . In particular, pentru f = 1, obt, inemlungimea drumului :

L( ) = ∫b

a

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

Mai sınt relevante s, i alte doua interpretari �zice:• presupunem ca reprezinta un �r material, iar f este funct, ia care da densitatea �rului.

Atunci masa �rului se poate calcula prin integrala curbilinie:

M = ∫ f ds;

• daca xGi sınt coordonatele centrului de greutate ale �rului (x1 = x, x2 = y, x3 = z), acestease pot calcula prin integrala curbilinie:

xGi =1M ∫

xif ds.

47

10.2 Integrala curbilinie de spet, a a doua

Fie � = Pdx + Qdy + Rdz o 1-forma diferent, iala, unde P, Q, R sınt funct, ii continue de�nite peD ⊆ ℝ3. Fie, de asemenea, ∶ [a, b]→ ℝ3, (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b] un drum parametrizat,neted, cu ([a, b]) ⊆ D.

Se de�nes, te integrala curbilinie a formei diferent, iale � ın lungul drumului prin formula:

∫ � = ∫

b

a(P◦ )x ′(t) + (Q◦ )y′(t) + (R◦ )z′(t)dt.

Interpretarile �zice relevante sınt urmatoarele:

• formei diferent, iale � i se poate asocia un cımp vectorial tridimensional, cu aceleas, i com-ponente: V = (P, Q, R). Atunci integrala curbilinie a lui � ın lungul curbei se numes, tecirculat, ia cımpului V de-a lungul drumului , notata:

∫ � = ∫

V ⋅ dr ;

• daca interpretam cımpul V de mai sus ca pe un cımp de fort, e, atunci integrala de mai sus estelucrul mecanic al fort, ei F , care act, ioneaza asupra unui corp punctiform ın lungul drumului :

∫ � = ∫

F ⋅ dr .

10.3 Formula Green-Riemann

Aceasta formula, care face parte din formulele integrale esent, iale pe care le vom studia, ne permitesa transformam o integrala curbilinie de spet, a a doua ıntr-una dubla.

Mai precis, avem formula:

∫ Pdx + Qdy = ∬

K

)Q)x

−)P)y

dxdy,

unde K este suprafat, a bidimensionala ınchisa de curba .Observat, ie importanta: Pentru a putea aplica formula Green-Riemann, este necesar ca dru-

mul sa �e ınchis, pentru a putea descrie o suprafat, a ınchisa K ! De asemenea, evident, formadiferent, iala trebuie sa �e de clasa C1, inclusiv ın K , pentru a putea calcula derivatele part, iale.

48

10.3.1 Forme diferent, iale ınchiseFie � = Pdx +Qdy o 1-forma diferent, iala de clasa C1 pe o vecinatate a K = Int( ). Aceasta formadiferent, iala se numes, te ınchisa daca are loc:

)Q)x

=)P)y

.

Se poate observa, folosind formula Green-Riemann, ca pentru forme diferent, iale ınchise, inte-grala curbilinie ın lungul oricarui drum este nula. Aceasta observat, ie se mai numes, te independent, ade drum a integralei curbilinii.

10.4 Exercit, ii1. Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de spet, a ıntıi:

(a) ∫ xds, unde ∶ y = x2, x ∈ [0, 2];

(b) ∫ y5ds, unde ∶ x = y4

4, y ∈ [0, 2];

(c) ∫ x2ds, unde ∶ x2 + y2 = 2, x, y ≥ 0;

(d) ∫ y2ds, unde ∶ x2 + y2 = 4, x ≤ 0, y ≥ 0.

2. Calculat, i, direct s, i aplicınd formula Green-Riemann, integrala curbilinie ∫ � ın urmatoarele

cazuri:

(a) � = y2dx + xdy, unde este patratul cu vırfurile A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2);

(b) � = ydx + x2dy, unde este cercul centrat ın origine s, i de raza 2.

3. Calculat, i urmatoarele integrale curbilinii de spet, a a doua:

(a) ∫ xdy − ydx , unde ∶ x2 + y2 = 4, y = x

√3 ≥ 0 s, i y =

x√3

;

49

(b) ∫ (x + y)dx + (x − y)dy, pe domeniul:

∶ x2 + y2 = 4, y ≥ 0;

(c) ∫

yx + 1

dx + dy, unde este triunghiul cu vırfurile A(2, 0), B(0, 0), C(0, 2).

4. Sa se calculeze ∫ ydx + xdy pe un drum de la A(2, 1) la B(1, 3).

5. Sa se calculeze circulat, ia cımpului de vectori V de-a lungul curbei , pentru:

(a) V = −(x2 + y2)i − x2 − y2 j, cu:

∶ {x2 + y2 = 4, y < 0} ∩ {x2 + y2 − 2x = 0, y ≥ 0}

(b) V = xy + xyj, unde: ∶ {x2 + y2 = 1} ∩ {x + y = 3}.

6. Sa se calculeze masa �rului material , cu ecuat, iile parametrice:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = ty(t) = t2/2, t ∈ [0, 1]z(t) = t3/3

iar densitatea f (x, y, z) = √2y.

7. Fie forma diferent, iala:� =

−yx2 + y2

dx +x

x2 + y2dy.

Sa se calculeze ∫ � , unde este cercul centrat ın origine s, i cu raza 2.

8. Sa se calculeze integrala curbilinie ∫ xydx +

x2

2dy, pe conturul:

∶ {x2 + y2 = 1, x ≤ 0 ≤ y} ∩ {x + y = −1, x, y < 0}.

50

Indicat, ie: Curba nu este ınchisa, deci nu putem aplica formula Green-Riemann. Consideramsegmentul orientat [AB], cu A(0, −1), B(0, 1), cu care ınchidem curba. De�nim C = ∪ [AB] s, iacum putem aplica Green-Riemann pe C . Vom avea, de fapt:

∫C� = ∫

� + ∫

[AB]�,

unde � este forma diferent, iala de integrat.Putem calcula acum integrala pe C cu Green-Riemann, iar cea pe [AB] cu de�nit, ia, obt, inınd

ın �nal integrala pe .

9. Calculat, i, folosind integrala curbilinie:

(a) lungimea unui cerc de raza 2;

(b) lungimea segmentului AB, cu A(1, 2) s, i B(3, 5);

(c) lungimea arcului de parabola y = 3x2, cu x ∈ [−2, 2];

(d) lungimea arcului de hiperbola xy = 1, cu x ∈ [1, 2].

51

52

SEMINAR 11

INTEGRALE DE SUPRAFAT, A. FORMULEINTEGRALE 2

11.1 Integrale de suprafat, a de spet, a ıntıiIntegralele de suprafat, a reprezinta generalizarea ıntr-o dimensiune superioara pentru integralelecurbilinii. Astfel, multe dintre formulele s, i abordarile de calcul pe care le vom folosi vor � similare.

Fie Φ ∶ D → ℝ3 o pınza parametrizata s, i �e Σ = Φ(D) imaginea ei (i.e. suprafat, a pe care vomintegra). Fie f ∶ U ⊆ Σ → ℝ o funct, ie continua (deci integrabila), de�nita pe (o port, iune din)imaginea pınzei.

Vom � interesat, i de un caz particular (s, i, totodata, cel mai des ıntılnit) pentru integrala desuprafat, a, anume cınd pınza este data ıntr-o parametrizare carteziana. Adica ecuat, ia suprafet, eipoate � scrisa ın forma z = z(x, y).

Integrala de suprafat, a de spet, a ıntıi a funct, iei f pe suprafat, a Σ parametrizata cartezian prinz = z(x, y) este:

∫Σf (x, y, z)d� = ∬

Df (x, y, z(x, y)) ⋅

√1 + p2 + q2dxdy,

unde:

• D este domeniul de de�nit, ie al parametrizarii carteziene, adica proiect, ia pe planul XOY asuprafet, ei (z ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ);

• coe�cient, ii de sub radical sınt p = )z)x

s, i q =)z)y

.

In cazul particular ın care f = 1, se obt, ine aria suprafet, ei Σ.

53

11.2 Integrale de suprafat, a de spet, a a douaFie, ca mai sus, o pınza tridimensionala, pe care o consideram a � parametrizata:

Φ ∶ D → ℝ3, Φ(u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)).

Fie, de asemenea, o 2-forma diferent, iala1:

! = Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.

Integrala pe suprafat, a orientata Σ = Φ(D) a 2-formei diferent, iale ! se de�nes, te prin:

∫Σ! = ∬

D(P◦Φ) ⋅

D(Y , Z )D(u, v)

+ (Q◦Φ) ⋅D(Z, X )D(u, v)

+ (R◦Φ) ⋅D(X, Y )D(u, v)

dudv,

unde D este domeniul parametrizarii ((u, v) ∈ D), iar D(Y , Z )D(u, v)

etc. sınt jacobienii parametrizarii(X, Y , Z ) ın funct, ie de u, v. Concret, de exemplu, avem:

D(X, Y )D(u, v)

=||||Xu XvYu Yv

||||,

s, i celelalte, folosind notat, ia simpli�cata Xu =)X)u

etc. 2

Intr-o forma simpli�cata, putem scrie integrala folosind un determinant formal:

∫Σ! =

||||||

P◦Φ Q◦Φ R◦ΦXu Yu ZuXv Yv Zv

||||||dudv.

11.3 Formula Gauss-OstrogradskiAceasta formula ne permite sa schimbam o integrala de suprafat, a de spet, a a doua cu una tripla,similar formulei Green-Riemann, dar ın dimensiune superioara.

1! este o 2-forma diferent, iala deoarece ea cont, ine produse de cıte 2 elemente diferent, iale dx, dy, dz. De aseme-nea, notat, ia ∧ (citita ”wedge“ sau ”produs exterior“) este o notat, ie speci�ca pentru produsul care se de�nes, te ıntrediferent, ialele dx, dy, dz. Alternativ, putet, i gasi scrierea s, i prin juxtapunere:

! = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.

Insa acest produs nu este comutativ, deci ordinea ın care scriem 2-forma diferent, iala este esent, iala! (observat, i per-mutarile circulare: dydz → dzdx → dxdy).

2Ordinea scrierii jacobienilor este, evident, esent, iala. Pentru a-i ret, ine mai us, or, observat, i ca ordinea urmeaza toto permutare circulara, asemanatoare diferent, ialelor din 2-forma diferent, iala !.

54

Pastrınd notat, iile s, i contextul de mai sus, formula Gauss-Ostrogradski se scrie:

∫Σ! = ∭

KPx + Qy + Rzdxdydz,

unde K = IntΣ este solidul care are drept frontiera suprafat, a Σ, iar Px , Qy , Rz noteaza derivatelepart, iale corespunzatoare coe�cient, ilor din 2-forma diferent, iala !.

Observatie 11.1: Formula Gauss-Ostrogradski are, ca s, i formula Green-Riemann, condit, ii de apli-care (existent, a). Incercat, i sa le formulat, i, analizınd formula.

Formula Gauss-Ostrogradski se mai numes, te formula �ux-divergent, a. Intr-adevar, folosindo interpretare �zica, se poate asocia 2-formei diferent, iale ! cımpul vectorial V = (P, Q, R), iarmembrul stıng, adica integrala de suprafat, a, calculeaza �uxul cımpului V prin suprafat, a Σ. In�zica, acesta se de�nes, te ca produsul scalar dintre cımpul vectorial s, i versorul normal la suprafat, a.Membrul drept este, dupa cum se poate vedea us, or, divergent, a cımpului vectorial ın solidul IntΣ,deci avem:

∫ΣV ⋅ nd� = ∭

K∇ ⋅ V dxdydz.

Versorul normal se poate calcula prin formula:

n =1

||∇V ||⋅ ∇V .

Pentru cazul cınd suprafat, a este parametrizata, adica avem:

Φ = Φ(X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)),

se pot calcula vectorii tangent, i la suprafat, a, dupa direct, iile lui u s, i v, prin derivate part, iale:

Tu =)Φ)u

, Tv =)Φ)v

.

Apoi, normala la suprafat, a se poate calcula prin produs vectorial3. O varianta simpla de aret, ine formula de calcul pentru produsul vectorial foloses, te determinantul formal:

n = Tu × Tv =

|||||||

i j kT 1u T 2

u T 3u

T 1v T 2

v T 3v

|||||||

,

unde T iu,v noteaza componenta i a vectorului Tu,v .

3 amintit, i-va, produsul vectorial al doi vectori este un vector perpendicular pe planul dat de cei doi factori

55

11.4 Parametrizari uzualeUrmatoarele formule de parametrizare pot � folosite ın calcule:

(1) Sfera: Fie R > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, �] × [0, 2� ). Parametrizarea sferei Φ = Φ(u, v) este:

Φ(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u);

(2) Elipsoidul: Fie a, b, c > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, �] × [0, 2� ). Parametrizarea elipsoidului este:

Φ(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u);

(3) Paraboloidul: Fie a > 0, ℎ > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, ℎ] × [0, 2� ). Parametrizarea paraboloiduluieste:

Φ(u, v) = (au cos v, au sin v, u2);

(4) Conul: Fie ℎ > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, 2� ) × [0, ℎ]. Parametrizarea conului este:

Φ(u, v) = (v cos u, v sin u, v);

(5) Cilindrul: Fie a > 0, 0 ≤ ℎ1 ≤ ℎ2 s, i (u, v) ∈ [0, 2�] × [ℎ1, ℎ2]. Parametrizarea cilindrului este:

Φ(u, v) = (a cos u, a sin u, v).

11.5 Exercit, ii1. Calculat, i vectorii tangent, i s, i versorul normalei la suprafet, ele parametrizate din sect, iunea an-terioara.

2. Sa se calculeze integrala de suprafat, a de prima spet, a:

∫Σf (x, y, z)d�,

unde f (x, y, z) = y√z, iar Σ ∶ x2 + y2 = 6z, z ∈ [0, 2].

3. Folosind integrala de suprafat, a, calculat, i aria suprafet, ei Σ, unde:

Σ ∶ 2z = 4 − x2 − y2, z ∈ [0, 1].

56

4. Calculat, i �uxul cımpului vectorial V prin suprafat, a Σ pentru:

V = yi + xj + z2k, Σ ∶ z = x2 + y2, z ∈ [0, 1].

5. Calculat, i ∫Σ!, unde:

(a) • ! = ydy ∧ dz + zdz ∧ dx + xdx ∧ dy;• Σ ∶ x2 + y2 = z2, z ∈ [1, 2].

(b) • ! = x(z + 3)dy ∧ dz + yzdz ∧ dx − (z + z2)dx ∧ dy;• Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

6. Calculat, i �uxul cımpului:

V = (x + y)dy ∧ dz + (y + z)dz ∧ dx − 2zdx ∧ dy

prin emisfera Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 4, z > 0.

11.6 Formula lui StokesAceasta ultima formula integrala ne permite sa schimbam o integrala curbilinie de spet, a a douacu una de suprafat, a de spet, a a doua.

Fie Σ o suprafat, a cu bord (frontiera) s, i �e o 1-forma diferent, iala

� = Pdx + Qdy + Rdz,

care este de clasa C1 ıntr-o vecinatate a lui Σ.Notam frontiera lui Σ prin )Σ, care este o curba (conturul suprafet, ei) sau, mai precis, un drum

neted.Are loc formula lui Stokes:

∫)ΣPdx + Qdy + Rdz = ∫

Σ()R)y

−)Q)z )

dy ∧ dz + ()P)z

−)R)x )

dz ∧ dx + ()Q)x

−)P)y)

dx ∧ dy.

In notat, ie vectoriala, daca asociem cımpul vectorial V = (P, Q, R) 1-formei diferent, iale � ,atunci formula lui Stokes se scrie:

∫)ΣV ⋅ dr = ∫

Σ(∇ × V ) ⋅ nd�,

unde ∇× V = rotV se numes, te rotorul cımpului vectorial, calculat cu ajutorul produsului vectorialformal ıntre operatorul diferent, ial ∇ = (

))x ,

))y ,

))z) s, i cımpul V = (P, Q, R).

57

11.7 Exercit, ii

7. Sa se calculeze, folosind formula lui Stokes, integrala curbilinie ∫ � pentru cazurile:

(a) � = (y −z)dx +(z −x)dy +(x −y)dz, iar curba este frontiera suprafet, ei Σ ∶ z = x2+y2, z = 1;

(b) � = ydx + zdy + xdz, iar curba este frontiera suprafet, ei Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0.

58

SEMINAR 12

MODELE RECAPITULATIVE

12.1 Model 1Acesta este examenul dat de Prof. Olteanu la ACS, sesiunea ianuarie 2018.

Numarul 11. Sa se a�e valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x2 + y2 − 3x − 2y + 1

pe mult, imea K ∶ x2 + y2 ≤ 1.

2. Calculat, i ∫∞

0

dxx4 + 1

.

3. Sa se calculeze volumul corpului marginit de suprafet, ele:{z = x2 + y2

2 = x2 + y2 + z2.

4. Sa se calculeze �uxul cımpului V = (x + z2, y + z2, −2z) prin suprafat, a x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

5. Sa se calculeze aria suprafet, ei:Σ = {(x, y, z) ∣ x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0} ∩ {(x, y, z) ∣ x2 + y2 ≤ Ry}.

59

(Aria lui Viviani)

Numarul 21. Sa se a�e valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x ⋅ y, pe K ∶ 2x2 + y2 ≤ 1.

2. Calculat, i ∫∞

0

dxx3 + 1

.

3. Sa se calculeze volumul corpului obt, inut prin intersect, ia suprafet, elor:{2 = x2 + y2 + z2

z2 = x2 + y2, z ≥ 0

4. Sa se calculeze aria suprafet, ei 2 − z = x2 + y2, z ∈ [0, 1].

5. Calculat, i �uxul cımpului vectorial V = q4� ⋅

rr3 prin:

(a) Sfera centrata ın origine s, i cu raza R > 0;

(b) Orice suprafat, a Σ ınchisa, care nu cont, ine originea.

Observat, ie: r = (x, y, z) s, i r = ||r || =√x2 + y2 + z2.

(Legea lui Gauss)

12.2 Model 2

1. Calculat, i, folosind beta s, i gamma, ∫∞

0

4√x

(x + 1)2dx .

2. Calculat, i integrala:

∬D(1 +

√x2 + y2)dxdy, D ∶ x2 + y2 ≤ 2, y > 0.

60

3. Calculat, i volumul corpului marginit de suprafet, ele:{z = x2 + y2

x2 + y2 + z2 = 6, z > 0.

4. Calculat, ia aria suprafet, ei determinate de:

z = 5 − x2 − y2, z ∈ [1, 4].

5. Determinat, i valorile extreme pentru funct, ia:

f ∶ D → ℝ, f (x, y) = x3 + 8y3 − 2xy,

unde D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x, y, ≥ 0, y + 2x ≤ 2}.

12.3 Model 31. Determinat, i valorile extreme pentru funct, ia:

f ∶ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x4 + y3 − 4x3 − 3y2 + 3y,

unde D = {(x, y) ∈ ℝ ∣ x2 + y2 ≤ 4}.

2. Calculat, i ∫∞

0

x2

(1 + x4)2dx .

3. Calculat, i volumul mult, imii marginite de suprafet, ele:

S1 ∶ x2 + y2 + z2 = 6z, z ≥ 3S2 ∶ 2(x2 + y2) = z2.

4. Fie suprafat, a S = {x2 + y2 + z2 = 5, z ≤ 0}. Desenat, i suprafat, a s, i calculat, i:

∬S(2x + 5x)dy ∧ dz + 2ydz ∧ dx + (2z − 5x)dx ∧ dy.

61

62

INDEX

Symbolss, iruri funct, ii

convergent, apunctuala, 13uniforma, 13

derivare termen cu termen, 14integrare termen cu termen, 14transfer de continuitate, 14

Aaria domeniului, 44

Ccoordonate

cilindrice, 44jacobian, 44polare, 44sferice, 44

Dderivate part, iale, 25

diferent, iala totala, 26divergent, a, 25gradient, 25laplacian, 25

funct, ie armonica, 25nabla, 25

Eextreme

libere, 34

Fformula

�ux-divergent, a, 54Gauss-Ostrogradski, 54Green-Riemann, 48Stokes, 57

funct, iiLagrange, 34multiplicator Lagrange, 34

Iintegrala

curbiliniecirculat, ia cımpului, 48lungimea drumului, 47spet, a ıntıi, 47

de suprafat, aspet, a ıntıi, 53spet, a a doua, 54

dubla, 43arie, 43

tripla, 43volum, 43

63

integraleimproprii, 40

Beta, Gamma, 40cu parametri, 40

Mmatrice

hessiana, 34jacobiana, 45

Rregresie liniara, 39

Sserii

s, irul sumelor part, iale, 3s, irul termenilor generali, 3absolut convergente, 9alternate, 9armonica, 6convergente, 3criteriu

Abel-Dirichlet, 9comparat, ie la limita, 5comparat, ie la limita termen cu

termen, 4

comparat, ie termen cu termen, 4integral, 5Leibniz, 9logaritmic, 5necesar, 4Raabe-Duhamel, 5radical, 5raport, 5

divergente, 3funct, ii

Weierstrass, 14geometrica, 6Maclaurin, 15polinom Taylor, 15puteri, 16

Abel, 16Cauchy-Hadamard, 16raport, 16

semiconvergente, 9suma, 3Taylor, 15

Vvolumul domeniului, 44

64

BIBLIOGRAFIE

[Burtea, 2006] Burtea, M. (2006). Manual de matematica M1, clasa a XI-a. Carminis.

[Costache, 2009] Costache, L. (2009). Analiza matematica. Printech.

[Olteanu, 2004] Olteanu, M. (2004). Analiza matematica. online.

[T, ena, 2006] T, ena, M. (2006). Manual de matematica M1, clasa a XI-a. Art.

65